T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ PARÇACIK SÜRÜ OPTĠMĠZASYONU ALGORĠTMASININ GEZGĠN SATICI PROBLEMĠNE UYGULANMASI VE PERFORMANSININ ĠNCELENMESĠ MEHMET YASĠN ÖZSAĞLAM YÜKSEK LĠSANS TEZĠ ELEKTRONĠK VE BĠLGĠSAYAR SĠSTEMLERĠ EĞĠTĠMĠ ANA BĠLĠM DALI KONYA 2009

2 ii T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ PARÇACIK SÜRÜ OPTĠMĠZASYONU ALGORĠTMASININ GEZGĠN SATICI PROBLEMĠNE UYGULANMASI VE PERFORMANSININ ĠNCELENMESĠ MEHMET YASĠN ÖZSAĞLAM YÜKSEK LĠSANS TEZĠ ELEKTRONĠK VE BĠLGĠSAYAR SĠSTEMLERĠ EĞĠTĠMĠ ANA BĠLĠM DALI Bu tez tarihinde aģağıdaki jüri tarafından oy birliği ile kabul edilmiģtir..... Prof. Dr. Yrd. Doç. Dr. Yrd. Doç. Dr. Novruz ALLAHVERDĠ Mehmet ÇUNKAġ Fatih BAġÇĠFTÇĠ (Üye) (DanıĢman) (Üye)

3 iii ÖZET Yüksek Lisans Tezi PARÇACIK SÜRÜ OPTĠMĠZASYONU ALGORĠTMASININ GEZGĠN SATICI PROBLEMĠNE UYGULANMASI VE PERFORMANSININ ĠNCELENMESĠ Mehmet Yasin ÖZSAĞLAM Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Elektronik ve Bilgisayar Sistemleri Eğitimi Anabilim Dalı DanıĢman : Yrd. Doç. Dr. Mehmet ÇUNKAġ 2009, 119 Sayfa Jüri : Prof. Dr. Novruz ALLAHVERDĠ Yrd. Doç. Dr. Mehmet ÇUNKAġ Yrd. Doç. Dr. Fatih BAġÇĠFTÇĠ Bir çok optimizasyon tekniği doğadaki olaylardan esinlenerek geliģtirilmiģtir. Parçacık Sürü Optimizasyonu (PSO), kuģ ve balık sürülerinin sosyal davranıģlarını gözlemleyerek geliģtirilen popülasyon temelli bir optimizasyon algoritmasıdır. Bu çalıģmada, PSO algoritması, 8 ayrı test problemi üzerine uygulanmıģ, Genetik Algoritmalar (GA) ve Diferansiyel Evrim Algoritmaları (DEA) ile performansı karģılaģtırılmıģtır. PSO ayrıca, NPzor sınıfına giren Gezgin Satıcı Problemi nin (GSP) çözümü için uygulanmıģ ve performansı Genetik Algoritma ile karģılaģtırılmıģtır. GSP problemleri olarak 6 küçük boyutlu GSP, 4 orta boyutlu GSP, Türkiye haritası üzerinde il merkezleri ve ilk defa ilçe merkezleri ele alınmıģtır. Sürekli fonksiyonların çözümünde PSO algoritması oldukça baģarılı sonuçlar üretmiģtir. DEA ise GA ya göre iyi performans göstermesine rağmen PSO ya göre daha kötü sonuçlar üretmiģtir. GSP problemlerinde ise PSO jenerasyon sayısı olarak GA ya göre daha iyi olmasına rağmen, ortalama yol uzunluğu olarak daha kötüdür. Sonuç olarak PSO algoritması sürekli fonksiyonların çözümünde oldukça baģarılı bir sonuç göstermiģtir. Ayrıca GSP çözümlerinde ise jenerasyon sayıları açısından daha iyi sayılabilir. Anahtar Kelimeler : Parçacık Sürü Optimizasyonu, Genetik Algoritma, Diferansiyel Evrim Algoritması, Gezgin Satıcı Problemi,Optimizasyon, Yapay Zeka

4 iv ABSTRACT MS Thesis APPLICATĠON OF PARTICLE SWARM OPTIMISATION ALGORITHM TO TRAVELLING SALESMAN PROBLEM AND ITS PERFORMANCE INVESTIGATION Mehmet Yasin ÖZSAGLAM Selçuk University Graduate School of Natural Applied Sciences Department of Electronics and Computer System Education Supervisor : Assist. Prof. Dr. Mehmet ÇUNKAġ 2009,119 Pages Jury : Prof. Dr. Novruz ALLAHVERDĠ Assist. Prof. Dr. Mehmet ÇUNKAġ Assist. Prof. Dr. Fatih BAġÇĠFTÇĠ Many of the optimisation techniques have been devoloped by the inspiration of naturel occurance events. Particle Swarm Optimization (PSO), is a population based optimization algorithm which is devoloped by the observation of bird and fish swarms social behaviors. In this study, PSO algorithm is applied on a 8 different test functions and the results are compared with Genetic Algorithms (GA) and Differantiel Evolution Algorithms (DEA). PSO specially, applied on the solution of Travelling Salesman Problem (TSP) which is catogorized as a NP-hard and also the solutions are compared with Genetic Algorithms (GA). As the TSP, problems are applied on a 6 small sized TSP, 4 medium sized TSP and province of Turkey map and the first time on the districts of Turkey. On continuous function solutions PSO algorithm has generated a successful solutions. DEA has a successfull performance than GA but less solutions than PSO. On TSP solutions PSO has succesfull generation numbers than GA but unsuccessful by the avarage tour length. As a result PSO algorithm has a good solution on continous functions. Besides PSO can be accepted as successful in terms of generation number. Keywords : Particle Swarm Optimization, Genetic Algorithm, Differantial Evolution Algorithm, Travelling Salesman Problem, Optimisation, Artificial Intelligance.

5 v TEŞEKKÜR Bu çalıģmada bana yol gösteren danıģman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Mehmet ÇUNKAġ a ve bizi bu günlere getiren tüm hocalarıma, desteklerini esirgemeyen aileme ve eģime teģekkürlerimi sunarım.

6 vi İÇİNDEKİLER ÖZET iii ABSTRACT. iv TEġEKKÜR. v ĠÇĠNDEKĠLER vi ġekġller LĠSTESĠ... viii TABLOLAR LĠSTESĠ. x SĠMGELER.. xi 1. GĠRĠġ Tezin Amacı ve Önemi Tez Organizasyonu 2 2. PROBLEMLER ve OPTĠMĠZASYON Problemler Optimizasyon GEZGĠN SATICI PROBLEMĠ Gezgin Satıcı Probleminin Tanımı Gezgin Satıcı Probleminin Kesin Çözümü PARÇACIK SÜRÜ OPTĠMĠZASYONU GiriĢ Algoritma Algoritmanın Gezgin Satıcı Problemi için Uygulanması Yer DeğiĢtirme Operatörü Algoritmanın Yeniden Düzenlenmesi GENETĠK ALGORĠTMALAR GiriĢ Algoritma Algoritmanın Sürekli Fonksiyonların Çözümünde Kullanılması Genetik Algoritmanın Gezgin Satıcı Problemi için Kullanılması DĠFERANSĠYEL EVRĠM ALGORĠTMASI GiriĢ Algoritma... 30

7 vii 7. PARÇACIK SÜRÜ ALGORĠTMASININ KARġILAġTIRILMASI Test Fonksiyonları Sonuçlar GEZGĠN SATICI PROBLEMĠNĠN, PARÇACIK SÜRÜ OPTĠMĠZASYONU ĠLE ÇÖZÜMÜ Küçük Boyutlu GSP Test Problemleri Küçük Boyutlu GSP Test Sonuçları Küçük GSP Problemlerinin Çözümünde Parametrelerin Etkisi Literatürde Kullanılan GSP Test Problemleri Literatürde Kullanılan GSP Test sonuçları Orta Boyutlu GSP Test Problemleri Orta Boyutlu GSP Test Sonuçları Amerika ve Türkiye Haritası Üzerinde Gezgin Satıcı Problemi Amerika ġehirleri GSP Çözümü Konya Ġlçeleri GSP Çözümleri Türkiye Ġl Merkezleri GSP Çözümü Türkiye Ġlçeleri GSP Çözümleri SONUÇ ve ÖNERĠLER 82 KAYNAKLAR. 86 EKLER... 90

8 viii ŞEKİLLER LİSTESİ ġekil 2.1 Yerel Minimum ve Global Minimum 7 ġekil 3.1 ABD üzerindeki 532 Ģehrin optimum yol uzunluğu.. 9 ġekil 3.2 Örnek bir TSP çözümü ġekil 4.1 Bireylerin Minimuma YaklaĢımı ġekil 4.2 Parçalı Sürü Optimizasyonu AkıĢ Diyagramı 16 ġekil 4.3 Yer DeğiĢtirme Operatörü.. 17 ġekil 5.1 Genetik Algoritma.. 26 ġekil 6.1 Diferansiyel Evrim Algoritması ġeması 31 ġekil 7.1 F1 Fonksiyonu için Ortalama Jenerasyonlar.. 35 ġekil 7.2 F2 Fonksiyonu için Ortalama Jenerasyonlar.. 35 ġekil 7.3 F3 Fonksiyonu için Ortalama Jenerasyonlar.. 36 ġekil 7.4 F4 Fonksiyonu için Ortalama Jenerasyonlar.. 36 ġekil 7.5 F5 Fonksiyonu için Ortalama Jenerasyonlar.. 37 ġekil 7.6 F6 Fonksiyonu için Ortalama Jenerasyonlar.. 37 ġekil 7.7 F7 Fonksiyonu için Ortalama Jenerasyonlar ġekil 7.8 F8 Fonksiyonu için Ortalama Jenerasyonlar.. 38 ġekil 7.9 F1 Fonksiyonun Genetik Algoritma ile Optimizasyonu 39 ġekil 7.10 F1 Fonksiyonun PSO ile Optimizasyonu ġekil 7.11 F1 Fonksiyonun DEA ile Optimizasyonu.. 40 ġekil 7.12 ÇeĢitli Jenerasyonlarda Yakınsama. 41 ġekil 7.13 Test Fonksiyonları Ortalama Jenerasyon Sayıları.. 42 ġekil 8.1 C20 Problemi.. 45 ġekil 8.2 C30 Problemi.. 45 ġekil 8.3 C40 Problemi.. 46 ġekil 8.4 F32 Problemi.. 46 ġekil 8.5 F41 Problemi.. 47 ġekil 8.6 S21 Problemi.. 47 ġekil 8.7 Test Fonksiyonları Ortalama Yol Uzunlukları ġekil 8.8 Test Fonksiyonları Ortalama Hata Değerleri. 50 ġekil 8.9 PSO Algoritmasında Bireylerin Etkisi. 52 ġekil 8.10 GA Algoritmasında Bireylerin Etkisi.. 52 ġekil 8.11 Literatürde Kullanılan GSP Ortalama Yol Değerleri 54 ġekil 8.12 Literatürde Kullanılan GSP Ortalama Hata Değerleri ġekil 8.13 Orta Boyutlu GSP Bulunan En Ġyi Yollar. 57 ġekil 8.14 Bulunan En Ġyi Yolların Ortalama Hataları.. 57 ġekil 8.15 Bulunan Ortalama Yollar... 58

9 ix ġekil 8.16 Ortalama Yolların Hatası.. 58 ġekil 8.17 XQF131 Problemi için PSO ve GA nın Bulduğu Minimum Yol. 59 ġekil 8.18 XQG237 Problemi için PSO ve GA nın Bulduğu Minimum Yol. 59 ġekil 8.19 BCL380 Problemi Bulunan En Kısa Yollar.. 60 ġekil 8.20 PBM436 Problemi Bulunan En Kısa Yollar. 61 ġekil 8.21 Att532 Probleminin GA ile Bulunan En Ġyi Yolu 63 ġekil 8.22 Att532 Probleminin PSO ile Bulunan En Ġyi Yolu 63 ġekil 8.23 Konya Haritası Üzerinde ĠĢaretlemiĢ Ġlçeler.. 64 ġekil 8.24 PSO ve GA nın UlaĢtığı En Kısa Yol.. 65 ġekil 8.25 Türkiye Ġl Merkezleri. 67 ġekil 8.26 Türkiye Ġl Merkezleri PSO ve GA ile Bulunan en Kısa Yol 68 ġekil 8.27 Türkiye Ġlçe Merkezleri.. 70 ġekil 8.28 Türkiye Ġlçe Merkezleri GA ile Bulunan en Kısa Yol. 71 ġekil 8.29 Türkiye Ġlçe Merkezleri PSO ile Bulunan en Kısa Yol 72 Ek A ġekil 1 Sürekli Fonksiyonların PSO ile Çözümü.. 81 Ek A ġekil 2 Küçük Boyutlu GSP için GeliĢtirilen Program. 82 Ek A ġekil 3 Orta Boyutlu GSP için GeliĢtirilen Program. 83 Ek A ġekil 4 Konya ilçeleri GSP için GeliĢtirilen Program 84 Ek A ġekil 5 Türkiye Ġl Merkezlerini Kapsayan, GSP için GeliĢtirilen Program.. 85 Ek A ġekil 6 Türkiye Ġlçe Merkezlerini Kapsayan GSP için GeliĢtirilen Program.. 86

10 x TABLOLAR LİSTESİ Tablo 3.1 Sayım Tekniği ile GSP lerin Çözüm Zamanları.. 12 Tablo 4.1 Bireylerin GeliĢim Değerleri. 14 Tablo 7.1 Parametreler için Kullanılan Değerler Tablo 7.2 Test Fonksiyonları. 34 Tablo 7.3 ÇeĢitli Jenerasyonlarda UlaĢılan Minimum Değerler 41 Tablo 7.4 Genel Test Sonuçları. 43 Tablo 8.1 Küçük Boyutlu Gezgin Satıcı Test Problemleri 44 Tablo 8.2 Küçük Boyutlu GSP Test sonuçları Tablo 8.3 Test Fonksiyonlarının Çözümünde Birey Sayının Etkisi.. 51 Tablo 8.4 Literatürde Kullanılan ÇeĢitli GSP Test Problemleri.. 53 Tablo 8.5 Literatürde Kullanılan GSP Test Sonuçları.. 54 Tablo 8.6 Orta Büyüklükteki GSP Test Problemleri 55 Tablo 8.7 Orta Boyutlu GSP Test Sonuçları 56 Tablo 8.8 Att532 GSP Sonuçları.. 62 Tablo 8.9 Konya Ġlçeleri Sonuçlar 65 Tablo 8.10 TR81 Sonuçları 66 Tablo 8.11 TR81 Gerçek Koordinatlar ile Ortalama Yollar 66 Tablo 8.12 Türkiye Ġlçeleri GSP Çözümleri Ortalama Sonuçları 69 Tablo 9.1 Sürekli Test Fonksiyonları Genel Sonuçları.. 73 Tablo 9.2 Küçük Boyutlu GSP Test Sonuçları Tablo 9.3 Literatürde Kullanılan GSP Test Sonuçları 75 Tablo 9.4 Orta Boyutlu GSP Test Sonuçları.. 75 Tablo 9.5 Türkiye 81 il merkezi GSP sonuçları 76 Tablo 9.6 Türkiye 888 ilçe merkezleri GSP sonuçları.. 76

11 xi SİMGELER ve KISALTMALAR : Toplam Ģehir sayısı d ij f tp V id W c i rand i P id P gd X id S SO SS α β CR F X low X ig DEA GA PSO : Ġki nokta arasındaki uzaklık : Tüm Ģehirler arasındaki toplam uzaklık : Sürüdeki her bir bireyin hızı : Atalet ağırlık değeri : Sabit sayılar : 0 ile 1 arasında üretilen sabit sayılar : Önceki nesilde en iyi birey : Tüm nesillerdeki en iyi birey : Sürüdeki bireyler : Yer değiģtirme : Yer değiģtirme operatörü : Birden çok yer değiģtirme operatörü : YerdeğiĢtirme operatörlerinin sırayla uygulanması : Bireyin önceki nesildeki bireye benzeme oranı : Bireyin tüm nesildeki en iyi bireye yakınsama oranı : Çaprazlama oranı : Ölçekleme Değeri : En düģük değerli birey : En yüksek değerli birey : Diferansiyel evrim algoritması : Genetik Algoritmalar : Parçacık Sürü algoritması

12 1 1. GİRİŞ 1.1 Tezin Amacı ve Önemi Matematikte, optimizasyon terimi, bir fonksiyonu minimize ya da maksimize etmek amacıyla gerçek ya da tamsayı değerlerini tanımlı bir aralıkta seçip fonksiyona yerleģtirerek sistematik olarak bir problemi incelemek ya da çözmek iģlemlerini ifade eder. Optimize edilecek problemin zorluğuna göre çözüm uzayı çok büyük ve karmaģık olabilir. Bu durumda çözüm uzayında bulunan elemanların hepsini inceleyen matematiksel yöntemler yerine sezgisel yöntemlerden yararlanılmalıdır. Son yıllarda kombinasyonel problemlerin çözülmesinde sezgisel yöntemlerin kullanımları önemli oranda artmaktadır. Jones ve diğerlerine, (2002) göre sezgisel yöntemlerin popülaritesinin 1991 yılından itibaren hızlı bir artıģ göstermesinin nedenlerinden birincisi, bilgisayarların hesaplama gücünün iyi olması ikincisi, dönüģtürülebilir yönünün olmasıdır. Ayrıca sezgisel yöntemlerin en büyük avantajları arasında çözüm zamanının, sayım (enumeration) yöntemine göre çok kısa olması ve her tür problem için kolay entegre edilebilmesidir. Dezavantajları ise bu yöntemlerin optimum çözümü garanti etmemesi ve iyi çözüm verebilmesi için bir çok parametrenin uygun Ģekilde ayarlanması gerekliliğidir. Bu sezgisel yöntemlerden biri olan Parçacık Sürü Optimizasyonu (Particle Swarm Optimization, PSO), kuģ ve balık sürülerinin iki boyutlu hareketlerinden esinlenerek ilk olarak 1995 ve 1996 yıllarında Kennedy ve Eberhart tarafından geliģtirilmiģtir. Parçacık Sürü Optimizasyonu (PSO) bireyler arasındaki sosyal bilgi paylaģımını esas alır. PSO da arama iģlemi genetik algoritmalarda olduğu gibi popülasyondaki bireyler tarafından belirlenen nesil sayısınca yapılır. Her bireye parçacık denir ve parçacıklardan oluģan popülasyona da sürü (swarm) denir. Her bir parçacık kendi pozisyonunu, bir önceki tecrübesinden yararlanarak bir önceki sürüdeki en iyi pozisyona doğru ayarlar. Literatürde PSO bir çok problemin optimizasyonunda baģarı ile kullanılmıģtır, sipariģ miktarı belirleme, sinir ağları, akıģ tipi çizelgeleme problemleri, güç ve voltaj kontrolü, tedarik seçimi ve sıralama problemi (Kennedy ve Eberhart 1995 ).

13 2 PSO ve Genetik Algoritmaların (GA) benzer yanları olduğu gibi, temel olarak ayrıldığı noktalarda mevcuttur. PSO ve GA her iki yöntemde problemi optimize etmek için yeni nesiller jenerasyonlar meydana getirirler. Her ikisi de popülasyon tabanlı algoritmalardır ve yeni nesillerin bir önceki nesle göre daha iyi sonuç üretmesini temel alırlar. Ġki algoritmanın birbirinden ayrıldığı temel nokta ise GA nın yeni nesli oluģtururken en iyi bireyi baz almamasıdır ve çeģitli yöntemlerle bireyleri birbirleri ile çaprazlayarak, yeni nesil üretimidir. Ancak PSO da bu durum biraz daha farklıdır, tüm bireyler en iyi bireye yaklaģmaya çalıģır. Bu açıdan bakıldığında PSO, GA ya göre biraz daha aç gözlü bir algoritmadır, sonuca daha kısa sürede ulaģmayı amaçlar. Tabi ki bu durum çözümün yerel minimuma takılmasına yol açabilir. GA ise yeni neslin oluģturulmasında daha rastgele seçimler yaptığı için sonuca ulaģırken yerel minimuma takılma olasılığı daha azdır. Diferansiyel Evrim Algoritması (DEA) ise basit ama güçlü popülasyon tabanlı bir algoritmadır. Popülasyon tabanlı ve mutasyon ve çaprazlama operatörlerini kullanarak hedef çözüme ulaģmaya çalıģan bir algoritmadır. Algoritma bir ebeveyn vektörden, bir deneme vektörü üretmek için mutasyon ve çaprazlamayı birlikte kullanır. Yeni bir yöntem olan DEA özellikle sürekli fonksiyonların çözümünde etkin bir sonuç göstermiģtir. Sezgisel algoritmaların kullanım alanlarını belirlemek için performanslarının ölçülmesi yararlıdır. Bu amaçla algoritmalar genellikle diğer algoritmalarla karģılaģtırılır. Problemin zorluğu ve özelliklerine göre algoritmaların gösterdiği performansları görmek, algoritmanın daha çok hangi problemlerin çözümünde kullanılacağını belirlemede etkilidir. 1.2 Tez Organizasyonu Bu tezde, matematiksel metodlarla çözümü oldukça uzun olan Gezgin Satıcı Probleminin (GSP) çözümü oldukça yeni bir yöntem olan PSO ile gerçekleģtirilmiģtir ve GA ile performansı karģılaģtırılmıģtır. Ayrıca PSO nun sürekli fonksiyonların çözümündeki performansı GA ve DEA yöntemleri ile karģılaģtırılmıģtır.

14 3 Tezin ikinci bölümünde problem çeģitleri ve optimizasyon yöntemlerinden bahsedilmiģtir. Üçüncü bölümde Gezgin Satıcı Probleminin niteliklerinden, çözüm yöntemlerinden bahsedilmiģtir. Dördüncü bölümde PSO algoritması ve bu algoritmanın GSP için uyarlanması anlatılmıģtır. BeĢinci bölümde GA iģlem basamaklarından ve sürekli fonksiyonların çözümü için gerçek kodlu GA anlatılmıģtır. Ayrıca GA nın GSP için nasıl düzenlendiği anlatılmıģtır. Altıncı bölümde DEA iģlem basamakları anlatılmıģtır. Yedinci bölümde PSO, GA ve DEA yöntemlerinin 8 ayrı, sürekli fonksiyonun çözümündeki performansları ele alınmıģtır. Sekizinci bölümde PSO ve GA algoritmalarının küçük ve orta büyüklükteki GSP problemlerinin çözümündeki performansları değerlendirilmiģtir. Son olarak Konya ilçeleri, Türkiye il merkezleri ve Türkiye ilçelerini kapsayan GSP çözümleri yapılmıģtır. Son bölümde ise sonuçlar ve önerilerden bahsedilmiģtir.

15 4 2. PROBLEMLER VE OPTİMİZASYON 2.1 Problemler Problemin çözümüne yönelik bir algoritma araģtırılmadan önce, bu problemin, sonlu sayıda aģamada çözülüp çözülemeyeceğini bilmek gerekir. Hesaplanabilirlik teriminin açıklaması da budur. Ġnsan veya makine tarafından gerçekleģtirilecek bir eylemin mekanik olarak ardıģık aģamalar halinde yürütülebilmesi için verilen komutlara algoritma denir. Kullanılan algoritma tipine ve problemin zorluğuna göre çözüm zamanı uzayacaktır. Algoritmanın giriģ değerlerinin boyutu veya problem boyutu, giriģi tanımlamak için gerekli sembollerin sayısı ile bağıntılıdır. Hesaplama teorisinde, bazı tip problemlerin çözümü için en etkili algoritmaların çalıģma süresinin girilen verinin büyüklüğüne bir polinom cinsinden bağlı olduğu bilinmektedir (buna polinomsal zamanda çalıģan algoritma adı verilir) ve bu tür problemler P kategorisindeki problemlerdir. Mesela verilen basamaklı bir sayının asal olup olmadığını kontrol etmek için çalıģma süresi mertebesinde bir polinomla hesaplanabilen bir algoritma vardır. Dolayısıyla verilen bir sayının asal olup olmadığının araģtırılması P kategorisinde bir problemdir. Buna karģılık bir diğer gurup problem vardır ki; bunlar için sorulan soruya, girilen verinin büyüklüğüne polinom mertebesinde bağımlı bir sürede cevap verecek bir algoritma bilinmemektedir. Fakat bu tür bazı problemler için eğer bir Ģekilde cevabı tahmin edebiliyorsak, tahminimizin doğruluğunu sınamak için veri büyüklüğüne bağlı sürelerde çalıģacak algoritmalar vardır. Bu tür problemler, yani bir tahminin doğruluğunun kontrolü için çalıģma süresi verinin büyüklüğüne polinom cinsinden bağımlı bir algoritma olan problemler de NP kategorisini oluģtururlar. Örnek olarak verilen basamaklı bir sayının asal çarpanlarının neler olduğu sorusunu düģünebiliriz. Bu sorunun cevabı için bilinen en iyi algoritmanın çalıģma süresi sayısına bir polinom cinsinden değil de eksponansiyel fonksiyonlar cinsinden ( misali) bağımlıdır (buna üstel zamanda çalıģan algoritma denir). Fakat bu problem için eğer bir Ģekilde cevabı tahmin edebiliyorsak tahminimizin

16 5 doğruluğunu sınamak için sayısına bağlı bir sürede çalıģacak bir algoritma mevcuttur. Dolayısıyla verilen bir basamaklı sayının asal çarpanlarının neler olduğu sorusu NP kategorisindedir. Bu iki kategoriden NP nin P yi içerdiğini görmek kolaydır. Eğer bir sorunun cevabını verinin büyüklüğüne polinom mertebesinde bağımlı sürede çalıģacak bir algoritmayla bulabiliyorsak, bu soruya cevap olarak üretilmiģ bir tahminin doğruluğunu da verinin büyüklüğüne polinom mertebesinde bağımlı sürede çalıģacak bir algoritmayla kontrol edebiliriz. Bunun için verilen sorunun cevabını verecek algoritmayı çalıģtırıp, onun verdiği cevabı kendi tahminimizle karģılaģtırmak yeterlidir. "P=NP?" problemi bunun tersinin de doğru olup olmadığını sorgular. Yani NP kategorisinde olup da P kategorisinde olmayan problemler var mıdır? Veya diğer bir dille asal çarpanların bulunması için polinom mertebesinde bir sürede çalıģacak bir algoritma gerçekten yok mu? Yoksa var da biz mi bulamıyoruz? Bu alanın uzmanlarının çoğunun görüģü bu tür algoritmaların gerçekten de var olmadıkları için bulunamadığı (yani P nin NP ye eģit olmadığı) Ģeklinde ancak bu soruya kesin bir cevap verilebilmesi Ģimdilik çok zor gözüküyor. En az her bir NP problem kadar zor olan problemlerin bulunduğu sınıfa NP- Zor (NP-hard) denir. Daha resmi bir Ģekilde, (2.1) Burada, L probleminin, H problemine çokterimli zamanda indirgenebildiği anlamına gelir. Bir baģka deyiģle, NP-Zor sınıfındaki her hangi bir problem çok terimli zamanda çözülebilirse, NP sınıfındaki bütün problemler çok terimli zamanda çözülebilir (Garey ve Johnson, 1979). 2.2 Optimizasyon Optimizasyon; bir problemde belirli koģullar altında mümkün olan alternatifler içinden en iyisini seçmektir. Günümüzde bir çok bilim dalı karģılaģtığı

17 6 problemleri optimize etmek zorundadır. Bir çok mühendislik dalında geliģtirilen projelerde optimizasyon önemli yer tutmaktadır. Yapı-Araç Ġskeleti dinamiği'ne iliģkin problemler sıklık ile matematiksel programlama teknikleri gerektirmektedir. Yapı-Araç Ġskeleti, manifold ile kısıtlanmıģ bir basit diferansiyel denklem'in çözümüne ihtiyaç duyan bir yönelim olarak değerlendirilebilir.bu durumda kısıtlar non-lineer olmayan gemotetrik çeģitliliktedir, öneğin "bu iki nokta daima temas etmeli", "bu alan diğerine etki etmemeli" ya da "bu nokta her zaman bu eğri üzerinde olmalı" gibi. Ayrıca temas halindeki kuvvetlere iliģkin problemler de lineer uyumluluk çatısı altında çözüldüğünden, buna da bir tür QP (Kuadratir Programlama) Problemi gözüyle bakılabilir(avriel 2003). Pek çok tasarım problemi de optimizasyon programları ile çözülmektedir. Bu tür uygulamalara dizayn optimizasyonu denir. Bu alanda bilinen ve büyümekte olan bir alt kol çok disiplinli dizayn optimizasyonu'dur. Bu tür, pek çok problemde kullanıģlı olduğu gibi aynı zamanda da uzay mühendisliği sahasına uyarlanabilmektedir. Ekonomi de matematiksel programlamaya ağır bir bağımlılık duyar. Mikroiktisat'da sık karģılaģılan bir problem olan marjinal fayda ve bundan kaynaklanan ikilik olan harcamaları minimize etme problemi iktisadî bir optimizasyon problemidir. Tüketiciler ve firmalar fayda/kar oranlarını maksimize etmek durumundadırlar. Ticaret teorisi de milletler arası ticari ortaklığın izahında optimizasyona sık sık baģvurur (Nocedal ve Wright 2006). Problemin zorluk derecesine göre çözüm uzayı büyüyebilmektedir. Bu durumda en iyiye ulaģmak ya çok uzun zaman almakta ya da ulaģılamamaktadır. Çözüm uzayındaki elemanların her birinin denenmesi ile yapılan eniyilemeye Sayım (enumaration) tekniği denir ve en iyiye mutlaka ulaģılır. Fakat bu yöntem çok uzun zaman alır. Optimizasyon süresini aģağıya çekmek için çeģitli yöntemler geliģtirilmiģtir. Son zamanlarda meta-sezgisel yöntemlere dayalı algoritmalar geliģtirilmiģ ve uygulanmaya baģlanmıģtır. Sezgisel yöntemlerin dayandığı temel prensip rastgele seçimdir. Süreci iģleyiģi temel olarak, restgele üretilen çözüm elemanlarından en iyisini seçmek ve bu en iyi etrafında daha iyi seçimler yapmaya dayanır. Belli bir iterasyon sonunda ya en iyiye ulaģılır yada yakın bir sonuç elde

18 7 edilir. Sezgisel yöntemlerin en büyük dezavantajlarından biri arama sürecinin yerel en iyiye takılmasıdır. Algoritmalar geliģtirilirken bu durumları aģmak için yeni ek süreçler eklense de genel olarak sezgisel algoritmalar yerel en iyiye takılmaktadır(ġekil 2.1). Yerel minimum Global minimum ġekil 2.1 Yerel Minimum ve Global Minimum ĠĢte meta-sezgisel algoritmaların yerel minimuma takılmasını önlemek için çeģitli rastgele operatörler iģlem basamakları içinde uygulanır. Bu operatörler, Genetik Algoritmalar için; seçim yöntemi, çaprazlama ve mutasyon olarak karģımıza çıkar. Yeni nesillerin oluģturulmasında kullanılan bu operatörler, algoritmayı çözüm uzayının tamamen farklı bir bölgesinde arama yapmayı sağlarken, en iyi sonuca yaklaģmayı da hedefler. PSO için ise algoritma basamakları içinde kullandığımız, rastgele oluģturulmuģ sayılar, geliģen yeni neslin, çözüm uzayının farklı bölgelerine aktarır. Arama süreci böylece çözüm uzayının farklı bölgelerinde devam eder. Bu bölümde problem türlerinden ve bu problemlerin çözümlerinde kullanılan yöntemlerden bahsedilmiģtir. Optimizasyon sürelerinden ve çözüm esnasında karģılaģılan sorunlardan bahsedilmiģtir.

19 8 3. GEZGİN SATICI PROBLEMİ 3.1 Gezgin Satıcı Probleminin Tanımı Gezgin Satıcı Problemi (GSP), Travelling Salesman Problem (TSP) NP- Zor bir problem türüdür. Temel olarak problemin amacı bir satıcının tane Ģehri yada durağı en kısa yoldan gezmesini sağlamaktır. Bu problemin çözümü için çeģitli algoritmalar geliģtirilmiģ ve süper bilgisayarlarda en iyi sonuca ulaģılmaya çalıģılmıģtır (Schrijver 2005). Problemin çözüm uzayı ; İlk şehirde, satıcının değişik şehir arasında seçim hakkı vardır İkinci şehirde, satıcının değişik şehir arasında seçim hakkı vardır Dolayısıyla, sonuç olarak satıcının olacaktır. Bu, 100 Ģehirlik bir tur için bile değiģik tur arasından seçim hakkı değiģik tur etmektedir. An itibariyle, bulunabilmiģ en güçlü algoritma problemi en az zamanda çözebilmektedir. Yani, 100 Ģehirlik bir tur için bu adım etmektedir. Görüldüğü gibi gezgin satıcı problemi çok olasılıklı NP - Zor bir problemdir. ÇeĢitli algoritmalar kullanılarak problemin çözümü yapılmaya çalıģılmıģtır. Bugüne kadar çözülen en büyük gezgin satıcı problemi 24,978 noktalıdır ve Ġsveç'te yerleģimi olan her nokta için çözülmüģtür. Bu çözüm, Intel Xeon 2.8 ghz bir iģlemcinin 92 yılına denk bir sürede yapılmıģtır (öte yandan, 96 bilgisayarlı bir ağ üzerinde çözüldüğünden çözülmesi 3 yıl sürmüģtür). ġu anda çözülmeye çalıģılan en büyük problem Dünya üzerinde kayıtlı yerleģim olan her nokta için en kısa yolun ne olduğudur. Bu problem Ģehir içermektedir. Gezgin satıcı problemi üzerine, dünya haritası üzerinde çeģitli ülkelerin Ģehirleri için çözümler yapılmaktadır. Bir çok üniversite yeni algoritmalar geliģtirerek optimizasyon zamanını azaltmaya ve en iyi sonuca ulaģmaya

20 9 çalıģmaktadır. AĢağıda ġekil 3.1 de ABD üzerindeki 532 Ģehre ait çözüm yer almaktadır. ġekil 3.1 ABD üzerindeki 532 Ģehrin optimum yol uzunluğu (tsp.gatech.edu adresinden alınmıģtır.) Gezgin satıcı problemi sezgisel optimizasyon metotlarının en iyiye yaklaģma için test aracı haline gelmiģtir (Garey ve Johnsan 1979). Simetrik GSP, A Ģehrinden B Ģehrine olan uzaklık ile B den A ya olan uzaklığı eģit kabul eder fakat Asimetrik GSP ise uzaklıkları farklı kabul eder (Freisleben ve Merz 1996). Asimetrik ve simetrik GSP nin bu yüzden farklı durum uzayı mevcuttur. Simetrik GSP iki Ģehir arasındaki, karģılıklı uzaklığı aynı kabul ettiği için çözüm uzayı yarıya düģecektir. Fakat algoritma tüm adımları kontrol edeceği için optimizasyon zamanı değiģmeyecektir. GSP nin öneminin bu kadar artmasındaki temel faktör birçok bilimsel araģtırmada, mühendislikte ve biyo-enformasyon alanında kullanılmasıdır ( Tsai ve diğerleri 2004 ). Kullanım alanlarını sıralarsak, 1. Araç rotası tayin etme (Clarke ve Wright 1964), 2. Zaman çizelgeleri problemleri(whiteley ve diğerleri 1989),

21 10 3. Entegre devre tasarımı (Kirkpatrick ve diğerleri 1983), 4. Fiziki harita problemleri (Alizadeh ve diğerleri,1993) 5. Genetik bilimler için filo-genetik ağaç yapılandırması problemi (Korostensky ve Gonnet 2000). Durum uzayının oldukça büyük olmasından dolayı GSP sezgisel yöntemlerle geliģtirilen algoritmalarla çözülebilmiģtir. Problemde bulunan nokta sayısı çok az dahi olsa problemin çözümünde sayım tekniğinin kullanılması oldukça uzun zaman alacaktır. ġekil 3.2 de 10 Ģehirli bir GSP nin çözümünde kullanılan ihtimalleri görülmektedir. ġekil 3.2 Örnek bir TSP çözümü 3.2 Gezgin Satıcı Probleminin Kesin Çözümü GSP nin çözüm uzayının, problemdeki nokta sayısına bağlı olarak çok büyük olmasından dolayı, sezgisel yöntemler her zaman kesin sonucu vermemektedir. Simetrik bir GSP nin çözümünde iki Ģehir arasındaki mesafe kuģbakıģı mesafe yani

22 11 Öklit mesafesidir. Pisagor teoremiyle hesaplanır. Hesaplamada kullanılan matematiksel formül çok karmaģık olmamasına karģın, iģlem basamaklarının sayısı çok fazla olduğu için çözüm süresi önemli bir zaman almaktadır. Problemin çözümünde kullanılan formüller aģağıda verilmiģtir. Problemin çözümünde bilinen iki nokta (x 1,y 1 ) ve (x 2,y 2 ) arasındaki uzaklık, aģağıdaki formülle bulunur; f p = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 (3.1) Problemdeki tüm Ģehirlerin (noktaların) (n), koordinatları biliniyorsa (x i,y i ) bu durumda toplam yol uzunluğu Ģu Ģekilde hesaplanır; f tp = n 1 i=1 (x i x i+1 ) 2 + (y i y i+1 ) 2 + (x n x 1 ) 2 + (y n y 1 ) 2 (3.2) Herhangi bir GSP problemi nin kesin çözümü için, sayım tekniği (enumaration) kullanılmak zorundadır. Sezgisel yöntemler çözüm uzayının çok büyük olması ve arama sürecinde yerel optimuma takılmalarından dolayı, her zaman kesin çözüme ulaģamamaktadırlar. Ancak küçük ölçekli GSP problemlerinin çözümünde tam sonuca ulaģıldığı görülmüģtür. Sayım tekniği ise her olasılığı denediği için kesin sonuca ulaģmaktadır ama çözüm zamanı sezgisel yöntemlere göre çok uzun sürmektedir. ÇeĢitli üniversitelerde yapılan çalıģmalarla sayım tekniği yöntemi kullanılmakta, çözümler süper bilgisayarlardan oluģan ağlarda yapılmaktadır. Hesaplanan en iyi çözümler sezgisel yöntemlerle kıyaslanmaktadır. N Ģehirli Asimetrik bir GSP nin çözümü için (n-1)! ihtimal bulunmaktadır bu yüzden az noktalı GSP problemlerinin çözümü sayım tekniği ile kolayca bulunabilir. Saniyede ihtimali hesaplayabilen bir bilgisayar için, 10 Ģehirli GSP sorusunun çözümü, (10-1)!/10 10 saniye olacaktır. Bu da yaklaģık olarak 3, saniye olacaktır. Simetrik GSP nin çözümünde ihtimal sayısı, n Ģehirli bir problem için (n- 1)!/2 olduğu için yarı yarıya azalmaktadır. ġehir sayısı arttıkça çözüm süreleri uzamaktadır. Saniyede ihtimali deneyen bir bilgisayarın çeģitli sayılarda sehirlerden oluģan GSP problemlerini çözüm süreleri Tablo 3.1 de gösterilmiģtir.

23 12 Tablo 3.1 Sayım Tekniği ile GSP lerin Çözüm Zamanları ġehir Gerekli Süre Sayısı Saniye Dakika Saat Gün 10 1,8E-5 0,3E-6 ~0 ~0 11 1,8E-4 0,3E-5 ~0 ~0 12 1,9E-3 0,4E-4 ~0 ~0 13 0,2E-1 0,3E-2 0,5E-4 ~0 15 4,3 0,7E-1 0,1E-1 ~0 20 6E+6 1E+5 1,6E ,1E+12 5,1E+11 8,6E+9 3,5E ,4E+20 7,3E+19 1,2E+17 5,1E+15 GSP nin çözümünde sayım (enumaration) tekniğinin kullanılması uzun zaman almaktadır. Süper bilgisayarlarla bile bu süre çok fazla olmaktadır. O yüzden bu problemin çözümünde sezgisel yöntemleri kullanmak çözüm zamanı açısından yararlı olacaktır.

24 13 4. PARÇACIK SÜRÜ OPTİMİZASYONU 4.1 Giriş Parçacık Sürü Optimizasyonu (PSO), (Particle Swarm Optimization), popülasyon tabanlı, sürü zekası (swarm intelligance) esasına dayalı bir optimizasyon yöntemidir. Bu yöntem Kennedy ve Eberhart tarafından yıllarında geliģtirilmiģtir (Kennedy ve Eberhart 1995). Yöntem doğadaki bütün canlılarda bulunan sosyal zeka, temeline dayanmaktadır. Ġnsanların konuģarak bilgiyi paylaģması gibi, kuģların yön tayin etmelerinde birbirlerinden yararlanmaları, balık sürülerinin hareketlerini ortak bir kararla almaları sosyal bir zekanın varlığına kanıttır. PSO da bulunan bireylerin (parçaların), her birinin ayrı bir hızı vardır. Her nesilde bireyler kendi hızlarını, en iyi bireye göre yenilerler. Böylece yeni nesil, bir öncekine göre daha iyi duruma gelir. Tüm bireyler en iyi bireye yaklaģırken, kullanılan rastgele operatörler sayesinde, bir sonraki nesilde, bir önceki neslin en iyisini geçebilirler. ĠĢte nesiller arasındaki bu hızlı iyileģme PSO nun sonuca hızla yaklaģmasını sağlamaktadır. ġekil 4.1 de ve Tablo 4.1 de, 3 bireyli bir popülasyonun, f x, y, z = x 2 + y 2 + z 2 fonksiyonunun minimuma yaklaģırken, bireylerin geliģimi gösterilmiģtir. PSO da popülasyonu oluģturan bireyler parçacık olarak adlandırılır, her bir parçanın durum uzayında hareket ettiği varsayılır ve her parça potansiyel çözümü taģır. Her parça en iyi durumu hatırlayabilir ve parçacıklar kendi arasında bilgi alıģveriģinde bulunabilirler(wang ve diğerleri 2003). Literatürde PSO bir çok problemin optimizasyonunda baģarı ile kullanılmıģtır, 1. SipariĢ miktarı belirleme, 2. Sinir ağları, 3. AkıĢ tipi çizelgeleme problemleri, güç ve voltaj kontrolü, 4. Tedarik seçimi ve sıralama problemi (Kennedy ve Eberhart, 1995 ).

25 Sıfıra Yaklaşım 14 Tablo 4.1 Bireylerin GeliĢim Değerleri 1. Birey 2. Birey 3. Birey 1. Nesil 4,25 3,16 3,83 2. Nesil 3,44 2,46 2,03 3. Nesil 1,25 1,59 1,44 4. Nesil 0,7 0,86 0,89 5. Nesil 0,12 0,16 0,08 4,5 4 3,5 4,25 3,44 3,16 3,83 3 2,5 2 1,5 1 0,5 2,46 2,03 1,59 1,25 1,44 0,7 0,86 0,89 0,12 0,16 0,08 1. nesil 2. Nesil 3. Nesil 4. Nesil 5. Nesil Bireyler ġekil 4.1 Bireylerin Minimuma YaklaĢımı 4.2 Algoritma PSO da her bir parçacığın kendine ait bir hızı vardır ve bu hız parçacığı diğer parçalardan aldığı bilgilerle optimum sonuca doğru hızlandırır. Her bir jenerasyonda bu hız önceki en iyi sonuçlardan da faydalanarak yeniden hesaplanır. Bu sayede popülasyonda bulunan bireyler giderek daha iyi pozisyona gelirler. Algoritmayı adımları Ģu Ģekildedir;

26 15 1.Popülasyonun oluşturulması; parçacıklar, rastgele üretilen baģlangıç pozisyonları ve hızları ile birlikte oluģturulur. 2.Uygunluk değerlerinin hesaplanması ; popülasyon içindeki tüm bireylerin uygunluk değerleri hesaplanır. 3. En iyi üyenin bulunması; her jenerasyonda bütün bireyler bir önceki jenerasyondada bulunan en iyi (pbest) ile karģılaģtırılır. Eğer daha iyi birey varsa yer değiģtirilir. 4. Global en iyinin bulunması ; jenerasyondaki en iyi değer global en iyi değerden daha iyi ise yer değiģtirilir. 5. Pozisyon ve hızların yenilenmesi ; V X id id W *( P X ) X * Vid c1 * rand1 *( Pid X id ) c2 * rand 2 id V id gd id (4.1) (4.2) Burada X id pozisyon ve V id hız değerlerini verirken, rand 1 ve rand 2 değerleri, 0 ile 1 arasında, rastgele üretilmiģ sayılardır. W ise atalet ağırlık değeridir. Burada c 1 ve c 2 değerleri sabit değerlerdir ve genellikle 2 ye yakın bir değer kabul edilirler. 6.Durdurma kriteri sağlanıncaya kadar adımları tekrar et. Durdurma kriteri sağlanıncaya kadar adım 2-5 tekrar et. Algoritma ġekil 4.2 de akıģ diyagramı gösterilmiģtir. 4.3 Algoritmanın Gezgin Satıcı Problemi için Uyarlanması PSO, 1995 yılından bu yana bir çok problemin çözümünde oldukça baģarılı bir Ģekilde kullanılmıģtır ve bu alanda bir çok çalıģma yapılmıģtır. Fakat ayrık problemlerin çözümü için hala yeni bir alandır, özellikle PSO nun gezgin satıcı problemine uygulanması yeni bir araģtırma yönüdür (Wang ve diğerleri 2003). Gezgin satıcı probleminin yapısı gereği bir çok meta-sezgisel algoritma bu problemin çözümü için yeniden düzenlenmektedir (SHI ve diğerleri 2004). Yeniden

27 16 düzenlenen algoritmalar çoğu zaman algoritmaya fazladan yük getirdiği için bu problemin çözümünde performans kaybına uğramaktadırlar (Tagawa ve diğerleri 1998). PSO yönteminin gezgin satıcı problemine uygulanması için temel adımlar aģağıdaki baģlıklarda ele alınmıģtır. Başlangıç popülasyonunu, hızları ve pozisyonları oluştur. Sürüdeki bütün parçaların uygunluk değerini hesapla. Her iterasyonda tüm bireyleri önceki iterasyonun en iyisi ile karşılaştır. Daha iyi ise yer değiştir. En iyi değerleri kendi arasında karşılaştır ve en iyi olanı global en iyi olarak ata Hız ve pozisyon değerlerini yenile. Durdurma kriteri Sonucu göster ġekil 4.2 Parçalı Sürü Optimizasyonu AkıĢ Diyagramı

28 Yer Değiştirme Operatörü Bu operatör PSO nun gezgin satıcı problemine uygulanması için çok büyük öneme sahiptir çünkü PSO matematiksel fonksiyonların optimizasyonunda kullanılmak için geliģtirilmiģtir. GSP de ise durum değiģmekte ve çözüm uzayını Ģehirler arasındaki uzaklıklar belirlemektedir. Yer değiģtirme operatörü, N adet noktadan oluģan bir GSP probleminde aģağıdaki gibi tanımlanabilir; S = (a i ), i = 1.. n SO(i 1, i 2 ) (4.3) Formülde a i1 noktası ile a i2 noktalarının yer değiģtirmesini ifade eder. Formül aģağıdaki gibi ifade edilir. S = S + SO(i 1, i 2 ) (4.4) N noktalı S kümesinde hangi elemanların aralarında yer değiģtireceğini göstermektedir dolayısıyla buradaki + iģareti yeni bir anlam kazanmaktadır. Yukarıdaki operatörü örnekle açıklayalım; S = ( 1, 3, 5, 2, 4) çözümüne SO(1,2) operatörünü uygularsak; S = S + SO(1,2) = (1, 3, 5, 2, 4) + (1,2) = (3, 1, 5, 2, 4) olarak bulunur. Yoldaki değiģim ġekil 4.3 deki gibi olacaktır. ġekil 4.3 Yer DeğiĢtirme Operatörü

29 18 Bir çok yer değiģtirme operatörü, sırayla bir çözüm kümesine yani noktalar arasındaki yola uygulanabilir; SS = (SO 1, SO 2, SO 3,, SO n ) S = SS = S + SO 1, SO 2, SO 3,, SO n = S + SO 1 + SO 2. SO n ) Operatörler sırası ile yola uygulanır ve yeni çözüm elde edilir. Aynı Ģekilde yer değiģtirme öbekleri, sırası ile çözüme uygulanabilir. SS = SS 1 SS 2 Bunu bir örnekle açıklarsak; Elimizde bulunan A ve B çözümlerine ait temel yer değiģtirme operatörünü Ģu Ģekilde ifade edebiliriz. SS = A B Burada - iģareti B çözümündeki noktaları sağdan sola doğru A çözümüne benzetmeyi ifade eder. A = B + SS B çözümünün yer değiģtirme operatörü aģağıdaki adımlarla oluģturulur; A : (1, 2, 3, 4, 5) B : (2, 3, 1, 5, 4) Ģeklinde iki adet çözümümüz bulunsun. 1. A (1) = B (3) dolayısıyla ilk operatör SO(1,3) Ģeklinde oluģacaktır. B = B + SO(1,3) iģlemini uyguladığımızda yeni B çözümü aģağıdaki gibi olur; B : (1, 3, 2, 5, 4 ) 2. A (2) = B (3) dolayısıyla ilk operatör SO(2,3) Ģeklinde oluģacaktır. B = B + SO(2,3) iģlemini uyguladığımızda yeni B çözümü aģağıdaki gibi olur;

30 19 B : (1, 2, 3, 5, 4) 3. A (3) = B (3) dolayısıyla ilk operatör SO(3,3) Ģeklinde oluģacaktır. Bu durumda her iki çözümde de noktalar yer değiģtirmeyecektir. B = B + SO(3,3) iģlemini uyguladığımızda yeni B çözümü aģağıdaki gibi olur; B : (1, 2, 3, 5, 4) 4. A (4) = B (5) dolayısıyla ilk operatör SO(4,5) Ģeklinde oluģacaktır. B = B + SO(4,5) iģlemini uyguladığımızda yeni B çözümü aģağıdaki gibi olur; B : (1, 2, 3, 4, 5) Görüldüğü gibi B çözümü oluģturulan yer değiģtirme operatörleri ile A çözümüne yaklaģmıģ oldu. B çözümü için oluģturulan operatörleri aģağıdaki gibi ifade edilebilir; SS = A B = (SO 1,3, SO 2,3, SO 3,3, SO 4,5 ) Algoritmanın Yeniden Düzenlenmesi Yer değiģtirme operatörleri, PSO da bulunan parçacıkların hızını hesaplamak için kullanılan formül için yeniden düzenlendiğinde; V id = V id α (P id X id ) β P gd X gd burada α, β ε [0,1] (4.5) α ve β değiģkenleri 0 ve 1 arasında rastgele oluģturur yada sabit bir değer atanabilir. Bu değerler bireyin bir önceki bireye ve popülasyondaki en iyi bireye benzeme oranını belirler. α (P id X id ) iģleminde α, X id çözümünün P id çözümüne ne kadar benzeyeceğini belirler ve en fazla çözümde bulunan noktaların sayısı kadar olabilir. β değiģkeni aynı Ģekilde β P gd X gd iģlemini etkiler. Algoritma gezgin satıcı problemi için aģağıdaki adımlarla yeniden tanımlanabilir;

31 20 1. Popülasyondaki parçacık sayısı kadar çözüm üret ve her parçacık için hız yerine geçecek yer değiģtirme öbeği üret. 2. Bütün parçalar için X id, çözümlerinin X id yenide hesapla; 2-1. P id ve X id değerlerinin farkının hesaplanması A = P id X id, bu iģlem bireyin bir önceki en iyiye (P id ) benzemesini sağlar P gd ve X id değerlerinin farkının hesaplanması A = P gd X id, bu iģlem bireyin global en iyiye (P gd ) benzemesini sağlar Yeni hızın hesaplanması; V id = V id α (P id X id ) β P gd X gd (4.6) 2-4. Yeni parçacığın (çözümün) hesaplanması; X id = X id + V id (4.7) Bu iģlem yeni bireyin yeni oluģturulan hıza benzemesini sağlar Yeni P id değeri daha iyi ise eski değer ile yer değiģtir. 3. Ġterasyondaki P gd değeri daha iyi ise eski değer ile yer değiģtir. 4. Ġstenen Ģart sağlandıysa algoritmayı bitir. Bu bölümde PSO algoritması ve algoritmanın GSP ye uygulanması anlatılmıģtır. GSP kendine has özellikleri olan bir problem türü olduğu için, optimizasyon algoritmalarının bu probleme uyarlanması gereklidir. Ek operatörlerin tanımlanması ile PSO algoritması GSP ye uygun olarak düzenlenmiģtir.

32 21 5. GENETİK ALGORİTMALAR 5.1 Giriş Doğada gözlemlenen evrimsel sürece benzer bir Ģekilde çalıģan arama ve eniyileme yöntemidir. KarmaĢık çok boyutlu arama uzayında en iyinin hayatta kalması ilkesine göre genel en iyi çözümü arar. Genetik algoritmaların temel ilkeleri ilk kez Michigan Üniversitesi'nde John Holland tarafından ortaya atılmıģtır. Holland 1975 yılında yaptığı çalıģmaları Adaptation in Natural and Artificial Systems adlı kitabında bir araya getirmiģtir. Ġlk olarak Holland evrim yasalarını genetik algoritmalar içinde eniyileme problemleri için kullanmıģtır. (Goldberg 1989) Genetik algoritmalar problemlere tek bir çözüm üretmek yerine farklı çözümlerden oluģan bir çözüm kümesi üretir (Albayrak 2008). Böylelikle, arama uzayında aynı anda birçok nokta değerlendirilmekte ve sonuçta genel çözüme ulaģma olasılığı yükselmektedir. Çözüm kümesindeki çözümler birbirinden tamamen bağımsızdır. Her biri çok boyutlu uzay üzerinde bir vektördür. Genetik algoritmalar problemlerin çözümü için evrimsel süreci bilgisayar ortamında taklit ederler. Diğer eniyileme yöntemlerinde olduğu gibi çözüm için tek bir yapının geliģtirilmesi yerine, böyle yapılardan meydana gelen bir küme oluģtururlar. Problem için olası pek çok çözümü temsil eden bu küme genetik algoritma terminolojisinde popülasyon adını alır. Popülasyondaki vektör, kromozom veya birey adı verilen sayı dizilerinden oluģur. Birey içindeki her bir elemana gen adı verilir. Popülasyondaki bireyler evrimsel süreç içinde genetik algoritma iģlemcileri tarafından belirlenirler. Problemin bireyler içindeki gösterimi problemden probleme değiģiklik gösterir. Genetik algoritmaların problemin çözümündeki baģarısına karar vermedeki en önemli faktör, problemin çözümünü temsil eden bireylerin gösterimidir. Nüfus içindeki her bireyin problem için çözüm olup olmayacağına karar veren bir uygunluk

33 22 fonksiyonu vardır. Uygunluk fonksiyonundan dönen değere göre yüksek değere sahip olan bireylere, nüfustaki diğer bireyler ile çoğalmaları için fırsat verilir. Bu bireyler çaprazlama iģlemi sonunda çocuk adı verilen yeni bireyler üretirler. Çocuk kendisini meydana getiren ebeveynlerin (anne, baba) özelliklerini taģır. Yeni bireyler üretilirken düģük uygunluk değerine sahip bireyler daha az seçileceğinden bu bireyler bir süre sonra nüfus dıģında bırakılırlar. Yeni nüfus, bir önceki nüfusta yer alan uygunluğu yüksek bireylerin bir araya gelip çoğalmalarıyla oluģur. Aynı zamanda bu nüfus önceki nüfusun uygunluğu yüksek bireylerinin sahip olduğu özelliklerin büyük bir kısmını içerir. Böylelikle, pek çok nesil aracılığıyla iyi özellikler nüfus içersinde yayılırlar ve genetik iģlemler aracılığıyla da diğer iyi özelliklerle birleģirler. Uygunluk değeri yüksek olan ne kadar çok birey bir araya gelip, yeni bireyler oluģturursa arama uzayı içerisinde o kadar iyi bir çalıģma alanı elde edilir. Probleme ait en iyi çözümün bulunabilmesi için; Bireylerin gösterimi doğru bir Ģekilde yapılmalı, Uygunluk fonksiyonu etkin bir Ģekilde oluģturulmalı, Doğru genetik iģlemciler seçilmeli. Bu durumda çözüm kümesi problem için bir noktada birleģecektir. Genetik algoritmalar, diğer eniyileme yöntemleri kullanılırken büyük zorluklarla karģılaģılan, oldukça büyük arama uzayına sahip problemlerin çözümünde baģarı göstermektedir. Bir problemin bütünsel en iyi çözümünü bulmak için garanti vermezler. Ancak problemlere makul bir süre içinde, kabul edilebilir, iyi çözümler bulurlar. Genetik algoritmaların asıl amacı, hiçbir çözüm tekniği bulunmayan problemlere çözüm aramaktır. Kendilerine has çözüm teknikleri olan özel problemlerin çözümü için mutlak sonucun hızı ve kesinliği açısından genetik algoritmalar kullanılmazlar (ÇunkaĢ 2004). Genetik algoritmalar ancak; Arama uzayının büyük ve karmaģık olduğu, Mevcut bilgiyle sınırlı arama uzayında çözümün zor olduğu, Problemin belirli bir matematiksel modelle ifade edilemediği, Geleneksel eniyileme yöntemlerinden istenen sonucun alınmadığı alanlarda etkili ve kullanıģlıdır.

34 23 Genetik algoritmalar parametre ve sistem tanılama, kontrol sistemleri, robot uygulamaları, görüntü ve ses tanıma, mühendislik tasarımları, planlama, yapay zeka uygulamaları, uzman sistemler, fonksiyon ve kombinasyonel eniyileme problemleri ağ tasarım problemleri, yol bulma problemleri, sosyal ve ekonomik planlama problemleri için diğer eniyileme yöntemlerinin yanında baģarılı sonuçlar vermektedir. Diğer Yöntemlerden Farkı 1. Genetik algoritmalar problemlerin çözümünü parametrelerin değerleriyle değil, kodlarıyla arar. Parametreler kodlanabildiği sürece çözüm üretilebilir. Bu sebeple genetik algoritmalar ne yaptığı konusunda bilgi içermez, nasıl yaptığını bilir. 2. Genetik algoritmalar aramaya tek bir noktadan değil, noktalar kümesinden baģlar. Bu nedenle çoğunlukla yerel en iyi çözümde sıkıģıp kalmazlar. 3. Genetik algoritmalar türev yerine uygunluk fonksiyonunun değerini kullanır. Bu değerin kullanılması ayrıca yardımcı bir bilginin kullanılmasını gerektirmez. 4. Genetik algoritmalar gerekli kuralları değil olasılıklı kuralları kullanır. 5.2 Algoritma Genetik Algoritmaların uygulanması aģağıdaki basamaklardaki gibi özetlenebilir. 1. Olası çözümlerin kodlandığı bir çözüm grubu oluşturulur ; (çözüm grubu, biyolojideki benzerliği nedeniyle, toplum (populasyon), çözümlerin kodları da kromozom olarak tanımlanır). Toplumda bulunacak birey sayısı için bir standart yoktur, problemin türüne göre bu sayı değiģebilir. Toplum rasgele oluģturulur. OluĢturulan bireyler problemin türüne göre çeģitli yöntemlerle kodlanmalıdır. 2. Her kromozomun uygunluk değeri hesaplanır. Popülasyondaki bireylerin verilen probleme göre uygunluk değerleri hesaplanır. Genetik algoritmanın

35 24 baģarısı çoğu zaman bu fonksiyonun verimli olmasına bağlıdır. EĢleme havuzu oluģturulurken uygunluk değerleri baz alınır ve çeģitli seçim yöntemleri kullanılır. 3. Seçilen kromozomları eşleyerek yeniden kopyalama ve değiştirme uygulanır. EĢleĢme havuzunda bulunan bireylerin çaprazlanması ve yeni bireylerin mutasyona uğraması bu aģamada yapılır. Mutasyon toplumda çeģitliliğe neden olur ve problem sonucunun yerel minimuma takılmasını önler. 4. Yeni nesil bireylerin ebeveyn bireylerle yer değiştirmesi. Bu yöntemle popülasyonun sabit büyüklükte kalması sağlanır. 5. Tüm kromozomların uygunluk değerleri tekrar hesaplanır. Ebeveynlerle yer değiģtiren yeni nesil kromozomlarla birlikte uygunluk değerleri tekrar hesaplanır. 6. Belli bir nesil sayısına kadar döngü devam eder. Popülasyonun uygunluk değerleri tekrar hesaplanır, 2. adımdan itibaren iģlemler tekrar edilir. 7. Son olarak üretilen nesiller içinden en uygun değere sahip olan birey çözüm olarak kabul edilir. ġekil 5.1 de algoritmanın akıģ diyagramı gösterilmiģtir. 5.3 Algoritmanın Sürekli Fonksiyonların Çözümünde Kullanılması Ġkili (Binary) kodlu GA lar bir çok problemin çözümünde baģarı ile kullanılmıģtır. Bu yöntemin pek çok avantajı olmasına rağmen, programa çok fazla ek yük getirdiği için çözüm zamanı uzamaktadır ( Adewuya 1996). Bu durumda özellikle gerçek değerli matematiksel fonksiyonların çözümü için farklı genetik operatörlerin kullanılması gereklidir. Sürekli fonksiyonların çözümünde, özellikle çaprazlama ve mutasyon operatörlerinde değiģikliğe gidilmek zorundadır.(wright 1991). Bu tür problemlerin çözümü için geliģtirilen algoritmalara Gerçek Kodlu Genetik Algoritmalar denir. Gerçek kodlu genetik algoritmalar temel olarak aynı algoritmayı kullanmasına karģın, çaprazlama ve mutasyon operatörlerinde değiģiklikler vardır.

36 25 Çaprazlama operatörü seçilen iki bireyin genlerinin yani fonksiyonun değiģkenlerin çeģitli formlarda çaprazlanması ile gerçekleģtirilir; Birey1 = [x 1.1, x 1.2, x 1.3,, x 1.n ] Birey2 = [x 2.1, x 2.2, x 2.3,, x 2.n ] çaprazlanır; Birey1 ve Birey2 den seçilen iki kromozom Radcliff e göre Ģu formülle P yeni = βx 1.x + (1 β)x 2.x (5.1) Bu Ģekilde çaprazlanan kromozomlar yeni bireylere aktarılır. Burada β değer 0 ile 1 arasında rastgele seçilen bir sayıdır. Böylece her iki ebeveynden de belirli oranlarda gen transferi yapılmıģ olur. Burada seçim yönteminin yanı sıra, daha iyi olan bireylerin genlerinin çaprazlanmasında β değerlerinin yüksek tutulması daha iyi sonuçlar verecektir. YaklaĢma hızı buna bağlı olarak artacaktır fakat yerel optimuma takılma olasılığı da artacaktır. Gerçek kodlu GA larda mutasyon iģlemi ise rastgele seçilen bireylerin aynı kromozomlarının yer değiģtirmesi ile gerçekleģtirilir; Birey1 = [x 1.1, x 1.2, x 1.3,, x 1.n ] Birey2 = [x 2.1, x 2.2, x 2.3,, x 2.n ] Mutasyon oranı kadar, ebeveyn bireylerden seçilen kromozomlar birbirleri ile yer değiģtirilir. Böylece bireylerin genleri rastgele Ģekilde seçilir ve arama belli bir yerel optimumda takılıp kalmaz.

37 26 Başlangıç bireylerinin üretilmesi Bireylerin uygunluk değerlerinin hesaplanması Çaprazlanacak bireylerin seçilmesi Çaprazlama Mutasyon İstenen şartlar var mı? Sonuç ġekil 5.1 Genetik Algoritma

38 Genetik Algoritmanın Gezgin Satıcı Problemi için Kullanılması Gezgin satıcı probleminde, satıcı her Ģehri en kısa yoldan dolaģmak zorundadır. Satıcının dolaģması gereken Ģehir sayısını 10 olarak kabul edersek ve her Ģehri 0 dan baģlayarak kodlayalım. 1.Popülasyonun oluşturulması; TSP için popülasyondaki her birey Ģehirler arasındaki güzergahtır. Popülasyondaki bireylerin sıralanıģı sırayla hangi Ģehirlere gideceğinin sırasını belirtir. Satıcının gittiği Ģehre tekrar gitmemesi gerekir. Popülasyon üyelerinin aģağıdaki gibi oluģturabilir; Uygunluk değerlerinin hesaplanması ve seçim; Bireyleri oluģturan sayıların her biri bir Ģehri ifade ettiğinden her bir bireyin uygunluk değeri hesaplanırken aģağıdaki formül kullanılır. d ij x x y y 2 i j 2 i j (5.2) Uygunluk değerleri hesaplandıktan sonra eģleme havuzunun oluģturulması için bireyler turnuva, rulet tekeri ve elitizim gibi çeģitli yöntemlerle seçilirler.

39 28 3.Çaprazlama ; Çaprazlama iģleminde eģleme havuzundan seçilen iki birey kendi aralarında gen değiģimde bulunurlar. Burada 2. ve 3. bireyin rasgele seçildiğini ve çaprazlama noktasını da 6 olarak kabuledelim. Çaprazlama öncesi durum Çaprazlama sonrası durum Çaprazlama sonrasında oluģan yeni bireylerde aynı güzergahların tekrar ettiği durumlar olabiliyor. Bu durumu ortadan kaldırmak için standartlaģtırma iģlemi uygulanır. StandartlaĢtırma iģleminde kromozom içinde takrar eden ilk Ģehir ziyaret edilmeyen en küçük numaralı Ģehir ile değiģtirilir. Standartlaştırma öncesi Standartlaştırma sonrası Mutasyon ; Mutasyon iģlemi gezgin satıcı problemine uygun olması açısından, rasgele seçilen iki genin yerdeğiģtirmesi ile gerçekleģtirilir. Mutasyon öncesi Mutasyon sonrası

40 29 5.Durdurma Kriteri; Durdurma kriteri iterasyon sayısı yada problemin baģında belirlenen bir değerin altında oluncaya kadar 2 ve 4. adımlar devam tekrar edilir. Algoritmanın sonunda en iyi birey çözüm olarak kabul edilir. Bu bölümde GA nın iģlem basamakları anlatılmıģtır. Gerçek kodlu GA iģlem basamaklarından ve GA nın GSP ye uygulanması anlatılmıģtır.

41 30 6. DİFERANSİYEL EVRİM ALGORİTMASI 6.1 Giriş Gerçek parametreleri optimizasyon, bilimde, mühendislikte ve iģ ortamlarında karģılaģılan pratik problemlerin önemli ve geniģ sınıfını oluģturmaktadır. Zor optimizasyon problemleriyle karģılaģıldığında genellikle ilk yapılması gereken probleme özel sezgisel bir yaklaģım tekniğini belirlemek olacaktır. Diferansiyel evrim algoritması tipik bir poülasyon tabanlı geliģim algoritmasıdır. Mutasyon ve çaprazlama operatörlerini kullanarak hedef çözüme ulaģmaya çalıģır. Algoritma bir ebeveyn vektörden, bir deneme vektörü üretmek için mutasyon ve çaprazlamayı birlikte kullanır (Karaboğa 2004). 6.2 Algoritma Popülasyon tabanlı diğer algoritmalarda olduğu gibi Diferansiyel Evrim Algoritmasında da ilk önce baģlangıç popülasyonu oluģturulur. Popülasyon sayısı NP >= 4 olmak zorundadır. Popülasyon içinden rasgele seçilen 2 bireyin önce fark vektörü oluģturulur. Fark vektörü rasgele seçilmiģ üçüncü bir bireyle toplanır. Toplanan birey ebeveyn olarak seçilen bireyle çaprazlanır eğer oluģan yeni birey ebeveyn bireyden daha iyi ise yer değiģtirilir (Karaboğa ve Ökdem 2004). BaĢlangıç parametreleri olan CR ve F değerleri kullanıcı tarafından belirlenir. CR olasılığı temsil ettiği için 0 ile 1 arasında değerler almaktadır. F bir ölçekleme faktörüdür, iģlem süreci içinde rasgele üretilen Randj [0,1] CR den küçükse veya eģitse yeni parametre, rasgele seçilmiģ üç parametrenin doğrusal kombinasyonu olacaktır.

42 31 Algoritmanın çalıģması ġekil 6.1 de verilmiģtir. 1. Hedef Vektör 2. Rasgele seçilmiş bireyler Popülasyon Fark vektörünün oluşturması X Üçüncü vektörün ilave edilmesi Çaprazlama Seleksiyon? y Yeni Birey Yeni Jenerasyon ġekil 6.1 Diferansiyel Evrim Algoritması ġeması 1. Başlangıç popülasyonu ve kontrol parametrelerinin tanımlanması; NP>=4, F є (0,1+), CR є [0,1] ve parametre sınırları belirlenir x low, x high. CR ve F değerleri kullanıcı tarafından belirlenir. 2. Başlangıç popülasyonunun oluşturuması; i NP j D : xi, j, G 0 X i (1,2..., NP), j (1,2..., D), G 0, rand lo j j j rand [0,1]. x hi j x lo j [0,1] [0,1]

43 32 Burada D popülasyon üyelerinin boyutunu ifade ederken, G ise 0 olarak atandığı için bireyin ilk parametresini ifade eder. 3.Mutasyon ve Çaprazlama; r, r, r {1,2,..., NP}, r 1 j 2 rand 3 j D, u r r {1,2,..., D},( rasgele seçim ) i, j, g i( rasgele seçim ) x j, r3, G F.( x j, r1, G x j, r 2, G ) eger ( rand j[0,1] CR j j X j, i, G ( diger durumlarda) 3 rand ) 4.Seçim Yeni bireyin uygunluk değeri hedef vektör olarak seçilen ebeveynin uygunluk değerinden daha iyi ise yeni birey ebeveyn il yer değiģtirir. x i, G 1 u x i, G 1 i, G eger diger f ( u i, G 1 ) f x i, G 5. Durdurma kriteri sağlanıyorsa sonucu göster değilse 3 ve 4. adımları tekrarla Bu bölümde DEA nın iģlem basamakları anlatılmıģtır. Sürekli fonksiyonların karģılaģtırılması esnasında bu algoritma da kullanılacaktır.

44 33 7. PARÇACIK SÜRÜ OPTİMİZASYONU ALGORİTMASININ KARŞILAŞTIRILMASI Sezgisel algoritmaların performanslarının ölçmenin temel yöntemlerinden biri de algoritmanın performansını diğer algoritmaların performansları ile karģılaģtırmaktır (Özsağlam ve ÇunkaĢ 2008). Bu bölümde Parçacık Sürü Algoritması (PSO), Genetik Algoritma (GA) ve Diferansiyel Evrim Algoritması(DEA) ile karģılaģtırıldı. KarĢılaĢtırma kriteri olarak ortalama jenerasyon değerleri ele alınmıģtır. 7.1 Test fonksiyonları Bu bölümde Parçacık Sürü Optimizasyonu sürekli fonksiyonların çözümünde kullanıldı. PSO, Genetik Algoritma(Gerçek Kodlu) ve Diferansiyel Evrim Algoritması (DEA) ile karģılaģtırıldı. Test fonksiyonlarında amaç algoritmaların minimum sonucu bulmasıdır. De Jong tarafından önerilen F 1, F 2, F 3 ve F 4 test fonksiyonları bir çok araģtırmada, optimizasyon algoritmalarının performanlarının değerlendirilmesinde kullanılmıģtır. F 5, F 6, F 7 ve F 8 test fonksiyonları ise Toksarı nın (2007) çalıģmasından alınmıģtır. Test aģamasında kullanılan algoritma parametreleri Tablo 7.1 de gösterilmiģtir. Tablo 7.1 Parametreler için Kullanılan Değerler PSO GA DEA Populasyon Sayısı:100 Atalet ağırlık değeri(w)=0,99 Ölçeklendirme faktörleri (C 1 ve C 2 )=1,99 Populasyon Sayısı:100 Çaprazlama oranı=0,8 Mutasyon oranı=0,02 Populasyon Sayısı:100 Kombinasyon oranı(cr)=0,8 Ölçeklendirme faktörü (F)=0,8 Test Fonksiyonları ise Tablo 7.2 de gösterilmiģtir.

45 34 Tablo 7.2 Test Fonksiyonları Fonksiyon No Fonksiyon Limit 3 F1 x i 2 i=1 5,12 x i 5,12 F2 100(x 1 2 x 2 ) 2 + (1 x 1 ) 2 2,048 x i 2,048 5 F3 int(x i ) F4 0, J =1 i=1 1 j + 2 i=1(x 1 a ij ) 6 5,12 x i 5,12 65,536 x i 65,536 F5 x 2 + 2y cos 3πx 0.4 cos 4πy ,12 x i 5,12 F6 x 2 eğer x 1 (x 3) 2 3 eğer x > 1 5,12 x i 5,12 F7 (x 3) 8 (y 3) (x 3) (y 3) 4 2,048 x i 2,048 F8 x 1 + y 10 x i Sonuçlar Sonuçlar alınırken, program 50 defa çalıģtırıldı, algoritmaların optimum sonuca ulaģtıkları jenerasyon sayılarının ortalamaları alındı. Algoritmalar jenerasyon sayıları ile kıyaslandı. AĢağıdaki grafiklerde her bir fonksiyon için ortalama jenerasyon sayıları gösterilmiģtir. Test fonksiyonları 2.4 Ghz çift çekirdekli iģlemci ve 2048 Mb RAM a sahip bilgisayar üzerinde çalıģtırılmıģtır. Sonuçlar alınırken yakınsama oranı göz önüne alındı. Bazı fonksiyonlarda algoritmalar istenilen jenerasyon zamanında en iyi sonuca ulaģamadı. Bu durumlar

46 Ortalama Jenerasyon Ortalama Jenerasyon 35 için jenerasyon sınır kabul edildi. Ortalama jenerasyonlar, program optimum değere 0,001 yaklaģtığı zaman alındı. F1 fonksiyonu için; GA, PSO ve DEA ya göre kötü bir performans elde etmiģtir (ġekil 7.1) GA PSO DEA ġekil 7.1 F1 Fonksiyonu için Ortalama Jenerasyonlar F2 fonksiyonu için; GA yine PSO ve DEA ya göre kötü bir performans elde etmiģtir. PSO ve DEA birbirlerine yakın bir sonuç elde etmiģlerdir (ġekil 7.2) GA PSO DEA ġekil 7.2 F2 Fonksiyonu için Ortalama Jenerasyonlar F3 fonksiyonu için; GA jenerasyonu geçmesine rağmen sonuca ulaģamamıģtır bu yüzden Ģeklinde gösterilmiģtir. GA; PSO ve DEA ya göre

47 Ortalama Jenerasyon Ortalama Jenerasyon 36 oldukça kötü bir performans elde etmiģtir. PSO ve DEA birbirlerine yakın bir sonuç elde etmiģlerdir (ġekil 7.3) GA PSO DEA ġekil 7.3 F3 Fonksiyonu için Ortalama Jenerasyonlar F4 fonksiyonunda PSO ve DEA oldukça kısa jenerasyon sayılarında en iyiye ulaģmıģlardır. (ġekil 7.4) GA PSO DEA ġekil 7.4 F4 Fonksiyonu için Ortalama Jenerasyonlar

48 Ortalama Jenerasyon Ortalama Jenerasyon 37 F5 fonksiyonu trigonometrik ifadeler hesaplamalar içerdiği için bu fonksiyonun çözümünde GA, PSO ve DEA ya göre kötü bir performans göstermiģtir. Bunun yanı sıra PSO ve DEA da jenerasyon sayısı olarak önceki fonksiyonlara göre daha kötü bir performans göstermiģtir (ġekil 7.5) GA PSO DEA ġekil 7.5 F5 Fonksiyonu için Ortalama Jenerasyonlar F6 fonksiyonu iki kriterli bir fonksiyondur. GA nın performansı diğer fonksiyonlara göre bu fonksiyonda PSO ve DEA ya yaklaģmıģtır (ġekil 7.6) GA PSO DEA ġekil 7.6 F6 Fonksiyonu için Ortalama Jenerasyonlar

49 Ortalama Jenerasyon Ortalama Jenerasyon 38 F7 fonksiyonu üstel iģlemlerin fazla olmasından dolayı algoritmaları oldukça zorlamıģtır ve jenerasyon sayısı bütün algoritmalarda artmıģtır. ĠĢlem miktarının artması, jenerasyon sayısını da etkilemiģtir (ġekil 7.7) GA PSO DEA ġekil 7.7 F7 Fonksiyonu için Ortalama Jenerasyonlar F8 fonksiyonu durum uzayının büyük olmasından dolayı, bütün yöntemlerde büyük jenerasyon sayılarının oluģmasına neden olmuģtur (ġekil 7.8) GA PSO DEA 2432 ġekil 7.8 F8 Fonksiyonu için Ortalama Jenerasyonlar

50 39 Test fonksiyonlarının hepsinde PSO en az jenerasyon sayısında optimum sonuca ulaģmıģtır. DEA ise PSO ile çok yakın performans göstermiģtir. ġekil 7.13 ve Tablo 7.4 toplu sonuçlar açıklanmıģtır. AĢağıdaki grafiklerle algoritmaların ilk 25 jenerasyonda minumuma yakınsamaları incelenmiģtir. Jenerasyon Sayısı ġekil 7.9 F1 Fonksiyonun Genetik Algoritma ile Optimizasyonu F1 fonksiyonun ilk 25 jenerasyondaki GA ile yakınsaması ġekil 7.9 da gösterilmiģtir. Fonksiyon GA ile ilk jenerasyonlarda minimuma yaklaģmıģtır. Minimum sonuç olarak, 0,017 değeri 14. Jenerasyonda bulunmuģtur. Jenerasyon Sayısı ġekil 7.10 F1 Fonksiyonun PSO ile Optimizasyonu

51 40 PSO ile yakınsama ġekil 7.10 da gösterilmiģtir. PSO, GA ya göre biraz daha yavaģ minimuma yaklaģmıģtır. Minimum sonuç olarak 0,0007 değeri 25. Jenerasyonda bulunmuģtur. Jenerasyon Sayısı ġekil 7.11 F1 Fonksiyonun DEA ile Optimizasyonu DEA ile yakınsama ġekil 7.11 de gösterilmiģtir. DEA, GA ve PSO ya göre daha yavaģ minimuma yaklaģmıģtır. Minimum sonuç olarak 0,012 değeri 23. Jenerasyonda bulunmuģtur. Yukarıdaki yakınsama grafiklerinden görüldüğü üzere GA diğer algoritmalara göre ilk jenerasyonlarda minimuma hızla yaklaģmıģtır. Fakat ilerleyen jenerasyonlarda yerel optimuma takılmaktadır. PSO ve DEA ise sürekli minimuma yaklaģmaktadır. Sonuç olarak GA ilk jenerasyonlarda çok hızlı bir Ģekilde minimuma yaklaģırken, yerel optimuma yakalanmakta, PSO ve DEA ise sürekli olarak minimuma yaklaģmakta ve yerel optimuma daha az yakalanmaktadır. Tablo 7.3 de F1 fonksiyonu için çeģitli jenerasyonlarda ulaģılan minimum değerler verilmiģtir. ġekil 7.12 de çeģitli jenerasyonlarda yakınsama gösterilmiģtir.

52 Yakınsama 41 Tablo 7.3 ÇeĢitli Jenerasyonlarda UlaĢılan Minimum Değerler Jenerasyon Ulaşılan minimum değerler GA PSO DEA 25 0,08 0,007 0, ,006 2E-8 3E ,001 1E-10 6E ,005 1E-13 1E-8 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0, Jenerasyon Sayısı GA PSO DEA ġekil 7.12 ÇeĢitli Jenerasyonlarda Yakınsama

53 Şekil 7.13 Test Fonksiyonları Ortalama Jenerasyon Sayıları 42 Jenerasyon Sayısı

54 43 Tablo 7.4 Genel Test Sonuçları Fonksiyon Algoritmaların ortalama jenerasyon sayıları F min Limit GA PSO DEA F ,12 x i 5,12 F ,048 x i 2,048 F ,12 x i 5,12 F ,536 x i 65,536 F ,12 x i 5,12 F ,12 x i 5,12 F ,048 x i 2,048 F x i 10 PSO nun sürekli fonksiyonların çözümünde oldukça baģarılı olduğu görülmüģtür. Özellikle ilk dört fonksiyonda PSO nun diğer algoritmalara göre oldukça baģarılı sonuçlar aldığı görülmüģtür. Bir sonraki bölümde PSO algoritması ile GA, GSP üzerinde karģılaģtırılacaktır.

55 44 8. GEZGİN SATICI PROBLEMİNİN, PARÇACIK SÜRÜ OPTİMİZASYONU İLE ÇÖZÜMÜ 8.1 Küçük Boyutlu GSP Test Problemleri Bu bölümde çeģitli gezgin satıcı problemleri, PSO ve GA ile çözülmüģ ve alınan sonuçlar, ayrıntılı bir Ģekilde açıklanmıģtır. PSO ve GA ilk önce küçük boyutlu gezgin satıcı problemlerinin çözümünde kullanılmıģtır. Daha sonraki bölümlerde algoritmalar, Orta boyutlu GSP test problemleri ve Türkiye haritası üzerinde değerlendirilmiģtir. AĢağıda Tablo 8.1 de kullanılan problemlerin özellikleri verilmiģtir. Tablo 8.1 Küçük Boyutlu Gezgin Satıcı Test Problemleri Problem Nokta Sayısı Form En Kısa Yol C20 20 Dairesel C30 30 Dairesel C40 40 Dairesel F32 32 Fraktal F41 41 Fraktal S21 21 Dörtgen ġekil 8.1, ġekil 8.2, ġekil 8.3, ġekil 8.4, ġekil 8.5 ve ġekil 8.6 test problemlerinin, noktasal yerleģimi verilmiģtir (Erentürk 2004). (Problemlerin koordinat bilgileri Ek B de verilmiģtir.)

56 45 ġekil 8.1 C20 Problemi ġekil 8.2 C30 Problemi

57 46 ġekil 8.3 C40 Problemi ġekil 8.4 F32 Problemi

58 47 ġekil 8.5 F41 Problemi ġekil 8.6 S21 Problemi

59 Küçük Boyutlu GSP Test Sonuçları Sonuçlar alınırken programlar 30 defa çalıģtırıldı. Programlar; 2,4 GHz hızında çift çekirdekli ve 2048 Mb Ram i bulunan bilgisayar üzerinde koģturulmuģtur. Sonuçlar ortalama yol değerleri ve ortalama yolun hatasına göre değerlendirildi. Her iki algoritmada birey sayısı 100 olarak alındı. GA için Çaprazlama oranı 0,8 ve Mutasyon oranı 0,05 olarak kabul edildi. PSO için α ve β benzeme oranları 0,8 olarak kabul edildi. GA ve PSO algoritmalarında baģlangıç bireyleri belirli bir hata oranında oluģturuldu. Böylece algoritma kötü bireylerin evrimi için zaman harcamamıģ oldu. BaĢlangıç popülasyonu hata değerleri en yüksek % 100 olarak alındı. Sezgisel algoritmalarda her zaman en kısa yola ulaģılması mümkün değildir. Bu yüzden ortalama yol ve ortalama hata değerlerini incelemek gerekir. Tablo 8.2 Küçük Boyutlu GSP Test sonuçları Ortalama Yol Hata (%) TSP En iyi PSO GA PSO GA C , ,2 1,12 0,98 C , ,7 1,45 1,02 C , ,4 2,3 1,57 F , ,1 1,61 1,44 F , ,7 2,68 2,25 S ,31 1,08 Tablo 8.2 de görüldüğü gibi PSO ve GA oldukça yakın sonuçlar elde etmiģlerdir. PSO nun yakınsama hızı GA ya daha iyi olmasına rağmen ortalama yol ve ortalama hata değerlerinde GA nın daha iyi sonuçlar elde ettiğini görüyoruz. ġekil 8.7 ve ġekil 8.8 de sonuçlar grafikte gösterilmiģtir.

60 Şekil 8.7 Test Fonksiyonları Ortalama Yol Uzunlukları 49

61 Şekil 8.8 Test Fonksiyonları Ortalama Hata Değerleri 50

62 Küçük GSP Problemlerinin Çözümünde, Parametrelerin Etkisi PSO ve GA algoritmalarının her ikisinde de arama sürecinin hızlı olması birey sayısı ile doğru orantılıdır. Birey sayısının artması jenerasyon zamanını azaltırken iģlem süresini uzatmaktadır. Yukarıda belirttiğimiz sonuçlar alınırken PSO için kullandığımız α ve β değerleri 0,8 ve sürü sayısı 100 alınmıģtır. Burada PSO bireylerini yeniden oluģturmada kullandığımız ; V id = V id α (P id X id ) β P gd X gd burada α, β ε [0,1] Formülünü hatırlayacak olursak, α değeri bireyin bir önceki bireye benzeme oranını, β ise popülasyonda oluģmuģ en iyi bireye benzeme oranını belirtmektedir. GA da ise birey sayısı yine 100 olarak alınmıģtır, Çaprazlama oranı 0,8 ve Mutasyon oranı 0,05 olarak alınmıģtır. Her iki algoritmada 50, 100 ve 150 bireyle test edilmiģtir. Alınan sonuçlara göre birey sayısı azaldıkça ortalama hata değeri yükselmektedir. Algoritmalar en kısa yola daha uzun jenerasyonlarda ulaģmakta fakat birey sayısındaki azalma programın iģlem yükünü azaltmakta ve yaklaģık aynı sürelerde sonuca ulaģmaktadır. Tablo 8.3 de sonuçlar verilmiģtir. ġekil 8.9 ve ġekil 8.10 da birey sayılarının etkisi grafik olarak gösterilmiģtir. Tablo 8.3 Test Fonksiyonlarının Çözümünde Birey Sayısının Etkisi Ortalama Hata (%) Problem PSO GA 50 Birey 100 Birey 150 Birey 50 Birey 100 Birey 150 Birey C20 1,36 1,12 0,93 1,16 0,98 0,85 C30 1,63 1,45 1,34 1,28 1,02 0,91 C40 2,75 2,3 2,16 1,96 1,57 1,42 F32 1,98 1,61 1,39 1,68 1,44 1,23 F41 3,14 2,68 2,31 2,47 2,25 1,98 S21 1,81 1,31 1,07 1,23 1,08 0,89

63 Hata Oranları Hata Oranları 52 PSO 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 C20 C30 C40 F32 F41 S21 50 Birey 1,36 1,63 2,75 1,98 3,14 1, Birey 1,12 1,45 2,3 1,61 2,68 1, Birey 0,93 1,34 2,16 1,39 2,31 1,07 50 Birey 100 Birey 150 Birey ġekil 8.9 PSO Algoritmasında Bireylerin Etkisi GA 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 C20 C30 C40 F32 F41 S21 50 Birey 1,16 1,28 1,96 1,68 2,47 1, Birey 0,98 1,02 1,57 1,44 2,25 1, Birey 0,85 0,91 1,42 1,23 1,98 0,89 50 Birey 100 Birey 150 Birey ġekil 8.10 GA Algoritmasında Bireylerin Etkisi Birey sayısı arttıkça hata oranını düģüyor fakat iģlem yükü artıyor. Bunun ideal birey sayısının 50 ve 100 arasında bir değer seçilmesi faydalı olmaktadır.

64 Literatürde Kullanılan GSP Test Problemleri Bu bölümde literatürde sıklıkla kullanılan çeģitli problemlerin test sonuçları karģılaģtırılacaktır. Altı ayrı problemin ortalama hata oranları incelenecektir. Kullanılan test problemlerine ait temel bilgiler Tablo 8.4 de verilmiģtir. Tablo 8.4 Literatürde Kullanılan ÇeĢitli GSP Test Problemleri Test Problemi Nokta Sayısı Optimum Sonuç Att Bayg Burma Dantzig Eil Eil Eil KroA Literatürde Kullanılan GSP Test sonuçları Sonuçlar alınırken, programlar 20 defa çalıģtırıldı. Değerlendirme Ortalama yol uzunlukları ve ortalama hataya göre yapıldı. Buna göre nokta sayısı düģük olan problemlerde PSO ve GA oldukça yakın sonuçlar vermiģtir. Nokta sayısı arttıkça GA nın daha az hata oranı ile daha iyi sonuçlar elde ettiği görülmüģtür. Her iki algoritmada birey sayısı 100 olarak alındı. GA için Çaprazlama oranı 0,8 ve Mutasyon oranı 0,05 olarak kabul edildi. PSO için α ve β benzeme oranları 0,8 olarak kabul edildi. GA ve PSO algoritmalarında baģlangıç bireyleri belirli bir hata oranında oluģturuldu. Böylece algoritma kötü bireylerin evrimi için zaman harcanmamıģ oldu. BaĢlangıç popülasyonu hata değerleri en büyük % 100 olarak alındı. Tablo 8.5 de sonuçlar gösterilmiģtir.

65 Ortalama Yol 54 Tablo 8.5 Literatürde Kullanılan GSP Test sonuçları Test Problemi En iyi Ortalama Yol Hata (%) PSO GA PSO GA Att , ,8 2,25 1,89 Bayg ,6 1637,7 1,9 1,72 Burma ,9 3353,5 1,14 0,92 Dantzig ,53 713,32 2,08 2,05 Eil ,43 434,98 2,45 2,11 Eil ,7 3,16 2,56 Eil ,1 645,9 3,66 2,7 KroA ,3 3,71 2,68 Test sonuçları ġekil 8.11 ve ġekil 8.12 grafik olarak gösterilmiģtir Att48 Bayg29 Burma 14 Dantzi g42 Eil51 Eil76 Eil101 KroA1 00 PSO , 3360, 713,5 436, , GA , 3353, 713,3 434,9 551,7 645, min PSO GA min Tablo 8.11 Literatürde Kullanılan GSP Ortalama Yol Değerleri

66 Ortalama Hata ,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 Att48 Bayg29 Burma 14 Dantzig 42 Eil51 Eil76 Eil101 KroA10 0 PSO 2,25 1,9 1,14 2,08 2,45 3,16 3,66 3,71 GA 1,89 1,72 0,92 2,05 2,11 2,56 2,7 2,68 PSO GA Tablo 8.12 Literatürde Kullanılan GSP Ortalama Hata Değerleri 8.3 Orta Boyutlu GSP Test Problemleri Bu bölümde orta büyüklükte GSP problemlerinin test sonuçları karģılaģtırılacaktır. Test problemleri, Georgia Technical Üniversitesine bağlı, adresinden alınmıģtır. Kullanılan problemlere ait temel bilgiler Tablo 8.6 de verilmiģtir. (Problemlere ait koordinat bilgisi Ek-B da verilmiģtir) Tablo 8.6 Orta Büyüklükteki GSP Test Problemleri Test Problemi Nokta Sayısı Optimum Sonuç XQF XQG BCL PBM

67 Orta Boyutlu GSP Test Sonuçları Test sonuçları alınırken, programlar 10 defa çalıģtırıldı. PSO orta boyutlu GSP test problemlerinin çözümünde GA ya göre daha kötü sonuçlar üretmiģtir. Problemin çözümünde baģlangıç bireyleri belirli bir hata oranı dahilinde üretilmiģtir. Bu sayede kötü bireylerin evrimi için zaman kaybı önlenmektedir. BaĢlangıç bireylerinin hata oranı %100 olarak belirlenmiģtir. Özellikle problemdeki nokta sayısı arttıkça PSO, hem bulunan en iyi yol hem de ortalama yol alanında GA ya göre daha kötü olduğu söylenebilir. PSO nun GA ya göre daha hızlı yakınsama yaptığı fakat belli bir jenerasyon sonunda yerel minimuma takıldığı görülmüģtür. Bunun en büyük sebebi, GA da daha fazla rastgele operatör kullanılması. Jenerasyon sayılarının yakın olmasının en büyük sebebi ise Bulunan sonuçlarda PSO nun daha açgözlü davranmasıdır. PSO nun küçük boyutlu GSP lerde, orta boyutlu GSP lere göre, daha iyi performans gösterdiği görülmüģtür. Alınan sonuçlar Tablo 8.7 de gösterilmiģtir ve ġekil 8.13, ġekil 8.14, ġekil 8.15 ve ġekil 8.16 da grafiklerle ifade edilmiģtir. Tablo 8.7 Orta Boyutlu GSP Test Sonuçları Test Problemi En Ġyi Yol XQF XQG BCL PBM Algoritma Bulunan En Ortalama Bulunan En Ortalama Ġyi Yol Yol Hatası Ġyi Yol Yol Hatası (%) (%) PSO ,3 3,59 GA ,13 PSO ,9 5,19 GA ,2 4,84 PSO , ,44 GA ,1 1748,9 7,89 PSO , ,9 10,33 GA , ,3 9,1

68 XQF131 XQG237 BCL380 PBM436 PSO GA Min PSO GA Min ġekil 8.13 Orta Boyutlu GSP Bulunan En Ġyi Yollar PSO GA 1 0 XQF131 XQG237 BCL380 PBM436 PSO 0 0 3,01 5,46 GA 0 0 2,1 4,37 ġekil 8.14 Bulunan En Ġyi Yolların Ortalama Hataları

69 XQF131 XQG237 BCL380 PBM436 PSO 584,3 1070, ,9 GA ,2 1748,9 1574,3 Min PSO GA Min ġekil 8.15 Bulunan Ortalama Yollar PSO GA 2 0 XQF131 XQG237 BCL380 PBM436 PSO 3,59 5,19 9,44 10,33 GA 2,13 4,84 7,89 9,1 ġekil 8.16 Ortalama Yolların Hatası Orta boyutlu GSP problemleri için bilinen en iyi yollar ve bulunan en iyi yollar ġekil 8.17, ġekil 8.18, ġekil 8.19 ve ġekil 8.20 de verilmiģtir.

70 59 ġekil 8.17 XQF131 Problemi için PSO ve GA nın Bulduğu Minimum Yol bulmuģtur. Bu problemde (XQF131) her iki algoritmada minimum yolu doğru bir Ģekilde ġekil 8.18 XQG237 Problemi için PSO ve GA nın Bulduğu Minimum Yol Bu problemde (XQG237) her iki algoritmada minimum yolu doğru bir Ģekilde bulmuģtur.

71 60 Minimum Yol GA ile Minimum Yol (%2,1 hata ile) PSO ile Minimum Yol (%3,01 hata ile) ġekil 8.19 BCL380 Problemi Bulunan En Kısa Yollar

72 61 Minimum Yol GA ile Minimum Yol (%4,37 hata ile) PSO ile Minimum Yol (%5,46 hata ile) ġekil 8.20 PBM436 Problemi Bulunan En Kısa Yollar

73 Amerika ve Türkiye Haritası Üzerinde Gezgin Satıcı Problemi Bu bölümde Gezgin Satıcı Problemleri Amerika ve Türkiye haritası üzerinde test problemleri üzerinde incelenecektir. Bu bölümde Konya ilinin 31 ilçesinin GSP çözümü ve test sonuçları, Türkiye deki 81 il merkezinin GSP çözümü ve test sonuçları ve Türkiye üzerindeki 888 ilçenin GSP çözümü ve test sonuçları yer alacaktır Amerika Şehirleri GSP Çözümü Bu bölümde ilk defa Padberg ve Rinaldi (1987), tarafından tanımlanan ve Amerika BirleĢik devletlerinin 532 Ģehrine ait gezgin satıcı probleminin çözümü PSO ve GA ile yapıldı. Bu problem literatürde Att532 olarak adlandırılmaktadır. Sonuçlar alınırken geliģtirilen program 10 defa çalıģtırıldı. Ortalama yol ve ortalama hata değerleri ile karģılaģtırma yapıldı. BaĢlangıç bireyleri belirli bir hata oranında oluģturuldu. Böylece kötü bireylerin evrimi için zaman kaybı olmamıģtır. Bu problemde baģlangıç bireylerinin hata oranı %100 olarak kabul edildi. AĢağıda Tablo 8.8 de sonuçlar verilmiģtir. Tablo 8.8 Att532 GSP Sonuçları En Ġyi Bulunan En En Ġyi Yolun Algoritma Ortalama Yol Ortalama Hata Sonuç Ġyi Sonuç Hatası PSO 29156,1 5, ,2 9, GA 28973,3 4, ,1 7,34 Sonuçlar GA nın PSO ya göre daha iyi olduğu görülmektedir. Fakat uzun generasyon sayıları ile elde edilen en iyi sonuçlarda her iki algoritmanın da yakın sonuçlar ürettiği görülmüģtür. En iyi sonuçlar ġekil 8.21 ve ġekil 8.22 de gösterilmiģtir.

74 63 ġekil 8.21 Att532 Probleminin GA ile Bulunan En Ġyi Yolu ġekil 8.22 Att532 Probleminin PSO ile Bulunan En Ġyi Yolu

75 Konya İlçeleri GSP Çözümü Bu bölümde Konya nın 31 ilçesinin GA ve PSO Algoritmaları ile çözümleri ele alınacaktır (ġekil 8.23). Konya ilçeleri, pixel harita üzerinde iģaretlendi. Hazırlanan program kullanılarak simulasyon gerçekleģtirildi. (Koordinat Bilgileri Ek B da verilmiģtir.) ġekil 8.23 Konya Haritası Üzerinde ĠĢaretlemiĢ Ġlçeler Programlar her iki algoritma içinde 20 defa çalıģtırıldı. Ortalama jenerasyon zamanında PSO nun daha iyi olduğu fakat ortalama yolda GA nın üstünlüğü görülmüģtür. Tablo 8.9 de sonuçlar verilmiģtir. ġekil 8.24 de PSO ve GA nın ulaģtığı en kısa yol verilmiģtir.

76 65 Tablo 8.9 Konya Ġlçeleri Sonuçlar Algoritma Bulunan En Kısa Ortalama Ortalama Yol Yol Jenerasyon PSO , ,4 GA ,8 ġekil 8.24 PSO ve GA nın UlaĢtığı En Kısa Yol

77 Türkiye İl Merkezleri GSP Çözümü Türkiye il merkezlerinin GSP çözümü bu bölümde incelenmiģtir. 81 il merkezi ġekil 8.25 de gösterilmiģtir. (Koordinat bilgileri Ek-B de verilmiģtir.) PSO ve GA ile en kısa yol, 3869 olarak bulunmuģtur. Program 10 defa çalıģtırıldı ve aģağıdaki sonuçlar alındı. PSO ve GA ile yapılan uygulamada bulunan en iyi yol ġekil 8.26 da gösterilmiģtir. Tablo 8.10 TR81 Sonuçları Algoritma Bulunan En Ġyi Yol Ortalama Yol Hata (%) PSO ,56 GA ,93 Tablo 8.10 her iki algoritma için bulunan en iyi yolu ve ortalamaları göstermektedir. Burada verilen % hata, ortalama yolun bulunan en iyi yola ne kadar yaklaģtığını göstermektedir. Türkiye il merkezleri daha önce Erentürk (2004) tarafından belirlenen koordinatlar ile de çözülmüģtür. Bu koordinatlarla yapılan çözümde ise geliģtirilen program 10 defa çalıģtırılmıģtır ve aģağıdaki sonuçlar alınmıģtır. Tablo 8.11 TR81 Gerçek Koordinatlar ile Ortalama Yollar Algoritma Bulunan En Ġyi Sonuç Ortalama Yol PSO ,4 GA ,5

78 Şekil 8.25 Türkiye İl Merkezleri 67

79 Şekil 8.26 Türkiye İl Merkezleri PSO ve GA ile Bulunan en Kısa Yol 68

80 Türkiye İlçeleri GSP Çözümü Bu bölümde Türkiye de bulunan 888 ilçenin GSP çözümü yapılmıģtır. Ġlçe merkezleri piksellik bir harita üzerinde iģaretlenmiģtir. Ġstanbul, avrupa yakası ve asya yakası birer ilçe kabul edilmiģtir. Ġlçe merkezleri ġekil 8.27 da gösterilmiģtir (Koordinat bilgileri Ek-B de verilmiģtir). GA ve PSO ile elde edilen çözümler ġekil 8.28 ve ġekil 8.29 da gösterilmiģtir. Gezgin Satıcı Probleminin boyutu büyüdükçe, GA nın hem jenerasyon zamanı hem de en kısa yolu bulması açısından üstün performans gösterdiği görülmüģtür. GA ile bulunan en kısa yol 16242,19, PSO ile bulunan en kısa yol ise 16330,2 dir. GA, jenerasyon zamanı olarak da daha az nesilde bu sayıya ulaģmıģtır. PSO optimizasyonun ilk baģlarında hızlı bir geliģme göstermesine rağmen daha sonra yerel minimuma takılma sorunları nedeniyle optimum çözüme daha uzun bir zamanda ulaģabilmiģtir. Türkiye ilçelerini kapsayan GSP problemi ilk defa çözüldüğü için, ilçelerin koordinat bilgilerinin hesaplanması için özel bir program tasarlandı. Bu program ile ilçeler iģaretlendi ve koordinat bilgileri alındı. GeliĢtirilen program 5 defa çalıģtırıldı ortalama değerler Tablo 8.12 de gösterilmiģtir. Tablo 8.12 Türkiye Ġlçeleri GSP Çözümleri Ortalama Sonuçları Algoritma Bulunan en iyi yol Ortalama yol En iyi yola göre ortalama hata PSO % 13,2 GA % 11,7 Bu bölümde çeģitli GSP çözümleri yapılmıģtır. Küçük ölçekli test problemlerinde GA ve PSO nun uzun jenerasyon sayılarında yaklaģık aynı sonuçları aldığı görülmüģtür. PSO nun, GA ya göre daha hızlı yakınsama yaptığını fakat GA nın daha iyi sonuç verdiğini görmekteyiz.

81 Şekil 8.27 Türkiye İlçe Merkezleri 70

82 Şekil 8.28 Türkiye İlçe Merkezleri GA ile Bulunan en Kısa Yol 71

83 Şekil 8.29 Türkiye İlçe Merkezleri PSO ile Bulunan en Kısa Yol 72

84 73 9. SONUÇLAR ve ÖNERİLER Bu çalıģmada sürekli test fonksiyonları, küçük ve orta ölçekli Gezgin Satıcı Problemleri (GSP) ile Türkiye il merkezleri ve ilçe merkezleri GSP problemleri kullanılarak, Parçacık Sürü Optimizasyonu (PSO), Genetik Algoritma(GA), Diferansiyel Evrim algoritması(dea) karģılaģtırılmıģ ve performans analizleri yapılmıģtır. Algoritmalar 2.4 GHz, 2048 MB RAM e sahip bilgisayarlar üzerinde çalıģtırıldı. PSO algoritması çok yeni bir yöntem olmasına rağmen, bir çok problemin çözümüne adapte edilmiģtir. Bir çok problemin çözümünde diğer meta-heuristic yöntemlere göre baģarılı sonuçlar vermektedir. Bu çalıģmada sürekli test fonksiyonları ile yapılan denemelerde PSO, DEA ve GA ya göre baģarılı sonuçlar ürettiği görülmüģtür. Bunda temel etken arama uzayının sınırlı olmasıdır. Ayrıca yöntem olarak karmaģık operatörleri kullanmamasıdır. Sürüdeki bireylerin en iyi bireye yaklaģmak istemesi PSO nun en iyiye daha hızlı yakınsamasını sağlamaktadır. Tablo 9.1 de görüldüğü gibi PSO algoritması özellikle GA ya göre çok iyi sonuçlar üretmiģtir. Özellikle F1,F2,F3 ve F4 fonksiyonlarında oldukça az jenerasyon sayılarında optimuma ulaģmıģtır. Tablo 9.1 Sürekli Test Fonksiyonları Genel Sonuçları Fonksiyon Algoritmaların ortalama jenerasyon sayıları F min Limit GA PSO DEA F ,12 x i 5,12 F ,048 x i 2,048 F ,12 x i 5,12 F ,536 x i 65,536 F ,12 x i 5,12 F ,12 x i 5,12 F ,048 x i 2,048 F x i 10

85 74 GSP lerin çözümünde PSO ve GA nın yeniden düzenlenmesi gerekmektedir. Özellikle GA da çaprazlama ve mutasyon operatörleri gerçekleģtirilirken, büyük iģlem yükleri getirmektedir. PSO için geliģtirilen yer değiģtirme operatörü de aynı Ģekilde iģlem yükü getirmektedir. GSP yi çok araģtırılan ve üzerinde durulan bir problem yapan en büyük etken çözüm uzayının çok büyük olmasıdır. Sayım tekniği (enumaration) ile çok güçlü bilgisayarlar kullanılsa bile günler sürecek bir orta boyutlu GSP problemi meta-sezgisel yöntemler ile dakikalar içinde çözülebilmektedir. Meta sezgisel yöntemlerin tam sonuca ulaģamamaları büyük bir sorun gibi görünse de, iģlem süresinin kısa olması ve sonuca daha az arama yaparak yakınlaģması önemlidir. Tablo 9.2 de küçük boyutlu GSP sonuçları verilmiģtir. PSO ve GA yaklaģık aynı çözümleri gerçekleģtirmiģlerdir. Özellikle hata oranı olarak her iki algoritmada birbirine çok yakındır. Tablo 9.2 Küçük Boyutlu GSP Test Sonuçları Ortalama Yol Hata (%) TSP En iyi PSO GA PSO GA C , ,2 1,12 0,98 C , ,7 1,45 1,02 C , ,4 2,3 1,57 F , ,1 1,61 1,44 F , ,7 2,68 2,25 S ,31 1,08 PSO algoritmasının sürekli fonksiyonlarında ki baģarısını, GSP lerde gösterememesinin en büyük sebebi, yerel minimuma takılma oranının GA lara göre daha fazla olmasıdır. Küçük boyutlu GSP lerde jenerasyon zamanı olarak GA dan daha iyi olmasına rağmen minimum yol ortalamasında GA dan daha kötü olduğu görülmüģtür. Literatürde kullanılan GSP test problemlerinin sonuçları ise Tablo

86 de verilmiģtir. Bu problemlerde de küçük boyutlu GSP lerde her iki algoritmanın da yakın sonuçlar ürettiğini görmekteyiz. Tablo 9.3 Literatürde Kullanılan GSP Test Sonuçları Test Problemi En iyi Ortalama Yol Hata (%) PSO GA PSO GA Att , ,8 2,25 1,89 Att , ,1 9,67 7,34 Bayg ,6 1637,7 1,9 1,72 Burma ,9 3353,5 1,14 0,92 Dantzig ,53 713,32 2,08 2,05 Eil ,43 434,98 2,45 2,11 Eil ,7 3,16 2,56 Eil ,1 645,9 3,66 2,7 KroA ,3 3,71 2,68 Tablo 9.4 de orta boyutlu GSP lerde alınan sonuçlar verilmiģtir. Orta boyutlu GSP problemlerinde, her iki algoritmada hata oranının arttığını görmekteyiz. Tablo 9.4 Orta Boyutlu GSP Test Sonuçları Test Problemi En Ġyi Yol XQF XQG BCL PBM Algoritma Bulunan En Ortalama Bulunan En Ortalama Ġyi Yol Yol Hatası Ġyi Yol Yol Hatası (%) (%) PSO ,3 3,59 GA ,13 PSO ,9 5,19 GA ,2 4,84 PSO , ,44 GA ,1 1748,9 7,89 PSO , ,9 10,33 GA , ,3 9,1

87 76 Türkiye haritası üzerinde yapılan çalıģmalarda her iki algoritmada en iyi yolu bulmuģtur. Programların 10 kere çalıģtırılması ile alınan ortalama yol ve hata değerleri göz önüne alındığında GA nın daha iyi sonuçlar ürettiği görülmektedir. Tablo 9.5 de 81 il merkezi için hazırlanan GSP sonuçları verilmiģtir. Türkiyenin 888 ilçe merkezi kullanılarak hazırlanan problemde, GA ile bulunan en kısa yol 16242,19, PSO ile bulunan en kısa yol ise 16330,2 dir. Bu problemde her iki algoritmada yakın sonuçlar üretmiģtir. Problemin çözüm zamanı uzun olduğu için program beģ defa koģturulmuģ ve sonuçlar Tablo 9.6 da gösterilmiģtir. Tablo 9.5 Türkiye 81 il merkezi GSP sonuçları Algoritma Bulunan En Ġyi Yol Ortalama Yol Hata (%) PSO ,56 GA ,93 Tablo 9.6 Türkiye 888 ilçe merkezleri GSP sonuçları Algoritma Bulunan en iyi yol Ortalama yol En iyi yola göre ortalama hata PSO % 13,2 GA %11,7 Problemlerin çözüm zamanının kısalması için, çeģitli yardımcı yöntemlerin eklenmesi ile her iki algoritma da daha hızlı sonuçlar verecek Ģekilde yeniden düzenlenebilir.

88 77 KAYNAKLAR Adewuya, A. A., (1996), New Methods in Genetic Search with Real-Vauled Choromosomes. Master s Thesis, Cambridge : Massachusetts Institute of Technology Alizadeh F., Karp R. M., Newberg L.A., Weisser D. K. (1993) ; Physical Mapping of Chromosomes : A Combinatorial Problem in Moloculer Biology, Proc. 4th. ACM-SIAM Symp. Discrete Algorithms, (SODA), pp Albayrak M. ; (2008), Baskı Devre Kartı Delik Delme Makineleri için Genetik Algoritmalar Yardımı ile Güzergah Belirleme. Yüksek Lisans Tezi, Selçuk Üniversitesi. Avriel M. (2003) ; Non-Linear Programming : Analysis and Methods. Dover Publishing, pp 4-6 Clarke G., Wright J.W. (1964) ; Scheduling of Vehicles From a Central Depot to a Number Delivery Points. Operatianal Research, Vol 12, pp ÇunkaĢ M., (2004) ;Elektrik Makinalarının Genetik Algoritmayla Optimizasyonu, Doktora Tezi, Selçuk Ünv. Fen Bilimleri Enst., Konya.

89 78 De Jong K.A., (1975) ; An Analysis of the Behavior of a Class of Genetic Adaptive Systems, Phd Thesis, University of Michigan, Dissertation Abstracts International 36(10), 5140B. (University Micro_lms No ), Erentürk M. (2004), Performance Analysis of Meta-Heuristics Approaches for Travelling Salesman Problem. MS Thesis,Yeditepe University. Freisleben B. ; Merz P. (1996); A Genetic Local Search Algorithm for Solving Symmetric and Asymmetric Travelling Salesman Problems, Evolutionary Competition, IEEE Intenational Conferance, pp Garey, M.R.; Johnson, D.S. (1979). Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. Springer Publishing. Goldberg D.E. (1989), Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. Addison Wesley Edition. Jones D. F., Mirrazavi, S.K., Tamiz M., (2002). Multiobjective metaheuristics: An overview of the current state of the art. European Journal of Operational Research, 137, pp, 1-9 Karaboğa D., (2004) ; Yapay zeka optimizasyon algoritmaları. Atlas Yayınları. Karaboğa D., ÖKDEM S., (2004) ;A Simple and Global Optimization Algorithm for Engineering Problems: Differential EvolutionAlgorithm, Turk J Elec Engin, 12, pp

90 79 Kennedy J., Eberhart R., (1995) Particle swarm optimization, in Proc. of the IEEE Int. Conf. on Neural Networks, Piscataway, NJ, pp , Kirkpatrick S., Gelatt Jr. C.D., Vecchi M.P. (1983) ; Optimization by Simulated Annealing. Science, vol, 220, pp : Korostensky C., Gonnet G.H. (2000) ; Using Travelling Salesman Problem Algorithms for Evolutionary Tree Constructions. Bioenformatics, Vol. 16, no: 7, pp Nocedal J., Wright S. J. (2006) ; Numerical Optimization, Springer Publishing, pp 8-9. Özsağlam M. Y., ÇunkaĢ M., (2008) ; Optimizasyon Problemlerinin Çözümü için Parçaçık Sürü Optimizasyonu Algoritması, Journal of Polytechnic, Vol : 11, No : 4, pp: Padberg M., Rinaldi G., (1987) Optimization of a 532-city Symmetric Traveling Salesman Problem by Branch and Cut, Operations Research Letters, Volume 6, Number 1, March. Radcliff, N. J., (1991), Forma Analysis and Random Respectful Recombination, in Proc. Of the Fourth Ġnternational Conferance on Genetic Algorithms, pp:26-28 San Mateo, CA Morgan Kauffman.

91 80 Tagawa K., Kanzaki Y., Okada D., Inoue K., Haneda H. (1998) ; A New Metric Function and Harmonic Crossover for Symmetric and Asymmetric Travelling Salesman Problems, Evolutionary Computation Proceedings, pp : Toksarı M.D. (2007) ; A heuristic approach to find the global optimum of function, Journal of Computational and Applied Mathematics 209: , Tsai H.K., Yang J.M., Tsai Y.F., Kao C.Y, (2004); An Evolutionary Algorithm for Large Travelling Salesman Problem. System, Man and Cybernetics, Part B, IEEE Transactions on Vol:4, pp: Schrijver, A., (2005) ; On the History of Combinatorial Optimization, Handbook of Discrete Optimization, pp : 64-66, Elsevier Publishing. Shi X.H., Xing X.L., Wang Q.X., Zhang L.H., Yang X.W., (2004); A Discrete PSO Method for Generalized TSP, Machine Learning and Cybernetics, Vol:4, pp: Wang K.P., Huang L., Zhou C. G., Pang W., (2003) ; Particle Swarm Optimization for Travelling Salesman Problem, Machine Learning and Cybernetics, Vol:4, pp: Whiteley D., Starkweather T., Dann F. (1989) ; Scheduling Problems and Travelling Salesman: Genetic Edge Recombination Operator, in Proc. 3rd. International Conferance of Genetic Algorithms, pp

92 81 Wright A., (1991) ; Genetic Algorithms for Real Parameter Optimization, in G. J. E Rawlins (Ed.), Foundation of Genetic Algorithms, San Mateo, CA : Morgan Kauffman, pp EK A Bu bölümde geliģtirilen program arayüzlerinden bahsedilecektir. Sürekli Fonksiyonların Çözümü için Yazılan Programlar Ek A ġekil 1 Sürekli Fonksiyonların PSO ile Çözümü 1- Bu bölümde fonksiyonun optimizasyonu grafikle gösterilmiģtir. 2- Bu bölümde ilgili algoritma ile ilgili parametrelerin seçimi yapılıyor.

93 82 3- Bu bölümde optimize edilecek fonksiyon seçilebiliyor, programı çalıģtıran buton ve sonuçların kaydedilmesini sağlayan bir butonun yanı sıra ilgili algoritma ile ilgili çeģitli özellikler seçilebiliyor. Grafiğin kapatılması sağlanarak, proramın daha hızlı çalıģması sağlanabiliyor. 4- Bu bölümde ise sonuçlarmetin olarak gösteriliyor. GSP Testleri için Geliştirilen Programlar Ek A ġekil 2 Küçük Boyutlu GSP için geliģtirilen program 1. Bu bölümde fonksiyonun optimizasyonu grafikle gösterilmiģtir. 2. Bu bölümde ilgili algoritma ile ilgili parametrelerin seçimi yapılıyor.

94 83 3. Bu bölümde çözümü yapılacak olan GSP problemi seçilebiliyor. 4. Sonuçların gösterildiği text alanı Ek A ġekil 3 Orta Boyutlu GSP için geliģtirilen program 1. Bu bölümde fonksiyonun optimizasyonu grafikle gösterilmiģtir. 2. Bu bölümde ilgili algoritma ile ilgili parametrelerin seçimi yapılıyor. 3. Bu bölümde çözümü yapılacak olan GSP problemi seçilebiliyor. 4. Sonuçların gösterildiği text alanı.

95 84 Türkiye Haritası Üzerinde Geliştirilen Programlar Ek A ġekil 4 Konya ilçeleri GSP için geliģtirilen program 1. Generasyonlarda bulunan yolun iģaretlendiği harita 2. Parametrelerin girildiği bölüm 3. Sonuçların gösterildiği text alan.

96 Ek A ġekil 5 Türkiye il merkezlerini kapsayan GSP için geliģtirilen program 1. Çözümün gösterildiği harita 2. Algoritma parametrelerinin girildiği bölüm 3. Program arayüzünün ayarları 4. Sonuçların gösterildiği text alanı 5. Sonuçların gösterildiği grafik alan.

97 Ek A ġekil 6 Türkiye ilçe merkezlerini kapsayan GSP için geliģtirilen program 1. Çözümün gösterildiği harita 2. Algoritma parametrelerinin girildiği bölüm 3. Optimizasyonun jenerasyon bazında gösterildiği grafik alan 4. Sonuçların gösterildiği text alanı