30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )"

Transkript

1 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x 3 ) ) L : R 4 R 3, L(x, x, x 3, x 4 ) = (x x 3 + x 4, x 3x 3 + x 4, x + x + x 3 ) 3) L : P x R 3, L(a + a x + a x ) = (a, a, a ) 4) L : P n x R, L(a + a x + a ( x a n x) n + a n x n ) = x(a + a x (n )a n x n + na n x n ) + a 5) L : R R x x, L = (x x 3 x + x 4, x + x 3 ) 4 Çözüm: ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x, x + x 3x 3 ) Verilen dönüşümün lineer olduğunu göstermek için her x = (x, x, x 3 ), y = (y, y, y 3 ) R 3 vektörleri ve a, b R skalerleri için L(ax + by) = al(x) + bl(y) olduğunu gösterecğiz. al(x) = a( 3x + x 3 4x, x + x 3x 3 ) = ( a3x + ax 3 4ax, ax + ax 3ax 3 ) bl(y) = b( 3y + y 3 4y, y + y 3y 3 ) = ( b3y + by 3 4by, by + by 3by 3 ) al(x) + bl(y) = ( a3x + ax 3 4ax 3by + by 3 4by, ax + ax 3ax 3 by + by 3by 3 ) () L(ax + by) = ( a3x + ax 3 4ax b3y + by 3 4by, ax + ax 3ax 3 by + by 3by 3 ) () () ve () denklemleri eşit olduğundan verilen dönüşüm lineerdir. ) L : R 4 R 3, L(x, x, x 3, x 4 ) = (x x 3 + x 4, x 3x 3 + x 4, x + x + x 3 ) Verilen dönüşümün lineer olduğunu göstermek için her x = (x, x, x 3, x 4 ), y = (y, y, y 3, y 4 ) R 3 vektörleri ve a, b R skalerleri için L(ax + by) = al(x) + bl(y) olduğunu gösterecğiz. al(x) = a(x x 3 + x 4, x 3x 3 + x 4, x + x + x 3 ) = (ax ax 3 + ax 4, ax 3ax 3 + ax 4, ax + ax + ax 3 ) bl(y) = b(y y 3 + y 4, y 3y 3 + y 4, y + y + y 3 ) = (by by 3 + by 4, by 3by 3 + by 4, by + by + by 3 ) al(x) + bl(y) = (ax ax 3 + ax 4 + by by 3 + by 4, ax 3ax 3 + ax 4 by 3by 3 + by 4, ax + ax + ax 3 + by + by + by 3 ) L(ax + by) = ( a3x + ax 3 4ax 4 b3y + by 3 4by 4, (4) ax + ax 3ax 3 by + by 3by 3 ) (3) ve (4) denklemleri eşit olduğundan verilen dönüşüm lineerdir. 3) L : P x R 3, L(a + a x + a x ) = (a, a, a ) Verilen dönüşümün lineer olduğunu göstermek için her f(x) = a + a x + a x, g(x) = b + b x + b x P x vektörleri ve A, B R skalerleri için L(Af(x) + Bg(x)) = AL(f(x)) + BL(g(x)) olduğunu gösterecğiz. AL(f(x)) = A(a, a, a ) = (Aa, Aa, Aa ) BL(g(x)) = B(b, b, b ) = (Bb, Bb, Bb ) AL(f(x)) + BL(g(x)) = (Aa + Bb, Aa + Bb, Aa + Bb ) (5) L(Af(x) + Bg(x)) = L(Aa + Bb + Aa x + Bb x + Aa x + Bb x ) = (Aa + Bb, Aa + Bb, Aa + Bb ) (6) (3)

2 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II D (5) ve (6) denklemleri eşit olduğundan verilen dönüşüm lineerdir. 4) L : P n x R, L(a + a x + a x a n x n + a n x n ) = x(a + a x (n )a n x n + na n x n ) + a Verilen dönüşümün lineer olduğunu göstermek için her f(x) = a + a x + a x a n x n + a n x n, g(x) = b + b x + b x b n x n + b n x n P n x vektörleri ve A, B R skalerleri için L(Af(x) + Bg(x)) = AL(f(x)) + BL(g(x)) olduğunu gösterecğiz. AL(f(x)) = A(x(a + a x (n )a n x n + na n x n ) + a ) = Ax(a + a x (n )a n x n + na n x n ) + a BL(g(x)) = B(x(b +b x+...+(n )b n x n +nb n x n )+b ) = Bx(b +b x+...+(n )b n x n + nb n x n ) + b AL(f(x)) + BL(g(x)) = Ax(a + a x (n )a n x n + na n x n ) + a +Bx(b + b x (n )b n x n + nb n x n ) + b (7) L(Af(x) + Bg(x)) = L(A(a + a x + a x a n x n + a n x n ) + B(b + b x + b x b n x n + b n x n )) = L(Aa + Bb + (Aa + Bb )x + (Aa + Bb )x (Aa n + Bb n )x n + (Aa n + Bb n )x n ) = xaa + Bb + (Aa + Bb )x Ana n + Bnb n )x n + Aa + Bb (8) (7) ve (8) denklemleri ( eşit olduğundan ) verilen dönüşüm lineerdir. 5) L : R R x x, L = (x x 3 x + x 4, x + x 3 ) 4 x x Verilen dönüşümün lineer olduğunu göstermek için her A = x 3 x 4, B = ve a, b R skalerleri için L(Aa + Bb) = al(a) + bl(b) olduğunu gösterecğiz. al(a) = a(x + x 4, x + x 3 ) = (ax + ax 4, ax + ax 3 ) bl(b) = b(y + y 4, y + y 3 ) = (by + by 4, by + by 3 ) L(aA + bb) y y matrisleri y 3 y 4 al(a) + bl(b) = (ax + ax 4 + by + by 4, ax + ax 3 + by + by 3 ) (9) ( ) ax ax = L by by + = (ax ax 3 ax 4 by 3 by + by + ax 4 + by 4, ax + by + ax 3 + by 3 ) () 4 (9) ve () denklemleri eşit olduğundan verilen dönüşüm lineerdir. Soru II: Aşağıda verilen lineer dönüşümlerin a) Çekirdeğini, çekirdeğinin bir bazını (tabanını ) ve sıfırlığını (dim Ker L) yi bulunuz. b) Görüntü kümesini, görüntü kümesinin bir bazını (tabanını ) ve rankını (dim Im L) yi bulunuz. c) Tanım kümesinin boyutunu bulunuz. Bu dönüşümler (bire bir) ve örten midir? ) k R + olmak üzere L : R R ile tanımlı L(x, x ) = (kx, kx ) fonksiyonu ) L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x, x, x 3 ) = (x x 3, x + x 3, x ) fonksiyonu 3) A = 3 olmak üzere L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 6 4) A = 3 olmak üzere L : R R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 5 5) Düzlemin her bir noktasını bu noktanın y eksenine göre simetriğine dönüstüren fonksiyon L : R R 6) Düzlemin her bir noktasını O noktası çevresinde θ radyan döndüren L : R R ile tanımlı L(x, x ) = (x cos θ x sin θ, x sin θ + x cos θ) fonksiyonu. (A = olmak üzere bu dönüşüm L(x) = Ax şeklinde de tanımlanır.) Çözüm: ) k R + olmak üzere L : R R ile tanımlı L(x, x ) = (kx, kx ) fonksiyonu

3 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYARMATEMATİK BÖLÜMÜLİNEER CEBİR-II DE a) KerL = {x R L(x) = R }, R = (, ) ve L(x) = (kx, kx ) = (, ) olacağından (x, x ) = (, ) dır. Yani çekirdek uzayı sadece sıfır elemanından oluşur. Çekirdek uzayını üreten bir küme yoktur, yani çekirdek uzayının bir tabanı B =. Çekirdek uzayının boyutu=l nin sıfırlığı = dimkerl =. b) ImL = {y R x R öyle ki L(x) = y} L(x) = (kx, kx ) = (y, y ) y = kx, y = kx, x, x R olacağından sistemin genel çözümü y = x y + x dir. v =, v = vektörleri görüntü uzayını üretirler. Ayrıca c v + c v = denklemi sadece c = c = için sağlandığından v, v vektörleri lineer bağımsızdır, yani B = {v, v } kümesi görüntü uzayının bir bazını (tabanını) oluştururlar. Bu durumda Görüntü kümesinin boyutu=im L nin boyutu= dim ImL = c) Tanım kümesinin boyutu= dim R = dim KerL + dim ImL = + = dir. L dönüşümü dir çünkü KerL = dır. L dönüşümü örtendir çünkü dim R = dim ImL dir. ) L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x, x, x 3 ) = (x x 3, x + x 3, x ) fonksiyonu a) KerL = {x R 3 L(x) = R 3} R 3 = (,, ) ve L(x) = (x x 3, x + x 3, x ) = (,, ) olacağından (x, x, x 3 ) = (,, ) dır. Yani çekirdek uzayı sadece sıfır elemanından oluşur. Çekirdek uzayını üreten bir küme yoktur, yani çekirdek uzayının bir tabanı B =. Çekirdek uzayının boyutu=l nin sıfırlığı = dimkerl =. b) ImL = {y R 3 x R 3 öyle ki L(x) = y} L(x) = (x x 3, x + x 3, x ) = (y, y, y 3 ) y = x x 3, y = x + x 3, y 3 = x, x, x, x 3 R olacağından sistemin genel çözümü y y = x + x + x 3 dir. y 3 v =, v =, v 3 = vektörleri görüntü uzayını üretirler. Ayrıca c v + c v + c 3 = denklemi sadece c = c = c 3 = için sağlandığından v, v, v 3 vektörleri lineer bağımsızdır, yani B = {v, v, v 3 } kümesi görüntü uzayının bir bazını (tabanını) oluştururlar. Bu durumda Görüntü kümesinin boyutu=im L nin boyutu= dim ImL = 3 c) Tanım kümesinin boyutu= dim R 3 = dim KerL + dim ImL = + 3 = 3 dir. L dönüşümü dir çünkü KerL = dır. L dönüşümü örtendir çünkü dim R 3 = dim ImL dir. 3) A = 3 olmak üzere L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 6 a) KerL = {x = (x, x, x 3 ) R 3 L(x) = R 3} R 3 = (,, ) ve L(x) = Ax = 3 x x = x x 3 x + x + 3x 3 = 6 x 3 x + x + 6x 3 çözümü x x = dır. x 3 = x 3 5 olacağından sistemin genel v = 5, vektörü çekirdek uzayını üretir. Ayrıca v vektörü lineer bağımsızdır, yani B = {v } kümesi çekirdek uzayının bir bazını (tabanını) oluşturur. Bu durumda Çekirdek uzayının boyutu=l nin sıfırlığı = dim KerL = b) ImL = {y R 3 x R 3 öyle ki L(x) = y}

4 4 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II D y = L(x) = Ax = genel çözümü y y = x y x x x x 3 + x 3 6 = dir. x x 3 x + x + 3x 3 x + x + 6x 3 = y y y 3 olacağından sistemin v =, v =, v 3 = vektörleri görüntü uzayını üretirler. Ayrıca sadece v, v 6 lineer bağımsızdır, yani B = {v, v } kümesi görüntü uzayının bir bazını (tabanını) oluştururlar. Bu durumda Görüntü kümesinin boyutu=im L nin boyutu= dim ImL = Dikkat edilirse görüntü uzayının bir üreteci {v, v, v 3 }, verilen A matrisinin sütunlarıdır. Görüntü uzayının bir tabanı {v, v } ise, verilen A matrisinin lineer bağımsız sütunlarıdır. c) Tanım kümesinin boyutu= dim R 3 = dim KerL + dim ImL = + = 3 dir. L dönüşümü değildir çünkü KerL dır. L dönüşümü örten değildir çünkü dim = 3 = R 3 dim ImL = dir. 4) A = 3 olmak üzere L : R R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 5 a) KerL = {x = (x, x ) R L(x) = R 3} R 3 = (,, ) ve L(x) = Ax = 3 x = x + x 3x x = olacağından sistemin genel çözümü 5 5x x x = = dır. x Yani çekirdek uzayı sadece sıfır elemanından oluşur. Çekirdek uzayını üreten bir küme yoktur, yani çekirdek uzayının bir tabanı B =. Bu durumda Çekirdek uzayının boyutu=l nin sıfırlığı = dim KerL = b) ImL = {y R 3 x R 3 öyle ki L(x) = y} y = L(x) = Ax = 3 x = x 5 y y = x x x + x 3x 5x x = y y y 3 olacağından sistemin genel çözümü dir. v = 3, v = vektörleri görüntü uzayını üretirler. y 3 5 Yani görüntü uzayının bir üreteci {v, v }, verilen A matrisinin sütunlarıdır. Görüntü uzayının bir tabanı {v, v }, verilen A matrisinin lineer bağımsız sütunlarıdır. Görüntü kümesinin boyutu=im L nin boyutu= dim ImL = c) Tanım kümesinin boyutu= dim R = dim KerL + dim ImL = + = dir. L dönüşümü dir çünkü KerL = dır. L dönüşümü örten değildir çünkü dim R 3 dim ImL dir. 5) Düzlemin her bir noktasını bu noktanın y eksenine göre simetriğine dönüştüren fonksiyon L : R R, her x = (x, x ) R için L(x) = L(x, x ) = ( x, x ) dir. a) KerL = {x = (x, x ) R L(x) = R } R = (, ) ve L(x) = L(x, x ) = ( x, x ) = (, ) olacağından (x, x ) = (, ) Yani çekirdek uzayı sadece sıfır elemanından oluşur. Çekirdek uzayını üreten bir küme yoktur, yani çekirdek uzayının bir tabanı B =. Bu durumda Çekirdek uzayının boyutu=l nin sıfırlığı = dim KerL = b) ImL = {y R x R öyle ki L(x) = y} y = L(x) = ( x, x ) = (y, y ) olacağından sistemin genel çözümü y = x y + x dir. v =, v = vektörleri görüntü uzayını üretirler. Ayrıca c v + c v = denklemi sadece c = c = için sağladığından v, v lineer bağımsızdırlar. Yani görüntü uzayının bir tabanı {v, v } dır. Görüntü kümesinin boyutu=im L nin boyutu= dim ImL =

5 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYARMATEMATİK BÖLÜMÜLİNEER CEBİR-II DE c) Tanım kümesinin boyutu= dim R = dim KerL + dim ImL = + = dir. L dönüşümü dir çünkü KerL = dır. L dönüşümü örtendir çünkü dim R = dim ImL dir. 6) Düzlemin her bir noktasını O noktası çevresinde θ radyan döndüren L : R R ile tanımlı L(x, x ) = (x cos θ x sin θ, x sin θ + x cos θ) fonksiyonu. (A = olmak üzere bu dönüşüm L(x) = Ax şeklinde de tanımlanır.) a) KerL = {x = (x, x ) R L(x) = R } R = (, ) ve Her θ R için L(x) = L(x, x ) = (x cos θ x sin θ, x sin θ+x cos θ) = (, ) olacağından (x, x ) = (, ) x x cos θ x. Yol: L(x) = L(x, x ) = Ax = = sin θ = ise x x sin θ + x cos θ x = x Yani çekirdek uzayı sadece sıfır elemanından oluşur. Çekirdek uzayını üreten bir küme yoktur, yani çekirdek uzayının tabanı B =. Bu durumda Çekirdek uzayının boyutu=l nin sıfırlığı = dim KerL = b) ImL = {y R x R öyle ki L(x) = y} y = L(x) = (x cos θ x sin θ, x sin θ + x cos θ) = Ax = (y, y ) olacağından cosθ sinθ v =, v sinθ = vektörleri görüntü uzayını üretirler. Ayrıca c cosθ v +c v = denklemi sadece c = c = için sağladığından v, v lineer bağımsızdırlar. Yani görüntü uzayının bir tabanı {v, v } dır. Görüntü kümesinin boyutu=im L nin boyutu= dim ImL = c) Tanım kümesinin boyutu= dim R = dim KerL + dim ImL = + = dir. L dönüşümü dir çünkü KerL = dır. L dönüşümü örtendir çünkü dim R = dim ImL dir. Soru III: Aşağıda verilen lineer dönüşümlerin verilen tabanlara göre matrislerini bulunuz. ) k R + olmak üzere L : R R ile tanimlı L(x, x ) = (kx, kx ) fonksiyonu b) B = {(, 3), (4, 5)} ve C = {(, ), (, 3)} tabanlarına göre ) L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x, x, x 3 ) = (x x 3, x + x 3, x ) fonksiyonu b) B = {(,, 3), (4, 5, 6), (,, 6)} ve C = {(,, 3), (4,, 6), (,, )} tabanlarına göre 3) A = 3 olmak üzere L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 6 b) B = {(,, 3), (4, 5, 6), (,, 6)} ve C = {(,, 3), (4,, 6), (,, )} tabanlarına göre 4) A = 3 olmak üzere L : R R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 5 b) B = {(, ), (4, 5)} ve C = {(,, 3), (4,, 6), (,, )} tabanlarına göre 5) Düzlemin her bir noktasını bu noktanın y eksenine göre simetriğine dönüstüren fonksiyon L : R R b) B = {(, ), (4, 5)} ve C = {(, ), (, 6)} tabanlarına göre 6) Düzlemin her bir noktasını O noktası çevresinde θ radyan döndüren L : R R ile tanımlı L(x, x ) = (x cos θ x sin θ, x sin θ + x cos θ) fonksiyonu. (A = olmak üzere bu dönüşüm L(x) = Ax şeklinde de tanımlanır.) b) B = {(4, 6), (, 6)} ve C = {(, 3), (, )} tabanlarına göre Çözüm: ) k R + olmak üzere L : R R ile tanimlı L(x, x ) = (kx, kx ) fonksiyonu

6 6 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II D a) R nin standart tabanı B = {e = (, ), e = (, )} = C dir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüsümü altındaki görüntülerini bulalım. L(e ) = L(, ) = (k, ) = γ ve L(e ) = L(, ) = (, k) = γ dir. Şimdi γ, γ vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c e + c e ya da bu sisteme denk olarak γ = d e + d e k sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matris birim matris olduğundan sağ taraftaki k matris aradığımız A matrisidir. b) Tanım uzayının bir tabanı B = {(, 3), (4, 5)} ve görüntü uzayının bir tabanı C = {(, ), (, 3)} olarak verilmiştir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüsümü altındaki görüntülerini bulalım. L(, 3) = (k, 3k) = γ, L(4, 5) = (4k, 5k) = γ dir. Şimdi γ, γ vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c (, ) + c (, 3) γ = d (, ) + d (, 3) k 4k sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matrisi satır işlemleri uygulayarak 3 3k 5k birim matrise indirgeyeceğiz ve bu işlemler sonunda sağ tarafta oluşan matris aradığımız A matrisidir. k 4k R R k 4k R +R R k 4k 3 3k 5k 3 3k 5k 3 7k 3k R /3 R k 4k 7k/3 3k/3 k 4k C D I A olduğundan A = dir. 7k/3 3k/3 ) L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x, x, x 3 ) = (x x 3, x + x 3, x ) fonksiyonu a) R 3 nin standart tabanı B = {e = (,, ), e = (,, ), e 3 = (,, )} = C dir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüşümü altındaki görüntülerini bulalım. L(e ) = L(,, ) = (,, ) = γ, L(e ) = L(,, ) = (,, ) = γ ve L(e 3 ) = L(,, ) = (,, ) dir. Şimdi γ, γ, γ 3 vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c e + c e + c 3 e 3 γ = d e + d e + d 3 e 3 γ 3 = f e + f e + f 3 e 3 sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matris birim matris olduğundan sağ taraftaki matris aradığımız A matrisidir. b) Tanım uzayının bir tabanı B = {(,, 3), (4, 5, 6), (,, 6)} ve görüntü uzayının bir tabanı C = {(,, 3), (4,, 6), (,, )} olarak verilmiştir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüsümü altındaki görüntülerini bulalım. L(,, 3) = (,, ) = γ, L(4, 5, 6) = (,, 4) = γ, L(,, 6) = ( 5, 4, ) = γ 3 dir. Şimdi γ, γ, γ 3 vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c (,, 3) + c (4,, 6) + c 3 (,, ) γ = d (,, 3) + d (4,, 6) + d 3 (,, ) γ 3 = f (,, 3) + f (4,, 6) + f 3 (,, ) sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matrisi satır işlemleri uygulayarak birim matrise indirgeyeceğiz ve bu işlemler sonunda sağ tarafta oluşan matris aradığımız A matrisidir. 3) A = 3 olmak üzere L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 6 a) R 3 nin standart tabanı B = {e = (,, ), e = (,, ), e 3 = (,, )} = C dir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüşümü altındaki görüntülerini bulalım.

7 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYARMATEMATİK BÖLÜMÜLİNEER CEBİR-II DE L(e ) = Ae = (,, ) = γ, L(e ) = Ae = (,, ) = γ, dir. L(e 3 ) = Ae 3 = (, 3, 6) = γ 3 Şimdi γ, γ, γ 3 vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c e + c e + c 3 e 3 γ = d e + d e + d 3 e 3 γ 3 = f e + f e + f 3 e 3 3 sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matris birim matris olduğundan 6 sağ taraftaki matris aradığımız A matrisidir. Diğer bir deyişle, eğer L lineer dönüşümü bir K matrisi yardımıyla ve görüntü uzayı standart taban ile veriliyor ise bu dönüşümün matrisi A = K dır. b) Tanım uzayının bir tabanı B = {(,, 3), (4, 5, 6), (,, 6)} ve görüntü uzayının bir tabanı C = {(,, 3), (4,, 6), (,, )} olarak verilmiştir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüşümü altındaki görüntülerini bulalım. L(,, 3) = A(,, 3) = ( 4,, 4) = γ, L(4, 5, 6) = A(4, 5, 6) = ( 7, 7, 54) = γ, L(,, 6) = A(,, 6) = (,, 4) = γ 3 dir. Şimdi γ, γ, γ 3 vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c (,, 3) + c (4,, 6) + c 3 (,, ) γ = d (,, 3) + d (4,, 6) + d 3 (,, ) γ 3 = f (,, 3) + f (4,, 6) + f 3 (,, ) sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matrisi satır işlemleri uygulayarak birim matrise indirgeyeceğiz ve bu işlemler sonunda sağ tarafta oluşan matris aradığımız A matrisidir. 4) A = 3 olmak üzere L : R R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 5 a) R 3 nin standart tabanı B = {e = (,, ), e = (,, ), e 3 = (,, )} = C dir. Verilen L lineer dönüşümü bir K matrisi yardımıyla ve görüntü uzayı standart taban ile verildiğinden bu dönüşümün matrisi A = K dır. b) Tanım uzayının bir tabanı B = {(, ), (4, 5)} ve görüntü uzayının bir tabanı C = {(,, 3), (4,, 6), (,, olarak verilmiştir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüşümü altındaki görüntülerini bulalım. L(, ) = A(, ) = (4, 3, ) = γ, L(4, 5) = A(4, 5) = (3,, ) = γ, dir. Şimdi γ, γ vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c (,, 3) + c (4,, 6) + c 3 (,, ) γ = d (,, 3) + d (4,, 6) + d 3 (,, ) sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matrisi satır işlemleri uygulayarak 3 6 birim matrise indirgeyeceğiz ve bu işlemler sonunda sağ tarafta oluşan matris aradığımız A matrisidir. 5) L : R R dönüşümü her x = (x, x ) için L(x) = L(x, x ) = ( x, x ) olarak tanımlanıyor. a) R nin standart tabanı B = {e = (, ), e = (, )} = C dir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüsümü altındaki görüntülerini bulalım. L(e ) = L(, ) = (, ) = γ ve L(e ) = L(, ) = (, ) = γ dir. Şimdi γ, γ vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c e + c e γ = d e + d e ya da bu sisteme denk olarak

8 8 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II D sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matris birim matris olduğundan sağ taraftaki matris aradığımız A matrisidir. Yani L(x) = Ax dir. b) Tanım uzayının bir tabanı B = {(, ), (4, 5)} ve görüntü uzayının bir tabanı C = {(, ), (, 6)} olarak verilmiştir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüsümü altındaki görüntülerini bulalım. L(, ) = (, ) = γ, L(4, 5) = ( 4, 5) = γ dir. Şimdi γ, γ vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c (, ) + c (, 6) γ = d (, ) + d (, 6) 4 sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matrisi satır işlemleri uygulayarak 6 5 birim matrise indirgeyeceğiz ve bu işlemler sonunda sağ tarafta oluşan matris aradığımız A matrisidir. 4 R +R R 4 R R R / 4+R R 9/4 R /4 R 9/ /4 9/4 C D I A olduğundan A = dir. Yani L(x) = Ax dır. 3/4 6) Düzlemin her bir noktasını O noktası çevresinde θ radyan döndüren L : R R ile tanımlı L(x, x ) = (x cos θ x sin θ, x sin θ + x cos θ) fonksiyonu. (A = olmak üzere bu dönüşüm L(x) = Ax şeklinde de tanımlanır.) a) R nin standart tabanı B = {e = (, ), e = (, )} = C dir. Verilen L lineer dönüşümü K = matrisiyle ve görüntü uzayı standart taban ile verildiğinden bu dönüşümün matrisi A = K dır. b) B = {(4, 6), (, 6)} ve C = {(, 3), (, )} tabanlarına göre Tanım uzayının bir tabanı B = {(4, 6), (, 6)} ve görüntü uzayının bir tabanı C = {(, 3), (, )} olarak verilmiştir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüsümü altındaki görüntülerini bulalım. L(, ) = (cos θ sin θ, sin θ + cos θ) = γ, L(4, 5) = (4 cos θ 5 sin θ, 4 sin θ + 5 cos θ) = γ dir. Şimdi γ, γ vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c (, 3) + c (, ) γ = d (, 3) + d (, ) cos θ 5 sin θ sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matrisi satır 3 sin θ + cos θ 4 sin θ + 5 cos θ işlemleri uygulayarak birim matrise indirgeyeceğiz ve bu işlemler sonunda sağ tarafta oluşan matris aradığımız A matrisidir. cos θ 5 sin θ 3R +R R cos θ 5 sin θ 3 sin θ + cos θ 4 sin θ + 5 cos θ 3 cos θ + 7 sin θ cos θ + 9 sin θ R /3+R R 3 cos θ + 3 sin θ 5 3 cos θ sin θ 3 cos θ + 7 sin θ cos θ + 9 sin θ R / 3 R 3 cos θ + 3 sin θ 5 3 cos θ sin θ 3 cos θ sin θ 3 cos θ sin θ C D I A olduğundan A = 3 cos θ + 3 sin θ 5 3 cos θ sin θ 3 cos θ sin θ 3 cos θ sin θ dir. Yani L(x) = Ax dır.

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1.

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1. Ders: MAT6 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri. A = matrisi bulunuz.. A = a b c d e f ve B = ÇALIŞMA SORULARI- olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X matrisi satır basamak hale getirildiğinde en fazla

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 3 Araliık 7 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: : Bitiş Saati: 3:4 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır. ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR. UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ LİNEER CEBİR DERSİ 0 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.İNAN ÜNAL www.inanunal.com UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 3 Araliık 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 2: Bitiş Saati: 3:4 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 8 Ocak 28 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 4: Bitiş Saati: 5:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Quadratic Programming Bir karesel programlama modeli aşağıdaki gibi tanımlanır. Amaç fonksiyonu: Maks.(veya Min.) z

Detaylı

FONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 :

FONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 : FONKSİYONLAR BÖLÜM 8 Örnek...3 : ARTAN AZALAN FONKSİYONLAR ARTAN FONKSİYON f : A R R fonksionu verilsin. Her i B A için 1 < 2 f ( 1 )

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

Önsöz. Mustafa Özdemir Antalya 2016

Önsöz. Mustafa Özdemir Antalya 2016 Önsöz Bu kitap üniversitelerimizin Mühendislik Fakültelerinde, Doğrusal Cebir veya Lineer Cebir adıyla okutulan lisans dersine yardımcı bir kaynak olması amacıyla hazırlanmıştır. Konular, teorik anlatımdan

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 1/ 172 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası)

Detaylı

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS . Sayı Mayıs 6 A COMMTATIVE MLTIPLICATION OF DAL NMBER TRIPLETS L.KLA * & Y.YAYLI * *Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Bölümü 6 Tandoğan-Ankara, Türkiye ABSTRACT Pfaff [] using quaternion product

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 9 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır?

1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır? 99 ÖYS.,8 + (, + ), işleminin sonucu kaçtır? B) 7 D) 86 987 B) D). a, b, c birer pozitif gerçel sayı ve a=b b=c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

Ç NDEK LER II. C LT KONULAR Sayfa Öz De er Öz Vektör.. 2. Lineer Cebir ve Sistem Analizi...

Ç NDEK LER II. C LT KONULAR Sayfa Öz De er Öz Vektör.. 2. Lineer Cebir ve Sistem Analizi... ÇNDEKLER II. CLT KONULAR 1. Öz Deer Öz Vektör.. 1 Kare Matrisin Öz Deeri ve Öz Vektörleri... 21 Matrisin Karakteristik Denklemi : Cayley Hamilton Teoremi.. 26 Öz Deer - Öz Vektör ve Lineer Transformasyon

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

DERS: MATEMATİK I MAT101(04)

DERS: MATEMATİK I MAT101(04) DERS: MATEMATİK I MAT0(0) ÜNİTE: FONKSİYONLAR KONU:. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR Öncelikle açı ölçü birimlerine göz atalım: Bilindiği gibi bir tam açının ölçüsü 0 derecedir. Diğer bir açı ölçü birimi de

Detaylı

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1.

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1. Bölüm 7 Karmaşık Sayılar Karmaşık sayılar gerçel sayıların genişlemesiyle elde edilen daha büyük bir kümedier. Genişleme şu gereksemeden doğmuştur: x 2 = +1 denklemimin çözümü +1, 1 sayılarıdır ve R içindedir.

Detaylı

Fen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi

Fen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi EN LİSELERİ, SOSYL İLİMLER LİSELERİ,SPOR LİSELERİ,NDOLU LİSELERİ ÖĞRETMENLERİNİN SEÇME SINVIN HZIRLIK DENEME SINVI. 2 HZIRLYN : İ:K(2008) idensu@gmail.com kuscuogluibrahim@gmail.com http://idensu.googlepages.com

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer 11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin

Detaylı

KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN

KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN Giriş Bilgi teknolojisindeki gelişmeler ve verilerin dijital ortamda saklanmaya başlanması ile yeryüzündeki bilgi miktarı her 20 ayda iki katına

Detaylı

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır. -A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi

Detaylı

( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER ) 1) z = z = i.z = z =... 2) z 1.

( KARMAŞIK SAYI MODÜL VE ÖZELLİKLERİ İKİ KARMAŞIK SAYI ARASI UZAKLIK DÜZLEMDE BELİRTTİĞİ BÖLGELER ) 1) z = z = i.z = z =... 2) z 1. BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERI (MODÜLÜ) Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın (A noktasının), başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının mutlak değeri (modülü) denir ve z şeklinde

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Küresel Koordinatlar Silindirik Koordinatları Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi

Detaylı

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3 p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =? TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde

Detaylı

Lineer Cebir (MATH275) Ders Detayları

Lineer Cebir (MATH275) Ders Detayları Lineer Cebir (MATH275) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Lineer Cebir MATH275 Her İkisi 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Yok Dersin Dili Dersin

Detaylı

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir?

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir? 1. 36 x A) [- 6, ] B) [- 6, 6 ] C) [, 36] D) [, 36 ] E) [- 36, ] 5. x + 4x + 4 > A) (, ) B) - } C) D) R E) R - {- } 6. x + 8x + 16. x x 8 < aşağıdalerden hangisidir? A) (- 4, ) B) (-, ) C) (- 4, ) A) {

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur. Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN LİNEER CEBİR Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN 1.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER LİNEER EŞİTLİKLER 1.1. LİNEER EŞİTLİKLERİN TANIMI x 1, x 2,...,

Detaylı

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7 998 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal sayısının 7 katı, iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir? orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

Lineer Cebir (MATH 275) Ders Detayları

Lineer Cebir (MATH 275) Ders Detayları Lineer Cebir (MATH 275) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Lineer Cebir MATH 275 Her İkisi 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Yok Dersin Dili Dersin

Detaylı

Nazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 =

Nazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 = Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0.6. DOĞRUSL DENKLEM SİSTEMLERİ ax + bx = α cx + dx = gibi bir doğrusal denklem sistemini, x ve y bilinmeyenler olmak üere, çömeyi hepimi biliyoru. ma probleme

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Artan ve Azalan Fonksiyonlar Tanım: a,b aralığında tanımlı bir onksiyonu verilsin., a,b ve için, ise onksiyonu a,b aralığında artan, ise

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50 Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016 7. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 17, 2016 Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz. 1 Tekrar Gözden Geçirme: Basitlik,

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Fonksiyonlar Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Fonksiyonlar Tanım: A ve B boş olmayan kümeler. A dan B ye bir f fonksiyonu f: A B ile gösterilir ve A nın her

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1 II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,

Detaylı

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular Ad ve Soyad : Numaras : FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular 30.11.2007 1. Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) (X; kk) bir normlu uzay ve M bunun

Detaylı

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR.

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR. Ö S Y M T.C. YÜKSEKÖĞRETİM KURULU ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME MERKEZİ LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 BU SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 LYS MATEMATİK

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI

11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI 11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI Programın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 11. sınıf matematik öğretim programı ilişkisi Modelleme/Problem çözme Matematiksel Süreç

Detaylı

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci

Detaylı

Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss

Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss Jordan Yöntemi ve Uygulaması Performans Ölçümü 2 Bu çalışmada,

Detaylı

Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur.

Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur. Bölüm 2 Determinantlar Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur. Söz konusu fonksiyonun değerine o matrisin determinantı denilir. A bir kare matris ise, determinantı

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

OYAK ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA - SİVAS - TEKİRDAĞ - ZONGULDAK 7 NİSAN 2012

OYAK ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA - SİVAS - TEKİRDAĞ - ZONGULDAK 7 NİSAN 2012 OYAK TÜBİTAK BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI OYAK MATEMATİK YARIŞMASI FİNAL SINAVI ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA - SİVAS - TEKİRDAĞ

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı