Bölme işlemi her zaman basit gerçekleştirilemiyordu... Örneğin, 35 8 işlemi şöyle gerçekleştiriliyordu: Burada iki kat alma işlemi bitiyor

Transkript

1 Bölme işlemi her zaman basit gerçekleştirilemiyordu... Örneğin, 35 8 işlemi şöyle gerçekleştiriliyordu: Burada iki kat alma işlemi bitiyor Fakat 35 elde edilemediği için bu kez 8 in ikiye bölme işlemleri gerçekleştiriliyor

2 Bölme işlemi her zaman az önce olduğu gibi basit gerçekleştirilemiyordu... Örneğin, 35 8 işlemi şöyle gerçekleştiriliyordu: 35 = olduğundan 35 8 = 4 + (1/4) + (1/8) olur

3 Örnek: 16 3 =? 16 = olduğundan 16 3 = (1/3) = 5 + (1/3) olur

4 Kesirleri birim kesir cinsinden ifade edebilmek için özel 2/n tabloları oluşturmuşlardır.

5 Bu tabloyu oluştururken bazı kesirleri; 2/n = 1/[(n+1)/2]+1/[n(n+1)/2] formülünü kullanarak birim kesirlere dönüştürdükleri anlaşılmaktadır. Örnek: 2/7 yi bu şekilde yazmaya çalışalım. 2/7 = 1/[(7+1)/2]+1/[7(7+1)/2] =1/4 + 1/(7X4) =1/4 + 1/28 Örnek: 2/11 i bu şekilde yazmaya çalışalım. 2/11 = 1/[(11+1)/2]+1/[11(11+1)/2] =1/6 + 1/(11X6) =1/6 + 1/66

6 Fakat 2/15 i yazarken bu kuralın çalışmadığı anlaşılmaktadır. Payda eğer 3k şeklinde ise 2/3k = [1/2k]+[1/6k] formülünü kullanarak birim kesirlere dönüştürdükleri anlaşılmaktadır. Örnek: 2/15 i bu şekilde yazmaya çalışalım. 2/15 =2/(3X5)= [1/(2X5)]+[1/(6X5)] =1/10 + 1/30 Örnek: 2/21 i bu şekilde yazmaya çalışalım. 2/21 =2/(3X7)= [1/(2X7)]+[1/(6X7)] =1/14 + 1/42

7 Yukarıda açıklanan iki metoda rağmen, örneğin 2/19 un yazılması esnasında kullanılan; 2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114 İfedesinin nasıl ve niye tercih edildiği halen tam olarak anlaşılamamıştır. Örneğin 2/19 u yazarken niye aşağıdaki alternatifler tercih edilmemiştir? 2/19 = 1/[(19+1)/2]+1/[19(19+1)/2] =1/10 + 1/190 veya 2/19 =1/12 + 1/57 + 1/228 2/n tablosundaki tüm verilenleri açıklayan kesin bir metod halen bulunamamıştır.

8 Tablonun oluşturulması esnasında aşağıda belirtilen tercihlerin yapıldığı anlaşılmaktadır: 1.Hiçbiri de 1000 den büyük olmayan, küçük paydalar tercih edilmektedir 2.Az sayıdaki birim kesir tercih sebebidir ve hiçbirinde 4 ten fazla birim kesir yoktur 3.Özellikle ilk birim kesir için, paydanın tek sayı değil, çift sayı olması tercih edilmektedir 4.Küçük paydalar öncelikle yazılmakta, ve hiçbir payda diğerinin aynisi olmamaktadır 5.Bazen küçük olan ilk payda, diğer paydaların değerinin azaltılması için artırılmaktadır. Örneğin; 2/31 için (1/18 + 1/ /279) değil (1/20 + 1/ /155) kullanılmaktadır. BU TERCİHLERİN NEDEN BU ŞEKİLDE YAPILDIĞI HALEN ANLAŞILMIŞ DEĞİLDİR

9 Şimdi, kesirlerle ve kesir bulunan sayılarla çarpım işlemlerinin nasıl yapıldığını öğrenelim: ÖRNEK: (2 + 1/4) X (1 + 1/2 + 1/7) işleminin nasıl yapıldığı aşağıda açıklanmıştır. Çarpma işleminde yaptığımız gibi iki katını alarak bu işlemi gerçekleştireceğiz (2 + 1/4) X (1 + 1/2 + 1/7) = 3 + 1/2 + 1/8 + 1/14 =

10 Şimdi, kesirlerle ve kesir bulunan sayılarla bölme işlemlerinin nasıl yapıldığını öğrenelim: ÖRNEK: 37 (1 + 2/3 + 1/2 + 1/7) =? Bölme işleminde yaptığımız gibi bölenin iki katını alarak bu işlemi gerçekleştireceğiz Bu sayı 37 ye çok yakındır ve eksik kalanı bulmak için; z x

11 Şimdi, kesirlerle ve kesir bulunan sayılarla bölme işlemlerinin nasıl yapıldığını öğrenelim: ÖRNEK: 37 (1 + 2/3 + 1/2 + 1/7) =? Bölme işleminde yaptığımız gibi bölenin iki katını alarak bu işlemi gerçekleştireceğiz 37 (1 + 2/3 + 1/2 + 1/7) = /56 + 1/ /776

12 Ödev 3 Yunan yarımadasında hüküm süren Eski Yunan medeniyetleri ve bu medeniyetlerin en belirgin özelliklerinin anlatılacağı, bir sayfayı geçmeyecek Ģekilde metin hazırlayınız. Ödev teslimi : 20 Ekim 2011 tarihinde teslim edilecektir.

13 Mezopotamya Matematiği

14 BABĠL KULESĠ

15 AKBABA KABARTMALARI

16 SÜMER YAZISI

17 BÜYÜK ZĠGGURAT

18 BABĠLĠN ASMA BAHÇELERĠ

19 HAMMURABĠ KANUNLARI

20 GILGAMIġ

21 Mezopotamya da yaşamış başlıca medeniyetler: Mezopotamya coğrafyasında yaşamış bazı medeniyetleri Sümerler, Akatlar, Babiller, Kaldeyenler, Asurlar, Urlar, Huriler, Hititler, Persler...olarak biliyoruz.

22 Günümüze Mısırlılardan çok daha fazla yazılı belgenin Mezopotamyalılardan kaldığını görüyoruz. Bunun nedeni ise Mezopotamyalıların yazıyı kil tabletler üzerine yazmış olmalarından kaynaklanmaktadır. Kil tabletler bazen güneşde kurutuluyor, bazen ise pişiriliyordu. Bu sebeplerden dolayı tabletlerin ömrü oldukça uzun olmuştur. Tabletler dünyanın çeşitli müzelerinde korunmaktadırlar. Örneğin İstanbul arkeloji, Berlin, Lourve, Moskova gibi müzelerde halen sergilenmektedirler.

23 Mezopotamyada yaşayan medeniyetlere ait olan matematik bilgimiz okunabilen tabletler aracılığı ile olmuştur. Okunabilenincelenebilen beş yüze yakın tabletde matematikle ilgili işlemlerin olduğu görülmüştür. Kesinlikle kalıntılardan Mezopotamyada yapılan matematiğin Mısırda yapılan matematik seviyesinden oldukça ileri düzeyde olduğu biliniyor.

24 Mezopotamyada Mısırlda yapılan matematiğinin ötesinde ikinci dereceden bazı polinomların köklerinin bulunması, iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemin çözümü gibi işlemler yapılıyordu. Fakat ikinci dereceden her polinomun köklerini bulamıyorlardı çünkü negatif ve irrasyonel sayılarını bilmiyorlardı. Ayrıca Mezopotamyalılar sonradan Pisagor teoremi olarak adlandırılan teoremi de biliyorlardı. İlk önceleri pi sayısını karesi 10 olan bir sayı olarak bilmekte idiler. Ama daha sonraki yıllarda pi sayısını 3.15 olarak kullanmışlardır.

25 Değişik sayı sistemleri yanında 60 tabanlı sayı sistemini kullanmışlardır. 60 tabanlı sayı sistemini kullanmalarına dair farklı üç görüş mevcuttur: 1) 60 sayısının 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 20, 30 gibi çok sayıda bölenlerinin olması günlük hayatta kolaylık sağlıyordu.

26 2) 60 tabanlı sayı sistemden önce o bölgede 10 ve 12 tabanlı sayı sistemlerinin kullananılıyordu. Daha sonra gelen medeniyetler, daha önceki ölçü birimleriyle uyum sağlayabilmek için, 10 ile 12 nin en küçük ortak katı olan 60 ı sayı sistemlerinin tabanı olarak kullanmışlardır.

27 3) O yıllarda insanlar sayı saymak için bir eldeki, baş parmak hariç, dört parmakta bulunan üç eklem yerini kullanıyorlardı; 4 parmakta 12 eklem yeri olduğu ve bir elde de beş parmak olduğu için bu iki sayının çarpımı olan 60 ı sayı sistemlerinin tabanı olarak almışlardır. 60 sayısını niçin sayı sistemlerine taban diye seçtiklerini anlatan bir tablet bulunduğu zaman bu sayı sistemini kullanma amaçlarını iyice öğrenmiş olacağız.

28 Günümüzdeki sayı sistemimizde 10 ve 10 nun kuvvetlerini kullandığımız ve sayıları buna göre basamaklandırdığımız biliniyor. Mezopotamyadaki sayı sistemi ise 60 tabanlı bir sistemidir. Mezopotamyalılar sayıları 60 ve 60 ın kuvvetlerine göre basamaklandırmışlardır. Günümüzde bu sayı sistemi: denizcilik ve astronomi de kullanılmaktadır. Bu sayı sisteminin özelliği basamaklı bir sayı sistemi olmasıdır. Saatin 60 dakika, günün 24 saat ve dairenin 360 dereceye bölünmesi bize Mezopotamyadaki sayı sisteminden kalan miraslardır.

29 Rakamların Sembollerle gösterimi Mezopotamya nın bir diğer özelliği ise, sayıları temsil eden soyut şekillerin kullanılması olmuştur. Soyut rakam sembolleri ilk kez Akadlar döneminde ortaya çıkmaya başlamıştır. Akadlar döneminde, Sümer resim yazıları zaman geçtikçe unutulmuş ve bu resimler belirli kelimeleri veya sayıları temsil eden soyut simgeler haline dönüşmüşlerdir.

30 Rakamların Sembollerle Gösterimi Mezopotamyalıların 1 ve 10 sayıları için bir ve diğerleri için 2 sembol kullanıldığı görülmektedir Sayıları ifade etmek için sadece iki sembol kullanılması, bir dezavantaj olarak ortaya çıkmaktadır. Bu nedenden dolayı sayılar gösterilirken sembollerin tekrarlanarak kullanılması zorunluluğu ortaya çıkmaktadır.

31 SAYILARIN BASAMAK DEĞERĠ KULLANILARAK ĠFADE EDĠLMESĠ Babilliler, Sümer ve Akad sayı sistemlerini daha da geliştirdiler. Sümer ve Akad dönemlerinde sayılar semboller ile gösterilmesine rağmen, bu dönemlerde basamak değeri ile ilgili bir bilginin olduğuna dair elimizde hiçbir veri bulunmamaktadır.babilliler böylece, insanlık tarihinin önemli buluşlarından birini gerçekleştirmiş oldular yılında, İngiliz yerbilimci William K. Loftus un bulduğu ve sayıların karelerinin sıralandığı iki kil tablet, basamak değerlerinin Babilliler döneminde kullanıldığını kesinleştirmiş oldu. Bu tabletlerde sıralanan sayılar; 1, 2 2 için 4, 3 2 için 9,..., 7 2 için 49 Bunları takip eden 8 2 için 14, 9 2 için 121 ve diğerleri bulunmakta idi.

32 SAYILARIN BASAMAK DEĞERĠ KULLANILARAK ĠFADE EDĠLMESĠ 8 2 için 14, 9 2 için 121 sayıların aslında basamak değerleri kullanılarak 64 ve 81 sayılarını ifade ettikleri anlaşılmaktadır. 8 2 için gösterilen 14 ün, gerçekte = 64, olduğu 9 2 için gösterilen 121 in ise, = 81 olduğu anlaşılmaktadır. Bu sayılarda basamakları gösteren herhangi bir işaret olmadığı için sayıların kaç olduğu hakkındaki kararı, yazının genel hükmüne göre vermek gerekmektedir. 14=64 sayısının gösterilişi ve 121=81 sayısının gösterilişidir

33 SAYILARIN BASAMAK DEĞERĠ KULLANILARAK ĠFADE EDĠLMESĠ = bu sayıyı günümüz rakamları ile ifade etmek için: 1,57,46,40 yazacağız.

34 SAYILARIN BASAMAK DEĞERĠ KULLANILARAK ĠFADE EDĠLMESĠ Babillilerin basamakları yazarken aralarında hafif bir boşluk bırakarak yazdıkları anlaşılıyor. = = 61 = = 2

35 KESĠRLĠ SAYILARIN GÖSTERĠLMESĠ Tam sayı ile kesirli sayıyı ayıran bir işaret bulunmuyordu Sayısının değişik şekillerde okunuşları: = = 11/300 = = 11/5 = = 132

36 Bu belirsizliği, Babil sayılarını günümüz sayıları ile ifade ederken, ortadan kaldırmak için basamak ayracı olarak virgül, ve tamsayı ayracı olarak ise noktalı virgül ; kullanacağız ,30; 20,

37 Tam sayı ile kesirli sayıyı ayıran bir işaret bulunmaması eksikliğinin yanında, sıfırın bulunmaması da önemli bir eksiklik idi. Bu eksiklik bin yıl sonra Selevkoslar döneminde M.Ö 300 civarlarında çözüldü ve sıfır rakamının olduğu basamağı doldurmak için semboller kullanıldı

38 Çarpma Fırat nehri üzerindeki Senkerah ta bulunan iki tablet ile çarpmayı nasıl yaptıkları anlaşılmıştır. Bu tabletlerde; 59 a kadar olan sayıların karesi, ve 32 ye kadar olan sayıların küpleri tablo halinde sıralanmaktadır.

39 ÇARPMA 2 2 a b a b a b 4 Babillilerin çarpma işlemi için bu formülü kullandıkları biliniyor. İki sayının çarpımınını, bu sayıların toplam ve farklarının karelerini tablodan bulmak sureti ile elde ediyorlardı Bölme işlemini bizim burada gösterdiğimiz şekilde gerçekleştiremediklerini unutmayınız...

40 BÖLME Bölme, Babilliler için zor bir işlem idi. Bölme işlemini gerçekleştirmek için çarpma işlemini kullanıyorlardı. a b işlemini a (1/b) olarak hesaplamayı gerçekleştiriyorlardı. Kil tabletlerde, bu amaçla kullanılan (1/n) tabloları bulunmuştur; ;30 0;10 0; ; ;20 0;7,30 0; ;2, ;15 0;6, 40 0;3, ;2, ;12 0;6 0;3, ;2

41 1/8 0; 7, 30 60:8 =7 kalan=4 4x60= :8=30

42 BÖLME işlemini gerçekleştirmek için ; (3,44) (;15) = 3 60 (15/60) + 44 (15/60) = /60 = = 56 İşlemini yapmaları gerekiyordu ;30 0;10 0; ; ;20 0; 7, 30 0; ;2, ;15 0; 6, 40 0;3, ;2, ;12 0;6 0;3, ;2

43 224 => 3, :60=3 kalan 44 44x60= :60=44

44 DİK ÜÇGEN (PİSAGOR) ÜÇLÜLERİ Babillilerin, Pisagor bağıntısı hakkında bilgi sahibi olduğunu gösteren 4 tane önemli tablet vardır. 1. Yale tablet YBC Plimpton Susa Tableti 4. Tel Dibai (Tell Dhibai) tableti

45 KAREKÖK HESAPLARI Yale üniversitesinde bulunan YBC 7289 tableti Buradaki resim bir kareyi göstermektedir. Kenarı 30 olarak belirtilen karenin köşegeninde, 1;24,51,10 ve 42;25,35 olmak üzere iki tane sayı yazılmıştır.

46 KAREKÖK HESAPLARI 1;24,51,10 sayısını onluk sayı sisteminde ifade edersek: / / /60 3 = elde edilir sayısı ise yaklaşık olarak 2 sayısını göstermektedir. 30 sayısı kenar uzunluğunu ve 42;25,35 sayısı ise köşegen uzunluğunu gösterirken, 1;24,51,10 sayısı da köşegen uzunluğunun kenar uzunluğuna oranını göstermektedir.

47 KAREKÖK HESAPLARI 0 42; 25, ;24,51,10 42;25,35 olduğu dikkate alındığında köşegen uzunluğunun kenar uzunluğunu çarpmak sureti ile elde edildiği anlaşılmaktadır. 2 ile

48 KAREKÖK HESAPLARI Bu kadar hassas ve doğru hesaplamayı nasıl başardılar? Bununla ilgili çeşitli tahminler olmasına rağmen, en popüler olan tahmin, Babillilerin algoritma içeren bir metod kullanmak sureti ile bu kadar yüksek doğruluk oranına ulaştıkları şeklindedir. Bu tahmine göre karekök ikiyi hesaplamak için başlangıç olarak biri ikiden küçük, diğeri ise ikiden büyük iki sayı seçtiler. a 2 b 2 Sonra bu iki sayının aritmetik ortalamasını hesaplayıp, bu sayının karesini aldılar; a 2 b 2

49 KAREKÖK HESAPLARI Bu kadar hassas ve doğru hesaplamayı nasıl başardılar? Eğer hesapladıkları kare, ikiden küçük ise a sayısını ikiden büyük ise b sayısını aritmetik ortalama ile değiştirerek hesaplamaya devam ettiler. a = 1 ve b = 2 ile bu hesaba başlandığı takdirde, 19 işlem sonra 2 1; 24,51,10 elde edilir. İşlem Ondalık 60 Tabanı ;29,59, ;14,59, ;22,29, ;26,14, ;24,22, ;25,18, ;24,50, ;25,04, ;24,57, ;24,54, ;24,52, ;24,51; ;24,51; ;24,51; ;24,51; ;24,51; ;24,51; ;24,51; ;24,51;10

50 PLİMPTON 322 Columbia Üniversitesi nde bulunan tablettir. Bu tablette 4 sütun ve 15 satırda sayılar vardır.

51 DİK ÜÇGEN (PİSAGOR) ÜÇLÜLERİ Bu tablette yazılı olanlar, Babillerin kesinlikle dik üçgen üçlüleri (Pisagor bağıntısı) hakkında bilgileri olduğunu göstermektedir. Babilli yazıcılar, c 2 = a 2 + b 2 sayılarını kullanarak bu tabloyu hazırlamışlardır Plimpton 322 nin pisagor üçlülerini sistematik olarak sunan bir tablo olduğu anlaşılmıştır.

52 SUSA TABLETİ Bu tablette, 50, 50 ve 60 kenar uzunluklarına sahip bir ikizkenar üçgen ile ilgili problem verilmektedir. Bu problemde, üçgenin üç köşesinden geçen çemberin yarıçapı 31;15 olarak hesaplanmaktadır. A, B ve C ikizkenar üçgenin köşeleri olsun. O, üçgenin üç köşesinden geçen çemberin merkezi olsun. AD, A köşesinden CB kenarına çizilen dik olsun. ADB bir dik üçgen olur. Böylece AD 2 + DB 2 = AB 2 yani AD 2 = = 40 2 ve AD = 40 elde edilir. Çemberin yarıçapı r ise, OA = OB = r ve OD = 40 - r olur. ODB dik üçgeninde; r 2 = OD 2 + DB 2 ve r 2 = (40 r) buradan r 2 = r + r , 80r = 2500 ve r = = 31;15 60 bulunur.

53 2500:80=? 2500x1/80= 2500:80=31 kalan 20 20X60= :80=15 Cevap: 31; 15

54 TEL DİBAİ TABLETİ Bu tablette, alanı 0;45 ve köşegeni 1;15 olan dörtgenin kenar uzunlukları sorulmaktadır. Alan 0;45 Köşegen 1;15 Tell Dhibayi Tablet Bu sorunun çözümünü, günümüz notasyonları x ve y kullanarak, fakat aynen tablette gösterildiği gibi ve 60 tabanına göre elde edelim: 2xy = 1;30 eder, bunu x 2 + y 2 = 1;33,45 ten çıkar x 2 + y 2-2xy = 0;3,45 elde et Karekök al ve x - y = 0;15 bul İkiye böl (x - y)/2 = 0;7,30 olur x 2 + y 2-2xy = 0;3,45 i, 4 e böl (alan=2.(x.y/2)=0;45) Böylece x 2 /4 + y 2 /4 xy/2 = 0;0,56,15 olur

55 DOĞRUSAL DENKLEMLER Doğrusal denklem çözümlerini nasıl gerçekleştirdiklerini görmek için, yazıcının yazdığı şekli hiç değiştirmeden, bir örnek inceleyelim: Yazıcı soruyu şöyle ifade ediyor: Bir torbadaki arpanın 2/3 ünün 2/3 ü alınıyor. Buna 100 birim arpa ekleniyor ve torbadaki kadar arpa elde ediliyor. Torbadaki arpanın miktarı ne kadardır? Yazıcının çözümü aynen aşağıda gösterildiği gibidir. 0;40 ile 0;40 ı çarp ve 0;26,40 ı elde et Bundan 1;00 çıkar ve 0;33,20 yi bul Kesirler tablosuna bak ve 1/0;33,20 nin değerini 1;48 olarak bul 1;48 i 1;40 ile çarp ve cevabı 3,0 olarak bul.

56 DOĞRUSAL DENKLEMLER Şimdi, aynı soruyu günümüzün modern cebir yöntemlerini kullanarak çözelim; Verilen soruda aşağıdaki denklemin çözümü soruluyor x x Bu denklem, yeniden düzenlenirse; x olur ve mezopotamyalı yazıcının da bunun farkında olduğu anlaşılıyor. Sorunun cevabı x olarak elde edilir Yazıcının çözümü: 3,0; = 3X = 180 olduğu gözlemlenir...

57 Babilliler, x 2 + bx = c ve x 2 - bx = c olmak üzere iki çeşit ikinci derece denklemlerini çözmeyi biliyorlardı. İKİNCİ DERECE DENKLEMLER 3. Daha sonra bu sistemi çözmek için şöyle bir yöntem uygulanıyordu: Bu denklemlerde b ve c tam sayı olmak zorunda olmayan pozitif iki sayı Bu denklemlerin çözümü için standart bir formül uygulanıyordu. Buna göre; 1. Önce, x 2 + bx = c denklemi x (x + b ) = c şeklinde yazılıyor 2. Sonra, y = x + b yazılarak aşağıdaki denklem sistemi elde ediliyordu xy c y x b 2 2 4xy y x b 4c 2 2 y x b 4c 2 x y b 4c x b b c x 2 b b 4c 2

58 BİRİNCİ DERECE DENKLEM SİSTEMLERİ Babilliler birinci derece, 2X2 denklem sistemlerini, algoritma kullanan bir yöntem ile çözmeyi başarıyorlardı. Bu denklemi çözmek için; x* y* seçilerek, x* y* 2 x* 1800 elde edilir böylece; 2 1 x y 3 2 x y x* 900 Daha sonra; x x* d ve bulunur; y y* d kullanılarak denklem sistemini dikkate alalım; d 900 d d d d x 1200 ve y bulunur;

59 Mısır-Mezopotamya dönemi matematiğinde teorem, formül ve ispat yoktur. Bulgular emprik veya deneysel; işlemler sayısaldır. Bunun böyle olması kaçınılmazdır çünkü o dönemde matematik, simgesel olarak değil, sözel olarak ifade ediliyordu. Sözel ve sayısal matematikde ( geometrik çizimler hariç) formel ispat vermek olanaksız olmasa bile, kolay değildi. Bu dönemin matematiği zanaat düzeyinde bir matematiktir; matematik matematik için matematik anlayışıyla değil, günlük hayatın ihtiyaçları için, yani halk için matematik anlayışıyla yapılmaktadır

60 Pers istilası birinci dönem Mısır-Mezopotamya matematiğinin son bulduğu ve ikinci dönem olan Yunan matematiği döneminin başladığı olay olarak biliniyor.

61 Kaynaklar 1. Burton, `The History of Mathematics`, 6 th Ed., McGraw Hill 2. Ali Ülger, Matematik Dünyası