Optimal Kontrol. Durum ve Çıkış Geri-beslemeli Kontrolörlerin DME. 18 Aralık Yıldız Teknik Üniversitesi, Istanbul, Türkiye

Transkript

1 Optimal Kontrol Bölüm 5 Durum ve Çıkış Geri-beslemeli Kontrolörlerin DME Tabanlı Tasarımı Ibrahim Beklan Küçükdemiral Hakan Yazıcı Yıldız Teknik Üniversitesi, Istanbul, Türkiye 18 Aralık 2014 Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 5 18 Aralık / 44

2 Bu bölümde Neler Göreceğiz? Kapalı çevrim sistemin asimtotik kararlılığını garanti altına alan kontrolör tasarım problemi konusuna değinilecektir. Ele alacağımız alt başlıklar: Doğrusal ve zamanla değişmeyen, çok girişli - çok çıkışlı genel sistemleri kararlı kılan, tam durum geri-beslemeli kontrolörlerin tasarımı problemi İlgili problemin çözümü için gerekeli olan DME koşulları pratik uygulamalarda sıklıkla karşılaşılan sistem durumları ve kontrol girişleri üzerinde bulunan, çoğunluğu genlik türünde olan kısıtlamalarla başetmek =) Elipsoit Elipsoitler konusu üzerinde matematiksel bilgiler Çıkış geri beslemeli dinamik kontrol sistemlerinin DME tabanlı tasarım yaklaşımı Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 5 18 Aralık / 44

3 Durum Geri-beslemeli Kontrolör Tasarım Probleminin DME Tabanlı Çözümü Şekilde verilen sistem kontrol edilebilir ya da en azından kararlı kılınabilir olsun. Bu durumda, ilgili sistemi kapalı çevrim kararlı kılan u(t) = Kx(t) kontrol kuralını elde etmeye çalışalım. u ẋ(t) =Ax(t)+Bu(t) x K Şekil: Durum geri beslemeli kontrol yapısı. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 5 18 Aralık / 44

4 Durum Geri-beslemeli Kontrolör Tasarım Probleminin DME Tabanlı Çözümü Kararlı kılınması istenen sistem ve ilgili sistemin başlangıç koşulları ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t), x(0) = x 0 Amacımız, bu sistemi her x(0) = x 0 başlangıç koşulu için kararlı kılan u(t) = Kx(t) durum geri-beslemeli kontrol kuralını inşa etmektir. Öncelikle, P = P T 0 olmak üzere V (x(t)) = x T (t)px(t) enerji fonksiyonu seçelim. Bu fonksiyonun sistem yörüngesi boyunca zamana göre türevi V (x(t)) = ẋ T (t)px(t)+x T (t)pẋ(t) Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 5 18 Aralık / 44

5 Durum Geri-beslemeli Kontrolör Tasarım Probleminin DME Tabanlı Çözümü Sistem yörüngesi ve u(t) = Kx(t) kontrol kuralı yerlerine yazılırsa V (x(t)) = x T (t)(a + BK) T Px(t)+x T (t)p(a + BK)x(t) elde edilir. Eşitliğin sağ tarafı, soldan x T (t) ve sağdan x(t) ortak parantezine alınırsa =) V (x(t)) = x T [(A + BK) T P + P(A + BK)]x(t) Asimtotik kararlılık için gerek ve yeter koşul (A + BK) T P + P(A + BK) 0 (1) eşitsizliğini sağlayan bir P = P T 0 matrisinin varlığıdır. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 5 18 Aralık / 44

6 Durum Geri-beslemeli Kontrolör Tasarım Probleminin DME Tabanlı Çözümü Dikkat: eşitsizlikte, K ve P matris değişkenlerinin birbirleri ile çarpımı söz konusudur. Bu nedenle, ilgili eşitsizlik, dışbükey değildir ve mevcut hali ile yarı-tanımlı programlama olarak ifade edilemez. İlgili eşitsizlikliğin her iki tarafı, soldan ve sağdan P 1 ile çarpılırsa P 1 [(A + BK) T P + P(A + BK)]P 1 0 ve X, P 1 tanımlaması yapılırsa =) AX + XA T + BKX + XK T B T 0 Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 5 18 Aralık / 44

7 Durum Geri-beslemeli Kontrolör Tasarım Probleminin DME Tabanlı Çözümü Teorem L, KX tanımlaması altında =) AX + X A T + BL + L T B T 0 Bu DME yi sağlayan L ve X T = X 0matrislerimevcutise,kapalıçevrim sistem, u(t) = Kx(t) gibi bir geri-beslemeli kontrol kuralı ile asimtotik kararlı kılınabilir. Bu durumda, açıktır ki, kontrol kazancı K = LX 1 şeklinde hesaplanabilir. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 5 18 Aralık / 44

8 Sayısal Örnek Örnek ẋ(t) = apple apple x(t)+ 0 u(t) sistemi verilmiş olsun. Bu sistem için, kapalı çevrim asimtotik kararlılığı garanti altına alan, u(t) = Kx(t) şeklinde bir statik, tam durum geri-beslemeli bir denetleyici tasarlayınız ve farklı başlangıç durumları için kontrolör performansını sınayınız. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 5 18 Aralık / 44

9 Sayısal Örnek MATLAB Fonksiyonu: function K=stabilize(A,B) [n,n]=size(a); [n,m]=size(b); X=sdpvar(n); L=sdpvar(m,n, full ); Fset=[X*A +A*X+B*L+L *B < 0, X > 0, trace(x)==1 ]; solution=optimize(fset); X=value(X); L=value(L); K=L*inv(X); Çağrı Kodu A=[1 2;0-3]; B=[1; 0]; K=stabilize(A,B); eig(a+b*k) Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 5 18 Aralık / 44

10 Sayısal Örnek Kod Sonucu: İlgili kodun çalıştırılması soucunda K kontrolör kazancı K = olarak bulunur. Bu durumda kapalı çevrim özdeğerleri { , } şeklinde olacaktır. Faz Portresi x x 1 Ş e k i l : Sistem durumlarına ait faz portresi Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 5 18 Aralık / 44