Çözümlü Diferansiyel Denklemler. Ed tör: Prof. Dr. Adnan BAKİ

Transkript

1 Çözüü Difersiye Dekeer Ed tör: Prof. Dr. Ad BAKİ

2 Editör: Prof. Dr. Ad BAKİ ÇÖZÜMLÜ DİFERANSİYEL DENKLEMLER ISBN DOI 0.57/ Kitp içeriğii tü soruuuğu yzrrı ittir. 07, PEGEM AKADEMİ Bu kitbı bsı, yyı ve stış hkrı Pege Akdei Yy. Eğt. D. Hiz. Ti. Ltd. Şti.ye ittir. Aı kuruuşu izi ıd kitbı tüü y d böüeri, kpk tsrıı; ekik, eektroik, fotokopi, yetik, kyıt y d bşk yöteere çoğtız, bsız, dğıtız. Bu kitp T.C. Kütür Bkığı bdroü ie stıktdır. Okuyuurıızı bdroü oy kitpr hkkıd yyıeviize bigi veresii ve bdrosüz yyırı stı sıı diiyoruz. Pege Akdei Yyııık, 998 yııd bugüe uusrrsı düzeyde düzei fiyet yürüte uusrrsı kdeik bir yyıevidir. Yyıdığı kitpr; Yükseköğreti Kuruu tı yükseköğreti kururıı ktogrıd yer ktdır. Düydki e büyük çevriiçi ku erişi ktoğu o WordCt ve yrı Türkiye de kuru Turdey.o ve Pegeideks.et trfıd yyırı trktdır, idekseektedir. Ayı d frkı yzrr it 000 i üzeride yyıı buuktdır. Pege Akdei Yyırı ie igii detyı bigiere dreside uşıbiektedir.. Bskı: Ağustos 07, Akr Yyı-Proje: Öze Sğ Dizgi-Grfik Tsrı: Ayşe Nur Yıdırı Kpk Tsrı: Pege Akdei Bskı: Vdi Grup Citevi A.Ş. İvedik Orgize Syi 8. Cdde 8 Sokk No:05 Yeihe/ANKARA ( ) Yyıı Sertifik No: 79 Mtb Sertifik No: 6687 İetişi Krfi Sokk No: 5 Kızıy / ANKARA Yyıevi: Yyıevi Begeç: Dğıtı: Dğıtı Begeç: Hzırık Kursrı: İteret: E-ieti: pege@pege.et

3 Prof. Dr. Ad Bki 960 yııd Trbso'u Toy içeside doğdu. 978 yııd KTÜ Ftih Eğiti Fkütesi tetik eğitii böüüde 98 yııd ezu odu. 985 yııd rştır görevisi ork KTÜ Fe Fkütesi tetik böüüde göreve bşdı. 990 yııd Kd'ı New Bruswik Üiversitesi'de yüksek issıı tdı. 990 yııd Uiversity of Lodo, Istitute of Edutio'd doktorsıı (PhD) tdı. 996 yııd Türkiye'i ik tetik eğitii doçeti odu. 00 yııd profesör odu. 995 yııd itibre öğreti üyesi ork çıştığı KTÜ Ftih Eğiti Fküteside birçok idri göreverde buudu yırı rsıd Ftih Eğiti Fkükesi dekığı yptı. Öğreti üyesi ork çıştığı bu kurud yöetiide 'i doktor ok üzere 8 issüstü tez çışsı tdı. Uus ve uusrrsı ideksi hkei dergierde yyıış birçok kesi yıd tetik eğitii ıd kitbı buuktdır. Ayrı birçok uus ve uusrrsı idekserde tr Türk Bigisyr ve Mtetik Eğitii dergisii editörüğüü ypktdır. He Ftih Eğiti Fküteside tetik eğitii bii dı bşkı ork çışktdır. Evi ve üç çouk bbsıdır. Prof. Dr. İhs Üver 950 yııd Krbük Dvutr Köyü'de doğdu. İköğretiii Krbük'te, ise öğreiii Bou Öğrete Okuu ve İzir Borov Hzırıt Lisesi'de tdı. 968 yııd girdiği İstbu Üiversitesi Mtetik Böüüde 97 yııd ezu odu. Ayı döede Yüksek Öğrete Okuud tektik öğretei ork ezu odu yırı rsıd Edire Erkek Öğrete Okuu'd tetik öğreteiği yptı. 97 yııd KTÜ Fe Fkütesi Mtetik Böüüe sist ork girdi. Ayı üiversitede yüksek iss çışsıı 98 yııd ve doktor çışsıı d 985 yııd tdı. Bşt tetik böüü ok üzere diğer böüerde Gee Mtetik, Difersiye Dekeer, İsttistik ve Osıık derserii okuttu. 996 yııd doçet odu. 003 yııd profesör odu. 07 yııd eeki o Prof. Dr. İhs Üver evi ve iki çouk bbsıdır. Öğr. Gör. Ce Yzıı 950 yııd Ardh Sukyurt Köyü'de doğdu. İkokuu yı köyde, ortokuu Şvşt't okudu. Artvi Öğrete Okuu'd iki yı okudukt sor İstbu Yüksek Öğrete Okuu seçidi. 97 yııd İstbu Üiversitesi Fe Fkütesi Mtetik ve Astrooi Böüü'de ezu odu. Mezu odukt sor tetik öğretei ork Diyrbkır Lisesi'de görev yptı. 97 yııd Trbzo Ftih Eğiti Estitüsüde göreve bşdı. Ftih Eğiti Estitüsüde görev yptığı yırd Aiz I, Aiz II, Tee Mtetik, Geoetri ve Astrooi derserii okuttu. YÖK Kuu ie birikte KTÜ'ye bğrk Ftih Eğiti Fkütesi o yı kurud öğreti görevisi ork çışy dev etti yırı rsıd çıştığı Eğiti Fkütesi İköğreti Böüü Mtetik Eğitii Abii Dı Bşkığıd Aiz I ve Aiz II derseri bşt ok üzere Difersiye Dekeer, Topooji, Geoetri ve Kopeks Aiz derserii okuttu. 05 yııd eeki o Öğr. Gör. Ce Yzıı evi ve üç çouk bbsıdır.

4 ÖN SÖZ ÇÖZÜMLÜ DİFERANSİYEL DENKLEMLER kitbı Fe, Eğiti ve Mühedisik Fküteerii iss progrrıd okutu Difersiye Dekeer dersii içerikerie uygu ork hzır bir kyk kitp iteiğidedir. Bu çış iss progrrıd difersiye dekeer dersii okut Prof. Dr. İhs Üver ve Öğr. Gör. Ce Yzıı ı 30 yıı şkı deeyierii bir ürüü ork orty çıkıştır. Doyısıy bu kitp çok syıd çözü örekeri içeresi bkııd he Difersiye Dekeer dersii okut öğreti eerı içi he de bu dersi öğreier içi kpsı bir evp htrı özeiği tşıktdır. ÇÖZÜMLÜ DİFERANSİYEL DENKLEMLER kitbı sekiz böü ork düzeeiştir. Birii böüde difersiye dekeer hkkıd kıs bigier verierek; difersiye dekeeri ede ediişi örekere gösteriiştir. İkii böüde birii ertebede birii dereede tü difersiye dekeeri prtik çözü yorı veriiş ve bu dekeere it yüz ei üç öreği çözüü ypııştır. Üçüü böüde birii ertebede yüksek dereede tü difersiye dekeer prtik çözüeri ie ieeiş, bu dekeere it yetiş örek çözüüştür. Ayrı bu böüde birii ertebede dekeeri uygusı ork yörügeer ieeiş, geoetrik yorur ypıış ve fizikteki uygurı iişki öreker veriiştir. Dördüü böüde yüksek ertebede sbit ktsyıı ieer hooje ve ieer difersiye dekeeri çözüeri örekere ieeiş, öze çözü bu yöteeri verierek; bu dekeere it kırk te difersiye dekei çözüü ypııştır. Beşii böüde yüksek ertebede değişke ktsyıı tü deke türeri sırsıy örekere ieeerek, bu dekeere it öze döüşü yöteeri gösteriiştir. Bu tür dekeere it tış difersiye dekei çözüü ypııştır. Atıı böüde ieer difersiye deke sisteerii çözüeri çok syıd örekere ieeiştir. Yedii böüde Lpe ve ters Lpe döüşüeri tee özeikeri ie ieeiş, çok syıd öreker veriiş ve ıştırr çözüüştür. Ayrı Lpe döüşüeri kuırk difersiye dekeeri çözüü ypııştır.

5 vi Çözüü Difersiye Dekeer Sekizii böüde kuvvet serieri kıs tıtırk, di ve düzgü teki okt koşuuğud difersiye dekeeri seri ie çözüü gösteriiş, yiri det difersiye dekei seri çözüü ypııştır. Ayrı, Besse, Legedre Gus difersiye dekeerii seri ie çözüeri gösteriiştir. Prof. Dr. Ad Bki Editör

6 İÇİNDEKİLER Ö Söz...v. BÖLÜM TEMEL BİLGİLER.. Gee Bigier..... Difersiye Dekeeri Ede Ediesi...3. BÖLÜM BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER. Değişkeerie Ayrıbiir Difersiye Dekeer Hooje Difersiye Dekeer T Difersiye Dekeer..... İtegrsyo Çrpı Lieer (Doğrus) Difersiye Dekeer Berui Difersiye Dekei Riti Difersiye Dekei İkii Böüe İgii Örek Çözüer BÖLÜM BİRİNCİ MERTEBEDEN YÜKSEK DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER 3.. y ye Göre Poio Şekideki Difersiye Dekeer Cirut Difersiye Dekei Lgrge Difersiye Dekei F(,p)=0,G(y,p)=0 Tipideki Dekeer y=f(,p),=g(y,p) Tipideki Dekeer Uygur ) Yörügeer b) Geoetrik Yoru ) Fizik Uygurı... 7

7 viii Çözüü Difersiye Dekeer. BÖLÜM YÜKSEK MERTEBEDEN SABİT KATSAYILI LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER... Mertebede Sbit Ktsyıı Lieer Hooje Difersiye Dekeer Mertebede Sbit Ktsyıı Lieer Difersiye Dekeer BÖLÜM YÜKSEK MERTEBEDEN DEĞİŞKEN KATSAYILI DİFERENSİYEL DENKLEMLER 5.. Sbit Ktsyıı Dekee Döüşebie Dekeer... 7 ) Cuhy-Euer Difersiye Dekei... 7 b) Legedire Difersiye Dekei... 8 ) Öze Bir Döüşüe Çözüebie Difersiye Dekeer Değişke Ktsyıı Lieer Hooje Difersiye Dekeer Hooje Lieer Dekei Mertebesii Düşürüesi Değişke Ktsyıı Lieer Difersiye Dekeer İkii Mertebede Lieer Difersiye Dekeer İrdeee Bğısız Değişkei Değiştiriesi Bğı Değişkei (y yi) Buudury Difersiye Dekeer Bğısız Değişkei ( i) Buudury Difersiye Dekeer T Difersiye Dekeer (Srrus Metodu) BÖLÜM YÜKSEK MERTEBEDEN DEĞİŞKEN KATSAYILI DİFERENSİYEL DENKLEMLER 6.. Lieer Difersiye Deke Sisteeri... 73

8 İçidekier i LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ İLE DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ 7.. Lpe Döüşüeri Lpe Döüşüüü Tee Özeikeri G Foksiyou Ters Lpe Döüşüü ve Tee Özeikeri Lpe Döüşüerii Difersiye Dekeerii Çözüüde Kuısı BÖLÜM SERİ YÖNTEMİ İLE DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ 8.. Kuvvet Serieri Difersiye Dekeeri Kuvvet Serieri ie Çözüü Adi Nokt Etrfıd Çözü ve Öreker Teki Nokt Etrfıd Çözü Frobeius Yötei ve Öreker Besse Difersiye Dekeer Legedre Difersiye Dekei ve Legedre Poiorı Gus Difersiye Dekeii Seri Çözüü ve Öreker... 3 Kykr... 33

9 Tee İtegr Forüeri i. r + d r d = + ^r!-h. = r sid =- os +. osd = si + 5. se d = t + 6. ose d =- ot + 7. se. t d = se + 8. ose. ot d = ose + 9. td =- os + 0. otd = si +. sed = se + t +. osed = ose - ot + 3. e d = e +. d = + 5. sih d = osh + 6. osh d = sih + 7. seh d = th + 8. oseh othd =- ose h+ 9. seh thd =+ se h+ 0. oseh othd =- ose h+ d d -. = rt +. = d + = + ^+ h^+ bh b - + b. d rsi d = + - d 5. = +! +! 6. - d = - + rsi + 7.! d =!! +! + 8. d - d = + + ^ + h ^ + h ^ + h, ^ =,,... h

10 ii Çözüü Difersiye Dekeer 9. si d = - si os d = + si + 3. t d = t ot d =-ot si d =- ^ + si hos os d = ^ + os hsi t d = t + os ot d =- ot + si se d = se t+ se + t ose d =- ose. ot+ ose - ot si si bd = 0. os os bd = si^- bh si^+ bh - + ^- bh ^+ bh si^- bh os^+ bh - + ^- bh ^+ bh os^- bh os^+ bh. si os bd =- - + ^- bh ^+ bh. si d =- si os+ - si os d = os si+ - os - -. t d = t - t ot d =- ot - ot d d d d

11 Tee İtegr Forüeri iii - 6. se d = se t+ se d - 7. ose d =- ose ot+ ose d 8. si os si = + - os + 9. sid = si - os osd = os +. si sid =- os + os d - 5. osd =- si - si d 53. rsi d = rsi rosd = ros si os - d 55. rt d = rt - ^ + h+ 56. rotd = r ot + ^ + h+ 57. rsed = r se rosed = rose rsi d = ^ - hrsi rt d = ^ + hrt d = d =

12 iv Çözüü Difersiye Dekeer 63. d - = + 6. ^ h d = ^ h - ^ h d 65. e d = ^- he e d e - = - e d 67. e os bd = e osb+ bsi b + b sib- bos b 68. e si bd = e + + b 69. th d = ^osh h+ 70. oth d = sih + 7. sehd = rt ^ e h + 7. osehd = th sih d = sih osh d = sih th d = - th oth d = - oth e osh bd = e 78. e sih bd = e osh b- bsih b + - b sih b- bosh b + - b 79. b d b rsi = ^ - h d 8! = ^! h! + +! + 8! + " 8. d =! d = - - rse +

13 Tee İtegr Forüeri v d =- - - rsi +! 8. d =-! + +! d =- - + rsi d =! " +! +! d 87. =-! +! d 88. se r = d - d! = " = "! + 9. ^ d - = - 3 / h + 9. ^ d! =! +! 3 / h 93. d rsi ^ - h = ^ - h d ^! h = ^! h! +! + 8 3

14 vi Çözüü Difersiye Dekeer e d =! ^ = 0,,,... h e d = 0 Z , =,,... r/ ] si d = r/ os d = [ , = 35,,... ] 3 5 \ Z r, = d ] 3 = [ 0 ^ 3 3 r + h - ]..., = 3,,... \ -

15 . BÖLÜM TEMEL BİLGİLER.. Gee Bigier Tı. : bğısız değişkei ie bu değişkee bğı foksiyou ve bu foksiyou çeşiti ertebede türeverii içere dekee difersiye deke deir. Bu tı göre; bğısız değişke, y, e bğı foksiyo, y i türeveri; y, y, y,..., y ^h ok üzere,, Fyy, y,..., ^h ` y j = 0 dekei. ertebede bir difersiye dekedir. Fyy `,, j = 0 birii ertebede difersiye dekedir. Fyy `,,, y j = 0 ikii ertebede difersiye dekedir... ^h Fyy `,,,..., y j = 0. ertebede difersiye dekedir. Bir difersiye dekei e yüksek ertebei türevi dekei ertebesidir. E yüksek ertebei türevi dereesi de difersiye dekei dereesidir. 3 y + y + = 0, y + y = 0, dy = _ + y i d, y + y - = 0 dekeeri. ertebede difersiye dekeerdir. y + y = + dekei 3. ertebede, d u du u = 0 dekei. ertebede, d d

16 Çözüü Difersiye Dekeer dv dt 3 d v $ + 3v = 5 dekei 3. ertebede difersiye dekeerdir. 3 dt ( y ) -y si - = 0 dekei. ertebede. dereede; y () + y + y + y = 0 dekei. ertebede 3. dereede bir difersiye dekedir. y + y t = si dekei. ertebede difersiye dekedir. ^h ^- h y + 5y + y + y + y = 0 dekei i ertebede. dereede bir difersiye dekedir. ^h Tı. : F`, yy,,..., y j = 0 bir difersiye deke osu. Bu difersiye dekei sğy y çözüü vey itegri deir. = f^h ifdesie söz kousu difersiye dekei bir Örek. : y + y-si- os + = 0 dekei verisi. y = si - bu dekei bir çözüüdür. Gerçekte; y = os oduğud os + si --si- os + = 0 our. Örek. : y - = 0 dekei verisi. keyfi sbit ok üzere y = + ifdesi dekei gee çözüüdür. Gerçekte; y - = 0 " y = dir. İtegr ıırs y = + our. Tı. 3: Bir difersiye dekei gee çözüü vey gee itegri bir eğri iesidir. F`, yy, j = 0 dekeii gee çözüü (Gee itegri) G^, y, h = 0 şekide bir eğri iesidir. Burd keyfi sbittir. (, pretre) F`, yy,,..., ^ y h j difersiye dekeii gee çözüü G(, y,,,..., ) = 0 şekide bir eğri iesidir.,,..., keyfi sbiterdir. Örek. 3: y = ise 3 y= +, y = + +, y = (Gee çözü) 6 3 Bir difersiye dekei gee çözüüde öze bir çözüü buubiir. Buu içi keyfi sbiteri syısı kdr şrt verieidir (Bşgıç değer probei).

17 Tee Bigier 3 Örek. : y + y = 0 dekeii gee çözüü y = os+ si dir. y^0h= 0, y ^0h = içi öze çözü y = si dir... Difersiye Dekeeri Ede Ediesi y = f^, h bir pretrei eğri iesi osu. y = f^, h Dekeeri rsıd yok ediirse Fyy `,, j = 0 şekide. y = f ^h ertebede difersiye deke ede ediir. y = f^,, h iki pretrei eğri iesi osu. y = f^,, h y = f ^,, h y = f ^,, h _ b ` b Dekeeri rsıd, sbiteri yok ediirse Fyy `,,, y j = 0 şekide. Mertebede difersiye deke ede ediir. y = f^,,,..., h y = f ^,,,..., ^h ^h h y = f ^,,,..., h _ b ` Dekeeri rsıd,,..., keyfi sbiteri b (pretreeri) yok ediirse Fyy `,,,..., y j = 0 şekide.i ertebede difersiye deke ede ediir. ^h

18 Çözüü Difersiye Dekeer ALIŞTIRMALAR. Gee çözüü y = os^h+ si^ h o difersiye dekei ede ediiz. Çözü: y = os^h + si^ h y =- si^h + os^ h y = si^ h + os^h - os^ h - si^ h y = 7 os^h + si^ h - - si + os A < ^ h ^ hf " y = y - y y- y + y = 0 difersiye dekei buuur y = e + e + e buuuz. eğri iesii sğdığı difersiye dekei Çözü: - 3 y = e + e + e - 3 y = e - e + e - 3 y = e - e + e - y = e - e + 8 e 3 _ y - y = 3 e 3 by - y = `y - yj ` y - y = 6 e y -y - y + y = 0 3 b difersiye dekei ede ediir.

19 Tee Bigier 5 3. y = difersiye dekeii y^h= 7, y ^h = 3 şrtrıı sğy çözüüü buuuz. Çözü: 3 5 y = " y = + 5+ " y = = içi y = 7 " = 7 = içi y = 3 " = 3 " = = 7 " = 7+ = y = = f^h (öze çözü). Herhgi bir oktsıdki teğetii eğii y - y o ve (, ) ok- tsıd geçe eğriyi buuuz. Çözü: dy Herhgi bir (,y) oktsıdki teğeti eğii dir. d dy y + = y (Beroui difersiye dekei) d dy d = y - y y y, y + = y = z " y y = z z z z z - + = " - =- (Lieer deke) z = u$ v " u = e = e d d - - =, v =- $ + =- +