Ayrık-zamanlı sistemlerin analizi z-dönüşümünün kullanılmasıyla basitleşir. Gerçekten de fark-denklemleriyle gösterilen sistem modeli
|
|
- Volkan Sağlam
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Bölüm 3 z-dönüşümü
2 6 Bölüm 3. z-dönüşümü 3.1 GİRİŞ Ayrık-zamanlı sistemlerin analizi z-dönüşümünün kullanılmasıyla basitleşir. Gerçekten de fark-denklemleriyle gösterilen sistem modeli z-dönüşümü ile üzerindeü-ze-rin-de kolaylıkla işlem yapılabilecek cebrik denklemlere dönüşür. Örneğin, ayrık-zamanlı sistemin giriş ve çıkış işaretleri arasındaki konvolüsyon bağıntısı, uygun z-dönüşümlerinin çarpımıyla gerçekleştirilir.
3 3.2. z-dönüşümünün Tanımı z-dönüşümünün TANIMI x(n) dizisinin z-dönüşümü X(z) = x(n)z n (3.1) olarak tanımlanır [1]. n= Burada z karmaşık (kompleks) değerli bir değişkeni göstermektedir. (3.1) deki z-dönüşümü sadece X(z) nin yakınsak olduğu z değerleri için tanımlanır. x(n) dizisinin z-dönüşümü bazen de basitleştirilmiş bir notasyonla X(z) = Z[x(n)] (3.2) x(n) X(z) (3.3)
4 8 Bölüm 3. z-dönüşümü şeklinde gösterilebilir. Z[ ], z-dönüşümüne ilişkin dönüşüm kuralını gösteren matematiksel bir operatördür.
5 3.2. z-dönüşümünün Tanımı 9 Yakınsaklık Bölgesi Tüm dizilerin z-dönüşümü yakınsak değildir. Diğer bir deyişle, tüm z değerleri için z-dönüşümü yakınsak olmaz. Verilen herhangi bir dizinin z-dönüşümünün yakınsak olduğu z değerlerinin karmaşık düzlemde oluşturduğu küme, o dönüşümünö-nü-şü-mün yakınsaklık bölgesi olarak adlandırılır. Düzenli yakınsaklık, dizinin mutlak değerlerinin toplamının sonlu olmasını gerektirir. Yani, x(n)z n < (3.4) n=
6 10 Bölüm 3. z-dönüşümü Yakınsaklık bölgesi Şekil 3.1 Mümkün olan yakınsaklık bölgesi formları: a) Sağ taraflı dizi; b) Sol taraflı dizi; c) İki taraflı dizi. eşitsizliğini sağlayan tüm z-değerleri yakınsaklık bölgesini oluşturur. serisidir. (3.1) de tanımlanan z-dönüşümü X(z) bir Laurent Kompleks değişkenler teorisinden bilindiği üzere, bir
7 3.2. z-dönüşümünün Tanımı 11 Laurent serisinin yakınsaklık bölgesi R, halka şeklindedir. Yani, halkanın iç ve dış yarıçapı r 1 ve r 2 olarak verilirse, r 1 < z < r 2 yakınsaklık bölgesi olan R halkasını gösterir. x(n) dizisinin + ve daki davranışına göre r 1 ve r 2 sınır değerleri belirlenir. Bu halka içerisinde X(z), z nin analitik bir fonksiyonudur. Bu nedenle, X(z) nin kutupları ve tekil noktaları R bölgesi dışındadır. Eğer n < 0 için x(n) = 0 ise, (3.1) de z nin sadece negatif üstel kuvvetleri bulunur. Bu durumda, r 2 = olur. Yakınsaklık bölgesi R, r 1 yarıçaplı bir çemberin dışı olur ve z > r 1 şeklinde gösterilir. Eğer n > 0 için x(n) = 0 ise, (3.1) de z nin sadece pozitif üstel
8 12 Bölüm 3. z-dönüşümü kuvvetleri bulunur. Bu durumda, r 1 = 0 olup, yakınsaklık bölgesi R { z < r 2 } bir çemberin içinde kalan bölgedir. Şekil 3.1 de karşılaşılabilecek yakınsaklık bölgeleri gösterilmiştir. Aşağıdaki bölümde bu konuya ilişkin örnekler verilecektir.
9 3.3. z-dönüşümünün Özellikleri 13 Im[z] z-düzlemi 0 G r 1 r 2 z 0 Re[z] Şekil 3.2 X(z) nin z-düzlemindeki analitiklik bölgesi. 3.3 z-dönüşümünün ÖZELLİKLERİ z-dönüşümünün özelliklerini bir dizi teorem yardımıyla açıklayacağız. Önce Laurent teoremini ve sonuçlarını inceleyelim.
10 14 Bölüm 3. z-dönüşümü X(z) nin iki polinomun oranı biçiminde z nin rasyonel bir fonksiyonu olması en çok karşılaşılan durumdur. Pay polinomun kökleri X(z) yi sıfır yapacağından X(z) nin sıfırları olarak adlandırılır. Payda polinomunun kökleri olan z değerlerinde ise X(z) nin değeri sonsuz olacağından, X(z) nin kutupları olarak adlandırılır. Yakınsaklık tanımından dolayı kutuplar yakınsaklık bölgesi dışında olmalıdır. Yani, X(z) = n= x(n)z n = A(z) B(z) (3.5) gösteriliminde, A(z) = 0 denkleminin kökleri sıfırları, B(z) = 0 ın kökleri ise kutupları oluşturacaktır.
11 3.3. z-dönüşümünün Özellikleri 15 Kutuplar payda polinomu B(z) nin kökleri dışında, z = 0 veya z = da bulunabilir. Yukarıdaki tanımları ve özellikleri göstermek için aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
12 16 Bölüm 3. z-dönüşümü rnek 3.1 x(n) = δ(n) dizisinin z-dönüşümü X(z) = δ(n)z n = 1 (3.6) olur. n= Yakınsaklık bölgesi 0 z olduğundan X(z) tüm z-düzleminde yakınsaktır. Şekil 3.4 te X(z) = 1 için yakınsaklık bölgesi gösterilmektedir.
13 3.3. z-dönüşümünün Özellikleri 17 Im[z] z-düzlemi 0 Re[z] Şekil 3.3 x(n) = δ(n) birim impuls dizisi için yakınsaklık bölgesi. rnek 3.2 Sağ taraflı üstel x(n) = a n u(n) dizisi için z-dönüşümü ( X(z) = a n z n = ) az 1 n (3.7) n=0 n=0
14 18 Bölüm 3. z-dönüşümü yazılır. Burada az 1 < 1 için seri yakınsak olur ve 1 X(z) = 1 az = z (3.8) 1 z a olarak bulunur. az 1 < 1 koşulundan z > a yazılabilir. Şekil 3.5 te gösterildiği gibi yakınsaklık bölgesi a yarıçaplı dairenin dışında kalan bölgedir. X(z) nin z = 0 da bir sıfırı ve z = a da bir kutbu vardır.
15 3.3. z-dönüşümünün Özellikleri 19 Yakınsaklık bölgesi : sıfır :kutup Şekil 3.4 x(n) = a n u(n) dizisi için sıfır-kutup diyagramı ve yakınsaklık bölgesi. rnek 3.3 Sol taraflı bir diziye örnek olarak aşağıdaki diziyi ele alalım. x(n) = 0, n 0 için (3.9)
16 20 Bölüm 3. z-dönüşümü x(n) nin z-dönüşümü için yazılabilir. X(z) = 1 n= = 1 = 1 b n z n = b n z n n=0 ( b 1 z ) n n=0 b n z n n=1 (3.10) Eğer b 1 z < 1 veya z < b ise (3.12) deki seri yakınsar. Yani 1 X(z) = 1 1 b 1 z = b 1 z 1 b 1 z = z b + z = z z b (3.11)
17 3.3. z-dönüşümünün Özellikleri 21 Im[z] Yakınsaklık bölgesi z-düzlemi z=0 z=a Re[z] : sıfır : kutup Şekil 3.5 x(n) = b n u( n 1) dizisi için sıfır-kutup diyagramı ve yakınsaklık bölgesi. olarak bulunur. Şekil 3.6 da görüleceği gibi yakınsaklık bölgesi b yarıçaplı dairenin içinde kalan alandır.
18 22 Bölüm 3. z-dönüşümü Aıklama 3.1 Son iki örnekteki dizilere ait z-dönüşümlerinin incelenmesinden, sadece z-dönüşümünün sıfırları ve kutupları yardımıyla dizileri belirlemenin mümkün olmadığı görülmektedir. Gerçekten a = b olması halinde, (3.10) ve (3.13) den sağ ve sol taraflı dizilerin z-dönüşümleri aynı olmaktadır. Farklı olan özellik ise yakınsaklık bölgeleridir. O halde, diziyi belirlerken z-dönüşümünün yanısıra yakınsaklık bölgesi de verilmelidir. Dizinin sağ veya sol taraflı olarak belirtilmesi durumunda da yakınsaklık bölgesi dolaylı olarak verilmiş olur.
19 3.3. z-dönüşümünün Özellikleri 23 rnek 3.4 İki taraflı diziye örnek olarak x(n) = a n, b n, n 0 için n < 0 için (3.12) dizisinin z-dönüşümünü bulalım. X(z) = x(n)z n = n= 1 b n z n + (3.13) a n z n n= n=0
20 24 Bölüm 3. z-dönüşümü (3.10) ve (3.13) de az 1 < 1 ve b 1 z < 1 koşullarının sağlanması durumunda (3.13), X(z) = z z b + z z a = z( 2z a b ) (3.14) (z a)(z b) şeklinde yazılabilir. Yakınsaklık bölgesi Şekil 3.7 deki gibi yarıçapları a ve b olan halka içindedir. Yani, a < b ise, a < z < b yakınsaklık bölgesidir. Çok kullanılan z-dönüşüm çiftleri Tablo 3.1 de gösterilmiştir.
21 3.3. z-dönüşümünün Özellikleri 25 Tablo 3.1 Standart z-dönüşümleri Dizi z-dönüşümü Yakınsaklık Aralığı δ(n) 1 tüm z δ(n m), m > 0 z m z < 0 δ(n + m), m > 0 z m z < u(n) u( n 1) a n u(n) a n u( n 1) u(n) cos nθ u(n) sin nθ u(n)r n cos nθ u(n)r n sin nθ 1 1 z 1 z > z 1 z < az 1 z > a 1 1 az 1 z < a 1 (cos θ)z 1 1 2(cos θ)z 1 + z 2 z > 1 (sin θ)z 1 1 2(sin θ)z 1 + z 2 z > 1 1 r(cos θ)z 1 1 2r(cos θ)z 1 + r 2 z 2 z > r r(sin θ)z 1 1 2r(sin θ)z 1 + r 2 z 2 z > r
22 26 Bölüm 3. z-dönüşümü Im[z] Yakınsaklık bölgesi z-düzlemi z=0 z=a z=b Re[z] z a+b 2 : sıfır : kutup Şekil 3.6 x(n) = a n u(n) b n u( n 1) dizisi için sıfır-kutup diyagramı ve yakınsaklık bölgesi.
23 3.3. z-dönüşümünün Özellikleri 27 Teorem 3.1 (Doğrusallık). x 1 (n) ve x 2 (n) herhangi iki dizi ve z-dönüşümleri Z [ x 1 (n) ] = X 1 (z) (3.15) Z [ x 2 (n) ] = X 2 (z) (3.16) olarak verilsin. a ve b herhangi iki sabit katsayı ise X 3 (z) = Z [ ax 1 (n) + bx 2 (n) ] = ax 1 (z) + bx 2 (z) (3.17) olarak elde edilir.
24 28 Bölüm 3. z-dönüşümü Tanıt. Z [ ax 1 (n) + bx 2 (n) ] [ = ax1 (n) + bx 2 (n) ] z n = a n= x 1 (n)z n + b x 2 (n)z n n= n= = ax 1 (z) + bx 2 (z) (3.18)
25 3.3. z-dönüşümünün Özellikleri 29 X 3 (z) nin yakınsaklık bölgesi en azından X 1 (z) ve X 2 (z) nin yakınsaklık bölgelerinin arakesitini kapsar. Yani, R x3 ( R x1 R x2 ) (3.19) R x1 ve R x2 nin sınırında bulunan bir kutbun, (3.17) toplamı sonucu ortaya çıkan bir sıfır ile yokedilmesi durumunda R x3 yakınsaklık bölgesi R x1 R x2 den daha geniş olur.
26 30 Bölüm 3. z-dönüşümü Teorem 3.2 (Öteleme). a) Z[x(n + m)] = z m X(z) (3.20) Eğer x(n) dizisi sağ taraflı ise, yani n < 0 için x(n) = 0 olursa, pozitif m tamsayısı için aşağıdaki özelliklerin bulunduğu gösterilebilir. b) Z [ x(n + m)] = z m {X(z) m 1 k=0 x(k)z k } (3.21)
27 3.3. z-dönüşümünün Özellikleri 31 c) Z[x(n m)] = z m X(z) (3.22) Tanıt. (a) Z[x(n + m)] = x(n + m)z n n= = z m x(n + m)z (n+m n= = z m x(k)z (k = z m X(z) k=
28 32 Bölüm 3. z-dönüşümü Tanıt. (b) Z[x(n + m)] = x(n + m)z n n=0 = z m x(n + m)z (n+m) n=0 = z m x(k)z k k=m [ = z m x(k)z k k=0 = z m [X(z) m 1 k=0 m 1 k=0 x(k)z k ] x(k)z k ]
29 3.3. z-dönüşümünün Özellikleri 33 Tanıt. (c) n < 0 için x(n) = x(n m) = 0 olduğundan Teorem 3.3(a) uygulanırsa, Z[x(n m)] = z m X(z) elde edilir. Ötelenmiş x(n m) dizisi ile orijinal x(n) dizisinin yakınsaklık bölgeleri aynıdır. Ancak, z = 0 veya z = noktası yakınsaklık bölgesi dışında olabilir. Birim gecikme durumunda m = 1 dir. (3.22) bağıntısından Z[x(n 1)] = z 1 X(z) (3.23)
30 34 Bölüm 3. z-dönüşümü bulunur. (3.23) de X(z), z 1 ile çarpılmıştır. Bu z 1 çarpanına birim gecikme operatörü adı verilir. Benzer şekilde, birim ilerleme durumunda Z[x(n + 1)] = zx(z) (3.24) olur.
31 3.3. z-dönüşümünün Özellikleri 35 rnek 3.5 a) Geciktirilmiş impuls dizisi, x(n) = δ(n m) için, X(z) = Z[δ(n m)] = z m (3.25) bulunur. 0 < z yakınsaklık bölgesidir. z = 0 da X(z) yakınsamaz. b) İlerletilmiş impuls dizisi, x(n) = δ(n + m) için, X(z) = Z[δ(n + m)] = z m (3.26) bulunacaktır. X(z), z = da yakınsamadığından yakınsaklık bölgesi 0 z < olur.
32 36 Bölüm 3. z-dönüşümü Teorem 3.3 (Karmaşık Türev). Z[nx(n)] = z dx(z) dz (3.27) Tanıt. Z[nx(n)] = z n= z d dz n= nx(n)z n = z [ x(n) d dz (z n ) n= ] x(n)(z n ) n= x(n)( n)z n 1 = z dx(z) dz X(z) ve Z[nx(n)] nin yakınsaklık bölgeleri aynıdır. (3.28)
33 3.3. z-dönüşümünün Özellikleri 37 rnek 3.6 na n n 0 için x(n) = ( (3.29) 0 n < 0 için dizisinin z-dönüşümünü Teorem 3.4 yardımıyla bulalım. (3.2) den hatırlarsak, a n z n = n=0 z z a Örnek (3.30) olur. (3.28) dan Z[na n u(n)] = z d { z } = z ( a) dz z a (z a) = za (3.31) 2 (z a) 2 elde edilir. (3.29) ve (3.31) ün karşılaştırılmasından yakınsaklık bölgelerinin değişmediği görülmektedir.
34 38 Bölüm 3. z-dönüşümü Teorem 3.4 (Gerçel konvolüsyon). [ Z k= ] x(k)h(n k) = X(z)H(z) (3.32) veya [ Z k= ] x(n k)h(k) = X(z)H(z) (3.33)
35 3.3. z-dönüşümünün Özellikleri 39 Tanıt. [ Z k= ] x(k)h(n k) = = = n= k= k= n= x(k)z k x(n)z n = X(z)H(z) x(k)h(n k)z n n= n= h(n k)z (n k) h(n)z n (3.34) X(z)H(z) nin yakınsaklık bölgesi X(z) ve H(z) nin yakınsaklık bölgelerinin arakesitini kapsar. Yani, R R x R h olur.
36 40 Bölüm 3. z-dönüşümü Aıklama 3.2 Herhangi iki dizinin konvolüsyonu sonucu elde edilecek dizinin z-dönüşümünün, dizilerin z-dönüşümlerinin çarpımı olduğu gerçel konvolüsyon teoreminden anlaşılmaktadır. Benzer şekilde, iki dizinin çarpımının z-dönüşümü dizilerin z-dönüşümlerinin kompleks konvolüsyonu olduğu gösterilebilir. Yani, Z[x(n)] = X(z), Z[y(n)] = Y(z) ise, Z[x(n)y(n)] = 1 ( z X(ν)Y ν 2πj Γ ν) 1 dν (3.35) olur. (3.35) deki çizgisel integralde Γ, X(ν) ve Y(z/ν) için ortak yakınsaklık bölgesinde yer alan bir konturu göstermektedir.
37 3.3. z-dönüşümünün Özellikleri 41 Teorem 3.5 (İlk Değer Teoremi). Eğer x(n) nedensel bir dizi ise (x(n) = 0, n < 0), x(0) = lim z X(z) (3.36) Tanıt. lim X(z) = lim z z x(n)z n n=0 = x(0) + lim z x(n)z n = x(0) n=1 (3.37)
38 42 Bölüm 3. z-dönüşümü Teorem 3.6 (Son Değer Teoremi). Nedensel x(n) dizisinin z-dönüşümü X(z) olsun. (z 1)X(z) nin yakınsaklık bölgesi z = 1 i kapsıyor ise, lim n x(n) = lim z 1 (1 z 1 )X(z) (3.38) Tanıt. {x(k) x(k 1)}z k = lim n k=1 {x(k) x(k 1)}z k = k=1 n {x(k) x(k 1)}z k (3.39) k=1 x(k)z k k=1 x(k 1)z k k=1 = (1 z 1 )X(z) x(0) (3.40)
39 3.3. z-dönüşümünün Özellikleri 43 yazılabilir. (3.39) ve (3.40) den (1 z 1 )X(z) x(0) = lim n n {x(k) x(k 1)}z k (3.41) k=1
40 44 Bölüm 3. z-dönüşümü elde edilir. z = 1, (1 z 1 )X(z) nin yakınsaklık bölgesi içinde ise, (3.41) denkleminin her iki tarafının z 1 limiti alınır. n lim(1 z 1 )X(z) x(0) = lim lim {x(k) x(k 1)}z k z 1 n z 1 k=1 n = lim {x(k) x(k 1)} n Böylece, lim n k=1 = lim n {x(n) x(0)} = lim n x(n) x(0) (3.42) x(n) = lim z 1 (1 z 1 )X(z) (3.43)
41 3.3. z-dönüşümünün Özellikleri 45 olarak elde edilir.
42 46 Bölüm 3. z-dönüşümü Teorem 3.7 (Parseval Teoremi). [x(n)] 2 = 1 2πj n= C X(z)X(z 1 )z 1 dz (3.44) C uygun olarak seçilmiş bir konturu göstermektedir. Tanıt. (3.35) bağıntısında x(n) = y(n) ve z = 1 için [x(n)] 2 = 1 X(ν)X(ν 1 )ν 1 dν (3.45) 2πj elde edilir. n= Γ z-dönüşümünün diğer özellikleri Problem 3.1 de verilmektedir.
43 3.4. Ters z-dönüşümü TERS z-dönüşümü Cauchy integral teoremi [2] yardımıyla ters z-dönüşümünü elde etmek mümkündür. Bu önemli teoremi şöyle tanımlayabiliriz. x(n) = 1 1, k = 0 için z k 1 dz = (3.46) 2πj C 0, k = 0 için (3.46) bağıntısında C orijini çevreleyen saat ibresinin ters yönünde kapalı bir konturu göstermektedir. z-dönüşümü ilişkisi aşağıda verilmektedir. X(z) = x(n)z n (3.47) n=
44 48 Bölüm 3. z-dönüşümü (3.47) un her iki tarafını z k 1 ile çarparak X(z) nin yakınsaklık bölgesi içinde orijini çevreleyen C konturu üzerinde integrali alınırsa, 1 2πj C X(z)z k 1 dz = 1 2πj C n= x(n)z n+k 1 dz (3.48) elde edilir. Toplam ve integrasyon yer değiştirirse 1 X(z)z k 1 dz = x(n) 1 z n+k 1 dz (3.49) 2πj 2πj C n= bulunur. Halbuki, (3.46) deki Cauchy integral teoreminden, 1 1, n = k için z n+k 1 dz = 2πj C 0, n = k için C (3.50)
45 3.4. Ters z-dönüşümü 49 olduğu bilinmektedir. (3.49) ve (3.50) den ters z-dönüşüm bağıntısı olarak ] x(k) = Z [X(z) 1 = 1 X(z)z k 1 dz (3.51) 2πj C bulunur. C saat ibresinin ters yönünde orjini çevreleyen kapalı bir kontur olup, X(z) nin yakınsaklık bölgesi içindedir. Burada, (3.47) ve (3.51) bağıntıları birlikte z-dönüşüm çiftini oluştururlar. Ters z-dönüşümü hesaplanırken (3.51) deki kontur integralinin yerine pratikte daha basit olan yöntemler kullanılır. Şimdi, bu alternatif metodları inceleyelim.
46 50 Bölüm 3. z-dönüşümü Rezidü Metodu Cauchy rezidü teoremi yardımıyla, z-dönüşümü X(z) = A(z) B(z) = A(z) K (z p i ) m i i=1 (3.52) biçiminde olan rasyonel fonksiyonların, (3.51) deki kontur integrali hesaplanabilir. (3.52) de p i kutbunun m i katlı olduğu görülmektedir. Cauchy rezidü teoremine göre, x(k) = 1 X(z)z k 1 dz 2πj C K X(z)z k 1 teriminin C konturu içindeki = tüm kutuplarına ait rezidüler k=1 (3.53)
47 3.4. Ters z-dönüşümü 51 m katlı p kutbunun rezidüsü { } X(z)z n 1 1 = d m 1 dz m 1 { (z p) m X(z)z n 1} (3.54) res z=p (m 1)! lim z p bağıntısıyla bulunur. p kutbunun tek katlı olması durumunda res z=p şeklinde yazılabilir. { X(z)z n 1 ) } { = lim } (z p)x(z)z n 1 (3.55) z p
48 52 Bölüm 3. z-dönüşümü rnek X(z) = 1 az 1, z > a (3.56) olarak verilen z-dönüşümünün tersini rezidü teorimini kullanarak bulalım. x(n) = 1 X(z)z n 1 dz 2πj C = 1 z n 1 (3.57) 2πj C 1 az 1dz Şekil 3.5 te görüldüğü gibi C sadece z = a da yer alan tek bir kutbu çevrelemektedir. n 0 için x(n) değerleri { x(n) = res } X(z)z n 1 z=a { z = lim (z a) n 1 } = a n, n 0 için z a 1 az 1 (3.58)
49 3.4. Ters z-dönüşümü 53 olarak bulunur. n < 0 için ise X(z)z n 1 in z = 0 da n ye bağlı olarak birden çok kutbu vardır. Örneğin, n = 1 için z = a ve z = 0 daki rezidüleri toplayalım. (3.58) da n = 1 konularak, } } x( 1) = lim {(z a) z lim {z z 1 1 z a 1 az 1 z 0 1 az 1 = a 1 a 1 = 0 (3.59) Benzer şekilde, n = 2, 3,... içinde rezidülerin toplamı sıfırdır. O halde, bulunur. (3.58) ve (3.60) den sonuç olarak x(n) = 0, n < 0 için (3.60) x(n) = a n u(n) (3.61)
50 54 Bölüm 3. z-dönüşümü elde edilir.
51 3.4. Ters z-dönüşümü Kuvvet Serileri A) Eğer z-dönüşümü z nin kuvvet serisi şeklinde verilmişse, istenen dizinin n. elemanı x(n) nin z n teriminin katsayısı olduğu gözlenir. Yani, z-dönüşümü polinomu biçimindedir. X(z) = n= x(n)z n (3.62) Ancak, X(z) (3.62) deki gibi verilmeyip kapalı formda verilmiş ise uygun seri açılımı yazılır.
52 56 Bölüm 3. z-dönüşümü rnek 3.8 X(z) = log(1 + az 1 ), a < z (3.63) Kapalı formunda verilen z-dönüşümünün tersini seriye açarak bulalım. log(1 + w), w < 1 için Taylor serisine açılımını hatırlarsak, ( 1) log(1 + w) = n+1 w n, w < 1 (3.64) n n=1 yazılır. Bu sonucu (3.63) de kullanırsak, X(z) = log(1 + az 1 ( 1) ) = n+1 a n z n (3.65) n n=1
53 3.4. Ters z-dönüşümü 57 x(n) (3.65) den bulunabilir. ( 1) n+1an x(n) = n, n 1 için 0, n < 1 için veya elde edilir. x(n) = ( a)n n (3.66) u(n 1) (3.67)
54 58 Bölüm 3. z-dönüşümü rnek 3.9 X 1 (z) = 2 + 3z 1 + 4z 2 ve X 2 (z) = 3 + 4z 1 + 5z 2 + 6z 3 olarak verimiş olsun. X 3 (z) = X 1 (z)x 2 (z) yi belirleyiniz. zm. Bu iki dizinin ters z-dönüşümleri x 1 (n) = {2, 3, 4} ve x 2 (n) = {3, 4, 5, 6} olarak bulunur. z-dönüşümünün gerçel konvolüsyon özelliğini kullanırsak, bu iki dizinin konvolüsyonu olan dizi, aradığımız çarpım polinomunun katsayılarını verecektir. MATLAB kullanılarak x1=[2 3 4]; x2=[ ]; x3=conv(x1,x2);
55 3.4. Ters z-dönüşümü 59 Böylece olarak bulunur. X 3 (z) = z z z z z 5 B) Diğer bir ters z-dönüşümü yönteminde ise rasyonel formdaki z-dönüşümlerinden bölme işlemi sonucu kuvvet serisi bulunur.
56 60 Bölüm 3. z-dönüşümü rnek 3.10 (3.56) de verilen X(z) nin kuvvet serisi biçiminde yazılabilmesi için aşağıdaki bölme işlemi yapılır. X(z) nin yakınsaklık bölgesi a yarıçaplı dairenin dışında olduğu için x(n) dizisi sağ taraflıdır. O halde, bölüm sonucu z 1 in kuvvetleri cinsinden bir seri elde edilir. Bölme işlemi yapılarak
57 3.4. Ters z-dönüşümü 61 z nin negatif kuvvetleri şöyle bulunur: 1+az 1 +a 2 z 2 +a 3 z az 1) 1 1 az 1 az 1 az 1 a 2 z 2 a 2 z 2 a 2 z 2 a 3 z 3 a 3 z 3.
58 62 Bölüm 3. z-dönüşümü veya 1 1 az 1 = 1 + az 1 + a 2 z 2 + a 3 z (3.68) x(n) = a n u(n) (3.69) bulunur.
59 3.4. Ters z-dönüşümü 63 rnek 3.11 Yakınsaklık bölgesi farklı olan X(z) = 1 1 az 1, z < a (3.70) z-dönüşümünü ele alalım. z = 0 noktası yakınsaklık bölgesi içindedir. O halde, z = 0 da X(z) sınırlıdır. Buradan, n 0 için x(n) = 0 olacağı ve dizinin sol taraflı olduğu anlaşılır. Bölme işlemiyle z nin pozitif kuvvetleri bulunur. Önce X(z) = 1 1 az = z 1 z a (3.71)
60 64 Bölüm 3. z-dönüşümü yazılır. Buradan, a + z ) a 1 z a 2 z 2 a 3 z 3... z z a 1 z 2 a 1 z 2 a 1 z 2 a 2 z 3 a 2 z 3 a 2 z 3 a 3 z 3 a 3 z 3.
61 3.4. Ters z-dönüşümü 65 elde edilir. Böylece, bulunur. x(n) = a n u( n 1) (3.72)
62 66 Bölüm 3. z-dönüşümü rnek 3.12 Payının derecesi paydanın derecesinden daha büyük olan aşağıdaki z-dönüşümünün tersini bölme işlemiyle bulalım. X(z) = z 2 + 2z 1 + 2, z > 1 (3.73) z Bölme işlemi sonucu, X(z) = 2 + z 2 z 3 + z 4 z (3.74)
63 3.4. Ters z-dönüşümü 67 elde edilir. O halde, 0, n < 0 x(n) = 2, n = 0 0, n = 1 (3.75) bulunur. (3.75) den ( 1) n, n 2 x(n) = δ(n) + δ(n 1) + ( 1) n u(n) (3.76) yazılabilir. C) Rasyonel formda verilen z-dönüşümünün tersinin bulunmasında Jury [4,5] tarafından formüle edilen aşağıdaki
64 68 Bölüm 3. z-dönüşümü yöntem kullanılabilir. Buna göre, olarak verilmiş ise, X(z) = b(0) + b(1)z b(n)z n 1 + a(1)z a(n)z n (3.77) X(z) = x(0) + x(1)z 1 + x(2)z x(n)z n +... (3.78) Kuvvet serisinin katsayıları, x(0) = b(0) = 1 (3.79) x(1) = 1 a(1) b(0) b(1) = b(1) a(1)b(0) = 2 (3.80)
65 3.4. Ters z-dönüşümü 69 1 a(1) a(2) x(1) = 0 1 a(1) = 3 (3.81) b(0) b(1) b(2) 1 a(1) a(2) a(3) 0 1 a(1) a(2) x(1) = = a(1) 4 (3.82) b(0) b(1) b(2) b(3) determinantları yardımıyla bulunur. Ayrıca, bu determinantlar özyineli (rekürsif) olarak da hesaplanabilir. 1 = x(0) = b(0) (3.83)
66 70 Bölüm 3. z-dönüşümü n n+1 = x(n) = b(n) n+1 i a(i), n = 1, 2,... (3.84) i=1 n n+1+k = n+1+k i a(i), k > n için (3.85) i=1 (3.83) ve (3.85) deki işlemler bir bilgisayar algoritması yardımıyla kolaylıkla programlanabilir.
67 3.4. Ters z-dönüşümü Kısmi Kesirlere Açılım z-dönüşümü X(z) nin, iki polinomun oranı şeklinde rasyonel biçiminde olması durumunda bu yöntem kullanılır. Eğer, pay polinomunun derecesi paydanın derecesinden daha küçük ve kutupların tamamı birinci dereceden ise, ve X(z) = A(z) B(z) = X 1(z) + X 2 (z) +... = N k=1 X k (z) (3.86) x(n) = x 1 (n) + x 2 (n) +... = N x k (n) (3.87) k=1
68 72 Bölüm 3. z-dönüşümü yazılabilir. X 1 (z), X 2 (z),... tek kutuplu z-dönüşümleridir. z-dönüşümünün doğrusallık özelliğinden N x(n) = Z 1 [X(z)] = Z 1 [X k (z)] (3.88) elde edilir. p k, X(z) nin tek katlı kutuplarını gösterdiğine göre N R X(z) = k, z > r (3.89) 1 p k z 1 k=1 formunda yazılabilir. Ayrıca her bir terimin ters z-dönüşümü bir üstel dizi olacağından, X(z) nin ters z-dönüşümü Tablo 3.1 den N x(n) = R k p n k u(n) (3.90) olarak elde edilir. k=1 k=1
69 3.4. Ters z-dönüşümü 73 rnek 3.13 Aşağıdaki X(z) fonksiyonunu tersini bulalım. z X(z) = ( )( ) (3.91) z 1 2 z 1 4 X(z) önce kısmi kesirlerine ayrılır. X(z) = 2 z z 1 4 = 2z 1 z z z 1 (3.89) ve (3.90) den faydalanarak ( 1 ) n 1u(n ( 1 ) n 1u(n x(n) = 2 1) 1) [ 2 4 (1 n ( 1 ) n ] = 4 u(n 1) 2) 4 bulunur. (3.92) (3.93)
70 74 Bölüm 3. z-dönüşümü Aıklama 3.3 Eğer payın derecesi paydanın derecesinden büyük ise, önce bölme işlemi, sonra kesirlere açılım işlemi gerçekleştirilir. Buna göre, pay polinomu A(z) nin derecesi M ve payda polinomu B(z) nin derecesi N olsun. Ayrıca, kutupların yine basit ve tek katlı olduklarını varsayalım. O halde açılım, X(z) = A(z) B(z) = a 0 + a 1 z a M z M b 0 + b 1 z b N z N = c M N z M N + c M N 1 z M N c 1 z + c 0 + R(z) B(z) M N N = c k z k R + k 1 p k z 1 k=0 k=1 }{{} M N (3.94)
71 3.4. Ters z-dönüşümü 75 olur. Burada c k değerleri bölüm sonucu bulunur. R(z) ise derecesi M = N 1 olan kalan polinomudur. R(z)/B(z) kısmi kesirlere açılabilir. (3.89) ve (3.94) dan X(z) nin tersi M N N x(n) = c j δ(n j) + R k p n k u(n) (3.95) j=1 olarak elde edilir. R k ları bulmak için k=1 bağıntısı kullanılır. R k = lim z pk (z p k )X(z) (3.96) MATLAB de residuez komutu kullanılarak rasyonel bir z-dönüşümü ifadesinin rezidüleri ve kalan polinomu bulunabilir. X(z) nin (3.94) da olduğu şekilde iki polinomun bölümü olduğunu
72 76 Bölüm 3. z-dönüşümü varsayalım. Bu pay ve payda polinomlarının katsayıları z 1 in artan kuvvetlerine göre dizilmiş olsun ve a ile b vektörleri bu katsayıları belirtsin. Bu halde [R,p,c]=residuez(a,b) komutu X(z) için rezidüleri, kutupları ve doğrudan katsayıları (c k ) verecektir. Sütun vektörü R rezidüleri, sütun vektörü p kutupları, satır vektörü c ise doğrudan katsayıları içermektedir. Eğer çok katlı kutuplar varsa çıkış vektörleri buna göre düzenlenecektir. Eğer aynı komutu [a,b]=residuez(r,p,c) şeklinde üç giriş ve iki çıkış olarak kullanırsak, bu kez kısmi kesir açılımından bölüm şeklindeki gösterilime geri dönüş sağlanır.
73 3.4. Ters z-dönüşümü 77 rnek 3.14 X(z) = 1 1.7z z z z z 2 fonksiyonunun kısmi kesir açılımını MATLAB kullanarak bulalım. a=[ ]; b=[ ]; [R,p,c]=residuez(a,b) R = p = c =
74 78 Bölüm 3. z-dönüşümü Böylece X(z) = olarak elde ederiz z z 1 z 1
75 3.4. Ters z-dönüşümü Fark-Denklemi Çözümü Verilen z-dönüşümü sayısal bir süzgecin transfer fonksiyonu olarak düşünülebilir. Öteleme teoreminden yararlanarak bu transfer fonksiyonuna karşı düşen fark denklemi bulunur. Bulunacak olan impuls cevabı ters z-dönüşümünü verir. Sayısal bir bilgisayar yardımıyla fark denkleminin çözümü kolaylıkla programlanabileceğinden bu yöntem özel bir önem taşır. Aşağıdaki basit örnek üzerinde bu tekniği inceleyelim.
76 80 Bölüm 3. z-dönüşümü rnek 3.15 Aşağıdaki F(z) nin tersini bulalım. F(z) = z z + 1/2 (3.97) F(z) transfer fonksiyonu biçiminde yazılabilir. Giriş işareti x(n) ve çıkış işareti y(n) nin z-dönüşümleri sırasıyla X(z) ve Y(z) olsun. O halde, Y(z) X(z) = z z + 1/2 (3.98) ve zy(z) + 1 Y(z) = zx(z) (3.99) 2
77 3.4. Ters z-dönüşümü 81 yazılabilir. (3.99) denkleminin her iki tarafı z ye bölünerek, Y(z) = 1 2 z 1 Y(z) + X(z) (3.100) elde edilir. (3.100) ye karşı düşen fark denklemi ise y(n) = 1 y(n 1) + x(n) (3.101) 2 olur. Sistemin başlangıç koşulları sıfır varsayılarak x(n) = δ(n) giriş işaret için çıkış aşağıdaki gibi 5 aşamada hesaplanabilir. (3.97) un impuls cevabı Şekil 3.8 de görülmektedir.
78 82 Bölüm 3. z-dönüşümü (1) (2) (3) (4) (5) n x(n) y(n 1) (1/2)y(n 1) y(n) = (2) (4) 0 1 (ilk koşul) 0 (ilk koşul) /2-1/ /2-1/4 1/ /4 1/8-1/ /8-1/16 1/ /16 1/32-1/ /32-1/64 1/64
79 3.4. Ters z-dönüşümü 83 1 y(n) n -0.5 Şekil 3.7 Ters z-dönüşümü: y(n) = Z 1 [ z z+0.5].
80 84 Bölüm 3. z-dönüşümü REFERANSLAR 1. E. I. Jury, Theory and Application of the Z-transform Method, John Wiley, New York, J. W. Brown ve R.V. Churchill, Complex Variables and Applications, McGraw-Hill, New York, A. Antoniou, Digital Filters: Analysis and Design, McGraw-Hill, New York 1970.
81 3.4. Ters z-dönüşümü E. I. Jury, A New Formulation For Inverse Z-transformation, Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, December, E. I. Jury, Inverse and Stability of Dynamic Systems, John Wiley, New York, 1974.
82 86 Bölüm 3. z-dönüşümü PROBLEMLER 3.1 Aşağıdaki işaretlerin z-dönüşümlerini ve yakınsaklık bölgesini bulunuz. a) x(n = (1/2) n u(n) b) x(n) = (1/2) n u( n) c) x(n) = e n u( n + 1) d) x(n) = a n
83 Problemler h(n) = Ar n cos(nω 0 T + θ)u(n) dizisinin z-dönüşümü H(z) yi bulunuz. 0 < r < 1 için sıfır-kutup diyagramını çiziniz ve yakınsaklık bölgesini gösteriniz. 3.3 Sonlu-sürekli x(n) = a n[ u(n) u(n N) ] dizisinin z-dönüşümü X(z) yi bulunuz. Yakınsaklık bölgesini belirlerken sıfır ve kutuplarına dikkat ediniz. 3.4 x(n) karmaşık değerli bir dizi olduğuna göre, x(n) nin z-dönüşümü X(z) nin aşağıdaki özelliklerini gösteriniz. ( kompleks eşleniği göstermektedir.) a) Z[x (n)] = X (z )
84 88 Bölüm 3. z-dönüşümü b) Z[x( n)] = X(z 1 ) [ c) Z Re { x(n) }] [ ] = (1/2) X(z) + X (z ) [ d) Z Im { x(n) }] [ ] = (1/2j) X(z) X (z ) 3.5 y(n) = x 2 (n) dizisinin z-dönüşümünü, x(n) nin z-dönüşümü X(z) cinsinden belirleyiniz. 3.6 Deterministik x(n) dizisi için özilişki fonksiyonu r(n) = x(k)x (k + n) k= olarak tanımlanır. Buna göre, a) R(z) yi X(z) cinsinden bulunuz. b) R(z) nin yakınsaklık bölgesi nasıldır?
85 Problemler 89 c) Yakınsaklık bölgesi birim daireyi ( z = 1) kapsıyorsa, enerji spektrumu R(e jω ) nın, R(e jω ) = X(e jω ) 2 olduğunu gösteriniz. d) (3.45) de verilen Parseval ilişkisini kullanarak toplam enerji E = r(0) ı, R(e jω ) cinsinden yazınız. Kontur integralini birim daire üzerinde alınız. 3.7 H(z) nin aşağıdaki durumları için h(n) yi bulunuz. a) R h {z = 0} b) R h {z = 1} H(z) = 2 z 1 1 z z 2
86 90 Bölüm 3. z-dönüşümü c) R h {z = } 3.8 h(n) nin z-dönüşümü olduğuna göre, H(z) = z 1 z z 1, z > 1 a) Sıfır ve kutuplarını z-düzleminde gösteriniz b) Tüm n değerleri için h(n) yi bulunuz. c) Bu süzgeç kararlı mıdır?
87 Problemler Sağ taraflı x(n) dizisinin z-dönüşümü 3.10 olarak verildiğine göre, X(z) = 1 z + 2 a) n iken x(n) yi bulunuz. Son-değer teoremini kullanabilir misiniz? b) x(0) nedir? (z + 2)(z 2) X(z) = (z 1)(z z + 0.8) için n iken x(n) yi bulunuz. Son-değer teoremini kullanabilir misiniz?
88 92 Bölüm 3. z-dönüşümü 3.11 Aşağıdaki fark-denklemi ile ifade edilen nedensel süzgecin impuls cevabını ve transfer fonksiyonunu bulunuz. y(n) + 3y(n 1) + 2y(n 2) = 3x(n 1) + x(n 2) 3.12 Aşağıdaki z-dönüşümleri için nedensel ters z-dönüşümlerini rezidü teoremini kullanarak bulunuz. 2z a) X(z) = 2 2z 2 2z b) X(z) = (z 0.8) 4 6z c) X(z) = (2z 2 + 2z + 1)(3z 1) 3.13 Aşağıdaki z-dönüşümleri için nedensel ters z-dönüşümlerini kısmi kesirlere açılım metodunu kullanarak bulunuz.
89 Problemler 93 (z 1) a) X(z) = 2 z 2 0.1z z b) X(z) = 2 (2z + 1)(2z 2 2z + 1) 3.14 Aşağıdaki X(z) nin nedensel ters z-dönüşümünü bölme işlemi ile bulunuz. X(z) = z(z2 + 4z + 1) (z 1) Aşağıda verilen dizilerin farklı yakınsaklık bölgelerine, fakat aynı z-dönüşümüne sahip olduklarını gösteriniz. a) x 1 (n) = 6((0.5) n (0.3) n )u(n) b) x 2 (n) = 6(0.5) n u( n 1) 6(0.3) n u(n) c) x 3 (n) = 6((0.3) n (0.5) n )u( n 1)
90 94 Bölüm 3. z-dönüşümü 3.16 X(z), x(n) = 0.3 n u(n) dizisinin z-dönüşümünü belirtsin. a) X(z 2 ) nin ters z-dönüşümünü X(z) yi hesaplamadan bulunuz. b) (1 + z 1 )X(z 2 ) nin ters z-dönüşümünü X(z) yi hesaplamadan bulunuz Aşağıda verilen z-dönüşümleri için ters z-dönüşümünü bulunuz. a) Y 1 (z) = b) Y 2 (z) = z(z 1) (z + 1)(z ), z < 1 3 z(z 1) (z + 1)(z ), 1 3 < z < 1
91 Problemler 95 c) Y 3 (z) = z(z 1) (z + 1)(z < z ),
92 96 Bölüm 3. z-dönüşümü MATLAB UYGULAMALARI M3.1 X(z) = 1 (1 0.4z 1 )(1 0.6z 1 )(1 0.8z 1 ), z > 0.8 fonksiyonunun ters z-dönüşümünü MATLAB ve kısmi kesir açılımını kullanarak hesaplayınız (İpucu: b vektörünü bulmak için MATLAB in poly komutundan faydalanabilirsiniz). M3.2 Aşağıda verilen polinom işlemlerinin sonuçlarını MATLAB de conv komutunu kullanarak hesaplayınız.
93 Problemler 97 a) (1 3z 1 + 2z 2 2z 4 )(z 1 z 2 + 3z 4 ) b) (z 3 + 2z 1 2z 3 )(z 1 + 3z 2 ) M3.3 Aşağıda verilen transfer fonksiyonunun köklerini bulunuz ve z-düzleminde çiziniz. Bunun için MATLAB de roots ve zplane komutlarını kullanabilirsiniz. H(z) = z z z z 4
Ayrık zamanlı sinyaller için de ayrık zamanlı Fourier dönüşümleri kullanılmatadır.
Bölüm 6 Z-DÖNÜŞÜM Sürekli zamanlı sinyallerin zaman alanından frekans alanına geçişi Fourier ve Laplace dönüşümleri ile mümkün olmaktadır. Laplace, Fourier dönüşümünün daha genel bir şeklidir. Ayrık zamanlı
DetaylıTransfer Fonksiyonu. Dürtü yanıtı h[n] olan sisteme x[n]=z n girişi uygulandığında
Z DÖNÜŞÜMÜ Transfer Fonksiyonu Dürtü yanıtı h[n] olan sisteme x[n]=z n girişi uygulandığında Burada toplamı n ye bağımlı olmayıp sadece sistemin dürtü yanıtı ve z değerine bağlı bir katsayıdır. şeklinde
DetaylıAyrık Fourier Dönüşümü
Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =
DetaylıSAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER
SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER Bu bölümde aşağıdaki başlıklar ele alınacaktır. Sonsuz dürtü yanıtlı filtre yapıları: Direkt Şekil-1, Direkt Şekil-II, Kaskad
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
DetaylıAyrık-Zaman Sistemler
Ayrık-Zaman Sistemler Bir ayrık-zaman sistemi, bir giriş dizisi x[n] yi işleyerek daha iyi özelliklere sahip bir çıkış dizisi y[n] oluşturur. Çoğu uygulamalarda ayrık-zaman sistemi bir giriş ve bir çıkıştan
DetaylıAYRIK-ZAMANLI DOĞRUSAL
Bölüm 2 AYRIK-ZAMANLI DOĞRUSAL ZAMANLA-DEĞİŞMEYEN SİSTEMLER 4 Bölüm 2. Ayrık-Zamanlı Doğrusal Zamanla-Değişmeyen Sistemler Pek çok fiziksel sistem doğrusal zamanla-değişmeyen (Linear Time Invariant - DZD)
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
Detaylıİşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri
İşaret ve Sistemler Ders 11: Laplace Dönüşümleri Laplace Dönüşüm Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) yada L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s: İşaret ve Sistemler
DetaylıSayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU
Sayısal Kontrol - HAVA HARP OKULU İbrahim Beklan Küçükdemiral Yıldız Teknik Üniversitesi 2015 1 / 50 Bu bölümde aşağıdaki konular incelenecektir: Sürekli ve Ayrık Kontrol Problemlerinin Tanımı Ayrık Zamanlı
DetaylıB ol um 5 ANALOG IS ARETLER IN SPEKTRUM ANAL IZ I
Bölüm 5 ANALOG İŞARETLERİN SPEKTRUM ANALİZİ 10 Bölüm 5. Analog İşaretlerin Spektrum Analizi 5.1 Fourier Serisi Sınırlı (t 1, t 2 ) aralığında tanımlanan f(t) fonksiyonunun sonlu Fourier serisi açılımı
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
Detaylı(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1
0 RE IDÜ TEOR IS I Tan m. f fonksiyonu z 0 noktas nda ayr k singülerli¼ge sahip olsun. Bu durumda f fonksiyonu 0 < jz z 0 j < " bölgesinde X X f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z 0 ) n Laurent seri aç l m
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
DetaylıMustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü
* Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q
DetaylıBu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,
DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin
DetaylıÖrnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?
KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve
Detaylıbiçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces
TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)
Detaylı25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ
25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ a-) Routh Hurwitz Kararlılık Ölçütü b-) Kök Yer Eğrileri Yöntemi c-) Nyquist Yöntemi d-) Bode Yöntemi 1 2 3 4 a) Routh Hurwitz Kararlılık
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
DetaylıZAMAN VE FREKANS DOMENLERİNDE ÖRNEKLEME
Bölüm 6 ZAMAN VE FREKANS DOMENLERİNDE ÖRNEKLEME VE ÖRTÜŞME 12 Bölüm 6. Zaman ve Frekans Domenlerinde Örnekleme ve Örtüşme 6.1 GİRİŞ Bu bölümün amacı, verilen bir işaretin zaman veya frekans domenlerinden
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıKompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi
Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar Teorisi Ders Notları Dr. Serkan Aksoy 2016 http://www.gyte.edu.tr/dosya/102/~saksoy/ana.html 1 Gelecek önerileri için, lütfen Dr. Serkan Aksoy (saksoy@gyte.edu.tr) ile
DetaylıEŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi
DetaylıBÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ
BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.2. Laplace Dönüşümü Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s; ÇÖZÜM: a) b) c) ÇÖZÜM: 6.3.
Detaylı( ) (0) ( ) (2 )... ( )...
Hatırlanacağı gibi, analog kontrol sistemlerinde tüm sistemler diferansiyel denklemlerle modelleniyordu. Bu diferansiyel denklem Laplace Dönüşümü yoluyla s karmaşık değişkeninin cebirsel bir denklemine
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
Detaylı(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
DetaylıBÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES)
BÖLÜNMÜŞ FARKLAR (DİVİDED DİFFERENCES) Lagrange ve Neville yöntemlerinin bazı olumsuz yanları vardır: İşlem sayısı çok fazladır (bazı başka yöntemlere kıyasla) Data setinde bir nokta ilavesi veya çıkartılması
DetaylıSayısal Filtre Tasarımı
Sayısal Filtre Tasarımı Sayısal Filtreler Filtreler ayrık zamanlı sistemlerdir. Filtreler işaretin belirli frekanslarını güçlendirmek veya zayıflatmak, belirli frekanslarını tamamen bastırmak veya belirli
DetaylıMatematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
DetaylıKarmaşık Fonksiyonlar ve Uygulamaları (MATH274) Ders Detayları
Karmaşık Fonksiyonlar ve Uygulamaları (MATH274) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Kredi AKTS Saati Karmaşık Fonksiyonlar ve Uygulamaları MATH274 Bahar 3 0 0
Detaylıİkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
DetaylıMath 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
DetaylıKompleks Analiz (MATH 346) Ders Detayları
Kompleks Analiz (MATH 346) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Kompleks Analiz MATH 346 Güz 4 0 0 4 7 Ön Koşul Ders(ler)i Math 251 Dersin Dili
DetaylıSonsuz Diziler ve Seriler
Sonsuz Diziler ve Seriler İki veya birden çok sonlu sayıdaki sayının nasıl toplanacağını herkes bilir. Peki sonsuz tane sayıyı nasıl toplarız? Bu sorunun cevabını bu bölümde vermeye çalışacağız. Diziler
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme
DetaylıMAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 3
1.3. Kompleks Düzlemin Topolojisi Tanım 1. D ε (z 0 ) = {z C : z z 0 < ε} kümesine z 0 ın bir ε komşuluğu denir. Tanım 2. Bir A C kümesi verilsin. z 0 ın sadece A nın elemanlarından oluşan bir komşuluğu
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI ANADOLU LİSESİ 12.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 12.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR
Detaylıbirim daire üzerindeki z = e jω değerlerinde hesaplanması yöntemiyle bulunabiliri. Ancak, sayısal işaret işlemenin pratik uygulaması, sonsuz bir x(n)
Bölüm 7 AYRIK-FOURİER DÖNÜŞÜMÜ 14 Bölüm 7. Ayrık-Fourier Dönüşümü 7.1 GİRİŞ Ayrık x(n) dizisinin Fourier dönüşümü, z-dönüşümü X(z) nin birim daire üzerindeki z = e jω değerlerinde hesaplanması yöntemiyle
Detaylı12. SINIF. Ağırlık (%) SAYILAR VE CEBİR ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Üstel Fonksiyon 1 8 4
12. SINIF No Konular Kazanım Sayısı Ders Saati Ağırlık (%) 12.1. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR 6 36 17 12.1.1. Üstel Fonksiyon 1 8 4 12.1.2. Logaritma Fonksiyonu 3 18 8 12.1.3 Üstel, Logaritmik Denklemler
DetaylıOrtak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI
Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN
DetaylıTürev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi
1 2 Bölüm 9 Türev Uygulamaları 9.1 Ortalama Değer teoremi Türevin çok farklı uygulamaları vardır. Bunlar arasında çok önemli olan bazılarını ele alacağız. Ortalama Değer Teoremi ni daha önce görmüştük.
Detaylı8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I
8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I Tan m. C n ; n 0; ; ; : : : kompleks sabitler olmak üere serisine Laurent serisi denir. Burada n X C n ( X X X C n ( 0 ) n a n ( 0 ) n b n + ( 0 ) n 0 ) n dir. Teore8.. (Laurent
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
Detaylı(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve
nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
Detaylıİç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
DetaylıDÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI
KARARLILIK Kontrol sistemlerinin tasarımında üç temel kriter göz önünde bulundurulur: Geçici Durum Cevabı Kararlılık Kalıcı Durum Hatası Bu üç temel spesifikasyon arasında en önemlisi kararlılıktır. Eğer
Detaylı28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31
SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.
DetaylıMAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri
1. KOMPLEKS SAYILAR 1.1. Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri Tanım 1. x, y R olmak üzere (x, y) sıralı ikililerine kompleks sayı denir. Burada x, z nin reel kısmı, ve y, z nin imajiner
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıBölüm 2. İşaretler ve Doğrusal Sistemler
Bölüm 2 İşaretler ve Doğrusal Sistemler 2.1 TEMEL KAVRAMLAR 2.1.1 İşaret Üzerinde Temel İşlemler 2.1.2.İşaretlerin Sınıflandırılması 2.1.3 Bazı Önemli İşaretler ve Özellikleri 2.1.4. Sistemlerin Sınıflandırılması
DetaylıPERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR
2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıFEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS
Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI FEN LİSESİ 12.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 12.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI FEN LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıOtomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri
Otomatik Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri H a z ı r l aya n : D r. N u r d a n B i l g i n Kapalı Çevrim Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Bir önceki
DetaylıMAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI
.. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;
DetaylıYrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Doğrusal Ara Değer Hesabı Lagrance Polinom İnterpolasyonu
DetaylıFonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz.
8.2. Fonksiyonlarda Limit Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz. 8.2.1. Değişkenin Limiti Sonsuz sayıda değer alabilen bir x değişkeninin
DetaylıDOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI
DOĞUŞ ÜNİVERSİTESİ 8. İSTANBUL MATEMATİK YARIŞMASI LİSELER KATEGORİSİ TAKIM YARIŞMASI 1-60) Dört çocuk, Ahmet, Ferit, Berk ve Mehmet koşu yarışı yapıyorlar. Yarışma sonucunda, Ahmet, "Ben birinci ve sonuncu
DetaylıElastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1
Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı10. Sunum: Laplace Dönüşümünün Devre Analizine Uygulanması
10. Sunum: Laplace Dönüşümünün Devre Analizine Uygulanması Kaynak: Temel Mühendislik Devre Analizi, J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel Akademik Yayıncılık 1 Laplace Devre Çözümleri Aşağıdaki devrenin
DetaylıDenklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
DetaylıİÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER
İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...
DetaylıÇözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3
p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A
DetaylıMATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler
Detaylıİşaret ve Sistemler. Ders 2: Spektral Analize Giriş
İşaret ve Sistemler Ders 2: Spektral Analize Giriş Spektral Analiz A 1.Cos (2 f 1 t+ 1 ) ile belirtilen işaret: f 1 Hz frekansında, A 1 genliğinde ve fazı da Cos(2 f 1 t) ye göre 1 olan parametrelere sahiptir.
DetaylıMATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin
DetaylıPolinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.
1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1
DetaylıAdi Diferensiyel Denklemler 1. BÖLÜM 1 Birinci-Mertebe Diferensiyel Denklemler 3. BÖLÜM 2 Lineer İkinci MertebeDenklemler 43
İçindekiler Ön Söz xiii 1 Adi Diferensiyel Denklemler 1 BÖLÜM 1 Birinci-Mertebe Diferensiyel Denklemler 3 1.1 Terminololoji ve Değişkenlerine Ayrıştırılabilir Denklemler 3 1.2. Lineer Denklemler 16 1.3
DetaylıBölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ
Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Kapalı-döngü denetim sisteminin geçici-durum davranışının temel özellikleri kapalı-döngü kutuplarından belirlenir. Dolayısıyla problemlerin çözümlenmesinde, kapalı-döngü
DetaylıGerilme Dönüşümleri (Stress Transformation)
Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Bu bölümde, bir noktaya etkiyen ve bir koordinat ekseni ile ilişkili gerilme bileşenlerini, başka bir koordinat sistemi ile ilişkili gerilme bileşenlerine dönüştürmek
Detaylıİşaret ve Sistemler. Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu
İşaret ve Sistemler Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu Fourier Serileri Periyodik işaretlerin spektral analizini yapabilmek için periyodik işaretler sinüzoidal işaretlerin toplamına dönüştürülür
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıTemel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b
Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri
DetaylıManyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır.
Manyetik Alanlar Manyetik Alanlar Duran ya da hareket eden yüklü parçacığın etrafını bir elektrik alanın sardığı biliyoruz. Hatta elektrik alan konusunda şu sonuç oraya konulmuştur. Durgun bir deneme yükü
Detaylı2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki
Detaylı2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu
.SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade
DetaylıİÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel
DetaylıYAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK
YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki
DetaylıMustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi
2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 4 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 4 (336 sayfa) ANALİZ CEBİR 1 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman
DetaylıAKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ Anten Parametrelerinin Temelleri Samet YALÇIN Anten Parametrelerinin Temelleri GİRİŞ: Bir antenin parametrelerini tanımlayabilmek için anten parametreleri gereklidir. Anten performansından
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıProjenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları
Projenin Adı: Metalik Oranlar ve Karmaşık Sayı Uygulamaları Projenin Amacı: Metalik Oranların elde edildiği ikinci dereceden denklemin diskriminantını ele alarak karmaşık sayılarla uygulama yapmak ve elde
Detaylı1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)
.DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli
Detaylı