ANOVA F ve K Testlerinin III. Tip Hata Olas ı l ı klar ı Bak ımından Karşı laşt ı r ılmas ı

Transkript

1 TARIM BILIMLERI DERGISI 2004, 10 (2) ANOVA F ve K Testlerinin III. Tip Hata Olas ı l ı klar ı Bak ımından Karşı laşt ı r ılmas ı Mehmet MENDES ş Tarihi: Geli Özet: Çift tarafl ı hipotez kontrollerinde, I. Tip ve Il. Tip hata olas ı l ıklar ı d ışı nda, III. Tip hata (y) olarak adland ı r ı lan ba şka bir hata olas ı l ığı da söz konusudur. III. Tip hata olas ı l ığı, birbirleriyle karşı laşt ı nlacak grup ortalamalan aras ı ndaki fark ı n yönünün dikkate al ı nmamas ı ndan kaynaklan ı r. III. Tip hata olas ı l ığı özellikle küçük hacimli örneklerle çal ışı lmas ı durumunda testin gücünü etkilemektedir. Bu çal ışmada, Anova F ve K testlerinin III. Tip hata olas ı l ı klar ı bak ı m ı ndan karşı laşt ı r ılmas ı amac ıyla bir simülasyon çal ışmas ı yap ı lmışt ı r. Yap ılan simülasyon denemesi sonunda her iki test bak ı m ı ndan gerçekleşen III. Tip hata olas ı l ıklar ı n ı n örnek geni şliği ve ortalamalar aras ı fark ı n artmas ı na paralel olarak giderek küçüldü ğü ve bunun Anova F testinde daha belirgin oldu ğu görülmü ştür. III. Tip hata olas ı l ığı n ı n grup say ısı ve varyanslar ı n heterojenlik derecesinden olumsuz etkilendi ği ve bunun K testinde çok daha belirgin oldu ğ u görülmü ştür. Varyans oranlar ı 1:3:5 olan üç X2 (3) da ğı l ı m. ı populasyonun olmas ı durumunda F ve K testi bak ı m ı ndan gerçekleşen III. Tip hata olas ı l ıklar ı n ı n genel olarak % ve % aras ı nda değ iştiğ i görülmü ştür. Varyans oranlar ı n ı n 1:2:4:6 olmas ı durumunda III. Tip hata olas ı l ı klar ı % ve % olarak bulunmu ştur. Ayn ı koşullarda da ğı l ı mlar ı n üstel (exp(0.5)) olmas ı özellikle K-testi bak ı m ı ndan gerçekleşen III. Tip hata olas ı l ı klar ı n ı n belirgin bir şekilde artmas ı na neden olmu ştur. Anahtar Kelimeler: III. Tip hata, güven aral ığı, testin gücü, varyanslar ı n homojenliği, normal olmayan da ğı l ı m Comparison of ANOVA F and K Tests in Terms of Type III Error Rates Abstract: There exist another type of error, called Type III error, in addition to Type I and Type Il error in twotailed hypothesis testing. Type III error (y) is the probability of getting the direction wrong. The effect of Type III error on test power is more pronounced especially when sample sizes are small. In this study a simulation study was conducted to compare Anova F and K tests with respect to Type III error rates. At the end of simulation trial it was seen that the probability of a rejection in the wrong direction (Type III error) decreased as sample size and population mean differences increased. This was more obvious for ANOVA F test. Also it was seen that probability of the Type III error rate increased as number of groups and heterogeneity of variance increased. It is more pronounced with respect to K test. When samples were taken from three Chi-square with 3 df populations under variance heterogeneity (1:3:5), the probability of Type III error rate vary % for F test and % for K test. When number of group increased to four and variance ratio was 1:2:4:6, the probability of Type III error rate vary % for F test and % for K test. When samples were taken from three exponential (0.50) populations under the same experimental conditions, Type III error rate increased especially in terms of K-statistics. Key Words: Type III error, confidence interval, power of test, homogeneity of variance, nonnormal distribution Giri ş Istatistik analizlerinin temel amac ı, üzerinde durulan özellik bak ı m ından örnek de ğerlerinden yararlan ı larak populasyon parametreleri hakk ı nda bilgi edinmektir (Zar 1999). Uygulamada bu bilgi, genellikle populasyon ortalamalar ı ile ilgilidir. Üzerinde durulan özellik bak ı m ından iki ve daha fazla ba ğı ms ız grup ortalamas ı aras ındaki fark ın irdelenmesinde en yayg ı n kullan ı lan istatistik teknik, varyans analizi tekni ğidir (ANOVA F). Ancak, bu teknikten beklenilen yararlar ın sağlanabilmesi için özellikle kar şı laşt ınlacak muamele gruplar ın ı n al ınm ış olduklar ı varsay ılan populasyonlar ın varyanslar ı n ı n homojen ve da ğı l ı mlar ı n ın normal olmas ı gerekir (Welch 1951, Brown-Forsythe 1974, Edgington 1974, Tomrken ve Serlin 1986, Wilcox 1989, Winer ve ark. 1991, Sokal ve Rohlf 1995, Ott 1998, Mendes 2002; Mendes ve Ba şp ınar 2003). Bu iki varsay ı m ın sağlanamad ığı durumlar için ANOVA F testi yerine kullan ı labilecek de ğ işik yakla şı m testleri geli ştirilmiştir. Bunlardan birisi de K istatisti ğidir (Krutchkoff 1988). Birbirinden ba ğı ms ız k adet ortalama aras ı ndaki farklar ı n irdelenebilmesi için; Ho: gi=g2=...=gk H ı : En az iki ortalama aras ındaki fark önemlidir, hipotez tak ı m ı n ın test edilmesi gerekir. Çift tarafl ı hipotez kontrollerinde Ho hipotezinin reddedilmesi, grup ortalamalar ından en az ikisinin üzerinde durulan özelli ğe etkilerinin farkl ı olduğu anlam ı na gelir. Ancak, bu farklar ı n yönü hakk ında bir bilgiye Ho : Ni =0 ula şı lamaz. şeklinde kurulan kontrol hipotezinin reddedilmesi durumunda; Hi :pi-p2<0 ya da H2 : Ni > 0 şeklinde iki alternatif hipotezden herhangi birisinin kabul edilmesi söz konusudur. Ancak, uygulamada H o : Ni - Ni =0 hipotezinin reddedilmesi durumunda sadece üzerinde durulan özellik bak ı m ından bu ki muamele grubunun ortalamas ı aras ı ndaki fark ın istatistik olarak önemli oldu ğu Çanakkale Onsekiz Mart Üniv. Ziraat Fak. Zootekni Bölümü - Çanakkale

2 122 TARIM BILIMLERI DERG İ S İ 2004, Cilt 10, say ı 2 söylenir. Ancak, bu iki grup ortalamas ı aras ı ndaki fark ı n yönü dikkate al ınmamaktad ır. Halbuki, söz konusu muamele gruplar ından hangisinin di ğerinden büyük / küçük oldu ğu yani fark ın yönü testin gücünü etkilemektedir. Bu etki ise özellikle küçük hacimli örneklerle çal ışı lmas ı durumunda daha da belirginleşmektedir (Leventhal ve Huynh 1996). Ayn ı denemenin benzer ko şullarda tekrarlanmas ı halinde ret edilen hipotez say ısın ın nispi frekans ı testin gücünü temsil eder (Tiku 1971, Murphy ve Myors 1998). Ancak bu durum her zaman geçerli de ğ ildir. Çünkü, baz ı durumlarda ara şt ı r ıc ı ele al ınan populasyon ortalamalan aras ındaki fark ın gerçek yönü hakk ında bir yan ı lg ıya dü şebilir. Böyle hallerde I. Tip ve Il. Tip hata olas ı l ıklar ından ba şka bir hata yapma olas ı l ığı (III. Tip hatadan (y) ) ile de kar şılaşı l ır (Kimmel 1957, Kimball 1957, Kaiser 1960, Shaffer 1972, Hopkins 1973, Leventhal ve Huynh 1996, McDonald 1999, Sharon ve Carpenter 1999). III. Tip hata, gerçekte yanl ış olan Ho hipotezinin doğru bir şekilde reddedilmesi ancak, etkilerin yönü hakk ında yanl ış bir sonuca ula şılmas ıdır. Mesela A ve B populasyon ortalamalar ı aras ı nda gerçekte ILA = 0.5 gibi (ga > jıı.b şeklinde) bir fark olsun. Bu durumda ara şt ı r ıc ı iki tip hata ile karşı laşabilir: Bunlar; 1) Gerçekte bu iki populasyon ortalamas ı aras ında fark varken, yap ılan test sonunda fark yoktur şeklinde bir sonuca ula şmak yani Il. Tip hata yapma olas ı l ığı ((3), 2) Gerçekte bu iki populasyon ortalamas ı aras ı nda ga > şeklinde fark varken, yap ılan test sonunda bu iki populasyon ortalamas ı aras ı nda jıa < jıb şeklinde bir fark ı n oldu ğu sonucuna ula şmakla yap ılan hata yani, III. Tip hatad ır (y) (Kimball 1957, McDonald 1999, Sharon ve Carpenter 1999, Sansgiry ve Akman 2000). Bu iki hata olas ı l ığı da doğrudan testin gücü üzerinde etkilidir. Çünkü III. Tip hata ile testin gücü aras ı nda, Güç=1-(3-y şeklinde bir ili şki vard ır. Kaiser (1960) ve Leventhal ve Huynh (1996) testin gücünü "reddedilmesi gereken kontrol hipotezinin ortalamalar aras ındaki fark ı n yönünün de dikkate al ınarak reddedilme olas ı l ığı" olarak yeniden tan ı mlam ışlard ır. Dolay ıs ıyla istatistik testlerinin güç bak ı m ı ndan karşı laşt ı r ı lmas ında ve uygun örnek hacminin belirlenmesinde III. Tip hatan ı n dikkate al ı nmas ı gerekir. Testin önemlilik yönünün bilinmesi, ampirik olarak gerçekle şen testin gücünden bunun pay ı n ı n giderilmesine ve dolay ısıyla daha güvenilir sonuçlar ın elde edilmesine imkan Sa ğlar. III. Tip hatan ın testin gücüne olan etkisi özellikle küçük hacimli örneklerle çal ışı lmas ı durumunda ortaya ç ı kmaktad ır. Büyük hacimli örneklerle çal ışı lmas ı durumunda ise III. Tip hatan ın etkisi oldukça dü şük seviyelerde kalmaktad ır. Uygulamada daha ziyade küçük hacimli örneklerle çal ışılmas ından dolay ı III. Tip hata olas ı l ığı n ı n dikkate al ınmas ı elde edilecek sonuçlar ı n güvenirli ği aç ısından oldukça önemlidir (Kaiser 1960, McDonald 1999). Bu çal ışmada, varyans analizi tekni ği ile bu tekni ğ in normallik ve varyanslar ın homojenliği ön şartlar ı n ın gerçekle şmediği durumlarda yerine kullan ı lmas ı önerilen testlerden birisi olan K-istatisti ği ile III.Tip hata bak ı m ı ndan karşıla şt ı r ı lmas ı yap ılm ışt ı r. Materyal ve Yöntem Çal ışman ın materyalini, Microsfot Fortran Developer Studio'nun IMSL kütüphanesinden yararlan ı larak üretilen tesadüf say ı lar ı oluşturmaktad ı r (Anonymous, 1994). Çal ışman ın amac ı için IMSL'in RNCHI, ve RNEXP fonksiyonlar ı kullan ılarak x2 (3) ve Üstel (0.50) parametrelerine sahip populasyonlardan uygulamada s ı k karşıla şılan k=3,4 grup için çe şitli örnek hacimlerine göre tesadüf örnekleri üretilmi ştir. Üretilen örneklerin al ı nm ış olduklar ı populasyonlar ın ortalamalan aras ında fark oluşturmak için, bunlardan birincisindeki tesadüf say ı lar ına standart sapma cinsinden belirli sabit say ılar (8=0.25, 0.50, 0.75, 1.0) ilave edilmiştir. Populasyonlar ı n varyanslar ı aras ında heterojenlik olu şturmak için de örneklerdeki tesadüf say ı lar ı sabit say ı larla, N/5 çarp ı lm ışt ı r. Böylece, de ğ işik deneme ko şullar ında Anova F ve K testlerinin gerçekle şen III. Tip hata olas ı l ı klar ı bak ı m ından karşılaşt ı nlmas ı sağlanm ışt ır. Bu örneklerin k=3 için, ni : n2 : n3 = 3:3:3, 5:5:5, 8:8:8, 10:10:10, 12:12:12, 15:15:15, 20:20:20, 25:25:25, 30:30:30 ve : (52 : =1:1:1, 1:3:5, 1:5:15 olarak ve k=4 için, n1 : n2 : n3 : n4 = 3:3:3:3, 5:5:5:5, 8:8:8:8, 10:10:10:10, 12:12:12:12, 15:15:15:15, 20:20:20:20, 25:25:25:25, _ 30:30:30:30 ve al2 2 : cy 3 2 : cs4 2-1:1:1:1, 1:2:4:6, 1:5:9:12 olarak belirlenmi ştir. Sonra önce bu testlerin ampirik olarak gerçekle şen gücü (1-3), her ortalamalar aras ı ndaki fark (S)-varyans oranlar ı-gözlem say ı lar ı-grup say ıs ı kombinasyonuna göre simülasyon denemesi sonunda ret edilen hipotez say ı lar ı n ın (r) nispi frekanslar ı n ın hesaplanmas ı (f = r/100000) ile elde edilmiştir. Daha sonra bundan yararlanarak III.Tip hata olas ı l ı klar ı, ret edilen hipotezlerin toplam ı (r) içerisinde, gerçekte büyük ortalamal ı populasyonun ortalamas ı n ı n diğer populasyon ortalamalar ından kaç kez (r ı ) küçük olduğunun say ılmas ı ve bu say ı n ın nispi frekansa dönü ştürülmesi (y= r ı/100000) ile elde edilmi ştir. Çal ışmada, I. Tip hata olas ı l ığı (a), deneme ba şı nda %5 olarak kararla şt ı r ı lm ışt ır. Varyanslar ın homojenli ğ i ön şart ı n ın sa ğlanamad ığı durumlar için önerilen testlerden biri olan K-testi için test istatisti ği a şağıdaki şekilde elde edilmiştir. Her bir grubun ortalamas ı ; ZX Xi = 1 ni şeklinde tarif edilir. Bu şekilde elde edilen grup ortalamalar ından yararlan ılarak genel ortalama ise ; k )(in. k n i 5" -C- I / Z-, i=1 2

3 MENDEŞ, M. "ANOVA F ve K testlerinin III. Tip hata olas ı l ı klar ı bak ım ı ndan kars ı last ı r ı lmas ı " 123 şeklindedir. Burada; k: grup say ısı n ı, Verilen karar Xij: i. Gruptaki j. gözlem de ğerini, ni : i. gruptaki gözlem adetini ve ö : H ı Kabul H2 Kabul doğ ru Doğru karar Gerçek Durum H2 doğ ru I. Tip hata 1 P21 Y31 a 12 Testin gücü,, Il. Tip hata Doğru karar P21 af nin tahminini göstermektedir. Bunlardan yararlan ılarak ba ğı ms ız grup ortalamalarm ı karşılaşt ırmak amac ıyla kullan ılabilecek K istatisti ğ i; [(5Ci )) * n./al ı ı K 3 (k 1) şeklinde elde edilir ve bu istatistik yakla şı k olarak F(k-1, N-k-1) da ğı l ıma sahiptir. E şitlikte, k kar şı laşt ır ılacak ba ğı ms ız say ısı n ı göstermektedir. K test istatisti ğinin hesaplanmas ında her bir CF 2 yerine toplanm ış varyans tahmininin kullan ı lmas ı halinde K testi, F testine benzer olur. Dolay ısıyla bu iki test ayn ı sonucu verir (Krutchkoff 1988, Mendeş 2002). Bu iki testin bir birleriyle karşılaşt ı r ı lmas ı amac ıyla K test istatisti ği hesaplan ı rken 2 cy yerine ortak bir hata varyans ı (toplanm ış varyans) 1, değilde, her grubun kendi varyans ı kullan ı lm ışt ı r. III. Tip hata olas ı l ığı reddedilmesi gereken bir hipotezin farklar ın yönü dikkate al ınmadan reddedilme olas ı l ığıd ı r. Çift tarafl ı hipotez kontrollerinde kontrol (Flo) ve alternatif (H ı ) hipotezleri a şağıdaki gibi tarif edilebilir. 1) H i N <O 2) H 2 : u 1 1.ı 2 = O (= Ho : N 1 p2 = O ) 3) H 3 : p 2 > O Bilindiği üzere testin gücü H2 hipotezinin (klasik olarak Ho hipotezi) reddedilmesi durumunda tan ı mlanabilir. Dolay ısıyla bu durumda, testin gücü H ı veya H3 ile ifade edilen alternatif hipotezlerinin kabul edilmesi durumunda tan ı mlanabilir. Bu durumda, H1 ve H3 hipotezlerine ba ğ l ı olarak iki farkl ı III. tip hata olas ı l ığı söz konusudur. Bunlar ise, gerçekte H1 hipotezi geçerli iken yani N i : pi p 2 < O hipotezi geçerli iken H 3 : pi 1.12 > 0 şeklinde ifade edilen H3 hipotezinin 1 a a B H3 doğru III. Tip hata Y13 Testin gücü Il. Tip hata H3 III. Tip hata I. Tip hata Doğru karar Kabul 1 P 23 Y31 a 32 y.13 Testin gücü 31 Testin gücü 33 kabul edilmesi durumunda yap ılan III. Tip hata ile (y 31 ), gerçekte H 3 : N 1 p 2 > 0 şeklinde ifade edilen H3 hipotezi geçerli iken H./ : pi p 2 < O şeklinde ifade edilen H1 hipotezinin kabul edilmesiyle yap ı lan III. Tip hatad ı r (6/ 13 ). H1 veya H3 ile ifade edilen alternatif hipotezlerinin kabul edilmesine göre testin gücü 4 farkl ı biçimde ifade edilebilmektedir (Testin gücü ıı, Testin gücü13, Testin gücü31, Testin gücü33). Dikkat edilece ği üzere testin gücü, III. Tip hata olas ı l ığından etkilenmektedir. Dolay ıs ıyla III. Tip hata olas ı l ığı n ın dikkate al ı nmad ığı çal ışmalarda testin gücü gerçek 'de ğerinden daima yüksek olacakt ı r. Ancak, Ili. Tip hata olas ı l ığı n ın testin gücü üzerine olan etkisi, örnek hacmi ve ortalamalar aras ındaki fark ın artmas ı na paralel olarak azal ır (Leventhal ve Huynh 1996, McDonald 1999). Bulgular ve Tart ışma Yap ılan 'er simülasyon denemeleri sonunda, ortalamalar aras ındaki fark (8)- varyans oranlar ı-gözlem say ılar ı- grup say ıs ı kombinasyonlar ında göre gerçekle şen III. Tip hata olas ı l ıklar ı (y) Çizelge 1 ve Çizelge 2'de topluca verilmi ştir. Çizelge 1 incelendi ğinde, örneklerin homojen varyansl ı (1:1:1) üç serbestlik dereceli Ki-kare da ğı l ı m ı gösteren populasyonlardan al ınmalar ı durumunda (x2(3)), ortalamalar aras ındaki fark 0.25 standart sapma iken (5=0.25) Anova F testi bak ım ından gerçekle şen III. Tip hata olas ı l ıklar ı n ın genel olarak % aras ında, 6=0.50 iken % aras ında, 6=0.75 iken % aras ında ve 6=1.0 iken % aras ında değ iştiği görülmektedir. Ayn ı koşullarda K-istatisti ği bak ımı ndan gerçekle şen III. Tip hata olas ı l ı klar ı n ın ise s ıras ıyla % , % , % ve % aras ında de ğ iştiği görülmektedir. Dikkat edilece ği üzere genel olarak K-istatisti ği bak ı m ından gerçekle şen III. Tip hata olas ı l ı klar ı Anova F testi bak ı m ı ndan gerçekle şen III. Tip hata olas ı l ıklar ından daha yüksektir. Ancak, ortalamalar aras ındaki fark ve örnek hacminin artmas ı na paraiel olarak ele al ınan iki testin de giderek birbirine yak ı n sonuçlar gerçekle ştirme e ğilimine girdikleri görülmektedir. Ayn ı koşullarda populasyon varyanslar ı n ın 1:3:5 şeklinde orta derecede heterojenle ştirilmesi durumunda her iki testinde bu deneme ko şulundan olumsuz yönde etkilenmektedir. Bu ko şullarda populasyon varyanslar ın ı n 1:5:15 şeklinde daha da heterojenle ştirilmesi durumunda, gerçekle şen III. Tip hata olas ı l ı klar ı n ın çok daha belirgin bir şekilde artt ığı görülmektedir. Dikkat edilece ği üzere, populasyon varyanslar ı n ın heterojenleştirilmesine paralel olarak her iki test bak ı m ından gerçekle şen III. Tip hata olas ı l ıklar ı da belirgin bir şekilde artmakta ve bu art ış K- istatisti ğinde çok daha belirgin olmaktad ı r. Dolay ıs ıyla bu koşullarda Anova F testi bak ı m ından elde edilen sonuçlar ın daha güvenilir olduğu söylenebilir. Zira III. Tip hatan ın, testin gücü üzerine olan etkisi ANOVA F testi bak ımından daha dü şüktür. (Güç=1-13-y). Buradan hareketle bu iki testin III. Tip hata olas ı l ığının dikkate al ınmadan testin gücü bak ım ından karşılaşt ırmak amac ıyla yap ılan simülasyon çal ışmalar ında, Anova F testi bak ı m ı ndan gerçekle şen güç

4 124 TARIM BILIMLERI DERGISI 2004, Cilt 10, Say ı 2 değerlerinin, K-istatisti ği bak ı m ından gerçekle şen III. Tip hata olas ı l ı klar ına tercih edilebilece ği rahatl ıkla ileri sürülebilir. Söz konusu populasyonlar ın dağı l ı mlar ın ın üstel (0.50) olmas ı durumunda elde edilen sonuçlar ın, ayn ı ko şullarda da ğı l ı mlar ın x2(3) olmas ı durumunda elde edilen sonuçlara oldukça benzer olduklar ı söylenebilir. Çünkü, da ğı l ı m şeklinin x2(3) ya da üstel (0.50) olmas ı, her iki test bak ı m ı nda da gerçekle şen III. Tip hata olas ı l ı klar ı n ı dikkate de ğer bir şekilde etkilemedi ği göze çarpmaktad ı r. Genel olarak ele al ınan bütün deneme ko şullar ı birlikte değerlendirildi ğinde, her iki test bak ımından da gerçekle şen III. Tip hata olas ı l ı klar ı n ın artmas ına neden olmaktad ır. Söz konusu bu art ış özellikle ortalamalar aras ındaki fark ın ve örnek hacminin küçük oldu ğu durumlarda daha da belirgin oldu ğu görülmektedir. Di ğer yandan örnek hacmi ve ortalamalar aras ındaki fark artt ı kça III. Tip hata olas ı l ığı azalmaktad ır. Grup say ısı n ı n 3'ten 4'e ç ı kart ı lmas ı halinde, her iki testinde bundan olumsuz yönde etkilendi ği ve söz konusu bu olumsuz etkinin K-istatisti ği bak ı m ından çok daha belirgin oldu ğ u görülmektedir. Yani her iki testte grup say ıs ın ı n artmas ından olumsuz yönde etkilenmektedir. Halbuki varyans analizi ile bu teste alternatif olabilecek pek çok testin ampirik olarak gerçekle şen testin güç de ğerleri bak ımından karşı laşt ı r ı lmas ı amac ıyla yap ılan pek çok simülasyon çal ışmas ında söz konusu testlerin III. Tip hata olas ı l ıklar ı n ı n dikkate al ınmamas ından dolay ı ba şta Anova F testi olmak üzere pek çok testin grup say ısına karşı güçlü testler olduklar ı bildirilmi ştir (Welch 1951, Brown- Forsythe 1974, Krutchkoff 1988, Wilcox 1989, Alexander- Govern 1994). Sonuç Çal ışmadan elde edilen ampirik sonuçlara göre; 1.Testin gücünün hesaplanmas ında ve dolay ısıyla da uygun örnek geni ş liğinin belirlenmesinde, mutlaka III. Tip hata olas ı l ığı göz önüne al ı nmal ı d ı r. 2. Ortalamalar aras ındaki fark ve örnek hacirnleri art ıkça, III. Tip hata olas ı l ığı azalmaktad ı r. 3. Varyanslar ın heterojenlik dereceleri artt ı kça, III. Tip hata olas ı l ığı da admaktad ı r. 4. Grup say ısı n ın artmas ına paralel olarak, III. Tip hata olas ı l ığı da artmaktad ı r. 5. Ortalamalar aras ı farka ba ğ l ı olarak büyük hacimli örneklerle çal ışı lmas ı durumunda, III. Tip hatan ı n göz ard ı edilebileceği sonuçlar ı na varmak mümkündür. Çizelge 1. Ortalamalar aras ı ndaki fark (S)-varyans oranlar ı-gözlem say ı lar ı-grup say ı s ı kombinasyonlar ı nda göre gerçekle şen ampirik III. Tip hata olas ı l ığı (y) (%), k=3 Varyans oranlar ı X' (3) Exp (0.50) Da ğı l ı mlar 1:1:1 1:3:5 1:5:15 1:1:1 1:3:5 1:5:15 Si n ı :n2:n3 F K F K F K F K F K F K 3:3: :5: :8: :10:10 15:15: :20: :25: :30: :3: :5: :8: :10:10 15:15: :20: :25: :30: :3: :5: :8: :10:10 15:15: :20: :25: :30: :3: :5: :8: :10: :15: :20: :25: :30:

5 MENDEŞ, M. "ANOVA F ve K testlerinin III. Tip hata olas ı l ı klar ı bak ı m ı ndan karşı laşt ı r ı lmas ı " 125 Çizelge 2. Ortalamalar aras ı ndaki fark (8)-varyans oranlar ı-gözlem say ı lar ı-grup say ısı kombinasyonlar ı nda göre gerçekleşen ampirik III. Tip hata olas ı l ığı (y) (%), k=4 Varyans oranlar ı x2 (3) Exp (0.50) Dağı l ı mlar 1:1:1:1 1:2:4:6 1:5:9:12 1:1:1:1 1:2:4:6 1:5:9:12 Ö, ni:n2:n3 F K F K F K F K F K F K 3:3:3: :5:5: :8:8: :10:10: :15:15: :20:20: :25:25: :30:30: :3:3: :5:5: :8:8: :10:10: :15:15: :20:20: :25:25: :30:30: :3:3: :5:5: :8:8: :10:10: :15:15: :20:20: :25:25: :30:30: :3:3: :5:5: :8:8: :10:10: :15:15: ' :20:20: :25:25: :30:30: Kaynaklar Alexander, R. A. and D. M. Govern, A new and simpler approximation for ANOVA under, variance heterogeneity. J. of Educational Statistics, 19, Anonymous, FORTRAN Subroutines for Mathematical Applications. IMSL MATH/LIBRARY. Vol Visual Numerics, Inc., Houston, USA. Brown, M. B. and A. B. Forsythe, A. B The small sample behavior of some statistics which test the equality of several means. Technometrics, 16, Edgington, E. S A new tabulation of statistical procedures used in APA journals. American Psychologist, 29, Hopkins, B Educational research and Type III errors. The Journal of Experimental Education, 41, Kaiser, H. F Directional statistical decisions. Psychological Review, 67, Kimball, A. W Errors of the third kind in statistical consulting. J. Am. Stat. Assoc., 52, Kimmel, H. D Three criteria for the use of one-tailed tests. Psychological Bulletin, 54, Krutchkoff, R. G, 1988.One-way fixed effects analysis of variance when the error variances may be Unequal. J. Statist. Comput. Simul. 30, Leventhal, L. and C. L. Huynh, Directional decisions for -two-tailed tests: power, error rates and sample size. psychological Methods, Mcdonald, P Power, Type I and Type III error rates of parametric and nonparametric statistical tests. The J. of Experimental Education, 67, Mendeş, M Varyanslar ı n heterojen olmas ı durumunda K- istatistiği (KANOVA) ile ANOVA F testinin gerçekle şen 1.Tip hata olas ı l ı klar ı bak ı m ı ndan karşı laşt ı r ı lmas ı. Ankara Only. Ziraat Fak. Tar ı m Bilimleri Dergisi, 9 (1) 23-28, Ankara. Mendeş, M. ve E. Ba şp ı nar, Normal olmayan da ğı l ı ml ı populasyonlardan al ı nan örneklerde hesaplanan çeşitli test istatistiklerinin 1.Tip hata olas ı l ı klar ı bak ı m ı ndan karşı laşt ı r ı lmas ı. Ankara Oniv. Ziraat Fak. Tar ı m Bilimleri Dergisi, 8 (3), , Ankara. Murphy, K. R. and B. Myors, 1998 Statistical Power Analysis. A simple and General Model for Traditional and Modern Hypothesis Tests. Lawrence Erlbaum Assoc., Publishers, 120, London, UK.

6 126 TARIM B İ L İMLER İ DERG İ S İ 2004, Cilt 10, Say ı 2 Ott, L An Introduction to Statistical Methods and Data Analysis. Third Edition. PWS-Kent Publishing Company. USA, 835. Sansgiry, P. and O. Akman, Transformations of the Lognormal Distribution as a Selection Model. The American Statistician, Sharon, S. and K. M. Carpenter, The right answer for the wrong question: consequences of type III Error for public health research. American J. of Public Health, Shaffer, J. P Directional statistical hypothesis and comparisons among means. Psychological Bulletin, 77, Sokal, R. R. and F. J. Rohlf, Biometry. The Principles and Practice of Statistics in Biological Research. Third Ed. W. H. Freeman and Co. New York, 887 Tomarken, A. J. and R. C. Serlin, comparison of ANOVA alternatives under variance heterogeneity and specific noncentrality structures. Psychological Bulletin, 99, Tiku, M. L Power function of F-test under non-normal situations. J. Amer. Statist. Assoc. 66, Welch, B. L On the comparison of several mean values: an alternative approach. Biometrika, 38, Wilcox, R. R Adjusting for unequal variances when comparing means in one-way and two-way effects ANOVA nnodels. J. of Educational Statistics. 14, Winer, B. J., D. R. Brown and K. M. Michels, 1991.Statistical Principles in Experimental Design. Third Ed., Mc Graw-Hill, Inc. USA, Zar, J. H Biostatistical Analysis. Fourth Ed.,,Prentice-Halt, Inc. USA, 683. İleti şim adresi: Mehmet MENDE Ş Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Ziraat Fakültesi Zootekni Bölümü-Çanakkale