ZAMAN BÖLGESİNDE SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE RADAR KESİT ALANI KESTİRİMİ. Funda ERGÜN YARDIM DOKTORA TEZİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ

Transkript

1 ZAMAN BÖLGESİNDE SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE RADAR KESİT ALANI KESTİRİMİ Funda ERGÜN YARDIM DOKTORA TEZİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ EYLÜL 2012 ANKARA

2

3 ZAMAN BÖLGESİNDE SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE RADAR KESİT ALANI KESTİRİMİ Funda ERGÜN YARDIM DOKTORA TEZİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ EYLÜL 2012 ANKARA

4 Funda ERGÜN YARDIM tarafından hazırlanan ZAMAN BÖLGESİNDE SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE RADAR KESİT ALANI KESTİRİMİ adlı bu tezin Doktora tezi olarak uygun olduğunu onaylarım. Yrd. Doç. Dr. Nursel AKÇAM.. Tez Danışmanı, Elektrik-Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile Elektrik-Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalında Doktora tezi olarak kabul edilmiştir. Yrd. Doç. Dr. Nursel AKÇAM (Danışman) Elektrik-Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı, G.Ü. Prof. Dr. Erdem YAZGAN Elektrik-Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı, H.Ü. Prof. Dr. M. Cengiz TAPLAMACIOĞLU Elektrik-Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı, G.Ü Doç. Dr. Erkan AFACAN Elektrik-Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı, G.Ü. Yrd. Doç. Dr. Hasan Şakir BİLGE Bilgisayar Mühendisliği Anabilim Dalı, G.Ü..... Tarih: 17/09/2012 Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Doktora derecesini onamıştır. Prof. Dr. Şeref SAĞIROĞLU Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü.

5 TEZ BİLDİRİMİ Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm. Funda ERGÜN YARDIM

6 iv ZAMAN BÖLGESİNDE SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE RADAR KESİT ALANI KESTİRİMİ (Doktora Tezi) Funda ERGÜN YARDIM GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Eylül 2012 ÖZET Radar Kesit Alanı (RKA), hedeflerin üzerine gelen elektromanyetik enerjiyi radar alıcısı yönünde yansıtma kabiliyetlerinin bir ölçüsüdür. Bu çalışmada iki boyutlu kare silindir, dairesel silindir ve eşkenar üçgen gibi basit şekillerin ve karmaşık yapıya sahip bir uçak modelinin bistatik RKA hesaplamaları Zamanda Sonlu Farklar (FDTD) yöntemi kullanılarak Matlab 7.8 simülasyon ortamında gerçekleştirilmiştir. Simülasyonlarda doğru ve kararlı sonuçlar elde edilebilmesi için, sayısal dağılma ve Courant kararlılık koşulları dikkate alınarak parametre seçimi yapılmıştır. FDTD problem uzayı literatürde tanıtılan en esnek ve etkili yutucu sınır koşullarından biri olan Tek Eksenli Mükemmel İletken Tabaka (UPML) ile sonlandırılmıştır. ve durumları için yansıma hatasının yaklaşık olarak -75 db seviyesinde olduğu gösterilmiştir. Ayrıca bu çalışmada FDTD yöntemine uzak bölge kaynaklarının etkili bir şekilde katılmasını sağlayan yöntemlerden birisi olan TF/SF formülasyonu detaylı bir şekilde anlatılmıştır. Toplam Alan/ Saçılan Alan (TF/SF) formülasyonunun uygulanabilmesi için gerekli olan gelen dalgalar IFA yöntemi kullanılarak elde edilmiştir. Gelen Alan Dizisi (IFA) yönteminin performansının iyileştirilmesi için uyumlandırılmış Sayısal Dağılma Yöntemi (MND) 2D-FDTD ızgarasına uygulanmıştır. Böylece, geniş band darbe uyarımları için TF/SF dalga kaynağına uygulanan MND yöntemi ile saçılan alan bölgesine olan alan kaçakları yaklaşık 200 db azaltılmıştır. Daha sonra, IFA yönteminde kullanılan lineer interpolasyon yerine yüksek dereceli kübik eğrisel interpolasyon kullanılarak kaçak alanın yaklaşık 70 db azaltılabileceği gösterilmiştir. RKA kestiriminde saçıcıdan uzak alanda ışıma veya saçılma alanlarını bulmak gerekir. Bu çalışmada TF/SF formülasyonu ile elde edilen yakın alan FDTD verisinden Yakın Alan/ Uzak Alan (NF/FF) dönüşüm tekniği kullanılarak uzak alan elektromanyetik alanlar hesaplanmıştır. Saçılma mekanizmalarının kullanılan frekansa, hedefin geometrisine ve elektriksel özelliklerine bağlı olarak etkinliğini incelemek için öncelikle kare silindir, dairesel silindir ve eşkenar üçgen gibi basit yapılar çalışılmıştır. 2D-FDTD

7 v simülasyonu ile RKA hesaplamalarının Rayleigh, Rezonans ve Optik bölgelerde yapılabileceği gösterilmiştir. Son olarak elips ve üçgen gibi basit yapılarla oluşturulan bir uçak modelinin RKA davranışları farklı yönlerde aydınlatmalar ve farklı frekanslar için incelenmiştir. Bilim Kodu : Anahtar Kelimeler : Radar kesit alanı, FDTD, TF/SF formülasyonu, NF/FF dönüşüm tekniği Sayfa Adedi : 192 Tez Yöneticisi : Yrd. Dç. Dr. Nursel AKÇAM

8 vi RADAR CROSS SECTION PREDICTION WITH FINITE DIFFERENCE TIME DOMAIN METHOD (Phd. Thesis) Funda ERGÜN YARDIM GAZİ UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY September 2012 ABSTRACT Radar Cross Section (RCS) is the measure of target s ability to reflect radar signals in the direction of the radar receiver. In this study, the bi-static Radar Cross Section simulations of simple shapes such as a two dimensional square cylinder, a circular cylinder, an equilateral triangle and a complex aircraft model was carried out by using Finite Difference Time Domain (FDTD) method and Matlab 7.8 as the simulation environment. In order to obtain accurate and stable results in simulations, parameter selection is made by taking the numerical dispersion and the Courant stability conditions into account. FDTD problem space is terminated by Uniaxial Perfectly Matched Layer (UPML) which is one of the most flexible and effective absorbing boundary conditions described in the literature. For and cases, the reflection error is shown to be approximately at the level of -75 db. Moreover in this study, the TF/SF formulation, one of the methods which effectively provide the contribution of the far field sources into FDTD method, is described in detail. The incident fields necessary for the implementation of Total Field/Scattered Field (TF/SF) formulation were obtained by using IFA method. For improving the performance of Incident Field Array (IFA) method, Matched Numerical Dispersion (MND) method was applied to two dimensional FDTD grid. Thus, by applying MND method to TF/SF wave source the field leakege into the scattered filed region is reduced by 200 db for wide-band pulse excitations. Then it is shown that, by using a higher order cubic spline interpolation instead of linear interpolation in IFA method, the field leakage can be reduced about 70 db. In RCS estimations, the far field radiations or scattered fields from the scatterers need to be found. In this study, the far filed electromagnetic fileds were calculated by using Near Field/Far Field (NF/FF) transformation technique from the near field FDTD data obtained by TF/SF formulation. In order to evaluate the effectiveness of scattering mechanisms depending on the frequency used, the target geometry and the electrical properties, first of all simple shapes such as a square cylinder, a circular cylinder and an equilateral triangle were

9 vii studied. It is shown that, the RCS calculations can be done in Rayleigh, Resonance and Optical regions by the 2D-FDTD simulation. Finally, the RCS behaviour of an aircraft model composed of simple shapes as ellipse and triangle are investigated for different illuminations and different frequencies. Science Code : KEY Words : Radar cross section, FDTD, TF/SF formulation, NF/FF transformation technique Page Number : 192 Adviser : Ass. Prof. Dr. Nursel AKÇAM

10 viii TEŞEKKÜR Çalışmalarım boyunca değerli yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren çok kıymetli Hocalarım Prof. Dr. Erdem YAZGAN a, Doç. Dr. Erkan AFACAN a ve Yrd. Doç. Dr. Nursel AKÇAM a, manevi destekleriyle beni hiçbir zaman yalnız bırakmayan çok değerli eşim Orçun YARDIM a, beni bu günlere getiren ve her sıkıntımda yardımıma koşan annem Nigar ERGÜN e, babam Mustafa ERGÜN e ve bir gülüşüyle bana bütün yorgunluğumu unutturan sevgili kızım Beril YARDIM a ve tüm aileme teşekkürü bir borç bilirim.

11 ix İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... iv ABSTRACT... vi TEŞEKKÜR... viii İÇİNDEKİLER... ix ÇİZELGELERİN LİSTESİ... xii ŞEKLİLLERİN LİSTESİ... xiii SİMGELER VE KISALTMALAR... xx 1.GİRİŞ ELEKTROMANYETİK PROBLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Zamanda Sonlu Farklar Yöntemi (FDTD) Maxwell Denklemleri Üç Boyutlu FDTD ve Yee Algoritması İki Boyutlu Problemler için FDTD Güncelleme Denklemleri FDTD Yönteminin Problem Uzayına Uygulanması Nümerik kararlılık koşulu Sayısal dağılma (numerical dispersion) ve hücre adımı seçimi İki boyutlu dalga yayılımı için sayısal dağılma ilişkisinin türetilmesi Simülasyon Sonuçları SINIR KOŞULUNUN TANIMLANMASI Giriş Tek Eksenli Mükemmel Uyumlu Tabaka (UPML)... 54

12 x Sayfa 3.3. Ayrık Tek Eksenli Mükemmel Uyumlu Tabaka Köşe Bölgeler Mükemmel Uyumlu Tabakanın Teorik Performansı PML kayıp parametrelerini dereceleme Simülasyon Sonuçları GELEN DALGA KAYNAK ŞARTLARI TF/SF Formülasyonu ve Matematiksel Modeli Eşdeğerlik prensibi Literatürde gelen dalga üretimi Gelen Dalgaların Elde Edilmesi ve Meydana Gelen Hatalar TF/SF Formülasyonu İki Boyutta TF/SF Yöntemi Tutarlılık koşulları Gelen alan hesabı Simülasyon Sonuçları Uyumlandırılmış sayısal dağılma (MND) yöntemi Yüksek dereceli interpolasyon ile gelen dalga dizisi (IFA) YAKIN ALAN / UZAK ALAN DÖNÜŞÜMÜ (NF/FF) Yüzey Eşdeğerlik Teoreminin Uygulanması FDTD Simülasyonunda Eşdeğer Yüzey Akımları Frekans Bölgesi NF/FF Dönüşümü Ayrık Fourier dönüşümü

13 xi Sayfa Uzak alan limiti Yardımcı Vektör Potansiyeller, Işıma ve Saçılma Denklemleri İki Boyutlu Vektör Potansiyel Yaklaşımı Radar Kesit Alanı Radar Kesit Alanı Hesaplama Teknikleri Saçılma Mekanizmaları Simülasyon Sonuçları SONUÇ VE ÖNERİLER EKLER EK-1. Kaynak dalga formları EK-2. Newton iterasyon yöntemi ile dalga sayısı ve faz hızının bulunması ÖZGEÇMİŞ

14 xii ÇİZELGELERİN LİSTESİ Çizelge Sayfa Çizelge 2.1. düzleminde TE/TM durumları için denklem setleri Çizelge 5.1. Genel RKA hesaplama yöntemleri Çizelge 5.2: Farklı frekanslarda ile arasındaki ilişki Çizelge 5.3. Farklı frekanslarda ile arasındaki ilişki Çizelge 5.4. Farklı frekanslarda ile arasındaki ilişki

15 xiii ŞEKLİLLERİN LİSTESİ Şekil Sayfa Şekil 2.1. Birim Yee hücresi ve alan bileşenlerinin yerleşimi Şekil 2.2. Malzeme bileşenleri Şekil düzleminde iki boyutlu enine alan bileşenleri (a) modu (b) modu Şekil 2.4. durumu için FDTD algoritması Şekil 2.5. durumu için FDTD algoritması Şekil 2.6. Sayısal dağılmanın fiziksel yorumu [Sevgi, 1999] Şekil 2.7. Nümerik faz hızının iki boyutlu ortamda yayılım yönüne bağlı değişimi Şekil 2.8. Serbest uzayda 40 zaman adımındaki elektrik alan dağılımı Şekil 2.9. Serbest uzayda soft source için 40 zaman adımındaki elektrik alan dağılımı Şekil Serbest uzayda 80 zaman adımındaki elektrik alan dağılımı Şekil Serbest uzayda 100 zaman adımındaki elektrik alan dağılımı Şekil Serbest uzayda 150 zaman adımındaki elektrik alan dağılımı Şekil Serbest uzayda 40 zaman adımındaki manyetik alan dağılımı Şekil Serbest uzayda 40 zaman adımındaki manyetik alan dağılımı... 42

16 xiv Şekil Sayfa Şekil Kayıplı dielektrik ortamda 40 zaman adımındaki elektrik alan dağılımı Şekil Kayıplı dielektrik ortamda 80 zaman adımındaki elektrik alan dağılımı Şekil Kayıplı dielektrik ortamda 100 zaman adımındaki elektrik alan dağılımı Şekil Kayıplı dielektrik ortamda 150 zaman adımındaki elektrik alan dağılımı Şekil Kayıplı dielektrik ortamda 300 zaman adımındaki elektrik alan dağılımı Şekil Kayıplı dielektrik ortamda 500 zaman adımındaki elektrik alan dağılımı Şekil Serbest uzayda sinüzoidal hard kaynak için 60 zaman adımındaki elektrik alan dağılımı Şekil Kayıplı dielektrik ortamda sinüzoidal hard kaynak için 60 zaman adımındaki elektrik alan dağılımı Şekil modu için serbest uzayda soft kaynak için 40 zaman adımındaki manyetik alan dağılımı Şekil modu için kayıplı dielektrik ortamda 40 zaman adımındaki manyetik alan dağılımı Şekil 3.1:Diagonal anizotropik ortama gelen bir düzlemsel dalga Şekil 3.2. Ortam 2 ye açısı ile gelen polarizeli dalga için yansıyan ve kırılan dalga gösterimi Şekil düzleminde FDTD hesap uzayının görünümü [Sandeep, 2006] Şekil 3.4. durumu için UPML denklemleri için güncellenen alan bileşenleri... 69

17 xv Şekil Sayfa Şekil 3.5 (a) İki boyutlu bir problem uzayı ( ) (b) Örneklenen manyetik alan zaman grafiği Şekil 3.6. FDTD uzayının dört kenarı PEC iken örneklenen manyetik alan zaman grafiği Şekil 3.7 (a) Referans durumu için iki boyutlu bir problem uzayı (b) Örneklenen manyetik alan -zaman grafiği Şekil 3.8. durumu için zamanın bir fonksiyonu olarak hata Şekil 3.9. (a) durumu için örneklenen elektrik alan zaman grafiği (b) durumu için zamanın bir fonksiyonu olarak hata Şekil durumu için frekansın bir fonksiyonu olarak hata Şekil 4.1. Denk kaynak akımları doğru iç alanlar üretir [Merewether ve ark., 1980] Şekil 4.2. FDTD uzay ızgarasının toplam alan/saçılan alan bölgeleri Şekil 4.3. TF/SF sınırında 2D ızgarasında alan bileşenleri Şekil 4.4. Lineer İnterpolasyon Şekil 4.5. FDTD ızgarasında alan dağılımının 4 anlık görüntüsü Şekil 4.6. SF bölgesinde gözlem noktasında elektrik alan Şekil 4.7. SF bölgesinde gözlem noktasında elektrik alan Şekil 4.8. TF bölgesinde ve gözlem noktalarında elektrik alan Şekil 4.9. Dik geliş için farklı zaman adımlarında elektrik alanın anlık görüntüleri Şekil durumu için (a) TF bölgesinde elektrik alan (b) SF bölgesinde elektrik alan

18 xvi Şekil Sayfa Şekil durumu için (a) TF bölgesinde manyetik alan (b) SF bölgesinde manyetik alan Şekil Merkezde PEC silindir varken FDTD ızgarasındaki alan dağılımının 4 anlık görüntüsü Şekil (a) için MND yöntemi ile SF bölgesinde bulunan ızgara noktasında kaçak elektrik alanın mutlak değeri (b) için tek frekans kompanzasyon yöntemi ve MND yöntemi ile SF bölgesinde bulunan ızgara noktasında kaçak elektrik alanın mutlak değerinin (db) karşılaştırılması Şekil (a) için MND yöntemi ile SF bölgesinde bulunan ızgara noktasında kaçak elektrik alanın mutlak değeri (b) için tek frekans kompanzasyon yöntemi ve MND yöntemi ile SF bölgesinde bulunan ızgara noktasında kaçak elektrik alanın mutlak değeri (db) Şekil Kübik eğrisel interpolasyon kullanan IFA şemasının geometrisi Şekil (a) için lineer interpolasyon kullanılarak elde edilen noktasında kaçak elektrik alanın mutlak değeri (b) için kübik eğrisel interpolasyon kullanılarak elde edilen noktasında kaçak elektrik alanın mutlak değeri Şekil geliş açısı için noktasında lineer ve kübik eğrisel interpolasyon kullanılarak elde edilen kaçak elektrik alanın karşılaştırılması (a) genliklerin mutlak değeri, (b) db cinsinden Şekil (a) için lineer interpolasyon kullanılarak elde edilen noktasında kaçak elektrik alanın mutlak değeri, (b) için kübik eğrisel interpolasyon kullanılarak elde edilen noktasında kaçak elektrik alanın mutlak değeri Şekil geliş açısı için noktasında lineer ve kübik eğrisel interpolasyon kullanılarak elde edilen kaçak elektrik alanın karşılaştırılması (a) genliklerin mutlak değeri, (b) db cinsinden

19 xvii Şekil Sayfa Şekil noktasında lineer ve kübik eğrisel interpolasyon kullanılarak elde edilen kaçak elektrik alanın mutlak değerinin db cinsinden karşılaştırılması (a) geliş açısı için, (b) geliş açısı için Şekil 5.2. Yüzey Eşdeğerlik Teoremi (a) Orijinal problem (b) yüzeyinin dışındaki bölge için Eşdeğerlik problemi Şekil 5.3. Anten veya saçıcıyı çevreleyen sanal kapalı yüzey Şekil 5.4. Yakın alan integrasyon kontürü ile ilişkili uzak alan gözlem noktasının geometrisi [Taflove ve Hagness, 2005] Şekil 5.5. Elektrik ve manyetik kaynaklardan ışıma alanı hesabı için blok diyagram [Balanis, 1989] Şekil 5.6. Bir hava aracının temel geometrik şekillerle gösterimi [Jenn, 2005] Şekil 5.7. Bazı tipik doğal ve insan yapımı nesnelerin RKA değerleri Şekil 5.8. (a) Mono-statik radar, (b) Bi-statik radar Şekil 5.9. uzunluğunda bir hedef örneği Şekil Bir kürenin radar saçılma yüzeyi [Jenn, 2005] Şekil Önemli saçılma mekanizmalarının gösterimi [Çiber, 2001] Şekil 5.12 (a) Aydınlatma açısı iken mükemmel iletken kare silindir için bistatik radar kesit alanı (b) Umashankar ve Taflove-1982 de elde edilen sonuçlarla karşılaştırması Şekil 5.13 Aydınlatma açısı iken mükemmel iletken kare silindir için bistatik radar kesit alanı Şekil 5.14 (a) Aydınlatma açısı iken mükemmel PEC dairesel silindir normalize bistatik radar kesit alanı (b) [Umashankar ve Taflove, 1982] de elde edilen sonuçlarla karşılaştırması

20 xviii Şekil Sayfa Şekil Aydınlatma açısı iken dielektrik sabiti 2 olan malzeme ile kaplı dairesel silindirin normalize bistatik radar kesit alanı Şekil FDTD uzayında eşkenar üçgen varken elektrik alanın anlık görüntüsü (a) 50 zaman adımında (b) 350 zaman adımında Şekil Aydınlatma açısı iken mükemmel iletken eşkenar üçgen için normalize bistatik radar kesit alanı (bakış açısı ) Şekil Aydınlatma açısı iken mükemmel iletken eşkenar üçgen için normalize bistatik radar kesit alanı (bakış açısı ) Şekil Aydınlatma açısı iken mükemmel iletken eşkenar üçgen için normalize bistatik radar kesit alanı (bakış açısı ) Şekil polarizeli bir düzlemsel dalga ile geliş açısında aydınlatılan kare silindirin farklı frekanslarda elde edilen bistatik RKA davranışları Şekil polarizeli bir düzlemsel dalga ile geliş açısında aydınlatılan kare silindirin farklı frekanslarda elde edilen bistatik RKA davranışları Şekil polarizeli bir düzlemsel dalga ile geliş açısında aydınlatılan kare silindirin optik frekans bölgesinde elde edilen bistatik RKA davranışları Şekil Elips ve üçgen kullanılarak oluşturulan bir uçak modeli Şekil polarizeli bir düzlemsel dalga ile geliş açısında aydınlatılan uçağın farklı frekanslarda elde edilen bistatik RKA davranışları Şekil polarizeli bir düzlemsel dalga ile geliş açısında aydınlatılan uçağın farklı frekanslarda elde edilen bistatik RKA davranışları

21 xix Şekil Sayfa Şekil polarizeli bir düzlemsel dalga ile geliş açısında aydınlatılan uçağın farklı frekanslarda elde edilen bistatik RKA davranışları

22 xx SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur. Simgeler Açıklama Elektrik potansiyel vektörü Manyetik Akı Yoğunluğu Serbest uzayda ışık hızı Elektrik Yerdeğiştirme Vektörü UPML kalınlığı Elektrik Alan Şiddet Vektörü Elektrik alan x-bileşeni Elektrik alan y-bileşeni Elektrik alan z-bileşeni Gelen Elektrik Alan Saçılan Elektrik Alan Toplam Elektrik Alan Elektrik alan -bileşeni Elektrik alan -bileşeni Elektrik alan -bileşeni Toplam Saçılma kaynaklarının sayısı Sinyalin en yüksek frekansı Manyetik potansiyel vektörü Frekans Manyetik Alan Şiddet Vektörü Manyetik alan x-bileşeni Manyetik alan y-bileşeni

23 xxi SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler Açıklama Manyetik alan z-bileşeni UPML örneklenen manyetik alan Referans örneklenen manyetik alan Zaman bölgesinde yansıma hatası Frekans bölgesinde yansıma hatası Gelen Elektrik Alan Saçılan Elektrik Alan Toplam Elektrik Alan Elektrik Akım Yoğunluğu Vektörü İletme akım yoğunluğu Kaynak akım yoğunluğu Nümerik dalga vektörünün bileşeni Nümerik dalga vektörünün bileşeni Nümerik dalga vektörünün bileşeni Dalga vektörünün bileşeni Dalga vektörünün bileşeni Dalga vektörünün z bileşeni Dalga yayılım doğrultusu vektörü Dalga Sayısı Manyetik Akım Yoğunluğu Vektörü Polinom derecesi Zaman adımı sayısı yönünde toplam hücre sayısı yönünde toplam hücre sayısı yönünde toplam hücre sayısı Zaman adım sayısı

24 xxii SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler Açıklama Izgara örnekleme yoğunluğu Saçılma kaynaklarının sayısı Yüzeye dik birim vektör Gözlem noktası Gelen dalganın güç yoğunluğu Saçılan dalganın güç yoğunluğu Yansıma hatası Dik geliş durumunda yansıma hatası Radar ile hedef arası mesafe Gecikme mesafesi Courant kararlılık faktörü Bir boyutlu ızgarada Courant faktörü İki boyutlu ızgarada Courant faktörü Kapalı sanal yüzey Hesap süresi Zaman öteleme süresi Dalganın açısal frekansı Dalganın faz hızı Nümerik dalganın faz hızı Hesaplama zaman aralığı yönündeki hücre boyu yönündeki hücre boyu yönündeki hücre boyu Bir boyutlu ızgarada hücre boyu İki boyutlu ızgarada hücre boyu Manyetik geçirgenlik

25 xxiii SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler Açıklama Bağıl dielektrik sabiti Serbest uzayın dielektrik sabiti Ortamın dalga empedansı Serbest uzayın dalga empedansı Düzlem dalganın geliş açısı Düzlem dalganın yansıma açısı Düzlem dalganın kırılma açısı En küçük dalga boyu Dalga Boyu Elektrik geçirgenlik Bağıl manyetik geçirgenlik Serbest uzayın manyetik geçirgenliği Elektrik Yük Yoğunluğu Manyetik Yük Yoğunluğu Gözlem noktası yer vektörü Kaynak noktası yer vektörü Elektrik iletkenlik Manyetik iletkenlik Maksimum iletkenlik Radar Kesit Alanı Darbe genişliği Manyetik alan iletim katsayısı Nümerik dalganın yayılım yönü Manyetik alan yansıma katsayısı

26 xxiv SİMGELER VE KISALTMALAR Kısaltmalar ABC CFL CPML DBC DFT EMC FDTD FE FFT IFA MND MoM MOT NF/FF NPML PEC PMC PML RCS RKA SC-PML TM TE TF/SF TLM UPML Açıklama Absorbing Boundary Condition Courant-Friedrichs-Lewy koşulu Convolutional Perfectly Matched Layer Dispersive Boundary Condition Discrete Fourier Transform Electromagnetic Compability Finite Difference Time Domain Finite Element Fast Fourier Transform Incident Field Array Matched Numerical Dispersion Moment Metodu Marching on in time Near Field Far Field Nearly Perfectly Matched Layer Perfect Electric Conductor Perfect Magnetic Conductor Perfectly Matched Layer Radar Cross Section Radar Kesit Alanı Stretched Coordinates PML Transverse Magnetic Transverse Electric Total Field/Scattered Field Transmision Line Matrix Unisotropic Perfectly Matched Layer

27 1 1.GİRİŞ Ulusal savunma kapsamında sınırlarımızın denizden, karadan ve denizaltından sürekli olarak gözetlenmesi ve kontrol edilmesi önemlidir. Radarlar, elektronik gözetleme sistemlerinin temel taşını oluştururlar. Bir radarın performansı elektromanyetik dalgaların radar hedefleriyle etkileşiminin fiziksel olarak iyi anlaşılmasına, matematiksel olarak modellenmesine ve bilgisayar simülasyonları ile analiz edilmesine bağlıdır. Radar Kesit Alanı olarak adlandırılan bu etkileşim, etkili radar sistemlerinin tasarımı, güvenilir tümleşik gözetleme sistemlerin kurulumu ve karmaşık hedeflerin (uçak, tank vb.) yapımı olmak üzere birçok alanda dikkat edilmesi gereken bir konudur. Radar kesit alanı hedeflerin elektromanyetik saçılma özelliklerini yansıtan en önemli parametredir ve radarla hedef bulmada ve görünmezlik teknolojisinde önemli bir performans göstergesidir. Yüksek hız ve yüksek kapasiteye sahip kişisel bilgisayarların gelişimine paralel olarak sayısal elektromanyetik yöntemler, karmaşık hedeflerin RKA, anten ve mikrodalga cihazlarının doğru tasarımını içine alan değişik elektromanyetik problemler için son derece doğru kestirimlerin verilebildiği bir noktaya gelmiştir [Uluışık ve ark., 2008]. Güçlü sayısal elektromanyetik yöntemlerden biri olan FDTD yöntemi tek bir simülasyon ile geniş band frekans analiz kapasitesine sahip olduğundan RKA analizlerinde yaygın olarak kullanılır. FDTD nin en büyük zorluklarından biri, açık bölgelerde elektromanyetik dalga etkileşim problemlerinin doğru ve etkili çözümüdür [Wei ve ark., 2010]. Problem uzayının sonsuza kadar genişlemesi bilgisayar kaynakları bakımından mümkün olmadığından uzayın, etkileşmeler bakımından yeterli olacağı belli bir yerde kesilerek uygun biçimde sonlandırılması gerekir. Uzayın belli bir bölgede kesilerek, gerçekteki sonsuzluğunun modellenmesi için kesilen bölgeden itibaren uygulanan sınır koşullarına Yutucu Sınır Koşulları (Absorbing Boundary Condition, ABC) adı verilir [Başaran, 2008]. Genellikle FDTD problem uzayının sınırı, saçılan ya da yayılan alanların sınıra ulaşması durumunda onları yutacak şekilde seçilir.

28 2 Kaynaklar FDTD uzayında elektrik ve manyetik alanları oluştururlar. Bu nedenle FDTD simülasyonunun gerekli bileşenleridir ve tipleri uygulanacak probleme göre değişmektedir. Kaynaklar genellikle iki tiptir [Elsherbeni ve Demir, 2008]: 1.Yakın bölge kaynakları (gerilim ve akım kaynakları vb.), 2. Uzak bölge kaynakları (saçılma problerinde kullanılan bir, iki ve üç boyutta düzlemsel dalga uyartımı için toplam alan/saçılan alan (TF/SF) formülasyonu). Uzak bölge kaynakları problem uzayı içindeki saçıcıları aydınlatacak problem uzayı dışında bir yerde oluşturulan alanlardır. Bu nedenle, bu kaynaklar problem uzayını uyartan gelen alanlardır. Gelen alanın en genel tipi düzlemsel dalgadır. TF/SF formülasyonu FDTD yöntemine düzlemsel dalgaların etkili bir şekilde katılmasını sağlayan iyi tasarlanmış bir yöntemdir. FDTD yönteminde TF/SF formülasyonu son derece karmaşık olan geometriye sahip saçıcılardan, saçılan alanları simüle etmek için kullanılan güçlü bir araçtır [Taflove ve Hagness, 2005]. Çünkü formülasyon saçıcılar üzerinde uyarılan indüklenmiş alan dağılımlarını modelleme ihtiyacını ortadan kaldırmaktadır. TF/SF formülasyonunun temel matematiksel çıkarımı, alan süreksizlik eşitlikleri ve Schelkunoff tarafından biçimlendirilen eşdeğerlik prensibidir. FDTD yöntemi sınırlı bir uzay içerisinde (örneğin hesapsal uzay boyunca alanlar) alan değerlerini sağlar. Ancak pratikte modellenen bölgeden uzaktaki alanlar ile ilgilenilir. FDTD yöntemiyle, uzak alanın doğrudan değerlendirmesi oldukça büyük hesapsal uzaya ihtiyaç duyar. Antenler ve radar kesit alanı gibi birçok uygulamada, anten veya saçıcıdan uzak alanda ışıma veya saçılma alanlarını bulmak gerekir. Bu nedenle TF/SF formülasyonu ile elde edilen yakın saçılan alanlardan, uzak alan değerlerinin elde edilmesi gerekir. Uzak alan değerlerinin elde edilmesinde FDTD algoritması kadar önemli olan yakın alan/uzak alan dönüşümlerine (NF/FF) ihtiyaç vardır. FDTD sonuçlarını kullanarak geliştirilen NF/FF dönüşümleri Schelknouff tarafından elektromanyetik problemler için ortaya atılan eşdeğerlik ilkesine dayanır. İkinci bölümde ilk olarak zaman bölgesi diferansiyel eşitlik yaklaşımı olan FDTD yöntemi incelenmiştir. Daha sonra (Transverse Electric) ve (Transverse Magnetic) durumları için iki boyutlu FDTD güncelleme denklemleri türetilmiş ve FDTD çözümlerinin doğru ve kararlı olmasında dikkat edilmesi gereken sayısal

29 3 dağılma ve Courant kararlılık koşulu incelenmiştir. Son olarak, sınırları mükemmel elektrik iletken (PEC- Perfect Electric Conductor) tabaka ile çevrelenmiş serbest uzay ve kayıplı dielektrik ortam olarak tanımlanan FDTD problem uzayında ve durumları için dalga yayılımı simüle edilmiş ve sonuçlar tartışılmıştır. Üçüncü bölümde, literatürde tanıtılan en esnek ve etkili yutucu sınır koşullarından biri olan tek eksenli mükemmel iletken tabaka (UPML) sınır koşulu anlatılmış ve merkezi fark yaklaşımı kullanılarak fark denklemleri ve parametreler tanımlanmıştır. UPML nin teoride serbest uzay-upml arayüzünde iki ortam arasında empedans uyumu sağlandığında gelen dalgaları yansıma olmaksızın yutabildiği gösterilmiştir. Ancak FDTD gibi sayısal yöntemler ile yapılan gerçek hesaplamalarda bir miktar nümerik yansıma oluşmaktadır [Berenger, 2002]. Bu nedenle UPML nin oluşturduğu nümerik yansımalar teorik olarak türetilmiştir. Daha sonra, UPML ortamında durumu için FDTD güncelleme denklemleri elde edilmiştir. Son olarak ve durumları için zaman ve frekans bölgelerinde yansıma hatalarının simülasyon sonuçları verilerek değerlendirmeler yapılmıştır. Dördüncü bölümde, FDTD yöntemine uzak bölge kaynaklarının etkili bir şekilde katılmasını sağlayan yöntemlerden birisi olan TF/SF formülasyonu ve matematiksel modeli detaylı bir şekilde anlatılmıştır. Literatürde gelen dalga üretimi ve gelen dalga üretiminde oluşan hatalar incelenmiştir. TF/SF formülasyonu ile 2D durumu için güncelleme denklemleri elde edilmiştir. Burada, bu formülasyon FDTD ızgarasında rastgele zaman dalgaformu, süresi ve yayılım yönüne sahip olan gelen düzlemsel dalga üretimine izin vermektedir. TF/SF formülasyonunun uygulanabilmesi için gerekli olan gelen dalgalar, gelen dalga dizisi (IFA) kullanılarak elde edilmiştir. IFA ile tanıtılan hatalar nümerik örneklerle gösterilmiş ve bu hataları azaltmak için uyumlandırılmış sayısal dağılma (MND) yöntemi 2D- FDTD ızgarasına uygulanmıştır. Geniş band darbe uyarımları için TF/SF dalga kaynağına uygulanan MND yöntemi ile elde edilen iyileşmeler farklı geliş açıları için incelenmiştir. Daha sonra, saçılan alan bölgesindeki kaçak alanın IFA yönteminde kullanılan lineer interpolasyon yerine yüksek dereceli kübik eğrisel interpolasyon kullanılarak daha da azaltılabileceği gösterilmiştir. Ayrıca, bu yüksek derece

30 4 interpolasyon tekniklerinin uygulanabilirliğinin herhangi bir zaman bağımlı düzlemsel dalga için geçerli olduğunu göstermek amacıyla simülasyonda bir sinüzoidal dalga, gelen dalga olarak kullanılmış ve benzer sonuçlar elde edilmiştir. Beşinci bölümde, yakın alan FDTD verisinden uzak alan elektromanyetik alanların hesaplanmasını sağlayan ve RKA analizleri için gerekli olan NF/FF dönüşümü detaylı bir şekilde anlatılmıştır. NF/FF dönüşümünün temelini oluşturan yüzey eşdeğerlik teoreminin uygulanması sonucunda 2D- durumu için NF/FF sınırı üzerindeki eşdeğer yüzey akımları sınıra teğet alan bileşenleri kullanılarak elde edilmiştir. Vektör potansiyeller kullanılarak saçılan alanlar hesaplanmış ve iki boyutta bistatik radar kesit alanını elde etmek için kullanılmıştır. RKA ile temel bilgiler verildikten sonra hedeflerin RKA nının açık bir şekilde farklılaştığı üç frekans bölgesi (Rayleigh, Rezonans, Optik) ve RKA hesaplama teknikleri tartışılmıştır. Daha sonra hedeflerin radar kesit alanı hesabında etkili olan önemli saçılma mekanizmaları anlatılmıştır. Elektromanyetik saçılma problemlerinin, açıklıkların, köşelerin ve eğrilerin karmaşık etkileri ve yapıların dielektrik yüklemesi yüzünden nümerik olarak çözülmesi zordur. Nümerik yaklaşımlar kullanarak saçılma mekanizmalarını anlamak için gerçekçi modellerden ziyade basit yapıları kullanmak daha yararlıdır. Ayrıca gemi, tank ve uçak gibi gerçek hedeflerde bu basit yapılardan oluşmaktadır. Bu nedenle simülasyonlarda öncelikle kare silindir, dairesel silindir ve eşkenar üçgen gibi basit yapılar ele alınmıştır. Simülasyonun doğruluğunu ispatlamak için bu basit yapıların RKA analizleri Umashankar ve Taflove-1982 de verilen parametreler kullanılarak polarizeli gelen dalga ile farklı yönlerde aydınlatmalar için Rezonans bölgesinde yapılmıştır. Daha sonra kare silindirin farklı frekans bölgelerinde RKA davranışları incelenmiştir. Son olarak basit yapılarla oluşturulmuş bir uçak modelinin farklı yönlerde aydınlatmalar ve farklı frekanslarda RKA davranışları için elde edilen simülasyon sonuçları verilmiştir. Son bölümde ise yapılan çalışmalar hakkında genel bir değerlendirmeye ve geleceğe yönelik önerilere yer verilmiştir.

31 5 2. ELEKTROMANYETİK PROBLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Elektromanyetik problemlerin çözümlerinde analitik yöntemler ancak basitleştirilmiş ve idealleştirilmiş yapılar için elde edilebilmektedir. Analitik yöntemlerin yetersiz kaldığı yapılarda, günümüz bilgisayar teknolojisindeki gelişmelere de paralel olarak sayısal yöntemler daha başarıyla uygulanır olmuşlardır. Genelde, yaygın olarak kullanılan sayısal elektromanyetik yöntemler iki kategoride sınıflandırılabilir: 1) Diferansiyel eşitlik yöntemlerini temel alan yöntemler, a) Zamanda Sonlu Farklar (FDTD-Finite Difference Time Domain) Yöntemi b) İletim Hattı Matrisi (TLM-Transmision Line Matrix) Yöntemi c) Sonlu Elemanlar (FE-Finite Element) Yöntemi 2) İntegral eşitlik yöntemlerini temel alan yöntemler. a) Moment (MoM-Method of Moment) yöntemi b) Zaman Uzayında Moment (MOT-Marching on in time) Yöntemi c) Nyström Yöntemi İki çözüm yöntemi de, Maxwell denklemlerinin uygulamalarına ve çözülecek problemle ilgili uygun sınır koşullarına dayanır. Genelde integral eşitlik yöntemleri sonlu toplamlara göre integral denklemlerine yaklaşımlar sağlarken, diferansiyel eşitlik yöntemleri sonlu farklar olarak diferansiyel denklemlere yaklaşımlar sağlar. Diferansiyel eşitlik zaman bölgesi yaklaşımlarını, karmaşık matematik olmaksızın bilgisayar simülasyon modellerine uyarlamak ve formülleştirmek daha kolaydır, bu nedenle son zamanlarda bu yaklaşımlara olan ilgi artmıştır. Ayrıca, bu yaklaşımlar problemlerin karakteristiklerinin fiziksel olarak daha iyi anlaşılmasını sağlar [Elsherbeni ve Demir, 2008] Zamanda Sonlu Farklar Yöntemi (FDTD) FDTD yöntemi analitik türev operatörünün sayısallaştırılmasına dayanır ve FD-sonlu farklar olarak isimlendirilir [Taflove, 2000]. Ancak elektromanyetik dalga yayılımını modelleyen Maxwell denklemlerinin sonlu farklar ile zamana göre türevlerinin de sayısallaştırılarak genelleştirilmesi, FDTD yöntemi adıyla özel olarak anılmaktadır.

32 6 Literatürde FDTD olarak bilinen zamanda sonlu farklar yöntemi İngilizce Finite Difference Time Domain kelimelerinin baş harflerinden oluşmaktadır. İlk kez 1966 yılında ortaya atılan FDTD yöntemi, günümüzde kişisel bilgisayarların hız ve kapasitelerindeki artışla orantılı olarak hemen her türlü elektromanyetik problemin sayısal çözümünde kullanılabilen bir yöntem haline gelmiştir [Yee, 1966]. Elektomanyetik teori için gerekli olan analitik çözümlerin uzun ve bilgisayar yazılımına pek elverişli olmaması, bu işlemlerin, bu tür bir yöntem ile yapılmasını gerekli kılmaktadır [Kunz, 1993]. FDTD yöntemi, kompleks asimptotik veya Green fonksiyonları gerektirmeyen basit formülasyonları temel alır. FDTD yöntemi, diferansiyel formdaki Maxwell denklemlerinin doğrudan zaman domeninde ayrıklaştırılıp çözülmesidir. İlk iki Maxwell denklemlerindeki diferansiyel operatörler sayısallaştırılıp sonlu farklar eşdeğerleri ile değiştirilirler. Böylece elde edilen ayrık eşitlikler ele alınan yapıya ait sınır koşulları da sağlanarak iteratif olarak çözülür. Bu yöntem, en genel halde, üç elektrik alan ve üç manyetik alan bileşenlerinin uzayın seçilen ayrık noktalarında ayrık zaman adımlarında hesaplanmasına dayanır [Sevgi, 1999]. Bu nedenle performans açısından hızlı ve yüksek kapasiteli bilgisayarlara ihtiyaç duyulur. FDTD hacmi içinde kaynak uygulama problemi oldukça kolay bir şekilde çözümlenmektedir. Modellenen yapıya ve gerçekleştirilmek istenen analize bağlı olarak kaynağın farklı noktalara ve farklı şekillerde uygulanması gerekebilir. Kaynak tek bir noktada tek bir bileşene uygulanabileceği gibi, birden fazla noktada birkaç bileşene de uygulanabilir. Örneğin;,, ve noktasında bileşenine kaynak uygulanacaksa, zamandaki davranışı belirlenmiş olan kaynak fonksiyonu (, şeklinde o noktada bileşenine eklenmelidir. Kaynak fonksiyonu olarak, genlikli frekanslı şeklinde sinüsoidal işaretler kullanılabildiği gibi zaman ötelemeli darbe genişliğinde şeklinde bir Gauss darbesi de kullanılabilir. Dolayısıyla çok geniş frekans aralığı için çözüm yapılabilmektedir. FDTD, rezonans frekansının tam bilinmediği veya herhangi bir anda istenilen geniş bandlı sonuçların elde edilemedigi uygulamalarda oldukça elverişli bir yöntemdir.

33 7 FDTD hacmi içerisinde çok sayıda hücrede, zaman iterasyonu boyunca elektrik ve manyetik alan değerleri hesaplanır. Herhangi bir noktada istenilen alan bileşenleri biriktirilerek ve zaman değişimi elde edilebilir. Bu sayede yapının hem geçici (transient) hem de sürekli zaman davranışı gözlenebilmektedir. Zaman davranışından da Fourier dönüşümü ile geniş bir band üzerinde frekans bölgesi cevapları ve/veya çıkarılabilir. FDTD yöntemi, diğer bazı nümerik yöntemler gibi çok büyük matris yapıları içermemekte ve matris tersi alma gereksinimi olmadığı için ulaşılan çözümler oldukça güçlü olmaktadır. Zaman bölgesinde yapılan çözümler sonucu, elektromanyetik dalgaların istenilen zamanlarda hareketleri görsel olarak izlenebilmekte ve incelenen yapının dalga yayılımı açısından anlaşılması kolay olmaktadır. FDTD yöntemi ile ilgilenilen yapılar yüksek doğrulukla ve kolaylıkla modellenebilmektedir. Yöntem; farklı tipteki malzemelerden (dielektrik, manyetik, frekans bağımlı, lineer olmayan ve eşyönlü (anizotropik) malzemeleri içeren) oluşan kompoze geometrileri kolayca ele alabilir. FDTD yöntemini, paralel hesaplama algoritmaları kullanarak uygulamak kolaydır. FDTD yönteminin bu özellikleri birçok mikrodalga cihazları ve anten uygulamaları için en çekici hesapsal elektromanyetik tekniği yapmaktadır. FDTD kodu özünde hacimsel olmasına karşın, ince plakaları ve ince çubuk antenleri de başarılı bir şekilde ele almaktadır. FDTD yöntemi hesap uzayını ızgaralamayı gerektirir. Bu ızgaraların boyutları modelde belirlenen en küçük dalga boyundan daha küçük olmalıdır. Bu da çok geniş hesap uzayı ve çözüme ulaşmak için uzun zaman gerektirir. FDTD yönteminin uygulama alanlarından bazıları aşağıda özetlenmiştir: Sistemlerin geniş band cevaplarının incelenmesi, Herhangi bir iletkenliğe sahip nesnenin, düşük veya sıfır iletkenliğe sahip nesneyle etkileşiminin hesaplanması,

34 8 Birçok ortamın modellenmesi için gerekli olan frekansa bağlı yapısal parametrelerin hesaplanması (kayıplı dielektrik, manyetik ortamlar), Yakın alanlardan türetilen uzak alanları da hesaplayan (saçılan alanlar, anten sistemlerinin modellenmesi, anten ışıma örüntülerinin hesabı, radar kesit alanı modelleme, yüzey cevabı, akımlar, güç yoğunluğu gibi) konuların incelenmesi, Üç boyutlu geometrik yapıların incelenmesi, Elektromanyetik kaynak etkisinde kalmış insan kaslarındaki özel soğurma oranının hesaplanması, Radar simülasyonları, Açık ya da kapalı dalga kılavuzlarında dalga iletimi ve süreksizlikleri, Mikroşerit hatların analizi, Mikrodalga fırın simülasyonu, Elektromanyetik uyumluluk ve girişim (EMC/EMI) modelleme, Tıbbi uygulamalar, Plazma, Lineer olmayan ve diğer özel malzemeler, Jeolojik uygulamalar Maxwell Denklemleri FDTD algoritmasının oluşturulmasında başlangıç noktası Maxwell zaman bölgesi denklemleridir. Maxwell denklemleri, uzayın belli bir noktasında ve anında elektrik ve manyetik alan değerlerini birbirine bağlamaktadır. Zamanda alan davranışını belirlemek için ihtiyaç duyulan diferansiyel zaman bölgesi Maxwell denklemleri aşağıdaki şekilde yazılabilir: (2.1a) (2.1b) (2.1c) (2.1d)

35 9 Burada, elektrik alan şiddet vektörü, elektrik yerdeğiştirme vektörü, manyetik alan şiddet vektörü, manyetik akı yoğunluğu vektörü, elektrik akım yoğunluğu vektörü, manyetik akım yoğunluğu vektörü, elektrik yük yoğunluğu, manyetik yük yoğunluğu dur. Malzeme ortamını tanımlamak ve Maxwell denklemlerine ilave etmek için yapısal parametreler gereklidir. Lineer, yönbağımsız ve dağıtıcı olmayan malzemeler (örn. alan bağımsız, yönbağımsız ve frekans bağımsız elektrik ve manyetik özellikler) için yapısal parametreler aşağıdaki şekilde yazılabilir. ; (2.2) Burada, ortamın elektrik geçirgenliği ve ortamın manyetik geçirgenliği dir. Ayrıca, olarak ifade edilirler. Burada, bağıl elektrik geçirgenlik (birimsiz), serbest uzayda elektrik geçirgenlik ve bağıl manyetik geçirgenlik (birimsiz), serbest uzayda manyetik geçirgenlik dir. Lineer yönbağımsız ortamın zamana göre alan davranışlarını belirtmek için bu denklemler kullanılabilir. FDTD algoritması, sıfır olmayan elektrik ve manyetik yükleri gösteren Eş.(2.1c) ve Eş.(2.1d) Gauss yasası ilişkilerini açıkça uygulamaz. Bunun sebebi, bu ilişkilerin, teorik olarak kolayca gösterilebileceği gibi, dönel denklemlerinin direkt bir sonucu olmasıdır. Diğer bir deyişle; iki ıraksama denklemi de, dönel denklemlerden ve başlangıç sınır koşullarından elde edilebildiğinden, bu ıraksama denklemlerinin kullanılmasına gerek yoktur. Bu nedenle FDTD algoritmasının başlangıç noktası Maxwell dönel denklemleridir. Ancak; Gauss yasası ilişkilerinin, elektrik alan ve manyetik alan bileşenlerinin konumlarında ve dönel işleminin hareketini modelleyen bu bileşenler üzerinde nümerik uzay türev işlemlerinde tam olması için FDTD ızgarası planlanmalıdır. Birçok ortam iletkenlik olarak belirtilen bir kayıp terimine sahiptir. Bu kayıp sonucunda ısı enerjisine dönüşüm ile yayılan enerjide zayıflama meydana gelir. Önce

36 10 zamana bağlı Maxwell dönel denklemleri ele alınıp, bunlar, iletkenliği olan bir ortamdaki yayılımı simüle etmek için daha genel bir formda yazılmalıdır. Elektrik akım yoğunluğu, iletme akım yoğunluğu ve kaynak akım yoğunluğu nun toplamıdır. Benzer şekilde, manyetik akım yoğunluğu için dir. Burada dir. Burada, elektrik iletkenlik ve manyetik iletkenliktir dir. Eş. 2.1 deki akım yoğunlukları yukarıdaki şekilde ayrıştırıldığında ve Eş. 2.2 deki yapısal ilişkiler kullanıldığında lineer, yönbağımsız, dağıtıcı olmayan, kayıplı malzemelerde Maxwell dönel denklemleri aşağıdaki formda yeniden yazılabilir: (2.3a) (2.3b) Dört yapısal parametre,, ve herhangi bir lineer yönbağımsız malzemeyi tanımlayabilmesi için verilir. Elektrik ve manyetik kaynakların davranışı kaynak akımları yoluyla dahil edilir. Maxwell dönel denklemleri olan ilk iki denklemden Eş. 2.1a ve Eş. 2.1b görüldüğü gibi, elektrik alanın konuma göre kısmi türevi manyetik alanın zamana göre kısmi türevine ortam parametreleri olan, ve ile bağlıdır. İkinci Maxwell denkleminde ise bunun tersi söz konusudur. Sadece dönel denklemleri kullanılmasına ve ıraksama denklemlerinin FDTD formülasyonunun bir parçası olmamasına rağmen ıraksama denklemleri kestirilen alan cevabında bir test olarak kullanılabilir. Böylece, kestirilen elektrik ve manyetik alanlardan, elektrik ve manyetik akıları oluşturduktan sonra, elde edilen akılar ıraksama denklemlerini sağlamalıdır. Eş. 2.3 iki vektör denkleminden oluşur ve her bir vektör denklemi üç boyutlu uzayda üç tane skaler denklemden oluşur. İki vektör denklemi için altı skaler denklem kartezyen koordinat sisteminde aşağıdaki şekilde gösterilebilir: (2.4a)

37 11 (2.4b) (2.4c) (2.4d) (2.4e) (2.4f) Yukarıdaki altı kısmi diferansiyel denklem sistemi, elektromanyetik dalganın genel üç boyutlu nesneler ile etkileşimi için kullanılan FDTD sayısal algoritmasının temelini oluşturur. Malzeme parametreleri, ve yapısal ilişkiler, ve yoluyla sırasıyla elektrik alan bileşenleri, ve ile ilişkilidir. Benzer şekilde, malzeme parametreleri, ve yapısal ilişkiler, ve yoluyla sırasıyla manyetik alan bileşenleri, ve ile ilişkilidir. Sonlu farklar çözümü: 1. Düğümlerden oluşan ızgara şeklinde bir çözüm bölgesinin oluşturulması, 2. Diferansiyel eşitliğin, çözüm bölgesindeki herhangi bir noktadaki değerinin, komşu noktalardaki değerlere bağlı olarak değişen bir sonlu farklar denklemine dönüştürülmesi, 3. Önceden bilinen sınır şartları ve/veya başlangıç koşullarına bağlı olarak fark denklemlerinin çözülmesi olmak üzere 3 temel adımı içerir [Sadiku, 2000]. FDTD algoritması problem geometrisini, elektrik ve manyetik alan bileşenlerinin uzayda belirli ayrık konumlara yerleştirildiği bir uzay ızgarasına ayırır ve zamanda Maxwell denklemlerini ayrık zaman adımlarında çözer. Bu; ilk olarak, sonlu farklar ile Maxwell denklemlerinde ortaya çıkan zaman ve uzay türevlerinin yaklaştırılmasıyla ve daha sonra, geçmiş bir zaman adımındaki alan değerlerinden gelecek bir zaman adımındaki alan değerlerini hesaplayan denklemlerin elde edilmesiyle uygulanabilir [Yee,1966, Elsherbeni ve Demir, 2008].

38 Üç Boyutlu FDTD ve Yee Algoritması FDTD yönteminde problem uygun ızgara koordinat sistemine yerleştirilir. Maxwell denklemlerindeki diferansiyel operatörler, merkezi fark formülünü temel alan sonlu fark yöntemiyle hesaplanır. Izgara düğümlerindeki alanlar zaman aralığı, tamsayı olmak üzere ayrık zaman adımlarında ( ) bulunur. Bu işlem zamanda ilerleme olarak adlandırılır. Herhangi bir düğümde, anındaki alan, bir önceki adımda düğümdeki ve komşu düğümlerdeki alanlardan hesaplanır. FDTD yöntemi, bir ızgara oluşturmak için üç boyutlu problem geometrisini hücrelere ayırır. Şekil 2.1, hücreden oluşan bir FDTD ızgarasını gösterir. Bu ızgaranın bir birim hücre boyutları, olup, Yee hücresi olarak adlandırılır. Hücre numaraları sırasıyla, ve deki hücre numarası olmak üzere tam sayılarla belirtilir. Dikdörtgensel Yee hücreleri kullanılarak, ilgilenilen yapının iç ve yüzey geometrisinin basamaklı (stepped) veya merdiven (staircase) yaklaşımı birim hücrenin büyüklüğü ile oluşturulan bir uzay çözünürlüğü ile yapılır. İlk kez [Yee, 1966] da belirtildiği gibi, her hücrede farklı yerlerde konuşlandırılan üç elektrik ve üç manyetik alan bileşeni ayrıca aralarında zaman farkı olacak şekilde, iteratif olarak istenen zaman süresince hesaplanır. hesap süresi, (tamsayı) zaman adımı, hesaplama zaman aralığı olmak üzere, süresince hesap yapılır. Çözümler iteratif olduğundan zaman ve konum aralıkları arasında belli bir kararlılık kriteri söz konusudur [Yee, 1966]. Yani, konumda ayrıklaştırma yapıldıktan sonra zaman keyfi seçilemez. Ayrıca, FDTD ile zaman bölgesinde geniş bandlı darbesel işaretlerin simülasyonu da söz konusu olduğundan simüle edilen en yüksek frekanslı (en küçük dalga boylu, bileşen için sayısal dağılmaya neden olmayacak konum örneklemesine dikkat etmek gerekir [Yee, 1966]. Pratikte sayısal dağılma sınırı, problemden probleme ve istenen doğruluğa bağlı olarak değişmekle birlikte ( ve nin en büyüğü) ile arasında seçilmektedir [Sevgi, 1999].

39 13 Şekil 2.1. Birim Yee hücresi ve alan bileşenlerinin yerleşimi 1966 da Kane Yee ve olan kayıpsız malzemelerde zamana bağlı Maxwell in dönel denklemleri için bir sonlu fark denklemleri oluşturmuştur [Taflove, 2000]. Yee nin geliştirdiği algoritma bir dalga eşitliğiyle elektrik alanın ve manyetik alanın tek başına çözümünden ziyade, Maxwell in dönel denklemleri kullanılarak zaman ve konuma bağlı şekilde elektrik ve manyetik alanın her ikisini de çözecek şekildedir. ve bilgisinin her ikisinin de kullanılarak çözüm yapılması, çözümü daha kuvvetli kılmaktadır. Elektrik ve manyetik alanın her ikisinin de mevcut veya elde edilebilir olduğu durumda, kenar ve köşelere yakın teğetsel manyetik alan özellikleri, ince tellerin yakınındaki manyetik alan özellikleri, kenarlarda ve ince teller yakınındaki elektriksel alan değerleri gibi herhangi bir alan bilgisi tek başına modellenebilir. Sonuç olarak Yee algoritması, eşzamanlı olarak, Maxwell denklemlerinin integral ve diferansiyel formlarının simülasyonunu sağlar [Taflove, 2000]. Alan bileşenlerinin ayrık uzaysal konumları, Şekil 2.1 de gösterildiği gibi Yee hücresinde özel bir düzene sahiptir. Elektrik alan vektörü bileşenleri Yee hücre kenarlarının merkezlerine yerleştirilir ve ilgili kenara paralel olarak yönlendirilir ve manyetik alan vektörü bileşenleri Yee hücre yüzlerinin merkezine yerleştirilir ve ilgili yüze dik olarak yönlendirilir. Bu, Faraday yasası ve Amper yasası çizgilerinin

40 14 birbirine bağlı dizisi ile doldurulmuş üç boyutlu uzayın basit bir görüntüsünü verir. Her bir manyetik alan vektörünün, manyetik alan vektörü boyunca dönen dört elektrik alan vektörü ile çevrelendiği Şekil 2.1 de kolayca görülebilir, böylece Faraday yasasını simüle eder. Benzer şekilde, komşu hücreler görüntüye dahil edildiğinde herbir elektrik alan vektörünün, elektrik alan vektörü boyunca dört manyetik alan vektörü ile çevrelendiği açıktır, böylece Amper yasasını simüle eder. Her birim Yee hücresinde üç elektrik ve üç manyetik alan bileşeni bulunur. Her hücre etiketi ile anılır. Şekil 2.1 ile etiketlenmiş bir hücre ile ilişkili, olarak indislenmiş alan bileşenlerinin indislerini gösterir. yönünde boyutuna, yönünde boyutuna ve yönünde boyutuna sahip düzgün Yee hücrelerinden oluşan bir hesap uzayı için düğümünün konumuyla uyuşan bir orijine göre alan bileşenlerinin gerçek konumları aşağıdaki gibi kolayca hesaplanabilir: (2.5a) (2.5b) (2.5c) (2.5d) (2.5e) (2.5f) FDTD algoritması, ayrık zaman adımlarında alanları örnekler ve hesaplar; bununla birlikte, elektrik ve manyetik alan bileşenleri aynı zaman adımlarında örneklenmez. Aynı hücrede, elektrik ve manyetik alanların yerleşimlerinde olduğu gibi hesaplandıkları zaman adımları da farklıdır. Elektrik ve manyetik alanlar birbirlerinden kadar farklı zamanlarda hesaplanırlar. Bir zaman örnekleme periyodu için, elektrik alan bileşenleri zaman adımlarında; ancak, manyetik alan bileşenleri zaman

41 15 adımlarında örneklenir. Bu nedenle, elektrik alan bileşenleri tam zaman adımlarında hesaplanırken, manyetik alan bileşenleri yarım zaman adımlarında hesaplanır ve aralarında zaman adımı fark vardır. Böylece, hesaplama bir elektrik alanlar bir manyetik alanlar diye iteratif olarak devam eder. Bu nedenle, alan bileşenleri, sadece uzayda konumlarını gösteren uzaysal indisleri ile değil aynı zamanda zamanlarını gösteren zaman indisleri ile de gösterilmeye ihtiyaç duyarlar. Örneğin, üstteki notasyon zamanları göstermesi için kullanılır, konumuna yerleşmiş bir elektrik alan vektörünün bileşeni zaman adımında örneklenir ve olarak gösterilir. Benzer şekilde, konumuna yerleşmiş manyetik alan vektörünün bileşeni zaman adımında örneklenir ve olarak gösterilir. İteratif FDTD denklemlerinde görülebileceği üzere, herhangi bir ortam malzeme parametreleri ile temsil edilir. Bunlar, elektrik geçirgenlik, manyetik geçirgenlik ve ısıl kayıpları temsil etmek üzere elektrik ve manyetik iletkenliklerdir. Bunlardan elektrik geçirgenlik ve elektrik iletkenlik elektrik alan bileşenlerinin hesaplandığı denklemlerde, manyetik geçirgenlik ve manyetik iletkenlik ise manyetik alan bileşenlerinin hesaplandığı denklemlerde görülmektedir. Malzeme parametreleri (elektrik geçirgenlik, manyetik geçirgenlik, elektrik ve manyetik iletkenlikler) FDTD ızgarası üzerinde dağılırlar ve alan bileşenleri ile ilişkilidirler; bu nedenle, ilgili alan bileşenleri ile aynı indislenirler. Örneğin, Şekil 2.2 elektrik geçirgenlik ve manyetik geçirgenlik parametreleri için indisleri gösterir. Elektrik iletkenlik, elektrik geçirgenlik ile aynı indislenir ve manyetik iletkenlik de manyetik geçirgenlikle aynı indislenir.

42 16 Şekil 2.2. Malzeme bileşenleri Zamanda ve uzayda alan bileşenlerinin ayrık örnekleri için bir indisleme şeması kabul edilirse, skaler formda verilen Maxwell dönel denklemleri Eş. 2.4 sonlu farklara göre ifade edilebilirler. Örneğin, Eş. 2.4a da türevler, zamanda merkez nokta olan zaman adımı ve uzayda merkezi fark formülü için merkez nokta olan nın konumu ile merkezi fark formülü kullanılarak yaklaştırılabilir. Bu durumda alan bileşenlerinin merkezi fark yaklaşımları aşağıdaki şekilde yazılır: (2.6) Elektrik alan bileşenleri tam zaman adımlarında tanımlanmıştır; bununla birlikte, Eş.2.6'nın sağ tarafı zaman adımındaki elektrik alan terimini ortalaması olarak yazılabilir: içerir. Bu terim, ve zaman adımlarındaki terimlerin (2.7)

43 17 Eş. 2.7, Eş. 2.6 da kullanılırsa ve gibi gelecekteki terimler düzenlenirse, denklemin sol tarafı korunur ve geri kalan terimler denklemin sağ tarafına geçirilir. Gerekli düzenlemeler yapıldıktan sonra denklem aşağıdaki gibi yazılabilir: (2.8) Eş. 2.8, FDTD güncelleme denklemi olarak adlandırılır. Güncelleme denklemleri, Eş. 2.8 de kullanılan aynı yöntem izlenerek Eş. 2.4b den başlayarak ve Eş. 2.4c den başlayarak hesaplamak için kolayca elde edilebilir. Benzer şekilde, güncelleme denklemleri aynı yöntem izlenerek manyetik alan bileşenleri için elde edilebilir. Bununla birlikte, manyetik alan bileşenlerinin zaman türevlerine merkezi fark formülü uygularken, zamanda merkez nokta olarak alınmalıdır. Örneğin, (2.9) Bu durumda merkezi fark yaklaşımı aşağıdaki gibi yazılır: (2.10)

44 18 Eş. 2.8 deki gelecekteki değeri denklemin sol tarafına geçirilir ve diğer terimler sağ tarafa geçirilirse aşağıdaki güncelleme denklemi elde edilir: (2.11) Bu eşitlik, için güncelleme denklemidir. Benzer şekilde, Eş.(2.11) i elde etmek için kullanılan aynı yöntem izlenerek Eş. 2.4e den başlayarak ve Eş. 2.4f den başlayarak edilebilir. için güncelleme denklemleri kolayca elde Eş deki iteratif denklemden görüldüğü gibi, önceki değeri ile kendisine komşu olan ve değerlerine bağlıdır. bileşeni kendisinin zamanda bir 2.4. İki Boyutlu Problemler için FDTD Güncelleme Denklemleri Maxwell denklemleri, iki boyutlu ( ve gibi) iki set skaler denkleme dönüştürülebilir. Enine ve durumları sırasıyla ve ile tanımlanmaktadır. Elektromanyetik dalganın boyuna (longitudinal) yayıldığı ve enine (tranverse) tuzaklandığı (trap) kabul edilmiştir. ve durumları için tüm alan bileşenlerinin çıkarımı sırasıyla sadece ( ) ve ( ) için çözümler ayrı düşünülerek sadeleştirilir [Sevgi, 2008]. Diğer alan bileşenleri bu iki bileşen kullanılarak türetilebilir. Kısmi olarak homojen olmayan dalga kılavuzları için alternatif gösterimler kullanılabilir (örneğin, matematiksel enine yayılım ve boyuna tuzaklama varsayılabilir) [Felsen, 1994].

45 19 Biraz hassas ve şaşırtıcı olmasına rağmen enine alan gösterimleri en iyi iki boyutta anlaşılmaktadır [Felsen ve ark.,2004, Sevgi, 2008]. İki boyutlu ortamın Şekil 2.3 de görüldüğü gibi -düzlemi olduğu kabul edilirse, problem boyutundan bağımsızdır bu durumda boyutuyla ilgili türev terimleri olur. Boyutlardan birinde alan dağılımları ve problem geometrisinde değişimin olmama özelliğini Eş. 2.4 de kullanırsak aşağıdaki eşitlikler elde edilir: (2.12a) (2.12b) (2.12c) (2.12d) (2.12e) (2.12f)

46 20 Şekil düzleminde iki boyutlu enine alan bileşenleri(a) modu (b) modu Eş. 2.12a, Eş. 2.12b ve Eş. 2.12f sadece, ve bileşenlerine bağlıyken, Eş. 2.12c, Eş. 2.12d ve Eş. 2.12e sadece, ve bileşenlerine bağlıdır. Bu nedenle, yukarıdaki altı eşitlik iki ayrı denklem seti olarak ele alınır. İlk denklem setinde (Eş. 2.12a, Eş. 2.12b ve Eş. 2.12f), bütün elektrik alan bileşenleri referans boyut olan ye eninedir (transverse). Bu nedenle, bu denklem seti ye enine elektrik durumunu oluşturur. İkinci sette (Eş. 2.12c, Eş. 2.12d ve Eş. 2.12e), bütün manyetik alan bileşenleri referans boyut olan ye eninedir. Bu nedenle, bu denklem seti ye enine manyetik durumunu oluşturur. İki boyutlu ortam -düzlemi seçildiğinde elde edilen ve durumları için denklem setleri Çizelge2.1 de özetlenmiştir.

47 21 Çizelge 2.1. düzleminde TE/TM durumları için denklem setleri Enine Elektrik Dalga (Transverse Electric Wave) Enine Manyetik Dalga (Transverse Magnetic Wave),, İki boyutlu TE/TM simülasyonlarında, dalga enjeksiyonu (wave injection) önemlidir [Sevgi, 2008]. Bu problemlerdeki dalgalar üç alan bileşeninden herhangi birisi ile enjekte edilebilir. Çizelge 2.1 deki denklem setlerinden görüldüğü gibi, - düzleminde durumu için üç alan bileşeni ve dir. Sadece ile dalga enjeksiyonu -yönünde bir çizgisel elektrik kaynak (electric line source) kullanımına eşdeğerdir ve bu -düzleminde bir silindirik dalga yayılımı oluşturur. Başka bir deyişle - ve/veya -yönünde elektrik dipoller çözümlerini uyarmak için yeterlidir.

48 22 Şekil 2.4. durumu için FDTD algoritması Çizelge 2.1 deki durumu için, FDTD güncelleme denklemleri Şekil 2.4 de gösterilen alan konumlarını temel alan durumunu oluşturan denklemlere merkezi fark formülü uygulanarak elde edilebilir. durumu için FDTD güncelleme denklemleri aşağıdaki şekilde elde edilir: (2.13) Burada (2.14) (2.15) (2.16)

49 23 (2.17) Burada (2.18) (2.19) (2.20) (2.21) Burada (2.22) (2.23) (2.24) (2.25)

50 24 olarak yazılabilir. Şekil 2.5. durumu için FDTD algoritması Üç boyutlu durum için FDTD güncelleme denklemleri kolayca elde edildiği için yi içeren katsayılar sıfır alınarak Eş. 2.13, Eş. 2.18, Eş. 2.19, Eş ve Eş i türetmek için kullanılabilir. Bu nedenle, durumu için FDTD güncelleme denklemleri benzer şekilde üç boyutlu güncelleme denklemlerinden elde edilebilir. Şekil 2.5 durumu için FDTD güncelleme denklemleri aşağıdaki şekilde verilir: (2.26)

51 25 Burada (2.27) (2.28) (2.29) (2.30) (2.31) Burada (2.32) (2.33) (2.34) (2.35) Burada (2.36)

52 26 (2.37) (2.38) olarak yazılabilir FDTD Yönteminin Problem Uzayına Uygulanması Nümerik kararlılık koşulu Zaman bölgesi nümerik algoritması tasarlamada önemli konulardan biri de kararlılık koşuludur. Zamanda sonlu farklar algoritması (FDTD) elektrik ve manyetik alanları hem zaman hem de konumda farklı noktalarda örnekler. Daha sonra, Maxwell dönel denklemlerindeki kısmi türevler merkezi farklara dayalı sonlu fark eşdeğerleri ile değiştirilir. Herhangi bir kısmi türevli denklem sisteminin açık ve kapalı çözümler olmak üzere iki tip çözümü bulunabilir. Kapalı çözümler, ilgilenilen problemdeki bilinmeyen sayısı kadar bağımsız denklemin matris formunda ele alınmasına dayanır. Sistemin sol tarafı bilinmeyenler vektörü, sağ tarafı ise katsayılar matrisi ve bilinen fonksiyonlardan oluşur. Katsayılar matrisinin tersi alınarak çözüme ulaşılır. Matris tersinin olması için gerek ve yeter koşul denklemlerin birbirinden lineer bağımsız olmasıdır. Bu durumda, kapalı sistemler her zaman kararlıdır. Açık denklemler genelde iteratif denklemler şeklinde ortaya çıkar. Matris tersi gerektirmediğinden daha kolay ve hızlı hesaplanabilir, ancak çözümlerin kararlı olması bazı koşullara bağlıdır [Sevgi, 1999]. FDTD için Maxwell denklemleri iteratif yapıda olduklarından, ilerleyen zaman adımlarında sayısal hatalardan dolayı algoritmanın ıraksamaması yani iteratif denklemlerin kararlı sayısal çözümleri garantilemesi için örnekleme periyodlarının (konumda ve zamanda ) seçimi bazı sınırlamalara uymalıdır. Ayrıca, bu parametrelerin seçimi çözümün doğruluğunu da belirler [Elsherbeni ve Demir, 2008]. FDTD yönteminin nümerik kararlılığı CFL (Courant-Friedrichs- Lewy) koşulu [Taflove, 2000, Yee, 1966] olarak adlandırılan ve konum ve zaman adımlarını birbirine ışık hızı ile bağlayan bir koşul ile tanımlanmaktadır.

53 27 Courant kararlılık koşulunun fiziksel anlamını daha iyi kavrayabilmek için, sadece zamana ve boyutuna bağlı bir boyutlu dalga problemini ele alalım. Bu durumda koşul, olmak kaydıyla (2.39) olarak verilmektedir. Eşitliğin sol tarafı yani dalganın aldığı yolu verir. Burada serbest uzayda ışık hızıdır ve bu dalganın alabileceği en yüksek hız olduğu için alınan yol maksimumdur. Denklemin sağ tarafında ise hücre adımı vardır. O halde FDTD iteratif denklemlerinin kararlı olabilmesi için, seçilen zaman adımında dalganın maksimum ilerlemesi hücre adımını aşmamalıdır. Başka bir deyişle, dalga hareketinin bir zaman adımında hücre içinde kalabilmesi için zaman adımı buna göre yeterince küçük seçilmelidir [Sevgi, 1999]. Üç boyutlu FDTD için CFL kararlılık koşulu: (2.40) olarak verilmektedir [Taflove, 2000]. Kübik uzay ızgarası için (burada ), CFL koşulu indirgenir: (2.41) Yukarıdaki eşitlikte, ve arasından en küçük değerin maksimum zaman adımını kontrol eden baskın faktör olduğuna ve sağlanan maksimum zaman adımının daima den daha küçük olduğuna dikkat edilmelidir. CFL kararlılık koşulu homojen olmayan ortama da uygulanabilmektedir, çünkü malzeme ortamındaki yayılım hızı den daha küçüktür. Bununla birlikte, nümerik kararlılık diğer faktörlerden (yutucu sınır koşulları, düzgün olmayan uzay ızgaraları ve lineer olmayan malzemeler gibi) etkilenebilmektedir.

54 28 Nümerik çözüm kararlı olsa dahi CFL koşulunun tatmini çözümün nümerik doğruluğunu garantilemez; sadece uzay ızgara büyüklüğü ile zaman adımı arasında bir ilişki sağlar. Kaynak uyarımında verilen en büyük frekansa göre örnekleme teorisinin gereksinimleri yine de sağlanmalıdır [Elsherbeni ve Demir, 2008] Sayısal dağılma (numerical dispersion) ve hücre adımı seçimi Maxwell denklemlerinin FDTD algoritmaları serbest uzay ızgarasında simüle edilen dalgaların fiziksel olmayan dağılmasına sebep olmaktadır. Homojen serbest uzayda bile, bir dalga için nümerik faz hızı; dalga boyu (frekans), ızgaradaki dalganın yayılım yönü ve ızgara sayısallaştırmasıyla (hücre adımı) değişen bir miktarla (serbest uzayda ışık hızı) den farklıdır. FDTD yöntemi ile nümerik olarak elde edilen faz hızlarının farklılığı sayısal dağılma olarak bilinmektedir. Sayısal dağılma, FDTD analizinin en önemli konularından biridir. Sayısal dağılma; özellikle elektriksel olarak büyük yapılar için (geniş bandlı analizler yapılırken), FDTD modellemesinin doğru çalışmasında ve doğruluk sınırını anlamada dikkate alınması gereken bir faktördür [Taflove, 2000, Sevgi, 1999, Elsherbeni ve Demir, 2008]. FDTD yönteminde sayısal dağılmayı gidermenin fiziksel anlamı; simüle edilen işaret içinde en küçük dalga boyuna (en yüksek frekans) sahip bileşenin konumda kaç hücre ile örnekleneceğinin belirlenmesidir. Zaman-frekans ilişkisi için bilinen Nyquist örnekleme teoremine çok benzeyen bir tanımdır. Nyquist teoremine göre, bir işaretin bilgi kaybı olmadan tekrar elde edilebilmesi için zamanda örnekleme hızının, işaretin içerdiği en yüksek frekansın iki katı olması gereklidir. Benzer şekilde, FDTD yönteminde de sayısal dağılma en küçük dalga boylu işaretin kaç hücre boyu ile örnekleneceğine bağlıdır. Başka bir deyişle konumda ayrıklaştırma, en yüksek frekanslı (en küçük dalga boylu) dalgaların bozulma olmaksızın simülasyonuna izin verecek şekilde seçilmelidir. Genelde kabul gören seçim, bir dalga boyunun en az on örnekle ayrıklaştırılmasıdır. Yani, olacak şekilde seçilmelidir. Şekil 2.6a da Şekil 2.7b de ise ile örneklenmiştir. Bu durumda Şekil 2.6b de FDTD nin bileşeninin dalga yayılımını daha iyi simüle edeceği açıktır [Sevgi, 1999].

55 29 Nyquist örnekleme teoremine göre, uzaysal bilginin yeterli derecede örneklenebilmesi için, uzaysal dalga boyu başına en az iki örnek bulunmalıdır. Örneklememiz kesin olmadığından ve en küçük dalga boyu tam olarak belirlenmediğinden dolayı dalga boyu başına iki örnekten fazlasına ihtiyaç vardır. (a) Şekil 2.6. Sayısal dağılmanın fiziksel yorumu[sevgi, 1999] (b) Hücre adımı ile ilgili diğer bir durum, ızgara yayılma hatasıdır. FDTD nin yapısında var olan yaklaşımlara bağlı olarak, farklı frekanslardaki dalgalar, ızgarada çok farklı hızlarla yayılacaklardır. Kesin ve kararlı sonuçlar için, ızgara yayılma hatası kabul edilebilir bir seviyeye düşürülmelidir ki, bu zaten hücre adımının küçültülmesiyle başarılmış olacaktır. Dikkat edilecek bir diğer husus FDTD yönteminin hacimsel bir hesaplama yöntemi olduğudur. Yani eğer hesaplanan alanın bazı parçaları geçirgen maddeyle doldurulursa, maksimum hücre adımını belirlemek için madde içindeki dalga boyu kullanılmalıdır. Elektriksel olarak yoğun maddeler içeren problemlerde hücre adımı, serbest uzay ve mükemmel iletkenlerin ele alındığı durumlara oranla çok daha küçük seçilmelidir. Eğer her tarafta aynı hücre adımı kullanılırsa, bu problemi oluşturan tüm boşlukların içindeki hücrelerin tamamını, bağıl olarak küçük olmaya zorlar ki, bu da ihtiyaç duyulan hücre sayısını oldukça arttırabilir. Hücre adımı ilgilenilen en yüksek frekanslarda doğru sonuçların alınabilmesi için yeterince küçük ve bununla birlikte kaynak ihtiyaçlarının da sağlanabileceği kadar büyük olmalıdır. Geçirgenlik veya iletkenlik ne kadar büyük olursa, verilen bir frekansta o kadar kısa dalga boyuna ve o kadar küçük hücre adımına ihtiyaç duyulur.

56 30 Bir diğer hücre adımı hususu da problem geometrisinin önemli karakteristiklerinin eksiksiz olarak modellenmesi gerektiğidir. Normalde hücrelerin dan küçük hale getirilmesiyle bu amaca da ulaşılmış olacaktır. Bilgisayar bellek ve hız sorunu yoksa bu oran daha da iyileştirilebilir. Pratik problemlerde bu seçim ile arasında değişebilmektedir İki boyutlu dalga yayılımı için sayısal dağılma ilişkisinin türetilmesi Sayısal dağılma ilişkisinin matematiksel ifadesi aşağıdaki gibi Maxwell dönel denklemlerinin sonlu fark yaklaşımı temel alınarak elde edilebilir. İki boyutlu modu için sayısal dağılma ilişkisi, alan denklemlerinin Yee algoritma uygulamasının analizi ile başlamaktadır. En basit durum için, elektrik ve manyetik kayıpların olmadığı kayıpsız bir ortamda iki boyutlu modu için alan denklemleri aşağıdaki gibi yazılır: (2.42a) (2.42b) (2.42c) Ayrıca, problemi basitleştirmek için, FDTD modelleme uzayının ızgarada konumla değişmeyen ve a sahip homojen bir malzemeyle doldurulduğu kabul edilmiştir. Bu durumda, modu için sonlu fark ifadeleri aşağıdaki şekilde verilmektedir: (2.43a)

57 31 (2.43b) (2.43c) Sayısal dağılma analizi için basit bir prosedür bir düzlemsel, monokromatik, yürüyen dalga deneme çözümünün yukarıdaki Eş sonlu fark denklemlerinde yerine konulmasını içermektedir. Cebirsel işlemden sonra, nümerik dalga vektörü bileşenlerini, dalga frekansını, zaman adımını ve uzay adımlarını kapsayan bir denklem türetilir. Bu denklem, sayısal dağılma ilişkisi, sayısal dağılma ile ilişkili fiziksel olmayan temel modelleme sonuçlarını göstermek için ızgara sayısallaştırma, dalga vektörleri ve dalga frekanslarının değişimi için çözülebilir [Taflove ve Hagness, 2005]. modu için çözümler : (2.44a) (2.44b) (2.44c) şeklinde monokromatik olarak ilerleyen düzlemsel dalgalar olarak kabul edilir. Eş sonlu fark denklemlerinde Eş deki yürüyen dalga ifadeleri yerine konulursa basitleştirmeden sonra aşağıdaki sonuçlar elde edilir: (2.45a) (2.45b) (2.45c)

58 32 Eş. 2.45a daki ve Eş. 2.45b deki ifadeleri Eş. 2.45c de yerine konulursa, (2.46) eşitliği elde edilir. Burada ve nümerik dalga vektörünün ve bileşenleridir, dalganın açısal frekansı ve modellenen malzemede ışık hızıdır. Burada, yönünde alan veya geometri değişimi yoktur. Eş algoritmasının genel sayısal dağılma ilişkisidir [Taflove ve Hagness, 2005]. durumu için Yee olan kare hücre ızgarasına sahip özel bir durum için Courant kararlılık faktörünün ve ızgara örnekleme yoğunluğunun tanımları kullanıldığında Eş aşağıdaki gibi daha kullanışlı formda yazılabilir: (2.47) Burada ızgaranın ekseni ile ilişkili nümerik dalganın yayılım yönüdür. Şekil 2.7 de iki boyutlu FDTD uzayında farklı ızgara örnekleme yoğunlukları için nümerik faz hızının yayılım yönü ile değişim grafikleri verilmiştir [Taflove ve Hagness, 2005]. Burada, nümerik faz hızının her zaman ışık hızından küçük olduğu ancak dalga boyunu modelleyen FDTD hücre sayısı arttıkça nümerik faz hızının ışık hızına yaklaştığı ve değerlerine daha az bağımlı olduğu görülmektedir.

59 Normalize faz hızı 33 1 nc= nc= nc= Geliş açısı Şekil 2.7. Nümerik faz hızının iki boyutlu ortamda yayılım yönüne bağlı değişimi Eş de kayıpsız olduğu kabul edilirse bir boyutlu dalga yayılım durumu için sayısal dağılma ilişkisi aşağıdaki şekilde elde edilir: (2.48a) veya eşdeğer olarak (2.48b) eşitliği elde edilir. Benzer yaklaşımla üç boyutlu FDTD için sayısal dağılma ilişkisi: (2.49) şeklinde bulunmaktadır [Taflove ve Hagness, 2005]. Eş daki sayısal dağılma ilişkisinin aksine homojen, kayıpsız bir ortamda üç boyutta fiziksel bir düzlemsel dalga yayılımı için analitik (ideal) dağılma ilişkisi: (2.50)

60 34 olarak verilmektedir. Dağılma ilişkisi uzaysal frekanslar ile zamansal frekans arasında bağlantı sağlamaktadır. Eş daki dağılma ilişkisi Eş deki ideal dağılma ilişkisinden farklıdır. Bu fark, bir problemin gerçek çözümünden sapmanın olduğu anlamına gelmektedir ve böylece sonlu farklar yaklaşımı problemin nümerik çözümüne bir hata getirmektedir. Açık bir şekilde görebilmek için Eş. 2.49, Eş deki yeni formunda yazıldığında olduğu için, ve iken Eş ideal dağılma ilişkisine (Eş. 2.50) indirgenir. Bu beklenen bir sonuçtur çünkü örnekleme periyodları 0 a yaklaştıkça ayrık yaklaşım sürekli duruma dönüşür. Bu, zamansal ve uzaysal örnekleme periyodları, ve daha küçük alındığında, sayısal dağılma hatasının azaldığını göstermektedir. (2.51) Başka bir deyişle, yeterince iyi FDTD ızgaralama kullanılırsa sayısal dağılmanın etkisi istenen seviyeye düşürülebilir. Ayrıca, Courant faktörünün ve dalga yayılımının yönü uygun seçilirse Eş. 2.49, Eş ye indirdendiği gösterilebilir. Örneğin, eğer dalga yayılımı için ise üç boyutlu kübik ızgaranın bir köşegeni boyunca nümerik alındığında Eş ideal dağılma durumu sonuçlarına indirgenir. Benzer şekilde, eğer ise iki boyutlu ızgaranın bir köşegeni boyunca nümerik düzlemsel dalga yayılımı için alındığında ideal dağılma meydana gelmektedir. Sonuç olarak, ise düzgün bir boyutlu lineer ızgarada herhangi bir nümerik dalga için ideal dağılma meydana gelmektedir. İdeal duruma bu indirgemeler, iki ve üç boyutlu simülasyonlar için sadece köşegen dalga yayılımında meydana gelir [Taflove ve Hagness, 2005] Simülasyon Sonuçları Kaynaklar, FDTD uzayında elektrik ve manyetik alanları oluştururlar. Bu nedenle, kaynaklar FDTD simülasyonunun gerekli bileşenleridir ve tipleri uygulanacak probleme göre değişir. İki boyutlu FDTD ızgarasında kaynaklanmış bir hard kaynak,

61 35 uzay ızgarasındaki belirli ve bileşenlerine istenilen bir zaman fonksiyonu atanarak basitçe kurulabilir. Bu zaman fonksiyonu herhangi bir sinüzoidal veya darbesel fonksiyon olabilir ve modeldeki herhangi bir şeyden bağımsızdır. İki boyutlu bir FDTD ızgarasında yer alan bir noktasal ( ) hard kaynak, kaynak noktasında merkezlenmiş radyal olarak yayılan silindirk bir dalgayı uyarır. FDTD hesap uzayına yerleştirilen yapı ne olursa olsun, genelde, zamanda darbesel bir işaret uygulanır. Çok alçak frekanslardan istenen en yüksek frekansa kadar analizlerde Gauss darbesi kullanmak elverişlidir. Zamanda bir Gauss darbesi: (2.52) şeklinde ifade edilir. Burada, darbenin simülasyon başlangıcından ne kadar sonra enjekte edilecegini, ise darbe genişliğini belirleyen parametrelerdir. Zamanda darbe ne kadar dar (yani ne kadar küçük) ise işaretin frekans bandı (zaman bandgenişliği çarpımı sabit olduğundan) o kadar geniş olacaktır. Gauss darbesi belirli bir noktada bileşenine enjekte edilirse bu soft source olarak adlandırılır. (2.53) Burada konumda Gauss darbesinin uygulanacağı noktayı göstermektedir. Aynı zamanda hesaplandıktan sonra kaynak hesaplanır ve bu değer FDTD ızgarası üzerine uygulanırsa bu hard source olarak adlandırılır. Yaptığımız simülasyonda hard source kullanılmıştır. Zamanda ayrık Gauss fonksiyonu g(n) ise ( ve olmak üzere) (2.54) Burada şeklinde verilir. FDTD ile elektromanyetik problem simülasyonunda önemli unsurlardan birisi de parametre seçimidir [Sevgi, 1999]. FDTD ile zamanda darbesel işaretlerin simüle edilmesindeki ana amaç ele alınan yapının geniş frekans bandında davranışını

62 36 incelemektir. Çünkü FDTD ile her yapı, her frekans bölgesinde incelenemeyebilir. Bu nedenle, FDTD ile bir yapı simüle edilmek istendiğinde çıkış noktası parametrelerin belirlenmesi olmalıdır. FDTD de parametre seçimi aynı zamanda bir çeşit optimizasyon anlamına gelir. Parametre seçimi istenen frekans analizi doğrultusunda belirlenmelidir. Bu uygulamada 2 boyutlu TM ve TE durumları için FDTD algoritmasını gerçekleştiren bir simülasyon yapılmıştır. TE durumu için Eş. 2.12a, Eş. 2.12b ve Eş. 2.12f, TM durumu için Eş. 2.12c, Eş. 2.12d ve Eş. 2.12e kullanılmıştır. Bu eşitliklerde elektrik alan ile manyetik alan arasındaki genlik farkını azaltmak için elektrik alanın normalize değeri kullanılarak eşitlikler yeniden düzenlenmiş simülasyonda bu eşitlikler kullanılmıştır. Bu amaçla eşitliklerde yazılarak eşitlikler düzenlenmiştir. Burada TM durumu için hesaplama yaptığımızda programımız ve bileşenlerini içermelidir. Yani Maxwell denklemlerinden sadece üç tanesi for döngüsü içinde çözdürülmüş ve zaman simülasyonu sırasında Gauss darbesi belirli bir noktada FDTD ızgarası üzerine uygulanmıştır. Böylece, TM durumu için basit kayıplı bir ortamda dalga yayılımı elde edilmiştir. Benzer şekilde TE durumu için de ve bileşenlerini içermelidir. TE durumu için Gauss darbesi bileşenine uygulanmıştır. Burada birim hücrelerin kare olduğu ve ortamın basit kayıplı ortam olduğu varsayılmıştır. Problemimiz iki boyutlu olduğuna göre Eş düzenlendiğinde zaman ve konum adımları arasında şeklinde bir bağıntı vardır. Izgaranın dışındaki sınırların elektriksel olarak mükemmel (perfect electrically conducting sheets) olduğu varsayılmıştır. Sınır koşulu olarak mükemmel elektrik iletken tabaka kullanılacağına göre, sınırdaki elektrik alan bileşenlerini sıfıra eşitlememiz gerekir. Bu durum zaten for döngüsünün başlangıç-bitiş değerleri yazılırken belirlenmiştir. Bunun için FDTD döngüsü içinde hesap yapılır, fakat ilk hücrede ve son hücrede hesap yapılmaz. Program başında bütün dizi değerleri sıfırlandığı için ve döngü içinde bu sınır değerleri hesaplatılmadığı için ilk ve son değerler otomatik olarak sıfırlanmış olur. değeri ise sinyalin en düşük dalga boyunu ifade etmektedir. Yani, en yüksek

63 37 frekanslı sinyalin dikkate alınması gerekir. FDTD simülasyonunun doğru ve kararlı şekilde yapılabilmesi için bu değer önemlidir. Çünkü konum ve zaman adımları buna göre belirlenmektedir. Kaynak darbe süresi analiz yapılacak en yüksek frekansa göre belirlenir. (2.55) En yüksek frekansın olduğu düşünülürse, (2.56) olarak bulunur. FDTD formülasyonunda hücre adımının seçimi için kullanılan yöntemler genellikle birbirine benzerdir. İstenilen sonuçları elde edebilmek için, yeterli örnekleme noktaları alınmalıdır. Dalga boyuna düşen örnekleme sayısı birçok faktöre bağlıdır. Bununla beraber, dalga boyunun 1/10 u uygun bir yaklaşım olacaktır. Doğal olarak karşılaşılabilecek en kötü durum dikkate alınmalıdır. Genelde bu, yüksek frekanslarda, dalga boyuna bağlı olarak yaptığımız hesaplamalarda ve simülasyonlarda bir bakış açısı sağlayacaktır [Arı ve ark.,2008]. Bu durumda konum adımları ile dalga boyu arasındaki bağıntı aşağıdaki gibi olur. (2.57) Burada Gauss darbesi ızgaranın tam ortasına uygulanmıştır. Buna göre elektrik ve manyetik alanlar, Matlab kodu ile hesaplanmış ve grafikleri çizdirilmiştir. Simülasyonda 50x50 boyutunda bir ızgara kullanılmıştır. Simülasyon ortamı serbest uzay ise minumum dalga boyu ve buna bağlı olarak konum adımı: (2.58) (2.59) ile ifade edilir. Ortam manyetik olmayan ve bağıl dielektrik sabiti olan bir dielektrik ortam ise minumum dalga boyu ve buna bağlı olarak konum adımı,

64 38 (2.60) (2.61) olarak bulunur. Burada faz hızı, (2.62) şeklinde yazılabilir. Kayıplı dielektrik ortamlarda faz hızı ise, (2.63) olarak ifade edilir. Bu değer ortam kayıpsız olduğunda bulunan değerden biraz düşüktür. Kayıplı malzemelerde ( ), kararlılık için gerekli zaman adımı Courant limitinden daha küçük olmalıdır [Yee, 1966]. Bu genellikle bir problem değildir, çünkü çoğu hesaplamalarda zaman adımı serbest uzayda ışık hızına göre saptanır. İletken malzemelerde hız serbest uzaydaki dalga hızından daha küçük olduğu için serbest uzay ve iletken ortamın ikisini de içine alan FDTD hesaplamalarında zaman adımı hesap uzayının her yerinde Courant limiti sağlanacak şekilde seçilmelidir. Simülasyonumuzda basit olduğu ve simülasyonu kolaylaştırdığı için yaklaşımı yapılmıştır. Bu denklem, dalganın bir zaman adımında iki hücre adımı yol alacağını gösterir. Buradan kayıpsız ortam için zaman adımı, (2.64) olarak bulunur. Gauss darbesini sonlu farklar ile ifade etmek istersek : (2.65) şeklini alır. Burada değeri Gauss darbesinin simülasyondan ne kadar sonra enjekte edileceğini ifade etmektedir, simülasyonda bu değer Gauss darbe süresinin 3 katı ) olarak alınmıştır.

65 39 Şekil 2.8 Şekil 2.12 de farklı zaman adımlarında serbest uzayda TM modu için simülasyon sonuçları verilmiştir. Simülasyonda açık bölge simülasyonu yapılmadığı için zaman adımı (zaman ilerleyişi) arttıkça dış sınırdan yansımalardan dolayı dalga şeklinin bozulduğu ve kaynaktan uzaklaştıkça genliğin azaldığı görülmektedir. Kaynaktan uzaklaştıkça genliğin azalmasının nedeni de, silindirik şekilde dağılan sistemdeki enerjiyi korumaktır. Şekil 2.8. Serbest uzayda 40 zaman adımındaki elektrik alan dağılımı Şekil 2.9. Serbest uzayda soft source için 40 zaman adımındaki elektrik alan dağılımı

66 40 Şekil Serbest uzayda 80 zaman adımındaki elektrik alan dağılımı Şekil Serbest uzayda 100 zaman adımındaki elektrik alan dağılımı

67 41 Şekil Serbest uzayda 150 zaman adımındaki elektrik alan dağılımı Şekil Serbest uzayda 40 zaman adımındaki manyetik alan dağılımı

68 42 Şekil Serbest uzayda 40 zaman adımındaki manyetik alan dağılımı Şekil 2.13 ve Şekil 2.14 de 40 zaman adımı için sırasıyla ve manyetik alan dağılımları görülmektedir. durumu için alan dağılımı, nin döndürülmüş haline eşittir. Birçok ortam iletkenlik olarak belirtilen bir kayıp terimine sahiptir. Bu kayıp sonucunda yayılan enerjide zayıflama meydana gelir. Kayıplı ortamda farklı zaman adımları için elde edilen simülasyon sonuçları Şekil 2.15 Şekil 2.20 de verilmiştir. Kayıp teriminden dolayı dalga PEC sınırlara ulaşmadan yutulmuştur. Bu nedenle, şekillerde dış sınırdan yansımalar görülmemiştir.

69 43 Şekil Kayıplı dielektrik ortamda elektrik alan dağılımı 40 zaman adımındaki Şekil Kayıplı dielektrik ortamda elektrik alan dağılımı 80 zaman adımındaki

70 44 Şekil Kayıplı dielektrik ortamda elektrik alan dağılımı 100 zaman adımındaki Şekil Kayıplı dielektrik ortamda elektrik alan dağılımı 150 zaman adımındaki

71 45 Şekil Kayıplı dielektrik ortamda elektrik alan dağılımı 300 zaman adımındaki Şekil Kayıplı dielektrik ortamda elektrik alan dağılımı 500 zaman adımındaki Aynı problemi bu sefer, Gauss darbesi ile değil de sinüzoidal bir kaynak kullanarak tekrarlarsak ve sinüzoidal kaynağın frekansını olarak alırsak parametrelerimiz aşağıdaki şekilde değişir.

72 46 Serbest Uzayda dalga boyu, hücre adımı ve zaman adımı, (2.65) (2.66) (2.67) şeklinde elde edilir. Basit kayıpsız ortamda ( ise, (2.68) (2.69) (2.70) olarak bulunur. Kayıplı dielektrik ortam için hız daha yavaş olacağından hücre adımı daha küçük alınmalıdır. Zaman adımı ışık hızına göre belirlendiği için sorun oluşturmaz. 60 zaman adımındaki simülasyon sonuçları serbest uzay ve kayıplı dielektrik ortam için sırasıyla Şekil 2.21 ve Şekil 2.22 de verilmiştir. Simülasyonda açık bölge simülasyonu yapılmadığı için zaman adımı arttıkça dış sınırdan yansımalardan dolayı dalga şeklinin bozulduğu ve kaynaktan uzaklaştıkça genliğin azaldığı Şekil 2.21 de görülmektedir. Kayıplı dielektrik ortamda iki boyutlu dalga yayılımı için elde edilen Şekil 2.22 de ise kayıp teriminden dolayı dalga PEC sınırlara ulaşmadan yutulmuştur bu nedenle, dış sınırdan kaynaklanan yansımalar görülmemiştir.

73 47 Şekil Serbest uzayda sinüzoidal hard kaynak için 60 zaman adımındaki elektrik alan dağılımı Şekil Kayıplı dielektrik ortamda için 60 zaman adımındaki elektrik alan sinüzoidal hard kaynak dağılımı

74 48 Şekil modu için serbest uzayda soft kaynak için 40 zamanadımındaki manyetik alan dağılımı Şekil modu için kayıplı dielektrik ortamda 40 zaman adımındaki manyetik alan dağılımı

75 49 modu için serbest uzay ve kayıplı dielektrik ortamda elde edilen elektrik alan dağılımları 40 zaman adımı için sırasıyla Şekil 2.23 ve Şekil 2.24 de verilmiştir. Simülasyonda Gauss darbesi kullanılmıştır. Kayıplı dielektrik ortamda dalga yayılımı için elde edilen Şekil 2.24 de kayıp teriminden dolayı yayılan enerjide zayıflama meydana geldiği görülmüştür.

76 50 3. SINIR KOŞULUNUN TANIMLANMASI 3.1. Giriş FDTD yönteminde ele alınan elektromanyetik problemler yapıları açısından; Kapalı bölgelerde (rezonatörler, dalga kılavuzları, vb.), Açık bölgelerde (anten, saçılma, vb.) olmak üzere iki başlık altında toplanabilir. Bilgisayar ortamında tüm simülasyonlar sınırlı bir bölgede ve sınırlı bir zamanda yapılabilir. Ne kadar hızlı ve yüksek kapasiteli olursa olsun, FDTD hesap uzayı sonlu olmak zorundadır. FDTD yönteminin, uygulanabilirliği açısından, kapalı bölgelerde sorun yoktur. FDTD hacminin sınırları ele alınan kapalı bölgenin sınırları ile çakıştırılarak sorun giderilmektedir. Bu durumda hesap uzayını sonlandırmak için mükemmel elektrik iletken malzeme (PEC) ve mükemmel manyetik iletken malzeme (PMC) sınır koşulları olarak kullanılmaktadır: Mükemmel elektrik iletken sınır koşulu: Sınırlar mükemmel elektrik iletken bir malzeme ile kapatılıp sınır düzlemlerine teğet olan elektrik alan bileşenlerine sıfır değeri atanabilir. Bu koşul hesap uzayındaki tüm sınırlara uygulanırsa rezonatör tipi yapılar incelenebilir. Yine dalga kılavuzu içindeki elektromanyetik olay modellenecekse, teğet elektrik alan duvarlar üzerinde sıfırdır ve bu durumda ayrıca sınır koşulu tanımına gerek duyulmaz. Ayrıca, ideal olarak modellenen anten yüzeyleri ve mikrodalga devrelerin iletken alt tabakaları PEC olarak modellenebilir. Mükemmel manyetik iletken sınır koşulu: Sınırlar manyetik iletken bir malzemeyle (PMC-perfect magnetic conductor) kapatılıp sınır düzlemlerine teğet olan manyetik alan bileşenlerine sıfır değeri atanabilir. PEC e göre PMC fiziksel olmayan bir koşul olup, özellikle yapısal simetriye sahip problemlerde hacmi küçültmek için kullanılır. Simetrik yapının tam ortasındaki düzlem PMC ile kapatılırsa bu düzleme göre simetrik olan manyetik alan değerleri birbirine eşit olacaktır (simetri koşulu). FDTD nin en büyük zorluklarından biri, açık bölgelerde elektromanyetik dalga etkileşim problemlerinin doğru ve etkili çözümüdür [Wei ve ark., 2010]. Birçok

77 51 uygulamada, serbest uzay içerisinde yer alan yapılar modellenir ve alanların açık uzayda yayılması veya saçılması istenir. Problem uzayının sonsuza kadar genişlemesi bilgisayar kaynakları bakımından mümkün olmadığından uzayın etkileşmeler bakımından yeterli olacağı belli bir yerde kesilerek uygun biçimde sonlandırılması gerekmektedir [Başaran, 2008]. Saçılan ve yayılan alanlar sınıra ulaştıklarında herhangi bir önlem alınmamışsa alanlar problem uzayına geri yansıyabilirler. Genellikle FDTD problem uzayının sınırı, saçılan ya da yayılan alanların sınıra ulaşması durumunda onları yutacak şekilde seçilir. Uzayın belli bir bölgede kesilerek, gerçekteki sonsuzluğunun modellenmesi için kesilen bölgeden itibaren uygulanan sınır koşullarına Yutucu Sınır Koşulları (Absorbing Boundary Condition, ABC) adı verilir. Saçılan ve yansıyan alanların FDTD uzayına geri gelmesini engelleyen diğer alternatif yöntem, dış sınırdan yansımadan önce zaman ilerleyişini durdurmaktır, ancak bu yöntem çoğu problem için uygun bir alternatif değildir [Sevgi, 1999]. Teoride açık bölge simülasyonu yapıldığında düzlemsel dalgalar için yansıma tamamen yok edilebilir. Ancak, pratik elektromanyetik problemler karmaşık dalga olaylarına sahne olmaktadır. İlerleyen dalgalar yanında saçılan, yüzey, sızıntı, sürünen, kuple olan vb. birçok karmaşık dalga hareketi için tam yutulmayı sağlayabilen açık uzay simülatörü henüz bulunamamıştır. Ancak, değişik problem gruplarına özgü etkin ABC sınır koşulları ortaya atılmıştır. Bunlar bazı tip dalgalarda iyi sonuç verirken bazılarında yetersiz kalmaktadır [Akleman, 1998]. Tümüyle veya kısmen açık uzay problemlerinde, problem hesap uzayı yutucu sınır koşulları ile sonlandırılmalıdır. Bu amaç için birçok yöntem önerilmekle birlikte, yutucu kayıplı ortamlar önemli bir alternatiftir. Bu tür ortamlar pratikte yansımasız odaların duvarlarının kaplamasında kullanılmaktadır. İdealde birkaç hücre kalınlığındaki yutucu sınır koşulu tabakası tüm frekans spektrumunda ve tüm açılarda (yakın alanlarda da geçerli olan) üzerine gelen elektromanyetik dalgaları sıfır yansıma ile yutarak söndürmektedir. Yutucu malzemelerin yutucu sınır koşulu olarak kullanılması klasik kayıplı ve frekans bağımsız malzemelerin kullanımı ile başlamıştır [Başaran, 2008].

78 52 Literatürde en çok bilinen yutucu sınır koşulları: 1. Birinci ve ikinci tip MUR simülasyonu [Mur, 1981]. 2. Modifiye dağıtıcı sınır koşulu (DBC-Dispersive Boundary Condition) 3. Mükemmel uyumlu tabaka (PML-Perfectly Matched Layer) olarak sıralanabilir. Berenger tarafından geliştirilen mükemmel uyumlu tabakanın (PML) [Berenger, 1994, Berenger, 1996a] geçmişte geliştirilen diğer yöntemlere kıyasla en güçlü yutucu sınır koşullarından biri olduğu kanıtlanmıştır [Andrew ve ark., 1995, Berenger, 1996b, Veihl ve Mittra, 1996, Gedney, 1996]. Mükemmel uyumlu tabaka (PML), çözüm uzayı ile mükemmel uyumlandırılan sonlu kalınlıkta bir kayıplı malzeme sınır tabakasıdır ve hesap uzayını çevreler. PML, sınıra gelen dalganın frekans ve açısından bağımsız olarak, dalga empedansı uyum koşulunu oluşturmak için yapay yapısal parametrelerin kullanılmasını temel almaktadır. Berenger PML ile birlikte literatürde bulunan diğer mükemmel uyumlu tabaka türlerinin temel tarihsel gelişimi aşağıda verilmiştir: BerengerPML (Split field PML, PML): Öncü çalışmasında Berenger, herbir vektör alan bileşeninin dik iki bileşene ayrıldığı Maxwell denklemlerinin yeni bir ayrık alan formülasyonunu türetmiştir. Bu PML ortamına gelen rastgele polarize bir dalganın mükemmel iletildiği, normal eksenler boyunca hızla zayıflarken gelen dalga ile aynı faz hızı ve karakteristik dalga empedansına sahip olduğu gösterilmiştir [Berenger, 1994, Chew ve Weedon, 1994, Katz ve ark. 1994]. Gerdirilmiş PML (Stretched Coordinates PML, SC-PML): Gerdirilmiş kompleks koordinatlarda alan ifadelerinin elde edilmesi prensibine dayanır [Chew, 1994]. Geleneksel kayıplı dağılmasız yutucu ortam (Conventional lossy dispersionless absorbing medium): Bu ortam sadece dik gelen dalgalar için uyumlanır [Holland, 1994].

79 53 Anizotropik PML (Anisotropic PML, UPML):Kayıplı tek eksenli ortamı temel alan başka bir mükemmel uyumlu tabaka sınır koşulu ilk kez frekans uzayında Sacks tarafından önerilmiştir [Sacks, 1995]. Kayıp terimlerinin ortam bağımlılığı yüzünden böyle bir ortam oluşursa anizotropik olmalıdır. Ortamın parametreleri doğru bir şekilde seçilerek kayıplı tek eksenli ortam bir izotropik ortam ile mükemmel uyumlanabilir. Tek Eksenli Anizotropik PML (UPML) adı verilen bu yutucu sınır koşulu türü daha sonra FDTD için Gedney tarafından önerilmiştir [Gedney, 1996]. Gedney, formülasyonun fiziksel ve matematiksel olarak Berenger in PML formülasyonuna eşit olduğunu ve ayrıca fiziksel olmayan alan ayrıştırmasını engelleyen bir formda olduğunu göstermiştir. Katlama PML (Convolutional PML, CPML):Berenger PML sini temel alan ve Roden ve Gedney-2000 de tanıtılan CPML yavaş değişen kaybolan dalgaların (evanescent waves) daha iyi yutulmasını sağlayan daha genel metrik tensör katsayıları barındırır [Taflove ve Hagness, 2005, Wei ve ark., 2010]. Yaklaşık PML (Nearly PML, NPML): Mükemmel uyumlu tabaka algoritmasında bazı ihmaller yapılarak daha kolay programlama sağlanmıştır [Cummer,2003]. Yukarıda verilen yutucu sınır koşullarınının tümü Courant kararlılık koşulu ile sınırlıdır. Son zamanlarda bu sınırlamayı ortadan kaldıran koşulsuz kararlı çözümler elde etmek amacıyla çeşitli çalışmalar yapılmıştır. PML sınır koşulu, ortamın geniş band soğurması için büyük bir dikkat gerektirir. CPML, düşük frekans analizleri için uygundur. Berenger PML, Maxwell eşitliklerinin modifikasyonunu ve alan ayrıştırmasını gerektirir. Formülasyonun Maxwell denklemlerine bağlı olmaması, yöntemin kullanışlılığını etkilemez, ancak mekanizmanın fiziksel olarak anlaşılmasını engeller. Alan ayrıştırmasına bağlı olarak hafıza ihtiyacı geleneksel FDTD yöntemlerine kıyasla iki katına çıkmaktadır [Gedney, 1996]. Berenger PML ve gerdirilmiş PML algoritmaları fiziksel olmayan ortamlarda tanımlanmıştır. Bu durum gerçek dünyanın modellenmesi bakımından önemli bir dezavantajdır [Başaran, 2008]. UPML, alan ayrıştırması ve ekstra hafıza olmaksızın Maxwell denklemlerine dayanmaktadır. Bu nedenle, FDTD yöntemine

80 54 uygulanabilirliği daha doğru ve hesapsal olarak daha verimlidir. Başka bir avantajı, UPML bilgisayar programlamasını kolaylaştıran basit bir iteratif formüle sahiptir [De-shan ve Quian-wei, 2011]. Böylece, daha az hafıza gerektiren UPML nin performansı Berenger PML ya da MUR yutucu sınır koşuluna göre daha kalitelidir [Sandeep, 2006, Liang ve Wang, 2008]. 3.2.Tek Eksenli Mükemmel Uyumlu Tabaka (UPML) FDTD-UPML formülasyonunda tüm uzaysal domenin anizotropik ortam olduğu kabul edilir [Taflove ve Hagness, 2005]. UPML, yutucu tabakayı tanımlamak için anizotropik malzeme özelliklerini temel alır. Ortam parametreleri doğru bir şekilde seçilerek bu kayıplı anizotropik ortam bir izotropik ortam ile mükemmel uyumlanabilir. Kayıp terimlerinin ortam bağımlılığı yüzünden böyle bir fiziksel ortam oluşursa anizotropik olmalıdır. ile (benzer şekilde ve ) arasındaki ilişki ve ın yönüne bağlı ise ortam anizotropik tir. Böylece ile paralel olmadığından yapısal parametreler tensör dielektrik sabiti ( ) veya manyetik geçirgenlik ( ) ile ifade edilir. UPML algoritmasına göre tek bir arayüz durumunda dielektrik ve manyetik geçirgenlik bakımından tek eksenli (uniaxial) anizotropik bir ortam yeterli olmaktadır. Yani, tek bir arayüz için anizotropik ortam tek eksenlidir. Buna göre, Şekil 3.1 de görüldüğü gibi ortam 1 de yayılan rastgele polarize olmuş bir düzlemsel dalganın ortam 2 ye açısıyla geldiğini kabul edelim. Bu durumda, basit ortam olan bölgesinde gelen dalga için manyetik alan ifadesi fazörel formda aşağıdaki şekilde yazılır: (3.1) Burada ortam 1 in dalga sayısı vektörüdür. Anizotropik ortam olan bölgesinin tek eksenli tensör yapısındaki elektrik ve manyetik geçirgenlikleri ise aşağıdaki şekilde ifade edilir:

81 55, (3.2) Burada ve dir. Çünkü ortam ekseni boyunca rotasyonel olarak simetriktir. y Ortam 1 (x<0) Basit ortam ( Ortam 2 (x>0) UPML (, x Şekil 3.1. Diagonal anizotropik ortama gelen bir düzlemsel dalga Ortam 2 de uyarılan alanlarda doğasında düzlemsel dalgalardır ve Maxwell dönel denklemlerini sağlar. Bu durumda, ortam 2 için Maxwell dönel denklemleri: (3.3a) (3.3b) şeklinde yazılır. Dalga denklemi bağlı dönel denklemlerinden elde edilir ve buradan tek eksenli ortamın dağılma ilişkisi ve modları için aşağıdaki şekilde elde edilir. (3.4a)

82 56 (3.4b) Burada dir. Dağılma ilişkilerinden görüldüğü gibi ve durumları için yayılım karakteristikleri benzerdir. Ortam 1 den gelen dalganın polarizeli dalga olduğunu düşünelim. Bu durumda üç alan bileşeni, ve dir. Ortam 1 x<0) y Ortam 2 (x>0) x Şekil 3.2. Ortam 2 ye açısı ile gelen polarizeli dalga için yansıyan ve kırılan dalga gösterimi Gelen dalga için elektrik alan ifadesi aşağıdaki şekilde ifade edilir: (3.5) (3.6) (3.7) (3.8)

83 57 Burada, ve sırasıyla ortam 1 in dalga sayısı ve öz empedansıdır. Yukarıdaki ifadeler elektrik alan ifadesinde yerine konulursa, gelen elektrik alan ifadesi (3.9) (3.10) olarak elde edilir. Ortam 1 de yansıyan dalga için fazörel ifade aşağıdaki gibi ifade edilir: (3.11) Benzer şekilde ortam 1 deki yansıyan elektrik alan: (3.12) (3.13) şeklinde ifade edilir. Burada, manyetik dalga yansıma katsayısıdır. Bu durumda ortam 1 deki toplam manyetik alan ve elektrik alan gelen ve yansıyan alanların süperpozisyonu olarak sırasıyla aşağıdaki şekilde ifade edilir: (3.14) (3.15) Anizotropik ortamdaki toplam manyetik ve elektrik alanlar sırasıyla aşağıdaki şekilde ifade edilir: (3.16) (3.17)

84 58 ve nın teğet bileşenlerinin daki süreklilik koşulları Snell yansıma ve kırılma yasalarını ve ek olarak aşağıdaki iki denklemi verir. = (3.18) ve (3.19) elde edilir. Burada ve sırasıyla manyetik alan yansıma ve iletim katsayılarıdır. 1. Snell yansıma yasası 2. Snell kırılma yasası Daha sonra i elde etmek için Eş ifadesi Eş. 3.4a da yerine konulursa: (3.20) elde edilir. Amacımız, tüm geliş açıları için yapacak şekilde parametre seçimi yapmaktır. Bunun için, koşulu yeterlidir. Parametreler olarak seçilirse ve olur ve aşağıdaki ifade elde edilir: (3.21) Bütün ler için yansıma katsayısı sıfırdır. Böylece, bütün geliş açıları ve frekanslarda yansımasız bir arayüz elde edilebilir. O halde Eş de verilen ve tensörlerine sahip bir tek eksenli ortam oluşturulduğunda ortam 2 ye yansımasız dalga iletimi gerçekleşir.

85 59 ; (3.22) Burada şeklinde yazılır. Burada kompleks diagonal tensör, ve sırasıyla UPML ortamına bitişik olan izotropik ortamın elektrik ve manyetik geçirgenlikleridir. Bu yansımasız olma özelliği: 1. Geliş açısından 2. Polarizasyondan 3. Gelen dalganın frekansından bağımsızdır. Ayrıca, ortam 2 de UPML nin yansımasız olma özelliği herhangi bir için geçerlidir. Örneğin; alındığında Eş den (3.23) elde edilir. Denklemden görüldüğü gibi, nin reel kısmı ile aynıdır. Bu, ortam 2 deki alan ifadelerinde yerine konduğunda aşağıdaki ifadeler elde edilir: (3.24) (3.25) Böylece, bütün geliş açıları için gelen ve iletilen dalgaların faz hızlarının benzer olduğunu ifade eder. Başka bir deyişle, UPML içine iletilen dalga gelen dalga ile aynı faz hızıyla yayılır, eşzamanlı olarak ortam 1/ortam 2 arayüzüne dik -ekseni boyunca eksponensiyel zayıflamaya uğrar [Gedney,1996], [Taflove ve Hagness, 2005]. Bu zayıflama faktörü, frekanstan bağımsızdır ancak geliş açısı ve UPML iletkenliğine bağlıdır. Ayrıca, ortamın mükemmel uyumlandırılmasının sonucunda,

86 60 ortam 2 deki karakteristik dalga empedansı ortam 1 e benzerdir. Böylece, iletilen dalga ortam 2 de gelen dalga ile aynı yönde yayılır Ayrık Tek Eksenli Mükemmel Uyumlu Tabaka polarizeli dalga için üç alan bileşeni, ve dir. UPML nin düzlemine dik olduğu kabul edilmiştir. FDTD yöntemi Maxwell denklemlerinin (Amper ve Faraday yasaları) ayrık gösterimlerini temel alır. Tek eksenli ortamda, Amper yasası matris formda: (3.26) şeklinde yazılır. İkinci satır (sınıra teğet alan bileşenleri) standart FDTD güncelleme denklemlerinden elde edilir. Ancak, in lineer olmayan frekans bağımlılığı yüzünden bu şekilde güncellenemez. Eş incelendiğinde dağıtıcıdır ve ekseni boyunca negatif iletkenliği gösteren pozitif sanal terime sahip olduğu görülür (elektrik ve manyetik iletkenliklerin bileşenleri negatiftir). Sınıra dik olan alan bileşeni, birkaç şekilde güncellenebilir. Ancak, fark denklemine dayalı iki kademeli yöntem (two-step method) en etkili yöntem olarak bulunmuştur. Bunun sonucunda normal elektrik akı yoğunluğu, standart FDTD formülasyonundan güncellenir. Daha sonra ile arasındaki ilişkiden hesaplanır. Bu iki kademeli güncellemenin ve in geçmiş zaman bilgisine ihtiyaç duyması sebebi ile ek saklama alanına ihtiyaç vardır [Gedney, 1996].

87 61 Uniaxial ortamda, Faraday yasası matris formda: (3.27) şeklinde yazılır. Yine son satır (sınıra teğet alan bileşen) standart FDTD güncelleme denklemlerinden elde edilir. Bu durumda,,, ve FDTD güncelleme denklemleri uyumlu bir PML için koşulu sağlandığında aşağıdaki şekilde yazılır. Burada, x yönündeki manyetik kayıptır. (3.28) (3.29) (3.30)

88 62 (3.31) 3.4. Köşe Bölgeler Bölüm 3.3 de tek bir düzlemsel sınıra gelen dalga durumu incelenmiştir. UPML nin düzlemine dik olduğu durum için tek eksenli parametreler değiştirilerek benzer güncelleme ifadeleri elde edilebilir. Ancak, 2D-FDTD uzayında açık bölge simülasyonu için 4 kenarın UPML ile sonlandırılması gerekir. Bu durumda, UPML 4 düzlem kenara ve 4 köşe bölgesine sahiptir. Birden fazla dik arayüze sahip olan köşe bölgelerindeki belirsizliği ortadan kaldırmak için daha genel bir ilişkiye ihtiyaç duyulur [Gedney, 1996]. Köşe bölgelerinde Maxwell dönel denklemleri aşağıdaki şekilde yazılır: (3.32a) (3.32b) Burada ve, dir. Bu durumda genel yapısal tensör tek eksenli değildir ancak anizotropiktir.

89 63 ve sırasıyla ve dik düzlemleri ile ilişkilidir. Bu bölgelerin dışında iletkenlik sıfırdır. Ayrıca ve sırasıyla sadece ve yönlerinde uzamsal olarak değişkendir. Ancak enine yönlerde bu iletkenlikler sabit olmalıdır ( den, ise den bağımsızdır). Köşe bölgelerinde alanların FDTD güncelleme denklemleri dik alan bileşenleri için kullanılan iki basamak yöntemi kullanılarak elde edilir. Bu durumda Amper yasası matris formda: (3.33) şeklinde yazılır. Bu durumda, elektrik akı yoğunluğu bileşenleri Eş de belirtildiği gibi elektrik alan şiddeti bileşenleri ile ilişkilidir. (3.34a) (3.34b) Eş deki kısmi diferansiyel denklemler frekans bölgesindedir. dönüşümü kullanılarak zaman bölgesine geçildikten sonra Eş deki ifadeler Eş de yerine yazılırsa manyetik alan şiddeti bileşenleri ve elektrik akı yoğunluğu bileşenleri ile ilişkili zaman bölgesi kısmi diferansiyel denklemleri aşağıdaki şekilde elde edilir: (3.35a) (3.35b)

90 64 Daha sonra Eş kullanılarak elektrik alan şiddeti bileşenleri ve elektrik akı yoğunluğu bileşenleri ile ilişkili zaman bölgesi kısmi diferansiyel denklemleri aşağıdaki şekilde elde edilir: (3.36a) (3.36b) Faraday yasası matris formda: (3.37) şeklinde yazılır. Bu durumda, manyetik akı yoğunluğu bileşeni Eş de belirtildiği gibi manyetik alan şiddeti bileşeni ile ilişkilidir. (3.38) Eş. 3.38, Eş de yerine konulursa elektrik alan şiddeti bileşenleri ve manyetik akı yoğunluğu bileşenleri ile ilişkili zaman bölgesi kısmi diferansiyel denklem aşağıdaki şekilde elde edilir. (3.39) Daha sonra Eş kullanılarak manyetik alan şiddeti bileşenleri ve manyetik akı yoğunluğu bileşenleri ile ilişkili zaman bölgesi kısmi diferansiyel denklemleri aşağıdaki şekilde elde edilir: (3.40) Eş. 3.35a ve Eş. 3.35b de verilen kısmi diferansiyel denklemlerinin zamanda sonlu fark yaklaşımları aşağıdaki şekilde elde edilir:

91 65 (3.41) (3.42) Eş. 3.36a, Eş. 3.36b, Eş ve Eş de verilen kısmi diferansiyel denklemlerinin zamanda sonlu fark yaklaşımları da benzer şekilde yazılır Mükemmel Uyumlu Tabakanın Teorik Performansı PEC duvarı ile çevrili sonlu kalınlıktaki PML ortamı oluşturulduğunda, gelen düzlem dalga PML ortamında tamamen zayıflayamaz ve PEC duvarından iç hesap uzayına küçük yansımalar meydana gelebilir [Elsherbeni ve Demir, 2008]. İletkenlik dağılımı düzgün olan bir PML ortamı için yansıma katsayısı: (3.43) şeklinde verilebilir. Burada, serbest uzay dalga empedansı ve -yönündeki yayılımı gösteren PML iletkenliğidir. FDTD simülasyonu bağlamında yansıma hatası olarak adlandırılır, çünkü PEC duvarı yüzünden PML ye geri dönen fiziksel olmayan bir yansımadır [Taflove ve Hagness, 2005]. Yansıma hatası, (iletkenlik) ve ile eksponensiyel olarak azalırken ile artar. açısı (yüzey normali ile ilişkili açı) sıfır ise bu denklem normal geliş için sonlu kalınlıktaki PML ortamı için yansıma katsayısıdır. ise gelen düzlem dalga PML ortamını yalar ve dik PML ortamı tarafından zayıflatılır. Yansıma hatası de en kötü durumuna gelir ve bu durumda PML tamamen etkisizdir. FDTD simülasyonunda nın mümkün olduğunca küçük olması istenir. İnce bir PML için iletkenlik yı kabul edilebilir küçük seviyelere düşürmek için

92 66 mümkün olduğunca büyük olmalıdır (özellikle geliş açısının için). ye yaklaştığı durum PML kayıp parametrelerini dereceleme Teorik olarak, yansımasız dalga iletimi iletkenliklerdeki yerel basamak süreksizliğine bakılmaksızın PML arayüzünde oluşturulabilir. Yine de, Maxwell denklemlerinin FDTD ya da herhangi bir ayrık gösteriminde, sonlu uzaysal örnekleme yüzünden nümerik yansımalar ortaya çıkar. Başka bir deyişle, PML ortamı boyunca sabit düzgün kayıplar tanımlandığında PML yüzeyinde belirli yapay yansımalar gözlemlenmektedir. Bu yansımalar: 1) Alanların ayrık yaklaşımları, 2) Serbest uzay-pml arayüzündeki malzeme parametreleri, 3) İletkenlik profillerinin keskin değişimlerinin bir sonucudur. Bu ara yüzde yapay bir empedans yüklemesi ile sonuçlanır [Elsherbeni ve Demir, 2008]. Ayrık uzaydaki bu süreksizlik problemi uzaysal olarak değişen iletkenlik kullanılarak azaltılabilir. İletkenlik dik eksen boyunca aşağıdaki gibi uzaysal olarak değişken seçilir. Bunun anlamı, iletkenliğin serbest uzay-pml arayüzünde sıfır ve PML bölgesinin sonunda maksimum olmasıdır. Bu PML ortamına geçişin düzgün olmasına yardımcı olur ve sonuç olarak daha küçük yansımalar meydana gelir [Gedney, 1996]. Bu durumda Eş. (3.43) de verilen yansıma hatası: (3.44) şeklinde ifade edilir. Dereceleme için önerilen yöntemlerden polinom dereceleme basitçe aşağıdaki şekilde verilir: (3.45)

93 67 Burada polinomun derecesi, hesap uzayı PML arayüzünden alan bileşeninin konumuna olan uzaklık, maksimum iletkenlik ve UPML nin kalınlığıdır. Bu ifadeyi yansıma hatası ifadesinde yerine koyarsak aşağıdaki ifade elde edilir: (3.46) Belirli bir için polinom dereceleme 2 parametreyi sağlar. Büyük değerleri için PML yüzeyi yakınında oldukça düz olan bir iletkenlik dağılımı vardır. Bununla birlikte, PML içinde daha derinde iletkenlik küçük için olandan daha hızlı bir şekilde artar. Bu bölgede, alan genlikleri yeteri kadar çok azalmaktadır ve sayısallaştırma hatası yüzünden yansımalar daha az olmaktadır. Çoğu FDTD simülasyonunda değerinin 2, 3 veya 4 olarak alınmasının optimal olduğu bulunmuştur [Gedney, 1996, Berenger, 1996a, Berenger, 1997, Wu ve Fang, 1996,Taflove ve Hagness, 2005]. Polinom dereceleme için, PML parametreleri verilen hata tahmini için kolayca belirlenebilir. Örneğin;, ve istenen yansıma hatasının bilindiği kabul edilsin: (3.47) formülünden maksimum iletkenlik hesaplanabilir. Burada, dik geliş durumunda sonlu kalınlıktaki PML ortamının yansıma katsayısıdır. Çok sayıda sayısal deney sonucunda, geniş bir uygulama aralığı için, 10 hücre kalınlığındaki polinom dereceli PML için optimal seçimin olduğunu göstermektedir. 5 kalınlık için bu değer dir [Gedney,1996]. Etkili bir PML tasarımı, teorik yansıma hatası ve nümerik sayısallaştırma hatasını dengelemeyi gerektirir. küçük ise, PML den ilk yansıma PML nin PEC kaplaması yüzünden meydana gelmektedir. Bu durumda yukarıda verilen denklemi yansıma hatasının doğru bir yaklaşımını sağlar. Yine de, yı minimize etmek için mümkün olduğunca büyük seçilir. Ancak çok büyük ise FDTD yaklaşımı yüzünden sayısallaştırma hatası baskındır ve gerçek

94 68 yansıma hatası 2005]. denklemi ile kestirilenden daha yüksektir [Taflove ve Hagness, 3.6. Simülasyon Sonuçları Anizotropik mükemmel uyumlu tabakanın FDTD simülasyonunda hesap uzayı iki bölgeye ayrılır: 1) problem uzayı, 2) problem uzayını çevreleyen UPML bölgesi. UPML bölgesinin 4 kenarı da PEC ile sonlandırılır. Problem uzayındaki elektrik ve manyetik alanlar standart FDTD yöntemi kullanılarak güncellenir. Bu, hesapsal olarak çok verimlidir [Taflove, 1995]. Yutucu bölge içinde enine alan bileşenleri standart FDTD yöntemi kullanılarak güncellenirken arayüze dik alan bileşenleri iki basamak yaklaşımı kullanılarak güncellenir. Dış sınır PEC sınırları simüle ettiği için bu sınır üzerindeki teğet elektrik alan bileşenleri sıfırdır. Bu sıfır elektrik alan koşulu yazılımda FDTD güncelleme denklem çevrimleri için durma kriteri olarak davranır. Şekil 3.3 de problem uzayı, UPML ve PEC sınırı görülmektedir. Şekil 3.3 de UPML bölgesinin de farklı bölgelere ayrıldığı görülmektedir. Bunlar,, ve UPML tabakaları ve köşe bölgeleridir. Köşe UPML bölgeleri 2 UPML tabakasının üst üste gelmesinden oluşur. FDTD simülasyonunda farklı malzemeler ve değerleri değiştirilerek modellenir. FDTD hesap uzayı Yee hücrelerine ayrılır ve her bir Yee hücresi ilgili yapısal parametreye sahiptir. Hesap uzayının farklı bölgelerinde iletkenlik parametrelerinin değişimleri aşağıda verilmiştir: 1. Problem Uzayı: Problem uzayındaki kayıpsız izotropik malzeme güncelleme denklemlerinde alınarak modellenir. 2., UPML tabakaları:, e bağlı olarak değişir. 3., UPML tabakaları:, e bağlı olarak değişir. 4. Köşe UPML bölgeleri: UPML tabakalarının üst üste gelmesine bağlı olarak iki UPML tabaka koşulunun birleşimi kullanılmalıdır. e ve e bağlı olarak değişir.

95 69 Köşe UPML Köşe Problem Uzayı UPML UPML Köşe UPML Köşe Şekil düzleminde FDTD hesap uzayının görünümü [Sandeep, 2006] Şekil 3.4. durumu için UPML denklemleri için güncellenen alan bileşenleri Problem uzayı, -yönünde bir manyetik akım kaynağı ile uyarılır. Manyetik akım kaynağı orijine yerleştirilmiştir ve Eş ile verilen Gauss dalga formuna sahiptir. Burada s ve alınmıştır. (3.48)

96 Hz(amper/metre) 70 bileşenli örneklenen manyetik alan ve de yerleştirilmiştir, bu gözlem noktası UPML sınırlarının üst sağ köşesinden 4 hücre uzaklıktadır. Problem 1800 zaman adımı koşturulur. Yakalanan örneklenen manyetik alan zamanın bir fonksiyonu olarak Şekil 3.5(b) de çizdirilmiştir. H 1 M 1 (a) 1 x 10-7 Örneklenen Manyetik Alan zaman (ns) (b) Şekil 3.5 (a) İki boyutlu bir problem uzayı ( zaman grafiği ) (b) Örneklenen manyetik alan

97 Hz(amper/metre) 71 FDTD uzayının dört kenarı PEC ile kaplandığında aynı gözlem noktasında yakalanan manyetik alan zamanın bir fonksiyonu olarak Şekil 3.6 da çizdirilmiştir. İki durum içinde, yakalanan alan sınırlardan yansıyan alanların etkisini de içerir. 1 x 10-7 Örneklenen Manyetik Alan Zaman (ns) Şekil 3.6. FDTD uzayının dört kenarı PEC iken örneklenen manyetik alan zaman grafiği UPML sınırlarının performansını belirlemek için, Şekil 3.7(a) da gösterildiği gibi referans bir durum oluşturulur. Hücre adımı, kaynak ve gözlem noktası önceki örnekle aynıdır, ancak bu durumda FDTD hesap uzayının büyüklüğü 1200x1200 hücredir ve 4 kenar PEC malzeme ile sonlandırılmıştır. FDTD uzayının merkezinde kaynak tarafından uyarılan alan dışa doğru yayılır, PEC sınırlara çarpar ve problem uzayına geri yayılır. Problem uzayı çok büyük olduğu için yansıyan alanların örnekleme noktasına ulaşması biraz zaman alır. Bu nedenle, herhangi bir yansıyan alan ulaşmadan önce örnekleme noktasında yakalanan alanlar, sınırlar açık uzay iken gözlenen alanlar ile aynıdır. Verilen örnekte, simülasyonun 1800 zaman adımı koşturulmasında herhangi bir yansıma gözlenmemiştir. Yakalanan örneklenen alanlar zamanın bir fonksiyonu olarak Şekil 3.7(b) de gösterilmiştir.

98 Hz(amper/metre) 72 (a) 1 x 10-7 Örneklenen Manyetik Alan zaman (ns) (b) Şekil 3.7 (a) Referans durumu için iki boyutlu bir problem uzayı (b) Örneklenen manyetik alan -zaman grafiği UPML durumunun sonuçları ile referans durumunun sonuçlarına bakıldığında herhangi bir fark görülmemiştir. İki durum arasındaki fark, UPML den yansıma miktarı ölçümüdür ve nümerik olarak belirlenebilir. Yansıma hatası zamanın bir fonksiyonu olarak aşağıdaki şekilde elde edilir:

99 yansıma hatası (db) 73 (3.49) Burada, UPML durumunda örneklenen manyetik alan ve referans durumunda örneklenen manyetik alandır. Zamanın bir fonksiyonu olarak hata, Şekil 3.8 de çizdirilmiştir. -50 Zamanda Hata zaman (ns) Şekil 3.8. durumu için zamanın bir fonksiyonu olarak hata durumu için iki boyutlu UPML nin performansını incelemek için durumu ile aynı parametreler kullanılarak benzer işlemler yapılmıştır. Yakalanan örneklenen elektrik alan zamanın bir fonksiyonu olarak Şekil 3.9(a) da ve zamanın fonksiyonu olarak yansıma hatası Şekil 3.9 (b) de çizdirilmiştir.

100 yansıma hatası (db) Ez (volt/metre) zaman (ns) (a) -50 Zamanda Hata zaman (ns) (b) Şekil 3.9. (a) durumu için örneklenen elektrik alan zaman grafiği (b) durumu için zamanın bir fonksiyonu olarak hata ve durumları için uygulanan UPML sınır koşulunun yaklaşık 75 db seviyesinde bir hataya neden olduğu sırasıyla Şekil 3.8 ve Şekil 3.9(b) de görülmektedir. Bu değer uygulama için başarılıdır. Ayrıca daha fazla UPML hücre, ın daha iyi seçimi ve UPML nin daha büyük derecesi kullanılarak yansıma hatası daha fazla düşürülebilir. Frekans bölgesinde hata, UPML ve referans

101 yansıma hatası (db) 75 durumlarından örneklenen manyetik alanların Fourier dönüşümleri arasındaki farktan aşağıdaki şekilde hesaplanır. (3.50) Burada Fourier dönüşümünü ifade eder. Fourier dönüşümü Ek-A da anlatılmıştır. -45 Frekans Bölgesinde Hata frekans (Hz) x 10 9 Şekil durumu için frekansın bir fonksiyonu olarak hata Frekans bölgesinde durumu için tanımlanan hata Şekil 3.10 da çizdirilmiştir. Düşük frekanslarda UPML performansının düştüğü gösterilmiştir.

102 76 4. GELEN DALGA KAYNAK ŞARTLARI Kaynaklar, FDTD uzayında elektrik ve manyetik alanları oluştururlar. Bu nedenle, kaynaklar FDTD simülasyonunun gerekli bileşenleridir ve tipleri uygulanacak probleme göre değişmektedir. Kaynaklar, yakın bölge kaynakları ve uzak bölge kaynakları olmak üzere genellikle iki tiptir [Elsherbeni ve Demir, 2008]: 1. Yakın bölge kaynakları (gerilim ve akım kaynakları gibi); a. Bir ve iki boyutlu ızgaralarda kaynaklanmış hard ve alanları: Bir hard kaynak, uzay ızgarasındaki belirli ve bileşenlerine istenilen bir zaman fonksiyonu atanarak basitçe kurulabilir. Bu zaman fonksiyonu modeldeki herhangi bir şeyden bağımsızdır. İki boyutlu bir FDTD TM z (TE z ) ızgarasında yer alan bir noktasal ( ) hard kaynak, kaynak noktasında merkezlenmiş radyal olarak yayılan silindirik bir dalgayı uyarır. Sayısal dağılıma bağlı olarak, yayılan dalga cephesi c ışık hızına bağlı yüzde oransal bir gecikme hızı hatası oluşur. Dalga cephesi aynı zamanda, sayısal faz hızının dalga cephesi boyunca yerel yayılım yönü ile değişmesinden dolayı kendi ideal dairesel şeklinden yüzde oransal bir bozulmaya uğrar [Taflove ve Hagness, 2005]. b. Üç boyutlu ızgaralarda ve akım kaynakları: Üç boyutlu bir FDTD ızgarasında yer alan bir noktasal kaynak, kaynak noktasında merkezlenmiş radyal olarak yayılan bir dalgayı uyarır. İki boyutlu durumdakine benzer şekilde, sayısal dağılma bir gecikme hızı hatası oluşturur ve dalga cephesi, sayısal faz hızının dalga cephesi boyunca yerel yayılım yönü ile değişmesinden dolayı yüzde oransal bir bozulmaya uğrar. Sonuç olarak, ışıyan dalga uygun bir yutucu sınır koşulu varsayımı ile hesapsal uzaydan çıkar.

103 77 2. Uzak bölge kaynakları (bir, iki ve üç boyutta düzlemsel dalga uyartımı için toplam alan/saçılan alan formülasyonu). Uzak bölge kaynakları, problem uzayı içindeki nesneleri aydınlatacak problem uzayı dışında bir yerde oluşturulan alanlardır. Bu nedenle, bunlar FDTD problem uzayını uyartan gelen alanlardır. Gelen alanın en genel tipi düzlemsel dalgadır. Pratik uygulamalarda çoğu kez elektromanyetik dalga kaynakları ile saçıcılar birbirinden yeterince uzakta olup elektromanyetik dalga düzlemsel dalga olarak modellenebilir. Düzgün düzlemsel dalganın hem analitik olarak kullanılması hem de nümerik simülasyonlara uygulanması kolaydır [Merewether ve ark., 1980], [Ma ve Mittra, 2007]. Maxwell denklemlerinin FDTD çözümünde, Yee uzay ızgarasında gelen düzlemsel dalganın kaynaklanması birkaç zorluğu beraberinde getirmektedir. Kaynaklanmış bir gelen dalga aşağıdaki özelliklere sahip olmalıdır [Taflove ve Hagness, 2005]: 1) Rastgele ve kolayca belirlenen yayılım yönü, polarizasyon, zaman dalga formu ve süresi, 2) Düzlemsel dalga cephesinin yayılım yönüne dik olması, 3) Dalga cephesine paralel herhangi bir düzlem boyunca sabit genlik. FDTD zamana bağlı Maxwell denklemlerinin çözümü için etkili, esnek, güçlü ve kolay uygunabilen bir yöntemdir [Yee, 1966]. Saçıcıların sınırsız ortama yerleştirildiği ve çeşitli tiplerde gelen dalga ile aydınlatılan elektromanyetik saçılma problemleri, zamanda sonlu farklar yöntemi kullanılarak çözülen problemler arasındadır [Yee, 1966, Taflove ve Umashankar, 1983, Kunz ve Luebbers, 1993, Taflove, 1995]. FDTD yönteminde düzlemsel dalgaların üretilmesi için çeşitli yöntemler mevcuttur. Bu yöntemlerden birisi de Yee nin 1966 makalesindeki başlangıç koşulları kullanılarak düzlemsel dalga uyartımıdır. Bahsedilen bu yöntemin rastgele yayılma yönü, frekans ve zaman bağımlılığına sahip düzlemsel dalgalar için genel olarak kullanımında zorluklar mevcuttur [Başaran, 2008]. Bu nedenle, günümüzde Toplam Alan/ Saçılan Alan (TF/SF-Total Field/ Scattered Field)

104 78 formülasyonu, FDTD simülasyonlarında saçılma problemlerinin çözümünde gelen dalga uyartımı için yaygın bir şekilde kullanılmaktadır [Tan ve Potter, 2010, Singh ve ark., 2011]. Bu bölümde, ilk olarak FDTD yöntemine uzak bölge kaynaklarının etkili bir şekilde katılmasını sağlayan yöntemlerden birisi olan TF/SF formülasyonu detaylı bir şekilde anlatılmıştır. TF/SF formülasyonunun uygulanabilmesi için gerekli olan gelen dalgalar gelen dalga dizisi (IFA, Incident Field Array) yöntemi kullanılarak elde edilmiştir. IFA yönteminde tanıtılan hatalar nümerik örneklerle gösterilmiş ve Guiffaut ve Mahdjoubi-2000 de 3D-FDTD ızgarasına uygulanan uyumlandırılmış sayısal dağılma yöntemi (MND-Matched Numerical Dispersion) 2D-FDTD ızgarasına uygulanmıştır. Ayrıca, geniş band darbe uyarımları için TF/SF dalga kaynağına uygulanan MND yönteminin saçılan alan bölgesine olan alan kaçaklarını geliş açısında tek frekans kompanzasyon yöntemine göre yaklaşık 200 db kadar azalttığı gösterilmiştir. Ancak geliş açısında benzer bir iyileşme elde edilememiştir. Daha sonra, kaçak alanın IFA yönteminde kullanılan lineer interpolasyon yerine yüksek dereceli kübik eğrisel interpolasyon kullanılarak geliş açısında yaklaşık 70dB daha azaltılabileceği gösterilmiştir. Ayrıca, bu yüksek derece interpolasyon tekniklerinin uygulanabilirliği herhangi bir zaman bağımlı düzlemsel dalga için geçerlidir. Bunu göstermek amacıyla simülasyonda 1GHz frekansa sahip bir sinüzoidal dalga, gelen dalga olarak kullanılmıştır. Bu durumda da benzer sonuçlar elde edilmiştir TF/SF Formülasyonu ve Matematiksel Modeli Huygens yüzeylerine göre ilk olarak, Merewether ve ark de anlatılan ve genel kapsamları Taflove ve Hagness-2005 de verilmiş olan TF/SF formülasyonu, FDTD yöntemine enerjinin etkili bir şekilde eklenebildiği, yani FDTD ızgaralarında rastgele gelen dalgaların tanıtılmasında iyi tasarlanmış bir yöntemdir [Schneider ve Abdijalilov, 2006]. FDTD yönteminde TF/SF formülasyonu son derece karmaşık olan geometriye sahip saçıcılardan saçılan alanları simüle etmek için kullanılan güçlü

105 79 bir araçtır [Taflove ve Hagness, 2005]. Çünkü formülasyon, saçıcılar üzerinde uyarılan indüklenmiş alan dağılımlarını modelleme ihtiyacını ortadan kaldırmaktadır. TF/SF ile tanımlanan gelen dalga saçıcının dışına yerleştirilen iki set teğet soft kaynak tarafından üretilmektedir. Formülasyonda iki set teğet soft kaynak gerekse de, gerçekte, bu kaynağın tek seti saçıcıda istenen gelen dalganın ışıması için yeterlidir. Bir dalga daima her yöne ışıma yaptığı için saçıcıları ve soft kaynağın birinci setini çevreleyen teğet soft kaynağın ikinci setinin fonksiyonu saçıcıları aydınlatamaz. İkinci setin amacı birinci set tarafından üretilen istenmeyen gelen dalgayı yok etmektir, ancak saçıcılardan uzakta ışımasını sağlamaktır. Bu başarılabilirse, gelen alan sadece toplam alan (TF-Total Field) bölgesinde oluşması için sınırlanabilmektedir. Bu bölgede, gelen alan ve saçılan alan bir arada bulunur. Başka bir deyişle, hesap uzayının geri kalanı saçılan alan (SF-Scattered Field) bölgesi olarak adlandırılır. Çünkü bu bölgede sadece saçılan alan oluşur. Simülasyon ortamında, bu istenmeyen dışa doğru olan alanın ortadan kalkması istenir. Böylece saçılan alan bölgesinde saçılan alanlar doğrudan okunabilir. Örneğin, TF bölgesinde hiç saçıcı yokken SF bölgesindeki alanlar sıfırdır. TF/SF formülasyonunun önemli birkaç avantajı aşağıda verilmiştir [Umashankar ve Taflove, 1982]: a) Etkileşim yapısının tamamı için sahip olunan toplam alan formülasyonu, saçıcıların gölge bölgelerinde ve açıklıklar boyunca kaviteler içine giren düşük seviyeli alanların doğru hesaplanmasına izin vermektedir. Bu durum saçılan alanın elde edilmesinde TF/SF yönteminin çıkartma işlemine gerek duymaması nedeni ile hatalarının daha az olmasından kaynaklanmaktadır. b) Soğurucu sınır koşulları doğrudan saçılan alan bölgesine uygulanabilir [Başaran Erkul, 2008]. Izgara sonlandırma bölgesi için sahip olunan saçılan alan formülasyonu, ışıma koşulunun daha doğru simülasyonuna izin verir. c) Gelen dalganın katılımına, sadece bölge 1 ve bölge 2 yi birleştiren dikdörtgensel yüzeydeki alan bileşenlerinin depolanması veya hesaplanması için ihtiyaç vardır.

106 80 Bu, daha az hesap veya hafıza ile sonuçlanır; çünkü sadece saçılan alan formülasyonunu uygulamak için gelen alan etkileşim yapısında bütün noktalarda hesaplanmaktadır. d) Bölge 2 de saçılan yakın alan, uzak alan saçılmayı ve radar kesit alanını türetmek için kolayca integre edilebilir. Bölge 2 içerisine bir NF/FF dönüşüm yüzeyi yerleştirilir. Bu sanal yüzey bölge 1 deki etkileşim yüzeyinin geometrisinden ve malzeme yapısından bağımsız sabit dikdörtgensel bir şekle sahiptir. Bu yüzey boyunca hesaplanan teğet saçılan alan FDTD verisi serbest uzay Green fonksiyonu ile ağırlıklandırılır ve daha sonra modellenen yapının toplam uzak alan ışıması veya bistatik saçılma örüntüsünü elde etmek için toplanır. e) Rastgele zaman bağımlılığına, süreye, yöne ve polarizasyona sahip düzlemsel dalgalar uyarılabilir. TF/SF formülasyonu nun temel matematiksel çıkarımı, alan süreksizlik eşitlikleri ve ilk olarak Schelkunoff tarafından biçimlendirilen eşdeğerlik prensibidir. Böylece problem uzayı iki bölgeye bölünür: 1) toplam alan bölgesi (bölge 1: gelen alan+saçılan alan). 2) saçılan alan bölgesi (bölge 2: sadece saçılan alan) Toplam alan ve saçılan alan bölgelerini ayıran ve bu bölgelerdeki alanları birleştirmeye yarayan sınıra TF/SF sınırı denir. TF/SF sınırı hesap uzayının bir bölümünü kuşatan yapay bir sınırdır. Sınırın içindeki düğümler TF bölgesinde ve sınırın dışındaki düğümler SF bölgesindedir. Alanlar, hesapsal uzay boyunca TF bölgesindeki düğümlerin komşu düğümlerdeki toplam alanlara, diğer yandan SF bölgesindeki düğümlerin komşu düğümlerdeki saçılan alanlara bağlı olduğu istikrarlı güncel eşitliklere sahip olmalıdırlar. Bununla birlikte, TF/SF sınırına teğet olan düğümler en azından bir tane kendisinden farklı bölgede olan düğüme komşudurlar. Bu tutarsızlığın düzeltilmesi TF/SF formülasyonunu teşvik eden durumdur [Taflove ve Hagness, 2005].

107 81 Gerçekte, hesap uzayındaki alanlar soft kaynakların yerleştirildiği bölgelerden geçerken süreksizleşir [Tan ve Potter, 2009]. Süreksizlik eşitlikleri, verilen bir kaynağın iki bölge arasındaki yapay bir sınırda sadece teğet bileşenler boyunca belirlenmesine izin vermektedir. Alan süreksizlik eşitliği elektromanyetik teoride sık sık farklı biçimlerde belirtilmiştir. Süreksizlik eşitliğinin bir biçimi de tutarlılık koşullarıdır, bu koşullar da gelen dalganın TF bölgesine vektörel eklendiği ancak, SF bölgesinden vektörel olarak çıkartıldığı koşullardır. Eşdeğerlik prensibi temel alındığında, toplam alan bölgesindeki gelen alanlar iki bölge arasındaki sınır üzerindeki teğet kaynak alanlar tanımlanarak basitçe ifade edilebilir. Böylece problem 2-D yüzeysel kaynaktan 1-D çizgisel kaynağa indirgenir. Saçıcılar TF bölgesi ile sınırlıdırlar ve dış bölge sadece toplam alan bölgesindeki herhangi bir saçıcının sebep olduğu saçılan alanları içermektedir. Böylece, TF/SF formülasyonu, saçılan alan ile ilgilenilen araştırma problemleri (örn. radar kesit alanı hesapları) için uygundur [Umashankar ve Taflove, 1982] Eşdeğerlik prensibi Eşdeğerlik prensibi, teorik elektromanyetikte kullanılan temel teorilerden biridir. Basitçe bir dalga cephesi üzerindeki her nokta yeni bir dalga kaynağı gibi davranır diyen Huygens prensibine dayanır. Bu prensibin elektromanyetiğe genişletilmesi bu tip kaynakların tam ve doğru tanımını veren eşdeğerlik prensibidir. Bundan dolayı denk kaynak yoğunlukları bazen Huygens kaynakları olarak adlandırılır [Merewether ve ark., 1980]. Bu fikri geliştirmek için, yapay bir S yüzeyi ile ayrılmış Bölge 2 den Bölge 1 içerisine doğru bir kaynak yayılımı (Bkz. Şekil 4.1) varsayılsın. Yapay yüzey üzerinde elektrik ve manyetik yüzey akımlarının aktığı düşünülsün. O zaman teğet elektrik ve manyetik alanlar yüzey üzerinde süreksiz olur [Harrington,2001]. (4.1) (4.2) Burada ve sırasıyla eşdeğer elektrik ve manyetik yüzey akım yoğunlukları, yüzeylere dik bölge 2 den bölge 1 e yönelmiş birim vektördür. Böylece Huygens

108 82 kaynakları ve sıfır, ve kaynakları ise sınırda orijinal kaynaklar ile oluşturulmuş alanlar olarak tanımlanabilir. (4.3) (4.4) Burada ve Huygens kaynak yoğunlukları olarak ifade edilir. Teklik teorisinden yararlanılarak, eğer Huygens kaynakları tarafından sınır üzerinde her noktada üretilen alanlar doğru ise, o zaman kuşatılmış bölge içerisinde her yerde doğrudur (Bkz. Şekil 4.1). Şekil 4.1. Denk kaynak akımları doğru iç alanlar üretir [Merewether ve ark., 1980].

109 83 Eşdeğerlik prensibinin saçılma problemlerine uygulanması kolaydır. Kavramsal olarak, saçıcı problem uzayından çıkartılır ve saçıcı olmadan Huygens yüzeyinde var olan alanlar hesaplanır. Bu alanlardan Huygens kaynak akımı yoğunlukları bulunur. Bu kaynak akımları Huygens yüzeyi içerisinde doğru gelen alanı ve yüzey dışında sıfır değerli alanı oluşturur. Saçıcı yeniden katıldığında, Huygens yüzeyi içerisindeki alanlar, toplam alanlar (gelen ve saçılan) ve Huygens yüzeyi dışındaki alanlar sadece saçılan alanlar olur. Yapay olarak tanıtılan Huygens yüzeyi ile saçılan alanın bir yansıması yoktur, çünkü bu yüzey saçılan alana bağlı olmaksızın sadece elektrik ve manyetik akım kaynakları için bir lokasyondur Literatürde gelen dalga üretimi Bir gelen düzlemsel dalga yayılımı üretmenin yaygın bir uygulaması bütün simülasyon süresince hesapsal ızgaranın kenarları üzerinde meydana gelen analitik dalga çözümlerini açıkça belirtmektir [Taflove ve Hagness, 2005]. Bu analitik kenar özelliği, serbest uzay gibi basit düzgün kayıpsız zemin ortamında etkilidir. Yine de, bu tip ortamlar için bile, 2D ve 3D-FDTD hesaplamaları ızgara dağılma hatalarını içerir ve kenarlar üzerinde hatanın çok olmayışı hesapsal uzay ve kenarlar üzerinde sistematik düzensizliği getirmektedir. Alternatif geleneksel yaklaşım, dalga yayılımı yönü boyunca 1-D FDTD hesabı oluşturmaktır [Taflove ve Hagness, 2005, Oğuz ve Gürel, 1998]. Eğik geliş için, bu yöntemler 1D kenar boyunca gelen dalga değerlerinin interpolasyonunu almaktadır. Bu interpolasyon yaklaşımı ızgara dağılma düzensizlik hatalarına sebep olmamaktadır, fakat onun yerine, interpolasyon hataları meydana gelmektedir. Daha önemlisi, bu yöntem kırılmayı modelleyemez, çünkü dalga yayılımının yönü değişmektedir ve sıklıkla belirgin bile değildir. Bu nedenle, farklı tabakalanmış ortam içinde düzlemsel dalgaların eğik iletimine uygulanamamaktadır [Winton ve ark., 2005]. 1-D yardımcı ızgara yaklaşımının doğasında bulunan hatalara rağmen, bu yöntemin uygulaması kısmen kolaydır, verimlidir ve birçok uygulama için yeteri derecede hassastır. Bu yöntem, daha iyi interpolasyonların önerildiği Oğuz ve Gürel-1997 de olduğu gibi geliştirmelere açıktır. [Oğuz ve Gürel, 1998] ve [Oğuz ve Gürel, 1997] çalışmalarında 1D ızgarada sinyal işleme yöntemleriyle birlikte daha iyi bir

110 84 örnekleme kullanarak yayılımı ve 1D dan 3D a interpolasyonu iyileştirmişlerdir. Düzlemsel dalga üretimi için [Guiffaut ve Mahdjoubi, 2000] de bir boyutlu yardımcı eşitlikten 2 boyutlu ya da 3 boyutlu ızgaralara olan sayısal dağılmayı eşleştirme yolları önerilmiştir. Guiffaut ve Mahdjoubi, dağılma karakteristiklerini ve/veya 1D ızgara boyutunu modifiye ederek iyileştirmeler yapmışlardır. Ayrıca, 1D ve 3D dağılma eşitliklerini denk yapacak bir düzeltme faktörünü sayısal olarak ifade etmişlerdir. Sayısal dağılma eşleştirme yöntemi [Taflove, 1995] olarak adlandırılan yöntem, yayılım hızlarını yüksek doğruluk ile eşleştirmede başarılı olmuş ancak interpolasyon hatalarından kaynaklı kaçakları 30dB-40dB den fazla azaltamamıştır. Daha yüksek olan kaçak hatalarına rağmen 1D yardımcı ızgara yaklaşımı (IFA) kolay uygulanabilirlik ve düşük hafıza gerekliliği gibi özelliklere sahiptir [Tan ve Potter, 2007]. Düzlemsel dalga saçılması, eğer yayılım yönü ızgara eksenlerinden birine paralel değilse, 2D-FDTD ile modellemek için zor olan bir elektromanyetik problemdir. Özellikle, dağıtıcı yarı-uzay ya da tabakalar ile sonsuz düzlemsel dalga etkileşimi gelen dalgaların dikkatli modellenmesini içermelidir. Gizli nesne tespiti ve RF- insan vücudu etkileşimi karmaşık yarı-uzay ve tabakalı kayıplı ortam ile düzlemsel dalga etkileşiminin hesapsal analizinin yapılma gereğini ortaya çıkarmıştır. Çoklu yardımcı bir boyutlu ızgaralara dayanan ancak katmanlı ve dağılmış ortama izin veren başka bir TF/SF yaklaşımı Winton ve Rappaport-1997 de sunulmuştur ve daha sonra Winton ve ark de geliştirilmiştir. Enine alan bağımlılığını yok etmek için Maxwell eşitliklerinin çözümlerini kullanarak, ızgara eksenleri boyunca bir eğik düzlemsel dalganın bir dilimini modelleyebilmek için modifiye dönel denklemleri türetilmiştir. Bu sonuç eşitlikleri bir FDTD ızgarasında kenar koşulları olarak kullanılabilmektedir. Düzlemsel dalga ile modellenen dilim arasındaki ızgara dağılımının incelemesi iyi uyuşmayı ortaya çıkarmıştır. Rastgele dağıtıcı ortama uygulama, TM durumu için basittir, fakat TE durumu için karmaşıklığı artıran ek yardımcı eşitliklere ihtiyaç duymaktadır. TF/SF sınırının katmanlı ortama uygulanması daha önce Demarest ve ark de ele alınmıştır; ancak bu çalışma sürekli dünya ile FDTD ızgara arasındaki farklılıklara dikkat etmemiştir.

111 85 Kosmas-2007 de, çoklu yardımcı bir boyutlu ızgaralara dayalı basit bir yöntemi yeniden incelemiştir. Bu makalenin amacı yöntemin frekansa bağlı yansıma ve iletme kabiliyetini görmek ve dolayısı ile katmanlı karmaşık ortamda düzlemsel dalga yayılımını modellemektir. Yöntemin belli koşullar altında gelen dalgaya bağlı olarak 10-6 seviyesinde kaçak hatalarına sebep olduğu gösterilmiştir. Yöntemin etkinliği interpolasyona gerek duymadan sayısal dağılım eşleme koşullarının gerçekleşmesidir. Tan ve Potter-2007 de dağılımı rastgele büyük ancak ayrık açı kümeleri için tamsayı ızgara-hücre oranı oluşturarak eşleştirebilecek çok noktalı yardımcı bir boyutlu ızgaraya dayalı yeni bir yaklaşım önerilmiştir. Bu yaklaşım interpolasyona ihtiyaç duymadığı için sonlu duyarlıklı hatalara yol açar ancak hesaplama ve uygulama karmaşıklığını artırır. Moss ve ark ve Schneider-2005 tarafından yayınlanan makaleler 1D da bir kaynağın yayılımı için alternatif bir yöntem sunmuştur. Doğrusal zamana bağlı olmayan sistem transfer fonksiyonları kullanarak, geleneksel 1D yardımcı ızgara ihtiyacını ortadan kaldıracak ve Huygens yüzeyinde mükemmel bir gelen dalga oluşturacak bir frekans domeni çözümü önermişlerdir. Alanların analitik hesaplamasına dayalı, analitik alan yayıcısı (AFP, Analytical Field Propagator) olarak adlandırılan ve türevindeki sayısal dağılımı dikkate alan bir yaklaşımdır. AFP, kaynak fonksiyonunu zaman domeninde referans bir noktadan Fourier dönüşümü kullanarak frekans domenine çevirir, daha sonra uzayda herhangi bir noktadaki frekans domeni kaynak alanını bulmak için bir yayıcı fonksiyonu kullanır. Daha sonra ters dönüşüm ile ihtiyaç duyulan zaman domeni sinyali elde edilir. Bu yöntem, sınırdaki her kaynak noktası için bir dönüşüm hesaplamasına ihtiyaç duyar, böylece dönüşümlerin sayısal hesaplamaları için FFT kullanımı ile bazı verimlilikler kazanılabilir. Bu yöntemin dezavantajı, özellikle 3D simülasyonlarda Huygens yüzeyinin her bir noktası boyunca zaman adımları için çözümün yüksek hafıza gerektirmesidir. Schneider ve Abdijalilov-2006 ya benzer bir yaklaşım katmanlı anizotropik ortam için Moss ve ark de araştırılmıştır. Moss ve ark de bir

112 86 alanın katmanlı tek eksenli anizotropik ortamdaki gelişi ve sonuç olarak katmanların yansımaları ve iletim katsayıları ele alınmıştır Gelen Dalgaların Elde Edilmesi ve Meydana Gelen Hatalar Düzlemsel dalgaların FDTD yöntemi ile simülasyonu, elektromanyetik yayılımın ve saçılım problemlerinin ilk FDTD uygulamalarından beri araştırmalarda önemli bir başlık olmuştur [Kosmas, 2007]. FDTD yöntemi karmaşık geometrileri, dağıtıcı ortamları, doğrusal olmayan elemanları vb. işleme veya sonuçlarını çok geniş frekans bandında verme kabiliyetine sahip güçlü nümerik bir araçtır [Taflove, 1995]. Günümüzde antenler ve radar uygulamalarında çok sık olarak kullanılmaktadır. Alıcı antenler, radar kesit alanı (RKA) kestirimi, yakın veya uzak alan saçılması vb. uygulamaların çoğunda, saçıcıların bir düzlemsel dalga ile aydınlatılması gerekmektedir. Toplam alan yöntemiyle, düzlemsel dalga üretmek için etkili ve iyi bilinen yöntem Umashankar ve Taflove-1982 de tanımlanan Huygens kaynak yöntemidir. Bununla birlikte, FDTD algoritmasının nümerik dağılımı analitik Huygens kaynaklarının hesabında doğru bir şekilde yapılamadığından bazı hatalar oluşmaktadır. Bu probleme standart ve en iyi geliştirilmiş yaklaşım Taflove ve Hagness-2005 içerisinde verilmiştir ve iki kısımdan oluşur: (1) hesap uzayı toplam alan ve saçılan alan olarak iki bölgeye ayrılır ve (2) 2D ya da 3D toplam alan bölgelerinde gelen dalga yayılımını başlatmak için tek boyutlu bir ızgara kullanılır. Saçılan alan bölgesindeki gelen alanın yok olmasındaki yöntemin performansı iki ayrı tip hatadan zarar görür. Birinci olarak, bir boyutlu ızgaranın sayısal dağılması 2 boyutlu ya da 3D-FDTD ızgaralar ile eşleşemez ve ikinci olarak yöntemin ikinci kısmında ihtiyaç duyulan interpolasyon yöntemin doğruluğunu etkileyen kaçınılmaz bir hata getirir [Oğuz ve Gürel, 1998]. Başka bir deyişle, Huygens kaynakları 1D FDTD ızgara ile kestirildiğinde gelen alan her zaman dağılma uyumsuzluğundan dolayı SF bölgesine kaçar [Taflove ve Hagness, 2005, Tan ve Potter, 2007, Guiffaut ve Mahdjoubi, 2000, Oğuz ve Gürel, 1998].

113 87 TF/SF formülasyonunu uygulayabilmek için, gelen alan her zaman adımında, sınıra komşu tüm teğet düğümlerde bilinmelidir. TF/SF yöntemi düzlemsel dalgaların çözüm ızgarasına sokulması için kullanılır, ancak teoride herhangi bir gelen alan kullanılabilir. Sürekli dünyada darbeli düzlemsel dalga ilerlemesinin açıklaması kısmen kolaydır. Gelen alan için analitik biçim kullanılırsa (Örn; sürekli dünyadaki yayılımın tanımı), FDTD ızgarasında yayılan alanların şekli sürekli dünyadaki alanların yayılımından farklı olduğundan nümerik hatalar oluşur. FDTD ızgarasında dalgalar sürekli dünyadan daha yavaş yol aldığından, bu uyumsuzluk sınırlardan alan kaçaklarına sebep olmaktadır. Bu alan kaçakları daha iyi bir sayısallaştırma kullanılarak azaltılabilir ancak ortadan kaldırılamaz. Izgara tabanlı yayılım için problemi çözmekteki basit ve mükemmel bir yol, gelen alanın yayılımını modellemekte 1D yardımcı FDTD hesaplaması kullanmaktır [Taflove, 1995]. Gelen dalga, 1D-FDTD yöntemi ile hesaplanan, TF/SF sınırı üzerine yerleştirilir. TF/SF sınırı üzerindeki gelen alanlar 1D FDTD yöntemi ile hesaplanır. 1D ızgarada ve TF/SF sınırının uygulandığı ızgarada aynı parametreler kullanılarak (örn. yayılım yönündeki hücre adımı büyüklüğü, zaman adımı büyüklüğü, Courant sayısı, vb.), 1D ızgara ile oluşturulan gelen alan diğer ızgaradaki yayılan gelen alan ile tamamen uyumlanır. Böylece, ızgara tabanlı yayılım için sınırdan kaçak olmaz [Schneider, 2004]. Daha fazla boyutlu bir ızgaradaki gelen alanın ilerleme yönü ızgara eksenlerinden biri ile hizalanırsa, yardımcı 1D ızgara TF/SF sınırına komşu olan tüm düğümlerdeki gelen alanların tam olarak tanımlanmasında kullanılabilir ki bu durumda kaçak yoktur [Taflove ve Hagness, 2005, Schneider ve Abdijalilov, 2006]. Gelen alanın eğimli ilerlediği durumlarda, bir boyutlu yardımcı ızgara gelen alanı en azından yaklaşık olarak tanımlamada halen kullanılabilir. Ancak, bu alanların daha fazla boyutlu simülasyonlarda kullanılması doğal hatalara sebep olur. Öncelikle, fazla boyutlu ızgaradaki düğümlerin izdüşümüne karşılık gelen noktalardaki alanlar interpolasyonla bulunmalıdır [Taflove ve Hagness, 2005]. İkinci olarak, 1D da görülen sayısal dağılma çok boyutlu ızgaradaki sayısal dağılmaya karşılık gelmez.

114 TF/SF Formülasyonu Maxwell denklemlerinin doğrusallığına dayanan TF/SF formülasyonunda toplam elektrik ve toplam manyetik alanların aşağıdaki gibi ayrıştırılabildiği kabul edilmektedir [Taflove, 1995,Başaran, 2008]. (4.5a) (4.5b) Burada ve, tüm zaman adımlarında uzay ızgarasının tüm noktalarında bilindiği varsayılan, gelen dalga alanlarının değeridir. Bu alanlar, problem uzayında başka herhangi bir saçıcı yok iken kaynak tarafından oluşturulan dalgalardır. ve, başlangıçta bilinmeyen saçılan alan değerleridir. Bunlar gelen dalganın uzay ızgarasında herhangi bir malzeme ile etkileşimi sonucu ortaya çıkar. Yee tabanlı zamanda sonlu farklar algoritması, gelen alan, saçılan alan ve toplam alana eşit geçerlilikle uygulanabilir. TF/SF formülasyonu bakımından FDTD uzayı Şekil 4.2 de görüldüğü gibi iki ana bölgeye ayrılır. Şekil 4.2. FDTD uzay ızgarasının toplam alan/saçılan alan bölgeleri

115 89 Şekil 4.2 de verilen bölgelerin tanımları aşağıdaki gibi verilebilir: Bölge 1: toplam alanların bilgisayar hafızasında saklandığı bölge, Bölge 2: bölge 1 i çevreleyen, saçılan alanların bilgisayar hafızasında saklandığı bölge. Bunun anlamı, bölge 2 içerisinde gelen alan olmamasıdır. Bölge 2 yi sınırlayan dış ızgara düzlemleri hesapsal uzayı sonlandırır ve bir yutucu sınır koşuluna hizmet eder. Bu yutucu sınır koşulları sonsuza uzanan bir ızgarayı simüle eder. İdeal bir yutucu sınır koşulu, tüm dışa doğru yayılan sayısal dalgaların hesapsal uzaydan sıfır yansıma ile çıkmasına izin verir. İki bölge, üzerinde birleştirme koşulları veya tutarlılık koşulları olarak adlandırılan özel bir denklem setinin kullanıldığı matematiksel bir sınır ile birleşir ve böylece gelen alanı oluşturur İki Boyutta TF/SF Yöntemi Tutarlılık koşulları Bölge 1 ve bölge 2 arayüzünü oluşturan yapay yüzey Yee algoritmasına göre düzenlenmiş elektrik ve manyetik alanları içerir. Yee algoritması, bir zaman adımı ilerlemek için değişik alan bileşeni uzaysal farklarının formülasyonunu gerektirir. Gerekli uzaysal fark arayüz düzlemi boyunca alındığında, kararlılık problemi meydana gelir. Yani, arayüzün bölge 1 kenarında fark denkleminde kullanılan alanın toplam alan olduğu kabul edilirken, arayüzün bölge 2 kenarında fark denkleminde kullanılan alanın saçılan alan olduğu kabul edilir. Saçılan alan ve toplam alan değerleri arasında bir aritmetik fark oluşturmak tutarsız olacaktır. Bu tutarsızlık TF/SF yöntemi ile düzeltilir. TF/SF yöntemi ile 2D ve problemleri modellenebilir. Burada, bu yöntem FDTD ızgarasında rastgele zaman dalga biçimi, süresi ve yayılım yönüne sahip olan gelen düzlemsel dalga üretimine izin vermektedir. Bağımlı elektrik ve manyetik alanlar için FDTD eşitlikleri,

116 90 olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir:, ızgara adımı, zaman adımı) genel (4.6a) (4.6b) (4.6c) Şekil 4.2 de gösterilen bölgelemeye sahip ızgarası için TF/SF yönteminin uygulanışı Şekil 4.3. de gösterilmiştir. Şekil 4.3.a da görüldüğü gibi, ilk olarak arayüzünde, toplam alan bileşenleri ve yerleştirilmiştir. Buna göre, noktasında zaman adımı için bileşenlerini (daire ile gösterilmiş) hesaplamak için, ve bileşenleri bilinmelidir. Bu kapsamda, biliniyor ve bilgisayarın hafızasında saklanıyor, çünkü toplam alan bölgesindedir. Ancak, bilgisayar hafızasında saklanmaz, çünkü saçılan alan bölgesindedir. Bu yer ızgaranın kenarını geçer ve oluşamaz. Sadece saçılan alan hafızada bulunur. Bütün zaman adımlarında tutarlılığı sağlamak için ın Yee algoritması düzenlenmelidir. Çünkü olarak ifade edilir. Kolaylık için, kare hücre ızgara kabul edilmiştir. Şekil4.3.a da bölge 1 in ön yüzünde yeralan bileşenlerinin tamamına uygulamak için tutarlılık koşullarını oluşturmada Maxwell dönel denklemleri kullanılır. (4.7) (4.8)

117 91 (a) Özel noktaları (b) Özel ve noktaları Şekil 4.3. TF/SF sınırında 2D- ızgarasında alan bileşenleri modu için elde edilmiş diferansiyel eşitliklerdeki kısmi türev operatörleri merkezi farklara dayalı sonlu farklar karşılıkları ile değiştirilirse aşağıdaki FDTD iterasyon eşitlikleri elde edilir:

118 92 (4.9) Yukarıdaki eşitliği düzenlersek, (4.10) elde edilir Burada aşağıdaki ifade elde edilir. olduğundan Eş.(4.10) da bunu kullanırsak (4.11) Bölge 1, Ön yüz ) (4.12a)

119 93 Burada gösterilen ifadesi klasik Yee algoritmasında elde edilen güncelleme denklemleridir. Bu güncelleme denklemi Eş. 4.6c de verilmiştir ve gelen dalga düzeltme terimi eklenmeden önce gerçekleştirilir. Bölge 1/bölge 2 arayüzü üzerinde yerleştirilen diğer bileşenleri (Şekil 4.3.(a) da daire içinde gösterilen) tutarlılığı sağlamak için benzer bir biçimde ele alınabilir. Aşağıda gerekli işlemler verilmiştir: Bölge 1, Arka yüz ) (4.12b) Bölge 1, Sol yüz ) (4.12c) Bölge 1, Sağ yüz ) (4.12d) ve dört arayüz köşe noktasında (bölge 2 de iki bitişik -bileşeninin olduğu yer) uygun bir işlem Eş. 4.12a-d de ifade edilen üst üste işlemler ile sağlanır. Eş deki tutarlılık koşullarını yerine getirmek için, arayüzün ( : hücre adımı) dışındaki ızgara noktalarındaki gelen ve alan bileşenleri için veri gereklidir. Bunlar Şekil 4.3(a) da üçgenlerle gösterilmiştir. Şekil 4.3(b) yi referans alırsak, tutarlılık problemi bölge 1/bölge 2 arayüzünün dışında yerleşmiş gelen ve bileşenleri içinde bulunmaktadır. Bu bileşenlerin doğru bir şekilde zaman adımlaması için herbir kenara ile yerleştirilmiş saçılan

120 94 bilinmelidir. Aynı zamanda, ilgilenilen herbir sınırı üzerine yerleştirilmiş toplam dır. -bileşeninin bir kenarı TF/SF ve için tutarlılık probleminin çözümü Eş ye neden olan gelişmeye benzerdir. Bütün zaman adımları için (4.13) olduğu bilinirse tutarlılığı sağlamak için yapay algoritması düzenlenmelidir. -bileşenleri için olağan Yee (4.14) (4.15) (4.16) Diferansiyel eşitliklerdeki kısmi türev operatörleri merkezi farklara dayalı sonlu farklar karşılıkları ile değiştirilirse aşağıdaki FDTD iterasyon eşitlikleri elde edilir: (4.17) Yukarıdaki eşitliği düzenlersek, (4.18) (4.19) elde edilir.

121 95 Bölge 1 Dış Ön Yüz: (4.20a) Bölge 1/bölge 2 arayüzü dışına yerleştirilen diğer ve bileşenleri (Şekil 4.3(b) de daire içinde gösterilen) tutarlılığı sağlamak için benzer bir biçimde ele alınabilir. Aşağıda gerekli işlemler verilmiştir: Bölge 1 Dış Arka Yüz: (4.20b) Bölge 1 Dış Sol Yüz: (4.20c) Bölge 1 Dış Sağ Yüz: (4.20d) Eş deki tutarlılık koşullarını yerine getirmek için, arayüzün tam üzerindeki ızgara noktalarındaki gelen alan bileşenleri için veri gereklidir. Bunlar Şekil 4.3.(b) de üçgenlerle gösterilmiştir. Bu aşamada elektrik ve manyetik alanlar için düzenlenen güncelleme denklemleri incelenirse, oluşacak dalgaların tümünün bilinen gelen alan bileşenleri ile karakterize edileceği açıktır [Başaran, 2008]. Eş ve Eş deki tutarlılık denklemleri birlikte iki boyutlu modu için yapay toplam alan ve saçılan alan ızgara bölgelerini uygun bir biçimde birleştirir. Bu koşulları yerine getirmenin kesin bir sonucu, saçılan alan bölgesinde (bölge 2) gözlenen az miktarda kaçak alan ile birlikte

122 96 toplam alan bölgesinde (bölge 1) yüksek kalitede nümerik düzlemsel dalga üretimidir. Bölge 1 de üretilen dalga, Eş.(4.12) ve Eş.(4.20) deki çeşitli düzeltme terimlerindeki ve gelen alanlar için belirlenmiş zaman dalga biçimi, süre ve geliş açısı gibi özelliklerin tamamına sahiptir. Ayrıca, bölge 1 ve bölge 2 arasındaki arayüz, giden bütün nümerik saçılan alanlara açıktır; onların yansıma ve zayıflama olmaksızın bölge 2 içine geçmesine izin verir. Kapsamlı bir şekilde, bu TF/SF yöntemi düzlemsel dalga kaynak şartı için tüm gereksinimleri sağlar [Taflove ve Hagness, 2005] Gelen alan hesabı Gelen alanlar hesap uzayına tutarlılık denklemleri ile tanıtılır. Bu nedenle, gelen alanlar sadece saçılan alan ve toplam alan bölgelerini ayıran matematiksel sınır üzerinde hesaplanır ve böylece gelen alan değerlendirme sayısı saçıcının büyüklüğü ve tipinden bağımsızdır. Gelen alanların doğru ve etkili bir şekilde hesaplanması çözümün doğruluğu için önemlidir [Oğuz ve Gürel, 1997]. Gelen alan dizisi (IFA- Incident Field Array), gelen alanı hesaplamada kullanılan etkili, FDTD tabanlı bir yöntemdir ve ilk kez Taflove-1995 de önerilmiştir. Bu yöntem arama tablosunu (look-up table) temel alır ve gelen alan değerleri bu arama tablosundan interpolasyon ile bulunur. Arama tablosu, bir hard kaynak tarafından uyarılan 1D ızgaradır ve rastgele geliş açılarında gelen dalga bu kaynak ızgarasında 1D FDTD denklemleri ile yayılır [Oğuz ve Gürel, 1998]. IFA yönteminin etkinliği, gelen dalganın konumzaman davranışını tanımlamak için çok sayıda karmaşık matematiksel fonksiyonun (sinüsoidler veya üsteller) hesaplanması yerine gelen dalga dizisindeki (IFA) 1D- FDTD yayılımında ve TF/SF sınırı üzerindeki interpolasyon işlemlerinde basit çarpım ve toplama işlemlerini kullanmasıdır.

123 97 Şekil 4.4. Lineer İnterpolasyon İki boyutlu simülasyonu için gelen dalganın FDTD ızgarasının ekseni ile açısında yönlenmiş dalga vektörü ile yayıldığı kabul edilmektedir. Şekil 4.4 bu durumun analizi için faydalı bir şematik diyagramdır. Burada önemli olan, tutarlılık koşullarının (Bkz. Eş ve Eş. 4.20) bölge 1 in ön sol köşesinden kaynaklanması istenen düzlemsel dalganın nümerik bir benzerini oluşturmasıdır. Şekil 4.4 de bölge 1 in ön sol köşesi ızgara koordinatları olan referans noktası ile gösterilmiştir ve gelen düzlemsel dalga dizisinin bu referans noktası gelen dalga cephesi ile bağlantı kuran ilk toplam alan ızgara noktasıdır. Kare hücre kartezyen ızgara için, bölge 1 deki diğer alan bileşenleri dalga cephesiyle zaman adımı sonra bağlantı kurmaktadır. Burada, dir. (4.21) Burada;,iki boyutlu ızgarada yayılım açısı ile gelen dalganın (yön-bağımlı) nümerik faz hızıdır ve nümerik dalga vektörü ile ilişkilidir. İki boyutlu hesap uzayında belirli bir noktada gelen dalga değeri hesaplanırken ilk olarak kaynak ızgarası üzerinde bu nokta ile ilişkili konum ( ) belirlenir. Bu, dalga vektörü yönünde nin izdüşümü hesaplanarak yapılır.

124 98 (4.22) Burada; birim gelen dalga vektörü, referans noktasından ilgilenilen alan vektör bileşenine uzanan konum vektörüdür ve aşağıdaki şekilde ifade edilirler: (4.23) (4.24) ve tamsayılarda veya yarım tamsayılarda olabilir, çünkü bir alan bileşeni yarım hücre konumunda yerleşebilir. Eş ile belirlenen gecikme mesafesi, istenen hücre konumundaki gelen alanı hesaplamak için gereklidir. Eş ve Eş den konum için ve belirlendikten sonra, gelen dalganın (sinüs fonksiyonu veya bir üstel gibi) konumzaman davranışı için arama tablosu nu temel alan yaklaşım ile herhangi bir ızgara konumunda ve hesaplanabilir. Şekil 4.4 ü referans alırsak, yardımcı 1D-FDTD ızgarasının (kaynak ızgarası, IFA) referans noktası elektrik alan bileşenlerinden biri ile uyuşmalıdır. Ayrıca, yardımcı ızgaranın veya gelen alan dizisinin (IFA) ana ızgaradaki gelen dalga yayılım yönünde yönlendirildiği kabul edilir. Bu, ana ızgaradaki gelen alanların konum-zaman değişimini hesaplamak için yardımcı ızgaranın kullanılmasına izin verir. Ana ızgaradaki bir nokta için bilinen gecikme mesafesi için, ye eşit veya den daha küçük olan en büyük tam sayı olsun. Bu durumda, en yakın 1D gelen alan dizisinin elemanlarının indisleri ve ( noktasına bitişik olan noktaların indisleri) olarak belirlenir. İstenen gelen dalga değeri 1D gelen alan dizisi elemanlarından interpolasyon ile bulunur [Oğuz ve Gürel, 1997]. IFA yöntemi için yardımcı ızgaradaki sadece tek bir noktada gelen dalga zaman bağımlılığının hesabı yeterlidir. Bu durumda de bir hard kaynak:

125 99 (4.25) Burada, rastgele bir ayrık zaman fonksiyonudur. Böylece, bir sinüs veya eksponensiyel fonksiyon yardımcı ızgarayı uyarmak için her zaman adımında hesaplanmalıdır. Böylece, tüm iki boyutlu ana ızgarası uyarılır. Yardımcı ızgaranın zamanda sonlu fark denklemleri 1D-FDTD güncelleme eşitliklerinden türetilmektedir. Yardımcı ve ana ızgaraların ikisinde de aynı ve kullanılır. (4.26a) (4.26b) Sayısal dağılma parametreleri, IFA hesap şemasında farklı bir şekilde kullanılır. Yardımcı ve ana ızgaraların ikisinde de gelen dalgaların nümerik faz hızları Ek-B de verilen Eş.(3b), Eş.(5), Eş.(6) ve Eş.(7) kullanılarak FDTD programının başında hesaplanır. Daha sonra, bu hızların oranı (bu oran 1 den biraz azdır) elektriksel iletkenlik ve manyetik geçirgenlik değerlerini düzenlemek için 1D yardımcı ızgaranın FDTD eşitliklerinde ve ın çarpanı olarak kullanılır. Bu düzenleme, ana ızgaradaki gelen dalga ( ile yayılan) ile yardımcı ızgaradaki dalganın faz hızlarının eşitlenmesi ile sonuçlanır. Aksi takdirde, yardımcı ızgaradaki dalga daha yavaş yayılır çünkü o, ana ızgarada eksenler üzerindeki gibi davranır. Lineer interpolasyon İnterpolasyon komşu noktalardaki bilinen fonksiyon değerlerinin ağırlıklı ortalaması alınarak eksik olan fonksiyon değerinin kestirilmesi anlamına gelmektedir [Mathews ve Fink, 1999]. Lineer interpolasyon iki noktadan geçen bir doğru parçası kullanır. ve noktaları arasındaki eğim dir. Bu durumda, düzenlenebilir: doğrusu için nokta-eğim formülü aşağıdaki şekilde yeniden

126 100 (4.27) Lineer interpolasyonda iki nokta kullanıldığı için polinom derecesi dir. ve de in değerlendirmesi sırasıyla ve i üretir: (4.28a) (4.28b) Fransız matematikçi Joseph Louis Lagrange bu polinomu bulmak için aşağıda verilen biraz farklı bir yöntem kullanmıştır. (4.29) Eş.(4.29) da ve dir ve bu terimler Lagrange katsayı polinomları olarak adlandırılırlar. Bu notasyon kullanılarak, Eş toplama formunda aşağıdaki şekilde yazılır: (4.30) noktadan geçen aşağıdaki gibi yazılır:.dereceden bir polinom için Eş.(4.30) toplama formunda (4.31) Yardımcı ızgara alan değerleri ve gecikme mesafesi nin bilinmesiyle gelen alan dizisinde noktasındaki alan değerleri lineer interpolasyon kullanılarak elde edilebilir. Burada, ye eşit veya den daha küçük en büyük tamsayıyı gösterir. Daha sonra noktasında yerleşmiş bir elektrik alan için Eş den Eş e bilinen ile aşağıdaki şekilde elde edilir: (4.32)

127 101 Burada Eş deki,,,, ve ifadeleri aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır.,,,, ve Benzer şekilde noktasında yerleşmiş bir manyetik alan aşağıdaki şekilde elde edilir: (4.33) Burada, ye eşit veya den daha küçük en büyük tamsayıyı gösterir. TF/SF birleşme koşulunu uygulamak için ihtiyaç duyulan gelen alanı hesaplamada son adım,, ve koordinat yönlerinde alanın vektör bileşenlerini hesaplamaktır. durumu için: (4.34a) (4.34b) (4.34c) ve Eş. 4.26a ve Eş. 4.26b den sağlanmaktadır. Eş. 4.34a-c kullanılarak, Eş ve Eş ile sağlanan bölge 1/ bölge 2 birleşme koşulunda yerine konulabilir.

128 Simülasyon Sonuçları Düzlemsel dalganın simülasyonu için TF/SF formülasyonu FDTD de rastgele gelen alanları tanıtmada kullanılan etkili bir yöntemdir. Pratikte, TF/SF yöntemi eğik gelen düzlemsel dalga durumlarında saçılan alan bölgesine kaçan alanlardan etkilenir. Günümüzde kaçak alanları azaltmak için gelen alanları hesaplamada kullanılan farklı birkaç yöntem bulunmaktadır [Hui ve ark., 2011]. Taflove tarafından tanıtılan hesapsal olarak etkili olan gelen alan dizisi (IFA), zaman bölgesinde ana simülasyon bölgesi ile uyuşan bir düzlemsel dalga kaynağı üretmek için sıkça kullanılmaktadır. Ancak, interpolasyon ve 1D yardımcı ızgara ile 2D/3D ana ızgara arasındaki dağılma uyumsuzlukları yüzünden gelen alanlar saçılan alan bölgesine kaçar ve böylece saçılan alan bölgesindeki saçılan alanları olumsuz bir şekilde etkiler. Eğik gelen düzlemsel dalga durumunu incelemek amacıyla iki boyutlu bir ızgarasında geliş açısı ile serbest uzayda yayılan darbeli düzlemsel dalga için TF/SF ızgara bölgeleme işlemine bir örnek ele alalım. FDTD uzayında toplam alan bölgesi hücreden oluşmuştur ve toplam alan bölgesinin bütün kenarları 20 hücre saçılan alan bölgesi ile çevrelenmiştir. Açık bölge şartını sağlamak için FDTD uzayı 8 hücre tek eksenli mükemmel iletken tabaka (UPML) ile sonlandırılmıştır. UPML duvarları teorik dik yansıma oranına ve parabolik iletkenlik profiline sahiptir. 1/e spektral bant genişliği olan bir Gauss darbesi gelen dalga olarak kabul edilmiştir. Izgara, sayısal dağılmayı önlemek için minumum dalga boyu 20 hücre ile örneklenerek hücre boyu olan düzgün kare hücrelere ve çözümün kararlılığını sağlamak için Courant koşulunu sağlayacak şekilde iki boyutlu yayılımda ile verilen bir zaman adımlamaya sahiptir.

129 x ekseninde ızgara noktaları x ekseninde ızgara noktaları x ekseninde ızgara noktaları x ekseninde ızgara noktaları 103 n=100 zaman adımında xy düzleminde Ez 1 n=150 zaman adımında xy düzleminde Ez 1 20 R1 Saçılan Alan Bölgesi R1 Saçılan Alan Bölgesi Toplam Alan Bölgesi Toplam Alan Bölgesi R R y ekseninde ızgara noktaları y ekseninde ızgara noktaları n=200 zaman adımında xy düzleminde Ez 1 n=250 zaman adımında xy düzleminde Ez 1 20 R1 Saçılan Alan Bölgesi R1 Saçılan Alan Bölgesi Toplam Alan Bölgesi 0.5 Toplam Alan Bölgesi R R y ekseninde ızgara noktaları y ekseninde ızgara noktaları Şekil 4.5. FDTD ızgarasında alan dağılımının 4 anlık görüntüsü Şekil 4.5 FDTD ızgarasındaki alan dağılımının farklı zaman adımlarında 4 anlık görüntüsünü göstermektedir. Toplam alan bölgesinde, in sağına ve aşağısına, gelen dalga açısı ile tam genlik ve dalga cephesi bozulması olmaksızın yayılır. Saçılan alan bölgesinde in soluna ve üstüne yaklaşık ile bastırılan bir kaçak alan vardır (Bkz. Şekil 4.6).

130 Ez(V/m) x 10-3 Saçılan alan zaman adımı Şekil 4.6. SF bölgesinde gözlem noktasında elektrik alan Şekil 4.7. SF bölgesinde gözlem noktasında elektrik alan Sonuç olarak, düzlemsel dalga toplam alan bölgesinde tamamen yayılır ve ızgara noktasına bitişik alt-sağ TF/SF sınırına ulaşır. Burada, dalga ızgaradan yaklaşık ile bastırılan bir kaçak alan ile gözden kaybolur (Bkz. Şekil 4.7). Kaçak alan, SF bölgesindeki elektromanyetik alan değeri ile ölçülebilir, çünkü TF bölgesinde saçıcı yoktur ve ideal olarak SF bölgesinde saçılan alan yoktur. Gerçek kaçak alanı belirlemek için SF bölgesinde, ızgara noktaları ve toplam alan bölgesinde de, ızgara noktaları gözlem noktaları olarak seçilmiştir. FDTD uzayında saçıcı yokken toplam alan bölgesindeki ve

131 x ekseninde ızgara noktaları x ekseninde ızgara noktaları Ez(V/m) Ez(V/m) 105 gözlem noktalarında elektrik alan dağılımı 700 zaman adımı için Şekil 4.8 de görülmektedir. Toplam alan bölgesinde herhangi bir saçıcının olmadığı durumda sadece gelen alan bulunmaktadır. Şekil 4.9 dik geliş durumunda FDTD ızgara arasındaki alan dağılımının farklı zaman adımlarında 2 anlık görüntüsünü göstermektedir. 1.2 Toplam alan 1.2 Toplam alan zaman adımı zaman adımı Şekil 4.8. TF bölgesinde ve gözlem noktalarında elektrik alan n=150 zaman adımında xy düzleminde Ez n=250 zaman adımında xy düzleminde Ez 20 Saçılan Alan Bölgesi Saçılan Alan Bölgesi Toplam Alan Bölgesi Toplam Alan Bölgesi y ekseninde ızgara noktaları y ekseninde ızgara noktaları Şekil 4.9. Dik geliş için farklı zaman adımlarında elektrik alanın anlık görüntüleri

132 Hz (A/m) Hz (A/m) Ez (V/m) Ez (V/m) Toplam Alan 4 x Saçılan Alan Zaman adımı Zaman adımı (a) (b) Şekil durumu için (a) TF bölgesinde elektrik alan (b) SF bölgesinde elektrik alan 3 x 10-3 Toplam Alan 1.5 x Saçılan Alan Zaman adımı Zaman adımı (a) (b) Şekil durumu için (a) TF bölgesinde manyetik alan (b) SF bölgesinde manyetik alan Daha fazla boyutlu bir ızgaradaki gelen alanın ilerleme yönü ızgara eksenlerinden biri ile hizalanırsa, yardımcı 1D ızgara TF/SF sınırına komşu olan tüm düğümlerdeki gelen alanların tam olarak tanımlanmasında kullanılabilir, bu durumda kaçak yoktur (Bkz. Şekil 4.10(b) ve Şekil 4.11(b)).

133 x ekseninde ızgara noktaları x ekseninde ızgara noktaları x ekseninde ızgara noktaları x ekseninde ızgara noktaları 107 Şekil 4.12, Şekil 4.5 gösterimini tekrarlar, ancak burada hücre PEC silindir toplam alan bölgesinin merkezine yerleştirilmiştir. Bu saçıcı, TF/SF arayüzünün 4 kenarından geçen karmaşık bir saçılan alan üretir. Bu geçiş, sıfır yansıma ve tam iletimle meydana gelir. Böylece, TF/SF arayüzü giden saçılan alanı doğasına bakmaksızın tamamen geçirir. n=100 zaman adımında xy düzleminde Ez 1 n=150 zaman adımında xy düzleminde Ez 1 20 R1 Saçılan Alan Bölgesi R1 Saçılan Alan Bölgesi Toplam Alan Bölgesi Toplam Alan Bölgesi R R y ekseninde ızgara noktaları y ekseninde ızgara noktaları n=200 zaman adımında xy düzleminde Ez 1 n=250 zaman adımında xy düzleminde Ez R1 Saçılan Alan Bölgesi R1 Saçılan Alan Bölgesi Toplam Alan Bölgesi Toplam Alan Bölgesi R y ekseninde ızgara noktaları R y ekseninde ızgara noktaları Şekil Merkezde PEC silindir varken FDTD ızgarasındaki 4 anlık görüntüsü alan dağılımının

134 Uyumlandırılmış sayısal dağılma (MND) yöntemi Gelen alan dizisi kullanılarak düzlemsel dalga üretmede temel fikir, ana ızgara ile aynı hücre adımı, zaman adımı ve zaman adım sayısına sahip bir lineer kaynak ızgarası kullanmak ve gelen dalganın serbest uzay yayılımını hesaplamaktır. Bu durumda, kaynak ızgarası gelen dalganın uzay zaman değişimi için bir arama tablosu üretir. Ana ızgara üzerinde herhangi bir noktadaki gerekli olan gelen alan kaynak ızgarası boyunca ilgili alan değerlerinin interpolasyonu ile elde edilebilmektedir [Taflove ve Hagness, 2005]. İnterpolasyon ve 1D yardımcı ızgara ile 2D/3D ana ızgara arasındaki dağılma uyumsuzlukları gelen alanların toplam alan bölgesinde mükemmel olmayan hapsine sebep olmaktadır. 1D ızgaradan Huygens yüzeylerine katılan gelen kaynak ile 2D-FDTD algoritması kullanılarak 2D ızgarada hesaplanan alan arasında uyuşmayan sayısal dağılmayı önlemek için 1D yardımcı ızgarada ve 2D ana ızgarada aynı sayısal dağılma kullanılmalıdır [Umashankar ve Taflove, 1982]. Bu amaçla, Taflove-1995 de önerilen yöntemde 1D yardımcı ızgarada 1D- FDTD algoritması ile hesaplanan alanlarda elektriksel iletkenlik ve manyetik geçirgenliği düzenlemek için faktörü kullanılarak ana ve gelen ızgaralarda dalgaların nümerik faz hızlarındaki fark için bir kompanzasyon yapılmıştır. Bu kompanzasyon kullanılarak elde edilen simülasyon sonuçları lik geliş açısı için Bölüm 4.5 de verilmiştir. Ancak, bu düzeltme sadece tek bir dalga boyunda sağlanmaktadır Çünkü hız oranı faktörü sadece seçilen dalga boyunda ( gibi) hesaplanabilmektedir. Bu nokta dışında, tek frekans kompanzasyonu 1D-FDTD algoritması ile hesaplanan faz hızı ile karşılaştırıldığında herhangi bir iyileşme sağlamaz [Guiffaut ve Mahdjoubi, 2000]. Bölge 2 içine alan kaçağını minimize etmek için önerilen yöntemlerden birisi de 3D-FDTD ızgarası ile 1D yardımcı ızgara arasında sayısal dağılmayı mükemmel uyumlandıran ve ayrıntıları Guiffaut ve Mahdjoubi-2000 de verilen MND yöntemidir. Bu yöntemin amacı: 1. 2D/3D ana ızgara (Bkz. Eş. 4.36a) ile 1D yardımcı ızgara (Bkz. Eş. 4.36b) için dağılma denklemlerinin hemen hemen aynı olmasını sağlamak,

135 İki denklem için sayısal dalga vektörünü aynı yapmaktır. Bu bölümde, uyumlandırılmış sayısal dağılma yöntemi 2D-FDTD ızgarasına uygulanmıştır. Bu şekilde, gelen düzlemsel dalganın faz hızını 2D-FDTD ızgarasının sayısal dağılması ile belirlenen sayısal faz hızına uyumlamanın doğru düzlemsel dalga uyarımı elde etmede çok önemli olduğu gösterilmiştir. MND yönteminin amacına uygun olarak, bir boyutlu dalga kaynak ızgarasında ana ızgaradan farklı bir uzay ızgara adımı kullanılır. Bir boyutlu kaynak ızgarasının ızgara adımını bulmak için, ilk önce verilen frekans, geliş açısı ve 2D uzay adımları için Eş. 4.35a dan Newton iterasyon yöntemi [Hildebrand, 1987] kullanılarak sayısal dalga vektörü hesaplanır. Daha sonra, bulunan değer bir boyutlu hücre adımını (Eş. 4.35b) yine Newton iterasyon yöntemi kullanılarak hesaplamak için kullanılır. Bir boyutlu hücre adımının elde edilişi aşağıda daha ayrıntılı bir şekilde anlatılmıştır. (4.35a) (4.35b) Burada iki boyutlu sayısal dalga sayısı, bir boyutlu sayısal dalga sayısı ve ızgaranın x ekseni ile ilişkili sayısal dalganın yayılım yönüdür. Eş. 4.35a, olan kare hücre ızgarasına sahip modu için Yee algoritmasının genel sayısal dağılma denklemi ve Eş. 4.35b bir boyutlu durum için sayısal dağılma denklemidir. ve dalga sayıları gerçek dalga sayısına faktörü ile bağlıdır: (4.36) Burada iki boyutlu ana ızgarada uzay ızgara adımı cinsinden tanımlanır. açısı ile yayılan bir düzlemsel dalga için faktörü iki boyutlu dağılma denkleminden aşağıdaki şekilde elde edilir: (4.37)

136 110 Burada dir. Eş de dalga boyu başına hücre sayısı, Courant sayısı ve yayılım yönü belirlenir. faktörü için kapalı formda çözüm yoktur, bu nedenle Newton iterasyon yöntemi kullanılarak (Bkz. Ek-B) sayısal olarak elde edilmelidir. Daha sonra, bulunan faktörü bir boyutlu ızgara adımını (Eş. 4.35b) Newton iterasyon yöntemi kullanılarak hesaplamak için kullanılır. 1D ve 2D boyutlu ızgaraların ikisinde de aynı zaman adımı kullanıldığından Eş. 4.35b nin sol tarafındaki ifade Eş deki gibi yazılabilir. Sağ taraftaki ifade, için Eş deki son terim değiştirilerek düzenlenebilir ve (4.38) olarak elde edilir. Burada 1D dalga kaynak ızgarasında ızgara adımı ve bu ızgarada Courant sayısı dir. 1D kaynak ızgarasında ve 2D ana ızgarada aynı zaman adımı kullanıldığından ve dir. Burada dir. geniş bantlı darbesel uyarımlar için özel olarak tanımlanmamış sabit bir parametre (tek frekans) dir. Ancak, için kullanılan değer önemli değildir ve kabul edilebilir bir sayı güvenli bir şekilde kullanılabilir. Eş ve Eş in karesi alındıktan sonra bu iki eşitliğin sağ taraflarındaki ifadeler ikici dereceden sinüs fonksiyonlarının Taylor seri açılımının ilk iki terimi kullanıldıktan (örn. ) sonra eşitlenerek, ve böylece aşağıdaki gibi hesaplanır (İlk olarak için Eş nin çözülmesi gerektiği unutulmamalıdır). (4.39) Eş sadeleştirilerek, (4.40) elde edilir. Eş. 4.40, iki ızgara içerisindeki uzay ızgara adımlarının optimum oranının en azından yaklaşık olarak frekans ve den bağımsız sadece yayılım yönüne bağlı olduğunu göstermektedir. Bu durumda, bir boyutlu yardımcı kaynak ızgarası in

137 111 hesaplanan değeri kullanılarak oluşturulabilir. Uyumlandırılmış sayısal dağılma yöntemini uygulamak için daha önce anlatılan IFA yönteminde bazı düzenlemeler yapılmalıdır. 1. Dalga kaynak ızgarasındaki elektrik ve manyetik alan güncelleme katsayılarında bulunan yerine Eş ve Eş kullanılarak titizlikle hesaplanmış ya da Eş kullanılarak yaklaşık olarak hesaplanmış kullanılır. 2. Ana ızgaradaki gelen alanları bulmada gerekli olan interpolasyon yapılırken Eş de verilen mesafesi ile değiştirilir [Taflove ve Hagness, 2005]. Dağılma kompanzasyonunun sadece tek bir frekansta olduğu hız ayarlamasının aksine, bu kompanzasyon iki ızgaradaki dağılımı geniş bir frekans spektrumunda uyumlandırır. Çünkü, MND yöntemi frekanstan bağımsızdır. Şekil 4.13(a) da iki boyutta ana ızgarada yönünde Courant sayısına sahip bir yayılım için mükemmel uyumlandırılmış dağılma uygulandıktan sonra saçılan alan bölgesinde bulunan ızgara noktasındaki elektrik alanı göstermektedir. Şekil 4.13(b) geniş bant darbe uyarımları için TF/SF dalga kaynağına uygulanan MND yönteminin saçılan alan bölgesine olan alan kaçaklarını köşegen (diagonal) yayılımda tek frekans kompanzasyon yöntemine göre yaklaşık 200 db kadar azalttığını göstermektedir. Maxwell denklemlerinin FDTD algoritmaları serbest uzay ızgarasında dalganın fiziksel olmayan dağılmasına sebep olur. Yani, nümerik dalga modlarının faz hızı, dalga boyu (frekans), ızgaradaki dalganın yayılım yönü ve ızgara sayısallaştırılmasıyla değişen miktarda c ışık hızından farklıdır. İki boyutlu sayısal dağılma ilişkisinin aksine homojen, kayıpsız bir ortamda iki boyutta fiziksel bir düzlemsel dalga yayılımı için analitik (ideal) dağılma ilişkisi: (4.41)

138 Kaçak elektrik alanın mutlak değeri Kaçak elektrik alanın mutlak değeri (db) 112 şeklinde verilir. Yeterince iyi FDTD ızgaralama kullanılırsa sayısal dağılma istenen herhangi bir seviyeye düşürülebilir. Ayrıca, Courant faktör ve dalga yayılımının yönü uygun seçilirse sayısal dağılma ilişkisi ideal duruma (Bkz. Bölüm 2.5.3) indirgenir. 9 x Tek-frekans kompanzasyonu Uyumlandırılmış sayısal dağılma Zaman adımı Zaman adımı (a) (b) Şekil 4.13.(a) için MND yöntemi ile SF bölgesinde bulunan ızgara noktasında kaçak elektrik alanın mutlak değeri (b) için tek frekans kompanzasyon yöntemi ve MND yöntemi ile SF bölgesinde bulunan ızgara noktasında kaçak elektrik alanın mutlak değerinin (db) karşılaştırılması Şekil 4.14(a) da iki boyutta ana ızgarada yönünde Courant sayısına sahip bir yayılım için mükemmel uyumlandırılmış dağılma yöntemi uygulandıktan sonra saçılan alan bölgesinde bulunan ızgara noktasındaki elektrik alanı göstermektedir. MND yöntemi ile 1D yardımcı ızgaranın sayısal dağılması 2D ana ızgaranın sayısal dağılması ile mükemmel olarak uyumlandırılmıştır. Böylece, toplam alan yöntemi ile Huygens yüzeyi dışında kalan alan geniş bir frekans bandında yaklaşık -70 db den daha aşağıya indirilmiştir. Ancak, tek frekans kompanzasyonu yaklaşık -50 db kaçak alana sahiptir. Bu durum Şekil 4.14(b) de gösterilmiştir.

139 Kaçak elektrik alanın mutlak değeri Kaçak elektrik alanın mutlak değeri (db) x Tek frekans kompanzasyonu Uyumlandırılmış sayısal dağılma Zaman adımı Zaman adımı (a) (b) Şekil (a) için MND yöntemi ile SF bölgesinde bulunan ızgara noktasında kaçak elektrik alanın mutlak değeri (b) için tek frekans kompanzasyon yöntemi ve MND yöntemi ile SF bölgesinde bulunan ızgara noktasında kaçak elektrik alanın mutlak değeri (db) Dalga kaynak ızgarası ile ana ızgara sayısal dağılma karakteristikleri tam olarak uyumlandırıldığında dalga kaynak ızgarasındaki alan değerlerinin ihtiyaç duyduğu interpolasyona bağlı hataların kaçak alanda baskın olması ve sadece köşegen yayılımda ideal sayısal dağılmanın elde edilebilmesi gibi nedenlerden dolayı saçılan alan bölgesine olan kaçak alan daha fazla azaltılamamıştır Yüksek dereceli interpolasyon ile gelen dalga dizisi (IFA) IFA yöntemi hesaplama etkinliğine sahiptir, ancak gelen düzlemsel dalganın elde edilmesinde ihtiyaç duyulan interpolasyon ve sayısal dağılma yüzünden meydana gelen hatalar yüzünden yöntemin doğruluğu olumsuz bir şekilde etkilenmektedir. Gelen alan değerlerini elde etmede 1D yardımcı ızgarada lineer interpolasyon yerine daha yüksek dereceli interpolasyon kullanılarak kaçak alanlar azaltılabilir [Guiffaut ve Mahdjoubi, 2000]. İnterpolasyon derecesi artırıldığında gelen alan değerleri 1D kaynak ızgarasında daha fazla nokta ile ilişkilidir. Bu şekilde, yöntemin doğruluğu da artırılmış olur. Gelen alan değerinin IFA hesabı daha fazla bir boyutlu vektör elemanı kullandığı için çıkış kalitesi de artar [Oğuz ve Gürel, 1997]. Lineer interpolasyon yardımcı ızgarada en yakın iki noktayı kullanır (Bkz. Şekil 4.4). Yüksek dereceli interpolasyonlar ise gelen alan dizisinden 2 noktadan daha fazla nokta kullanılmasını

140 114 gerektirir. Örneğin;, ye eşit veya den daha küçük en büyük tamsayı olmak üzere lineer interpolasyonda gelen alan dizisindeki ve noktaları kullanılırken, 2. derece interpolasyonda, ve noktaları kullanılır. Lineer interpolasyon, sinüsoidler gibi eğri fonksiyonlar için kaba bir tahmin oluşturur. Parabol veya kübik eğriler gibi yüksek dereceli polinomlar gelen alan değişimini modellemek için daha uygundur. Lineer interpolasyon (2-nokta) kullanan IFA şemasının geometrisi Şekil 4.4 de kübik eğrisel interpolasyon (4-nokta) kullanan IFA şemasının geometrisi ise Şekil 4.15 de verilmiştir. Bu bölümde, düzlemsel dalga uyarımları ile FDTD çözümüne tanıtılan hataları göstermek amacıyla lineer interpolasyon ve kübik eğrisel interpolasyon için simülasyon sonuçları verilmiştir ve iki interpolasyon için de Lagrange interpolasyon formülü kullanılmıştır. Şekil 4.16(a)-4.16(b) de gösterilen hata çizimleri geliş açısı için sırasıyla lineer interpolasyon ve kübik eğrisel interpolasyon kullanılarak elde edilmiştir. Burada, 2D ana ızgara ile 1D yardımcı ızgaranın sayısal faz hızları Guiffaut ve Mahdjoubi, 2000 de önerilen MND yöntemi kullanılarak uyumlandırılmıştır. FDTD uzayında toplam alan bölgesi hücreden oluşmuştur ve toplam alan bölgesinin bütün kenarları 20 hücre saçılan alan bölgesi ile çevrelenmiştir. Açık bölge şartını sağlamak için FDTD uzayı 8 hücre tek eksenli mükemmel iletken tabaka (UPML) ile sonlandırılmıştır. UPML duvarları teorik dik yansıma oranına ve parabolik iletkenlik profiline sahiptir. 1/e spektral bant genişliği olan bir Gauss darbesi gelen dalga olarak kabul edilmiştir. Izgara, sayısal dağılmayı önlemek için minumum dalga boyu 20 hücre ile örneklenerek hücre boyu olan düzgün kare hücrelere ve çözümün kararlılığını sağlamak için Courant koşulunu sağlayacak şekilde iki boyutlu yayılımda ile verilen bir zaman adımlamaya sahiptir. Sonuçlar 500 zaman adımı için gözlenmiştir.

141 Kaçak elektrik alanın mutlak değeri Kaçak elektrik alanın mutlak değeri 115 Şekil Kübik eğrisel interpolasyon kullanan IFA şemasının geometrisi 6 x x Zaman adımı Zaman adımı (a) (b) Şekil (a) (b) için lineer interpolasyon kullanılarak elde edilen noktasında kaçak elektrik alanın mutlak değeri için kübik eğrisel interpolasyon kullanılarak elde edilen noktasında kaçak elektrik alanın mutlak değeri Kübik eğrisel interpolasyonun geliş açısı için hata azaltmada etkisini incelemek için Şekil 4.17 verilmiştir. Lineer interpolasyon ile elde edilen sonuçlarla kıyaslandığında maksimum genlik seviyesinde çok az fark olduğu Şekil 4.17(a) da görülmektedir. Şekil 4.17(b) interpolasyon derecesini arttırdığımızda lineer

142 Kaçak elektrik alanın mutlak değeri Kaçak elektrik alanın mutlak değeri Kaçak elektrik alanın mutlak değeri Kaçak elektrik alanın mutlak değeri (db) 116 interpolasyon ile elde edilen sonuçlarda olmadığını db cinsinden göstermektedir. geliş açısı için belirgin bir iyileşme 6 x Kübik eğrisel interpolasyon Lineer interpolasyon Kübik eğrisel interpolasyon Lineer interpolasyon Zaman adımı Zaman adımı (a) (b) Şekil geliş açısı için noktasında lineer ve kübik eğrisel interpolasyon kullanılarak elde edilen kaçak elektrik alanın karşılaştırılması (a) genliklerin mutlak değeri, (b) db cinsinden 9 x x Zaman adımı Zaman adımı (a) (b) Şekil (a) (b) için lineer interpolasyon kullanılarak elde edilen noktasında kaçak elektrik alanın mutlak değeri, için kübik eğrisel interpolasyon kullanılarak elde edilen noktasında kaçak elektrik alanın mutlak değeri Simülasyon geliş açısı için tekrarlanmıştır. Benzer şekilde 2D ana ızgara ile 1D yardımcı ızgaranın faz hızları MND yöntemi kullanılarak uyumlandırılmıştır.

143 Kaçak elektrik alanın mutlak değeri Kaçak elektrik alanın mutlak değeri (db) 117 Şekil 4.18(a)-4.18(b) de gösterilen hata çizimleri geliş açısı için sırasıyla lineer interpolasyon ve kübik eğrisel interpolasyon kullanılarak elde edilmiştir. lik geliş açısı için kübik eğrisel interpolasyonun kaçak alanı azaltmadaki etkisini incelemek için Şekil 4.19 verilmiştir. Şekil 4.19(a), faz hızının uyumlanması koşuluyla maksimum kaçak alan seviyesinin kübik eğrisel interpolasyon kullanılarak lineer interpolasyon ile elde edilen sonuçlarla kıyaslandığında çok daha aşağıya düşürüldüğünü göstermektedir. Şekil 4.19(b) den görüldüğü gibi bu iyileşme yaklaşık 70 db dir. 9 x Kübik eğrisel interpolasyon Lineer interpolasyon Kübik eğrisel interpolasyon Lineer interpolasyon Zaman adımı Zaman adımı (a) (b) Şekil geliş açısı için noktasında lineer ve kübik eğrisel interpolasyon kullanılarak elde edilen kaçak elektrik alanın karşılaştırılması (a) genliklerin mutlak değeri, (b) db cinsinden Bununla birlikte, bu yüksek derece interpolasyon tekniklerinin uygulanabilirliği herhangi bir zaman bağımlı düzlemsel dalga için geçerlidir. Bunu göstermek amacıyla simülasyonda 1GHz frekansa sahip bir sinüsoidal dalga gelen dalga olarak kullanılmıştır. Bunun dışında, toplam alan ve saçılan alan bölgelerinin büyüklükleri, uzay ve zaman adımları, UPML kalınlığı gibi parametreler daha önceki değerlerle aynı bırakılmıştır.

144 Kaçak elektrik alanın mutlak değeri (db) Kaçak elektrik alanın mutlak değeri (db) Lineer interpolasyon Kübik eğrisel interpolasyon Lineer interpolasyon Kübik eğrisel interpolasyon Zaman adımı Zaman adımı (a) (b) Şekil noktasında lineer ve kübik eğrisel interpolasyon kullanılarak elde edilen kaçak elektrik alanın mutlak değerinin db cinsinden karşılaştırılması (a) geliş açısı için, (b) geliş açısı için Şekil 4.20(a) interpolasyon derecesini arttırdığımızda lineer interpolasyon ile elde edilen sonuçlarda geliş açısı için belirgin bir iyileşme olmadığını db cinsinden göstermektedir. Şekil 4.20(b), geliş açısı için faz hızının uyumlanması koşuluyla maksimum kaçak alan seviyesinin kübik eğrisel interpolasyon kullanılarak lineer interpolasyon ile elde edilen sonuçlarla kıyaslandığında çok daha aşağıya düşürüldüğünü göstermektedir. Şekil 4.20(b) den görüldüğü gibi bu iyileşme yaklaşık 85 db dir.

145 YAKIN ALAN / UZAK ALAN DÖNÜŞÜMÜ (NF/FF) Daha önce yapılan çalışmalarda (UPML, TF/SF), FDTD yöntemi elektromanyetik nesne etrafındaki elektrik ve manyetik alan hesabında (yakın alan elektromanyetik alanlar vb.) kullanılmaktadır. Ancak antenler ve radar kesit alanı gibi birçok uygulamada, anten veya saçıcıdan uzak alanda ışıma veya saçılma alanlarını bulmak gerekmektedir [Taflove ve Hagness, 2005]. FDTD yöntemi ile uzak alanda saçılan alan değerlerinin hesaplanması için iki ana yol mevcuttur: a) FDTD problem uzayını uzak alan bölgesini de kapsayacak biçimde büyük almak ve yutucu sınır koşulu uygulamak: Geleneksel FDTD yöntemi ile uzak alanın doğrudan değerlendirmesi oldukça büyük hesap uzayına, yüksek hafızaya ve hesap zamanına ihtiyaç duymaktadır. Ayrıca nümerik ızgara dağılması (numerical grid dispersion) ve nümerik açısal dağılma (numerical angular dispersion) nedeniyle hatalar artmaktadır. Bu, uygulamalarda pratik değildir [Başaran, 2008]. b) FDTD problem uzayını saçıcının hemen etrafını çevreleyen eşdeğer yüzeye kadar almak ve yutucu sınır koşulu uygulamak: NF/FF dönüşüm tekniği ile yakın alan FDTD verisinden uzak alan elektromanyetik alanlar hesaplanmaktadır [Taflove ve Hagness, 2005]. Bu yöntemde saçıcıyı çevreleyen sanal bir yüzey üzerinde hesaplanan eşdeğer akımlar kullanılarak uzak alanlar bulunur. Söz konusu sanal yüzey, çoğunlukla problem uzayının küçültülmesi bakımından yakın alan bölgesinde tanımlanır. FDTD hesap uzayının küçültülmesi nedeni ile hafıza ve hesap zamanı gereksinimleri ile beraber toplam dağılma hataları da azalır. Genelde, NF/FF dönüşümü alan eşdeğerlik prensibini temel alır [Shum ve Luk, 1999, Taflove ve Backman, 2005] ve frekans bölgesinde veya zaman bölgesinde oluşturulabilir. Frekans bölgesinde NF/FF dönüşümü üzerine ilk makaleler Umashankar ve Taflove-1982 ve Taflove ve Umashankar-1983 tarafından 80 lerin başında yayınlanmıştır. Bu, saçılan alanların Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT, Discrete Fourier Transform) veya Hızlı Fourier Dönüşümü (FFT, Fast Fourier

146 120 Transform) kullanılarak frekans bölgesine dönüşümünü gerektirir. Literatürde 2D/3D boyutlu problemler için frekans bölgesinde kullanılan ve Britt-1989 da tanıtılan başka bir yöntem Stratton-1941 tarafından verilen Kirchhoff formülünü temel alır. Luebbers ve ark ve Yee ve ark de benzer zaman bölgesi dönüşümleri türetilmiştir. Bu, çok sayıda frekans veya zaman bölgesi sonuçlarının gerektiği problemler için uygundur. Demarest ve ark ve Wong ve ark da FDTD NF/FF dönüşümü dielektrik yarı düzlemler üzerindeki nesnelere uygulanmıştır. FDTD-NF/FF dönüşümü nesneyi çevreleyen sanal yüzey üzerindeki saçılan elektrik ve manyetik alanlardan kaynaklanan eşdeğer elektrik ve manyetik akımların integrasyonu ile oluşturulabilir. Analitik yüzey integrali aynı yüzey üzerindeki elektrik ve manyetik yüzey akımlarını gerektirir [Martin, 1998]. Bu nedenle elektrik ve manyetik akımların aynı konumda yerleştirilmesi tercih edilir. Ancak FDTD ızgarasında elektrik ve manyetik alanlar uzaysal olarak birbirlerinden farklı konumda olduklarından yüzey akımları hesaplanırken iki bitişik düzlemden teğet manyetik alanların (veya teğet elektrik alanların) uzaysal ortalaması alınır. Daha sonra, elde edilen yüzey akımları uzak alanları ve radar kesit alanını hesaplamak için kullanılır. Böylece, ortalama alanlar teğet elektrik alanlar (veya teğet manyetik alanlar) ın yerleştirildiği ızgara düzlemindeki değerleri gösterir [Luebbers ve ark., 1991, Demarest ve ark., 1996,Barth ve ark., 1992]. Ramahi, geleneksel vektör potansiyel yaklaşımı yerine Kirchhoff un integral gösterimini kullanan NF/FF dönüşümü ile alan interpolasyonunun engellenebildiğini göstermiştir [Ramahi, 1997]. Eşdeğer yüzey akımlarının integrasyonunu temel alan, ancak alan interpolasyonunun engellendiği bir integral prosedürü [Martin, 1998] de sunulmuştur. Bu, kapalı kaynaksız bir bölgede alanları yeniden üretmek için uzaysal olarak kaymış iki yüzey üzerindeki teğet elektrik ve manyetik alanları kullanan FDTD için eşdeğerlik teoreminin nümerik yorumuna dayanmaktadır [Merewether ve ark., 1980]. Bu yüzeyler ayrı olarak ele alındığında, tek bir yüzey için ortalama alanların kullanıldığı dönüşümden daha doğru bir dönüşümün başarılabildiği gösterilmiştir. [Robinson ve Schneider, 2007] de elektrik ve manyetik alanların bu uzaysal farklılıklarını ortadan kaldırmak için sanal yüzey üzerindeki alanların aritmetik ortalaması yerine geometrik ortalaması kullanılmış ve daha iyi sonuçların elde edildiği gösterilmiştir.

147 121 Genel olarak NF/FF dönüşüm tekniği iki basamaktan oluşur [Elsherbeni ve Demir, 2008]: 1. Anten veya saçıcıyı çevreleyen sanal yüzey belirlenir ve sanal yüzey üzerindeki ve akımları hesap uzayındaki elektrik ve manyetik alanlar ( ve ) cinsinden tanımlanır. Sanal yüzey modellenen yapının doğasından bağımsızdır ve kartezyen FDTD ızgarası ile uyumlu sabit dikdörtgensel bir şekle sahiptir [Taflove ve Backman, 2005]. Bu, iki boyutta güçlü yüzey eşdeğerlik teoremi yaratır. Eşdeğerlik teoremine göre, akımlardan yayılan alan anten veya saçıcıdan yayılan alana eşittir. 2. Işıma veya saçılma alanlarını hesaplamak için vektör potansiyeller ( ve ) kullanılır. Ayrıca, uzak alan koşulları uygun analitik formülleri elde etmek için türetmelerde kullanılır. Farklı hesaplama amaçlarına göre, NF/FF dönüşüm tekniği zaman ve frekans bölgesinde uygulanabilir: i) Sınırlı sayıda gözlem açısında geniş band veya geçici frekans bölgesi sonuçları gerektiğinde zaman bölgesi dönüşümü (Şekil 5.1 deki sol yol) kullanılır ve alan bileşenleri güncellenirken ilgilenilen herbir açıdaki geçici uzak alanlar depolanır [Luebbers ve ark., 1991, Luebbers ve ark., 1992]. ii) Sınırlı sayıda frekans için bütün gözlem açılarındaki uzak alanlar gerektiğinde frekans bölgesi dönüşümü (Şekil 5.1 de ki sağ yol) kullanılır. İlgilenilen her bir frekans için kapalı yüzey üzerindeki teğet alanların (yüzey akımlarının) ayrık fourier dönüşümünün alınması herbir zaman adımında güncellenir. Daha sonra, DFT den elde edilen karmaşık frekans bölgesi akımları, frekans bölgesi dönüşümüyle bütün gözlem açılarında uzak alanları hesaplamak için kullanılır [Elsherbeni ve Demir, 2008].

148 122 Şekil 5.1. Farklı hesaplama amaçlarına göre NF/FF dönüşüm tekniği Bu bölümde, ilk önce yüzey eşdeğerlik teoremi anlatılmış ve yakın alan FDTD verisinden eşdeğer akımlar ve elde edilmiştir. Daha sonra, eşdeğer akımlardan uzak alanları hesaplamak için önemli ışıma formülleri verilmiştir. Elde edilen eşdeğer akımlar uzak alan ve radar kesit alanı hesabı için kullanılmaktadır Yüzey Eşdeğerlik Teoreminin Uygulanması İki boyutlu elektromanyetik dalga etkileşim yapısını çevreleyen herhangi bir kapalı kontüre teğet elektrik ve manyetik akım bilgisi başka kaynak yokken, kontür boyunca bu akımların basit integrasyonu ile uzak alanın elde edilmesi için yeterlidir. Gerçekte gözlem kontürü içindeki bölge kaynaksız veya alansız düşünülebilir. Şekil 5.2 de gösterilen bu fikir, yüzey eşdeğerlik teoreminin temelini oluşturur [Taflove ve Hagness, 2005].Yüzey eşdeğerlik prensibi [Schelkunoff, 1936] rastgele şekile ve malzemeye sahip nesnelerden saçılmayı analiz etmede güçlü bir araçtır. Temel fikir, anten ve saçıcı gibi gerçek kaynaklar ile kapalı yüzey üzerindeki eşdeğer akımların yer değiştirmesidir. Böylece, sanal kapalı yüzey dışındaki alanlar, sınır şartlarını sağlayan uygun elektrik ve manyetik akım yoğunlukları kapalı yüzey üzerine yerleştirilerek elde edilir. Akım

149 123 yoğunlukları, kapalı yüzey içindeki alanlar sıfır ve dışındaki alanlar gerçek kaynaklar tarafından yayılan ışımaya eşit olacak şekilde seçilir [Balanis, 1989]. (a) (b) Şekil 5.2. Yüzey Eşdeğerlik Teoremi (a) Orijinal problem (b) bölge için Eşdeğerlik problemi yüzeyinin dışındaki Şekil 5.2 de yüzey eşdeğerlik teoreminin tipik bir uygulaması görülmektedir. İlk olarak, bütün kaynakları ve saçıcı nesneleri çevreleyen yüzey (Bkz. Şekil 5.2(a)) belirlenir. Rastgele bir kaynak tarafından üretilen alanlar ( ve ) olsun. yüzeyinin dışı sadece serbest uzaydır. Alanlar, yüzeyinin hem içinde, hem dışında Maxwell denklemlerini sağladığı için yüzeyinin dışındaki alanların aynı olduğu, ancak yüzeyinin içindeki alanların sıfır olduğu bir eşdeğerlik problemi (Bkz. Şekil 5.2(b)) oluşturulur. yüzeyinde sınır koşullarına uymak için aşağıdaki şekilde tanımlanmalıdır: yüzeyi üzerinde eşdeğer yüzey akımları (5.1a) (5.1b) Şekil 5.2(a) ve Şekil 5.2(b) yüzeyi dışında aynı alanlara, ancak yüzeyi içinde farklı alanlara sahiptir. Orijinal problem Şekil 5.2(a) daki yüzeyindeki alan değerleri doğru bir şekilde elde edilebilirse, Şekil 5.2(b) deki yüzey akımları Eş.(5.1) kullanılarak belirlenebilir. Daha sonra, Şekil 5.2(b) de rastgele herhangi bir uzak

150 124 gözlem noktasındaki alanlar kolayca vektör potansiyel yaklaşımından hesaplanabilir. Teklik teoremi temel alınırsa, hesaplanan alanlar Şekil 5.2(b) deki problemin tek çözümüdür (Teklik teoremi: Sınır koşullarını sağlayan Maxwell denklemlerinin çözümünün tek olduğunu ifade eder). Şekil 5.2(a) ve Şekil 5.2(b) deki ilişkilere göre yüzeyi dışında hesaplanan alanlar orijinal problemin de çözümüdür. İki boyutta uygulanırsa yüzey eşdeğer alanların bu kavramı ilgilenilen saçıcıyı tamamen çevreleyen kontüre teğet eşdeğer elektrik ve manyetik akımlar tarafından kaynaklanmış uzak alan için elde edilen integral ifadesine uygundur [Taflove ve Hagness, 2005]. Yüzey eşdeğerlik probleminin uygulanması uzak alan hesabını kolaylaştırır. Şekil 5.2(a) daki orijinal problemde, farklı elektrik ve manyetik geçirgenliklere sahip malzemeler yüzeyinin içinde olabilir. Bu durumda, ışıma alanlarını hesaplamak için kompleks Green fonksiyonunun türetilmesi gerekir. Şekil 5.2(b) deki problemde, yüzey içindeki alanlar sıfırdır. Bu nedenle, elektrik ve manyetik geçirgenlikler dışardaki serbest uzay ile aynı olabilir. Böylece, ışıma alanlarını hesaplamak için kolay serbest uzay Green fonksiyonu kullanılır [Elsherbeni ve Demir, 2008] FDTD Simülasyonunda Eşdeğer Yüzey Akımları Daha önce belirtildiği gibi, eşdeğerlik teoreminin uygulanmasının esas amacı sanal yüzeyi üzerindeki eşdeğer akımları doğru bir şekilde elde etmektir. FDTD simülasyonunda, yüzey akımlarını hesaplamak için ilk önce Şekil 5.3 de görüldüğü gibi anten veya saçıcı etrafındaki sanal kapalı yüzey belirlenir.

151 125 Şekil 5.3. Anten veya saçıcıyı çevreleyen sanal kapalı yüzey Sanal kapalı yüzey, analiz edilen nesneler ile dıştaki yutucu sınır arasında oluşturulur. Belirlenen yüzey genellikle FDTD ızgarasına uygun dikdörtgensel bir kutudur. Kutunun yeri iki köşe ile belirlenir: en alttaki koordinat köşesi ve en üstteki koordinat köşesi. Eşdeğerlik teoreminin uygulanabilmesi için, bütün anten veya saçıcılar bu dikdörtgen kutu içinde olmalıdır. Sanal yüzey seçildikten sonra, eşdeğer yüzey akımları hesaplanır. Dikdörtgen kutunun dört arayüzü vardır ve herbir arayüz Şekil 5.3 de görüldüğü gibi iki skaler elektrik ve manyetik akıma sahiptir. polarizasyonu için alan bileşenleri ve dir. Sol arayüz için ( ), yüzeye dik birim vektör yönü dir. Eş. 5.1 den eşdeğer yüzey akımları aşağıdaki şekilde hesaplanır: (5.2a) ve skaler akımlar: (5.2b) (5.3a) (5.3b) şeklinde elde edilir. Eş. 5.3 de kullanılan ve, FDTD simülasyonundan hesaplanmaktadır. Zaman bölgesinde uzak alan hesabı için, zaman bölgesi verisi

152 126 doğrudan kullanılır. Frekans bölgesi uzak alan hesabı için, alanların istenen frekans bileşenlerini elde etmek için Ayrık Fourier Dönüşümü kullanılır. Benzer şekilde diğer kenarlar için eşdeğer akımlar aşağıdaki şekilde bulunur: Sağ arayüz için ( ): (5.4a) (5.4b) Alt arayüz için ( ): (5.5a) Üst arayüz için ( ): (5.5b) (5.6a) (5.6b) Uzak alan hesabı için tam kaynak akımlarını elde etmek için Eş. 5.3 Eş. 5.6 eşdeğer kapalı yüzey üzerinde her bir FDTD hücresinde hesaplanmalıdır. Manyetik ve elektrik akımların aynı konumda yerleştirilmesi tercih edilir. Ancak FDTD ızgarasında elektrik ve manyetik alanlar uzaysal olarak birbirlerinden farklı konumda olduklarından yüzey akımları hesaplanırken iki bitişik düzlemden teğet manyetik alanların (veya teğet elektrik alanların) uzaysal ortalaması alınır. Daha sonra, elde edilen yüzey akımları uzak alanları ve radar kesit alanını hesaplamak için kullanılır. Böylece, ortalama alanlar, teğet elektrik alanlar (veya teğet manyetik alanlar) ın yerleştirildiği ızgara düzlemindeki değerleri gösterir.

153 Frekans Bölgesi NF/FF Dönüşümü Ayrık Fourier dönüşümü Zaman bölgesi FDTD verisi DFT kullanılarak frekans bölgesi verisine dönüştürülür. Bu durumda Eş.(5.4) deki yüzey akımı aşağıdaki şekilde hesaplanır: (5.7) Burada, uzay konumu için indislerdir ve zaman adımı indisidir. zaman bölgesi simülasyonunda kullanılan maksimum zaman adımı sayısıdır. Eş. 5.7 deki frekans bölgesi verisi karmaşık değerlere sahiptir. Eş. 5.3 Eş. 5.6 eşitliklerindeki diğer yüzey akımları benzer şekilde hesaplanır. Bu nedenle, frekans bölgesi diyagramları FDTD hesabının bütün zaman adımları tamamlandıktan sonra hesaplanır. Birçok frekansta uzak alan hesabı gerekiyorsa, FDTD simülasyonunda darbe uyarımı kullanılmalıdır. İlgilenilen her frekans için, Eş. 5.7 deki Ayrık Fourier Dönüşümü ilişkili frekans değeri ile oluşturulmalıdır Uzak alan limiti Uzak alan için basit bir koşul aşağıdaki gibi tanımlanır: (5.8) Burada sanal yüzey üzerindeki akım yoğunluğu ile gözlem noktası arasındaki uzaklık, serbest uzaydaki dalga sayısı ve dalga boyudur. Green fonksiyonunun analitik formunu düşünelim. İki boyutta, Green fonksiyonu Hankel fonksiyonu ile verilmektedir. (5.9) Burada ikinci tip sıfır mertebeden Hankel fonksiyonudur. üzerindeki kaynak noktalarından çok dalga boyu uzaklıktaki uzak alanda bir gözlem noktasını gösteren Şekil 5.4 ü düşünelim. Açık bir şekilde;, çok

154 128 büyük olacak şekilde yerleştirilir. Bu durum için, aşağıdaki şekilde gösterilebilir: nın sınırlayıcı ifadesi (5.10) Şekil 5.4 deki geometriye kosinüs bağıntısı uygulanarak uzak alanda aşağıdaki ifade elde edilir: için (5.11) Şekil 5.4. Yakın alan integrasyon kontürü ile ilişkili uzak alan gözlem noktasının geometrisi [Taflove ve Hagness, 2005]

155 129 Eş in iki tarafının karekökü alınarak ve daha sonra sağ taraftaki sonuç tek terimli bir binom açılımına genişletilirse: (5.12) Eş nin de iki tarafının karekökü alınırak aşağıdaki ifade elde edilir: (5.13) Eş ve Eş ün sonuçları Eş. 5.9 daki Green fonksiyonu ifadesinde yerine konulursa, in daha uygun bir sınırlayıcı ifadesi sağlanır: (5.14) 5.4. Yardımcı Vektör Potansiyeller, Işıma ve Saçılma Denklemleri Elektromanyetik sınır değer koşul problemlerinde, elektrik ve manyetik alan çözümlerinde yardımcı vektör potansiyelleri kullanmak yaygın bir uygulamadır [Balanis, 1989]. En yaygın vektör potansiyeller manyetik vektör potansiyel ve elektrik vektör potansiyeldir. Elektrik ve manyetik alan şiddetleri fiziksel olarak ölçülebilen nicelikler olmasına rağmen çoğu mühendis için vektör potansiyeller matematiksel araçtır. Potansiyellerin tanımı, çözümü kolaylaştırır ancak ilave fonksiyonların tanımını gerektirir. Bu bölümün amacı, sınır değer yayılımı, ışıma ve saçılma problemlerinin elektromanyetik alan biçimlerini (modlarını) elde etmektir. Bu alan modları, Maxwell denklemlerini veya dalga denklemini ve uygun sınır koşullarını sağlamalıdır. Prosedür, kaynak içeren veya içermeyen elektromanyetik sınır değer problemini belirlemek ve sınır değer problem bölgesinde var olabilen alan modlarını elde etmektir. Bu Şekil 5.5 de görüldüğü gibi, iki yoldan birisi ile başarılabilir.

156 İstenen sınır değer probleminin elektrik ve manyetik alanlarını elde etmede ilk prosedür Maxwell veya dalga denklemlerini kullanmaktır. Bu, tek adımda başarılır ve bu Şekil 5.5 de yol 1 ile gösterilmiştir. 2. Diğer prosedür iki adım gerektirir. İlk adımda, sınır değer problemi belirlendikten sonra vektör potansiyeller bulunur. İkinci adım, vektör potansiyeller belirlendikten sonra elektrik ve manyetik alanlar bulunur. Elektrik ve manyetik alanlar, vektör potansiyellerinin fonksiyonudur. Bu prosedür, Şekil 5.5 de yol 2 ile gösterilmiştir, ve iki adım gerektirmesine rağmen daha basit ve daha doğrudur; bu nedenle bu prosedür daha çok tercih edilir. Şekil 5.5. Elektrik ve manyetik kaynaklardan ışıma alanı hesabı için blok diyagram [Balanis, 1989] Işıma integralleri veya Stratton-Chu integralleri Maxwell denklemlerinin integral çözümleridir. İlk iki Maxwell dönel denklemleri alınarak doğrudan türetilebilir, daha sonra vektör Green teoremi kullanarak integre edilebilir. Bu bölümde, ışıma integralleri potansiyeller aracılığıyla türetilmektedir İki Boyutlu Vektör Potansiyel Yaklaşımı Işıma problemleri için, bir vektör potansiyel yaklaşımı bilinen manyetik ve elektrik akımlardan bilinmeyen uzak alanları hesaplamak için geliştirilmiştir [Balanis, 1989]. Burada, sanal kontür FDTD ızgarasının saçılan alan bölgesinde yer alan ilgilenilen saçıcıyı tamamen çevreleyen, dört yüze sahip dikdörtgensel bir şekle

157 131 sahiptir. Kontürün her bir yüzeyi boyunca eşdeğer elektrik ve manyetik akımlar FDTD de hesaplanmış teğet elektrik ve manyetik alanlara uygulanan DFT kullanılarak hesaplanır. Daha sonra, bu eşdeğer akımlar serbest uzay uzak alan büyüklüklerini bulmak için ağırlıklandırılmış Green fonksiyonu ile integre edilir [Taflove ve Hagness, 2005]. Eşdeğer akımlar ve serbest uzay Green fonksiyonu ile uzak alan hesaplanması için uygun olan 2 boyutlu vektör potansiyelleri aşağıdaki şekilde verilir: (5.15a) (5.15b) Burada ve yardımcı fonksiyonları aşağıdaki şekilde yazılır: (5.16a) (5.16b) Şekil 5.4 de görüldüğü gibi, vektörü gözlem noktasının konumunu, vektörü kontür üzerindeki kaynak noktasının konumunu gösterir. vektörü kaynak noktası ile gözlem noktası arasındaki uzaklıktır ve açısı ve arasındaki açıdır. Uzak alan hesabında uzaklık yaklaşık olarak: (5.17) şeklinde yazılır. Eş. 5.15a ve Eş. 5.15b de verilen vektör potansiyellerinin neden olduğu fazör ve alanlar aşağıdaki şekilde verilmektedir [Balanis, 1989]. (5.18a) (5.18b)

158 132 Uzak alanda ve alan bileşenlerinin hesabı vektör potansiyeller kullanılarak aşağıdaki şekilde elde edilebilir: (5.19a) (5.19b) (5.19c) Burada, dır. Eşitlikleri düzenlersek aşağıdaki ifadeler elde edilir: (5.20a) (5.20b) Manyetik alanlar aşağıdaki şekilde bulunur: (5.21a) (5.21b) (5.21c) (5.21d) (5.21e) (5.21f) Kapalı sanal kontür Şekil 5.3 deki gibi seçildikten sonra, Eş. 5.3 Eş. 5.6 temel alınarak eşdeğer akımlar hesaplanır ve Eş. 5.7 deki DFT frekans bölgesi bileşenlerini elde etmek için oluşturulur; yardımcı fonksiyonlar ve hesaplanır. FDTD uzay ızgarası ve onun NF/FF dönüşüm kontürünün kartezyen geometrisi verildiği için

159 133 ve yi ilk önce kartezyen koordinatlarda hesaplamak uygundur. Daha sonra, Eş da yerine koymak için silindirik koordinatlara dönüştürülür. (5.22a) Buradan ve bileşenleri aşağıdaki şekilde elde edilir: (5.22b) (5.23a) (5.23b) (5.23c) (5.23d) Eş Eş de yerine konulduğunda, herhangi bir gözlem noktası için uzak alan elde edilir. Eş deki integral ifadeleri integrasyon kontürünün herbir kenarının uyumu ve konumu dikkate alınarak nümerik olarak integre edilebilir. Kontür koordinat orijinine simetrik olarak yerleştirilmiştir ve kenar boyutlarına sahiptir. Bu durumda integrasyon yöntemi için tanımlanacak dört arayüzde akım yoğunlukları, faz terimi ve integrasyon sınırları aşağıdaki gibi yazılır: 1. noktalarına yerleştirilmiş kontürün iki yüzü ve akım yoğunluklarının sıfır olmayan bileşenleri:, Eksponensiyel faz terimi: İntegrasyon sınırları:, 2. noktalarına yerleştirilmiş kontürün iki yüzü ve akım yoğunluklarının sıfır olmayan bileşenleri:,

160 134 Eksponensiyel faz terimi: İntegrasyon sınırları:,,, ve ifadeleri elde edildikten sonra saçılan alanın zaman-ortalamalı Poynting vektörü için aşağıdaki ifade yazılabilir: (5.24a) (5.24b) (5.24c) (5.24d) Gelen dalga yüzünden saçılan alandan elde edilebilen sonuçlardan birisi de radar kesit alanıdır. İki boyutta bistatik radar kesit alanının (RKA, RCS) tanımında yukarıdaki ifadeyi yerine koyarsak: (5.25a) (5.25b) RKA formülünde yerine konulursa aşağıdaki ifade elde edilir: (5.26) Burada gelen dalganın güç yoğunluğu (gelen düzlemsel dalga tarafından taşınan güç), RKA alanı araştırılan frekansta gelen elektrik alan dalga formunun Ayrık Fourier Dönüşümü dür.

161 135 Eş deki integral ifadeleri gerekli fazör nicelikleri elde etmek için yukarıdaki gibi nümerik olarak değerlendirilebilir. Böylece, belirli bir geliş açısı ve polarizasyona sahip bir düzlemsel dalga modelleyen FDTD simülasyonu bir defa koşturulduğunda, uzak alan bistatik RKA nı hesaplamaya izin veren kontür boyunca saçılan yakın alan verisini sağlamaktadır [Elsherbeni ve Demir, 2008] Radar Kesit Alanı RADAR kelimesi Radio Detection And Ranging-Radyo Algılama ve Mesafe Tayini kelimelerinin baş harfleri alınarak oluşturulmuştur. II. Dünya Savaşı sırasında bulunması ile birlikte günümüze kadar gelen süreçte sivil ve askeri sistemler açısından önemli rol oynamıştır [Jenn, 2005]. Sivil dünyada radar seyrüsefer, hava trafik kontrolü, hava koşullarından sakınma ve altimetreler gibi birçok alanda kullanım yeri bulmuştur. Askeri açıdan ise radarlar gemi, uçak, uydu gibi askeri platformlarda keşif, saldırı, sakınma ve korunma amaçlı kullanım alanları bulmuştur. Basit ya da karmaşık olsun metal olan her yapı radar sinyalleri için bir eko kaynağıdır. Diğer bir deyişle üzerlerine gelen elektromanyetik enerjiyi radar alıcısı yönünde yansıtırlar. Bu tür yüzeyler saçılma yüzeyi ve bu saçılma yüzeylerinin karakteristikleri saçılma mekanizması olarak adlandırılırlar. Basit yapılar ile kastedilen küre, dairesel silindir veya düz plaka gibi temel şekillere sahip metalik nesnelerdir. Basit yapılar ekolarının güç ve frekans bağlılıklarına göre uygun bir hiyerarşide sıralanabilirler. Saçılma mekanizmalarının bu hiyerarşisi karmaşık yapılardan kaynaklı ekoların incelenmesi açısından yararlı olmaktadır. Karmaşık yapılar ile kastedilen yüzeyleri mükemmel iletken olmayan, bileşimleri homojen ya da düzgün olmayan, profilleri matematiksel olarak tanımlanamayan veya tüm bunların birleşimini içeren yapılardır. Füze, savaş uçakları, bombardıman uçakları, jet uçakları, gemiler, otomobiller, kamyonlar, kuşlar, böcekler ve ağaçlar gibi tüm taktik, stratejik veya sivil nesneler karmaşık yapılara verilebilecek örneklerdir. Bu tür karmaşık yapılar basit yapıların birleşimi şeklinde ifade edilebilirler. Böylece hedefin karmaşıklığından doğan baskın ekolar izole edilebilir ve karmaşık yapının tümü

162 136 yerine sınırlı sayıda özgün yapı üzerinde çalışılabilir. Aşağıdaki şekilde bir hava aracının basit yapılar cinsinden gösterimi verilmiştir. Şekil 5.6. Bir hava aracının temel geometrik şekillerle gösterimi [Jenn, 2005] RKA, bir hedefin veya platformun bir radardaki görünürlük miktarı veya elektromanyetik dalgalar olan radar sinyallerini yansıtma miktarı olarak tanımlanabilir. Bir hedefin radar ekranındaki görüntüsüne, o hedefin radar kesiti denir. Radar kesit alanı, bir hedefin çarptığı radar dalgalarını radar alıcısına ne oranda geri yansıtacağını ve dolayısıyla radara fiziksel büyüklüğüne göre, hangi oranda bir sinyal göndereceğini belirleyen özelliktir. RKA hedef üzerine gelen dalganın güç yoğunluğuna normalize edildiğinden hedefin radara olan uzaklığına bağlı değildir. Başka bir deyişle gelen dalganın yoğunluğunun ters kare küresel ayrışmaya göre azalması verici güç seviyesinin ve hedefe olan mesafenin etkilerinin ortadan kalkmasına sebep olur. Bir fonksiyonu ile karakterize edilir. RKA hedef özelliklerini, verici gücü, alıcı hassasiyeti ve verici pozisyonu veya alıcı mesafesinden bağımsız olarak karakterize edecek şekilde tanımlar. RKA kullanılan radarın özelliklerinden ve içinde bulunduğu ortamdan bağımsız bir parametredir ve, Hedefe göre vericinin ve alıcının pozisyonu Hedefin geometrisi ve malzeme yapısı Verici ve alıcıya göre hedefin açısal durumu Frekans veya dalga boyu Verici ve alıcı polarizasyonu

163 137 gibi faktörlere bağlıdır. [Knott ve ark., 2004]. Bu faktörler, belirli bir hedefi algılamaya yönelik tasarlanan radarlar için göz önünde bulundurulan etkenlerdir. Tersi düşünüldüğünde, eğer bir platform spesifikasyonları bilinen bir radar ile karşı karşıya ise, bu durumda hedef radar performansı göz önünde bulundurularak tasarlanabilir. Ayrıca eğer radarın frekansı biliniyorsa RKA azaltma çabası sadece tehdit frekansı üzerinde odaklanmalıdır. RKA, alıcı yönünde birim katı açıda saçılan gücün verici yönünden hedef üzerine gelen güç yoğunluğu oranının 4π katı olarak tanımlamaktadır. (5.27) Radar Kesit Alanı nı tanımlamanın daha kullanışlı bir yolu, alıcı yönünde saçılan ve hedefe gelen elektrik alanlar sırasıyla ve olmak üzere, (5.28) olarak tanımlanabilir. Radar kesit alanı birimi sıklıkla desibel metre kare yani olarak kullanılır. (5.29) Şekil 5.7 de gemilerden, büyük bombardıman uçaklarına ve böceklere kadar çeşitli nesneler için RKA değerleri verilmiştir. Şekil 5.7. Bazı tipik doğal ve insan yapımı nesnelerin RKA değerleri

164 138 Modern radar sistemleri kuş sürülerini ve böcek kümelerini algılayabilecek kapasitededir. Bu gerçek RKA tasarımının aslında ne kadar zor bir iş olduğunu göstermektedir. RKA, hedefe göre alıcı ve vericinin aynı yerde ya da farklı yerlerde olmasına bağlı olarak, sırasıyla, monostatik ve bistatik RKA olarak ikiye ayrılır. Her iki durumda da hedeften çok uzaklarda (uzaklık dalga boyuna göre sonsuza giderken) saçılan alan genliğinin gelen alan genliği ile (karesel olarak) ortalaması olarak elde edilir. Şekil 5.8 de monostatik ve bistatik radar gösterilmiştir. (a) (b) Şekil 5.8. (a) Monostatik radar, (b) Bistatik radar Hedeflerin saçılma karakteristikleri büyük ölçüde gelen dalganın frekansına bağlıdır. Bir hedefin radar kesit alanının açık şekilde farklılaştığı üç frekans bölgesi bulunmaktadır. Bunlar: 1- Alçak Frekans Bölgesi 2- Rezonans Bölgesi 3- Yüksek Frekans Bölgesi olarak adlandırılmaktadır. Eğer hedef uzunluklu düzgün bir hedef ise bu üç frekans bölgesi aşağıdaki şekilde tanımlanır [Jenn, 2005]. Burada hedefin en uzun boyutu, dalga boyudur.

165 139 Şekil 5.9. uzunluğunda bir hedef örneği Alçak Frekans Bölgesi ( << ): Hedefin boyunun dalga boyundan çok küçük olduğu durumdur. Bu frekanslarda, gelen düzlemsel dalganın faz dağılımı hedef boyunca küçüktür. Bundan dolayı hedef üzerinde indüklenen akımın genliği ve fazı yaklaşık olarak sabittir. Hedefin şekli önemli değildir. Bu bölgede RKA katkısı frekansın dördüncü kuvvetiyle orantılı olmasına karşın ( ) hedef, noktasal hedef gibi davrandığından RKA değerine sahiptir. Örneğin küçük bir küre ve küçük bir küpün her ikisi de izotropik (yön bağımsız) saçılma örüntüsüne sahiptir. Bu bölge ayrıca Rayleigh bölgesi olarak da adlandırılır. Rezonans Bölgesi ( ): Bu frekanslar için, hedef üzerindeki akımın faz değişimi belirgindir ve hedefin her bölgesi saçılma örüntüsüne katkıda bulunur. Bu nedenle, matematiksel modellerin uygulanabilmesi hemen hemen mümkün değildir. Bu rezonans bölgesinde uygulanabilen güçlü sayısal yöntemler bulunmaktadır. Bu bölge aynı zamanda Mie bölgesi olarak da adlandırılır. Yüksek Frekans Bölgesi ( ): Hedef üzerindeki akımın faz değişimi fazla sayıda döngü içerir ve bu nedenle saçılma alanının açı bağımlılığı yüksektir. Tepe saçılma seviyeleri öncelikle izole edilmiş parçalara bağlıdır. Örneğin, büyük düz plakaların tepe saçılması yüzeyin yansıtıcı noktalarından kaynaklanır. Bunlar Snell yasasını doğrulayan aynamsı yansıma noktalarıdır. Diğer bir deyişle bu bölgede hedefe parça parça bakılır. Örneğin büyük bir geminin sadece ön tarafı o andaki ilgi alanıdır. RKA optik değere yaklaştığından bu bölge optik bölge olarak da adlandırılmaktadır. Bu bölgede yüksek frekans yaklaşımları dediğimiz matematiksel yöntemler kullanılarak hedefin RKA davranışları modellenebilmektedir.

166 140 Şekil Bir kürenin radar saçılma yüzeyi [Jenn, 2005] Bu üç frekans bölgesi için bir kürenin radar kesit alanı Şekil 5.10 da gösterilmiştir. Burada a yarıçap, dalga sayısı olmak üzere, için çizgi yaklaşık olarak lineerdir fakat in üzerinde salınım yapmaya başlar. Bu bölge rezonans bölgesidir. Bu salınım yaklaşık gibi yüksek değerlerde son bulur Radar Kesit Alanı Hesaplama Teknikleri RKA hesaplama teknikleri iki temel grup altında incelenebilir. Bunlar optik tabanlı yaklaşımlarla çalışan yüksek frekans teknikleri ve elektromanyetik problemi tam olarak çözmeyi hedefleyen alçak frekans teknikleri olarak sınıflandırılabilir: 1. Optik tabanlı yaklaşımlarda elektromanyetik dalganın optik kurallarına uyduğu varsayılmıştır. Bu yaklaşımlarda elektromanyetik dalganın hedeflerle etkileşmesi modellenirken kırınım [diffraction] etkileri tamamen ihmal edilmiştir. Bu nedenle fiziksel optik ve geometrik optik gibi yaklaşımlar, elektromanyetik dalganın etkileşimde bulunduğu hedefin yüzeyinde keskin kenarlar ve köşeler bulunmadığı durumlarda oldukça iyi tahmin değerleri vermektedir. Ancak keskin kenarların bulunduğu durumlarda kırınım etkilerini ihmal eden yöntemlerle yapılan tahminler yüksek hata payına sahip olurlar. Optik yöntemlerin hata payı, hedefin şekline bağlı olduğu için de tam bir analiz yapılmadan hata miktarı belirlenememektedir.

167 Elektromanyetik problemlerin çözümlerinde sıklıkla kullanılan yöntemler sayısal yöntemlerdir. Sayısal yöntemler, ilgilenilen hedeflerin karakteristik boyutlarının gelen dalga boyuna göre çok küçük olduğu Rayleigh bölgesi olarak da adlandırılan alçak frekans bölgesinde ya da yaklaşık olarak aynı mertebede olduğu rezonans bölgesinde saçılan alanın hesaplanmasında kullanılması uygun yöntemlerdir. Çizelge 5.1. Genel RKA hesaplama yöntemleri GENEL RKA HESAPLAMA YÖNTEMLERİ SAYISAL YÖNTEMLER ANALİTİK YÖNTEMLER 1. Moment Metodu 1. Geometrik Optik 2. Sonlu Elemanlar Yöntemi 2. Fizik Optik 3. Sonlu Farklar Yöntemi 3. Geometrik Kırınım Teorisi 4. Fiziksel Kırınım Teorisi 5.8. Saçılma Mekanizmaları Çoğu radar tarafından algılanan hedeflerin RKA ları küre veya plakanınkinden çok daha karmaşıktır. Şamandıra ve meteoroloji balonları bunların dışında tutulabilir. Ancak plaka, küre, silindir ve tel gibi basit şekiller RKA incelemelerinde kullanılabilir. Bununla birlikte, karmaşık yapılar basit geometrik şekiller cinsinden ifade edilebilirler. Herhangi bir hedefin RKA nı bulmak için toplam saçılan alanın bulunması gereklidir. Elektriksel olarak büyük hedefler için (örn. optik bölge) toplam elektrik alan hedef üzerindeki her bir saçılma kaynağının terimlerinin toplamı şeklinde ifade edilebilir. (5.30)

168 142 Burada saçılma kaynaklarının sayısıdır. Her terim frekans ve açının bir fonksiyonudur ve yine her terim frekans ve açı ile değişik şekilde farklılık gösterir. Başlı başına her terim sıklıkla belirli bir fiziksel saçılma mekanizması ile ilişkilidir. Sabit bir frekans ve açı değeri için bir terim diğerleri üzerinde baskın hale gelir. (5.31) Yaklaşımda çarpımdaki çapraz terimler ihmal edilmiştir. Bu ancak toplamın alındığı frekans ve açı değerinde bir terimin büyüklüğünün diğer tüm terimlerin yanında çok büyük olduğu durumda geçerlidir. (5.32) RKA hesaplamalarında aşağıdaki saçılma mekanizmaları göz önüne alınmalıdır. Hedef geometrilerine göre bu saçılma mekanizmalarının etkinliği de değişmektedir. Şekil 5.11 de bu saçılma mekanizmaları bir roket üzerinde gösterilmiştir. Şekil Önemli saçılma mekanizmalarının gösterimi [Çiber, 2001]

169 143 Önemli saçılma mekanizmaları aşağıdaki şekilde tanımlanabilir. Yansıma: Bu saçılma mekanizması, RKA da en yüksek tepe değerini oluşturan mekanizmadır. Ancak bu tepeler Snell yasasının sağlanması gerekliliğinden dolayı sınırlı sayıdadır. Yüzeylerin eğrilik yarıçaplarının gelen dalga boyuna göre çok büyük olduğu durumlarda geçerli olur. Çoklu yüzeylerin bulunduğu durumda çoklu yansımalar meydana gelebilir. Örneğin gelen düzlemsel dalga gövde üzerinden yansıyarak bir kanatçığa çarpabilir ve radara buradan geri dönebilir. Kırınım: Kenarlar, uçlar ve tepe noktaları radar enerjisini saçan süreksizliklerdir. Saçılan enerjinin açısal dağılımı, gelen dalga açısına, saçılma yönüne ve süreksizliğin doğasına bağlıdır. Bu durum, süreksizliğin gelen dalga ile doğrudan aydınlatılması ya da sürünen veya ilerleyen dalgaların dolaylı olarak bu noktaları uyarması ile ortaya çıkar. Süreksizlik özellikle uzun bir metal yüzeyin en uzak noktasında yer alıyorsa ilerleyen dalganın uyarımı genellikle gelen dalga ile doğrudan aydınlatmadan daha güçlü bir eko üretir. İlerleyen dalga ekoları doğrudan aydınlatılan kenarlardaki yansıyan enerjiden daha önemli ve anlamlıdır. Yüzey dalgaları: Yüzey dalgaları ifadesi gövde boyunca ilerleyen ve bir kaç tip dalga tipini kapsayan akım olarak ifade edilebilir [Çiber, 2001]. Genel olarak hedef iletim hattı gibi hareket eder ve dalgayı yüzeyi üzerinde kılavuzlar. Eğer yüzey bir küre gibi düzgün ve kapalı şekilde ise, bu durumda dalga yüzey üzerinde çok sayıda tur atar. Eğrisel gövde tiplerinde, yüzey dalgası sürekli olarak ışır. Buna sürünen (creeping) dalga denir. Düz yüzeylerde ışıyan yüzey dalgaları genellikle sızıntı (leaky) dalgaları olarak adlandırılır. İlerleyen (travelling) dalgalar ince yüzeyler üzerinde ve kenarlar boyunca oluşur ve yayılırken az bir zayıflamaya uğrarlar. Eğer yüzey kenar gibi bir süreksizlik ile sonlandırılmışsa ilerleyen dalga bu durumda kendi merkezine doğru geri yansıtılır. Kılavuzlama: Dalga kısmi olarak kapalı bir yapı içerisinde hapis olduğunda oluşan etkiye kılavuzlama adı verilir. Aynı zamanda dalga kılavuzu olarak da adlandırılabilir. Bu duruma örnek olarak jet uçaklarındaki hava açıklıkları verilebilir. Işın kavite içerisine girdiğinde çok sayıda sekme meydana gelir. Işın birçok yol izler

170 144 ve en sonunda neredeyse her açı değerinde ışın ortaya çıkar. Ortaya büyük ve geniş bir RKA lobu çıkar. Durumu daha iyi örnekleyebilmek için bir kedinin gözüne ışık tutulduğunda kedinin gözünde meydana gelen parlamalar verilebilir Simülasyon Sonuçları Elektromanyetik saçılma problemlerinin açıklıkların, köşelerin ve eğrilerin karmaşık etkileri ve yapıların dielektrik yüklemesi yüzünden nümerik olarak çözülmesi zordur. Nümerik yaklaşımlar kullanarak saçılma mekanizmalarını anlamak için gerçekçi modellerden ziyade basit yapıları kullanmak daha yararlıdır. Ayrıca gemi, tank ve uçak gibi gerçek hedefler de bu basit yapılardan oluşmaktadır. Bu nedenle simülasyonlarda öncelikle kare silindir, dairesel silindir ve eşkenar üçgen gibi basit yapılar ele alınmıştır. Simülasyonun doğruluğunu ispatlamak için bu basit yapıların RKA analizleri Umashankar ve Taflove-1982 de verilen parametreler kullanılarak farklı yönlerde aydınlatmalar için Rezonans (Mie) bölgesinde yapılmıştır. Daha sonra kare silindirin farklı frekans bölgelerinde RKA davranışları incelenmiştir. Son olarak basit yapılarla oluşturulmuş bir uçak modeli için RKA davranışları farklı yönlerde aydınlatmalar ve farklı frekanslar için incelenmiştir. İlk olarak mükemmel iletken kare silindir tarafından saçılan düzlemsel dalga ele alınmıştır. Kare silindirin elektriksel boyutu dir. Bundan dolayı RKA Mie bölgesindedir. Burada kare silindirin bir kenarının yarısının uzunluğuna eşittir. Böylece silindirin her kenarı 20 hücre adımı büyüklüğündedir. Düzlemsel dalga uyarımı polarizedir. Alan bileşenleri ve dir ve yönünde yayılmaktadır. Böylece silindirin bir yüzeyine göre dik geliş açısındadır. FDTD analizi için, kare silindir Şekil 5.3 deki gibi iki boyutlu bir ızgara içerisine yerleştirilmiştir. FDTD toplam alan, saçılan alan bölgelerini bağlayan sanal yüzey ve yutucu sınır tabakası silindir yüzeyinden sırasıyla 5 ve 15 hücre adımı uzakta olacak şekilde yerleştirilmiştir. NF/FF sınırı toplam alan saçılan alan sınırına 2 hücre adımı mesafededir. Gauss darbesinin frekansı dir ve hücre adımı olarak alınmıştır. Kare silindir için NF/FF dönüşümü ile hesaplanmış normalize bistatik radar kesit alanı Şekil 5.12(a) da görülmektedir. Şekil 5.12(b) de simülasyonda elde edilen sonuçlar Umashankar ve Taflove-1982 de

171 Normalize RKA Normalize RKA 145 elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Sonuçlar arasındaki ortalama sapmanın yaklaşık olarak olduğu görülmüştür. Ancak bu sapmanın Umashankar ve Taflove-1982 de elde edilen sonuçların okunma zorluğundan ve yuvarlama hatalarından kaynaklandığı değerlendirilmiştir Bakış Açısı (a) 2.5 Taflove Fun Bakış Açısı (b) Şekil 5.12 (a)aydınlatma açısı iken mükemmel iletken kare silindir için bistatik radar kesit alanı (b) Umashankar ve Taflove-1982 de elde edilen sonuçlarla karşılaştırması

172 Normalize RKA 146 Şekil 5.12(a) incelendiğinde geliş açısı için yansımaların etkin olduğu, ayrıca civarında yüzey dalgalarının süreksizlik noktasını dolaylı olarak uyarmasından kaynaklanan köşe kırınımlarının ortaya çıkdığı gözlenmiştir Bakış Açısı Şekil 5.13 Aydınlatma açısı bistatik radar kesit alanı iken mükemmel iletken kare silindir için Şekil 5.13 de aydınlatma açısının olduğu durumda lik bakış açısında mükemmel iletken kare silindir için NF/FF dönüşümü ile hesaplanmış normalize bistatik radar kesit alanı verilmiştir. Benzer şekilde Şekil 5.13 incelendiğinde geliş açısı için köşe bölgesi doğrudan aydınlatıldığından köşe kırınımlarının etkisi artmıştır. Ayrıca civarında yansımaların etkisi belirgin şekilde gözlenmiştir. Simülasyonun doğruluğunu kontrol etmek amacıyla aydınlatma açısı ve lik bakış açısında mükemmel PEC dairesel silindir için NF/FF dönüşümü ile hesaplanmış normalize bistatik radar kesit alanı Şekil 5.14(a) da verilmiştir. Şekil 5.14(b) de simülasyonda elde edilen sonuçlar [Umashankar ve Taflove, 1982] de elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Sonuçlar arasındaki ortalama sapmanın yaklaşık olarak olduğu görülmüştür. Kare silindir ve dairesel silindir için elde edilen ortalama sapma değerleri birbirine çok yakındır. Bu kapsamda simülasyonun doğru sonuçlar verdiği değerlendirilmiştir.

173 Normalize RKA 147 (a) 2.5 Taflove Fun Bakış Açısı (b) Şekil 5.14(a) Aydınlatma açısı iken mükemmel PEC dairesel silindir normalize bistatik radar kesit alanı (b) [Umashankar ve Taflove, 1982] de elde edilen sonuçlarla karşılaştırması Bağıl dielektrik sabiti 2 olan bir malzeme ile kaplanmış dairesel bir silindirin normalize bistatik radar kesit alanı Şekil 5.15 de gösterilmiştir.

174 Normalize RKA Bakış Açısı Şekil Aydınlatma açısı iken dielektrik sabiti 2 olan malzeme ile kaplı dairesel silindirin normalize bistatik radar kesit alanı Şekil 5.16(a)-(b) de FDTD uzayına yerleştirilmiş eşkenar üçgenin aydınlatma açısı için sırasıyla 50 ve 350 zaman adımında elde edilen elektrik alanın anlık görüntüsü verilmiştir. x (a) (b) Şekil FDTD uzayında eşkenar üçgen varken elektrik alanın anlık görüntüsü (a) 50 zaman adımında (b) 350 zaman adımında geliş açısı için ve lik bakış açısında mükemmel iletken eşkenar üçgen için NF/FF dönüşümü ile hesaplanmış normalize bistatik radar kesit alanı sırasıyla Şekil 5.17 ve Şekil 5.18 de verilmiştir.