PARÇACIK SÜRÜ OPTİMİZASYONU YÖNTEMLERİNİN UYGULAMALARLA KARŞILAŞTIRILMASI 2011 YÜKSEK LİSANS TEZİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ

Transkript

1 PARÇACIK SÜRÜ OPTİMİZASYONU YÖNTEMLERİNİN UYGULAMALARLA KARŞILAŞTIRILMASI 2011 YÜKSEK LİSANS TEZİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ Yasin ORTAKCI

2 PARÇACIK SÜRÜ OPTĠMĠZASYONU YÖNTEMLERĠNĠN UYGULAMALARLA KARġILAġTIRILMASI Yasin ORTAKCI Karabük Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Bilgisayar Mühendisliği Anabilim Dalında Yüksek Lisans Tezi Olarak HazırlanmıĢtır KARABÜK Haziran 2011

3 ii

4 Bu tezdeki tüm bilgilerin akademik kurallara ve etik ilkelere uygun olarak elde edildiğini ve sunulduğunu; ayrıca bu kuralların ve ilkelerin gerektirdiği şekilde, bu çalışmadan kaynaklanmayan bütün atıfları yaptığımı beyan ederim. Yasin ORTAKCI iii

5 ÖZET Yüksek Lisans Tezi PARÇACIK SÜRÜ OPTĠMĠZASYONU YÖNTEMLERĠNĠN UYGULAMALARLA KARġILAġTIRILMASI Yasin ORTAKCI Karabük Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Bilgisayar Mühendisliği Anabilim Dalı Tez DanıĢmanı: Doç. Dr. Cevdet GÖLOĞLU Haziran, 2011, 63 sayfa Optimizasyon problemlerinin çözümünde birçok algoritma kullanılmaktadır. Popülasyon tabanlı evrimsel arama algoritması olan Parçacık Sürü Optimizasyonu (PSO), uygulama kolaylığı ve hızlı çözüm bulma yeteneği ile diğer optimizasyon algoritmaları arasında dikkat çekmektedir. Tez kapsamında, mühendislik optimizasyon problemlerinden, sürekli, tamsayı ve ayrık değiģken tipleri içeren kısıtlara sahip bir problemin, uygunluk fonksiyonu çerçevesinde optimize edilmesi hedeflenmiģtir. PSO'da kısıtlar, Uygunluk Tabanlı Kurallar (UTK) yöntemi ile ele alınmıģtır. PSO'nun yapısı gereği zamanla çözüm uzayının dıģına çıkabilen değiģken değerlerini arama uzayında sınırlandırmak için Emme, Yansıtma, Sönümleme, Görünmez, Görünmez Yansıtma ve Görünmez Sönümleme teknikleri kullanılarak, bu tekniklerin baģarım karģılaģtırmaları yapılmıģtır. iv

6 Yine PSO kümeleme algoritması olarak kullanılmıģ ve zambak çiçeği verilerinin kümelenmesi gerçekleģtirilmiģtir. Kümeleme baģarımı, Kümeleme Doğruluk Ġndeksi (KDĠ) olarak adlandırılan üç farklı uygunluk fonksiyonu tarafından değerlendirilmiģ ve sonuçlar karģılaģtırılmıģtır. Öncelikle yöneticisiz kümeleme yöntemleri kullanılarak küme sayısı bulunmaya çalıģılmıģ, daha sonra yöneticili kümeleme yöntemi kullanılarak kümeleme baģarımı ölçülmüģtür. Ayrıca, Fuzzy C-Means (FCM) kümeleme algoritması ile PSO hibritleģtirilmiģ ve iki farklı yöntem, Küme Merkezine Dayalı FPSO (C-FPSO) ve Üyeliğe Dayalı FPSO (M-FPSO) ile kümeleme baģarımları ölçülmüģtür. Anahtar Sözcükler : Optimizasyon, parçacık sürü optimizasyonu, kısıtlar, karma değiģkenler, kümeleme. Bilim Kodu : v

7 ABSTRACT M.Sc. Thesis COMPARISION OF PARTICLE SWARM OPTIMIZATION METHODS IN APPLICATIONS Yasin ORTAKCI Karabük University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Computer Engineering Thesis Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Cevdet GÖLOĞLU June 2011, 63 pages Many algorithms in solving optimization problems are used. Particle Swarm Optimization (PSO), which is a population based evolutionary algorithm, is distinguished by the easiness in implementation and the speed in comparison to other optimization algorithms. In this thesis, it is aimed to optimize an engineering optimization problem that possesses different constraints including continuous, integer and discrete variable types by using fitness functions. The constraints of the problem are handled with Feasibility Based Rules (FBR) method. The techniques of Absorbing, Reflecting, Damping, Invisible, Invisible Reflecting, and Invisible Damping are used in order to limit the values of variables that over flow to the outside of the searching space. The performances of the aforementioned methods are compared to one another. vi

8 Besides, iris flower data set is clustered by using PSO as a clustering algorithm. The clustering performance is evaluated by three fitness functions called as Clustering Validity Indexes (CVI) and the results are compared. For this purpose, firstly, unsupervised clustering method is used in order to find the number of cluster, then, the supervised clustering method is employed for clustering performance measure. In addition, Fuzzy C-Means clustering algorithm (FCM) and PSO are hybridized and two different methods, Center Based FPSO (C-FPSO) and Membership Based FPSO (M-FPSO), are utilized for the performance measure of the hybrid clustering algorithm. Key Words : Optimization, particle swarm optimization, constraints, mixed variable, clustering. Science Code : vii

9 TEġEKKÜR Tez çalıģmalarım boyunca danıģmanlığımı yapan; bilgi birikimi ile bana yol gösteren ve tecrübelerini benden esirgemeyen Sayın Hocam Doç. Dr. Cevdet GÖLOĞLU'na sonsuz teģekkür ederim. Tez çalıģmalarım esnasında tez konumla ilgili araģtırma yapmak üzere yurt dıģına gitmeme imkan sağlayan Prof. Dr. Abdullah ÇAVUġOĞLU'na ve Sayın Rektörümüz Prof. Dr. Burhanettin UYSAL'a teģekkür ederim. Amerika BirleĢik Devletleri Auburn Üniversitesi'nde yaptığım çalıģmalar esnasında bana danıģmanlık yaparak çalıģmalarıma olan katkılarından dolayı Endüstri Mühendisliği Bölüm BaĢkanı Prof. Dr. Alice Smith'e teģekkür ederim. Beni bugünlere getiren, eğitim hayatım boyunca benden her türlü desteklerini esirgemeyen anneme ve babama ve yine yüksek lisans eğitimim boyunca bana sonsuz destek veren eģime yürekten teģekkür ederim. viii

10 ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa KABUL...Hata! Yer iģareti tanımlanmamıģ. ÖZET... iv ABSTRACT... vi TEġEKKÜR... viii ĠÇĠNDEKĠLER... ix ġekġller DĠZĠNĠ... xii ÇĠZELGELER DĠZĠNĠ... xiii SĠMGELER VE KISALTMALAR DĠZĠNĠ... xiv BÖLÜM GĠRĠġ... 1 BÖLÜM OPTĠMĠZASYON OPTĠMĠZASYONUNUN MATEMATĠKSEL ĠFADESĠ AYRIK VE SÜREKLĠ OPTĠMĠZASYON KISITLI VE KISITSIZ OPTĠMĠZASYON OLASILIKLI VE BELĠRLEYĠCĠ OPTĠMĠZASYON DOĞRUSAL VE DOĞRUSAL OLMAYAN OPTĠMĠZASYON CEZA FONKSĠYONLARI OPTĠMĠZASYON ALGORĠTMALARI... 7 BÖLÜM PARÇACIK SÜRÜ OPTĠMĠZASYONU (PSO) STANDART PSO BaĢlangıç Değerleri Konum Değeri Hız Değeri Atalet Ağırlığı ix

11 Hızlandırma Katsayıları Uygunluk Fonksiyonu KiĢisel En Ġyi Değeri Global En Ġyi Değer Sonlandırma Kriteri PSO ALGORĠTMASI BÖLÜM KARMA DEĞĠġKEN TĠP VE KISITA SAHĠP TASARIM PARAMETRELERĠNĠN OPTĠMĠZASYONU PROBLEMĠN TANIMLANMASI KISITLAR PSO DA KISITLARIN ELE ALINMASI PSO DA KARMA DEĞĠġKEN TĠPLERĠNĠN ELE ALINMASI PSO'DA ÇÖZÜM UZAYINININ SINIRLANDIRILMASI DEĞĠġTĠRĠLEN PSO ALGORĠTMASI PROBLEM UYGULAMASI BÖLÜM PARÇACIK SÜRÜ OPTĠMĠZASYONU ĠLE KÜMELEME KÜMELEME PSO ĠLE KÜMELEME PROBLEMLERĠN ÇÖZÜMÜ Problem Tanımı PSO' nun Kümeleme ĠĢlemine Uygulanması Kümeleme Doğruluk Ġndeksi PSO ĠLE KÜMELEME ALGORĠTMASININ GERÇEKLEġTĠRĠLMESĠ PROBLEM UYGULAMASI BULANIK KÜMELEME ALGORĠTMASI PSO DESTEKLĠ FCM (FPSO) PROBLEM UYGULAMASI BÖLÜM SONUÇ VE ÖNERĠLER x

12 KAYNAKLAR ÖZGEÇMĠġ xi

13 ġekġller DĠZĠNĠ Sayfa ġekil 3.1. Parçacığın pozisyon değiģtirmesi ġekil 4.1. Baskı yayı ġekil 4.2. Emme yöntemi ġekil 4.3. Yansıtma yöntemi ġekil 4.4. Sönümleme yöntemi ġekil 4.5. Görünmez yöntemi ġekil 4.6. Görünmez Yansıtma yöntemi ġekil 4.7. Görünmez Sönümleme yöntemi ġekil 4.8. Emme yöntemi uygunluk değerleri ġekil 4.9. Yansıtma yöntemi uygunluk değerleri ġekil Sönümleme yöntemi uygunluk değerleri ġekil Görünmez yöntemi uygunluk değerleri ġekil Görünmez Yansıtma yöntemi uygunluk değerleri ġekil Görünmez Sönümleme yöntemi uygunluk değerleri ġekil Çözüm uzayını sınırlandıran yöntemlerin kıyaslanması ġekil 5.1. KümelenmiĢ veriler ġekil 5.2. Zambak çiçeği ve yapraklarının yapısı ġekil 5.3. Zambak çiçeği veri setinin üç boyutlu eksende dağılımı ġekil 5.4. Uygunluk fonksiyon değerleri xii

14 ÇĠZELGELER DĠZĠNĠ Sayfa Çizelge 4.1. Yöntemlerin uygunluk değerlerinin kıyaslanması Çizelge 5.1. Zambak çiçeği veri setinin dağılımı Çizelge 5.2. Yöneticisiz kümeleme indekslerinin sonuçları Çizelge 5.3. F 3 Kümeleme indeksinin uygulama sonuçları Çizelge 5.4. Kümeleme indeksi uygunluk değerleri Çizelge 5.5. Kümeleme indekslerinin kümeleme hata oranları (CE) Çizelge 5.6. Uygunluk fonksiyon değerleri Çizelge 5.7. Kümeleme sonuçları xiii

15 SĠMGELER VE KISALTMALAR DĠZĠNĠ KISALTMALAR ACO BCO C-FPSO CVI ES FBR FPSO GA GP KDĠ M-FPSO PSO SA UTK : Ant Colony Optimization : Bee Colony Optimization : Center Based FPSO : Clustering Validity Index : Evolutionary Programming : Feasibilty Based Rules : Fuzzy Dekstekli PSO Kümeleme Algoritması : Genetik Algoritmalar Evrimsel Stratejiler : Genetic Programming : Kümeleme Doğruluk Ġndeksi : Membership Based FPSO : Parçacık Sürü Optimizasyonu : Simulated Annealing : Uygunluk Tabanlı Kurallar xiv

16 BÖLÜM 1 GĠRĠġ Optimizasyon, muhtemel çözümlerden oluģan bir kümedeki en uygun çözümü sorunla ilgili kısıtları da göz önünde bulundurarak bulmaya çalıģan matematiksel bir yöntemdir. Optimizasyon yöntemleri sistematik bir Ģekilde belirtilen aralıktaki parametrik değerleri kullanarak gerçek bir fonksiyonun maksimum yada minimum değerini ararlar. Bu yöntemler matematik, bilgisayar bilimleri, ekonomi, mühendislik, endüstri ve tıp gibi birçok alanda yaygın olarak kullanılmaktadır. Optimizasyon konusu kullanım alanlarına ve yöntemlerin uygulanıģ Ģekillerine göre birçok alt alana sahiptir. Bunlardan bazıları Olasılıklı (Stochastic) Programlama, Sezgisel (Heuristic) Yöntemler, Evrimsel Algoritmalar ve Popülasyon Tabanlı Algoritmalardır. Olasılıklı Programlama rastgele değerler kullanarak en iyiyi bulmaya çalıģırlar. Rastgele oluģturulan muhtemel çözümler değerlendirilir. Bu değerlendirmeler sonucu bulunan en iyi rastgele çözüm önerisi sistemin ürettiği cevap olur. Sezgisel Yöntemler bir döngü içersinde tekrarlı olarak çözüm önerilerini iyileģtirerek en iyi çözümü bulmaya çalıģırlar. Her bir döngüde muhtemel çözüm ya da çözümler üzerinde iģlemler yapılır. Döngüsel arama iģlemi sırasında çözüm uzayındaki hiç denenmemiģ çözümleri denemek ile önceki adımlarda edinilmiģ bilgileri kullanmak arasındaki dengeyi de gözetirler. Çözülecek optimizasyon problemi hakkında çok az varsayım yaparak veya hiç yapmayarak geniģ bir çözüm uzayını tararlar. Her zaman en iyi sonucu bulamayabilirler. Evrimsel Algoritmalar [1], biyolojik evrimi taklit ederler. Biyolojideki doğal seleksiyon ve güçlü olanın doğaya ayak uydurması ve hayatta kalabilmesi 1

17 konusundan esinlenerek üretilen algoritmalardır. Belirli sayıda eleman içeren bir popülasyon kullanılarak en iyi çözümü bulmaya çalıģırlar. Bu popülasyonda iyi çözümler seçilirken kötü çözümler popülasyondan silinir. Seçilen çözümler arasında veri alıģ veriģi yapılıp yeni çözüm kombinasyonları üretilirken, bazı çözümler üzerinde manipülasyona gidilerek çözüm çeģitliliği sağlanmıģ olur. Genetik Algoritmalar (GA) [2], Evrimsel Stratejiler (ES) [3], Evrimsel Programlama (EP) [4], ve Genetik Programlama (GP) [5,6] evrimsel algoritmalara örnek olarak gösterilebilir. Popülasyon Tabanlı Algoritmalar, doğada var olan ilginç ve bilimsel alt yapı oluģturabilecek varlıklardan ve sistemlerden esinlenerek geliģtirilen algoritmalardır. Popülasyon tabanlı algoritmalarda çoklu çözüm önerisi kullanılır. Yani her bir iterasyonda bir çözüm önerisi yerine birden fazla çözüm önerisi sunulur. Bu çözüm önerileri aralarında bilgi paylaģımı yaparak veya birbirlerini etkileyerek en uygun çözümü bulmaya çalıģırlar. Popülasyon tabanlı algoritmaların kullanımı bazı avantajlar sağlar. Bu avantajlar [7]: Çoklu çözümler kullanıldığı için arama uzayındaki en iyi noktanın dıģında iyi sonuç veren bölgeler hakkında da bilgi verir, Popülasyon ilk iterasyonlarda geniģ bir bölgede arama yapar. Ġterasyonlar ilerledikçe popülasyon üyeleri bilgi paylaģımı yaparak optimum sonuca daha çok yaklaģırlar. Böylece baģlangıçta geniģ olan arama bölgesi optimum sonuca yaklaģtıkça daralır. Popülasyon bu optimum sonuca yaklaģma iģlemini herhangi bir kılavuza ihtiyaç duymadan kendisi yapabilir, Popülasyon üyelerinin her biri arama uzayında farkı bölgelerde paralel bir arama gerçekleģtirdiği için yerel optimumlara takılma riski azdır, Ģeklinde sıralanabilir. Karınca Kolonisi Optimizasyonu (ACO) [8], Benzetimli Tavlama (SA) [9], Arı Koloni Optimizasyonu (BCO) [10], Parçacık Sürü Optimizasyonu (PSO) popülasyon temelli optimizasyon algoritmalarıdır. Bu tezde popülasyon tabanlı sezgisel bir optimizasyon yöntemi olan Parçacık Sürü Optimizasyonunu (PSO) iki farklı probleme uygulanması hedeflenmektedir. 2

18 Birinci problem tasarım aģamasında bazı kısıtlara sahip baskı yaylarının tasarımıdır. Bu problemde PSO ile sürekli, ayrık, tamsayı değiģkenlerinin kullanım Ģekilleri incelenecektir. Problem ile ilgili kısıtların ele alınıģ yöntemi ise Uygunluk Tabanlı Kurallar (UTK) yöntemi olacaktır. PSO'da optimize edilen değiģkenler zamanla çözüm uzaylarının dıģına çıkabilmektedirler. Yapılacak çalıģmada, baskı yayı tasarım değiģkenlerinin çözüm uzaylarının sınırlandırılması için farklı yöntemler kullanılacak ve bu yöntemlerin performansları değerlendirilecektir. Ġkinci problem ise kümeleme aracı olarak PSO ele alınmıģtır. Üç farklı kümeleme indeksleri kullanılarak, zambak çiçeği verilerinin PSO ile kümeleme iģlemi gerçekleģtirilecektir. Öncelikle PSO, yöneticisiz kümeleme algoritması olarak kullanılacak ve zambak çiçeği verilerinin ayrılabileceği küme sayısı üç farklı kümeleme indeksi için ayrı ayrı bulunmaya çalıģılacaktır. Sonrasında ise PSO, yöneticili kümeleme algoritması olarak kullanılacak ve kümeleme indekslerinin kümeleme baģarımı ölçülecek ve birbirleri ile kıyas edilecektir. Ayrıca Bulanık C- Means kümeleme algoritması ile PSO algoritması birleģtirilerek hibrit bir kümeleme algoritması oluģturulacaktır. Bu hibritleģtirme iģleminde ise üyeliğe dayalı ve küme merkezine dayalı olmak üzere iki farklı kümeleme yöntemi kullanılacaktır. Bu iki yöntemin kümeleme baģarımı ise yine zambak çiçeği verileri üzerinde ölçülecektir ve karģılaģtırılacaktır. 3

19 BÖLÜM 2 OPTĠMĠZASYON Matematiksel programlama olarak da adlandırılan optimizasyon, bir uygunluk (değerlendirme) fonksiyonuna göre belirli aralıktaki sayısal değerlerin en uygununu seçerek kompleks problemleri çözmektir. Optimizasyon problemlerinde öncelikle uygunluk fonksiyonu seçilmelidir. Uygunluk fonksiyonu muhtemel çözümlerin kalitesini ve performansını belirler. Değerlendirme fonksiyonunun sonucu kârı, zamanı, herhangi bir özelliği yada özellikler grubunu temsil eden sayısal bir ifade olabilir. Uygunluk fonksiyonu çözülecek problemle ilgili karakteristik özelliklere sahip değiģken adı verilen değerlere göre hesaplanır. Amaç en uygun değiģkenleri bulmaktır. Uygunluk fonksiyonları probleme göre bir maksimizasyon ya da minimizasyon fonksiyonu olabilir. Probleme göre değerlendirme fonksiyonlarının hesaplanması sırasında bazı kısıtlara dikkat edilmesi gerekir. Uygunluk fonksiyonlarında çözüm uzayındaki bütün değiģkenlerin değil bu kısıtlara uyan değiģkenler kullanılır. Bir optimizasyon probleminde değiģkenlerin, kısıtların ve uygunluk fonksiyonlarının tanımlanması modelleme olarak adlandırılabilir. Bu modeldeki değiģkenlerin ve kısıtların sayılarının artması modelin kompleks bir hal almasına ve genellikle çözümü için bilgisayar uygulamalarına ihtiyaç duyulmasına neden olur. Bütün optimizasyon problemlerinin çözümü için kullanılabilecek genel bir optimizasyon algoritması yoktur. Probleme dayalı olarak kullanılabilecek çeģitli optimizasyon algoritmaları vardır. Probleme göre bu algoritmanın seçimi kullanıcının sorumluluğunda olan bir iģlemdir ve problemi çözme konusunda önemli bir etkendir [11]. 4

20 2.1. OPTĠMĠZASYONUNUN MATEMATĠKSEL ĠFADESĠ, değiģkenlerden oluģan bir vektör,, uygunluk fonksiyonu,, eģitsizliklerden ve, eģitliklerden oluģan kısıt vektörleri olmak üzere uygunluk fonksiyonu minimizasyon Ģeklindeki bir optimizasyon problemi; (2.1) Ģeklinde ifade edilebilir AYRIK VE SÜREKLĠ OPTĠMĠZASYON Bazı optimizasyon problemlerinde kullanılan değiģkenler tamsayı tipinde olması gerekir. Buna göre optimizasyon probleminde, ve için olmalıdır. Ayrık optimizasyonun temelinde sonlu sayıda elemen içeren bir çözüm kümesinden en uygun olanlarını seçmek vardır. Sürekli optimizasyonda ise sonsuz sayıda eleman içeren bir kümeden en uygun elemanı seçmek gerekir. Sürekli optimizasyon problemlerinin çözümünde değiģkenler üzerinde herhangi bir iģlem yapmaya gerek olmadığı için uygulaması kolaydır. Yalnız sonsuz sayıda eleman arasından seçim yapılması gerektiği için sonuç bulmak ayrık optimizasyon problemlerine göre daha zordur. Çünkü ayrık optimizasyon problemlerinde irdelenmesi gereken değiģken sayısı sınırlıdır. Bazı optimizasyon problemleri hem ayrık, hem sürekli hem de tam sayı tipinde değiģkenler içerebilir. Bu tip optimizasyon problemleri karma değiģkenli optimizasyon problemleri olarak adlandırılır KISITLI VE KISITSIZ OPTĠMĠZASYON Optimizasyon problemleri kısıtlara sahip olması durumuna göre kısıtlı ve kısıtsız olmak üzere ikiye ayrılırlar. Problemlerin çözümü esnasında değiģkenler, tanımlı 5

21 oldukları aralıkta baģka sınırlamalara tabi tutuluyorsa bu tip optimizasyon yöntemine kısıtlı optimizasyon denir. DeğiĢkenlerin tanımlı olduğu aralıktaki bütün değerleri uygun çözümleri vermezler. DeğiĢkenin tanım aralığındaki kısıtlara uyan değerlerine uygun (feasible) çözümler, uymayanlara ise uygun olmayan (infeasible) çözümler denir OLASILIKLI VE BELĠRLEYĠCĠ OPTĠMĠZASYON Optimizasyon problemlerinin bazılarında değiģkenlerin özelliklerine bağlı olarak model tam olarak tanımlanamaz. Modeli oluģturanlar bu bilinmeyen özellikleri tahmin etmeye çalıģırlar. Bu bilinmeyen özellikler ile ilgili çeģitli senaryolar üretilir ve bu senaryolara olasılık değerleri atanır. Olasılıklı optimizasyon yöntemleri bu senaryolar arasından en uygununu seçerek probleme en uygun sonucu bulmuģ olurlar. Belirleyici (determinist) optimizasyon yöntemlerinde ise olasılıklı optimizasyon yöntemlerinden farklı olarak model tam olarak tanımlanmıģ ve olasılığa yer verilmemiģtir DOĞRUSAL VE DOĞRUSAL OLMAYAN OPTĠMĠZASYON Doğrusal algoritmalar, uygunluk fonksiyonun doğrusal fonksiyonlardan oluģtuğu ve problemle ilgili eģit ve eģitsizliklerin doğrusal olduğu optimizasyon algoritmalarıdır. Doğrusal olmayan algoritmalar ise uygunluk fonksiyonun, problemle ilgili kısıtların karekök ve trigonometrik fonksiyonlar gibi doğrusal olmayan fonksiyonların olduğu optimizasyon algoritmalarıdır [12] CEZA FONKSĠYONLARI Gerçek hayatta karģılaģtığımız bir çok optimizasyon problemi kısıtlara sahiptir. Bu problemlerin çözümünde bulunan sonuçların bu kısıtlara da uyması gerekmektedir. Kısıtlara uyan değerlere uygun (feasible) değer, uymayan değerlere ise uygun olmayan (infeasible) değerler denir. Optimum değerlerin bulunması sırasında bulunan birçok uygun olmayan değerlere rastlanmaktadır. Bazı problemlerde bu uygun olmayan değerlerin onarılarak uygun hale getirilmesi söz konusu iken bazı 6

22 problemlerde bu değerlerin onarılması mümkün olmamaktadır. Bu durumda çözümlere ceza (penalty) değerleri uygulanarak uygun olmayan çözümlerin optimum çözüm olması engellenmeye çalıģılmaktadır. Ceza fonksiyonları amaç fonksiyonlarına değiģik Ģekillerde uygulanarak uygun olmayan çözümler cezalandırılabilmektedir. Ceza değerleri amaç fonksiyona sabit bir katsayı olarak uygulanabileceği gibi, belirli parametrelere bağlı olarak dinamik olarak da uygulanabilir. Ceza fonksiyonu parametrelerinin amaç fonksiyonuna iyi bir Ģekilde adapte edilmesi gerekir. Aksi takdirde optimum sonuç bulunamayabilir [13, 14] OPTĠMĠZASYON ALGORĠTMALARI Optimizasyon algoritmaları genellikle tekrarlamalıdır. Tahmini veya belirli bir baģlangıç değeri ile arama iģlemine baģlarlar ve iterasyonlar boyunca en iyi sonucu bulmaya çalıģırlar. Ġterasyonlar ilerledikçe bulunan çözümlerin kalitesi de artar. Bir iterasyondan diğer iterasyona geçiģ her optimizasyon algoritması için farklılık gösterir. Bazı algoritmalar geçmiģ iterasyonda elde ettiği verileri kullanarak çözüm üretirken, bazıları ise her iterasyonda bağımsız çözümler üretirler. Ġyi bir optimizasyon algoritmasında olması gereken baģlıca özellikler Ģunlardır: GeniĢ bir uygulama alanına sahip olmalıdırlar. Çok fazla hesaplama zamanı ve hafızası gerektirmemeliler. Verilerdeki hatalardan veya matematiksel yuvarlamalardan çok etkilenmeden detaylı çözümler bulabilmelidirler. Literatürde bir çok optimizasyon algoritması kullanılmıģtır. Bunlardan bazıları; Macdonald 1960 yılında Doğrusal Programlama ile çeģitli oyunlar ilgili çalıģmalar yapmıģtır [15]. Yine Doğrusal Programlama ile 1960 yılında Tucker matris oyununun çözmeyi baģarmıģtır [16]. Pearson and Sridhar 1966 yılında ayrık optimizasyon problemlerini Doğrusal Olmayan yöntemlerle optimize etmek için çalıģmalar yapmıģtır [17]. Huper ve Trumpf Newton-Like yöntemini kullanarak iģaret iģleme alanında çalıģmalar yapmıģtır [18]. Lark ile Wheeler 1962 yılında Newton yöntemlerini otomatik kontrol alanında kullanmıģlardır [19]. De ve Pantoja 7

23 1989 yılında ArdıĢıl Quadratik Porgramlamayı ayrık kontrol problemlerinde kullanmıģlardır [20]. Viera and Lisboa 2010 yılında Elips metodunu elektromanyetik cihazların tasarım ve optimizasyonu çalıģmalarında kullanmıģlardır [21]. 8

24 BÖLÜM 3 PARÇACIK SÜRÜ OPTĠMĠZASYONU (PSO) Parçacık Sürü Optimizasyonu (PSO) 1995 yılında Russell Eberhart ve James Kennedy tarafından önerilmiģ bir optimizasyon algoritmasıdır [22]. KuĢ sürülerinin yiyecek arayıģları sırasındaki toplu hareketlerinden esinlenerek ortaya atılmıģ popülasyon tabanlı evrimsel arama algoritmalarından bir tanesidir. PSO senaryosunda sürünün bir bölgede yiyecek arayıģı, sürü mensubu kuģların o bölgeye rastgele dağılımı ile gerçekleģir. KuĢlar yiyeceğin nerede olduğunu bilmezler. Sürüdeki bütün kuģlar eģ zamanlı olarak ani hareketlerle yön değiģtirerek arama bölgesine yayılırlar ve yiyecek ararlar. Daha sonra eģ zamanlı olarak tekrar bir araya gelerek yiyeceğin nerede olduğu konusunda bilgi paylaģımı yaparlar. Sürüdeki kuģlar yiyeceğe ne kadar mesafede olduklarını ve sürüdeki yiyeceğe en yakın kuģun pozisyonunu bilirler. Sürüdeki kuģlar bu elde ettikleri pozisyon bilgilerini kullanarak yiyeceğe ulaģırlar [23]. Gerçek hayatta da yiyecek olan bir bölgede bir kuģ varken kısa bir süre sonra bu bölgeye birçok kuģun geldiği görülmektedir. Senaryoda bahsedilen kuģlar, PSO'da parçacık olarak adlandırılır ve her bir parçacığın pozisyon bilgisi bir çözümü temsil eder. Parçacığın pozisyon değiģtirme miktarı ise parçacığın hızı olarak adlandırılır. Her bir parçacığın pozisyon değerleri uygunluk fonksiyonuna bağlı olarak değerlendirilir. Bütün parçacıklar kendi keģfettikleri en iyi pozisyon değerini ve sürüde keģfedilen en iyi pozisyon değerine sahip parçacığı referans alarak çözüme ulaģmaya çalıģırlar. PSO diğer optimizasyon teknikleri ile karģılaģtırıldığında özellikle bazı yönleriyle diğer optimizasyon tekniklerinden daha üstün olduğu görülmektedir [24]. Örneğin PSO'da ayarlanması gereken parametre sayısının az olması nedeniyle, PSO diğer optimizasyon yöntemlerine göre uygulaması daya kolay olan bir yöntemdir. Bir baģka özelliği ise PSO'da parçacıklar hem kendi en iyi pozisyon değerlerini hem 9

25 sürüdeki diğer komģularının en iyi pozisyon değerini hatırladıkları için iyi bir hafıza yeteneğine sahiptirler. Ayrıca PSO da çözüm uzayında arama yapılırken en iyi pozisyona sahip parçacığın değerinden yararlanılır ve arama uzayında herhangi bir değiģiklik olmaz. Buna karģın, genetik algoritmada kötü sonuçlar devre dıģı bırakılarak arama uzayı daraltılır. Arama uzayında herhangi bir değiģikliğe yada kısıtlamaya gitmemek PSO nun yerel optimumlara takılmasını engeller STANDART PSO PSO da parçacıklar belirli bir aralıkta rastgele olarak pozisyon ve hız değerleri alarak arama iģlemine baģlarlar. Her yeni nesilde (iterasyonda) parçacıkların arama uzayında bulundukları pozisyonların uygunluk değerleri konuyla ilgili uygunluk fonksiyonunda hesaplanır. Sürüdeki en iyi uygunluk değerine sahip parçacık belirlenir. Aynı zamanda her parçacık nesiller boyunca elde ettiği en iyi değeri hafızasında tutar. Sürüdeki en iyi uygunluk değeri ve her bir parçacığın hafızasındaki kendi en iyi değeri kullanılarak bütün parçacıkların pozisyon ve hız değerleri güncellenir. Bu döngü belirlenen sayıda iterasyonu tamamlanıncaya kadar devam eder. Bütün parçacıklar bu iterasyonlar boyunca çözüm uzayında en iyi çözümü bulmaya çalıģırlar. d boyutlu bir problemde sürüdeki. parçacığın konum vektörü olsun. Sürünün en iyi parçacığı diğer bir değiģle sürüde en iyi uygunluğa sahip olan parçacık (global en iyi) olarak adlandırılsın. Sürüdeki her bir parçacığın nesiller boyunca elde ettiği en iyi uygunluk değeri de (kiģisel en iyi) olarak adlandırılsın. Buna göre sürüdeki. parçacığın değerleri dir.. parçacığın yer değiģim vektörü yani hız vektörü ise olsun. Bu tanımlamalara göre nesiller boyunca güncellenen. parçacığın hız vektörü ve buna bağlı olan konum vektörünün formülleri aģağıdaki gibidir: (3.1) 10

26 (3.2) : iterasyon sayısı; ; Formül 3.1 sonucunda. iterasyonda. parçacığın ( ). iterasyondaki hız vektörü bulunmuģ olur. Formül 3.2'de ise bulunan hız vektörü,. parçacığın. iterasyondaki pozisyon vektörüne eklenerek. iterasyondaki pozisyon vektörü bulunmuģ olur. Bulunan bu pozisyon vektörü probleme yeni bir çözüm önerisi demektir. Buradaki atalet ağırlığı değeridir. ve değerleri ise hızlandırma katsayılarıdır. ve ise [0,1] aralığında rastgele değerler alan ve PSO nun rastgeleliğini sağlayan parametrelerdir. Birinci Kısım Ġkinci Kısım Üçüncü Kısım Yukarıdaki ifadede görüldüğü gibi Formül 3.1 üç kısımdan oluģmaktadır [24]. Birinci kısım hız değerinin atalet ağırlığını göstermektedir. Parçacıkların hız değerlerinde ani değiģiklikler olmamalı, parçacıklar bir önceki hızlarına bağlı kalarak hız güncellemesi yapmalıdırlar. Aksi takdirde parçacıklar çözüm uzayında ani yön değiģiklikleri yaparak uygun bir arama gerçekleģtiremeyeceklerdir. Ġkinci kısım ise kiģisel hafıza kısmı: Bu kısım vasıtasıyla parçacıkların konumlarını geçmiģte elde ettikleri en iyi konuma doğru çekilirler. Bu kısımda elde edilen değer değeri ile ölçeklenmiģtir. Formül 3.1 in üçüncü kısmı ise sosyal hafıza kısmı: Bu kısımda parçacıklar sürünün en iyi konum değerine doğru çekilirler [25]. Bu kısımda da elde edilen değer değeri ile ölçeklenmiģtir. Hız güncellemelerine göre elde edilen yeni hız değerine gibi bir kısıtlama getirilebilir. Bu değeri sabit bir değer seçilebildiği gibi dinamik değiģen bir değer de seçilebilir [24, 26]. PSO nun bileģenleri takip eden alt bölümlerde daha ayrıntılı olarak incelenecektir. ġekil 3.1'de bir parçacığın konum değiģimi görselleģtirilmiģtir. 11

27 ġekil 3.1. Parçacığın pozisyon değiģtirmesi. :. parçacığın. iterasyondaki konumu, :. parçacığın. iterasyondaki hızı, : Sürüdeki en iyi konuma sahip parçacığın konumu, :. parçacığın kiģisel en iyi konumu, :. iterasyonda ve 'ün bileģkesi, :. parçacığın. iterasyondaki konumu, :. parçacığın. iterasyondaki hızı'dır BaĢlangıç Değerleri Sürü içinde toplam tane parçacık olduğunu kabul edelim. Bu tane parçacığın konum ve hız değerleri aģağıdaki formüllere göre hesaplanır. (3.3) (3.4) : Hız değiģkeninin alabileceği en büyük değer ; 12

28 Konum Değeri PSO da her bir parçacığın pozisyon değeri ilgili probleme yeni bir çözüm önerisi demektir. çözüm aralığında değerler alan bir parçacığın konum değeri belirtilen aralığın dıģına çıkarsa parçacığa çeģitli kısıtlamalar getirilebilir. Bu kısıtlamalar aģağıdaki gibi tanımlanır [27]. Eğer ise ve ; Eğer ise ve ; Eğer veya ise Eğer veya ise nin uygunluk değerini en kötü uygunluk değeri yap. : Arama uzayının üst sınırı, : Arama uzayının alt sınırı Hız Değeri Hız değeri bir parçacığın çözüm uzayında arama yapmasını sağlayan en önemli etkendir. Hız değerleri pozitif ve negatif değerler alıp parçacıkların çözüm uzayında çok yönlü hareket ederek arama yapmasını sağlarlar. Hız değeri kontrol edilmediği takdirde parçacıklar çözüm alanının dıģına çıkabilir ve uygun olmayan değerler bulabilir. Bunu engellemek için hız değerine gibi kısıtlayıcı bir limit konulmuģtur. değerinin belirlenmesi probleme göre faklılık gösterebilir. Bazı uygulamalarda olarak kullanılmıģtır [28]. Bazı uygulamalarda ise arama uzayındaki parçacığın konum vektörünün her bir boyutunun alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin farkının %10-20'si aralığında bir değer almıģtır [27]. Yani; (3.5) R ϵ -20] 13

29 Eğer bir parçacığın hız değeri getirilir. limitini aģarsa aģağıdaki gibi bir kısıtlama Eğer ise ; Eğer ise ; Atalet Ağırlığı Kennedy ve Eberhart tarafından önerilen PSO nun ilk halinde atalet ağırlığı bulunmamaktaydı [22]. Eberhart ve Shi nin daha sonra yaptığı bir çalıģmada ise hız güncelleme formülünde birinci kısma atalet ağırlığı (inertia weight) bir çarpan olarak eklenmiģtir [28]. Böylelikle, atalet ağırlığı kullanılarak parçacığın bir önceki hızının yeni hızına etkisi kontrol altına alınmıģ olur. Atalet ağırlığının büyük değerler alması parçacığın çözüm uzayında daha genel (global) aramalar yapmasını, değerlerinden çok etkilenmeden daha araģtırmacı bir yapıda çalıģmasını sağlar. Atalet ağırlığının küçük değerler alması ise parçacığın çözüm uzayında daha bölgesel aramalar yapmasını, ve değerlerinden daha fazla faydalanarak en uygun çözüme yakınsama yapmasını sağlar. Atalet ağırlığı, bütün arama iģlemi boyunca sabit bir değer olarak kullanılabildiği gibi baģlangıçta büyük değer alarak iterasyonlar ilerledikçe azaltılacak Ģekilde dinamik olarak kullanılabilir [28]. Dinamik kullanımda ilk iterasyonlarda parçacıklar daha genel aramalar yaparak çözüm uzayını tararken, ilerleyen iterasyonlarda arama iģlemi daha ayrıntılı ve bölgesel bir hal alır. Genel olarak uygulamalarda atalet ağırlığının ( ) en büyük değeri en küçük değeri ise olarak alınır. AĢağıdaki formülde de görüldüğü gibi iterasyon sayısı atalet ağırlığın dinamik değerini belirlemede rol alır. (3.6) halihazır iterasyon 14

30 Formül 3.6'da da görüldüğü gibi baģlangıçta büyük değer alan atalet ağırlığı iterasyonlar ilerledikçe daha küçük değerler almaya baģlayacaktır Hızlandırma Katsayıları Hızlandırma katsayılarından parçacıkların değerine, ise değerlerine doğru çekilmesini kontrol eden katsayılardır. Hızlandırma katsayılarının büyük değerler alması parçacıkların birbirinden uzaklaģıp ayrılmalarına sebep olurken, küçük değerlerler alması parçacıkların hareketlerinin kısıtlanmasına ve çözüm uzayının yeterince taranamamasına sebep olur. Hızlandırma katsayıları problemin türüne göre değiģik değerler alabilir. genel olarak önerilen değerdir. iken ne kadar büyük değer alırsa arama algoritmasının optimum değer etrafında yaptığı salınım miktarı artar. Ayrıca ve katsayıları birbirine eģit olmak zorunda değildirler, farklı değerler de alabilirler [24] Uygunluk Fonksiyonu Uygunluk fonksiyonu parçacığın pozisyon vektörünü kullanarak ve varsa problemle ilgili kısıtlamaları da göz önünde bulundurarak uygunluk değeri üreten bir fonksiyondur. Uygunluk değeri parçacığın aynı zamanda çözümün kalitesini belirler. ve değerleri de uygunluğu en iyi olan parçacıklardan seçilir KiĢisel En Ġyi Değeri Parçacıklar iterasyonlar boyunca en iyi konum değerini ararlar. Her bir iterasyonda parçacık, geçmiģte bulduğu en iyi konum değeri ile iterasyonda elde ettiği yeni konum değerini kıyas eder. Eğer yeni konum değeri o ana kadarki en iyi kiģisel konum değerinden daha uygun bir değere sahipse yeni kiģisel en iyi konum olur. ĠĢte parçacığın iterasyonlar boyunca, sürüdeki diğer parçacıklarla kıyas etmeksizin sadece kendi geçmiģindeki değerlere bakarak bulduğu kendi en iyi değerine kiģisel en iyi değer ( ) denir. Aynı zamanda değeri parçacığın geçmiģ tecrübelerini gösteren bir değerdir. Formül 3.1 deki hız güncelleme denkleminde değeri parçacığın konumunu konumuna doğru çeker. 15

31 Global En Ġyi Değer Sürüde iterasyonlar boyunca parçacıkların konum değerleri hesaba katıldığında bulunan en iyi uygunluğa sahip parçacığın konum değerine global en iyi değer ( ) denir. Yeni iterasyonda bulunan en iyi değer den daha iyi uygunluğa sahipse yeni değeri olur. Formül 3.1 deki hız güncelleme denkleminde değeri sürüdeki bütün parçacıkların konumunu konumuna doğru çeker Sonlandırma Kriteri PSO da sonlandırma kriteri kullanıcı tarafından belirtilmiģ sabit bir iterasyon sayısı ya da belirlenmiģ bir CPU çalıģma zamanı veya son iki iterasyonun değerleri arasındaki farkın belirli bir değerin altına düģmesi durumu olabilir PSO ALGORĠTMASI Standart olarak kullanılacak PSO algoritmasının sözde kodu (pseudo code); BEGIN Tane Parçacığa Rastgele Hız ve Konum Değerleri Ata REPEAT FOR =1 TO Uygunluk Değerini Hesapla Değerini Güncelle Değerinin Güncelle Hız ve Pozisyon Değerlerini Güncelle END FOR UNTIL Sonlandırma Kriteri END Ģeklindedir. Yalın Ģekilde ifade edilen bu algoritmaya uygulanacak alana göre eklemeler ve uyarlamalar yapılabilir. 16

32 BÖLÜM 4 KARMA DEĞĠġKEN TĠP VE KISITA SAHĠP TASARIM PARAMETRELERĠNĠN OPTĠMĠZASYONU Sun, Zeng ve Pan'ın 2009 yılında yaptıkları çalıģmada kısıtlara sahip, karma tipi değiģkenler içeren optimizasyon problemlerini PSO ile çözmeye çalıģmıģlardır [29]. Herhangi bir ceza fonksiyonu kullanmadan Uygunluk Tabanlı Kurallar (UTK) yöntemini kullanarak problem ile ilgili kısıtları sağlayan çözümler bulmuģlardır. Böylece ayrı ve hassas parametreler gerektiren ceza fonksiyonunun uygunluk fonksiyonuna entegrasyonu iģlemine gerek kalmamıģtır. Tez çalıģması kapsamında yine UTK yöntemi kullanılarak karma değiģken tipleri ve kısıtlar içeren baskı yayı probleminin PSO ile çözülmesi amaçlanmaktadır. Buna karģın, ilgili literatürdeki problem formülasyonundan farklı olarak, parçacıkların her bir iterasyonda buldukları yeni çözümlerin, tanımlı oldukları aralıkların dıģına çıkması durumunda tekrar sınırlar içerisine çekilmesi için önerilen, Emme (Absorbing), Yansıtma (Reflecting), Sönümleme (Damping), Görünmez (Invisible), Görünmez Yansıtma (Invisible Reflecting) ve Görünmez Sönümleme (Invisible Damping) yöntemlerinin optimizasyon problemine uygulanması ve baģarım karģılaģtırmalarının yapılması hedeflenmektedir PROBLEMĠN TANIMLANMASI Ġmalat ve konstrüksiyon endüstrisinde kullanılan baskı yaylarının minimum hacimde malzeme kullanılarak üretilmesini problemi çalıģılacaktır. Baskı yaylarının tasarım problemi sürekli, ayrık ve tamsayı olmak üzere üç farklı değiģken tipine sahip bir problemdir. ġekil 4.1'deki yayda tel çapı ayrık, telin dıģ çapı sürekli ve telin sarım sayısı tamsayı tipindeki değiģkenlerdir. inç biriminde 42 ayrık değer alabilir. 17

33 x 1 ϵ {,009 0,0095 0,0104, 0,0118 0,0128 0,0132 0,014 0,015 0,0162 0,0173 0,018 0,020 0,023 0,025 0,028 0,032 0,035 0,041 0,047 0,054 0,063 0,072 0,080 0,092 0,105 0,120 0,135 0,148 0,162 0,177 0,192 0,207 0,225 0,244 0,263 0,283 0,307 0,331 0,362 0,394 0,4375 0,500} Bunun yanı sıra, aralığında ve, aralığında sırasıyla sürekli ve tamsayı değerler alırlar. ġekil 4.1. Baskı yayı. Baskı yayı tasarımında değiģkenlerin değerlendirilmesi için kullanılan matematiksel modelin uygunluk fonksiyonu; (4.1) Ģeklindedir. Bu fonksiyon aynı zamanda bir minimizasyon fonksiyonudur. 18

34 4.2. KISITLAR Baskı yayının tasarımı sırasında dikkat edilmesi gereken 11 ayrı kısıt vardır. Problemin çözümünde bu kısıtları sağlayan değiģkenler dikkate alınır. Baskı yaylarının tasarım kısıtları: (4.2) (4.3) (4.4) (4.5) (4.6) (4.7) (4.8) (4.9) ve (4.10) (4.11) 19

35 (4.12) (4.13) Yay tasarımı ile ilgili diğer tanımlamalar ise, minimum tel çapı cm ( inç), izin verilebilir kesme gerilimi bar ( psi), yayın azami dıģ çapı cm ( inç), malzeme kayma modülü bar ( psi), ön yükleme altındaki izin verilebilir azami gerilme cm (6,0 inç), azami serbest boy cm ( inç), azami iģ yükü kg ( libre), ön yükleme basma kuvveti kg ( lp), ön yükleme pozisyonundan azami yükleme pozisyonuna kadar olan gerilme cm ( inç) PSO DA KISITLARIN ELE ALINMASI Son yıllarda yapılan çalıģmalarda özelikle mühendislik tasarımı, yerleģtirme problemleri, ekonomi, kontrol vb. gibi alanlarda kısıtlamalara sahip birçok optimizasyon probleminde de PSO kullanılmaya baģlanmıģ ve baģarılı sonuçlar elde edilmiģtir. Genel olarak, kısıtlara sahip bir minimizasyon problemi Ģu Ģekilde ifade edilir [30]: (4.14) ; { vektörü boyutlu bir çözüm vektörüdür. Burada dir., aralığındaki değerleri kapsayan bir çözüm uzaydır. gerçel sayılar kümesidir., nin alabileceği en küçük değer,, nin 20

36 alabileceği en büyük değerdir. Bu tanımlamada tane gibi eģitsizlik ve tane gibi eģitlik içeren kısıtlar mevcuttur. eģitlik kısıtlamaları gibi bir eģitsizlik kısıtlamalarına dönüģtürülebilir. çok küçük ihmal edilebilecek bir pozitif sayı seçilir. Kısıtlara uyan vektörlerine uygun çözümler denir. Bütün uygun çözümleri içine alan kümeye F denir ve dir. PSO da her bir parçacığın uygunluğu hesaplanırken bu kısıtlar da hesaba katılır. Üretilen bir çözümün bu kısıtlara uyup uymadığı veya ne kadar bu kısıtları aģtığı Ģu formüle göre hesaplanabilir: (4.15) Burada =0 ise üretilen çözüm yani vektörü uygun bir çözümdür. Eğer >0 ise üretilen çözüm kısıtları değeri kadar aģmıģ demektir. PSO da kısıtlar birçok çalıģmada değiģik yöntemlerle [31] ele alınmıģtır. En yaygın olarak kullanılan yöntemlerden bir tanesi ceza fonksiyonu uygulamasıdır. Formül 4.15 de hesaplanan ceza miktarı çözümün uygunluk değerine çeģitli katsayılar kullanarak eklenebilir. Bu Ģekilde kısıtlar ortadan kaldırılmıģ olur. Yalnız ceza fonksiyonu uygunluk fonksiyonuna nasıl dahil edileceği, uygulanacak parametrik değerlerin çok hassas olması ve uygulamadan uygulamaya farklılık göstermesi ceza fonksiyonunun uygulanabilirliğini zorlaģtıran etkenlerdir. Uygulanan yöntemlerden bir tanesi de tamamen kısıtlara uyan çözümlerden oluģan bir nesil oluģturup, bütün iterasyonlar boyunca bu uygunluğu devam ettirmektir. Bu yöntemde de iterasyonlar boyunca oluģan yeni nesillerde kısıtlara uymayan yeni çözümler oluģabilir. Bu durumda kısıtlara uymayan parçacıkların uygunluk değerlerine değerleri atanarak veya bir önceki iterasyondaki uygun çözüm değeri atanarak, parçacıkların uygun bölgede kalmaları sağlanabilir. Bu yöntemin en büyük olumsuzluğu sürüyü baģlatırken uygun bir baģlangıç nesli oluģturamama ihtimalidir. Bu iģlem çok uzun 21

37 zaman alabilmekte hatta bazı problemlerde ise baģlangıç nesli oluģturmak mümkün olmamaktadır. PSO da kısıtlamaların ele alınıģı ile ilgili diğer bir yöntem ise Uygunluk Tabanlı Kurallar (Feasibilty Based Rules) yöntemidir [29]. Bu tez çalıģmasında da kullanılacak bu yöntem üç temel kuraldan oluģmaktadır. Kısıtlara uyan çözümler, kısıtlara uymayanlara tercih edilir. Kısıtlara uyan iki çözüm arasından uygunluğu daha iyi olan çözüm tercih edilir. Kısıtlara uymayan iki çözüm arasından kısıtları aģma miktarı daha az olan tercih edilir. Bu üç kural detaylandırılacak olursa: değerinin güncellemesinde kullanılacaktır. Bu yöntemi daha,. iterasyondaki. parçacığın değerini ifade etsin. ise i. parçacığın. iterasyondaki pozisyon vektörünü ifade etsin. problemin uygunluk fonksiyonu olmak üzere aģağıda belirtilen Ģu üç durumda: Eğer ilgili problemin kısıtlarına uymayan bir değer iken kısıtlara uyan bir değer ise, Eğer, den her ikisi de kısıtlara uygun değerler iken ise, Eğer i, den her ikisi de kısıtlara uymayan değerler iken ise, i ye değeri atanır. Ġterasyonlar boyunca devam eden bu iģlemler sonucunda kısıtlara uygun en iyi çözüm bulunmuģ olacaktır. 22

38 4.4. PSO DA KARMA DEĞĠġKEN TĠPLERĠNĠN ELE ALINMASI PSO öncelikle sürekli (continous) değiģkenler üzerinde sonuç veren bir optimizasyon tekniği olarak ortaya çıkmıģtır. Fakat gerçek hayatta optimize edilmesi gereken değerler her zaman sürekli değiģkenler olmamaktadır. Bazen bu değiģkenler karģımıza tam sayı değiģkenleri, ayrık (discrete) değiģkenler ya da {0,1} değerleri alan ikilik değiģkenler olarak çıkmaktadır. PSO da farklı tipteki değiģkenleri ele almak için değiģik yöntemler denenmiģtir. Yapılan çalıģmada Karma DeğiĢkenler yöntemi kullanılacaktır [31]. Karma DeğiĢkenler yöntemine göre sürekli değiģkenler, baģlangıçta belirtilen sınırlar içersinde üretilir ve iterasyonlar boyunca bu sınırları aģmadığı sürece herhangi bir özel iģleme tabi tutulmazlar. Tam sayı değiģkenleri ise, baģlangıçta belirtilen sınırlar içersinde reel sayı olarak yani sürekli sayı olarak üretilir. Ġterasyonlar boyunca Formül 3.1 ve Formül 3.2'deki hız ve pozisyon güncellemelerinde reel sayı olarak iģlem görürler. Sadece uygunluk fonksiyonunda uygunluk değeri hesaplanırken bu reel sayılar kendisinden küçük en yakın tamsayıya yuvarlanarak iģlem görürler. Bu yöntem ikilik sayı değiģkenleri içinde kullanılabilir. Ayrık değiģkenler için ise, değiģkenin değerleri değil indisleri ele alınarak iģlem yapılır. Ayrık değiģken dizisindeki her bir eleman bir indise sahiptir. Ġterasyonlar boyunca bu indis Formül 3.1 ve Formül 3.2'deki hız ve pozisyon formüllerine göre güncellenir. Bu yöntemde dizinin indisleri reel sayı olarak tanımlanmalıdır. Bu indisler uygunluk değeri hesaplanırken kendisinden küçük en yakın tam sayıya yuvarlanarak ilgili ayrık değerin uygunluk fonksiyonunda kullanılmasını sağlarlar. ġöyle bir tanımlama yapılırsa: (4.16) sürekli, ayrık, tam sayı ve ikilik değiģkenlerden oluģan bir vektördür. sürüdeki 23

39 . parçacığın. boyuttaki değerini ifade etmektedir. sürekli tipteki değiģkenleri, ayrık tipteki değiģkenleri, tam sayı tipindeki değiģkenleri, ise ikilik sayı tipindeki değiģkenleri temsil etmektedir. ve ilgili değiģkenlerin çözüm uzayında alt ve üst limitleri gösteren değerlerdir. sürekli değiģkenlerin aldığı değerler kümesi, ayrık değiģkenlerin aldığı değerler kümesi, tam sayı olan değiģkenlerin aldığı değerler kümesi, ikilik değiģkenlerin aldığı değerler kümesidir. Buna göre değiģik tipteki değiģkenlere uygulanacak PSO da : (4.17) Ģeklinde bir yöntem ile değiģkelerin değerleri hesaplanacaktır PSO'DA ÇÖZÜM UZAYINININ SINIRLANDIRILMASI Optimizasyon problemlerinde genellikle değiģkenlerin çözüm uzayı sınırlara sahiptir. Parçacıklar bu sınırlar içerisinde kalarak en uygun çözümü aramak zorundadırlar. Çözüm uzayının alt sınır, üst sınır, hız değiģkeninin alabileceği en büyük değer olmak üzere baģlangıçta her bir parçacığa Formül 3.3 ve Formül 3.4' e göre pozisyon ve hız değerleri atanır. Parçacıkların her bir iterasyonda buldukların yeni çözümlerin bu sınırlar içerisinde olması gerekir. Formül 3.1 ve Formül 3.2' ye göre hesaplanan yeni konum değerleri bu sınırların dıģına taģmıģ olabilir. Bu durumda parçacığı tekrar sınırlar içerisine çekmek için değiģik yöntemler kullanılmaktadır [27, 32]. Bu yöntemlerden bazıları Emme (Absorbing), Yansıtma (Reflecting), Sönümleme (Damping), Görünmez (Invisible), Görünmez Yansıtma (Invisible Reflecting) ve Görünmez Sönümleme (Invisible Damping) yöntemleridir. Emme Yöntemi: Bu yöntemde parçacık belirlenen sınırların dıģına çıktığında konum 24

40 değeri sınıra getirilir. Yine parçacığın hız değeri sıfıra eģitlenir. Emme yöntemi ġekil 4.2'de ifade edilmiģtir. ġekil 4.2. Emme yöntemi. Yansıtma Yöntemi: Parçacığın sınırları aģan konum değeri Emme yöntemindeki gibi sınıra çekilir, farklı olarak parçacığın hız değerinin iģareti değiģtirilir. Yansıtma yöntemi ġekil 4.3'de ifade edilmiģtir. ġekil 4.3. Yansıtma yöntemi. Sönümleme Yöntemi: Parçacığın sınırları aģan konum değeri Emme ve Yansıtma yönteminde olduğu gibi sınıra çekilir, hız değeri ise iģareti değiģtirilerek [0,1] aralığındaki rastgele bir sayı ile çarpılır. Sönümleme yöntemi ġekil 4.4.'de ifade edilmiģtir. 25

41 ġekil 4.4. Sönümleme yöntemi. Görünmez: Parçacığın konum değerlerinin sınırları aģmasına izin verilirken hız değeri üzerinde de herhangi bir değiģiklik yapılmaz. Yalnız sınırı aģan parçacığa kötü bir uygunluk değeri atanarak ve olması engellenir. Bu parçacığın hız güncellemesinde ve değerlerinin etkisinde kalarak tekrar çözüm uzayının sınırları içersine getirilmesi sağlanır. Görünmez yöntemi ġekil 4.5.'de ifade edilmiģtir. ġekil 4.5. Görünmez yöntemi. Görünmez Yansıtıma: Bu yöntemde de parçacığın konum değerlerinin sınırları aģmasına izin verilirken parçacığa kötü bir uygunluk değeri atanarak ve olması engellenir. Yanlız parçacığın hız değerinin iģareti değiģtirilir. Görünmez Yansıtıma yöntemi ġekil 4.6.'da ifade edilmiģtir. 26

42 ġekil 4.6. Görünmez Yansıtma yöntemi. Görünmez Sönümleme: Bu yöntemde de Görünmez Yansıtma yönteminde olduğu gibi konum değerlerinin sınırları aģmasına izin verilirken parçacığa kötü bir uygunluk değeri atanarak ve olması engellenir. Sadece parçacığın hız değerinin iģareti değiģtirilerek [0,1] aralığındaki rastgele bir sayı ile çarpılır. Görünmez Sönümleme yöntemi ġekil 4.7'de ifade edilmiģtir. ġekil 4.7. Görünmez Sönümleme yöntemi. Bu yöntemlerden Emme, Yansıtma, Sönümleme yöntemleri genel olarak sınırlayıcı yöntemler, Görünmez, Görünmez Yansıtma ve Görünmez Sönümleme yöntemleri ise sınırlayıcı olmayan yöntemler olarak adlandırılmaktadır. 27

43 : Parçacığın. iterasyondaki konumu, : Parçacığın. iterasyondaki hızı, : Parçacığın. iterasyondaki konumu, : Parçacığın. iterasyondaki hızı, : Parçacığın. iterasyonda sınırlandırıcı yöntemler ile güncellenmiģ konumu göstermektedirler DEĞĠġTĠRĠLEN PSO ALGORĠTMASI Tez çalıģmasında kullanılacak PSO da standart PSO'dan farklı olarak hem kısıtlar hem de farklı tipte değiģkenler olacaktır. Hem kısıtlar içeren hem farklı tipte değiģkenlere sahip uygulamalar için geliģtirilen PSO nun sözde kodu Ģöyle olacaktır: BEGIN FOR =1 TO Pozisyon Değerlerini Rastgele Ata (Konu 4.4); Hız Değerlerini Rastgele Olarak Ata DeğiĢkenlerin Kısıtları AĢma Miktarını Hesapla Uygunluk Değerini Hesapla Olarak Parçacığın Ġlk Konum Değerini Ata END FOR REPEAT Kısıtlara Uygun Olan En Ġyi Değerini Olarak Ata FOR =1 TO Hız ve Pozisyon Değerlerini Güncelle Farklı DeğiĢken Tipleri Ġçin Formül yi Uygula DeğiĢkenlerin Kısıtları AĢma Miktarını Hesapla Uygunluk Değerini Hesapla Güncelle (Konu 4.3) END FOR UNTIL Sonlandırma Kriteri END 28

44 4.7. PROBLEM UYGULAMASI Tez kapsamında ilgili problem için uygulanacak PSO'da tanımlamalar ise Ģu Ģekildedir: Sürünün eleman sayısı (populasyon), iterasyon sayısı, ilgili değiģkenin tanım aralığının %50'si, ve iken ilk iterasyonda değerine sahipken son iterasyonda değerine kadar dinamik olarak düģürülmektedir. 'nin her iterasyondaki değeri Formül 2.6'a göre hesaplanmaktadır. Baskı yayının tasarımı problemini çözmek için geliģtirilen kod Microsoft Visual Studio 2008 C# ortamında geliģtirilmiģtir. GeliĢtirilen bu kod Window 7 Professional 32 bit iģletim sistemin sahip Intel Core2 Duo 2,63 GHz iģlemcili ve 4 GB RAM'li bir dizüstü bilgisayar üzerinde çalıģtırılmıģtır. Program çözüm uzayını sınırlandırıcı her bir yöntem için 20'Ģer defa çalıģtırılmıģ ve sonuçların ortalamaları alınmıģtır. Her bir yöntem için elde edilen sonuçlar Çizelge 4.1' de gösterilmiģtir. Çizelge 4.1. Yöntemlerin uygunluk değerlerinin kıyaslanması. Yöntem Referans [30] En Ġyi En Kötü Ort. Ort. Sonuç Bulma Süresi(sn) Emme 2,658 2,658 2,810 2,686 0,872 0,010-0,043 Yansıtma 2,658 2,658 2,938 2,693 1,236 0,012-0,083 Sönümleme 2,658 2,658 2,699 2,668 0,611 0,003-0,011 Görünmez 2,658 2,658 2,909 2,681 0,869 0,008-0,078 Görünmez Yansıtma Görünmez Sönümleme 2,658 2,997 5,856 4,066 3,237 0,356-0,305 2,658 2,658 2,905 2,755 1,346 0,036-0,051 Çizelge 4.1' de görüldüğü gibi Referans değeri 2,658 olarak alınmıģtır [30]. Emme Yöntemi: 20 defa çalıģtırılan program optimum değer olan 2,658 değerini 14 kez bulurken, 20 sonucun ortalaması olarak 2,686 sonucunu bulmuģtur. Bu yöntem ile yaklaģık 130. iterasyon sonucunda ortalama 0,872 saniyede optimum sonuç olan 29

45 Uygunluk Fonksiyonu 2,658 değerine ulaģılmıģtır. Emme yönteminde genel olarak hızlı bir yakınsama iģlemi gerçekleģmiģ ve bu problem için kabul edilebilir bir yöntem olduğu ortaya çıkmıģtır. Bu yöntem için iterasyonlar boyunca elde edilen uygunluk değerleri ġekil 4.8'de ifade edilmiģtir GBEST İterasyonun En iyi Değeri İterasyon ġekil 4.8. Emme yöntemi uygunluk değerleri. Yansıtma Yöntemi: 20 defa çalıģtırılan program optimum değer olan 2,658 değerini 9 kez bulurken, 20 sonucun ortalaması olarak 2,693 sonucunu bulmuģtur. Bu yöntem ile yaklaģık 180. iterasyon sonucunda ortalama 1,236 saniyede optimum sonuç olan 2,658 değerine ulaģılmıģtır. Bu yöntem ilk 100 iterasyonda gerekli yakınsamayı yapamamıģ ve kısıtlara uymayan sonuçlara takılmıģtır iterasyonda sonra ise gerekli yakınsama gerçekleģmiģ ve optimum sonuç bulunmuģtur. Bu olumsuz duruma rağmen bu yöntemin bu problem için kullanılabilir olduğu ortaya çıkmıģtır. Bu yöntem için iterasyonlar boyunca elde edilen uygunluk değerleri ġekil 4.9'da ifade edilmiģtir. 30

46 Uygunluk Fonksiyonu Uygunluk Fonksiyonu GBEST İterasyondaki En İyi Değer İterasyon ġekil 4.9. Yansıtma yöntemi uygunluk değerleri. Sönümleme: 20 defa çalıģtırılan program optimum değer olan 2,658 değerini 14 kez bulurken, 20 sonucun ortalaması olarak 2,668 sonucunu bulmuģtur. Bu yöntem ile yaklaģık 80. iterasyon sonucunda ortalama 0,611 saniyede optimum sonuç olan 2,658 değerine ulaģılmıģtır. Sönümleme yönteminin diğer yöntemlere göre daha hızlı yakınsama yaptığı ve bu problem için kabul edilebilir en uygun ve en hızlı sonuç veren yöntem olduğu ortaya çıkmıģtır. Bu yöntem için iterasyonlar boyunca elde edilen uygunluk değerleri ġekil 4.10'da ifade edilmiģtir GBEST İterasyondaki En İyi Değer İterasyon ġekil Sönümleme yöntemi uygunluk değerleri. Görünmez: 20 defa çalıģtırılan program optimum değer olan 2,658 değerini 14 kez bulurken, 20 sonucun ortalaması olarak 2,681 sonucunu bulmuģtur. Bu yöntem ile 31

47 Uygunluk Fonksiyonu yaklaģık 130. iterasyon sonucunda ortalama 0,869 saniyede optimum sonuç olan 2,658 değerine ulaģılmıģtır. Görünmez yönteminde genel olarak hızlı bir yakınsama iģlemi gerçekleģmiģ ve bu problem için kabul edilebilir bir yöntem olduğu ortaya çıkmıģtır. Bu yöntem için iterasyonlar boyunca elde edilen uygunluk değerleri ġekil 4.11'de ifade edilmiģtir GBEST İterasyondaki En İyi Değer İterasyon ġekil Görünmez yöntemi uygunluk değerleri. Görünmez Yansıtma: 20 defa çalıģtırılan program optimum değer olan 2,658 değerini hiç bulamamıģ ve 20 sonucun ortalaması olarak 4,066 sonucunu bulmuģtur. Bu yöntem ile yaklaģık 470. iterasyon sonucunda ortalama 3,237 saniyede en iyi sonuç olarak optimuma uzak olan 4,066 değeri bulunmuģtur. Bu problem için bu yöntemin PSO'ya uygun olmadığı ve gerekli yakınsamayı yapamadığı görülmüģtür. Grafiğe bakıldığı zaman iterasyondaki en iyi sonuçlarının global en iyi değerden daha düģük olduğu görülmektedir. Bu durumun oluģması, sürüdeki bütün parçacıkların kısıtlara uymayan sonuçlara sahip olması sebebiyledir. Bu durumda iterasyonun en iyi değeri değerin altında bir değer olabilmektedir. Yalnız program bu kısıtlara uymayan sonuçların olmasını engellemektedir. ġekil 4.12'nin farklığının en büyük sebebi bu yöntem uygulandığında sürüdeki parçacıkların kısıtlara uyan bölgeye çekilememesi ve kısıtlara uymayan bölgede kalmasıdır.. Bu yöntem için iterasyonlar boyunca elde edilen uygunluk değerleri ġekil 4.12'de ifade edilmiģtir. 32

48 Uygunluk Fonksiyonu Uygunluk Fonksiyonu GBEST İterasyondaki En İyi Değer İterasyon ġekil Görünmez Yansıtma yöntemi uygunluk değerleri. Görünmez Sönümleme: 20 defa çalıģtırılan program optimum değer olan 2,658 değerini 3 kez bulunurken, 20 sonucun ortalaması olarak 2,755 sonucunu bulmuģtur. Bu yöntem yaklaģık 200. iterasyon 1,346 saniyede sonucunda ortalama optimum değer olan 2,658 değerine ulaģılmıģtır. Yalnız bu problem için bu yöntemin PSO'ya uygun olmadığı ve gerekli yakınsama yapamadığı ortaya çıkmıģtır. Bu yöntem için iterasyonlar boyunca elde edilen uygunluk değerleri ġekil 4.13'de ifade edilmiģtir GBEST İterasyondaki En İyi Değer İterasyon ġekil Görünmez Sönümleme yöntemi uygunluk değerleri. Sonuç olarak baskı yayı tasarım problemine yukarıda bahsettiğimiz altı yöntemi uyguladığımızda farklı değerler elde ettiğimiz görülmektedir. ġekil 4.14'de bütün yöntemlerin bir arada kıyaslamasının yapıldığı grafik görülmektedir. Elde edilen 33

49 Uygunluk Fonksiyonu sonuçlarına göre bu problem için en uygun yöntemin Sönümleme yöntemi olduğu görülmektedir. Sönümleme yöntemi optimum sonucu bulma ve yakınsama hızı olarak en güvenilir sonuçları vermiģtir. Bunun yanı sıra Emme ve Görünmez yöntemleri de sonucu bulma hızı ve yakınsama hızı olarak Sönümleme yöntemi kadar hızlı olmasalar da optimum sonuç bulma konusunda gayet baģarılıdırlar. Yansıtma yöntemi ilk iterasyonlarda uygun olmayan bölgeye takılmasına rağmen ileriki iterasyonlarda optimum sonucu bulmayı baģarmıģtır. Görünmez Sönümleme yöntemi ise optimum sonucu bulmasına rağmen son iterasyonlarda dahi gerekli yakınsamayı sağlayamamıģ ve sık sık uygun olmayan bölgelere takılmıģtır. Görünmez Yansıtma yöntemi ise hem optimum sonuçtan oldukça uzak kalmıģ hem de uygun olmayan bölgelere takılarak gerekli olan yakınsamayı gerçekleģtirememiģtir. Genel olarak bakıldığında sınırlayıcı yöntemlerin sınırlayıcı olmayan yöntemlere bir üstünlüğü söz konusudur. 10 Yansıtma Görünmez Görünmez Yansıtma Sönümleme Emme Görünmez Sönümleme İterasyon ġekil Çözüm uzayını sınırlandıran yöntemlerin kıyaslanması. 34

50 BÖLÜM 5 PARÇACIK SÜRÜ OPTĠMĠZASYONU ĠLE KÜMELEME Bu bölümde PSO kümeleme algoritması olarak kullanılacak ve zambak çiçeği verilerinin kümelenmesi iģlemi gerçekleģtirilecektir. Öncelikle PSO ile zambak çiçeğinin küme sayısı bulunmaya çalıģılacaktır. Daha sonra bulunan küme sayısı bir ön bilgi olarak kullanılarak yine PSO ile kümeleme dağılım iģlemi gerçekleģtirilecektir. Ayrıca Fuzzy C-Means kümeleme algoritması ile PSO algoritması hibrit bir Ģekilde kullanılarak birlikte zambak çiçeği verileri kümelenmeye çalıģacaklardır KÜMELEME Kümeleme, herhangi bir etikete sahip olmayan veri topluluklarının bir öğretici olmadan farklı gruplara ayrılmasıdır. Bu gruplar kendi içinde benzer özelliklere sahip veriler içerirken, oluģturulan diğer veri gruplardan da farklı özellikler gösterirler. Kümelemenin amacı tane elemandan oluģan bir veri setini tane veri kümesine bölmektir. Bu ayrıģtırma iģlemi yapılırken tane kümenin birbirinden maksimum derecede farklılık göstermesi ve kendi içlerinde ise maksimum derecede benzerlik göstermesi istenir [33, 34]. Kümeleme algoritmaları makina öğrenmesi, veri madenciliği, veri analizi ve birçok mühendislik alanında yaygın olarak kullanılmaktadır. ġekil 5.1.'de bir çok sayıda elemandan oluģan bir veri seti mesafeye dayalı benzerlik ölçütüne göre dört farklı kümeye ayrılmıģtır. 35

51 ġekil 5.1. KümelenmiĢ veriler. Kümeleme algoritmaları hiyerarģik yada bölümsel (partitional) yapıda olabilir. HiyerarĢik kümeleme yöntemlerinde çıktılar, herbiri farklı bir kümeyi ifade eden ağaç dalları Ģeklindedir.HiyerarĢik kümeleme algoritmalarının üstünlükleri: Küme sayısının önceden belirtilmesine ihtiyaç duymamaları, BaĢlangıç koģullarından bağımsız olmalarıdır. Bu algoritmaların olumsuzlukları ise; Statik olması yani herhangi bir kümeye ait olan bir verinin farklı bir kümeye aktarılamaması, Ġç içe girmiģ farklı veri kümelerinin ayırt edilememesidir. Bölümsel kümeleme algoritmaları ise verileri birbirinden bağımsız kümelere ayırırlar ve bazı ölçütlere göre (örneğin kare hata fonksiyonuna göre) kümeleme problemini minimizasyon problemine dönüģtürürler. Bu yönüyle de bir optimizasyon problemi olarak ele alınabilirler [35]. Kümeleme algoritmalarında küme elemanlarının kümelere aidiyeti yönünden iki farklı algoritma kullanılabilir. Bunlar bulanık (fuzzy) ve kesin (crisp) kümeleme 36

52 algoritmalarıdır. Kesin kümeleme algoritmasında veri setindeki bir veri ancak bir kümeye ait olabilir. Bulanık kümeleme algoritmasında ise veri belirlenen bulanık üyelik derecesi ile birden fazla kümeye üye olabilir [33, 36]. Kümeleme algoritmaları yöneticili (supervised) ve yöneticisiz (unsupervised) olmak üzere iki grupta değerlendirilir. Yöneticili kümeleme algoritmalarında hangi verilerin hangi kümelere ait olacağı konusunda bir öğretici tarafından yönlendirme yapılır. Yöneticisiz kümeleme algoritmalarında ise bir öğreticiye ihtiyaç duymadan veriler farklı özelliklerine göre gruplandırılırlar [37]. Daha önce de ifade edildiği gibi bölümsel kümeleme yöntemleri birer optimizasyon yöntemi olarak ele alınabilir. Amaç verilerin ayrılacağı grup sayısını ve her bir kümenin ağırlık merkezini bulmaktır. Verilerin gruplandırılması sırasında üç temel nokta ele alınır: Verilerin gruplandırılacağı optimum küme sayısının belirlenmelidir. Verilerin doğru gruplandırılmasının yanı sıra grup sayısının belirlemesi de kümeleme iģleminde değerlendirmeye alınır. Verilerin gruplandırılması sırasında kullanılacak benzerlik ölçütünün belirlenmesidir. Bu benzerlik ölçütü aynı küme içerisndeki verilerin maksimum oranda benzerlik göstermesini sağlarken diğer gruptaki verilerle maksimum oranda farklılık göstermesini sağlamalıdır. En yaygın olarak kullanılan benzerlik ölçütü mesafeye dayalı benzerliktir. Kümeleme iģlemine en hızlı Ģekilde gerçekleģtirecek yöntemin belirlenmesidir. Kümeleme problemlerin çözümünde birçok algoritma kullanılırken bunlardan K- Means [35, 36, 38, 39], Fuzzy C-Means yerel öğrenme algoritmaları [40, 41] en fazla kullanılan algoritmalardandır. Yalnız bu yerel öğrenme algoritmalarının yerel minimumlara takılma riskleri fazladır. Bu problemin üstesinden gelebilmek için GA [42, 43, 44] ve PSO gibi evrimsel algoritmalar kullanılmıģtır [34, 45, 46]. Tezin bu bölümünde yapılacak uygulamalarda bölümsel kümeleme problemlerinin 37

53 PSO algoritması kullanılarak, yöneticili kesin kümeleme, yöneticisiz kesin kümeleme ve yöneticili bulanık kümeleme yöntemleriyle çözülmesi hedeflenmektedir PSO ĠLE KÜMELEME PROBLEMLERĠN ÇÖZÜMÜ Problem Tanımı Farklı kümelere ayrılacak n tane elemandan oluģan veri setini Ģeklinde ifade edelim. Veri setindeki her bir elemanı temsil eden boyutlu bir vektördür. ve değeri veri setindeki. noktanın. boyutundaki gerçek değeri ifade eder. 'dir. ve Kümeleme algoritmaları bu veri setindeki bütün noktaları farklı sınıfa ayırarak, { gibi bir sınıflandırma yapar. Kümeleme iģlemi sonucu oluģan her bir grubu diğer gruplardan mümkün olduğunca farklı, kendi içersindeki elemanların da mümkün olduğunca benzer olması gerekir. Sınıflandırma iģlemi sonucu oluģan kümelerin Ģu özellikleri taģıması gerekir [45]: Her bir kümeye en az bir eleman atanmalıdır. { Ġki farklı kümenin ortak elemanı olmamalıdır. { Her bir veri bir kümeye atanmalıdır. Kümeleme iģleminin sırasında veri setindeki iki eleman arasındaki benzerlik miktarı genel olarak öklit mesafesi kullanılarak belirlenir. Örneğin ve gibi boyutlu iki örnek eleman arasındaki benzerlik miktarı Ģu Ģekilde hesaplanır [33]: (5.1) 38

54 PSO' nun Kümeleme ĠĢlemine Uygulanması veriden oluģan P veri setinin kümelenmesi sırasında karģımıza çok fazla kümeleme seçeneği çıkmaktadır. Bu seçeneklerden en iyisini seçmek de bir optimizasyon konusudur. Daha öncede belirtildiği gibi PSO'daki her bir parçacık problem için muhtemel bir çözüm önerisidir. Kümeleme problemlerinde de sürüdeki parçacıklar kümeler için en uygun ağırlık merkezlerini bulmaya çalıģırlar. Bulunan bu merkezlere göre veri setindeki bütün elemanlar uygun kümelere dağıtılarak en uygun kümeleme seçeneği bulunmuģ olur. Sürünün baģlangıç populasyonunu ; { ve ;, sürüdeki parçacık sayısı Ģeklinde ifade edilir. Yöneticili kümeleme iģlemleri sırasında da her bir parçacık oluģturulan kümelerin merkezini temsil eden birer vektördür. Her bir parçacık, { ve ;, oluģturulan küme sayısı,,. kümenin ağırlık merkezi Ģeklinde ifade edilir. Her bir kümenin ağırlık merkezi { boyutlu bir vektördür. Ağırlık merkezlerinin boyutu veri setindeki kümelecek her biri elemanın boyutuna eģittir. Her bir boyutta gerçek değerler vardır. Yöneticiz kümeleme algoritmalarında veri setinin kaç kümeye ayrılacağı da diğer bir optimizasyon konusudur. Yapılan çalıģmada bu iki birbirine bağlı optimizasyon problemini için PSO'da farklı parçacıklar kullanılmıyacaktır. Bunun yerine her iki probleme de çözüm önerisi aynı parçacık üzerinden getirilecektir. Yani bir parçacık hem verilerin kaç ayrı kümeye ayrılacağı konusunda hem de kümelemenin en doğru Ģekilde yapılması konusunda çözüm üretecektir. Buna göre sürüdeki. parçacığın yapısı; ve Ģeklinde 39

55 olacaktır. Gösterimdeki sayısı kullanıcı tarafından girilen olabilecek maksimum küme sayısıdır. ise [0,1] aralığında değerler alabilen ve. kümenin aktif olup olmadığını gösteren bir değerdir. EĞER ise DEĞĠLSE (Yani j. kümenin ağırlık merkezi AKTĠF ise) j. kümenin ağırlık merkezi PASĠFTĠR. Yani belirtilen eģik değerine eģit ya da eģik değerinden daha büyük ise ise. küme aktif, eģik değerinden küçük ise pasif durumdadır. Örneğin z { değerine sahip bir parçacık için, eģik değerinin 0,5'den büyük olduğu ağırlık merkezi vektörlerinin 2., 4., 7., 9. elemanları aktiftir. Bu durumda. parçacığın dikkate alınması gereken hali { Ģeklinde olacaktır. Sonuç olarak boyutlu, en fazla kümeden oluģan. parçacığın temsili gösterimi, ; ; : maksimum küme sayısı; Ģeklinde olacaktır. Bu formülasyona göre bir parçacık tane gerçek değer içeren haneden oluģacaktır. Aynı Ģekilde parçacığın hız vektörü de konum vektörü ile aynı yapıda olacaktır [34] Kümeleme Doğruluk Ġndeksi Kümeleme doğruluk indeksi (KDĠ), kümeleme algortimaları tarafından üretmiģ kümeleme seçeneklerinin sayısal tabana dayandırılarak uygunluğunun değerlendirildiği fonksiyondur. Birçok PSO problemininde uygunluk fonksiyonu olarak adlandırılan bu fonksiyon, kümeleme algoritmalarında kümeleme doğruluk indeksi olarak adlandırılmıģtır. Kümeleme algoritmalarında çözüm üretilirken iki temel esas alınır: 40

56 OluĢturulan kümelerin elemanları kendi içlerinde azami derecede birbirine yakın olmalı, OluĢturulan farklı kümeler arası da azami ayrıģma olmalıdır. KDĠ genel olarak kesin kümeleme algoritmalarında kullanılan bir kavramdır. Literatürde birçok KDĠ'nin kullanıldığı ve kıyaslandığı çalıģmalar yapılmıģtır [47, 48]. Tez çalıģmasında KDĠ olarak üç farklı uygunluk fonksiyonu kullanılacaktır Kümeleme Doğruluk Ġndeksi 1 (F 1 ) Bu kümeleme doğruluk indeksi [49]'dan esinelenerek elde edilmiģtir. Bir parçacığın uygunluk değeri aģağıdaki fonksiyona göre hesaplanır: (5.2) : Veri setindeki toplam eleman sayısı, :. kümeye ait bir eleman, Öncelikle veri setindeki bütün elemanlar en yakın olduğu kümelere dağıtılır. Veri setindeki bütün elemanlar ile ait oldukları kümelerin ağırlık merkezi arasındaki mesafeler toplanır. Sonuç veri setindeki toplam elaman sayısına bölünerek bulunur. ' in küçük değer alması uygunluğun artması demektir. Yani bir minimizasyon fonksiyonudur Kümeleme Doğruluk Ġndeksi 2 (F 2 ) Bu KDĠ, [50]'den esinelenerek elde edilmiģtir. Bir parçacığın uygunluk değeri aģağıdaki fonksiyona göre hesaplanır: (5.3) 41

57 : toplam küme sayısı, :. kümedeki toplam eleman sayısı, Öncelikle veri setindeki bütün elemanlar en yakın olduğu kümelere dağıtılır. OluĢturulan her bir küme için, kümeye ait olan elemanların kümenin ağırlık merkezine olan uzaklıkları ayrı ayrı hesaplanır ve toplanır. Elde edilen değer kümenin eleman sayısına bölünür. Bu iģlem her bir küme için yapılır ve elde edilen değerler toplanır. Elde edilen toplam, küme sayısına bölünerek uygunluk değeri hesaplanmıģ olur. ' nin küçük değer alması uygunluğun artması demektir. Yani bir minimizasyon fonksiyonudur Kümeleme Doğruluk Ġndeksi 3 (F 3 ) Bu kümeleme doğruluk indeksi [34] ve [36]'den esinelenerek elde edilmiģtir. Bir parçacığın uygunluk değeri aģağıdaki fonksiyona göre hesaplanır: { { (5.4) sadeģtirirsek, { (5.5) (5.6) : toplam küme sayısı :. küme :. kümedeki toplam eleman sayısı, 42

58 Öncelikle veri setindeki bütün elemanlar en yakın olduğu kümelere dağıtılır. Uygunluk fonksiyonun pay kısmı hesaplanmadan küme içindeki her bir elemanın yine aynı küme içinde en uzağındaki diğer bir eleman belirlenir. Bunlar arasındaki mesafe hesaplanır. Bu hesaplama kümedeki bütün elemanlar için yapılır. Hesaplanan bu mesafelerin hepsi toplanır ve kümedeki eleman sayısına bölünür. Bu iģlem her bir küme için ayrı ayrı yapılır ve sonuçlar toplanarak, payın değeri elde edilmiģ olur. Fonksiyonun paydası hesaplanmadan önce ise her bir kümenin elemanlarının her bir boyutunun aritmatik ortalaması bulunarak, kümenin ağırlık merkezi belirlenir. Her bir kümenin ağırlık merkezine en yakın uzaklıktaki diğer bir kümenin ağırlık merkezi bulunup aralarındaki mesafeler toplanarak payda elde edilmiģ olur. Elde edilen pay ve paydanın oranı da uygunluk değeridir. 'ün küçük değer alması uygunluğun artması demektir. Yani bir minimizasyon fonksiyonudur PSO ĠLE KÜMELEME ALGORĠTMASININ GERÇEKLEġTĠRĠLMESĠ PSO ile kümeleme iģlemini gerçekleģtirmek için izlenmesi gereken adımlar aģağıdaki sözde kodda ifade edildiği gibidir [36]: Girdiler: Veri seti Çıktılar: Kümeler { BEGIN Sürünün pop Tane Elemanına BaĢlangıç Değeri Ata REPEAT FOR i=1 TO n FOR j=1 TO k d(p i,o j ) Mesafesini Hesapla (Formül 5.1) END FOR Eğer o j, p i 'ye En Yakın Ağırlık Merkezi ise p i 'yi C j Kümesine Ata END FOR FOR s=1 TO pop Parçacığın KDĠ'sini Hesapla Değerini Hesapla 43

59 END FOR Değerini Hesapla FOR s=1 TO pop Parçacığın Hızını Güncelle Parçacığın Konumunu Güncelle END FOR UNTIL Durdurma Kriterine UlaĢıncaya Kadar END Burada; : Sürüdeki parçacık sayısı, : Veri setinin eleman sayısı, : Küme sayısı, : Veri setinin i. elemanı, :. kümenin ağırlık merkezi'dir PROBLEM UYGULAMASI Tez kapsamında PSO kümeleme uygulamasında zambak çiçeği veri seti kümelenecektir. Zambak çiçeği veri seti [51], çiçeğinin santimetre cinsinden çanak yaprak uzunluğu, çanak yaprak geniģliği, ayakçak yaprak uzunluğu ve ayakçak yaprak geniģliğini gibi dört farklı değiģken içeren 150 elemandan oluģan dört boyutlu bir veri setidir. ġekil 5.2'de zambak çiçeğinin resmi görülmektedir. Üç farklı kümeden oluģan zambak çiçeği veri seti eleman sayıları ve elemanların dağılımı Çizelge 5.1'deki gibidir. Çizelge 5.1. Zambak çiçeği veri setinin dağılımı. Küme Adı Kümenin Eleman Sayısı Iris Setosa 50 Iris Virginica 50 Iris Versicolor 50 44

60 ġekil 5.2. Zambak çiçeği ve yapraklarının yapısı. Yukarıda bahsedilen üç kümeleme doğruluk indeksinin zambak çiçeği verileri üzerinde kümeleme performansları değerlendirilecektir. Bu kümeleme iģlemi için geliģtirilen kod Microsoft Visual Studio 2008 C# ortamında geliģtirilmiģtir. GeliĢtirilen bu kod Window 7 Professional 64 bit iģletim sistemin sahip Intel Core2 Duo 2,63GHz iģlemcili ve 4 GB RAM'li bir dizüstü bilgisayar üzerinde çalıģtırılmıģtır. Uygulamada kullanılacak parametrik değerler hızlandırma katsayıları,, atalet ağırlığı, maksimum iterasyon sayısı, parçacık sayısı, hız güncelleme limiti değer aralığının %1'idir. Elde edilen sonuçlar programın her bir yöntem için 20'Ģer defa birbirinden bağımsız çalıģtırılması ile elde edilmiģtir. Öncelikle yöneticisiz kümeleme algoritması üç farklı kümeleme indeksine göre ayrı ayrı uyarlanmıģtır. Bu uygulamada amaç veri setinin ayrılacağı küme sayısını bulmaktır. Yapılan uygulamalar sonucunda elde edilen değerler Çizelge 5.2'de gösterilmiģtir. 45