T.C SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 T.C SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BİTKİ- OTÇUL FARK DENKLEM MODELLERİNİN DAVRANIŞLARI Düriye KORKMAZ YÜKSEK LİSANS TEZİ Maemaik Anabilim Dalı Ağusos-0 KONYA

2

3

4 ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ BİTKİ OTÇUL FARK DENKLEM MODELLERİNİN DAVRANIŞLARI Düriye KORKMAZ Selçuk Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü Maemaik Anabilim Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Kemal USLU 0, 67 Sayfa Jüri Yrd. Doç. Dr. Kemal USLU Prof. Dr. A. Sinan ÇEVİK Yrd. Doç. Dr. Burak SARAÇOĞLU Bu çalışmada, Biyoloji anabilim dalında görülen biki-oçul ekileşim fonksiyonları kullanılarak maemaiksel modeller oluşurulmuşur. Ayrıca bu modellerin denge nokalarının dinamikleri incelenmiş ve elde edilen sonuçlarla ilgili nümerik örnekler verilmişir. Anahar Kelimeler: Beveron-Hol Fark denklemleri, Biki-Oçul Modelleri, Lineer olmayan fark denklem sisemi, Denge nokalarının dinamikleri. iv

5 ABSTRACT MS THESIS BEHAVIOURS OF A PLANT-HERBIVORE DISCRETE MODELS Düriye KORKMAZ THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS Advisor: Ass. Prof. Dr. Kemal USLU 0, 67 Pages Agus Ass. Prof. Dr. Kemal USLU Prof. Dr. A. Sinan ÇEVİK Ass. Prof. Dr. Burak SARAÇOĞLU In his sudy, i has been made up mahemaical models by using funcions of plan-herbivore ineracion ha appear in Biology. Besides, he dynamics of equilibrium poins have been examined and numerical illusraions relaed o obained resuls have been given. Keywords: Beveron-Hol difference equaions, Plan-Herbivore model, Non-linear difference equaions, The dynamics of equlibrium poins. v

6 ÖNSÖZ Bu çalışma, Selçuk Üniversiesi Fen Fakülesi Maemaik Bölümü Anabilim Dalı Öğreim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Kemal USLU yöneiminde hazırlanarak, Selçuk Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuşur. Bu Yüksek Lisans Tezi; birinci bölüm Giriş bölümü, ikinci bölüm Lieraür Araşırması, üçüncü bölüm Ön Bilgiler, dördüncü bölüm bazı Biki-Oçul Fark Denklem Sisemleri, beşinci bölüm Sonuç ve Öneriler olmak üzere oplam beş bölümden oluşmakadır. Yüksek Lisans çalışmamı yönemeyi kabul ederek ezimin hazırlanmasında yardımlarını esirgemeyen danışman hocam Yrd. Doç. Dr. Kemal USLU ya içenlikle eşekkür ederim. Düriye KORKMAZ KONYA-0 vi

7 İÇİNDEKİLER ÖZET... iv ABSTRACT...v ÖNSÖZ... vi İÇİNDEKİLER... vii SİMGELER VE KISALTMALAR... ix. GİRİŞ.... LİTERATÜR ARAŞTIRMASI.... ÖN BİLGİLER Fark Denklemleri İle İlgili Ön Bilgiler Fark Denklem Sisemleri İle İlgili Ön Bilgiler Popülasyon Biyolojisinde Lineer Olmayan Fark Denklem Modelleri Popülasyon Yoğunluğuna Bağlı Tek Tür Modelleri Konak-parazi Sisemleri BAZI BİTKİ OTÇUL FARK DENKLEM SİSTEMLERİ rp P e, H P - e -ah -ah P -ah -ah P P Fark Denklem Sisemi... rp rp P e, H - e Fark Denklem Sisemi... 7 rp P e, H P - e Fark Denklem Sisemi... -ah -ah P r P e, H P - e -ah -ah ( r ) P rp P e, H P - e -ah -ah ( r ) P -ah -ah, - ( r ) P Fark Denklem Sisemi Fark Denklem Sisemi rp P e H P e Fark Denklem Sisemi... 5 KrP P e, H P - e -ah -ah K ( r ) P Fark Denklem Sisemi SONUÇLAR VE ÖNERİLER Sonuçlar Öneriler vii

8 KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ viii

9 SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler : Reel Sayılar : Poziif Reel Sayılar : Tam Sayılar : Poziif Tam Sayılar x : Denge Nokası J (, ) F x y : Jakobiyen Maris ix

10 . GİRİŞ Dinamik modellerde bir değişkenin dengeye yakınsayıp yakınsamadığını bulmak için zaman fakörü göz önünde bulundurulur. Değişkenlerin zamanlanması sürekli ya da kesikli değişken olarak iki şekilde yapılır. Sürekli zaman, değişken zamanın her nokasında değişime uğrarken, kesikli zaman değişken zamanının bir zaman döneminde yalnızca bir defa değişmeye uğrar. Sürekli değişim oranları arasındaki denklemler diferansiyel denklemlerle, kesikli değişim oranları arasındaki denklemler ise fark denklemleri ile ifade edilir. 0. yüzyılın başlarında, Fizik biliminde incelenen kuanum eorisindeki ilerlemeler ve Biyoloji bilimindeki geneik olayların gelişmelerinden dolayı üm doğa olaylarının sürekli değişim oranları ile ifade edilemeyeceği görülmüşür. Günümüzde fark denklemleri, Elekrik- Elekronik mühendisliğinde, devrelerin maemaiksel ifadesinde, spekrum analizi ve son yıllarda önemi giikçe aran yapay zekâ konusunda, Ekonomide arz-alep denklemleri, milli gelir, ekonomik dalgalanmalar gibi problemlerde, Sosyoloji ve Psikoloji gibi sosyal bilimlerde de yaygın bir biçimde kullanılmakadır. Fark denklem sisemlerinin dinamik modelleri ile geleceke insan nüfusunun ne olacağı, enerji kaynaklarının kaç yıl yeeceği ve biki ve oçul popülasyonları incelenerek ekolojik dengenin hangi düzeyde korunacağı gibi soruların yanıları maemaiksel olarak göserilmekedir. Biyolojik olaylarda maemaiksel sonuçların kullanılması, ileriye yönelik ahminlerde bulunmamızı sağlar. Bu durum doğa problemlerinin çözülmesinde ekin bir rol oynamakadır. Örneğin orman eko sisemindeki böcek popülasyonun (ağaç güvesi gibi) aşırı bir şekilde büyümesinden dolayı ağaçlarda meydana gelen ciddi ahribalar orman kayıplarına yol açarak doğal dengeyi bozmakadır. Böyle bir doğal problemle karşılaşıldığında kimyasal kullanılarak çözüme gimek hem doğaya hem de insanlara zarar vermekedir. Bu yüzden bu ip doğa problemlerinin maemaiksel modelleri incelenerek elde edilen veriler, doğal dengenin hangi düzeyde korunabileceği ya da problemin içinde bulunduğu şarlar alında örneğin 0 yıl veya 00 yıl gibi bir zaman sonra ne kadar büyüyüp azalacağı konusundaki ahminlerde bulunmamızı sağlar. Dolayısıyla bu nokada eorik varsayımların öneminin çok büyük olduğu görülmekedir. Bu çalışmada amacımız; Biyoloji anabilim dalı üzerinde farklı popülasyon modelleri ile ilgili problemlerde maemaiğin özelliklede fark denklemlerinin nasıl

11 kullanıldığını görebilmek ve elde edilen sonuçların farklı durumlardaki davranışlarını incelemekir. Lieraürde bizim çalışmamızı desekleyen pek çok çalışma mevcuur. Örneğin Henson ve ark. deneysel çalışmalar vasıasıyla böcek popülasyonun dinamiğini incelemişlerdir. Yine Kang ve ark. ağaç güvesi popülasyon modeli çalışmışlardır. Bu çalışmanın, birinci bölümünde; çalışmanın içeriği ve amacı hakkında bilgiler verilmiş, ikinci bölümünde; lieraürde daha önceden yapılmış örnek makaleler ile ilgili kısa bilgiler verilmiş, üçüncü bölümünde; kullanılan gerekli anım ve eoremler ile popülasyon modellerinin genel çerçeveleri verilerek daha önce incelemiş örnek modeller göserilmiş, dördüncü bölümünde; bazı biki-oçul fark denklem modellerinin dinamiği incelenmiş, elde edilen eorik sonuçlar nümerik örnekler ve grafiklerle deseklenmiş ve beşinci bölümde sonuç ve öneriler verilmişir.

12 . LİTERATÜR ARAŞTIRMASI Henson S.M., Cosanino R.F., Cushing J.M., Dennis B., Desharnais R.A. (999) yapmış oldukları çalışmada, L ba e ( cea A cel L ) P ( l ) L ( cpa A ) ( a) A Pe A oonom fark denklem modelinin dinamiğini incelemişlerdir. Doebeli M., Jong G.D. (999) yapıkları çalışmada, N p N w( N ) p f( N ) ( p ) f( N) P w( N ) fark denklem sisemini elde ederek, bu modelin dinamiğini ve paramerelerin hassasiyeini incelemişlerdir. Cushing J.M., Henson S.M. (00) yapıkları çalışmada, x r x x ( r ) ( ) monoon fark denklemlerinin periyodikliğini, popülasyon dinamiği uygulamalarını göz önüne alarak çalışmışlardır. Briggs C.J., Hoopes M.F. (004) yapıkları çalışmada, f ( p ) ( ap ) e (Nicholson-Bailey fonksiyonu, Nicholson ve Bailey, 95) ap f ( p ) k f ( p ) e m a( p ) k (Negaif-Binomiyel fonksiyonu, Mayıs 978) (Hassel-Varley fonksiyonu, Hassel ve Varley,969)

13 4 paraziizm fonksiyonları olmak üzere H H f ( p ) p ch f ( p ) konak-parazioi (Hos-Parasiioid) modelleri üzerine lieraür eleşirisi yapmışlardır. Buchanan R.J. (005) yapmış olduğu çalışmada, u u r av K u e av v ( u e ) fark denklem siseminin dinamiğini incelemişir. Elaydi S., Sacker R.J. (006) çalışmalarında, Kxn x n K ( ) x n, x0 0, K 0 Beveron-Hol denklemleri gibi oonom olmayan fark denklemleri üzerinde zaman fakörünü ele alan bir meo gelişirmişlerdir. Bu meo, Beveron-Hol denklemleri ile ilişkili Henson ve Cushing varsayımlarını kanılamak amacıyla uygulanmışır. Deghan M., Nasri M., Douraki M.J. (005) çalışmalarında ilk olarak, x n xn b cz y dy ex z n n n n n n n n z fz y fark denklem sisemini, sürekli HIV enfeksiyon modelinin eş fark denklem modeli olarak elde emişlerdir. Daha sonra, fark denklem siseminin dengesinin global ve lokal asimpoik kararlılığı, sınırlılığı, kararlılık ve dallanma gibi dinamikleri araşırmışlardır.

14 5 Kang Y., Armbruser D., Kuang Y. (008) çalışmalarında a 0, r 0 olmak üzere, n r xn ayn n x x e ay n r x y x e e n n n fark denklem sisemini, belli bir biki-oçul ekileşimini çalışmak için modellemişlerdir. Elde edilen iki boyulu fark denklem modelinde durum değişkenleri olarak yaprak ve oçul biyokülesi kullanılmışır. Kang Y., Chesson P. (00) çalışmalarında, x x f ( x, y ) y yg( x, y ) fark denklem siseminin non-lineerliliğe ilişkin kavramlarını gelişirmişler ve bu kavramları popülasyon dalgalanmalarında ürlerin uzun sürede ve düşük yoğunlukaki büyüme oranı ekisinin nasıl olacağını gösermek için kullanmışlardır. Kang Y., Armbruser D. (00) çalışmalarında, P F( P) e ah H P e ah ve P F( P) e ah H F( P ) e ah genel biki-oçul ekileşim modellerini incelemişler ve genel biki-oçul modellerinin dinamikleri üzerinde monoon biki büyüme fonksiyonlarının ekisini çalışmışlardır. Kang Y., Armbruser D., (0) çalışmalarında, I n I n I I r ( Pn ) a( l) Hn P P e H P e e I I I I r ( Pn ) a ( l ) Hn n n biki-böcek fark zaman model çifini çalışmışlar ve bu modelin popülasyon dinamiğindeki hem lokal hem de global yayılım ekisinin nasıl yoğunluklarda olduğunu gösermişlerdir.

15 6. ÖN BİLGİLER.. Fark Denklemleri İle İlgili Ön Bilgiler Bu bölümde verilen anım ve eoremler Kulenovic M. R. S., Merino O., (00) kiabından alınmışır. Tanım... f : O halde; anımlı, sürekli ve diferansiyellenebilen bir fonksiyon olsun. x n f ( xn), n 0,,... (..) denklemine birinci merebeden fark denklemi denir. x0 denkleminin poziif yörüngesi d olmak üzere (..) ( d) { x, x, x,...} { d, f ( d), f ( f ( d)),...} 0 dizisidir. Aşağıda verilen örnekler Keshe L. E., (005) kiabından alınmışır. Örnek... (Hücre Bölünmesi) Farz edelim ki; popülâsyondaki her hücre eş zamanlı olarak bölünsün. M, M,..., M n sırasıyla birinci, ikinci,, n. neslin hücre sayısı olsun. O zaman peş peşe nesiller ile ilişkili bir denklem (reküras bağınısı) M am (..) n n şeklinde kolayca ifade edilebilir. Burada reel bir popülasyon için; a 0 olması biyolojik olarak anlamlı a 0 olması ilginç olmayan a 0 olması gerçek dışı bir durumdur. Varsayalım ki başlangıça M 0 hücre olsun. Acaba n nesil sonra popülasyon nasıl değişir? (..) denkleminde ierasyon işlemi uygulanırsa,

16 7 M a( am ) a[ a( am )]... a M n n n n 0 elde edilir. Böylece n. nesil için, M n n a M 0 olur. Burada a nın mulak değerce değeri, popülâsyonun zamanla büyüyüp büyümediğini veya azalıp azalmadığını belirleyecekir. Yani, a ise a ise a İse M n önceki nesle göre aran M n önceki nesle göre azalan M n sabiir. Örnek... (Böcek Popülasyonu) a n n. nesildeki yeişkin dişi yaprak bii sayısı, p n n. nesildeki yavru sayısı, m genç yaprak bilerinin rasyonel ölüm oranı, f dişi yaprak bii başına düşen yavru sayısı, r dişi yaprak bilerinin üm yeişkin yaprak bilerine oranı, a 0 başlangıçaki dişi yaprak bii sayısı olmak üzere yavru sayısını ifade eden fark denklemi, p fa (..) n n şeklinde oluşurulur. Bu denklemde pn ( n ). neslin yavru sayısını, f dişi başına düşen yavru sayısını, a n bir önceki neslin dişi sayısını gösermekedir. Hayaa kalmayı başaran ergenler m, büyüyen yavruların da dâhil edilmesinden sonraki r oranı göz önüne alınırsa, a r( m) p (..4) n n elde edilir. f, r, m sabi olmak üzere (..) ve (..4) denklemlerinden, n ( ) n 0 a fr m a

17 8 böcek popülâsyonunu ifade eden denklem bulunur. Tanım... (..) denklemini ele alalım. Eğer her n 0 değeri için f ( x) x (..5) oluyorsa x e (..) denkleminin denge nokası veya f sürekli fonksiyonunun bir sabi nokası denir. Tanım... r olmak üzere r * f ( x ) x ve r * f ( x ) x ise * x a (..) denkleminin er geç (evenually) denge nokası veya f sürekli fonksiyonunun er geç sabi nokası denir. Tanım..4. (Kararlılık) (i) Eğer her 0 için x0 x eşisizliğini sağlayan x 0 başlangıç koşulu için, xn x olacak şekilde 0 sayısı varsa o zaman (..) denkleminin denge nokası kararlıdır denir. (ii) Eğer (..) denkleminin x denge nokası kararlı değil ise, o zaman x denge nokasına kararsızdır denir. (iii) Eğer x denge nokası kararlı ve 0 için x0 x

18 9 eşisizliğini sağlayan x 0 başlangıç değeri için, lim x n x n ise o zaman (..) denkleminin x denge nokası lokal asimpoik kararlıdır (sink). (iv) I ve x0 I için lim x n x n ise, o zaman (..) denkleminin x denge nokası global çekicidir denir. (v) Eğer (..) denkleminin x denge nokası hem kararlı hem de global çekici ise, o zaman denge nokasına global asimpoik kararlı denir. (vi) I ve x0 I için 0 x0 x r olacak şekilde bir r 0 sayısı varsa, o zaman (..) denkleminin x denge nokasına kaynak nokası (source) denir ve bu durumda xn x r olacak şekilde bir N sayısı vardır. Tanım..5. f : halde anımlı, sürekli ve diferansiyellenebilen bir fonksiyon olsun. O y f ( x) y n n denklemine (..) denkleminin x denge nokasındaki lineerleşirilmiş denklemi denir. Teorem... (Lineerleşirilmiş Kararlılık Teoremi) f : anımlı, sürekli, diferansiyellenebilen bir fonksiyon olsun. O halde aşağıdaki ifadeler doğrudur.

19 0 (i) Eğer f ( x) ise, o zaman (..) denkleminin x denge nokası lokal asimpoik kararlıdır. (ii) Eğer f ( x) ise, o zaman (..) denkleminin x denge nokası kararsızdır. (iii) Eğer f ( x) ise, o zaman (..) denkleminin x denge nokası hiperbolikir. (iv) Eğer f ( x) ise, o zaman (..) denkleminin x denge nokası nonhiperbolikir... Fark Denklem Sisemleri İle İlgili Ön Bilgiler Bu bölümde verilen anım ve eoremler Kulenovic M. R. S., Merino O., (00) kiabından alınmışır. Tanım... f, g : anımlı, sürekli, diferansiyellenebilen fonksiyonlar olsun. O halde x f ( x, y ) n n n y g( x, y ) n n n n 0,,... (..) sisemine birinci merebeden fark denklem sisemi denir. Tanım... (..) fark denklem sisemini göz önüne alalım. Eğer, x f ( x, y) y g( x, y) olacak şekilde bir ( x, y ) nokası varsa, bu nokaya (..) denklem siseminin bir denge nokası denir. Tanım... ( x, y ), (..) denklem siseminin bir denge nokası olsun. i) Her 0 için ( x, y ) ( x, y) 0 0

20 eşisizliğini sağlayan her ( x0, y 0) başlangıç koşulu için, ( x, y ) ( x, y) n n olacak şekilde bir ( ) varsa, (..) denklem siseminin ( x, y ) denge nokasına kararlıdır denir. ii) ( x0, y0) ( x, y) r eşisizliğini sağlayan üm ( x0, y 0) başlangıç koşulu için, n iken ( x, y ) ( x, y) n n olacak şekilde bir r 0 sayısı varsa, (..) denklem siseminin ( x, y ) denge nokası yerel asimpoik kararlıdır denir. Tanım..4. (..) denklem sisemini göz önüne alalım. ( x, y ), F ( f, g) fonksiyonunun bir denge nokası ve ayrıca f ve g fonksiyonları ( x, y ) denge nokasında anımlı, sürekli, diferansiyellenebilen fonksiyonlar olsun. Bu akdirde, F fonksiyonunun ( x, y ) denge nokasındaki Jakobiyen marisi f f ( x, y) ( x, y) x y J F( x, y) g g ( x, y) ( x, y) x y (..) dir. Tanım..5. fonksiyon olsun. O halde J ( x, y) : F anımlı, sürekli, diferansiyellenebilen ve lineer bir

21 f x J F( p, q)( x, y) g x f y x y y x y y x, y x, g y x, y x, (..) marisine F fonksiyonunun ( x, y ) denge nokasındaki lineerleşirilmesi denir. Tanım..6. ( x, y ), F fonksiyonun denge nokası olmak üzere aşağıdaki ifadeler doğrudur. i) Eğer J (, ) F x y Jakobiyen marisinin birim çember içinde kalan özdeğerleri yoksa o zaman F fonksiyonunun ( x, y ) denge nokasına hiperbolikir denir. ii) Eğer J (, ) F x y Jakobiyen marisinin birim çember içinde kalan en az bir ane özdeğeri varsa, o zaman F fonksiyonunun ( x, y ) denge nokasına non- hiperbolikir denir. Teorem... (Lineerleşirilmiş Kararlılık Teoremi) F=(f,g), W üzerinde anımlı, sürekli, diferansiyellenebilen bir fonksiyon ve ( x, y ), F fonksiyonunun bir denge nokası olsun. i) Eğer J (, ) F x y Jakobiyen marisinin üm özdeğerlerinin modülü den küçük ise, F fonksiyonunun ( x, y ) denge nokası asimpoik kararlıdır. ii) Eğer J (, ) F x y Jakobiyen marisinin özdeğerlerinden en az bir anesinin modülü den büyük ise, F fonksiyonunun ( x, y ) denge nokası kararsızdır. iii) F fonksiyonunun ( x, y ) denge nokasının yerel asimpoik olması için gerek ve yeer şar iz J ( x, y) de J ( x, y) 0 (..4) F F karakerisik denkleminin her çözümünün birim çember içinde kalmasıdır. Yani, iz J ( x, y) de J ( x, y) F F olmasıdır.

22 iv) F fonksiyonunun ( x, y ) denge nokasının repeller olması için gerek ve yeer şar (..4) karakerisik denkleminin her çözümünün birim çember dışında kalmasıdır. Yani, iz J ( x, y) de J ( x, y) F F ve F de J ( x, y) olmasıdır. v) F fonksiyonunun ( x, y ) denge nokasının eyer nokası (saddle) olması için gerek ve yeer koşul (..4) denkleminin bir kökünün birim çemberin içinde ve bir kökünün de birim çemberin dışında kalmasıdır. Yani, iz J ( x, y) de J ( x, y) ve F F iz J F( x, y) 4de J F( x, y) 0 olmasıdır. vi) F fonksiyonunun ( x, y ) denge nokasının non-hiperbolik olması için gerek ve yeer koşul (..4) karakerisik denkleminin en az bir kökünün birim çember içinde kalmasıdır. Yani, iz J ( x, y) de J ( x, y) F F veya F de J ( x, y) ve iz J F( x, y) olmasıdır... Popülasyon Biyolojisinde Lineer Olmayan Fark Denklem Modelleri alınmışır. Bu bölümde verilen anım ve eoremler Keshe L. E., (005) kiabından... Popülasyon Yoğunluğuna Bağlı Tek Tür Modelleri Popülasyon yoğunluğu, büyüme oranı, üreme oranı ve ölüm oranı gibi değişkenlere bağlı olsun. Bu durumda

23 4 N f ( N) (...) fark denklemi popülasyon yoğunluğunu ifade eden bir modeldir. Genellikle ek bir ürün popülasyon denklemi (örneğin böcekler) (...) denklemi gibi benzer denklemler ile anımlanır. Burada, f ( N ) popülasyon yoğunluğunun lineer olmayan bir fonksiyonudur. f elde edilir. fonksiyonu popülasyondaki peş peşe nesillere ai veriler arafından Tanım... ( Varley, Gradwell ve Hassel Modeli, 97 ) büyüme oranı, b N yavru döneminden yeişkinlik dönemine kadar geçen süredeki hayaa kalabilme oranı, ( N ) nesildeki yavru sayısı ve, b, 0 olmak üzere b N N N (...) fark denklemi Varley, Grandwell ve Hassel arafından oraya koyulmuşur. Bu denklemde hayaa kalanların oranı ve den küçük olabileceği için N N0 olması biyolojik olarak manıklıdır. (...) denkleminin denge nokası N N ( b) denkleminin çözümü ile bulunur. Buna göre (...) denkleminin denge nokasının N b (...) olduğu açıkır. Teorem... (...) denkleminin (...) denge nokasında kararlı olması için gerek ve yeer şar 0 b olmasıdır. Sonuç... (...) denkleminde b 0 durumunda hayaa kalabilme oranı popülasyon yoğunluğuna bağlı değildir. Yani popülasyon oranında büyür. Buna

24 5 göre b nin kararlılık değerleri için al sınır anlamlıdır. b durumunda popülasyonun ani arış yapabileceği poansiyeli yüzünden popülasyon kararsızdır. Tanım... N r K poziif sabiler olmak üzere, e popülasyonun yoğunluğuna bağlı üreme oranı ve r, K N r K N N e (...4) ifadesi popülasyon biyolojisine uygulanmış bir fark denklemidir. Bu denklemin denge nokası N Ne r N K eşiliğinden elde edilir. Açıkır ki, (...4) denklemi N K denge nokasına sahipir. Teorem... N K, (...4) denkleminin denge nokası olsun. Bu akdirde (...4) denkleminin N K denge nokasında kararlı olması için gerek ve yeer şar 0 r olmasıdır. Sonuç... (...4) denklemi göz önüne alınırsa, N N K olduğu zaman üreme oranı K olduğu zaman üreme oranı olduğu görülmekedir. Tanım..., a, b poziif sabiler olsun. Buna göre, b N N an (...5) fark denklemi Hassel arafından 975 yılında oraya aılmışır. Bu denklemin denge nokası N N an b denkleminin çözümü ile bulunur. Buradan (...5) denkleminin

25 6 b N (...6) a denge nokasına sahip olduğu açıkır. Teorem... (...5) denkleminin (...6) denge nokasında kararlı olması için b gerek ve yeer şar b 0 olmasıdır.... Konak-parazi Sisemleri Konak-parazi modelleri en çok böcek popülasyonlarında görülmekedir. Böyle ip bir modelin bazı ayır edici özellikleri vardır, örneğin böcekleri model alan bir sisemde, her iki ürün yaşam döngüsünde de birden fazla safha bulunur. Bunlar yumura, larva, pupa ve yeişkin dönemleridir. Parazi ür konak olan ürden iki şekilde faydalanır. Parazioi yumuralarını konağın dış yüzeyine bırakır, bazen de larva ve pupa dönemlerinde olan konağın eenine enjeke eder. Parazioiin yumuralarını eene enjeke eiği durum konağa zarar veren bir durumdur. Bu şekilde larva parazioi gelişip büyürken konağı ükeerek öldürür. Konak-parazi siseminin şemaik göserimi aşağıdaki şekildedir. Şekil.. Yeişkin dişi parazioi yumuralarını konağın üzerine ya da larva veya pupa olan konağın içine depolar. Enfeke olan konak gelişen parazioi yumurasından dolayı ölür. Enfeke olmamış konak gelişerek yeişkin olur ve bir sonraki neslin konaklarını oluşurur.

26 7 Bu sisemin basi bir modeli aşağıdaki varsayımlara sahipir; Paraize edilmiş konaklar, bir sonraki neslin parazioileri olacaklardır. Paraize edilmemiş konaklar, kendi yavrularını oluşuracaklardır. Paraize edilmiş konakların oranı, iki ürün karşılaşma oranına bağlıdır. Genellikle bu oran bir yada iki ürün popülasyon yoğunluğuna bağlıdır. N : nesildeki konak ürün yoğunluğu P : nesildeki Parazi ürün yoğunluğu f f ( N, P ) : Paraize edilmemiş konakların oranı : Konak ürün üreme oranı c : Parazioiin ek bir konak üzerindeki canlı yumura sayısı N : Bir önceki nesildeki konakların sayısı Paraize edilmemiş konakların oranı Üreme oranı ( ) P : Bir önceki nesildeki paraize edilmiş konakların sayısı Paraizoilerin doğurkanlık oranı ( c ) f ( N, P ) : Paraize edilmiş konakların oranı olmak üzere, N N f ( N, P ) P cn f ( N, P ) şeklindeki fark denklem sisemi konak-parazi modellerinin genel çerçevesini oluşurmakadır. Tanım... ( Nicholson-Bailey) Nicholson ve Bailey, konak-parazi ürlerinin karşılaşma sayısı ve paraizizm oranı hakkında şu varsayımı ileri sürmüşlerdir; Karşılaşma rasgele meydana gelir. Parazioiler ile konakların karşılaşma sayısı N e, ürlerin popülasyon yoğunluğu ile oranılıdır. Parazioiler ile konakların karşılaşma sayısı, verimliliğini emsil eden bir sabi olmak üzere; a parazioilerin konak arama

27 8 N an P e şeklinde ifade edilir. Av-avcı arasındaki karşılaşmalar gibi rasgele olaylar için anımlanan olasılık dağılımı poisson dağılımıdır. Konağın yaşam süresi gibi belli bir zaman aralığında meydana gelecek olayların sayısını veren bu olasılık, poisson dağılımındaki peşpeşe erimler arafından bulunur. Örneğin, r olayın olasılığı; e P( r) r! r dir. Burada verilen zaman aralığındaki olayların oralama sayısıdır. Konak ür ile parazi ürün karşılaşması durumunda, birim zaman başına düşen oralama karşılaşma sayısı; N N e apn N ap olarak bulunur. Böylece, konak ürün yaşam boyu parazi ürle karşılaşmama olasılığı; ap 0 e ( ap ) f ( N, P ) P(0) e 0! ap şeklinde elde edilir. Buradan a parazioilerin konak ürü arama verimliliğinin parameresi olmak üzere, Nicholson-Bailey modeli: N N e ap ap P cn( e ) (...) şeklindedir. Bu sisemin denge nokaları, ln ln ( N, P), ( ) ac a (...)

28 9 şeklindedir. Teorem... (...) Nicholson-Bailey modeli, (...) denge nokasında kararsızdır. Bu durum aşağıdaki şekilde açıkça görülmekedir. Şekil.. Nicholson-Bailey modeli, c,, a.5 Tanım... (Modifiye Edilmiş Nicholson-Bailey Modeli) Beddingon ve ark. konak-parazi modelleri hususunda şu varsayımı ileri sürmüşlerdir; Parazioilerin varlığında, konak popülasyonu belli bir yoğunluk ile sınırlı bir biçimde büyür. Böylece, K çevrenin aşıma kapasiesi, N r K N e büyüme oranı olmak üzere; N N e N r ap K ap P N ( e ) şeklindeki fark denklem sisemi, Beddingon ve ark. (975) arafından Nicholson-Bailey modelinin revise edilmesi ile elde edilmişir. Bu sisemde P 0 olursa, konak popülasyonu N K yoğunluğunda büyür, eğer N K ise popülasyon azalır.

29 0 4. BAZI BİTKİ OTÇUL FARK DENKLEM SİSTEMLERİ Bu bölümde, Yun Kang, Dieer Armbruser ve Yang Kuang ın Nicholson-Bailey modeli üzerine yapmış oldukları çalışmalardan yararlanılmışır. Buna göre, P : nesildeki yenilebilir biki biyokülesinin yoğunluğu H : nesildeki oçul popülasyonun yoğunluğu f ( r, P ) : Biki başına düşen biyoküle yoğunluğunun büyüme oranını göseren fonksiyon ve f ( r,0) r g( a, H ) : Biki popülasyonu büyüme oranı üzerinde oçulun ekisini göseren fonksiyon ve g( a,0) r : Bikinin maksimum büyüme oranını ifade eden paramere a : Beslenme gibi oçul arafından bikiye verilen zararı ifade eden paramere h( P ) : Popülasyonun biki yoğunluğu fonksiyonu l( H ) : Popülasyonun lineer olmayan oçul yoğunluğu fonksiyonu olmak üzere, Kang, Armbruser ve Kuang biki-oçul fark denklem modeli; P P f ( r, P) g( a, H ) H h( P) l( H ) şeklindedir. Kang, Armbruser ve Kuang aşağıdaki varsayımlara göre; Popülasyonda oçul olmadan, biki popülasyonunun biyokülesi monoon bir şekilde arığı düşünülür. O halde F( r, P ), oçul ükeimi için yeni yaprakların mikarını belirleyici bir fonksiyondur. Popülasyonda oçullar bikiyi rasgele bir biçimde arar. a oçulun ükeiği oplam biyoküle mikarı ile bağlanılı olan sabi bir paramere olduğuna göre, oçulların aaklarından sonra biki popülasyonundaki biyoküle ah e oranında ah azalacakır. Bu durumda, g( a, H ) e ah olarak alınırsa P P f ( r, P) e şeklinde bulunur. Bikilerdeki biyokülenin, oçul biyokülesine nasıl dönüşüğünü ifade eden h( P ) fonksiyonudur. Eğer oçul biki oprakan beslenerek büyümeden önce bikiye aak yapmışsa, h( P) P aksi akdirde h( P) P f ( r, P ) şeklinde elde

30 edilir. Oçulun biyokülesi yediği biki biyokülesi kadar olacağından, l( H ) ah oçul arafından ükeilen h( P ) oranını ifade eder. Buna göre l( H) e şeklinde olup, oçulun bikilere aak yapma zamanına göre oçulun biyokülesi, ah H P e veya ah H P f ( r, P ) e olarak elde edilir. biki-oçul fark denklem modelini; Model. Eğer oçul bikiye, biki oprakan beslenerek büyümeden önce aak yaparsa sisemin modeli; P P f ( r, P) e F( r, P ) e ah H P e ah ah olarak elde emişlerdir. Model. Şaye oçul bikiye, biki oprakan beslenerek büyüdüken sonra aak yaparsa sisemin modeli; P P f ( r, P) e F( r, P ) e ah H P f ( r, P ) e ah ah olarak elde emişlerdir. rp Bu bölümde, F( r, P ) P, rp rp F( r, P ), F( r, P ) P fonksiyonları göz P önüne alınarak elde edilen fark denklem sisemlerinin denge nokalarının kararlılığı incelenerek, elde edilen eorik sonuçlar nümerik örneklerle deseklenmişir. Ayrıca, r Henson ve Cushing arafından periyodikliği çalışılan F( r, P ), ( r ) P rp F( r, P ) ( r ) P fonksiyonları, Holling ipindeki rp F( r, P ) ( r ) P KrP fonksiyonu ve Elaydi ve Sacker arafından çalışılan F( r, P ) K ( r ) P fonksiyonu ile elde edilen belirli fark sisemlerinin denge nokalarının da dinamikleri incelenerek, bunlarla ilgili nümerik sonuçlar grafikler ile göserilmişir.

31 4.. rp P e, H P - e -ah -ah P Fark Denklem Sisemi Bu kısımda, P0, H0 başlangıç koşulları için, rp ah P e, H P e, 0,,... ah P (4..) fark denklem siseminin kararlılığını inceleyeceğiz. Lemma 4... r olmak üzere, (4..) denklem sisemi ( P, H) (0,0), ( P, H ) ( r,0) ve ( P, H ) ( r,0) denge nokalarına sahipir. İspa. H 0 olsun. Bu akdirde Tanım.. den, rp P P P P P ( r) P 0 ( ( r)) 0 olup, buradan P 0, P r, P r bulunur. Dolayısıyla ( P, H) (0,0), ( P, H ) ( r,0) ve ( P, H ) ( r,0) denge nokaları elde edilir. Lemma 4... r olmak üzere, (4..) denklem siseminin ( P, H) (0,0), ( P, H ) ( r,0) ve ( P, H ) ( r,0) denge nokalarındaki Jakobiyen marisleri sırasıyla, r 0 JF(0,0) 0 0 r ( a) r J F( r,0) r 0 a r r a r J F( r,0) r 0 ( a) r (4..) (4..) (4..4)

32 dir. İspa. F ( f, g), (4..) siseminin bir fonksiyonu olsun. Buna göre, rp ah f ( P, H ) e ve g( P, H ) P e ah P fonksiyonlarının kısmi ürevleri P ah f r( P ) e ah ( P, H ), ( P, H) ( a) e P g ( P, H ) e P ah f rp H P g, ( P, H ) ape H ah olmak üzere, ( P, H) (0,0) denge nokasındaki değerleri f r( 0 ) e (0,0) P 0 g P a0 a0 (0,0) e 0 r,, g H f r0 H 0 a0 (0,0) ( a) e 0 a0 (0,0) a0e 0 bulunur. Buradan Tanım..4 e göre (4..) siseminin ( P, H ) (0,0) denge nokasındaki Jakobiyen marisi r 0 JF(0,0) 0 0 olarak elde edilir. ( P, H ) ( r,0) denge nokası için,

33 4 a0 f r( ( r ) ) e r ( r,0) P ( r ) r f r r H ( r ) g P a0 ( r,0) ( a) e ( a) r a0 ( r,0) e 0, g H 0 ( r,0) a( r ) e a a r bulunur. Buradan Tanım..4 e göre (4..) siseminin ( P, H ) ( r,0) denge nokasındaki Jakobiyen marisi r ( a) r J F( r,0) r 0 a r olarak elde edilir. Benzer şekilde ( P, H ) ( r,0) denge nokası, elde edilen kısmi ürevlerde yerine konulursa, a0 f r( ( r ) ) e r ( r,0) P ( r ) r f r( r ) H ( r ) g P a0 ( r,0) ( a) e a r a0 ( r,0) e 0, g H 0 ( r,0) a( r ) e a ( a) r bulunur. Buradan Tanım..4 e göre (4..) siseminin ( P, H ) ( r,0) denge nokasındaki Jakobiyen marisi r a r J F( r,0) r 0 ( a) r olarak elde edilir.

34 5 Teorem 4... ( P, H) (0,0), ( P, H ) ( r,0) ve ( P, H ) ( r,0) nokaları (4..) siseminin denge nokaları olsun. Buna göre, (a) (4..) denklem siseminin, ( P, H ) (0,0) denge nokası eyer nokasıdır. (b) r ve a r asimpoik kararlıdır. (c) r ve a r yerel asimpoik kararlıdır. için (4..) sisemi, ( P, H ) ( r,0) denge nokasında yerel için (4..) sisemi, ( P, H ) ( r,0) denge nokasında İspa. (a) (4..) Jakobiyen marisinin öz değerleri r ve 0 olup r olduğundan, Teorem... (v) e göre öz değerlerden birinin den büyük, diğerinin den küçük olmasından dolayı, (4..) siseminin ( P, H ) (0,0) denge nokası eyer nokasıdır. (b) a r r olması durumunda (4..) Jakobiyen marisinin öz değerleri r ve a r olup, r olduğundan her iki öz değerde den küçük olur. O halde Teorem... (i) ye göre (4..) sisemi, ( P, H ) ( r,0) denge nokasında yerel asimpoik kararlıdır. (c) a r r olması halinde (4..4) jakobiyen marisinin öz değerleri ve r ( a) r olup, r olduğundan her iki öz değerde den küçük olur. O halde Teorem... (i) ye göre (4..) sisemi, ( P, H ) ( r,0) denge nokasında yerel asimpoik kararlıdır.

35 6 Şekil-. Teorem 4.. (a) şıkkı: a 0.5, r., P 0.9, H Şekil-. Teorem 4.. (b) şıkkı: a.5, r., P 0.5, H

36 7 4.. rp rp P e, H - e -ah -ah P P Fark Denklem Sisemi Bu kısımda, P0, H0 başlangıç koşulları için, rp rp ah P e, H e, 0,,... ah P P (4..) fark denklem siseminin kararlığını inceleyeceğiz. Lemma 4... (4..) denklem sisemi ( P, H) (0,0) ve nokalarına sahipir. İspa. H 0 olsun. Buna göre Tanım.. den, ( P, H ) ( r,0) denge rp P P P 4 P P ( r) P 0 ( ( r)) 0 olup, buradan P 0 ve P r bulunur. Bu akdirde ( P, H) (0,0) ve ( P, H ) ( r,0) denge nokaları elde edilir. Lemma 4... (4..) denklem siseminin ( P, H) (0,0) ve nokalarındaki Jakobiyen marisleri sırasıyla, ( P, H ) ( r,0) denge r 0 JF(0,0) 0 0 J r ( a) r r 0 a r F( r,0) (4..) (4..) dir. İspa. F ( f, g), (4..) siseminin bir fonksiyonu olsun. Buna göre,

37 8 f ( P, H ) rp P rp (, ) e P ah e ve g P H ah fonksiyonlarının kısmi ürevleri f r P e ( P, H ) P P ah ( ) f rp ( P, H) ( a) e H P ah, g r( P ) ( P, H) e P P ah g ( P, H) ae H rp P ah, olmak üzere, ( P, H) (0,0) sıfır denge nokasındaki değerleri f r( 0 ) e (0,0) P 0 a0 r, f r0 H 0 a0 (0,0) ( a) e 0 g P r( 0 ) a0 (0,0) e 0 0, g r0 H 0 a0 (0,0) ae 0 bulunur. Buradan Tanım..4 e göre (4..) siseminin ( P, H ) (0,0) denge nokasındaki Jakobiyen marisi r 0 JF(0,0) 0 0 olarak elde edilir. ( P, H ) ( r,0) denge nokası için ise, a0 f r( ( r ) ) e r ( r,0) P ( r ) r f a0 r r ( r,0) ( a) e ( a) r H ( r )

38 9 g P r( r ) a0 ( r,0) e 0 r g a0 r r ( r,0) ae a r H ( r ) bulunur. Buradan Tanım..4 e göre (4..) siseminin ( P, H ) ( r,0) denge nokasındaki Jakobiyen marisi J r ( a) r r 0 a r F( r,0) olarak elde edilir. Teorem 4... ( P, H) (0,0) olsun. Buna göre, ve ( P, H ) ( r,0) (4..) siseminin denge nokaları (a) 0 r için, (4..) denklem sisemi ( P, H ) (0,0) denge nokasında yerel asimpoik kararlıdır. (b) r ve a r yerel asimpoik kararlıdır. (c) r ve nokasıdır. (d) r ve kararsızdır. a a r r için, (4..) sisemi ( P, H ) ( r,0) denge nokasında için, (4..) siseminin ( P, H ) ( r,0) denge nokası eyer için, (4..) sisemi ( P, H ) ( r,0) denge nokasında İspa. (a) 0 r olması durumunda (4..) Jakobiyen marisinin öz değerleri r ve 0 olup, her iki öz değerde den küçük olur. O halde Teorem... (i) ye göre (4..) sisemi ( P, H ) (0,0) denge nokasında yerel asimpoik kararlıdır.

39 0 (b) r ve a r ve r r a r olması durumunda, (4..) Jakobiyen marisinin öz değerleri olup her iki öz değerde den küçük olur. O halde Teorem... (i) ye göre, (4..) sisemi ( P, H ) ( r,0) denge nokasında yerel asimpoik kararlıdır. (c) r ve a r ve r r a r olması durumunda, (4..) Jakobiyen marisinin öz değerleri olup, öz değerlerden biri den küçük, diğeri den büyük olur. O halde Teorem... (v) ye göre, (4..) siseminin ( P, H ) ( r,0) denge nokası eyer nokasıdır. (d) r ve a r ve r r a r olması durumunda, (4..) Jakobiyen marisinin öz değerleri olup, her iki öz değerde den büyük olur. O halde Teorem... (ii) ye göre, (4..) sisemi ( P, H ) ( r,0) denge nokasında kararsızdır. Şekil.. Teorem 4... (a) şıkkı: a, r 0.5, P 0.5, H

40 Şekil.. Teorem 4... (b) şıkkı: a.4, r., P 0.5, H Şekil.. Teorem 4... (c) şıkkı: a, r., P 0.5, H

41 Şekil.4. Teorem 4... (d) şıkkı: a 0.5, r., P 0.5, H

42 4.. rp P e, H P - e -ah -ah P Fark Denklem Sisemi Bu kısımda, P0, H0 başlangıç koşulları için, rp ah P e, H P e, 0,,... ah P (4..) fark denklem siseminin kararlığını inceleyeceğiz. Lemma 4... (4..) denklem sisemi ( P, H) (0,0) ve nokalarına sahipir. İspa. H 0 olsun. Buna göre Tanım.. den, r ( P, H),0 denge rp P P P ( r) P 0 P( P ( r)) 0 r olup, buradan P 0 ve P bulunur. Bu akdirde ( P, H) (0,0) ve r ( P, H),0 denge nokaları elde edilir. Lemma 4... (4..) denklem siseminin ( P, H) (0,0) ve nokalarındaki Jakobiyen marisleri sırasıyla, r ( P, H),0 denge r 0 J F(0,0) 0 0 J F r ( a) r r,0 r 0 a (4..) (4..)

43 4 dir. İspa. F ( f, g), (4..) siseminin bir fonksiyonu olsun. Buna göre, rp ah f ( P, H ) e ve g( P, H ) P e ah P fonksiyonlarının kısmi ürevleri f ( P, H ) P re ah P g ( P, H ) e P ah f ah rp, ( P, H ) ( a) e H P g, ( P, H ) ape H ah olmak üzere, ( P, H) (0,0) denge nokasındaki değerleri f (0,0) P g P re a0 0 r, a0 (0,0) e 0, g H f (0,0) ( a) e 0 H 0 a0 (0,0) ae 0 0 a0 r0 bulunur. Buradan Tanım..4 e göre (4..) siseminin ( P, H ) (0,0) denge nokasındaki Jakobiyen marisi r 0 J F(0,0) 0 0 olarak elde edilir. r ( P, H),0 denge nokası için ise,

44 5 f r re P r a0,0 r r f r a0 r,0 ( a) e a H r r g r P,0 a0 e 0, g r a0 r,0 ae H bulunur. Buradan Tanım..4 e göre, (4..) siseminin nokasındaki Jakobiyen marisi r ( P, H ),0 denge J F r ( a) r r,0 r 0 a olarak elde edilir. Teorem 4... ( P, H) (0,0) ve nokaları olsun. Buna göre, (a) 0 ve asimpoik kararlıdır. (b) 0 ve nokasıdır. (c) 0, 0, r ( P, H),0, (4..) siseminin denge r için, (4..) denklem sisemi ( P, H ) (0,0) denge nokasında yerel r için, (4..) denklem siseminin ( P, H ) (0,0) denge nokası eyer r ve nokasında yerel asimpoik kararlıdır. a r için, (4..) sisemi r ( P, H ),0 denge

45 6 (d) 0, 0, r ve denge nokası eyer nokasıdır. (e) 0, 0, nokasında kararsızdır. İspa. (a) 0 ve r r ve a için, (4..) siseminin r r ( P, H ),0 a r için, (4..) sisemi r ( P, H ),0 denge r olması durumunda, (4..) Jakobiyen marisinin öz değerleri ve 0 olup, her iki öz değerde den küçük olur. O halde Teorem... (i) ye göre, (4..) sisemi ( P, H ) (0,0) denge nokasında yerel asimpoik kararlıdır. (b) 0 ve r r olması durumunda, (4..) Jakobiyen marisinin öz değerleri ve 0 olup, öz değerlerden biri den küçük, diğeri den büyük olur. O halde Teorem... (v) ye göre, (4..) siseminin ( P, H ) (0,0) denge nokası eyer nokasıdır. (c) 0, 0, r ve a r olması durumunda, (4..) Jakobiyen marisinin öz değerleri ve a r r olup, her iki öz değerde den küçük olur. O r halde Teorem... (i) ye göre, (4..) sisemi ( P, H ),0 denge nokasında yerel asimpoik kararlıdır. (d) 0, 0, r ve a r olması durumunda, (4..) Jakobiyen marisinin öz değerleri ve a r r olup, öz değerlerden biri den küçük, diğeri den büyük olur. O halde Teorem... (v) ye göre, (4..) siseminin r ( P, H ),0 denge nokası eyer nokasıdır. (e) 0, 0, r ve a olması durumunda, (4..) Jakobiyen marisinin r öz değerleri ve a r r olup, her iki öz değerde den büyük olur. O

46 7 halde Teorem... (ii) ye göre, (4..) sisemi kararsızdır. r ( P, H ),0 denge nokasında Şekil.. Teorem 4... (a) şıkkı:,, a, r 0., P 0.9, H Şekil.. Teorem 4... (b) şıkkı:,, a 0.5, r 0.6, P 0.9, H

47 8 Şekil.. Teorem 4... (c) şıkkı:,, a.4, r., P 0.9, H Şekil.4. Teorem 4... (d),, a.4, r, P 0.9, H

48 9 Şekil.4. Teorem 4... (e),, a.6, r 0.4, P 0.9, H

49 r P e, H P - e -ah -ah ( r ) P Fark Denklem Sisemi Bu kısımda, P0, H0 başlangıç koşulları için, r ah P e, H P e, 0,,... ah ( r ) P (4.4.) fark denklem siseminin kararlığını inceleyeceğiz. r Lemma (4.4.) denklem sisemi ( P, H ) (,0) ve ( P, H),0 r nokalarına sahipir. İspa. H 0 olsun. Buna göre Tanım.. den, denge r P ( r ) P ( r ) P P r 0 r olup, buradan P ve P bulunur. Bu akdirde ( P, H ) (,0) ve r r ( P, H),0 denge nokaları elde edilir. r r Lemma (4.4.) denklem siseminin ( P, H) (,0) ve ( P, H),0 r denge nokalarındaki Jakobiyen marisleri sırasıyla, r JF(,0) r 0 a a (4.4.) J F r r a r r r,0 r r 0 a r (4.4.)

50 4 dir. İspa. F ( f, g), (4.4.) siseminin bir fonksiyonu olsun. Buna göre, r ah f ( P, H ) e ve g( P, H ) P e ah ( r ) P fonksiyonlarının kısmi ürevleri f r( r) e ( P, H ) P r P g ( P, H ) e P ah ( ) ah f ah r, ( P, H ) ( a) e H ( r ) P g, ( P, H ) ape H ah olmak üzere, ( P, H) (,0) denge nokasındaki değerleri a0 f r( r) e r (,0), P ( r ) r g P a0 (,0) e 0, f (,0) ( a) e a H ( r ) g (,0) ae H a0 a a0 r bulunur. Buradan Tanım..4 e göre, (4.4.) siseminin ( P, H ) (,0) denge nokasındaki Jakobiyen marisi r JF(,0) r 0 a a r olarak elde edilir. Benzer şekilde ( P, H),0 r denge nokası için ise, a0 f r r( r) e r,0 P r r r ( r ) r

51 4 a0 f r r( a) e r,0 a H r r r ( r ) r g r P r a0,0 e 0, g r a0 r r,0 ae ( a) H r r r r bulunur. Buradan Tanım..4 e göre, (4.4.) siseminin ( P, H ),0 r denge nokasındaki Jakobiyen marisi J F r r ( a) r,0 r r r r 0 ( a) r olarak elde edilir. r Teorem ( P, H) (,0) ve ( P, H),0, (4.4.) siseminin denge nokaları r olsun. Buna göre, (a) 0 r ve a durumunda, (4.4.) denklem siseminin ( P, H ) (,0) denge nokası eyer nokasıdır. (b) r ve a için, (4.4.) denklem sisemi ( P, H ) (,0) denge nokasında yerel asimpoik kararlıdır. (c) 0 r ve yerel asimpoik kararlıdır. (d) r ve r r a için, (4.4.) sisemi ( P, H ),0 r denge nokasında r r r a durumunda, (4.4.) denklem siseminin ( P, H ),0 r r denge nokası eyer nokasıdır. (e) r ve kararsızdır. r a r r için, (4.4.) sisemi ( P, H ),0 r denge nokası

52 4 İspa. (a) 0 r ve a olması durumunda, (4.4.) Jakobiyen marisinin öz r değerleri ve a olup, öz değerlerden biri den küçük, diğeri ise den r büyük olur. O halde Teorem... (v) ye göre, (4.4.) siseminin ( P, H ) (,0) denge nokası eyer nokasıdır. (b) r ve a olması durumunda, (4.4.) Jakobiyen marisinin öz değerleri r ve a olup, her iki öz değerde den küçük olur. O halde Teorem... r (i) ye göre, (4.4.) sisemi ( P, H ),0 denge nokasında yerel asimpoik kararlıdır. (c) 0 r ve r a r olması durumunda, (4.4.) Jakobiyen marisinin öz değerleri r r ve r a olup, her iki öz değerde den küçük olur. O halde r r Teorem... (i) ye göre, (4.4.) sisemi ( P, H ),0 r asimpoik kararlıdır. (d) r ve denge nokasında yerel r a olması durumunda, (4.4.) Jakobiyen marisinin öz değerleri r r r ve r a r olup, öz değerlerden biri den küçük, diğeri ise den r büyük olur. O halde Teorem... (v) ye göre, (4.4.) siseminin ( P, H ),0 r denge nokası eyer nokasıdır. (e) r ve r a olması durumunda, (4.4.) Jakobiyen marisinin öz değerleri r r r ve r a r olup, öz değerlerin her ikiside den büyük olacağından r Teorem... (ii) ye göre, (4.4.) siseminin ( P, H ),0 r kararsızdır. denge nokası

53 44 Şekil 4.. Teorem 4.4. (a) şıkkı: a 0.9, r 0.4, P 0.9, H Şekil 4.. Teorem 4.4. (b) şıkkı: a 0.9, r 0.6, P 0.9, H

54 45 Şekil 4.. Teorem 4.4. (c) şıkkı: a.4, r 0.4, P 0.9, H Şekil 4.4. Teorem 4.4. (d) şıkkı: a, r 0.6, P 0.9, H

55 46 Şekil 4.5. Teorem 4.4. (e) şıkkı: a 0, r 0.9, P 0.9, H

56 rp P e, H P - e -ah -ah ( r ) P Fark Denklem Sisemi Bu kısımda, P0, H0 başlangıç koşulları için, rp ah P e, H P e, 0,,... ah ( r ) P (4.5.) fark denklem siseminin kararlığını inceleyeceğiz. Lemma (4.5.) denklem sisemi (, ) (0,0) nokalarına sahipir. İspa. H 0 olsun. Buna göre Tanım.. den, P H ve (, ),0 P H denge rp P ( r ) P ( r ) P ( r ) P 0 olup, buradan P 0 ve P bulunur. Bu akdirde (, ) (0,0) denge nokaları elde edilir. Lemma (4.5.) denklem siseminin (, ) (0,0) nokalarındaki Jakobiyen marisleri sırasıyla, P H ve ( P, H),0 P H ve (, ),0 P H denge r 0 J F(,0) 0 0 J F,0 r 0 a a (4.5.) (4.5.) dir. İspa. F ( f, g), (4.5.) siseminin bir fonksiyonu olsun. Buna göre,

57 48 rp ah f ( P, H ) e ve g( P, H ) P e ah ( r ) P fonksiyonlarının kısmi ürevleri ah f re ( P, H ) P r P g ( P, H ) e P ( ) ah f ah rp, ( P, H ) ( a) e H ( r ) P g, ( P, H ) ape H ah olmak üzere, ( P, H) (0,0) denge nokasındaki değerleri a0 f re (0,0) P ( r )0 g P a0 (0,0) e 0 r,, g H f (0,0) ( a) e 0 H ( r )0 a0 (0,0) ae 0 0 a0 r0 bulunur. Buradan Tanım..4 e göre, (4.5.) siseminin ( P, H ) (0,0) denge nokasındaki Jakobiyen marisi r 0 J F(0,0) 0 0 olarak elde edilir. Benzer şekilde ( P, H),0 denge nokası için ise, a0 f re,0 P ( r ) g P a0 e,0 0 r f r( a) e H ( r ) a0,,0 a g H,0 ae a0, a bulunur. Buradan Tanım..4 e göre, (4.5.) siseminin ( P, H ),0 denge nokasındaki Jakobiyen marisi

58 49 J F,0 ( a ) r 0 a olarak elde edilir. Teorem (, ) (0,0) olsun. Buna göre, P H ve ( P, H),0, (4.5.) siseminin denge nokaları (a) r olduğu için, (4.5.) denklem siseminin ( P, H ) (0,0) denge nokası eyer nokasıdır. (b) 0 r için, (4.5.) denklem sisemi ( P, H ) (0,0) denge nokasında yerel asimpoik kararlıdır. (c) r ve a için (4.5.) denklem sisemi, ( P, H ) (,0) denge nokasında yerel asimpoik kararlıdır. (d) 0 r ve a olduğunda, (4.5.) denklem siseminin ( P, H ) (,0) denge nokası eyer nokasıdır. (e) 0 r ve a için, (4.5.) denklem sisemi ( P, H ) (,0) denge nokası kararsızdır. İspa. (a) (4.5.) Jakobiyen marisinin öz değerleri r ve 0 olup, ayrıca r olduğundan, Teorem... (v) e göre, öz değerlerden birinin den büyük, diğerinin den küçük olduğundan, (4.5.) siseminin ( P, H ) (0,0) denge nokası eyer nokasıdır. (b) 0 r olması durumunda, (4.5.) Jakobiyen marisinin öz değerleri r ve 0 olup, her iki öz değerde den küçük olur. O halde Teorem... (i) ye göre, (4.5.) sisemi ( P, H ) 0,0 denge nokasında yerel asimpoik kararlıdır. (c) r ve a olması durumunda, (4.5.) Jakobiyen marisinin öz değerleri ve a olup, r olduğu için her iki öz değerde den küçük olur. O halde Teorem... (i) ye göre, (4.5.) sisemi ( P, H ),0 denge nokasında yerel asimpoik kararlıdır. r

59 50 (d) (4.5.) Jakobiyen marisinin öz değerleri ve a olup, ayrıca 0 r ve r a olduğundan, Teorem... (v) e göre, öz değerlerden birinin den büyük, diğerinin den küçük olmasından dolayı, (4.5.) siseminin ( P, H ) (,0) denge nokası eyer nokasıdır. (e) 0 r ve a olması durumunda, (4.5.) Jakobiyen marisinin öz değerleri ve a olup, her iki öz değerde den büyük olur. O halde Teorem... r (ii) ye göre, (4.5.) siseminin ( P, H ),0 denge nokası kararsızdır. Şekil 5.. Teorem (a) şıkkı: a, r.5, P 0.9, H

60 5 Şekil 5.. Teorem (b) şıkkı: a, r 0.9, P 0.9, H Şekil 5.. Teorem (c) şıkkı: a 0.9, r., P 0.9, H

61 5 Şekil 5.4. Teorem (d) şıkkı: a 0.5, r 0.5, P 0.9, H Şekil 5.5. Teorem (e) şıkkı: a., r 0.9, P 0.9, H

62 rp P e H P e -ah -ah, - ( r ) P Fark Denklem Sisemi Bu kısımda, P0, H0 başlangıç koşulları için, rp ah P e, H P e, 0,,... ah ( r ) P (4.6.) fark denklem siseminin kararlığını inceleyeceğiz. Lemma (4.6.) denklem sisemi ( P, H) (,0) ve nokalarına sahipir. İspa. H 0 olsun. Buna göre Tanım.. den, ( P, H),0 r denge rp P ( r ) P P r P rp ( ) 0 olup, buradan P ve P r bulunur. Bu akdirde ( P, H ) (,0) ve ( P, H),0 r denge nokaları elde edilir. Lemma (4.6.) denklem siseminin ( P, H) (,0) ve nokalarındaki Jakobiyen marisleri sırasıyla, ( P, H),0 r denge JF(,0) r 0 a a (4.6.) J F ( r ) a r r,0 r 0 a r (4.6.)

63 54 dir. İspa. F ( f, g), (4.6.) siseminin bir fonksiyonu olsun. Buna göre, rp ah f ( P, H ) e ve g( P, H ) P e ah ( r ) P fonksiyonlarının kısmi ürevleri ah f rpe ( P, H ) P r P g ( P, H ) e P ( ) ah, f ( P, H) ( a) e H ( r ) P g, ( P, H ) ape H ah ah rp olmak üzere, ( P, H) (,0) denge nokasındaki değerleri f (,0) P ( r ) g P a0 re a0 (,0) e 0,, r f (,0) ( a) e a H ( r ) g (,0) ae H a0 a a0 r bulunur. Buradan Tanım..4 e göre, (4.6.) siseminin ( P, H ) (,0) denge nokasındaki Jakobiyen marisi JF(,0) r 0 a a olarak elde edilir. Benzer şekilde ( P, H),0 denge nokası için ise, r

64 55 a0 r e f r ( r ),0 P r r ( r ) r a0 r ( a) e f,0 r a H r r ( r ) r g P r,0 a0 e 0, g a0,0 ae a H r r r bulunur. Buradan Tanım..4 e göre, (4.6.) siseminin nokasındaki Jakobiyen marisi ( P, H ),0 r denge J F ( r ) a r r,0 r 0 a r olarak elde edilir. Teorem ( P, H) (,0) ve olsun. Buna göre, ( P, H),0, (4.6.) siseminin denge nokaları r (a) 0 r ve a için, (4.6.) denklem siseminin ( P, H ) (,0) denge nokası eyer nokasıdır. (b) r ve a için, (4.6.) denklem sisemi ( P, H ) (,0) denge nokasında yerel asimpoik kararlıdır. (c) r 0 ve a 0 için, (4.6.) denklem sisemi kararsızdır. ( P, H ),0 r denge nokasında İspa. (a) 0 r ve a için, (4.6.) Jakobiyen marisinin öz değerleri ve r a olup, öz değerlerden birinin den büyük, diğerinin den küçükür. O halde

65 56 Teorem... (v) e göre, (4.6.) siseminin ( P, H ) (,0) denge nokası eyer nokasıdır. (b) r ve a olması durumunda, (4.6.) Jakobiyen marisinin öz değerleri ve a olduğu için, her iki öz değerde den küçük olur. O halde Teorem... (i) ye göre, (4.6.) sisemi ( P, H ) (,0) denge nokasında yerel asimpoik kararlıdır. (c) r 0 ve a 0 olması durumunda, (4.6.) Jakobiyen marisinin öz değerleri ( r ) ve r a r olup, her iki öz değerde den büyük olur. O halde Teorem... (ii) ye göre, (4.6.) sisemi ( P, H ),0 denge nokasında kararsızdır. r r Şekil 6.. Teorem (a) şıkkı: a 0.0, r.99, P 0.9, H

66 57 Şekil 6.. Teorem (b) şıkkı: a 0., r, P 0.9, H Şekil 6.. Teorem (c) şıkkı: a 0.8, r., P 0.9, H

67 KrP P e, H P - e -ah -ah K ( r ) P Fark Denklem Sisemi Bu kısımda, P0, H0 başlangıç koşulları için, KrP ah P e, H P e, 0,,... ah K ( r ) P (4.7.) fark denklem siseminin kararlığını inceleyeceğiz. Lemma (4.7.) denklem sisemi (, ) (0,0) nokalarına sahipir. İspa. H 0 olsun. Buna göre Tanım.. den, P H ve ( P, H) K,0 denge P KrP K ( r ) P ( r ) P K( r ) P 0 olup, buradan P 0 ve P K bulunur. Bu akdirde ( P, H) (0,0) ve ( P, H) K,0 denge nokaları elde edilir. Lemma (4.7.) denklem siseminin (, ) (0,0) nokalarındaki Jakobiyen marisleri sırasıyla, P H ve ( P, H) K,0 denge r 0 J F(0,0) 0 0 ak J F K,0 r 0 ak (4.7.) (4.7.) dir. İspa. F ( f, g), (4.7.) siseminin bir fonksiyonu olsun. Buna göre,

68 59 KrP f ( P, H ) e K ( r ) P ah ve g( P, H ) P e ah fonksiyonlarının kısmi ürevleri ah f K re ( P, H ) P K ( r ) P g ( P, H ) e P ah f ah KrP, ( P, H ) ( a) e H K ( r ) P g, ( P, H ) ape H ah olmak üzere, ( P, H) (0,0) denge nokasındaki değerleri a0 f K re (0,0) P K ( r )0 g P a0 (0,0) e 0, r, g H f (0,0) ( a) e 0 H K ( r )0 a0 (0,0) ae 0 0 a0 Kr0 bulunur. Buradan Tanım..4 e göre, (4.7.) siseminin ( P, H ) (0,0) denge nokasındaki Jakobiyen marisi r 0 J F(0,0) 0 0 olarak elde edilir. Ayrıca ( P, H) K,0 denge nokası için ise, a0 f Kre K,0 P K ( r ) g 0 K a,0 e 0 P r f Kr( a) e H K ( r ) a0, K,0 g K,0 ake ak H a0, a K bulunur. Buradan Tanım..4 e göre, (4.7.) siseminin ( P, H ) K,0 nokasındaki Jakobiyen marisi denge

69 60 J F K,0 r 0 ( a) K ak olarak elde edilir. Teorem (, ) (0,0) olsun. Buna göre, P H ve P H K (, ),0, (4.7.) siseminin denge nokaları (a) r için, (4.7.) denklem siseminin ( P, H ) (0,0) denge nokası eyer nokasıdır. (b) 0 r için, (4.7.) denklem sisemi ( P, H ) (0,0) denge nokasında yerel asimpoik kararlıdır. (c) r ve yerel asimpoik kararlıdır. (d) 0 r ve a için, (4.7.) denklem sisemi ( P, H ) ( K,0) denge nokasında K a olduğu durumunda, (4.7.) denklem siseminin ( P, H ) ( K,0) K sıfır denge nokası eyer nokasıdır. (e) 0 r ve kararsızdır. a için, (4.7.) denklem sisemi ( P, H ) ( K,0) denge nokası K İspa. (a) (4.7.) Jakobiyen marisinin öz değerleri r ve 0 olup, ayrıca r olduğundan, Teorem... (v) e göre, öz değerlerden birinin den büyük, diğerinin den küçük olmasından dolayı, (4.7.) siseminin ( P, H ) (0,0) denge nokası eyer nokasıdır. (b) 0 r olması durumunda, (4.7.) Jakobiyen marisinin öz değerleri r ve 0 olup, her iki öz değerde den küçük olur. O halde Teorem... (i) ye göre, (4.7.) sisemi ( P, H ) 0,0 denge nokasında yerel asimpoik kararlıdır. (c) r ve a olması durumunda, (4.7.) Jakobiyen marisinin öz değerleri K r ve ak olup, her iki öz değerde den küçük olur. O halde Teorem... (i) ye göre, (4.7.) sisemi ( P, H ) K,0 denge nokasında yerel asimpoik kararlıdır.

70 6 (d) (4.7.) Jakobiyen marisinin öz değerleri ve ak olup, 0 r ve r a olduğundan, Teorem... (v) e göre öz değerlerden birinin den büyük, K diğerinin den küçük olmasından dolayı, (4.7.) siseminin ( P, H ) ( K,0) denge nokası eyer nokasıdır. (e) 0 r ve a olması durumunda, (4.7.) Jakobiyen marisinin öz değerleri K ve ak olup, her iki öz değerde den büyük olur. O halde Teorem... r (ii) ye göre, (4.7.) siseminin ( P, H ) K,0 denge nokası kararsızdır. Şekil 7.. Teorem (a) şıkkı: K, a 0.5, r., P 0.9, H

71 6 Şekil 7.. Teorem (b) şıkkı: K, a 0.5, r 0.9, P 0.9, H Şekil 7.. Teorem (c) şıkkı: K, a 0., r., P 0.9, H

72 6 Şekil 7.4. Teorem (d) şıkkı: K, a 0., r 0.99, P 0.9, H Şekil 7.5. Teorem (e) şıkkı: K, a 0.5, r 0.8, P 0.9, H

73 64 5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER 5. Sonuçlar Bu çalışmada, Nicholson-Bailey konak-parazi modeli göz önüne alınarak, lieraürde iyi bilinen oonom olmayan Beveron-Hol fark denklemleri, Holling ipindeki fark denklemleri ve bu iki ip fark denklemlerine benzer fark denklemleri kullanılarak elde edilen model veya model gibi biki-oçul fark denklem sisemlerinin dinamikleri incelenmiş ve sonuçlar grafikler üzerinde göserilmişir. 5. Öneriler Bu çalışmada çalışılan biki-oçul ekileşim fonksiyonlarına benzer fonksiyonlar kullanılarak model ve model gibi biki-oçul sisemlerinin dinamiği incelenebilir. Örneğin, rp ah P e, H P e, 0,,... ah n ( r ) P şeklindeki bir biki-oçul fark denklem sisemi veya rp rp ah P e, H e, 0,,... n ( r ) P ( r ) P ah n şeklindeki biki-oçul fark denklem sisemi de incelenebilir.

74 65 KAYNAKLAR Beddingon J.R., Free C.A., Lawon J.H., (975), Dynamic Complexiy in Predaor-Prey Models Framed in Difference Equaions, Naure, Briggs C.J., Hoopes M.F., (999), Sabilizing Effecs in Spaial Parasioid Hos and Predaor-Prey Models: A Review, Theoriical Populaion Biology, USA, Buchanan R. J., (005), Review of Dynamic Complexiy in Predaor-Prey Models Framed in Difference Equaions, Millersville universiy, Pennsylvania. Cushing J. M., Henson S. M., (00), Global Dynamics of Some Periodically Forced, Monoone Difference Equaions, J. Difference Equaions and Applicaions, USA, Doebeli M., Jong G.D., (999), Geneic Variabiliy in Senensiiviy o Populaion Densiy Affecs he Dynamics of Simple Ecological Models, Theoriical Populaion Biology, Swizerland, 7-5. Dehghan M., Nasri M., Douraki M.J., Sudy of a Sysem of Non Linear Difference Equaions Arising in a Deerminisic Model For HIV İnfecion, Applied Mahemaics and Compuaion, Iran, Dehghan M., Nasri M., Razvan M.R., (007), Global Sabiliy of a Deerminisic Model for HIV infecion in Vivo, Chaos, Solions and Fracals, Iran, 5 8. Elaydi S., Sacker R.J., (005), Global Sabiliy of Periodic Orbis of Non-Auonomous Difference Equaions and Populaion Biology, Journal of Differanial Equaions, USA, Hassel M.P., (975), Densiy dependence in single-species populaions, J. Anim. Ecol., Henson S. M., Cosanino R. F., Cushing J. M., Dennis B., Desharnais R. A., (999), Muliple Aracors, Saddles and Populaion Dynamics in Periodic Habias, Bullein of Mahemaical Biology, USA, -49. Kang Y., Armbruser D., Kuang Y., (008), Dynamics of Plan-Herbivore Model, Journal of Biological Dynamics, USA, Kang Y., Chesson P., Relaive Nonlineariy and Populaion Biology, USA, 6-5. Permanence, (00), Theoriical Kang Y., Armbruser D., Noise and Seasonal Effecs on he Dynamics of Plan-Herbivore models wih Monoonic Plan Growh Funcions, (00), Inernaional Journal of Biomahemaics, USA, WSPC. Kang Y., Armbruser D., (0), Dispersal Effecs on a Discree Two-Pach Model for Plan-Insec Ineracions, Journal of Theoriical Biology, USA,