hızlarıyla va > vb olacak biçimde hareket ettiklerinde, aşağıda sıralanan süreç yaşanır.

Transkript

1 7.1 KONUY KIŞ uraya kaar parçacığın parçacıklar topluluğunun kinematiği ile kinetiği (hareket enklemi, iş ve enerji, impulsmomentum) anlatılı. Şimi birikimlerimizi kullanarak, inamik içeriği aha yoğun olan üç özel konuyu ele alacağız. unlar çarpışma, merkezsel hareket (gök mekaniği), sürekli kütle akımı. 7. ÇRPIŞM İki parçacığın birbiriyle çarpışması, impulsmomentum ilkesi ile çözülür. Çarpışma sırasına oluşan olukça şietli impulsif etkiye sahip kuvvetler çok kısa bir zaman aralığı içine etkirler. Karmaşık bir olay olan çarpışma sırasına malzemeler önce şekil eğiştirirler, sonra bunun tümünü ya a bir kısmını geri kazanırlarken, aynı ana ısı ve ses açığa çıkarırlar. Şimi Şekil 7.1 en yararlanarak konuyu anlamamıza yarayacak iki tanım yapalım. Temas Yüzeyi: Çarpışan iki parçacığın birbirleriyle temas ettikleri noktaa yüzeylerine teğet olan üzlemir (akınız Şekil 7.1a). Çarpışma Çizgisi: Parçacıkların kütle merkezinen geçen çizgi. Çarpışma sırasına iki farklı urumla karşılaşılabilir. Eğer Şekil 7.1a a görülüğü gibi parçacıkların çarpışma öncesineki hız vektörleri çarpışma çizgisi ile çakışıyorsa buna oğruan merkezi çarpışma, aksi hale Şekil 7.1b e görülüğü gibi ise eğik merkezi çarpışma enir. DOĞRUDN MERKEZİ ÇRPIŞM: Şekil 7.a a görülüğü gibi iki tane bilaro topu üşünelim. Her ikisi e sağ tarafa oğru biat üstüne v ve v hızlarıyla v > v olacak biçime hareket ettiklerine, aşağıa sıralanan süreç yaşanır.

2 PRÇCIĞIN KİNETİĞİ: ÖZEL KONULR ÖZET İLGİ Doğruan merkezi çarpışma: ve parçacıklarının çarpışma öncesi hızları v ve v birbirlerine paralelir. u iki parçacığın çarpışma sonrası hızları v ve v yi bulmak için kullanılacak iki enklem: momentumun korunumu : mv + m v = mv + m v çarpışma katsayısı : e= v - v v - v Eğik merkezi çarpışma: Temas yüzeyine teğet oğrultuya t ve çarpışma çizgisine normal oğrultuya n ersek, hız vektörlerini (t, n) takımına bileşenlerine ayırabiliriz. Teğet oğrultua her iki parçacıkta a oğrusal momentum korunur. öylece teğet oğrultuaki hız bileşenleri: (v )t = (v )t, (v )t = (v )t Normal oğrultuaki hız bileşenlerini bulmak için kullanılacak iki enklem: m (v )n + m (v )n = m (v )n + m (v )n e= (v )n - (v )n (v )n - (v )n.örnek 7-1. Şekil P1.1 eki golf topu h1 = 70 cm yükseklikten serbestçe bırakılıyor. Top rijit yüzeye çarptıktan sonra h = 5cm yukarıya zıplıyor. Golf topu ile yüzey arasınaki çarpışma katsayısını hesaplayınız. ÇÖZÜM: Rijit yüzey: Kütlesi : my = Hareketsiz oluğunan : vy = vy = 0 (P1.1) Çarpışma öncesi hız: Golf topunun yüzeye çarpacağı anki hızı vt yi bulmak için enerjinin korunumu ilkesinen yararlanalım (akınız Şekil P1.a). Topun h1 = 0.7 m yükseklikte serbest bırakılığı anki potansiyel enerjisi, zemine ulaştığı anaki kinetik enerjisine eşitlenirse:

3 190 DİNMİK ( v ) 0.04 m/sn, ( v ) 0.71m/sn = = (P 3.6) 1 n n. topun çarpışma onrası hareket oğrultusu: ( ( v ) -1 t = tan = tan =- 0.61ra =-35 v 0.71 ( ) ) ( ) n Şekil P 3.3 e görülüğü gibi beyaz top sağ cebe girmez. 7.3 MERKEZSEL HREKET - GÖK MEKNİĞİ Parçacığın hareketi sırasına onun yörüngesini belirleyen F kuvveti Şekil 7.5 eki gibi bir sabit O noktasına yönelmişse, ortaa bir merkezsel hareket varır. Gezegen hareketleri, uyuların ünya etrafınaki hareketi, yüksek irtifalı roketler ile uzay araçlarının hareketleri buna örnek verilebilir. Kepler Kanunları: Gezegen hareketlerinin kuramsal çözümü yapılmaan önce, 17. yüzyılın başlarına Kepler ( ) gözlemlere ayalı üç önemli sonuca varmıştır. unlar: 1. Gezegen yörüngeleri, oağına güneşin bulunuğu bir elipstir.. Gezegen ile güneş arasınaki yarıçap, eşit zaman ilimine eşit miktara alan tarar. 3. Gezegen hareketine, periyoun karesi, gezegenle güneş arasınaki ortalama uzaklığın küpü ile orantılıır. HREKET DENKLEMLERİ: Şekil 7.5 e oak noktasına sabit uran M kütleli parçacığın etrafınaki bir yörüngee hareket een m kütleli parçacığa etkiyen çekimsel kuvvetin şieti, Mm F = G (7.11) r ir. uraa G evrensel çekim sabiti olup, r kütlelerin merkezleri arasınaki uzaklıktır. Çekimsel harekete en uygun takım Şekil 7.6 aki (, r ) kutupsal koorinatlarır. u uruma hareket enklemleri, Fr = mar - F = m( r-r ) üï ï ýï (7.1) F = ma 0= mr ( + r ) ï ïþ olur. Şimi bu iki enklemi sırayla ele alıp biraz inceleyelim. (7.1) nin ikinci enklemi: Sıfıra eşit enkleme m çarpanı üştükten sonra, ifaeyi r ye bölüp biraz üzenlersek,

4 7. PRÇCIĞIN KİNETİĞİ: ÖZEL KONULR 193 Uyu, ünyanın merkezineki oak noktasına göre ifae eilen yörüngesine, fırlatma uçuşu enilen hareketle yani roketlerle yönlenirilerek oturtuluyor ve sonra yörüngeye girince roketleren ayrılarak serbest uçuş sürecine geçiyor. Fırlatma uçuşu Şekil 7.8 e kesikli çizgiyle gösterilmiştir. u noktaa uyunun serbest uçuş hızı belli bir eğerin altına inerse, uyu ünyaya yönelir ve o a kesikli çizgi ile çarpma yörüngesi olarak Şekil 7.8 e görülüyor. yrıca şekli inceleiğimize yörüngenin belirlenmesine ışmerkezliğin önemli bir araç oluğu hemen fark eiliyor. Şöyle ki: e = 0 airesel serbest uçuş 0< e < 1 eliptik serbest uçuş e = 1 parabolik serbest uçuş e > 1 hiperbolik serbest uçuş. YÖRÜNGE DENKLEMİ: açısının ölçüleceği başlangıç ekseni eğer Şekil 7.7a aki gibi bir keyfi x ekseni eğil e, koniği ik kesen oak ışını üstüneki x ekseni biçimine seçilirse, (7.19) ve (7.1) e faz açısı = 0 olur. Şu anan itibaren kenimizi ünya etrafınaki uyu hareketiyle sınırlayalım ve oak noktasınaki ünyanın kütlesine M, uyunun kütlesine m iyelim. öylece (7.1) ve (7.) en, uyu için yörünge enklemi, = + C cos (7.3) biçimine saeleşir. Ya a (7.3) e (7.) yi yerleştirirsek, ışmerkezlik üstünen ifae eilen yörünge enklemi, = ( 1+ ecos ) (7.4) ele eilir. Dünya yarıçapı R = 6378km ir. Göstermek mümkünür ki, m /sn = gr = olur (akınız Problem 7-3.1). Şekil 7.8 e oak ışını iki özel noktaa eliptik yörüngeyi ik keser. iri = 0 için oağa en yakın uzaklık olan günberi noktası, iğeri = 180 için oağa en uzak yer olan günöte noktasıır. C ve h sabitlerinin hesabı: Yörünge üzerine bir noktanın konumu ve buraa uyu hızının belli ise bu sabitler belirlenebilir. Şimi bunu

5 7. PRÇCIĞIN KİNETİĞİ: ÖZEL KONULR 197 Öte yanan, = 0 ve = 180 için (7.4) ü üzenlersek, sırasıyla, = ( 1+ e) ve = ( 1- e) (7.41) 1 ele eilir. u iki ifaeyi taraf tarafa toplarken h= vr 11 ile birlikte (7.31), (7.34) ve (7.35) en e yararlanırsak, bir takım basit işlemler sonrasına günberi noktasınaki hızın karesi, ( 1+ e) v1 = (7.4) a( 1-e) bulunur. Şimi (7.40) a (7.4) ve (7.34) e yerleştirilirse, enerji, m E =- = sabit (7.43) a ele eilir. O noktasınan r kaar öteeki herhangi bir noktaa hızı v olan uyunun enerjisi (7.43) e eşit olmalıır. una göre, 1 m m mv - r =- a (7.44) 1 v = ( - r a ) (7.45) bulunur. (7.45), büyük yarı eksen uzunluğu belli olan periyoik bir merkezsel harekette herhangi bir r uzaklığınaki uyunun hızını belirlemekte kullanılan çok yararlı bir ifaeir. çısal Momentumun Korunumu: Merkezsel harekette çekim kuvveti hep oak noktası O ya yönelmiş oluğu için parçacığın hareketi sırasına açısal momentum korunur. O neenle, örneğin Şekil 7.9 a, P 1 ve P noktaları arasına açısal momentumun eşitliği, ( mv1) r1= ( mvsin ) r rv 1 1= r( vsin ) (7.46).ÖRNEK 7-4. Dünya merkezinen r 1 kaar yükseklikte günberi noktasına yörüngeye oturtulmaya çalışılan Şekil P 4.1 eki uyu, roketlerine oluşan bir arıza neeniyle kaçma hızı ile serbest uçuş noktasına geliyor. u hızı hesaplayınız. ÇÖZÜM: Uyu kaçma hızına çıktığına parabolik yörünge girer ve ışmerkezliği e e = 1 (sınır eğer) olur. Şu hale (7.) ve (7.5) en: Ch e = Ch 1= C = h

6 0 DİNMİK olur. uraa moment kolları r O ile r O, sırasıyla, O noktası ile ve kesitlerinin geometrik merkezleri arasınaki ik uzaklıktır. Eğer giren ve çıkan akışkanın hızları aynı üzleme eğilse, o zaman yazılacak vektörel ifae: m M ( ) O = r t O v - r O v (7.51).ÖRNEK 7-8. Şekil P 8.1 eki enjektöre sabit boruan giren suyun statik basıncı kesitine p = 8kN/m ir. ve kesitlerine ait alanlar = 0.08m ve = 0.04m olup, enjektörü v = 8m/sn lik hızla terk een suyun oğrultusunun yatayla yaptığı açı = 30, suyun yoğunluğu 3 3 s = 10 kg/m tür. Enjektör ağzının geometrik merkezi ile C kesiti arasınaki üşey uzaklık h = 0.5m, enjektörün ağırlığı W e = 00 N, ağırlık merkezi M nin konumunu veren boyutlar a = 0.1m ve b = 0.3m ir. Enjektörü üşey boruya bağlayan C kesitine oluşacak bağ kuvvetleri ile eğilme momentini hesaplayınız. ÇÖZÜM: Sabit özgül ağırlıklı üzgün akım neeniyle, 0.04 v = v v = 8 = 4m/sn 0.08 olur. Şekil P 8. en yararlanılarak üzgün akım enklemi yazılırsa: m Fx = é ( v) -( v) ù x x t êë úû m 3 = sv = = 30 kg/sn t ( v) = 0 x ( v) = v = 4m/sn y ( v) = v cos 30 = 6.93m/sn x ( v ) =- v sin 30 =-4m/sn C = 30( ) = 17 N x m Fy = é ( v) -( v) ù y y t êë úû m p-cy- We = [(-4)- 4] t y