PERDE-ÇERÇEVE SİSTEMLERİN. YÜKSEK LISANS TEZI İnş. Müh. Bedri Sinan GÜL Prof.Dr. Yalçın AKÖZ (Maltepe Üniversitesi)

Transkript

1 İSTANBU TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİİMERİ ENSTİTÜSÜ PERDE-ÇERÇEVE SİSTEMERİN DİNAMİK ANAİZİ YÜKSEK SANS TEZ İş. Mü. Bedr Sa GÜ 53 Tez Esttüye Verldğ Tar : 8 Mayıs Tez Savuulduğu Tar : Hazra Tez Daışmaı : Dğer Jür Üyeler Prof.Dr. İbram BAKRTAŞ (İ.T.Ü) Prof.Dr. Memet BAKİOĞU (İ.T.Ü) Prof.Dr. Yalçı AKÖZ (Maltepe Üverstes) HAZİRAN

2 ÖNSÖZ Bu çalışma azırlaırke yaptıkları katkılarıda dolayı, tez daışmaım Prof. Dr. İbram BAKRTAŞ başta olmak üzere, Prof. Dr. Zeka EEP, Arş.Gör. Murat YMAZ a ve öğreclk ayatım boyuca madd ve maev destekler esrgemeye değerl aleme teşekkür eder saygılar suarım. Mayıs Bedr Sa GÜ

3 İÇİNDEKİER KSATMAAR TABO İSTESİ ŞEKİ İSTESİ SEMBO İSTESİ ÖZET SUMMARY v v v x x x. GİRİŞ ve ÇAŞMANN AMA. YAP DİNAMİĞİNİN TEME BİGİERİ.. Damk Problem Özellkler.. Tek Serbestlk Derecel Sstemler 3... Söümsüz Serbest Ttreşm 3... Geger Formülü 5... Söümlü Serbest Ttreşm 5... Söümlü ttreşm 7... Ttreşmsz Söüm ogartmk Azalım Söümsüz Zorlamış Ttreşm..3.. Harmok Yük Altıda Söümsüz Zorlamış Ttreşm Damk Büyütme Çarpaı A Uygulaa Kuvvet Altıda Söümsüz Zorlamış Ttreşm Söümlü Zorlamış Ttreşm Harmok Yük Etksde Söümlü Zorlamış Ttreşm A Yük Etksde Söümlü Zorlamış Ttreşm.3. Çok Serbestlk Derecel Sstemler 7.3. Toplu Kütlel Sstem Söümsüz Serbest Ttreşm Ortogoallk Özellğ Normalzasyo Zorlamış Ttreşm-Mod Brleştrme Yötem 9.4. Ssmk Kuvvetler.4. Tek Serbestlk Derecel Sstemler.4. Çok Serbestlk Derecel Yapılar.4... Hesaba Katılacak Yeterl Ttreşm Modu Sayısı 3.5. Rjtlk Matrs Oluşturulması 3.5. Elema Rjtlk Matrslerde Faydalaarak Oluşturma 3.5. Geel Rjtlk Matrs Drekt Oluşturma 9.. Statk İdrgeme Yötem 3

4 3. ÇOK KAT YAPARN ANAİZERİ İÇİN YAKAŞK YÖNTEMER Tek Açıklık Yötem Momet Sıfır Noktası Yaklaşımı Sürekl Ortam Yaklaşımı Eşdeğer Çerçeve Yötem BETONARME PERDE ve ÖZEİKERİ Betoarme Perde ve Kullaım Amaçları Perdeler Matematk Modellemes Boşluksuz Perdeler Boşluksuz Perdeler Üzerde Kesme Kuvvet Etks Zem Deformasyou Etkler Perdeler Blgsayar Modellemes Boşluklu Perdeler Boşluklu Perde Eşdeğer Çerçeve Olarak İdealleştrlmes Krşsz Perde Çftler 5 5. PERDE-ÇERÇEVE TAŞY SİSTEMER Perde-Çerçeve Karma Sstemler Davraışı Eşdeğer Çerçeve Yötem İle Ser Bağlı Çerçeve Açılımı Metodu Yatay Yükler Dağılımı Eşdeğer Deprem Yükü Hesabı ve R Katsayısı Belrlemes 58. SAYSA ÖRNEK 59.. El İle Yaklaşık Yötemler Kullaarak Hesap.. SAP Paket Programı Yardımı le Hesap 83.. Modellemede Yapıla Kabuller Aalz souçları ANAİZERİN KARŞAŞTRMAS ve SONUÇAR Aalzler Karşılaştırılması 87.. Souçlar 89 KAYNAKAR 93 EKER 94 ÖZGEÇMİŞ v

5 KSATMAAR TSD ÇSDS MSN ABYYHY RM : Tek Serbestlk Derecel Sstem : Çok Serbestlk Derecel Sstem : Momet Sıfır Noktası : Afet Bölgelerde Yapıla Yapılar Hakkıda Yöetmelk : Rjtlk Matrs v

6 TABO İSTESİ Sayfa No Tablo 3. Çeştl ν değerlere karşı gele Mmax/Mko oraları 35 Tablo. Döşemeler Özağırlık Hesabı Tablo. Krşler Özağırlık Hesabı Tablo.3 Kolo ve Perdeler Özağırlık Hesabı Tablo.4 Toplam Kat Kütles Hesabı Tablo.5 Kolo Eylemszlk Mometler Hesabı Tablo. Perde Eylemszlk Mometler Hesabı Tablo.7 Tablalı Krş Atalet Mometler Hesabı 3 Tablo.8 ΣW Hesabı 7 Tablo.9 Her k Doğrultu İç A(T) Hesabı 7 Tablo. Her k Doğrultu İç Vt Hesabı 7 Tablo. R Katsayısı Belrlemes ç Gerekl αm Katsayılarıı Hesabı 77 Tablo. ΣW Hesabı 78 Tablo.3 Her İk Doğ. İç A(T) Hesabı 78 Tablo.4 Belrlee R Katsayısıa Göre Her İk Doğ. İç Vt Hesabı 78 Tablo.5 x Doğr. Eşd. Dep. Yüküü İkcl Eşd. Çer. Elemalarıa Dağıt. 79 Tablo. x Doğr. Eşd. Dep. Yüküü İkcl Eşd. Çer. Elemalarıa Dağıt. 79 Tablo.7 x Doğr. Eşd. Dep. Yüküü İkcl Eşd. Çer. Krşlere Dağıt. 79 Tablo.8 x Doğr. Eşd. Dep. Yüküü Asıl Çerçeve Elemalarıa Dağıt. 8 Tablo.9 y Doğr. Eşd. Dep. Yüküü İkcl Eşd. Çer. Elemalarıa Dağıt. 8 Tablo. y Doğr. Eşd. Dep. Yüküü İkcl Eşd. Çer. Elemalarıa Dağıt. 8 Tablo. y Doğr. Eşd. Dep. Yüküü İkcl Eşd. Çer. Krşlere Dağıt. 8 Tablo. y Doğr. Eşd. Dep. Yüküü Asıl Çerçeve Elemalarıa Dağıt. 8 Tablo.3 ΣW Hesabı 84 Tablo.4 SAP le Hesaplaa T e Göre Her İk Doğ. İçA(T) Hesabı 84 Tablo.5 Her İk Doğ. İç Vt Hesabı 84 Tablo. SAP Programı le Yapıla Aalz Souçları (x doğrultusu) 85 Tablo.7 SAP Programı le Yapıla Aalz Souçları (y doğrultusu) 8 Tablo 7. Elemalarda Meyd. Gele İç Kuvvetler Karşılaştırması (x doğr) 87 Tablo 7. Elemalarda Meyd. Gele İç Kuvvetler Karşılaştırması (y doğr) 88 Tablo 7.3 Farklı Zem Türler İç Yaklaşık Yöt-SAP Karşılaştırması 89 Tablo 7.4 Farklı Kat Yükseklkler İç Yak. Yöt-SAP Karşılaştırması 9 v

7 ŞEKİ İSTESİ Şekl. Şekl. Şekl.3 Şekl.4 Şekl.5 Şekl. Şekl.7 Şekl.8 Şekl.9 Şekl. Şekl. Şekl. Şekl.3 Şekl.4 Şekl.5 Şekl. Şekl.7 Şekl.8 Şekl.9 Şekl. Şekl. Şekl. Şekl.3 Şekl.4 Şekl.5 Şekl. Şekl 3. Şekl 3. Şekl 3.3 Şekl 3.4 Şekl 3.5 Şekl 3. Şekl 3.7 Şekl 3.8 Şekl 4. Şekl 4. Şekl 4.3 Şekl 4.4 Şekl 4.5 Şekl 4. Şekl 4.7 Statk-Damk Yükleme Söümsüz Serbest Ttreşm Geger Çubuğu Söümlü Serbest Ttreşm Krtk Söüm, Söüm Üstü ve Söüm Altı Ttreşm Ttreşml Söüm Ttreşmsz Söüm Söüm Oraıı w / w D Oraıa Etks Çeştl Söüm Oraları ç t/ T grafker ogartmk Azalım ogartmk Azalımı Gerçek ve Yaklaşık Değerler Karş. Söümsüz Zorlamış Ttreşm Harmok Yük Altıda Söümsüz Zorlamış Ttreşm Harmok Yükü Zama Bağlı Değşm Grafğ Rezoas Durumu A Tatbk Edle Yükü Zamaa Göre Değşm Grafğ Harmok Yük Altıda Söümsüz Zorlamış Ttreşm Geçc-Kararlı Ttreşm A Tatbk Edle Yükü Zamaa Göre Değşm Grafğ Toplu Kütlel Sstem Mod Şekller TSD Br Sstem Yer Hareket Etksde Davraışı Tek Açıklıklı İk Katlı Br Yapıı İdealleştrlmes Kat Sevyelerde Yığılmış Kütlel Sstem Düğüm Noktalarıda Yığılmış Kütlel Sstem Her Serbestlk Durumu İç Ortaya Çıka İç Kuvvetler Momet Sıfır Noktası Yöteme Örek Çerçeve Momet Sıfır Noktası Yöteme Örek Çerçeve Çeştl ν değerlere karşı gele ε Grafğ Sürekl Ortam Yötem Eşdeğer Çerçeve Yötem Krşlerde Momet Hesabıa İlşk Şekl Krşlerde Momet Hesabıa İlşk Şekl Mesetlerde Momet Dağılımı Perde Elema Perde Elemada Brm Kuv. Etks Soucu Oluşa İç Kuvvetler Çeştl Kestler İç Şekl Faktörler Perdelerde /H Oraıa Göre Kesme Kuvvet Etks Grafğ Perde Elemada Zem Deformasyou Etks Perde Elemada Zem Deformasyou Etks Perde Elemaı Blgsayar Model Sayfa No v

8 Şekl 4.8 Şekl 4.9 Şekl 4. Şekl 5. Şekl 5. Şekl 5.3 Şekl 5.4 Şekl 5.5 Şekl 5. Şekl 5.7 Şekl. Şekl. Şekl.3 Şekl.4 Şekl.5 Şekl 7. Şekl 7. Şekl 7.3 Şekl 7.4 Boşluklu Perde Eşdeğer Çerçeve Olarak Modellemes Bağ Krş Şekl Değştrme Eğrs Nar Döşemeler le Brleşmş Perde Çft Perde-Çerçeve Karma Taşıyıcı Sstem Davraışı Eşdeğer Çerçeve Yötem le Ser Bağlı Çerçeve Açılımı Görecel Rjtlklere Göre Perde-Çerçeve Yatay Kuvvet Görecel Rjtlklere Göre Perde-Çerçeve Momet Paylaşımı Yatay Kuvvet Paylaşımı Eşdeğer Çerçeve Yötem le Ser Bağlı Çerçeve Açılım. Ör. Eşdeğer Çerçeve Yötem le Ser Bağlı Çerçeve Açılım. Ör. Sayısal Örek. Üç Boyutlu Görüüş Sayısal Örek. Kat Plaı Sayısal Örek. Ser Bağlı Çerçeve (x doğrultusu) Sayısal Örek. İkcl Eşdeğer Çerçeve (x doğrultusu) Sayısal Örek. Ser Bağlı Çerçeve (y doğrultusu) İk Hesap Yötem İle Hesaplaa T ler Karşılaştırılması Kat Sayısı Değşme Karşı Gele T Değşm Yapıya Etkye Yatay Kuvvet Perde ve Çerçeveye Dağılımı Perde Elemalara Gele Yatay Kuvvetler Karşılaştırılması v

9 SEMBO İSTESİ A(T) = Spektral İvme Katsayısı A o = Etk Yer İvmes Katsayısı A t = Brc doğal ttreşm peryoduu esabıda kullaıla eşdeğer ala [m ] g = Yerçekm vmes (9.8 m/s ) H = Baı c katıı temel üstüde tbare ölçüle yükseklğ (Bodrum katlarıda rjt çevre perdeler buluduğu balarda c katı zem kat döşemes üstüde tbare ölçüle yükseklğ) [m] H = Baı temel üstüde tbare ölçüle toplam yükseklğ [m] = Baı c katıı kat yükseklğ = Ba Öem Katsayısı l wj = Baı temel üstüdek lk katıda j c perde, göz öüe alıa deprem doğrultusuda çalışa uzuluğu [m] M r = r c doğal ttreşm modua at modal kütle M xr = Göz öüe alıa x deprem doğrultusuda baı r c doğal ttreşm modudak etk kütle M yr = Gözöüe alıa y deprem doğrultusuda baı r c doğal ttreşm modudak etk kütle m = Baı c katıı kütles (m = w / g) N = Baı temel üstüde tbare toplam kat q = Baı c katıdak toplam areketl yük R = Taşıyıcı Sstem Davraış Katsayısı R a (T) = Deprem Yükü Azaltma Katsayısı S(T) = Spektrum Katsayısı S pa (T r ) = r c doğal ttreşm modu ç vme spektrumu ordatı [m /s ] T = Ba doğal ttreşm peryodu [s] T = Baı brc doğal ttreşm peryodu [s] T A = Baı amprk bağıtı le esaplaa brc doğal ttreşm peryodu [s] T A,T B = Spektrum Karakterstk Peryotları [s] T r, T s = Baı r c ve s c doğal ttreşm peryotları [s] F (*) = Göz öüe alıa deprem doğrultusuda baı c katıa etk ede kat kesme kuvvet V t = Eşdeğer Deprem Yükü Yötemde göz öüe alıa deprem doğrultusuda baya etkye toplam eşdeğer deprem yükü (taba kesme kuvvet) V tb = Mod Brleştrme Yötemde, göz öüe alıa deprem doğrultusuda modlara at katkıları brleştrlmes le bulua ba toplam deprem yükü (taba kesme kuvvet) W = Baı, areketl yük katılım katsayısı kullaılarak bulua toplam ağırlığı w = Baı c katıı, areketl yük katılım katsayısı kullaılarak esaplaa ağırlığı x

10 Y = Mod Brleştrme Yötemde esaba katıla yeterl doğal ttreşm modu sayısı α M (*) = Süeklk düzey yüksek perdeler tabaıda elde edle eğlme mometler toplamıı, baı tümü ç tabada meydaa gele toplam devrlme momete oraı (Perde tabaıdak eğlme mometler esabıda, perdelere düzlem çde saplaa krşler uçlarıda depremde meydaa gele kesme kuvvetler katkısı da gözöüe alıablr.) β = Mod Brleştrme Yötem le esaplaa büyüklükler alt sıırlarıı belrlemes ç kullaıla katsayı Φ = Baı j. Modu M ko = Kosol krş momet M max = Maksmum Momet k b =. krş rjtlğ k c =. kolou rjtlğ ν = Kolo-krş rjtlk oraı ε = Momet Sıfır Noktası Oraı M T = Yapıya etkye toplam momet F T = Yapıya etkye toplam kuvvet Mp = Perde elemalara etkye toplam devrlme momet Mç = Çerçevelere etkye toplam devrlme momet b =. krş eylemszlk momet c =. kolou eylemszlk momet p =. perde eylemszlk momet * = Ser bağlı çerçeve. elemaıı rjtlğ e = İkcl eşdeğer çerçeve. elemaıı rjtlğ * = İkcl eşdeğer çerçeve açıklığı x

11 PERDE-ÇERÇEVE SİSTEMERİN DİNAMİK ANAİZİ ÖZET Yed bölümde oluşa bu çalışmada, perde-çerçeve karma sstemler yatay yükler altıda aalz yapılırke, çeştl yaklaşık yötemler kullaılması durumuda gerçek souçlara e kadar yaklaşılacağı celemştr. Brc bölümde, bazı statstklere göre Türkye depremsellğ ve damk aalz depreme dayaıklı yapı tasarımı açısıda öem alatılmıştır. İkc bölümde, yapı damğ temel blgler verlmş olup, serbestlk derecelere göre sstemler serbest ve zorlamış ttreşmler celemş, areket deklemler ve rjtlk matrsler oluşturulması koularıa değlmştr. Üçücü bölümde se, çok katlı yapıları aalzlerde kullaıla yaklaşık yötemlerde ola, tek açıklık yötem, momet sıfır oktası yaklaşımı ve eşdeğer çerçeve yötem celemştr. Çalışmaı dördücü bölümüde betoarme perde kullaım amaçları, sayısal ve blgsayar model celemş, boşluksuz perdeler üzerde kesme kuvvet ve zem deformasyou etklere değlmş ve boşluklu perdeler eşdeğer çerçeve olarak dealleştrlmes alatılmıştır. Beşc bölümde perde-çerçeve karma taşıyıcı sstemler davraışı celemş, karma sstemler, eşdeğer çerçeve yötem le ser bağlı çerçeve olarak asıl dealleştrleceğ alatılmış ve bu eşdeğer çerçevede yatay yükler asıl dağıtılacağı koularıa değlmştr. Altıcı bölümde se, öcek bölümlerde değle yaklaşık yötemler kullaılarak ve SAP paket programı kullaılarak çözüle sayısal öreğe ve aalz souçlarıa yer verlmştr. Yedc ve so bölümde se altıcı bölümdek souçları karşılaştırması yapılarak, yaklaşık yötemler le yapıla aalz le blgsayar souçları arasıdak farklar yorumlamıştır. Ayrıca bazı tasarım özellkler değşme göre yapı davraışı asıl değştğ rdelemştr. x

12 DYNAM ANAYSS of SHEAR WA-FRAME SYSTEMS SUMMARY ts tess study, cosstg of seve capters, te approxmate metods for te aalyss of mxed sear wall-frame systems were examed ad wt a umercal example, te approxmato of tese metods to te real results was tested. Ad also te beavor of te system was motored by cagg varous desg values. te capter oe, cosderato about te eartquake rsk of Turkey ad te mportace of dyamc aalyss te scope of eartquake resstat structural desg, was covered. te capter two, some basc kowledge of structural dyamcs was cluded, te free ad forced vbratos of te systems related to te degrees of freedom was examed ad also, te topcs related to te equatos of moto ad stffess matrces were covered. te capter tree, examatos for oe bay metod, zero momet pot aalogy ad equvalet frame, tree of te approxmate metods for aalyss of mult storey buldgs, were covered. te capter four, te purpose of te use of reforced cocrete sear walls was examed usg dgtal computer model, te effects of sear force ad sol deformato o sear walls wt o opeg were metoed ad also te dealzato approac for sear walls wt opegs as equvalet frames was covered. te capter fve, te beavor of sear wall-frame mxed structural systems were examed, usg te equvalet frame metod, dealzato of te mxed systems as seral coected frames was metoed ad also te dstrbuto of te teral forces, geerated from lateral loads fluecg ts equvalet frame, was covered. te capter sx, te umercal example solved usg bot te approxmate metods metoed te prevous capters ad SAP software ad fally te results of te aalyss were cluded. te last capter, capter seve, te results of te aalyss performed te capter sx were compared ad te dffereces betwee te aalyss results of te approxmate metods ad te software were costrued. addto, te cages structural beavor cosderg te cages of desg caracterstcs were covered. x

13 . GİRİŞ ve ÇAŞMANN AMA Düyaı oluşumuda ber, ssmk yöde aktf bulua bölgelerde depremler ardışıklı olarak oluştuğu ve soucuda da mlyolarca saı ve barıakları yok olduğu blmektedr. Bldğ gb yurdumuz düyaı e etk deprem kuşaklarıda br üzerde bulumaktadır. Geçmşte yurdumuzda brçok yıkıcı depremler olduğu gb, gelecekte de sık sık oluşacak depremlerle büyük ca ve mal kaybıa uğrayacağımız br gerçektr. Deprem Bölgeler Hartası'a göre, yurdumuzu %9's deprem bölgeler çersde olduğu, üfusumuzu %95' deprem telkes altıda yaşadığı ve ayrıca büyük saay merkezler %98' ve barajlarımızı %93'üü deprem bölgesde buluduğu blmektedr. So 58 yıl çersde meydaa gele depremlerde, 58. vatadaşımız ayatıı kaybetmş,.9 kş yaralamış ve yaklaşık olarak 4.45 ba yıkılmış veya ağır asar görmüştür. Souç olarak deleblr k, depremlerde er yıl ortalama.3 vatadaşımız ölmekte ve 7.94 ba yıkılmaktadır. 5 yılı çersde yurdumuzda meydaa gele trafk kazalarıda ayatıı kaybede vatadaşlarımızı sayısıı 3.5 olduğu göz öüe alıırsa deprem telkes cddyet açıkça görüleblr. Baı deprem aıdak davraışıı doğru tespt edeblmek, depreme dayaıklı yapı tasarımı kousu ç öem arz etmektedr. Güümüzde kullaıla çeştl paket programlar sayesde damk ve statk aalz yapmak mümküdür. Bu programları kullaarak yapıla br aalz kotrol etmemz gerektğde karmaşık ve uzu br esap slsles karşımıza çıkar. Bu oktada esapları bastleştrecek yaklaşık yötemler kullaılması, kotrol ede kş ş oldukça kolaylaştıracaktır. Bu tezde, bu yaklaşık yötemler gerçek souçlara e kadar yaklaştığı ve çeştl tasarım değerler değşm soucuda sstem davraışıı asıl değştğ celemştr.

14 . YAP DİNAMİĞİNİN TEME BİGİERİ.. Damk Problem Özellkler Statk çözümü geelleştrlmş al ola damk çözüm, zamaa bağlı yükler altıda taşıyıcı sstemdek gerlmeler ve yer değştrmeler celemes çerr. Şekl. Bu k durum arasıdak fark damk yer değştrme esasıda eylemszlk kuvvetler ortaya çıkmasıdır. Damk özellğe sap br yük etksdek krşte, arekete sebep ola dış yük ve arekete karşı koya eylemszlk kuvvetler ortaya çıkacak kuvvetlerdr. Krş kestlerde bu k etkye karşı koyacak kest tesrler meydaa gelr. Bu sebeple, ç kuvvetler esaplaablmes ç eylemszlk kuvvetler blyor olması gerekr. Acak, eylemszlk kuvvetler de yer değştrmeler e, dolayısı le ç kuvvetler e bağlıdır. Bu sstem çözümü, sstem areket ç yazılacak dferasyel deklem uygu sıır ve başlagıç koşulları altıda çözüleblmes le mümküdür. Br taşıyıcı sstem damk etkler altıdak davraışıı göstere dferasyel deklem çözümüü belrleeblmes ç areket başlagıç koşullarıı ve sstem mesetleme durumua bağlı ola sıır koşullarıı blmes gerekr.

15 Statk ve damk yükler brlkte taşıya sstemlerde damk yük etks statk yük etkse göre çok küçükse, bu tp sstemlerde damk etk ayrıtılı br esabı yere eşdeğer br statk yük taımlayarak, çarpma katsayısı veya bezer br çarpa uygulayarak, baze de güvelk katsayısıı azaltarak çözüme gdleblr. Acak, öreğ ağır makeler damk etksdek yapılar, kule türüdek yüksek balar, büyük açıklıklı köprüler söz kousu olduğuda yapıı damk davraışıı detaylı celemes gerekr. (elep, ).. Tek Serbestlk Derecel Sstemler... Söümsüz Serbest Ttreşm Şekl. Herag br dış etkye maruz kalmada, sadece t = aıdak başlagıç koşulları x() ve x& () da dolayı serbest ttreşm (bast armok areket) yapa çubuğu zamaa bağlı yer değştrme grafğ Şekl. de verlmştr. Şekldek ssteme etkye ç kuvvetler, elastk kuvvet (f s ) ve eylemszlk kuvvet (f )dr. 3

16 f s = k.x(t), f = m& x& (t) deplasma yaptırmak ç gereke kuvvete eşttr. Serbest ttreşm yapa çubuğu areket deklem: olup burada k rjtlk katsayısı, elastk çubuğa brm f s + f = m& x& (t) + kx(t) = olarak yazılablr. (.) ( Σ F = m.a Newto u. yasası) t = aıda x(t=) = x ve x& (t=)= x& olsu; Zamaa bağlı yer değştrme fades x(t) = e st olsu. & x& (t) = s e st fades () de yere koursa; m.s e st + k.e st = e st (ms + k) = s, = ± k m Ttreşm doğal daresel frekası ω = m k s, = ± ω x(t) = A e ω t + B e ω t cosx = e m ω t e + e x x e, sx = = cosω t m sω t = x e x x x(t) = Acosω t + Bsω t x& (t) = -ω Asω t + ω Bcosω t olduğua göre, A ve B tegral sabtler olup başlagıç koşullarıa bağlı olarak buluablr. t = ç; x(t=) = A.cos + Bs A = x x& t = ç; x& (t=) = -ω As + ω Bcos B = ω O alde; x(t) = x cosω t + Ttreşm gelğ x& ω sω t (.) A= x & + ( x / ω ) ve ttreşm evre (faz) açısı 4

17 ϕ = ta ( x& / ω x ) Olmak üzere, () deklem x( t) = Acos( ω t ϕ) (.3) bçmde yazılablr. Serbest ttreşm doğal peryodu : T = Doğal frekas : f = π = π ω ω = π T m k... Geger Formülü Şekl.3 W ağırlığıı Şekl.3 tek gb çubuğa yatay olarak etkmes durumuda oluşacak yatay ötelemeye x w dersek, sstem serbest ttreşm peryodu ç, yaklaşık olarak; T x fades yazılablr. (T : s, x w : m ) (Scarlat, 99) w... Söümlü Serbest Ttreşm c k m x cx kx m mg x D.K. N Şekl.4 f s = -kx, f D = -c x& f = m& x& fs + f D + f = -kx c x& - m& x& = Hareket deklem; kx + c x& + m& x& = (.4) = ( Σ F x m. a x ) 5

18 Krtk Söüm : c cr = mω c c k ξ = = = o alde (.4) deklem c mω ω cr kx cx& kx + c x& + m& x& = + + & x = & x + ξω x& + ω x = m m yazılablr. ω D = ω ξ T D = T ξ + = ξω t x( & ) x( ) x( t ) e ξω x( )cosω Dt + s ω Dt ω D (.5) Olası durumlar: c > c cr Ttreşm yoktur. c < c cr Ttreşm vardır. c = c cr Krtk durum. Şekl.5

19 ... Söümlü Ttreşm Şekl. A = () + () ( + x & ξω x [ x ) ] ω D (.) Söümlü ttreşmde gelk gderek azaldığıda, T D gerçek br peryot değldr.... Ttreşmsz Söüm x(t) A.e ( ξ + ξ ) ωt Be ω t ( ξ ξ ) ωt Şekl.7 Söüm oraı büyüdükçe, sstem doğal frekası (ω ) azalıp ω D değer alırke, doğal ttreşm peryodu (T ) artarak T D değere ulaşır. Söüm oraı % y geçmeye sstemlerde bu farklar (ω -ω D, T -T D ) mal edleblr sevyededr.(şekl.8) 7

20 Şekl.8 Ttreşm t T azalım oraı söüm oraıda etkler. Şekl.9 da başlagıç deplasmaı x() ola br sstem çeştl söüm oraları le (ξ ) söümlemeler gösterlmştr. Şekl ogartmk Azalım Sstem söüm katsayısı krtk söümde küçükse (c < c cr ) krtk söüm altı ttreşm oluşur. Ttreşm deklem: + = ξω t x( & ) x( ) x( t ) e ξω x( )cosω Dt + s ω Dt ω D (.7) 8

21 Ttreşm Gelğ : A = () + () ( + x & ξω x [ x ) ] ω Ttreşm evre (faz) açısı: x& () + x() ξω ϕ = arcta ωd x() olmak üzere : D (.8) (.9) ξωt x(t) = Ae cos( ωdt ϕ) olarak yazılablr. (.) Şekl. da görüleceğ üzere, sstem peryoduu değşmemese karşılık, gelk zamala azalmaktadır. Şekl. Art arda oluşa k gelğ (x, x + ) azalma oralarıı logartmasıa ogartmk Azalım der. (δ) x ω ξ δ = l = πξ = π (.) x+ ω D ξ Söüm oraıı çok küçük olduğu durumlarda δ = πξ yazılablr. (ω ω D ) Şekl. de logartmk azalımı gerçek ξ ξ = π ve yaklaşık ( δ = πξ ) değerler ξ arasıdak oraı, (ξ) söüm oraıa bağlı değşm görülmektedr. 9

22 ..3. Söümsüz Zorlamış Ttreşm Şekl. P(t) : Uyarıcı dış kuvvet Şekl. Σ F x = m.a x kx(t) + P(t) = d x m se sstem areket deklem; dt m& x& (t) + kx = P(t) (.) şeklde yazılır.

23 ..3.. Harmok Yük Altıda Zorlamış Söümsüz Ttreşm P sωt Şekl.3 Şekl.3 te P(t) = P sωt armok yükü le zorlamış ve x(t) yaal deformasyou yapa k rjtlğdek çubuk görülmektedr. P(t) armok yüküü zamaa göre değşm Şekl.4 tek gbdr. P ωt s Sstem areket deklem : Şekl.4 d x m + kx = P sωt (.3) dt d x + dt k m P x = sωt m ω = k m, p = P / m olmak üzere, söümsüz zorlamış ttreşm türevl deklem: / d x + ω x = p sωt (.4) dt

24 Türevl deklem çözümü ) Homoge çözüm : d x + ω x = dt x λt ( t) = He yere koularak; ( λ + ω ) He λt = ( λ ) = λ + ω λ = mω, ωt ωt x ( t) = He + H e = H(cosωt + sωt) + H (cosωt sωt) A=H +H, B=(H -H ) olmak üzere, x ( t) = Acosω t + Bsω t (.5) x ö ) Özel çözüm : ( t) = K cosωt + sωt olsu. Bu eştlk (.4) te yere koulursa, Kω cosωt ω sωt + ω K cosωt + ω sωt = psωt p Özdeşlğ sağlaması ç, K =, = ω ω x p t) = sωt (.) ω ω ö ( Geel çözüm: p x( t) = x ( t) + xö ( t) = Acosωt + B sωt + sωt (.7) ω ω Başlagıç koşullarıda, blmeye tegrasyo sabtler ola A ve B buluur. x o = x( t = ), x& = v = x& o o ( t = ) A = x, x ω = o p B ω ω ( ω ω ) x p p x ( & o ω t) = xo cosωt + sωt + sωt ω ω ( ω ω ) ( ω ω ) (.8) P ω p =, = β, m ω

25 3 β ω ω ω ω ω ω ω = = = k P m k m P m P p o o o (.9) (.9) fades (.8) de yere koularak, t k P t k P x t x t x o o o o ω β ω β β ω ω s s cos ) ( + + = & t k P t k P t x t x t x o o o o ω β ω β β ω ω ω s s s cos ) ( + + = & ( ) t t k P t x t x t x o o o ω ω β β ω ω ω s s s cos ) ( + = & (.) Damk Büyütme Çarpaı Elastk çubuklardak kesme kuvvetler dolayısıyla eğlme mometler x(t) damk yer değştrme le oratılı olduğu göz öüe alıırsa, x(t) x st ye (statk yer değştrme k P ) oraıa damk büyütme çarpaı der. R(t) = s s ) ( β ω β ω = t t x t x st (.) sωt = ve sωt = - ç R(t) e büyük değere ulaşır. ) ( (t) R max β = m = β β (t) R max m β durumu ω çok küçük olduğu, dolayısı le dış yükü çok yavaş değştğ alamıa gelr. Bu yavaş değşm soucu dış yükü damk özellğ çok azalmaktadır ve statk br etk ortaya çıkmaktadır. β durumu se ω çok büyük olduğu durumu gösterr. Bu durumda kütle eylemszlk kuvvet zorlama frekasıı zleyememekte ve eredeyse areketsz kalmaktadır. (elep, )

26 Rezoas Durumu Sstem doğal ttreşm frekası ω le zorlama frekası ω brbre çok yakı olması alde β durumu ortaya çıkar ve rezoas olayı meydaa gelr. Bu durumda yer değştrmeler sosuza yaklaşacaktır. (Bkz. Şekl.5) ω t πt R( t ) = = T Şekl A Uygulaa Kuvvet Altıda Söümsüz Zorlamış Ttreşm Şekl. Zamaa bağlı değşm Şekl. dak gb ola P kuvvete maruz kalmış tek serbestlk derecel sstem areket deklem; P mx(t & ) + kx(t ) = P && x(t ) + ω x(t ) = m x( t ) = P k ( cos ω t ) 4

27 ..4. Söümlü Zorlamış Ttreşm..4.. Harmok Yük Etksde Söümlü Zorlamış Ttreşm Şekl.7 dek, armok yük etksdek söümlü sstem areket deklem; P m& x ( t) + cx& ( t) + kx( t) = P sωt && x( t) + ξω x& ( t) + ω x = sωt (.) m [ P(t) ] Şekl.7 Türevl deklem omoje (x ) ve özel (x ö ) çözümler sırasıyla; x (t) = e ξω t (Acosω D t + Bsω D t) x ö (t) = sωt + Dcosωt P [( ω ω ) ξω ωd] sωt + [ ξω ω + ( ω ω ) D] cosωt = sωt A, B, ve D tegral sabtler olup başlagıç koşullarıda buluur. A= x () = B= x &( ) + ξω x () ω D D = P k P k ( β ) + (ξβ) β ( β ) + (ξβ ) ξβ m x(t) = x (t) + x ö (t) 5

28 T D π = ω D π T = ω Şekl.8-a) Geçc Ttreşm Şekl.8-b) Kararlı Ttreşm Çözümü lk parçası (x ) ı sstem davraışıa ola etks üstel foksyoda dolayı zamala söer (Şekl.8-a), bu edele bu parça geçc ttreşm olarak smledrlr. İkc parça (x ö ) se dış yükle ayı frekasta olup zamala söe br ttreşm değldr ve kalıcı ola kararlı ttreşm temsl eder. (Şekl.8-b) (elep, )..4.. A Yük Etksdek Söümlü Zorlamış Ttreşm Bu kez Şekl.7 dek ssteme etkye kuvvet P kuvvet olduğu düşüülsü (Şekl.9). Sstem areket deklem: m & x ( t) + cx& ( t) + kx = P Şekl.9 x(t) = P ξωt e k + (Asω D t + Bcosω D t) x() = x & () = başlagıç koşulları durumuda: P x( t) = k + e ξωt (cosω t + D ξ ξ sω Dt

29 .3. Çok Serbestlk Derecel Sstemler Br sstem areket alde buluduğu koum, eğer brde fazla parametre verlmes le belrleeblyorsa, bu tür sstemler Çok Serbestlk Derecel (ÇSD) olarak smledrlr. Bütü müedslk yapıları çok serbestlk derecel olup sstem serbestlk dereces, aalz yapılırke yapıla dealleştrmeler le azaltılablr (Öreğ koloları boy değşmler mal).3.. Toplu Kütlel Sstem Sstemler kütleler belrl oktalarda toplaması le çok serbestlk derecel sstem oluşturulablr. (Şekl.) Şekl. Serbestlk dereces ola çok sebestlk derecel br sstem. kütle ç, f : Eylemszlk kuvvetler f D :Vskoz Söüm kuvvetler f s : Doğrusal Elastk Kuvvetler P : Dış kuvvetler f = m & x j j j= f D = c j x& j j= f s = k x j j j= P = P j j= olmak üzere, Newto u. lkese göre,. kütle areket deklem, P j= - j= k j x j - j= c j x j & = j= Burada areketle sstem tümü ç areket deklem [ ] x { x& } x + [ c] x { x& } x + [ k] x { x} x { P} x m = m & x j j f + f D + f s = P olarak yazılablr. & al alır. (.3) [m]:kütle Matrs, [k]: Rjtlk Matrs, [c]: Söüm Matrs, {P}:Dış Kuvvet Vektörü 7

30 .3... Söümsüz Serbest Ttreşm Çok serbestlk derecel sstemlerde söümsüz serbest ttreşm, m& x& (t) + kx(t) = areket deklem le fade edlr. x(t) = x s(ω t + ϕ ) (x = x()) armok areket ç; (k-ω m) x = (a) ya da ( ω d m)x = (b) (d = k - ) Sstem çözümüü sıfırda farklı olablmes ç; k ω m = ya da ω dm = olması gerekr. Bu so fadeler çözümüde ω, ω,... ω dereces) Serbest Ttreşm Frekası elde edlr. Bulua ω le gösterleblecek (: serbestlk ler omoge (a) ve (b) deklemlerde x = φ alıarak er br serbest ttreşm frekasıa karşı gele Serbest Ttreşm Mod Şekller buluur. ( k ω m) φ = ya da ( ω dm) φ = (.4) Mod şekl vektörler, kololarıı oluşturduğu matrse modal matrs der. [ φ ] = [ φ φ, φ... ], 3 φ.3... Ortogoallk Özellğ Serbest ttreşm moduu vere (.4) deklem ω ve ω j gb k farklı ttreşm frekası ç; kφ = ω [ m] φ, kφ = ω [ m] j j φ j yazılablr. T T Bu fadeler sırasıyla φ j ve φ le çarpılırsa; T T T φ [ k] φ ω φ [ m] φ (c) φ [ k] φ ω φ [ m] T j = j j = j j φ (d) (.5) Kütle ve rjtlk matrsler smetrk olduğu ve (.5) eştlkler er k tarafıda skaler büyüklükler olduğu göz öüe alıırsa; 8

31 T ( φ [ k] φ ) T T T = φ [ k] φ ( φ [ m] φ ) T T = φ [ m] j (c) (d) = ( ) ω j j T T ω φ [ m] φ = j [ m] j j φ φ (.) j φ (*) T j ω φ T j [ k] T φ j [ m] φ = T φ (c ) φ [ k] ω j T j φ [ m] φ = φ j (d ) (c ) (d ) = T φ ω ω j T [ k] φ = j [ k] j φ φ (*) j (*) ve (*) bağıtıları φ ve φ j mod vektörler em kütle matrse em de rjtlk matrse göre ola ortogoallk özellğ göstermektedr Normalzasyo Sstem serbest ttreşm frekası ω (.4) omoje deklem determatı sıfır olacak şeklde esapladığı ç φ vektörüdek tae blmeyee karşılık, ω tek katlı kökü (-) bağımsız deklemde bulumaktadır. Dolayısı le φ vektörüü elemalarıda brs keyf seçldğde dğerler oa bağlı olarak buluablr. Keyf değer değşmes le mod şekller değşmese de, gelkler değşecektr. Hesaplardak bu keyflğ ortada kaldırmaı yolu ormalzasyodur. Keyf değer le bulua gelkler tümü, oluşa e büyük gelğe bölüerek ormalze edlr Zorlamış Ttreşm-Mod Brleştrme Yötem Zorlamış sstem areket deklem; m & x(t) + cx(t) & + kx(t) = P(t) (.7) Yer değştrme vektörü x(t) çözümüde, serbest ttreşm çözümüde elde edle φ (mod vektörler) ve ω (doğal frekaslar) kullaılır. Zorlamış ttreşm çözümüde, serbest ttreşm karakterstkler kullaıldığı bu çözüm yöteme Mod Brleştrme Yötem der. Mod brleştrme yötemde, sstemdek br kütle zorlamalara karşı tepks, sstem er modu ç, o kütle deplasmalarıı toplamıa eşttr. 9

32 m m m m α φ α φ α 3φ3 Şekl.-a: α j. modu katılım oraıı, φ. kütle, j modudak deplasmaıı gösterr. j Bu durumda. kütle toplam deplasmaı j. kütle ç deplasma x j = ( x) Y ( t) = j x j = = α φ şeklde esaplaır. j j φ sstem ç dep. { x} { φ}{ Y} = (.8) { Y }: Sstem zamaa bağlı katsayıları olup Sstem Normal Koordatları dr. { } T Y = [Y, Y, Y 3...Y ] Bu katsayılar mod şekller çözüme ola katkılarıı fade ederler. (.8) fades (.7) de yere koulursa; [ m]{ φ }{ Y& } + [ ]{ φ }{ Y& } + [ k]{ φ }{ Y } { P} = olarak elde edle fade solda { φ } T le çarpılırsa; T T T { φ } [ m]{ φ }{ Y& } + { φ } [ c]{ φ }{ Y& } + { φ }[ k]{ φ }{ Y } = { φ } { P}. mod φ ç; T { } [ m]{ φ } & (.9) φ : M * : Geelleştrlmş Kütle Matrs T { } [ c]{ φ } φ : * : Geelleştrlmş Söüm Matrs T { } [ k]{ φ } φ : K * : Geelleştrlmş Rjtlk Matrs T { } [ P] φ : P * : Geelleştrlmş Kuvvet Matrs olmak üzere (.9) düzelerse; M *{ Y & } + *{ } = Y & + K *{ } Y = P * M * Y& ( t) + * Y& ( t) + K * Y ( t) = P *( t) x = = α φ j j

33 Y& ( t) + ξ ω Y& ( t) + ω Y ( t) = P * ( t) Başlagıç koşulları t = ç Y () ve Y & () t M ξω t Y t = P e ( τ ) ( ) *( τ ) sωd ( t τ ) dτ (Duamel tegral) M ω D *.4. Ssmk Kuvvetler.4.. Tek Serbestlk Derecel Sstemler Yer areket etksdek br sstem toplam yer değştrmes x = x R + x G olarak yazılır (Şekl.) Şekl. Yer areket etksdek sstem ç, yer areket vme değşm & x G (t) olmak üzere, sstem areket deklem; m& x& (t) + c x& (t) + kx(t) = -m& x& G (t) G x(t) + ξω x( & t ) + ω x( t ) = & x& ( t ) t x(t) = ω ω ξ ( τ ) x ( τ )e t & sω ( t τ )dτ olup G S υ : Hız yayılgısı (Hız boyutuda tegral) x(t) max = S d : Deprem yöüdek e büyük bağıl deplasma ω.s d = S υ : E büyük bağıl ız (Hız yayılgısı) ω. S υ = S a : E büyük toplam vme (İvme yayılgısı) S a KS d = m.s a = W = mx & total = Pmax = E büyük Deprem Kuvvet g

34 .4.. Çok Serbestlk Derecel Yapılar Çok katlı br yapıda; j. mod ve. kat ç e büyük deprem kuvvet P j ; max P j max = m φ = = m φ m φ j j.s a j = W φ = j = g W φ W φ j j E büyük taba kesme kuvvet (Toplam P j ) max V jmax = = Pj = max = mφj (m φ ) j S a j e = M S j a j = x S j a j = m φ j Etk kütle M e j = = ( mφj ) = mφj Etk ağırlık W e = j = ( Wφ j ) = Wφ j j. moduu katılma oraı α j ; α j = = = m φ m φ j j Şekl.-b

35 .4... Hesaba Katılacak Yeterl Ttreşm Modu Sayısı Hesaba katılması gerekl yeterl ttreşm modu sayısı Y, göz öüe alıa brbre dk x ve y yatay deprem doğrultularıı er brde, er br mod ç esaplaa etk kütleler toplamıı çbr zama %9 ıda daa az olmaması kuralıa göre belrleecektr. Ayrıca göz öüe alıa deprem doğrultusuda etk kütles, ba toplam kütles %5 de büyük ola bütü ttreşm modları göz öüe alıacaktır (ABYYHK.8.3.) = e M,9 = m.5. Elemaları Rjtlk Matrslerde Faydalaarak Geel RM Oluşturma.5. Şekl.3 tek üç boyutlu yapıyı, kololardak boy değşm mal ederek, 8 serbestlk derecel k boyutlu çerçeveler olarak ele alalım. E E E E E E Şekl.3 3

36 Şekl.4 Çerçeveler oluştura çubukları er br ç serbestlk dereces alıarak x rjtlk matrsler kullaılır. Elemaları rjtlk matrsler ekse takımı le sstem geel ekse takımı ayı değldr. Dolayısıyla ekse takımı döüşüm matrsler kullaılarak er elemaı rjtlk matrs ortak ekse takımıa göre çevrlr. Yatay ve dkey çubuklar ç ortak ekse takımıa göre yazılmış rjtlk matrsler ; [ k] yatay = AE AE E E E 3 E 3 E 4E E E AE AE E 3 E E 3 E E E E 4E 4

37 [ ] k düsey E 3 E = E 3 E AE AE E 4E E E E 3 E E 3 E AE AE E E E 4E Şekldedr. 5 k k k 3 k 4 k 5 k k k k 3 k 4 k 5 k [k] = k 3 k 3 k 33 k 34 k 35 k 3 k 4 k 4 k 43 k 44 k 45 k 4 k 5 k 5 k 53 k 54 k 55 k 5 k k k 3 k 4 k 5 k 5 k k k 3 k 4 k 5 k k k k 3 k 4 k 5 k [k] 3 = k 3 k 3 k 33 k 34 k 35 k 3 k 4 k 4 k 43 k 44 k 45 k 4 k 5 k 5 k 53 k 54 k 55 k 5 k k k 3 k 4 k 5 k 5

38 5 k k k 3 k 4 k 5 k k k k 3 k 4 k 5 k K = [k] = k 3 k 3 k 33 k 34 k 35 k 3 5 k 4 k 4 k 43 k 44 k 45 k 4 k 5 k 5 k 53 k 54 k 55 k 5 k k k 3 k 4 k 5 k k k k 3 k 4 k 5 k k k k 3 k 4 k 5 k K 4 = [k] 4 = k 3 k 3 k 33 k 34 k 35 k 3 5 k 4 k 4 k 43 k 44 k 45 k 4 3 k 5 k 5 k 53 k 54 k 55 k 5 k k k 3 k 4 k 5 k k k k 3 k 4 k 5 k 3 k k k 3 k 4 k 5 k K 5 = [k] 5 = k 3 k 3 k 33 k 34 k 35 k 3 7 k 4 k 4 k 43 k 44 k 45 k 4 4 k 5 k 5 k 53 k 54 k 55 k 5 k k k 3 k 4 k 5 k 8

39 4 8 k k k 3 k 4 k 5 k k k k 3 k 4 k 5 k K 3 = [k] = k 3 k 3 k 33 k 34 k 35 k 3 k 4 k 4 k 43 k 44 k 45 k 4 4 k 5 k 5 k 53 k 54 k 55 k 5 k k k 3 k 4 k 5 k 8 Sstem Rjtlk Matrs Oluşturulması K K K 3 K 4 K 5 K K 7 K 8 K K K 3 K 4 K 5 K K 7 K 8 K 3 K 3 K 33 K 34 K 35 K 3 K 37 K 38 [K] geel = K 4 K 4 K 43 K 44 K 45 K 4 K 47 K 48 K 5 K 5 K 53 K 54 K 55 K 5 K 57 K 58 K K K 3 K 4 K 5 K K 7 K 8 K 7 K 7 K 73 K 74 K 75 K 7 K 77 K 78 K 8 K 8 K 83 K 84 K 85 K 8 K 87 K 88 Çerçeve geel rjtlk matrs, er elema ç yazıla rjtlk matrsler, çerçeve rjtlk matrse karşı gele termler toplaarak oluşturulur. 4 4 K = k 44 + k + k K = k 4 K 3 = k 4 K 4 = 4 4 K 5 = k 4 + k 3 + k 3 K = k K 7 = k K 8 = 3 K = k 4 K = k 44 + k 44 + k K 3 = K 4 = k 4 3 K 5 = k 34 K = k 4 + k 4 + k 3 K 7 = K 8 = k K 3 = k 4 K 3 = K 33 = k 44 + k K 34 = k 4 7

40 K 35 = k 34 K 3 = K 37 = k 3 + k 4 K 38 = k 5 5 K 4 = K 4 = k 4 K 43 = k 4 K 44 = k 44 + k K 45 = K 4 = k 34 K 47 = k 34 K 48 = k 4 + k K 5 = k 4 + k 3 + k 3 K 5 = k 43 K 53 = k 43 K 54 = 4 4 K 55 = k + k 33 + k 33 K 5 = k 3 K 57 = k 3 K 58 = 3 K = k K = k 4 + k 4 + k 3 K 3 = K 4 = k K 5 = k 3 K = k + k + k 33 K 7 = K 8 = k K 7 = k K 7 = K 73 = k 4 + k 3 K 74 = k K 75 = k 3 K 7 = K 77 = k + k 33 K 78 = k K 8 = K 8 = k K 83 = k K 84 = k 4 + k K 85 = K 8 = k 3 K 87 = k 3 K 88 = k + k 8

41 9.5. Brm Deplasmalara Karşı Gele İç Kuvvetlerde RM Oluşturma Şekl.5 te görüle serbestlk derecel çubuğu er br düğüm oktasıa brm deplasma yaptırmak ç düğüm oktalarıda olması gereke dış kuvvetler oluşturduğu matrs rjtlk matrsdr. Şekl.5 [ ] = ) ( 4 ) ( A A A A A A E K

42 X = X = Şekl.-a Şekl.-b X 3 = X 4 = Şekl.-c Şekl.-d X 5 = X = Şekl.-e Şekl.-f 3

43 = E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E K B B B B B B B B Statk İdrgeme Yötem Rjtlk matrs daa bast ale getrmek ç kullaıla bu yötem aşağıdak gb uygulaır. tt k θ t k t k θ θθ k + = E E E E k tt + + = 4 3 m m m m m tt

44 3 [ ] [ ] = = E E E E E E E k k T t θt θ [ ] = E E E E E E E E E E E E k B B B B B B B B θθ İdrgemş Rjdlk Matrs tt kˆ drgemş kütle matrs m tt le şleme grer [ tt kˆ ] = [k tt ] - [ θ t k ]. [ θθ k ] -. [ t k θ ] [ ]{ } [ ]{ } ˆ = + x k x m tt tt & &

45 3. ÇOK KAT YAPARN ANAİZERİ İÇİN YAKAŞK YÖNTEMER Yaklaşık yötemlerde, esabı bastleştrmek ç yapıla başlıca kabuller şulardır: ) Yatay yükler kat sevyelerde toplamıştır. ) Kesme kuvvet etklerde doğa deformasyolar mal edlmştr. (bu mal çubuk elemalarıda oluşa çerçevelerde öemszdr. Acak perde elemaları buluduğu karma sstemlerde kesme kuvvet etkler göz öüe alımalıdır.) ) Elemalarda, ekseel kuvvet etksde kayaklaa boy kısalmaları mal edlmştr. Şekl Tek Açıklık Yötem Yatay yüklere maruz kalmış çok katlı, tek açıklıklı çerçeveler aalz ç k yaklaşım vardır. ) Momet Sıfır Noktası Yaklaşımı ) Sürekl Ortam Yaklaşımı ( Sadece düzgü çerçevelerde kullaılablr.) 33

46 3... Momet Sıfır Noktası (MSN) Yaklaşımı Şekl 3. dek çerçevede. kolo eksede momet sıfır olduğu oktaya, kolo üst ucua etkye toplam yatay kuvvete P ve kat yükseklğe dersek ; M alt = (P. )/ : Kolo alt ucudak momet M üst = [P. ( -)]/ : Kolo üst ucudak momet ε = / = /(- M üst /M alt ) : Momet sıfır oktası oraı olmak üzere ; M alt = (P.ε.)/ M üst = [P.(- ε).]/ Şekl 3. k b : Krş Rjtlğ = b / l k c : Kolo Rjtlğ = c / olmak üzere ; Rjtlk oraı ν = k b /k c Kat yükseklğ () ve kolo krş eylemszlk mometler ( c, b ) çerçeve yükseklğ boyuca eşt ola, yatay üçge yayılı yük etksdek,, 8 ve katlı, düzgü çerçevelerde, çeştl ν değerler le (,-,-,5-,-,-5,-,-,) yapıla aalzler soucu ε oraıı, yapıı zem katıda (ε G ), brc ormal katıda (ε ) ve yapı yükseklğ ortasıa dek gele katta (ε m ) belrl bölümlerde belrl aralıklarda kaldığı görülmüştür. Bu aalzler soucu çzle ν ε G, ε m,ε grafğ Şekl 3.3 tek gbdr. 34

47 Şekl 3.3 Grafkte de görüldüğü gb, ν > ç,5<ε G <, ν <, ç ε G > ν >,5 ç ε m,5,<ν <,3 ç,5<ε <,9 aralıklarıda kalmaktadır. Ye yapıla aalzler soucu, ε m,5 olması durumuda oluşacak e büyük momet M max, ε m =,5 alıarak esaplaa momette %- oraıda daa fazla çıktığı görülmüştür. ν<, olması durumua karşı gele ε değerler çok geş br aralıkta değşmektedr. Bu yüzde bu gb durumlarda M max =M ko alıarak güvel tarafta kalıablr. Krşler kololara göre rjtlğ çok küçük olduğu alamıa gele bu durumda çeştl ν değerler ç M max /M ko oraları Tablo. de verlmştr. Tablodak değerlerde de alaşılacağı gb krş e kadar zayıf olursa olsu ye de krşsz duruma göre (kosol krş durumu) esaplaacak momete göre ortalama % 5 oraıda azaltmaya ede olmaktadır. Tablo 3. : Çeştl ν değerlere karşı gele M max / M ko oraları k b / k c M max / M ko,,8-,9,,4-,,,5-,3 35

48 Katlar arasıda kolo eylemszlk mometler değşk olması durumuda ν oraı; ν = k b / k cmax şeklde esaplaır. Zem kat yükseklğ, ormal katlarda farklı olması durumuda se, ε G = k b / k cg = ( b / l) / ( c / G ) (Scarlat, 99) 3... Sürekl Ortam Yaklaşımı Bu yötem çok katlı, çok açıklıklı çerçeveler, sürekl ortam yaklaşımı le tek açıklıklı çerçeveye döüştürmeye dayamakta ve geel tbar le düzgü çerçeveler ç ( er katta eşt eylemszlk momete sap kolo ve krşler ve brbre yakı kat yükseklkler ola (/3< / j <3/) çerçeveler) tatm edc yaklaşıklıkta souçlar vermektedr. Şekl 3.4 te da görüleceğ gb yatay P x yayılı kuvvet etksdek çerçeve krşler, çerçeve yükseklğ boyuca, dx kalılığıda tabakalarda oluşa br sürekl ortama döüştürülmüştür. Şekl 3.4 dx kalılığıdak fktf krşler eylemszlk momet b = b dx/ Kat sevyese etkye kuvvet P olmak üzere; Düzgü yayılı yük etksdek çerçeve ç p= ΣP/H α = ( b / c l) / γ = [s(αh)- αh]/cos(αh) (H< mt ç α=) = (p/α²) s(α/)[γcos(αx )- s(αx )]+(px /) üst = (p/α²)[γs(α/)- cos(α/)+]+(p²/) alt = (p/α²){γ[s(αx B )- s(αx T )]- cos(αx B )-cos(αx T )}+ (p(x B ²-x T ²)/4) 3

49 Her kolo ç yukarıdak formülasyo le belrleecek (e üst kat ç üst ve kat yükseklğ farklı olması durumuda zem kat ç alt ) ler ve kat üst sevyesde etkye P kuvvetler belrlece, problem statk açıda belrl probleme döüşür. Bu durumda eğlme mometler ; M = M P /+M M = = İfadeler le esaplaablr. M P = px Sürekl ortam yaklaşımı, MSN yaklaşımıa orala çok daa fazla esap şlem ve daa fazla dkkat gerektrmektedr. 3.. Eşdeğer Çerçeve Yötem Eşdeğer çerçeve yötem çok katlı, çok açıklıklı br çerçevey, çok katlı tek açıklıklı br çerçeveye drgeye yaklaşık br yötemdr. Şekl 3.5-a Şekl 3.5-b Şekl 3.5-a da görüle çerçeve, eşdeğer çerçeve yötemyle tek açıklıklı çerçeveye drgemş al Şekl 3.5-b de görülmektedr. Asıl çerçeve le eşdeğer çerçeve kat yükseklkler ve çerçevelere etkye dış kuvvetler ayıdır. Acak eşdeğer çerçeve açıklığı * keyf olarak seçleblr. j. kat ç : k cj k cj * k bj k bj * F j : Asıl çerçevedek koloları rjtlğ, : Eşdeğer çerçevedek koloları rjtlğ, : Asıl çerçevedek krşler rjtlğ, : Eşdeğer çerçevedek krşler rjtlğ, : Asıl çerçeveye etkye yatay yük, 37

50 F j * : Eşdeğer çerçeveye etkye yatay yük, M cj : Asıl çerçeve kololarıda oluşa eğlme momet, M cj * : Eşdeğer çerçeve kololarıda oluşa eğlme momet, x j x j * : Asıl çerçevede yatay yükler sebeyle meydaa gele yaal öteleme : Eşdeğer çerçevede yatay yükler sebebyle meydaa gele yaal öteleme olmak üzere, eşdeğer çerçeve karakterstkler aşağıdak gb esaplaır. Σk cj * = k cj * = Σk cj k cj * = Σk cj / Σk bj * = Σk bj F j * = F j ΣM cj * = M cj * = ΣM cj M cj * = ΣM cj / x j * = x j Eşdeğer çerçevede esaplaa M cj * momet asıl çerçeve kololarıa dağıtılırke, kolo rjtlkler oraıda dağıtılır. M cj = M cj * ( cj / Σ cj ) (: kolo o, j: kat o) Kololar arasıda momet dağılımı yukarıdak gb yapılması sadece k durumda kes doğru olur ) Rjt krş (ν ) ) Esek krş (ν ) Stadart yapılarda se bu k uç durumu arasıda br durumla karşı karşıya gelrz. Bu durumda kear kololar le orta koloları görecel rjtlkler brbrde farklıdır. Çükü kear kololara brleşe toplam krş uzuluğu l / ke orta kololarda bu uzuluk (l + l) / = l olmaktadır. (Bkz.:Şekl 3.) Şekl 3. 38

51 Yapıla esaplarda bu detay göz öüe alımazsa esaplaa mometler, gerçek momet değerlerde, kear kololarda daa büyük, orta kololarda se daa küçük çıkacaktır. ν <,5 ve ν > aralıklarıda bu durumu yarattığı etkler mal edleblr. Acak,5<ν < aralığıda esaplaa eğlme mometler orta kololar ç, zem katta %-, dğer katlarda se %-3 oraıda arttırılır. Hesapları güvel tarafta kalması ç kear kololarda erag br azaltma yapılmaz. Kolo uçlarıdak eğlme mometler belrledkte sora, krş uçlarıdak eğlme mometler belrler. Dış kololar ç : Orta kololar ç : Şekl 3.7 Yatay yüklerde kayaklaa e büyük düşey tepky (R max v ) belrlerke, doğrusal dağılım yapıldığıda, uç oktalarda, gerçek dağılım soucu ortaya çıka tepklerde daa düşük tepkler elde edleceğde (Şekl 3.8) gerçek souca yaklaşmak ç ; M dev : Devrlme momet, ΣM f : Meset mometler toplamı, olmak üzere ; Görecel olarak yüksek olmaya (>H) çerçevelerde, yatay yüklerde kayaklaa düşey tepkler, düşey yüklerde kayaklaalara orala daa düşüktürler. Bu sebeple mal edleblrler. Acak görecel yüksek (<H) çerçevelerde yatay yük etksde kayaklaa düşey tepkler esaba katmak gerekr. 39

52 Şekl 3.8 Daa öce de belrtldğ gb eşdeğer çerçeve açıklığı * keyf değer alablr. Acak, düşey reaksyoları drekt olarak eşdeğer çerçeve aalzde bulablmek ç *= seçleblr. 4

53 4. BETONARME PERDE ve ÖZEİKERİ 4.. Betoarme Perde ve Kullaım Amaçları Yapı yükseklğ artmaya başlaması le yatay kuvvetler yapı tasarımıda öem kazaır. Çok katlı betoarme yapılarda, deprem kuvvet altıda taşıyıcı sstem yaal rjtlğ yeterl ale getreblmek ç yalızca çerçevelerde oluşturmak ekoomk olmamakta ve taşıyıcı ssteme betoarme perde elemalar yerleştrmek uygu düşmektedr. Yapı çde, taşıyıcı ssteme uygu şeklde yerleştrle betoarme perde elemalar, şddetl deprem etkler altıda, yatay yükler öeml br kısmıı karşılamakta ve sağladığı büyük öteleme rjtlğ le yapıda oluşacak yatay ötelemeler sıırlamaktadır. 4.. Perdeler Matematk Modellemes Yatay yükler etksde düzlemsel perdeler yatay öteleme rjtlğ belrlemes so derece öem kazamaktadır, çükü perdeler toplam deprem kuvvetde alacakları yük payı, görecel yaal öteleme rjtlkler le oratılıdır. Yaal öteleme rjtlkler belrlemesde düşey taşıyıcıları arlk oraları göz öüde tutulur. Şekl 4.-a Şekl 4.-b 4

54 Narlk oraı küçük perdeler (Şekl 4.-a) toplam ötelemesde kayma deformasyou, arlk oraı büyük perdeler toplam ötelemesde se eğlme deformasyou katkısı büyüktür (Şekl 4.-b) Perdeler rjtlğ azalta k öeml faktör kesme kuvvet etks ve zem deformasyoudur Boşluksuz Perdeler Boşluksuz Perdeler Üzerde Kesme Kuvvet Etks Perde boyu ve perde yükseklğ H olmak üzere, /H oraı büyüdükçe perde elemaı davraışı kısa kolo davraışıa yaklaşır, ya perde toplam deformasyouda kesme kuvvetlerde meydaa gele deformasyoları payı büyür. Dolayısı le perde kayma krş davraışı gösterr. Bu durum perde rjtlğde öeml br azalma meydaa getrr. Perde elema ç /H oraı /5 te küçük kaldığı sürece, perdeye etkye kesme kuvvet etkler mal edleblr. Kesme kuvvet etks esaplarda göz öüe almak ç, x x M x V : Perde toplam yer değştrmes : Sadece eğlme momet etklerde kayaklaa yer değştrme : Kesme kuvvet etklerde kayaklaa yer değştrme olmak üzere, perde elemaı toplam yer değştrmes; x = x M + x V olarak göz öüe alıır. Şekl 4. 4

55 m :Brm kuvvet etksde oluşa momet v : Brm kuvvet etksde oluşa kesme kuvvet f : Şekl faktörü (Şekl 4.3) Şekl 4.3 Kesme kuvvetde kayaklaa yaal yer değştrmey esaba katmaı br başka yolu se, eğlme etklerde kayaklaa yer değştrmey (+(/3)s) fadesyle çarparak arttırmaktır. Dkdörtge kestler ç f =,, ve betoarme ç G,45E olduğu göz öüe alıırsa, (: Perde uzuluğu, H:Yapı yükseklğ) Şekl 4.4 te dkdörtge kestl betoarme perde deformasyouda, kesme kuvvet etks /H oraıa bağlı grafğ verlmştr. Grafkte de görüleceğ gb, /H<,5 kaldığı sürece kesme kuvvet etkler %4 cvarıda olup mal edleblr sevyededr. /H oraı /3 değere yaklaştığıda kesme kuvvet etkler % mertebese ulaşmaktadır ve bu durumda bu etkler mal atalara yol açablr. /H değer e yaklaştığıda ve geçtğde se perde elema kısa kolo durumua yaklaşır ve kayma krş davraışı sergler. 43

56 Şekl 4.4 Perde elemaları, perde-çerçeve karma sstemler br öğes olmaları durumuda, kesme kuvvet etkler göz öüde buludurmak ç, perde elemaları eylemszlk mometler (+s) fadese bölüerek azaltılır Zem Deformasyou Etkler Çoğu yapı aalz yötemde yapı mesetler akastre kabul edlerek zem deformasyou mal edlr. Acak zem etkler çok öemldr ve mal edlmeler atalara yol açablr. Zem deformasyolarıı, perde elemaları rjtlkler üzerde yarattığı olumsuz etkler, ssmk kuvvetler kadar öemldr. Zem deformasyouu temel parametres k s (taba modülü) dr. Geellkle zem cse bağlı olarak knm -3 (yumuşak zem), - knm -3 (sert zem) değerler arasıda değşr. Akastre mesetl br perde elemaı e büyük yaal öteleme değer x ve bua karşı gele rjtlk k p =/ x olsu. Elastk mesede otura br perde toplam yaal ötelemes x T se, eğlme etklerde kayaklaa yaal öteleme (x ), zem yaal ötelemesde 44

57 kayaklaa yaal öteleme (x H ) ve mesed dömesde kayaklaa yaal öteleme (x φ ) toplamıdır. (Şekl 4.5) Şekl 4.5 x T = x + x H + x φ Akastre meset kabullü aalzlerde zem deformasyouu esaba katmak ç perde etk boyu bell br orada azaltılablr. Yumuşak zemlerde e = (,4-,) Sert zemlerde e = (,5-,7) Perde elemalarda, zem deformasyolarıda kayaklaa rjtlk azalması soucuda, doğal peryot T ve bua bağlı olarak da elemaa etkye deprem kuvvet artar. Bu durumu esaba katmaı br başka yolu se ; ) Akastre mesetl elastk perde elemaı T doğal ttreşm peryoduu esaplaır. ) Zem deformasyouu göz öüe alıdığı rjt perde kabulü le, T r döme areket peryodu buluur. (Şekl 4.) (Dukerley, 98) Ө : Döme açısı f : Temel elemaı eylemszlk momet olmak üzere; gk = θ H T W 3 ω r θ f K = k s π Tr = = 3,3 ω r WH gk T θ 45

58 ) Zem deformasyouu göz öüe alıdığı peryot esaplaır. Şekl Perdeler Blgsayar Modellemes Perdeler blgsayar model yapılmasıda perde yatay yükler altıda şekl değştrmes dkkatle celemel ve blgsayar model perde öeml şekl değştrme özellkler yasıtması sağlamalıdır. Perdeler yaal ötelemesde dkkat çeke e öeml özellk perde kest düzlem () uzuluğuca eşt (θ) döme açısıı korumasıdır (eğlmede öce düzlem ola kestler eğlmede sora da düzlem kalırlar). (Şekl 4.7) Perdeler blgsayar model, perde akslarıda geçe br geş kolo olarak yapılablr, acak perde () geşlğce eşt (θ) açısı gösterme zorululuğu, geş kolo uçlarıda () uzuluğuca eğlme rjtlğ sosuz ola (E= ) elemaları kullaılması le sağlaır. 4

59 Şekl 4.7 Bu tür koloa, tekk lteratürde geş kolo adı verlr. Nümerk blgsayar vers olarak eylemszlk momet perdekde çok büyük alıması (öreğ kez) yeterl olmaktadır Boşluklu Perdeler Mmar gereksmler soucu, dolu gövdel perdelerde kapı ve pecere boşlukları bırakılması le boşluklu perdeler oluşturulur. Bu tp perdeler dolu gövdel boşluksuz perde davraışı le çerçeve davraışı arasıda br davraış gösterrler. Boşlukları k yaıda bulua geş kolo(perde-kolo)ları rjtlkler, aradak bağ krşler rjtlklere orala çok yüksek olduğu ç, boşluklu perde eğlme krş gb davraır. Acak geş koloları brbre bağlaya bağ krşler çft eğrlkl br deformasyo eğrse sap olduğuda kayma krş özellğ gösterrler. Souç olarak boşluklu perdeler em eğlme krş, em de kayma krş özellğ gösterr. Acak boşluklu perdeler kesme kuvvetlerde etkleş, boşluksuz perdelere göre daa küçük mertebededr. Bağ krşler yapıı assas elemalarıdır. Deprem etklerde meydaa gele lk çatlaklar bu elemalarda görülür. Dolayısıyla bu elemaları dzayı, tüm yapıı depreme göstereceğ mukavemet açısıda öemldr. 47

60 4.5.. Boşluklu Perde Eşdeğer Çerçeve Olarak İdealleştrlmes Boşluklu perdeler eşdeğer çerçeveye drgerke geş kolo aksları arasıda kala krş uzatısı, eğlme rjtlğ sosuz elemalar olarak modeller. Bu modelleme blgsayar çözümü ç uygudur (Şekl 4.8) Şekl 4.8 Acak el le esap yapılırke bağ krş przmatk br eşdeğer krşe çevrlr. (Şekl 4.9) Bu çevrm yapılırke eşdeğer krş geş kolo düğüm oktalarıda ayı rjtlğ göstermes gerektğ, krş uçlarıı sosuz rjt olduğu ve krş açıklığıı değştğ göz öüe alımalıdır. Uçları sosuz rjt bağ krş yatay yükler altıda şekl değştrme eğrs Şekl 4.9-b dek gbdr. Şekl 4.9-a Şekl 4.9-b Şekl 4.9-c 48

61 Bağ krş ekseel boy kısalması mal edlrse, elemaı k ucudak geş kololar ayı ötelemey gösterr. Böylece bağ krş düzlemde oluşa dömeler eşt olur. Şekl 4.9-b de görüleceğ gb krş şekl değştrme eğrs, krş uçlarıı düşey doğrultuda görecel yer değştrmeler (+ω)ө kadar yer değştrmesyle oluşa deformasyo eğrs le özdeş olacaktır. Bu durumda eşdeğer krş, karakterstkler saptamak ç, krş uçlarıı görecel düşey yer değştrmeler yasıta tek br uyarlama katsayısı yeterl olacaktır. () doğrultusu ç; Şekl 4.9-b dek krş rjtlk katsayısı k = E / 3 (a) Şekl 4.9-c dek eşdeğer krş rjtlk katsayısı k = E / (+ω) 3 (a) = (b) yazılırsa; (b) fadeler elde edlr. Burada K yukarıda basedle uyarlama katsayısı dır. Bağ krşler kısa ve der olmaları durumuda, kayma deformasyoları yapıı tüm davraışlarıda etkl olablr. Bağ krşler K uyarlama katsayısı le eşdeğer krşe döüştürdükte sora, kayma deformasyouu göz ardı etmemek gerekr. Yapılacak aalz sadece eğlme etkler altıdak br sstem ç yapılacaksa, kayma deformasyou etkler esaba katmak ç eşdeğer krş eylemszlk momet bu etky göz öüde tutmak ç, bu kez şeklde esaplaır. Burada dkdörtge betoarme kestler ç f =, ve G =,45 olduğu göz öüe alıırsa aşağıdak fade yazılablr. 49

62 Eşdeğer krş ucudak mometler esapladıkta sora, kk küçültme katsayısı le çarpılarak, bağ krş meset yüzü mometler ya geş kolo elemalarda oluşa mometler buluur. (Atımtay, ) 4.. Krşsz Perde Çftler Ayı akstak k perde ar krşsz döşemeler tarafıda brleştrlmes durumuda, (Şekl 4.) efektf bağ krş geşlğ b eff aşağıdak gb esaplaır. b eff = t s + t w Şekl 4. 5

63 5. PERDE-ÇERÇEVE TAŞY SİSTEMER 5.. Perde-Çerçeve Karma Sstemler Davraışı Perde ve çerçeveler brlkte çalıştığı sstemlerde k değşk davraış söz kousudur. Perde duvar yatay yükler altıda br eğlme krş gb, çerçeve se br kayma krş gb davraır. Bua bağlı olarak perde duvarı deformasyo eğrs dışbükey (Şekl 5.-a), çerçeve deformasyo eğrs se çbükey (Şekl 5.-b) olma eğlm gösterecektr. Acak sstem bütü olarak perde ve çerçeve brlkte çalışma presb gereğ, em eğlme krş em de kayma krş özellkler taşıya br başka deformasyo eğrs oluşturacaktır. (Şekl 5.-c) Şekl 5.-a Şekl 5.-b Şekl 5.-c Perde ve çerçeve görecel rjtlkler br foksyoua bağlı olarak, oluşa deformasyo eğrsde eğlme veya kayma krş davraışı ağır basacaktır. 5.. Eşdeğer Çerçeve Yötem le Ser Bağlı Çerçeve Açılımı Yötem Kat plaı Şekl 5.-a dak gb ola yapıı (Asıl Yapı) k boyutlu br ser çerçeveye drgemş al Şekl 5.-b de görülmektedr.(eşdeğer Çerçeve). Eşdeğer çerçevede, kat sevyelerde yerleştrlmş ola düzlem çde sosuz rjt çubuk elemalar, perde elemalar le çerçeve elemaları eşt yaal öteleme yapmasıı sağlarlar. 5

64 Şekl 5.-a Şekl 5.-b Ser çerçeveler şeklde ola eşdeğer çerçeve bölüm 3. dek esaslara göre tek açıklıklı çerçeveye döüştürülerek aalze tab tutulur. /H</5 durumu söz kousu olduğuda kesme kuvvet etkler esaba katmak ç perde rjtlğ /+s fades le çarparak azaltılır. Eşdeğer çerçeve aalz souçlarıa göre Asıl Çerçeve dek er br elemaa düşe yatay yükler ve mometler aşağıda alatıldığı gb esaplaır. 5