TEKNE FORMLARININ DÜZGÜNLEŞTİRİLMESİ İÇİN OPTİMİZASYON YAKLAŞIMI

Transkript

1 Yapım Matbaacılık Ltd., İstanbul, 1999 Editörler :A. İ. ALDOĞAN Y. ÜNSAN E BAYRAKTARKATAL 1 GEMİ İNŞAATI VE DENİZ TEKNOLOJİSİ TEKNİK KONGRESİ 99 BİLDİRİ KİTABI TEKNE FORMLARININ DÜZGÜNLEŞTİRİLMESİ İÇİN OPTİMİZASYON YAKLAŞIMI Ebru NARLI 1 ÖZET Bu makalede tekne formlarının düzgünleştirilmesi problemi bir non-lineer optimizasyon problemi olarak formüle edilmektedir. Bu formülasyonda dizayn değişkenleri olarak tekne formunu oluşturan ofset noktaları, amaç fonksiyonu olarak ise tekne yüzeyinin düzgünlüğünü belirleyen eğrilik yüzeyine bağlı fonksiyonlar kullanılmaktadır. Bu fonksiyonlar arasında eğilme enerjisini temsil eden eğrilik yüzeyine bağlı fonksiyonlar ve eğrilik yüzeyinin varyasyonunu ifade eden fonksiyonlar sayılabilir. Gerçekçi formlar elde etmek üzere değişik geometrik veya performansa bağlı kısıtlar kullanarak problemin çözüm alanı kısıtlanabilmektedir. Optimizasyon probleminin çözümü için bir non-lineer direkt arama tekniği olan Hooke-Jeeves metodu kullanılmaktadır. Bu formülasyon ile gerçekleştirilen uygulamalarda amaç fonksiyonu ve kısıtların doğru seçilmesi durumunda düzgün tekne formlarının kolay ve hızlı bir şekilde elde edilebileceği görülmektedir. Geliştirilen bu yöntem gerçek tekne form eğri ve yüzeylerine uygulanmış ve pratik problemlerdeki uygulanabilirlikleri kanıtlanmıştır. GİRİŞ Geometrik anlamda üç boyutlu düzgün bir tekne formu elde etmek tekne form dizaynının temel gereklerinden biridir. Nihai formun üç boyutlu düzgünlüğü hidrodinamik performans ve üretim kolaylığı açısından mutlaka sağlanması gereken bir özelliktir. 1 Arş. Gör., İ.T.Ü. Gemi İnşaatı ve Deniz Bilimleri Fakültesi, Deniz Tek. Müh. Bölümü, 8066, Ayazağa İstanbul. 449

2 Tekne formlarının düzgünleştirilmesi problemi yüzlerce yıldır gemi tasarımcılarını uğraştıran bir konu olmuştur. Tekne formlarının genellikle matematiksel ifade edilemeyen ampirik formlar olması problemi daha da güçleştirmektedir. Günümüzde yaygın rekabetin hüküm sürdüğü bir ortamda gemi ön dizaynı çok sayıda alternatifin kısa zaman dilimleri içerisinde geliştirilmesini ve güvenilir performans analiz yöntemlerini kullanarak incelenmesini zorunlu kılmaktadır. Bu tür performans analiz yöntemleri hassas ve detaylı tanımlanmış tekne formları gerektirmektedir. Bu durumda dizayner ön dizayn aşamasında kısa zaman dilimlerinde hassas ve detaylı olarak tanımlanmış düzgün alternatif tekne formları geliştirmek durumundadır. Ön dizayn aşamasında çok sayıda ve detaylı tanımlanmış alternatif tekne formları geliştirmek durumunda olan dizayner otomatik olarak düzgünleştirme işlemi yapacak prosedürlere gereksinim duyacaktır. Tekne formlarının düzgünleştirilmesi probleminin çözümü için zaman içersinde pek çok yöntem geliştirilmiştir. Bu amaçla kullanılan en eski ve aynı zamanda en yaygın yöntem 18. yüzyıldan beri başarı ile uygulanan fiziksel tiriz ve ağırlıklar yöntemidir. Bu yöntemde üç boyutlu tekne formu üç ayrı düzlemde iki boyutlu dizayn eğrileri ile temsil edilmektedir. Düzgünleştirme işlemi tüm düzlemlerdeki iki boyutlu eğriler için iteratif bir tarzda gerçekleştirilmektedir. Üç boyutlu düzgün bir form elde edilebilmek için her üç düzlemdeki form eğrilerinin düzgün olması esastır. Yeterli zaman ve deneyimli uzman bulunması durumunda bu konvansiyonel yöntem oldukça başarılıdır. Bu yöntemin temel dezavantajı düzgünlük kriterinin sübjektif olması, yani aynı problem için farklı formlar üretilebileceği gerçeğidir. Klasik yöntemin birtakım dezavantajlarından kurtulmak için tekne formlarının matematiksel fonksiyonlar ile temsili yeni bir yöntem olarak teklif edilmiştir fakat bu yöntemin işlerlik kazanması ancak 1950 lerden itibaren bilgisayar teknolojisinin ve yeni sayısal tekniklerin gelişmesiyle olmuştur. Matematiksel sayısal yöntem ve bilgisayar uygulamaları hızla artmıştır ve günümüzde modern bilgisayar destekli gemi dizayn paket programlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Genel uygulamalar interaktif olarak gerçekleşmekte ve dizaynerin dizayn form eğrilerini interaktif olarak düzgünleştirmesi gerekmektedir. Genellikle, eğrilik eğrisi veya yüzeyi kullanılarak formun ne derece düzgün olduğu belirlenmektedir. Bu yöntem de konvansiyonal yöntem gibi deneyimli personel gerektirir ve zaman alıcıdır ve programı kullanan kişiye göre farklı sonuçlar elde edilmesi kaçınılmazdır. Tekne formlarının düzgünleştirilmesine yönelik çalışmalarda temel amaç tüm ara işlemlerin dizaynerden gizlenmesi olmalıdır. Bu amaca yönelik olarak yapılan bu çalışmada, tekne form ve eğrilerinin düzgünleştirilmesi işlemi bir optimizasyon problemi olarak formüle edilmektedir. Tipik bir optimizasyon problemini oluşturan ana elemanlar, dizayn değişkenleri, amaç fonksiyonu ve kısıtlardır. Bir temel mühendislik optimizasyon problemi olarak tanımlanan tekne formlarının düzgünleştirilmesi probleminde, tekne formunu oluşturan ofset noktaları dizayn değişkenleri, tekne yüzeyinin düzgünlüğünü ifade eden 450

3 eğrilik eğrisi ve yüzeyine bağlı fonksiyonlar ise minimize edilecek amaç fonksiyonu olarak tanımlanmaktadır. Çeşitli geometrik ve hidrodinamik performans kısıtları da problemin çözüm alanını kısıtlayacak şekilde probleme dahil edilmektedir. Amaç fonksiyonu ve kısıtlar optimizasyon probleminin en önemli kısmını oluşturmaktadır. Düzgünleştirme işlemi için minimize edilecek değişik amaç fonksiyonları ve kısıtlar tanımlanabilmektedir. Seçilen amaç fonksiyonu, optimizasyon prosedürü sonucunda elde edilecek yüzeyin kalitesini önemli ölçüde etkilemektedir. Yüzeyin düzgünlüğünü ifade eden eğrilik yüzeyine bağlı fonksiyonların non-lineerliği arttıkça yüzeyin kalitesi ve aynı zamanda harcanan bilgisayar zamanı da artmaktadır. 1. OPTİMİZASYON PROBLEMİNİN FORMÜLASYONU Genel olarak bir optimizasyon probleminin matematiksel ifadesi aşağıdaki formda olmaktadır: Minimize edilecek amaç fonk. : F(x) = f (x 1, x,,x n ) Dizayn değişkenleri : x (x 1, x,.,x n ) Kısıt fonksiyonları : g j (x) > 0, j=1,,,n Tekne form eğri ve yüzeylerinin düzgünleştirilmesi problemini bir optimizasyon problemi olarak ele alırsak, amaç fonksiyonu F(x) düzgünlüğü ifade eden eğrilik yüzeyine bağlı bir fonksiyon olarak kabul edilecektir. Amaç fonksiyonu olarak kullanılabilecek değişik fonksiyonlardan ilerleyen bölümlerde bahsedilecektir. Problemin çözüm alanını sınırlayıcı bir takım geometrik ve pratik dizayn kısıtlarının g j (x) olması da kaçınılmazdır. Sayısal çözümü kolaylaştırma açısından kısıt fonksiyonları amaç fonksiyonuna dahil edilerek problem kısıtsız bir optimizasyon problemine dönüştürülmesi mümkündür. Bu durumda problemin amaç fonksiyonunun matematiksel ifadesi aşağıdaki gibi olmaktadır: N 1 F(x, rk ) = f(x) + rk, rk > 0 i= 1gi (x) Yukardaki ifadeden de görülebileceği gibi kısıtların ihlal edildiği durumlarda amaç fonksiyonunun değerini arttıran bir ceza fonksiyonu bulunmaktadır. Problemin çözümü için non-lineer programlama teknikleri kullanılması gerekmektedir ve başarısı kanıtlanmış Hooke and Jeeves non-lineer arama tekniği çözüm metodu olarak kullanılmaktadır. [1] 451

4 Tekne formlarını düzgünleştirme prosedürünün bir optimizasyon problemi olarak yapısı Şekil 1 de görülmektedir. TEKNE GEOMETRİSİ! Ana boyutlar! Ofset noktaları! Sınır eğrileri OPTİMİZASYON! Amaç fonksiyonu! Adım büyüklüğü! Sonuçlandırma kriteri GEOMETRİK KISITLAR PERFORMANS KISITLARI HAYIR Sonuçlandırma kriteri sağlandı mı? EVET OPTİMUM FORM Şekil 1. Tekne formlarını düzgünleştirme prosedürü. 45

5 1.1. AMAÇ FONKSİYONU Bir optimizasyon probleminde öncelikle minimize edilecek amaç fonksiyonu dizayn değişkenleri cinsinden tanımlanmalı ve ilgili geometrik kısıtlar belirtilmelidir. Ele alınan tekne formlarının düzgünleştirilmesi probleminde amaç fonksiyonu form eğri ve yüzeylerinin düzgünlüğünü ifade eden bir fonksiyon olmalıdır. Bunun için öncelikle global bir özellik olan düzgünlüğün (fairness) tanımını yapmak gerekmektedir. Genel olarak eğri ve yüzeylerin düzgün olarak nitelendirilebilmesi için aşağıdaki şartlar sağlanmalıdır: Eğri ve yüzeyler sürekli olmalı, Tanımlanmamış dönüm, köşe, çukur, kıvrım olmamalı, Eğrilik eğrisi veya yüzeyi sürekli olmalı, Gerek yüzeyin gerekse eğrilik yüzeyinin değişimi tedrici olmalı, Başlangıç değerlerinden sapma az olmalı, Göze hoş görünmeli. Düzgünlük kavramı genel olarak eğrilik eğrisi ve yüzeyi ile ilintili olduğundan düzgünlük kavramının matematiksel ifadesi de ona bağlı fonksiyonlar olacaktır. Düzgünlüğü belirlemeye yarayan en basit kavram olarak eğri veya yüzeylerin elastik eğilme enerjisi kullanılmaktadır. İki boyutlu eğrilerin elastik eğilme enerjisinin matematiksel ifadesi aşağıda verilmektedir: E = κ(s) ds = (c ) ds Burada κ(s) eğrilik eğrisininin dağılımını, s de eğri yayının uzunluğunu göstermektedir. C ss ise eğrinin ikinci dereceden türevidir. Eğriler için tanımlanan bu kavram yüzeyler için rahatlıkla genişletilebilir. Fakat öncelikle temel eğrilik kavramlarından bahsetmek gerekir. Yüzey üzerindeki bir noktanın karakterini belirleyen birbirlerine dik yönde bulunan temel eğrilik değerleri κ 1 ve κ kullanılarak bir takım düzgünlük büyüklüklerinin tanımlarını yapmak mümkündür. Bunlar arasında en yaygın olarak kullanılanlar Gauss eğriliği ve ortalama eğriliklerdir. Temel eğrilikler cinsinden matematiksel ifadeleri sırasıyla; ss Gauss eğriliği κ 1.κ Ortalama eğrilik (κ 1 + κ )/ Üç boyutlu yüzeyler için elastik eğilme enerjisi temel eğrilikler cinsinden aşağıdaki gibi tanımlanabilir: E = (κ1 + κ ) ds S 453

6 Bu formül aynı zamanda ince elastik bir levhanın gerilme enerjisini temsil etmektedir. ds diferansiyel alan elamanıdır. Moreton eğri boyunca eğrilik varyasyonun minimum olması gerektiğinden yola çıkarak amaç fonksiyonu olarak kullanılabilecek bir düzgünlük ifadesi tanımlamıştır: [] κ ds ds Amaç fonksiyonu olarak alınan bu ifadenin minimizasyonu ile çözüm eğrilerinin olabildiğince sabit eğrilikte olması hedeflenmektedir. Bu amaç fonksiyonu yüzeyler için aşağıdaki formda olacaktır: κ1 e 1 κ + e dω Burade e 1 ve e temel eğriliklerin yönünü göstermektedir. Değişik düzgünlük tanımlarından yola çıkarak amaç fonksiyonu için değişik alternatif fonksiyonlar seçilebilir. Dolayısıyla farklı fonksiyonlar kullanarak farklı kalitede yüzeyler elde edilmesi mümkündür. 1.. KISITLAR Optimizasyon problemlerinde, geometrik ve performans kısıtları olmak üzere iki tip kısıt kullanılmaktadır. Düzgün tekne formlarının üretilebilmesi için en azından çözüm alanını kısıtlayıcı bir takım geometrik kısıtlar bulunması gerekmektedir. Herhangi bir kısıt olmadığı taktirde yüzey geometrisi tek bir noktaya indirgenecektir. Dolayısıyla geometrik kısıtlar kullanarak yüzeyin dizayn karakteristiklerinin korunmasını sağlanacaktır. Düzgünleştirme problemi için tanımlanabilecek geometrik kısıtlardan bazıları aşağıda verilmektedir: Eğri ve yüzey geometrisini tanımlayan ofset noktaları üzerindeki kısıtlar, Tanjant vektörlerinin yönleri ile ilgili kısıtlar, Eğri ve yüzeylerin sürekliliği ile ilgili kısıtlar, Orjinal ve yeni yüzey formları arasındaki sapma miktarına ait kısıtlar Alan ve hacim kısıtları 454

7 Performans kısıtları orijinal formun performans karakteristiklerinin korunmasını veya iyileştirilmesini sağlamak amacıyla kullanılmaktadır. Tekne formları için güç, stabilite, denizcilik vb. performans kısıtları kullanılabilmektedir ÇÖZÜM METODU Optimizasyon problemlerinde, belli kısıtlar çerçevesinde tanımlı problemlerin optimum çözümü aranmaktadır. Genelde, optimizasyon problemlerinde bağımsız değişkenlere bağlı bir fonksiyon tanımlanmaktadır. Amaç fonksiyonu olarak adlandırılan bu fonksiyon çözüm alanının her noktasında farklı değere sahiptir. Problemin niteliğine göre amaç fonksiyonunu maksimum ya da minimum yapan bağımsız değişken değerleri aranmaktadır. Ayrıca dizayn değişkenleri üzerindeki kısıtlar çözüm alanını küçültmektedir. Hooke-Jeeves metodu yaygın olarak kullanılan bir non-lineer direkt arama metodudur. Uygun arama yönlerini bulmada çok başarılıdır. Metod, özellikle kısıtsız optimizasyon problemleri için geliştirilmiştir ve iki çeşit arama yöntemi kullanmaktadır. Lokal arama olarak nitelendirilen birinci yöntemde her dizayn değişkeninin yönü amaç fonksiyonunda maksimum azalmayı sağlayacak (steepest descent) yön olacak şekilde belirlenmektedir. Patern hareketinde ise doğru yön belirlendikten sonra adım büyüklüğü arttırılarak arama hızlandırılmaktadır. Hooke-Jeeves metodu aşağıdaki prosedürü takip etmektedir. Dizayn değişkenlerine x(x 1, x,,x n ) ait başlangıç değerlerinin b(b 1, b,,b n ) ve adım büyüklüklerinin h(h 1,h,,h n ) seçimi, Amaç fonksiyonunun f(b i + h i ) değeri azalma eğilimi gösteriyorsa yeni başlangıç değeri b i + h i kabul edilir. Eğer artmaya başladıysa, fonksiyon f(b i - h i ) için tekrar değerlendirilir ve başlangıç noktası b i - h i alınır. Fonksiyon yine artma eğilimi gösteriyorsa ilk başlangıç noktası b i e dönülür. Yukardaki prosedür fonksiyonda azalma eğilimi gösterecek başlangıç noktası bulunana kadar tüm dizayn değişkenleri için denenir. Deneme sayısı en fazla (n+1) kadar olabilir. Eğer b i+1 =b i ise, adım büyüklüğü yarıya indirilir ve işlemlere baştan başlanır. Adım büyüklüğünün değeri belli bir değerin altına düştüğünde işleme son verilir. Eğer b i+1 b i ise patern hareketi b i+1 noktasında yapılır. Patern hareketinin amacı amaç fonksiyonundan elde edilen bilgilerden yararlanarak aramanın hızlandırılmasıdır. b i+1 - b i yönünde amaç fonksiyonunda bir azalma görüldüğünden b i+1 den (b i+1 - b i ) yönünde ardışık hareketlere devam edilir. Eğer amaç fonksiyonun değeri (b i+1 - b i ) yönünde b i+1 den daha düşük bir değere ulaşmışsa yeni başlangıç noktası b i+ elde edilmiş olur. Bu durumda birim artış yapılarak (b i+1 - b i ) e geri dönülür. Aksi taktirde b i+1 çevresinde yeni bir arama yönü bulma yoluna gidilir. 455

8 . İKİ BOYUTTA OPTİMİZASYON; EĞRİLER Üç boyutlu tekne form yüzeylerinin optimizasyonu problemine geçmeden önce yüzey elemanları olan iki boyutlu eğrilerin düzgünleştirilmesi problemi ele alınacaktır. Herhangi bir eğri için amaç fonksiyonu olarak tanımlanan düzgünlük ifadesi aşağıdaki gibi kabul edilmektedir: E = κ ds Bu formül ayrıca fiziksel tirizlerin elastik eğilme enerjisine karşılık gelmektedir. Problemin kısıtları aşağıda tanımlanmaktadır: Eğriyi tanımlayan noktalara ait kısıtlar, Elde edilecek yeni eğrinin noktaları ile orjinal eğrinin noktaları arasındaki uzaklığı sınırlayan kısıtlar. Optimizasyon işlemi sonucunda elde edilecek yeni eğrinin orijinal eğriden fazla farklı olmaması istenmektedir. Bu isteğin amaç fonksiyonun ifadesine eklenmesi ile daha gerçekçi çözümlerin üretilmesi mümkün olacaktır. Böylece, amaç fonksiyonunda hem düzgünlük hem de yakınlık ile ilgili terimler aynı anda bulunmuş olacaktır. Ayrıca her terim için tanımlanmış ağırlık fonksiyonları da probleme dahil edilecektir. Yeni amaç fonksiyonu aşağıdaki formda olacaktır: F = ω κ ds + ω (y y ) ds 1 i j Bu formülde y i ve y j orjinal ve yeni noktalara ait değerleri göstermektedir. ω 1 ve ω eğriden istenen düzgünlük ve yakınlık derecesine göre dizayner tarafından belirlenen ağırlık fonksiyonlarıdır. Amaç fonksiyonunu oluşturan ilk terim düzgünlük (DT), ikincisi ise yakınlık terimidir (YT). Optimizasyon prosedürünün bir uygulama ile daha iyi anlaşılabilmesi mümkün olacaktır. Doğası gereği düzgün bir eğri olan (y=x ) eğrisi ele alınmıştır. Düzgünleştirme prosedürünün başarısını test etmek amacıyla bu düzgün eğri kasti olarak bazı noktalarda bozulmuştur. Optimizasyon prosedürü bozulmuş y=x eğrisi için 11 kere koşulmuştur. Amaç fonksiyonunu oluşturan düzgünlük ve yakınlık terimlerine ait ağırlık fonksiyonları 0.0 ile 1.0 arasında değişen değerler arasında seçilmiştir. Ağırlık fonksiyonunun değeri düzgünlük ve yakınlığın amaç fonksiyonu içerisindeki ağırlığını göstermektedir. Örneğin, her iki ağırlık fonksiyonun (ω 1, ω ) 0.5 olarak seçilmesi, düzgünlüğün ve yakınlığın eşit derecede öneme sahip olduğunu göstermektedir. Tablo 1 de ağırlık fonksiyonun değişik değerleri için elde edilen düzgünlük, yakınlık ve amaç fonksiyonu değerleri ve iterasyon sayısı görülmektedir. Elde edilen sonuçların eğri üzerindeki etkisi Şekil de görülmektedir. Düzgünlük için ağırlık fonksiyon 1, yakınlık için 0 kabul edildiği durumda beklendiği üzere 456

9 çok düzgün bir eğri elde edilmektedir. Düzgünlüğün problem içindeki ağırlığı azaldıkça yakınlık önem kazanmakta ve orijinal eğriye daha yakın bir eğri elde edilmektedir. Düzgünlüğün ağrılığı 0, yakınlığın 1 olduğu ekstrem durumda ise orjinal bozuk eğrinin aynısı elde edilmektedir. Bu uygulama ile eğriler için test edilen optimizasyon prosedürü bir sonraki bölümde tekne formlarına da uygulanmış ve elde edilen sonuçlar sunulmuştur. Tablo 1. Düzgünlük ve yakınlık fonksiyonlarının bozulmuş kuadratik bir eğri için değişimi. ω 1 ω DT YT F İterasyon No TEKNE FORM OPTİMİZASYONU Bir optimizasyon problemi olarak tanımlanabilen iki boyutlu eğrilerin düzgünleştirilmesi problemi genişletilerek üç boyutlu tekne formlarına da uygulanabilmektedir. Bu problemde tekne yüzey geometrisini tanımlayan ordinatlar y ij =y(x i,z j ) optimizasyon değişkenleri olarak kabul edilmekte ve amaç fonksiyonu olarak aşağıdaki düzgünlük ifadeleri kullanılmaktadır. Enerji Minimizasyonu (κ + κ )ds 1 1 Ortalama Eğrilik (κ1 + κ )ds Gauss Eğriliği (κ1.κ )ds 457

10 Şekil. Ağırlık fonksiyonu değişiminin bozulmuş kuadratik eğriye etkisi. Orijinal data Yeni data W1 : 0.7 W : 0.3 W1 : 0.0 W : 1.0 W1 : 1.0 W : 0.0 W1 : 0.3 W :

11 κ1 κ Eğrilik Değişimi ds e1 e + Amaç fonksiyonu olarak yukarda tanımlanan non-lineer düzgünlük ifadeleri her yüzey noktasında değerlendirilip yüzey boyunca entegre edilerek, formun düzgünlüğünü ifade eden tek bir değer elde edilir. Optimum formun eldesi için, bu değeri belli geometrik kısıtlar altında minimize edecek dizayn değişkenleri aranmaktadır. Hedeflenen düzgün form amaç fonksiyonun minimizasyonu ile elde edilmiş olacaktır. Gerçekçi formlar üretebilmek için optimizasyon probleminin çözüm alanı geometrik kısıtlarca belirlenmelidir. Tipik geometrik kısıtlar aşağıda verilmektedir: Tüm ofset noktaları maksimum genişlikten küçük veya eşit olacaktır (0 y ij y max ), Alt sınırı oluşturan bazı ofset noktaları aşılmayacaktır (y ij y ij 0 ), Üst sınırı oluşturan bazı ofset noktaları aşılmayacaktır (y ij y ij 0 ). Optimizasyon prosedürü matematiksel bir form olan Wigley formuna [3] uygulanmıştır. Prosedürün başarısını iyice görebilmek için orijinal form kasti olarak bozulmuştur. Düzgünleştirilecek bozuk Wigley formu Şekil 3 te görülmektedir. Problemin amaç fonksiyonu olarak formun elastik eğilme enerjisini temsil eden düzgünlük ifadesi alınmıştır. Böylece, amaç fonksiyonu temel eğrilikler cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilecektir: (κ1 + κ )ds Amaç fonksiyonu yukardaki formda kabul edildiği zaman, herhangi bir kısıt olmadığından çözüm yüzeyinin tek bir noktaya indirgenmesi kaçınılmazdır. Düzgünlük amaç fonksiyonuna yakınlık isteği de dahil edilerek bu olayın önlenmesi mümkündür. Yakınlık isteği aşağıdaki gibi ifade edilebilmektedir: (yi y j) ds Yukardaki ifadede y i ve y j orijinal ve yeni formların ofset noktalarını temsil etmektedir. Böylece bu problem için modifiye edilmiş amaç fonksiyonu ifadesi aşağıdaki gibi elde edilmiş olur: ω 1 (κ1 κ )ds + ω (yi + y ) ds Optimizasyon prosedürü sonucu elde edilen çözüm yüzeyi Şekil 4 te görülmektedir. Her iki ağırlık fonksiyonu da (ω 1,ω ) bu tipik örnek için 0.5 olarak kabul edilmiştir. j 459

12 (a) (b) Şekil 3. Bozuk Wigley formu. 460

13 (a) (b) Şekil 4. Optimizasyon prosedürü sonucu elde edilen Wigley formu. 461

14 SONUÇLAR Yüzey formu matematiksel olarak tanımlanamayan tekne fomlarının düzgünlüğü problemi, üretim kolaylığı ve performans açısından çözülmesi gereken ve dizayn aşamasının önemli bir kısmını oluşturan bir problemdir. Düzgünlük probleminin çözümü için kullanılan en eski yöntem fiziksel tirizlerdir. Nümerik yöntemler ve bilgisayar teknolojisi alanındaki gelişmelerin bir sonucu olarak zamanla matematiksel yöntemler geçerlilik kazanmıştır. Fiziksel tirizlerin yerini matematiksel tirizler ve nümerik prosedürler almıştır. Bu makalede son zamanlarda düzgünleştirme prosedürlerinde sıkça kullanılmaya başlanan optimizasyon teknikleri tekne formlarına uygulanmıştır. Tekne formlarının düzgünleştirilmesi problemi non-lineer bir optimizasyon problemi olarak ele alınmıştır. Amaç fonksiyonu olarak tekne formunun düzgünlüğünü ifade eden bir fonksiyon kullanılmıştır. Problemin çözüm alanı çeşitli geometrik kısıtlarla sınırlanmaktadır. Yüzeyin eğrilik eğrisi ve yüzeyi ile ilintili çeşitli düzgünlük amaç fonksiyonları denenmiştir fakat farklı fonksiyonlar kullanılmasının sonucu pek fazla etkilemediği görülmüştür. Yapılan uygulamalarda düzgünleştirme prosedürünün iyi sonuçlar verdiği görülmektedir. KAYNAKLAR [1] Hooke. R., ve Jeeves. T.A. Direct Search Solution of Numerical and Statistical Problems. Journal of the Association for Computing Machines, Vol [] Moreton. H.P. Minimum Curvature Variation Curves, Networks and Surfaces for Fair Free Form Shape Design. Ph.D. Thesis. Computer Science Dep. University of California. Berkeley [3] Wigley. W.C.S. A Comparison of Experimental and Calculated Wave Profiles and Wave Resistance for a Form Having Parabolic Waterlines. Proceedings of Royal. Series A. Vol