Elektrik - Elektronik Fakültesi

Transkript

1 . Elektrik - Elektronik Fakültesi KON314 Kontrol Sistem Tasar m Ödev #1 Birol Çapa-4645 Doç. Dr. Mehmet Turan Söylemez

2 1.a.Amaç Transfer fonksiyonu ( n 1 ve n üzerine konulan bir kontrolör ile kontrol edilmek istenmektedir. bir kontrolörü F( s) = KP n 1 =1 ve n =2 seçmelidir. 2. a. AppendTo[$Path,"P:\\Muhendis\Mathematica\macsybox"]; <<Control` Gs= 3.2+ n s 2 + H3.5+.3n 1 L s+ 4+.2n n= olmak üzere s + s 2 transfer fonksiyonu F= K p Kontrolörün ifadesi olmak üzere ileri yol ifadesi L=F Gs 2

3 3.2 K p s + s 2 o T= TogetherAExpandA L 1+ L EE 3.2 K p s + s K p pcs=denominator[t] s + s K p Asim =.3; Log@AsimD ζdesired = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! π 2 + Log@AsimD 2 b ζdesired= Buna uygun bir karakteristik polinom elde etmek için pds= s 2 + 2ζ w n s+ w n 2 ê. ζ ζdesired s s w n + w n 2 polinomdur. 3

4 sol=solve[coefficientlist[pcs,s] CoefficientList[pds,s]] 88K p , w n << ç Kontrolör K p K p = w n = settime= 4 ζdesired w n ê.sol@@1dd AchievedTs=T/.sol[[1]] s + s 2 TimeDomainCharacteristics[AchievedTs,ShowMessages Settling Time (Ts) : sec Overshoot Time (Tp): sec Overshoot : Delay Time (Td) : sec 4

5 Rise Time (Tr) : sec SteadyStateError[AchievedTs] dir y ss = AchievedTs ê.s e ss = Simplify@1 y ss D.35529, 3. a.simülasyon Step[AchievedTs]; YHtL Time Response Time 5

6 Gain 3.2 s 2+5s+4 Transfer Fcn Step Scope 4. a.sonuç Sonuç olarak, %. 6

7 1. b.i.ii.iii.amaç Sonuç1.a sonuçta elde bir faz ilerlemeli kontrolör tasarlanmak isteniyor: Matlab veya Mathematica kullanara hal 2.b..i.ii.iii. AppendTo[$Path,"P:\\Muhendis\Mathematica\macsybox"]; <<Control` n 1 = 5 n = Sistem Gs= 3.2+ n s 2 + H3.5+.3n 1 L s+ 4+.2n 3.2` 4+ 5.`s+s 2 pzm=polezeromap[gs] 7

8 1 Pole Zero Map.5 I m HsL PolesZeros[Gs] {{-4.,-1.},{}} Sisteme RootLoci[Gs] ReHsL Root Locus Plot I m HsL ReHsL RootLoci[Gs,KRange {-2,2.5,.1}] 8

9 3 2 1 Root Locus Plot I m HsL ReHsL rl=rootloci[gs,joingraphics {pzm}] Root Locus Plot I m HsL ReHsL Show[{rl,pzm}] Root Locus Plot I m HsL ReHsL 9

10 3 2 1 Root Locus Plot I m HsL Kontrolör ifadesi Asim=.3; Buradan ζ: ReHsL Fs= K s+ z 1 s+ p 1 K Hs+ z 1 L s+ p 1 ζdesired = Log@AsimD è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! π 2 + Log@AsimD SettlingTime= ` targetsettlingtime=settlingtime/ ` Buradanw n 1

11 wdesired = 4 ζdesired targetsettlingtime ` Bu iki yeni veriye göre tasarlanan karakteristik polinom pds= s 2 + 2ζ w n s+ w n 2 ê. 8ζ ζdesired, wn wdesired< ` `s+ s 2 L=Gs Fs 3.2`K Hs+ z 1 L H4+ 5.`s+s 2 L Hs+ p 1 L T fazil = TogetherAExpandA faz ilerlemeli kontrolöre sahip transfer fonksiyonunun karakteristik denklemi L 1+ L EE 3.2`K s+ 3.2`K z 1 4.`s+ 3.2`K s+5.`s 2 + s ` p `s p 1 + s 2 p `K z 1 p fazil = Denominator@T fazil D 4.`s+ 3.2`K s+ 5.`s 2 + s ` p `s p 1 + s 2 p `K z 1 residue polinomu gerekli: p istenen = Expand@pds Hs+ ald ` a ` s `as `s 2 + as 2 +s 3 karakteristik denklemler çözülürse 11

12 clst1= fazil, sd 84.` p `K z 1, 4.`+ 3.2`K + 5.` p 1, 5.`+ p 1, 1< clst2 = CoefficientList@p istenen, sd { a, a, a,1} ve bu çözüm eklenen a kutbunu serbest parametre olarak kabul edilerek verilirse sol2= Solve@clst1 clst2, 8K, p 1, z 1 <D `*^ `*^23a 99z `*^ `*^22a, p `*^-8 H `*^ `*^7 al, K `*^-24 H `*^ `*^23 al== olsun ve O halde a z in a - r ifade K c (s)g(s) ifadesindeki G c üsttekine göre çok - 12

13 sol3=sol2/.a 4 88z 1 4., p , K << 88z `, p `, K `<< edilebilir Bu çözüme göre Kontr yeniden düzenlenirse Fs K Hs+ z 1 L s+ p 1 Fbulunan=Fs/.sol3[[1]] ` H ` + sl `+ s Lbulunan=L/.sol3[[1]] ` H ` + sl PolesSISO[Lbulunan] { ,-4.,-1.} ZerosSISO[Lbulunan] {-4.} H `+sL H4+ 5.`s+ s 2 L Tbulunan= T fazil ê.sol3@@1dd ` `s ` `s `s 2 +s 3 PolesZeros[Tbulunan] {{ , ,-4.},{-4.}} 13

14 pzm2=polezeromap[lbulunan] 1 Pole Zero Map.5 I m HsL ReHsL pzm3=polezeromap[tbulunan] 4 Pole Zero Map 2 I m HsL ReHsL rloci=rootloci[lbulunan,joingraphics {pzm2}] 14

15 1 Root Locus Plot 5 I m HsL ReHsL Tbulunan ` ` s ` `s `s 2 + s 3 Step[Tbulunan] YHtL Time Response Time Zaman bölgesi analizi: TimeDomainCharacteristics[Tbulunan,ShowMessages True] Reducing tmax to Settling Time (Ts) : sec Overshoot Time (Tp):.7547 sec 15

16 Overshoot :.3 Delay Time (Td) : sec Rise Time (Tr) : sec {.3,.7547,.92757, ,.36492} SteadyStateError[Tbulunan] b..i.ii.iii.simülasyon Step[Tbulunan] YHtL Time Response Time Step Gain s+4 s Transfer Fcn s 2+5s+4 Transfer Fcn Scope Display

17 4. b..i.ii.iii.sonuç

18 4 Pole Zero Map 2 I m HsL ReHsL (Kutup- Burada dikkat çekilecek husus: S , , -4) bu 18

19 1.b.iv.Amaç 4. b..i.ii.iii.sonucuna dayanarak b ilerlemeli-gerilemeli AppendTo[$Path,"P:\\Muhendis\Mathematica\macsybox"]; <<Control`. z 1 = ` p 1 = ` K = ` F= K Hs+ z 1L Hs+ z 2 L Hs+ p 1 L Hs+ p 2 L H4. + sl Hs + z 2 L H sl Hs + p 2 L Bir e ss1 = ` e ss = e ss1 ê Kp= H1êe ss L 1 19

20 n 1 = 5 n = Gs= 3.2+ n s 2 + H3.5+.3n 1 L s+ 4+.2n s + s 2 : L=F Gs K p = lim s Gc ( s) G p ( s) : Kpl=L/.s H4. + sl Hs+ z 2 L H sl H s + s 2 L Hs+ p 2 L z 2 p 2 tasarlanan sistemin sol=solve[kpl-kp ] 88z p 2 << Normalde Sistemin transfer fonksiyonunun -1 ve - Faz ilerlemeli kontrolör ile - ve - Bu kontrolör ile sistemin -4 teki kutbunun etkisini - Geriye - - ku 2

21 - eklenmelidir. O yüzen p 2 kutbu da z 2 - Bu fikirden hareketle bulunabilir: F Gs L p 2 =.8121 z 2 = ` p H sl H4. + sl H sl H sl s + s H sl H4.+ sl H sl H sl H s + s 2 L PolesSISO[L] ZerosSISO[L] { ,-4.,-1.,-.8121} {-4.,-1.679} 21

22 T fazilgeri = TogetherAExpandA l. { , ,-4.,-1.871} {-4.,-1.679} pzml=polezeromap[l] L 1+ L EE s s s s s 3 + s 4 pch= Denominator@T fazilgeri D s s s 3 + s 4 PolesSISO@T fazilgeri D ZerosSISO@T fazilgeri D 1 Pole Zero Map.5 I m HsL ReHsL Graphics rloci=rootloci[l,joingraphics {pzml}] 22

23 1 Root Locus Plot 5 I m HsL ReHsL Graphics pzmt= PoleZeroMap@T fazilgeri D Pole Zero Map I m HsL ReHsL Graphics TimeDomainCharacteristics@T fazilgeri, ShowMessages TrueD Reducing tmax to Settling Time (Ts) : sec Overshoot Time (Tp): sec Overshoot :.373 Delay Time (Td) : sec Rise Time (Tr) :.4717 sec 23

24 {.373,.84647,1.4155, ,.4717} fazilgeri D b.iv.Simülasyon Step@T fazilgeri D 1 Time Response.8.6 YHtL Time Sistem Matlab Step Gain s+4 s Transfer Fcn 1 s s Transfer Fcn s 2+5s+4 Transfer Fcn Scope.9786 Display 24

25 1.b.iv.Sonuç Sonuç olarak, n.373 % 3, bir önceki sistemde idi olarak de bulunan kut k 1/ görülebilir. 25

26 1.c.Amaç AppendTo[$Path,"P:\\Muhendis\Mathematica\macsybox"]; <<Control` n 1 = 5 n = Gs= 3.2+ n s 2 + H3.5+.3n 1 L s+ 4+.2n s + s 2 Fs= K p + K d s s K d + K p Ls=Fs Gs 3.2 Hs K d + K p L s + s 2 T PD = TogetherAExpandA 3.2 s K d K p Ls 1+ Ls EE s + s s K d K p p PD = Denominator@T PD D s + s s K d K p Asim=.3; 26

27 ζdesired = Log@AsimD è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! π 2 + Log@AsimD SettlingTime= ` targetsettlingtime=settlingtime/ wdesired = 4 ζdesired targetsettlingtime pds= s ζ w n s+ w n ê. 8ζ ζdesired, wn wdesired< s + s 2 clst1 = CoefficientList@p PD, sd K p, K d, 1< clst2=coefficientlist[pds,s] { , ,1} sol= Solve@clst1 clst2, 8K p, K d <D 88K d , K p << Fsfix=Fs/.sol[[1]] s Solve[Fsfix ] {{s }} AchievedL=Ls/.sol[[1]] 3.2 H sl s + s 2 27

28 PolesSISO[AchievedL] {-4.,-1.} ZerosSISO[AchievedL] { } AchievedTs2 = T PD ê.sol@@1dd s s + s 2 poles=polessiso[achievedts2] { , } ZerosSISO[AchievedTs2] { } TimeDomainCharacteristics[AchievedTs2,ShowMessages True] Reducing tmax to Settling Time (Ts) : sec Overshoot Time (Tp): sec Overshoot : Delay Time (Td) : sec Rise Time (Tr) : sec { , , ,.11844, } SteadyStateError[AchievedTs2]

29 1.c.Simülasyon Step[AchievedTs2] YHtL Time Response Time GraphicsArray 1.c.Sonuç Sonuç olarak, b saniye %96 %5.3 bulundu. Bu sonuç beklenenden hayli fazla. Bunun sebebi ise ev etkeninin 29

30 1.d.Amaç {- - Bu takdirde PID Kontrolörü yüzünden eklenecek ikinci yine onun kutbun et F( s) = KP + KDs kontrolörünün kökü -8 idi. Ki F( s) = KP + KDs + s KP + KDs Ki F( ) = KP + KDs terim K i eksi yönde bir ötelemeye neden olur. O halde bu negatif ötelemenin bir pozitif öteleme ile giderilmesi gerekir ki F( s) K P + K Ds - - K P terimi K Ds Ki teriminden büyük olacak ve bu pozitif fark, s AppendTo[$Path,"P:\\Muhendis\Mathematica\macsybox"]; <<Control`, Fs= TogetherAExpandAK p + K d s+ K i s EE 3

31 s 2 K d + K i + s K p s Fsn=Numerator[Fs] s 2 K d + K i + s K p Solve[Fsn,{s}] - -8 den biraz küçük) olsun daha ::s K p "###################### 4 K d K i + K2 p 2 K d >, :s K p + "###################### 4 K d K i + K2 p 2 K d >> f= K p "###################### 4K d K i + K2 p 2K d H 7.619L K p "###################### 4 K d K i + K2 p 2 K d sol=solve[f ] 88K i H K d K p L<< düzenlenirse Fsyeni=Fs/.sol[[1]] s 2 K d + s K p H K d K p L s n 1 = 5 n = Gs= 3.2+ n s 2 + H3.5+.3n 1 L s+ 4+.2n 31

32 s + s 2 Ls=Gs Fsyeni H3.2 Hs 2 K d + s K p H K d K p LLL Hs H4+ 5. s + s 2 LL = TogetherA Ls 1+ Ls E H K d s 2 K d K p s K p L H4. s+ 5. s 2 + s K d s 2 K d K p s K p L 4. s+ 5. s 2 + s K d s 2 K d K p s K p bulunur. Asim=.3; ζdesired = Log@AsimD è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! π 2 + Log@AsimD SettlingTime= ` targetsettlingtime=settlingtime/ wdesired = 4 ζdesired targetsettlingtime

33 pds= s 2 + 2ζ w n s+ w n 2 ê. 8ζ ζdesired, wn wdesired< s + s 2 residue i olsun: pes=s+a a+s pds2=expand[pds pes] a s a s s 2 + a s 2 + s K d K p, K p, K d, 1< clst2=coefficientlist[pds2,s] { a, a, a,1} sol2=solve[clst1 clst2] 88a , K d , K p << Bu noktadan hareketle K p,k d,k i ifadeleri yerlerine konursa: Fs s 2 K d + K i + s K p s K i =.1`H `K d `K p L ê.sol2@@1dd Fsyeni/.sol2[[1]] 33

34 s s 2 s LT=Ls/.sol2[[1]] 3.2 H s s 2 L s H4+ 5. s + s 2 L RootLoci[LT] Root Locus Plot 4 2 I m HsL ReHsL Graphics s s s s 2 + s 3 PolesZeros[AT] {{ , , },{-7.619, }} da olan Yine daki kutup sayesinde etkisini giderebilecek bir kutbun o bölgeye geldi. 34

35 ( ) kutbu sayesinde( ) etkisiz hale geliyor. beklenir. Zaman Bölges TimeDomainCharacteristics[AT,ShowMessages True] Reducing tmax to Settling Time (Ts) : sec Overshoot Time (Tp): sec Overshoot : Delay Time (Td) : sec Rise Time (Tr) : sec {.35389, , , ,.26472} SteadyStateError[AT]. 1.d.Simülasyon Step[AT] 1.8 Time Response YHtL Time GraphicsArray 35

36 1.d.Sonuç Sonuç olarak, n % 3, olarak bir sonraki. 36

37 2.1.Amaç Sistem transfer fonksiyonunun Gs= 3.2+ n Hs 2 + H3.5+.3n 1 L s n L H.1s + 1L v -Nichols (osilasyon) yöntemiyle belirleyiniz. Mathematica nda Sonuç olarak verilen sistemi kontrol 2.2. AppendTo[$Path,"P:\\Muhendis\Mathematica\macsybox"]; <<Control` n 1 = 5 n = Sistemin transfer fonksiyonu: Gs= 3.2+ n Hs 2 + H3.5+.3n 1 L s n L H.1s + 1L Ziegler- F=K K L=Gs K 3.2 H1 +.1 sl H s + s 2 L 3.2 K H1 +.1 sl H s + s 2 L T= TogetherAExpandA L 1+ L EE 37

38 3.2 K K s s s 3 polinom pcs=denominator[t] K s s s 3 rtblnichols=routhtabulation[pcs] :.1, 1.5, K, H KL H KL K Map[(#>)&,rtblnichols] > :True, True, K >, H KL H KL K > > cond=apply[and,map[(#>)&,rtblnichols]] K > && H KL H KL K > Reduce[cond] -1.25<K< <K< pcsnichols=pcs/.k s s s 3 s1=solve[pcsnichols ] 88s 15.<, 8s <, 8s << 38

39 K c = : w c = Buradan Ziegler- P c = 2 π w c K p =.6K c T r =.5P c T d = P c i FNichols= ExpandAK p j1+ 1 k T r s + T d s y ze { s Ziegler- Gs s 39

40 LNichols=Gs FNichols ç 3.2 H1 +.1 sl H s + s 2 L 3.2 I sm s H1 +.1 sl H s + s 2 L TNichols= TogetherAExpandA Step[TNichols] LNichols 1+ LNichols EE s s s s s s 4 Time Response YHtL Time TimeDomainCharacteristics[TNichols,ShowMessages True] Settling Time (Ts) : sec Overshoot Time (Tp): sec Overshoot : Delay Time (Td) : sec Rise Time (Tr) : sec { , , , ,.54311} 4

41 Bir F PID = 1 s I ` `s `s 2 M s s 2 s L PID = GsF PID 3.2 H s s 2 L H1 +.1 sl s H s+ s 2 L T PID = TogetherAExpandA L PID 1+ L PID EE s s s s s s 4 Buna göre elde edilen transfer fonksiyonunun Step@T PID D Time Response 1.8 YHtL Time Yine TimeDomainCharacteristics@T PID, ShowMessages TrueD 41

42 Reducing tmax to Settling Time (Ts) : sec Overshoot Time (Tp): sec Overshoot : Delay Time (Td) : sec Rise Time (Tr) : sec {.39457, , , ,.24758} 42

43 2.3.Simülasyon Step[TNichols] YHtL TimeDomainCharacteristics[TNi chols,showmessages True] Settling Time (Ts) : sec Overshoot Time (Tp): sec Overshoot : Time Response Time Delay Time (Td) : sec Rise Time (Tr) : sec Step[T PID ] YHtL Time TimeDomainCharacteristics [T PID,ShowMessages True] Settling Time (Ts) : sec Overshoot Time (Tp): sec Overshoot : Time Response Delay Time (Td) : sec Rise Time (Tr) : sec { , , , , } {.39457, , , , } 43

44 2.4.Sonuç - PID çok daha olumsuz sonuçlar Ziegler- Nichols c göre; Ziegler- Nichols, önceki 3 kat ve önceki Buna göre önceki PID Verilen sistemi kontrol etmek için 44