YAPI SĠSTEMLERĠNDE SONLU ELEMANLAR YÖNTEMĠ
|
|
- Selim Özal
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 YAPI SĠSTEMLERĠNDE SONLU ELEMANLAR YÖNTEMĠ Prof.Dr. Metin AYDOĞAN Ġ.T.Ü.ĠnĢaat Fakültesi, ĠnĢaat Müh. Bölümü Betonarme Yapılar Bilim Dalı Tel-Faks: E-posta:
2 GĠRĠġ Sonlu elemanlar yöntemi çok güçlü ve çağdaş bir sayısal hesaplama yöntemidir. Son 40 yılda bilgisayarların hızlı gelişimine paralel olarak gelişen sayısal hesap yöntemleri içinde çok önemli bir yer tutmaktadır. Bu sayısal yaklaşım yöntemi her ne kadar orijinal olarak yapı sistemleri için geliştirilmiş ise de dayandığı esasların genelliği dolayısıyla yöntem, akışkanlar mekaniği, zemin mekaniği, uçak mühendisliği, nükleer mühendislik, kaya mekaniği, elektromanyetik alanlar, termal analiz ve daha sayabileceğimiz pek çok mühendislik ve fizik problemlerinin çözümünde araç olarak kullanılmaktadır. Karşılaştığımız mühendislik problemlerin küçük bir kısmının analitik çözümü mevcuttur. Bu, çözüm aranan bölgede çözüme ait matematiksel ifadelerin bulunabilmesi, yani sonsuz noktada çözümün bilinmesi anlamına gelmektedir. Analitik çözümler yalnızca fizik problemin bazı basitleştirilmiş ve sadeleştirilmiş matematik modelleri için elde edilebilir. Uygulamada karşılaşılan pek çok mühendislik problemi için kapalı çözüm bulmak mümkün değildir. Ekseriya deneyimli mühendisler veya araştırmacılar problemin tabiatına çok uzak olmayan basitleştirmeler ve varsayımlar altında yaklaşık çözümlere ulaşmaktadırlar. Ancak, örneğin düzgün olmayan geometri, karışık sınır koşulları, üniform olmayan yüklemeler, lineer olmayan malzeme davranışı gibi nedenlerle bu gibi kapalı çözümlerin elde edilmesi çok güçleşmekte veya olanaksız hale gelmektedir. Sonlu elemanlar yönteminin kullanılması halinde bu gibi durumlara ait yaklaşık çözümler kolaylıkla elde edilebilmektedir. 2/83
3 Sayısal yöntemlerin pek çoğunda çözüm, bilinmeyen büyüklüklerin bölge içinde belirli bazı ayrık noktalardaki yaklaşık değerlerinin bulunmasına yöneliktir (Örneğin bir kirişin belirli noktalarında çökme değerlerinin bulunması gibi). Yani çözüm, bölgedeki bu seçilmiş noktalardaki değerlerin bulunması işlemine indirgenmektedir. Bölgede belirli bir sayıda noktayı seçme işlemine ayrıklaştırma denir. Bir bölgeyi ayrıklaştırmanın yolu onu küçük parçalara, ünitelere, bölmektir. Bu küçük parçalar bir araya gelerek orijinal yapıyı temsil ederler. Böylece tüm yapıyı bir seferde çözmek yerine, bu küçük üniteler için çözüm yapılıp bir araya getirilerek orijinal bölgeye ait çözüm elde edilebilmektedir. Bu suretle küçük parçalar için yapılan basit yaklaşımlar ile bölgenin tümü için kabul edilebilir sonuçlar elde etmek mümkün olabilmektedir. Ancak daha iyi sonuç elde etmek için orijinal yapıyı daha küçük ünitelere bölmek, yani daha çok sayısal veri işlemek gerekir ki, bu da mutlaka kapasiteli bilgisayarlar ve bilgisayar programları kullanımı gerektirir. 3/83
4 SONLU ELEMANLAR YÖNTEMĠ NEDĠR? Sonlu elemanlar yönteminin esası çözüm aranan yapıyı, bölgeyi veya cismi çok sayıda küçük sonlu elemanlara, kısaca elemanlara, bölmektir. Bir, iki veya üç boyutlu olabilen bu elemanlar düğüm ya da düğüm noktası adı verilen noktalarda birbirlerine bağlanmaktadırlar. Örnek olmak üzere (Şekil.1) de bir, iki ve üç boyutlu elemanlardan örnekler gösterilmiştir. (Şekil.2) de ise düzensiz bir geometriyi haiz bir levhanın üçgen sonlu elemanlarla ayrıklaştırılması, veya idealleştirilmesi, görülmektedir. Bu problemin sonlu elemanlar yöntemi ile çözümü sonucunda aranan büyüklüklerin, örneğin x ve y doğrultusundaki yer değiştirmelerin, dolu yuvarlaklar ile gösterilen düğüm notalarındaki sayısal değerleri elde edilecektir. Eleman düğüm noktalarındaki aranan büyüklüklerin sayısal değerleri düğüm nokta serbestlikleri olarak adlandırılmaktadır. 4/83
5 Aranan büyüklüğün eleman içindeki değişimi için seçimi kolay, matematik işlemlerin yapılması basit ve problemin fiziği ile uyumlu, yani davranışı yansıtan, sürekli fonksiyonlar, örneğin polinomlar, seçilmektedir. Bu fonksiyonlara elemanın yer değiştirme şeklini tanımladığı için genel olarak şekil fonksiyonları adı verilir. Seçilen fonksiyonların eleman içindeki davranışa katkıları, örneğin polinom seçilmesi halinde polinomun katsayıları, düğüm noktalarındaki aranan büyüklükler cinsinden tayin edilebilmektedir. Yani çözüm yapılıp düğüm noktalarındaki bilinmeyenler elde edildikten sonra eleman içindeki değişim belirlenmiş demektir. Sonlu eleman içinde davranışı iyi bir şekilde temsil eden fonksiyonlar yardımıyla oluşturulan elemana ait özellikler orijinal yapı için bir araya getirildiğinde tüm yapıyı iyi bir yaklaşımla temsil edebilmektedir. 5/83
6 Sonlu elemanlar yöntemi yardımıyla çoğu mühendislik problemlerinin çözümünde karşılaşılan; Çözüm bölgesinin düzensiz geometriye haiz olması, Karışık ve süreksiz sınır koşullarının varlığı, Yüklemenin üniform olmaması, süreksiz ve tekil yüklerin varlığı, Malzemenin heterojen (beton gibi) olması, anizotrop(ahşap gibi) olması gibi problemler kolaylıkla çözülebilir. Sonlu elemanlar yöntemi lineer ve lineer olmayan sistemlere, keza statik olduğu gibi dinamik problemlere de uygulanabilir. Yukarıda sayılan önemli üstünlükler yanında yöntemin genellikle kapasiteli bilgisayarlara ve özellikle amaca yönelik ya da genel bilgisayar programlarına (software) gereksinimi olduğu unutulmamalıdır. Bu seminerin kapsamı içinde anlatılanlar yapı sistemleri ve özel olarak sonlu elemanlar deplasman yöntemi sınırları içinde kalacak ise de ifadeler ve kavramların genel olduğu ve tüm mühendislik problemleri için kullanılabileceği unutulmamalıdır. 6/83
7 HESAPTA ĠZLENEN YOLUN BASĠT YAY PROBLEMĠ ĠLE ÖZETLENMESĠ Sonlu elemanlar yönteminde izlenen yol basit yay örneği ile açıklanmaya çalışılacaktır. (Şekil.3a) da yay katsayısı s [kn/m] olan lineer bir yay görülmektedir. Yay eksenel P [kn] kuvveti altında u [m] kadar çökmektedir. Fizikten, potansiyel enerji kavramını kullanarak, yük yer değiştirme bağıntısı P = s. u (1) olarak elde edilir. Burada s yayın rijitliği olup çökme değerini birim yapan kuvvete eşittir. Eksenel yüklü kolon lineer yaya benzetilebilir (Şekil.3b). Bu durumda gerilme şekil değiştirme bağıntısı ve kolon rijitliği u=1 için (2) olur. 1 noktasında kolona aşağıya yönlü birim yer değiştirme uygular ve 2 noktasından tutarsak 1 noktasında AE / l, 2 noktasında ise -AE / l kuvvetini elde ederiz. Benzer olarak 1 noktasında kolonu tutar 2 noktasında birim yer değiştirme uygularsak 2 noktasında AE/l, 1 noktasında AE/l kuvvetlerini buluruz. Bu, 1 noktası u 1 kadar yer değiştirirse 1 ve 2 noktasındaki uç kuvvetleri sırasıyla u 1. A E / l ve -u 1. AE/ l değerlerini alır sonucunu verir. 7/83
8 Benzer olarak 2 noktası u 2 kadar yer değiştirirse 1 ve 2 noktasındaki uç kuvvetleri sırasıyla -u 2.AE/ l ve u 2.AE/ l değerlerini alır. Bu sonuçları süperpozisyon kuralını uygulayarak matris formunda özetlersek uçlarından Q 1 ve Q 2 eksenel yüklü kolona ait yük yer değiştirme bağıntısı, denge denklemleri, aşağıdaki gibi olur: (3) Burada eksenel yüklü kolona ait en basit sonlu eleman rijitlik matrisi [k] (4) ifadesi ile verilmiş olup (3) denge denklemlerinin katsayıları matrisinden ibarettir. (4) 8/83
9 Rijitlik matrisinin elemanları tesir katsayıları olup matrisin herhangi bir k ij terimi j düğüm noktasında birim yer değiştirmeden i düğüm noktasında oluşan kuvveti göstermektedir. Herhangi bir sonlu elemanın rijitlik matrisi (1) yer değiştirme modeline, yani seçilen şekil fonksiyonuna, (2) elemanın geometrisine ve (3) malzeme özellikleri veya bünye denklemlerine (gerilme-yer değiştirme bağıntılarına) bağlıdır. Bu en basit örnekte element rijitlik matrisi doğrudan yazılmıştır ve kesindir. Ancak genel halde incelenen sonlu eleman ortamında problemin fiziği ve geometrisine uygun yaklaşım fonksiyonları (şekil fonksiyonları) yazlarak eleman rijitlik matrisi çıkarılır ve bu sabit kesitli çubuk sistemler dışında yaklaşıktır. Yaklaşımın sıhhati seçilen fonksiyon ile çok yakından ilgilidir. Ancak hemen çoğu kez polinomlarla çok iyi yaklaşımlar elde edilebildiğini söylemek mümkündür. Eleman rijitlik matrislerinin bulunmasına ilişkin ayrıntılar ileride verilecektir. A 1 ve A 2 en kesit alanlarını haiz eksenel yüklü bir kolon alalım (Şekil.4a). Bu kolon sistemine ait yer, şekil değiştirme ve gerilme değerlerini bulmak istiyoruz. Kolon iki adet bir boyutlu sonlu elemana bölünmüştür. Bu sistemde toplam 3 adet düğüm noktası bulunmaktadır. Aynı sistem keza yay katsayıları,rijitlikleri, s 1 ve s 2 olan iki adet yay ile de temsil edilebilir (Şekil.4b). Her bir sonlu elemanın rijitlik bağıntıları (4) ifadesi yardımıyla aşağıdaki gibi hesaplanır. 9/83
10 Şimdiki adımda tüm sistem için denge denklemlerini bulmak üzere eleman rijitliklerini bir araya getirmek istiyoruz. Yani her bir elemana ait rijitlik ve yükleme matrislerinden sisteme ait (global) rijitlik ve yükleme matrisleri elde edilecektir. Bu amaçla en çok kullanılan yöntem biriktirme yöntemidir. Yöntem, aynı bir düğüm noktasında birleşen, dolayısıyla aynı yer değiştirmeyi yapan elemanlara sadece o noktaya komşu noktalardan katkı yapılması esasına dayanmaktadır. Örnek olarak seçtiğimiz basit sistemde 1 noktasına ait rijitlik teriminin 3 noktasına katkısı bulunmamaktadır. Sisteme ait denge denklemleri (5) ifadesi ile verilmiş olup burada [K] sistem rijitlik matrisi (veya daha genel olarak sistem davranış matrisi), {R}sistem toplam yük vektörü, {U} sistem yer değiştirme vektörüdür. [K]. {U} = {R} (5) 10/83
11 Örneğimize dönelim. Eleman denklemlerini bir araya getirerek (5) ifadesi örnek sistem için aşağıda yazılmıştır: Burada R 3, 3 noktasındaki reaksiyonu göstermektedir. Sisteme ait denklem sistemi geometrik sınır koşulları uygulanmaksızın çözülemez. Geometrik sınır koşulu yapının sınırlarında veya kenarlarındaki yer değiştirme değerlerinin yerine koyulması ile uygulanır. Örneğimizde kolon tabanı tutulmuş olduğundan geometrik sınır koşulu tabandaki yer değiştirmenin, burada u 3 değerinin, sıfıra eşit olduğudur. Bu koşulu yukarıdaki denklemde son satır ve sütunu kaldırmak suretiyle uygulayabiliriz. Dolayısıyla sınır koşulları uygulanmış sistem denklemleri aşağıdaki hale dönüşür: Bir araya getirilmiş ve sınır koşulları uygulanmış denklem sistemi çözülerek problemin bilinmeyenleri,burada boy kısalmaları, elde edilir. Lineer denklem sistemlerinde bu işlem matris teknikleri ile kolayca halledilebilir. Lineer olmayan problemler ile özdeğer problemlerinde başka teknikler uygulanır. Örnek problemin bilinmeyenleri u 1 = / = *10-3 m, u 2 = / = *10-3 m olarak elde edilir. 11/83
12 Eleman şekil değiştirmeleri ve gerilmeler tasarımda kullanmak amacıyla hesaplanmalıdır. Her iki eleman için hesaplanan şekil değiştirme ve gerilmelerin sayısal değerleri aşağıda verilmiştir: Burada (-) işareti basıncı göstermektedir. Bu basit örnek yardımıyla gösterildiği gibi sonlu eleman özetlenebilir: analizinde izlenen yol aşağıdaki altı adımda 1. Çözüm aranan bölgenin ayrıklaştırılması (bölgenin sonlu elemanlara bölünmesi, eleman ağı teşkili, idealleştirme), 2. Şekil fonksiyonlarının seçimi (yapı problemlerinde yer değiştirme modeli), 3. Eleman davranış (rijitlik) matrisinin varyasyon ilkesi veya ağırlıklı artıklar yöntemlerinden biri ile çıkarılması, 4. Eleman denklemlerinin bir araya getirilmesi ve sınır koşullarının uygulanması 5. Tüm sistemin çözülerek bilinmeyenlerin (yapı problemlerinde genellikle yer değiştirmelerin) elde edilmesi, 6. Tasarım veya kontrol amacına yönelik olarak diğer büyüklüklerin düğüm nokta bilinmeyenlerinden hareketle hesabı (yapı mekaniğinde eleman şekil değiştirme ve gerilmelerinin hesabı). 12/83
13 GENEL SONLU ELEMAN DENKLEMLERĠ Sonlu eleman denklemleri için genel olarak kullanılabilen bir ifade yapı sistemlerinde çok kullanılan potansiyel enerjinin minimumu ilkesinden hareket edilerek elde edilebilir. Bu amaçla önce bazı tanımlar yapmaya gereksinim vardır. Bu tanımların çoğu matris formunda yapılacaktır. u : yer değiştirme fonksiyonu veya yer değiştirme fonksiyonlarından oluşan vektör a e : düğüm noktası serbestliklerinden (bilinmeyenlerinden) oluşan vektör N : şekil fonksiyonları matrisi (u=n a e ) ε : şekil değiştirme vektörü L : yer değiştirmeleri şekil değiştirmelere bağlayan lineer operatör (ε =Lu=LN a e ) B : düğüm noktası serbestliklerini şekil değiştirmelere bağlayan matris (B =LN ) σ: gerilme vektörü D : elastisite matrisi D( ) 0 0 ε0: ilkel şekil değiştirme vektörü (örneğin sıcaklık değişimi) σ0: ilkel gerilme vektörü (örneğin öngerilme) b : hacım kuvvetlerinden oluşan vektör (birim hacme gelen kuvvetler) s : yüzey kuvvetlerinden oluşan vektör(birim alana gelen kuvvetler) f p : düğüm noktası yüklerinden oluşan vektör 13/83
14 Minimum potansiyel enerji ilkesi bir yapıda geometrik sınır koşullarını sağlayan çözümler içinde denge denklemlerini sağlayan çözüme ait toplam potansiyel enerji minimumdur şeklinde tanımlanabilir. Burada toplam potansiyel enerji iki ayrı enerjinin toplamı olarak ifade edilebilir: İç potansiyel enerji(şekil değiştirme enerjisi), U i ve sisteme etkiyen dış yüklerden oluşan dış potansiyel enerji, U e. Yani = U i + U e olup dış potansiyel enerji ters işaretle dış kuvvetlerin yaptığı işe eşit alınarak (zira yer değiştirme esnasında potansiyel enerjide bir azalma söz konusudur) -U e =+W e ile = U i - W e yazılabilir. Toplamın minimumu varyasyon hesabından olarak elde edilir. Matris bağıntılar yardımıyla iş ifadeleri (6) (7a) (7b) şeklinde yazılabilir. (6) eşitliğinden (8) 14/83
15 Lineer elastik malzeme halinde σ=d(ε-ε0)+σ0 (Genel Hooke kanunu-eksenel yüklü kolon halinde D=E) yazılarak (9) (10) elde edilir. Bu sonuç bütün statik ve lineer elastik problemlere ait sonlu eleman karakteristiklerini bulmak için kullanılabilir. D matrisi homogen, izotrop sistemlerde elastisite modülü ve Poisson oranı ile belirlenir. Şekil değiştirmeleri düğüm nokta yer değiştirmelerine bağlayan matris (11) olup ilgili büyüklükler yerine koyulup varyasyon işlemi yapıldığında sonuç olarak lineer elastik sistemlerde (12) bağıntısı elde edilir. (12) 15/83
16 Burada a e vektörü bilinmeyenlerden oluşur ve koordinatların fonksiyonu olmadığından integral dışına alınabilir. Sonuçta (13) bağıntısı elde edilir. burada (13) (14) olup eleman rijitlik matrisi K e aşağıda verilmiştir. (15) Buradaki eleman eşdeğer tekil düğüm nokta kuvvetleri aşağıda gösterilmiştir: (16) (17) (18) (19) (20) 16/83
17 BĠR BOYUTLU HAL (EKSENEL ġekġl DEĞĠġTĠRME) Örneğin (Şekil.5) de görülen tek boyutlu eksenel yüklü çubuk probleminde yer değiştirme (parametre) fonksiyonu Şekil.5- Tek boyutlu (eksenel şekil değiştirme) sonlu eleman u = c 1 + c 2.x (21) şeklinde 1.derece polinom olarak ifade edilebilir. Burada her bir düğüm noktasındaki boyuna yer değiştirme düğüm nokta serbestliği olarak alınmıştır. İki noktadan bir doğru geçeceğinden yer değiştirme fonksiyonu lineer (21) bağıntısı ile verilebilir ve bu durum problemin fiziği ile de uyumludur. i düğüm noktasında u(x i ) = u i ve j düğüm noktasında, u(x j ) = u j uç koşulları yardımıyla c 1 ve c 2 katsayıları aşağıda izlenen yol ile kolayca bulunur: (22) 17/83
18 veya matris formunda (23) olur. Sabitler vektörü hesaplanıp yerine konulursa (24) bulunur. Matris tersi alınıp yerine konulur ve çarpım yapılırsa (25) (26) olur. Burada N i ve N j i ve j düğüm noktalarındaki serbestliklere ait şekil fonksiyonlarıdır. (27) 18/83
19 Şekil fonksiyonlarının özelliklerini burada kolayca görmek mümkündür. Herhangi bir düğüm nokta serbestliğine ait şekil fonksiyonu o noktada o serbestlik için 1 değerini, diğer noktalarda ve diğer tüm serbestlikler için 0 değerini alır (Şekil.6). Eleman içinde herhangi bir noktadaki yer değiştirme değeri süperpozisyon kuralı ile elde edilir. Şekil.6- İki noktalı lineer eleman şekil fonksiyonlarının değişimi Yer değiştirme fonksiyonu u, matris formunda u = N a e (28) olup bu sonlu eleman için şekil fonksiyonları matrisi N ve düğüm noktası bilinmeyenlerine ait vektör a e aşağıdaki gibi tanımlanır: N = [ N i (x) N j (x) ) ], a e = [ u i u j ] T (29a,b) 19/83
20 Tek boyutlu eksenel şekil değiştirme elemanı için paragraf başında tanımlanan büyüklükler (30a,b,c) (31) (32a,b) olarak elde edilir. Burada L ve D(1x1), N ve B (1x2) boyutlu matrislerdir. Bu büyüklüklerle (2x2) boyutlu eleman rijitlik matrisi l uzunluklu ve sabit A en kesit alanlı çubuk için (33) olarak elde edilir. K e matrisinin (2x2) boyutunda olması rastlantı değildir. Zira eleman üzerinde 2 düğüm noktası ve her bir noktada 1 adet olmak üzere toplam 2 serbestlik bulunmaktadır. Dolayısıyla kare rijitlik matrisinin boyutu toplam serbestlik sayısı olan 2 dir. 20/83
21 DÜZLEM ÇERÇEVE ELEMANI Bu halde her bir düğüm noktasında 3 serbestlik bulunmaktadır (Şekil.7). Bunlar x ekseni doğrultusunda yer değiştirme, y ekseni doğrultusunda yer değiştirme ve z ekseni etrafında dönmedir. Şekil.7- Çerçeve eleman,düğüm noktası serbestlikleri ve pozitif yönler 21/83
22 Düğüm noktası serbestliklerinden oluşan vektör a e (34) olup eleman rijitlik matrisi K e (35) olarak elde edilmiştir. Üniform yayılı yük için ankastrelik uç tesirleri: (36) 22/83
23 ĠKĠ BOYUTLU GERĠLME ANALĠZĠ LEVHA SONLU ELEMANLAR: DÜZLEM GERĠLME, DÜZLEM ġekġl DEĞĠġTĠRME Bu bölümde çok kullanılan iki boyutlu üçgen ve dikdörtgen sonlu elemanlardan bahsedilecektir. Ancak daha önce düzlem gerilme ve düzlem şekil değiştirme kavramları kısaca açıklanacaktır. Düzlem Gerilme Düzlem gerilme halinde ince bir levha ortalama düzlemine paralel olarak yüklenmektedir. Bu halin tanımı (37) olarak verilmektedir (Şekil.8). Burada z indisli gerilme bileşenleri düzlem dışı değerleri göstermekte olup hepsi sıfırdır. Elemanda x ve y doğrultularında hacım kuvvetleri olabilir. Bu hale pek çok durumda rastlanabilir. Örneğin yatay yük taşıyan perde duvarlar, yüksek kirişler gibi. 23/83
24 Şekil.8- Düzlem gerilme hali (tüm yükler x-y düzlemindedir). Elastik halde yazılan gerilme şekil değiştirme bağıntısında D elastisite matrisi malzemenin izotrop veya anizotrop olması hallerine bağlıdır. Burada sadece izotropik hal konu edilmiştir. σ=d(ε-ε0)+σ0 D matrisi ve vektörü düzlem gerilme ve düzlem şekil değiştirme halleri için farklıdır. Homojen izotrop malzeme için genelleştirilmiş Hooke kanunu (38a) (38b) (38c) 24/83
25 olup burada Poisson oranı, E elastisite modülü, G ise kayma modülüdür.g ile E arasındaki ilişki (39) bağıntısı ile verilmiştir. (39) (38) bağıntıları ve bu arada ilkel gerilme ve şekil değiştirmeleri de göz önüne alırsak (40a) (40b) (40c) 25/83
26 eşitlikleri bulunur. Sonlu eleman formülasyonuna giren tanımlar düzlem gerilme elemanlar için aşağıdaki gibi yapılabilir: (41) (42) (43) (44) (45) (46) ifadesinde sıcaklık genleşme katsayısını, sıcaklık farkını göstermektedir. İzotrop malzeme halinde sıcaklık değişimi halinde kayma şekil değiştirmesi olmadığına dikkat ediniz. Düzlem dışı şekil değiştirme sıfırdan farklı ve aşağıdaki değeri haizdir: Burada zz0 sıcaklık değişmesi halinde t T olarak alınacaktır. (46) (47) 26/83
27 Düzlem ġekil DeğiĢtirme Düzlem şekil değiştirme halinde düzlem dışı gerilmeler sıfır olur. Örnek olmak üzere boylu boyunca giden bir istinat duvarı, bir baraj gövdesi düzlem şekil değiştirme şeklinde idealleştirilebilir. Burada da yükler yalnızca x-y düzlemindedir. Bu halde elastisite matrisi düzlem gerilme halinden farklıdır. Lineer, elastik ve izotropik malzeme için düzlem şekil değiştirme haline ait gerilme-şekil değiştirme bağıntıları Hooke kanunu yardımıyla aşağıdaki gibi yazılabilir: Burada Lame sabiti (50) ifadesiyle verilmiştir. (48) (49a) (49b) (49c) (50) 27/83
28 ,, 0 ve 0 ın yukarıdaki tanımları kullanılarak elastisite matrisi aşağıdaki gibi elde edilir: (51) Sıcaklık değişimi hali için ilkel şekil değiştirme vektörü (52) Düzlem dışı σ zz gerilmesi sıfırdan farklı olup düzlem şekil değiştirme hali için (53) bağıntısı ile verilir. Burada zz0 sıcaklık değişmesi halinde t T olarak alınacaktır. 28/83
29 Levha Sonlu Elemanlar Düzlem gerilme analizi yapmak amacıyla genellikle üçgen ve dikdörtgen sonlu elemanlar kullanılır (Şekil.9). Şekil.9- Üçgen ve dikdörtgen levha sonlu elemanlar Eleman uç serbestlikleri (Şekil.10) da gösterilmiştir. Şekilden de görülebileceği üzere uç serbestlikleri her bir düğüm noktasında x ve y doğrultularındaki yer değiştirmelerden ibarettir. Şekil.10- Üçgen ve dikdörtgen levha sonlu elemanlar uç serbestlikleri 29/83
30 Bu durumda üçgen levha elemanda toplam 6, dikdörtgen levha elemanda ise toplam 8 serbestlik bulunmaktadır. Üçgen elemanda yer değiştirme fonksiyonları (54a,b) olup örneğin u yer değiştirme fonksiyonu için matris formunda (55) yazılabilir. Buradaki c i katsayıları tek boyutlu örnektekine benzer olarak hesaplanıp aynı şekilde N i şekil fonksiyonları (x,y) koordinatlarının fonksiyonu olarak bulunur. x ve y doğrultusundaki yer değiştirme fonksiyonları katsayılar dışında aynı olup i,j ve k noktalarına ait şekil fonksiyonları u ve v yer değiştirmeleri için aynı bulunur.bir boyutlu haldekine benzer olarak (56a,b) 30/83
31 yer değiştirme fonksiyonları şekil fonksiyonları ve uç serbestlikleri cinsinden ifade edilir. Üçgen eleman için yer değiştirme fonksiyonlarından oluşan vektör olup şekil fonksiyonları matrisi (57) dir. Şekil değiştirme düğüm noktaları yer değiştirme matrisi B= LN ile verilmekte olup düzlem gerilme haline ait (58) bağıntıları yardımıyla L ve B matrisleri kolayca elde edilir. (59a,b) 31/83
32 Burada düğüm noktası yer değiştirmelerinden oluşan vektör a e (60) olur. Bu hale ait K e rijitlik matrisi (6x6) boyutunda olacaktır. Dikdörtgen levha sonlu eleman halinde yer değiştirme fonksiyonları (61a,b) olup c i katsayıları önceki örneklerdeki gibi tayin edilerek (62a,b) şeklinde yer değiştirme fonksiyonları şekil fonksiyonları ve uç serbestlikleri cinsinden hesaplanır. Bu haldeki gerilme ve şekil değiştirme vektörleri ve lineer operatör matrisi L üçgendekinin aynıdır. Bu halde N ve B matrisleri (2x8), rijitlik matrisi de (8x8) boyutlarında olacaktır. Keza a e vektörü de (63) 32/83
33 Levha problemlerinde öncelikle problemin türü, düzlem gerilme ya da düzlem şekil değiştirme, belirlenmelidir. Sonuçta düğüm notalarındaki yer değiştirmeler ve bunlardan hareketle şekil değiştirme ve gerilmeler hesaplanır. Bu değerler birim boya gelen kuvvetler (kn/m) olarak bulunur. Kalınlığa bölünerek gerilme bulunur. Bu gerilmeler x ve y yönündeki normal gerilmeler ile kayma gerilmeleri olup buradan asal gerilmelere mukavemetin bilinen bağıntıları yardımıyla geçilir. Levha elemanları kullanarak eksenel simetrik yüklü cisimlerin gerilme analizi yapılabilir. Dönel simetri dolayısıyla açıdan bağımsız olan durum 3 boyutlu yerine 2 boyutlu analize olanak sağlar. Ancak bu duruma karşı gelen lineer operatörün yukarıda (59a) bağıntısı ile verilenden farklı olduğuna dikkat edilmelidir. Ekte üçgen ve dikdörtgen levha elemanlar için rijitlik ve gerilme matrisleri verilmiştir. 33/83
34 ĠNCE PLAKLARIN EĞĠLMEYE GÖRE HESABINA AĠT SONLU ELEMANLAR Ġnce Plak Teorisine Kısa Bir BakıĢ Plaklar ortalama düzlemine dik olarak yüklenen 2 boyutlu düzlemsel taşıyıcılardır. Kalınlıkları diğer iki plan boyutu yanında küçük olan ve bu suretle iki boyutlu olarak hesap edilen plaklara ince plak denir. Kalınlığın ortasından geçen düzleme ortalama düzlem adını alır. İnce plaklarda genellikle klasik küçük yer değiştirme teorisini esas alan Kirchoff teorisi kullanılır. Bu teoride yapılan varsayımlar aşağıda sıralanmıştır: 1. Plak çökmeleri kalınlığı yanında küçüktür. 2. Şekil değiştirmeden önce ortalama düzleme dik olan düzlem, şekil değiştirmeden sonra da dik kalır (düzlem kesit düzlem kalır ve kayma şekil değiştirmeleri ihmal edilmiştir). 3. Ortalama düzleme dik gerilme bileşeni sıfırdır. 4. Şekil değiştirmiş düzlemin herhangi bir kesitteki eğimi küçük olup, eğimin karesi birin yanında ihmal edilebilir. 34/83
35 (Şekil.11) de x-y düzleminde bulunan ve z düzleminde q yükü ile yüklenmiş bir plakta yer değiştirme ve iç kuvvetler pozitif yönleri ile gösterilmiştir. Şekil.11- Eğilme etkisindeki ince plakta yer değiştirmeler ve iç kuvvetler İnce plakta gerilme şekil değiştirme bağıntıları aşağıdaki gibidir: (64) (65) 35/83
36 Plak diferansiyel denklemi (66) olup burada K[kN/m 3 ] temel radye plağı halinde zemin yatak katsayısını göstermektedir. Plak Sonlu Elemanlar İnce plakların eğilmesi problemi için kullanılabilecek bir sonlu eleman modeli her bir düğüm noktasında en az 3 adet serbestlik bulundurur. Bunlar düğüm noktasının çökmesi ve iki eksen etrafında dönmesidir (Şekil.12). i düğüm noktası yer değiştirme vektörü (67a) bağıntısı ile dönmeleri çökmelere bağlayan ilişkiler (67b,c) ile verilmiştir. Plak probleminin, şekil değiştirme vektörü,(68), eğriliklerden, gerilme vektörü (69) momentlerden ibarettir. Şekil serbestlik dereceli plak sonlu eleman koordinat eksenleri ve d.n.serbestlikleri 36/83
37 (67a,b,c) (68) (69) Elastisite matrisi (70) bağıntısı ile verilmiştir. (70) Bu tanımlardan sonra sonlu elemanlar yönteminde izlenen genel yol burada da aynen izlenerek plak sonlu eleman ifadeleri bulunur. Örneğin 12 serbestlikli dikdörtgen plak sonlu elemanda şekil fonksiyonlarının tanımlanması için 12 terimli çökme fonksiyonu alınır. Bu fonksiyon 3.dereceden tam polinoma ait tüm terimleri ihtiva ettiği gibi daha yüksek mertebeden iki terim daha bulundurur: (71) 37/83
38 Şekil fonksiyonunun daha önce yapılmış tanımı hatırlanarak ve (67) bağıntılarını kullanarak 12 serbestlikli plak eleman için şekil fonksiyonları matrisi,[n], teşkil edilir. Bununla yer değiştirme fonksiyonu (72) (73) (74) 38/83
39 Yukarıdaki bağıntılar yardımıyla genel formülasyona uygun olarak eleman rijitlik matrisi kolayca elde edilir: (75) Eleman bazında (76) yazılabilir.burada (77) olup dış etkilere ait bileşenlerin integral ifadeleri aşağıda verilmiştir: (78a) (78b) (78c) (78d) 39/83
40 Eleman gerilme matrisi, [S], (79) olarak elde edilir.tüm sistem için denge denklemleri aşağıdaki gibi yazılır: Burada [K] sistem rijitlik matrisi, {ɑ}, tüm düğüm noktalarındaki serbestlikleri (bilinmeyenleri) içeren vektör, {f}, elemanların üzerindeki yüklerin düğüm noktalarına olan katkılarının eklenmesiyle oluşturulan vektör, {R} ise doğrudan sistem düğüm noktalarına etkitilen yüklerden oluşan vektörü göstermektedir. Ekte 12 serbestlik dereceli ince plak sonlu eleman için rijitlik ve gerilme matrisleri verilmiştir. (80) 40/83
41 UYGULAMALAR 1. örnek; X yönünde 2x5m ve Y yönünde 2x4m açıklıklı 3m yükseklikli uzay betonarme çerçeve örneğidir. Kolon kesitleri 40x40cm, kiriş enkesit boyutları içte 30x80cm, dışta 30x100cm dir. Malzemeye ait Elastisite modülü E= 3.00E+7 kn/m 2, Poisson oranı v=0.20 Yük birimi kn dur. Bu örnek iki farklı yaklaşımla ele alınmıştır. İlk durumda B aksında yer alan kiriş enkesitleri 30x100cm dir. İkinci durumda ise kısa doğrultuda ki iç kiriş enkesiti olarak daha rijit bir kesit değeri (30x200cm) girilerek sistem davranışı incelenmiştir. Kirişlerdeki yayılı yük değerleri; 1 ve 3 akslarında 22.8 kn/m, 2 aksında 39.0 kn/m, A ve C akslarında 16.9 kn/m ve B aksında 27.2 kn/m dir. 41/83
42 42/83
43 43/83
44 44/83
45 45/83
46 46/83
47 47/83
48 48/83
49 İkinci durum olan B aksı kiriş kesitlerinin 30x200cm olarak ele alınması; 49/83
50 50/83
51 51/83
52 52/83
53 53/83
54 2. örnek; yatay yüklere maruz 3m genişlikli ve 5m yükseklikli betonarme bir perde kesit tesirlerinin hesabına aittir. Burada 4x5 dikdörtgen levha (düzlem gerilme) sonlu eleman ağı kullanılmıştır (yatayda 4x0.75m, düşeyde 5x1.0m). Malzemeye ait Elastisite modülü E= 2.85E+7 kn/m 2, Poisson oranı v=0.20, levha kalınlığı h=0.25m dir. Yük birimi kn dur. 54/83
55 55/83
56 56/83
57 3. örnek; 4 kenarından ankastre dikdörtgen bir plağa aittir. Plak 5.35kN/m 2 üniform yayılı yük ve ortasından 50kNluk bir yüke maruzdur. Plak kare olup kenar uzunlukları 4.0m dir. Burada 4x4 plak sonlu eleman ağı kullanılmıştır(eleman boyutları 1.0x1.0m dir). Malzemeye ait Elastisite modülü E=3.00E+7 kn/m 2, Poisson oranı v=0.20, plak kalınlığı h=0.15m dir. 57/83
58 58/83
59 59/83
60 60/83
61 61/83
62 4. örnek; kirişsiz bir döşeme plağına aittir. Plak 13.5kN/m 2 üniform yayılı yüke maruzdur. Plak kare olup ölçüleri 24x24m dir. Çözümde Sap2000 programında 100cm aralıklara bölünmüş sonlu eleman düzeni kullanılmıştır. Malzemeye ait Elastisite modülü E=3.00E+7 kn/m 2, Poisson oranı v=0.20, plak kalınlığı h=0.25m dir. 62/83
63 63/83
64 64/83
65 65/83
66 Maksimum çökme değeri 0,0058m dir. 66/83
67 M11 (X) yönü eğilme momenti değerleri: 67/83
68 M22 (Y) yönü eğilme momenti değerleri: 68/83
69 Kirişsiz döşeme plağının dış konturuna 25x75cm boyutunda çepeçevre bir kiriş konulmuştur. 69/83
70 70/83
71 71/83
72 Maksimum çökme değeri 0,0039m dir. 72/83
73 M11 (X) yönü eğilme momenti değerleri: 73/83
74 M22 (Y) yönü eğilme momenti değerleri: 74/83
75 5. örnek; 8 katlı bir betonarme binanın radye temel çözümüne aittir. Şekilde gösterilen 75 cm kalınlığındaki radye temelin verilen düşey yükler altında hesabı yapılacaktır. Zemin yatak katsayısı K=3000 t/m 3, zemin emniyet gerilmesi σ zem =18 t/m 2 dir. Çözümde Sap2000 programında 100cm aralıklara bölünmüş sonlu eleman düzeni kullanılmıştır. Malzemeye ait Elastisite modülü E=3.0E+7 kn/m 2, Poisson oranı v=0.20 dir. 75/83
76 76/83
77 77/83
78 78/83
79 G+Q kombinasyonu altında oluşan çökme değerleri: Maksimum çökme 0,0041m değerine karşılık gelen σ zmax =0,0041*3000=12,27t/m 2 dir. 79/83
80 G+Q kombinasyonu altında oluşan M11 (X) yönü eğilme momenti değerleri: 80/83
81 G+Q kombinasyonu altında oluşan M22(Y) yönü eğilme momenti değerleri: 81/83
82 SEÇĠLMĠġ KAYNAKLAR: [1] Çakıroğlu, A.,Özden, E., Özmen, G.,(1974) Yapı Sistemlerinin Hesabı için Matris Metotları ve Elektronik Hesap Makinası Programları, C.I ve II, İ.T.Ü.Kütüphanesi, Sayı.1005, İstanbul. [2] Özden, K., (1996) Mühendislikte Sonlu Elemanlar Yöntemi (Ders Notları,İngilizce), İ.T.Ü. İnşaat Fakültesi,İstanbul. [3] Aydoğan, M., Omurtag M.H. (2010) Mühendislikte Sonlu Elemanlar Yöntemi (Ders Notları,İngilizce), İ.T.Ü. İnşaat Fakültesi,İstanbul. [4] Zienkiewicz, O.C.,(1977) The Finite Element Method in Engineering Science,3 rd edition. Mc.Graw Hill, London. [5] Stasa, Frank.L.,(1986) Applied Finite Element Analysis for Engineers, CBS Publ. Japan Ltd. [6] Przemieniecki, J.S.,(1968) Theory of Matrix Structural Analysis, Mc.Graw Hill Book Company,London. 82/83
83 TEŞEKKÜRLER.. 83/83
Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Laminanın Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 2 Laminanın Makromekanik
DetaylıKompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların
DetaylıKompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların
DetaylıELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan
ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar
DetaylıKompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Laminanın Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 2 Laminanın Makromekanik
DetaylıElastisite Teorisi Hooke Yasası Normal Gerilme-Şekil değiştirme
Elastisite Teorisi Hooke Yasası Normal Gerilme-Şekil değiştirme Gerilme ve Şekil değiştirme bileşenlerinin lineer ilişkileri Hooke Yasası olarak bilinir. Elastisite Modülü (Young Modülü) Tek boyutlu Hooke
DetaylıElastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1
Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme
DetaylıİKİ BOYUTLU ÇUBUK SİSTEMLER İÇİN YAPI ANALİZ PROGRAM YAZMA SİSTEMATİĞİ
İKİ BOYUTLU ÇUBUK SİSTEMLER İÇİN YAPI ANALİZ PROGRAM YAZMA SİSTEMATİĞİ Yapı Statiği nde incelenen sistemler çerçeve sistemlerdir. Buna ek olarak incelenen kafes ve karma sistemler de aslında çerçeve sistemlerin
Detaylıp 2 p Üçgen levha eleman, düzlem şekil değiştirme durumu
Üçgen levha eleman düzlem şekil değiştirme durumu Üçgen levha eleman düzlem şekil değiştirme durumu İstinat duvarı basınçlı uzun boru tünel ağırlık barajı gibi yapılar düzlem levha gibi davranırlar Uzun
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
DetaylıİÇİNDEKİLER. ÖNSÖZ... iii İÇİNDEKİLER... v
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ... iii İÇİNDEKİLER... v BÖLÜM 1.... 1 1.1. GİRİŞ VE TEMEL KAVRAMLAR... 1 1.2. LİNEER ELASTİSİTE TEORİSİNDE YAPILAN KABULLER... 3 1.3. GERİLME VE GENLEME... 4 1.3.1. Kartezyen Koordinatlarda
Detaylı28. Sürekli kiriş örnek çözümleri
28. Sürekli kiriş örnek çözümleri SEM2015 programında sürekli kiriş için tanımlanmış özel bir eleman yoktur. Düzlem çerçeve eleman kullanılarak sürekli kirişler çözülebilir. Ancak kiriş mutlaka X-Y düzleminde
DetaylıDÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ
3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F
DetaylıTablo 1 Deney esnasında kullanacağımız numunelere ait elastisite modülleri tablosu
BASİT MESNETLİ KİRİŞTE SEHİM DENEYİ Deneyin Amacı Farklı malzeme ve kalınlığa sahip kirişlerin uygulanan yükün kirişin eğilme miktarına oranı olan rijitlik değerin değişik olduğunun gösterilmesi. Kiriş
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 7 İç Kuvvetler Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 7. İç Kuvvetler Bu bölümde, bir
DetaylıDairesel Temellerde Taban Gerilmelerinin ve Kesit Zorlarının Hesabı
Prof. Dr. Günay Özmen İTÜ İnşaat Fakültesi (Emekli), İstanbul gunozmen@yahoo.com Dairesel Temellerde Taban Gerilmelerinin ve Kesit Zorlarının Hesabı 1. Giriş Zemin taşıma gücü yeter derecede yüksek ya
DetaylıMUKAVEMET Öğr. Gör. Fatih KURTULUŞ
www.sakarya.edu.tr MUKAVEMET Öğr. Gör. Fatih KURTULUŞ www.sakarya.edu.tr 1. DÜŞEY YÜKLÜ KİRİŞLER Cisimlerin mukavemeti konusunun esas problemi, herhangi bir yapıya uygulanan bir kuvvetin oluşturacağı gerilme
DetaylıSONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER
SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan
Detaylı29. Düzlem çerçeve örnek çözümleri
9. Düzlem çerçeve örnek çözümleri 9. Düzlem çerçeve örnek çözümleri Örnek 9.: NPI00 profili ile imal edilecek olan sağdaki düzlem çerçeveni normal, kesme ve moment diyagramları çizilecektir. Yapı çeliği
DetaylıHiperstatik sistemlerin çözümünde, yer değiştirmelerin küçük olduğu ve gerilme - şekil değiştirme bağıntılarının lineer olduğu kabul edilmektedir.
1. HİPERSTATİK SİSTEMLER 1.1. Giriş Bir sistemin hesabının amacı, dış etkilerden meydana gelen kesit tesirlerini, şekil değiştirmelerini ve yer değiştirmelerini belirlemektir. İzostatik sistemlerde, yalnız
DetaylıMukavemet-II PROF. DR. MURAT DEMİR AYDIN
Mukavemet-II PROF. DR. MURAT DEMİR AYDIN KAYNAK KİTAPLAR Cisimlerin Mukavemeti F.P. BEER, E.R. JOHNSTON Mukavemet-2 Prof.Dr. Onur SAYMAN, Prof.Dr. Ramazan Karakuzu Mukavemet Mehmet H. OMURTAG 1 SİMETRİK
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 5 Rijit Cisim Dengesi Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 5. Rijit Cisim Dengesi Denge,
DetaylıProje Genel Bilgileri
Proje Genel Bilgileri Çatı Kaplaması : Betonarme Döşeme Deprem Bölgesi : 1 Yerel Zemin Sınıfı : Z2 Çerçeve Aralığı : 5,0 m Çerçeve Sayısı : 7 aks Malzeme : BS25, BÇIII Temel Taban Kotu : 1,0 m Zemin Emniyet
DetaylıUYGULAMALI ELASTİSİTE TEORİSİ
KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ UYGULAMALI ELASTİSİTE TEORİSİ Prof.Dr. Paşa YAYLA 2010 ÖNSÖZ Bu kitabın amacı öğrencilere elastisite teorisi ile ilgili teori ve formülasyonu
DetaylıAÇI YÖNTEMİ Slope-deflection Method
SAKARYA ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT ÜHENDİSLİĞİ BÖLÜÜ Department of Civil Engineering İN 303 YAPI STATIĞI II AÇI YÖNTEİ Slope-deflection ethod Y.DOÇ.DR. USTAA KUTANİS kutanis@sakarya.edu.tr Sakarya Üniversitesi,
Detaylı33. Üçgen levha-düzlem gerilme örnek çözümleri
33. Üçgen levha-düzlem gerilme örnek çözümleri Örnek 33.1: Şekil 33.1 deki, kalınlığı 20 cm olan betonarme perdenin malzemesi C25/30 betonudur. Tepe noktasında 1000 kn yatay yük etkimektedir. a) 1 noktasındaki
DetaylıJFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur.
JFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur. Prof. Dr. Gündüz Horasan Deprem dalgalarını incelerken, yeryuvarının esnek, homojen
DetaylıYAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN
YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN Yapı Sistemleri: İzostatik (Statikçe Belirli) Sistemler : Bir sistemin tüm kesit tesirlerini (iç kuvvetlerini) ve mesnet reaksiyonlarını
Detaylı34. Dörtgen plak örnek çözümleri
34. Dörtgen plak örnek çözümleri Örnek 34.1: Teorik çözümü Timoshenko 1 tarafından verilen dört tarafından ankastre ve merkezinde P=100 kn tekil yükü olan kare plağın(şekil 34.1) çözümü 4 farklı model
Detaylı(, ) = + + yönünde yer değiştirme fonksiyonu
. Üçgen levha eleman, düzlem gerilme durumu. Üçgen levha eleman, düzlem gerilme durumu Çok katlı yapılardaki deprem perdeleri ve yüksek kirişler düzlem levha gibi davranır. Sağdaki şekilde bir levha sistem
DetaylıKOÜ. Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü (1. ve 2.Öğretim / B Şubesi) MMK208 Mukavemet II Dersi - 1. Çalışma Soruları 23 Şubat 2019
SORU-1) Aynı anda hem basit eğilme hem de burulma etkisi altında bulunan yarıçapı R veya çapı D = 2R olan dairesel kesitli millerde, oluşan (meydana gelen) en büyük normal gerilmenin ( ), eğilme momenti
Detaylıδ / = P L A E = [+35 kn](0.75 m)(10 ) = mm Sonuç pozitif olduğundan çubuk uzayacak ve A noktası yukarı doğru yer değiştirecektir.
A-36 malzemeden çelik çubuk, şekil a gösterildiği iki kademeli olarak üretilmiştir. AB ve BC kesitleri sırasıyla A = 600 mm ve A = 1200 mm dir. A serbest ucunun ve B nin C ye göre yer değiştirmesini belirleyiniz.
DetaylıEKSENEL YÜKLERDEN OLUŞAN GERILME VE ŞEKİL DEĞİŞİMİ Eksenel yüklü elemanlarda meydana gelen normal gerilmelerin nasıl hesaplanacağı daha önce ele
EKSENEL YÜKLERDEN OLUŞAN GERILME VE ŞEKİL DEĞİŞİMİ Eksenel yüklü elemanlarda meydana gelen normal gerilmelerin nasıl hesaplanacağı daha önce ele alınmıştı. Bu bölümde ise, eksenel yüklü elemanların şekil
DetaylıKesit Tesirleri Tekil Kuvvetler
Statik ve Mukavemet Kesit Tesirleri Tekil Kuvvetler B ÖĞR.GÖR.GÜLTEKİN BÜYÜKŞENGÜR Çevre Mühendisliği Mukavemet Şekil Değiştirebilen Cisimler Mekaniği Kesit Tesiri ve İşaret Kabulleri Kesit Tesiri Diyagramları
DetaylıR d N 1 N 2 N 3 N 4 /2 /2
. SÜREKLİ TEELLER. Giriş Kolon yüklerinin büyük ve iki kolonun birbirine yakın olmasından dolayı yapılacak tekil temellerin çakışması halinde veya arsa sınırındaki kolon için eksantrik yüklü tekil temel
DetaylıDoç. Dr. Muhammet Cerit Öğretim Üyesi Makine Mühendisliği Bölümü (Mekanik Ana Bilim Dalı) Elektronik posta ( ):
Tanışma ve İletişim... Doç. Dr. Muhammet Cerit Öğretim Üyesi Makine Mühendisliği Bölümü (Mekanik Ana Bilim Dalı) Elektronik posta (e-mail): mcerit@sakarya.edu.tr Öğrenci Başarısı Değerlendirme... Öğrencinin
DetaylıGERİLME Cismin kesilmiş alanı üzerinde O
GERİLME Cismin kesilmiş alanı üzerinde O ile tanımlı noktasına etki eden kuvvet ve momentin kesit alana etki eden gerçek yayılı yüklerin bileşke etkisini temsil ettiği ifade edilmişti. Cisimlerin mukavemeti
DetaylıSONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ (SAP2000 UYGULAMASI) I. Genel Kavramlar
Deprem ve Yapı Bilimleri GEBZE TEMSİLCİLİĞİ SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ (SAP2000 UYGULAMASI) I. Genel Kavramlar Dr. Yasin Fahjan fahjan@gyte.edu.tr http://www.gyte.edu.tr/deprem/ SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ Sonlu
DetaylıDoç. Dr. Bilge DORAN
Doç. Dr. Bilge DORAN Bilgisayar teknolojisinin ilerlemesi doğal olarak Yapı Mühendisliğinin bir bölümü olarak tanımlanabilecek sistem analizi (hesabı) kısmına yansımıştır. Mühendislik biliminde bilindiği
DetaylıKompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 3 Laminanın Mikromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 3 Laminanın Mikromekanik
DetaylıKAYMA GERİLMESİ (ENİNE KESME)
KAYMA GERİLMESİ (ENİNE KESME) Demir yolu traversleri çok büyük kesme yüklerini taşıyan kiriş olarak davranır. Bu durumda, eğer traversler ahşap malzemedense kesme kuvvetinin en büyük olduğu uçlarından
DetaylıPROF.DR. MURAT DEMİR AYDIN. ***Bu ders notları bir sonraki slaytta verilen kaynak kitaplardan alıntılar yapılarak hazırlanmıştır.
PROF.DR. MURAT DEMİR AYDIN ***Bu ders notları bir sonraki slaytta verilen kaynak kitaplardan alıntılar yapılarak hazırlanmıştır. Ders Notları (pdf), Sınav soruları cevapları, diğer kaynaklar için Öğretim
Detaylı5. RITZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi
5. RITZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi u bölümde RITZ metodu eleman bazında uygulanacak, elemanın yer değiştirme fonksiyonu, şekil değiştirme, gerilme bağıntıları, toplam potansiyeli,
DetaylıGerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir.
STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi AĞIRLIK MERKEZİ Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. Statikte çok küçük bir alana etki eden birbirlerine
DetaylıÇok Katlı Yapılarda Perdeler ve Perdeye Saplanan Kirişler
Çok Katlı Yapılarda Perdeler ve Perdeye Saplanan Kirişler Kat Kalıp Planı Günay Özmen İstanbul Teknik Üniversitesi 1/4 2/4 1 Aksı Görünüşü B Aksı Görünüşü 3/4 4/4 SAP 2000 Uygulamalarında İdealleştirmeler
DetaylıSEM2015 programı kullanımı
SEM2015 programı kullanımı Basit Kuvvet metodu kullanılarak yazılmış, öğretim amaçlı, basit bir sonlu elemanlar statik analiz programdır. Çözebileceği sistemler: Düzlem/uzay kafes: Evet Düzlem/uzay çerçeve:
DetaylıYatak Katsayısı Yaklaşımı
Yatak Katsayısı Yaklaşımı Yatak katsayısı yaklaşımı, sürekli bir ortam olan zemin için kurulmuş matematik bir modeldir. Zemin bu modelde yaylar ile temsil edilir. Yaylar, temel taban basıncı ve zemin deformasyonu
DetaylıKirişlerde Kesme (Transverse Shear)
Kirişlerde Kesme (Transverse Shear) Bu bölümde, doğrusal, prizmatik, homojen ve lineer elastik davranan bir elemanın eksenine dik doğrultuda yüklerin etkimesi durumunda en kesitinde oluşan kesme gerilmeleri
DetaylıYrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 kışkan Statiğine Giriş kışkan statiği (hidrostatik, aerostatik), durgun haldeki akışkanlarla
DetaylıMukavemet-I. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mukavemet-I Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 5 Eğilmede Kirişlerin Analizi ve Tasarımı Kaynak: Cisimlerin Mukavemeti, F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, D.F. Mazurek, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.
DetaylıSONLU ELEMANLAR YÖNTEMI ile (SAP2000 UYGULAMASI) 3D Frame Analysis. Reza SHIRZAD REZAEI
SONLU ELEMANLAR YÖNTEMI ile (SAP2000 UYGULAMASI) 3D Frame Analysis Reza SHIRZAD REZAEI SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ Sonlu Elemanlar (SE)Yöntemi, çesitli mühendislik problemlerine kabul edilebilir bir yaklasımla
DetaylıMukavemet 1. Fatih ALİBEYOĞLU. -Çalışma Soruları-
1 Mukavemet 1 Fatih ALİBEYOĞLU -Çalışma Soruları- Soru 1 AB ve BC silindirik çubukları şekilde gösterildiği gibi, B de kaynak edilmiş ve yüklenmiştir. P kuvvetinin büyüklüğünü, AB çubuğundaki çekme gerilmesiyle
DetaylıMUKAVEMET DERSİ. (Temel Kavramlar) Prof. Dr. Berna KENDİRLİ
MUKAVEMET DERSİ (Temel Kavramlar) Prof. Dr. Berna KENDİRLİ Ders Planı HAFTA KONU 1 Giriş, Mukavemetin tanımı ve genel ilkeleri 2 Mukavemetin temel kavramları 3-4 Normal kuvvet 5-6 Gerilme analizi 7 Şekil
DetaylıBina Türü Yapı Sistemlerinin Analizi Üzerine Rijit Döşeme ve Sınır Şartları ile İlgili Varsayımların Etkisi
Bina Türü Yapı Sistemlerinin Analizi Üzerine Rijit Döşeme ve Sınır Şartları ile İlgili Varsayımların Etkisi Rasim Temür İstanbul Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı Sunum Planı Giriş Rijit Döşeme
DetaylıGERİLME ANALİZİ VE MOHR ÇEMBERİ MUKAVEMET
GERİLME ANALİZİ VE MOHR ÇEMBERİ MUKAVEMET Yrd. Doç. Dr. Emine AYDIN Yrd. Doç. Dr. Elif BORU 1 GENEL YÜKLEME DURUMUNDA GERİLME ANALİZİ Daha önce incelenen gerilme örnekleri eksenel yüklü yapı elemanları
DetaylıSONLU ELEMANLAR (FINITE ELEMENTS) YÖNTEMİ
SONLU ELEMANLAR (FINITE ELEMENTS) YÖNTEMİ Sonlu Elemanlar Yöntemi, çeşitli mühendislik problemlerine kabul edilebilir bir yaklaşımla çözüm arayan bir sayısal çözüm yöntemidir. Uniform yük ır Sabit sın
DetaylıMukavemet. Betonarme Yapılar. Giriş, Malzeme Mekanik Özellikleri. Dr. Haluk Sesigür İ.T.Ü. Mimarlık Fakültesi Yapı ve Deprem Mühendisliği
Mukavemet Giriş, Malzeme Mekanik Özellikleri Betonarme Yapılar Dr. Haluk Sesigür İ.T.Ü. Mimarlık Fakültesi Yapı ve Deprem Mühendisliği GİRİŞ Referans kitaplar: Mechanics of Materials, SI Edition, 9/E Russell
Detaylıİki Boyutlu Yapılar için Doğrudan Rijitlik Metodu (Direct Stiffness Method) (İleri Yapı Statiği II. Kısım)
İki Boyutlu Yapılar için Doğrudan Rijitlik Metodu (Direct Stiffness Method) (İleri Yapı Statiği II. Kısım) Doç. Dr. Özgür Özçelik Dokuz Eylül Üniversitesi, Müh. Fak., İnşaat Müh. Böl. Genel Genel Genel
DetaylıEĞİLME. Köprünün tabyası onun eğilme gerilmesine karşı koyma dayanımı esas alınarak boyutlandırılır.
EĞİLME Köprünün tabyası onun eğilme gerilmesine karşı koyma dayanımı esas alınarak boyutlandırılır. EĞİLME Mühendislikte en önemli yapı ve makine elemanları mil ve kirişlerdir. Bu bölümde, mil ve kirişlerde
DetaylıSTATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi. Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ
STATIK VE MUKAVEMET 4. Ağırlık Merkezi Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ AĞIRLIK MERKEZİ Gerçekte yükler yayılı olup, tekil yük problemlerin çözümünü kolaylaştıran bir idealleştirmedir. Statikte çok küçük
DetaylıTanım: Boyuna doğrultuda eksenel basınç kuvveti taşıyan elemanlara Basınç Çubuğu denir.
BASINÇ ÇUBUKLARI Tanım: Boyuna doğrultuda eksenel basınç kuvveti taşıyan elemanlara Basınç Çubuğu denir. Basınç çubukları, sadece eksenel basınç kuvvetine maruz kalırlar. Bu çubuklar üzerinde Eğilme ve
Detaylı9. TOPRAKTA GERİLME DAĞILIMI VE YANAL TOPRAK BASINCI
9. TOPRAKTA GERİLME DAĞILIMI VE YANAL TOPRAK BASINCI Birçok mühendislik probleminin çözümünde, uygulanan yükler altında toprak kütlesinde meydana gelebilecek gerilme/deformasyon özelliklerinin belirlenmesi
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 5 Rijit Cisim Dengesi Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 5. Rijit Cisim Dengesi Denge,
DetaylıDeprem Etkisi Altında Tasarım İç Kuvvetleri
Prof. Dr. Günay Özmen gunayozmen@hotmail.com Deprem Etkisi Altında Tasarım İç Kuvvetleri 1. Giriş Deprem etkisi altında bulunan çok katlı yapılarda her eleman için kendine özgü ayrı bir elverişsiz deprem
DetaylıTEKNOLOJİNİN BİLİMSEL İLKELERİ. Öğr. Gör. Adem ÇALIŞKAN
TEKNOLOJİNİN BİLİMSEL İLKELERİ 3 Malzemelerin esnekliği Gerilme Bir cisme uygulanan kuvvetin, kesit alanına bölümüdür. Kuvvetin yüzeye dik olması halindeki gerilme "normal gerilme" adını alır ve şeklinde
DetaylıRijit Cisimlerin Dengesi
Rijit Cisimlerin Dengesi Rijit Cisimlerin Dengesi Bu bölümde, rijit cisim dengesinin temel kavramları ele alınacaktır: Rijit cisimler için denge denklemlerinin oluşturulması Rijit cisimler için serbest
DetaylıElemanlardaki İç Kuvvetler
Elemanlardaki İç Kuvvetler Bölüm Öğrenme Çıktıları Yapı elemanlarında oluşan iç kuvvetler. Eksenel kuvvet, Kesme kuvvet ve Eğilme Momenti Denklemleri ve Diyagramları. Bölüm Öğrenme Çıktıları Elemanlarda
DetaylıGerilme Dönüşümleri (Stress Transformation)
Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Bubölümdebirnoktayaetkiyen vebelli bir koordinat ekseni/düzlemi ile ilişkili gerilme bileşenlerini, başka bir koordinat sistemi/başka bir düzlem ile ilişkili
DetaylıGerilme Dönüşümleri (Stress Transformation)
Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Bu bölümde, bir noktaya etkiyen ve bir koordinat ekseni ile ilişkili gerilme bileşenlerini, başka bir koordinat sistemi ile ilişkili gerilme bileşenlerine dönüştürmek
DetaylıBURSA TEKNİK ÜNİVERSİTESİ DOĞA BİLİMLERİ, MİMARLIK VE MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 3 NOKTA EĞME DENEYİ FÖYÜ
BURSA TEKNİK ÜNİVERSİTESİ DOĞA BİLİMLERİ, MİMARLIK VE MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 3 NOKTA EĞME DENEYİ FÖYÜ BURSA - 2016 1. GİRİŞ Eğilme deneyi malzemenin mukavemeti hakkında tasarım
DetaylıBURULMA (TORSİON) Dairesel Kesitli Çubukların (Millerin) Burulması MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor
3 BURULMA (TORSİON) Dairesel Kesitli Çubukların (Millerin) Burulması 1.1.018 MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 1 3. Burulma Genel Bilgiler Burulma (Torsion): Dairesel Kesitli Millerde Gerilme
DetaylıINM 305 Zemin Mekaniği
Hafta_9 INM 305 Zemin Mekaniği Gerilme Altında Zemin Davranışı Yrd.Doç.Dr. İnan KESKİN inankeskin@karabuk.edu.tr, inankeskin@gmail.com Haftalık Konular Hafta 1: Zeminlerin Oluşumu Hafta 2: Hafta 3: Hafta
DetaylıMukavemet-II. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 11 Enerji Yöntemleri Kaynak: Cisimlerin Mukavemeti, F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, D.F. Mazurek, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 11.1 Giriş Önceki bölümlerde
DetaylıELASTİK ZEMİNE OTURAN SÜREKLİ TEMELLERİN KUVVET YÖNTEMİ İLE ANALİZİ VE SAYISAL HESABI İÇİN GELİŞTİRİLEN BİLGİSAYAR PROGRAMI
DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 3 Sayı: 3 sh. 33-50 Ekim 2001 ELASTİK ZEMİNE OTURAN SÜREKLİ TEMELLERİN KUVVET YÖNTEMİ İLE ANALİZİ VE SAYISAL HESABI İÇİN GELİŞTİRİLEN BİLGİSAYAR
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Kuvvet Vektörleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö.Soyuçok. 2 Kuvvet Vektörleri Bu bölümde,
DetaylıINSA 473 Çelik Tasarım Esasları Basınç Çubukları
INS 473 Çelik Tasarım Esasları asınç Çubukları Çubuk ekseni doğrultusunda basınç kuvveti aktaran çubuklara basınç çubuğu denir. Çubuk ekseni doğrultusunda basınç kuvveti aktaran çubuklara basınç çubuğu
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
Detaylı9. TOPRAKTA GERİLME DAĞILIMI VE YANAL TOPRAK BASINCI
9. TOPRAKTA GERİLME DAĞILIMI VE YANAL TOPRAK BASINCI Birçok mühendislik probleminin çözümünde, uygulanan yükler altında toprak kütlesinde meydana gelebilecek gerilme/deformasyon özelliklerinin belirlenmesi
DetaylıSTATİK AĞIRLIK MERKEZİ. 3.1 İki Boyutlu Cisimler 3.2 Düzlem Eğriler 3.3 Bileşik Cisimler. 3.4 Integrasyon ile ağırlık merkezi hesabı
1 STATİK AĞIRLIK MERKEZİ 3.1 İki Boyutlu Cisimler 3.2 Düzlem Eğriler 3.3 Bileşik Cisimler 3.4 Integrasyon ile ağırlık merkezi hesabı 3.5 Pappus-Guldinus Teoremi 3.6 Yayılı Yüke Eşdeğer Tekil Yük 3.7 Sıvı
DetaylıT.C. GÜMÜŞHANE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK VE DOĞA BİLİMLERİ FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ DENEYLER II DERSİ
T.C. GÜMÜŞHANE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK VE DOĞA BİLİMLERİ FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ DENEYLER II DERSİ İÇ BASINÇ ETKİSİNDEKİ İNCE CIDARLI SİLİNDİRLERDE GERİLME ANALİZİ DENEYİ
DetaylıYapisal Analiz Programi SAP2000 Bilgi Aktarimi ve Kullanimi
Yapisal Analiz Programi SAP2000 Bilgi Aktarimi ve Kullanimi Dr. Bilge DORAN Dr. Sema NOYAN ALACALI ÖNSÖZ Günümüzde bilgisayar teknolojisinin hizla ilerlemesinin dogal bir sonucu olarak insaat mühendisligi
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Kuvvet Vektörleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö.Soyuçok. 2 Kuvvet Vektörleri Bu bölümde,
DetaylıYığma yapı elemanları ve bu elemanlardan temel taşıyıcı olan yığma duvarlar ve malzeme karakteristiklerinin araştırılması
Yığma yapı elemanları ve bu elemanlardan temel taşıyıcı olan yığma duvarlar ve malzeme karakteristiklerinin araştırılması Farklı sonlu eleman tipleri ve farklı modelleme teknikleri kullanılarak yığma duvarların
Detaylı25. SEM2015 programı ve kullanımı
25. SEM2015 programı ve kullanımı Kuvvet metodu kullanılarak yazılmış, öğretim amaçlı, basit bir sonlu elemanlar statik analiz programdır. Program kısaca tanıtılacak, sonraki bölümlerde bu program ile
DetaylıSTATIK MUKAVEMET. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ
STATIK MUKAVEMET Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ STATİK DENGE KOŞULLARI Yapı elemanlarının tasarımında bu elemanlarda oluşan iç kuvvetlerin dağılımının bilinmesi gerekir. Dış ve iç kuvvetlerin belirlenmesinde
DetaylıRİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ
RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse,
DetaylıMÜHENDİSLİK MEKANİĞİ (STATİK)
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ (STATİK) Prof. Dr. Metin OLGUN Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarımsal Yapılar ve Sulama Bölümü HAFTA KONU 1 Giriş, temel kavramlar, statiğin temel ilkeleri 2-3 Düzlem kuvvetler
DetaylıYTÜ Makine Mühendisliği Bölümü Mekanik Anabilim Dalı Özel Laboratuvar Dersi Strain Gauge Deneyi Çalışma Notu
YTÜ Makine Mühendisliği Bölümü Mekanik Anabilim Dalı Özel Laboratuvar Dersi Strain Gauge Deneyi Çalışma Notu Laboratuar Yeri: B Blok en alt kat Mekanik Laboratuarı Laboratuar Adı: Strain Gauge Deneyi Konu:
DetaylıT.C. BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MIM331 MÜHENDİSLİKTE DENEYSEL METODLAR DERSİ
T.C. BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MIM331 MÜHENDİSLİKTE DENEYSEL METODLAR DERSİ 3 NOKTA EĞME DENEY FÖYÜ ÖĞRETİM ÜYESİ YRD.DOÇ.DR.ÖMER KADİR
Detaylı5. 5. 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 Rijit Cisimde Denge Düzlem Kuvvetlerde Denge Hali Düzlemde Serbestlik Derecesi Bağ Çeşitleri Pandül Ayak Düzlem Taşıyıcı Sistemler Düzlem Taşıyıcı Sistemlerde Yükleme Durumları
Detaylı4. Sonlu elemanlar yer değiştirme metodu, modelleme, tanımlar
4. Sonlu Elemanlar Yer Değiştirme Metodu modelleme tanımlar 4. Sonlu elemanlar yer değiştirme metodu modelleme tanımlar. bölümde örneklerle açıklanan RITZ metodu.5. ve.5 bağıntıları yerine kullanılabilen
DetaylıSaf Eğilme(Pure Bending)
Saf Eğilme(Pure Bending) Saf Eğilme (Pure Bending) Bu bölümde doğrusal, prizmatik, homojen bir elemanın eğilme etkisi altındaki şekil değiştirmesini/ deformasyonları incelenecek. Burada çıkarılacak formüller
DetaylıTEMEL İNŞAATI ŞERİT TEMELLER
TEMEL İNŞAATI ŞERİT TEMELLER Kaynak; Temel Mühendisliğine Giriş, Prof. Dr. Bayram Ali Uzuner 1 2 Duvar Altı (veya Perde Altı) Şerit Temeller (Duvar Temelleri) 3 Taş Duvar Altı Şerit Temeller Basit tek
DetaylıEksenel Yükleme Amaçlar
Eksenel Yükleme Amaçlar Geçtiğimiz bölümlerde eksenel yüklü elemanlarda oluşan normal gerilme ve normal şekil değiştirme konularını gördük, Bu bölümde ise deformasyonların bulunması ile ilgili bir metot
DetaylıBİLGİSAYAR DESTEKLİ TASARIM HAFTA 6 COSMOSWORKS İLE ANALİZ
BİLGİSAYAR DESTEKLİ TASARIM HAFTA 6 COSMOSWORKS İLE ANALİZ Makine parçalarının ve/veya eş çalışan makine parçalarından oluşan mekanizma veya sistemlerin tasarımlarında önemli bir aşama olan ve tasarıma
Detaylı25. SEM2015 programı kullanımı
25. SEM2015 programı kullanımı Basit Kuvvet metodu kullanılarak yazılmış, öğretim amaçlı, basit bir sonlu elemanlar statik analiz programdır. Program kısaca tanıtılacak, sonraki bölümlerde bu program ile
DetaylıSTATİK. Ders_9. Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü. Ders notları için: GÜZ
STATİK Ders_9 Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders notları için: http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/ 2017-2018 GÜZ ALANLAR İÇİN ATALET MOMENTİNİN TANIMI, ALAN ATALET YARIÇAPI
DetaylıRijit Cisimlerin Dengesi
Rijit Cisimlerin Dengesi Rijit Cisimlerin Dengesi Bu bölümde, rijit cisim dengesinin temel kavramları ele alınacaktır: Rijit cisimler için denge denklemlerinin oluşturulması Rijit cisimler için serbest
DetaylıKirişli Döşemeli Betonarme Yapılarda Döşeme Boşluklarının Kat Deplasmanlarına Etkisi. Giriş
1 Kirişli Döşemeli Betonarme Yapılarda Döşeme Boşluklarının Kat Deplasmanlarına Etkisi İbrahim ÖZSOY Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Kınıklı Kampüsü / DENİZLİ Tel
DetaylıZemin Gerilmeleri. Zemindeki gerilmelerin: 1- Zeminin kendi ağırlığından (geostatik gerilme),
Zemin Gerilmeleri Zemindeki gerilmelerin: 1- Zeminin kendi ağırlığından (geostatik gerilme), 2- Zemin üzerine eklenmiş yüklerden (Binalar, Barağlar vb.) kaynaklanmaktadır. 1 YERYÜZÜ Y.S.S Bina yükünden
Detaylı