MATLAB E GÝRݪ. >> quit. >> exit. komutlarý kullanýlýr. 2.Yardým Ýsteme

Transkript

1 MATLAB E GÝRݪ BÖLÜM TEMEL BASAMAKLAR. Programý Baºlatmak ve Programý Sonlandýrmak.A. Program Nasýl Baºlatýlýr? Matlab 6. Windows ortamýnda çalýºabilen, matematik iºlemler yapabilen yazýlýmdýr. ">>" iºaretine Matlab in promptu adý verilir. Yazýlýmý çalýºtýrýnca oluºan pencerede prompt dan itibaren komutlar yazýlabilir. Komutlar sonlandýrýlýp enter tuºuna basýlýnca cevap gözükür. Aºaðýdaki bölümler sizleri Matlab ile tanýºtýracak ve hesaplamalarý yapmak, problemleri çözmek, grafikleri çizdirmek, ve kendi özel fonksiyonlarýnýzý yazabilmek için Matlab in nasýl kullanýlacaðýnýzý açýklayacaktýr. Matlab programlama dilinde dikkat edilmesi gereken en önemli husus ºudur. Yazýlmýº olan bir program üzerinde Run komutunun kullanýlmasýyla elde edilen istenmeyen sonuçlarýn giderilmesi amacýyla, program üzerinde deðiºikliklerin yapýlmasý gerekmektedir. Fakat Matlab ta program üzerinde yapýlan bu tür deðiºiklikler bazen sonuçlarý deðiºtirmemektedir. Bundan dolayý Matlab taki cash diye ifade edilen workspace, command window, command history dosyalarýnýn edit menüsü kullanýlarak temizlenmesi gerekmektedir. Bu cash lerin temizlenerek programlarýn çalýºtýrýlmasý bizlere doðru sonucu verecektir. Command window da uygun windows path ini yazarak programlarý icra edebildiðimiz gibi dosyadan program çaðýrýp run komutuylada icra edebiliriz. >> Aºaðýdaki komut satýrý kullanmýº olduðunuz Matlab programlama dilinin sürümünü göstermektedir. >> version.b. Program Nasýl Sonlandýrýlýr? MATLAB Programlama dilini sonlandýrmak için >> quit >> exit komutlarý kullanýlýr..yardým Ýsteme.A. MATLAB Online Yardým MATLAB in yardýmýndan yaralanmak için birkaç yol vardýr. Bunlarýn en iyi olaný : >> helpdesk komut satýrýdýr. Ayrýca örnek olarak aºaðýdaki satýrý incelersek >> help quit ºeklinde kullanýlan komut satýrý quit komutu hakkýnda bilgi edinmek için yardým menüsünden gerekli açýklamayý çaðýracaktýr. Ilk örnekleriniz esnasýnda yardým alabileceðiniz diðer bir komutta: >> demo bu ifade Matlab in deðiºik özelliklerini gösterecektir. Diðer çok fazla kullanýlan özellik lookfor komutudur. >> lookfor 'help' Yukarýda ki komut help dosyasýnda bulunan bütün komutlarý getirecektir.. Komut Satýrý.A. Komut Satýrlarý Yukarýdaki iºlemlerin yapýlacaðý anda açýlan pencereye <command window> adý verilir.

2 kýsa komutlar veya program parçasý ENTER tuºuna basýldýðýnda icra edilir ݺlemler ve programlar burada yapýlabileceði gibi File dan yeni bir program penceresi açýp kaydederek Debug ifadesinden Run komutuyla da çalýºtýrýlabilir ve sonuçlar yine command window daki promptan itibaren görülebilir. Matlab programlama dili açýldýðýnda Ýlk once komut satýrý (Command Window) gelir. Bu komut satýrýna yazmýº olduðunuz. Komut satýrý birkaç komuttan da oluºabilir. >> sqrt() (yukarýdaki komut deðerinin karekökünü alýr ve bir çýkýº gibi geri gönderir) veya: >> A = sqrt(); ( Karekökü alýnmýº deðeri A deðiºkenine atar). Bu tip bir komut yazýmý doðrudan A sonucunu vermez. Sonucu görmek için >> A ifadesinin komut icra edildikten sonra yazýlmasý gerekmektedir..b. Eski Komut Satýrlarýnýn Yeniden Çaðrýlmasý Matlab Prompt unda birçok komut satýrý icra edilmiº olabilir. Pratik bir yapýya sahip olmasý nedeniyle Yukarý ok tuºu ile eski icra edilmiº komutlar çaðrýlabilir. Ayný zamanda aºaðý ok tuºu ile de ileri doðru yazýlmýº komutlarý çaðýrabiliriz..c. MATLAB Hesaplatmalarýnýn Durdurulmasý Klavye üzerindeki <control> ve C tuºlarýna ayný anda basarak çalýºmakta olan program sonlandýrýlýr..d. Deðiºkenler Matlab te kullanýlabilecek olan deðiºkenleri tanýmlayabilmek için aºaðýdaki örnekleri incelememiz gerekmektedir. Matlab in mevcut kütüphanesinde bulunan hiç bir dosya ismi deðiºken olarak tanýmlanamaz. Tanýmlandýðý takdirde mevcut program hatalý çalýºacaktýr bu da bizim için istenmeyen bir durumdur. Bundan dolayý deðiºken tanýmlarken çok dikkat edilmelidir. Programlama da türkçe karakter kullanýlamaz (ç,º,ð,ö). ler MATLAB te Legal deðiºken isimleri M, m, A, Wronsk, _A, WRONSK, wronsk, Wronsk_A, w, w0, w4i, f_prime vs. seçilebilir. MATLAB te illegal deðiºken isimleri, #, a#, Wronsk!, Wronsk A, w@, w,, f' vs. seçilemez. Aºaðýdaki örnek incelendiðinde >> degisken= ve bilgisayar aºaðýdaki cevabý verecektir. degisken = Programlama esnasýnda kaç adet deðiºken kullanýldýysa bu deðiºkenleri görmemiz aºaðýdaki komut ile mümkündür. >> who Kullanmýº olduðunuz deðiºkenleri listeler. Deðiºkenimiz A degisken olur. >>whos bu tür komut deðiºkenin ismini boyutunu sýnýfýný tanýmlamak içindir. Deðiºkenlerin Hafýzada ne kadarlýk bir yer kapladýðýný bu komut ile görmemiz mümkündür. Name Size Bytes Class A x 8 double array degisken x 8 double array Hatýrlatma, MATLAB bütün deðiºkenleri matris formatýnda tanýmlar.

3 En son olarak, silmek istediðimiz deðiºkeni veya deðiºkenleri aºaðýdaki ºekilde silebiliriz. >>clear degisken veya >>clear all 4. Matris ve Vektörler 4.A. Matrisler Matris iºlemleri yapýlýrken Matris boyutlarýna dikkat edilmelidir. Aksi takdirde program hata verecektir. >> d = [ 4 0 7] >> e = [ ; 4 ; 7 ] >> d + e >> I = eye() >> zeros(,4) 4.B. Vektör Yapýlarý Matris ºeklindeki ifadelerin özel alt sýnýflarýný oluºtururlar. >> zeros(,) adet sýfýr dizisine sahip bir satýr vektörü yapýsýndadýr. Aºaðýdaki örnekleri inceleyelim. >> v = :9 elde edilecek sonuc: v = >> w = :0.5:9 elde edilecek sonuc: w = Columns through Columns 8 through 4 >> f = [ ; 4 ] >> d * f det f >> rank eig ( ) ( f ) ( f ) Aºaðýdaki komut satýrlarýný yazarak icra ediniz. >> Noise = rand(4) >> diag([ ]) Columns 5 through Aºaðýdaki Matris i ele alýnýz >> M=[,,;6,,4;5,4,] M =

4 >> M(,) 4 >> A = rand(4) 4x4 lük Matris e Rastgele deðerlerin atamasýný saðlar. >> B = A(:,:4) A nýn ikinci satýrýný veya dördüncü sütununu almak için sýrasýyla aºaðýdaki komutlarý icra ederiz. >> second_row = A(,:) >> fourth_col = A(:,4) Hatalý kullaným komutlarý >> clear A >> A(,:) = :7 >> clear A >> A(:,) = (:7)' 5. Basit Matematiksel ݺlemlerin Uygulamasý Matrisler, Vektörler, ve skaler deðerler toplanabilir, çýkartýlabilir,bölünebilir ve çarpýlabilir. 5.A. Skaler Uygulamalar MATLAB teki basit matematiksel uygulamalar aºaðýda verilen örnekler incelenerek kolayca anlaºýlabilir. >> + >> - >> * >> a = 4; b = 5; c = a*b >> a+b >> c = c+ 5.B. Matris Toplamý M ve M deðiºkenli iki matris in toplanabilmesi için sütun ve satýr sayýlarýnýn eºit olmasý gerekmektedir. Deneme amaçlý birkaç örnek burada verilmiºtir. >> [,;,4]+[,;0,4] >> A=[,;,4];B=[,;0,4];C=A+B >> A-B >> A = A + B >> v=:7;w=7:-:;v+w >> v-w >> u=[ ] >> u+v Matris toplama iºlemlerinde, iki matrisin toplamýnýn yapýlabilir veya yapýlamaz olduðunu anlamanýn en kolay yolu size komutuyla açýklanabilir >> size(u) 6 >> size(v) 7 >> / 4

5 Birinci çýktý bize u matrisinin satýr ve 6 sütundan oluºtuðunu, ikinci çýktý ise v matrisinin satýr ve 7 sütundan oluºtuðunu göstermektedir. Dolayýsýyla bu iki matris için toplama iºleminin yapýlmasý mümkün deðildir. 5.C. Satýr-Sütun Matris Çarpýmý Ýki Matrisin Çarpýmý için gerekli olan koºul. M matrisinin sütun sayýsý M matrisinin satýr sayýsýna eºit olmalý. Burada M*M çarpýmý tanýmlanabilir ama M*M tanýmlanamaz. : Aºaðýdaki örnekleri command windows ta yazarak enter tuºu ile çalýºtýrýnýz ve sonuçlarý deðerlendiriniz. >> M=[ - 4 5]; >> M=[ - 0 0]; >> M=M*M >> M4=M*M >> M5=M*M4 >> v=[0;;] >> w=[-,] >> M*v >> w*m >> w*m*v >> v*m >> A=[ 4 5]; >> A*A >> A*A*A*A*A*A*A*A*A*A*A*A*A 5.D. Kuvvet Alma Yukarýdaki örneðin en son satýrýnda ki ifadeyi aºaðýdaki gösterimde yazabiliriz. >> A^ 5.E. Transpose Uygulamasý Bu uygulama ile matris iºlemlerinde sütun indeksleri ile satýr indeksleri yerdeðiºtirmektedir. >> v >> v' >> w >> w' >> M >> M' >> A >> A' 5.F. Skaler-Matris Çarpýmý Verilen bir M matrisini a skaler sayýsý ile çarpabiliriz. >> a = []; M >> a*m >> M*a 5.G. Skaler Matris Toplamý Aºaðýdaki komut satýrýný çalýºtýrdýðýmýzda >> c = 000; f = [ - 4]; c+f sonucunu elde ederiz 5.H. Matris Bölümü:Doðrusal Sistemlerin Çözümü n x n boyutunda bir A matrisi ve n boyutunda bir vektör verilsin 5

6 Ax=b eºitliðinin saðlanabilmesi için çözümü yaparken sol bölme komutunu kullanmalýyýz.(bkz. 6. Skaler Fonksiyonlar) Burada A Matrisi sýfýr matrisi olmamalýdýr. >> A = [ ]; >> b=[ -]'; >> x=a\b x = Skaler Fonksiyonlar MATLAB komutlarýnýn birçoðu fonsiyonlardan oluºur. Bu fonksiyonlarýn bazýlarý matematiksel fonksiyonlar olarak gösterilir. Bazý Matematiksel Ýfadeler Sembol Sembol adý + Toplama + - Çýkarma - 4 * Çarpma * / Bölme (Saðdan) / \ Division (Soldan) \ ^ Kuvvet alma ^4 ( ) Parantez (normal) *( + 4) ( ) Parantez (Fonksiyon) cos(x) = Atama x = == Eºitlik x == X >> sqrt(4.407) >> log() >> sin(pi/) >> cosh(.7) >> rem(,) >> floor(/) >> round(/) >> round(4/) >> ceil(/) ler >> A = [ 4 5 5] A = >> sqrt(a) >> W = [ ] W = >> sign(w) - >> x=.:.:.9;log_table=[x;log(x)]' >> x=0:pi/6:pi; y=sin(x) 7. Dizi Uygulamalarý Aºaðýdaki Matrisi düºünelim >> M = [ ; 4] ve bu matrisin her bir elemanýnýn karesini almak istiyelim. Eðer problemin çözümü için aºaðýdaki komut satýrýný çalýºtýrýrsak istediðimiz sonucu elde edemeyiz. >> M^ Yukarýdaki satýr M*M ifadesine karºýlýk gelmektedir. >> abs(-5) 6

7 Ama M. ifadesiyle birlikte kare alma komutunu kullanýrsak istenilen sonucu elde ederiz. >> M.^ Aºaðýdaki örnekleri deneyiniz. >> Z = [ ; 4 ]; Y = [- ; 4-5]; >> Z*Y >> Z.*Y 8. Matris ve Vektör Fonksiyonlarý 8.A. Matris fonksiyonlarý MATLAB te önemli matris fonksiyonlarý Determinant >> M=[,;,7];det(M) >> A=hilb(5);det(A).749e- Özdeðerler >> eig(a) Matrisin Tersi >> inv(a) Rank >> v = 0*rand(,0); >> max(v) >> min(v) >> sort(v) Matematiksel fonksiyonlar: >> sum(v) >> prod(v) veya istatiksel fonksiyonlar: >> median(v) >> mean(v) >> std(v) BÖLÜM GRAFIKLER, ÇIKIª, FORMAT VE SEMBOLIK HESAPLATMALAR. Ýki Boyutlu Grafikler.A. plot fonksiyonu X ve y gibi iki vector düºünelim ve bu vektörlerin ayný uzunluða sahip olduðunu varsayalým. Komut satýrý >> plot(x,y) yukarýdaki komut satýrý x e karºýlýk gelen y elemanlarýnýn grafiðini çizdirmektedir >> x = -:.:; y = x.^; plot(x,y); >> rank(a) Size (Boyut) det, eig ve inv gibi bazý matris fonksiyonlarý sadece kare matrislerde uygulanabilir. Rank veya size gibifonksiyonlarda her matrise uygulanabilir. 8.B. Vektör fonksiyonlarý Bu fonksiyonlarý örneklerle açýklayacak olursak x^ grafiði [-,] aralýðýnda çizdirilecektir. 7

8 Parametrik bir eðri çizdirmek istersek Öncelikle t deðiºkeninin tanýmlanmasý gerekmektedir. >> t = 0:pi/0:*pi; >> plot( (cos(t)).*sin(t), (-cos(t)).*cos(t) ); Ayný zamanda MATLAB te deneysel verilerin grafiklerini de çizdirebiliriz. : Her bir ay ýn sýcaklýk deðerlerini çizdiren bir program yazarak grafik ortamda gösterelim. >> months = :; >> temp_max=[9,44,59,65,8,89,95,0,96,88,6 4,55]; >> plot(months,temp_max);.c. Ayný plot üzerine birden fazla grafik çizdirilmesi Bazen iki grafiði ayný düzlem üzerinde karºýlaºtýrmak isteriz. Bunun için MATLAB te üç farklý yöntem vardýr. Taylor seri açýlýmýný örnek olarak incelersek; +x+(/)x +x+(/)x+(/6)x. Birinci örnek yöntem >> x=-:.0:; >> func=exp(x);second=+x+/*x.^;third=seco nd+/6*x.^; >> plot(x,exp(x),x,second,x,third); Ýkinci yöntem >> x=-:.0:; >> Functions=[exp(x);+x+/*x.^;+x+/*x.^ +/6*x.^]'; >> plot(x,functions) MATLAB otomatik olarak renk atamasý yapmaktadýr. Eðer renk atamasýný kendimiz yapmak istersek >> plot(x,exp(x),'b',x,second,'m',x,third,'g'); Aºaðýdaki komutta ayný iºlevi yerine getirebilmektedir. >> plot(temp_max);.b. Ýsteðe baðlý çizim stilleri >> x = -:.:; y = x.^; plot(x,y,'o') veri olarak grafik ekrana daire yerleºtirecektir. >> x = -:.:; y = x.^; plot(x,y,'g-.') Yeºil renkte kesikli çizgiler yerleºtirir. ºeklinde komut tanýmý yapabiliriz. Grafik çizdirme esnasýnda farklý çizgi stillerini de kendimiz belirleyebiliriz. >> plot(x,exp(x),':',x,second,'--',x,third,'-.'); Üçüncü Yöntem (hold komutu) >> x=-:.0:; >> plot(x,exp(x)); >> second=+x+(/)*x.^;third=second+(/6)*x. ^; >> hold 8

9 Current plot held >> plot(x,second);plot(x,third); >> hold Current plot released >> temp_min=[7,5,9,9,48,6,70,77,69,5,44, 0]; >> bar(temp_max,'r'); >> hold Current plot held. Sembolik Hesaplatmalar.A.Sembolik Eºitliklerin oluºturulmasý Programlamaya baºlamadan once sembolik deðiºkenlerimizi tanýmlamamýz gerekmektedir. >> syms a b c d x y z >> A= [a b; c d] >> A() >> det(a) >> eig(a) >> bar(temp_min,'b');hold.b.sembolik Fonksiyonlarýn Oluºturulmasý Current plot released Ayrý veri deðerlerini de girerek çizdirme yapýlabilir, ama bu tür iºlem hem uzun hem de pratik deðildir. >> data=[ ]; >> plot(data(:,),data(:,),'o'); f fonksiyonunu sembolik bir eºitlik olarak tanýmlayabiliriz. >> f = + *x^ + cos(x) Bu tanýmlamadan sonra f in türevini aºaðýdaki komut ile hesaplatabiliriz. >> diff(f) Bu yeni eºitliði farklý bir deðiºkene atayabiliriz. >> f_prime=diff(f) ve kaçýncý dereceden türev almak istersek aºaðýdaki formda yazabiliriz. Aºaðýdaki form. dereceden türev almaktadýr. >> f_second=diff(f,) Bir fonksiyonun tanýmsýz integralini veya anti türevini bulmak için komut satýrý olarak >> int(f) yazýlabilir. Ve tanýmlý bir aralýkta integral deðerini bulmak için; (0 ve aralýðý örnek olarak alýnmýºtýr ). >> int(f,0,).c. Eºitliklerin Sembolik olarak çözümü 9

10 Aritmatiksel eºitlikleri de MATLAB yardýmýyla sembolik olarak çözmemiz mümkündür. : Aºaðýdaki iki bilinmeyenli denklemi ele alalým. ax + b x + c = 0. Bu denklemin çözümünü aºaðýdaki program basamaklarýnda görebiliriz. >> syms x a b c >> p = a*x^ + b*x + c >> solve(p) : Aºaðýdaki eºitliði ele alalým ln (y) - ln (r-y) = k t + C r, k ve C sabitler, t herhangi bir parametre ve y de bilinmeyen olsun. y yi çözmek için >> syms r k C t y >> equation = 'log(y) - log(r-y) = k*t + C' >> solve(equation,y) program satýrlarý kullanýlýr. Burada çözüm tek dir. Bu deðere Atama da yapabiliriz. >> y = solve(equation,y) ªimdi y bir eºitlik haline geldi. y = 5 t için >> solve(y-5,t).d. Diferansiyel Eºitliklerin Çözümü Sembolik olarak diferansiyel Denklemlerin çözümünü yapabilmek için dsolve fonksiyonu kullanýlýr. Aºaðýdaki diferansiyel denklemi çözmek için y'=y Öncelikle y yi sembolik deðiºken tanýmlamalýyýz. >>sym y Daha sonra eºitliði çözebilmek için dsolve komutunu kullanmalýyýz. >>dsolve('dy=y') D diferansiyel operator, Dy ise y nin türevi demektir. Eðer baºlangýç koºulu yerleºtirilecekse fonksiyon >>dsolve('dy=y', 'y(0)=') halini alýr.. Birinci Dereceden Diferansiyel Denklem Çözümleri (ODE) Matlab programlama dilinde birinci dereceden diferansiyel denklem çözümlerini yaparken aºaðýdaki program parçalarýný kullanabiliriz. Birinci dereceden diferansiyel denklem formu x baðýmsýz deðiºken, y de x e baðlý bir fonsiyon olduðunda aºaðýdaki ºekilde tanýmlanabilir. dy y = = dx y = x - g( x, y ) 7.5 y = g = ( x, y ) x y = f ( ) = 0.5 [,4] g ( x, y ) = aralýðýnda x, y grafiðinin matlab te nasýl hesaplatýlýp çizdirildiðini aºaðýdaki program parçalarýyla görebiliriz. main.m [x,num_y]=ode('g',,4,0.5); y=x.^-7.5; plot(x,num_y,x,y,'o') ylabel('y=f(x)') xlabel('x') grid 0

11 g.m function dy=g(x,y) dy=*x.^; Bu tip programlarda dikkat edilmesi gereken en önemli husus ºudur. Eðer bir program için alt program (subroutine ) yazýldýysa bu programýn çalýºtýrýlabilmesi için alt programdaki olarak verilen dosya adýnýn fonksiyon içerisinde de ayný isimle verilmiº olmasý gerekmektedir, ayný zamanda ode komutundada alt program adýný ayný tanýmlamalýyýz. y& y& y& = y y = - y& y = -0.5y y y y y ( 0) = 0 ( 0) = ( 0) = x& x& = -x = -x + x - x - sin ( t) denklem sistemini ode komutunu kullanarak çözünüz. main.m initial = [0;0]; tsim=[0 6*pi]; [t,u]= ode('eqns5',tsim,initial); subplot(,,),plot(t,u(:,)),title('st derivative of y'),grid subplot(,,),plot(t,u(:,)),title('y'),xlabel('x'), grid Yukarýdaki denklem sistemini ode komutunu kullanarak çözünüz ve grafik ortamda gösteriniz. main6.m options = odeset('reltol',e-4,'abstol',[e-4 e-4 e-5]); [t,y] = ode45('eqns6',[0 ],[0 ],options); plot(t,y(:,),'-',t,y(:,),'-.',t,y(:,),'.') grid eqns6.m function dy = eqns6(t,y) dy = zeros(,); dy() = y() * y(); dy() = -y() * y(); dy() = -0.5 * y() * y(); eqns.m function u_prime=eqns5(t,u) u_prime(,)=-4*u(,)+*u(,)-sin(t); u_prime(,)=-u(,)-u(,).^;

12 .For Döngüsü BÖLÜM KONTROL YAPILARI For döngüsünün iºlevini aºaðýdaki basit örnek ile açýklayabiliriz. for x=:5 for y=:6 A(x,y)=/x*y; end end A Yukarýdaki program çalýºtýrýldýðýnda aºaðýdaki sonuçlar elde edilmiºtir. Bu basit programda dikkat edilmesi gereken en önemli husus A(x,y)=/x*y; ifadesinin sonunda ; (noktalý virgül) kullanýlmasýdýr. Noktalý virgül kullanýmý A deðerlerinin ekrana sürekli olarak bastýrýlmasýný önlemektedir. Sonuç doðrudan ekranda görüntülenebilir. Programda x satýr sayýsý y ise sütun sayýsýný göstermektedir. while n=input('n deðerinin giriniz: '); if n<=0,break,end while n> if rem(n,)==0,n=n/ else n=*n+,end end end BÖLÜM 4 KONTROL ÝFADELERÝNÝN ÇÖZÜMÜ. Zaman Domaini Aºaðýda verilen denklemin basamak cevabýný t=0 ile t=0 zaman aralýðýnda hesaplatmak ve grafik ortamda çizdirmek için ( s) G = s 0 + s + 0 num=0; den=[,,0]; t=[0:0.:0]; y=step(num,den,t); plot (t, y) Program parçasýný kullanabiliriz. Bu programda 0 elemana sahip biri zaman eksenini diðeri de birirm basamak cevabý gösteren eksen olmak üzere iki sütun üretilir. Ýmpulse cevabýný da impulse komutuyla çözdürebiliriz. y=impulse(num,den,t); Genel giriºlerde ki sistem cevabý da. If Break Komutu n=input('n deðerinin giriniz: '); if n<0 A=['Sayi negatif']; elseif rem(n,)==0,a=['sayi cift']; else A=['sayi tek']; end disp(a) Not: Programdaki koºul kelimeleri (if, elseif, else) küçük harflerle yazýlmalýdýr, aksi takdirde program çalýºmayacaktýr. y=lsim (num,den,u,t) komutuyla çözdürülebilir. Giriº vektörü u dur. Tek giriºli sistemler için u sütun vektörüdür. Örneðin rampa cevabýný hesaplatmak için, ramp=t; y=lsim (num,den,ramp,t) kullanýlabilir.. Frekans domaini bode(num,den)