SOCIAL SCIENCES STUDIES JOURNAL SSSjournal (ISSN: )

Transkript

1 SOCIAL SCIENCES STUDIES JOURNAL SSSjournal (ISSN: ) Economics and Adminisraion, Tourism and Tourism anagemen, Hisory, Culure, Religion, Psychology, Sociology, Fine Ars, Engineering, Archiecure, Language, Lieraure, Educaional Sciences, Pedagogy & Oher Disciplines in Social Sciences Vol:4, Issue:4 pp sssjournal.com ISSN: sssjournal.info@gmail.com Aricle Arrival Dae (akale Geliş Tarihi) //8 The Published Rel. Dae (akale Yayın Kabul Tarihi) 6//8 Published Dae (akale Yayın Tarihi) 6..8 OLASILIK İNTEGRALİ VE UYGULAALARI PROBABILITY INTEGRAL AND APPLICATIONS Yrd.Doç.Dr. Samim DÜNDAR Ege Üniversiesi, ühendislik Fakülesi, akine Bölümü, ekanik Anabilim Dalı samim.dundar@ege.edu.r, İzmir, Türkiye ÖZ Olasılık inegrali, inegral ile anımlanan fonksiyon anlamındadır. Argümanının reel değerler olması durumunda, reel ve monoon aran bir fonksiyondur. Olasılık inegrali ile maemaiksel isaisik, ısı ileimi eorisi ve maemaiksel fiziğin çeşili dalları gibi uygulamalı maemaiğin birçok dalında karşılaşılır. θ() ile göserilen olasılık inegralinde, değişkeni reel ya da kompleks olabilir. Bu çalışmada değişkeni reel değişken olarak kullanılmışır. Olasılık inegrali ve haa fonksiyonu birbiriyle ilişkisi olan fonksiyonlardır. Söz konusu ilişki çalışmanın ikinci kısımda açıklanmışır. Yine çalışmanın ikinci kısımda normal dağılım ve olasılık inegrali kullanılarak olası haa değerinin yaklaşık olarak nasıl hesaplandığı göserilmişir. Çalışmanın üçüncü kısmında da Laplace dönüşümü açıklanmışır. Çalışmanın dördüncü kısmında başlangıç sıcaklığının sıfır olduğu kabul edilerek, -ekseni boyunca sonsuza uzanan yarı sonsuz yalıımlı bir çubuk için ısı ileim denkleminin çözümü Laplace dönüşümü kullanılarak yapılmış ve çözüm fonksiyonu, olasılık inegralinin ümleyeni formunda elde edilmişir. Son olarak, dördüncü kısımda elde edilen çözüm fonksiyonundan yararlanılarak sıcaklık dağılımını veren bir olasılık yoğunluk fonksiyonu elde edilmişir. Anahar Kelimeler: Olasılık inegrali, Normal dağılım, Haa fonksiyonu, Laplace dönüşümü. ABSTRACT The probabiliy inegral is mean he funcion defined by he inegral. For real values is argumen, i is a real monoonically increasing funcion. The probabiliy inegral is encounered in many branches of applied mahemaics, e.g, mahemaical saisic, he heory of hea conducion and various branches of mahemaical physics. In he probabiliy inegral represened by θ(), he variable can be real or comple. In his work, variables are used as real variable. The probabiliy inegral and he error funcion are relaed funcions o each oher. The relaionship is eplained in second par. Also in he second par, i is eplained ha, using he normal disribuion and probabiliy inegral han how he probable error value is approimaely calculaion is shown. In he hird par of he work, Laplace ransformaion is eplained. In he fifh par of he work, assuming ha he iniial emperaure is zero and for a semiinfiniely insulaed rod ha eends infiniely along he -ais, he soluion of he hea ransfer equaion is made by using Laplace ransform, and he soluion funcion is obained in he form of a complemen of he probabiliy inegral. Finally, by using he soluion funcion obained in he fourh par, a probabiliy densiy funcion which gives he emperaure disribuion is obained. Keywords: The probabiliy inegral, Normal disribuion, Error funcion, Laplace ransform. GİRİŞ Olasılık inegrali, uygulamalı maemaike sıklıkla karşılaşılan özel bir fonksiyondur (Lebedev, 97). Olasılık inegraline ısı ileimi ve fiziğin çeşili dallarında karşılaşıldığı gibi isaisike de önemli bir yer uar. Bu çalışmada θ() ile göserdiğimiz olasılık inegralinde, değişkeni reel ya da kompleks olabilir. değişkenin kompleks olması durumunda, elekromanyeik dalga eorisinde de olasılık inegralinden oraya çıkan kompleks değişkenli fonksiyonlar kullanılmakadır. Olasılık inegrali, haa fonksiyonu ile ilişkilidir (Lebedev, 97; Kreyzsig, ).

2 Social Sciences Sudies Journal (SSSJournal) 8 Vol:4 Issue:4 pp: Çalışmanın birinci kısmında olasılık inegralinin anımı, emel özellikleri, haa fonksiyonu ile ilişkisi, ikinci kısmında da isaisike önemli bir sürekli dağılım olan normal dağılım ile ilişkisinden kısaca bahsedilmişir. Olasılık inegrali günümüzde de bir çok araşırma makalesinde kullanılmakadır. Örneğin, Alekseevna, T.Y., Vladimirovna, N.S., Rifgaovich, S.A. (7), Calculaion of he probabiliy inegral indicaor of he level of air polluion isimli çalışmasında sinir ağlarını ve olasılık inegralini kullanılarak hava kirliliği seviyesini hesaplamışır. Dördüncü kısımda, belirli koşullar alında ısı ileimi denkleminin çözümünün, Laplace dönüşümü kullanılarak yapılması amaçlandığı için üçüncü kısımda Laplace dönüşümünün anımı, kısmi ürevlerin dönüşümlerinin ve convoluion eoreminin ispaları yapılmışır. Laplace dönüşümü, bir çok araşırma makalesinde kullanılmakadır. Li, S. & Cao,B. Laplace dönüşümünü kullandığı, Generalized variaional principles for hea conducion models based on Laplace ransforms isimli çalışmasında, parabolik ve hiperbolik ısı ileim modellerini diğer sınır koşulları ürlerine genişlemişir. eilanov, R.P., Shabanova,.R.& Akhmedov, E.N. Some peculiariies of he soluion of he hea conducion equaion in fracional calculus isimli çalışmasında kesirli merebeli ısı ileimi denkleminin çözümü ile zaman ve koordinalara göre sıcaklık dağılımının oranlara bağımlılığı incelenmişir..yönte Çok iyi yalıılmış, meal bir çubuğun ya da elin, uç nokalarında sıfır sıcaklıka uulduğu sınır koşulları ile başlangıç sıcaklığının bilindiği durumda ısı ileimi denkleminin çözümü, Fourier serilerinin kullanıldığı değişkenlerine ayırma meodu ile yapılmakadır (Kreyzsig, ; Alekseevna; Vladimirovna & Rifgaovich, 7). Çubuğun her iki arafan sonsuz uzunluğa sahip olması halinde Fourier serilerinin rolünü, Fourier inegralleri yüklenir (Kreyzsig, ). Bu durumda sınır koşullarına sahip değiliz, sadece başlangıç koşulu vardır. Her iki arafan yalıılmış, bir ucu sınırlı, diğer ucu sonsuza uzanan meal bir çubuğu ele aldığımızda, Laplace dönüşümünün anım aralığı [, ) olduğundan problemin çözümü Laplace dönüşümü kullanımına uygun bir hale gelir. Bu nedenle belirilen koşullar alında problemin çözümü Laplace dönüşümü ile yapılmış ve çözüm fonksiyonu, kısım.'deki olasılık inegralinin ümleyeni biçiminde elde edilmişir. Ayrıca çözüm esnasında sıcaklığın ( nin) dağılımını veren bir olasılık yoğunluk fonksiyonu elde edilmiş, elde edilen olasılık yoğunluk fonksiyonu hakkında bilgi sonuç kısmında verilmişir.. Olasılık İnegrali f() = ep{ } çan biçiminde bir grafiğe sahip olan çif bir fonksiyondur. Çif bir fonksiyon olması nedeniyle grafiği f() eksenine göre simerikir. Bu fonksiyonun grafiği şekil. de görülmekedir. aemaike bu fonksiyonun inegrali ile sıklıkla karşılaşılır. Tanım: θ() = π e u du inegralinin anımladığı fonksiyona olasılık inegrali denir. Burada reel ya da kompleks olabilir. değişkeninin reel olması durumunda θ() reel ve monoon aran bir fonksiyondur. (Şekil.) θ() = ve, e u du = π olduğundan, lim θ() = (.3) olduğu açıkır. Eşilik(.) ve Eşilik(.3)'den θ() fonksiyonunun ümleyeni, θ() = π = e u du π e u du π e u du + π e u du = π e u du olur. Olasılık inegrali ile haa fonksiyonu ilgilidir (Lebedev, 97). Haa fonksiyonu, sssjournal.com Social Sciences Sudies Journal (SSSJournal) sssjournal.info@gmail.com 665 (.) (.) (.4)

3 Social Sciences Sudies Journal (SSSJournal) 8 Vol:4 Issue:4 pp: Erf() = e u du ve ümleyeni, Erfc() = e u du biçiminde anımlıdır (Kreyzsig, ). Buradan olasılık inegrali ile haa fonksiyonu arasında ilişki, Erf() = π θ() ve ümleyeni, Erfc() = π [ θ()] olur. f() θ() O O Şekil.: f() = ep{ } fonksiyonunun grafiği Şekil.: θ() fonksiyonunun grafiği Eşilik(.) deki θ() fonksiyonunun aclaurin serisini bulmak amacıyla, ep{} fonksiyonunun aclaurin serisinde yerine u yazalım, ep{ u } = u! + u4! u6 3! + (.5) Eşilik(.5) nin, dan e kadar inegrali alınırsa, e u du = ! 3! 5 3! 7 + olur. Buradan θ() fonksiyonunun maclaurin serisi, θ() = 3 ( ) (.6) π! 3! 5 3! 7 elde edilir. nin küçük değerleri için, θ fonksiyonunun değerlerini hesaplamak isenirse eşilik (.6) daki seriden yararlanabiliriz. Örnek: θ(,5) değerini üç ondalıklı doğru olacak biçimde hesaplamak isersek, π (,5) 7 3! 7 =, olduğundan, eşilik (.8) deki seride ilk üç erimi almak yeerlidir. θ(,5) = (,5)3 ( (,5) + (,5)5 ) =,5 π! 3! 5 bulunur. X in büyük değerleri söz konusu olursa, o zaman θ() fonksiyonunun asimoik açılımını yapmak gerekir.. Normal Dağılım Sürekli bir şans değişkeninin, [,+d] aralığında bulunması olasılığı, πσ ep{ ( μ) σ }d (.) sssjournal.com Social Sciences Sudies Journal (SSSJournal) sssjournal.info@gmail.com 666

4 Social Sciences Sudies Journal (SSSJournal) 8 Vol:4 Issue:4 pp: ifadesi ile verilmiş ise, bu şans değişkenine µ ve σ paramereli normal dağılıma sahipir denir. µ ve σ paramereleri sırasıyla normal dağılımın konum ve yayılım paramereleridir (Suar & Ord, 987; iller & iller 999; ongomery & Runger,4). X μ nin [a, b] aralığında olması olasılığını bulmak isersek, Pr{a X μ b} = πσ b+μ ep{ ( μ) }d a+μ σ inegralini hesaplamak gerekir. Eşilik (.) deki inegralde, μ =, d = d σ σ değişken değişirilmesi yapılırsa, b/ σ ep{ }d π a/ σ (.) = b {θ ( ) θ ( a )} (.3) σ σ elde edilir. Eşilik(.3) deki θ() olasılık inegralidir. Eğer eşilik (.) de a, b alınırsa olasılığın olacağı açıkır. Eğer eşilik (.) de a = δ, b = δ alınırsa, bu durumda X μ nin [ δ, δ] aralığında olması olasılığı, Pr{ X μ δ} = θ ( δ σ ) (.4) ve X μ nin [ δ, δ] aralığının dışında olması olasılığı, Pr{ X μ > δ} = θ ( δ σ ) (.5) dır. Eşilik(.4) ve eşilik (.5) deki δ = δ p değeri, olası haa olarak bilinir. Şimdi, acaba δ p nin hangi değeri için aşağıdaki denklem sağlanır? θ ( δ p σ ) = Eşilik (.4) ve (.6) dan, (.6) θ ( δ p σ ) = Pr{μ δ X μ + δ} = yazabiliriz. Şimdi normal dağılımdan, sandar normal dağılıma geçelim, z = X μ σ = δ σ, z = X μ σ = δ σ olduğundan şekil. de δ/σ ile δ/σ arasındaki bölgenin alanı,5 olduğundan, gölgeli bölgenin alanı,5 olmalıdır. σ X = σ Z = µ-δ μ µ+δ X µ Z = Z Şekil.: Normal dağılım. Şekil.: Sandar normal dağılım. Sandar normal dağılım ablosundan (iller & iller 999),674 karşılık gelen sayı,5 olduğundan, eşilik (.6) daki δ p =,674σ olur. Yani olası haa değeri,674 dir. 3. LAPLACE DÖNÜŞÜÜ için anımlı bir f() fonksiyonunun Laplace dönüşümü, f() e s d inegrali ile anımlıdır. Eşilik (3.) deki inegral improper olduğundan, f() e s d = lim (3.) f() e s d. (3.) sssjournal.com Social Sciences Sudies Journal (SSSJournal) sssjournal.info@gmail.com 667

5 Social Sciences Sudies Journal (SSSJournal) 8 Vol:4 Issue:4 pp: biçiminde yazılır. Sonlu olması halinde eşilik (3.) deki limiin sonucuna, f() fonksiyonunun Laplace dönüşümü denir ve L{f()} = F(s) ile göserilir. Ek olarak, eşilik (3.) deki f() fonksiyonuna, F(s) fonksiyonunun ers Laplace dönüşümü denir. L {F(s)} = f() ile göserilir (Kreyzsig, ; Nagle, Saff, Snider, ). 3. Türevlerin Dönüşümü >, a b için anımlı y(, ) fonksiyonu için (Kreyzsig, ), a)l { y(,) } = sy(, s) y(, ), (3.3) b)l { y(,) } = d Y(,s). (3.4) d a)nın ispaı: L { y(,) } = y(,) e s d = lim y(,) son inegralde kısımlara ayırma kullanılırsa, u = e s, y(,) dönüşümü ile, d = dv, du = se s d e s d lim [y(, )e s + s e s y(, ) d ] = sy(, ) + sy(, s). b)nin ispaı: L { y(,) } = y(,) e s d = d 3. Convoluion eoremi ( d y(, ) e s d) = d Y(,s) d. f() fonksiyonunun Laplace dönüşümü F(s), g() fonksiyonunun Laplace dönüşümü G(s) ile göserilirse, L {F(s)G(s)} = f() g() (3.5) dir (Kreyzsig, ; Nagle, Saff, Snider, ). İspa: Göserilmesi gereken, L {f() g()} = F(s) G(s) dir. L{f() g()} = L { = u= f(u)g( u)du} u= = e s ( f(u)g( u)du) d = u= = e s f(u)g( u)dud = lim e s f(u)g( u)dud. (3.6) = u= Eşilik(3.6) daki inegralde u + v = dönüşümü yapılırsa, şekil 3. deki R u bölgesi şekil 3. deki R uv bölgesine dönüşür. Bu durumda, Ru e s f(u)g( u)dud = Ruv e s(u+v) f(u)g(v) J dudv. Dönüşümün jakobianı, J = (u,) = (u,v) olduğundan, v v = = sssjournal.com Social Sciences Sudies Journal (SSSJournal) sssjournal.info@gmail.com 668

6 Social Sciences Sudies Journal (SSSJournal) 8 Vol:4 Issue:4 pp: u u R u R uv O O v Şekil 3.: R u bölgesi v= v u= Ruv e s f(u)g( u) J dudv = e s(u+v) f(u)g(v)dudv ve limie geçilirse, v lim e s(u+v) f(u)g(v)dudv = v= u= e s(u+v) f(u)g(v)dudv v= u= bulunur. 4. TEK BOYUTLU ISI DENKLEİ = ( e su f(u)du)( Şekil 3.: R uv bölgesi sssjournal.com Social Sciences Sudies Journal (SSSJournal) sssjournal.info@gmail.com 669 u= = F(s) G(s) Isı akışını modelleyen emel kısmi ürevli diferansiyel denklem, v= e sv g(v)dv) = c u (4.) ısı denklemidir[,6]. Uzayda homojen maeryalli bir cisimdeki u(, y, z, ) sıcaklığını verir. (4.) denklemindeki c = k/λρ sabii ısı dağılmasıdır. k cismin maeryalinin ısı ilekenliği, λ özgül ısı ve ρ yoğunluğudur. Eşilik (4.)'deki, u = u + u y + u z (4.) olup, u fonksiyonunun Laplacian ıdır. Isının sadece yaay eksen yönünde akması için ince uzun meal çubuk ya da elin; sabi, enine kesili ve homojen maeryalli, yaay eksen boyunca yönlendirilmiş ve yandan çok iyi yalıılmış olduğunu kabul edelim. Bu durumda u zamana ve sadece e bağlı bir fonksiyondur. Bu durumda eşilik (4.) deki Laplacian, u = u olacağından, = c u (4.3) ek boyulu ısı denklemi halini alır. Başlangıç sıcaklığı, her belirli için iken u(, ) ve u(, ) = f() kabul edelim. = dan yaay eksen boyunca sonsuza uzanan, yandan yalıılmış bir çubukaki u(, ) sıcaklığını bulmak isersek, (4.3) deki denklemi, u(, ) = f(), (4.4) lim u(, ) = (4.5) sınır koşulları alında çözmemiz gerekir. Çözümü Laplace dönüşümü ile yapacağımız için önce, eşilik (4.4) ve (4.5) deki sınır koşullarının Laplace dönüşümlerini bulmalıyız. L{u(, )} = L{f()} = F(s) (4.6) lim U(, s) =. (4.7) Şimdi (4.3) deki denklemin Laplace dönüşümü alınırsa, L { (,) } = c L { u(,) }

7 Social Sciences Sudies Journal (SSSJournal) 8 Vol:4 Issue:4 pp: s U(, s) u(, ) = d U(,s) d olur. Başlangıç sıcaklığı olduğundan, u(, ) = dır. s U(, s) = c d U(,s) d d/d = D olmak üzere, (c D s)u(, s) = (4.8) bulunur. (4.8) denkleminin genel çözümü, U(, s) = A e s c + A e s c olup, (4.7) deki sınır koşulunun sağlanabilmesi için, A = olmalıdır. Bu durumda, (4.9) U(, s) = A e s c olur. (4.6) daki sınır koşulundan A = F(s) olur, yerine yazılırsa, U(, s) = F(s)e s c bulunur. Eşilik(4.) dan ers dönüşüme geçilirse, (4.) L {U(, s)} = L {F(s)e s c } (4.) Eşilik(4.) in birinci arafının ers dönüşümü u(, ) yi verir. İkinci arafının ers dönüşümü bulmak için convoluion eoremini kullanırsak, L {F(s)e s c } = f() L {e s c } olduğundan, u(, ) = f() L {e s c } (4.) olur. Eşilik(4.) nin ikinci arafındaki, ep{ s/c} nin ers dönüşümü bulmak amacıyla, Y(s) = ep{ s/c} alalım. Y(s) fonksiyonunun, s ye göre birinci ve ikinci merebeden ürevleri, dy(s) ds d Y(s) ds = c s e s c, = 4c s e s c + 4cs3/ e s c olup, buradan, 4s d Y(s) ds dy(s) ds = c e s c + c s e s c = c s e s c c Y(s) = c e s c olup, (4.3), (4.4), (4.5) eşilikleri araf arafa oplanırsa, 4s d Y(s) ds + dy(s) Y(s) = ds c diferansiyel denklemi elde edilir. Y(s) = L{y()} olmak üzere, (4.3) (4.4) (4.5) 4L { d d [ y()]} + L{ y()} c L{y()} = sssjournal.com Social Sciences Sudies Journal (SSSJournal) sssjournal.info@gmail.com 67

8 Social Sciences Sudies Journal (SSSJournal) 8 Vol:4 Issue:4 pp: L {y() + dy() } L{y()} L{y()} = (4.6) d Eşilik(4.6) da ers dönüşüm alınırsa, 4 dy() d c + (6 c)y() = (4.7) diferansiyel denklemi elde edilir. Eşilik(4.7) deki diferansiyel denklem değişkenlerine ayrılabilen bir denklem olduğundan, dy() + 6 c y() 4 = biçiminde yazılıp inegral alınırsa, y() = A 3/ e /4c (4.8) ya da, y() = A / e /4c elde edilir. Diğer arafan, L{y()} = dy(s) ds = dep{ s/c} ds (4.9) = ep{ s/c} (4.) c s ve in büyük değerleri için lim ep{ /4c } = olduğundan eşilik(4.9) dan, y() = A ve, eşilik(4.) den Laplace dönüşümü alınırsa, s in küçük değerleri için ep{ s/c}~ olduğundan, L{y()} = L { A } (4.) c s = A π s A = c π bulunur. Bulunan A, eşilik(4.8) de yerine yazılırsa, y() = c π 3/ e /4c (4.) bulunur. Bulunan ers dönüşüm, eşilik(4.) de yerine yazılırsa, u(, ) = f() c π 3/ e /4c (4.3) convoluion çarpım anımı ile, eşilik(4.) den, u(, ) = c π f( u)u 3/ e /4c u du olur. Eşilik(4.4) de inegrandaki f( u) fonksiyonu birim basamak fonksiyonu olup, > u f( u) = { < u ile anımlıdır (Kreyzsig, ; Nagle, Saff, Snider, ). Dolayısıyla eşilik (4.4) den, u(, ) = c π u 3/ e /4c u du yazabiliriz. Eşilik(4.5) deki inegralde, /4c u = z, du = /c z 3 dz dönüşümü yapılırsa, u(, ) = π e z dz /c sssjournal.com Social Sciences Sudies Journal (SSSJournal) sssjournal.info@gmail.com 67 (4.4) (4.5) (4.6) bulunur. Eşilik(4.6) deki inegral, elemaner bir fonksiyon olarak ifade edilemez. Faka değerleri ablolar yardımıyla bulunabilir. Söz konusa inegral kısım. de eşilik(.4) ile verilen olasılık inegralininin ümleyenidir. Yani,

9 Social Sciences Sudies Journal (SSSJournal) 8 Vol:4 Issue:4 pp: u(, ) = θ ( c ) (4.7) dır. Bu da, haa fonksiyonu cinsinden, u(, ) = erfc ( ) (4.8) π c yazılıp, ablo yardımıyla dir (Kreyzsig, ) (sayfa A98, Ek.5, abloa4), haa fonksiyonunun değerleri bulunur. 5. SONUÇ VE DEĞERLENDİRE Bu çalışmada, her iki arafan yalıılmış, bir ucu sınırlı, diğer ucu sonsuza uzanan meal bir çubuk üzerinde başlangıç sıcaklığının olduğu kabul edildiği başlangıç koşulu alında, ısı ileimi denkleminin çözümü Laplace dönüşümü kullanılarak yapılmış ve çözüm, olasılık inegralinin ümleyeni biçiminde elde edilmişir. Bu süreçe, elde eiğimiz ve nin dağılımını veren eşilik(4.) deki y() fonksiyonun, 'dan sonsuza kadar inegralini alalım, c π 3/ e /4c d Eşilik(5.) deki inegralde, /4c = u, d = /4c u du dönüşümü yapılırsa, π u / e u du bulunur. Eşilik(5.) deki inegral başındaki kasayı hariç, gamma fonksiyonu olup değeri π dir. Dolayısıyla eşilik(5.) deki inegral e eşi olur. O halde, eşilik(4.) deki y() = c π 3/ e /4c d fonksiyonu bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur. KAYNAKLAR Alekseevna, T.Y.; Vladimirovna, N.S. & Rifgaovich, S.A. (7). "Calculaion of he Probabiliy Inegral Indicaor of he Level of Air Polluion", Environmenal Engineering h Inernaional Conference, 7 8 April 7, (Cygas, D. & Vaiskunaie, R), Vilnius Gediminas Technical Universiy, Vilnius, Lihuania. Kreyzsig, E. (). Advanced Engineering ahemaics, John Wiley&Sons Inc., New York. Lebedev, N.N. (97). Special Funcions and Their Applicaions, Dover Publicaions Inc., New York. Li, S. & Cao, B. (6). "Generalized Variaional Principles for Hea Conducion odels Based on Laplace Transforms", Inernaional Journal of Hea and ass Transfer, 3:76 8. eilanov, R.P.; Shabanova,.R. & Akhmedov, E.N. (5). "Some Peculiariies of he Soluion of he Hea Conducion Equaion in Fracional Calculus", Chaos, Solions & Fracals, 75: iller, I. & iller,. (999). John E. Fround s ahemaical Saisics. Prenice Hall Inc., New Jersey. ongomery, D.C. & Runger, G.C. (4). Applied Saisics and Probabiliy For Engineers, John Wiley&Sons Inc., New York. Nagle, R.K.; Saff, E.B. & Snider, A.D. (). Fundamenals of Differenial Equaions and Boundary Value Problems, Pearson Educaion, Inc., New York. Suar, A. & Ord, J.K. (987). Advanced Theory of Saisics. Vol: Charles Griffin, London. (5.) (5.) sssjournal.com Social Sciences Sudies Journal (SSSJournal) sssjournal.info@gmail.com 67