MIT Açık Ders Malzemesi İstatistiksel Mekanik II: Alanların İstatistiksel Fiziği 2008 Bahar

Transkript

1 MIT Açık Ders Malzemesi İstatistiksel Mekanik II: Alanların İstatistiksel Fiziği 008 Bahar Bu malzemeye atıfta bulunmak ve Kullanım Şartlarımızla ilgili bilgi almak için ve sitelerini ziyaret einiz.

2 VII.C Coulomb Gazı için Renormalizasyon Gurubu Denklem VII.58 eki iki bölüşüm fonksiyonu birbirinen bağımsızır ve ayrı ayrı hesaplanabilir. Gaussiyan bölüşüm fonksiyonu analitik oluğu için, XY moelineki herhangi bir faz geçişi Coulomb gazınan kaynaklanmalıır. Daha önce kısaca belirtiliği gibi, üşük sıcaklık fazına, yükler, saece sıkıca bağlı çiftkutup çiftlerinin küçük yoğunluğuna bulunur. Yüksek sıcaklık fazına, çiftkutuplar, ayrışarak plazma oluşturur. İki faz, birbirlerine X uzaklığına, iki harici yük arasınaki etkileşimi inceleyerek ayrıştırılabilinir. Ortama herhangi bir ahili yükün yokluğuna (y 0 =0için), iki yük çıplak Coulomb etkileşmesi ile etkileşirler C(X). Küçük y 0 için, sonlu bir iç yük yoğunluğu, harici yükleri kısmen pereler, ve test yükleri arasınaki etkileşimi C(X)/ a azaltır, buraa etkin ielektrik sabitiir. Yeterince büyük y 0 a, yalıtkan an metal e bir faz geçişi varır. Metalik (plazma) fazına, harici yükler tamamen perelenmiştir, ve etkin etkileşmeleri üstel olarak azalır. Yukarıaki resmi nicel hale getirebilmek için, x ve x aki iki harici yükün arasınaki etkileşimleri, y 0 kaçarlığına teirgeme ile hesaplayacağız. En üşük mertebee, iki ahili yük (y ve y üne) içeren konfigürasyonlara ihtiyacımız var ve e βv(x x) = e 4π KC(x x ) y y e 4π KC(y y )+4π K[C(x y) C(x y ) C(y x)+c(x y )] + O(y0 4) 1+y 0 y y e 4π KC(y y ) + O(y0 4 ) = e 4π KC(x x ) y y e 4π KC(y y ) e 4π KD(x,x ;y,y ) 1 + O(y0) 4 (VII.60) buraa D(x, x ; y, y ), ahili ve harici çiftkutuplar arasınaki etkileşimir. Dahili yükler arasınaki oğruan etkileşim r = y y aralığını küçük tutma eğilimineir. R =(y + y )/ kütle merkezini kullanırsak, y = R r/ ve y = R + r/ eğişkenlerini kullanabiliriz, ve küçük r eki çiftkutup-çiftkutup etkileşmesini açarsak D(x, x ; y, y ) = C x R + r C x R r C x R + r + C x R r = r R C(x R)+r R C(x R)+O(r 3 ) (VII.61) Aynı mertebee, e 4π KD(x,x ;y,y ) 1 = 4π Kr R (C(x R) C(x R)) + 8π 4 K r R (C(x R) C(x R)) + O(r 3 ) (VII.6) y y r R eğişken eğişiminen sonra, etkin etkileşim e βv(x x) = e 4π KC(x x ) r Re 4πKC(r) 4π r R (C(x R) C(x R)) + 8π 4 K r R (C(x R) C(x R)) +O(r 3 ) + O(y0) 4 (VII.63) 113

3 r aki açısal integralleri takiben, r a oğrusal olan terim yok olurken, (r R C) nin açısal ortalaması r R C / olur. Dolayısıyla, enklem VII.63, e βv(x x) = e 4π KC(x x ) (πrr)e 4πKC(r) 8π 4 K r R R (C(x R) C(x R)) + O(r 4 ) (VII.64) Kalan integral, kısmi integrasyonla kesaplanabilir R R (C(x R) C(x R)) = R(C(x R) C(x R)) C(x R) C(x R) = R(C(x R) C(x R)) δ (x R) δ (x R) =C(x x ) C(0) (VII.65) Kısa mesafe ıraksaması, C(x) ln(x/a)/π ile, uygun bir sınırın içine yeirilebilir, ve e βv(x x) = e 4π KC(x x ) π 5 K y0c(x x ) r 3 e πk ln(r/a) + O(y0) 4 (VII.66) İkinci mertebe terim üstelleştirilerek, K etkin = K 4π 3 K y0a πk rr 3 πk + O(y0) 4 a (VII.67) ile βv(x x ) 4π K etkin C(x x ) etkin etkileşimi ele eilir. Bu şekile, ortamın ielektrik sabitini, = K/K etkin, y0 mertebesine kaar teirgemeyle hesaplaık. Ancak, teirgeme ile ele eilen üzeltme, r integrali büyük r lera yakınsarsa küçüktür. Teirgeme kuramının K < K c = /π e geçerliliğini yitirmesi, tam olarak, tecrit eilmiş bir girabın serbest enerjisinin işaret eğiştiriği noktaa olur. Teirgeme kuramının bu geçerliliğini yitirmesi, Lanau-Ginzburg moeline <4için olanla benzer. O problemen kazanılan eneyimi kullanarak, teirgeme serisini, K ve y 0 parametreleri için renormalizasyon gurubu olarak yenien üzenleyeceğiz. Coulomb gazı için RG oluşturmak için, enklem VII.59 aki bölüşüm fonksiyonunun iki parametre (K, y 0 ) içeriğine, ve açıkça yazılmayan, giraplar arası en küçük mesafe ile ilgili bir a sınırı oluğuna ikkat ein. Daha önce e bahseiliği gibi, girabın iç ve ış bölgelerinin ayırımı keyfiir. Çekirek boyutunu ba ya arttırmak, saece çekirek enerjisini, olayısıyla y 0 ı eğil, aynı zamana K etkileşme parametresini e eğiştirir. İkincisi, iki çiftkutup arasınaki mesafenin a ile ba arasınaki eğişiminin, ortamın ielektrik özelliklerini eğiştirmesinen kaynaklanmaktaır. Kaçarlıktaki eğişim, enklem VII.46 a a yı ba ile eğiştirerek ele eilir: ỹ 0 (ba) =b πk y 0 (a) (VII.68) 114

4 Her boyuttaki çiftkutuplaran olayı eğiştirilmiş Coulomb etkileşmesi enklem VII.67 e verilmiştir. (y0 mertebesine kaar teirgeme hesabı, saece çiftkutupları ahil eer.) a ve ba aralığına boyu olan çiftkutuplaran K = K 1 (π K) ba a (πrr) y 0e 4π KC(r) r (VII.69) katkısını ele eeriz, buraa, terimler, ielektrik sabitin stanart hesabı ile olan benzerliği ortaya çıkaracak şekile guruplanmıştır. (Bir çiftkutup yaratma olasılığı, kutuplaşabilirliği ile çarpılmıştır; β =(k b T ) 1 in işlevi π K tarafınan görülmekteir. Çok küçük b = e 1+ seçerek, enklem VII.69 K = 4π3 K a 4 y 0 + O(y 4 0) (VII.70) enklemine önüştürülür. Kaçarlığı a ahil eersek, yineleme bağıntılarını K 1 = 4π 3 a 4 y O(y4 0 ) y 0 = ( πk)y 0 + O(y 3 0 ) (VII.71) olarak ele eeriz ki ilk olarak 1975 te Kosterlitz tarafınan ele eilmiştir. K 1 / 0 iken, y 0 için yineleme bağıntısı K 1 c = π/ e işaret eğiştirir. K 1 in aha küçük eğerlerine (yüksek sıcaklıklar), y 0 önemliyken, aha küçük sıcaklıklara önemsizir. Dolayısıyla, RG akışı, parametre uzayını iki bölgeye ayırır. Düşük sıcaklıklar ve küçük y 0, akışlar y 0 =0ve K etkin /π olan sabit oğrua biterler. Bu, saece sonlu boyuttaki çiftkutupların oluğu yalıtkan fazır. (Dolayısıyla kabalaştırma altına y 0 yok olur.) Etkin Coulomb etkileşimin kuvveti, akışların, sabit oğru üzerine bittikleri nokta tarafınan verilir. Sabit oğrua bitmeyen akışlar, aha büyük K 1 ve y 0 eğerlerine gierler, ki buraa teirgeme kuramı kullanılamaz. Bu, çokça girap içeren yüksek sıcaklık fazının işaretiir. Faz iyagramının iki bölgesini ayıran kritik yörünge, (K 1 c = π/,y 0 = 0) aki sabit noktaya akar. Geçişteki kritik avranışı bulmak için, yineleme bağıntılarını, x = K 1 π/ ve y = y 0 a seçerek bu nokta civarına açın. En üşük mertebee, enklem VII.71 x = 4π 3 y + O(xy,y 4 ) y = 4 π xy + O(x y, y 3 ) (VII.7) ifaesine saeleşir. Yineleme bağıntısı, sabit nokta civarına, özünen oğrusal eğilir. Bu, bu zamana kaar karşılaştığımız oğrusal yineleme bağıntılarınan farklıır, ve ele eilen kritik avranış a stanart eğilir. İlk olarak, VII.7 enklemlerinin x =8π3 y x = π 4 y, (x π 4 y )=0, x π 4 y = c (VII.73) alamına geliğine ikkat ein. Dolayısıyla, RG akışları, farklı c eğerleri ile karakterize olan hiperboller boyunca hareket eerler. c > 0 için, hiperbolün oağı y-ekseni üzerineir, ve akışlar (x, y) a gierler. c < 0 olan hiperbollerin oakları x-ekseni üzerineir, ve 115

5 y 0 yarı üzlemine iki alı varır: x < 0 aki allar, sabit oğruya akarlarken, x > 0 karanınakiler sonsuza akar. Sıfıra ve sonsuz y ye akan akışları ayıran kritik yörünge, c =0 a karşılık gelir, yani x c = π y c. Bunan olayı, küçük fakat sonlu bir y 0 kaçarlığı, kritik sıcaklığı, K 1 c = π/ π y 0 a + O(y0 ) ye inirir. Orijinal XY moeli cinsinen, üşük sıcaklık fazı, K etkin =lim K() /π olan sabit noktalaran oluşan bir oğru ile karakterize olur. Bir sabit noktaa, bağaşıklık uzunluğu yoktur, ve gerçekten, faz uzayınaki bağaşıklıklar bir güç yasası ile azalırlar, cos(θ r cos θ 0 ) 1/r η, buraa η =1/(πK etkin ) 1/4. Düşük sıcaklık fazına, c parametresi negatif oluğu, ve kritik noktaa sıfır oluğu için, geçişe yakın bölgee, c = b (T c T ) olarak belirleyebiliriz. Başka bir eyişle, başlangıç noktalarının yörüngesi (x 0 (T ),y 0 (T )) oğrusunu takip eer. Ele eilen c = x 0 π4 y 0 (T c T ), faz geçişine yakınlığın oğrusal bir ölçüsüür. Renormalizasyon altına, böyle yörüngeler, y = 0 ve x = b T c T noktasınaki bir sabit noktaya akarlar. Dolayısıyla, geçişin civarına, etkin etkileşme parametresinin K etkin = π 4 π lim x() = π + 4b Tc π T (VII.74) bir karekök tekilliği varır. Sertlik K etkin, superakışkan filmler üzerineki eneylere ölçülebilir. Süperakışkan faza, üzen parametresi, yoğuşma alga fonksiyonuur ψ(x) = Ψe iθ. θ fazınaki eğişimler, süperakışkan kinetik enerjiyi verir H = xψ h m ψ = h Ψ m x( θ) (VII.75) buraa m, parçacıkların (helyum 4) kütlesiir. Karşılık gelen XY moelinin sertliği K = h ρ s /(mk B T ) olur, buraa ρ s = Ψ, süperakışkan yoğunluğuur. ρ s yoğunluğu, burulma salınıcısının eylemsizlik momentineki eğişiklik incelenerek ölçülür; süperakışkan kısım, ρ s m, sürtünme hissetmez olayısıyla, salınmaz. Bishop ve Reppy (1978), ρ s i burgusal bir silinirin etrafına sarılmış çeşitli süperakışkanları (farklı, helyum 3 yoğunluğu, vb.) inceleiler. Etkin sertliği, sıcaklığın bir fonksiyonu olarak oluşturular, ve bütün filmler için, faz geçişine, /π lik evrensel sıçrayış yaptıklarını bulular. T < T c için, K nın avranışı, bir karekök tekilliği ile tutarlıır. Yüksek sıcaklık fazına, bağaşıklıklar üstel olarak azalırlar. Bağaşıklık uzunluğu ξ, T c e nasıl ıraksar? c = x π 4 y = b (T T c ) parametresi, şimi, hiperbol yörüngenin tamamına pozitiftir. x için yineleme bağıntısının x =4π3 y = 4 x + b (T T v ) π (VII.76) integrali alınarak x x + b (T T c ) = 4 π, = 1 b x arctan T T c b = 4 T T c π (VII.77) ele eilir. Eğer x 0 (T T c ) 1 ise, yukarıaki enklemin sol tarafınaki başlangıç noktasının katkısı ışarıa bırakılabilir. İntegral alma, x() y() 1 e ururulmalıır, çünkü bu 116

6 noktanın ötesine teirgeme hesabı artık geçerli eğilir. Bu π 4b π T T c (VII.78) eğerine olur, buraa arctan(1/b T T c ) arctan( ) =π/ ifaesini kullanık. Ele eilen bağaşıklık uzunluğu, ξ ae a exp π 8b T T c (VII.79) olur. Buraya kaar karşılaşılan geçişleren farklı olarak, bağaşıklık uzunluğunun ıraksaması, kuvvet yasası ile olmaz. Bu, yineleme bağıntılarının, sabit nokta civarına oğrusal olmamasının bir sonucuur. ξ en aha küçük mesafelere, giraplar bağlı çiftler şekline ortaya çıkarken, aha uzun aralara, bir veya iğer işaretli giraplara fazlalık olabilir. Uzun mesafelereki girapların etkileşmeleri, polielektrolitlerin Debye-Hückel kuramınan ele eilebilir. Bu kurama göre, serbest yükler birbirlerini pereleyerek, perelenmiş Coulomb etkileşmesine yol açarlar, exp ( r/ξ) C(r). Geçişe yüksek sıcaklık tarafınan yaklaşırsak, serbest enerjinin tekil kısmının f tekil ξ exp π 4b T T c (VII.80) saece temel tekilliği varır. Sonlu T c e bu fonksiyonun bütün türevleri sonluur. Dolayısıyla, tahmin eilen ısı sığası, geçişte olukça üzgünür. RG ye ayanan sayısal sonuçlar (Berker ve Nelson), ısı sığasına, çiftkutupların çoğunun çözülüğü noktaya karşılık gelen, T c en aha yüksek bir sıcaklıkta, üzgün bir zirve gösteriyorlar. Gırap çözülmesinin Kosterlitz-Thouless resmi, süperiletkenlik ve süperakışkan filmler, ince sıvı kristaller, Josephson eklem izileri, helyum filmlerinin üzerineki elektronlar, vb. gibi pek çok iki boyutlu sisteme uygulama bulmuştur. Belki e aha önemlisi, topolojik bozukluk fikrinin, pek çok sistemi anlamaa pek çok etkisi olmuştur. Bir sonraki bölüme geliştirilen iki boyutta erimenin kuramı böyle bir örnektir