Örgü Kuantum Renk Dinamiği I

Transkript

1 Örgü Kuantum Renk Dinamiği I Güray Erkol, Kadir Utku Can Özyeğin Üniversitesi ULUYEF Kış Okulu, 2012 Image: 1 / 48

2 2 / 48 İçerik 1 Örgü Üzerinde Yol İntegrali Neden Örgü? Araçlar Euclidean korelatörleri KM bir sistem için yol integrali KG alanı için yol integrali İstatistiksel mekanik ile bağlantı 2 Örgü Üzerinde QCD Sürekli QCD QCD nin Örgü Diskritizasyonu Wilson Ayar Eylemi Wilson fermion eylemi

3 3 / 48 İçerik Örgü Üzerinde Yol İntegrali Neden Örgü? 1 Örgü Üzerinde Yol İntegrali Neden Örgü? Araçlar Euclidean korelatörleri KM bir sistem için yol integrali KG alanı için yol integrali İstatistiksel mekanik ile bağlantı 2 Örgü Üzerinde QCD Sürekli QCD QCD nin Örgü Diskritizasyonu Wilson Ayar Eylemi Wilson fermion eylemi

4 4 / 48 Örgü Üzerinde Yol İntegrali Maddenin temel yapı taşları Neden Örgü?

5 5 / 48 Standart Model Örgü Üzerinde Yol İntegrali Neden Örgü?

6 6 / 48 QCD Örgü Üzerinde Yol İntegrali Neden Örgü? Figure: (PDG 2011) Figure: (S. Necco [hep-lat/ ])

7 Örgü Üzerinde Yol İntegrali Neden Örgü? 7 / 48 QCD QCD güçlü etkileşimlerin kuark ve gluonlar cinsinden formülasyonudur. Pertürbatif yaklaşımlar hadron ölçeğindeki süreçlerde ( 1 GeV) uygulanamaz çünkü bu ölçekte α s 1. Kuarkların kütlelerini bilsek de mezon ve baryonların kütlesini pertürbatif yöntemlerle hesaplayamayız. Hadronların kütlesinin neredeyse tamamı gluonların lineer olmayan güçlü etkileşimlerinden kaynaklanmaktadır.

8 Örgü Üzerinde Yol İntegrali Neden Örgü? 8 / 48 Neden Örgü? Diskritize uzay-zaman, pertürbatif olmayan bir regülarizasyon sağlar: Örgü aralığı a bir ultraviolet limit oluşturur. Bilgisayarlar üzerinde İstatistiksel Mekanik in de yöntemleri kullanılarak simüle edilebilir. Bu simülasyonlar aracılığıyla hadronların temel fiziksel özellikleri bulunabilir. Örgü QCD doğrudan QCD Lagrangian ından başlayarak hesapların yapıldığı bir yöntemdir.

9 9 / 48 İçerik Örgü Üzerinde Yol İntegrali Araçlar 1 Örgü Üzerinde Yol İntegrali Neden Örgü? Araçlar Euclidean korelatörleri KM bir sistem için yol integrali KG alanı için yol integrali İstatistiksel mekanik ile bağlantı 2 Örgü Üzerinde QCD Sürekli QCD QCD nin Örgü Diskritizasyonu Wilson Ayar Eylemi Wilson fermion eylemi

10 10 / 48 İki temel araç Örgü Üzerinde Yol İntegrali Araçlar Birinci anahtar denklem 1 ] lim Tr [e (T t)ĥ Ô T 2e tĥ Ô 1 = Z T n 0 Ô 2 n n Ô 1 0 Z T = Tr[e TĤ ] İkinci anahtar denklem 1 ] Tr [e (T t)ĥ Ô 2e tĥ Ô 1 = 1 D[φ]e SE[φ] O 2[φ(t)]O 1[φ(t)] Z T Z T n

11 11 / 48 İçerik Örgü Üzerinde Yol İntegrali Euclidean korelatörleri 1 Örgü Üzerinde Yol İntegrali Neden Örgü? Araçlar Euclidean korelatörleri KM bir sistem için yol integrali KG alanı için yol integrali İstatistiksel mekanik ile bağlantı 2 Örgü Üzerinde QCD Sürekli QCD QCD nin Örgü Diskritizasyonu Wilson Ayar Eylemi Wilson fermion eylemi

12 12 / 48 Euclidean korelatörleri Örgü Üzerinde Yol İntegrali Euclidean korelatörleri Euclidean korelatör O 2(t)O 1(0) = 1 ] Tr [e (T t)ĥ Ô 2e tĥ Ô 1 Z T e tĥ = ( t) j j=0 j! Ĥ j Ĥ n = E n n Partition fonksiyonu Z T = n n e TĤ n = n e TEn

13 Örgü Üzerinde Yol İntegrali Euclidean korelatörleri Euclidean korelatörleri İki operatörün Euclidean korelatörü O 2(t)O 1(0) = 1 m e (T t)ĥ Ô 2 n n e tĥ Ô 1 m Z T m,n = 1 e (T t)em m Ô 2 n e ten n Ô 1 m Z T m,n Korelatör min enerjiye göre yazılabilir: Euclidean korelatörü e t En e (T t) Em m Ô 2 n n Ô 1 m m,n O 2(t)O 1(0) = 1 + e T E 1 + e T E E n = E n E 0 (Enerji vakuma göre tanımlanır.) 13 / 48

14 Örgü Üzerinde Yol İntegrali Euclidean korelatörleri Euclidean korelatörleri T limiti lim T O2(t)O1(0) = m e ten 0 Ô 2 n n Ô 1 0 Sadece E m = 0 yani m = 0 durumları kalır. Hadronik durum n = p lim O2(t)O1(0) = T p O p 0 2 e tep + p O p 0 2 e te p +... Yeterince büyük zaman aralıkları için sadece ground state: E p > E p Euclidean zaman t iτ 14 / 48

15 15 / 48 İçerik Örgü Üzerinde Yol İntegrali KM bir sistem için yol integrali 1 Örgü Üzerinde Yol İntegrali Neden Örgü? Araçlar Euclidean korelatörleri KM bir sistem için yol integrali KG alanı için yol integrali İstatistiksel mekanik ile bağlantı 2 Örgü Üzerinde QCD Sürekli QCD QCD nin Örgü Diskritizasyonu Wilson Ayar Eylemi Wilson fermion eylemi

16 16 / 48 Harmonik osilatör Örgü Üzerinde Yol İntegrali KM bir sistem için yol integrali x-eksenine kısıtlanmış bir potansiyel içerisindeki tek parçacık Hamiltonian: Ĥ = ˆp2 2m + Û Partition function Z T = Tr[e TĤ ] = dx x e TĤ x Partition function ( m ) NT /2 Z T = dx 0... dx NT 1 exp ɛ 2πɛ N T 1 j=0 ( m/2 ( xj+1 x ) 2 ) j + U(xj) ɛ

17 Örgü Üzerinde Yol İntegrali KM bir sistem için yol integrali 17 / 48 Eylem T = ɛn T Yavaş değişen yollar için x j+1 x j ɛ N T 1 = ẋ(t) + O(ɛ) ɛ... = j=0 T 0 dt... + O(ɛ) Sonuç olarak ɛ N T 1 j=0 ( m/2 ( xj+1 x ) 2 j + U(xj)) = ɛ T 0 ( m ) dt 2 ẋ(t)2 + U (x(t)) + O(ɛ)

18 Örgü Üzerinde Yol İntegrali KM bir sistem için yol integrali 18 / 48 Eylem Sonuç olarak ɛ N T 1 j=0 ( m/2 ( xj+1 x ) 2 j + U(xj)) = ɛ T 0 ( m ) dt 2 ẋ(t)2 + U (x(t)) + O(ɛ) Sağ taraf Euclidean eylem olarak bilinir Euclidean eylem T is E [x, ẋ] = i 0 ( m ) dt 2 ẋ(t)2 + U(x(t))

19 Örgü Üzerinde Yol İntegrali KM bir sistem için yol integrali 19 / 48 Eylem Euclidean zamanı ɛ genişliğinde N T adıma böl. Her adımda x j değişkenini dan + a integre et. x j değerlerinin kümesi bir yola karşılık gelir. Bütün yollar üzerinden integre et.

20 20 / 48 İçerik Örgü Üzerinde Yol İntegrali KG alanı için yol integrali 1 Örgü Üzerinde Yol İntegrali Neden Örgü? Araçlar Euclidean korelatörleri KM bir sistem için yol integrali KG alanı için yol integrali İstatistiksel mekanik ile bağlantı 2 Örgü Üzerinde QCD Sürekli QCD QCD nin Örgü Diskritizasyonu Wilson Ayar Eylemi Wilson fermion eylemi

21 21 / 48 Klein-Gordon alanı Örgü Üzerinde Yol İntegrali KG alanı için yol integrali Gerçek skaler alanlar için φ(t, x) (bağlaşık osilatörler sistemi) Eylem S = dt d 3 x L(φ(t, x), µ φ(t, x)) Lagrangian yoğunluğu L(φ, µφ) = 1 2 ( µφ)( µ φ) m2 2 φ2 V(φ) = 1 2 φ ( φ) 2 m2 2 φ2 V(φ) Euclidean uzayda (t iτ) eksi işareti bütün terimlerde var. Örn. V(φ(t, x)) = λφ(t, x) 4 düşünülebilir.

22 22 / 48 Partition fonksiyonu Örgü Üzerinde Yol İntegrali KG alanı için yol integrali Euler-Lagrange denklemlerini kullanarak ( ) L µ L ( µ φ) φ = 0 Klein-Gordon denklemi µ ( µ φ) + m 2 φ + V(φ) = 0 Partition function ( ) Z T = Dφ 0 φ 0 e TĤ a 3 N3 N T 2 φ 0 2πɛ Dφ 0... Dφ NT 1e S E[φ]

23 23 / 48 Örgü üzerinde eylem Örgü Üzerinde Yol İntegrali KG alanı için yol integrali Eylem S E[φ] = ɛa 3 n,n 4 Λ 1 2 ( φ( n + j, n 4) φ( n j, n 4) 2a ( φ( n, n4 + 1) φ( n, n 4) ɛ ) j=1 ) 2 ] + m2 2 φ( n, n4)2 + V[φ( n, n 4)] 4D Lattice Λ = ( n, n 4 ) n Λ 3, n 4 = 0, 1,..., N T 1 D[φ] = dφ( n, n 4 ) ( n,n 4 ) Λ

24 24 / 48 Örgü Üzerinde Yol İntegrali Örgü üzerinde korelatörler KG alanı için yol integrali Partition function ( ) a 3 N3 N T 2 Z T = 2πɛ D[φ]e S E[φ] Operatörlerle yol integrali ( ) a 3 N3 N T 2 1 O 2(t)O 1(0) = 2πɛ Z T D[φ]e S E[φ] O 2[φ]O 1[φ] Zaman ve uzay için aynı örgü sabiti: ɛ = a S E[φ] = a [ ( ) ] φ(n + ˆµ) φ(n ˆµ) + m2 2 2a 2 φ(n)2 + V[φ(n)] n Λ

25 Örgü Üzerinde Yol İntegrali KG alanı için yol integrali 25 / 48 Yöntem Euclidean zaman dilimi T yi ɛ büyüklüğündeki N T adıma böl: T ɛt Sürekli uzayı 3D sonlu bir örgü ile değiştir: : x a n, n i = 0, 1,..., N 1 (i = 1, 2, 3) Operatörler φ( n) örgünün sadece köşelerinde bulunurlar. Toplamda N 3 örgü köşesi, 2N 3 tane serbestlik derecesi bulunmaktadır. Periyodik sınır koşullarını seç (n j = N köşesi n j = 0 köşesi ile aynıdır). Euclidean korelatörde bulunan alan operatörlerini klasik örgü alanlarıyla değiştirerek fonksiyonel durumuna getir. Boltzmann faktörünün ağırlığını kullanarak ve olası bütün konfigürasyonlar üzerinden integre ederek Euclidean korelatörleri hesapla. En sonda süreklilik limitini al (a 0).

26 26 / 48 İçerik Örgü Üzerinde Yol İntegrali İstatistiksel mekanik ile bağlantı 1 Örgü Üzerinde Yol İntegrali Neden Örgü? Araçlar Euclidean korelatörleri KM bir sistem için yol integrali KG alanı için yol integrali İstatistiksel mekanik ile bağlantı 2 Örgü Üzerinde QCD Sürekli QCD QCD nin Örgü Diskritizasyonu Wilson Ayar Eylemi Wilson fermion eylemi

27 27 / 48 İstatistiksel mekanik Örgü Üzerinde Yol İntegrali İstatistiksel mekanik ile bağlantı P[s] = 1 Z e βh[s] :Sistemi belirli bir konf.da bulma olasılığı (β = 1 k B T ) Z = {s} e βh[s] :Partition fonksiyonu O = 1 Z e βh[s] O[s] :Beklenen değer İstatistiksel mekanik vs. Örgü e βh e S E {s} D[φ]

28 28 / 48 İçerik Örgü Üzerinde QCD Sürekli QCD 1 Örgü Üzerinde Yol İntegrali Neden Örgü? Araçlar Euclidean korelatörleri KM bir sistem için yol integrali KG alanı için yol integrali İstatistiksel mekanik ile bağlantı 2 Örgü Üzerinde QCD Sürekli QCD QCD nin Örgü Diskritizasyonu Wilson Ayar Eylemi Wilson fermion eylemi

29 29 / 48 Örgü Üzerinde QCD Fermion and Ayar Alanları Sürekli QCD Fermion Alanları ( ) I 0 ψ (f ) (x)α ψ(f ) (x)α ψ = ψ γ 0 γ 0 = c c 0 I x: uzay-zaman pozisyonu f: çeşni indisi α: Dirac Spinor indisi α=1,2,3,4 c: renk indisi c=1,2,3 Ayar Alanları x : uzay-zaman pozisyonu A µ (x) cd = µ : Lorentz indisi c, d : renk indisi c, d = 1, 2, 3 Traceless, Hermitian 3 3 matrisler.

30 30 / 48 Ayar Eylemi Örgü Üzerinde QCD Sürekli QCD Fermion Eylemi S F [ψ, ψ, N A] = f =1 d 4 x ψ (f ) (x)[ / + iga/(x) + m (f ) ]ψ (f ) (x) Euclidean γ-matrisleri: {γ µ, γ ν } = 2δ µν I (γ µ ( µ + ia µ (x)) + m)ψ(x) = 0 (Euclidean Dirac denklemi) Gluon Eylemi S G [A µ (x)] = 1 2 d 4 xtr[f µν F µν ] F µν = µ A ν ν A µ + ig[a µ, A ν ]

31 31 / 48 Ayar Eylemi Örgü Üzerinde QCD Sürekli QCD Fermion Eylemi S F [ψ, ψ, N A] = f =1 d 4 x ψ (f ) (x)[ / + iga/(x) + m (f ) ]ψ (f ) (x) Euclidean γ-matrisleri: {γ µ, γ ν } = 2δ µν I (γ µ ( µ + ia µ (x)) + m)ψ(x) = 0 (Euclidean Dirac denklemi) Gluon Eylemi S G [A µ (x)] = 1 2 d 4 xtr[f µν F µν ] F µν = µ A ν ν A µ + ig[a µ, A ν ]

32 Örgü Üzerinde QCD Sürekli QCD Ayar Değişmezlik QCD de quarklar renk rotasyonları altında değişmez kalır. Her bir uzay-zaman noktasında complex 3 3 bir matris seç: Ω(x). Ω(x) = Ω(x) 1 (Unitary) ve det[ω(x)]=1 SU(3) Komutatif olmayan grup işlemleri Abelian olmayan grup ψ(x) ψ (x) = Ω(x)ψ(x) ve ψ(x) ψ (x) = ψ(x)ω(x) transformasyonlar altında S F [ψ, ψ, A ] = S F [ψ, ψ, A] 32 / 48

33 33 / 48 Ayar Değişmezlik Örgü Üzerinde QCD Sürekli QCD Fermion Eylemi S F [ψ, ψ, A ] = d 4 x ψ(x)ω(x) [γ µ ( µ + ia µ(x) + m]ω(x)ψ(x) Kütle teriminde ayar transformasyon matrisleri yok olur. µ + ia µ (x) =Ω(x) ( µ + ia µ (x)) Ω(x) = µ + Ω(x) ( µ Ω(x)) + iω(x) A µ(x)ω(x) Ayar değişmezliği sağlamak için ayar alanları da dönüştürülmelidir: A µ (x) A (x) = Ω(x)A µ (x)ω(x) + i( µ Ω(x))Ω(x)

34 Örgü Üzerinde QCD Sürekli QCD Ayar Eylemi Gluon Eylemi S G [A ] = S G [A] D µ (x) = µ + i A µ (x) (Covariant türev; D µ (x)ψ(x) ve ψ(x) aynı şekilde dönüşür). F µν (x) = i[d µ (x), D ν (x)] = µ A ν (x) ν A µ (x) + i[a µ (x), A ν (x)] (field strength tensor) F µν (x) F µν(x) = Ω(x)F µν (x)ω(x) S G [A] = 1 2g 2 d 4 x Tr[F µν (x)f µν (x)] (Ayar eylemi) Tr sayesinde ayar eylemi transformasyon altında değişmez kalır. 34 / 48

35 35 / 48 Ayar Eylemi Gluon Eylemi Örgü Üzerinde QCD Sürekli QCD Renk Bileşenleri A µ (x) = F µν (x) = 8 A i µ(x)t i, i=1 T i Gell-Mann matrisleri 8 { µ A i ν(x) ν A i µ(x) gf jki [A j µ, A k ν] }T i }{{} Fµν(x) i i=1 S G [A µ (x)] = i=1 d 4 xf i µνf µν i

36 36 / 48 İçerik Örgü Üzerinde QCD QCD nin Örgü Diskritizasyonu 1 Örgü Üzerinde Yol İntegrali Neden Örgü? Araçlar Euclidean korelatörleri KM bir sistem için yol integrali KG alanı için yol integrali İstatistiksel mekanik ile bağlantı 2 Örgü Üzerinde QCD Sürekli QCD QCD nin Örgü Diskritizasyonu Wilson Ayar Eylemi Wilson fermion eylemi

37 37 / 48 Örgü Üzerinde QCD Fermionların sade diskritizasyonu Serbest fermion durumu QCD nin Örgü Diskritizasyonu Fermion Alanları ψ(x) ψ(a n) ψ(x) ψ(a n), a örgü aralığı N uzay örgü adımlarının sayısı {}}{ n = (n 1, n 2, n 3, n 4 ), n 1,2,3 = 0, 1,..., N 1 n 4 = 0, 1,..., N T 1 }{{} N T zaman adımlarının sayısı Eylem S F [ψ, ψ] = a 4 n Λ ψ(n) [ 4 µ=1 γ µ ψ(n + ˆµ) ψ(n ˆµ) 2a + mψ(n) ]

38 Örgü Üzerinde QCD QCD nin Örgü Diskritizasyonu Fermionların sade diskritizasyonu Diskritize Fermion Eylemi Bağlantı değişkenleri olarak ayar alanları: Türev terimi S F [ψ, ψ] SU(3) transformasyonları altında ayar değişmez değildir, yani ψ(n)ψ(n + ˆµ) ψ (n)ψ (n + ˆµ) = ψ(n)ω(n) Ω(n + ˆµ)ψ(n + ˆµ) SU(3) grup elemanlarını U µ (n) katarak SU(3) değişmezliğini sağlayabiliriz: ψ (n)u µ(n)ψ (n + ˆµ) = ψ(n)ω(n) U µ(n)ω(n + ˆµ)ψ(n + µ) U µ (n) U µ(n) = Ω(n)U µ (n)ω (n + ˆµ) n ˆµ U µ (n) U µ (n ˆµ) n n +ˆµ U µ (n) 38 / 48

39 39 / 48 Örgü Üzerinde QCD Fermionların sade diskritizasyonu Diskritize Fermion Eylemi QCD nin Örgü Diskritizasyonu Ayar değişmez fermion eylemi S F[ψ, ψ, U] = a [ 4 4 U µ(n)ψ(n + ˆµ) U µ(n)ψ(n ˆµ) ψ(n) γ µ 2a n Λ µ=1 + mψ(n) ] U µ (n) = exp(ia A µ (n)) Küçük a değerleri için U µ (n) = I + i a A µ (n) + O(a 2 ) S F [ψ, ψ, U] = SF 0 [ψ, ψ] + SF I [ψ, ψ] SF 0 serbest kısım SF I [ψ, ψ] = ia 4 4 ψ(n)γ µ A µ (n)ψ(n) + O(a) etkileşim kısmı n Ω µ=1

40 40 / 48 İçerik Örgü Üzerinde QCD Wilson Ayar Eylemi 1 Örgü Üzerinde Yol İntegrali Neden Örgü? Araçlar Euclidean korelatörleri KM bir sistem için yol integrali KG alanı için yol integrali İstatistiksel mekanik ile bağlantı 2 Örgü Üzerinde QCD Sürekli QCD QCD nin Örgü Diskritizasyonu Wilson Ayar Eylemi Wilson fermion eylemi

41 41 / 48 Örgü Üzerinde QCD Wilson Ayar Eylemi Örgü üzerinde ayar değişmez objeler Örgü üzerinde n 0 ve n 1 noktalarını bağlayan yol: P[U] = U µ0 (n 0 )U µ1 (n 0 + ˆµ 0 )... U µk 1 (n 1 ˆµ k 1 ) P[U] P[U ] = Ω(n 0 )P[U]Ω(n 1 ) n,µ P U µ (n) Uçlarına quark alanları ekleyerek ayar değişmez bir nesne elde edilebilir: ψ(n 0 )P[U]ψ(n 1 ) İkinci bir yol [ kapalı bir döngü ] seçip trace almak: L[U] = Tr U µ (n) (n,µ) L

42 Örgü Üzerinde QCD Wilson Ayar Eylemi 42 / 48 Wilson Ayar Eylemi "Plaquette" Plaquette: Bağlantı değişkenlerinden üretilebilen en basit ayar değişmez nesne U µν(n) = U µ(n)u ν(n + ˆµ)U µ(n + ˆν)U ν(n) Diskritize ayar eylemi S G [U] = 2 g 2 Re { Tr[I U µν (n)] } n Λ µ<ν

43 43 / 48 İçerik Örgü Üzerinde QCD Wilson fermion eylemi 1 Örgü Üzerinde Yol İntegrali Neden Örgü? Araçlar Euclidean korelatörleri KM bir sistem için yol integrali KG alanı için yol integrali İstatistiksel mekanik ile bağlantı 2 Örgü Üzerinde QCD Sürekli QCD QCD nin Örgü Diskritizasyonu Wilson Ayar Eylemi Wilson fermion eylemi

44 44 / 48 Wilson fermion eylemi Örgü Üzerinde QCD Wilson fermion eylemi Örgü Dirac operatörü S F[ψ, ψ, U] = a 4 n,m Λ a,b,α,β ψ(n)α a D(n m) αβ ab ψ(m) β b D(n m) αβ ab = 4 U µ(n) abδ n+ˆµ,m U µ(n) abδ n ˆµ,m (γ µ)α + m δ αβ δ β abδ n,m 2a µ=1 Fourier transform ve Quark propagatörü D(p) = mi + i a 4 γ µ sin(p µa) µ=1 D(p) 1 = mi ia 1 m γµ sin(pµa) m 2 + a 2 µ sin(pµa)2

45 45 / 48 Wilson fermion eylemi Örgü Üzerinde QCD Wilson fermion eylemi Örgü Dirac operatörü D(p) 1 m=0 = ia 1 µ γµ sin(pµa) a a 0 i µ γµpµ 2 µ sin(pµa)2 p 2 Sürekli uzayda propagatörün p = (0, 0, 0, 0) noktasında tek kutbu olmasına rağmen örgü üzerinde ek 15 tane daha kutup var: p = (π/a, 0, 0, 0), (0, π/a, 0, 0),..., (π/a, π/a, π/a, π/a)

46 46 / 48 Wilson fermionları Örgü Üzerinde QCD Wilson fermion eylemi Ekstra kutuplardan kurtulmalıyız. Wilson Dirac operatörü D(p) = mi + i a 4 γ µ sin(p µa) + I 1 4 (1 cos(p µa)) a µ=1 }{{} Wilson terimi µ=1 Wilson terimi p µ = 0 durumunda yok olur, p µ = π/a durumunda ise fazladan bir kütle terimi getirir: m + 2l a l = momentum bileşenlerinin sayısı a 0 limitinde çiftleyiciler çok ağırlaşır ve ayrışır.

47 Örgü Üzerinde QCD Wilson fermion eylemi Wilson fermionları Wilson Dirac operatörü D(n m) αβ ab = ( m + 4 ) δ αβ δ abδ n,m 1 a 2a ±4 µ=±1 (I γ µ) αβ U µ(n) abδ n+ˆµ,m Sonuç olarak: QCD Örgü yol integrali O 2 (t)o 1 (0) = 1 Z T D[ψ, ψ]d[u]e S F[ψ, ψ,u] S G [U] O 2 [ψ, ψ, U]O 1 [ψ, ψ, U] = 1 Z T D[ψ, ψ]d[u]e S F[ψ, ψ,u] S G [U] 47 / 48

48 Örgü Üzerinde QCD Wilson fermion eylemi 48 / 48 Özet Quark ve gluonların genel özelliklerini tartıştık ve bunları örgüye yerleştirdik. Fermion alanlarının renk dönüşümü altında değişmezliğini sağlamak için ayar alanlarını tanımladık. Kapalı döngülerde ayar değişkenlerinin sıralı çarpımının ayar değişmez olduğunu gösterdik ve plaquetteleri kullanarak ayar eylemini kurduk. Bu nesneleri kullanarak yol integralinin kuantizasyonunu yarattık.