30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )"

Transkript

1 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x 3 ) ) L : R 4 R 3, L(x, x, x 3, x 4 ) = (x x 3 + x 4, x 3x 3 + x 4, x + x + x 3 ) 3) L : P x R 3, L(a + a x + a x ) = (a, a, a ) 4) L : P n x R, L(a + a x + a ( x a n x) n + a n x n ) = x(a + a x (n )a n x n + na n x n ) + a 5) L : R R x x, L = (x x 3 x + x 4, x + x 3 ) 4 Çözüm: ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x, x + x 3x 3 ) Verilen dönüşümün lineer olduğunu göstermek için her x = (x, x, x 3 ), y = (y, y, y 3 ) R 3 vektörleri ve a, b R skalerleri için L(ax + by) = al(x) + bl(y) olduğunu gösterecğiz. al(x) = a( 3x + x 3 4x, x + x 3x 3 ) = ( a3x + ax 3 4ax, ax + ax 3ax 3 ) bl(y) = b( 3y + y 3 4y, y + y 3y 3 ) = ( b3y + by 3 4by, by + by 3by 3 ) al(x) + bl(y) = ( a3x + ax 3 4ax 3by + by 3 4by, ax + ax 3ax 3 by + by 3by 3 ) () L(ax + by) = ( a3x + ax 3 4ax b3y + by 3 4by, ax + ax 3ax 3 by + by 3by 3 ) () () ve () denklemleri eşit olduğundan verilen dönüşüm lineerdir. ) L : R 4 R 3, L(x, x, x 3, x 4 ) = (x x 3 + x 4, x 3x 3 + x 4, x + x + x 3 ) Verilen dönüşümün lineer olduğunu göstermek için her x = (x, x, x 3, x 4 ), y = (y, y, y 3, y 4 ) R 3 vektörleri ve a, b R skalerleri için L(ax + by) = al(x) + bl(y) olduğunu gösterecğiz. al(x) = a(x x 3 + x 4, x 3x 3 + x 4, x + x + x 3 ) = (ax ax 3 + ax 4, ax 3ax 3 + ax 4, ax + ax + ax 3 ) bl(y) = b(y y 3 + y 4, y 3y 3 + y 4, y + y + y 3 ) = (by by 3 + by 4, by 3by 3 + by 4, by + by + by 3 ) al(x) + bl(y) = (ax ax 3 + ax 4 + by by 3 + by 4, ax 3ax 3 + ax 4 by 3by 3 + by 4, ax + ax + ax 3 + by + by + by 3 ) L(ax + by) = ( a3x + ax 3 4ax 4 b3y + by 3 4by 4, (4) ax + ax 3ax 3 by + by 3by 3 ) (3) ve (4) denklemleri eşit olduğundan verilen dönüşüm lineerdir. 3) L : P x R 3, L(a + a x + a x ) = (a, a, a ) Verilen dönüşümün lineer olduğunu göstermek için her f(x) = a + a x + a x, g(x) = b + b x + b x P x vektörleri ve A, B R skalerleri için L(Af(x) + Bg(x)) = AL(f(x)) + BL(g(x)) olduğunu gösterecğiz. AL(f(x)) = A(a, a, a ) = (Aa, Aa, Aa ) BL(g(x)) = B(b, b, b ) = (Bb, Bb, Bb ) AL(f(x)) + BL(g(x)) = (Aa + Bb, Aa + Bb, Aa + Bb ) (5) L(Af(x) + Bg(x)) = L(Aa + Bb + Aa x + Bb x + Aa x + Bb x ) = (Aa + Bb, Aa + Bb, Aa + Bb ) (6) (3)

2 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II D (5) ve (6) denklemleri eşit olduğundan verilen dönüşüm lineerdir. 4) L : P n x R, L(a + a x + a x a n x n + a n x n ) = x(a + a x (n )a n x n + na n x n ) + a Verilen dönüşümün lineer olduğunu göstermek için her f(x) = a + a x + a x a n x n + a n x n, g(x) = b + b x + b x b n x n + b n x n P n x vektörleri ve A, B R skalerleri için L(Af(x) + Bg(x)) = AL(f(x)) + BL(g(x)) olduğunu gösterecğiz. AL(f(x)) = A(x(a + a x (n )a n x n + na n x n ) + a ) = Ax(a + a x (n )a n x n + na n x n ) + a BL(g(x)) = B(x(b +b x+...+(n )b n x n +nb n x n )+b ) = Bx(b +b x+...+(n )b n x n + nb n x n ) + b AL(f(x)) + BL(g(x)) = Ax(a + a x (n )a n x n + na n x n ) + a +Bx(b + b x (n )b n x n + nb n x n ) + b (7) L(Af(x) + Bg(x)) = L(A(a + a x + a x a n x n + a n x n ) + B(b + b x + b x b n x n + b n x n )) = L(Aa + Bb + (Aa + Bb )x + (Aa + Bb )x (Aa n + Bb n )x n + (Aa n + Bb n )x n ) = xaa + Bb + (Aa + Bb )x Ana n + Bnb n )x n + Aa + Bb (8) (7) ve (8) denklemleri ( eşit olduğundan ) verilen dönüşüm lineerdir. 5) L : R R x x, L = (x x 3 x + x 4, x + x 3 ) 4 x x Verilen dönüşümün lineer olduğunu göstermek için her A = x 3 x 4, B = ve a, b R skalerleri için L(Aa + Bb) = al(a) + bl(b) olduğunu gösterecğiz. al(a) = a(x + x 4, x + x 3 ) = (ax + ax 4, ax + ax 3 ) bl(b) = b(y + y 4, y + y 3 ) = (by + by 4, by + by 3 ) L(aA + bb) y y matrisleri y 3 y 4 al(a) + bl(b) = (ax + ax 4 + by + by 4, ax + ax 3 + by + by 3 ) (9) ( ) ax ax = L by by + = (ax ax 3 ax 4 by 3 by + by + ax 4 + by 4, ax + by + ax 3 + by 3 ) () 4 (9) ve () denklemleri eşit olduğundan verilen dönüşüm lineerdir. Soru II: Aşağıda verilen lineer dönüşümlerin a) Çekirdeğini, çekirdeğinin bir bazını (tabanını ) ve sıfırlığını (dim Ker L) yi bulunuz. b) Görüntü kümesini, görüntü kümesinin bir bazını (tabanını ) ve rankını (dim Im L) yi bulunuz. c) Tanım kümesinin boyutunu bulunuz. Bu dönüşümler (bire bir) ve örten midir? ) k R + olmak üzere L : R R ile tanımlı L(x, x ) = (kx, kx ) fonksiyonu ) L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x, x, x 3 ) = (x x 3, x + x 3, x ) fonksiyonu 3) A = 3 olmak üzere L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 6 4) A = 3 olmak üzere L : R R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 5 5) Düzlemin her bir noktasını bu noktanın y eksenine göre simetriğine dönüstüren fonksiyon L : R R 6) Düzlemin her bir noktasını O noktası çevresinde θ radyan döndüren L : R R ile tanımlı L(x, x ) = (x cos θ x sin θ, x sin θ + x cos θ) fonksiyonu. (A = olmak üzere bu dönüşüm L(x) = Ax şeklinde de tanımlanır.) Çözüm: ) k R + olmak üzere L : R R ile tanımlı L(x, x ) = (kx, kx ) fonksiyonu

3 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYARMATEMATİK BÖLÜMÜLİNEER CEBİR-II DE a) KerL = {x R L(x) = R }, R = (, ) ve L(x) = (kx, kx ) = (, ) olacağından (x, x ) = (, ) dır. Yani çekirdek uzayı sadece sıfır elemanından oluşur. Çekirdek uzayını üreten bir küme yoktur, yani çekirdek uzayının bir tabanı B =. Çekirdek uzayının boyutu=l nin sıfırlığı = dimkerl =. b) ImL = {y R x R öyle ki L(x) = y} L(x) = (kx, kx ) = (y, y ) y = kx, y = kx, x, x R olacağından sistemin genel çözümü y = x y + x dir. v =, v = vektörleri görüntü uzayını üretirler. Ayrıca c v + c v = denklemi sadece c = c = için sağlandığından v, v vektörleri lineer bağımsızdır, yani B = {v, v } kümesi görüntü uzayının bir bazını (tabanını) oluştururlar. Bu durumda Görüntü kümesinin boyutu=im L nin boyutu= dim ImL = c) Tanım kümesinin boyutu= dim R = dim KerL + dim ImL = + = dir. L dönüşümü dir çünkü KerL = dır. L dönüşümü örtendir çünkü dim R = dim ImL dir. ) L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x, x, x 3 ) = (x x 3, x + x 3, x ) fonksiyonu a) KerL = {x R 3 L(x) = R 3} R 3 = (,, ) ve L(x) = (x x 3, x + x 3, x ) = (,, ) olacağından (x, x, x 3 ) = (,, ) dır. Yani çekirdek uzayı sadece sıfır elemanından oluşur. Çekirdek uzayını üreten bir küme yoktur, yani çekirdek uzayının bir tabanı B =. Çekirdek uzayının boyutu=l nin sıfırlığı = dimkerl =. b) ImL = {y R 3 x R 3 öyle ki L(x) = y} L(x) = (x x 3, x + x 3, x ) = (y, y, y 3 ) y = x x 3, y = x + x 3, y 3 = x, x, x, x 3 R olacağından sistemin genel çözümü y y = x + x + x 3 dir. y 3 v =, v =, v 3 = vektörleri görüntü uzayını üretirler. Ayrıca c v + c v + c 3 = denklemi sadece c = c = c 3 = için sağlandığından v, v, v 3 vektörleri lineer bağımsızdır, yani B = {v, v, v 3 } kümesi görüntü uzayının bir bazını (tabanını) oluştururlar. Bu durumda Görüntü kümesinin boyutu=im L nin boyutu= dim ImL = 3 c) Tanım kümesinin boyutu= dim R 3 = dim KerL + dim ImL = + 3 = 3 dir. L dönüşümü dir çünkü KerL = dır. L dönüşümü örtendir çünkü dim R 3 = dim ImL dir. 3) A = 3 olmak üzere L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 6 a) KerL = {x = (x, x, x 3 ) R 3 L(x) = R 3} R 3 = (,, ) ve L(x) = Ax = 3 x x = x x 3 x + x + 3x 3 = 6 x 3 x + x + 6x 3 çözümü x x = dır. x 3 = x 3 5 olacağından sistemin genel v = 5, vektörü çekirdek uzayını üretir. Ayrıca v vektörü lineer bağımsızdır, yani B = {v } kümesi çekirdek uzayının bir bazını (tabanını) oluşturur. Bu durumda Çekirdek uzayının boyutu=l nin sıfırlığı = dim KerL = b) ImL = {y R 3 x R 3 öyle ki L(x) = y}

4 4 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II D y = L(x) = Ax = genel çözümü y y = x y x x x x 3 + x 3 6 = dir. x x 3 x + x + 3x 3 x + x + 6x 3 = y y y 3 olacağından sistemin v =, v =, v 3 = vektörleri görüntü uzayını üretirler. Ayrıca sadece v, v 6 lineer bağımsızdır, yani B = {v, v } kümesi görüntü uzayının bir bazını (tabanını) oluştururlar. Bu durumda Görüntü kümesinin boyutu=im L nin boyutu= dim ImL = Dikkat edilirse görüntü uzayının bir üreteci {v, v, v 3 }, verilen A matrisinin sütunlarıdır. Görüntü uzayının bir tabanı {v, v } ise, verilen A matrisinin lineer bağımsız sütunlarıdır. c) Tanım kümesinin boyutu= dim R 3 = dim KerL + dim ImL = + = 3 dir. L dönüşümü değildir çünkü KerL dır. L dönüşümü örten değildir çünkü dim = 3 = R 3 dim ImL = dir. 4) A = 3 olmak üzere L : R R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 5 a) KerL = {x = (x, x ) R L(x) = R 3} R 3 = (,, ) ve L(x) = Ax = 3 x = x + x 3x x = olacağından sistemin genel çözümü 5 5x x x = = dır. x Yani çekirdek uzayı sadece sıfır elemanından oluşur. Çekirdek uzayını üreten bir küme yoktur, yani çekirdek uzayının bir tabanı B =. Bu durumda Çekirdek uzayının boyutu=l nin sıfırlığı = dim KerL = b) ImL = {y R 3 x R 3 öyle ki L(x) = y} y = L(x) = Ax = 3 x = x 5 y y = x x x + x 3x 5x x = y y y 3 olacağından sistemin genel çözümü dir. v = 3, v = vektörleri görüntü uzayını üretirler. y 3 5 Yani görüntü uzayının bir üreteci {v, v }, verilen A matrisinin sütunlarıdır. Görüntü uzayının bir tabanı {v, v }, verilen A matrisinin lineer bağımsız sütunlarıdır. Görüntü kümesinin boyutu=im L nin boyutu= dim ImL = c) Tanım kümesinin boyutu= dim R = dim KerL + dim ImL = + = dir. L dönüşümü dir çünkü KerL = dır. L dönüşümü örten değildir çünkü dim R 3 dim ImL dir. 5) Düzlemin her bir noktasını bu noktanın y eksenine göre simetriğine dönüştüren fonksiyon L : R R, her x = (x, x ) R için L(x) = L(x, x ) = ( x, x ) dir. a) KerL = {x = (x, x ) R L(x) = R } R = (, ) ve L(x) = L(x, x ) = ( x, x ) = (, ) olacağından (x, x ) = (, ) Yani çekirdek uzayı sadece sıfır elemanından oluşur. Çekirdek uzayını üreten bir küme yoktur, yani çekirdek uzayının bir tabanı B =. Bu durumda Çekirdek uzayının boyutu=l nin sıfırlığı = dim KerL = b) ImL = {y R x R öyle ki L(x) = y} y = L(x) = ( x, x ) = (y, y ) olacağından sistemin genel çözümü y = x y + x dir. v =, v = vektörleri görüntü uzayını üretirler. Ayrıca c v + c v = denklemi sadece c = c = için sağladığından v, v lineer bağımsızdırlar. Yani görüntü uzayının bir tabanı {v, v } dır. Görüntü kümesinin boyutu=im L nin boyutu= dim ImL =

5 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYARMATEMATİK BÖLÜMÜLİNEER CEBİR-II DE c) Tanım kümesinin boyutu= dim R = dim KerL + dim ImL = + = dir. L dönüşümü dir çünkü KerL = dır. L dönüşümü örtendir çünkü dim R = dim ImL dir. 6) Düzlemin her bir noktasını O noktası çevresinde θ radyan döndüren L : R R ile tanımlı L(x, x ) = (x cos θ x sin θ, x sin θ + x cos θ) fonksiyonu. (A = olmak üzere bu dönüşüm L(x) = Ax şeklinde de tanımlanır.) a) KerL = {x = (x, x ) R L(x) = R } R = (, ) ve Her θ R için L(x) = L(x, x ) = (x cos θ x sin θ, x sin θ+x cos θ) = (, ) olacağından (x, x ) = (, ) x x cos θ x. Yol: L(x) = L(x, x ) = Ax = = sin θ = ise x x sin θ + x cos θ x = x Yani çekirdek uzayı sadece sıfır elemanından oluşur. Çekirdek uzayını üreten bir küme yoktur, yani çekirdek uzayının tabanı B =. Bu durumda Çekirdek uzayının boyutu=l nin sıfırlığı = dim KerL = b) ImL = {y R x R öyle ki L(x) = y} y = L(x) = (x cos θ x sin θ, x sin θ + x cos θ) = Ax = (y, y ) olacağından cosθ sinθ v =, v sinθ = vektörleri görüntü uzayını üretirler. Ayrıca c cosθ v +c v = denklemi sadece c = c = için sağladığından v, v lineer bağımsızdırlar. Yani görüntü uzayının bir tabanı {v, v } dır. Görüntü kümesinin boyutu=im L nin boyutu= dim ImL = c) Tanım kümesinin boyutu= dim R = dim KerL + dim ImL = + = dir. L dönüşümü dir çünkü KerL = dır. L dönüşümü örtendir çünkü dim R = dim ImL dir. Soru III: Aşağıda verilen lineer dönüşümlerin verilen tabanlara göre matrislerini bulunuz. ) k R + olmak üzere L : R R ile tanimlı L(x, x ) = (kx, kx ) fonksiyonu b) B = {(, 3), (4, 5)} ve C = {(, ), (, 3)} tabanlarına göre ) L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x, x, x 3 ) = (x x 3, x + x 3, x ) fonksiyonu b) B = {(,, 3), (4, 5, 6), (,, 6)} ve C = {(,, 3), (4,, 6), (,, )} tabanlarına göre 3) A = 3 olmak üzere L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 6 b) B = {(,, 3), (4, 5, 6), (,, 6)} ve C = {(,, 3), (4,, 6), (,, )} tabanlarına göre 4) A = 3 olmak üzere L : R R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 5 b) B = {(, ), (4, 5)} ve C = {(,, 3), (4,, 6), (,, )} tabanlarına göre 5) Düzlemin her bir noktasını bu noktanın y eksenine göre simetriğine dönüstüren fonksiyon L : R R b) B = {(, ), (4, 5)} ve C = {(, ), (, 6)} tabanlarına göre 6) Düzlemin her bir noktasını O noktası çevresinde θ radyan döndüren L : R R ile tanımlı L(x, x ) = (x cos θ x sin θ, x sin θ + x cos θ) fonksiyonu. (A = olmak üzere bu dönüşüm L(x) = Ax şeklinde de tanımlanır.) b) B = {(4, 6), (, 6)} ve C = {(, 3), (, )} tabanlarına göre Çözüm: ) k R + olmak üzere L : R R ile tanimlı L(x, x ) = (kx, kx ) fonksiyonu

6 6 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II D a) R nin standart tabanı B = {e = (, ), e = (, )} = C dir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüsümü altındaki görüntülerini bulalım. L(e ) = L(, ) = (k, ) = γ ve L(e ) = L(, ) = (, k) = γ dir. Şimdi γ, γ vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c e + c e ya da bu sisteme denk olarak γ = d e + d e k sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matris birim matris olduğundan sağ taraftaki k matris aradığımız A matrisidir. b) Tanım uzayının bir tabanı B = {(, 3), (4, 5)} ve görüntü uzayının bir tabanı C = {(, ), (, 3)} olarak verilmiştir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüsümü altındaki görüntülerini bulalım. L(, 3) = (k, 3k) = γ, L(4, 5) = (4k, 5k) = γ dir. Şimdi γ, γ vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c (, ) + c (, 3) γ = d (, ) + d (, 3) k 4k sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matrisi satır işlemleri uygulayarak 3 3k 5k birim matrise indirgeyeceğiz ve bu işlemler sonunda sağ tarafta oluşan matris aradığımız A matrisidir. k 4k R R k 4k R +R R k 4k 3 3k 5k 3 3k 5k 3 7k 3k R /3 R k 4k 7k/3 3k/3 k 4k C D I A olduğundan A = dir. 7k/3 3k/3 ) L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x, x, x 3 ) = (x x 3, x + x 3, x ) fonksiyonu a) R 3 nin standart tabanı B = {e = (,, ), e = (,, ), e 3 = (,, )} = C dir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüşümü altındaki görüntülerini bulalım. L(e ) = L(,, ) = (,, ) = γ, L(e ) = L(,, ) = (,, ) = γ ve L(e 3 ) = L(,, ) = (,, ) dir. Şimdi γ, γ, γ 3 vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c e + c e + c 3 e 3 γ = d e + d e + d 3 e 3 γ 3 = f e + f e + f 3 e 3 sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matris birim matris olduğundan sağ taraftaki matris aradığımız A matrisidir. b) Tanım uzayının bir tabanı B = {(,, 3), (4, 5, 6), (,, 6)} ve görüntü uzayının bir tabanı C = {(,, 3), (4,, 6), (,, )} olarak verilmiştir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüsümü altındaki görüntülerini bulalım. L(,, 3) = (,, ) = γ, L(4, 5, 6) = (,, 4) = γ, L(,, 6) = ( 5, 4, ) = γ 3 dir. Şimdi γ, γ, γ 3 vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c (,, 3) + c (4,, 6) + c 3 (,, ) γ = d (,, 3) + d (4,, 6) + d 3 (,, ) γ 3 = f (,, 3) + f (4,, 6) + f 3 (,, ) sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matrisi satır işlemleri uygulayarak birim matrise indirgeyeceğiz ve bu işlemler sonunda sağ tarafta oluşan matris aradığımız A matrisidir. 3) A = 3 olmak üzere L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 6 a) R 3 nin standart tabanı B = {e = (,, ), e = (,, ), e 3 = (,, )} = C dir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüşümü altındaki görüntülerini bulalım.

7 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYARMATEMATİK BÖLÜMÜLİNEER CEBİR-II DE L(e ) = Ae = (,, ) = γ, L(e ) = Ae = (,, ) = γ, dir. L(e 3 ) = Ae 3 = (, 3, 6) = γ 3 Şimdi γ, γ, γ 3 vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c e + c e + c 3 e 3 γ = d e + d e + d 3 e 3 γ 3 = f e + f e + f 3 e 3 3 sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matris birim matris olduğundan 6 sağ taraftaki matris aradığımız A matrisidir. Diğer bir deyişle, eğer L lineer dönüşümü bir K matrisi yardımıyla ve görüntü uzayı standart taban ile veriliyor ise bu dönüşümün matrisi A = K dır. b) Tanım uzayının bir tabanı B = {(,, 3), (4, 5, 6), (,, 6)} ve görüntü uzayının bir tabanı C = {(,, 3), (4,, 6), (,, )} olarak verilmiştir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüşümü altındaki görüntülerini bulalım. L(,, 3) = A(,, 3) = ( 4,, 4) = γ, L(4, 5, 6) = A(4, 5, 6) = ( 7, 7, 54) = γ, L(,, 6) = A(,, 6) = (,, 4) = γ 3 dir. Şimdi γ, γ, γ 3 vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c (,, 3) + c (4,, 6) + c 3 (,, ) γ = d (,, 3) + d (4,, 6) + d 3 (,, ) γ 3 = f (,, 3) + f (4,, 6) + f 3 (,, ) sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matrisi satır işlemleri uygulayarak birim matrise indirgeyeceğiz ve bu işlemler sonunda sağ tarafta oluşan matris aradığımız A matrisidir. 4) A = 3 olmak üzere L : R R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 5 a) R 3 nin standart tabanı B = {e = (,, ), e = (,, ), e 3 = (,, )} = C dir. Verilen L lineer dönüşümü bir K matrisi yardımıyla ve görüntü uzayı standart taban ile verildiğinden bu dönüşümün matrisi A = K dır. b) Tanım uzayının bir tabanı B = {(, ), (4, 5)} ve görüntü uzayının bir tabanı C = {(,, 3), (4,, 6), (,, olarak verilmiştir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüşümü altındaki görüntülerini bulalım. L(, ) = A(, ) = (4, 3, ) = γ, L(4, 5) = A(4, 5) = (3,, ) = γ, dir. Şimdi γ, γ vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c (,, 3) + c (4,, 6) + c 3 (,, ) γ = d (,, 3) + d (4,, 6) + d 3 (,, ) sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matrisi satır işlemleri uygulayarak 3 6 birim matrise indirgeyeceğiz ve bu işlemler sonunda sağ tarafta oluşan matris aradığımız A matrisidir. 5) L : R R dönüşümü her x = (x, x ) için L(x) = L(x, x ) = ( x, x ) olarak tanımlanıyor. a) R nin standart tabanı B = {e = (, ), e = (, )} = C dir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüsümü altındaki görüntülerini bulalım. L(e ) = L(, ) = (, ) = γ ve L(e ) = L(, ) = (, ) = γ dir. Şimdi γ, γ vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c e + c e γ = d e + d e ya da bu sisteme denk olarak

8 8 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II D sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matris birim matris olduğundan sağ taraftaki matris aradığımız A matrisidir. Yani L(x) = Ax dir. b) Tanım uzayının bir tabanı B = {(, ), (4, 5)} ve görüntü uzayının bir tabanı C = {(, ), (, 6)} olarak verilmiştir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüsümü altındaki görüntülerini bulalım. L(, ) = (, ) = γ, L(4, 5) = ( 4, 5) = γ dir. Şimdi γ, γ vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c (, ) + c (, 6) γ = d (, ) + d (, 6) 4 sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matrisi satır işlemleri uygulayarak 6 5 birim matrise indirgeyeceğiz ve bu işlemler sonunda sağ tarafta oluşan matris aradığımız A matrisidir. 4 R +R R 4 R R R / 4+R R 9/4 R /4 R 9/ /4 9/4 C D I A olduğundan A = dir. Yani L(x) = Ax dır. 3/4 6) Düzlemin her bir noktasını O noktası çevresinde θ radyan döndüren L : R R ile tanımlı L(x, x ) = (x cos θ x sin θ, x sin θ + x cos θ) fonksiyonu. (A = olmak üzere bu dönüşüm L(x) = Ax şeklinde de tanımlanır.) a) R nin standart tabanı B = {e = (, ), e = (, )} = C dir. Verilen L lineer dönüşümü K = matrisiyle ve görüntü uzayı standart taban ile verildiğinden bu dönüşümün matrisi A = K dır. b) B = {(4, 6), (, 6)} ve C = {(, 3), (, )} tabanlarına göre Tanım uzayının bir tabanı B = {(4, 6), (, 6)} ve görüntü uzayının bir tabanı C = {(, 3), (, )} olarak verilmiştir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüsümü altındaki görüntülerini bulalım. L(, ) = (cos θ sin θ, sin θ + cos θ) = γ, L(4, 5) = (4 cos θ 5 sin θ, 4 sin θ + 5 cos θ) = γ dir. Şimdi γ, γ vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c (, 3) + c (, ) γ = d (, 3) + d (, ) cos θ 5 sin θ sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matrisi satır 3 sin θ + cos θ 4 sin θ + 5 cos θ işlemleri uygulayarak birim matrise indirgeyeceğiz ve bu işlemler sonunda sağ tarafta oluşan matris aradığımız A matrisidir. cos θ 5 sin θ 3R +R R cos θ 5 sin θ 3 sin θ + cos θ 4 sin θ + 5 cos θ 3 cos θ + 7 sin θ cos θ + 9 sin θ R /3+R R 3 cos θ + 3 sin θ 5 3 cos θ sin θ 3 cos θ + 7 sin θ cos θ + 9 sin θ R / 3 R 3 cos θ + 3 sin θ 5 3 cos θ sin θ 3 cos θ sin θ 3 cos θ sin θ C D I A olduğundan A = 3 cos θ + 3 sin θ 5 3 cos θ sin θ 3 cos θ sin θ 3 cos θ sin θ dir. Yani L(x) = Ax dır.

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır. ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR. UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ LİNEER CEBİR DERSİ 0 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.İNAN ÜNAL www.inanunal.com UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 3 Araliık 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 2: Bitiş Saati: 3:4 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 8 Ocak 28 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 4: Bitiş Saati: 5:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS . Sayı Mayıs 6 A COMMTATIVE MLTIPLICATION OF DAL NMBER TRIPLETS L.KLA * & Y.YAYLI * *Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Bölümü 6 Tandoğan-Ankara, Türkiye ABSTRACT Pfaff [] using quaternion product

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 9 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır?

1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır? 99 ÖYS.,8 + (, + ), işleminin sonucu kaçtır? B) 7 D) 86 987 B) D). a, b, c birer pozitif gerçel sayı ve a=b b=c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

DERS: MATEMATİK I MAT101(04)

DERS: MATEMATİK I MAT101(04) DERS: MATEMATİK I MAT0(0) ÜNİTE: FONKSİYONLAR KONU:. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR Öncelikle açı ölçü birimlerine göz atalım: Bilindiği gibi bir tam açının ölçüsü 0 derecedir. Diğer bir açı ölçü birimi de

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

Fen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi

Fen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi EN LİSELERİ, SOSYL İLİMLER LİSELERİ,SPOR LİSELERİ,NDOLU LİSELERİ ÖĞRETMENLERİNİN SEÇME SINVIN HZIRLIK DENEME SINVI. 2 HZIRLYN : İ:K(2008) idensu@gmail.com kuscuogluibrahim@gmail.com http://idensu.googlepages.com

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer 11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır. -A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Küresel Koordinatlar Silindirik Koordinatları Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi

Detaylı

KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN

KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN Giriş Bilgi teknolojisindeki gelişmeler ve verilerin dijital ortamda saklanmaya başlanması ile yeryüzündeki bilgi miktarı her 20 ayda iki katına

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3 p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A

Detaylı

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =? TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur. Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7 998 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal sayısının 7 katı, iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir? orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı

Detaylı

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN LİNEER CEBİR Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN 1.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER LİNEER EŞİTLİKLER 1.1. LİNEER EŞİTLİKLERİN TANIMI x 1, x 2,...,

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

Lineer Cebir (MATH 275) Ders Detayları

Lineer Cebir (MATH 275) Ders Detayları Lineer Cebir (MATH 275) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Lineer Cebir MATH 275 Her İkisi 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Yok Dersin Dili Dersin

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1 II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,

Detaylı

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular

FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular Ad ve Soyad : Numaras : FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular 30.11.2007 1. Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) (X; kk) bir normlu uzay ve M bunun

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR.

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR. Ö S Y M T.C. YÜKSEKÖĞRETİM KURULU ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME MERKEZİ LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 BU SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 LYS MATEMATİK

Detaylı

11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI

11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI 11. SINIF MATEMATİK DERSİ İLERİ DÜZEY ÖĞRETİM PROGRAMI Programın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 11. sınıf matematik öğretim programı ilişkisi Modelleme/Problem çözme Matematiksel Süreç

Detaylı

Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss

Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss Jordan Yöntemi ve Uygulaması Performans Ölçümü 2 Bu çalışmada,

Detaylı

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

OYAK ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA - SİVAS - TEKİRDAĞ - ZONGULDAK 7 NİSAN 2012

OYAK ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA - SİVAS - TEKİRDAĞ - ZONGULDAK 7 NİSAN 2012 OYAK TÜBİTAK BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI OYAK MATEMATİK YARIŞMASI FİNAL SINAVI ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA - SİVAS - TEKİRDAĞ

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Resim düzlemi O : İzdüşüm (projeksiyon ) merkezi P : Arazi noktası H : Asal nokta N : Nadir noktası c : Asal uzaklık H OH : Asal eksen (Alım ekseni) P OP :

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Soru Toplam Puanlama Alınan Puan

Soru Toplam Puanlama Alınan Puan 18.11.2013 No: Ad-Soyad: İmza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 20 20 20 20 20 20 20 20 100 Alınan Puan 405024142006.1 CEBİRSEL TOPOLOJİ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI (ÖRGÜN ÖĞRETİM) Not: Süre 90

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

Gravite alanı belirlemede modern yaklaşımlar

Gravite alanı belirlemede modern yaklaşımlar Gravite alanı belirlemede modern yaklaşımlar Lisansüstü Ders Notları Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Harita Mühendisliği austun@selcuk.edu.tr Konya, 2016 A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM. ir küpün ayrıtlarını taşıyan doğrular kaç farklı doğrultu oluşturur? ) ) ) D) 7 E) 8. ir düzgün altıgenin en uzun köşegeni ile aynı doğrultuda kaç farklı kenar vardır?. şağıdaki

Detaylı

GAP (Grup, Algoritma ve Programlama)

GAP (Grup, Algoritma ve Programlama) Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara Grup/Temsil Kuramından Kesitler Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 08 Şubat 2010 GAP ne için kullanılır? Yapılacak ispatların doğruluğunu bazı gruplar üzerinde denemek

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1 Ders 11: Örnekler 11.1 Kulplarla inşalar Bu bölümde kulpları birbirine yapıştırıp tanıdık manifoldlar elde edeceğiz. Artık bu son ders. Özellikle dersin ikinci bölümünde son meyveleri toplamak adına koşarak

Detaylı

12.SINIF A VE B GRUBU MATEMATİK-GEOMETRİ DERSİ KURS KONULARI VE TESTLERİ

12.SINIF A VE B GRUBU MATEMATİK-GEOMETRİ DERSİ KURS KONULARI VE TESTLERİ .SINIF A VE B GRUBU MATEMATİK-GEOMETRİ DERSİ KURS KONULARI VE TESTLERİ A-TEST SAYILAR- TEMEL KAVRAMLAR A-TEST SAYILAR- POLİNOMLAR B-TEST POLİNOMLAR- PARALEL DOĞRULARDA VE ÜÇGENDE AÇILAR A- B TEST PARALEL

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Özet: Açısal momentumun türetimi. Açısal momentum değiştirme bağıntıları. Artırıcı ve Eksiltici İşlemciler Kuantum Fiziği Ders XXI

Özet: Açısal momentumun türetimi. Açısal momentum değiştirme bağıntıları. Artırıcı ve Eksiltici İşlemciler Kuantum Fiziği Ders XXI Özet: Açısal momentumun türetimi Açısal momentum değiştirme bağıntıları Levi- Civita simgesi Genel olarak, L x, L y, L z, nin eşzamanlı özdurumları yoktur L 2 ve bir bileşeni (L z ) nin eşzamanlı özdurumlarıdır.

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı