HEDEF PROGRAMLAMA. Hedef programlama yaklaşımında, sistemlerin birden fazla ve genellikle birbiriyle çatışan hedeflerinin olması durumu söz konusudur.

Transkript

1 HEDEF PROGRAMLAMA Doç. Dr. İhsan KAYA YTU Enüstri Mühenisliği Bölümü Heef Programlama Heef programlama yaklaşımına, sistemlerin biren fazla ve genellikle birbiriyle çatışan heeflerinin olması urumu söz konusuur. Örneğin; bir işletmee üretim oranının belirli bir etkinlik seviyesinin üstüne olması arzu eilirken, işçi ve makine sayısının aha az bir seviye üşürülmesi istenebilir. Bu şekile birbiriyle çakışabilen heefleri optimal bir şekile gerçekleştiren bir çözüm ele etmek mümkün olmayabilir. Bunun yerine heeflerin ağırlıklarına veya önceliklerine uygun bir çözüm arayışına giilebilir.

2 Heef Programlama Heef programlamaa temel üşünce; bütün heefleri tek bir heefe önüştürmektir. Sonuçta ele eilen çözüm birbiriyle çatışan heefler için optimal olmayabilmekteir. Ancak, bu teknik problemin geneli için etkin çözüm olarak alanırılan en iyi çözümün ele eilmesini sağlar. Heef Programlama Herhangi bir problemin formülasyonun a mümkün oluğu kaar sağlanması gereken ve geçici olabilmekle birlikte kesin olarak belirlenen ihtiyaca heef enir. Heef programlama ise; göreli önem erecesine göre ağırlıklanırılan birçok heeften negatif, pozitif veya her iki yöneki sapmaları eş zamanlı olarak minimize etmeyi amaçlayan bir çok amaçlı oğrusal programlama çözüm tekniğiir.

3 Heef Programlama Moeli Min z =... m m a a... a n x n = T a a... a n x n = T m a m a m... a mn x n m = Tm x j 0 (j=,,..., n) i, i 0 (i=,,..., m) T i = inci heefin eğerini i = inci heeften negatif yöneki sapma miktarını i = inci heeften pozitif yöneki sapma miktarını Heef Programlama Moeli Heef programlama moelinin genel yapısınaki amaç fonksiyonuna yapılacak bazı eğişikliklere göre, heef programlama aşağıaki şekile iki gruba ayrılır.. Önceliksiz (ağırlıklı) heef programlama.. Öncelikli heef programlama.

4 Önceliksiz Heef Programlama Ağırlıklı heef programlama olarak a bilinen önceliksiz heef programlamaa her heef için bir ağırlık belirlenerek bu ağırlıklara göre amaç fonksiyonu oluşturulur. m aet heeften oluşan bir heef programlama probleminin inci heefi; Min G i (i=,,..., m) ise; Min z = w G w G... w m G m Örnek: Bir otomobil firması yeni ürettiği bir moel için televizyona reklam yayınlamayı planlamaktaır. Otomobil firmasının reklam şirketine biliriği heefler aşağıa sıralanmıştır.. Reklamı en az 40 milyon yüksek gelirli izlemeliir. (YG heefi). Reklamı en az 60 milyon orta gelirli izlemeliir. (OG heefi). Reklamı en az 5 milyon üşük gelirli izlemeliir. (DG heefi) Reklam şirketi futbol maçı veya sinema arasına reklam üzenleyecektir. Otomobil şirketinin reklam bütçesi ise en fazla 600 birimir. Reklamın kuşaklara göre bir akikasının maliyeti ve akikaa ulaşılabilecek izleyici sayısı Tabloa verilmiştir. Bu verilere göre ve yukarıaki üç heefi ikkate alacak şekile reklam planlaması yapılacaktır. 4

5 Tablo Reklam Şirketi Problemi Verileri İzleyici Sayısı (milyon kişi/k.) YG OG DG Maliyet (birim / k.) Futbol Sinema Min (veya Maks) z = 0 0 (veya herhangi bir amaç fonksiyonu) 7 40 (YG kısıtı) (OG kısıtı) (DG kısıtı) (Bütçe Kısıtı), 0 5

6 . Reklamı izlemeyen 40 milyonun altınaki her milyon (YG) için, firmanın satış gelirlerine 00 birim kayıp ortaya çıkmaktaır.. Reklamı izlemeyen 60 milyonun altınaki her milyon (OG) için, firmanın satış gelirlerine 00 birim kayıp ortaya çıkmaktaır.. Reklamı izlemeyen 5 milyonun altınaki her milyon (DG) için, firmanın satış gelirlerine 50 birim kayıp ortaya çıkmaktaır. i = i nci heeften eksik olan miktar (negatif yöneki sapma miktarı) (i=,, ) = i nci heeften fazla olan miktar (pozitif yöneki sapma miktarı) (i=,, ) 7 = 40 (YG kısıtı) 0 5 = 60 (OG kısıtı) 5 4 = 5 (DG kısıtı) 6

7 Min z = (Amaç fonksiyonu) 7 = 40 (YG kısıtı) 0 5 = 60 (OG kısıtı) 5 4 = 5 (DG kısıtı) (Bütçe Kısıtı) x j, i, i 0 (j=,) (i=,,) Optimal Çözüm: Bu moelin optimal çözümü; z=50, =6, =0, = = = =0 ve =, =5 bulunur. Bu sonuca göre reklam şirketi 6 akikalık bir reklam hazırlamalı ve bunun tamamını maç arasına yayınlamalıır. Bu yayın sonucuna; ( = oluğu için) 40=4 milyon yüksek gelirli, ( = =0 oluğu için) 60 milyon orta gelirli ve ( =5 oluğu için) 55=0 milyon üşük gelirli seyirciye ulaşılır. Ayrıca reklamlar otomobil firmasının heefleiği miktaran aha az üşük gelirli insana ulaşacağınan, firma 5(50)=50 birim satış gelirlerinen kayba uğrar. Bu sonuca göre nci heef fazlasıyla, nci heef tam olarak karşılanır ancak, ncü heef karşılanamaz. 7

8 Min z = (Amaç fonksiyonu) 7 = 40 (YG kısıtı) 0 5 = 60 (OG kısıtı) 5 4 = 5 (DG kısıtı) = 600 (Bütçe Kısıtı) x j, i, i 0 (j=,) (i=,,,4) Optimal Çözüm: Reklam şirketi 7.66 akikalık (7 akika 40 saniyelik) bir reklam hazırlamalı, Bunun 4. akikalık (4 akika 0 saniyelik) kısmını maç arasına,. akikalık ( akika 0 saniyelik) kısmını ise sinema arasına yayınlamalı, Bu yayın sonucuna; 40. milyon yüksek gelirli, 60 milyon orta gelirli ve 5 milyon üşük gelirli seyirciye ulaşılır. Firma, reklam bütçesini. birim artırmak suretiyle heefleiği tüm seyirci kitlesine ulaşabilir. 8

9 ÖNCELİKLİ HEDEF PROGRAMLAMA Öncelikli heef programlamaa karar vericinin en önemlien (nci heeften) en önemsize (m nci heefe) oğru heeflerini sıralaması gerekmekteir. i heefine ait eğişkenin amaç fonksiyonu katsayısı olarak Pi kullanılacak olursa; P >> P >> P >> >>Pm Min z = P P P (Amaç fonksiyonu) 7 = 40 (YG kısıtı) 0 5 = 60 (OG kısıtı) 5 4 = 5 (DG kısıtı) (Bütçe Kısıtı) x j, i, i 0 (j=,) (i=,,,4) 9

10 Örnek: Makine Satın Alma Problemi Bir işletme üretim sürecine kullanılmak üzere CNC, torna, freze ve testere tezgah alımı planlanmakta olup bunun için toplam 500 birim öenek ayrılmıştır. Probleme ait veriler aşağıa verilmiştir. Cinsi Makine Satın alma Problemi Verileri Birim Maliyet Bakım İşletme Gieri Etkinlik Puanı İhtiyaç CNC Torna Freze Testere 40 0 Bu satın alma problemi ile ilgili heefler öncelik sırasına göre aşağıa verilmiştir.. Toplam etkinliğin en az 80 puan olması.. Yıllık toplam bakım ve işletme gierinin mümkün oluğu kaar 70 birimi aşmaması.. CNC makine ihtiyacının mümkün oluğu kaar tam olarak karşılanması. 4. Diğer makine ihtiyaçlarının ise ihtiyaç miktarınan az olmayacak şekile karşılanması. 0

11 Min (maks) z = (herhangi bir amaç fonksiyonu) , 4 5 0, x x x x x, 40 x 4 x 4 x 4 x 4 x = (etkinlik kısıtı) (bakımişletme kısıtı) (CNC kısıtı) (torna kısıtı) (freze kısıtı) (testere kısıtı) (bütçe kısıtı) x x 4 = 80 (etkinlik) 4 x x 4 = 70 (bakımişletme) = 5 (CNC) 4 4 = 5 (torna) x 5 5 = 0 (freze) x = 0 (testere)

12 Heef. Toplam etkinliğin en az 80 puan olması, Bu heef için negatif yöneki sapma miktarı istenmeyen eğişim miktarıır. Min Z = Heef. Yıllık toplam bakımişletme maliyetinin en fazla 70 birim olması, Min Z = Heef. CNC ihtiyacının tam olarak karşılanması. İhtiyaç miktarı 5 aetin mümkün oluğu kaar altınaki veya üstüneki bir miktara CNC satın alınmamalıır. Min Z = Heef 4. Diğer makine ve teçhizatlarının en az ihtiyaç miktarı kaar karşılanması. Mümkün oluğu kaar belirlenen ihtiyaç miktarlarınan az sayıa makine ve teçhizatı alınmamalıır. Min Z 4 = Tüm heefler için amaç fonksiyonu belirlenikten sonra, P >> P >> P >> P4 Min z= P P P P P 4 4 P 4 5 P 4 6

13 Optimal Sonuç Bu problemin optimal çözümü; =4, =0, x =, x 4 =0, =4, =0, =, 4 =5, 5 =8 ve = 6 = = = 4 = 5 = 6 =0 bulunur. Bu tearik faaliyetinin sonucuna; ( =4 oluğu için) 804=94 puanlık toplam etkinliğe ulaşılır ve ( =0 oluğu için) 700=40 birimlik toplam bakımişletme maliyetine katlanılmak zoruna kalınır. Bu uruma ve nci heefler fazlası ile sağlanmış olur. Ancak heeflenen miktaran aet eksik CNC tearik eileceğinen, ncü heef sağlanamaz. 5 Optimal sonuca göre 4 aet CNC, aet freze ve 0 aet testere makine satın alınmalıır. 94 puanlık toplam etkinliğe ulaşılır. 40 birimlik toplam bakımişletme maliyetine katlanılır. Heeflenen miktaran aet eksik CNC tearik eileceğinen, ncü heef sağlanamaz. Testere heefleniği miktara tearik eilmesine rağmen, yeterli freze tearik eilemeyeceğinen ve 8 aet eksik freze tearik eileceğinen 4ncü heef kısmen sağlanmış olur. 6

14 Örnek Çikolata üretimi yapan bir firma, gelecek üretim önemine şekerleme üretimine geçmeyi planlamaktaır. Üretmeyi planlaığı iki tür şekerleme e şeker, fınık ve çikolata içermekteir. Firmanın mevcut günlük stoklarına 00 kg şeker, 40 kg fınık ve 60 kg a çikolata bulunmaktaır. A türü şekerleme %5 fınık ve % 5 çikolata içermeliir. B türü şekerleme e en az %0 fınık içermekteir. A türü şekerlemenin kilosu 50 kuruşa (0. lira), B türü şekerlemenin kilosu a 0 kuruşa (0.5 lira) satılmaktaır. Firma günlük karının en az 000 lira olmasını heeflemekteir. Yanı sıra, A türü şekerlemeen e güne en çok ton üretilmesini heeflemiştir. Bu problemin oğrusal heef programlama moelini kurunuz? 7 Çözüm 8 4

15 Çözüm Kâr ve üretim heeflerine ilişkin heefler moele heef kısıtları olarak yer almıştır. Amaç fonksiyonuna ise kâr heefinin altına kalınmak istenmeiğinen - eğişkeni, üretim heefinin e altına kalınmak istenmeiğinen eğişkeni toplamları en küçüklenmekteir. 9 Heef Programlama Moellerinin Çözümü Öncelikli heef programlama problemleri simpleks metoun bir uzantısı olan heef programlama simpleksi ile çözülebilir. Normal simpleks tablosuna saece bir amaç satırı var iken, m heef bulunan bir heef programlama simpleks tablosuna her heef için bir amaç satırı olmak üzere toplam m aet amaç satırı varır. Her amaç fonksiyonu ilgili heefteki istenmeyen yöneki sapmaan oğan cezayı (maliyeti) temsil etmekteir. Buna göre herhangi bir i heefinin amaç fonksiyonu eğerinin sıfıran büyük olması (z i >0), i heefine istenmeyen yöne bir sapma oluğunu gösterir. z i eğeri sıfıra yaklaştıkça heefe yaklaşılmakta olup, z i =0 ise i heefi ele eilmiş emektir. 0 5

16 Heef Programlama Moellerinin Çözümü Tablo : Reklam Problemi İçin Başlangıç Heef Programlama Simpleks Tablosu Satır TD Katsayılar s 4 STD (YG) z P (OG) z P (DG) z P 0 0 (YG)? (OG)? (DG)? Bütçe s Aşama- Satır TD Katsayılar s 4 STD (YG) z 7P P P P (OG) z 0P 5P 0 P P (DG) z 5P 4P 0 0 P P (YG) (40/7 min.) (OG) (60/0) (DG) (5/5) Bütçe s (600/00) 6

17 Aşama- Satır TD Katsayılar s 4 STD (YG) z P (OG) z 0 5P /7 0P /7 P 0 0P / P /7 (DG) z 0 P /7 5P /7 0 P 5P / P /7 (YG) /7 /7 0 0 / /7 (OG) 0 5/7 0/7 0 0/ /7 (DG) 0 /7 5/7 0 5/ /7 Bütçe s 4 0 0/7 00/ / /7 Aşama-4 Satır TD Katsayılar s 4 STD (YG) z P (OG) z 0 P 0 P P /0 0 (DG) z 0 P 0 0 P P /0 5P (YG) / /00 6 (OG) /0 0 (DG) /0 5 Bütçe 0 6/ /00 7

18 Tabloya göre ncü heefin amaç satırınaki tek pozitif katsayı eğişkeninin katsayısı (P ) oluğuna göre, bu heefe yaklaşmanın tek yolu eğişkeninin temele girmesiir. Ancak bu sütunaki nci heefin amaç satırınaki katsayısının negatif oluğu görülmekteir (P ). Bu sebeple eğişkeninin temele girmesi aha öncelikli bir heef olan nci heeften sapmayı artırır. Ayrıca ncü heefin amaç satırına pozitif eğere sahip başka katsayı olmaığınan ele eilen bu tablo aynı zamana optimal çözüm tablosuur. Bu problemin optimal çözümü; z=5p, =6, =0, = = = =0 ve =, =5 bulunur. Öncelikli Heef Programlama Problemlerinin Bilgisayar ile Çözümü Min z = 7 = = = x j, i, i (j=, ) (i=,, ) 0 8

19 Öncelikli Heef Programlama Problemlerinin Bilgisayar ile Çözümü Min z = 7 = = = = 0 x j, i, i (j=, ) (i=,, ) 0 Öncelikli Heef Programlama Problemlerinin Bilgisayar ile Çözümü Min z = 7 = = = = 0 = 0 x j, i, i (j=, ) (i=,, ) 0 9

20 Optimal Çözüm Son heefin iğer heefleren küçük bir ayrıcalığı olup, bu heefin optimal çözümü aynı zamana öncelikli heef programlama moelinin e optimal çözümüür. Bu moelin optimal çözümü ise; z=5 =6, =0, = = = =0 ve =, =5 bulunur. Bu moel gerçekleştirilmesi gereken son heefi ifae ettiğine göre, bu moelin optimal çözümü aynı zamana öncelikli heef programlama moelinin optimal çözümüür. Kaynakça Wayne L. Winston, Operations Research: Applications an Algorithms, Thomson, 004 Hamy A. Taha, Operations Research: An Introuction, Prentice Hall, 000. White, D.J., Operational Research, John Wiley &Sons, 987. Yöneylem Araştırması Ders Kitabı, 0, KHO Yayınları. Prof. Dr. B. Fethi ŞENİŞ, Yöneylem Araştırması-, T.C. Anaolu Üniversitesi Yayını No: Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 0