ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ 6. ULUSAL KONGRESİ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ 6. ULUSAL KONGRESİ"

Transkript

1 ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ 6. ULUSAL KONGRESİ Eylül 1995 BURSA I TMMOB I FXEKTRİK MÜHENDİSLERİ ODASI ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TÜBİTAK

2 ISBN : X Baskı: K A R E A JANS & MATBAACILIK Litrosyolu, 2. Matbaacılar Sanayi Sitesi C Blok No : 4 NC 25 Topkapı - istanbul Tel: (0212)

3 O M S O Z TMMOB Elektrik Mühendisleri Odası, Uludağ Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Elektronik Mühendisliği Bölümü ve TÜBiTAK'ın işbirliği ile Eylül 1995 tarihleri arasında düzenlenen Elektrik Mühendisliği 6. Ulusal Kongresine hoşgeldiniz. Hazırlık çalışmaları yaklaşık bir yıl önce başlayan Kongre'ye, Üniversitelerimiz, araştırma ve endüstri kurumlarında çalışan meslektaşlarımız büyük ilgi göstermiş ve toplam 450 civarında bildiri başvurusu olmuştur. Aydınlatma Tekniği, Ar-Ge ve Teknoloji Üretimi, Bilgisayar ve Kontrol, Devreler ve Sistemler, Elektronik, Elektromagnetik Alanlar ve Mikrodalga Tekniği, Elektrik Makinaları, Elektrik Enerji Üretimi ve Dağıtımı, Eğitim, Güç Elektroniği, Haberleşme Tekniği ve Sistemleri, Ölçme Tekniği, Tıp Elektroniği ve Yüksek Gerilim Tekniği konularına göre ayrılan bildiriler, yürütme kurulunca belirlenen değerlendirme kuralları çerçevesinde uzmanlarca değerlendirilerek, yaklaşık 300 kadarının oturumlarda sunulması uygun bulunmuştur. Üç Ayrı ciltte toplanan bildirilerin, Aydınlatma Tekniği, Enerji Üretim, İletim ve Dağıtımı,Yüksek Gerilim Tekniği, Güç Elektroniği, Elektrik Makinaları birinci ciltte, Elektronik, Elektromağnatik Alanlar ve Mikrodalga Tekniği, Haberleşme Tekniği ve Sistemleri, Ölçme Tekniği, Tıp Elektroniği ikinci ciltte, Bilgisayar ve Kontrol, Eğitim ve diğerleri üçüncü ciltte yer almıştır. EMO ve Üniversitelerin temsilcilerinin yanısıra kamu ve özel sektör temsilcilerinin de yer aldığı Kongre Danışma Kurulu'nca belirlenen görüşler çerçevesinde, Elektrik-Elektronik Mühendisliğini ilgilendiren çeşitli konularda paneller ve çağrılı bildiriler de düzenlenmiş bulunmaktadır. Türkiye'de Elektrik-Elektronik Sanayinin Konumu, AB İle Bütünleşmesi ve Perspektifler, Elektrik- Elektronik Mühendisliğinde Eğitim, Altyapı Hizmetleri Özelleştirme ve Düzenleyici Erk, Türkiye'nin Elektrik Enerji Sisteminde Yapısal Değişiklikler ve Politikalar konulu paneller ve Bilgi Çağının Anahtar Teknolojisi; Mikroelektronik, Mikrodalga Enerjisinin Endüstriyel Uygulamaları, Bilgi Toplumu ve Internet, Elektrik-Elektronik sanayinin Gelişiminde Ar-Ge'nin Önemi, Nükleer Güç Santrallerinin İşletmesindeki Teknik Sorunlar ve Çevre Konulu çağrılı bildirilerle konuların tartışılacağı, bilimsel yaklaşımlarla çözüm ve önerilen geliştirileceği, ilgili kurum ve kuruluşlara önemli katkılar sağlayacağı inancındayız. Kongrede çağrılı bildiri ve panellere katılarak değerli katkılarda bulunacak değerli bilim adamları ile özel ve kamu kuruluş yetkililerine sonsuz teşekkürlerimi sunuyorum. Bugüne kadar iki yılda bir düzenli olarak yapılan, bilimsel niteliği ve katılımı giderek artan Elektrik Mühendisliği Ulusal Kongresi, Ülkemizde yapılan bilimsel ve teknolojik çalışmaların nitel ve nicel özelliklerini yansıtması bakımından önem arzetmektedir.' Kongrenin, izleyiciler ve delegeler için başarılı olmasını, ülkemizin bilimsel ve teknolojik çalışmalanna yön ve ivme vermesini diliyor, hazırlık çalışmalarımıza özenle katkı sağlayan değerli TMMOB Elektrik Mühendisleri Odası Yönetim Kuruluna, Elektrik Mühendisleri Odası Bursa Şubesi Yönetim Kuruluna ve Çalışanlarına, Bilim Kurulu, Danışma Kurulu, Yürütme Kurulu ve Sosyal İlişkiler Komisyonu üyeleri ile emeği geçen tüm arkadaşlarımıza destek ve katkıları için teşekkür ediyorum. Prof. Dr.Ali OKTAY Yürütme Kurulu Başkanı

4 ELEKTRİK MÜHENDİSLİĞİ 6. ULUS AL KONGRESİ YÜRÜTME KURULU Prof. Dr.Ali OKTAY Prof.Dr.Ahmet DERVİŞOĞLU Prof.Dr.R.Nejat TUNCAY Teoman ALPTÜRK Faruk KOÇ Haluk ZONTUL Ömer ADIŞEN EmirBİRGÜN Sevim ÖZAK Yakup ÜNLER Osman AKIN H.İbrahim BAKAR (U.Ü. - Başkan) (İTÜ) (EMO Başkanı) (EMO Bursa Şube Başkanı) (EMO Yön.Kur. Üyesi) (UÜ.) (EMO-Bursa Şube Yön.Kur.Yazman Üyesi) (EMO-Bursa Şube Yön.Kur. Üyesi) (EMO-Bursa Şubesi) (EMO-Bursa Şubesi) (EMO-Bursa Şubesi) TMMOB ELEKTRİK MÜHENDİSLERİ ODASI BURSA ŞUBESİ YÖNETİM KURULU Başkan Başkan Yrd. Yazman Sayman Üye Üye Üye Faruk KOÇ İsmail Yalçın AKTAŞ Emir BİRGÜN Bahri KAVİLCİOĞLU Sevim ÖZAK Tuncay HIZLIOĞLU Cem ÖZKAN TMMOB ELEKTRİK MÜHENDİSLERİ ÇDASI BURSA ŞUBE GÖREVLİLERİ Kemal ERTUĞRAN Kemal KARAKAŞ Raziye BEĞEN Meliha DEMİR Hüseyin GÖK : Kongre-Fuar Sorumlu Mühendisi : Proje Denetim ve Test Mühendisi : Sekreterya Sorumlusu : Muhasebe Görevlisi : Şube Görevlisi SOSYAL ETKİNLİKLER KOMİSYONU İnci BECEREN Sabiha CESUR Bekir DAĞLAROĞLU Gülsemin GÜNEŞ Muvaffak KARAHAN Önder SERHATLI - I -

5 BİLİMSEL DEĞERLENDİRME KURULU - AKÇAKAYA Ergül, Prof.Dr.(İTÜ) - AKPINAR Sefa, Prof.Dr. (KTÜ) - ANDAY Fuat, Prof.Dr.(İTÜ) - ATAMAN Atilla, Prof. Dr. (YTÜ) - AYGÖLÜ Ümit, Prof.Dr.(İTÜ) - AŞKAR Murat, Prof. Dr. (ODTÜ) - BAYRAKÇI H.Ergün, Prof.Dr.(UÜ) - BURŞUK A.Fahri, Prof.Dr. (İÜ) -BİR Atilla, Prof. Dr. (İTÜ) - CANATAN Fatih, Prof. Dr.(ODTÜ) ÇERİ D Ömer, Prof. Dr. (BÜ) - ÇETİN İlhami, Prof.Dr.(İTÜ) ÇİFTÇİOĞLU Özer, Prof.Dr. (İTÜ) DALFEŞ Abdi, Prof.(İTÜ) - DEMİROREN Ayşen, Yrd.Doç.Dr.(İTÜ) DERVİŞOGLU Ahmet, Prof. Dr.(İTÜ) ERTAN H.Bülent, Prof.Dr.(ODTÜ) ERTAŞ Arif, Prof. Dr.(ODTÜ) ERİMEZ Enise, Prof.Dr. (İTÜ) FADIL Salih, Yrd.Doç.Dr.(OÜ) GÖKMEN Muhittin, Prof.Dr.(İTÜ) GÖNÜLEREN Ali Nur, Prof.Dr.(İTÜ) GÜLGÜN Remzi, Prof.Dr.(YTÜ) GÜNAN Hasan, Prof.Dr.(ODTÜ) GÜNEŞ Filiz, Prof.Dr.(YTÜ) GÜRLEYEN Fuat, Doç.Dr.(İTÜ) GÜVEN Nezih, Doç.Dr.(ODTÜ) GÜZELBEYOGLU Nurdan, Prof.Dr.(İTÜ) HARMANCI A.Emre, Prof.Dr. (İTÜ) İDEMEN Mithat, Prof.Dr.(İTÜ) İDER Y.Ziya, Prof.Dr. (ODTÜ) İNAN Kemal, Prof.Dr.(ODTÜ) KALENDERLİ Özcan, Yrd.Doç.Dr.(İTÜ) - KASAPOĞLU Asım, Prof. Dr.(YTÜ) - KAYPMAZ Adnan, Doç.Dr.(İTÜ) - KORÜREK Mehmet, Doç.Dr.(İTÜ) - KUNTMAN H.Hakan, Prof.Dr.(İTÜ) - LEBLEBİCİOĞLU Kemal, Prof.Dr.(ODTÜ) - MERGEN Faik, Prof.Dr.(İTÜ) - MORGÜL Avni, Prof.Dr.(BÜ) -OKTAYAli, Prof.Dr.(UÜ) - ONAYGİL Sermin, Doç.Dr.(İTÜ) - ÖNBİLGİN Güven, Prof.Dr.(19 MAYIS Ü) - ÖZAY Nevzat, Prof. Dr. (ODTÜ) - ÖZDEMİR Aydoğan, Doç. Dr.(İTÜ) - ÖZKAN Yılmaz, Prof.Dr.(İTÜ) - ÖZMEHMET Kemal, Prof.Dr.(9 EYLÜL Ü) - PANAYIRCI Erdal, Prof.Dr. (İTÜ) - RUMELİ Ahmet, Prof.Dr.(ODTÜ) - SANKUR Bülent, Prof.Dr.(BÜ) - SARIKAYALAR Şefik, Prof.(YTÜ) - SEVAİOĞLU Osman, Prof.Dr.(ODTÜ) - SEVERCAN Mete, Prof.Dr. (ODTÜ) - SOYSAL A.Oğuz, Prof.Dr.(İÜ) - ŞEKER Selim, Prof.Dr.(BÜ) - TACER Emin, Prof.Dr.(İTÜ) - TANIK Yalçın, Prof.Dr.(ODTÜ) - TARKAN Nesrin, Prof.Dr.(İTÜ) - TOPUZ Ercan, Prof.Dr.(İTÜ) - TUNCAY R.Nejat, Prof.Dr. (İTÜ) - TÜRELİ Ayhan, Prof.Dr.(ODTÜ) - ÜÇOLUK Metin, Prof.Dr.(İTÜ) - YAZGAN Erdem, Prof.Dr.(HÜ) - YÜCEL Metin, Prof. (YTÜ) - YÜKSEL Önder, Prof.Dr.(ODTÜ) - YÜKSELER Nusret, Prof.Dr.(İTÜ) - II -

6 DANIŞMA KURULU - AKÇAKAYA Ergül (Prof.Dr.-İTÜ) - AKKAŞLI Nevzat - ALADAĞLI Tunç (Nergis A.Ş.) - ALGÜADİŞ Selim (EKA) - ARABUL Hüseyin (EMSAD) - ARGUN Tanju (TESİD) - ATALI ibrahim (EMO Adana Şube) - ATEŞ Mustafa (TEDAŞ) - AVCI M.Naci (Organize Sanayi Bölgesi) - BAYKAL Faruk (Nilüfer Belediye Başkanı) - BERKOĞLU ismail (PTT Bölge Başmüdürü) - BOZKURT Yusuf (MEES) - BİRAND Tuncay (ODTÜ) - CAN ER Süleyman (Çanakkale Seramik) - CEYHAN Mümin - CEYLAN Arif - ÇALIM Yavuz (TEAŞ Müessese Müdürü) - DRAMA Mehmet (TEDAŞ) - DURGUT Metin (EMO Merkez) - GÖREN Sunay (Siemens) - HARMANCI Emre (Prof.Dr.-İTÜ) - ISPALAR Ayhan (EMKO) - KAYA Ersin (Kaynak Dergisi) - KAŞIKÇI İsmail (Almanya) - KIRBIYIK Mehmet (Prof.Dr.-U.Ü.Müh.Mim.Fak.Dekanı) - KUZUCU Mehmet (TOFAŞ Elk.Eln.Tesis Servis Şefi) - MUTAF M.Madt (EMO İzmir Şube) - OKAT ismail (TEDAŞ Bursa Müessese Müdürü) - OKUMUŞ Necati(TEDAŞ) - OKYAY Nursel (TEDAŞ) - ÖZMEHMET Kemal (Prof.Dr.-9 Eylül) - ÖNBİLGİN Güven (Prof.Dr.-19 Mayıs Ü.) - PUCULAOĞLU Mustafa (EMO Merkez) - RAŞİTOĞLU Mithat (TEDAŞ) - SÖNMEZ Ali Osman (Ticaret ve Sanayi Odası Başkanı) - TERZİOĞLU TosunfTÜBİTAK) - YAZICI Ali Nihat (EMO Merkez) - YEŞİL Hüseyin (EMO İstanbul Şube) - YÜCEL Behçet - YÜKSELER H.Nusret (Prof.Dr.-İTÜ) - YURTMAN Naşit (Oyak Renault Fab.Teknik Servis Bakım Müdürü) - YİĞİT Ali (EMO Ankara Şube) - ZÜMBÜL İsmail - III -

7 YAY-DİYAFRAM TİPİ İŞLETİCİLER İÇİN BİR DUYARLIK ÖLÇÜSÜ VE OPTİMUM PARAMETRE TOLERANSLARININ BULUNMASI CEVAT ERDAL İTÜ Elektrik-Elektronik Fakültesi ÖZET Bu bildiride, süreç kontrolunda kullanılan yay-diyafram tipi işleticilerin, transfer fonksiyonu modellerinden ve duyarlık tanımlarından yararlanarak, çalışma hatalarının en aza indirgenmesinde veya aynı modeli sağlayan farklı parametre değerlerine sahip cihazların karşılaştırılmalarında kullanılacak bir duyarlık ölçüsü tanımlanmış ve bu ölçü vasıtası ile, hata üst sınırını enaz yapan optimum parametre toleranslarının bulunuşu için bir yöntem önerilmiştir. 2. TEMEL KAVRAMLAR Kontrol basıncı 1. GİRİŞ Kontrol sistemlerinde işleticiler, bir sürece giren malzemeyi ya da enerji akışını ayarlamak ve kontrol vanasının konumunu değiştirmek amacıyla, kontrol ediciden gelen bir kontrol işaretini büyük bir kuvvet ya da momente dönüştürürler. İşleticiler çeşitli tiplerde olabilirlerse de, bunların içinde yay-diyafram tipi işleticilerin önemli bir yeri vardır. Bir süreç kontrol sistemi tasarımında, yay-diyafram tipi işletici ile birlikte bulunan kontrol vanası kullanılması düşünüldüğünde, böyle bir cihazın, kontrol çevriminin dinamik davranışı üzerindeki etkisinin giderilmesi veya enaza indirgenmesi gerekir [1-5]. Şekil 1. Yay-diyafram tipi işleticili kontrol vanası Şekil l'deki gibi bir yay-diyafram tipi işleticili kontrol vanasının davranışı aşağıdaki gibi bir diferansiyel denklemle ifade edilebilir [6,7]: Ap(t) =m d2 x dx, +kx (2.1) Burada * A: diyafram yüzeyi p(t): diyaframa uygulanan kontrol basıncı m: b: k: x(t): dır. hareketli parçaların kütlesi sürtüiune katsayısı yay sabiti vana göbeğinin konumu Yay-diyafram tipi işleticili kontrol vanasının transfer fonksiyonu, (2.1) bağıntısından, ilk koşullar sıfır varsayılarak, aşağıdaki gibi bulunabilir: (2.2)

8 Diyaframa uygulanan sabit bir P basıncı için, vana göbeğinin konumu, (2.2) bağıntısından, aşağıdaki gibi bulunabilir: x(t)=[r ı +r 2.e pt +r 3 e*].p (2.3) dr. (2.9) Burada p(pp,p: dır. ma transfer fonksiyonunun kutuplan Parametre vektörü Y=[mbAk]' de oluşan. A T Am Ab AA Ak v m b A k (2.4) (2,5) değişmesi nedeni ile vana göbeğinin konumundaki sapma 4 Ay. i-1 ' y, (2.6) biçiminde yazılabilir [8,9]. Burada S büyüklüğü, x, konum fonksiyonunun Y parametre vektörüne ilişkin duyarlık vektörüdür ve aşağıdaki gibi tanımlanır: S=S(x,Y)=[S ı S 2 S i S 4 ] 1 (2.7) şeklinde tanımlanmışlardır. Yay-diyafram tipi işletici için (2.3) ve (2.8) bağıntıları kullanılarak aşağıdaki duyarlıklar elde edilmiştir. [(2b 4-6mkb 2 )sindt 2m 2 A bsj4mk-b 2 2b(2mk-b 2 ). ^sı c o s Q t.± s i n Q t ) ] }. p 2 m -TZ< ( cos9r+ sine?)]} P 2ms]Amk'2b 2 2m (2.10) 2m 'sindt}-p (2.7)'deki herbir 5 (.,/ = 1...4, için (2.3) bağıntısından, duyarlık tanımları kullanılarak i = 1,...4 biçiminde bulunabilirler. Burada (2.8) 2 b4amk-b 2 2kb sın0r Amk-b 1 k tcosdt]}-p J Amk-b 1 Burada Q_^Amk-b 2 2m olarak tanımlanmıştır. 2m

9 3. DUYARLIK ÖLÇÜSÜ TANIMI VE OPTİMUM PARAMETRE TOLERANSLARININ BULUNMASI (2.6) ve (2.7) bağıntıları kullanılarak, üçgen eşitsizliği uyarınca [8,9], M-Pzt. (3.1) yazılabilir. Vana konumundaki sapmanın üst sınırı ya da bir başka deyişle toleransı için aşağıdaki bağıntı yazılabilir: o, ii. Devre parametrelerine ilişkin toleransların (3.2)'de tanımlanmış bulunan üst sınır t x "e katkılarının aynı olması istenirse, i 'inci parametreye ilişkin optimum tolerans f. 'nin değeri aşağıdaki sibi bulunabilir: t. ',= (3.6) Burada t^i'nci parametrenin toleransıdır ve f.> -^, i=l,...4 (3.3) olarak tanımlanmıştır. Duyarlık ölçüsü olarak Blostein'in tanımı aşağıdaki gibi bulunacaktır [10]: (3.4) 4. ÖRNEK Johnson Controls firmasının ürettiği VD-Serisi, PN16 ve PN40 tipi, yaydiyafram tipi işletici ile çalışan kontrol vanaları için (2.10) bağıntıları ile verilmiş bulunan duyarlıkların en üst değerleri aşağıdaki gibi bulunmuşlardır: 5j =0,645 S 2 =0,067 S 3 ~ =0,082 S 4 =9,87 (4.1) Vana göbeğinin konumundaki değişimin (3.1)'de tanımlanmış bulunan hata üst sınırından büyük olmaması için işletici parametrelerine ilişkin optimum tolerans değerleri (3.2) bağıntısından yararlanarak, aşağıdaki iki yol izlenerek, bulunabilirler: i. Devre parametrelerine ilişkin toleransların birbirlerine eşit olmaları istensin. Bu durumda i 'nci parametreye ilişkin optimum tolerans, f/nin değeri aşağıdaki gibi bulunabilir: (4. l)'deki duyarlıklar vasıtası ile (3.4)'de tanımlanmış bulunan duyarlık ölçüsü M =10,667 (4.2) olarak bulunmuştur. parametre değişimleri nedeni ile x(t), konum fonksiyonundaki değişimin en fazla t x =0,0l olması istenirse, optimum parametre toleranslarının almaları gereken değerler (3.5) ve (3.6) bağıntılarından aşağıdaki gibi bulunabilir: i. Toleransların eşit olmaları istenilirse: r.«%0,l, / =!,...4 (4.3)

10 ii. Toleransların, değişime katkılarının aynı olması istenilirse: 5. SONUÇ (4.4) (3.4)'de tanımlanmış bulunan duyarlık ölçüsü, yalnızca, vana göbeğinin konumunu belirleyen x(t) fonksiyonunun, işletici parametrelerine göre duyarlıkları cinsinden tanımlanmıştır. Bu duyarlıklar ise, (2.10) bağıntılarından görüldüğü gibi, işletici parametrelerinin fonksiyonudur. Bu nedenle x(t), konum fonksiyonunu gerçekleyen bir işleticinin duyarlığını iyileştirmede veya aynı x(t) fonksiyonunu gerçekleyen birden çok parametre vektörünün bulunması durumunda, bunlar içerisinde M,'yi en küçük yapan parametre değerleri seçilerek gerçekleme yapılır. Böylece, işleticinin ortam etkileri nedeni ile parametreleri değiştiğinde, oluşacak hatalar iyileştirilebilir. fi. KAYNAKLAR [1] HARRIOTT P., "Process Control", McGraw-Hill Book Conıp., [2] SILVA C.W., "Control Sensors and Actııators", Prentice-Hall Pub. Conıp., [3] CONSIDINE D.M., ROSS S.D., "Handbook of Applied Instrunıentation McGra\v-Hill Book Conıp., [4] CONSIDINE D.M., "Process Instruments and Controls Handbook", McGraw-Hill Book Comp., [5] SCHULER C.A., MCNAMEE W.L., "Industrial Electronics and Robotics", McGraw-HiIl Book Comp., [6] OGATA K., "Modern Control Engineering", Prentice-Hall International, Inc. USA., [7] BUCKLEY P.S., "Techniques of Process Control", John Wiley&Sons Inc., [8] ACAR C, "Duyarlık ve Tolerans Analizi" İ.T.Ü. Kütüphanesi, [9] ERDAL C, "Ölçme Düzenleri İçin Optimum Toleranslı Eleman Seçimi Sorunu ve Eleman Duyarlıklarının Bulunuşunda Bir Kolaylık", Doktora Tezi, İ.T.Ü., [10] BLOSTEINM.L./'SomeBoundOn Sensitivity in RLC Netvvorks", Proc. T' Allerton Conf. Circuit Syst. Theory, pp , ÖZGEÇMİŞ yılında Bergama'da doğdu. itü'de 1973'de Yük.Müh. 1987'de Doktor, 1989'da Yrd.Doç. oldu. Ölçme, sensör tekniği. süreç kontrolü, enstrünıantasyon, ve sistem teorisi konularında çalışmaktadır

11 KATI UZAYARAÇLARI İÇİN YÖNELİM DENETİMİ Yakup Ozkazanç Hacettepe Üniversitesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü Beytepe, Ankara Özet Bu çalışmada katı bir gövde olarak modellenebilecek uzayaraçlan için bir yönelim denetleci önerilmiştir. Uzayaracının yönelim kinematiği Euler parametreleri ile belirlenmiştir. Lyapunov kararlılık yöntemininden yararlanılarak uzayaracını verili bir yönelime iten bir denetleç geliştirilmiştir. Bu denetleç, açısal hız ve yönelim bilgilerini işleyen nonlinear, statik bir denetim kuralıdır ve uzayaracının geometrisinden bağımsız olarak tasarlanabilir. 1 GİRİŞ Uzayaraçlarının hareketleri iki temel hareketin bileşimi olarak düşünülebilir: uzayaracının yörüngesel hareketi ve uzayaracının kütle merkezine göre yönelimi (attitude). Uzayaraçlarının yörüngeleri, uzayaracının yakınındaki büyük göksel cisimlerin çekim etkisi göz önünde bulundurularak tasarlanmakta ve seyrek aralıklarla veya büyük yörüngesel sapmalar olduğunda, genellikle açık döngü yöntemlerle denetlenmektedir. Öte yandan, bir uzayaracının görevini eksiksiz yerine getirebilmesi için, genellikle yöneliminin de denetlenmesi gerekmektedir. Esnekliği ihmal edilebilir uzayaraçlan katı uzayaraçlan olarak anılmaktadır. Katı uzayaraçlarının yönelim dinamikleri ve yönelim denetimi çeşitli araştırmalara konu olmuşdur [2], [5], [6], [7]. Bu çalışma da yönelim denetimi problemine bir çözüm getirmektedir. Yer kısıtlaması nedeni ile, yaklaşımımızı diğerleri ile ayrıntılı olarak karşılaştırmadan, yalnızca önerilen yöntemin nasıl geliştirildiğini sunacağız. Bu bildiri şöyle yapılandırılmadır. 2. bölümde katı gövdelerin kinematiği Euler parametreleri ile tanımlanmış ve kinematik devinim denklemleri verilmişdir. Katı gövdelerin dinamiği kısaca 3. bölümde sunulmuştur. 4. bölümde yönelim denetimi problemi tanımlanmıştır. Bu problemin çözümünde sistemin enerjisi ile kinematik değişkenlerden oluşturulmuş özel bir Lyapunov fonksiyonu adayı kullanılmıştır. Bu fonksiyon 3x3 simetrik bir matris ve skaler bir katsayı ile parametrize edilmiştir. Asimptotik yönelim denetimi sağlayan denetim kuralı, bu Lyapunov fonksiyonu adayının verili bir yönelim için Lyapunov fonksiyonu olmasını sağlayacak şekilde parametrelerin belirlenmesi ile geliştirilmiştir. 2 KİNEMATİK Kütle merkezi sabit tutulan katı bir gövdenin deviniminin serbestlik derecesi üçtür. Birisi gövdede sabitlenmiş, diğeri ise eylemsiz uzaya göre sabit, merkezleri katı gövdenin kütle merkezinde, iki kartezyen koordinat sistemi düşünelim

12 Bu iki koordinat sisteminin eksenleri arasındaki açıların kosinüslerinden oluşmuş 3 x 3 matrisi Y ile gösterelim. Katı gövdenin yönelimi ile Y matrisleri arasında bire-bir bir ilişki vardır. Temel geometri bilgisine dayanarak, yukarıdaki şekilde oluşturulan Y matrislerinin ortogonal olduğu ve determinantlarının bir olduğu gösterilebilir. Bu özelliği taşıyan tüm 3 x 3 matrislerin oluşturduğu set bir manifold yapısına sahiptir ve 50(3) ile gösterilir. 50(3) = {Y e $t?,y T Y = I,det{Y) = 1} Bu manifoldun her bir noktası katı gövdenin bir yönelimine karşılık gelir ve katı bir gövdenin her yönelimi bu manifold üstünde bir noktaya karşılık gelir. Katı gövdeler için yönelim denetimi problemini tartışacağımız bu çalışmada, yönelim manifoldu 5O(3)'ü Euler parametreleri veya diğer ismi ile quaterniy onlar ile parametrize edeceğiz. Bu parametrizasyonu sunmadan önce. genellikle Enlerin adı ile anılan bir teorem sunuyoruz [3]. Teorem: 50(3) içinde yer alan hery elemanı a 3? 3,a r a = 1 ve <p S 1 olmak üzere Y = 1 + (1 cosd>)kk sinök olarak yazılabilir. Bu teoremin fiziksel anlamı; katı bir gövdeyi verili bir yönelimden diğer bir yönelime çevirmek için katı gövdeyi kütle merkezinden geçen bir eksen etrafında döndürmemizin yeterli olacağıdır [1]. Verilen bir Y 50(3) için Euler parametreleri ile tanımlanır [2]. görüleceği gibi e 6 e = asım \ 77 = cos(-) (1) (2) Buradan kolayca, 77 3î ve t T t + n 2 = 1 dir. Kısacası, (e, 7?) Ç S 3 olarak düşünülebilir. Ayrıca, eğer Y = 1 ise t = 0,7? = ±1 dir. Gövdeye göre açısal hızı IÜ Ç 3Ç 3 ile verilen katı bir gövdenin Euler parametreleri 1 = -(e x u> 77 = - - > şeklinde devinir [2]. 3 DİNAMİK (3) (4) Kütle merkezi sabit katı bir gövdenin dinamik denklemi = Iu x (5) ile verilir [1]. Bu denklem Euler serbest katı gövde denklemi diye bilinir. Eğer katı gövde üstüne etki eden kuvvetler var ise. bunların yarattığı buru (torque) denklemin sağ tarafına yazılır. Denklemde / ile gösterilen büyüklük, katı gövdenin eylemsizlik momenti matrisini gösteren 3x3 simetrik ve artı belgili (positive definite) bir matristir. 4 DENETİM Kinematik devinim denklemlerinin (3,4), katı gövdenin dinamiğini tanımlayan (5) ile birleştirilmesi bize aşağıdaki denetim sistemini verir: 'ü> = IüJ X U! + U t = -(e x ÜJ - (6) (7) (8) Burada, ilk denklemin sağ tarafında yer alan u, gövdenin üstüne etki eden net burudur. Yönelim denetimi probleminde

13 amaç u değişkenini u;. e. n değişkenlerinin uygun bir fonksiyonu alarak yazarak. lim e = 0. lim n = ±1 ( >o t :o koşulunu sağlamaktır. Böylece zakatı gövdenin yönelimi V = 1 ile gösterilen referans man sonsuza g giderken, yönelimine yaklaşacaktır. Katı gövdeye göre sabit olan referans sistemi gövde üstünde serbestçe seçilebileceği için de: gövdeyi herhangi bir yönelimden herhangi bir yönelime sürmek mümkün olacaktır. Biz. bu amacı gerçekleştirmek için Lyapunov kararlılık yönteminden yararlanacağız. Önce. dinamik sistemin devindiği manifold üzerinde miniması uj = 0. e = 0.7 = ±1 noktalarına karşılık gelen bir fonksiyon tasarlayacağız. Ardından da. bu fonksiyonu sistemin çözümleri boyunca azaltan bir u fonksiyonu yazacağız. Lyapunov fonksiyonu olarak kullanılabileceğini göstereceğimiz fonksiyon aşağıdaki yapıya sahip olsun: (9) Burada H katı gövdenin kinetik enerjisi olarak alınacaktır. Bu enerji H{UJ) = \^ :ıo) olarak verilir. L : S 3 3? fonksiyonunun ise L(e, rj) = JAe + af (11) şeklinde olduğunu düşüneceğiz. Burada..4 matrisi a\ > a* > «73 > 0 özdeğerlerine sahip 3 x 3. simetrik ve artı belgili olarak alınacaktır. c S parametresi ise a 3 > c > 0 koşulunu sağlayacak şekilde seçilecektir. Lemma:.4 i'e c yukarıda belirtildiği gibi seçilmiş olsun. A matrisinin a t özdeğerine karşılık gelen ve normalize edilmiş özvektörünü e, ile gösterelim. Bu koşullar altında. L fonksiyonu 3Î 3 x S 3 üzerinde sekiz noktada ekstremuma erişir. Bu sekiz nokta aşağıdaki gibidir: en).e.;;) t. T]) = (O.± eı,0) = (0,± t2,0) = (O.± C3,0) = (0.0. ±1). (12) (13) (14) (15) Yukarıdaki lemmanın iddia ettiği sonuç basit bir kısıtlı eniyileştirme problemi çözülerek elde edilebilir ve yer kısıtlığı nedeni ile burada verilmeyecektir. Bu sekiz noktada L fonksiyonunu hesaplarsak. (w. e. n) = (0.0. ±1) L = a, L = c olduğu görülür. Buradan (uj.e.rj) = (0.0. ±1) noktalarının küresel minima olduğu sonucuna ulaşılır. Diğer altı nokta ise L fonksiyonunun eğer noktalarıdır. Burada dikkat çekmemiz gereken nokta L fonksiyonunun küresel mini ması olan iki noktanın da (e. n) = (0. ±1) referans yönelimine (Y 1) karşılık gelmesidir. Bu şekilde oluşturduğumuz L fonksiyonunu (6). (7), (S) sisteminin çözümleri üstünden türevlersek: T Tl, / -T 1 1 I \ 1 \\ \ L = wj [u + (e A + T](A cl))e) elde ederiz. Bu eşitlikde, kontrol burusu u. M artı belgili 3 x 3 bir matris olmak üzere u = -le T. n(a- cl))e- Mu şeklinde seçilir ise dl - T U. İÜ ~ ""- } U elde edilir. Ve. eğer k > 0 M matrisinin en küçük özdeğeri ise dl_ İt <

14 olduğu görülür. Bu aşamada (15) ile verilen noktaların L fonksiyonunun miniması olduğu. (12,13,14) noktalarının ise L fonksiyonunun eğer noktalan olduğunu hatırlarsak; L fonksiyonunun bir Lyapunov fonksiyonu olarak kullanılması ile aşağıdaki teoremi elde ederiz. Teorem (6,7.8) ile verilen katı uzayaraçlan için yönelim sisteminde, kontrol burusu u. A ve M artı belgili ve ^mm(^) > c > 0 olmak üzere u = -{ şekhnde seçilirse: (15) ile verilen iki nokta kapalı döngü sistemin kararlı denge noktaları olurlar. Yine aynı kontrol girdisi ( ) noktalarını kapalı döngü sistemin karai'sız denge noktaları kılar. Bu sonuç yönelim denetimi problemini tam olarak çözmemekde. yalnızca önerilen denetim kuralının kullanılması durumunda; referans yönelimine karşılık gelen denge noktasının kararlılığını göstermektedir. Kısacası, kararlılık sonucu yereldir. Öte yandan, önerilen kontrol kuralı küresel bazı özellikler de taşımaktadır. Bunun için, önce ispatını vermeden geçeceğimiz bir lemma sunuyoruz. Lemma *J = 0 olarak kısıtlanırsa: (6. 7.8) ile verilen dinamik sistemin en büyük değişmez seti (12.13,L{.15) noktalarına karşılık gelir. Lyapunov fonksiyonunun türevinin L ^ T Mu; olduğu. M matrisinin art il belgililiği ve L fonksiyonunun alttan sınırlı olduğu hatırlanırsa; zaman sonsuza giderken uzayaracının dönüşünün duracağı (o. 1 = 0) ortaya çıkar. Yukarıdaki lemma bize sistemin sonsuzdaki durumunun çeşitliliğini vermektedir. Bu lemmayı ve La Salle değişmez set teoremini [4] kullanarak aşağıdaki teoremi elde ederiz. Teorem (6.7.8) ile verilen katı uzayaracı yönelim dinamiği sistemine önerilen u denetimi uygulanırsa, sistemin çözümlen asımptotık olarak (12.13A4AÖ) ile verilen sete yaklaşır. Sistemin asimptotik olarak erişebileceği bu sekiz noktadan yalnızca referans yönelimine karşılık gelen ikisinin kararlı olduğu hatırlanırsa; önerilen denetim kuralının yönetim denetimi problemi için etkili bir çözüm olduğu ortaya çıkar. Kaynaklar [1] H. Goldstein. Classical Mechanics. Addison-VVesley, 2. baskı [2] P.C. Hughes. Spacecraft Attitude Dynamics. John VViley and Sons, [3] J.M. McCarthy. An Introduction to Theoretical Kinematics. MİT Press, [4] M. Vidyasagar. Nonlinear System Analysıs. Prentice-Hall [5] J.T.Y. Wen. K. Kreutz-Delgado. The Attitude Control Problem. IEEE AC Trans.. 36( 10): , October [6] B. VVie. P.M. Barba. Quaternion feedback for spacecraft large angle rnaneuvers../. Guidance, Control and Dynamics, S[3]: [7] B. VVie. H. VVeiss. A. Arapostathis. Quaternion feedback regülatör for spacecraft eigenaxis rotations. J. Guidance. Control and Dynamics. 12(3): Yakup Özkazanç elektrik ve elektronik mühendisliği alanındaki lisans ve yüksek lisans derecelerini 1986 ve 1988 yıllarında Orta Doğu Teknik Üniversitesinden aldı. Doktora çalışmalarını. A.B.D.'de, 1994 yılında Maryland Öniversitesi"nde tamamladıktan sonra, Hacettepe Üniversitesi. Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü'nde çalışmaya başladı, ilgi alanları kontrol teorisi, nonlinear sistemler ve mekanikdir

15 BAŞLANGIÇ BELİRSİZLİKTİ VE BİLİNMEYEN GİRİŞLİ SİSTEMLERDE MİNİMAKS KONTROL V. Dzhafarov ve A. Karamancıoğlu Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Osmangazi Üniversitesi Bademlik Eskişehir ÖZET Başlangıç durumu belirsizlikleri ve bozucu girişlerin bulunduğu doğrusal durum uzayı ile modellenmiş sistemler için performans garantisi veren kontrol girişleri üretilmiştir. 1. GİRİŞ Bir dinamik sistem modeli zamanla değişen doğrusal diferansiyel denklem ile verilmiştir: x{t) = x(t 0 ) = x 0 GS, te[t o,tf}, (1) burada x(t) E R n, u{t) E P C R p, ve a{t) 6 Q C R 9 sırasıyla durum, kontrol giriş, ve bilinmeyen giriş (disturbance) vektörleridir. Sözü edilen P ve Q kompakt kümelerdir. Zamanla değişen A(t), B(t), ve C(t) uyumlu boyutlu sürekli matris fonksiyonlarıdır. Başlangıç durum vektörü x 0 bilinmemesine rağmen bu vektörün içinde bulunduğu kompakt küme S C R n bilinmektedir. Sistemin maliyet fonksiyonu J J(u(.),x o,a(.)):=h(x(t f )) (2) olarak tanımlanmıştır. Burada x(tf) (1) sisteminin çözümünün t = tf anındaki değeridir. Maliyeti belirleyen h(x) : R n > R konveks bir fonksiyon olarak seçilmiştir. Fonksiyon u(-) eğer t 6 [*o, */] ye göre ölçülebilmekte ve aldığı değerler P kümesinden ise kabul edilebilir kontrol olarak adlandırılacaktır. Kabul edilebilir kontrol fonksiyonları kümesini U ile göstereceğiz. Bilinmeyen girişlerin de ölçülebilir olduğunu ve Q kümesinden değerler aldığını varsayarak bu fonksiyonlar kümesini de V ile göstereceğiz. Şimdi makalenin temel problemini verebiliriz: Temel Problem min sup J(u(-),x Q,a(-)) = sup J(x(uX),x o,a(-))=:j (3) eşitliğini sağlayan garantileyen optimal kontrolü 0^) 6 U fonksiyonunu bulunuz. J değeri garantilenmiş optimal maliyet o- larak adlandırılır. Yukarda (3) ile tanımlanan problem bilinmeyen girişin ve başlangıç belirsizliğinin varlığı dolayısıyla geleneksel optimizasyon metodlan ile çözülemez. Biz bu problemi eşdeğer bir şekle dönüştürerek geleneksel optimizasyon metodları ile çözülebilir hale getirip çözüm algoritmasını vereceğiz. Schmitendorf /I/ de başlangıç belirsiz-.likli sistemler için çeşitli teorem ve algoritmalar sunmuştur. Ancs bu algoritmalar ciddi gerçekleştirme problemleri ile karşı karşıyadır. 2. ÖNEMLİ SONUÇLAR Problem çözümü için önereceğimiz yolun türetiminde eşlenik konveks fonksiyon önemli rol oynamaktadır. Dolayısıyla önce eşlenik konveks fonksiyonun tanımını vermemiz uygun olacaktır. Bir h(x) fonksiyonu için eşlenik konveks fonksiyon h*(l) aşağıdaki gibi verilir: = sup(</,x> - (4)

16 burada <.,. > skaler çarpmayı göstermektedir. Aşağıdaki gerçekler konveks analizden bilinmektedir /2/: 1. Eğer h(-) konveks ise her bir z G R n için ve t max, t)c{t)a > dt (7) min < l,$(t f,t)b(t)u> = = snp(<x,l> -h' sağlanır; burada L := {I G R n : h*(l) < -f-oo} olarak tanımlanmıştır. <l,$(t f,t)b(t)u'(t,l)> (8) koşulundan bulunan u'(t, 1) (6) nin sol tarafına minimum verir. D Teorem 1 Temel problem eşdeğer olarak 2. Eğer h(x) Lipschitz koşullarını sağlamakta şöyl e yazılabilirise L kümesi sınırlıdır. Diğer bir ifade ile (x(t,u(.))) = J(x(t u f f,u (.))) =: J 1)- h(x 2 ) < \\\x ı -x 2 \\,Vx\x 2 > L sınırlıdır. R n ) matrisini x(i) = A{t)x{t) sisteminin durum geçiş matrisi olarak tanımlayalım. Aşağıdaki diğer tanımlar makalenin esas sonucunun daha kolay anlaşılır bir şekilde sunulmasını sağlayacaktır. Bu tanımlar tpı(î) := max < /, $(*/, to)x o >, := / Jto max < I, $(*/, T)C(T)O. > dr, (9) eşitliğini sağlayan bir u (t) U bulunuz.d Maliyet fonksiyonu J yi hesaplamak mümkün olduğundan (9) ile verilen minimizasyon problemi geleneksel optimizasyon yöntemleri ile çözülebilir. Şimdi Lemma 2 ve daha sonrasında kullanacağımız denge çifti, minimaks vektörü ve maksimin vektörünü tanımlayalım. Boş olmayan XveY kümelerinden gerçek sayılara bir f(x, y) fonksiyonu tanımlayalım. 0- yun teorik terminolojide f(x o,y)<f(x o,yo)<f(x,y o ) (10) ve J(x) := olarak verilsin. Görülebileceği gibi J = ( <p)* olmaktadır. Bunlara ek olarak i(i,u(-)) ile x(t) =$(t f,t)b(t)u(t) x(t 0 ) = 0 sisteminin çözümünü gösterelim. Lemma 1 Aşağıdaki eşitlikler doğrudur: min tf <l,${t f,t)b(t)u(t)>dt (5) = [ t} min < I,$(t f,t)b(t)u>dt (6) max Jt 0 " p I' ' < l,$(t o,t)c(t)a(t) > dt = Jto eşitsizliğini tüm x 6 X ve y 6 Y sağlayan (zo,2/o) 6 X x Y bir denge çifti olarak adlandırılır. (10) eşitsizlikleri aşağıdaki şekilde de ifade edilebilir: minmax/(x,y) = maxmin/(x,if) (11) Burada dış minimum ve dış maksimum veren çift denge çiftidir. Eşitliğin sol tarafını minimize eden x 0 ve sağ tarafını maksimize eden j/o sırasıyla minimaks ve maksimin vektörler olarak adlandırılır. Lemma 2 Eş. (10) (veya eşdeğer olarak (11)) sağlansın. O zaman 1) Eğer y 0 herhangi bir maksimin vektörü ise x 0 minimaks vektörü #(x) = f(x,yo) fonksiyonuna minimum veren vektörlerden biridir. 2) Eğer ç{x) m minimumu tek ise bu minimumu veren vektör minimaks vektördür. G

17 Minimaks vektör XQ in g(x) i minimize ettiği (10) den açıkça görülmektedir. Aşağıdaki örnek XQ dışında da minimum veren vektörler olabileceğini göstermektedir. Örnek X = Y = [0,1] olsun ve / fonksiyonu rr )- I 0<x<y<l J{x,y)- I x _ y O < J / < X < 1 ile tanımlansın. Görüleceği gibi min max /(x, y) = min x = 0 ve XQ = 0 tek minimaks eleman olmaktadır. Benzer şekilde maxmin/(x,y) = 0 = maxo = 0 ver xex J^ '* ; yey ve herbir y 0 G [0,1] maksimin eleman olmaktadır. EğerT/O = 0.5 seçecek olursak _ f 0 0 < x < 0.5 9İ X ) ~ <x < 1 olur ve minimize eden xler kümesi {x : 0 < x < 0.5} olarak bulunur. Bunlardan yalnızca x = 0 minimaks vektörüdür. Aşağıda iki sınıf durum için bu problem çözümünün gelebileceği basitliği elde edeceğiz. Teorem 2 ıp(-) fonksiyonu konkav olduğunda garantilenmiş optimal maliyet J = Lemma 2 ve Teorem 2 den aşağıdaki sonuç elde edilir: Teorem 3 <^(-) konkav olsun ve (13) koşulundan bulunan u (-) tek olsun.bu durumda u (-) minimaks vektördür, diğer bir ifade ile garantileyen optimal kontroldür. ıp(-) fonksiyonunun konveks olduğu durumla ilgili olarak V kümesini V:={p = (pı,,pk) : > = 1 ve Pi > 0} ı=l olarak tanımlayalım. Teorem 4 </?( ) fonksiyonu konveks ve L kümesi poligon (yani L = co{lı,...,l k }) olsun 1. O zaman E / t/ min< ~l,$(t f,t)b(t)u> dt] (14) Jt 0 «ep J olur. Eğer u (-) garantileyen optimal kontrol ise min< 1, $(t h t)b(t)u > = sağlanır. Burada 1 = T%PIU ve 1 = EıP^h olup p = (Pı,---,Pk) (14) ifadesinin sağ tarafını maksimum yapan vektördür. O Örnek incelenecek sistem / ' min < /, ${t s,t)b{t)u> dt] (12) ifadesinden hesaplanır. (3) ü çözen garantileyen optimal kontrol u (-) min< l,$(t f,t)b(t)u>= <l,$(t f,t)b(t)u (t)> (13) eşitliğini sağlar, burada / (12) ifadesine maksimum veren vektördür. X2 = U2 + OL (16) olarak verilmiştir. Burada P = {(uı,u 2 ) : ^ı + «İ < 2}, Ç = {a : \a\ < 1} ve J(x(l)) = xı(l) + X2(l) olup başlangıç durumları Xı(0) := x ve x 2 (0) := Xj kesin olarak bilinmemektedir ancak [0,1] aralığında yeraldıkları bilinmektedir. Fonksiyon ı co notasyonu konveks hull u göstermektedir

18 uzayları U ve V ilk bölümdeki gibi tanımlansın, olur. Şimdi 4. teoremi de kullanarak inceleme konusu problem min max J(x(l)) (17) J = 1 -f max min {pı(<fiı( 1) 1/2+ p e r u (^u hesaplanmasıdır. Şimdi h(x) : = xj + z 2 olduğunu dikkate alarak eşlenik konveks fonksiyon 1 +oo diğer (/ı,/ 2 ) olarak hesaplanabilir. Buradan L = {(h, h) ' \h\ < 1,^2 = 1} olduğu görülür. Sistem (16) için durum geçiş matrisi 1 t -T 0 1 olarak hesaplanabilir.biraz işlem sonunda xre;o,ı] max (/ı l)x 2, 'fim ve ilgilenilen tanım bölgesinde /ı*(/) = 0 oluşundan dolayı olarak bulunur. Bu bilgileri kullanarak maliyet fonksiyonu J = min max{<p ı (l ı ) + h/ I -t 0 1 dt>} olarak ifade edilebilir. J nin / ye göre konveks oluşundan ve sabit dışarı alınabileceğinden J = Jo min max elde edebiliriz, ifadelerin düzenlenmesi ve biraz işlem sonucu kontrol girişi -2(2-0/ V 'l+(2-0 2 olarak bulunur. KAYNAKLAR [1] W. E. Schmitencorf, "Minmax control of systems \vith uncertainty in the initial state and in the state equations :!, IEEE Trans. Automat. Control, sf Haziran [2] R. T. Rockafellar, Convtz Analysis, Princeton, i V. Dzhafarov (Caferov) 1955 te Aserbeycan'da doğdu te Baku Devlet Univ. Matematik Bölümünü bitirdi deussr Academy of Science da doktora çalışmasını tamamladı. Halen Osmangazi Univ. Elk.-Elektronik Müh. Böl.de öğretim üyesidir, i A. Karamancıoğlu 1963!te Kayseri'de doğdu i te Hacettepe Univ. Elk.- Elektronik Müh. Bölümünü birincilikle bitirdi ; de Georgia Institute of Technology'de Master 1991 de Universityof Texas at Arlington'da doktora eğitimini tamamladı. Halen Osmangazi Üniv. Elk.-Elektronik Müh. Böl.de öğretim üyesidir

19 ARALIK SİSTEMLERİNİN FREKANS TEPKİSİNİN HESAPLANMASI A. KARAMANCIOĞLU, V. DZHAFAROV, C. ÖZDEMİR ve G. DURMAZ Osmangazı Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü Bademlik/ESKiŞEHiR ÖZET Doğrusal aralık sistemlerinin PID geri besleme altında belirli bir frekansta sinusoidal girdilere verdiği tepkinin kompleks düzlemde işgal ettiği bölgenin sınırlarını bulan İZİ de geliştirdiğimiz algoritma PASCAL dilinde gerçeklenmektedir. Bu çalışmada co^ sabit frekansında Şekil 1 deki geri beslemeli sistemin frekans tepkisi olan I C(j(o n )X(Jco n ) + XJco n ), - o.l,...nı.y = «(2) kümesini bulan bir bilgisayar programı geliştirilmiştir. 1. GİRİŞ Bir fiziksel sistemin matematik modelinin çıkartılması sırasında yapılan ihmallerin ortaya çıkardığı hatalar kontrol sistemi analiz ve tasarımına parametrik belirsizlikler ve modellenmemiş dinamik özellikler eklenerek giderilir. Parametrik belirsizlik, sistem transfer fonksiyonu pay ve payda polinomlan katsayılarında belirsizlik olarak ortaya çıkar. Bu durumda klasik kontrol tasarım ve analiz yöntemlerinin uygulanması güçleşir. Çünkü belirsizlikten dolayı artık üzerinde çalışılması gereken bir tek transfer fonksiyonu yerine birçok transfer fonksiyonundan oluşan transfer fonksiyonları ailesi vardır. Nyquist, Bode ve Nichols tarafından geliştirilen klasik kontrol frekans tepkisi metodları belirsiz sistemlerde transfer fonksiyonları ailesi söz konusu olduğundan çok can sıkıcıdır. Çünkü herbir frekans değeri için transfer fonksiyonları ailesinin herbir elemanı farklı bir değer alacaktır. Yani belirsizlikten dolayı sabit bir frekansta bir tek değer yerine birçok değer elde edilecektir. Bu çalışmada ele alınan fiziksel sistem transfer fonksiyonu, G(s): = D(s) (1) şeklinde verilip herbir katsayı, a t <a<a~ ı' = w b <b <b' j = A7 olacak şekilde parametrik belirsizlik içermektedir. Dolayısıyla G(s) bir transfer fonksiyonları ailesidir ve aralık sistemi olarak adlandırılır. Şekil 1: Geri beslemeli kontrol sistemi Parametrik belirsizlik içeren sistemlerin analizi Kharitonov teoremi İM ile hız kazanmıştır. Kharitonov, aralık polinomları diye adlandırılan, katsayıları tam olarak bilinmeyen; fakat herbir katsayının değişim aralığı bilinen polinomların kararlı olabilmesi için uygun olarak seçilmiş dört adet polinomun kararlı olmasının gerek ve yeter koşul olduğunu göstermiştir. Daha sonra Kharitonov teoreminin kontrol mühendisliği alanında uygulamaları görülmeye başlamıştır. Doğru orantılı denetleyici ve birinci dereceden denetleyici için sistemin kararlılık koşulları 121 ve İZİ çalışmalarında belirlenmiştir. Dolayısıyla belirsizlik içeren sistemi geri besleme altında kararlı yapan denetleyici tasarımları bu çalışmalardan yararlanılarak yapılabilir. Parametrik belirsizlik içeren sistemlerin frekans tepkisinin elde edilmesine ilişkin çalışmalarda Bailey vd. (/4/ ve /5/) kontrol sistemi kapalı döngü transfer fonksiyonu açısı alt ve üst sınırları arasında belirli sayıda açı alarak bu açılarda kapalı döngü transfer fonksiyonu genliğinin maksimum ve minimum değerlerini hesaplamışlar ve böylece sistem frekans tepkisinin sınırlarını bulmuşlardır. Diğer bir çalışmada 16/ sistem transfer fonksiyonu pay ve paydası birinci ve ikinci dereceden polinomların çarpımı olarak ifade edilmiştir. Bu çarpanlardan herbiri için frekans tepkisi bulunmuş ve bunlardan yararlanarak sistem tepkisi elde edilmiştir. Başka bir çalışmada ise 171, sistem transfer fonksiyonları ailesinin <y D frekansındaki tepkisi, / belirsiz katsayı sayısı olmak üzere, /-2'" 1 doğru parçasının kompleks düzleme haritalan

20 ması yoluyla bulunmuştur. Açıkça görüldüğü gibi belirsiz katsayıların sayısı arttıkça haritalanacak doğru parçası sayısı da artmaktadır. Bu çalışmada ise diğer çalışmalardan farklı olarak /8/ de geliştirilen yöntem kullanılmıştır. Bu yöntem ile Eş. (2) te verilen küme en çok 32 doğru parçasının görüntüsü ile elde edilmektedir. Bilgisayara uygulanması kolay olan 18/ de geliştirdiğimiz algoritma PASCAL dilinde kodlanarak gerçekleştirilmiştir. 2. PROGRAM GELİŞTİRME Geri beslemeli bir kontrol sisteminin kalıcı durum frekans tepkisinden söz edebilmek için kapalı döngü sistemin kararlı olması gerekir. Çünkü ancak kararlı sistemlerde geçici tepkiler sönümlenir ve sabit genlikti bir sinüsoidal girdiye karşılık sistem çıkışında sabit genlikti sinüsoidal elde edilir. Bunun için programda sistem frekans tepkisini incelemeye başlamadan önce açık ve kapalı döngü sistemin kararlılığı 121 ve İZİ de geliştirilen yöntemlerle incelenmektedir. Eğer kapalı döngü sistemi kararlı ise 181 de geliştirilen algoritma adım adım uygulanarak sistem frekans tepkisi istenilen frekansta öncelikle ekrana çizilmekte ve daha sonra istenirse bir yazıcıdan alınabilmektedir Program Girdileri Programa öncelikle aralık sistemi pay polinomu derecesi ve payda polinomu derecesi girdi olarak verilmektedir. Buna göre program, Eş. (1) deki aralık sistemini oluşturmak için pay ve payda polinomlarının herbir katsayısının değişim aralıklarının alt ve üst sınırını sormaktadır. Bundan sonra denetleyici derecesi ve katsayıları kullanıcı tarafından girilmekte ve program C(s) denetleyicisi transfer fonksiyonunu oluşturmaktadır. Programa verilen diğer bir girdi ise sistemin tepkisinin inceleneceği frekans değeridir Sistem Kararlılığının incelenmesi Program, pay ve payda polinomları katsayılarının alt ve üst sınırlarını kullanarak pay polinomu için N,(s), i= 1,2,3,4, payda polinomu için D ı (s), *= 1.2.3,4 Kharitonov polinomlarını (/3/) oluşturmaktadır. Program, bu polinom-ların herbirini ayrı ayrı pay ve payda polinomu olarak ele alıp bütün kombinasyonları ile 16 adet G tj (s) Kharitonov sistemini oluşturmaktadır. Bu sistemlerin önce ms), / = 1,2,3,4 polinomları-nın Routh kriterine göre kararlı olup olmadığı incelenmektedir. Eğer bu dört polinom karartı ise G(s) aralık sistemi karartıdır İM. Program kullanıcıya yararlı olabilecek bu bilgiyi sunduktan sonra kapalı döngü sistemin kararlılığını incelemektedir. Kapalı döngü transfer fonk-siyonları C(s)N,(s) C(s)N,(s)- 1,7 = 1,2,3,4 her (/,_/ ) için karartı ise kapalı döngü sistemi karartıdır İZİ. Programda bu kapalı döngü sistemlerin 16 adet karakteristik polinomu oluşturulmakta ve herdir polinom için Routh tablosu kurularak herbir polinomun karartı olup olmadığı incelenmektedir. Sonuç kullanıcıya bildirilmekte ve eğer polinomlarm hepsi karartı ise kontrol sistemi karartı olduğundan frekans tepkisini bulmak üzere program diğer aşamaya geçmektedir Sistem Frekans Tepkisinin Bulunması Program, aralık sisteminin frekans tepkisini bulmak üzere 181 de geliştirilen algoritmanın adımlarını sırayla uygulamaya başlar Aralık sistemi pay ve payda dikdörtgen bölgelerinin oluşturulması Bir P(s) = a n s" +a n _ I s"~ ı +---+a 0, aralık polinomu, katsayıları a~ <a n <a~,...,ağ <a 0 <al aralıklarında değişirken sabit bir co 0 frekansında s = jo) 0 dönüşümü uygulanınca kompleks düzlemde kenarları eksenlere paralel bir dikdörtgen bölge işgal eder (Bknz. örneğin İZİ). Benzer şekilde, Eş. (1) ile verilen bir aralık sistemi pay ve payda aralık polinomları da kompleks düzlemde bir <o 0 frekansında birer dikdörtgen bölgede değer alırlar. Program, co 0 frekansında tepkisi bulunacak aralık sisteminin pay ve payda polinomlarının bu frekansta kompleks düzlemde işgal ettiği dikdörtgen bölgeleri bulur ve ekrana çizer. Pay ve payda polinomları dikdörtgen bölgeleri sırasıyla, R D (,eo a )= z_ ' \ \\_ şeklinde oluşmaktadır. Eş. (2) de verilen aralık sistemi frekans tepkisi kümesi bu durumda B = c:, r, er s, : 2 er D, c = sabit (3) şeklinde de yazılır. Bu kümenin sınırlan, dikdörtgen bölgelerkı sınırlarını oluşturan katsayı

21 degerlerindeki frekans tepkisinin bir alt kümesidir /8/. Yani ez, ez, +; z, e<3? v, z, ecr D, c-sabit} (4) dir ve burada â sınırları göstermektedir. Eş (4) deki kümeyi oluşturmak için R v ve R D dikdörtgenleri kenarları üzerinden değerler alınmakta ve bu değerler cz ] /(cz i + z~) dönüşümünde yerine koyulmaktadır. Bu kenarlardan belirli kurallara göre bazılarını eleyerek ve pay ve payda bölgeleri kenarları arasından uygun çiftler seçilerek frekans tepkisi sınırlarını içeren küme daha da küçültülebilir Faydalı kenarların belirlenmesi Eğer bir dikdörtgen bölge kenarlarından biri veya birkaçı eksenlerden birini kesiyorsa o kenar bundan sonraki incelemelerde iki farklı kenar olarak ele alınır. Eğer kenarlardan biri eksenlerden biri ile çakışıyorsa o kenar sistem frekans tepkisi sınırlarını oluşturabilecek bir kenar değildir. Program bu kurallara göre dikdörtgen bölgelerin sınırlarını inceleyerek sistem frekans tepkisi sınırlarını oluşturabilecek faydalı kenarları tespit eder. Pay dikdörtgeni kenarlarından herbirinin hangi payda dikdörtgeni kenarı ile işleme gireceği, yani faydalı kenar çiftleri, basit bir algoritma ile belirlenir: Biri pay diğeri payda dikdörtgeni kenarı üzerinde olan z x ve r, noktaları seçelim. Bu noktalara önce genlik testi uygulanır: Eğer Az x er w ve Az 2 er D şartlarını sağlayan bir A gerçek sayısı varsa z x ve z 2 nin üzerinde bulundukları kenarlar faydalı kenar çifti değildir. Bu kenarlar elenebilir. Bu testte A sayısının varlığını araştırmak için uygun büyüklükte bir A için A = \ + A ve A = \-A yi denemek yeterli olacaktır. Programda, A sayısı dikdörtgen boyutlarının fonksiyonu olarak hesaplanmaktadır. z x ve z 2 nin üzerinde bulunduğu kenar elenmemiş ise açı testi uygulanır: Eğer (z u z,) çifti için z x e jd er y ve z 2 e' 9 er D şartlarını sağlayan bir d değeri varsa ~, ve z 2 nin üzerinde bulundukları kenarlar faydalı kenar çifti değildir. Bu kenarlar elenebilir. 0 açısının varlığını test için uygun büyüklükte bir t// için 9--y/ ve d- y/ yi denemek yeterli olacaktır, y/ açısı programda dikdörtgenlerin köşe noktalarının açıları arasındaki farkın büyüklüğünün fonksiyonu olarak hesaplanmaktadır. Genlik ve açı testleri sonucunda elenmeyen kenar çiftleri faydalı kenar çiftleri kümesinin elemanı olurlar. Bu testler biri pay diğeri payda kenarı olmak üzere bütün kenar çiftleri üzerinde uygulandığında faydalı kenar çiftleri kümesinin tamamı elde edilmiş olur Faydalı kenar çiftleri üzerinde alınan değerlere dönüşüm uygulanması Bulunan herbir faydalı kenar çifti için şu işlemler uygulanır: z, değeri olarak pay faydalı kenarı uç noktalarından biri, yani z, = z,~ alınarak, z, değeri olarak da payda faydalı kenarı üzerinden iki uç nokta {z,,z 2 ) ve bir iç nokta (z?) değerleri sırasıyla alınarak cz ] /(cz ı +z 2 ) dönüşümü uygulanır. Böylelikle bu üç noktadan geçen, sistem frekans tepkisi sınırlarından birini oluşturabilecek bir yay veya doğru bulunur. Pay faydalı kenarı diğer uç noktasını, yani z, = z," değerini gene aynı payda faydalı kenarı üzerindeki üç nokta (z^^,^) ile sırayla dönüşüme uygulayarak başka bir sınır olabilecek kenar daha bulunur. Aynı işlemler aynı kenarlarla payda faydalı kenarı uç noktaları ve pay faydalı kenarı üzerinde alınan üç nokta ile yapılarak sınır olabilecek iki yay yada doğru parçası daha bulunur. Yukarıdaki işlemler bütün faydalı kenar çiftleri için tekrarlanarak herbir kenar çiftinden dört adet frekans tepkisi sınırı olabilecek doğru ya da yay elde edilir. Bu doğru ve yaylar çizildiğinde dışta kalanlar sistem frekans tepkisinin sınırlarını verir 181. Eğer faydalı kenarlardan birinin uç noktası eksenlerden birinin üzerinde ise o noktayı diğer kenarın üç noktası ile dönüşüme sokmaya gerek yoktur. Bu durumda bir kenar çiftinden elde edilecek doğru ya da yay sayısı üçe düşer Program Çalışmasına Bir Örnek Program çalışmasına örnek olarak s 4 + b 3 s 3 +b 2 s 2 +b x s+b 0 şeklinde verilen bir uçak transfer fonksiyonunu İZİ alalım. Burada, 54 < a, < 74, 90<a 0 <166, 2.8<6 3 <4.6, 50.4<A,<80.8, 30.1<6, <33.9, ve -0.1< 0 <0.1 olarak verilmiştir. Ayrıca uçağı kararlı yapan denetleyici C(s) = ^ olarak aynı kaynakta bulunmuştur. Bu sistemin w = 3 rad/sn deki frekans tepkisini bulalım. Program bu verilere göre birim geri besleme altında sistemin kararlı olup olmadığını inceler ve sistem kararlıdır mesajını verir. Daha sonra pay ve payda aralık polinomlarının verilen frekansta

22 kompleks düzlemde işgal ettikleri bölgeler çizilir (Şekil 2). 0.2 r [8] A. Karamancıoğlu, V. Dzhafarov, C. özdemir, "Frequency response of PID-controlled linear interval systems," Int. J. Control, yayın için gönderildi. [9] C. Özdemir, "Aralık sistemlerinin frekans tepkisinin hesaplanması," Doktora tezi, Osmangazi Ün. Fen Bil. Enst., 1995 A. KARAMANCIOĞLU 1963 te Kayseri'de doğdu te Hacettepe Üniv. Elektrik Elektronik Müh. Bölümünü birincilikle bitirdi de Georgia Institute of Technology'de Master, 1991 de University of Texas at Ariington'da doktora eğitimini tamamladı. Halen Osmangazi Üniv. Elkt. Elektronik Müh. Bölümünde öğretim üyesidir. Şekil 2 : Örnek program çıktısı KAYNAKLAR [1] V. L. Kharitonov, "Asymptotic stability of an equilibrium position of a family of systems of linear differential equations," Differential Equations, vol. 14, pp ,1979. [2] B. K. Ghosh, "Some new results on the simultaneous stabilizability of a family of single input, single output systems," Syst. Contr. Lett., vol. 6, pp ,1985. [3] B. R. Barmish, V. Hollot, F. J. Kraus ve R. Tempo, "Extreme point results for robust stabilization of interval plants with first order compensators," IEEE Trans. Automat. Contr, vol. 37, pp , [4] F. N. Bailey, D. Panzer, and G. Gu, "Two algorithms for frequency domain design of robust control systems," Int. J. Control, vol. 48, pp , [5] F. N. Bailey, and C. H. Hui, "A fast algorithm for computing parametric rational functions," IEEE Trans. Automat. Cotr, pp , [6] P. Gutman, C. Baril, and L Neumann, "An algorithm for computing value sets of uncertain transfer functions in factored real form," IEEE Trans. Automat. Contr, vol. 39, pp , [7] M. Fu, "Computing the frequency response of linear systems with parametric perturbation," Syst. Contr. Lett., vol. 5, pp , V. DZHAFAROV (CAFE- ROV) 1955 te Azerbeycan'da doğdu te Baku Devlet Üniversitesi Matematik Bölümünü bitirdi de USSR Academy of Science'da doktora çalışmasını tamamladı. Halen Osmangazi Üniv. Elkt. Elektronik Müh. Bölümünde öğretim üyesidir. C. ÖZDEMİR 1966 da Eskişehir'de doğdu de Anadolu Üniv. Elkt. Elektronik Müh. Bölümünü birincilikle bitirdi da ENSICA/Fransa'dan Havacılıkta Bakım Onarım dalında ve 1991 de Anadolu Üniv. Elekt. Elektronik Müh. Anab. dalında Master dereceleri aldı. Halen Osmangazi Üniv. Elekt. Elektronik Müh. Anabilim. dalında doktora tezi savunma aşamasında olup Anadolu Üniv. Sivil Havacılık Y.O.'da öğretim görevlisidir. G. DURMAZ 1973 te Kütahya'da doğdu te Anadolu Üniv. Elkt. Elektronik Müh. Bölümünü bitirdi. Halen aynı bölümde yüksek lisans programında olup Bilecik Meslek Yüksekokulunda öğretim görevlisi olarak çalışmaktadır

23 BİR ( ÖZBİLGİSEL MANTIK' PROBLEMİ Mustafa M. DAĞLI TÜBİTAK - T.B.A.G. Atatürk Bulvarı No: Kavaklıdere / ANKARA ÖZET 'Özbilgisel' mantık, tekdüze olmayan bir akılyürütme biçimidir. Bu bildiride. Yapay Zeka araştırmacılarının ilgisini çekmiş bulunan bir sorun, "Üç Vezir- Beş Kavuk Problemi", özbilgisel bir mantık açısıyla incelenmektedir. 1. GİRİŞ Son yıllarda bilgisayarlar, hayatımızda giderek daha fazla rol oynamaktadırlar. Yapay Zeka, bilgisayar yazılımının, bilgisayar ortamlarında etkin kullanılabileceğinin anlaşılmasından sonra, daha çok önem kazanmıştır. Tekdüze olmayan akılyürütme biçimleri ile ilgili araştırmalar ise, özellikle Yapay Zeka çalışmalarına ağırlık verilmek istendikten sonra yaygınlaşmıştır. 2. TEKDÜZE OLMAYAN AKIL YÜRÜTME "Tekdüze olmayan akılyürütme", Yapay Zeka camiasının gündemine almalı az zaman olmadı /I, 21. Yeni aksiyomlar eklendiğinde, sistemin eski teoremlerinin (ya da varsayımlarının) geçersizleşebileceğini kabul eden tekdüze olmama, kimi yaşam durumlarına karşılık gelir görünse bile, klasik aksiyomatik sistemlerce sağlanamamaktadır. biçiminde bir varsayım düşünelim. Devekuşlarının, penguenlerin, ya da Malta doğanının uçmadığını bilsek bile, "Hl doğru mu, yanlış mı?" diye sorulduğunda -istisnaları düşünmez- tereddütsüz "Doğru" deriz. Uçmak içimizde yüzyılların özlemi değil midir 9 Öte yandan, H2: "Penguenler uçmaz" biçimindeki ikinci bir varsayım da tarafımızdan "Doğru" olarak algılanacaktır. Kuşların uçtuğunu gördüğümüz gibi, penguenlerin (ya da devekuşlarının) uçmadığını da görmüş, ya da duymuşuzdur. Üstelik, H3: "Penguenler kuştur" şeklindeki bir varsayım da, tarafımızdan "Doğru" olarak yanıtlanmaktadır. Uçmak, kuş olmanın ilk özelliklerindendir; canlı, ve kanatlı hayvanlar sınıfındadır kuşlar. Kuş denince aklımıza uçmanın gelmesiyse, düşünce sistemimizin, tekdüzeliği bırakmasını gerektirmektedir. Tekdüze olmayan akılyürütme, dört bellibaşlı şekilde formüle edilmeye çalışılmıştır /3, 4, 5/: i) 'gıyabi akılyürütme' ve gıyap mantığı 161, ii) 'tekdüze olmayan' mantık /7, 8/, iii) 'çevrimleme' /9, 10/, iv)'özbilgisel'mantık/11, 12, 13/. Hl: "Kuşlar uçar"

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ TEMEL KAVRAMLAR VE TANIMLAR

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ TEMEL KAVRAMLAR VE TANIMLAR OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ TEMEL KAVRAMLAR VE TANIMLAR KONTROL SİSTEMLERİ GİRİŞ Son yıllarda kontrol sistemleri, insanlığın ve uygarlığın gelişme ve ilerlemesinde çok önemli rol oynayan bir bilim dalı

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Dönme Hareketinin Dinamiği

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Dönme Hareketinin Dinamiği -Fizik I 2013-2014 Dönme Hareketinin Dinamiği Nurdan Demirci Sankır Ofis: 364, Tel: 2924332 İçerik Vektörel Çarpım ve Tork Katı Cismin Yuvarlanma Hareketi Bir Parçacığın Açısal Momentumu Dönen Katı Cismin

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

U.Ü. Mühendislik Mimarlık Fakültesi Elektronik Mühendisliği Bölümü ELN3102 OTOMATİK KONTROL Bahar Dönemi Yıliçi Sınavı Cevap Anahtarı

U.Ü. Mühendislik Mimarlık Fakültesi Elektronik Mühendisliği Bölümü ELN3102 OTOMATİK KONTROL Bahar Dönemi Yıliçi Sınavı Cevap Anahtarı U.Ü. Mühendislik Mimarlık Fakültesi Elektronik Mühendisliği Bölümü ELN30 OTOMATİK KONTROL 00 Bahar Dönemi Yıliçi Sınavı Cevap Anahtarı Sınav Süresi 90 dakikadır. Sınava Giren Öğrencinin AdıSoyadı :. Prof.Dr.

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI İşaret akış diyagramları blok diyagramlara bir alternatiftir. Fonksiyonel bloklar, işaretler, toplama noktaları

Detaylı

BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI

BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI tasarım BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI Nihat GEMALMAYAN, Hüseyin ĐNCEÇAM Gazi Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü GĐRĐŞ Đlk bisikletlerde fren sistemi

Detaylı

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Kapalı-döngü denetim sisteminin geçici-durum davranışının temel özellikleri kapalı-döngü kutuplarından belirlenir. Dolayısıyla problemlerin çözümlenmesinde, kapalı-döngü

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 0-0 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 0.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI EYLÜL EKİM. Gerçek katsayılı ve tek değişkenli polinomu kavram olarak örneklerle açıklar, polinomun derecesini,

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ. DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ. DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ 1) İdeal Sönümleme Elemanı : a) Öteleme Sönümleyici : Mekanik Elemanların Matematiksel Modeli Basit mekanik elemanlar, öteleme hareketinde;

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

İŞ : Şekilde yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine kuvveti görülmektedir. Parçacık A noktasından

İŞ : Şekilde yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine kuvveti görülmektedir. Parçacık A noktasından İŞ : Şekilde yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine etkiyen F kuvveti görülmektedir. Parçacık A noktasından r geçerken konum vektörü uygun bir O orijininden ölçülmektedir ve A dan A ne diferansiyel

Detaylı

Ege Üniversitesi Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü Kontrol Sistemleri II Dersi

Ege Üniversitesi Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü Kontrol Sistemleri II Dersi 1) Giriş Ege Üniversitesi Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü Kontrol Sistemleri II Dersi Pendulum Deneyi.../../2015 Bu deneyde amaç Linear Quadratic Regulator (LQR) ile döner ters sarkaç (rotary inverted

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders XII

8.04 Kuantum Fiziği Ders XII Enerji ölçümünden sonra Sonucu E i olan enerji ölçümünden sonra parçacık enerji özdurumu u i de olacak ve daha sonraki ardışık tüm enerji ölçümleri E i enerjisini verecektir. Ölçüm yapılmadan önce enerji

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders X. Schrödinger denk. bir V(x) potansiyeli içinde bir boyutta bir parçacığın hareketini inceler.

8.04 Kuantum Fiziği Ders X. Schrödinger denk. bir V(x) potansiyeli içinde bir boyutta bir parçacığın hareketini inceler. Schrödinger denklemi Schrödinger denk. bir V(x) potansiyeli içinde bir boyutta bir parçacığın hareketini inceler. Köşeli parantez içindeki terim, dalga fonksiyonuna etki eden bir işlemci olup, Hamilton

Detaylı

RÜZGAR YÜKÜNÜN BİR TİCARİ ARAÇ SERVİS KAPISINA OLAN ETKİLERİNİN İNCELENMESİ

RÜZGAR YÜKÜNÜN BİR TİCARİ ARAÇ SERVİS KAPISINA OLAN ETKİLERİNİN İNCELENMESİ RÜZGAR YÜKÜNÜN BİR TİCARİ ARAÇ SERVİS KAPISINA OLAN ETKİLERİNİN İNCELENMESİ Melih Tuğrul, Serkan Er Hexagon Studio Araç Mühendisliği Bölümü OTEKON 2010 5. Otomotiv Teknolojileri Kongresi 07 08 Haziran

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d) Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

H(s) B(s) V (s) Yer Kök Eğrileri. Şekil13. V s R s = K H s. B s =1için. 1 K H s

H(s) B(s) V (s) Yer Kök Eğrileri. Şekil13. V s R s = K H s. B s =1için. 1 K H s Yer Kök Eğrileri R(s) K H(s) V (s) V s R s = K H s 1 K H s B s =1için B(s) Şekil13 Kapalı çevrim sistemin kutupları 1+KH(s)=0 özyapısal denkleminden elde edilir. b s H s = a s a s K b s =0 a s K b s =0

Detaylı

Şekil 6.1 Basit sarkaç

Şekil 6.1 Basit sarkaç Deney No : M5 Deney Adı : BASİT SARKAÇ Deneyin Amacı yer çekimi ivmesinin belirlenmesi Teorik Bilgi : Sabit bir noktadan iple sarkıtılan bir cisim basit sarkaç olarak isimlendirilir. : Basit sarkaçta uzunluk

Detaylı

SEZGİSEL ALGORİTMA KULLANILARAK RÜZGÂR ÇİFTLİKLERİNİN GÜÇ SİSTEMİNE ETKİSİNİN İNCELENMESİ. Öğr. Gör. Mehmet Fatih Tefek Doç. Dr.

SEZGİSEL ALGORİTMA KULLANILARAK RÜZGÂR ÇİFTLİKLERİNİN GÜÇ SİSTEMİNE ETKİSİNİN İNCELENMESİ. Öğr. Gör. Mehmet Fatih Tefek Doç. Dr. SEZGİSEL ALGORİTMA KULLANILARAK RÜZGÂR ÇİFTLİKLERİNİN GÜÇ SİSTEMİNE ETKİSİNİN İNCELENMESİ Öğr. Gör. Mehmet Fatih Tefek Doç. Dr. Harun Uğuz * Rüzgâr kaynaklı enerji üretimi, yenilenebilir enerji kaynakları

Detaylı

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme

Detaylı

Newton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır.

Newton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır. Bölüm 5: Hareket Yasaları(Özet) Önceki bölümde hareketin temel kavramları olan yerdeğiştirme, hız ve ivme tanımlanmıştır. Bu bölümde ise hareketli cisimlerin farklı hareketlerine sebep olan etkilerin hareketi

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

FGATool - Kesir Dereceli Sistemler için Grafiksel Analiz Programı FGATool Graphical Analysis Tool for Fractional Order Systems

FGATool - Kesir Dereceli Sistemler için Grafiksel Analiz Programı FGATool Graphical Analysis Tool for Fractional Order Systems FGATool - Kesir Dereceli Sistemler için Grafiksel Analiz Programı FGATool Graphical Analysis Tool for Fractional Order Systems Bilal Şenol 1, Celaleddin Yeroğlu 1 1 Bilgisayar Mühendisliği Bölümü İnönü

Detaylı

Genetik Algoritmalar. Bölüm 1. Optimizasyon. Yrd. Doç. Dr. Adem Tuncer E-posta:

Genetik Algoritmalar. Bölüm 1. Optimizasyon. Yrd. Doç. Dr. Adem Tuncer E-posta: Genetik Algoritmalar Bölüm 1 Optimizasyon Yrd. Doç. Dr. Adem Tuncer E-posta: adem.tuncer@yalova.edu.tr Optimizasyon? Optimizasyon Nedir? Eldeki kısıtlı kaynakları en iyi biçimde kullanmak olarak tanımlanabilir.

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Prof. Dr. Mahmut Koçak.

Prof. Dr. Mahmut Koçak. i Prof. Dr. Mahmut Koçak http://fef.ogu.edu.tr/mkocak/ ii Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Kitabın yazarına aittir. Bütün hakları saklıdır. Kitabın tümü ya da bölümü/bölümleri yazarın yazılı izni

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme

Detaylı

Derece Bölüm/Program Üniversite Yıl

Derece Bölüm/Program Üniversite Yıl DR. ALI S. NAZLIPINAR Dumlupınar Üniversitesi, Fen Ed. Fakültesi Matematik Bölümü, Kütahya, TÜRKİYE ali.nazlipinar@dpu.edu.tr Tel: +90 274 2652031 /3065 (Dahili) Öğrenim Durumu Derece Bölüm/Program Üniversite

Detaylı

3.5. Devre Parametreleri

3.5. Devre Parametreleri 3..3 3.5. Devre Parametreleri 3.5. Devre Parametreleri Mikrodalga mühendisliğinde doğrusal mikrodalga devrelerini karakterize etmek için dört tip devre parametreleri kullanılır: açılma parametreleri (parametreleri)

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar

Detaylı

NX Motion Simulation:

NX Motion Simulation: NX Motion Simulation: Mekanizma Hareket Analizi UNIGRAPHICS NX yazılımının modüllerinden biri olan NX Motion Simulation, NX Dijital Ürün Tasarımı ailesinin mühendislik bileşenlerinden birisidir. Motion

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Sistem nedir? Başlıca Fiziksel Sistemler: Bir matematiksel teori;

Sistem nedir? Başlıca Fiziksel Sistemler: Bir matematiksel teori; Sistem nedir? Birbirleriyle ilişkide olan elemanlar topluluğuna sistem denir. Yrd. Doç. Dr. Fatih KELEŞ Fiziksel sistemler, belirli bir görevi gerçekleştirmek üzere birbirlerine bağlanmış fiziksel eleman

Detaylı

10. Sunum: Laplace Dönüşümünün Devre Analizine Uygulanması

10. Sunum: Laplace Dönüşümünün Devre Analizine Uygulanması 10. Sunum: Laplace Dönüşümünün Devre Analizine Uygulanması Kaynak: Temel Mühendislik Devre Analizi, J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel Akademik Yayıncılık 1 Laplace Devre Çözümleri Aşağıdaki devrenin

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI İşaret akış diyagramları blok diyagramlara bir alternatiftir. Fonksiyonel bloklar, işaretler, toplama noktaları

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

STATİK. Prof. Dr. Akgün ALSARAN - Öğr. Gör. Fatih ALİBEYOĞLU -8-

STATİK. Prof. Dr. Akgün ALSARAN - Öğr. Gör. Fatih ALİBEYOĞLU -8- 1 STATİK Prof. Dr. Akgün ALSARAN - Öğr. Gör. Fatih ALİBEYOĞLU -8- Giriş 2 Denge denklemlerini, mafsala bağlı elemanlarda oluşan yapıları analiz etmek için kullanacağız. Bu analiz, dengede olan bir yapının

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

H04 Mekatronik Sistemler. Yrd. Doç. Dr. Aytaç Gören

H04 Mekatronik Sistemler. Yrd. Doç. Dr. Aytaç Gören H04 Mekatronik Sistemler MAK 3026 - Ders Kapsamı H01 İçerik ve Otomatik kontrol kavramı H02 Otomatik kontrol kavramı ve devreler H03 Kontrol devrelerinde geri beslemenin önemi H04 Aktüatörler ve ölçme

Detaylı

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi

NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu

Detaylı

DENEY 5 DÖNME HAREKETİ

DENEY 5 DÖNME HAREKETİ DENEY 5 DÖNME HAREKETİ AMAÇ Deneyin amacı merkezinden geçen eksen etrafında dönen bir diskin dinamiğini araştırmak, açısal ivme, açısal hız ve eylemsizlik momentini hesaplamak ve mekanik enerjinin korunumu

Detaylı

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği

Detaylı

Akışkan Kinematiği 1

Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği Kinematik, akışkan hareketini matematiksel olarak tanımlarken harekete sebep olan kuvvetleri ve momentleri gözönüne almadan; Yerdeğiştirmeler Hızlar ve İvmeler cinsinden

Detaylı

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta GİRİŞ OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta Mühendislik açısından bir işin tasarlanıp, gerçekleştirilmesi yeterli değildir. İşin en iyi çözüm yöntemiyle en verimli bir şekilde yapılması bir anlam ifade eder.

Detaylı

Karadeniz Teknik Üniversitesi

Karadeniz Teknik Üniversitesi Karadeniz Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Maden Mühendisliği Bölümü MDM 240 Dinamik Dersi 2013-2014 Güz Yarıyılı Dersi Veren: Ömer Necati Cora (Yrd.Doç.Dr.) K.T.Ü Makine Müh. Bölümü, Oda No:

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

Zeki Optimizasyon Teknikleri

Zeki Optimizasyon Teknikleri Zeki Optimizasyon Teknikleri Ara sınav - 25% Ödev (Haftalık) - 10% Ödev Sunumu (Haftalık) - 5% Final (Proje Sunumu) - 60% - Dönem sonuna kadar bir optimizasyon tekniğiyle uygulama geliştirilecek (Örn:

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

YAPAY SİNİR AĞLARI. Araş. Gör. Nesibe YALÇIN BİLECİK ÜNİVERSİTESİ

YAPAY SİNİR AĞLARI. Araş. Gör. Nesibe YALÇIN BİLECİK ÜNİVERSİTESİ YAPAY SİNİR AĞLARI Araş. Gör. Nesibe YALÇIN BİLECİK ÜNİVERSİTESİ İÇERİK Sinir Hücreleri Yapay Sinir Ağları Yapısı Elemanları Çalışması Modelleri Yapılarına Göre Öğrenme Algoritmalarına Göre Avantaj ve

Detaylı

Karadeniz Teknik Üniversitesi

Karadeniz Teknik Üniversitesi Karadeniz Teknik Üniversitesi MHN 243 Sürmene Deniz Bilimleri Fakültesi Gemi İnşaatı ve Gemi Makineleri Mühendisliği Bölümü, Dinamik Dersi 2013-2014 Güz Yarıyılı Dersi Veren: Ömer Necati Cora (Yrd.Doç.Dr.)

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.

Detaylı

SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER

SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER SAYISAL İŞARET İŞLEME LABORATUARI LAB 5: SONSUZ DÜRTÜ YANITLI (IIR) FİLTRELER Bu bölümde aşağıdaki başlıklar ele alınacaktır. Sonsuz dürtü yanıtlı filtre yapıları: Direkt Şekil-1, Direkt Şekil-II, Kaskad

Detaylı

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI .. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık

Detaylı

5. KENTSEL ALTYAPI ULUSAL SEMPOZYUMU

5. KENTSEL ALTYAPI ULUSAL SEMPOZYUMU TMMOB İNŞAAT MÜHENDİSLERİ ODASI HATAY ŞUBESİ 5. KENTSEL ALTYAPI ULUSAL SEMPOZYUMU 5. KENTSEL ALTYAPI ULUSAL SEMPOZYUMU BİLDİRİLER VE PANEL KİTABI 1-2 Kasım, K 2007 1-2 KASIM 2007,, Antakya Kapak: İsmail

Detaylı

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü

Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Fizik 8.01 Ödev # 8 Güz, 1999 ÇÖZÜMLER Dru Renner dru@mit.edu 14 Kasım 1999 Saat: 18.20 Problem 8.1 Bir sonraki hareket bir odağının merkezinde gezegenin

Detaylı

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 9 Eylül- Eylül 0-07 TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 0. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Veri, Sayma ve Sayma. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sıralama

Detaylı

Küçük sinyal analizi transistörü AC domende temsilş etmek için kullanılan modelleri içerir.

Küçük sinyal analizi transistörü AC domende temsilş etmek için kullanılan modelleri içerir. Küçük Sinyal Analizi Küçük sinyal analizi transistörü AC domende temsilş etmek için kullanılan modelleri içerir. 1. Karma (hibrid) model 2. r e model Üretici firmalar bilgi sayfalarında belirli bir çalışma

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ ÇALIŞMA SORULARI

DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ ÇALIŞMA SORULARI DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ 01.1.015 ÇALIŞMA SORULARI 1. Aşağıda verilen devrede anahtar uzun süre konumunda kalmış ve t=0 anında a) v 5 ( geriliminin tam çözümünü diferansiyel denklemlerden faydalanarak bulunuz.

Detaylı