OTOBANLARDA TRAFİK AKIŞ DİNAMİĞİNİN İNCELENMESİ

Transkript

1 BEYKENT ÜNİVERSİTESİ FEN VE MÜHENDİSLİK BİLİMLERİ DERGİSİ Volume 7(1) 2014, OTOBANLARDA TRAFİK AKIŞ DİNAMİĞİNİN İNCELENMESİ Hasan CARFİ Beyken Üniversiesi, Fen Bilimleri Ensiüsü, Yüksek Lisans Öğrencisi Bahaddin SİNSOYSAL Beyken Üniversiesi, Fen Edebiya Fakülesi, Maemaik-Bilgisayar Bölümü ÖZET Makalede oobanlardaki rafik akışının dinamiğini düzgün akseiren maemaiksel bir model oluşurulmuşur. p{ ve pr sırasıyla arakesiin sağ ve sol arafındaki araç yoğunluğunu gösermek üzere, Pf > pr durumunda çözümün parçalı sürekli bir fonksiyon olduğu gözlenmişir. Aksi halde, çözümde yeri önceden bilinmeyen bir şokun meydana geldiği ispalanmış ve sıçrayışın yerinin bulunması için bir meo önerilmişir. İlaveen önerilen meodun gerçekleşirilmesi için akış paramereleri de bulunmuşur Anahar Kelimeler: Trafik akışı, simülasyon modeli, Akış paramereleri.

2 BEYKENT UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND ENGINEERING Volume 7(1) 2014, INVESTIGATING OF THE DYNAMIC OF TRAFFIC FLOW ON A HIGHWAY Hasan CARFI (hcarfi@homail.com) Beyken Universiy, Insiue of Science, MSc Suden Bahaddin SlNSOYSAL (bsinsoysal@beyken.edu.r) Beyken Universiy, Faculy of Science and Leers, Deparmen of Mahemaics Compuing and ABSTRACT A mahemaical model reflecing properly he dynamics of raffic flow on highways has been consruced. In he case of p^ > pr, he soluion is observed as a piecewise coninuous funcion, where p^ and pr are he densiies of cars on he lef and righ side of he inersecion respecively. On he conrary case, i has been proven ha a shock of which he locaion is unknown beforehand arises in he soluion and furhermore a mehod specifying he locaion of jump has also been proposed. In addiion o he realizaion of he suggesed mehod, he parameers of he flow are also found. Keywords: Traffic flow, simulaion model, flow parameers.

3 Oobanlarda Trafik Akış Dinamiğinin İncelenmesi 1. GIRIŞ Bilindiği üzere oobanlarda arabaların akışını idare emek günümüzün en güncel problemlerinden biridir. Trafikeki ıkanıklık problemini minimuma indirgemek veya çözmek için sadece ensrümenal düzeyde müdahale emek yeerli değildir. Bu ür problemleri çözmek için bir maemaiksel modelin oluşurulmasına ihiyaç vardır. Bu alanda ilk ve önemli araşırmalar [2], [5] ve [7] de yapılmışır. p(x, ) ile birim uzunlukaki araba yoğunluğunu, q(x, ) ile oobanın herhangi bir kesiinden geçen araba sayısını göserelim. Bu durumda b b p(x, j )dx ve p(x, 2 )dx oobanın herhangi bir [a,b] parçasında = ^ a a ve = 2 zamanlarındaki araba sayılarını ifade emekedir. J q(a, s)ds ve J q(b, s)ds inegralleri A = 2 - zaman aralığında a nokasında rafiğe h kaılan ve b nokasında rafiken ayrılan arabaların sayısını göserdiğinden aşağıdaki h b b 2 2 J p( x, 2 )dx -Jp( x, } )dx = J q(a, s)ds - J q(b, s)ds (1) a a ^ denge denklemi geçerlidir. (1) denklemine oralama değer eoremini uygularsak - ^ f ^ ^ ( 2-1 )dx = - M ^ ^ (b - a d U 2-1, d b - a: dx l \ elde ederiz. 2 ^ ve a, b ^ x olmak koşuluyla limi alırsak aşağıdaki d p {x 2 ) + dq( x, ) =() d dx denklemini alırız. 57

4 Hasan CARFİ - Bahaddin SİNSOYSAL Akış dinamiğini incelemek için (2) denkleminde q fonksiyonunun p lokal yoğunluk ile arasındaki fonksiyonel bağınıyı bilmek gerekmekedir. (2) denkleminin çıkarılışı sürecinde aşağıdaki fiziksel yaklaşımlar söz konusudur. Oobanda araba akışının yeeri kadar yoğun olduğu varsayılır. Arabaların yoğun olduğu bölgede oobandan araba çıkışı ve girişinin olmadığı kabul edilir. Oobanda araç sürücülerinin refleksleri dikkae alınmamakadır. 2. AKIŞ PARAMETRELERİNİN BULUNMASI Önce oobanda arabaların hızını belirlemek için bir formül oluşuralım. Faka bu formülün oluşurulması eorik ve deneysel verilere dayanarak elde edilebilir. Bu formülleri araba hızını ifade emek için birinci yaklaşım olarak kabul edebiliriz. Göz önüne aldığımız [a,b] aralığında arabaların ampon-ampona dizildiğini varsayalım. Bu durumda arabaların harekei Şekil 1 de göserildiği gibidir. Ayrıca kinemaik eoriye göre akış hızı aşağıdaki gibi olur q v = (3) P Şekil 1. 58

5 Oobanlarda Trafik Akış Dinamiğinin İncelenmesi Araba hızı ile yoğunluk arasındaki bağlanı A(0, v mx ) ve,0) nokalarından geçen doğrunun denkleminden v P v(p) = v mx - (4) P max olarak bulunur. (1) ifadesini dikkae alınarak Q ( P) = P v( P) = ' P 2 ^ m P V P max 7 (5) elde edilir. Şekil 2. Oobanda gözlemlenen reel araç sayıları gösermekedir ki, ek şerili yollarda o o c araba onaraba,.cnnaraba Pmrnr 225, O; 8U, QmnY 15UU rmax mil mil ' a x saa olmakadır. Tek şerieki bu sayılar ooban için birinci yaklaşım olarak kabul edilebilir ve bu yaklaşımla üm oobandaki araba sayıları şerilerin sayısıyla çarpılarak elde edilir. Oobandaki reel deneyler sonucunda, akış maksimum değerini düşük hızlarda v Qmax 2Udeğerinde Pmax saa almakadır. Dalganın dağılım hızı c(p) = Q (P) = v(p) + P- (P) (6) 59

6 Hasan CARFİ - Bahaddin SİNSOYSAL olur. V (p) < 0 olduğundan c(p) hızı arabaların hareke hızından küçükür. Dalga rafik akışının aksine hareke ederek, sürücülere ileride bir problemin olduğu hakkında bilgi verir. c(p) hızı Q(p) eğrisinin eğimine eşi olur, yani dalga p < pj olduğunda ileriye doğru, p > pj olduğunda ise geriye doğru hareke eder. p = pj olduğunda, yani p = pj maksimum değer aldığında dalga yola nazaran harekesiz kalır. 3. SİMÜLASYON MODELİ VE ÇÖZÜMÜ Trafikeki akış dinamiğini incelemek için dp(x,) dq(x,) =() d dx denkleminin aşağıdaki İp, x < 0 P( X, ) = \ [p r, X > 0 (8) başlangıç koşulu çerçevesinde inceleyelim. Burada p ve p r sayıları p yoğunluğunun sıçrayışın arkasında ve önündeki değerlerini gösermekedir ve önce p l > p r kabul edelim. Lieraürden bilindiği üzere (7), (8) probleminin çözümü p(x,)=\ P, İP, < o ; [Pr, Ç> 0 (9) olmakadır. Burada Ç karakerisiklerin denklemi olup 4 = x - Q(p) (10) şeklinde yazılabilir. Şimdi, (10) ifadesi ile anımlanan karakerisikleri inceleyelim. Genel eoriden bilindiği üzere, p > p r olduğunda çözümde çok değerlilik oluşamaz. p > p r ve p r <p< p olduğu için (7) denkleminin x = p r ve x = p doğruları arasında kalan üm oomodel 60

7 Oobanlarda Trafik Akış Dinamiğinin İncelenmesi çözümleri koordina başlangıcından geçen doğrulardır, yani 4 = 0 olur, Şekil 3. Şekil 3. (7), (8) probleminin fiziksel anlamlı çözümünü yazmak için x = v, 2 ^ 1 p V P max J (11) doğrusu ile p = p r ve p = p doğrularını başlangıç koşulunu koruyacak ve aynı zamanda çözümün sürekliliğini sağlayacak şekilde birleşirmek gerekmekedir. Dolayısıyla 4 < 0 olduğunda p = p olup 4 > 0 olduğunda p = p r olup x < v 'i 1 2 P ^ V P max J x 7 > V " 'i 1 2 ^ Pr P V max J 4 = 0 olduğunda ise (11) ifadesinden 61

8 Hasan CARFİ - Bahaddin SİNSOYSAL P x max i P p max = h- _ 2 2 elde edilir. Bu ifadeleri dikkae alarak problemin çözümünü aşağıdaki şekilde f x P < v 1 2 P max \ P J P ( x ) = < P max ı P max,, 1, V v_ 2 2 i 1 2 P max \ x P < < v J ( A 2 1 Pr P max J (12) x Pr, > V i 'Pr Pm max A J alırız. (12) ifadesi ile anımlanan çözümün grafiği Şekil 4 de göserilmişir. Şimdi arabaların başlangıç dağılımının Şekil 5 de göserildiği biçimde olduğu, yani p < p r durumunu inceleyelim. Bu durumda (7), (8) probleminin yerine, [3] de olduğu gibi du( x, ) f du (x, ) + Q d V dx u( x,0) = \px, x < 0 p r x, x > 0 = 0 problemini çözmemiz gerekir. Söz konusu çözüm u( x, ) = olmakadır. \u_, 4< 0 u + 4> 0 J (13) (14) (15) 62

9 Oobanlarda Trafik Akış Dinamiğinin İncelenmesi Şekil 4 du (x, ) (13), (14) problemi [3] ve [4] de incelenmişir ve p(x, ) = dx ifadesinin (7), (8) probleminin çözümü olduğu ispalanmışır. Burada u = - V ve max _ o 2 P 2 Pm v u, =-- Pm + P Pr + Pr x - v x - v ( V ( V Y 2p P max J Y 2Pr P max J (16) (17) dır. Bu duruma karşılık gelen problemin karakerisikleri Şekil 6 da göserilmişir. Genel eoriye göre bu durumda çözümde sıçrayış oluşur. Sıçrayışın yerini u_ = u + denkleminden x ^ max v max Pm p İPi i +Pr ) = U (18) olarak buluruz. (18) ifadesini dikkae alarak (5), (6) probleminin çözümünü 63

10 Hasan CARFİ - Bahaddin SİNSOYSAL Şekil 5 Şekil 6 P, -< U P ( x ) = (19) Pr, ~> U şeklinde yazabiliriz. Bu duruma karşılık gelen çözümün grafikleri Şekil 7 de göserilmişir. Bu sonuçlar çerçevesinde rafik ışıklarını düzenlemek mümkün olur. Bunun için (x,) düzleminde karakerisikler ailesinin grafiklerini kurmak 64

11 Oobanlarda Trafik Akış Dinamiğinin İncelenmesi yeerlidir. Bunlar sabi yoğunluklu doğrulardır öyle ki, onların c(p) eğimi p ( 1 ) nun bu doğrular üzerinde aldığı sabi değerlerini belirlemekedir. MS r=ıo.15 D.1 ] f -1DDD -sdd Şekil DDD 1500 Yukarıdaki eoriyi rafikeki yeşil ışık problemine uygulayalım. Varsayalım ki, p{ = pmax ve pr = 0 olsun. Bu durum fiziksel olarak x = 0 nokasında kırmızı ışık yandıkan sonra rafiğin durmasını ifade emekedir. Görüldüğü gibi, araba yoğunluğu x = 0 nokasında sıçrayışa sahip olur. Söz konusu arabaların dağılım durumu (başlangıç durum) Şekil 4 de göserilmişir. Trafik ışığı kırmızıdan yeşile değişiğinde arabaların dağılım dinamiğinin bulunması alep edilmekedir. Genel eoriye göre ^ = c(p) = Q'(p) = Vmax ( 1 ^ ve karakerisikler üzerinde sabi kaldığı i 1' P) P-m.a.r. ' görülmekedir. Görüldüğü gibi ox eksenini poziif yöndeki herhangi bir x = x0 > 0 nokasında kesen karakerisiğin eğimi ^ = c(p ) = Q' ( p) = vmax (l ~~ 0) ) = V olur. Bu ür karakerisikler ailesinin denklemleri x = vmax + x0 olur. Diğer yandan ox eksenini negaif yönündeki nokalarla kesişen karakerisiklerin eğimi ise dx = c ( p ) = Q ( p) = vv Pmax p(x, 0) ) = -v, 65

12 Hasan CARFİ - Bahaddin SİNSOYSAL olmakadır. Açıkır ki, bu ür karakerisikler ailesinin denklemi x = - vmax + Xo gibi yazılır. vmax < x < vmax bölgesinde yerleşen karakerisiklerin hepsinin bir dx orak nokası olmakadır, yani = - olur. Bu durumda karakerisikler ' J d ailesinin denklemi Şekil 5 de göserildiği gibi olur. Bu sonuçlar çerçevesinde rafik ışıklarını düzenlemek mümkün olur. Bunun için (x, ) düzleminde karakerisikler ailesinin grafiklerini kurmak yeerlidir. Bunlar sabi yoğunluğu olan doğrulardır öyle ki, c(p) eğimi p(x, ) nin bu doğrular üzerinde aldığı sabi değerlerini belirlemekedir. Trafik ışıkları önünde ağır hareke eden rafik akış dinamiği Şekil 9 dan kolayca anlaşılabilir. x Şekil 8 66

13 Oobanlarda Trafik Akış Dinamiğinin İncelenmesi 4. SONUÇ Önerilen modelin avanajları aşağıda liselenmişir: Oobanın herhangi bir nokasındaki araba yoğunluklarının belirlenmesi, Oobanda maksimum araba akışını ahmin emek için oralama araba hızının espii, Olası rafik ıkanmalarının karşısını almak amacıyla rafik ışıklarının idare edilmesi. KAYNAKLAR [1] Hery, M., Pareschi, L., Seaid, M., Discree-Velociy Models and Relaxaion Schemes for Traffic Flows, SIAM J. Sci. Comp., Vol. 28, No 4, pp , [2] Lighhill, M.J., Whiham, G.B., On Kinemaic Waves, I. Flood Movemen in Long Rivers; II. Theory of Traffic Flow on Long Crowded Roads, Proc. Royal Soc. London Ser. A(229), pp ,1955. [3] Rasulov, M., Süreksiz Fonksiyonlar Sınıfında Korunum Kuralları, Seçkin Yayınevi, İsanbul [4] Rasulov, M., Sinsoysal, B., Haya, S., Numerical Simulaion of Iniial and Iniial-Boundary Value Problems for Traffic Flow in a Class of Disconinuous Funcions, WSEAS Transacions on Mahemaics, Vol. 5, No.12, pp , 2006 [5] Richards, P.I., Shock Waves on he Highway, Operaions Research, 4, pp.42-51, [6] Siebel, F., Mauser, W., On he Fundamenal Diagram of Traffic Flow, SIAM J. Appl. Mah., Vol. 66, No 4, pp , [7] Whiham, G.B., Linear and Nonlinear Waves, Wiley In., New York,

14 Hasan CARFİ - Bahaddin SİNSOYSAL 68