MIT Açık Ders Malzemesi İstatistiksel Mekanik II: Alanların İstatistiksel Fiziği 2008 Bahar

Transkript

1 MIT Açık Ders Malzemesi İstatistiksel Mekanik II: Alanların İstatistiksel Fiziği 2008 Bahar Bu malzemeye atıfta bulunmak ve Kullanım Şartlarımızla ilgili bilgi almak için ve sitelerini ziyaret einiz.

2 VI.F Hayalet İlmekleri Üzerinen Toplam Yüksek sıcaklık serisi yaklaşık olarak, Gaussiyan moeli yenien üretecek şekile toplanabilir. Bu ilişki, Gaussiyan avranışın niye yüksek boyutlara uygunalabilirliğini aha iyi anlamamızı sağlarken, bir sonraki kısıma, iki boyutta seriyi tam olarak toplamamızın yolunu a hazırlar. - boyutlu hiperkubik ağaki İsing moelinin bölüşüm fonksiyonunun yüksek sıcaklıklaraki serisi Z {σ i } e K ij σ iσ j 2 N cosh N K S (VI.35) ifaesinen ele eilebilir, buraa S ağ üzerineki, ağırlıkları t tanh K nın grafikteki bağların sayısı kuvveti olan, bütün izin verilen grafikler üzerinen toplamır. İzin verilen grafiklerin konum başına çift sayıa bağı varır. En basit grafiklerin, tek kapalı ilmek topolojisi varır. Bağlantılı olmayan kapalı ilmekleren oluşan grafikler e varır. Kümülant açılımını hatırlayarak, olarak eşitleyip, Ξ tek ilmek içeren grafiklerin katkılarının toplamı (VI.36) S exp(ξ) +Ξ+ 2 (Ξ)2 + 6 (Ξ)3 + +( ilmek grafikleri)+(2 ilmek grafikleri)+(3 ilmek grafikleri)+ (VI.37) toplamını tanımlayalım. Benzerliklerine rağmen, S ve S toplamları özeş eğilir: Bir sonraki kisima aha etaylı tartışılacak olan, tek bir konuma kesişen ilmeklerle ilgili belirsizlikler varır. Daha a önemlisi, S, belirli bir bağın biren fazla katkı veriği fazlaan grafikleri içerirken, orijinal S toplamına, her ağ bağı, ya ya a t çarpanı ile katkı verir. Bunun ortaya çıkma sebebi, Ξ yi inci kuvvetine yükselttiğimize, belirli bir bağ efa katkı vererek t katkısını verebilir. Bir bağınan biren fazla olması yaklaşıklığı ruhuna, Ξ a fazlaan kapalı yollara izin vereceğiz, ki bunlar ilmeği kapatırken, belirli bir bağın üzerinen biren çok geçiliği grafiklerir. Nitel olarak, S, monomer kaçarlığı t olan, keninen kaçınan polimer ilmeklerinen oluşan bir gazın bölüşüm fonksiyonuur. Keninen kaçma koşulu, S a ihmal eilmiştir, ki bu yüzen, hiç bir sorun olmaan birbirleri içinen geçebilen, hayalet polimer ilmekleren oluşan gaza karşılık gelir. Ağ üzerine, kapalı rastgele yürüme ile, çeşitli şekillereki ilmekler oluşturulabilir, ve hayalet ilmeklerin karşılık gelen serbest enerjisi ln S ağ üzerineki bütün kapalı rastgele yürümeler t yürüyüşün uzunluğu t ( aımlı ve 0 a başlayıp biten kapalı yürümelerin sayısı) (VI.38) Yaygınlığın garanti oluğuna ikkat ein, çünkü (sınır etkilerine kaar) aynı ilmek, ağ üzerineki herhangi bir noktaan başlayabilir. Genel / çarpanı, uzunluğunaki bir ilmeğin farklı noktaan başlayabileceğini gözönüne alır. 88

3 Ağ üzerineki bütün olası (hayalet) rastgele yürüyüşleri saymak için bir aktarma matrisi yöntemi kullanılabilir. Bir küme N N matrisi tanımlayalım i W () j j en i ye aımaki yürüyüşlerin sayısı (VI.39) ki bunlar cinsinen, enklem VI.38 ln S N t 0 W () 0 2 (VI.40) halini alır. Fazlaan 2 çarpanı, aynı ilmeğin, iki zıt yönlereki iki rastgele yürüyüşle geçilebileceğinen olayı eklenmiştir. Benzer şekile, spin-spin bağaşıklık fonksiyonu σ(0)σ(r) σ(0)σ(r) ( + tσ i σ j ) (VI.4) Z {σ i } ij ağ üzerineki 0 ile r noktalarını birbirine bağlayan yollar üzerinen bir toplamla ilişkiliir. İki noktayı irekt olarak birbirine bağlayan basit yollara ek olarak, fazlaan kapalı ilmekler içeren bağlantısız grafikler e varır. Aynı, yollar arasınaki her türlü kesişmeye izin veren yaklaştırmaa, S bölüşüm fonksiyonu, enklem VI.4 in pay ve payasınan çarpanlarına ayrılabilir, ve σ(0)σ(r) t r W () 0 (VI.42) Hayalet yollarının ağ üzerine sayımı, Markov özelliklerini kullanarak kolayca yapılır. Bu özellik, rastgele yürüyüşün her aımının, son konumunan yapılması ve önceki aımlaran bağımsız olmasıır. Dolayısıyla, yürüyüşlerin sayısı yinelemeli olarak sayılabilir. İlk önce, 0 an r ye, aıma herhangi bir yürüyüş, 0 an r ne aımlık bir yürüyüş ve arınan r en r ye tek aımlık bir yürüyüş olarak ele eilebilir. Araaki noktanın bütün olası konumları üzerinen toplayarak r W () 0 r r W () r r W ( ) 0 r TW( ) 0 (VI.43) ele eeriz, buraaki toplam iki matrisin çarpımına karşılık gelir, ve T W () olarak tanımlaık. Yinemele işlemi sürürülebilir ve W () TW( ) T 2 W ( 2) 2 T (VI.44) ele eeriz. Bunan olayı, bütün rastgele yürüyüşler T aktarma matrisi ile yaratılırlar, ki elemanları r ve r r T r en yakın komşular ise 0 iğer urumlara (VI.45) 89

4 (Ayrıca yakınlık, veya bağlanırlık matrisi olarak a bilinir.) Örnek olarak, 2 e x, y T x,y δ y,y (δ x,x + + δ x,x )+δ x,x (δ y,y + + δ y,y ) (VI.46) ve T, x, y δ x,0 δ y,0 an başlayan bir yürüyücüye arka arkaya uygulanınca, T T T şeklini türetir. Her konumaki eğer, aıman sonra o noktaa biten yürüyüşlerin sayısıır. Rastgele yürümelerin, çeşitli özellikleri, T matrisini köşegenleştirerek ele eilebilir. Ağın ötemele simetrisinen olayı, bu, r q e iq r / N Fourier bazına ele eilir. Örnek olarak 2 e enklem VI.46 an başlarsak, x, y T q x,q y x,y x, y T x,y x,y q x,q y e iqyy e iqx(x+) + e iqx(x ) + e iqxx e iqy(y+) + e iqy(y ) N N e i(qxx+qyy) [2 cos q x + 2 cos q y ]T (q x,q y )x, y q x,q y (VI.47) oluğu gösterilebilir. boyutlu hiperkübik ağ için genelleştirilmiş öz eğeri T (q) 2 cos q α α (VI.48) olur. Denklem VI.42 eki bağaşıklık fonksiyonu, şimi σ(r)σ(0) t r W () 0 r (tt ) 0 r tt 0 r q q 0 q tt (q) q e iq r N (2π) N 2t q e iq r α cos q α (2π) 2t α cos q α (VI.49) olarak hesaplanır. t 0 iken, en kısa yollar en az enerjiye malolur ve σ(0)σ(r) t r. t artarken, aha uzun yollar toplama asıl katkıyı vermeye başlar, çünkü aha fazlaırlar (yani, entropik olarak aha avantajlıırlar). Sonuna, tt (0) 0için, yani 2 t c, bir tekillik varır, ki bu zaman uzun yollar önemli olur. t<t c için bölüşüm fonksiyonu küçük ilmekler tarafınan tayin eilir, ve iki uzak noktayı birbirine bağlayan polimer, gerginliği yüzünen gerilir. Kaçarlık t c yi geçtiği zaman, gerilim yok olur ve rastgele uzunluktaki ilmekler yaratılır. Açıkça, 90

5 kesişimlerin ihmal eilmesi (ki bunlar sonlu yoğunlukta sistemi kararlılaştırırlar) artık bu limitte geçerli eğilir. Bu geçiş, yüksek sıcaklık serisini gösteren yollar iline, İsing üzenlenmesinin kenini göstermesiir. Yüksek sıcaklık tarafınan geçişe yaklaşınca, toplamlar, çok uzun yollar tarafınan belirlenirler. Bu neenle, enklem VI.49 aki paya, küçük q için tt (q) 2t cos q α ( 2t)+tq 2 + O(q 4 ) t c (ξ 2 + q 2 + O(q 4 )) α (VI.50) şekline açılabilir, buraa 2t ξ t c /2 Ele eilen bağaşıklık fonksiyonları, σ(0)σ(r) ele eilenlerle aynıır, ve σ(0)σ(r) (VI.5) q (2π) e iq r /(q 2 + ξ 2 ), Gaussiyan moele r 2 r<ξiçin (η 0) r>ξiçin e r/ξ r ( )/2 (VI.52) Denklem VI.5 eki bağaşıklık uzunluğu ξ (t c t) /2 olarak ıraksar, yani Gaussiyan üsteli ν /2 ile. Denklem VI.40 taki serbest enerjiyi e ln S N t 2 0 W () 0 t T ln( tt ) 0 N q 0 q ln( tt (q))q 0 2 (2π) q 2 (2π) ln 2t cos q α α (VI.53) olarak hesaplayabiliriz. t c /(2) eki kritik noktanın yakınlarına, logaritmanın argümanı, enklem VI.50 en, (q 2 + ξ 2 ) ile orantılıır. Bu tıpkı Gaussiyan moele oluğu gibiir, ve aha önce e tartışılığı gibi, serbest enerjinin tekil tarafı f tekil ξ (t c t) /2 (VI.54) olarak ölçeklenir. Isı sığasının tekil kısmı, iki efa türev alıktan sonra ele eilen, α 2 /2 üsteli tarafınan kontrol eilir. Denklemler VI.49 ve VI.53 eki toplamları hesaplarken, için alt sınır ikkatli hesaplanmamıştır. Denklem VI.49 aki serinin 0 an, ve enklem VI.53 ekinin e en başlaığı varsayılmıştır. Gerçekte, iki serinin e ilk birkaç terimi sıfır olabilir, çünkü aım sayısı r en 0 a yetişecek kaar, veya kapalı bir ilmek oluşturacak kaar fazla eğilir. İlk birkaç terim, serinin tekil avranışını etkilemeyeceği için, bu önemli bir ihmal eğilir. İlk birkaç terimi üzgün olarak hesaplamak saece enklemler VI.49 ve VI.53 te hesaplanan tekil yapıya analitik üzeltmeler ekler. Bu sonuçların, Gaussiyan moele eşitliği, alan-parçacık eşlekliğinin bir görünümüür. Alan 9

6 teorik tasvire, (sanal) zaman, ek bir boyut olarak ortaya çıkar, ve iki nokta bağaşıklıkları, bir parçacığın, bir uzay-zaman noktasınan bir başkasına ilerleme olasılığını tasvir eer. Dalga tanımına, bu olasılık, Schröinger enklemi kullanılarak alga fonksiyonunun evrimi sağlanarak hesaplanır. Alternatif olarak, bu olasılık, iki noktayı birbirine bağlayan bütün (Feynman) yolların, her biri oğru eylemle ağırıklanırılarak, toplamı olarak hesaplanabilir. İkinci toplam, yukarıaki σ(r)σ(0 hesabına benzer. Bu yaklaşım, faz geçişinin ilginç bir geometrik yorumunu verir. Uzun erimli üzenin oluşması, sistemin bütün kısımlarının aynı urumu seçtiği anlamına gelir. Bu bilgi, en yakın komşuları birbirine bağlayan bağlarla taşınır, ve orijinen r noktasına, bu iki noktayı birbirine bağlayan bütün yollarla taşınabilir. t kaçarlığı, komşu konumlar arasına bilgi taşınımının güvenilirliğinin bir ölçüsüür. Tek boyutlu bir zincir boyunca, t eğilse, taşınan bilgi büyük mesafelere azalır, ve uzun mesafeli üzen oluşturmak imkansızır. Daha yüksek boyutlara, çok aha fazla yol varır, ve bütün yollaran gelen bilgileri toplayarak, t< e üzen oluşturmak mümkünür. uzunluğunaki yolların sayısı (2) olarak büyürken, bilgi içerikleri t olarak azalığı için, geçiş t c /(2) e olur. (Daha iyi bir yakınlaştırma, rastgele bir yürüyüşün geriye önüş yapamayacağı koşulunu kullanarak ele eilebilir. Bu uruma, yürüyüşlerin sayısı (2 ) şekline büyür.) uzunluğunaki yollaran gelen bilgiler (2t) ile ağırlıklanırılırlar, ve t<t c için üstel olarak azalırlar. Karakteristik yol uzunluğu / ln(2t), geçişe yaklaştıkça, (t c t) ile ıraksar. olan yollar için, olukça iyi bilgi geçişi varır. Bu tür yollar, ağ üzerine rastgele yürüyüş yaparlar ve ξ /2 mesafesini alırlar. ν nun /2 üsteli ile ıraksaması, yolların rastgele yürüme oğasının bir sonucuur. Klasik resim, 4 te niye başarısız olur? Faz geçişi yakınına belirleyici olan yollara oaklanalım. Bu tarz yolların kesişmelerini ihmal etmek geçerli miir? Rastgele yürümeler fraktal (Hausorf) boyutu f 2olan nesneler olarak üşünülebilir. Bu, bir nesnenin kütle ve boyutu arasınaki ilişkiyi veren M R f genel tanımınan, ve rastgele yürüyüşün boyutunun (R ξ), uzunluğunun (M ) karekökü oluğu gözlemine ele eilir. Boyutları ve 2 olan iki nicelik, boyutlu uzaya, + 2 ise genel olarak kesişirler. Dolayısıyle, rastgele yürüyücülerimiz u 2+24 e keşişmeleri ihtimali zayıftır, ve yukarıaki, kesişmeleri ihmal eerek ele eilen (Gaussiyan) sonuçlar asimptotik olarak oğruur. Üst kritik boyut 4 ün altına, rastgele yürüyücüler, sık karşılaşırlar, ve kesişmeleri oğru olarak incelenmeliir. İlerleticinin um 4 ile teirgemeli hesabına ele ilen iyagramlar, tam olarak yolların kesişmelerini hesaba katmaya karşılık gelir. (Her u çarpanı, bir kesişmeye karşılık gelir.) Şimi açıktır ki, keninen kaçınma koşulu, yolları rastgele yürüme boyutunan şişirerek ν üstelinin artmasına yol açacaktır. Geçişin altına, yolların uzunluğu, sınırsız olarak büyür ve keninen kaçınma koşulu, sistemin kararlılığını sağlamak için gerekliir. İlmek açılımı n-bileşenli spinler için kolaylıkla genelleştirilebilir. Tek fark, her kapalı ilmeğin n çarpanı getirmesiir. Kesişmelerin ihmal eiliği hayalet limitine, serbest enerji (enklem VI.53) saece n ile çarpılırken, bağaşıklık uzunluğu eğişmez (tıpkı Gaussiyan moele oluğu gibi). Kesişmeleren kaynaklı üzeltmeler, ki <4 e kritik avranışı eğiştiriler, artık n ye bağlıır. Mesela, iki nokta bağaşıklık fonksiyonunu üzeltirken, rastgele yürüyüşlerin, ilmeklerle olan kesişmeleriyle beraber (kaçarlığı n olan), kenileriyle kesişmelerini çıkarmamız gerekir. İlerleticinin, u(m m ) 2 terimi için, teirgeme serisiyle olan benzerliği, yine, açıktır. 92