Transfer Fonksiyonu. Dürtü yanıtı h[n] olan sisteme x[n]=z n girişi uygulandığında

Transkript

1 Z DÖNÜŞÜMÜ

2 Transfer Fonksiyonu Dürtü yanıtı h[n] olan sisteme x[n]=z n girişi uygulandığında Burada toplamı n ye bağımlı olmayıp sadece sistemin dürtü yanıtı ve z değerine bağlı bir katsayıdır. şeklinde tanımlandığında sisteme x[n]=z n şeklinde giriş uygulandığında sistem çıkışı Şeklinde olmaktadır. Görüldüğü gibi sisteme üstel giriş uygulandığında çıkış aynı üstel girişin bir katsayı ile ölçeklenmiş hali olmaktadır. sistemin transfer fonksiyonudur.

3 y[n]=x[n-n 0 ], n 0 >0 sisteminin transfer fonksiyonu? a)sistem girişine x[n]=z n üsteli uygulanırsa y[n]=x[n-n 0 ]=z (n-n0) =z n z -n0 Transfer fonksiyonunun tanımına göre sisteme x[n]=z n şeklinde üstel uygulandığında sistem çıkışı H(z)z n şeklinde olmaktadır. Bu durumda bu sistemin transfer fonksiyonu H(z)=z -n0 b) Sisteme dürtü giriş uygulandığında dürtü cevabı h[n]=δ[n-n 0 ] elde edilir. Transfer fonksiyonunun matematiksel ifadesinden c) Bu sisteme x=0.5 n girişi uygulandığında çıkış? y[n]= 0.5 n 0.5 -n0= 0.5 (n-n0)

4 Z dönüşümü Burada z karmaşık değerli bir değişkendir. Sistemin dürtü yanıtının z dönüşümü transfer fonksiyonunu verir. x[n] işareti nedensel olduğunda Tek yanlı z dönüşümü

5 Birim dürtü işaretinin x[n]=δ[n] Z dönüşümü? Ötelenmiş biri dürtünün x[n]=δ[n-n 0 ] Z dönüşümü? Dürtü yanıtı olan sistemin transfer fonksiyonu? h[n]= H(z)=

6 Yakınsaklık bölgesi Belirli bir x[n] işaret için Z dönüşümünün hesaplanabildiği ve sonlu X(z) değerlerinin elde edildiği aralığa yakınsaklık bölgesi denir. ROC z >a ROC z <a ROC a< z <b ROC=region of convergence

7 Yakınsaklık bölgesinin özellikleri Yakınsaklık bölgesi halka veya disk şeklindedir. Yakınsaklık bölgesi kutupları kapsayamaz. x[n] sonlu uzunlukta bir dizi ise yakınsaklık bölgesi tüm z bölgesidir. x[n] sağ taraflı bir dizi ise yakınsaklık bölgesi en dıştaki kutuptan dışarı doğrudur. x[n] sol taraflı bir dizi ise yakınsaklık bölgesi en içteki kutuptan içeri doğrudur. x[n] çift taraflı bir dizi ise yakınsaklık bölgesi kutuplar ile sınırlandırılmış halka şeklindedir. Yakınsaklık bölgesi mutlaka bağlantılı olmalıdır.

8 X[n]=u[n] işaretinin z dönüşümü

9 işaretinin z dönüşümü

10 a n u[n] -a n u[-n-1] işaretleri farklı işaretler olmasına rağmen z dönüşümleri aynı çıkmıştır. Bundan dolayı z dönüşümü ile beraber mutlaka yakınsaklık bölgesinin verilmesi gerekmektedir.

11 Z dönüşümünün özellikleri işaretinin z dönüşümü Z dönüşümünün doğrusallık özelliği ile ROC: z >0.5 ROC: z >1 Yakınsaklık bölgesi her iki bölgenin kesişimi olmaktadır.

12 işaretinin Z dönüşümü? Bu işaret işaretinin zamanda ötelenmiş halidir. işaretinin Z dönüşümü

13 Yakınsaklık bölgesi ikisinin kesişimi x[n]= 0.9 n u[n], h[n]=δ[n-2] sistem çıkışı?

14

15 Sıfır kutup gösterimi Z dönüşümünün z değişkenine bağlı iki polinomun oranı olarak şeklinde yazıldığında, bu ifadeyi 0 yapan z değerleri X(z) nin sıfırları, sonsuz yapan z değerleri X(z) nin kutuplarıdır. Yakınsaklık bölgesi kutup içeremez.

16 Sıfır kutup grafiği? Sıfırlar 0.8, -0.8 kutuplar 0.4, Imaginary Part Real Part

17 Ters Z dönüşümü Basit bir ters Z dönüşümü ifadesi yoktur. Bundan dolayı ters z dönüşümü için genelde X(z) nin bilinen dönüşüm biçimleri haline getirilmesi amaçlanır. Kısmi kesirlere açılım paydanın derecesi büyük ise z=c 1 iken A 1 elde edilir.

18 Tabloya bakıldığında iki farklı dizinin aynı z dönüşümünü verdiği görülmektedir. Ters z dönüşümünü bulabilmek için yakınsaklık bölgesinin tanımlanması gerekir. X(z) nin kutupları z=1 ve z=2 dir. Kutuplar göz önünde bulundurularak üç farklı yakınsaklık bölgesi tanımlanabilir.

19 ROC z <1 için x[n]=u[-n-1]-2 2 n u[-n-1] ROC z <1 ROC 1< z <2 için x[n]=-u[n]-2 2 n u[-n-1] ROC 1< z <2 ROC z >2 için x[n]=-u[n]+2 2 n u[n] ROC z >2

20 paydanın derecesi büyük veya eşit ise

21 Seri açılımı Z dönüşümü şeklindedir. X(z) seri şeklinde açılırsa X(z)= x[-2]z 2 + x[-1]z 1 + x[0]z 0 + x[1]z -1 + x[2]z -2 + Bu ifadenin ters z dönüşümü x[n]= x[-2]δ[n+2]+x[-1]δ[n+1]+x[0]δ[n]+x[1]δ[n-1]+x[2]δ[n-2]+ Şeklinde ötelenmiş ve ölçeklenmiş birim dürtüler şeklinde olmaktadır.

22 z >2 olduğu için x[n] işareti sağ taraflı beklenmektedir. Bu nedenle bölme işlemi ile z nin negatif üsleri elde edilir. İşaretin kaç adet örnek değeri istenirse oraya kadar bölmeye devam edilir. Bölme işlemi sonsuza kadar devam ettirilemeyeceğinden dolayı bu yöntem tam sonuç vermemektedir. İşareti genel yapısı hakkında bilgi verir.

23 Z dönüşümünün uygulamaları Fark denklemlerinde kullanılması y[n]-0.2y[n-1]-0.03y[n-2]=0.2x[n]-0.3x[n-1] şeklinde tanımlanan sistemin x[n]=u[n] girişine cevabı?

24 Tek yanlı Z dönüşümünün kullanılması Fark denklemi çift yanlı Z dönüşümü ile bulunduğunda durağan başlangıç koşulları varsayılmaktadır. Fark denkleminin başlangıç koşulları varsa tek yanlı Z dönüşümü kullanılır. y[n]-0.2y[n-1]-0.03y[n-2]=0.2x[n]-0.3x[n-1], y[-2]=2 ve y[-1]=1 şeklinde tanımlanan sistemin x[n]=u[n] girişine cevabı?

25

26 Transfer fonksiyonunun bulunması y[n]-y[n-1]=x[n]+2x[n-1] transfer fonksiyonu? Sistemin transfer fonksiyonunun ters Z dönüşümü sistemin dürtü yanıtını vermektedir. Yakınsaklık bölgesi belirtilmediğinde birden fazla ters Z dönüşümü elde edilebilir. Sabit katsayılı fark denklemi tek başına dürtü yanıtını belirlemekte yeterli değildir. Yakınsaklık bölgesi bildirilmediğinde tek bilgi yakınsaklık bölgesinin kutup içermeyeceği ve sınırların kutuplar ile belirleneceğidir. Sistemin kararlılık ve nedensellik özelliği bilinirse yakınsaklık bölgesi bulunabilir. Nedensellik: h[n] sağ taraflı dizi olmalıdır. H(z) nin yakınsaklık bölgesi en dış kutuptan dışarı olmalıdır. Kararlılık: h[n] mutlak toplanabilir olmalıdır. H(z) nin yakınsaklık bölgesi birim çemberi kapsamalıdır. Nedensel ve kararlı sistemler: H(z) nin yakınsaklık bölgesi hem birim çemberi kapsamalıdır hem de en dış kutuptan dışarı olmalıdır. Dolayısıyla sistemin tüm kutupları birim çember içerisinde olmalıdır.

27 y[n]-4.5y[n-1]+2y[n-2]=x[n] sistemin transfer fonksiyonu? Sistemin z=0.5 ve z=4 te iki kutbu z=0 da iki sıfırı var Imaginary Part Real Part

28 Transfer fonksiyonunun birim çember dışında bir kutbu olduğu için sistem hem nedensel hem kararlı olamaz. Sistem nedensel olsa yakınsaklık bölgesi en dış kutuptan dışarı doğrudur. ROC: z >4 için dürtü yanıtı h[n]= n u[n] n u[n] Sistem kararlı olsa yakınsaklık bölgesi birim çemberi kapsar. ROC: 0.5< z <4 için dürtü yanıtı h[n]= n u[-n-1] n u[n]