ELE401/ /17 GÜZ ÖDEV 2 - ÇÖZÜMLER
|
|
- Hazan Karagöz
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 ELE40/50 06/7 GÜZ ÖDEV - ÇÖZÜMLER -) Lyapunov kararlılığı için = 0, V( ) = 0 0, V( ) > 0 biçiminde bir Lyapunov fonksiyonu 0, V( ) 0 eşitsizliğini sağlanmalıdır. Asimptotik kararlılık için 0, V( ) < 0 şartı sağlanmalıdır. Global kararlılık için ise ek olarak ışınsal sınırsızlık şartı sağlanmalıdır, yani giderken V( ) gitmelidir. Doğrusal sistemler için kararlılığın daima global olduğunu hatırlayınız. Yani ekstradan globallik koşulunu kontrol etmeye gerek yoktur, kararlılık gösterildiği anda otomatikman global olur. Lyapunov kararlılığı sıfır giriş altında sistemin durumlarıyla ilgilenir. Bundan dolayı doğrusal sistemler için durum uzayında ilgilenecek olan matris A matrisidir. = A doğrusal zamanla değişmez sistemi için Lyapunov fonksiyonu her zaman V( ) = P şeklinde seçilebilir; burada P pozitif tanımlı simetrik bir matristir. ürev alındığında V( ) = [ A P+ P A] elde edilir. Buradaki A P+ P A= Q olarak adlandırılırsa Q matrisi pozitif tanımlı ise sistemin asimptotik kararlılı, pozitif yarı tanımlı ise Lyapunov kararlı olduğu söylenebilir. Doğrusal sistemler için önemli bir kolaylık, bu analizde tersten gitmenin de mümkün olmasıdır. Yani herhangi bir pozitif tanımlı Q seçilip, A P+ P A= Q denklemi P için çözüldüğünde pozitif tanımlı bir P elde ediliyorsa sistem asimptotik kararlıdır denebilir. Benzer şekilde herhangi bir pozitif yarı tanımlı Q seçilip, A P+ P A= Q denklemi P için çözüldüğünde pozitif tanımlı bir P elde ediliyorsa sistem Lyapunov kararlıdır denebilir. S sistemi için : = 0 A matrisi A = 0 y u = +
2 Durum sayısı n = olduğundan P ve Q skaler olacak. Asimptotik kararlılık için Q matrisi birim matris yani seçilerek P matrisi arayalım: A P+ P A= 0 P+ P0= ifadesini sağlayan hiçbir pozitif tanımlı P yoktur çünkü P ne olursa olsun bu ifade sağlanmaz. O halde sistem asimptotik kararlı değil. Lyapunov kararlılık için pozitif yarı tanımlı bir Q seçelim, mesela Q = 0 olsun. O halde A P+ P A= 0 P+ P0= 0 ifadese bakarsak bunu sağlayan pozitif tanımlı bir P bulunabilir, örneğin P = alınabilir. O halde Lyapunov kararlıdır. S sistemi için : = u A matrisi A = 0 y = Durum sayısı n = olduğundan P ve Q skaler olacak. Asimptotik kararlılık için Q matrisi birim matris yani seçilerek P matrisi arayalım: A P+ P A= 0 P+ P0= ifadesini sağlayan hiçbir pozitif tanımlı P yoktur çünkü P ne olursa olsun bu ifade sağlanmaz. O halde sistem asimptotik kararlı değil. Lyapunov kararlılık için pozitif yarı tanımlı bir Q seçelim, mesela Q = 0 olsun. O halde A P+ P A= 0 P+ P0= 0 ifadese bakarsak bunu sağlayan pozitif tanımlı bir P bulunabilir, örneğin P = alınabilir. O halde Lyapunov kararlıdır. S3 sistemi için : = + u A matrisi A = y = Durum sayısı n = olduğundan P ve Q skaler olacak. Asimptotik kararlılık için Q matrisi birim matris yani seçilerek P matrisi arayalım: A P+ P A= ( ) P+ P ( ) = ifadesi pozitif tanımlı P = 0.5 için sağlanır, o halde asimptotik kararlıdır. Asimptotik kararlı olduğuna göre otomatikman Lyapunov kararlıdır.
3 S4 sistemi için : = u A = y = u A matrisi 0 S ve S ye benzer şekilde asimptotik kararlı olmadığı ama Lyapunov kararlı olduğu açıktır. S5 sistemi için : = + u A matrisi 0 = A= 0 y u = + Durum sayısı n = olduğundan P ve Q matrisler olacak. Asimptotik kararlılık için Q matrisi birim matris seçerek P p p = p p matrisini çözelim: 0 p p p p = 0 p p p p 0 0 p 0 0 Çözülürse = p = 0.5, p = p p O halde P = p 0.5. Hiçbir p için P pozitif tanımlı olamayacağı için sistem asimptotik kararlı değildir. Lyapunov kararlılık için Q yu pozitif yarı tanımlı, mesela sıfır seçip P yi çözelim: 0 p p p p = 0 p p p p p Çözülürse = p = 0, p = 0 0 p 0 0 3
4 0 p O halde P = p 0. Hiçbir p için P pozitif tanımlı olamayacağı için sistem Lyapunov kararlı değildir. S6 sistemi için : = + u A matrisi A = y = Durum sayısı n = olduğundan P ve Q skaler olacak. Asimptotik kararlılık için Q matrisi birim matris yani seçilerek P matrisi arayalım: A P+ P A= P+ P= ifadesinin çözümü P = 0.5 olup bu pozitif tanımlı değildir. O halde sistem asimptotik kararlı değil. Lyapunov kararlılık için pozitif yarı tanımlı bir Q seçelim, mesela Q = 0 olsun. O halde A P+ P A= P+ P= 0 ifadesinin çözümü P = 0 olup bu pozitif tanımlı değildir. O halde Lyapunov kararlı değil. -) Sistemler için Lyapunov kararlık yukarıda incelenmişti. Diğer kararlılık tipleri için aşağıdaki adımlar takip edilebilir. S sistemi için : = 0 y = + u verilen sistemin çeşitli kararlılıklar için özdeğer ve kutuplarına bakılmalıdır. Sistemimizin için özdeğerleri belirlerken karakteristik polinomun köklerine bakılır. ( λ) = λi A λ = 0 olarak elde edilir. Sistemimizin kutupları için transfer fonksiyonundan yararlanılabilir ve bunun için Laplace dönüşümü kullanılır. = 0 X () s = 0 Y() s Laplace ransfer Fonksiyonu = = Y() s = X() s + U() s U() s + y u 4
5 Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında kutup olmadığı görülmektedir. Sınırlı girdi-sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için kutupların hepsinin sol yarı düzlemde olması gerekir. Burada sistemin kutbu yoktur. Kutup olmadığı durumlarda (sabit kazanç durumu) sistemin çıkışı girişinin sabit bir katı (burada katı) olur, yani tanım gereği SGSÇ kararlıdır. Lyapunov kararlılık. soruda bulunmuştu, burada da teyit etmek gerekirse, Lyapunov kararlılık için özdeğerlerin sol yarı düzlemde olması veya sanal eksen üzerinde çakışık kök olmaması gerekir. Sistemimiz için özdeğer λ = 0 olarak elde edildiğinde koşulu sağladığı için Lyapunov kararlılık görülmektedir. Sınırlı Girdi-Sınırlı Durum (SGSD) kararlılığı için 0 edilebilir. ( ) At kararlıdır. 0 Φ () t B dt < şartı kontrol t Φ t = e = e = ve B = 0 olduğundan integralin sonucu 0 dır. O halde SGSD Global Asimptotik(GA) kararlılık incelenirken sistemin özdeğerlerine bakılır ve özdeğerlerin hepsinin sol yarı düzlemde olması istenmektedir. İlgili sistem için özdeğer λ = 0 olup sanal eksen üzerinde olduğu için GA kararlılığa sahip değildir. S sistemi için : = u y = verilen sistemin çeşitli kararlılıklar için özdeğer ve kutuplarına bakılırsa. Sistemimizin için özdeğerleri belirlerken karakteristik polinomun köklerine bakılır. ( λ) = λi A λ = 0 olarak elde edilir. Sistemimizin kutupları için transfer fonksiyonunda yararlanılabilir ve bunun için Laplace dönüşümü kullanılır. = u s X() s = U() s Laplace ransfer Fonksiyonu Y() s = y = Y() s = X() s U() s s Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında kutbumuz s=0 olarak elde edilir. 5
6 Sınırlı girdi- Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için kutupların hepsinin sol yarı düzlemde olmadığından dolayı ( Kutbumuz sanal eksen üzerinde ) sistemimiz SGSÇ kararlığına sahip değildir. Lyapunov kararlılık konusunda sistemimiz için özdeğer λ = 0 olarak elde edildiğinden dolayı Lyapunov kararlılık görülmektedir. Sınırlı Girdi- Sınırlı Durum (SGSD) kararlılık ve Global Asimptotik(GA) kararlılık konusunda sistemimiz SGSÇ kararlığına sahip olmadığı için incelemeye gerek yoktur, sistemimiz her iki kararlılığa da sahip değildir. S3 sistemi için : = + u y = verilen sistemin çeşitli kararlılıklar için özdeğer ve kutuplarına bakılırsa. Sistemimizin için özdeğerleri belirlerken karakteristik polinomun köklerine bakılır. ( λ) = λi A λ = olarak elde edilir. Sistemimizin kutupları için transfer fonksiyonunda yararlanılabilir ve bunun için Laplace dönüşümü kullanılır. = + u s X () s = X () s + U() s Y() s y Y() s = X () s U() s s+ Laplace ransfer Fonksiyonu = = Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında kutbumuz s = olarak elde edilir. Sınırlı girdi-sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için kutupların hepsinin sol yarı düzlemde olduğu için SGSÇ kararlığına sahiptir. Lyapunov kararlılık konusunda sistemimiz için özdeğeri λ = olarak elde edildiğinden (özdeğerimiz sol yarı düzlemde) dolayı Lyapunov kararlığa sahiptir. Sınırlı Girdi-Sınırlı Durum (SGSD) kararlılığı için edilebilir. Φ( ) = = ve B = olduğundan At t t e e 0 Φ () t B dt < şartı kontrol 6
7 t t tb dt e dt e dt e t = = = Φ() =. O halde SGSD kararlıdır. Global Asimptotik(GA) kararlılık konusunda sistemimizin özdeğeri λ = olduğu için GA kararlılığı göstermektedir. S4 sistemi için: = u y = u verilen sistemin çeşitli kararlılıklar için özdeğer ve kutuplarına bakılırsa. Sistemimizin için özdeğerleri belirlerken karakteristik polinomun köklerine bakılır. ( λ) = λi A λ = 0 olarak elde edilir. Sistemimizin kutupları için transfer fonksiyonunda yararlanılabilir ve bunun için Laplace dönüşümü kullanılır. () () () = u s X s = U s Y s y = u Y() s = U() s U() s Laplace ransfer Fonksiyonu = Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında sistemin kutbunun olmadığı görülmektedir. Sınırlı girdi- Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için ilgili sistem için kutup olmaması kararlılığı bozmadığı için sistem SGSÇ kararlığını göstermektedir. Lyapunov kararlılık konusunda sistemimiz için özdeğer λ = 0 olarak elde edildiğinden dolayı Lyapunov kararlılık görülmektedir. Sınırlı Girdi-Sınırlı Durum (SGSD) kararlılığı için t Φ t = e = e = ve B = olduğundan 0 edilebilir. ( ) At SGSD kararlı değildir. 0 Φ () t B dt < şartı kontrol Φ () t B dt = dt =. O halde 0 0 7
8 Global Asimptotik(GA) kararlılık sistemin özdeğeri λ = 0 olup sol yarı düzlemde olmadığı için GA kararlılığa sahip değildir. S5 sistemi için : = + u 0 = 0 + u 0 = y = + u y = [ 0 ] + [ ] u verilen sistemin çeşitli kararlılıklar için özdeğer ve kutuplarına bakılırsa. Sistemimizin için özdeğerleri belirlerken karakteristik polinomun köklerine bakılır. ( λ) = λi A λ = ; λ = olarak elde edilir. Sistemimizin kutupları için transfer fonksiyonunda yararlanılabilir ve bunun için aşağıdaki eşitlikten yararlanabiliriz. İşlemler s 0 Yapıldığında Y() s F( s) = C ( si A) B + D = [ 0 ] 0 s + = 0 + U() s Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında sistemin kutbunun olmadığı görülmektedir. Sınırlı girdi- Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için ilgili sistem için kutup olmaması kararlılığı bozmadığı için sistem SGSÇ kararlığını göstermektedir. Lyapunov kararlılık konusunda sistemimiz için özdeğerlerinden biri sağ yarı düzlemde olduğundan dolayı Lyapunov kararlılık görülmemektedir. Sınırlı Girdi- Sınırlı Durum (SGSD) kararlılık ve Global Asimptotik(GA) kararlılık konusunda sistemimiz Lyapunov kararlığa sahip olmadığı için incelemeye gerek yoktur sistemimiz her iki kararlılığa da sahip değildir. S6 sistemi için: = + u y = verilen sistemin çeşitli kararlılıklar için özdeğer ve kutuplarına bakılırsa. 8
9 Sistemimizin için özdeğerleri belirlerken karakteristik polinomun köklerine bakılır. ( λ) = λi A λ = olarak elde edilir. Sistemimizin kutupları için transfer fonksiyonunda yararlanılabilir ve bunun için Laplace dönüşümü kullanılır. = + u s X () s = X () s + U() s Y() s y Y() s = X () s U() s s Laplace ransfer Fonksiyonu = = Yukarıdaki transfer fonksiyonuna bakıldığında kutbumuz s= olarak elde edilir. Sınırlı girdi- Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığı için kutupların hepsinin sol yarı düzlemde olmadığından dolayı ( Kutbumuz sağ yarı düzlemde) sistemimiz SGSÇ kararlığına sahip değildir. Lyapunov kararlılık konusunda sistemimiz için özdeğer λ = olarak elde edildiğinden ( özdeğerimiz sağ yarı düzlemde) dolayı Lyapunov kararlılık görülmemektedir. Sınırlı Girdi-Sınırlı Durum (SGSD) kararlılık ve Global Asimptotik(GA) kararlılık konusunda sistemimiz Lyapunov kararlılık ve Sınırlı girdi- Sınırlı çıktı (SGSÇ) kararlılığa sahip olmadığı için incelemeye gerek yoktur sistemimiz her iki kararlılığa da sahip değildir. Sistem Lyapunov Kararlı Sınırlı Girdi-Sınırlı Çıktı Kararlı Sınırlı Girdi-Sınırlı Durum Kararlı Global Asimptotik Kararlı S Evet Evet Evet Hayır S Evet Hayır Hayır Hayır S3 Evet Evet Evet Evet S4 Evet Evet Hayır Hayır S5 Hayır Evet Hayır Hayır S6 Hayır Hayır Hayır Hayır 9
10 3-) a-) 4 3 = u y = 3 [ ] şeklinde verilen sistemin kontrol edilebilirliğini incelemek için ilk olarak P matrisinin bulunması izlenecek adımdır. Öyleyse P kontrol edilebilirlik matrisi sistemin derecesi n=3 olduğu için aşağıdaki gibi oluşmaktadır P= B A B A B = Bir sistemin kontrol edilebilir olması için kontrol edilebilirlik matrisinin rankı o sistemin derecesine eşit olmalıdır. Sitemimizin derecesi 3 olduğu için kontrol edilebilir özelliği göstermesi için δ ( P) = 3olmalıdır. Eğer kontrol edilebilirlik matrisinin her bir sütünü α i olarak adlandırılırsa bu durumda α3 = α, α5 = 4 α şeklinde sütunlar arasında bağlılık çıkmaktadır. Bu durumlara bağlı olarak δ ( P) = 3 olmaktadır bundan dolayı sistemimiz kontrol edilebilir bir sistem değildir. Kontrol edilebilirlik için farklı bir yol ise sistemin her bir özdeğeri üzerinden elde edilen matris rankının sistemin derecesine eşit olup olmadığının incelenmesidir. Matrisin elde edilmesinde; [ λ I A B] formülasyonu kullanılmaktadır. İlk olarak karakteristik denklemin kökleri bulunmalıdır. Bunun için ( λ) = λi A = 0 eşitliğinden yararlanılmaktadır. λ = λi A = λ λ λ = 3 ( ) Yukarıdaki eşitlikten özdeğerler λ = 0, λ = 0, λ3 = olarak elde edilir. İlk olarak λ = 0 özdeğeri için inceleme yapılırsa; = [ I A B] 0
11 Yukarıdaki matrisimizin rankı ([ I A B] ) ρ 0 = 3 olarak elde edilmektedir ve bu da sistemin derecesine eşit olduğunu göstermektedir. Diğer özdeğerler için inceleme yapılır. 0 özdeğeri için inceleme yapılırsa; = [ I A B] Yukarıdaki matrisimizin rankı ([ I A B] ) ρ 0 = olarak elde edilmektedir ve bu da sistemin derecesine eşit olmadığını göstermektedir. Bundan dolayı sistemin kontrol edilebilir olmadığı anlamına gelmektedir. ( Özdeğerlerin oluşturduğu matrislerden birinin sağlamaması sistemimizi kontrol edilebilir bir sistem olmaktan çıkarır. Son özdeğer için işlem yapmaya gerek yoktur.) b- ) Sistemin Jordan biçimi çeşitli adımlar sonunda aşağıdaki gibi elde edilmektedir = u y = [ ] Sistemimizin özdeğerleri çakışık olmadığı için burada bakmamız gereken B matrisinin satırlarıdır. Satırlarından birinin 0 lardan oluşması bunun kontrol edilebilir olmadığını göstermektedir. Sistemimiz için B matrisimiz : 0 B = olarak elde edilmiştir. Elde edilen matrisin.satırı 0 lardan oluştuğu için bundan dolayı sistemimiz kontrol edilebilir değildir. c-) İlgili sistemin kontrol edilebilir/edilemez kısımlara ayırırken burada benzerlik dönüşümünden yararlanılmaktadır. benzerlik dönüşüm matrisinin bulunmasında şu adım izlenmektedir:
12 benzerlik dönüşümünün boyutunu sistemin derecesi (Durum sayısı) vermektedir ve ilgili sistem için bu değer 3 olarak karşımıza çıkmatadır. benzerlik dönüşümünün değerlerini bulunanan kontrol edilebilirlik matrisinin (P) bağımsız sütunları ve yeterli sayıda sütün değeri oluşmaması durumunda ( derecesinden küçük sütün matris sayısı olması) P matrisinden alınan sütun matrislerinden bağımsız ve birbirinden bağımsız alınan sütun matrisleri oluşturmaktadır. Yukarıdaki bilgilere göre inceleme yapılırsa; P kontrol edilebilirlik matrisi P= B A B A B = o Elde edilen bu matrisin bağımsız sütün matrislerini ilk iki sütun matrisi oluşturmaktadır. matrisinin boyutu 3 olduğundan 3 adet sütün matrisi bulunmalıdır bunun tanesini P matrisinden alıyoruz diğerini de biz belirlersek benzerlik matrisi son halini şu şekilde almaktadır. 0 = 0 Artık kontrol edilebilir/edilemez kısımları görebileceğimiz durum uzayı modelini elde edebiliriz. Bunun için aşağıdaki dönüşümlerden yararlanılacaktır: A A B B = = C = C D= D Yeni matris değerlerinin elde edilmesi sonucunda aşağıdaki durum uzayı modeli elde edilmektedir. ( c ve c kontrol edilebilir kısımları c ise kontrol edilemez kısmı göstermektedir.)
13 c c c 0 = c + u c c c y = [ 0 0 ] c c Yukarıdaki gibi isimlendirilme yapılırsa ayrışımın blok şeması aşağıdaki gibi olmaktadır. 3
14 d-) Sistemin gözlenebilirliğini incelemek için ilk olarak Q matrisinin bulunması izlenecek adımdır. Q gözlenebilirlik matrisi matrisi sistemin derecesi n=3 olduğu için aşağıdaki gibi oluşmaktadır. C 3 Q= C A = C A Sistemin gözlenebilir olması için Q matrisinin rankının sistemin derecesine eşit olması gerekmektedir. Problemimiz için ρ ( Q) = 3olması istenmektedir. Q matrisinin rankını bulurken kare matris oluşundan faydanılmaktadır. Kare matrisin determinantı 0 a eşit değil ise rankı boyutuna eşit olmaktadır. Determinant incelendiğinde det( Q ) = 0 olduğu için ρ( Q) 3 ( ρ( Q) = ve 3 satırlar sıfırdan oluştuğundan ) sistemimiz gözlenebilir bir sistem değildir. Gözlenebilirlik için farklı bir yol ise sistemin her bir özdeğeri üzerinden elde edilen matris rankının sistemin derecesine eşit olup olmadığının incelenmesidir. Matrisin elde edilmesinde; C λi A formülasyonu kullanılmaktadır. İlk olarak λ = 0 özdeğeri için inceleme yapılırsa; 3 C 4 3 = λi A C Yukarıdaki matrisimizin rankı ρ = 3 λi A eşit olduğu görülmektedir. olarak elde edilmektedir ve sistem derecesine λ = 0 özdeğeri için inceleme yapılırsa; 3 C = λi A
15 C Yukarıdaki matrisimizin rankı ρ = 3 λi A olarak elde edildiğinden dolayı sistemimiz gözlenebilir bir sistem değildir. ( Özdeğerlerin oluşturduğu matrislerden birinin sağlamaması sistemimizi gözlenebilir bir sistem olmaktan çıkarır. Son özdeğer için işlem yapmaya gerek yoktur.) e-) Sistemimizin Jordan biçimini daha önceden elde etmiştik ve şu şekildeydi: = u y = [ ] Çakışık özdeğerimiz olmadığı için gözlenebilirlik için sadece C matrisinin sütun değerlerine bakmamız yeterli olacaktır. Burada C matrisinin sütunlarının 0 dan oluşmaması sistemi gözlenebilirliğe götürmektedir. Fakat mevcut gösterimde C matrisinin. ve 3. sütunları 0 dan oluşmaktadır ve bundan dolayı sistemimiz gözlenebilir bir sistem değildir. f-) İlgili sistemin gözlenebilir/gözlenemez kısımlara ayırırken burada benzerlik dönüşümünden yararlanılmaktadır. benzerlik dönüşüm matrisinin bulunmasında şu adım izlenmektedir: benzerlik dönüşümünün boyutunu sistemin derecesi (Durum sayısı) vermektedir ve ilgili sistem için bu değer 3 olarak karşımıza çıkmaktadır. benzerlik dönüşümünün değerlerini bulunan gözlenebilir matrisinin (Q) bağımsız satırları ve yeterli sayıda satır değeri oluşmaması durumunda ( derecesinden küçük satır matris sayısı olması) Q matrisinden alınan satır matrislerinden bağımsız ve birbirinden bağımsız alınan satır matrisleri oluşturmaktadır. Yukarıdaki bilgilere göre inceleme yapılırsa; Q gözlenebilirlik matrisi C 3 Q= C A = C A
16 o Elde edilen bu matrisin bağımsız satır matrislerini sadece ilk satır oluşturmaktadır. matrisinin boyutu 3 olduğundan 3 adet satır matrisi bulunmalıdır bunun tanesini Q matrisinden alıyoruz diğerlerini de biz belirlersek benzerlik matrisi son halini şu şekilde almaktadır. 3 = 0 0 Artık gözlenebilir/gözlenemez kısımları görebileceğimiz durum uzayı modelini elde edebiliriz. Bunun için aşağıdaki dönüşümlerden yararlanılacaktır: A= A B= B C = C D= D Yeni matris değerlerinin elde edilmesi sonucunda aşağıdaki durum uzayı modeli elde edilmektedir. ( o gözlenebilir kısımları, göstermektedir.) o ve o ise gözlenemez kısımları o o o = o + u o o o y = [ 0 0 ] o o 6
17 Yukarıdaki gibi isimlendirilme yapılırsa ayrışımın blok şeması aşağıdaki gibi olmaktadır. g-) Sistemin tam Kalman ayrışımını elde etmek için çeşitli dönüşüm matrisleri kullanılmaktadır. 7
18 co 3 c co c c co c co co c co İlk adım sistemi kontrol edilebir/edilemez forma dönüştürmektir. Bunun için kontrol edilebilirlik matrisinden yararlanılacaktır. Bunun için b şıkkında bulduğumuz dönüşüm matrisinden yararlanacağız. Öyleyse; ersi Alınırsa = = = = Dönüşüm matrisi kullanılarak sistemin kontrol edilebilir/edilemez ayrışımı aşağıdaki formda karşımıza çıkmaktadır. c c c 0 = c + u c c c y = [ 0 0 ] c c İkinci aşamada yapacağımız işlem ise kontrol edilebilir/edilemez ayrışımda elde edilen durum uzayı modelinde kontrol edilebilir kısım için gözlenebilirlik matrisini bulmaktır. Kontrol edilebilirlik kısım.derecedendir çünkü durum kontrol edilebilmektedir. Öyleyse kontrol edilebilir durumlar için durum uzayı gösterimi; 8
19 c 0 0 c = u c c y = 0 0 [ ] Sistemimiz derecen olduğu için gözlenebilirlik matrisimiz aşağıdaki gibi elde edilir. c c Q C C 0 0 = C A = 0 0 dönüşüm matrisinin boyutu olacaktır ve bunu oluşturacak olan QC matrisinin bağımsız sütunları ve eksik olması durumunda da belirleyeceğimiz bağımsız satır matrisleri oluşturmaktadır. Öyleyse; δ ( ) = olmaktadır ve bağımsız satır ilk satırdır ve bundan bağımsız bir satır Q C belirlediğimizde oluşan dönüşüm matrisimiz aşağıdaki gibi elde edilmektedir; 0 0 = = 0 Son aşamada yapacağımız işlem ise kontrol edilebilir/edilemez ayrışımda elde edilen durum uzayı modelinde kontrol edilemez kısım için gözlenebilirlik matrisini bulmaktır. Kontrol edilemez kısım.derecedendir çünkü durum kontrol edilemez. Öyleyse kontrol edilemez durumlar için durum uzayı gösterimi; c c c 9 [ ] = u y = Sistemimiz derecen olduğu için gözlenebilirlik matrisimiz aşağıdaki gibi elde edilir. Q [ C] = = dönüşüm matrisinin boyutu olacaktır ve bunu oluşturacak olan C Q matrisi de tek satırdan C oluşup bu da bağımsız olduğu için dönüşü matrisi aşağıdaki formda olmaktadır:
20 = = 3 Kalman doğal ayrışımı için elde ettiğimiz dönüşüm matrislerini tek bir dönüş olarak aşağıdaki şekilde yazabiliriz: = = Sistemin kalman doğal ayrışımını oluşturacak olan matrisler için kullanacağımız dönüşümler aşağıdaki gibidir: [ ] A= A B= B C = C D= D İşlemler gerçekleştirildiğinde kalman doğal ayrışımı yapılmış sistemin durum uzayı modeli aşağıdaki gibi olmaktadır: co co u co = + co co co y = 0 co co co Sitemimiz 3. dereceden olduğu için kontrol edilebilirlik ve gözlenebilirlik kombinasyonunun hepsi bulunmayacaktır. Elde etmiş olduğumuz kalman doğal ayrışımında da kontrol edilemez-gözlenemez kısım bulunmamaktadır. 0
21 Yukarıdaki gibi isimlendirilme yapılırsa ayrışımın blok şeması aşağıdaki gibi olmaktadır. h-) Minimal gösterim için sistemin hem kontrol edilebilir hem de gözlenebilir olması gerekmektedir. Önceki incelemelerimizde tam kontrol edilebilir ve gözlenebilir olmadığı için minimal gösterimi elde edilemez. ransfer fonksiyonu üzerinde uygun sadeleştirmeler yapılarak minimal gösterim elde edilebilir. İlk olarak sistemimizin en sade şekildeki transfer fonksiyonu elde edelim. Öyleyse;
22 Y( s) 0 C ( si A) B + D = = G( s) = 0 U() s s Sistemimizin girişli tek çıkışlı bir sistem olduğu görülmektedir ve girişleri U() s ve U () s olarak adlandırırsak bu durumda çıkış giriş ilişkisi şu hale dönmektedir. Y( s) 0 = U () s s Elde etmiş olduğumuz transfer fonksiyonu kontrol edilebilir doğal biçimde yazarsak; = 0 + [ 0 ] u y = 0 u (Minimal Gösterim) Elde etmiş durum uzayı modeli için minimal gösterim olduğunu teyit etmek için kontrol edilebilirlik ve gözlenebilirlik matrislerine bakılabilir. P = [ 0 ] olup ( P) kontrol edilebilirdir. 0 Q = olup ( Q) edilebilir, hem gözlenebilir olduğundan gösterim minimaldir. ρ = = n olduğundan ρ = = n olduğundan gözlenebilirdir. Hem kontrol Minimal gösterim üzerinden transfer fonksiyonu elde edilirse; 0 F( s) = C ( si A) B = 0 s [ 0 ] = 0 s Elde etmiş olduğumuz transfer fonksiyonu ile baştaki durum uzayı modeli ile elde ettiğimiz transfer fonksiyonu ile örtüşmektedir. 4-) a-) = u y = 0 0 [ ] durum uzayında ifade edilen sistem için kontrol edilebilirliğini incelerken ilk olarak kontrol edilebilirlik matrisi bulunur. = matris içerisindeki n ifadesi sistemin derecesini n P B A B A B... A B belirtmektedir. Öyleyse;
23 Sistem derecesi n=3 olduğu için kontrol edilebilirlik matrisi aşağıdaki gibi oluşmaktadır P= B A B A B = Bir sistemin kontrol edilebilir olması için kontrol edilebilirlik matrisinin rankı o sistemin derecesine eşit olmalıdır. Sitemimizin derecesi 3 olduğu için kontrol edilebilir özelliği göstermesi için ρ ( P) = 3olmalıdır. Elde etmiş olduğumuz matrisin rankı ρ ( P) = 3 olarak karşımıza çıkmaktadır. Öyleyse ilgili sistem için şu yargıya varılabilir sistemimiz kontrol edilebilir bir sistemdir. b-) Sistemimiz kontrol edilebilir bir sistem olduğu için kontrol edilebilir doğal biçime getirilebilir. Kontrol edilebilir biçimi aşağıdaki formda karşımıza çıkmaktadır : : : : : = + u αn αn... α n y = [ β β... β] + D u n Buradaki α i karakteristik polinomun ve β i ise transfer fonksiyonun pay katsayılarını ifade etmektedir. Öyleyse ilk olarak sistemimiz için karakteristik polinom bulunursa; Karakteristik polinom ( λ) = λi A eşitliği ile elde edilmektedir. Sitemimiz için oluşan karakteristik polinom; 3 ( λ) = λi A = λ λ 5 λ 3 olarak elde edilmektedir. Bir diğer adımımız ise transfer fonksiyonunun pay katsayılarını bulmaktır. Burada ilk olarak dönüşüm matrisini bulmamız gerekecektir. ( C = C eşitliği ile C matrisini bulmak için) dönüşü matrisi için = P P eşitliğinden yararlanılmaktadır. Buradaki P kontrol edilebilir doğal biçim için kontrol edilebilirlik matrisini ifade etmektedir. Bu matrisin bulunması için şu eşitlikten yararlanmaktayız: P= B A B A B 3
24 sistemin derecesi n=3 olduğundan dönüşüm matrisimiz ise; A ( n A ) kadar gidilir. Öyleyse; 0 0 P = 0 olarak elde edilir = P P = 6 4 olarak elde edilir C = C eşitliğiyle de C matrisimiz aşağıdaki gibi oluşur: [ ] C = C = Elde ettiğimiz matrisleri toplarsak sistemimizin kontrol edilebilir doğal biçimi aşağıdaki gibi oluşur: = u 3 5 y = [ ] c-) Sistemin gözlenebilirliğini incelemek için ilk olarak yapmamız gereken gözlenebilirlik matrisi bulunur. C C A Q C A matris içerisindeki n sistemin derecesini ifade etmektedir. Sistemin derecesi 3 = C : A n olduğundan gözlenebilirlik matrisi aşağıdaki gibi elde edilir. C 0 0 Q= C A = C A Sistemin gözlenebilir olması için Q matrisinin rankının sistemin derecesine eşit olması gerekmektedir. Problemimiz için ρ ( Q) = 3olması istenmektedir. Q matrisinin rankını bulurken kare matris oluşundan faydanılmaktadır. Kare matrisin determinantı 0 a eşit değil ise rankı 4
25 boyutuna eşit olmaktadır. Determinant incelendiğinde det( Q ) = 0 olduğu için ρ( Q) 3 ( ρ( Q) = ) matrisin ilk sütunu sıfırlardan oluştuğu için diğer sütun matrisleri birbirinden bağımsız) olarak elde edilir ve bu da sistemin gözlenebilir bir sistem olmadığını göstermektedir. d-) Sistemimiz gözlenebilir bir sistem olmadığı için gözlenebilir doğal biçime getirilemez. e-) Eğer bir sistem minimal formda gösterilmek istenirse bu durumda sistemimiz hem kontrol edilebilir hem de gözlenebilir olmalıdır. Minimal gösterimi bozan faktör kısacası transfer fonksiyonundaki sadeleşmeden dolayıdır. Bu sadeleşmenin sonunda elde edilen yalın formdan minimal gösterim elde edilir. Öyleyse ; Sistemimizin transfer fonksiyonu için F( s) C ( s I A) B D = + eşitliğinden yararlanmaktayız. Bu eşitliği kullandığımızda: 8 s ( s+ ) F() s = ( s 3) ( s+ ) Elde edilen transfer fonksiyonunda sadeleşen kutbun olduğu görülmektedir ve ilgili sadeleştirme yapıldığında elde edilen transfer fonksiyonu: 8s 8s F() s = = s s+ s s ( 3) ( ) 3 Artık elde edilen transfer fonksiyonu kullanılarak minimal gösterim elde edilebilir. Bunun için kontrol edilebilir doğal biçimden yararlanılacaktır çünkü kontrol edilebilir doğal biçimi bulmamız sistemin de kontrol edilebilir olduğunu gösterir. Öyleyse: = u + 8 y = 0 [ ] Bu gösterime sahip sistemin minimal gösterimi için kontrol edilebilirliği sağlaması gereklidir. Bunun için de kontrol edilebilir matrisinin rankına bakılacaktır. Yeni formda sistem. dereceden olduğu için ρ ( P) = olması istenilmektedir. Öyleyse gözlenebilirlik matrisi elde edilirse: 8 0 P = 0 8 5
26 Yukarıda elde etmiş olduğumuz kontrol edilebilirlik matrisinin rankı ρ ( P) = olduğu açıktır ve bu da elde etmiş olduğumuz gösterim sistemimizin bir minimal gösterimidir. (Minimal gösterim tek değildir.) 5-) a-) = 4 + u y = [ ] durum uzayında ifade edilen sistem için kontrol edilebilirliğini incelerken ilk olarak kontrol edilebilirlik matrisi bulunur. = matris içerisindeki n ifadesi sistemin derecesini n P B A B A B... A B belirtmektedir. Öyleyse; Sistem derecesi n=3 olduğu için kontrol edilebilirlik matrisi aşağıdaki gibi oluşmaktadır P= B A B A B = Bir sistemin kontrol edilebilir olması için kontrol edilebilirlik matrisinin rankı o sistemin derecesine eşit olmalıdır. Sitemimizin derecesi 3 olduğu için kontrol edilebilir özelliği göstermesi için ρ ( P) = 3olmalıdır. Elde etmiş olduğumuz matrisin rankı ρ ( P) = olarak karşımıza çıkmaktadır. ( Eğer kontrol edilebilirlik matrisinin her bir sütünü α i olarak adlandırılırsa bu durumda bağımlı olan sütun 3. sütun ( 3 α+ α) olarak karşımıza çıkmaktadır. Ekstra bir yöntem olarak matris kare matris olduğu için determinantının 0 a eşit olup olmadığı incelenir.) Belirtilen durumdan dolayı sistem kontrol edilebilir bir sistem değildir. 6
27 b-) Sistem kontrol edilebilir bir sistem olmadığı için kontrol edilebilir doğal biçime getirilemez. c-) Sistemin gözlenebilirliğini incelemek için ilk olarak yapmamız gereken gözlenebilirlik matrisi bulunur. C C A Q C A matris içerisindeki n sistemin derecesini ifade etmektedir. Sistemin derecesi 3 = C : A n olduğundan gözlenebilirlik matrisi aşağıdaki gibi elde edilir. C Q= C A = C A olarak elde edilir. Sistemin gözlenebilir olması için Q matrisinin rankının sistemin derecesine eşit olması gerekmektedir. Problemimiz için ρ ( Q) = 3olması istenmektedir. Q matrisinin rankını bulurken kare matris oluşundan faydanılmaktadır. Kare matrisin determinantı 0 a eşit değil ise rankı boyutuna eşit olmaktadır. Determinant incelendiğinde det( Q ) = 8 0 olduğu için ρ ( Q) = 3 olarak elde edilir ve bu da sistemin gözlenebilir bir sistem olduğunu göstermektedir. d-) Gözlenebilir bir sistem incelendiği için sistem gözlenebilir doğal biçime dönüştürülebilir. Gözlenebilir doğal biçim için şu formda karşımıza çıkmaktadır αn βn 0 0 α n β n = + u : : : : : 0 0 α β y = [ ] + D u Buradaki α i karakteristik polinomun ve β i ise transfer fonksiyonun pay katsayılarını ifade etmektedir. Öyleyse ilk olarak sistemimiz için karakteristik polinom bulunursa; Karakteristik polinom ( λ) = λi A eşitliği ile elde edilmektedir. Sitemimiz için oluşan karakteristik polinom; 3 ( λ) = λi A = λ λ 5 λ 3 olarak elde edilmektedir. 7
28 Bir diğer adımımız ise transfer fonksiyonunun pay katsayılarını bulmaktır. ransfer fonksiyonu için = + eşitliğinden yararlanmaktadır. Bu yol F( s) C ( s I A) B D sistem kontrol edilebilir olsaydı ideal bir çözüm olabilirdi fakat burada kontrol edilebilirlik söz konusu olmadığında bunun için dönüşüm matrisi bulunması gerekmektedir. dönüşüm matrisi için: Q Q = eşitliği ile elde edilmektedir. İlk olarak Q bulunmasına ihtiyaç vardır. Bu matris gözlenebilir doğal biçimdeki sistemin gözlenebilirlik matrisini ifade etmektedir ve aşağıdaki eşitlikle elde edilir. C C A Q = C A : n C A Öyleyse gözlenebilirlik matrisimiz aşağıdaki gibi elde edilebilir. C 0 0 Q= C A 0 = 6 C A Öyleyse dönüşüm matrisimiz 3.5 = = Q Q olarak elde edilir. B matrisimizin bulunmasında B= B eşitliği kullanılmaktadır. O halde; 0 B = 8 olarak karşımıza çıkmaktadır. 8 Son olarak yaptığımız işlemleri toplarsak ( Sistemimizi dönüşüm matrisi kullanarak gözlenebilir doğal biçime döndürmek) sistemin gözlenebilir doğal biçimi aşağıdaki şekilde elde edilir: 8
29 = u 0 8 y = [ ] 0 0 e-) Eğer bir sistem minimal formda gösterilmek istenirse bu durumda sistemimiz hem kontrol edilebilir hem de gözlenebilir olmalıdır. Minimal gösterimi bozan faktör kısacası transfer fonksiyonundaki sadeleşmeden dolayıdır. Bu sadeleşmenin sonunda elde edilen yalın formdan minimal gösterim elde edilir. Öyleyse ; Sistemimizin transfer fonksiyonu için F( s) C ( s I A) B D = + eşitliğinden yararlanmaktayız. Bu eşitliği kullandığımızda: 8 s ( s+ ) F() s = ( s 3) ( s+ ) Elde edilen transfer fonksiyonunda sadeleşen kutbun olduğu görülmektedir ve ilgili sadeleştirme yapıldığında elde edilen transfer fonksiyonu: 8s 8s F() s = = ( s 3) ( s+ ) s s 3 Artık elde edilen transfer fonksiyonu kullanılarak minimal gösterim elde edilebilir. Bunun için kontrol edilebilir doğal biçimden yararlanılacaktır çünkü kontrol edilebilir doğal biçimi bulmamız sistemin de kontrol edilebilir olduğunu gösterir. Öyleyse: 0 0 = u 3 + y = 0 8 [ ] Bu gösterime sahip sistemin minimal gösterimi için gözlenebilir de olması gereklidir. Bunun için de gözlenebilirlik matrisinin rankına bakılacaktır. Yeni formda sistem. dereceden olduğu için ρ ( Q) = olması istenilmektedir. Öyleyse gözlenebilirlik matrisi elde edilirse: 8 0 Q = 0 8 9
30 Yukarıda elde etmiş olduğumuz gözlenebilirlik matrisinin rankı ρ ( Q) = olduğu açıktır ve bu da elde etmiş olduğumuz gösterim sistemimizin bir minimal gösterimidir. (Minimal gösterim tek değildir.) 30
Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
DetaylıÖzdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
Detaylıii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C.
C.1) x1 x 1 4 4( x1) x 6 4x 4 x 6 x 46 x Maliye Bölümü EKON 10 Matematik I / Mart 018 Proje CEVAPLAR C.) i) S LW WH LW WH S LW WH S W W W S L H W ii) S LW WH WH LW S WH LW S W W W S H L W C.) ( x1) 5(
DetaylıLineer Denklem Sistemleri
Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin
DetaylıÖABT Lineer Cebir KONU TESTİ Matris Cebiri
ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Matris Cebiri. i, j,, i için j i j a j i j a. j i j a. i için j i j a 4 6 j i j a 4 j i j a. 6. 0 0 0 4 0 0 0. 4 6 n 0 0 n 6 Cevap: D Cevap:. I. I I I 0 I 0 0 0..I I I 00 0 0 0
DetaylıBahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 2011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. y = c n x n+r. (n + r) c n x n+r 1 +
DÜZCE ÜN_IVERS_ITES_I FEN-EDEB_IYAT FAKÜLTES_I MATEMAT_IK BÖLÜMÜ 010-011 Bahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI 1. 0p x d y + dy + xy = 0 diferansiyel
DetaylıDÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI
KARARLILIK Kontrol sistemlerinin tasarımında üç temel kriter göz önünde bulundurulur: Geçici Durum Cevabı Kararlılık Kalıcı Durum Hatası Bu üç temel spesifikasyon arasında en önemlisi kararlılıktır. Eğer
DetaylıEŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n
DetaylıOtomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri
Otomatik Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri H a z ı r l aya n : D r. N u r d a n B i l g i n Kapalı Çevrim Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Bir önceki
Detaylıx 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)
ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıKUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu
KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
DetaylıDEVRE VE SİSTEM ANALİZİ ÇALIŞMA SORULARI
DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ 01.1.015 ÇALIŞMA SORULARI 1. Aşağıda verilen devrede anahtar uzun süre konumunda kalmış ve t=0 anında a) v 5 ( geriliminin tam çözümünü diferansiyel denklemlerden faydalanarak bulunuz.
DetaylıLineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar
Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)
Detaylıx 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a
DetaylıCebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıÇ NDEK LER II. C LT KONULAR Sayfa Öz De er Öz Vektör.. 2. Lineer Cebir ve Sistem Analizi...
ÇNDEKLER II. CLT KONULAR 1. Öz Deer Öz Vektör.. 1 Kare Matrisin Öz Deeri ve Öz Vektörleri... 21 Matrisin Karakteristik Denklemi : Cayley Hamilton Teoremi.. 26 Öz Deer - Öz Vektör ve Lineer Transformasyon
DetaylıBÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ
BÖLÜM 6 LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.2. Laplace Dönüşümü Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) ya da L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s; ÇÖZÜM: a) b) c) ÇÖZÜM: 6.3.
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıDers: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1.
Ders: MAT6 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri. A = matrisi bulunuz.. A = a b c d e f ve B = ÇALIŞMA SORULARI- olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X matrisi satır basamak hale getirildiğinde en fazla
Detaylı25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ
25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ a-) Routh Hurwitz Kararlılık Ölçütü b-) Kök Yer Eğrileri Yöntemi c-) Nyquist Yöntemi d-) Bode Yöntemi 1 2 3 4 a) Routh Hurwitz Kararlılık
DetaylıLineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık
Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMath 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
Detaylı6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016
6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği
DetaylıÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.
ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu
DetaylıNazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 =
Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0.6. DOĞRUSL DENKLEM SİSTEMLERİ ax + bx = α cx + dx = gibi bir doğrusal denklem sistemini, x ve y bilinmeyenler olmak üere, çömeyi hepimi biliyoru. ma probleme
DetaylıYÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik (Eşitlik Kısıtlı Türevli Yöntem) Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde
DetaylıMatris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli
Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β
DetaylıEigenvalue-Eigenvector Problemleri
Bir sistemin özvektörü sistem tarafından temel olarak değiştirilmeyen vektördür. Sadece genliği değişir, genliğin değişme miktarına da özdeğer denir. Yani sistemimizi Amatrisi ile ifade edersek; x A λ
Detaylı3. BÖLÜM MATRİSLER 1
3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİşaret ve Sistemler. Ders 11: Laplace Dönüşümleri
İşaret ve Sistemler Ders 11: Laplace Dönüşümleri Laplace Dönüşüm Tanımı Bir f(t) fonksiyonunun Laplace alındığında oluşan fonksiyon F(s) yada L[f(t)] olarak gösterilir. Burada tanımlanan s: İşaret ve Sistemler
Detaylı18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıSistem Dinamiği. Bölüm 2- Dinamik Cevap ve Laplace Dönüşümü. Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN
Sistem Dinamiği - Dinamik Cevap ve Laplace Dönüşümü Doç. Sunumlarda kullanılan semboller: El notlarına bkz. Yorum Soru MATLAB Bolum No.Alt Başlık No.Denklem Sıra No Denklem numarası Şekil No Şekil numarası
Detaylı8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
Detaylı8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu
DetaylıAlıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.
Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)
DetaylıTUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.
UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ LİNEER CEBİR DERSİ 0 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.İNAN ÜNAL www.inanunal.com UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ
Detaylı13. Karakteristik kökler ve özvektörler
13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik
Detaylı9. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 19, 2016
9. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 19, 2016 1 Yarıbasit Bir Lie Cebirinin Yapısı Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz.
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
DetaylıELKE315-ELKH315 Introduction to Control Systems FINAL January 2, 2016 Time required: 1.5 Hours
SORU. Yanda serbest uyarmalı bir DA motorunun elektromekanik şeması verilmiştir. Bu doğru akım motoru, hızı kontrol edilmek üzere modellenecektir. Hız kontrolü hem endüvi devresi hem de uyarma devresi
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI
DetaylıİKİ BOYUTLU ÇUBUK SİSTEMLER İÇİN YAPI ANALİZ PROGRAM YAZMA SİSTEMATİĞİ
İKİ BOYUTLU ÇUBUK SİSTEMLER İÇİN YAPI ANALİZ PROGRAM YAZMA SİSTEMATİĞİ Yapı Statiği nde incelenen sistemler çerçeve sistemlerdir. Buna ek olarak incelenen kafes ve karma sistemler de aslında çerçeve sistemlerin
DetaylıDENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ
DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS LİNEER CEBİR FEB-221 2/2. YY 3+0+0 3 3 Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
Detaylı(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
DetaylıMatris Analizi (MATH333) Ders Detayları
Matris Analizi (MATH333) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Matris Analizi MATH333 Her İkisi 3 0 0 3 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math 231 Linear Algebra
DetaylıAnalog Alçak Geçiren Filtre Karakteristikleri
Analog Alçak Geçiren Filtre Karakteristikleri Analog alçak geçiren bir filtrenin genlik yanıtı H a (jω) aşağıda gösterildiği gibi verilebilir. Ω p : Geçirme bandı kenar frekansı Ω s : Söndürme bandı kenar
Detaylıİç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
DetaylıAyrık zamanlı sinyaller için de ayrık zamanlı Fourier dönüşümleri kullanılmatadır.
Bölüm 6 Z-DÖNÜŞÜM Sürekli zamanlı sinyallerin zaman alanından frekans alanına geçişi Fourier ve Laplace dönüşümleri ile mümkün olmaktadır. Laplace, Fourier dönüşümünün daha genel bir şeklidir. Ayrık zamanlı
DetaylıİÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıHESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR
HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için maksimum veya minimum (ekstremum) noktalarının belirlenmesinde diferansiyel hesabı kullanarak çeşitli
DetaylıİKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden
DetaylıŞayet bir lineer sistemin en az bir çözümü varsa tutarlı denir.
GAZI UNIVERSITY ENGINEERING FACULTY INDUSTRIAL ENGINEERING DEPARTMENT ENM 205 LINEAR ALGEBRA COURSE ENGLISH-TURKISH GLOSSARY Linear equation: a 1, a 2, a 3,.,a n ; b sabitler ve x 1, x 2,...x n ler değişkenler
DetaylıEĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ
EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini
DetaylıİÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.
Detaylım=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.
Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,
DetaylıSAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER
SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER Bu bölümde aşağıdaki başlıklar ele alınacaktır. Sonsuz dürtü yanıtlı filtre yapıları: Direkt Şekil-1, Direkt Şekil-II, Kaskad
DetaylıYÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Hessien Matris-Quadratik Form Mutlak ve Bölgesel Maksimum-Minimum Noktalar Giriş Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için
DetaylıÇ NDEK LER I. C LT KONULAR Sayfa 1. Lineer Cebire Giri... 2. Lineer Denklem Sistemlerinin Elemanter lemlerle Çözümü
ÇNDEKLER I. CLT KONULAR 1. Lineer Cebire Giri... 1 Lineer Modeller... 3 Lineer Olmayan Modeller... 3 Dorunun Analitik Analizi.. 5 Uzayda Geometrik Büyüklükler. 7 Lineer Cebir ve Lineerite 10 Lineer Denklem
DetaylıZaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu DönüşümÜ
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ MM306 SİSTEM DİNAMİĞİ Zaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu DönüşümÜ 1 EEM304 MM306
DetaylıLİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN
LİNEER CEBİR Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN 1.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER LİNEER EŞİTLİKLER 1.1. LİNEER EŞİTLİKLERİN TANIMI x 1, x 2,...,
DetaylıÖnsöz. Mustafa Özdemir Antalya 2016
Önsöz Bu kitap üniversitelerimizin Mühendislik Fakültelerinde, Doğrusal Cebir veya Lineer Cebir adıyla okutulan lisans dersine yardımcı bir kaynak olması amacıyla hazırlanmıştır. Konular, teorik anlatımdan
DetaylıÖğr. Elemanı: Dr. Mustafa Cumhur AKBULUT
Ünite 10: Regresyon Analizi Öğr. Elemanı: Dr. Mustafa Cumhur AKBULUT 10.Ünite Regresyon Analizi 2 Ünitede Ele Alınan Konular 10. Regresyon Analizi 10.1. Basit Doğrusal regresyon 10.2. Regresyon denklemi
DetaylıH(s) B(s) V (s) Yer Kök Eğrileri. Şekil13. V s R s = K H s. B s =1için. 1 K H s
Yer Kök Eğrileri R(s) K H(s) V (s) V s R s = K H s 1 K H s B s =1için B(s) Şekil13 Kapalı çevrim sistemin kutupları 1+KH(s)=0 özyapısal denkleminden elde edilir. b s H s = a s a s K b s =0 a s K b s =0
DetaylıDENKLEMLER CAUCHY-EULER DENKLEMİ. a n x n dn y dx n + a n 1x n 1 dn 1 y
SABİT KATSAYILI DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜREBİLEN DENKLEMLER Bu bölümde sabit katsayılı diferansiyel denklemlere dönüşebilen değişken katsayılı diferansiyel denklemlerden Cauchy Euler ve Legendre difarensiyel
DetaylıSalim. Yüce LİNEER CEBİR
Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR ISBN 978-605-318-030-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret
Detaylı9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı
9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,
DetaylıYeşilköy Anadolu Lisesi
Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi
DetaylıNokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.
Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak
DetaylıMEB YÖK MESLEK YÜKSEKOKULLARI PROGRAM GELİŞTİRME PROJESİ. 1. Matematik ile ilgili temel kavramları açıklayabilme.
PROGRAMIN ADI DERSIN ADI DERSİN İŞLENECEĞİ YARIYIL HAFTALIK DERS SAATİ DERSİN SÜRESİ AMAÇLAR 1. Matematik ile ilgili temel kavramları açıklayabilme. MUHASEBE PROGRAMI MATEMATİK 1. Yıl I. Yarıyıl 3 (Teori:
DetaylıDÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI
Blok Diyagramlar Geribeslemeli Sistemlerin Analizi ve Tasarımı İşaret Akış Diyagramları Mason Kuralı Durum Denklemlerinin İşaret Akış Diyagramları Durum Uzayında Alternatif Gösterimler 1 Birçok kontrol
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
DetaylıGÜZ DÖNEMİ ARASINAV SORULARI. 1. Sayısal çözümleme ve fonksiyonu tanımlayarak kullanıldığı alanları kısaca açıklayınız?
MAK 05 SAYISAL ÇÖZÜMLEME S Ü L E Y M A N D E M Ġ R E L Ü N Ġ V E R S Ġ T E S Ġ M Ü H E N D Ġ S L Ġ K F A K Ü L T E S Ġ M A K Ġ N A M Ü H E N D Ġ S L Ġ Ğ Ġ B Ö L Ü M Ü I. öğretim II. öğretim A şubesi B
DetaylıMATRİS - DETERMİNANT Test -1
MRİS - DEERMİNN est - x y x 3., B olmak üzere, y y = B olduğuna göre, y x farkı kaçtır? 5. 5 4 0, B 4 3 7 3 matrisleri veriliyor. + B matrisi aşağıdakilerden hangisidir? 3 4 5 6 5 3 0 8 5 6 6 5 0 5 6 0
Detaylı7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;
İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit
DetaylıTEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI
9 Eylül- Eylül 0-07 TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 0. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Veri, Sayma ve Sayma. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sıralama
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıDenklem (3.1) deki ikinci dereceden diferensiyel denklemin çözüm fonksiyonun + ve, gibi iki tane keyfi sabit vardır. Bu keyfi
3. ÖZDEĞERLER VE ÖZVEKTÖRLER Özdeğerler ( karakteristik değerler) ve özvektörleri (karakteristik özvektörler), fiziksel bir sistemin sahi olabileceği özel değerlerde nasıl davrandıklarını belirlemek için
Detaylı30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )
3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x
DetaylıDENKLEM DÜZENEKLERI 1
DENKLEM DÜZENEKLERI 1 Dizey kuramının önemli bir kullanım alanı doğrusal denklem düzeneklerinin çözümüdür. 2.1. Doğrusal düzenekler Doğrusal denklem düzeneği (n denklem n bilinmeyen) a 11 x 1 + a 12 x
DetaylıPROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma
PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir oktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJEİ AMACI: Bu projede herhangi bir koniğin üzerindeki veya dışındaki bir noktadan
DetaylıDeğişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.
1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya
DetaylıTanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur.
Bölüm 2 Determinantlar Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur. Söz konusu fonksiyonun değerine o matrisin determinantı denilir. A bir kare matris ise, determinantı
DetaylıBÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ
BÖLÜM 24 PAULI SPİN MATRİSLERİ Elektron spini için dalga fonksiyonlarını tanımlamak biraz kullanışsız görünüyor. Çünkü elektron, 3B uzayda dönmek yerine sadece kendi berlirlediği bir rotada dönüyor. Elektron
DetaylıDOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-
DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan
Detaylı