SÜREKLİ ZAMANLI KAOTİK SİSTEMİNİN DURUM GERİ BESLEME İLE DOĞRUSALLAŞTIRILMASI VE DENETİMİ

Transkript

1 SÜREKLİ ZAMANLI KAOTİK SİSTEMİNİN DURUM GERİ BESLEME İLE DOĞRUSALLAŞTIRILMASI VE DENETİMİ Ümi ÇOKRAK Ahme UÇAR Elekrik-Elekronik Mühendisliği Bölümü Mühendislik Fakülesi Fıra Üniversiesi, 9, Elazığ e-posa: e-posa: Anahar Kelimeler; Kaoik sisemler, Durum geri besleme ile doğrusallaşırma, Kaos deneimi. ABSTRACT Nonlinear sysems exhibi complex behaviors including regular; such as exponenial and asympoic ha converge and diverge rom he equilibrium poins and irregular; limi cycle and muliple oscillaions behaviors. The nonlinear sysems may also exhibi a srange behavior called chaos ha has been observed rom many engineering and physical sysems. Alhough sudying he dynamic properies o chaoic sysems is sill one o acive research opics, however conrolling chaos has been received a grea ineres and ocused by many researches. In his sudy, he sae eedback linearizaion mehod has been used o sabilize chaoic sysems. The mehod employed by use o Lie algebra and is used o conrol a coninuous chaoic sysem known Genesio-Tesie sysem. The eecive o he proposed mehod is illusraed and he simulaion resuls are provided.. GİRİŞ Genellikle doğrusal olmayan sisemlerin davranışları, denge nokalarına göre sisem doğrusallaşırılarak bölgesel bir durum için incelenir. Global davranış ise bu denge nokaları civarındaki davranışların birleşirilmesi ile elde edilir ve küçük genlikli işareleri için incelenir. Ancak doğrusal olmayan sisem kuramında yapılan çalışmalar sonucunda böyle bir yaklaşım ile sisemin global davranışının am olarak anlaşılamayacağı görülmüşür []. Doğrusal olmayan sisemler, bilinen düzenli davranışların yanında, düzensiz ve oldukça karmaşık davranışlar da göserebilirler. Sisemin, girişine herhangi bir işare uygulanmadan sisemin kendi dinamiğinden dolayı oluşan doğrusal olmayan davranış ürlerinden limi çevirim ve çoklu periyolu osilasyonlar göserdiği uzun yıllar öncesinden bu yana bilinmekedir. Bu davranışlar, sisemin durum değişkenlerinin başlangıç şarlarına göre duyarlı değildirler. Örneğin Van Der Pol osilaörü belirli paramereler için limi çevirim göserdiği durumda limi çevirimin genliği ve rekansı doğrusal sisemlerde olduğu gibi sisemin durum değişkenlerinin arklı başlangıç şarlarına göre değişmez []. Son yıllarda, doğrusal olmayan sisemlerde limi çevirimden daha karmaşık olan ve belli bir rekans bandında ekili olan, garip srange olarak adlandırılan kaoik davranışlar da gözlemlenmişir []. Kaoik davranışların emel karakerisiği siseme herhangi bir giriş uygulanmadan, sisemin yapısından dolayı oluşan bir davranış ürü olup sisemin durum değişkenlerine karşı oldukça çok duyarlıdır []. Kaoik davranışlar elekronik sisemlerde, ilk olarak Japonya da 970 lerde gözlemlenmiş ve bu davranışlar garip srange davranış olarak adlandırılmışır. Bu çalışmadan sonra birçok mühendislik ve doğa sisemlerinde kaoik davranışlar gözlemlenmişir. Kaoik davranışın bilim insanlarınca gözlemlendiği ilk yıllarda, kaoik davranış göseren sisemlerden öncelikle kaçınılmışır. Yada sisem paramereleri değişirilerek sisem kaoik davranış gösermeyecek şekilde çalışırılmaya zorlanmışır []. Bu düşünce kaosun konrol edilebileceği ikri doğurmuş ve ilk olarak kaos konrolü O ve diğerleri araından yapılmışır []. Son yıllarda konrol kuramında gelişirilen analiz ve konrol yönemleri ile kaoik sisemlerin davranışlarının analizi ve konrolü yapılmakadır [4]-[]. Bu yöndeki çalışmalar önemli bir araşırma alanı haline gelmişir. Bu çalışmada, doğrusal olmayan sisemlerin am ya da kısmi doğrusallaşırılması için gelişirilen durum geri beslemeli doğrusallaşırma meodu kullanılarak sürekli zamanlı kaoik sisemlerin konrolü yapılmışır. Doğrusal olmayan sisemlerin durum geri besleme ile doğrusallaşırılması için kullanılabilen dieransiyel geomeri, Lie algebra, ile kaoik sisem doğrusal olmayan bir konrol işarei ile doğrusallaşırılmış ve hedelenen kapalı çevirim kuupları da doğrusal deneleyici ile sağlanmışır.

2 Uygulama olarak sürekli zamanlı kaoik bir sisem olan Genesio-Tesi siseminin konrolü yapılmışır. Bölüm de sürekli zamanlı kaoik sisemlerin emel karakerisikleri verilmişir ve Genesio-Tesi kaoik siseminin dinamik davranışı özelenmişir. Bölüm de doğrusal olmayan sisemler için durum geri beslemeli konrol işlenmişir. Genesio-Tesi siseminin kaoik davranışının konrolü bölüm 4 e verilmişir. Bölüm 5 e ise sonuçlar arışılmışır.. SÜREKLİ ZAMANLI DOĞRUSAL OLMAYAN SİSTEMLERDE KAOTİK DAVRANIŞLAR Girişi olmayan ve n ane durum değişkeni olan, doğrusal olmayan dinamik sisemlerin maemaiksel modeli denklem () de verilen doğrusal olmayan dieransiyel denklem ormundadır. x & = ( x, () Burada durum değişkenlerinin ürevi ve, n boyulu bir doğrusal olmayan onksiyondur. Denklem () de verilen sisemin, seçilen x 0 ( = 0) başlangıç şarları için sisem çözümü x( nin ek olduğu varsayılırsa, x( nin durum uzayındaki değişimi sisem yörüngesi olarak adlandırılır. Denklem () de verilen sisemin yörüngesi, doğrusal olmayan ( x, onksiyonuna ve sisemin denge nokalarına göre değişir. ( x, onksiyonu üzerinde herhangi bir sınırlama yapılmadan denklem () deki sisemin çözümü: a) Sisemin denge nokalarına göre doğrusallaşırılarak ve denge nokalarındaki değişimler birleşirilerek incelenebilir. Ancak bu çözüm sisemin dinamik davranışını saikleşirir. Sisemin doğal davranışını gösermeken uzakır []. Bu çözüm ekniğiyle düzenli davranışlar, yani asimpoik, üsel kararlı veya genliği başlangıç şarına göre değişen limi çevirim davranışlar incelenebilir. b) Sisemin doğrusal olmayan kısmı üzerinde herhangi bir sınırlama geirilmeden ve genellikle nümerik olarak yapılan çözümdür. Son yıllarda nümerik analiz yönemlerindeki gelişim ve bilgisayar programlarının ucuzlamasından dolayı bu meodun ekinliğinin önemi giikçe armakadır. Bu çözüm ekniğiyle düzenli davranışlar yanında doğrusal olmayan davranışlar, yani genliği başlangıç şarının değerine bağlı olmayan limi çevirim ve düzensiz davranışlar denilen kaoik davranışlar da gözlenebilir ve incelenebilir. Denklem () de verilen sürekli zamanlı sisemin kaoik davranış gösermesi için gerekli olan şarlar; i) En az üç durum değişkeni içermesi (n=) ii) Doğrusal olmayan ( x, onksiyonunu içermesi gerekir. Ancak gerekli şarlara sahip olan her sisem kaoik davranış gösermeyebilir. Yukarıdaki şarlar ile birlike denklem () de verilen sisemin kaoik davranış gösermesi için sisem yörüngesinin başlangıç şarlarına göre duyarlı olması yeerli şarır. Yörüngesi başlangıç şarlarına göre duyarlı olan bir sisemin yörüngesinin geleceği ve yönlenmesi önceden kesirilemez. Bu davranış ürü, denge nokasına veya belli bir yörüngeye göre bilinen klasik asimpoik-düzenli davranış ürlerinden amamen arklıdır. Örneğin orijine göre asimpoik karalı olan bir sisemin yörüngesi, arklı başlangıç şarlarından şekil- de olduğu gibi bırakılırsa sisemin iki yörüngesinin alacağı değerler önceden kesirilebileceği gibi iki yörünge arasındaki ark giikçe azalmakadır ve sisemin Lyapunov üselleri negaiir []. 6 4 x x 0 (0)=(,5) x 0 (0)=(5,5) x 0 ( e=x 0 -x 0 x 0 ( x Şekil- Düzenli davranış göseren sisemin yörüngelerinin değişimi Kaoik sisemde ise durum değişkenlerinin arklı başlangıç şarlarında sisemin yörüngeleri arasında herhangi bir ilişki olmadığı gibi iki yörünge arasındaki ark değişerek geleceke nasıl bir davranış gösereceği önceden kesirilemez. Sisemin Lyapunou üselleri poziiir [], [7]. Kaoik davranış şekil- de göserildiği gibi sisem yörüngesi ( x, x ) durum uzay diyagramında kendisini arklı zamanlarda bir çok konumda keser, yani sisemin eklik çözümü kaybolur. Oysaki düzenli davranışlarda sisem yörüngesi kendisini arklı zaman aralıklarında kesmez ancak periyodik çözüm durumlarında bir birlerine eğe olur.

3 Şekil-: Sisem yörüngesinin ek başlangıç şarı için birden azla nokada; (), (), () ve (4) anlarında kesişmesi; kaoik bir sisemin yörüngesine işareir.. Genesio-Tesi kaoik siseminin dinamik davranışı Genesio ve Tesi. bölümdeki şarları sağlayan denklem () deki sürekli zamanlı kaoik sisemi önermişlerdir [],[]. = x = x () = c x b. x + ( + g( Burada. ( = x doğrusal olmayan eleman, g( = ax dür. Denklem () de verilen sisemin k ararlı denge nokası x eq = (0,0,0) ve kararsız denge nokası x eq = ( c,0,0) olmak üzere iki denge nokası vardır. Orijindeki denge nokasının kararlı olması için sisemin doğrusal kısmının paramereleri a, c > 0 ve ab > c şarlarını sağlaması gerekir. Denklem () de verilen sisemin davranışları şekil- de x 0 = (0.5,0,0) başlangıç şarları için çizilmişir. Şekil-, sisem paramereleri b=.4, c= sabi ve a değişirilerek sisem yörüngesinin x ve x durum uzay ormundaki değişimi elde edilmişir. Şekil- (a) da görüldüğü gibi a= seçilerek sisemin paramereleri a, c > 0 ve ab > c şarını sağladığından ve durum değişkenlerinin başlangıç şarı x 0 = (0.5,0,0) olarak seçildiğinden dolayı sisem yörüngesi orijine göre kararlıdır. Şekil- (a) için seçilen sisem paramereleri ve durum değişkenlerinin pozii başlangıç değeri x 0 = ( x 0 > c,0,0) olarak seçilirse sisem yörüngesi kararsız olur. Şekil- (b) de ise sisem yörüngesi a=0.5, b=.4 ve c= sisem paramereleri için elde edilmiş ve sisem yörüngesi, sisemin geçici rejim yanıını elimine edilerek durum değişkenlerinin zaman yanıının son yarısı çizilmişir. Şekil- (b) sisem yörüngesinin limi çevirim davranış göserdiği görülmekedir. Siseminin seçilen bu değerleri için sisemin doğrusal kısmı kararsızdır. Ancak sisem yörüngesi durum değişkenlerinin x 0 = ( x 0 < c,0,0) şarı için iki arklı karakerisik göserir; birincisi durum değişkeni x in başlangıç değeri şekil- (b) deki limi çevirim içinde bir noka alınırsa sisem yörüngesi limi çevirime yönlenir ve içen büyüyerek limi çevirime içen eğe olur. Durum değişkeni x in başlangıç değeri x 0 = ( x 0 < c,0,0) şarını sağlayarak limi çevirim dışında bir değer alınırsa sisem yörüngesi şekil- (b) de göserilen limi çevirime yönlenerek limi çevirim üzerine dışan kapanır. Şekil- (c) de sisem parameresi a=0. için yine sisem yörüngesi geçici rejim elimine edilerek çizilmişir. Şekil- (c) de sisemin çoklu periyolu osilasyonlu bir davranış göserdiği görülmekedir. Sisem parameresi a nın değeri biraz daha küçülülürse bu çoklu periyolu osilasyonun periyoları arar ve sisem yörüngesi bir çok nokada bir ek başlangıç şarı için kendisini keser ve a=0.5 için şekil- (d) deki davranışı göserir. Şekil- (d) de sisem yörüngesi önceleri garip davranış ve daha sonra kaoik davranış olarak adlandırılmışır ve durum değişkenlerinin başlangıç değerlerine göre duyarlıdır. Sisem paramereleri a=0.5, b=.4 ve c= sabi uularak sisem yörüngesi arklı ama birbirlerine oldukça yakın iki durum değişkeni için elde edilirse sisem yörüngeleri arasındaki ark giikçe ararak geleceği kesirilemez bir duruma gelir. (a) (c) (b) (d) Şekil-. Denklem () de verilen Genesio-Tesie siseminin c=, b=.4 ve durum değişkenlerinin başlangıç şarları x 0 = (0.5,0,0) için sisem yörüngesinin x ve x durum uzay ormundaki değişimi: (a) sisem parameresi a= için kararlı, (b) sisem parameresi a=0.5 için limi çevirim, (c) sisem parameresi a=0. için çoklu periyolu osilasyon, (d) sisem parameresi a=0.5 için kaoik davranış. Örneğin sisemin x durum değişkenin değişimi başlangıç şarları x 0 = (0.5,0,0) için x y ( ve x 0 = (0.5000,0,0) için x y ( olmak üzere, iki yörünge arasındaki ark e = x y x y olsun. İki

4 yörünge arasındaki ark şekil-4 e benzeşim süresi için çizilmişir. Sekil 4 de sisemin iki yörüngesinin başlangıça birbirine çok yakın konumda değişiği görülmekedir. İki yörünge arasındaki ark yaklaşık olarak 0 80 süre arasında hemen hemen aynı olduğu görülmekedir. Ancak zaman arıkça sisem yörüngeleri arasındaki ark giikçe ras gele armakadır. Sekil 4 de açıkça görüldüğü gibi sisem yörüngeleri arasındaki ark bazı anlarda sisem yörüngelerinin genliklerinden de büyük olmakadır. Bu özellik sisemin başlangıç şarlarına duyarlılık şarı olup sadece kaoik sisemlerde görülmekedir. Verilen kaoik sisemin a parameresinin hangi aralığında veya değerinde kaoik davranış göserdiği, a nın değişimine göre elde edilebilecek çaallaşma veya Lyapunov üsel değişimi sapana bilinir []. Burada amacımız yukarda verilen sisemin seçilen sisem paramerelerinde göserdiği kaoik davranışları hedelenen yörüngeye yönlendirecek ve konrol edecek deneleyiciyi asarım emekir. Kaoik davranış göseren denklem () deki sisemin konrolü aşağıdaki bölümde verilen yönem ile yapılacakır. e Şekil-4. Denklem () de verilen sisem paramereleri a=0.5 b=.4 c= ve birbirine çok yakın iki başlangıç şarları x 0 = (0.5,0,0) için sisem yörüngesi x y ve x 0 = (0.5000,0,0) için sisem yörüngesi x y arasındaki ark e = x y x y değişimi.. DOĞRUSAL OLMAYAN SİSTEMLERİN GERİ BESLEME İLE DOĞRUSALLAŞTIRILMASI Giriş vekörü g( ve konrol işarei u ile birlike denklem () de verilen sisem; x & = ( + g( u () ormunda olur. Bu siseme; i) denklem (4) anımlanan x=0 orijine göre bölgesel doğrusal olamayan koordina ransormu uygulanırsa z = T (, T (0) = 0 (4) n burada T : U o R orijinin yakın civarında U o da bölgesel dieomorphizmdir ve ii) k ( 0) = 0, β ( 0) 0, k : U o R, β :U o R ürevleri alınabilen iki onksiyon olmak üzere denklem (5) e anımlanan doğrusal olmayan konrol ile denklem (6) daki gibi doğrusal orma gelir. u = u N + u L (5) Burada u N = α( ve u L = β ( v ve v kapalı çevrimli sisemin hedelenen perormansı sağlayacak şekilde asarım edilmiş doğrusal geri beslemeli konrol işareidir. dt = ( + αg) ot ( z) dx (6) dt + ( βg ot ( ) v dx Yukarıda belirilen doğrusal olmayan ransormasyonun denklem () eki ek girişli ek çıkışlı siseme uygulana bilmesi için; n n i) span { g, ad g, ad g,..., ad g} = R ve ii) giriş marisi; n Gn = span{ g, ad g, ad g,..., ad g} rankı n- olmak üzere involuive şarı sağlanmalı ve sabi olmalıdır [4]. 4. UYGULAMALAR Denklem () verilen Genesio-Tesie sisemi konrol işarei ile birlike aşağıdaki ormda yazıla bilinir. = x = x (7) = c. x b. x ax + dx + u i) Verilen sisemde g( involuive şarını sağlar ve g( sabiir. ii) a, c > 0 ve a, b > c şarını ve dg d [, g] = g dx dx = ad g = g ve ad i g = [, ad g] = ad için; g ad g i g ad g veya genel olarak sağlamak üzere verilen sisem 0 0 span{ g, ad g, ad g} = 0 a = R dir. a b a Denklem (7) de verilen sisem konrol edilebilir kanonik ormda olduğundan dolayı denklem (4) deki doğrusal olmayan koordina dönüşümü uygulandığında: T [ z z z ] = [ h( L h( L h( x ] T ) = [ x x x ] T

5 Denklem (7)deki sisem için g = 0 olduğundan h ( = x, L h( h = x =, L h( = L h( = x dür. Denklem (4) deki anımlanan dönüşüm ile denklem (7) deki sisem = z = z = c. z b. z az + dx + u ormuna gelir. Denklem (5) deki deneleyicinin doğrusal olmayan kısmı sisemi doğrusallaşırmak üzere, u N = dx, ve β ( = olduğundan deneleyicinin doğrusal kısmı = Kx dir. 5. SONUÇLAR Denklem (7) de verilen sisem u=0 ve sisem paramereleri; a = 0.5, b =.4, c = d = için şekil- (d) deki gibi kaoik davranış gösermekedir. Burada sisemin verilen a, b, c ve d paramerelerinin değerleri değişirmeden yukarıda anımlanan u deneleyici ile sisemin kaoik davranışı konrol edilerek kapalı çevrim sisemin orijine göre asimpoik kararlılığı sağlanmışır. Bölüm 4 e belirildiği gibi deneleyicinin doğrusal olmayan kısmı sisemin gereksinim duyduğu çıkışı ve doğrusal kısmı ise hedelenen kapalı çevirim davranışı, µ = µ = µ = 5 sağlamak üzere asarım edilmişir. Kapalı çevirimli sisemin gereksinim duyduğu geri beslemeli doğrusal u L deneleyicinin kazançları [ k k k ] T k =4, k =7.6, k =4 dir. x x (a) (b) K = ve Şekil-5. Denklem (7) de verilen siseminin başlangıç şarları x 0 = (0.5,0,0) olmak üzere (a) u=0 ve a = 0.5, b =.4, c = d = paramereleri için kaoik davranış, x in zamana göre değişimini, (b) konrollü sisemin durum değişkenlerinden x in zamana göre değişimi. Tasarım edilen deneleyici kaoik davranışı şekil-5 (b) deki gibi orijine geirebildiği gibi zamanla değişen herhangi bir giriş onksiyonunu da asimpoik olarak akip eder. Örneğin sisem girişine r = sin gibi bir giriş uygulandığında sisem çıkışı şekil-6 da olduğu gibi geçici rejim biiken sonra giriş işareini yakalar. Bu da önerilen deneleyici ile kaoik davranış göseren sisemin isenilen girişi akip eiğini gösermekedir. Böylece sisem paramerelerini değişirmeden kaoik davranış göseren sisemin düzenli bir davranış gösermesi sağlanmış olur. Önerilen yönemle Bölüm e verilen ransormasyonun uygulandığı üm sisemlere uygulana bilir. Bu meodun en önemli dezavanajı sisem modelinin ve doğrusal elemanın am olarak bilinmesini gerekirdiğidir. 0 - x r Şekil-6. Denklem (7) de verilen konrollü sisemin r = sin girişine karşı çıkış yanıı. KAYNAKLAR [] Cook, P.A. Nonlinear Dynamical Sysems,Prenice Hall, New York, USA, 994. [] Moon, F.C. Chaoic and Fracal Dynamics: An Inroducion or Applied Scieniss and Engineers,Wiley, New York, 99. [] O, E., Grebogi, C. and Yorke, J. A. Conrolling Chaos PHYS. REV. LEFTER., Vol 64 pp , 990. [4] Kapianiak, T Conrolling Chaos: Theorical and Praical Mehods in Nonlinear Dynamics. Academic Press, Londra, UK [5] Laskhmanan, M. ve Murali, K. Chaos in Nonlinear Oscillaors: Conrolling and Synchronizaion. World Scieniic Publishing, USA [6] O, E. Chaos in Dynamical Sysems. Cambridge Universiy, Press, UK. 99. [7] Thompson, J..M.T. Birshop S.R. (Eds.), Nonlineariy and Chaos in Engineering Dynamics, Wiley, Chicheser, UK, 994, -. [8] Genesio, R.,Tesi, T. ve Villoresi, F. A Frequency Approach or Analyzing Conrolling Chaos in Nonlinear Circuis. IEEE TRANS. CAS, Vol 40, pp , 99. [9] Bai E.W. and Lonngren, K. Synchronizaion o wo Lorenz Sysems using Acive Conrol, CHAOS, SOLITIONS AND FRACTALS, Vol 8, pp. 5-58, 997.

6 [0] Lewis, C. P., A. Uçar ve S. R. Bishop, Sabiliy o Nonlinear Sysems and he Eecs o Time Delay Conrol, TRANS. INTS. OF MEASUREMENT AND CONTROL, Vol 0, pp. 9-6, 998. [] Uçar, A., Lonngren, K. E. and Bai, E.W. Synchronizaion o Chaoic Behavior in Nonlinear Bolch Equaions, PHYSICS LETTER A, Vol 4, 96-0, 00. [] Genesio R. and Tesi A. Chaos Predicion in Nonlinear Feedback Sysems, IEE PROCEEDıNGS- D, Vol 8, pp. -0, 99. [] Genesio R., Tesi A and Villoresi F.A. Frequency Approach or Analysing and Conrolling Chaos in Nonlinear Circuis. IEEE TRANS. CAS I. Vol., pp , 99. [4] Marino, R and Tomei, P. C. Nonlinear Conrol Design: geomeric, adapive, and robus. Preice Hall, Londra, UK. 995.