MOMENTUM VE ENERJĠ DENKLE MLERĠ Ġ ÇĠ N DÜġÜK BOYUTLU MODELLER GELĠ ġtġ RĠ LMESĠ. Müh. Kenan GÖÇMEN

Transkript

1 ĠSTANBUL TEKNĠ K ÜNĠ VERSĠ TESĠ FEN BĠ LĠ MLERĠ ENSTĠTÜSÜ MOMENTUM VE ENERJĠ DENKLE MLERĠ Ġ ÇĠ N DÜġÜK BOYUTLU MODELLER GELĠ ġtġ RĠ LMESĠ YÜKSEK LĠ SANS TEZĠ Müh. Kenan GÖÇMEN Anabili m Dalı : MAKĠ NA MÜHENDĠ SLĠ ĞĠ Progra mı : ENERJĠ MAYI S 3

2 ĠSTANBUL TEKNĠ K ÜNĠ VERSĠ TESĠ FEN BĠ LĠ MLERĠ ENSTĠTÜSÜ MOMENTUM VE ENERJĠ DENKLE MLERĠ Ġ ÇĠ N DÜġÜK BOYUTLU MODELLER GELĠ ġtġ RĠ LMESĠ YÜKSEK LĠ SANS TEZĠ Müh. Kenan GÖÇMEN (53989) Tezi n Enstitüye Veril diği Tari h : 5 Mayıs 3 Tezi n Savunul duğu Tari h : 7 Mayıs 3 Tez DanıĢ manı : Di ğer Jüri Üyel eri Yrd. Doç. Dr. Hasan GÜNEġ (Ġ. T. Ü.) Prof. Dr. Kadi r KI RKKÖPRÜ (Ġ. T. Ü.) Doç. Dr. Seyhan UYGUR ONBAġI OĞLU (Ġ. T.Ü. ) MAYI S 3

3 ÖNS ÖZ Mo ment um ve enerji denkl e ml eri i çi n düşük boyutl u modeller geliştirilmesi konul u bu çalış ma mda danış manlı ğı mı yapan sayı n hoca m Yr d. Doç. Dr. Hasan GÜNEŞ e değerli yardı ml arı ve bütün çalış ma boyunca yaptı ğı yönl endir mel er i çin t eşekkür ederi m. Tezi n hazırlanması sırası nda yardı mı geçen t üm hocal arı ma ve İ. T. Ü. Maki na Fakültesi Hi dromekani k Laborat uarı ele manl arı na da teşekkürü bir borç biliri m. Ma yı s 3 Müh. Kenan GÖÇMEN ii

4 Ġ ÇĠ NDEKĠ LER KI SALT MALAR... v TABLO LĠ STESĠ.... vi ġekġ L LĠSTESĠ.... vii SEMBOL LĠ STESĠ.... xii ÖZET.... xi v SUMMARY.... xv. GĠ RĠ ġ.... KAYNAK TARAMASI YANAL DUVARLAR Ġ LE SI NI RLANDI RILMI ġ BĠ R BÖLGEDE Ġ KĠ Z- JET AKI ġi NIN DÜġÜK BOYUTLU MODELLENMESĠ İkiz-Jet Akış Geometrisi Mat e mati ksek Model ve Çözüm Yönt e mi Navi er-st okes ve enerji denkl e ml eri: tam model Navi er-st okes model (sayısal si mül asyon) sonuçl arı Kuvvetli sı nırlandırıl mış jetler (S/H=. 7) Zayıf sınırlandırıl mış jetler (S/ H=. 3) Kuvvetli ve zayıf sı nırlandır ma duruml arı nı n karşılaştırıl ması Düşük Boyutl u Modeller Düşük boyutlu modeli n ol uşt urul ması Uygun ort ogonal ayırı m met odu (POD) POD sonuçl arı (kuvvetli sınırlandırıl mış ikiz-jet, S/ H=. 7) Özdeğerler (S/ H=. 7) Deneysel özdeğer fonksi yonl ar (S/H=. 7) Düşük boyutlu model sonuçl arı (S/ H=. 7) Re=4 için geliştirilen düşük boyutlu modeller Re=9 için geliştirilen düşük boyutlu modeller Frekans analizleri POD sonuçl arı (zayıf sı nırlandırıl mış iki z-jet, S/ H=. 3) Özdeğerler (S/ H=. 3) Deneysel özdeğer fonksi yonl ar (S/H=. 3) Navi er-st okes denkl e mi nden el de edilen düşük boyutl u model sonuçl arı, S/ H=. 3. (sabit sıcaklı k) Re=4 için geliştirilen düşük boyutlu modeller Re=7 için geliştirilen düşük boyutlu modeller Navi er-st okes ve enerji denkl e ml eri nden el de edilen düşük boyutlu modeller... 3 iii

5 Kuvvetli ve zayıf sı nırlandır ma durumları nı n POD ve düşük boyutl u modeller açısı ndan karşılaştırılması Genel Sonuçl ar Sayısal si mülasyon sonuçl arı Düşük boyutlu model sonuçl arı Ġ ÇĠ NDE ISI KAYNAĞI BULUNAN DĠ KDÖRTGENSEL BĠ R BÖLGEDE KARI ġi K TAġI NI MI N DÜġÜK BOYUTLU MODELLENMESĠ Karışı k Taşı nı mproble mi Geo metrisi Mat e mati ksel Model ve Çözüm Yönt e mi Karışı k Taşı nı mproble mi ni n Doğr udan Sayısal Si mül asyon Sonuçları Doğal taşı nı m et kisi Zorlanmı ş taşını met kisi Karışı k taşı nım pr obl e mi ni n di na mi k yapısı Levha ısı iletim katsayısı nı n akış ve sıcaklı k üzeri ndeki et kisi Düşük Boyutl u Modeller POD sonuçl arı Özdeğerler Deneysel özdeğer fonksi yonl ar Navi er-stokes ve enerji denkl e ml erini n POD projeksi yon (izdüşüm) sonuçl arı Düşük Boyutl u Model Sonuçl arı Tasarı mşartları Açılı mkatsayıları Frekans analizleri Tasarı mdışı şartlar Açılı mkatsayıları Frekans analizleri Hopf bifürkasyon eğrisi Genel Sonuçl ar Sayısal si mülasyon sonuçl arı Düşük boyutlu model sonuçl arı DEĞERLENDĠ RME VE ÖNERĠ LER KAYNAKLAR EK- A DÜġÜK BOYUTLU MODEL DENKLEMLERĠ.... ÖZGEÇMĠ ġ iv

6 KI SALT MALAR POD : Proper Ort hogonal Deco mposition ( Uygun Ort ogonal Ayırı m) LOM : Low Or der Model ( Düşük Boyutl u Model) ODE : Or di nary Differential Equati on ( Adi Diferansi yel Denkl e m) v

7 TABLO LĠ STESĠ Sayf a No Tabl o 3. : Hı z içi n nor malize edilmi ş en büyük on özdeğer ve onl arı n topla mçal kantı enerjisi ne olan kat kıları (S/ H=. 7)... 4 Tabl o 3. : Hı z içi n nor malize edilmi ş en büyük on özdeğer ve onl arı n topla mçal kantı enerjisi ne olan kat kıları (S/ H=. 3)... 8 Tabl o 3. 3 : Sıcaklı k içi n nor malize edil miş en büyük on özdeğer ve onları n topla mçal kantı enerjisi ne olan kat kıları (S/ H=. 3)... 9 Tabl o 4. : Fl uent ile el de edilen sayısal si mül asyon sonuçl arı ile doğrul uğu kanıtlanmı ş çözü ml eri n ( Bench mar k çözü ml eri) farklı Rayl ei gh sayıları nda ( Ra=Gr Pr) karşılaştırılması Tabl o 4. : Re= de, Ri sayısı ile maksi mu m boyutsuz sıcaklı k ( max ), boyutsuz akı mçizgisi ( mi n ), maksi mu m hı zı n şiddeti ( V max ) ve Nusselt sayısı ( Nu) değerleri ni n değişi mi Tabl o 4. 3 : Re= de, Ri sayısı ile boyutsuz sıcaklı k ( max ), maksi mu m hızı n şi ddeti ( V max ) ve Nusselt sayısı( Nu) değerleri ni n değişi mi Tabl o 4. 4 : Ri = de, Reynol ds sayısı ile maksi mu m boyutsuz sıcaklı k ( max ), hızı n maksi mu m şiddeti ( V max ) ve Nusselt sayısı ( Nu) değerleri ni n değişi mi Tabl o 4. 5 : Ri =, Re= de el de edilen sayısal si mül asyonlarda farklı r k değerleri ile max, V ma x ve Nu sayıları nı n değişimi Tabl o 4. 6 : Ri =, Re= de normalize edil miş en enerjik ilk on özdeğer ve onl arı n topl a mçal kantı enerjisi ne olan kat kıları Tabl o 4. 7 : Ri =, Re=5 de normalize edil miş en enerjik ilk on özdeğer ve onl arı n topl a mçal kantı enerjisi ne olan kat kıları Tabl o 4. 8 : Ri =, Re=5 de nor malize edil miş en enerjik ilk on modun özdeğerleri ve topla mçal kantı enerjisi ne olan katkıları Tabl o 4. 9 : Ri =, Re= de normalize edil miş en enerjik ilk on özdeğer ve topla mçal kantı enerjisine olan kat kıları vi

8 ġekġ L LĠSTESĠ Sayf a No ġekil 3. : Kuvvetli sınırlandırıl mış ikiz-jet akış geometrisi.... ġekil 3. : Zayıf sı nırlandırıl mış ikiz-jet akış geometrisi ve ısıl şartlar... ġekil 3. 3a ġekil 3. 3b ġekil 3. 3c ġekil 3. 3d ġekil 3. 4 ġekil 3. 5 ġekil 3. 6 ġekil 3. 7a ġekil 3. 7b ġekil 3. 8 ġekil 3. 9 ġekil 3. : Reynol ds sayısı nı n çeşitli değerleri nde, doğrudan sayısal si mül asyonl a el de edilen akı mçizgileri. (S/ H=. 7) : Re=4 ta bir peri yod için eşit za man aralı kları nda alınmı ş akı m çizgileri. (S/ H=. 7) : Re=7 te bir peri yod için eşit za man aralı kları nda alınmı ş akı m çizgileri. (S/ H=. 7) : Re=9 da eşit za man aralı kları nda alınmı ş akı mçi zgileri. (S/ H=. 7) : Farklı Reynol ds sayıları içi n Navi er- St okes modeliyle el de edilen si mül asyonl arda, ( X=5. 4, Y=) nokt ası içi n alınmı ş u, v hızları nı n za mana göre değişi mi. (S/ H=. 7) : Farklı Reynol ds sayıları içi n el de edilen sayısal si mül asyonl arı n ( X=5. 4, Y=) nokt ası ndaki spektrumanalizleri. (S/ H=. 7) : Reynol ds sayısı nı n çeşitli değerleri içi n akı mçizgileri. (S/ H=. 3)... 4 : Re=4 ta, bir peri yod için eşit aralıklarla alınmı ş akı mçizgileri. (S/ H=. 3) : Re=4 ta, bir peri yod için eşit aralıklarla alınmı ş eş sıcaklı k eğrileri.(s/ H=. 3) : Re=7 te, bir peri yod için eşit aralıklarla alınmı ş akı mçizgileri. (S/ H=. 3) : Farklı Reynol ds sayıları içi n Navi er- St okes modeliyle el de edilen si mül asyonl arda, ( X=6. 3, Y=) nokt ası içi n alınmı ş u, v hızları nı n ve T sıcaklı ğını n za mana göre değişi mi. (S/ H=. 3). 45 : Re=4 ve 7 içi n el de edilen sayısal si mül asyonları n ( X=5. 4, Y=) nokt ası ndaki spektrumanalizleri. (S/ H=. 3) ġekil 3. a : Re=4 içi n en enerjik altı özdeğer fonksi yon. (S/H=. 7) ġekil 3. b : Re=7 içi n en enerjik altı özdeğer fonksi yon. (S/H=. 7) ġekil 3. c : Re=9 içi n en enerjik altı özdeğer fonksi yon. (S/H=. 7) ġekil 3. a : Re=4 ve 7 te yeni den ol uşumfor mülleri yle hesaplanan açılı m katsayıları. (S/ H=. 7) vii

9 ġekil 3. b ġekil 3. 3 ġekil 3. 4 ġekil 3. 5 ġekil 3. 6a ġekil 3. 6b ġekil 3. 7a ġekil 3. 7b ġekil 3. 8 : Re=9 da yeni den ol uşu mfor mülleri yle hesapl anan açılı m katsayıları. (S/ H=. 7) : Re=4 içi n tasarı mşartları nda farklı sayı da denkle ml e ol uşt urulan düşük boyutl u modellerin açılı mkatsayıları nı n za mana göre değişi ml eri. (S/ H=. 7) : Re=4 ta, 4-denkl e mden ol uşan düşük boyutl u modeli n tasarı m dışı şartlardaki di na mi k davranışı. (S/ H=. 7)... 5 : Re =4 ta 4-denkl e mden ol uşan düşük boyutl u modeli n tasarı m dışı şartlardaki ( Re=9) açılı mkatsayıları nı n faz pl anı ndaki yörüngel eri. (S/ H=. 7) : Re=9 da, tasarı mşartları nda 8-denkl e mli düşük boyutl u modeli n açılı mkatsayıları nı n zamanl a değişi mi. (S/ H=. 7) : Re=9 da, tasarı mşartları nda -denkl e mli düşük boyutl u modeli n açılı mkatsayıları nı n za manl a değişi mi. (S/ H=. 7) : Re=4 da 4-denkl e ml e ol uşt urulan düşük boyutlu modeli n tasarı mdışı şartlarda ( Re=9 da) el de edil miş açılı m katsayıları nı n spektrumanalizleri. (S/ H=. 7) : Re=9 da -denkl e ml e ol uşt urulan düşük boyutlu modeli n tasarı mşartları nda ( Re=9 da) el de edil miş açılım katsayıları nı n spektrumanalizleri. (S/H=. 7) : Re=4 içi n en enerjik seki z özdeğer fonksi yon, a) Hı z alanı, b) Sıcaklı k alanı. (S/ H=. 3) ġekil 3. 9 : Re=7 içi n en enerjik seki z özdeğer fonksi yon, (S/ H=. 3) ġekil 3. ġekil 3. ġekil 3. ġekil 3. 3 ġekil 3. 4 ġekil 3. 5 : Re=4 ta yeni den ol uşum f or mülleri yle hesapl anan açılı m katsayıları. a) Hı z katsayıları, b) Sıcaklı k katsayıları. (S/ H=. 3) : Re=7 te yeni den ol uşum f or mülleri yle hız içi n hesapl anan açılı m katsayıları. (S/ H=. 3) : Re=4 ta tasarı mşartlarında farklı sayı da denkl eml e ol uşt urulan düşük boyutl u modellerin açılı mkatsayıları nı n za manl a değişi mi. a) 4-denkl e mli model, b) 6-denkl e mli model, c) 8-denkl e mli model. (S/ H=. 3)... 6 : Re=7 te tasarı mşartlarında 8-denkl e ml e ol uşt urulan düşük boyutl u modeli n açılı mkatsayıları nı n za manl a değişi mi. (S/ H=. 3)... 6 : Re=4 ta tasarı mşartlarında hız ve sıcaklı k içi n farklı sayı da denkl e ml e ol uşt urulan düşük boyutl u modelleri n açılı m katsayıları nı n za manl a değişi mi. a) (4+3)-denkl emli model, b) (4+4)-denkl e mli model, c) (3+4)-denkl e mli model. (S/ H=. 3)... 6 : Re=4 ta faz alanı yörüngel eri. Sürekli çizgi: (4+3)-denkl e ml e tasarı mşartları nda ol uştur ulan düşük boyutl u model, Kesi kli çizgi: doğrudan izdüşüm. (S/ H=. 3)... 6 viii

10 ġekil 3. 6 ġekil 3. 7 : Re=4 ta tasarı mdışı şartlarda (farklı Re sayılarında), (4+3)-denkl e ml e el de edilen düşük boyutl u modelle tahmi n edilen di na mi k siste mdavranışları. (S/ H=. 3) : Re=4 ta (8+8)-denkl eml e ol uşt urulan düşük boyutl u modeli n tasarı mdışı şartlarda ( Re=7, Pr =. 7) tahmi n ettiği di na mi k siste mdavranışları. a) hız ve sıcaklı k içi n açılı mkatsayısı nı n za manl a değişi mi, b)hız içi n faz planı, c) hız ve sıcaklı k içi n spektrumanalizleri. (S/H=. 3) ġekil 4. : Karışı k taşı nı mprobl em geo metrisi ġekil 4. ġekil 4. 3 ġekil 4. 4 ġekil 4. 5a ġekil 4. 5b ġekil 4. 6 ġekil 4. 7 : Sayısal si mül asyonl arda kullanılan gri dler a) 7x gri d, b) 44x gri d : Farklı Ra ( Gr xpr) değerleri içi n; a) Eş sıcaklı k eğrileri b) Akı mçizgileri : Re= da farklı Ri sayıları içi n, doğrudan sayısal si mül asyonl a el de edilen; a) eş sıcaklık eğrileri, b) akı mçizgileri, c) hız vekt örleri : Re= de farklı Ri sayıları içi n el de edil miş eş sıcaklı k eğrileri a) Ri =. ( Dai mi), b) Ri= ( Dai mi), c) Ri = ( Periyodi k), d) Ri = (Peri yodi k), e) Ri = ( Sanki- Peri yodik), f) Ri = ( Kaoti k) : Re= de farklı Ri sayıları içi n el de edil miş hız vekt örleri, a) Ri =., b) Ri =, c) Ri =, d) Ri =, e) Ri =, f ) Ri =... 9 : Ri = de farklı Reynol ds sayıları içi n, a)eş sıcaklık eğrileri, b) hız vekt örleri : Ri =, Re=5 de bir peri yod içi n eşit aralıklarla alınmı ş anlı k a) eş sıcaklı k eğrileri, b) akı mçizgileri ġekil 4. 8 : V max, max ve Nu sayısını n Ri ve Re ile değişi ml eri ġekil 4. 9a : Doğr udan sayısal si mülasyonl a el de edilen, ( X=3. 4, Y=. 9) nokt ası ndaki u ve T değerleri ni n za mana göre değişi ml eri. ( Ri =) ġekil 4. 9b : Doğr udan sayısal si mülasyonl a el de edilen, ( X=3. 4, Y=. 9) nokt ası ndaki u ve T değerleri ni n za mana göre değişi ml eri. ( Re=) ġekil 4. ġekil 4. ġekil 4. a : Farklı Re ve Ri sayılarında el de edilen sayısal simül asyonl arda, hız ve sıcaklı k içi n ( X=3. 4, Y=. 9) nokt ası ndaki spektrum analizleri : Ri = ve Re= de, farklı r k değerleri içi n el de edilen, a) eş sıcaklı k eğrileri, b) hız vekt örleri : Ri = ve Re= içi n PODile el de edilen en enerjik dört deneysel özdeğer fonksiyon; a) hız alanı (hızı n şiddeti), b) sıcaklı k alanı (eş sıcaklı k eğrileri) ix

11 ġekil 4. b ġekil 4. c ġekil 4. d ġekil 4. 3a ġekil 4. 3b ġekil 4. 3c ġekil 4. 3d ġekil 4. 4a ġekil 4. 4b ġekil 4. 4c ġekil 4. 4d ġekil 4. 4e ġekil 4. 5a ġekil 4. 5b : Ri = ve Re=5 içi n PODile el de edilen en enerjik dört deneysel özdeğer fonksiyon; a) hız alanı (hızı n şiddeti), b) sıcaklı k alanı (eş sıcaklı k eğrileri).... : Ri = ve Re=5 içi n POD ile el de edilen en enerjik dört deneysel özdeğer fonksiyon; a) hız alanı (hızı n şiddeti), b) sıcaklı k alanı (eş sıcaklı k eğrileri).... : Ri = ve Re= içi n PODile el de edilen en enerjik dört deneysel özdeğer fonksiyon; a) hız alanı (hızı n şiddeti), b) sıcaklı k alanı (eş sıcaklı k eğrileri).... : Ri = ve Re= içi n yeni den ol uşumfor mülleriyl e el de edilen açılı mkatsayıları nı n zamanl a değişi mi, a) hız katsayıları, b) sıcaklı k katsayıları : Ri = ve Re=5 içi n yeni den ol uşumfor mülleriyl e el de edilen açılı mkatsayıları nı n zamanl a değişi mi, a) hız katsayıları, b) sıcaklı k katsayıları : Ri = ve Re=5 içi n yeni den ol uşumfor mülleri yle el de edilen açılı mkatsayıları nı n zamanl a değişi mi, a) hız katsayıları, b) sıcaklı k katsayıları : Ri = ve Re= içi n yeni den ol uşumfor mülleriyl e el de edilen açılı mkatsayıları nı n zamanl a değişi mi, a) hız katsayıları, b) sıcaklı k katsayıları : Ri = ve Re= de tasarı mşartları nda farklı sayı daki özdeğer fonksi yonl a ol uşt urulan düşük boyutl u model tahmi nl eri. a) (4+4)-denkl e mli model, b) (5+5)-denkl e mli model, c) (6+8)-denkl e mli model : Ri = ve Re=5 de tasarı mşartları nda farklı sayı daki özdeğer fonksi yonl a ol uşt urulan düşük boyutl u model tahmi nl eri. a) (5+5)-denkl e mli model, b) (6+6)-denkl e mli model, c) (6+8)-denkl e mli model : Ri = ve Re=5 de tasarı mşartları nda farklı sayı daki özdeğer fonksi yonl a ol uşt urulan düşük boyutl u model tahmi nl eri. a) (5+5)-denkl e mli model, b) (6+6)-denkl e mli model, c) (6+8)-denkl e mli model : Ri =, Re= de tasarı mşartları nda (6+6)-denkl e ml e ol uşt urulan düşük boyutlu model tahmi ni. a) hız katsayıları, b)sıcaklı k katsayıları : Ri =, Re= de tasarı mşartları nda (6+8)-denkl e ml e ol uşt urulan düşük boyutlu model tahmi ni. a) hız katsayıları, b)sıcaklı k katsayıları..... : Ri =, Re=5 de tasarım şartları nda, (6+8)-denkl e ml e ol uşt urulan düşük boyutlu modeli n frekans analizi. a) hız katsayıları, b) sıcaklı k katsayıları.... : Ri =, Re= de tasarı mşartları nda, (6+8)-denkl e ml e x

12 ġekil 4. 6 ġekil 4. 7 ġekil 4. 8 ol uşt urulan düşük boyutlu modeli n frekans analizi. a) hız katsayıları, b) sıcaklı k katsayıları.... : Ri =, Re= de farklı sayı da denkl e ml e tasarım dışı şartlarda ( Ri =, Re=5) çalıştırılan düşük boyutl u model tahmi nl eri a) (8+8)-denkl e mli model, b) (8+)-denkl e mli model : Ri =, Re= de, (8+8)-denkl e ml e tasarı mdışı şartları nda (Ri =, Re=5) çalıştırılan düşük boyutl u model içi n frekans analizi. a) hız katsayıları, b) sıcaklı k katsayıları : Farklı Ri ve Re sayıları içi n, Navi er- St okes modeliyle el de edilen akış reji ml eri ile (6+8)-denkl e ml e ol uşt urulan düşük boyutl u modelle tahmi n edilen akış reji ml eri ni n karşılaştırıl ması. Dai mi ol mayan akış ( Navi er-st okes Modeli) Dai mi akış ( Navi er-st okes Modeli) Ri =, Re=5 tasarı mşartları nda ol uşt urulan düşük boyutl u model Ri =, Re= tasarı mşartları nda ol uşt urulan düşük boyutl u model... 5 xi

13 SEMBOL LĠ STESĠ Ge nel se mboller a k : Hı z içi n açılı mkatsayıları b k : Sıcaklı k içi n açılı mkatsayıları c p : Akışkan özgül ısısı f : Frekans k : Akışkan ısı ileti mkatsayısı p : Boyutl u bası nç t : Boyutl u za man u, v : Boyutl u hız bileşenleri v : Boyutl u hız vekt örü x, y : Boyutl u kartezyen koordi natlar A k : Hı z içi n özdeğer vekt örü B k : Sıcaklı k içi n özdeğer vekt örü C : Korelasyon matrisi E T : Topl a mçal kantı ki neti k enerjisi I : Biri m matris L : Hı z içi n alınan en enerjik özdeğer fonksi yon sayısı M : Anlı k veri sayısı (snapshots) N : Sıcaklı k içi n alınan en enerjik özdeğer fonksi yon sayısı T : Boyutl u sıcaklı k V : Boyutsuz hız vekt örü, v / U j V : Boyutsuz hızı n çal kantı bileşeni V : Boyutsuz ortala ma hız Pr : Prandtl sayısı, / Re C, H : Hopf bifürkasyonu içi n kritik Reynol ds sayısı Re C, P : Pitchfork bifürkasyonu içi n kritik Reynol ds sayısı : Akışkan ısıl yayıl ma katsayısı, k/ c p : Kr onecker delta ij k k : Hı z içi n k ncı özdeğer fonksi yon : Özdeğer : Akışkan di na mi k viskozitesi : Akışkan ki ne mati k viskozitesi, / : Boyutsuz sıcaklı ğı n çalkantı bileşeni : Boyutsuz ortala ma sıcaklı k : Akışkan yoğunl uğu : Sıcaklı k içi n k ncı özdeğer fonksi yon xii

14 Jet akıģ probl e mi içi n se mboller D j : Jet deli k genişliği H : Yanal duvarlar arası ndaki mesafe L o : Jet akış probl eni nde kanal uzunl uğu P : Boyutsuz bası nç, p/ U j S : Jet deli kleri arası ndaki mesafe T c : Duvar sıcaklı ğı T j : Jet sıcaklı ğı U, V : Boyutsuz hız bileşenl eri, u/ U j, v/ U j U j : Jet hızı X, Y : Boyutsuz Kartezyen koor di natlar, x/ D j, y/ D j Re : Reynol ds sayısı, U j D j / : Boyutsuz sıcaklı k, ( T- T c )/( T j - T c ) : Boyutsuz za man, U j t/ D j KarıĢı k taģı nı mprobl emi içi n se mboller d : Çı kış aralığı nı n mer kezi ile alt kenar arası ndaki mesafe e : Isı kaynağı nı n mer kezi ile alt kenar arası ndaki mesafe g : Yerçeki mi ivmesi h : Isı taşı nı mkatsayısı k b : Levha ısı ileti mkatsayısı l b : Levha uzunl uğu l o : Çı kış aralığı nı n uzunl uğu l s : Isı kaynağı uzunl uğu q : Kaynakt an yayılan ısı akısı r k : Isıl ilet kenli k oranı, k b /k r : Isıl yayıl ma oranı, b / w : Levha kalı nlı ğı D : Giriş ve çı kış aralıklarını n genişliği G : Di kdört gensel böl geni n yüksekli ği T i : Giriş akışkan sıcaklı ğı U, V : Boyutsuz hız bileşenl eri, u/ U i, v/ U i U i : Giriş hızı W : Di kdört gensel böl geni n genişliği X, Y : Boyutsuz kartezyen koor di natlar, x/ D, y/ D Gr : Grashof sayısı, gqd 4 /k Nu : Nusselt sayısı, hd/ k Ra : Rayl ei gh sayısı, Gr xpr Re : Reynol ds sayısı, U i D/ Ri : Ri chardson sayısı, Gr/ Re b : Levha ısıl yayıl ma katsayısı : Isıl genl eş me katsayısı : Boyutsuz sıcaklı k, k( T-T i )/ qd : Boyutsuz za man, U i t/ D : Akı mfonksi yonu xiii

15 MOMENTUM VE ENERJĠ DENKLE MLERĠ Ġ ÇĠ N DÜġÜK BOYUTLU MODELLER GELĠ ġtġrġ LMESĠ ÖZET Yapılan bu t ez çalış masında, mo ment um ve enerji denkl e ml eri i çi n düşük boyutl u modeller geliştirilerek bu modelleri n farklı akış reji ml eri ndeki perfor mansl arı incelenmi ştir. Akış ve ısı geçişi probl e ml eri nde doğr udan sayısal si mülasyonl arla mo ment um ve enerji denkl e ml eri ni n za mana bağlı çözüml eri, kar maşı k geo metrilerde çok uzun i şle ml er gerektirdi ği nden, araştır macı ya ol dukça fazl a za man kaybettir mekt edir. Az sayı da adi diferansi yel denkl e m i çeren düşük boyutlu modeller kullanılarak siste m davranışı çok daha kısa sürede ve daha kol ay bir şekilde t ah mi n edilebil mekt edir. Bu duru m düşük boyutl u modelleri, kararlılık ve kontrol analizleri içi n el verişli bir hale getir mekt edir. El e alı nan pr obl e ml erde il k ol arak, yapılan kabullerde di kkate alı narak, Navi er- St okes ve enerji denkle ml eri uygun sı nır şartları kullanılarak, sonl u haci ml er tekni ği ni n kullanıl dı ğı ticari bir pr ogra m ol an FLUENT yazılı mı ile çözül erek sayısal si mül asyonl ar yapıl mıştır. Daha sonra el de edilen za mana bağlı (enstantane) hı z ve sıcaklı k al anl arı na uygun ort ogonal ayırım met odu ( Pr oper Ort hogonal Deco mposition, POD) uygul anarak ( deneysel) özdeğer f onksi yonl ar ol uştur ul muşt ur. Mo ment um ve enerji denkl e ml eri ne, en enerjik özdeğer f onksi yonl arı n kullanıl dı ğı Gal erki n yönt e mi uygul anarak, az sayı da li neer olmayan adi diferansi yel denkl e mden ol uşan düşük boyutl u modeller el de edil miştir. Bir öl çüde siste m davranışı nı yansıt makt a ol an POD kullanılarak, düşük boyutl u modeller el de edilmi ş ve bu modelleri n perfor mansları incelenmi ştir. Yukarı da anl atılan yönt eml er zorlanmı ş t aşı nı m ve karışı k t aşı nı m ol mak üzere i ki farklı t e mel pr obl e m i çin uygul anmı ştır. İl k çalış mada bir kanal i çi nde iki z-jet akış pr obl e mi önce sadece akış al anı i çi n çözül müşt ür. Daha sonra aynı pr obl eme enerji denkl e mi dahil edilerek, sı caklı k al anı da el de edil miştir. Akış para metreleri ndeki değişi mi n, bifürkasyon ve kararlılık ol ayları na, POD sonuçl arı na ve düşük boyutl u modellere ol an et kileri nin i ncel enmesi ni n yanısıra, geo metri k para metreleri n ( yan duvarlarla j etin sı nırlandır ma oranı) değiştiril mesi yle el de edilen akışın di na mi k yapısı da incelenmi ş ve düşük boyutl u modelleri n karşılaştır ması yapıl mıştır. İki nci çalış mada ise el ektroni k el e manl arı n soğut ul ması ile il gili ol arak, içi nde ı sı kaynağı bul unan bir böl gede dışardan zorlanmı ş akışı n ( ör neği n bir fan il e) uygul andı ğı karışı k ısı t aşı nı m ol ayı el e alı nmı ş, böyl ece doğal t aşı nı m ile zorl anmı ş taşı nı mı n et kileri birlikt e i ncelenmi ştir. Bu şartlarda ol uşt urulan siste mde, değiştirilen para metrelerle karışı k t aşı nı m ol ayını n akışı n ( di na mi k) yapısı ve ol uşt urulan düşük boyutlu modeller üzeri ndeki etkileri araştırıl mıştır. Her i ki çalış mada da sonuçl ar göster mi ştir ki, sayısal si mül asyonl ar ile el de edilen enstant ane hı z ve sı caklık al anları na POD yönt emi uygul anarak bu al anları n t e mel yapıları hakkı nda det aylı bil gi edi nmek mü mkündür. Bunun yanı sıra POD ve Gal erki n yönt e mi birlikte kullanılarak el de edilen düşük boyutl u modeller siste mi n di na mi k davranışı nı t e msil edebil mekt edir. Ayrıca bu modelleri n t asarı m ve t asarı m dışı şartlarda perfor mansları nı n yüksek ol ması, bu modelleri n, t asarı m, simül asyon ve akış kontrol siste ml erinde kullanılabilir nitelikte ol duğunu göster mi ştir. xi v

16 DEVELOP MENT OF LOW ORDER MODELS FOR MOMENTU M AND ENERGY EQUATI ONS SUMMARY In t his st udy, l ow- order models are devel oped f or Navi er-st okes and ener gy equati ons and t he perfor mance of t he models are i nvesti gated i n different fl ow para met ers, na mel y Re and/ or Ri. In t he fl ow and heat transfer pr obl e ms concer ni ng compl ex geo metries, direct nu merical si mul ati ons require very l ong ti me t o sol ve mo ment um and energy equati ons. Syste m behaviors are effecti vel y esti mat ed usi ng low- order models consisting of fe w nonli near ordi nary differential equati ons. Therefore low order models become suitable for stability and control anal ysis. The dyna mi c struct ure of t he fl ow and its physical pr operties has been i nvesti gat ed for t wo different pr obl ems i n t his t hesis. The numeri cal si mul ati ons of t he gover ni ng equati ons wit h related boundary conditions are perfor med usi ng a fi nite vol ume techni que ( based on FLUENT soft ware). Then, t he pr oper ort hogonal decompositi on (POD) is applied t o t he i nstantaneous fl ow and t e mperat ure dat a t o obtai n PODbased basis functi ons f or vel ocit y and t e mperat ure fiel ds. These basis functi ons are capabl e t o i dentify t he coherent struct ures. Low- or der models consisting of fe w nonli near or di nary differential equati ons are obt ai ned usi ng t he most ener getic e mpirical ei genfuncti ons as basis functi ons and appl yi ng Gal erki n s met hod f or governi ng equati ons. The si ze of t he l ow- di mensi onal models depends on t he nu mber of ei genfuncti ons whi ch are used as basis functi ons in a series expansi on. The menti oned met hod above has been applied to t wo different pr obl ems na mel y forced and mi xed convecti on. In t he first st udy, confi ned t wi n-jet fl ow probl e m has been sol ved. Then, t he t emperat ure fiel d has been obt ai ned by consi deri ng t he ener gy equati on t o t he sa me pr obl e m. Perfor mance of l ow- or der models, and t heir stability predi ctions are investi gated. The second st udy constitutes a t ypi cal confi gurati on encount ered i n air-cool ed el ectroni c devi ces. A di screte heat source, fl ush- mount ed on a vertical board, is mount ed on t he bott om wall of a partially open cavit y. An ext ernal airfl ow ent ers t he cavit y t hrough an openi ng (i nlet) i n t he l eft vertical wall and exits from t he opposite openi ng ( outlet) i n t he ri ght vertical wall. Lo w- order models are devel oped accounti ng bot h effects of forced and nat ural convecti ve flow. Bot h of t he st udi es show t hat det ailed knowl edge about dyna mi cal syste m behavi or can be obt ai ned by t he proper ort hogonal decomposition ( POD), whi ch is applied t o the i nstantaneous fl ow and t e mperat ure dat a. In addition, l ow or der models, whi ch are obt ai ned by applied Gal erki n pr oj ecti on ont o Navi er- St okes equati ons, represent dyna mi cal behavi or of t he syste m. The fact t hat, in general, l ow or der models show hi gh perfor mance characteristics at desi gn and off-desi gn conditions, t hese models can be used for desi gn, simul ati on and control syste ms. xv

17 . GĠ RĠ ġ Son yıllarda enerji ve transport probl e ml eri ni n düşük boyutl u modellerle (Lo w Or der Model, LOM) t e msil edil mesi konusunda çok öne mli çalış mal ar yapıl makt adır. Düşük boyutl u i zoter mal ve i zot er mal ol mayan, ti pi k ol arak az sayı da adi diferansi yel denkl e m siste mi nden ol uşan mat e matiksel modeller, kararlılık ve kontrol analizleri içi n son derece avant ajlıdır. Kar maşı k geo metrilerde akış ve ısı geçişi pr obl e ml eri ni n doğr udan sayısal çözü ml eri nde, kıs mi diferansi yel denkl e ml er, ağırlıklı artıklar ( wei ght ed r esi duals) gi bi met odl arı n kullanılması yla adi diferansi yel denkl e m siste ml eri ne ( Or di nary Di ferential Equati ons, ODEs) dönüşt ürül ür. Ancak bu gi bi met odl arla el de edilen adi diferansi yel denkl e m siste ml eri çok büyük boyutl u ol urlar. Çünkü bu t ür yakl aşı ml arda kullanılan esas f onksi yonl ar, el e alı nan siste mi n di na mi k davranışı hakkı nda hi çbir bil gi i çer mezl er. Bi zi m a macı mı z en az sayı da adi diferansi yel denkl e m i çeren düşük boyutl u bir gösteri m ol duğundan, ancak her bir siste m i çi n özel ol arak siste mi n di na mi k davranışı nı yansıtan bir yönt e m, siste mi n bir opti mal gösteri mi ni sağl ayabilir. Düşük boyutl u modeller el de et meni n yol u, kontrol para metreleri ni n bazı aralı kları nda siste mi n davranışları nı yansıtan ve her bir akış ve/ veya sı caklı k al anı i çin ayrı ol arak ol uşt urulan esas f onksi yonl arı kullanarak al an değişkenl eri ni (hız, sıcaklı k, vs.) seri açılı mında kullanmaktır. Bu seri aç ma işle mi yl e, akış ve ısı geçişi ni belirleyen kıs mi diferansi yel denkl e ml er ( Navi er- St okes ve enerji denkl e mleri), Gal erki n met odununda uygul anması yla düşük boyutl u modeller ile temsil edilebilir. El e alı nan siste me ait opti mal esas f onksi yonl arı n ol uşt urul ması içi n Uygun Ort ogonal Ayırı m ( Pr oper Ort hogonal Deco mposition, POD) ul uslararası sevi yede rağbet gör müş obj ektif bir yönt e mdir. POD, deneysel veya genellikl e sayısal si mül asyonl ardan el de edilen verileri kullanan ve siste mi n di na mi k yapısı nı belirleyebil mek i çi n yeterli bil gi i çeren özdeğer fonksi yonl arı siste matik ol arak belirleyen bir yönt e mdir. Maksi mu m enerji içeren özdeğer f onksi yonl ar, siste mi n enerjisini n çoğunu i çeren, az sayı da t ut ulan denkl e ml erle ol uşt urul muş bir modelle

18 siste mi n di na mi k davranışı nı t e msil et me ol anağı sağl ar. Di ğer bir deyişle, al an değişkenl eri ni n serilere açıl ması nda esas f onksi yonl ar ol arak deneysel özdeğer fonksi yonl arı n kullanılması yla, orijinal hı z ve sı caklı k al anları nı n yeni den ol uşt urul ması opti mal bir şekil de başarıl mıştır. POD yönt e mi ısı ve akış pr obl e ml eri ni n yanısıra literat ürde met eorol oji, okyanus bili mi, ki mya ve fi zyol oji gi bi çeşitli alanlarda değişi k probl e ml ere uygul anmı ştır. Tür bül anslı akışlarda t utarlı yapıları (coherent struct ures) çı kart mak i çin POD yi akışkanl ar mekani ği nde kullanan il k bili m ada mı Lu ml ey ( 967) ol muştur. Ancak yönt e mi uygul a mak i çin yüksek çözünürl ükl ü hı z al an verileri ni n yet ersizli ği yüzünden met odun uygul a ma kapsa mı uzun yıllar sı nırlı kal mı ştır. Son yıllarda kar maşı k deneyl erden elde edilen det aylı sonuçları n ve özellikle doğr udan sayısal si mül asyon çözü ml eri nin yüksek çözünürl ükl ü veri sağl ayabil mesi, karmaşı k akış pr obl e ml eri ne POD ni n uygul anabil mesi ni mümkün hal e getir miştir. Bunun yanı sıra, Si rovi ch ( 987) t arafı ndan ortaya atılan POD ni n anlı k veriler (snapshots) versi yonu, yüksek çözünürl ükl ü i ki ve üç boyutl u akışlara et kili bir şekil de uygul anabilen bir metoddur. Bu çalış mada POD i çi n gerekli ol an yüksek çözünürl ükl ü veriler, sonlu haci ml er t ekni ği ni esas al an Fl uent yazılı mı kullanılarak yapılan sayısal si mül asyonl ar ile sağl anmakt adır. Fl uent yazılı mı nı n POD ni n anlı k veriler versi yonuna uygulanabil mesi i çi n, sayısal si mül asyonl ar za mana bağlı ol arak yapıl malı, el de edilen enstantane (anlı k) akış ve sıcaklı k al anları, proble mi t e msil eden bir za man boyut unda ( peri yodi k pr obl e mler i çi n bir peri yod) eşit za man aralı kları nda anlı k veri al anl arı ol uşt urul malı dır. Daha sonra bu enstant ane veri al anl arı, POD il e el de edilen düşük boyutl u modelleri n ol uşt urul ması nda kullanılırlar. Düşük boyutl u modellerin, t asarı m ve t asarı m dışı şartlarda, siste mi n di na mi k davranışları nı t ahmi n et me konusunda ne ölçüde başarılı ol dukl arı bu t ez çalış ması yla belirlenmeye çalışıl mıştır.

19 . KAYNAK TARAMASI Günü müzde bil gisayar teknol ojisi ni n hı zlı bir şekil de geliş mesi yle birli kte, he men her al anda yapılan sayısal si mül asyon çalış mal arı da hı z kazanmı ştır. Özellikle akış ve sı caklı k pr obl e ml eri nin çözü müyl e il gili yapıl mış çalış mal ar son derece di kkat çeki ci dir. Güneş kollektörleri t asarı mı, reakt ör yalıtı mı, bi naları n haval andırıl ması, el ektroni k eki pmanl arı n soğut ul ması, roketlerde yan ma, fırın t asarı mı gibi pek çok konuda sayısal yönt e ml ere başvur ul makt adır. Za mana bağlı, kar maşı k bir akış ve sıcaklı k pr obl e mi ni n çözümünde uygul anan sayısal si mül asyonl ar genellikle uzun za man al an ve güçl ü bir bil gisayar gerektiren işleml erdir ve pr obl e mi n para metreleri değiştirildi ği nde ( Re, Gr gi bi) yeni çözüml ere ul aşıl ması ol dukça büyük za man kayı pları na sebep ol ur. Bu yüzden kur ul an sisteml eri n değişen siste m para metreleri ile ne t ür davranışlar sergileyeceği ni ve siste mi n karakt eristik özelliklerini n büyük bir kı s mı nı el de edebilecek güvenilir model t ah mi nl eri ni n yapıl ması öne m kazanmakt adır. Bu a maçl a kur ul muş POD esaslı düşük boyutl u modeller pek çok araştır macı tarafı ndan i ncel enmekt edir. Lu ml ey ( 967) rast gel e bir t ürbül ans alanı ndan en enerjik modl arı n çı kartılabileceği ni göst ermek i çi n mat e mati ksel ol arak güçl ü bir model öner di. Bu gün bu yönt e m, POD, Karhunen- Loeve ayırı mı veya deneysel özdeğer f onksi yonl ar met odu ol arak adl andırıl makt adır. Kar maşı k akışı n doğr udan sayısal simül asyonu veya PI V gi bi geliş mi ş deney t esisatları kullanılarak, det aylı veriler el de edil mesi yl e beraber, POD ni n kar maşı k akış pr obl e ml eri ne uygul anması, ancak son yıllarda gerçekl eştiril meye başlan mı ştır. Yönt e mi n uygulaması ndaki geci kmeni n başka bir sebebi ise ve 3 boyutl u pr obl e ml er i çi n deneysel özdeğer f onksi yonl arı n hesapl anma güçl üğü ol muşt ur. Ancak Si rovi ch ( 987) t arafı ndan sunul an anlı k veri (snapshots) met odu, bu zorl ukl arı t a ma men ortadan kal dır mı ştır. Şi mdi met od i ki ve üç boyutl u t a m geliş mi ş akışları n en enerjik özdeğer modl arı nı çı kart mak i çi n uygul anabilir hale gel miştir. 3

20 POD, öncel eri sadece veri sı kıştır mak a macı yla kullanıl makt ayken, son yıllarda, daha çok düşük boyutl u modeller t üret mek i çi n kullanıl maya başlanmı ştır. Aubry ve di ğ. (988) enerjini n büyük bir kıs mı nı i çeren büyük t utarlı yapılardaki belli akış tipleri i çi n, düşük boyutlu modeller geliştiril mesi nde POD ni n kullanılabilirliği ni göster mi şlerdir. Deane ve di ğ. (99), oyukl u bir kanal da i ki boyutl u i zoter mal akış içi n düşük boyutl u bir model uygul a mı şlar ve yaptı kları si mül asyonl arla, süreklilik ve bifürkasyon analizleri ile kısa ve uzun za manlı model t ahmi nl eri ni n doğr ul uğunu incele mi şlerdir. Deane ve Mavri plis (994) uçak kanadı etrafı ndaki akışın ayrıl ması (separati on) ol ayı nı POD ye uygul a mı şlar ve düşük boyutl u modeli n i ntegrasyonuyl a el de edilen açılı m katsayıları nı n, t a m geliş miş modeli n doğr udan t ahmi ni yl e hesapl anan değerlerden çok daha yüksek ol duğunu gör müşl erdir. Gel ecekt e bu konuda ortaya konul acak çalış mal arı n, t ut ulan modl arı n ve anlı k veri sayıları nı n et kileri ni n incelenmesi olduğunu vurgul a mı şlardır. Ly ve Tran ( ) yaptı kları çalış mada, dai mi hal deki Rayl ei gh- Benard t aşı nı m pr obl e mi ni i ncelenmi şler ve sayısal ol arak elde edilen anlı k verilerle, esas fonksi yonl arı (deneysel özdeğer f onksi yonl ar) el de et mek i çi n POD yönt e mi uygul a mı şlardır. Daha sonra, el de edilen esas f onksi yonl ar bir Gal erki n met odunda kullanılarak, mü mkün olan en düşük serbestlik derecesi ne sahi p sonl u bir di na mi k siste me ul aşıl mıştır. Bunun yanı sıra el de edilen anlı k veri grubu ile POD ni n, bir doğal t aşı nı m modeli nde, doğr u bir şekil de kullanılabileceği ni ve işle m kontrol ü i çi n son derece uygun ol duğunu belirt mişlerdir. GüneĢ ( 997) yaptı ğı dokt ora çalış ması nda, açık di key kanallarda ve diferansi yel ol arak ısıtılan kapalı bir böl gede doğal t aşı nı mı n düşük boyutl u di na mi k modelleri ni sunmuşt ur. Uygun sı nır şartları kullanarak akışı karakterize eden t a m gelişmi ş kıs mi diferansi yel denkl e ml er ( Navi er-st okes ve enerji denkl e ml eri), bir spektral el e man met odu yardı mı yl a çözül müşt ür. Belirli bir Grashof sayısı ( Gr o ) ile Prandtl sayısı (Pr o ) nda Navi er- St okes modeli i çi n el de edilen peri yodi k salı nım/ çal kantı çözü ml eri ne Uygun Ortogonal Ayırı m met odu uygul anmı ş ve deneysel özdeğer fonksi yonl ar ol uşt urul muşt ur. Esas f onksi yonl ar ol arak en enerjik deneysel özdeğer fonksi yonl arı kullanılarak ve Gal erki n met odu uygul anarak, az sayı da li neer ol mayan adi diferansi yel denkl e m i çeren düşük boyutl u modeller el de edil miştir. Daha sonra tüm dur uml ar i çi n, t asarı m şartları nda ( Pr o, Gr o ) ol uşt urulan düşük boyutlu model ( LOM) t ahmi nl eri ni n, Navi er- St okes model t ah mi nl eri yle müke mmel bir şekil de 4

21 uyuşt uğu gör ül müşt ür. En sonunda t asarı m şartlarından uzakl aşarak ( Pr Pr o, Gr Gr o ) çalıştırılan düşük boyutlu modelleri n, aynı şartlardaki Navi er- St okes modeli çözü ml eri ni n bazı öne mli karakteristik özellikleri ni yakal ayabil di ği görül müşt ür. GüneĢ ve Kavur macı oğl u ( ) akışı n üst yatay yüzeyi n hareketi ile sağlandı ğı di kdört gen kesitli bir kanal da za mana bağlı peryodi k akışı n t ut arlı yapıları nı çı kart mak i çi n Uygun Ort agonal Ayrı m met odunu uygul a mı şlardır. Sayısal si mül asyonl ar Reynol ds sayısı nı n ile 5 aralı ğı nda gerçekl eştiril miştir. Oyukl u kanal da, il k dört en enerjik özdeğer fonksi yonun, akışı n t opla m ki neti k (çal kantı) enerjisi ni n %99 undan fazlası nı i çerdi ği gör ül müşt ür. Burada özdeğer fonksi yonl arı n çiftler halinde ve her bir çifti ol uşturan özdeğer modl arı n şi ddeti ni n birbiri ne yakı n değerde ol duğu gör ül müşt ür. Bir çifti ol uşt uran özdeğer modl arı n arası nda yakl aşı k çeyrek peri yod kadar bir faz kayması ol duğu vur gul anmı ştır. Buna karşılık özdeğer çiftleri arası nda büyük farklar vardır. Baskı n model çifti t opl a m akış enerjisine en yüksek katkı yı sağl a makt adır. Bununl a birlikte daha az enerji sevi yeli modl ar daha küçük ölçek özellikleri ni barı ndır maktadırlar. Podvi n ve Quere ( ) yaptı kları çalış mada, diferansi yel ol arak ısıtılan bir orta mdaki akışa POD yi uygul a mı şlardır. POD ile deneysel özdeğer f onksi yonl ar el de edil miş ve düşük boyutl u modeller oluşt urularak, sayısal simül asyonl a karşılaştırıl mıştır. İki dur um i çi n i ncel e mel er yapıl mıştır. Biri nci dur u mda, kararsızlık mekani z mal arını açı k bir şekil de t anı ml ayabil mek i çi n nispet en basit akışlara odakl anıl mıştır. Bu şekil de çat allanma ol ayl arı i ncelenmi ş ve model perfor mansı nı değerlendir mek i çi n güç spektrumu ve istatistiksel değerlendiril mel er yapıl mıştır. İki nci duru mda, kontrol para metreleri ( Ra, Pr ve boyut oranı) değiştirilerek akışta, tahmi ni di na mi k değişi kli klerle POD esaslı modeli n kapasitesi araştırıl mıştır. Bir çok düşük boyutl u modelle akışı n daha i yi nasıl te msil edilebileceği ni sapt a mak i çi n bu çalış mal ar yapılmı ş ve on- denkl e mli modeli n akış di na mi kl eri ni başarılı bir şekil de yakalayabil di ği gör ül müşt ür. Sahan ve di ğ. (997) periyodi k bir şekil de oyuklar açıl mış bir kanal da ısı transferi ve za mana bağlı akış içi n i ndirgenmi ş di na mi k modeller t üret mi şlerdir. Navi er- St okes ve enerji denkl eml eri bir spektral el e man met oduyl a çözül müştür. Kendi kendi ne salı nı m çözüml eri Reynol ds un 3 den küçük değerleri i çi n hesapl anmı ş ve Re=43, 75, 5 ve Pr=. 7 de deneysel özdeğer f onksi yonl arı çı kartmak i çi n uygun ortagonal ayrı m met odu ( POD) uygul anmı ştır. Uygul anan Gal erki n met odu ve 5

22 esas fonksi yonl ar ol arak hesapl anan deneysel özdeğer fonksi yonl ar kullanılarak, Re=43, 75 ve 5 i çin düşük boyutl u modeller el de edil miştir. Her bir al an değişkeni i çi n en az dört özdeğer mod, t asarım şartları nda doğr u ve güvenilir genli kteki kendiliği nden deva m eden salı nı ml arın ve kararlılığı n t ahmi n edil mesi içi n gerekli ol duğu bul un muşt ur. Düşük boyutl u modeller, tasarı m şartları na yakı n Reynol ds değerleri için akışı n di na mi k karakt eristikleri ni başarılı bir şekil de tanı ml a mı şlardır. Tasarım şartları ndan uzakt a düşük boyutl u modeller sanki-peryodi k veya Re sayısı nı n artırıl ması yla kaosa gi diş olan peri yod katlanmal arını t ahmi n edebil mekt edir. Soong ve Tzeng ( 998) yaptı kları çalış mada, yanal duvarlarla sı nırlandırıl mış bir böl gede i kiz-jet akışı nda, sı nırlandır ma et kisi ni araştır mak i çi n, i ki boyutlu, l a mi ner ve sı kıştırılamaz akışta Navi er- St okes denkl e ml eri ni sayısal bir met od kullanarak çöz müşl erdir. Yan duvarlarla sı nırlandırıl mış i kiz-jet akışı basit bir geo metri ye sahi p ol ması na karşı n, akışı n fizi ksel davranışı Reynol da sayısı na ve sı nırlandırma oranı na bağlı ol arak ol dukça kar maşı ktır. Yapılan bu çalış mada akış karakt eristikleri faz di yagra ml arı ve spektrum analizleri yle birlikte ayrı ntılı bir şekil de i ncel enmi ştir. Akı ş kararsızlıkları, çoklu çözü ml er ve bifürkasyon ol ayl arı, Reynol ds sayısı, yanduvar sı nırlandır ması ve j etleri n birbiri ne ol an yakı nlı ğı para metreleri n etkileri ile yakı ndan ilişkilidir. Yan-duvar sı nırlandır ma et kileri ne göre akış, zayıf ve kuvvetli sı nırlandırıl mış akış ol mak üzere i ki gr upt a sı nıflandırıl mıştır. Zayıf sı nırlandır ma ( weak-confi ne ment) et kisinde, i ki j et arası ndaki mesafeni n duvarlar arası ndaki mesafeye oranı küçükt ür. Bu dur umda j etler birbirleri ne yakı n ol dukl arından, yan duvar et kileri ne oranl a, iki j eti n birbirleri yle ol an et kileş mesi akış mekaniz ması nda çok daha baskı ndır ve özellikle akışı n ilerle me yönünde akışkan yüksek bir serbestli k derecesi ne sahi ptir. Zayıf sı nırlandır ma dur umunda, yet eri nce büyük Re sayıları nda her ne kadar dai mi bir akış söz konusu olsa da yapı asi metri k ol ma eğili mi ndedir. Kuvvetli sı nırlandır ma (strong-confi ne ment) duru munda ise j etler birbirine oranl a yan duvarlara daha yakın ol dukl arı ndan j et-duvar et kileş mesi akışta daha baskı n r ol oyna makt a ve bu dur umda akış serbestliği zayıf sı nırlandır maya göre azal makt adır. Ser bestlik derecesi ni n azal ması akışı n daha yüksek Re sayıları nda dai mi kal makt a ve akış daha kararlı bir yapı ya sahi p ol makt adır. Kaoti k davranışlar ise geci ktirilebil mekt edir. İki z-jetler duvara yaklaştı kça yan duvar girdapl arı nı n sayısı nda da artış ol makt adır. Re sayısı ve duvar sı nırlandır ması sabit tut ul up j et 6

23 yakı nlı ğı para metresi azaltılarak, başka bir değişle, jetleri n hüz me aralı kları artırılarak pitchfork ve Hopf bifürkasyonl arı geci ktiril mekt e, böyl ece hüz me aralı kları nı n artırıl ması yla akışı n kararlılığı artmakt adır. Kuvvetli sı nırlandırıl mı ş dur um i çi n, önerilen i kiz-jet akış pr obl e mi nde kaosa gi diş aşa mal arı şu şekil de sıralanmı ştır; dai mi simetri k, dai mi asi metri k, yüksek har moni klerle peri yodi k, peri yod katlanması ve kaoti k dur um. Bu yapılan çalış mayl a i kiz-jet akışları nı n fizi ksel ve karakt eristik özellikleri ayrı ntılı ve t at mi n edi ci nitelikte ol duğundan bu konuda yaptı ğı mı z sayısal si mül asyon çalışmal arı nda bi ze öne ml i bil giler sağla mı ştır. Sar ma ve di ğ. () bir kanal i çi nde i ki boyutl u sı kıştırılamaz t ek bir j et gelişi mi ni lami ner akış reji mi nde giriş sı nırla ması nı n ol duğu ve ol madı ğı i ki farklı dur um i çi n incele mi şlerdir. Giriş sınırla ması nı n ol duğu durumda, j et ile kanal genişlikleri oranı nı n çeşitli değerlerinde za mana bağlı salı nıml arı n başlangı cı ve daimi asi metri k jet gelişi mi i çi n kritik Reynol ds sayısı nı n değerleri ve akış yapısı i çi n sonuçl ar el de edil miştir. Kanal genişliğini n j et giriş genişliği ne ol an oranı n düşük ol duğu dur u mda ve düşük Re sayıları nda, kanal i çi ndeki akış gelişi mi si metri k ol arak bulun muşt ur. Kanal genişliği ni n j et giriş genişliği ne ol an oranın ve Re sayısı nı n yüksek ol duğu dur uml arda, akışı n serbestlik derecesi art makt a ve dai mi hal deki akış j eti asi metri k bir davranış göst er mekl e birlikte salı nı m hareketleri yapmaktadır. Giriş sı nırla ması nı n ol madı ğı dur umda ise, asi metri k gelişi ml eri n kararsızlığı nın ve geçi ci salı nı ml arı n, verilen bir sabit kanal-jet genişlikleri oranı i çi n çok daha yüksek kriti k Reynol ds sayıları nda meydana gel di ği belirlenmi ştir. Bu da göster mi ştir ki, giriş sı nırlandır ması ol madı ğı dur umiçi n jet akışı nı n kararlılığı daha yüksektir. Hs u ve Wang ( ) yaptı kları sayısal çalışmada çevresel bir böl gede karışı k taşı nı mlı ısı transferi probl e mi ni i ncele mi şler ve karışı k t aşı nı mı n ısı ve akış al anı üzeri ndeki et kileri ni araştır mışlardır. Karesel bir boşl uk i çerisi nde alt kenarı üzeri ne, dış yüzeyi nde ısı kaynağı bul unan düşey bir l evha yerleştiril miştir. Düşey sol kenar üzeri nde açıl mış bir aralıktan i çeri giren hava akışı, karşı duvar üzeri nde açıl mı ş başka bir aralı ktan dışarı çı kmakt adır. Bu çalışmada ısı üreten el e manlar (chi ps) içeren el ektroni k eki pmanl arı n havayl a soğut ulması gi bi uygul a maya yöneli k bir pr obl e m el e alı nmı ştır. Reynol ds sayısı ( Re), Ri chardson sayısı ( Ri =Gr/ Re ), ısı kaynağı nı n konu mu, ve levha-akışkan ilet kenli k oranı (r k ) gi bi siste mi karakt erize eden para metreleri n et kileri i ncelenmi ştir. Sonuçlar göster mi ştir ki, maksimu m l evha 7

24 sıcaklı ğı ve ortala ma Nusselt sayısı ( Nu) nı n her i kisi de büyük öl çüde, akışı karakt erize eden para metrelere, ısı kaynağı nı n pozisyonuna ve bunun yanı sıra i çi ne ısı kaynağı yerleştiril miş levhanı n ısı ileti mkatsayısına son derece bağlı dır. Hs u ve Wang ( 999) yaptı kları başka bir çalış mada ise sol düşey kenarı nın i ç yüzeyi üzeri ne ısı kaynağı yerleştiril miş karesel bir orta mda mi kropol ar akışkanl arın l a mi ner karışı k t aşı nı m ol ayı nı i ncel e mi şlerdir. Çevre sı caklı ğı nda dışardan i çeri ye sevkedilen akış (zorlanmı ş t aşı nı m) ile ısı kaynağı nı n et kisi yl e ol uşan serbest akış (doğal t aşı nı m), orta m boşl uğundaki karışı k t aşı nı mlı akışı ol uşt urur. Moment um ve enerji denkl e ml eri kübik spli ne düzenl e me metodunun yardı mı yl a sayısal ol arak çözül müşt ür. Si mül asyonl ar, Reynol ds sayısı, Grashof sayısı ve mi kropol ar ol arak adl andırıl mış akışkan özellikleri ni n geniş aralı kları nda yapıl mı ştır. Burada mi kr opol ar akışkanl arla sergilenen belirli özellikleri n vur gul anması a maçl anmı ştır. Mi kr opol ar akışkanl ar ile Ne wt oni an akışkanlar karşılaştırıl mış ve mi kr opol ar akışkanl arı n ısı transfer katsayıları nı n daha düşük ol duğu gör ül müşt ür. Re veya Gr sayıları nı n art ması, ısı t aşı nı m katsayısı nı n ve ısı kaynağı ndan çekilen ısı mi kt arı nı n ve sirkül asyon şi ddeti ni n art ması na yol aç mı ştır. Papani col aou ve Jal uria ( 993) yaptı kları çalış mada, belli bir kalı nlıkt aki, ısıl ilet kenli ğe sahi p, dış yüzeyl eri yalıtıl mış duvarlarla çevrelenmi ş di kdörtgensel bir orta m i çerisi nde, bir ısı kaynağı ndan sabit ısı akısı girişi ol ayı nı i ncele mi şlerdir. Burada sol düşey duvar üzeri ndeki bir aralı ktan dış et ki yle giren akışkan sağ di k duvar üzeri ndeki başka bir aralı ktan çı kmakt adır. Bu siste m i çi n karışı k t aşını m ol ayı sayısal ol arak i ncel enmi ştir. Isı kaynağı nı n, di key sağ duvarı n, sol duvarı n ve yat ay alt duvarı n i ç yüzeyi ne yerleştirildi ği dur uml ar ayrı ayrı ele alı nmı ş ve üç hal i çi n sonuçl ar karşılaştırıl mıştır. Bu pr obl e mde Reynolds sayısı ( Re), Ri chardson sayısı ( Ri =Gr/ Re ), duvar-akışkan mal ze mesi ni n ısıl ilet kenli k oranı ve ısı kaynağı nı n konu mu, siste m para metreleri ol arak belirlenmi ştir. Kaynakt an ısı giriş mi kt arı nı n art ması, kaynakt an olan ısı transferi ni n yüksel mesi ne, orta mda sirkül asyon mi kt arı nı n ve kaynak sıcaklı ğı nı n art ması na yol aç makt adır. Isıl ilet kenlik oranı sonuçl ar üzeri nde önemli bir et ki ye sahi ptir. Katı duvarı n ilet kenliği arttıkça, kaynakt an duvara ol an ısı transferi de art makt adır. Duvarı n ısıl ilet kenli ği arttı ğı nda duvar i çi nde ısı yayılımı daha fazla ol makt a, buna karşı n kaynağı n maksi mu m sıcaklı k değeri azal makta ve akı m f onksi yonunun maksi mu m değeri çok az da olsa azal makt adır. Çünkü ortama, yani akışkana t aşı nı ml a geçen ısıl enerji mi kt arı 8

25 azal makt adır. Isı kaynağı nı n farklı konu ml arı içi n dur um karşılaştırıldı ğı nda farlılıklar di kkat çeki cidir. Isı kaynağı sağ duvarda ol duğunda kal dırma ( doğal taşı nı m) et kili akış, zorlanmı ş t aşı nı m et kili akışa karşı koy makt a ve birbirine zıt yönde hareket eden i ki sirkülasyon hücresi ol uşmakt adır. Isı kaynağı nı n sol ve alt duvar üzeri nde ol duğu dur uml ar i çi n böyl e bir etki sözkonusu ol mayı p her i ki akışta aynı yönde ilerle mekt edir. Bu yüzden ısı kaynağını n sağ duvarda ol duğu dur umda, maksi mu m kaynak sı caklığı en yüksek, ısı kaynağı nı n yüzeyi ndeki ortalama Nusselt sayısı ve maksi mu m akım f onksi yonu ise en düşük değerdedir. Ho w ve Hs u ( 997) bir ilet ken l evha ile parçalara böl ünmüş i ki boyutl u bir orta mda geçi ci l a mi ner karışı k taşı nı m pr obl e mi ni sayısal ol arak i ncele mi şlerdir. Pr sayısı. 7 ( hava) alı narak sayısal çözü ml er el de edil mi ştir. Isı kaynağı nı n, çı kış aralı ğı nı n ve l evhanı n konu mu değiştirilerek çeşitli geometriler el e alı nmı ştır. Geçiş işle mi (geçici reji mden dai mi reji me geçiş) sırası nda ısı transferi üzeri nde Reynol ds sayısı ve Ri chardson sayısı nın ( Gr/ Re ) et kileri ve dai mi hal e ul aş ma dur uml arı incelenmi ştir. Genel ol arak Re sayısı nı n yüksel mesi ya da Gr/ Re değeri nin düş mesi dai mi hal e ul aş mayı geciktir mekt edir. Re ve Gr/Re değerleri ni n her i kisini n birden art ması ısı transfer katsayısı nı n art ması na yol açmakt adır (gi ve rise). Geçiş işle mi sırası nda il k şartlar başlangı ç aşa ması nda baskı n bir rol oynar. Daha sonra hava akışı, doğal t aşı nı m et kisi(buoyancy-i nduced) git gi de kuvvetlendir mekt e ve en sonunda orta mda eksi ksiz bir karışı k t aşı nı m başarı yla el de edilebil mekt edir. Bunun yanı sıra ısı taşı nı m katsayısı ve sirkül asyon hücreleri nin şi ddeti levhanı n konu muna ve yüksekli ği ne bağlı ol duğu belirtil miştir. Göç men ve GüneĢ ( ), GüneĢ ve Göçme n ( ) bu t ezi n kapsa mı nda yaptı kları çalış mal arda iki boyutl u i çi ne ısı kaynağı yerleştiril miş kıs men açı k di kdört gensel bir böl gede l a mi ner karışı k t aşı nı m pr obl e mi ni sayısal ol arak incele mi şler ve el de edilen za mana bağlı hı z ve sıcaklı k al an verileri ni kullanarak düşük boyutl u modeller ol uşt urarak, bu modellerin perfor mansları nı t est etmi şl erdir. Yapılan bu çalış mal ar bildiri olarak sunul muşt ur. Literat ürde bu çalış ma kapsa mı nda i ncelenen makal eleri n bir kıs mı, yaptı ğı mı z çalış mal arda yal nızca düşük boyutl u modeli geliştirilecek siste ml e il gili (iki z-jet akış pr obl e mi ve karışı k t aşını m) bil giler i çer mekt edir. Böyl ece, uygul a mı ş ol duğu muz POD i çi n gerekli sayısal si mül asyonl arı n literatür de yapıl mış benzer çalış mal arla karşılaştır ması yapılarak, Navi er- St okes ve enerji denkl e ml eri ni n sayısal simül asyon 9

26 sonuçl arı nı n güvenilirliği konusunda bi ze yardı mcı ol makt adır. İ ncel enen makal eleri n di ğer bir kısmı ise, i nceledi ği mi z siste ml eri n fizi ği ile doğr udan ilişkili ol mayı p, yal nızca uygul adı ğı mı z POD yönt emi ve düşük boyutl u modelleri n ol uşt urul ması hakkı nda bi ze bil giler ver mekt edir. Bunun yanı sıra, bu uygul a mal ar, POD ni n ve düşük boyutl u modelleri n değişen siste m para metreleri yle ne t ür davranışlar sergiledi ği ni ve bu para metri k değişi ml eri n, yapılan analizi ne şekil de et kiledi ği ni n anl aşıl ması açısı ndan son derece öne mli dir. Bu da el de etti ği mi z sonuçl arı yor uml a ma konusunda bi ze ışı k t ut makt adır. Bu şekil de akış ve sı caklı k ol ayları nı n di na mi k yapısı ile POD ve düşük boyutl u model uygul a mal arı birlikte el e alı nmı ştır.

27 3. YANAL DUVARLAR Ġ LE SI NI RLANDI RIL MI ġ BĠ R BÖLGEDE, Ġ KĠ Z- JET AKI ġi NI N DÜġÜK BOYUTLU MODELLENMESĠ 3. Ġki z-jet AkıĢ Geo metrisi Yapılan bu t ez çalış ması nda el e alı nan il k probl e m ol arak yanal duvarlar ile sı nırlandırıl mış bir böl gede i ki z-jet akışı i çi n düşük boyutl u modeller geliştiril miştir. Jetleri n yanal duvarlarla kuvvetli ve zayıf ol arak sı nırlandırıl mış (strong and weak confi ne ment) ol duğu i ki farklı jet akış geometrisi kullanıl mıştır. Kuvvetli sı nırlandırıl mış i kiz-jet akış geometrisi Şekil 3. de gösteril miştir. Ar al arı nda S mesafesi bul unan D j genişliği nde özdeş i ki deli kten x-eksenine paral el jetler püskürt ül mekt edir. Paralel yan-duvarlar arası ndaki mesafe H dır. Akı ş i çi n istenilen çı kış sı nır şartını el de et mek i çi n akış yönündeki kanal uzunl uğu ( L o ) yet eri nce uzun seçil miştir. S/ D j j et yakı nlı ğı oranı nı, S/ H j eti n yan duvarlarla sı nırlandırıl ma oranı nı, L o / H i se kanal uzunl uğunu göst eren geo metri k boyutsuz para metreler ol arak belirlenmi ştir. Boyutsuz oran S/ H, yanal duvarlar ile j etleri n et kileşi mi ni belirler. S/H oranı dan e kadar değişir ve S/ H= ol ması, i kiz j et akışı nı n t ek j ete i ndirgendi ği ni, S/ H= ol ması ise i ki z j et akışı n, genişli ği D j / ol an iki duvar j eti ne dönüşt üğünü gösterir. S/H. 6 ol duğu dur uml ar kuvvetli sı nırlandır ma ol arak adlandırılır ( Soong ve Tzeng, 998). Bu dur umda yanal duvarlar, jet deli kleri ne daha yakı ndır ve jet ile duvar et kileş mesi, j etleri n birbirleri yle ol an et kileşmesi ne kı yasla ol dukça fazladır. Bu yüzden, yanal duvarları n akış salı nı ml arı nı sönüml e mesi nden dol ayı akışı n serbestliği ol dukça düşükt ür ve akışı n kararsızlık eğili mi daha az ol up t ürbül ansa geçiş ol ayı Reynol ds sayısı nı n daha büyük değerleri nde gerçekleşir. Bu çalış mada il k ol arak S/ H=. 7 ( kuvvetli sı nırlandır ma), S/ D j = ve L o / H=5 değerleri i çi n sayısal simül asyonl ar gerçekl eştiril miştir. X-Y koor di natı nı n mer kezi i ki j eti n orta nokt ası na yerleştiril miştir. Şekil 3. de yanal duvarlarla zayıf sı nırlandırılmı ş i ki z-jetin geometrisi, ısıl sı nır şartları ile beraber gösteril miştir. Burada S/ H oranı dışı nda t üm geo metrik boyutlar

28 ve akışkan özellikleri tama men aynı ol up, bu koşullara sıcaklı k sınır şartları ekl enerek enerji denkl emi de çözül müşt ür. Genellikle, S/ H <. 6 ol duğu dur u ml ar zayıf sı nırlandır ma ol arak adl andırılır. Zayıf sınırlandırıl mış ( burada S/ H=. 3) geo metri de, akış daha f azla serbestliğe sahiptir ve duvarları n j et salı nı mı nı sönü ml e me et kisi ni n çok az ol ması ndan dol ayı akış kararlılığı daha az ol up türbül ansa geçiş ol ayı düşük Reynol ds sayıları nda gerçekl eşir. Buna ilavet en, zayıf sı nırlandır ma dur umunda, j etleri n birbirleri yle ol an et kileşi mi duvar etkileşi mi ne göre çok daha baskı n ol up, dai mi akışı n düşük Re sayıları nda ( kuvvetli sı nırlandırıl mış jetlere göre) daha kararsız ol ması bekl enir. ( X, Y) Şekil 3.. Kuvvetli sınırlandırıl mış ikiz-jet akış geo metrisi. (S/ H=. 7) * ( X=5. 4, Y=) yalıtıl mış T x (X, Y) Şekil 3.. Zayıf sı nırlandırıl mış ikiz-jet akış geometrisi ve ısıl sınır şartlar.(s/ H=. 3) * ( X=6. 3, Y=)

29 3. Mat a mati ksel Model ve Çözüm Yönte mi 3... Navi er-stokes ve enerji denkl e ml eri : tammodel Bi r siste mde akış ve sı caklı k al anı nı karakt erize eden, za mana bağlı, l a mi ner, akışkan özellikleri ni n (,, k ve c p ) sabit t ut ul duğu kıs mi diferansi yel denkl e ml er ( Navi er- St okes ve Enerji denkl eml eri) boyutsuz olarak aşağı daki gi bi verilebilir;. V, (3. ) V (V. )V P (V. )θ RePr θ Re θ V (3. ) (3. 3) Burada ( 3. ) süreklilik denkl e mi, (3. ) mo ment um denkl e mi ve ( 3. 3) enerji denkl e mi ol arak adl andırılır. Yukarıda yazılan denkl e ml erdeki değişkenl er, jet hı zı U j, j et deli k genişliği D j, akışkan yoğunl uğu, j et çı kış sıcaklı ğı T j ve yanal duvar sıcaklı ğı T c ni n kullanıl ması yla, aşağı daki dönüşüml er yapılarak boyutsuzlaştırıl mıştır ; (x, y) (X,Y), D j v U j p V, t, P, U j D j ρu j T T c (3. 4) T T j c U jd j ρ Burada Re ifadesi j et Reynol ds sayısı nı gösterir ve j et akışı nı n μ mo ment umunu ifade eder. Pr / ifadesi ise akışkanı n Prandtl sayısı nı göst erir. Burada =/ akışkanı n ki ne mati k viskozitesi ni, akışkanı n di na mi k viskozitesi ni, = k/ c p akışkanı n ısıl geçirgenli ği ni, k akışkan ısı ileti m katsayısı nı ve c p ise akışkan özgül ısısı nı göster mekt edir. Yanal duvarlarla kuvvetli ve zayıf sı nırlandırılmı ş i ki z j et akışı n sayısal si mül asyonunda akış sınır şartları ol arak, duvarlarda kay ma ma şartı ( no-sli p) veril miş, yani duvar üzeri nde hı z bileşenl eri sıfır alı nmı ştır. Akış doğrult usunda kanalı n sonunda çı kış sınır şartı vardır. Yani çı kış kesitinde, hı zı n kesitin nor mali ne göre t ürevi sıfırdır. Deli kleri n girişi nde j et hı zı, U j ünifor m ol arak alı nmı ştır. Akış i ki 3

30 boyutl u, l a mi ner ve sı kıştırılamaz ol arak alı nmıştır. Düşük Reynol ds sayıları nda akışkan ol arak belirlenen hava, sı kıştırılamaz ol arak kabul edilebil mekt edir. Kuvvetli sı nırlandır mada sadece sabit sıcaklı kta akış ol ayı i ncelenirken, zayıf sı nırlandırıl mı ş akış geo metrisi il k önce, yal nızca akış pr obl e mi içi n çözül müş, daha sonra sı caklı k et kileri de hesaba katılarak, süreklilik ve mo mentu m denkl e ml eri ne enerji denkl e mi ilave edil miştir. Sı caklı k sı nır şartları ol arak, j et sıcaklı ğı T j sabittir ve j et deli kleri ni n bul unduğu düşey duvarlar yalıtıl mıştır. Yanal duvarlar, sabit T c sıcaklı ğı nda tut ul makt adır ve T j >T c dir. Akış pr obl e mi nde olduğu gi bi, kanal uzunl uğu yet eri nce büyük alı narak, çı kış kesitinde sı caklı k çı kış sınır şartı ( T/ x=) kullanıl mıştır. Far klı kanal uzunl ukl arı alı narak bu şartın sağl andı ğı görül müşt ür. Sı nır şartları yla t anı ml anan ( 3. )-(3. ) ve ( 3. 3) denkl e ml eri sonl u haci ml er t ekni ği ni n kullanıl dı ğı ticari bir progra m ol an FLUENT ile çözül müşt ür. Çözü ml erde i ki nci derece doğr ul ukt a ayrı klaştır ma kullanıl mıştır. Yapılan çalış mada akış al anı ünifor m ol mayan 6x gri d üzeri nde t anı ml anmı ştır. Çözü mün gri dden bağımsı zlı ğı nı kontrol et mek i çi n zayıf sı nırlandırıl mış geo metride, gri d yoğunl uğu 34x44 e çı kartıl mış ve seçilen Reynol ds sayısı nı n değerleri i çi n maksi mi m al an değişkenl eri ni n % den daha az değiştiği gör ülmüş ve yeni den el de edilen POD esaslı özdeğer f onksi yonl arla eskileri arası nda di kkate değer bir f arklılı k ol uş ma mı ştır. Dol ayısı yla bu çalış mada 6x gri d esas alı nmı ştır ve gri dl er duvarlara, jetlere ve kanalın girişi ne doğru sı klaştırıl mıştır Navi er-stokes model (sayısal si mül asyon) sonuçl arı Kuvvetli sı nırl andı rıl mı Ģ jetler (S/ H=. 7) Kuvvetli sı nırlandırıl mış geo metri i çi n yapılan sayısal si mül asyonl ar Reynol ds sayısı nı n, ile 9 arasında değişen değerleri için el de edil miştir. Reynolds sayısı nı n çeşitli değerleri i çi n elde edil miş akı m çi zgileri Şekil 3. 3a da gösteril miştir. Re 3 aralı ğı nda, Reynol ds sayısı nı n düşük değerleri içi n, dai mi (zamana göre değiş meyen), x-ekseni ne göre si metri k çözüml er el de edil miştir. Bu aralı kta Reynol ds sayısı nı n art ması yla birlikte, i ki j eti n arası ndaki çekirdek böl gede ol uşan girdapl arı n büyükl üğü de art makt a, köşe girdapl arı ise j et ile duvar arası nda sı kıştığı ndan dol ayı çok küçük kal makt a ve gelişe me mekt edir. Kuvvetli sı nırlandır mada Coanda et kisi nden dol ayı, i ki jet yanal duvarlara doğru dayan ma eğili mi göst erirler ( Soong ve Tzeng, 998). Dai mi çözü mden zamana bağlı 4

31 peri yodi k çözüme geçiş, Hopf bifürkasyonu ol arak adl andırılır ve akışı n peri yodi k ol duğu bu kritik Reynolds sayısı Re C, H ol arak gösterilir. Soong ve Tzeng ( 998) yaptı kları çalış mada, kritik Reynol ds sayısı nı, S/ H=. 7 i çi n Re C, H =33 ol arak belirle mi şler ve kuvvetli sı nırlandır mada aynı geometri k ve akış şartlarında çokl u çözü me ( dai mi asi metri k çözü me) rastla ma mı şlardır. Benzer şekil de farklı il k şartlar verilerek yapılan bu çalış mada dai mi akış şartlarında ( Re<Re C, H ) asi metrik çözü m el de edile me mi ştir. Re=4 ve 7 i çi n akış zamana göre peri yodi k bul unmuşt ur. Re=4 ve 7 de bir periyot i çi n eşit za man aralıkl arı nda alı nan enstantane (anlı k) akı m çi zgileri Şekil 3. 3b ve 3. 3c de sırası yla gösteril miştir. Şekil 3. 3b de Re=4 i çi n tipi k bir i kiz j et akışı nın, bir peri yod i çerisi ndeki salı nı mı veril miştir. Burada, çekirdek ve köşe girdapları nı n et kisi açı k bir şekilde gör ül mekt edir. Salı nım hareketi sırası nda j etler çekirdek böl gede birbirine doğr u yakl aş makt a ve belli za man aralı kları nda birbirleri nin önüne geç mekt edirler. Bir j et di ğeri ni n önüne geçti ği nde, önü kesilen j eti n akış yönü çekirdek böl geye doğru ilerle mekt e ve böl geyi dol durarak ol uşt urduğu çekirdek girdabı nı n büyü mesi ne yol aç makt adır. Bu çekirdek girdabı belli bir büyükl üğe ul aştığı nda di ğer j eti n önüne geç mekt e ve bu şekilde j etler arası nda bir salı nı m ol ayı meydana gel mekt edir. Buna ek ol arak, çekirdek girdabı nı n büyü mesi yle birlikte, karşısı ndaki j eti, duvara doğru sı kıştır makt a ve bu j et ile duvar arası ndaki köşe girdabını n geliş mesi ne i zi n ver mezken, çekirdek girdabı nı n büyü mesi ne yol açan j et ile duvar arası ndaki köşe girdabı akış yönünde ilerleyerek çekirdek girdabı nı n arkası nda bir kenar girdabı na dönüş mekt edir. Daha sonra güçl ü viskoz (sürt ünme) et kiler yüzünden bu kenar girdabı git gi de sönü ml enirken yeri ni başka bir girdaba bırakmakt adır. Aynı ol ayl ar akış al anı nı n her i ki yanı nda değiş meli ol arak t ekrarlanarak deva m et mekt edir. Akışkan kanal i çi nde ilerlerken viskoz et kilerle sönü ml enir ve akış doğr ult usunda belirli bir mesafeden sonra t ama men bir boyutl u akışa dönüşür. Şekil 3. 3c de ise Re=7 te bir peri yot i çi n eşit aralı klarla alı nmı ş akı m çi zgileri gösteril miştir. Re sayısı nı n art ması yla birlikte ol uşan çekirdek girdapl arı nı n büyükl üğü azalırken, köşe girdapl arını n et kisi ve büyükl üğü art makt a, buna bağlı ol arak kenar girdapl arı nı n büyükl üğü ve sayısı da art makt adır. Jet salı nı ml arı nı n akış doğrult usundaki dal ga boyl arı da azal makt adır. Bütün bunl ara bağlı ol arak akış yapısını n peri yodi k ol ması na r ağmen, daha kar maşık bir yapı ol uş makl a birlikte yapı nın kararlılığı azal makt adır. Şekil 3. 3d de gör ül düğü gi bi, Re sayısı nı n daha da art masıyl a ( Re=9), j etleri n salını mı nı n akış doğr ult usundaki dal ga 5

32 boyl arı daha da azal makt a, ancak akışa di k doğr ult udaki salı nı ml arı n art ması yl a birlikte akış yapısı daha kar maşı k bir hale gel mektedir. Şekil 3. 4 de Re=4, 7 ve 9 i çi n el de edilen sayısal si mül asyonl arı n temsili bir nokt adaki ( X=x/ D j, Y=y/D j =5. 4, ) hı z değerleri nin za mana göre değişi mi veril miştir. Burada Re sayısı 4 ve 7 i çi n akış peri yodi k ol up, Re=4 i çi n peri yot T p =sn (T p, boyutsuz =T p U j /D j 43) i ken Re=7 te periyot T p 6. 8sn ye (T p, boyutsuz 97) düş mekt edir. Re sayısı nın 9 a çı kması yla akışın peri yodi k yapı dan karmaşı k bir yapı ya (sanki-peri yodi k) dönüşt üğü daha açı k bir şekil de görül mekt edir. Akı şı n di na mi k yapısı nı daha i yi analiz et mek i çi n hı zı n za mana göre değişi mi ni n spektrum analizleri ( FFT) yapıl mıştır. Re=4, 7 ve Re=9 değerleri içi n yapılan spektrum analizleri sırasıyl a Şekil 3. 5 te veril miştir. Re=4 ta akış, boyutsuz değeri f o =. 7 ol an t e mel (baskı n) bir frekans ve onun basit har moni kl eri nden ol uş makt adır. Re=7 de i se baskı n frekansı n değeri (f o =. 3) artarken şi ddeti azal makt a, bununl a birlikt e frekans yoğunl uğu ve har moni kl eri n sayısı az da olsa art makt adır. Re=9 da ise akış sanki-peri yodi k ol up, frekans yoğunl uğu ol dukça art makt adır. Bunun yanı sıra t e mel i ki boyutsuz frekans değeri f =. 5 ve f =. 6 dir ve di ğer frekanslar bunl arı n katları nın t opl a mı veya farkı şeklinde ifade edil ebil mekt edir. Soong ve Tzeng ( 998) aynı şartlarda yaptı kl arı s pektr u m analizleri nde benzer sonuçl ar el de et mi şler, Re>75 i çi n gür ült ünün daha da yoğunl aştı ğı geniş bantlı r ast gele gür ült ü hali ne ul aş mı şlardır. Bu dur umu, siste mi n rahatsız edi ci peri yodi k bir salı nı m davranışı ol arak nitele mi şler ve Re sayısı nı n 8 ile 9 arası ndaki değerleri içi n, akışı n kaosa gi den bir hal al dı ğı nı belirle mi şlerdir Zayıf sı nırl andırıl mı Ģ jetler (S/ H=. 3) İlk ol arak i zot er mal (sıcaklı k et kisi ni n ol madı ğı) dur um i çi n yal nızca süreklili k ve mo ment um denkl e ml eri ile akış sı nır şartları gözönüne alı narak yapılan sayısal si mül asyonl ar, Reynol ds sayısı nı n ile 7 arası nda değişen değerleri i çi n el de edil miştir. Yapılan çalışmanı n bir sonraki aşa ması nda, Re=4 i çi n sıcaklık şartları da göz önüne alı narak enerji denkl e mi de çözül erek siste mi n akış ve sı caklı k davranışları birlikte i ncel enmi ştir. Navi er- St okes denkl e ml eri nden de anl aşılacağı gi bi, akışkan viskozitesini n sıcaklı kla değişi mi ih mal edil di ği nde, sıcaklık al anı nı n mo ment um denkl e mi ne, dol ayısı yla akışı n di nami k davranışı na herhangi bir et kisi yokt ur. Siste mde denkl eml er çözül ürken, il k önce süreklilik ve mo mentum, daha 6

33 sonrada enerji denkl e mi çözül mekt edir. Fakat enerji denkl e mi nde, t aşı nım t eri ml eri ve Re sayısı ol duğu i çin, akış al anı sıcaklı k dağılı mı üzeri nde öne mli bir et ki ye sahi ptir. Bu sebepl erden dol ayı, akış ve sı caklık ol ayl arı birlikte el e alınması na rağmen, bu probl e mbir zorlanmı ş taşı nı mprobl emi olarak ortaya çı kmaktadır. Çokl u çözüml er: Reynol ds ve Gr ashof sayıları nı n yet eri nce büyük değerleri nde Navier- St okes denkl e ml eri ni n çokl u çözüml eri ni n ol abileceği ni göster mek i çi n, yapılan çalış mada Re sayısı yavaş yavaş azaltılarak veya artırılarak i kiz j et akışı i çi n çoklu çözü ml er bul unmaya çalışıl mıştır. Muht e mel çokl u çözü ml eri bul abil mek i çi n yapılan çalış mal arda, akış yapısını n başlangı ç şartları na bağı mlılığı nı ortaya çı kar mak i çi n farklı başlangı ç şartları nda si mül asyonl ar yapıl mıştır. Reynol ds sayısı nı n belirli bir değeri nde farklı başlangı ç şartları nı n kullanıl dığı si mül asyonl arda, i kiz-jet akış yapısı nı n dai mi kal dı ğı si metri k çözü mden asi metrik çözü me geçiş pitchfor k (i ki nci bir dai mi çözü m) bifürkasyonu ol arak adl andırılmakt adır. Bi zi m pr obl emi mi zde bu ol ay kritik Reynol ds sayısı, Re C, P 6 da ( başlangı ç şartı ol arak Re= deki çözü m kullanılarak) gerçekl eşmi ştir. Burada farklı başlangı ç şartları nda aynı Reynol ds sayısı nda dai mi akış sözkonusu ol makl a birlikte si metri k ve asi metri k olmak üzere iki farklı çözüm var dır. Bu dai mi asi metri k çözü m genellikle peri yodi k çözü mden önce el de edilir. Reynol ds sayısı nı n çeşitli değerleri içi n el de edil miş akı m çi zgileri Şekil 3. 6 da gösteril miştir. Re<6 aralı ğı nda t ek, dai mi si metri k çözü ml er el de edil miştir. Bunun yanı sıra Re= deki çokl u çözü m Şekil 3. 6 da göst eril miştir. Re= deki si metri k dai mi çözü me, yavaş yavaş artırılan başlagı ç değeri yle ( başlangı ç şartı ol arak Re= daki çözüm kullanılarak ) ul aşıl mıştır. Bununl a birlikte Re= deki dai mi asi metri k çözüme i se başlangı ç şartı ol arak Re=3 daki çözü m kullanılarak ul aşıl mıştır. Soong ve Tzeng ( 998) yaptı kları çalış mada, dai mi hal de si metri k çözü mden asi metri k çözüme geçiş i çi n kritik Reynol ds sayısı nı Re C, P =6 ol arak bil dir mişlerdir. Buda yaptığı mı z sayısal si mül asyon sonuçl arı yla ört üş mektedir. Soong ve Tzeng ( 998), i ncelenen pr obl e m içi n Hopf bifürkasyonunu (akışı n peri yodi k ol duğu en düşük Reynol ds sayısı) Re C, H =9 ol arak belirlemi şlerdir. Yaptı ğı mı z çalış mada ise, Re=3 i çi n, akış zamana göre peri yodi k bul unmuşt ur. Re=4 ta bir peri yot i çin eşit za man aralı kları nda alı nan anlı k akı m çi zgileri ve eş 7

34 sıcaklı k eğrileri Şekil 3.7a ve 3. 7b de gösteril mi ştir. Re=4 da, Pr =. 7 (hava) i çi n sıcaklı k et kisi ni n de i ncelendi ği sayısal si mül asyonda, eş sıcaklı k eğrileri de za mana göre peri yodi ktir. Buna ilavet en j etleri n salı nıml arı açısı ndan hı z ve eş sı caklı k eğrileri de paralellik göster mekt edir. Şekil 3. 8 de ise Re=7 te bir peri yod i çi nde eşit za man aralı kları nda alın mı ş akı m çi zgileri gösteril miştir. Kuvvetli sı nırlandırıl mış iki z j ete benzer şekil de Re sayısı nı n art ması yla birlikte j etlerin akış doğr ult usundaki salı nı mı nı n dal ga boyl arı azal makt a, her i ki yanal duvar üzeri nde kenar girdapl arını n sayısı ve akışa dik yöndeki çal kantıları n şi ddeti arttığı ndan akış daha kar maşık bir hale gel mekt edir. Şekil 3. 9 da t e msili bir nokt a ( X, Y=x/ D j, y/ D j =6.3, ) i çi n sırası yla, Re=4 ta el de edilen doğr udan sayısal si mül asyonl arda u ve v hı z bileşenleri ile sıcaklığı n za mana göre değişi ml eri, Re=7 te ise hı zı n u ve v bileşenl eri ni n za mana göre değişi mi gösteril miştir. Hı z ve sıcaklı ğı n za mana göre değişi ml eri, Re=4 i çi n peri yodi k (hızı n v- bileşeni i çi n, T p. 65sn; T p, boyutsuz =T p U j /D j 88. ), Re=7 i çi n ise sankiperi yodi ktir. Re=4 ve Re=7 i çi n spektrum analizleri Şekil 3. da gösteril miştir. Re=4 i çi n el de edilen frekans analizi ne bakıl dı ğı nda, hı zın u- bileşeni i çi n baskı n frekansı n değeri f o =. 68 dir ve har moni kl eri baskı n frekansı n katları şekli ndedir. (hızı n v- bileşeni i çi n f o =. 34 tür) Bunun yanısıra harmoni kl er arası ndan düşük şi ddette alt-har moni kl er belir mektedir. Baskı n frekansı n v-yönündeki şi ddeti ni n, u-yönündeki şi ddeti ne oranl a ol dukça yüksek ol ması, akışı n kanal i çerisi ndeki salı nı m hareketi ni n doğal bir sonucudur. Re sayısı Re=7 e çıkartıldı ğı nda baskı n frekans ve har moni kleri ni n şi ddetleri azal makt a ve frekans yoğunl uğu art makt adır. Bu dur u m içi n t e mel i ki frekansı n değeri f o =. 49 ve f =. 68 ol an sanki-peri yodik bir akış söz konusudur Kuvvetli ve zayıf sı nırl andı r ma duruml arı nı n karģıl aģtırıl ması Zayıf sı nırlandırıl mış duruml a kuvvetli sı nırlandırıl mış dur umu karşılaştırdı ğı mı zda, dai mi akış hali nde S/ H sı nırlandır ma oranı arttıkça i ki j et arası ndaki çekirdek girdapl arı nı n büyükl üğü artarken, köşe girdapları nı n büyükl üğü azalmakt adır. Peri yodi k akış hali nde duvar sı nırlandır ma et kisi belirgi n bir şekil de görül mekt edir. Zayıf sı nırlandır ma ( S/ H=. 3) dur umunda akışta iki j et arası ndaki et kileşi m, yanal duvarlarla j etleri n et kileşmesi ne göre baskı n ol up, yanal duvarlar j etlerden yet eri nce 8

35 uzak ol dukl arı i çi n akışı n serbestliği kuvvetli sı nırlandır maya ( S/ H=. 7) oranl a ol dukça yüksektir ve akış doğr ult usundaki salını ml ar büyük genli klerde (l arge a mplit ude), başka bir ifadeyl e büyük dal ga boyl arında gerçekl eş mekt edir. Başka bir ifadeyl e kuvvetli sı nırlandır ma dur umunda, akışa di k doğr ult udaki salı nı ml arı n yanal duvarlar vasıtası yla et kili bir şekil de bastırıl ması ndan dol ayı, bu salı nı m hareketi akış doğr ult usunda zayıf sı nırlandır ma dur umuna kı yasla daha kısa bir mesafe sonunda sönü ml enmekt edir. Bi fürkasyonl ar açısı ndan karşılaştırdı ğı mı zda, pitchfork bifürkasyonu kuvvetli sı nırl andır mada gör ülmezken, zayıf sı nırl andır mada gör ül mekt edir. Bi zi m pr obl e mi mi zde pitchfork bifürkasyonu ( S/ H=. 3) i çi n Re C, P =6 da görül müşt ür. Literat ürde kritik Reynolds sayısı da Re C, P =6 ol arak bul unmuşt ur. Buna il avet en S/ H. 5 i çi n pitchfork çatallanması gör ül me mekt edir ( Soong ve Tzeng, 998). Zayıf sı nırlandırıl mış i kiz-jet akışı kuvvetli sı nırlandır maya göre daha kararsız olduğundan dai mi reji mden peri yodik reji me geçiş ol ayı daha düşük kritik Reynol ds sayıları nda gerçekl eş mekt edir. Bi zim pr obl e mi mi zde S/ H=. 7 i çi n Re=3 da akış dai mi, Re=4 ta ise peri yodiktir. S/ H=. 3 i çi n ise Re 3 da dai mi ol mayan akış sözkonusudur. Literat ürde Hopf çat allanması nı n gör ül düğü kritik Re sayısı, ( S/ H=. 3 içi n) Re C, H =9, S/ H=. 7 i çi n ise Re C, H =33 ol arak belirlenmi ştir. ( Soong ve Tzeng, 998). Re=7 içi n kuvvetli sınırlandır mada akış periyodi k i ken, zayıf sı nırlandır mada sanki-peri yodi k akış söz konusudur. Dol ayısı yla sı nırlandır ma et kisi ni n (S/ H oranı) art ması yla birlikte, akışın kararlılığı art makt a ve dai mi reji mden kaoti k reji me geçiş aşa mal arı daha yüksek kritik Reynol ds sayıları nda gerçekl eş mekt edir. Frekans analizleri ne bakıl dı ğı nda, Re=4 da kuvvetli sı nırlandır maya göre zayıf sı nırlandır mada baskı n frekans değeri daha yüksektir. Başka bir ifadeyle peri yod daha düşükt ür. Duvar sınırlandır ma et kisi ni n ( S/H oranı) azal ması yla birlikte baskı n frekansı n yoğunl uğu art makt adır. Frekans yoğunl uğunun art ması akış yapısı nı n kararsızlığı nı n arttığı nı göster mekt edir. Re=7 de zayıf sı nırlandır mada, kuvvetli sı nırlandır maya oranl a baskı n frekansı n değeri daha düşük ol up, frekans yoğunl uğu ol dukça art mıştır. Frekans yoğunl uğunun aşırı derecede art ması, akış r eji mi ni n değiştiği ni n göstergesi dir. Zayıf sı nırlandır ma dur umunda, hı zı n v-bileşeni ni n frekans şi ddeti ni n, kuvvetli sı nırla maya göre daha yüksek ol ması akışı n serbestliği ni n daha yüksek ol duğunu göster mekt edir. 9

36 3. 3. DüĢük Boyutl u Modeller DüĢük boyutl u modelleri n ol uģt urul ması Navi er- St okes ve enerji denkl e ml eri ni düşük boyutl u ol arak modelleyebilmek i çi n, el e alı nan pr obl e me özgü özdeğer f onksi yonl ar kullanıl malı dır. Ancak bu şekil de Navi er- St okes ve enerji denkl e ml eri birkaç adi diferansi yel denkl e mden ol uşan düşük boyutl u model e i ndirgenebilir. Geçerli bir düşük boyutl u model el de edil di ği nde, Navi er- St okes denkl e ml eri ne doğrudan uygul anması çok zor ol an kararlılık ve bifürkasyon analizleri bu modellere rahatlıkla uygul anabilir. Ayrı ca son yıllarda düşük boyutl u modeller akış kontrol a maçlı ol arakta kullanıl maya başlanmı ştır Uygun ortogonal ayı rı m met odu ( POD) POD, bir siste mi n di nami k davranışları nı belirleyen en enerjik modl arı obj ektif ol arak bul unması nı sağl ayan bir yönt e mdir. Akışkanl ar mekani ği ne Lu ml ey ( 967) tarafı ndan sunul muşt ur. Literat ürde yönt e m aynı za manda Kar hunen- Loeve ayırı mı adı yla da anıl makt adır. POD, Si rovi ch ( 987) in anlı k veri yönt e mi (met hod of snapshots) sayesi nde 99 lı yıllardan bu yana popül er bir yönt e m ol arak bir çok al ana uygul anmı ştır. Aşağı da bu çalış mada kullanılan POD ni n anlı k veri (snapshot) versi yonu özet olarak açıkl anmı ştır: Deneysel veya sayısal yol dan el de edilen anlı k veriler POD ni n başlangı ç nokt ası nı ol uşt urur. Ör nek ol arak, i ki z j et akışı nı n za mana bağlı sayısal çözümünde önce Navi er- St okes denkl e mi, daha sonra ise enerji denkl e mi çözül mekt e, bu şekil de akış ve sı caklı k al anları el de edil mekt edir. Za mana bağlı hı z ve sı caklı k al anl arını n anlı k verileri ni n sayısı ( M), bir peri yod i çi n eşit zaman aralı kları nda alı nmıştır. (3. 5) denkl e ml eri ne göre ortalama değerleri çı kartılarak el de edilen hı z ve sıcaklı ğı n çal kantı bileşenl eri yle yeni bir veri siste mi oluşt urul makt adır. Bunl ara ilavet en, yapılan başka bir çalış mada, akış al anları na doğrudan POD uygul anarak el de edilen özdeğer f onksi yonl ar kullanılarak geliştirilen düşük boyutl u modeller, birkaç i stisna dışı nda başarılı ola ma mı ştır. Hı z ve sı caklı k al anı nın çal kantı bileşenl eri, anlı k hı z ve sı caklı k değerleri nden ortala ma hız ve sıcaklı k değerleri çı kartılarak aşağı daki gi bi el de edilir:

37 V(x, y,t) V(x, y,t) V(x, y) (3. 5a) ( x, y,t) (x, y,t) (x, y) (3. 5b) Za mana göre değişen hı z ve sı caklı k al anı nın çal kantı bileşenl eri ( V ve ) aşağı daki gi bi li neer bir şekil de birleştirilerek, hız ve sı caklı k i çi n deneysel özdeğer fonksi yonl ar aşağı daki gibi ol uşt urul ur (Sirovi ch, 987): M k (x, y) A kiv (x, y,ti) i (3. 6a) M k x, y) Bki(x, y, t i ) i ( (3. 6b) Burada M önceden seçilen anlı k veri alanı sayısını, V (x, y,ti ) ve (x, y,t i ) sırası yl a çal kantı hız ve sıcaklı k alanl arı nı n i nci anlı k veri değerleri ni belirtir. A ki ve B ki, (3. 7a) ve ( 3.7b) de verilen özdeğer probl e mi nde C:( Mx M) matrisleri ni n k ncı özdeğer vekt örleri nin ele manl arı dır. C A CB A, (3. 7a) B. (3. 7b) Denkl e m ( 3. 7a) ve ( 3. 7b) deki C matrisleri hız ve sı caklı k al anl arı nın çal kantı değerleri kullanılarak aşağı daki gi bi hesapl anmaktadır. (Sirovi ch, 987) C ij M V (x, y, t i )V (x, y, t j )dxdy, (3. 8a) C ij θ (x, y,t )θ i (x, y,t j)dxdy M. (3. 8b) Hı z ve sı caklı k al anları i çi n ol uşt urulan C matrisleri si metri k ve pozitif-belirli (defi nite) ol dukl arı ndan dol ayı özdeğerler gerçek pozitif sayılardır. Bu nedenl e C matrisi ni n büt ün özdeğerleri büyükt en küçüğe doğru aşağı daki gi bi düzenl enebilirler: 3... M. (3. 9)

38 Bur ada M i i E T t opl a m çal kantı enerjisi ni ol uşt urur ve her bir özdeğer ( ) il gili özdeğer f onksi yonun (esas f onksi yon) t opl a m çal kantı enerjisine kat kısı nı t e msil eder. ( Berkooz ve di ğ., 993). Bu nedenl e, uygun ort ogonal ayrı m en enerji k özdeğer f onksi yonl arı n tanı ml anması i çi n obj ektif bir met oddur. Dol ayısıyl a düşük boyutl u modelleri n ol uştur ul ması nda en enerji k özdeğer f onksi yonl ardan yararlanılır. Ayrı ca uygun bir şekil de nor malize edil di kleri nde ( /, ), özdeğer fonksi yonl ar ortonor mal bir takı mol uşt ururlar. i j ij i i i i i /. dxdy, i j (3. a) ij i jdxdy ij. i =j (3. b) i Burada ij Kr onecker delta ve I biri m matris ol mak üzere ort onor mallik şartı I = [ ij ] = [ Mx M] kare matrisi (3. ) şekli nde ifade edilebilir. POD il e el de edilen nor malize edil miş ( deneysel) özdeğer f onksi yonl ar bir seri açılı mı nda kullanılarak, hı z ve sı caklı k al anları nın çal kantı bileşenl eri V(x, y,t ) ve θ (x, y,t ), sırası yla aşağı daki gi bi te msil edilebilir; V (x, y,t) i N k L k ak (t) k (x, y), (3. a) (x, y,t) bk (t) k (x, y). (3. b) Burada N hı z i çi n, L i se sıcaklı k i çi n, seri açılıml arı nda alı nan en enerjik özdeğer fonksi yon sayıları nı gösterir ve genellikle ( N ve L) << M dir. Özdeğer f onksi yonl arı n ort onor mal ol ması ndan faydal anarak, yukarı daki denkl e ml erde POD il e elde edilen özdeğer fonksi yonl arı nın za mana bağlı açılı m katsayıları (a k ve b k ), ( 3. a) ve (3. b) denkl e ml eri kullanılarak aşağı daki gi bi hesapl anır; i

39 a k (t) V (x, y,t). k (x, y)dxdy k=,,, N. (3. 3a) bk (t) (x, y,t). k (x, y)dxdy k=,,, L. (3. 3b) Yukar daki (3. 3a) ve (3. 3b) denkl e ml eri siste mi yeni den ol uşt ur ma f or mülleri ol arak adl andırılırlar. Bu denkl e ml er ile bul unan açılı m katsayıları Navi er- St okes ve Enerji denkl e ml eri ni n POD il e el de edilen özdeğer f onksi yonl ar üzeri ne izdüşü münü ifade eder. Bu şekil de farklı N ve L değerleri i çi n POD il e ( 3. 6a) ve ( 3. 6b) denkl e mi kullanılarak el de edilen ve k k değerleri ile ( 3. 3a) ve ( 3. 3b) denkl e ml eri nden bul unan a k, b k açılı m katsayıları (3. a) ve ( 3. b) denkl e ml eri nde yeri ne konul arak el de edilen çal kantı hı z ve sı caklı k al anları na ortala ma hı z ve sı caklık değerleri ekl enerek, doğr udan si mül asyonl a el de edilen hı z ve sı caklı k al anl arı karşılaştırılabilir. Bu şekil de POD kullanılarak el de edilen özdeğer f onksi yonl arı n siste mi temsil et me yeteneği belirlenebilir. ( GüneĢ ve Kavur macı oğl u, ). Düşük boyutl u model elde et mek i çi n ( 3. a) ve ( 3. b) denkl e ml eri Navi er- St okes ve enerji denkl e ml eri nde, (3. ), (3. ) ve ( 3. 3) yeri ne konul arak Gal erkin met odu uygul anır ve deneysel özdeğer f onksi yonları n ort onor mallik özelli ği nden faydalanarak, Navi er-stokes denkl e ml eri, hı z ve sı caklı ğı n açılı m katsayıları ci nsi nden, N ve L denkle mden ol uşan, li neer olmayan ( N+L) adet, adi diferansi yel denkl e msiste mi ne dönüştürül ürler: da dt k A k Bk Re i D ki a i Cki Re N N N i j a a i j E kij (3. 4a) db dt k N i L j a b U i j kij N i a V i ki L i bi W ki Zki Qk R PrRe PrRe k (3. 4b) Burada k, denkl e m sayısı nı t e msil eder ve hı z i çi n k=,,..., N, sıcaklı k i çi n k=,,..., L dir. (3. 4a) ve ( 3. 4b) denkl e ml eri zorlanmı ş t aşı nı m pr obl e mi içi n yarı bağı mlı dır ve dör düncü mert ebeden bir Runge-Kutta çözücüsü kullanılarak sayısal ol arak i ntegre edilirler. Yukarı daki denkl e ml erin katsayıları Ek A da veril miştir. Runge- Kutta yönt e mi i çi n gerekli başlangıç şartları aşağı daki denkl e ml er kullanılarak hesapl anır: 3

40 a k () V (x, y,). φ k (x, y)dxdy k=,,, N. (3. 5a) bk () (x, y,). k (x, y)dxdy k=,,, L. (3. 5b) POD sonuçl arı (kuvvetli sı nırl andı rıl mı Ģ i kiz-jet, S/ H=. 7 ) Özdeğerler (S/ H=. 7) POD i çi n akış al anı nın anlı k verileri, Re=4 Re=6 ve Re=9 da kuvvetli sı nırlandırıl mış j et geo metrisi i çi n, Navi er- St okes denkl e ml eri ni n doğr udan sayısal si mül asyonuyl a el de edil miştir. Re=4 ve 6 ta, bir peri yot i çi n eşit za man aralı kları nda alı nmı ş yirmi anlı k veri ( M=), POD uygul a ması nda kullanıl mıştır. Sanki-peri yodi k akışı n oluşt uğu Re=9 da ise, POD yönt e mi i çi n anlı k veri al anı sayısı M= ol arak seçil miştir. Nor malize edil mi ş en enerji k on özdeğer ve onl arı n çal kantı enerjisi ne olan topl a mkat kıları Tabl o 3. de veril miştir. Tabl o 3.. Hı z içi n nor malize edil miş en büyük on özdeğer ve onl arı n topla m çal kantı enerjisi ne olan kat kıları. (S/ H=. 7) Modlar Normalize edilmiş özdeğerler Hız Re = 4 Re = 7 Re = 9 Toplam enerji, % Normalize edilmiş özdeğerler Toplam enerji, % Normalize edilmiş özdeğerler Toplam enerji, %,569 56,9,5993 5,993,376 37,6,485 97,4,438 96,,338 68,489 3,839 98,879,987 98,87,36 8,848 4,586 99,465,7 99,95,55 85,9 5,99 99,765,486 99,58,4 9, 6,74 99,938,68 99,748,95 9,95 7,8 99,967,8 99,857,59 9,984 8,9 99,985,56 99,93,99 93,893 9,6 99,99,3 99,945,86 94,753,5 99,997,3 99,968,695 95,448 Tabl o 3. de gör ül düğü gi bi, Re=4 ta, il k i ki özdeğer birbiri ne yakı n değerde ol up, siste mi n enerjisi ni n büyük bir kıs mı nı ( %97) i çer mekt edir. Daha sonraki modl arı n yakal ayabil di ği enerji mikt arları git gi de azal makt adır. Re=7 i çi nde aynı dur um sözkonusu ol up, enerjinin modl ara yayıl ma oranları birbiri ne yakı n değerdedir. Bu da, Re=4 ve Re=7 i çi n, akış yapıları nı n benzer davranışlar sergilemesi nden kaynakl anmakt adır. Bu yayıl ma akışı n karakt erinde hi çbir değiş me ol madı ğı za man monot on (tek düze) olarak gerçekl eşir. Bu dur um Re=4 ve Re=7 te açı kça gör ül mekt edir. Hal buki, Re=9 a çı kartıldı ğı zaman, siste mi n t opl a m enerjisi, daha 4

41 yüksek dereceli modl ara doğr u aşırı bir şekil de yayıl makt adır. Bu da akış yapısı nı n değiştiği ni n bir göstergesidir. Niteki m akış Re=4 ve 7 te peri yodi k i ken, Re=9 da sanki-peri yodi k yapı dadır Deneysel özdeğer fonksi yonl ar (S/ H=. 7) Re=4, Re=7 ve Re=9 i çi n deneysel özdeğer fonksi yonl ar ( Gal erki n met odu i çi n esas f onksi yonl ar) sırasıyl a Şekil 3. a, 3. b ve 3. c de gösteril mi ştir. Tü m Re sayıları i çi n özdeğer f onksi yonl ar, yanal duvarlar arası ndaki akış böl gesi ni t a ma men kapl a makt adırlar. Re=4 ve 7 değerleri i çi n özdeğer f onksi yonl ar ve enerjini n kanal içi ndeki yayılı mı benzerlik gösterirken, Re=9 da belirgi n bir farklılı k göze çarpmakt adır. Re sayıları arası nda, en enerjik il k i ki özdeğer modl arı karşılaştırdı ğı mı zda, Re=4 ve 7 e oranl a Re=9 daki deneysel özdeğer fonksi yonl arı n enerjisi nin, akış doğr ult usunda daha az yayıl dı ğı gör ül mekt edir. Bu dur um Re sayısı nı n artması yla birlikte j et akışı nı n birbiri ne doğr u daha fazl a yakl aş ması, başka bir deyişle çekirdek girdapl arını n büyükl üğünün azalması yl a ve köşe girdapl arı nı n, buna bağlı ol arak kenar gir dapl arı nı n büyükl üğünün art ması yl a açı klanabilir. Sırası yla Re=4, Re=7 ve Re=9 i çi n yeni den ol uşum f or mül ü ol an denkl e m (3. 3a) dan hesapl anan za mana bağlı açılı m katsayıları ( Gal erki n met odu i çi n esas fonksi yonl arı n katsayıları) Şekil 3. a ve 3. b. de gösteril miştir. Bunl ar POD il e el de edilen doğr udan pr ojeksi yon sonuçl arı ol arak adl andırılır. Doğr udan projeksi yon sonuçl arı tasarı m şartlarında geliştirilen düşük boyutl u modelleri n perfor mansı nı değerlendir mek i çi n kullanılır. Şekil 3. a da görül düğü gi bi Re=4 ve Re=7 t e biri nci ve i ki nci modl ar arası nda bir peri yodun dörtte biri kadar faz kayması var dır ( Re=4 i çi n T p, boyutsuz 43, Re=7 i çi n T p, boyutsuz 97) ve modl ar arttı kça açılı m katsayıları nı n genli kleri azal makt adır. Buna ilavet en Re sayısı arttığı nda da açılı m katsayıları nı n şi ddetleri art makt adır. Şekil 3. b de gör ül düğü gi bi Re=9 da, peri yodi k bir dur um söz konusu ol mayı p akış sanki-peri yodi ktir ve modlar arttı kça açılı m katsayıları nı n şi ddetleri de azal makt adır. Açılı m katsayıları nı n büyüklükleri ile bunl ara karşılık gelen özdeğerler arası nda doğrusal bir ilişki mevcutt ur DüĢük boyutl u model sonuçl arı (S/ H=. 7) Yapılan çalış mal arda, mü mkün ol an en az sayı daki denkl e ml e, düşük boyutl u di na mi k bir model e ul aşıl mak istenirken, bu düşük boyutl u di na mi k modelin Navi er- 5

42 St okes modeli ni doğr u bir şekil de t e msil edebil mesi i çi n de yet erli sayı da esas fonksi yon i çer mesi gerekir. Böyl ece, pot ansi yel ol arak öne mli ol an bil gini n çoğunu içeren esas f onksi yonl ar kullanılarak düşük boyutlu modeller ol uşt urulabilir. Geçerli bir düşük boyutl u model, en azı ndan t asarı m Reynol ds sayısı nda Navier- St okes denkl e mi ni temsil edebilmeli dir Re=4 içi n geliģtirilen düģük boyutl u modeller Re=4 ta POD il e ol uşt urulan esas f onksi yonl arı n denkl e m (3. 4a) da kullanıl ması yla el de edilen düşük boyutl u modeller farklı sayı daki modl ar i çi n incelenmi ştir. Denkl e m ( 3. 4a) nı n li neer ol ma ması ve katsayı hesapl arı ndaki sayısal türev ve i ntegrasyonl ar yüzünden bu denkl e mi n katsayıları nda küçük sap mal arı n mü mkün ol ması, düşük boyutl u model sonuçl arı nın perfor mansı nı n düş mesine sebep ol abilir. Bu nedenl e, düşük boyutl u modeli n Navier- St okes denkl e mi ni en iyi şekil de temsil edebil mesi i çi n alı nması gerekli esas f onksi yonl arı n sayısı nın önceden belirlenmesi genellikle mü mkün değil dir. Dol ayısı yla uygun mod sayısı ancak dene me yanıl ma yönt e mi yl e bul unabilir. Bu sonuçlar i çi n, t asarı m şartları nda ( burada Re=4) en i yi model e karar ver mek ve her bir düşük boyutl u modeli n perfor mansı nı değerlendir mek i çi n, (3.4a)-denkl e mi Re=4 ta sabit t ut ul ur ve her bir denkl e m siste mi i çi n N=, 3, 4, 5, 6, 7 ve 8 de, açılı m katsayıları bul mak i çi n, dör düncü dereceden bir Runge- Kutta çözücüsü kullanılarak çözül ür. Denkl e m ( 3. 4a) esas alı narak hesapl anan farklı sayılardaki özdeğer f onsi yonl arla ol uşt urulan düşük boyutl u modelleri n açılım katsayıları Şekil 3. 3 de gösteril miştir. Bu düşük boyutl u model t ahmi nl eri, yeni den ol uşum ( yapılandır ma) f or mül ü ol an denkl e m ( 3. 3a) ile hesapl anan açılı m katsayıları yla karşılaştırılarak farklı sayı daki denkl e mden ol uşan her bir modeli n t asarı m şartı ndaki perfor mansı değerl endirilebilir. Tasarı m şartları nda - denkl e mli model i yi sonuç ver mezken, 3- denkl e mli model yapı ol arak tasarı m şartları nı yakala makt a, ancak açılı m katsayıları nı n genli ği daha büyük çı kmakt adır. Hal buki denkl e mden ol uşan modeller, he m yapı ( peri yod, T p, boyutsuz 43) ol arak he m de açılı m katsayılarını n şi ddetleri açısı ndan t asarı m şartları yla büyük bir benzerlik göster mekt edir (bkz Şekil 3. 5 ve 3. a). Bunun yanı sıra, bu modelleri n il k iki modu arası ndaki faz kay ması yeni den yapılandır mada ol duğu gi bi çeyrek periyott ur. Denkl e ml eri en az sayı da t ut mak i çi n, Re sayısı nı n 4 tan farklı değerleri i çin adi diferansi yel denkle m siste mi ni çözdüğü müz t asarı m dışı şartlarda, 4-denkl e mli model esas alı nmı ştır. Re sayısı nı n çeşitli değerleri i çi n 4-6

43 denkl e mli model t ah mi ni Şekil 3. 4 t e göst eril mi ştir. Re=5 ve 3 da çözü m za mandan bağı msı z ( dai mi) dır, Re=33 te ise dai mi çözü mden dai mi ol mayan çözü me geçiş safhası görül mekt edir. Re=7 de za mana bağlı peri yodi k çözü m el de edil mesi ne rağmen, za mana bağlı açılı m katsayıları nı n genli kleri, tasarı m şartı ndaki sonuçl ara göre daha yüksek bul unmuşt ur. Re=9 da ise, yi ne açılı m katsayıları nı n genli kleri t asarı m şartlarına ( POD sonuçl arı na) kı yasla art ması na rağmen, Navi er- St okes denkl e ml eri ni n çözü müne ( Re=9 daki yeni den ol uşum f or mülleri yle el de edilen açılı m katsayılarına) benzer şekil de kaotiğe yakı n sanki -peri yodik bir yapı yakal anmakt adır. Bu da genel ol arak baktı ğı mı zda düşük boyutl u modeli n, siste mi n temel di na mi k davranışını t e msil edebil di ği ni göster mekt edir. Şekil 3. 5 te ise tasarı m dışı şartlarda, Re=9 da el de edilen 4- denkl e mli düşük boyutl u modeli n faz pl anı nda açılı m katsayılarını n yör üngel eri gör ül mekt edir. Burada da gör üldüğü gi bi akış sanki-peri yodi ktir Re=9 içi n geliģtirilen düģük boyutl u modeller Re=9 i çi n ol uşt urulan esas f onksi yonl arı n kullanıldı ğı düşük boyutl u modeller, esas fonksi yonl arı n alı nan farklı sayıları i çi n i ncelenmi ştir. Re=4 tan farklı ol arak, tasarı m şartları nda, açılım katsayıları nda, kararlı/uygun salı nı ml ar el de et mek i çi n, mi nu mu m esas f onksi yon sayısı N=8 ol arak bulun muş ve N=8 ve i çin analizler yapıl mıştır. Tasarı m şartları nda, 8 ve - denkl e ml e el de edilen düşük boyutlu model tahmi nl eri sırası yla, Şekil 3. 6a ve 3. 6b de gösteril miştir. Gör ül düğü gibi her i ki model de birbiri ne göre yakı n sonuçl ar ver mekt e ve POD il e el de edilen sonuçl arla karşılaştırıldı ğı nda ( bkz Şekil 3. b) yapı ol arak büyük bir benzerlik göster mekt edir. Ancak açılı m katsayılarını n genli kleri düşük boyutl u modeller t arafı ndan daha büyük ol arak t ahmi n edil mekt edir. Bu dur um düşük boyutl u modelleri n genel bir özelli ği ol arak karşı mı za çı kmaktadır Frekans analizleri Düşük boyutl u model davranışı nı daha i yi analiz edebil mek i çi n spektrum analizleri yapıl mıştır. Açılı m katsayıları nı n frekans spektru m analizleri, -denkl emli model içi n yapıl mıştır. Şekil 3.7a da gör ül düğü gi bi, akış sanki-peri yodi k ol up t e mel i ki frekansı n değeri sırasıyl a f o =. 5 ve f =. 66 dır. Frekans yoğunl uğunun ol dukça fazla ol ması sanki-peri yodi k bir yapı nı n ol duğunu göster mekt edir. 7

44 Re=4 i çi n el de edilen POD sonuçl arı yla, t asarı m dışı şartlarda ( Re=9) oluşt urul an 4- denkl e mli düşük boyutlu modeli n spektrum analizi Şekil 3. 7b de göst eril miştir. Burada da sanki-peri yodik yapı söz konusu ol up, te mel i ki frekans değeri, f o =. 55 ve f =. 7 tir. Sonuç ol arak, düşük boyutl u modeller ile sayısal si mülasyonl arı n frekans analizleri nde doğr udan karşılaştır ma yapılama ması na rağmen (çünkü sayısal si mül asyonl arda hı zlar esas alı nırken, düşük boyutl u modellerde açılı m katsayıları esas alı nmakt adır), tasarı m ve t asarı m dışı şartlardaki düşük boyutl u modelleri n frekans analizleri ne bakıldı ğı nda, genel ol arak frekans yoğunl uğu ve t e mel frekans değerleri bakı mı ndan siste m davranışı nı i yi bir şekil de t e msil edebil di ği gör ül mekt edir. (bkz. Şekil 3. 5) POD sonuçl arı (zayıf sı nırl andı rıl mı Ģ i kiz-jet, S/ H=. 3) Özdeğerler (S/ H=. 3) POD i çi n gereken anlı k akış verileri, Re=4 ve Re=7 t e zayıf sı nırlandırıl mış j et geo metrisi Navi er-st okes denkl e mi ni n doğr udan sayısal si mül asyonuyl a el de edil miştir. Re=4 de, bir peri yot i çi n eşit za man aralı kları nda alı nmı ş yir mi anlı k veri ( M=), POD uygul a ması nda kullanıl mıştır. Re=7 te ise sanki -peri yodik bir akış yapısı söz konusu ol duğundan dol ayı daha sağlı klı sonuçl ar el de et mek i çi n anlı k veri sayısı kırk a ( M=4) çıkartıl mıştır. Nor malize edil miş en enerji k on özdeğer ve onl arı n çal kantı enerjisi ne olan t opl a mkat kıları Tabl o 3.. de veril miştir. Tabl o 3.. Hı z içi n nor malize edil miş en büyük on özdeğer ve onl arı n topla m çal kantı enerjisi ne olan kat kıları. (S/ H=. 3) Modes Normalize edilmiş özdeğerler Hız Re = 4 Re = 7 Normalize Toplam edilmiş enerji (%) özdeğerler Toplam enerji (%), ,53,378 3,78,43 95,56,974 45,7 3,437 97,963, ,48 4,348 99,3,86 73,767 5,375 99,686,5 78,969 6,9 99,878,44 8,983 7,54 99,93,43 85,45 8,34 99,966,96 87,5 9, 99,978,79 89,3, 99,988,358 9,588,336 97,53 8

45 Gör ül düğü gi bi Re=4 ve 7 i çi n hı zı n özdeğerleri çiftler hali ndedir ve her bir çifte ait özdeğerler yakl aşı k ol arak eşit büyükl ükt edirler. Re=4 ta, il k i ki mod akışı n topla m çal kantı ki neti k enerjisi ni n büyük bir kısmı nı ( %95. 5) yakal arken, Re sayısı 7 e çı karıldı ğı za man akış enerjisi ni n daha yüksek modl ara doğr u aşırı bir şekil de yayıl dı ğı, il k i ki modda topl a m akış enerjisi ni n sadece %45. 7 si ni, on mod sonunda ise ancak %9. 6 i ni yakalayabil di ği görül mekt edir. Re sayısı nı n artırıl ması yla enerjini n yüksek modlara doğr u yayıl ması ol ayı, akışı n karakt eri nde hi çbir değişme ol madı ğı za man t ekdüze/ monot on ol arak gerçekl eşir ve Reynol ds sayısı nı n artırılması yla akışta kararsızlık ol uş maz ve bifürkasyon meydana gel mez. Ancak, bi zi m pr obl e mi mi zde ol duğu gi bi Reynol ds sayısı 4 tan 7 e çı karıldı ğı nda bifürkasyon ol ayı meydana gel mekle birlikte büyük yayıl ma oranl arı gözl enmekt e ve enerjini n büyük mi kt arı ancak yüksek dereceli modl arla yakal anabil mekt edir. Bu dur um doğal ol arak Re=7 i çi n ol uşt urulan düşük boyutl u model de denkl e msayısı nın art ması na yol aç makt adır. Zayıf sı nırlandırıl mış iki z-jet akışı nda, enerji denkl e mi ekl enerek, Re=4 ve Pr =. 7 de ısıl jet akış proble mi ni n, doğr udan sayısal si mül asyonundan elde edilen sıcaklı k al anı i çi n POD esaslı deneysel özdeğer f onksi yonl ar yeni den ol uşt urul muşt ur. POD uygul a ması nda, i ki peri yot üzeri nde eşit aralıklarla alı nmı ş kırk anlı k veri ( M=4) alanı kullanıl mıştır. Sı caklık i çi n, nor malize edil mi ş en büyük on özdeğer mod ve onları n çal kantı enerjisine ol an t opl a m kat kıları Tabl o 3. 3 de veril miştir. Tabl o Sıcaklı k içi n nor malize edil miş en büyük on özdeğer ve onları n topl a m çal kantı enerjisi ne olan kat kıları. (S/ H=. 3) Modes Sıcaklık (Re=4 için) Normalize edilmiş özdeğerler Toplam enerji (%),499 4,99, ,56 3,5443 8,949 4,57 88,76 5,4447 9,6 6, ,967 7,996 97,963 8,974 98,937 9,4 99,78,33 99,4 9

46 Sı caklı k değişi mi ni n sözkonusu ol duğu dur um i çin, hı zlarda ol duğu gi bi, sı caklı ğı n özdeğerleri de çiftler hali nde ve bir çifte ait özdeğerler yakl aşı k ol arak eşit büyükl ükt edir. Hı z i çi n ilk i ki özdeğer mod t oplam çal kantı enerjisi ni n büyük bir kıs mı nı ol uşt ururken, sıcaklı k özdeğer modl arı nda çal kantı enerjisi di ğer modl ara doğr u daha fazla yayıl makt adır. Ancak hı z modları nda ol duğu gi bi, sıcaklığı n il k on modu t opl a menerjini n %99 undan fazlası nı içer mekt edir Deneysel özdeğer fonksi yonl ar (S/ H=. 3) Re=4 ve Re=7 i çi n deneysel özdeğer f onksi yonl ar sırası yla Şekil ve da gösteril miştir. Re=4 ta özdeğer f onksi yonl ar iki j eti n arası nda yoğunl aş mı ştır. Burada j etler birbirleri ile serbestçe et kileşirler. Zayıf sı nırlandır malı j et akışı nda, jetleri n birbirleri yle et kileş mesi, kararsızlık mekani z ması nı ol uşt ur makt a, yani dai mi akış yet eri nce büyük Re sayısı nda j etleri n birbirleri yle ol an et kileşi mi neticesi nde kararsız hal e gel mekt edir. Re sayısı Re=4 tan Re=7 e çı karıldı ğı nda çal kantı enerjisi kanal i çi nde akış doğr ult usunda daha geniş bir mesafeye yayıl makt a, bunun yanısıra akış di na mi kl erini t e msil eden esas fonksi yonl ar (t utarlı yapılar) akış böl gesi nde daha büyük bir alana yayıl makt adır. Re=4 da hı z ve sı caklık al anları içi n, Re=7 de ise yal nızca hı z al anı içi n t ekrar ol uşum f or mülleri ol an ( 3. 3a) ve ( 3. 3b) denkl e ml eri nden hesapl anan açılı m katsayıları ( Gal erki n met odu i çi n esas f onksi yonl arı n katsayıları) Şekil 3.. ve 3. de bir peri yod aralığı nda sırası yla gösteril miştir. Burada da açılı m katsayıları çiftler hali nde bul unmakta ve il k i ki açılı m katsayısı arası nda çeyrek periyotl uk bir faz kay ması meydana gel mekt edir. El de edilen bu sonuçl ar akışın di na mi k davranışı nı yansıttıklarından dol ayı t asarı m şartları nda düşük boyutl u Gal erki n modeli ni n perfor mansı nı değerlendir mek içi n kullanılırlar Navi er-stokes denkl e mi nden el de edilen düģ ük boyutl u model sonuçl arı, S/ H=. 3. (sabit sıcaklı kta) Re=4 içi n geliģtirilen düģük boyutl u modeller Bu böl ümde, Re=4 ta oluşt urulan deneysel özdeğer f onksi yonl arı n kullanıl ması yl a el de edilen düşük boyutlu modeller, farklı denkl e m sayıları i çi n Şekil 3. de gösteril miştir. Tasarı m şartları nda ( burada Re=4) en i yi model e karar vermek ve her bir düşük boyutl u modeli n perfor mansı nı değerlendir mek i çi n, (3. 4a) denkl e mi 3

47 Re=4 ta ayarlanmı ş ve N=4, 6, 8 i çi n dör düncü dereceden bir Runge- Kutta çözücüsü kull anıl arak adi diferansi yel denkl em si st e mi, za mana bağlı açılı m katsayıları nı bul mak i çin çözül müşt ür. Bu düşük boyutl u model t ahmi nleri, t ekrar yapılandır ma ( yeni den oluşum) f or mül ü ol an denkl e m( 3. 3a) ile hesapl anan açılı m katsayıları yla karşılaştırıldı ğı nda gerek genli k, gerekse frekans açısı ndan son derece uyu ml udur. Denkl e m sayısı nı en az sayı da t ut mak i çi n, Re sayısı nı n 4 tan farklı değerleri i çi n adi diferansi yel denkl e m siste mi ni çözdüğü müz t asarı m dışı şartlarda, 4- denkl e mli model seçilmi ştir Re=7 içi n geliģtirilen düģük boyutl u modeller Re =7 te ol uşt urulan esas f onksi yonl arı n kullanıldı ğı düşük boyutl u modeller, farklı esas f onksi yon sayıları i çin i ncelenmi ştir. Burada Re=4 tan farklı ol arak, kararlı bir salı nı m davranışı el de et mek i çi n, mi nu mu m esas f onksi yon sayısı N=6 ol arak bul unmuşt ur. Ancak düşük boyutl u modeli n perfor mansı nı n makul doğr ulukt a el de edilebil mesi i çi n, N8 alınmalı dır. 8-denkl e mden ol uşt urulan düşük boyutl u model tahmi nl eri Şekil 3. 3 te gösteril miştir. Za mana bağlı açılı m katsayıları nın frekans spektrum analizleri, 8-denkl e mli model i çi n yapıl mıştır. Sonuçl ar, akışın sankiperi yodi k ol duğunu göster mekt e ve Navi er- St okes denkl e ml eri ni n çözümüyl e el de edilen sanki-peri yodi k çözüml e uyuş makt adır. 8-denkl e mli düşük boyutl u model akış di na mi kl eri ni yapısal olarak t ahmi n et mekl e birlikte, sanki-peri yodi k çözü m i çi n temel i ki frekansı n değeri ni ve açılı m katsayıları nı n genli kleri ni n değeri ni yakal a mada yet ersiz kalmı ştır. Düşük boyutl u model de esas f onksi yonları n sayısı artırılarak ve/ veya uygun ort ogonal ayırı m ( POD) da anlı k verileri n sayısı artırılarak bu eksi kli k gi derilebilir Navi er-stokes ve enerji denkl e mi nden el de edilen düģük boyutl u model sonuçl arı (3. 4a) ve ( 3. 4b) denkl e ml eri dür düncü dereceden Runge- Kutta çözücüsü kullanılarak verilen başlangı ç şartları ndan i nt egre edilerek kol ayca bul unabilir. Bu şekil de el de edilen açılım katsayıları ile ( 3. 3a) ve ( 3. 3b) denkl e ml erinden POD kullanılarak el de edilen katsayılar ile karşılaştırılır. Daha önce açı klandı ğı gi bi, seri açılı mı nda alı nan esas fonksi yonl arı n sayısı, dina mi k modeli n doğr u bir şekil de tahmi n edil mesi nde son derece öne mli dir. (3. 4a) ve ( 3. 4b) denkl e ml eri, t asarı m şartları ( Re=4, Pr =. 7 ) i çi n ayarlanır ve N i le L ni n çeşitli değerleri içi n adi 3

48 diferansi yel denkl e m siste mi çözül ür. Hı z ve sıcaklı k i çi n belirlenen esas fonksi yonl arı n sayısı nı belirlerken ( N ve L), POD esaslı esas f onksi yonl arın yal nı zca enerji i çeri kleri ne di kkat et mek yanıltıcı ol abilir. Şekil 3. 4, t asarı m şartlarında farklı sayılarda alı nan esas f onksi yonl arla ol uşt urulan düşük boyutl u modellerle hesapl anan açılı m katsayıları nı n, yakl aşı k i ki peri yot i çi n za manl a değişi mi ni göst er mekt edir. (4+3)-denkl e mli ( N=4, L=3) düşük boyutl u model t ahmi nl eri, açılı m katsayıları ndaki teri ml eri n genli kleri ni en i yi yansıtan model dir. Şekil 3. 5 da, faz al anında açılı m katsayıları nı n yör üngel eri, (4+3)-denkl e mli model i çi n göst eril miştir. Üst üste çi zilen ilk i ki esas f onksi yonun katsayıları çok yakı n sonuçl ar ver mekt e, fakat daha yüksek modl arda düşük boyutl u modeli n açılı m katsayıları genli kleri ni n, doğr udan i zdüşü m (3. 4a) ve ( 3. 4b) denkl e mi yl e el de edilenlere oranl a daha yüksek ol duğu gör ül mekt edir. Bu farklılığı n, daha yüksek dereceden esas f onksi yonları n t ürev işle ml eri yle başlatılan olası hatalardan kaynakl andı ğı düşünül mekt edir. Tasarı m dışı ( Re 4) şartlarda pr obl e mi n di na mi k davranışı nı i ncele mek içi n ( 4+3)- denkl e mli düşük boyutl u model kullanıl mıştır. Ayrıca Pr. 7 i çi n siste min di na mi k davranışı nı i ncele mek mü mkündür, a ma Prandtl sayısı nı n çeşitli değerleri i çi n POD esaslı özdeğer f onksi yonl arı n güvenilirliği önceli kli ol arak kontrol edil mek zorundadır. Bu yüzden, bu pr obl e mde Pr =. 7 de sabit t ut ul up, çeşitli Re sayıları içi n analizler yapıl mıştır. Re sayısı nı n çeşitli değerleri i çi n ( 4+3)-denkl eml i düşük boyutl u model t ahmi nl eri Şekil 3. 6 da gösteril miştir. Navi er- St okes denkl e ml eri nden de görül düğü gi bi, akış pr obl emi sı caklı k pr obl e mi nden bağı msı z ol arak i ncelenmi ş ve ( 4+3)-denkl e mli model, eş za manlı ol arak i ntegre edil miştir. Başka bir ifadeyl e sı caklı k et kisi ni n ilave edilmesi akış pr obl e mi ni n sonuçl arı nı değiştir me mekt edir. Şekil. 6 de gör ül düğü gi bi Re= ve 5 i çi n çözü m za mandan bağı msı zdır. Bununl a birlikte Re=3 ve 5 i çi n za mana bağlı çözüml er el de edil miştir. Hopf bifürkasyonunun gör ül düğü kritik Re sayısı, 5 ile 3 arası nda bir değerdedir. Ancak t asarı m dışı şartlarda yüksek Reynol ds sayıları i çin ( ör neği n Re=7), (4+3)-denkl e mli model, siste m di na mi kl erini yakal a mada yet ersiz kal mı ştır. Başka bir değişle, tasarım dı şı şartlarda Re sayısı çok fazl a yükseltildi ği nde, ( 4+3)- denkl e mden ol uşan düşük boyutl u model, sistemi n di na mi k davranışlarını t e msil ede me mekt edir. Öt e yandan denkl e m sayısı artırıldı ğı nda siste mi n di na mi k davranışları nı yakal a mak mü mkün ol abil mekt edir. Ör neği n, t asarı m dışı şartlarda (burada Re=7), ( 8+8)-denkl e mli düşük boyutlu modeli n açılı m katsayıları nı n 3

49 za mana bağlı değişi ml eri, faz yör üngel eri ve frekans spektrum analizleri Şekil 3. 7 de gösteril miştir. Gör ül düğü gi bi çözü m sanki-peri yodi ktir ve ( 8+8)-denkl e mli model, t asarı m dışı şartlarda siste m davranışlarını doğr u ol arak t e msil et mekt edir. Düşük boyutl u model kontrol uygul a mal arı nda kullanıl madan önce, alınan esas fonksi yonl arı n sayısı artırılarak modeli n uygul a ma alanı belirlenmeli dir Kuvvetli ve zayıf sı nı rl andı r ma durumları nı n POD ve düģ ük boyutl u modeller açısı ndan karģılaģtırıl ması Re=4 ta, S/ H=. 7 ve. 3 i çi n el de edilen özdeğerlere bakıl dı ğı nda her i ki dur um içi nde özdeğerler çiftler hali nde ol makl a birlikte, kuvvetli sı nırlandır mada enerji düşük dereceli modl arda ( çok az da olsa) daha fazla t opl anmakt adır. Bu da akışı n daha kararlı ol duğunun bir göstergesi dir. Buna ilaveten enerjinin modl ara yayılışındaki bu değişim çok az ve aşa malı bir şekil de gerçekl eştiğinden akış yapısı nda çat allanma meydana gel me mi ştir. Her iki dur um i çi n bakıl dı ğı nda kuvvetli sı nırlandır mada özdeğer f onksi yonl arı n akış böl gesi nde daha fazla yayıl dı kları gör ül mekt edir. Dol ayısı yla kararsızlık mekani z ması, kuvvetli sı nırlandırmada duvar ile j et et kileşi mi ol urken, zayıf sı nırlandır mada iki j eti n birbiri yle ol an etkileş mesi ol arak açı klanabilir. Bunun yanısıra zayıf ve kuvvetli sı nırlandır mada birbiri ne karşılık gel en modl arı n özdeğer f onksi yonl arı arası ndaki yapısal benzerlik di kkat çeki ci dir. Zayıf ve kuvvetli sı nırlandır ma dur uml arı i çi n Re=4 da oluşt urul an sayısal si mül asyonl arı n POD si ile el de edilen düşük boyutl u modeli n t asarı m dı şı şartlarda yaptı ğı t ahmi nlere baktı ğı mı zda, kuvvetli sı nırlandır ma dur umunda Hopf bifürkasyonunun daha yüksek kritik Re sayısı nda gerçekl eştiği gör ül mekt edir. Bu sonuçl ar literat ürde ( Soong ve Tzeng, 998) elde edilen sonuçl arla büyük öl çüde uyuş makt adır. 33

50 3. 4. Genel Sonuçl ar Sayısal si mül asyon sonuçl arı Yanal duvarları n sı nırlandır ma et kisi ne göre j et akışı kuvvetli ve zayıf sı nırlandırıl mış akışlar olarak sı nıflandırılabilir. Zayıf sı nırlandır ma dur umunda akış kararsızlık mekani z ması ol arak i ki j eti n birbiri yle et kileş mesi baskı n r ol oyna makl a birlikte, özellikle j etlerin akış doğr ult usuna di k yöndeki serbestliği kuvvetli sı nırlandır maya oranl a daha yüksektir. Zayıf sı nırlandır ma dur umunda, daimi hal söz konusu olsa da, akış asi metri k ol ma eğili mi ndedir ve çokl u çözü ml er mevcutt ur. Kuvvetli sı nırlandır ma dur umunda, akış kararsızlığı nda duvar ile j etleri n et kileşi mi baskı n ol up, j et akışı nı n salı nı m hareketi kanal a di k yöndedir ve akış kararsızlı ğı et kili bir şekil de sönü ml enir/ bastırılır. Bu kararlılaştır ma et kisi yle peri yodik ol mayan salı nı ml ar ve kaoti k davranışlar geci ktirilebilir. Dol ayısı yla Hopf bifürkasyonu daha yüksek kritik Reynol ds sayıları nda gerçekl eşir. Aynı za manda her bir Re i çi n t ek bir çözü m vardır ve dai mi akışta çözümsi metri ktir. Bu pr obl e m i çi n i kiz-jet akışı nı n di na mi k davranışı nda kaosa gi diş aşa maları, dai mi si metri k, dai mi asi metrik ( yal nızca zayıf sı nırlandır ma dur umunda), peri yodi k, yüksek har moni klerle peri yodi k, sanki-peri yodi k ve kaoti k dur um şekli nde sıralanabilir. Bu çalış mada kaosa geçiş aşa maları peri yop katlanmal arıyl a değil, sanki-peri yodi kli kle ol makt adır. Yapılan bu araştır mal ar, ikiz j et akışı nda dai mi reji mden za mana bağlı reji me geçiş aşa mal arı nı n ve kararlılık mekani z mal arı nı n anlaşıl ması açısı ndan ol dukça öne m taşı makt adır DüĢük boyutl u model sonuçl arı Çok az sayı da POD esaslı deneysel özdeğer f onksiyon kullanılarak, t asarı m şartları na yakı n ve Re sayısı nı n düşük değerleri nde, sistemi n di na mi k davranışı nı yet eri nce temsil eden düşük boyutl u modeller el de et mek mü mkündür. Re sayısı nı n daha yüksek değerleri içi n, genel ol arak di na mi k siste m davranışları kar maşık bir hal e gelir. Daha t ut arlı di na mi k siste m davranışları el de edebil mek i çi n, seri açılı ml arı nda alı nan esas f onsi yonl arın sayıları nı n artırıl ması gerekir. Ama bu artış sıradan esas fonksi yonl arla (örneği n, trigono metri k poli noml ar) karşılaştırılamayacak kadar azdır. 34

51 Sonuçl ar göster mi ştir ki, düşük boyutl u modellerle el de edilen açılı m katsayıları nı n genli kleri, doğr udan çözü ml e el de edilenl ere kı yasla daha büyük ol abil mekt e, buna karşı n akışı n di na mi k yapısı doğr u ol arak belirlenebil mekt edir. Kararlı yapılarda düşük boyutl u modeli n perfor mansı art makt adır. Ör neği n j et akışı nda kuvvetli sı nırlanmı ş geometri, zayıf sı nırlanmı ş geo metriye göre daha kararlı olduğundan, türbül ansa geçiş ol ayı Reynol ds sayısı nı n daha yüksek değerleri nde gerçekl eşir. Dol ayısı yla kuvvetli sı nırlandırıl mış j etler i çi n geliştirilen düşük boyutl u modelleri n geçerlilik alanı n daha fazla ol duğu saptanmı ştır. 35

52 .4E-.34E-.6E-.9E-.E-.4E- Re = 9.64E- 8.88E- 8.3E- 7.38E- 6.6E-.44E- 5.87E-.36E- 5.E-.8E- 4.36E-.E- 3.6E-.3E-.86E-.5E-.E- 9.7E-.35E- 8.94E- 5.99E-3 8.6E- -.54E E- 6.6E- Y.45E- 5.84E- Z X.37E- 5.6E-.9E- 4.9E-.E- 3.5E-.3E-.74E-.5E-.97E- 9.76E-.9E- 8.97E- 4.E-3 8.8E E E- Y 6.6E- Z 5.8E- X 5.3E- 4.4E- 3.45E- Re = Stream Function (M/S) Lmax =.45E- Lmin = -.537E-3 Time = 3.887E+ Re = 3 Stream Function (M/S) Lmax =.435E- Lmin = E-3 Time = 7.843E+ Apr 5 Fluent 4.5 Fluent Inc. Apr 5 Fluent 4.5 Fluent Inc..66E-.88E-.9E-.99E-3 Şekil 3. 3a. Reynol ds sayısı nı n çeşitli değerleri nde, doğrudan sayısal si mül asyonl a el de edilen akı mçizgileri. (S/ H=. 7) -4.89E-3 Y Z X Stream Function (M/S) Lmax =.449E- Lmin = E-3 Time =.35E+3 Apr 5 Fluent 4.5 Fluent Inc. 36

53 .59E-.5E-.4E-.3E-.3E-.4E-.5E- 9.6E- 8.7E- 7.8E- 6.9E-.58E- 6.E-.49E- 5.E-.4E- 4.E-.3E- 3.3E-.3E-.39E-.5E-.49E-.6E- 5.89E-3 9.7E- -3.4E E- -.E- 7.97E- 7.E-.54E- Y 6.3E-.45E- Z X 5.36E-.36E- 4.49E-.7E- 3.6E-.8E-.74E-.9E-.87E- 9.98E-.E- 9.8E-.3E-3 8.9E- -7.4E-3 7.9E- 6.39E-.46E- Y 5.49E-.37E- Z X 4.59E-.8E- 3.69E-.E-.79E-.E-.89E-.E- 9.94E E- 9.5E E- -8.4E E- -.7E- 6.7E- 5.85E-.53E- Y 4.97E-.44E- Z X 4.E-.35E- 3.3E-.6E-.36E-.8E-.48E-.9E- 6.9E E- -.64E-3 9.E- -.4E- 8.3E- -.E- 7.35E- 6.47E- Y 5.59E- Z X 4.7E- 3.8E-.94E- Stream Function (M/S) Lmax =.594E- Lmin = -.8E- Time = 8.44E+ Stream Function (M/S) Lmax =.58E- Lmin = -7.49E-3 Time = 8.64E+ Stream Function (M/S) Lmax =.538E- Lmin = -.73E- Time = 8.84E+ Stream Function (M/S) Lmax =.458E- Lmin = -.E- Time = 8.4E+ Apr 7 Fluent 4.5 Fluent Inc. Apr 7 Fluent 4.5 Fluent Inc. Apr 7 Fluent 4.5 Fluent Inc. Apr 7 Fluent 4.5 Fluent Inc. τ = τ = T/ 4 τ = T/ 4 τ = 3T/ 4 τ = T.6E-.8E- 3.E E-3 Fi gure 3. 3b. Re=4 ta bir peri yod içi n eşit za man aralı kları nda alınmı ş akım çi zgileri. (S/ H=. 7) -.46E- Y Z X Stream Function (M/S) Lmax =.58E- Lmin = -.46E- Time = 8.4E+ Apr 7 Fluent 4.5 Fluent Inc. 37

54 .8E-.94E-.79E-.65E-.5E-.36E-.E-.7E-.9E- 9.6E-.77E- 7.8E-.63E- 6.37E-.49E- 4.93E-.34E- 3.48E-.E-.4E-.6E- 5.99E-3 9.E-.74E E E-.6E- -.9E- 6.37E-.46E E- 4.96E-.3E- -5.7E- 3.55E-.8E- -6.6E-.3E-.4E- 7.E-3 Y 8.98E- -6.9E E- Z X.3E- -.E- 6.7E-.88E- -3.5E- 4.76E-.73E E- 3.35E-.58E E-.95E-.43E E- 5.39E-3.8E E-3 Y.3E- -.8E- 9.75E- Z X.8E E- 8.4E-.93E- -5.9E- 6.73E-.79E- -6.5E- 5.E-.64E- -7.9E- 3.7E-.49E- -9.3E-.E-.35E- 6.97E-3 Y.E- -8.E-3.5E- Z X -.3E- 9.8E E- 7.6E E- 6.5E E- 4.68E E- 3.E-.75E- Y.8E-3 Z X -.9E- -.65E- -4.E- Stream Function (M/S) Lmax =.8E- Lmin = -6.65E- Time = 8.438E+ Stream Function (M/S) Lmax =.99E- Lmin = E- Time = 8.58E+ Stream Function (M/S) Lmax =.743E- Lmin = -9.34E- Time = 8.73E+ Stream Function (M/S) Dec Fluent 4.5 Fluent Inc. Dec Fluent 4.5 Fluent Inc. Dec Fluent 4.5 Fluent Inc. τ = τ = T/ 4 τ = T/ τ = 3T/ 4 τ = T Şekil 3. 3c. Re=7 te bir peri yod içi n eşit za man aralıkları nda alınmı Fluent ş akı Inc. m çizgileri. (S/ H=. 7) Lmax =.3E- Lmin = -8.35E- Time = 8.866E+ Dec Fluent E- -7.5E- Y Dec Z X Stream Function (M/S) Fluent 4.5 Lmax =.8E- Lmin = -7.5E- Time = 8.98E+ Fluent Inc. 38

55 .34E-.8E-.E-.86E-.7E-.55E-.39E-.3E-.9E-.7E-.75E- 9.6E-.59E- 7.58E-.44E- 6.E-.8E- 4.4E-.3E-.85E- 9.76E-.7E- 8.E-.9E- -3.E E-.3E- -.89E- 5.3E-.96E E- 3.59E-.8E- -5.5E-.5E-.64E E- 5.5E-3.47E- -.4E-.3E- Y -.58E-.39E-.5E- Z X -4.E-.4E- 9.8E E-.9E- 8.9E- -7.E-.93E- 6.55E E-.78E- 4.9E- -.3E- 3.8E-.63E-.65E-.48E- Y.63E-4.33E-.4E- Z X -.6E-.8E-.88E- -3.5E-.3E-.7E E- 8.74E-.56E- -6.5E- 7.3E-.4E- -8.5E- 5.7E-.4E- 4.E-.9E- Y.68E- 9.7E- Z X.7E- 7.68E E-3 6.E- -.86E- 4.5E E-.93E E-.34E- Stream Function (M/S) Lmax =.337E- Lmin = -6.66E- Time = 7.6E+ Stream Function (M/S) Lmax =.9E- Lmin = -.9E- Time = 7.3E+ Stream Function (M/S) Lmax =.89E- Lmin = -8.54E- Time = 7.48E+ Dec 9 Fluent 4.5 Fluent Inc. Dec 9 Fluent 4.5 Fluent Inc. Dec 9 Fluent 4.5 Fluent Inc. -.45E-3 Y -.83E- Z X -3.4E- -5.E- Stream Function (M/S) Şekil 3. 3d. Re=9 da eşit za man aralı kları nda alınmı ş akı mçizgileri. Fluent (S/ Inc. H=. 7) Lmax =.388E- Lmin = E- Time = 7.64E+ Dec 9 Fluent E- -8.7E E- Y Dec 9 Z X Stream Function (M/S) Fluent 4.5 Lmax =.37E- Lmin = E- Time = 7.8E+ Fluent Inc. 39

56 u ( m/ s) v ( m/ s) u ( m/ s) v ( m/ s) u ( m/ s) v ( m/ s) -.E- 3.E- T=[sn] -.8E-.8E- -.6E- 6.E- -3.4E- -6.E- -4.E- -.8E- -5.E- 6.E+ 6.4E+ POST FILE: a4.his Time-History U-Velocity (M/S) ( 46, 4) Vs. Time 6.8E+ TIME t (s) 7.E+ 7.6E+ -3.E- 8.E+ 6.E+ 6.4E+ Nov 5 POST FILE: a4.his a) Re=4 Fluent 4.5 Time-History Fluent Inc. V-Velocity (M/S) ( 46, 4) Vs. Time 6.8E+ TIME t (s) 7.E+ 7.6E+ 8.E+ Nov 5 Fluent 4.5 Fluent Inc. 3.E-.E+ T=6. 8[sn].E- 7.E-.E-.4E-.E- -.4E- -.E- -7.E- -.E-.E+.8E+.56E+.84E+ TIME t (s) 3.E+ 3.4E+ -.E+.E+.8E+.56E+.84E+ TIME t (s) 3.E+ 3.4E+ b) Re=7 4.E-.E+.6E- 6.E- -8.E-.E- -3.E- -.E- -5.6E- -6.E- -8.E-.E+3.4E+3 POST FILE: c9.his Time-History U-Velocity (M/S) ( 46, 4) Vs. Time.8E+3.3E+3 TIME t (s).36e+3 -.E+.4E+3.E+3.4E+3 Nov 5 POST FILE: c9.his Fluent 4.5 Time-History c) Re=9 Fluent Inc. V-Velocity (M/S) ( 46, 4) Vs. Time.8E+3.3E+3 TIME t (s).36e+3.4e+3 Nov 5 Fluent 4.5 Fluent Inc. Şekil Farklı Reynol ds sayıları nda içi n Navi er-st okes modeli yle el de edilen sayısal si mül asyonl arda, ( X=5. 4, Y=) nokt ası için alı nmı ş u, v hızları nı n za mana göre değişi mi. (S/ H=. 7) 4

57 5f -5f 5f -4f f -9f 5f -3f f -8f Genlik, u f -f 5f -3f f +f f -7f 5f -f 5f -f f Genlik, v f f Genlik, u Genlik, v Genlik, u Genlik, v f =.4 o Boyutsuz frekans, f a) Re= f =.7 o Boyutsuz frekans, f f =.4 o Boyutsuz frekans f =.3 o Boyutsuz frekans b) Re= f =.5 f = f =.5 o Boyutsuz frekans Boyutsuz frekans c) Re=9 Şekil Farklı Reynol ds sayıları içi n el de edilen sayısal si mül asyonl arı n ( X=5. 4, Y=) nokt ası ndaki spektrumanalizleri. (S/ H=. 7) 4

58 Re= (dai mi) 8.4E- 7.69E- 7.34E- 6.99E- 6.65E- 6.3E- 5.95E- 5.6E- 5.5E- 4.9E- 4.56E- 4.E- 3.86E- 3.5E- 3.6E- 9.3E- 8.9E-.8E-.47E- 8.53E-.E- 8.4E- 7.74E-.77E-.4E- 7.35E-.7E- 6.96E- 6.56E- 7.4E E-3 6.7E- 5.78E-.75E-4-3.E E E E- -.E- 4.6E- -.37E- 4.E- -.7E- 3.8E- -.6E-.E- 3.4E- 9.77E- 3.E- Y.63E- 9.33E- 8.88E-.3E- Z X 8.43E-.84E-.45E- 7.98E- 7.53E-.5E- 7.9E- 6.59E E-.65E-3 6.9E- -.8E E- -5.E-3 5.3E- -9.6E E- -.3E- 4.4E- -.7E- 3.95E- -.E- 3.5E- Y 3.6E-.6E- Z X.6E-.7E-.7E- 8.8E-3 3.7E E-4-5.5E E-3 -.4E- -.87E- -.3E- -.76E- Re= (dai mi-si metri k) Re= (dai mi-asi metri k) Nov 3 Stream Function (M/S) Fluent 4.5 Lmax = 8.4E- Lmin = -.63E- Time =.5E+ Fluent Inc. Re=3 (peri yodi k) Nov 3 Stream Function (M/S) Fluent 4.5 Lmax = 9.39E- Lmin = -.96E- Time = 6.49E+ Fluent Inc. Şekil Reynol ds sayısını n çeşitli değerleri içi n akı mçizgileri. (S/ H=. 3) Y Z X Stream Function (M/S) Lmax =.E- Lmin = -.764E- Time = 3.5E+ Nov 3 Fluent 4.5 Fluent Inc. 4

59 9.43E- 8.89E- 8.35E- 7.8E- 7.7E- 6.73E- 6.9E- 5.65E- 5.E- 4.57E-.E- 4.3E- 9.5E- 3.49E- 8.99E-.95E- 8.47E-.4E- 7.94E-.88E- 7.4E-.34E- 6.89E- 7.96E E-.57E E- 5.3E- -.8E E- 4.8E- -8.E E- 4.7E- -.36E- 7.89E- 3.75E- -.9E- 7.4E- 3.3E- -.44E- 6.93E-.7E- -.98E- 6.45E-.8E- -3.5E- 5.98E-.65E- -4.6E- 5.5E-.3E- -4.6E- 5.E- -5.4E- 6.7E E E- 8.8E-4-4.4E E- 4.7E E-3 8.6E- 3.59E- Y -.49E- 7.76E- 3.E- -.E- 7.6E-.63E- Z X -.54E- 6.76E-.5E- -3.6E- 6.5E-.68E E- 5.75E-.E- -4.E- 5.5E- 7.E E- 4.75E-.45E E-3-5.6E- 4.4E- -7.E E- -.9E- 3.4E- Y -.67E-.74E- Z X -.4E-.3E- -.6E-.73E- -3.E-.3E- 3.E E- 7.7E-3.99E+ -4.5E-.5E-3.98E+ -.78E E-.97E+ -7.8E-3-5.E-.96E+ -.8E-.95E+ -.79E- Y.94E+ -.9E-.93E+ Z X -.79E-.93E+ -3.9E-.9E+ -3.8E-.9E+ 3.E+ -4.3E-.9E+.99E+ -4.8E-.89E+.98E+ -5.3E-.88E+.97E+ -5.8E-.87E+.96E+.86E+.95E+ Y.85E+.94E+.84E+.93E+ Z X.93E+.83E+.9E+.8E+.9E+.8E+ 3.E+.9E+.8E+.99E+.89E+.8E+.98E+.88E+.79E+.97E+.87E+.78E+.96E+.86E+.77E+.95E+.85E+.76E+.94E+.75E+.84E+.93E+.74E+.83E+.93E+.73E+.8E+.9E+.8E+ 3.E+.9E+.8E+ Y.99E+.9E+.8E+.98E+.89E+.79E+ Z X.97E+.88E+.78E+.96E+.87E+.77E+.95E+.86E+.76E+.94E+.85E+.75E+.93E+.84E+.74E+.93E+.83E+.73E+.9E+.8E+.9E+.8E+.8E+ Y.9E+.89E+.8E+.79E+ Z X.88E+.87E+.78E+.86E+.77E+.85E+.76E+.84E+.75E+.83E+.74E+.73E+.8E+.8E+ Y.8E+.8E+ Z X.79E+.78E+.77E+.76E+.75E+.74E+.73E+ Stream Function (M/S) Lmax = 9.966E- Lmin = E- Time = 4.655E+ Stream Function (M/S) Lmax =.4E- Lmin = -5.56E- Time = 4.66E+ Şekil 3. 7a. Re=4 ta, bir peri yot içi n eşit aralıklarla alınmı ş akı mçizgileri. (S/ H=. 3) Stream Function (M/S) Lmax = 8.84E- Lmin = -5.9E- Time = 4.668E+ Stream Function (M/S) Lmax = 8.767E- Lmin = -5.85E- Time = 4.675E+ Temperature (K) Lmax = 3.E+ Lmin =.73E+ Time = 4.655E+ Temperature (K) Lmax = 3.E+ Lmin =.73E+ Time = 4.66E+ Şekil 3. 7b. Re=4 ta, bir peryot içi n eşit aralıklarla alınmı ş eş Nov sıcaklı 5 k eğrileri. Temperature (K) Fluent 4.5 (S/ H=. 3) Lmax = 3.E+ Lmin =.73E+ Time = 4.668E+ 43 Nov 5 Fluent 4.5 Fluent Inc. Nov 5 Fluent 4.5 Fluent Inc. Nov 5 Fluent 4.5 Fluent Inc. Nov 5 Fluent 4.5 Fluent Inc. Nov 5 Fluent 4.5 Fluent Inc. Nov 5 Fluent 4.5 Fluent Inc. Fluent Inc. Y Z X Nov 5 Temperature (K) Fluent 4.5

60 9.4E- 8.86E- 8.3E- 7.75E- 7.9E- 6.64E- 6.8E- 5.53E- 4.97E- 4.4E- 3.86E- 3.3E-.74E-.4E-.9E-.8E-.63E-.E-.8E- 9.6E- 5.E-3 9.E E-4 8.4E- -5.9E E- -.5E- 7.4E- -.7E- 6.64E- -.6E- 6.5E- -.8E- 5.46E E- 4.87E E- 4.8E E-.E- 3.69E- -5.4E- 9.48E- 3.E- -5.6E- 8.9E-.5E- -6.5E- 8.33E-.9E- -6.7E- 7.75E-.3E- 7.7E- 7.9E-3 6.6E- Y.37E-3 6.E E E- Z X -.5E- 4.87E- -.64E- 4.9E- -.3E- 3.7E- -.8E-.E- 3.3E- -3.4E- 9.5E-.56E- -4.E- 8.94E-.98E- -4.6E- 8.37E-.4E- -5.9E- 7.79E- 8.7E E- 7.E-.5E E- -3.7E-3 Y 6.8E- -9.4E-3 5.5E- -.48E- Z X 4.93E- -.6E- 4.36E- -.63E- 3.79E- -3.E- 3.E E-.65E E-.7E E-.5E- -5.5E- 9.3E-3-6.E- 3.58E E- -.4E-3 Y -7.86E E- Z X -.93E- -.5E- -3.7E E- -4.E E E E- -6.5E- Nov 5 Stream Function (M/S) Fluent 4.5 Lmax = 9.47E- Lmin = -6.78E- Time = 5.74E+ Fluent Inc. Nov 5 Stream Function (M/S) Fluent 4.5 Lmax =.38E- Lmin = E- Time = 5.76E+ Fluent Inc. Nov 5 Stream Function (M/S) Fluent 4.5 Lmax =.6E- Lmin = E- Time = 5.73E+ Fluent Inc. Şekil Re=7 te, bir peri yot içi n eşit aralıklarla alınmı ş akı mçizgileri. (S/ H=. 3) Y Z X Stream Function (M/S) Lmax =.8E- Lmin = -6.56E- Time = 5.738E+ Nov 5 Fluent 4.5 Fluent Inc. 44

61 u( m/ s) v( m/ s) T ( K) u( m/ s) v( m/ s).e- 7.5E- T=. 67[sn] 4.9E-.E-.3E- -.E- -3.E- -.9E- -4.E- 3.E+ 3.6E+ POST FILE: c.his Time-History U-Velocity (M/S) ( 87, 6) Vs. Time 3.E+ t(s) TIME.99E+ 3.8E+ 3.4E+ -5.5E- 3.3E+ 3.E+ 3.6E+ Oct POST FILE: c.his Fluent 4.5 Time-History Fluent Inc. V-Velocity (M/S) ( 87, 6) Vs. Time 3.E+ TIME t(s) 3.8E+ 3.4E+ 3.3E+ Dec 7 Fluent 4.5 Fluent Inc..988E+.986E+.984E+.98E+.98E+.978E+ 3.E+ 3.6E+ POST FILE: c.his Time-History Temperature (K) ( 87, 6) Vs. Time 3.E+ TIME t(s) 3.8E+ a) Re=4 3.4E+ 3.3E+ Oct Fluent 4.5 Fluent Inc. 4.E-.E+.E- 5.E-.E-.E- -.E- -5.E- -4.E- 5.7E E+ POST FILE: a5.his Time-History U-Velocity (M/S) ( 87, 6) Vs. Time 5.85E+ TIME t(s) 5.95E+ -.E+ 6.E+ 5.7E E+ Oct POST FILE: a5.his b) Re=7 Fluent 4.5 Time-History Fluent Inc. V-Velocity (M/S) ( 87, 6) Vs. Time 5.85E+ TIME t(s) 5.95E+ 6.E+ Oct Fluent 4.5 Fluent Inc. Şekil Farklı Reynol ds sayıları içi n Navi er-st okes modeli yle el de edilen si mül asyonl arda, ( X=6. 3, Y=) nokt ası içi n alınmı ş u, v hızları nı n ve T sıcaklı ğı nı n za mana göre değişi mi. (S/ H=. 3) 45

62 Ge nli k, u Amplitude Genlik, t Genlik, u Genlik, v.6 f =.68 o f =.34 o Boyutsuz frekans Boyutsuz frekans.6 f =.68 o Boyutsuz frekans a) Re=4 Re = f - f 5f - 4f f f f =. 49 Re = 7 f =. 68 f 3f - f 3f 4f - f 4f 5f Dimensionless Frequency Dimensionless Frequency Boyutsuz frekans b) Re=7 Şekil 3.. Re=4 ve 7 içi n el de edilen sayısal simül asyonl arı n ( X=5. 4, Y=) nokt ası ndaki spektrumanalizleri.(s/h=. 3) 46

63 Şekil 3. a. Re=4 içi n en enerjik altı özdeğer fonksi yon. (S/ H=. 7) 47

64 (D) Dec (D) Dec (D) Dec 3 (D) Dec Şekil 3. b. Re=7 içi n en enerjik altı özdeğer fonksi yon. (S/ H=. 7) 48

65 Fi gure 3. c. Re=9 içi n en enerjik altı özdeğer fonksi yon.(s/ H=. 7) 49

66 Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları 4 - a a Re=4 a 3 4 a a a 4 a 3 Re=7 a Anlı k veri sayısı ( M) Anlı k veri sayısı ( M) Şekil 3. a. Re=4 ve 7 te yeni den ol uşun for mülüyle hesapl anan açılı m katsayıları.(s/ H=. 7) a a a a Number Number of snapshots, of snapshots, M M Anlı k veri sayısı ( M) Number Number of snapshots, of snapshots, M M Anlı k veri sayısı ( M) a 3 a 3 a 4 a Number Number of snapshots, of snapshots, M M Anlı k veri sayısı ( M) Number Number of snapshots, of snapshots, M M Anlı k veri sayısı ( M) a 5 a 5 a 6 a Number Number of snapshots, of snapshots, M M Anlı k veri sayısı ( M) Number Number of snapshots, of snapshots, M M Anlı k veri sayısı ( M) Şekil 3. b. Re=9 da yeni den ol uşun for mül üyl e hesapl anan açılı mkatsayıları. (S/ H=. 7) 5

67 - denkl e mli model 3- denkl e mli model Açılı m kat sayıl arı Açılı m kat sayıl arı Expansion coefficients Expansion coefficients Expansion coefficients 5 5 Expansion coefficients Dimensionless Dimensionless timetime Dimensionless time Dimensionless Boyut suz time za m an Boyut suz za man 5- denkl e mli model Expansion coefficients 4 3 sayıl arı m katcoefficients Açılı Expansion 4 sayıl arı m katcoefficients Açılı Expansion Expansion coefficients 6- denkl e mli model Dimensionless Dimensionless timetime Dimensionless Dimensionless timetime Boyut suz za man Boyut suz za man 8- denkl e mli model Dimensionless timetime Dimensionless Boyut suz za man Expansion coefficients 4 sayıl arı m katcoefficients Açılı Expansion 4 sayıl arı m katcoefficients Açılı Expansion Expansion coefficients 7- denkl e mli model Dimensionless timetime Dimensionless Boyut suz za man Şekil Re=4 i çi n tasarı mşartları nda farklı sayı da denkl e ml e ol uşt ur ulan düşük boyutl u modell eri n açılım kat sayıl arı nı n za mana göre deği şi ml eri. (S/ H=. 7) 5

68 Açılı m kat sayıl arı Açılı m kat sayıl arı Boyut suz za man Re =3 3 3 Açılı m kat sayıl arı Açılı m kat sayıl arı Boyut suz za man Re = Boyut suz za man Re =33 Açılı m kat sayıl arı Açılı m kat sayıl arı Boyut suz za man Re = Boyut suz za man Re =6 4 Açılı m kat sayıl arı Açılı m kat sayıl arı Re =35 4 Boyut suz za man Boyut suz za man Re = Boyut suz za man Re =9 Şekil Re=4 t a, 4-denkl e mden ol uşan düşük boyutl u modeli n t asarı mdı şı şartl ardaki di na mi k davranı şı. (S/ H=. 7) 5

69 a a a a a 3 a a a 3 Şekil Re=4 ta 4-denkl e mden ol uşan düşük boyutl u modeli n tasarı mdışı şartlardaki ( Re=9) açılım katsayıları nı n faz planındaki yörüngel eri. ( S/ H=. 7) 53

70 a a Boyut suz za man a3 a Boyut suz za man a5 a Boyut suz za man 5-5 Boyut suz za man Boyut suz za man Boyut suz za man Şekil 3. 6a. Re=9 da, tasarı mşartları nda 8- denkl e mli düşük boyutl u modeli n açılı m kat sayıl arı nı n za manl a deği şi mi. ( S/ H=. 7) 54

71 a a Boyut suz za man Boyut suz za man a3 a Boyut suz za man Boyut suz za man a5 a Boyut suz za man Boyut suz za man Şekil 3. 6b. Re=9 da, tasarı mşartları nda - denkle mli düşük boyutl u modeli n açılı m kat sayıl arı nı n za manl a deği şi mi. ( S/ H=. 7) 55

72 ..8 f o f a.. a a f o=.5 f =,66..8 f =.66 o Boyutsuz frekans Boyutsuz frekans f =,54 o.8.8 f =, o a 3.6 a Boyutsuz frekans Boyutsuz frekans Şekil 3. 7a. Re=9 da -denkl e ml e ol uşt urulan düşük boyutl u modeli n tasarı m şartlarda ( Re=9 da) el de edil miş açılı mkatsayıları nı n spektrumanalizleri. (S/ H=. 7).6 f =.69 o.6 f =.69 o.. a Boyutsuz frekans Boyutsuz frekans.6.6 a 3..8 f =,55 o f =.7 a 4..8 f =.55 o Boyutsuz frekans Boyutsuz frekans Şekil 3. 7b. Re=4 da 4-denkl e ml e ol uşt urulan düşük boyutl u modeli n tasarı mdışı şartlarda ( Re=9 da) el de edil miş açılı mkatsayılarını n spektrumanalizleri. (S/ H=. 7) 56

73 a) b) Şekil Re=4 da, en enerjik sekiz özdeğer fonksi yon a) Hı z alanı, b) Sıcaklı k alanı. (S/ H=. 3) 57

74 (D) Nov (D) Nov 6 (D) Nov (D) Nov 7 (D) Nov (D) Nov 3 8 (D) Nov (D) Nov Şekil Re=7 te, en enerjik on özdeğer fonksiyon. (S/ H=. 3) 58

75 Açılı mkatsayıları Expansion coefficient Açılı mkatsayıları Expansion coefficient Açılı mkatsayıları Expansion coefficient Açılı mkatsayıları Expansion coefficient Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları 3 a b a 3 b a 4 a Boyutsuz za man - - b 3 b Boyutsuz za man 5 5 Anlı k veri sayısı a) Şekil 3.. Re=4 da yeniden ol uşumfor mülleri yle hesapl anan açılı mkatsayıları. a) Hı z katsayıları, b) Sıcaklı k katsayıları. (S/ H=. 3) b) 8 a 8 a Dimensionless time Boyutsuz za man Dimensionless time Boyutsuz za man Anlı k veri sayısı 8 a 3 8 a Dimensionless time Boyutsuz za man Dimensionless time Boyutsuz za man Şekil 3.. Re=7 da yeniden ol uşumfor mülleri yle hız içi n hesapl anan açılı m katsayıları. (S/ H=. 3) 59

76 b) Açılı m kat sayıl arı a) 4 Expansion coefficients Açılı m kat sayıl arı Expansioncoef icients D i m e n s i o n l e s s t i m e Boyut suz za m an 5 5 Boyut suz za mtime an Dimensionless Expansion coefficients c) Açılı m kat sayıl arı Dimensionless Boyut suz za mtime an Şekil 3.. Re=4 t a tasarı mşartları nda farklı sayıda denkl e ml e ol uşt ur ul an düşük boyutl u modell eri n açılım kat sayıl arı nı n za manl a deği şi mi. (S/ H=. 3) a) 4- denkl e mli model, b) 6- denkl e mli model, c) 8-denkl e mli model. a a 4 4 a a Açılı m kat sayı sı Açılı m kat sayı sı Boyut suz za man Boyut suz za man a3 a4 a3 Açılı m kat sayı sı Açılı m kat sayı sı Boyut suz za man 4 a Boyut suz za man Şekil Re=7 t e tasarı mşartları nda 8- denkl eml e ol uşt ur ul an düşük boyutl u modeli n açılı m kat sayıl arı nı n za manl a deği şi mi. ( S/ H=. 3) 6

77 a 3 sayı sı Açılı m katcoefficients Expansion sı m kat sayı Açılı Expansion coefficients 4 a4 - a b b3 - b a Dimensionless time Boyut suz za m an Dimensionless time Boyut suz za man a) a Expansion coefficients Açılı m kat sayı sı sayı sı Açılı m katcoefficients Expansion.5 3 a4 - a3 - a b b b4 - b Dimensionless Boyut suz za mantime 5 5 Dimensionless time Boyut suz za man b) Açılı m kat sayıl arı 4 a Expansion coefficients sayıl arı Açılı m katcoefficients Expansion.5 a a3-5 b b b4 b Dimensionless Boyut suz za mantime 5 5 Dimensionless Boyut suz za mantime c) Şekil Re=4 t a tasarı mşartları nda hı z ve sı caklı k içi n farklı sayı da denkl e ml e ol uşt ur ul an düşük boyutlu modell eri n açılı m katsayıl arı nı n za manl a deği şimi. a) (4+3)- denkl e mli model, b) (4+4)- denkl e mli model, c) (3+4)- denkl e mli model. ( S/ H=. 3) 6

78 3 4 3 a3 a a a a4 a a 3 a Şekil Re=4 t a faz al anı yör üngel eri. Sürekli çi zgi: (4+3)- denkl e ml e tasarı m şartl arı nda ol uşt ur ul an düşük boyutl u model, Kesikli çi zgi: doğr udan i zdüşü m. ( S/ H=. 3) m kat sayı sı Açılı Expansion coefficients sayı sı m katcoefficients Açılı Expansion Boyut suz za m an Dimensionless time Re = 6 3 Açılı m kat sayı sı Expansion coefficients Açılı m kat sayı sı Expansion coefficients 8 Re = Boyut suz zatime man Dimensionless Dimensionless time Boyut suz za m an Re = Dimensionless Boyut suz zatime man Re =5 Şekil Re=4 t a tasarı m dı şı şartlarda (farklı Re sayıl arı nda), (4+3)- denkl e ml e el de edil en düşük boyutlu modell e tahmi n edil en di na mi k sist e m davranı şları. ( S/ H=. 3) 6

79 a b Boyut suz za man Boyut suz za man a) a a a a b) f f f = f+4f.5 4f+4f f =.3848 f 4f f+ f 4f 3f+3f Genli k, b 7f -f 6f +3f.5 4f+4f 7f+4f f 4f f+ f 4f 3f+3f.5 7f -f 6f +3f f =.3848 Amplitude of b f f+f f =.8889 f Genli k, aof a Amplitude f+f Dimensionless Frequency, Boyut suz frekans, f b Dimensionless Frequency, Boyut suz frekans, f a c) Şekil Re=4 t a (8+8)- denkl e ml e ol uşt ur ul an düşük boyutl u modeli n tasarı m dı şı şartlarda ( Re=7, Pr=. 7) tahmi n etti ği di nami k sist e m davranı şl arı. (S/ H=. 3) a) hı z ve sı caklı k i çi n açılı m katsayı sı nı n za manl a deği şi mi, b)hı z içi n faz planı, c) hı z ve sı caklı k i çi n spektrum anali zl eri. 63

80 4. Ġ ÇĠ NDE ISI KAYNAĞI BULUNAN DĠ KDÖRTGENSEL BĠ R BÖLGEDE KARI ġi K TAġI NI M 4.. KarıĢı k TaĢı nı mprobl e mi Geo metrisi El e alı nan pr obl e m ti pik ol arak bil gisayarlar gibi bir çok el ektroni k ekipmandaki transist ör gi bi el e manl arın soğut ul ması ol ayı nı n basitleştiril miş bir modeli ol arak düşünül mekt edir. Şekil 4. de gör ül düğü gi bi, dikdört gensel bir böl genin alt kenarı üzeri ne, i çi nde ısı kaynağı bul unan bir l evha yerleştiril miştir. Isı kaynağı ndan yayılan ısıyı çekebil mek i çi n bölgedeki sol di key duvar üzeri nde açılan bir aralıkt an giren hava ( örneği n bir fan vasıtası yla), karşı duvar üzeri nde açılan başka bir aralı ktan dışarı çı kmakt adır. Pr oblemi n geo metrisi ni belirleyen geo metri k oranl ar, G/ W=, D/ G=. 5, l b / G=. 5, w/ W=. 5, e/l b =. 5 ve l s /l b =. 5 ol arak belirlenmi ştir. Giriş ve çı kış aralı kları nı n yeri sabit ol up, d/ G=. 875 dir. Çı kış aralı ğı nda t a m geliş mi ş şartları sağla mak üzere uygun kontrol uzunl uğu, l o / G=/ 8 alınmı ştır. ( X, Y) Şekil 4.. Karışı k taşı nı m probl e mgeometrisi. * (X=3. 4, Y=. 9) 64

81 4.. Mate mati ksel Model ve Çözüm Yönte mi Sayısal si mül asyonl ar içi n det aylı geo metri, Şekil 4. de gösteril miştir. Şekil de gör ül düğü gi bi, hesap böl gesi ni çevreleyen dış kenarlar ısı ya karşı yalıtıl mıştır. Isı kaynağı l evhanı n yüzeyine yerleştiril miş ve sıfır kalı nlı kta kabul edil miştir. Akı ş ve sıcaklı k al anı nı karakterize eden geo metri k parametreler harici ndeki, akış ile il gili para metreler ol arak Reynol ds sayısı ve Gr ashof sayısı (yada Ri chardson sayısı, Gr/ Re ) esas alı nmı ştır. Gi riş kesitinde akışkan hı zı ünifor mdur ve zorlanmı ş taşı nı mı n et kisi Re sayısıyla t e msil edil mekt edir. Gr ashof sayısı ise doğal t aşı nı mı n bir öl çüsüdür. Bu çalış mada Re ve Gr sayıları nı n her i kisi ni n et kisi geniş bir aralı kta det aylı ol arak i ncelenmi ştir. Soğut ucu akışkan ol arak seçilen hava ( Pr =. 7), pr obl e mde karşılaşılan hı z değerleri küçük ol duğu i çi n, genellikle doğal t aşı nı m pr obl e ml eri nde ol duğu gibi sı kıştırılamaz kabul edil miştir. Ancak burada belirtil mesi gereken nokt a yoğunl uğun y- koor di natı yönünde yazılan mo ment um denkl e mi ndeki doğal t aşı nı m t eri mi içi n sabit ol madı ğı, = o [- (T- T i )] şekli nde sı caklı kl a değiştiği dir. Bu değişi m düşük sı caklı k farkları nda % den az ol duğu i çi n genelli kle di ğer t eri ml erde yoğunluk sabit kabul edilerek akışı t e msil eden süreklili k ve mo ment um denkl e ml eri sı kıştırılamaz akışkan dur umu i çi n yazılabilir. Bu kabul literat ürde Boussi nesq kabul ü ol arak adl andırılır ve doğal t aşı nı m pr oble ml eri nde yaygı n olarak kullanılır. Gi rişte akışkan sı caklı ğı nın değeri T i sabit t ut ul muşt ur. Üzeri nde ısı kaynağı bul unan levha ısı ilet kenli ği ne sahi ptir. Dol ayısı yla l evha ısı ileti m katsayısı k b, ısı transferi ne et ki eden bağı msı z bir para metre olarak ele alınmı ş ve et kileri incelenmi ştir. Yukarı da açı klanan Boussi nesq kabul ü ile - boyutl u, l a mi ner akışta karışık t aşı nı m ol ayı nı t e msil eden süreklilik, Navi er- St okes ve enerji denkl e ml eri boyutsuz ol arak aşağı daki gi bi yazılabilir: U V X Y (4. ) U U U P U V U X Y X Re V V P Gr U V X Y Y Re V Re V (4. ) (4. 3) 65

82 rk U V (4. 4) X Y r PrRe Enerji denkl e mi ndeki ( 4.4) viskoz dissi pasyon t eri mi düşük hı zlar dol ayısıyl a i hmal edil miştir. Yukarı daki denkl e ml erdeki değişkenler, ünifor m giriş hı zı U i, akışkan sıcaklı ğı T i, giriş aralı ğını n genişliği D, akışkan yoğunl uğu, ısı kaynağı ndan yayılan ısı akısı q ve akışkanı n ısı ileti m katsayısı k nı n kullanıl ması yla aşağı daki dönüşüml er yapılarak boyutsuzlaştırıl mıştır: (x, y) ( X,Y), D (u, v) ( U,V), U i k(t T i ), qd U i t p, P. (4. 5) D U i Genel ol arak büyük harfler boyutsuz değişkenl eri göster mekt edir. Ancak boyutl u sıcaklı k Tile, boyutsuz sıcaklı k ise ile gösteril miştir. (4. 4) denkl e mi he m katı he m de akışkan böl geleri içi n geçerlidir. r k =k b / k, levha ı sı ileti m katsayısı nı n akışkanı n ı sı ileti m katsayısı na oranı nı (ısıl ilet kenli k oranı), r = b / ise l evha ısıl yayıl ma katsayısı nı n ( b ) akışkanı n ısıl yayıl ma katsayısı na ( =k/ c p ) oranı nı (ısıl yayıl ma oranı) göster mektedir. Bu oranl ar (r k ve r ) akışkan böl gesi ni t e msil edi yorsa, her i ki değer e eşittir. Yukarı daki denkl e ml erden de açı k ol arak gör ül düğü gi bi, proble mi karakt erize eden boyutsuz para metreler, zorlanmı ş taşı nı m et kisi ni gösteren Reynol ds sayısı, Re=U i D/, doğal t aşı nı mı n zorl anmı ş taşı nı ma göre öne mi ni gösteren Ri chardson sayısı, Ri =Gr/ Re ve soğut ucu akışkanı tanı ml ayan Prandtl sayısı, Pr = dır. Ayrıca r k ve r l evha i çerisi ndeki ısı ileti mi nde et kili, bu çalış mada i ki ncil öne me sahi p para metrelerdir. 4 gqd Bur ada Gr ashof sayı sı, Gr ol arak veril miştir. g yerçeki mi i vmesi, ısıl k genl eş me katsayısı, k akışkanı n ısı ileti m katsayısı, ise akışkanı n ki ne mati k viskozitesi ni göster mekt edir. Akı ş sı nır şartları ol arak t üm katı yüzeyl erde hı z bileşenl eri sıfırdır. Yani katı duvarlarda kay ma ma şartı ( U=V=) vardır. Giriş aralığı nda hı z x- yönünde sabit ol up ünifor mdur ve hı zı n y bileşeni sıfırdır ( U=, V=). Çı kış aralı ğı nda çı kış sı nır şartı U V ol arak t üm değişkenl eri n ( U, V, ) gradi entleri (, ve ) sıfıra eşit alı nmı ştır. X X X Bu şartı el de et mek i çi n, geo metri ye l o uzunl uğu ekl enmi ştir. l o =/ 8 Wuzunluğu çı kış 66

83 sı nır şartını sağl ayabil mek i çi n yet erli ol duğu literat ürde belirtil miştir. ( Hs u ve Wa ng, ) Sı caklı k şartları ol arak n, duvara di k nor mal yön vekt örü, ise boyutsuz sı caklı k ol mak üzere, n= şartı t üm yalıtıl mış duvarlarda geçerlidir ve giriş aralı ğı i çi n = dır. Bunun yanı sıra l evha-akışkan ara yüzeyl eri nde, ısı akısı nı n süreklili ği aşağı daki gi bi ifade edilebilir: n akiskan rk n levha (4. 6) Isı kaynağı nı n yüzeyi üzeri nde yersel (l okal) ısı taşı nı m katsayısı h, ve Nusselt sayısı Nu ol mak üzere, aşağı daki gi bi veril miştir; q h, T T i hd Nu. (4. 7) k Si mül asyonl arda akışkan ol arak alı nan havanı n ve l evhanı n fizi ksel özellikl eri sabit ol up, hava =. 93 [ kg/ m 3 ], hava =. 7x - 5 [kg/m- s], (c p ) hava = [J/ kg- K], k l evha = k hava =. 45 [ W/ m- K] ve hava = 3x - 3 [K - ] ol arak belirlenmi ştir. Aksi belirtil medi kçe simül asyonl arda, r k = olarak alı nmı ştır. Çünkü, fi berglass, pol yst yrene levha gi bi bazı yalıtkan mal ze mel er için ısıl ilet kenli k oranı dir. Yukar da açı klanan süreklilik, mo ment um ve enerji denkl e ml eri ni n çözümü, bir önceki böl ümde ol duğu gibi sonl u haci ml er t ekni ğini n kullanıl dı ğı Fl uent yazılı mı ile za mana bağlı sayısal simül asyonl arla gerçekl eştiril miş ve hesap böl gesinde hı z ve sıcaklı k al anl arı el de edilmi ştir. Si mül asyonl ar t hali i çi n çözü m dai mi (düşük Re sayıları nda) veya za mana bağlı ol arak ( büyük Re sayıları nda) el de edil mi ştir. Bu çalış mada akış ve sı caklı k al anları 7x grid kullanılarak ol uşt urulmuşt ur ve gri dler ünifor m ol mayı p duvarlara ve l evha ya doğr u sı klaştırıl mıştır. Bu şekil de kenarlarda ve l evha çevresi nde hı z ve sı caklık gradi yenl eri ni n yet erli öl çüde çözü ml enebil mesi sağl anmı ştır. Çözü mün gri dden bağı msı zlı ğı nı belirt mek i çi n Ri = ve Re= değerleri kullanılarak hava i çi n ( Pr=. 7) el de edilen çözüml er, gri d sayısı 44x e çı kartılarak t ekrarlanmı ş ve mini mu m boyutsuz hı z ve boyutsuz sıcaklı k değerleri nde yakl aşı k % den daha az, ortala ma Nu sayısı nda ise yakl aşı k %3 l ük bir değişi m görül müşt ür. Ancak, el de edilen si mül asyon sonuçları, düşük 67

84 boyutl u model ol uşt urulması nda kullanılacağı içi n ve düşük boyutl u modelleri n yüksek çözünürl ükl ü çözüml ere çok bağlı ol ması nedeni yle POD ni n uygul andı ğı sayısal si mül asyonl arda 44x gri d kullanıl mı ştır. Gri d dağılı ml arı Şekil 4. de gösteril miştir. a ) b ) Y Z X Grid ( X 7 ) Şekil 4.. Sayısal si mül asyonl arda kullanılan gri dler. Y POST FILE: a.his Nov a) 7x gri d, b) 44x gri d. Z X Grid ( 43 X ) Fluent 4.5 Fluent Inc. Nov Fluent 4.5 Fluent Inc. Bunl ara ilaveten Fl uent yazılı mı nı n t aşı nım pr obl e ml eri ni n çözümündeki güvenilirliği ni t est et mek a macı yla, daha önce değişi k yönt e ml erle doğr ul uğu kanıtlanmı ş, karşılıklı dikey yüzeyl eri nde diferansi yel bir sıcaklı k farkı T ol an, yat ay duvarları yalıtılmı ş kare şekli ndeki kapalı bir böl ge i çerisindeki doğal taşı nı mı n i ncelendi ği probl e m t est a macı yl a çözül müşt ür. Doğr ul uğu kanıtlanmı ş sonuçl arla ( Benchmar k çözü ml eri) ( Davi d ve Jones, 983), aynı şartlarda Fl uent ile el de ettiği mi z sonuçl ar karşılaştırıl mış ve Tabl o 4. de veril miştir. Şekil 4.3 te ise, eş sıcaklı k eğrileri ve akı m çi zgileri gösteril miştir. Tabl o 4. de gör ül düğü gibi ( 5x5) ünifor m ol mayan gri d kullanılarak yapılan çözü ml er ile Benchmar k sonuçl arı arası ndaki fark mi ni mum akı m f onksi yonl arı nda ( mi n ) ve ortala ma Nu sayısı nda ( Nu av ) % den daha azdır. Bu da gerekli özen ve di kkat gösterildi ği nde Fl uent yazılı mı yla gerçekl eştirilen t aşı nı m pr obl eml eri ni n güvenilir olabil di ği ni göster mekt edir. 68

85 Tabl o 4.. Fl uent ile el de edilen sayısal si mül asyon sonuçl arı ile doğrul uğu kanıtlanmı ş çözüml eri n (Bench mar k çözüml eri) farklı Rayl ei gh sayıları nda ( Ra=Gr Pr) karşılaştırıl ması. Ra Fl uent çözümü Doğr ul uğu kanıtlanmı ş çözüm Fl uent çözümü Doğr ul uğu kanıtlanmı ş çözüm Fl uent çözümü Doğr ul uğu kanıtlanmı ş çözüm mi n, 7, 74 5, 68 5, 7 9, 66 9, 66 Nu av, 7, 8, 4, 43 4, 5 4, 59 Nu ma x, 54, 55 3, 53 3, 58 7, 7 7, 77 Nu mi n, 69, 69, 584, 586, 76, KarıĢı k TaĢı nı mprobl e mi ni n Doğrudan Sayısal Si mül asyon Sonuçları Yapılan bu çalış mada, Reynol ds ve Gr ashof ( veya Ri chardson) sayıları nı n, başka bir ifadeyl e, zorlanmı ş ve doğal t aşı nı mı n karışı k t aşı nı m pr obl e mi ne et kileri incelenmi ştir. Önceli kle, Ri chardson sayısı ( Ri) sabit t ut ul up, Reynol ds sayısı ( Re), ile aralı ğı nda değiştirilerek zorlanmı ş t aşını mı n pr obl e m üzeri ndeki et kisi incelenmi ş, daha sonra belirli ve sabit Re sayılarında Ri sayısı değiştirilerek, doğal taşı nı mol ayı nı n akış ve sıcaklı k üzeri ndeki et kileri değerlendiril miştir Doğal taģı nı met kisi İlk ol arak dai mi akışı n söz konusu ol duğu, Re= ve sırası yla Ri =, Ri = ve Ri = i çi n, doğr udan sayısal si mül asyonl a el de edilen eş sıcaklı k eğrileri, akı m çi zgileri ve hı z vekt örleri Şekil 4. 4 te gösteril miştir. Zorlanmı ş t aşı nı m etkisi ( Re) sabit t ut ul up, ısı kaynağından yayılan ısı akısı, dol ayısı yla doğal t aşı nı m et kisi ( Gr) artırıldı ğı nda farklı hı z ve sı caklı k dağılı ml arı elde edil mekt edir. Ri = de kal dır ma et kisi (doğal t aşı nı m) zayıf ol duğundan, hesap böl gesi ne giren soğut ucu akışkan (hava) l evhanı n i ki ye ayırdı ğı böl geleri he men he men hi ç süpür meden çı kmakt a, dol ayısı yla l evha çevresi nde ol uşan hava akışını n et kisi çok zayıf kal makt adır. Böyl ece, hesap böl gesi ne giren havanı n büyük bir böl ümü, l evhayı et kile meden doğr udan dışarı çı ktı ğı ndan, i yi bir soğut ma elde edile me mekt edir. Niteki m Şekil 4. 4 te Ri = i çi n el de edilmi ş ol an eş sı caklı k eğrileri nden gör ül düğü gi bi bu dur u mda ısı orta mdan prati k ol arak sadece ileti m ile atılmakt adır. Ri sayısı artırıldı ğı nda, kal dır ma et kisi ni n art ması ndan dol ayı l evhanı n her i ki yüzeyi nden yukarı doğr u bir hava akışı meydana gelmekt edir. Bu akış, giriş böl gesi nden orta ma giren havanı n 69

86 önünü keserek, akışı l evhanı n sol undaki böl geye doğr u yönl endir mekt e ve böyl ece hava bu böl geyi i yi bir şekil de süpürerek, daha iyi bir soğut ma el de edil mekt edir. Kaynakt an yayılan ısı akısı nı n art ması, kaynağı n sağı nda ol uşan sirkül asyon hücresi ni n şi ddeti ni artırmakt a, böyl ece Nu sayısı da art makt adır. Bu duru m Tabl o 4. de veril miştir. Tabl o 4.. Re= da, Ri sayısı ile maksi mu m boyutsuz sıcaklı k ( max ), boyutsuz akı mçizgisi ( mi n ), maksi mu m hı zı n şi ddeti ( V max ) ve Nusselt sayısı ( Nu) değerleri ni n değişi mi. Re= Ri max min V max Nu,48,7,499,67,9,44,54,734,64,36 5,35,94 Ri = ile Ri = karşılaştırıldı ğı za man maksi mu m hı zda fazla artış olma ması na rağmen, Ri = da maksi mu m hı zı n l evha üzeri nde ol ması ndan ve özelli kle sirkülasyon hücreleri ni n belirgi n bir şekil de ol uşması ndan dol ayı ısı kaynağı (chi p) üzeri nde ol uşan en yüksek boyutsuz sıcaklı k max büyük oranda düş mekt edir. Ri = de ileti m et kisi, Ri = da ise t aşı nı m et kisi ağırlıklıdır. Aslı nda, Ri sayısı den a ve dan e çıktı ğı nda, sirkül asyon hücreleri ni n şi ddeti sırası yla. 33 ve. 67 katı na, Nu sayıları da sırası yla. 49 ve. 7 katı na çı kmakt adır. Bu da gösteri yor ki, Ri sayısı arttıkça, sirkülasyon hücreleri ni n şi ddeti ndeki artış oranı yl a, Nu sayısı ndaki artış oranı arası nda doğr usal ilişki vardır. Fakat sirkül asyon hücrel eri ni n şi ddeti ndeki artış oranı kadar boyutsuz sıcaklı kta da o oranda azal ma beklenirken, Ri sayısı nı n art ması yla birlikte mi ni mu m sı caklı kla kaynak sı caklı ğı farkı ndaki artış oranı nı n da art ması, boyutsuz sı caklı ğı n daha az düş mesi ne yol aç mı ştır ( Burada mi ni mu m sı caklı kla kaynak sı caklı ğı arası ndaki fark Ri = den a yükseltildi ği nde yakl aşı k 6 katı na çı karken, Ri = dan e yükseltildi ği nde ise yakl aşık 7 katı na çı kmakt adır). Başka bir ifadeyl e kaynak sı caklı ğı ndaki artışı n yüksek ol ması boyutsuz sıcaklı ğı n azalma oranı nı n düş mesi ne yol aç makt adır. Şekil 4. 5a ve 4. 5b de, Re= de sabit t ut ul up Ri =Gr/ Re sayısı nı n değiştiril mesi yl e el de edilen eş sıcaklı k eğrileri ve hı z vekt örleri sırası yla gösteril miştir. Ri sayısı, dol ayısı yla doğal t aşı nım et kisi arttıkça, sirkülasyon hücreleri ni n büyükl ükl eri ni n art ması ndan dol ayı, levhaya doğr u eş sı caklı k eğrileri ni n yoğunl uğu art makt adır. Ri sayısı nı n art ması yla birlikte sirkül asyonl arı n şiddeti ni n art ması, ısı kaynağı ndan 7

87 yayılan ısı nı n l evha üzerinden daha i yi bir şekilde çekil mesi ne sebep ol makt a ve böyl ece maksi mu m boyutsuz sı caklı k ( max ) düşerken, Nu sayısı art makt adır. Nu değeri ni n art ması, t aşı nıml a ol an ısı transferi ni n art ması anl a mı na gel eceği nden, ısı kaynağı nı n soğut ul ması işle mi daha i yi bir şekilde gerçekl eş mekt edir. Re= de sabit t ut ul up, farklı Ri sayıları ile max, V max ve Nu değerleri ni n değişi mi Tabl o 4. 3 de veril miştir. Tabl o Re= de, Ri sayısı ile boyutsuz sıcaklık ( max ), maksi mu m hı zın şi ddeti (V max ) ve Nusselt sayısı (Nu) değerleri ni n değişi mi. Re= Ri max V max Nu,,967,368,474,74,383 3,94,33,76 4,6,79, 4,8, 3,93 6,85,7 6,9, Zorl anmı Ģ taģı nım et kisi Çalış manı n i ki nci aşa ması nda, Ri sayısı sabit t ut ul up, Re sayısı değiştirilerek zorlanmı ş t aşı nı mı n pr obl e m üzeri ndeki et kisi incel enmi ştir. Ri = de sabit t ut ul up, farklı Re sayıları i çi n elde edilen eş sı caklı k eğrileri ve hı z vekt örleri Şekil 4. 6 da gösteril miştir. Burada Re sayısı nı n art ması yla birlikte sirkül asyon hücrel eri ni n şi ddetleri de art makt a, fakat bu artış yal nızca zorlanmı ş t aşı nı m et kisi nden değil, aynı za manda doğal t aşı nı m et kisi ni n art ması ndan da kaynakl anmakt adır. Bu yüzden, sirkülasyon hücreleri ni n şi ddetleri ni n art ması, eş sıcaklı k dağılı ml arı nda doğal taşı nı m ol ayı na benzer sonuçl arı n ortaya çı kmasına sebep ol makt adır. Re sayısı nı n art ması yla, eş sıcaklı k eğrileri levha çevresi nde yoğunl aş makt a ve hesap böl gesi ni n büyük bir kıs mı giriş aralığı ndan i çeri giren havanı n sıcaklı ğı na yakı n bir sı caklı kta tut ul makt adır (bkz. Şekil 4. 6). Sirkül asyon hücreleri ni n şi ddeti ni n art masıyl a birli kte maksi mu m boyutsuz sıcaklı k azalırken, Nu sayısı arttığı ndan soğut ma işlemi daha i yi gerçekl eş mekt edir. Bu da gösteri yor ki, doğal ve zorlanmı ş t aşı nı m ol ayları nda, ana mekani z ma sirkül asyon ol uşumu ve sirkül asyon hücreleri ni n şi ddetleri ndeki değiş medir. Sabit Ri = değeri i çi n, Re sayısı nı n max, V max ve Nu sayısı ile değişi mi Tabl o 4. 4 te veril miştir. Burada, Re=5 ve içi n yakı n değerler el de edil miştir. 7

88 Tabl o Ri = de, Reynol ds sayısı ile maksi mu m boyutsuz sıcaklı k ( max ), hızı n maksi mu mşi ddeti ( V max ) ve Nusselt sayısı ( Nu) değerleri ni n değişi mi. Ri= Re max V max Nu Şekil 4. 7 de Ri = ve Re=5 i çi n bir peri yodun eşit aralı kları nda alı nmı ş anlı k eş sıcaklı k eğrileri ve akım çi zgileri gösteril miştir. Burada ol uşan peri yodi k ol ayı n açı klanabil mesi i çi n eş sıcaklı k eğrileri ni n ve akım çi zgileri ni n birlikte i ncelenmesi gerekmekt edir. = anında l evhanı n sol unda bir, üst ünde ise i ki parçadan ol uşan sirkülasyon hücreleri oluş muşt ur. =T/ 3 anı na kadar l evhadan yayılan ısı akısı nı n, başka bir ifadeyl e doğal t aşı nı m ol ayı nı n et kisi yle l evhanı n sol undaki sirkül asyon hücresi ile l evhanı n üst ündeki i kili sirkülasyon hücresi ni n sağ parçası nı n büyükl ükl eri artarak yukarı doğr u hareket et mekt e ve bu hareketi n et kisiyle i kili sirkülasyon hücresi ni n sol parçası sı kışarak küçül mekt edir. Levha üzeri ndeki kaynakt an yayılan ısı (eş sıcaklı k eğrileri) ise bu i ki sirkül asyon hücresi arası nda yoğunl aş makt adır. Bu aşa mada sirkül asyon hücreleri nde biri ken ısı henüz ort a mdan dışarı atıl ma mı ştır. Bu aşa madan sonra, =T/ 3 anı na kadar, büyüyen ve yukarı doğr u yükselen sirkül asyon hücreleri ni n et kisi yle zorlanmı ş t aşı nı ml a orta ma giren havanı n bir kıs mı l evhanı n sol böl gesi ne yönelmekt e ve bu böl geyi süpür dükt en sonra l evhanı n üst ündeki i kili sirkül asyon hücresi ni i ki ye böl erek ortası ndan geçti kten sonra çı kış aralığı ndan siste mi t erk et mekt edir. Böyl ece bu süpür me işle mi yl e sirkül asyon hücreleri nde t opl anan ısı orta mdan dışarı atıl makt adır. Bu dur um eş sıcaklı k eğrilerinde daha açı k bir şekilde gör ül mekt edir. =T anı na kadar ise doğal t aşı nı m et kisiyl e sirkül asyon hücreleri = anı ndaki şekli ni al makt adır. Sonuç ol arak, doğal t aşını m et kisi yle ısı nı n sirkülasyon hücreleri nde t oplan ması, bu hücreleri n büyüyerek yüksel mesi ve dışarı dan orta ma giren havanı n bir kıs mı nı levhaya doğr u yönl endir mesi soğut ma işle mi ni n biri nci aşa ması nı, zorl anmı ş taşı nı ml a orta ma girerek, levhanı n sol böl gesi ne yönel en bir mi kt ar havanı n ort a mı süpür mesi ve sirkül asyon hücreleri ndeki ısı yı al arak dışarı çı kması soğut ma işle mi ni n i ki nci aşa masını ol uşt ur makt adır. Bu şekil de karışı k t aşı nı ml a soğut ma 7

89 işle mi i ki aşa malı ol arak t ekrarlanmakt adır. Farklı Ri ve Re sayıları i çi n elde edilen za mana bağlı akışlarda da benzer duruml ar ortaya çı kmı ştır. Far klı Ri ve Re sayıları i çi n V max, max ve Nu sayısı nı n değişi ml eri Şekil 4. 8 de veril miştir. Gör ül düğü gi bi doğal t aşı nı m et kisi yle zorlanmı ş t aşı nı m et kisi nden herhangi biri yada her i kisi birden artırıldı ğı nda maksi mu m hı z ve Nu sayısı ar makt a, boyutsuz sıcaklı k ise azalmakt adır KarıĢı k taģı nı mprobl e mi ni n di na mi k yapısı Re veya Ri sayıları ndan her hangi biri ni n art masıyla birlikte akış böl gesinde daha kar maşı k bir yapı ol uş makt a ve akış, dai mi reji mden, peri yodi k reji me geç mekt edir. Re ve/ veya Ri sayısı nın daha da art ması, akışı n peri yodi k yapı dan t ür bül anslı (kaoti k) yapı ya doğr u ilerle mesi ne sebep ol maktadır. Geo metri üzeri nde temsili bir nokt ada ( X, Y=x/ D i, y/ D i =3. 4,. 9) alı nan hı z ve sı caklı ğı n za mana göre değişi mi Şekil 4. 9a ve 4. 9b de gösteril miştir. Ri = de sabit t ut ul up Re sayısı değiştirildi ği nde Re= de dai mi, Re=5 de peri yodi k ( T p( boyutsuz) =7. 5), Re= de ise sankiperi yodi k bir yapı el de edil mekt edir ( Şekil 4.9a). Öt e yandan, Re= de sabit tut ul up, Ri sayısı değiştirildi ği nde ise Ri = i çi n dai mi, Ri = i çi n peri yodi k (T p( boyutsuz) =. 3), Ri = i çi n i nter mittent (fasılalı) davranış, Ri = de i se kaoti k bir yapı söz konusudur ( Şekil 4. 9b). Ol aya etki eden boyutsuz sayılar daha sı k aralı klarla artırılarak bifür kasyon (çatallanma) olayları nı n hangi kritik Re veya Ri değeri nde meydana gel diği belirlenebilir. Ancak doğr udan sayısal si mül asyonl ar her bir para metre değeri i çi n uzun za man gerektirdi ğinden kesi n değerleri bul mak çok zahmetli bir iştir. Bu aşa mada ileri de geliştirilecek düşük boyutl u modelleri kullanmak faydalı olacaktır. Doğr udan si mül asyonl a belirli bir nokt ada ( X, Y=3. 4,. 9) hı zı n x-ekseni ndeki bileşeni ve sı caklı k i çi n el de edilen frekans analizleri Şekil 4. da gösteril miştir. ( Ri =, Re=), ( Ri =, Re=5) ve ( Ri =, Re=5) de gör ül düğü gi bi doğal taşı nı m et kisi ile zorlanmı ş t aşı nı m et kisi nden herhangi biri veya her i kisi arttı ğı nda akış yapısı nda öne mli bir değiş me ol madı ğı nda, başka bir ifadeyl e reji m değişi kli ği (bifürkasyon) ol madı ğı nda, frekans şi ddetleri ve onun har moni kleri ni n sayısı ve şi ddeti art makt a, fakat frekans bandı nı n yapısı nda (frekans yoğunl uğunda) belirgi n bir değiş me gör ül me mekt edir. Sözkonusu parametreler i çi n akış yapısı peri yodi k ol up, hor moni kl er baskı n frekansı n katları şekli ndedir. 73

90 ( Ri =, Re=) de ise akış yapısı nı n değiştiği açı k bir şekil de gör ül mekt edir. Hı z ve sı caklı k i çi n baskı n frekansı n değeri düş mekt e, şi ddeti ise yüksel mekt edir. Burada hı z ve sı caklı ğı n her ikisi nde de frekans yoğunl uğunun ol dukça artması akış yapısı nı n değiştiği ni n en belirgi n göstergesi dir. Burada, har moni kleri n değeri ni n, baskı n i ki frekansı n katlarını n t opl a mı veya farkı şekli nde ol duğu sanki-periyodi k bir yapı söz konusudur. Yani göz önüne alı nan nokt ada belirli aralıklarla hı zı n ve sıcaklı ğı n aynı değere gel mesi mü mkün değil dir. Ancak t a ma men kaoti k bir dur um yokt ur. Çünkü her ne kadar za manda sanki rastgel eli k mevcut ise de siste mde bir düzen mevcutt ur. Re sayı yısı nı n daha da art ması yla yeni ve bağı msı z frekansl ar gittikçe daha sı klı kla oluş makt a, sanki-peri yodik yapı dan sonra ise akış kaosa git mekt edir ( Özgür, ) Levha ısı ileti mkatsayısı nı n akıģ ve sıcaklı k üzeri ndeki et kisi Ri = ve Re= de sabit t ut ularak, ısıl ilet kenli k oranı r k değeri ni n değiştiril mesi yl e el de edilen sayısal si mül asyonl arda, eş sıcaklık eğrileri ve hı z vekt örleri Şekil 4. de gösteril miştir. Gör ül düğü gi bi r k değeri, başka bir ifadeyl e, l evhanın ı sı ileti m katsayısı arttıkça, ısı kaynağı ndan yayılan ısı akısı, l evha i çi nde daha kol ay bir şekil de yayıl makt a, böyl ece orta mdaki akışkana akt arılan ısı mi kt arını n payı azal dı ğı ndan, sirkül asyon hücreleri ni n şi ddeti çok az da olsa azal maktadır. Bu azal ma kaynakt an havaya ol an ısı t aşı nı mı nda öne mli bir et ki ye sahi p değildir. Buna ilaveten, r k değeri ni n art ması yla, l evhaya iletiml e geçen ısı mi kt arı arttığı ndan, kaynak sı caklı ğı belirgin bir şekil de düş mekt e ve böyl ece maksi mu m boyutsuz sıcaklı k ( max ) azal maktadır. Sirkül asyon hücrel eri ni n şi ddetleri ni n ve kaynak sıcaklı ğı nı n azal ması akışkana ol an ısı transferi ni azalttığı ndan, Nu sayısı da düş mekt edir ( Tabl o 4. 5). Tabl o Ri =, Re= de el de edilen sayısal simül asyonl arda farklı r k değerleri ile max, V max ve Nu sayılarını n değişi mi. Ri=, Re= r k max V max Nu

91 Sirkül asyon hücreleri ni n şi ddeti ni n azal ması soğut ma bakı mı ndan ol umsuz bir et ki yap ması na rağmen, l evhanı n ileti ml e çekti ği ısı mi kt arı çok daha baskı n ol duğundan, daha i yi bir soğut ma elde edil mekt e ve bu yüzden maksi mu m boyutsuz sı caklı k düş mekt edir. Şekil 4. deki hı z vekt örleri prati k ol arak aynı, fakat l evha ısı ileti mi dol ayısı yla eş sıcaklı k eğrileri rk ile büyük oranda değiş mekt edir. Ancak l evhanı n ileti ml e ol an ı sı transfer kapasitesi sı nırlı ol duğu i çi n, eş sı caklı k eğrileri belirli değeri n üzerindeki r k ile de fazla değiş me mektedir. Dol ayısı yla r k değeri nden sonra max, V ma x ve Nu değerleri nde öne mli bir değişi mgörül me mekt edir. (bkz. Tabl o 4. 5) DüĢük Boyutl u Modeller En az sayı da denkl e m içeren düşük boyutl u modeller el de et mek i çin, kontrol para metreleri ol an Re, Ri ve Pr sayıları nı n bazı değerleri nde, Navi er- St okes ve enerji denkl e ml eri ni n el e alı nan siste m i çi n davranışları nı yansıtan (deneysel) özdeğer fonksi yonl arı, hı z ve sıcaklı k değişkenl eri ni n seri açılı mı nda kullanılmı şl ardır. Özdeğer f onksi yonl arı oluşt ur mak i çi n uygun ortogonal ayırı m ( POD) ı n anlı k veri versi yonu ( met hod of snapshots) kullanıl mıştır. Bu çalış mada, düşük boyutl u model sonuçl arı nı n daha hassas bir şekil de el de edilebilmesi i çi n, POD uygul anan sayısal si mül asyonl arda her bir eksendeki gri d sayısı iki katı na ( 44x4) çı kartıl mıştır. (bkz. Şekil 3. b) POD ve düşük boyutl u modeller ile il gili Böl üm 3 te yapılan açı kl a mal ar ve çözü m yönt e mi bu böl ümde karışık t aşı nı m pr obl e mi ne uygul anmı ştır. Karışı k taşı nı mdan dol ayı Navi er-st okes ve enerji denkl e ml eri ndeki Pr, Re ve Ri boyutsuz sayıları, bu denkl e ml ere uygul anan Gal erki n met odunun sonucunda el de edilen li neer ol mayan adi diferansi yel denkl e m siste mi nde de benzer şekil de ortaya çı kmakt adır. Karışı k taşı nı m ol ayı i çi n el de edilen düşük boyutl u modeli n adi diferansi yel denkl e m siste mi, Navi er-st okes ve enerji denkl e ml eri içi n sırası yla aşağı da veril miştir: da dt k A k Bk Re N i a i C ki Dki Re N i N j a a i j E kij Ri L i b K i ki L k (4. 7) db dt k N i L j a b U i j kij N i a V i ki L i bi W ki Zki Qk R PrRe PrRe k (4. 8) 75

92 Burada k, denkl e m sayısı nı t e msil eder ve hı z i çi n k=,,..., N, sıcaklı k i çi n k=,,..., L dir. (4. 7) ve (4. 8) denkl e ml eri t a m bağı mlı dır (full y coupl ed) ve dör düncü mert ebeden bir Runge-Kutta çözücüsü kullanılarak sayısal ol arak birarada i nt egre edil mel eri zorunl udur. Yukarı daki denkl e ml erin katsayıları Ek A da veril miştir. Runge- Kutta yönt e mi içi n gerekli ol an başlangı ç şartları aşağı daki denkl e ml er kullanılarak hesapl anmı ştır: a k () V (x, y,). k (x, y)dxdy k=,,, N. (4. 8) bk () (x, y,). k (x, y)dxdy k=,,, L. (4. 9) POD sonuçl arı Far klı boyutsuz sayılarla ( Re, Ri) el de edilen doğrudan sayısal si mül asyonları n POD uygul a mal arı nda, hı z ve sıcaklı k al anl arı i çi n eşit za man aralı kları nda alı nmı ş 5 adet anlı k veri t akı mı (M=5) kullanıl mıştır. Burada, özdeğer fonksi yonl arı n özellikleri ni n vur gul an ması nı n yanısıra, POD uygul a mal arı nda değişen para metrelerle özdeğer modl arı n yakal ayabil di ği enerji mi kt arları ve bu enerji ni n yüzde olarak modl ara yayılı ml arı da karşılaştırıl mıştır Özdeğerler Ri = ve Re= i çi n elde edil miş doğr udan simül asyonun sonuçl arı na uygul anan POD il e el de edilen normalize edil miş il k on modun özdeğerleri ve onl arın çal kantı enerjisine olan t opla mkatkıları Tabl o 4. 6 de gösteril miştir. Tabl o Ri =, Re= de nor malize edil miş en enerjik ilk on özdeğer ve bu özdeğerleri n topl a mçal kantı enerjisine olan kat kıları. Modlar Normalize edilmiş özdeğerler Ri =, Re= (Periyodik) Hız Sıcaklık Toplam enerji (%) Normalize edilmiş özdeğerler Toplam enerji (%),674 6,74,58 5,8,374 95,6,498 94,56 3,54 97,69,86 97,387 4,488 98,557,9 99,89 5,683 99,4,339 99,68 6,63 99,863,3 99,859 7,63 99,96,66 99,95 8,56 99,98,55 99,98 9,7 99,99,9 99,989,6 99,996,8 99,998 76

93 Gör ül düğü gi bi özdeğer modl arı yakl aşı k ol arak çiftler hali nde ol up, her bir çifte ait modl arı n özdeğerleri mertebe ol arak birbirine yakı n değerdedir. Hı z ve sıcaklı k i çi n topla m enerjini n büyük bir böl ümü düşük dereceli modl arda t opl anmı ştır. İl k i ki modun özdeğerleri, hı z içi n t opl a m çal kantı enerjisi ni n %95 i ni, sıcaklık i çi n ise %94. 5 i ni t e msil et mektedir. İl k on modun özdeğerler t opl a mı, her i ki al an i çi n topla mçal kantı enerjisi nin prati k olarak ta ma mı nı ol uşt ur makt adır. Ri = ve Re=5 i çi n el de edil miş doğr udan sayısal si mül asyon sonuçl arı na uygul anan POD il e el de edilen il k on modun özdeğerleri ve onl arı n t opl am çal kantı enerjisine olan t opla mkatkıları Tabl o 4. 7 da gösteril miştir. Tabl o Ri =, Re=5 de nor malize edil miş en enerjik ilk on özdeğer ve bu özdeğerleri n topl a mçal kantı enerjisine olan kat kıları. Modlar Ri =, Re=5 (Periyodik) Hız Sıcaklık Normalize edilmiş özdeğerler Toplam enerji (%) Normalize edilmiş özdeğerler Toplam enerji (%),5837 5,837, ,83, ,59,948 67,98 3,6693 9,,77 79,75 4,5 95,45,967 89,378 5,588 96,99,368 9,996 6,55 98,498,86 95,857 7,475 98,97,3 97,87 8,434 99,46, 98,9 9,88 99,594,588 98,877,75 99,769,444 99,3 Burada da özdeğerler mertebe ol arak çiftler halindedir ve her bir çifte ait özdeğer modl arı n enerjileri il k iki mod dışı nda birbirine yakı n değerdedir. Re sayısı nı n den 5 e artırıl ması yla birlikte baskı n modl arı n enerjileri yüksek dereceli modl ara doğr u yayıl maktadır. Hı z i çi n il k i ki modun özdeğerleri t opl a m enerji ni n %83. 5 i ni yakal arken, sıcaklı k i çi n il k i ki modun özdeğerleri t opl a m enerjini n ancak %68 i ni yakal ayabil miştir. Zorlanmı ş t aşı nı m i le doğal t aşı nı m et kilerini n her ikisi ni nde art ması yla birlikte akışkanı n ki neti k enerjisi nde artış ol makt a ve böyl ece sirkülasyon hücreleri ni n şi ddetleri arttığı ndan, hı z i çi n enerji, yüksek dereceli modl ara doğr u yayıl makt adır. Soğut ma işle mi daha i yi yapıl dı ğı ndan, boyutsuz sıcaklı kta belirgi n bir şekil de düş mekt edir. Başka bir ifadeyl e ısı daha i yi bir şekil de siste mden çekil mekt edir. Re sayısı nı n beş katı na çı kması yla (sabit Ri sayısı i çi n) birlikte Gr sayısı, dol ayısı yla ısı kaynağı ndan siste me giren ısı mi kt arı yirmi beş kat 77

94 arttığı ndan sı caklı k i çin enerji, yüksek dereceli modl ara doğr u daha fazl a yayıl makt adır. Bu da sı caklı k al anı nı n (isoter ms) daha kar maşı k hal e geldi ği ni n bir göstergesi dir. Enerjini n yüksek dereceli modl ara doğr u yayıl ması yla birlikte siste mi n kararsızlığı da art makt adır. Ri = ve Re=5 i çi n el de edil miş doğr udan sayısal si mül asyon sonuçl arı na uygul anan POD il e el de edilen il k on modun özdeğerleri ve onl arı n t opl am çal kantı enerjisine olan kat kıları Tabl o 4. 8 de veril miştir. Tabl o Ri =, Re=5 de nor malize edil miş en enerjik ilk on modun özdeğerleri ve t opla mçal kantı enerjisi ne olan kat kıları. Modlar Normalize edilmiş özdeğerler Ri=, Re=5 (Periyodik) Hız Sıcaklık Toplam Enerji (%) Normalize edilmiş özdeğerler Toplam Enerji (%),559 55,9,48 4,8, ,66,69 67,9 3,455 96,5,838 78,758 4,9 98,45,56 89,74 5,63 99,36,374 93,5 6,545 99,58, ,453 7,3 99,7,3 97,684 8,9 99,84,86 98,87 9,5 99,893,45 99,75,5 99,943,388 99,663 Re sayısı 5 de sabit tut ul up, Ri = dan Ri = e düşt üğünde, başka bir ifadeyl e doğal t aşı nı m et kisi on kat azal dı ğı nda, akışkanı n çal kantı ki neti k enerjisi de azal dı ğı ndan, sirkül asyon hücreleri ni n şi ddetleri azal makt a, böyl ece siste mi n kararlılığı nı n art ması yla birlikte, hı z i çi n t opl am çal kantı enerjisi yüksek dereceli modl arda t opl anmakt adır. Sı caklı k i çi n ise modlara ol an enerji yayılı m oranı nda öne mli bir değişi m ol madı ğı gör ül mekt edir. Bu dur um i se sirkül asyon şiddeti ndeki azal maya rağmen boyutsuz sıcaklı ktaki değişimi n çok az mi kt arda ol ması ndan kaynakl anmakt adır. Ri = ve Re= de doğr udan sayısal si mül asyon sonuçl arı na uygul anan POD il e el de edilen il k on modun özdeğerleri ve t opl am çal kantı enerjisine olan kat kıları Tabl o 4. 9 de veril miştir. Ri sayısı de sabit t ut ul up, Re=5 den Re= e yükseltildi ği nde hı z ve özelli kle sıcaklı k i çi n topl a m çal kantı enerjisi nin yüksek dereceli modl ara doğr u ol dukça fazla mi kt arda yayıl dı ğı gör ül mekt edir. Hı z i çi n il k 78

95 iki modun özdeğerleri t opl a m çal kantı ki netik enerjisi ni n yakl aşı k %8 i ni yakal ayabilirken, sıcaklığı n en enerjik il k i ki özdeğeri t opl a m çal kantı ki neti k enerjisini n sadece %4. 5 i ni yakal ayabil miştir. Enerjini n yüksek dereceli modl ara doğr u aşırı mi kt arda yayıl ması akış yapısı nı n değiştiği ni n bir göstergesi dir. Nit eki m Re=5 içi n yapı peri yodik iken, Re= içi n sanki peri yodi ktir. Tabl o Ri =, Re= de nor malize edil miş en enerjik ilk on özdeğer ve topl amçal kantı ki netik enerjisi ne ol an katkıl arı. Modlar Ri=, Re= (Sanki-Periyodik) Hız Sıcaklık Normalize edilmiş özdeğerler Toplam Enerji (%) Normalize edilmiş özdeğerler Toplam Enerji (%), ,88,7444 7,444,35 79,933,59 4,536 3, ,97,33 5,669 4,3 87,8,699 59,598 5,697 89,85,67 65,75 6,35 9,65,548 7,33 7,786 93,95, ,77 8,5 95,56,369 79,36 9,83 95,887,845 8,7,67 96,559,633 84,84 Sonuç ol arak Ri veya Re sayısı nı n artırıl ması yla birlikte sirkül asyon hücrel eri ni n şi ddeti ni n art ması yla daha i yi bir soğut ma işle mi yapıl dı ğı ndan, maksi mum boyutsuz sıcaklı k düş mekt e, akış daha kar maşı k hal e gelmekt e ve çal kantı enerjisi yüksek dereceli modl ara doğr u yayıl makt adır. Enerjini n yayıl ması siste mi n daha kararsız bir yapı ya dönüş mesi ne sebep ol makt a ve belirli bir nokt adan sonra bifürkasyon meydana gelerek akış yapısı nı n değiş mesi ne yol aç makt adır Deneysel özdeğer fonksi yonl ar POD yönt e mi yl e el de edilen deneysel özdeğer fonksi yonl ar akışı n esas yapısı nı temsil et mekl e birlikte, düşük boyutl u modelleri n ol uşt urul ması nda kullanılırlar. Peri yodi k yapı nı n sözkonusu ol duğu ( Ri =, Re=), ( Ri =, Re=5) ve ( Ri =, Re=5) ile sanki-peri yodi k yapı nı n söz konusu ol duğu ( Ri =, Re=) de el de edil miş 4 farklı hı z ve sıcaklı k al anı i çi n özdeğer f onksi yonl ar sırası yla Şekil 4. a, 4. b, 4. c ve 4. d de gösteril miştir. Farklı para metrelerle el de edil mi ş deneysel özdeğer f onksi yonl arı karşılaştırdı ğı mı zda, Ri sayısı sabit t ut ul up Re sayısı artırıldı ğı nda zorlanmı ş taşı nı mı n et kisi ile doğal taşı nı mı n et kisi ni n her i kisi birden 79

96 arttığı ndan, siste me giren enerji mi kt arı art makt a ve özdeğer f onksi yonl arın yayıl dı ğı al an genişle mekt edir. Re sayısı sabit t urul up Ri sayısı azaltıldı ğı nda, zorl anmı ş taşı nı m et kisi değiş me mesi ne rağmen, Gr sayısı nın değeri ni n azal ması yla, başka bir ifadeyl e doğal t aşı nı m etkisi ni n azal ması yla birlikt e, siste me giren enerji mi kt arı da azal makt a, böyl ece özdeğer f onksi yonl ar, ortam i çerisi nde daha az bir al ana yayıl makt adır. Büt ün bunl ara ilaveten, farklı para metrelere rağmen aynı enerji modl arı arası ndaki yapısal benzerlik di kkat çeki ci dir. Özdeğer f onksi yonl arı n özellikle en enerjitik ol anl arı n, Ri ve Re sayıları nı n değişi mi nden fazl a et kilenme mesi düşük boyutl u model ol uşt ur mada istenen bir özelliktir Navi er-stokes ve enerji denkl e ml erini n POD projeksi yon (i zdüģ üm) sonuçl arı ( Ri =, Re=), ( Ri =, Re=5) ve ( Ri =, Re=5) i çi n yeni den ol uşu m for mülleri ol an denkl em ( 3. 6) ve ( 3. 7) den el de edilen açılı m katsayıları nı n za mana göre değişi ml eri hı z ve sı caklı k al anl arı içi n sırası yla Şekil 4. 3a, 4. 3b ve 4. 3c de gösteril miştir. Genel ol arak bakıl dı ğı nda, açılı m katsayıları nı n salı nı ml arı peri yodi k ol up, modl ar çiftler hali ndedir ve her bir çift e ait modl arı n açılı m katsayıları nı n şi ddetleri birbiri ne yakı n değerdedir. Yüksek dereceli modlara doğr u açılı m katsayıları nı n şi ddetleri azal makt adır. Ayrıca il k i ki özdeğer mod arası nda çeyrek peri yotl uk faz kayması vardır. Ri sayısı da sabit t utul up ( Gr/ Re =), Re sayısı den 5 e çı kartıldı ğı nda (bkz Şekil 4. 3a b), zorlanmı ş t aşı nı m et kisi ni n 5 kat art ması yla birlikte ( U i 5U i ), doğal t aşı nı m et kisi 5 katı na ( q 5q) çı kmaktadır. Böyl ece siste me giren enerji mi kt arı ndaki artış, enerjini n yüksek dereceli modlara doğr u yayıl ması na rağ men, hı z içi n t üm modl arda, açılım katsayıları nı n genli kleri nde belirgi n bir yüksel meye yol aç makt adır. Hal buki Şekil 4. 3a ve 4. 3b ye baktı ğı mı zda, siste me giren enerji mi kt arı nı n art ması yla birlikte sıcaklı k i çi n açılı m katsayıları nı n genli kleri nin art ması bekl enirken, enerjini n yüksek dereceli modl ara doğr u çok daha fazla oranda yayıl ması yla birlikte, düşük dereceli modl arı n açılı m katsayıları nı n genli kleri ( b ve b ) azalırken, yüksek dereceli modl arı n genli klerini n arttığı görül mekt edir. Re=5 de sabit t ut ul up ( U i =sbt.), Ri = dan Ri = e düşürül düğünde (bkz Şekil 4. 3bc), doğal t aşı nım et kisi kat azalırken zorlanmı ş t aşı nım et kisi değiş me mekt edir. Sisteme giren enerjini n azalması na rağmen, bu enerjini n düşük 8

97 dereceli modl arda t opl anması, hı z i çi n il k i ki modun açılı m katsayıları nda öne mli bir değiş me meydana getir mezken, daha yüksek dereceli modl arı n açılı m katsayıları nda di kkate değer oranda düş meye yol aç mı ştır. Sıcaklı k i çi n ise enerji yayılı mı nda öne mli bir değiş me ol madı ğı ndan ( bkz Tabl o 4. 7 ve 4. 8), sıcaklı k modl arını n açılı m katsayıları nı n genli klerinde de öne mli bir değiş me gör ül me mekt edir. Büt ün bunl ar dan çı karıl acak s onuç, enerji ni n modl ar arası ndaki yayılı mı, açılı m katsayıları nı n genli kleri yle doğr udan ilişkilidir. Bir modun i çerdi ği enerji mi kt arı nı belirten özdeğer () arttıkça o modun açılı mkatsayısı nı n şi ddeti de art maktadır. ( Ri =, Re=) i çi n boyutsuz peri yot T p( boyutsuz) =T p U i / D 3, ( Ri =, Re=5) i çi n T p( boyutsuz) ve ( Ri =, Re=5) içi n T p( boyutsuz) olarak el de edil miştir. Ri =, Re= i çi n yeniden ol uşum f or mülleri ol an denkl e m ( 3. 6) ve (3. 7) den el de edilen açılı m katsayıları nı n za mana göre değişi ml eri a k (t) ve b k (t) Şekil 4. 3d de gösteril miştir. Ri = de sabit t ut up, Re=5 den Re= e çı kartıldı ğı nda, zorlanmı ş taşı nı m et kisi kat art makl a beraber, doğal t aşı nı m et kisi de 4 kat art maktadır. Bu dur umda hı zı n çal kantı ki neti k enerjisi art masına rağmen, bu enerji nin yüksek dereceli modl ara doğr u yayıl ması (bkz Tabl o 4. 8 ve 4. 9), hı z modl arı nın açılı m katsayıları nı n genli klerinde çok az bir artış olması na sebep ol makt adır. Sı caklı k enerjisini n ise yüksek dereceli modl ara aşırı ölçüde yayıl ması ndan dolayı, düşük dereceli modl arı n açılı m katsayıları nı n genli kleri nde az da olsa düş me gör ül mekt edir. Büt ün bunl arı n yanı sıra hı z çal kantı ki neti k enerjisi ni n ve özellikle sı caklı k enerjisini n yüksek dereceli modl ara aşırı derecede yayıl ması, açılı m katsayıları nı n salı nı mı nda da yapı ol arak belirgi n bir değişi me sebep ol muşt ur. Şekil 4. 3d de gör ül düğü gi bi artık periyodi k bir yapı değil, periyodi k ile kaoti k yapı arası nda bir dur um ol an sanki-peri yodi k bir yapı söz konusudur. Daha önce belirtildi ği gi bi enerji yayılı mı ndaki aşırı değişme, akış yapısı nı n da değiş mesi ne yol aç mı ştır. Sonuç ol arak siste mi n enerjisi ni n art ması açılı m katsayıları nı n genli kleri n art ması na, enerjini n yüksek dereceli modl ara doğr u yayıl ması ise açılı m katsayıları nı n genli kleri ni n azal ması na sebep ol makt adır. Ri ve Re sayıları arttığı nda, siste mi n enerjisini n art ması yla birlikte bu enerji yüksek dereceli modl ara doğr u yayıl makt adır. Bu nokt ada açılı m katsayıları nı n genli kleri ndeki değişi mi değerlendirebil mek i çi n, siste mi n enerjisi ndeki artışı n mı, yoksa bu enerjini n yüksek dereceli modl ara yayılı mı nı n mı daha et kili/baskı n ol duğunun belirlenmesi öne mkazanmaktadır. 8

98 Yeni den ol uşum f or mül leri yle el de edilen bu sonuçl ar, Navi er- St okes ve Enerji denkl e ml eri ni n POD i zdüşümü ol up, değişen para metreler karşısı nda akış yapısı nı n POD kullanılarak irdelenmesi ni sağl a makl a birlikte, düşük boyutl u modelleri n perfor mansı nı test et mek içi n de kullanılacaktır DüĢük Boyutl u Model Sonuçl arı Tasarı mģartl arı Peri yodi k yapı nı n söz konusu ol duğu ( Ri =, Re=), ( Ri =, Re=5) ve ( Ri =, Re=5) değerleri ile sanki-peri yodi k yapı nı n söz konusu ol duğu ( Ri =, Re=) değeri i çi n gerçekl eştirilen doğr udan sayısal si mül asyon sonuçl arı ndan elde edilen POD esaslı özdeğer f onksi yonl ar, Gal erki n yönte mi yl e birlikte kullanılarak düşük boyutl u modeller el de edil miştir. Düşük boyutl u modeli n t asarı m şartları, o modeli n tasarı mı i çi n kullanılan POD esaslı özdeğer f onksi yonl arı n el de edil mesi nde kullanılan şartlar, yani Re, Ri ve Pr sayıları nı n değerleri ol arak adl andırıl makt adır. Tasarı m şartları nda, farklı denkl e m sayılarında düşük boyutl u modeller ol uşt urul muşt ur. (4. 7) ve ( 4. 8) denkl e ml eri kullanılarak, hı z ve sı caklı k içi n açılı m kat sayıl arı hesapl an mı ştır. Düşük boyutl u modell erl e el de edil en bu açılı m katsayıları, yeni den oluşum f or mülleri yle elde edilen açılı m katsayıları yl a karşılaştırılarak büşük boyutl u modelleri n perfor mansı t asarı m şartlarında t est edil miştir. Bunun yanı sıra ( 6+8)-denkl e ml e ol uştur ulan düşük boyutl u modeller i çi n frekans analizleri yapıl mı ş ve böyl ece siste mi n yapısı ayrı ntılı olarak i ncelen mi ştir Açılı mkatsayıl arı Tasarı m şartları nda farklı siste m para metreleri ve denkl e m sayıları nda oluşt urul an açılı m katsayıları nı n zamana göre değişi ml eri Şekil 4. 4a, 4. 4b ve 4. 4c de gösteril miştir. Ri =, Re= i çi n ( 4+4), (5+5) ve ( 6+8)-denkl e ml e ol uşt urulan düşük boyutl u modell er ( bkz Şekil 4. 4a), t asarı m şartları nda POD il e el de edilen açılı m katsayıları nı (bkz Şekil 4. 3a) başarılı bir şekil de t ahmi n/te msil edebil miştir. Salı nı mı n peri yodu en enerjik modun açılı m katsayısı i çi n, T p( boyutsuz) 8. 4 ol arak bul unmuş ol up, bu değer yeni den ol uşum f or mülleri yle el de edilen değerden daha düşükt ür. Açılı m katsayıları nı n genli kleri ise yeni den ol uşum f or mülleri yle el de edilen açılı mkatsayıları nın genli kleri ne yakı n değerdedir. 8

99 ( Ri =, Re=5) i çi n (5+5), (6+6) ve ( 6+8)-denkl e mden ol uşan düşük boyutl u modelleri n t asarı m şartlarındaki açılı m katsayılarını n za mana göre değişiml eri Şekil 4. 4b de gösteril miştir. En enerjik modun açılı m katsayısı nı n peri yodu T p( boyutsuz) 8. 3 ol arak bul unmuşt ur. Açılı m katsayıları nı n genli kleri yeni den ol uşum f ormüll eri yle el de edilen açılı m katsayıları nı n genli kleri ne yakı n değerde ol makla beraber, siste mi n kararlılığı nı n azal ması ndan dol ayı, hı z ve özellikle sıcaklı k i çi n elde edilen açılı m katsayıları nı n salı nı mı nda yüksek dereceli modl ara doğr u bozul mal ar gör ül mekt edir. ( Ri =, Re=5) i çi n ise, Şekil 4. 4c de gösterilen ( 5+5), (6+6) ve ( 6+8)-denkl e mli düşük boyutl u modeller hı z ve sı caklı ğı n açılı m katsayıları nı he m frekans he m de genli k bakı mı ndan başarılı bir şekil de t ahmi n edebil miştir. En enerjik modun açılı m katsayısı nı n peri yodu da T p( boyutsuz) 8. ci varı ndadır. Genel ol arak baktı ğı mı zda, peri yodi k yapı ya sahi p düşük boyutl u modellerde Ri ve/ veya Re sayıları nı n art ması yla birlikte sistemi n kararlılığı azal dı ğı ndan, açılı m katsayıları nda özellikle yüksek mertebedeki modl arda bozul mal ar gör ülmekt edir. Ayrı ca düşük boyutl u modellerle, hı z i çi n yapılan t ahmi nl eri n, sıcaklı k içi n yapılan tahmi nl ere oranl a çok daha başarılı ol dukl arı gör ül mekt edir. Bu duru m büyük öl çüde, siste mde hı za oranl a sıcaklı k i çi n enerjinin, yüksek dereceli modlara doğr u daha fazla yayıl ması ndan kaynakl anmakt adır. Ri =, Re= i çi n, Şekil. 4d ve. 4e de gör ül düğü gi bi, ( 6+6) ve ( 6+8)- denkl e mli modellerde açılı m katsayıları nı n genlikl eri yeni den ol uşum f ormüll eri yle el de edilen açılı m katsayıları nı n genli kleri ne oranl a ol dukça yüksek ol ması na rağmen, siste m davranışı nı (sanki-peri yodi k yapı yı) t e msil et me konusunda son derece başarılıdır. Daha az sayı da denkl e m i çeren düşük boyutl u modeller siste m davranışı nı tahmi n et me konusunda yetersiz kal mı şlardır Frekans analizleri Peri yodi k yapı nı n söz konusu ol duğu ( Ri =, Re=5) ve sanki-peri yodik yapı nı n sözkonusu ol duğu ( Ri =, Re=) i çi n, t asarı m şartları nda ( 6+8)-denkl e ml e ol uşt urulan açılı m katsayıları nı n frekans analizleri, Şekil 4. 5a ve 4. 5b de gösteril miştir. Şekil 4. 5a da gör ül düğü gi bi t ek bir baskı n frekans vardır ve değeri f o =, 5 dir. Bu değer doğr udan sayısal simül asyonl a el de edilen değer den (f o =. 978) biraz daha yüksektir (bkz Şekil 4.). Açılı m katsayıları nda yüksek 83

100 dereceli modl ara doğr u gi dil di kçe, baskı n frekansı n şi ddeti azal makt adır. Düşük boyutl u model frekans değeri ni t a m ol arak yakalaya masa da siste m yapısını t ahmi n et me konusunda ol dukça başarılıdır. Sanki-peri yodi k yapı nın söz konusu ol duğu dur um i çi n frekans analizleri incelendi ği nde ( Şekil 4.5b), Re sayısı nı n 5 den e yükseltil mesiyl e birli kte frekans yoğunl uğu belirgi n bir şekil de arttığı, böyl ece baskı n frekansı n har moni kleri ni n sayısı nın ve şi ddeti ni n de arttığı gör ül mekt edir. Bu dur um akış yapısı nı n değiştiği ni n en öne mli belirtisi dir. Baskı n frekansı n değerleri ise f =. 63 f =, 4565 ol arak bul unmuşt ur. Bu değerler doğr udan sayısal si mül asyonl a el de edilen baskı n frekans değerleri nden farklı olsada, baskı n i ki frekans değeri ni n katlarını n t opl a mı veya farkı şekli nde har moni k değerleri n mat e mati ksel ol arak yakal anabil mesi, modeli n sanki-peri yodi k yapı nı n söz konusu ol duğu siste mdavranışı nı yeterli ölçüde te msil edebil di ği ni göster mekt edir Tasarı mdıģı Ģartlar Açılı mkatsayıl arı Tasarı m dışı şartlar ol arak belirli bir ( Re, Ri) değeri i çi n el de edilen modeli n bu değerden farklı Re veya Ri değerleri içi n gözönüne alı ndı ğı dur um kastedil mekt edir. Tasarı m şartları nda ( Ri =, Re=), (8+8) ve ( 8+)-denkl e ml e el de edilen düşük boyutl u modelleri n, t asarı m dışı şartlarda ( Ri =,Re=5) çözül mesi yle elde edilen açılı m katsayıları nı n zamana göre değişi ml eri Şekil 4. 6 da gösteril miştir. Şekil 4. 3c ve 4. 6 yı karşılaştırdı ğı mı zda, düşük boyutlu modelleri n t asarı m dışı şartlarda siste mi n genel di na mi k yapısı nı belirleyebil di ği ortaya çı kmakt adır. En enerji k mod içi n açılı m kartsayısı nı n peri yodu T p( boyutsuz) 9 ol arak bul unmuş ol up bu değer, yeni den ol uşum f or mül ü içi n T p( boyutsuz) ve t asarı m şartları nda el de edilen düşük boyutl u model içi n ise T p(boyutsuz) 8, olarak bul un muşt ur. Ri =, Re= deki POD kullanılarak ol uşt urulan düşük boyutl u modelle t asarı m dışı şartlarda ( Ri =, Re=5) yapılan t ahmi nl er, Ri =, Re=5 de yeni den ol uşum for mülleri yle el de edilen açılı m katsayıları nı he m yapı ol arak ( peri yod) he m de genli k değerleri ol arak yet erli öl çüde t e msil edebil mekt edir. Ri =, Re= de POD ile el de edilen özdeğerlerde hı z ve özellikle sıcaklı k i çi n enerjini n yüksek dereceli modl ara doğr u aşırı derecede yayıl ması, düşük boyutl u modeller ol uşt urul ması sırası nda alı nan denkl e m sayısı nı n artırıl ması nı zor unl u hal e getir mekt edir. Tasarı m 84

101 dışı şartlarda el de edilen ( 8+8)-denkl e mli modeller siste m davranışı nın t ahmi n edil mesi nde yet erli ol urken, daha düşük sayı da denkl e m i çeren modeller yet ersiz kal mı ştır. Sı caklı k i çi n enerjini n yüksek dereceli modl ara aşırı yayıl ması düşük boyutl u model sonuçl arı nı da ol umsuz yönde et kile mi ştir Frekans analizleri Ri =, Re= de ol uştur ulan düşük boyutl u modeli n t asarı m dışı şartlarda ( Ri =, Re=5), (8+8)-denkl eml e çalıştırıl ması yla elde edilen frekans analizl eri Şekil 4. 7 de gösteril miştir. Bu model i çi n el de edilen baskı n frekans değeri (f o =. 3), sayısal si mül asyonl a ve tasarı m şartları nda el de edilen değerlere ( bkz. Şekil 4. ve 4. 5a) yakı n bul unmuşt ur. Bunun yanı sıra baskın frekansı n şi ddeti ve har moni kleri bakı mı ndan da mevcut peri yodi k yapı yı yeterli düzeyde te msil edebil mekt edir Hopf bifürkasyon eğrisi Şekil 4. 8 de, belirli Re ve Ri değerleri nde, doğrudan sayısal si mül asyonl arla el de edilen akış reji mi yle, ( Ri =, Re=5) ve ( Ri =, Re=) t asarı m şartları kullanılarak ol uşt urulan ( 6+8)-denkl e mli düşük boyutl u modelleri n akış reji m tahmi nl eri karşılaştırıl mıştır. Böyl ece farklı Ri ve Re sayıları nda, dai mi ve dai mi ol mayan akış yapılarını t ahmi n et me konusunda düşük boyutl u modelleri n perfor mansı t est edil mi ştir. Düşük boyutl u modelleri n t asarı m şartları na yakı n para metrelerde daha doğru t ahmi nl er yapacağı ve t asarı m şartları ndan uzakl aştı kça el de edilen sonuçl arı n güvenilirliği ni n azalacağı gözönüne alı narak, i ki farklı model eğrisi ni i ki ye ayıran kesişi m nokt ası ndan, eğrilerin t asarı m nokt ası na yakın kısı ml arı esas alı narak, bu i ki eğri t ek bir eğri ye i ndirgenmi ştir. Şekil 4. 8 üzeri nde dai mi ve dai mi ol mayan ol mak üzere i ki böl ge vardır ve bu böl geleri birbirinden ayıran kriti k Re ve Ri değerleri nde Hopf bifürkasyonunun olduğu bir sı nır hat söz konusudur. Şekil 4. 8 deki eğriler düşük boyutl u modellerle el de edilen sı nır çi zgisi ni göster mekt edir. Bu eğri ve üzeri nde kal an al an dai mi ol mayan ( genellikle peri yodi k), altında kal an al an ise dai mi akış böl gesi ni göstermekt edir. Dol ayısı yla bu eğri, göz önüne alınan taşı nı mprobl e mi içi n Hopf bifürkasyon eğrisi olarak adl andırılabilir. 85

102 4. 6. Genel Sonuçl ar Sayısal si mül asyon sonuçl arı Üzeri ne ısı kaynağı yerleştiril miş bir l evhanı n bul unduğu yalıtıl mış duvarlarla sı nırlandırıl mış di kdört gensel bir böl ge i çerisi ne, dışardan giren soğut ucu akışkan il e (örneği n bir fan vasıtasıyl a) böl gede ortaya çı kan ısı nı n t aşı nı mı i ncel enmi ştir. Bu şekil de doğal ve zorlanmı ş t aşı nı m et kisi yle siste mi n soğut ul ması işle mi nde, Re ve Ri ( Gr/ Re ) para metrelerini n siste mi n di na mi k davranışı üzeri nde önemli et kilere sahi p ol duğu gör ül müşt ür. Bu i ki para metreden birisi ni n veya her i kisi ni n art ması yl a, siste m benzer di na mi k davranışlar sergile mekt edir. Başka bir ifadeyl e doğal ve zorlanmı ş t aşı nı m ol ayl arı, siste mi n davranışı nı aynı yönde et kile mekt edir. Ör neği n zorlanmı ş t aşı nı m et kisini n art ması, sirkül asyon hücreleri ni n şi ddeti ni artırdı ğı ndan, Nu sayısı nı nı n yüksel mesi ne, böyl ece daha i yi bir soğut ma işle mi yapıl ması na sebep ol duğundan, maksi mu m boyutsuz sıcaklı kta düş mekt edir. Benzer şekilde doğal taşı nı m et kisi artırıldığı nda, başka bir ifadeyl e kaynakt an çı kan ı sı akısı yükseltildi ği nde, orta mdaki havanı n ki neti k enerjisi kal dır ma et kisi nden dol ayı arttığı ndan, sirkül asyon hücreleri ni n şi ddeti de art makt a ve böyl ece Nu sayısı artarken, maksi mu m boyutsuz sı caklı k düş mekt edir. Bu i ki ol aydan, siste mi n di na mi k davranışı nda sirkül asyon hücreleri ni n öne mli bir rol oynadı ğı görül mekt edir. Bunun yanı sıra, soğutma i şle mi nde, doğal ve zorlanmı ş t aşı nı m et kileri birbiri ni tama ml ayı cı özelliktedirler. Bu dur um akışı n daimi ve peri yodi k yapı ya sahi p ol duğu siste ml eri n her ikisi nde de görül mekt edir. Bu çalış mada i ncel enen bir başka dur um i se, üzeri ne ısı kaynağı yerleştirilen levhanı n ısı ileti m katsayısı nı n, t aşı nı m pr oblemi ne et kisi ni n belirlen mesi dir. Böyl ece t aşı nı m et kisi nin yanısıra ileti m et kisi de i ncel enmi ştir. Levhanın ı sı ileti m katsayısı nı n art ması, kaynakt an l evhaya geçen ısı mi kt arı nı artırdı ğı ndan, taşı nı mı n payı na düşen ısı mi kt arı azal makt adır. Bu dur um sirkülasyon hücreleri ni n şi ddeti nde çok az da olsa bir düş me meydana getirirken, maksi mu m kaynak sı caklı ğı nın belirgi n bir şekil de azal ması na, Nu sayısı nı n da düş mesi ne sebep ol makt adır (bkz. Tabl o 4. 5). Burada soğut ma işle mi ni n daha i yi gerçekl eşmesi ni n esas sebebi, sirkül asyon hücreleri değil, ısı ileti mi ile l evhaya ol an ısı geçişindeki artışı n, kaynak sıcaklı ğı nı düşür mesi dir. Levhanı n ısıl kapasitesi sı nırlı ol duğundan belli bir değerden sonra 86

103 levhanı n ısı ileti m katsayısı ndaki artış, Nu ve maksi mu m boyutsuz sı caklığı n ( max ) değeri nde belirgi n bir değişi kli ğe sebep ol ma maktadır. (bkz. Tabl o 4. 5) DüĢük boyutl u model sonuçl arı Peri yodi k yapı nı n söz konusu ol duğu akış şartları nda el de edilen düşük boyutl u modeller genel ol arak, akış yapısı nı başarılı bir şekil de t e msil edebil mektedir. POD yönt e mi nde yeni den ol uşum f or mülleri yle el de edilen açılı m katsayıları ile t asarı m şartları nda el de edilen düşük boyutl u modellerin açılı m katsayıları genel ol arak genli k ve peri yod açısından uyu m göst er mektedir. Re sayısı ve/ veya Ri sayısı artırıldı ğı nda düşük boyutlu modellerle el de edilen açılı m katsayıları nı n genli kl eri de art makt a, bunun yanı sıra siste mi n kararlılığı azal dığı ndan, modl arı n derecesi arttı kça açılı m katsayıları nı n frekans spektrumu daha kar maşı k bir hal e gel mektedir. Bu da Navi er- St okes çözüml erinden de bil di ği mi z beklenen bir dur um ol arak karşı mı za çı kmakt adır. Genel ol arak bakıl dı ğı nda, ol uşt urul an düşük boyutl u modellerle hı z içi n yapılan t ahmi nl eri n, sı caklı k i çi n yapılan t ahmi nl ere oranl a daha t ut arlı ol duğu gör ül mekt edir. Siste m di na mi k davranışı nı n sanki-peri yodi k olduğu dur um ( Ri =, Re=) i çi n geliştirilen ( 6+6) ve ( 6+8)-denkl e m kullanılarak el de edilen düşük boyutlu modeller siste mi n di na mi k yapısını t ahmi n et me konusunda i yi sonuçl ar verirken, denkl e m sayısı azaltıldı ğı nda model t ahmi nl eri başarısız ol makt adır. Ancak sistem di na mi k davranışı nı n basit peri yodi k ol duğu dur uml arda, ör neği n ( Ri =, Re=), daha az sayı da denkl e mden ol uşan modeller, örneği n (4+4)-denkl e mli model, siste mi n di na mi k davranışı nı yeterince te msil edebil mekt edir. Siste m di na mi k davranışını n ayrı ntılı bir şekil de belirlenebil mesi i çi n yapılan frekans analizleri nde, peri yodi k yapı nı n söz konusu olduğu dur uml arda, Ri ve/ veya Re sayıları nı n art ması yla birlikte, frekans yoğunl uğunda öne mli bir değişi m gör ül me mekl e birlikte, tü m dur uml ar i çi n yal nızca t ek bir baskı n frekans var dır. Bu da yapı nı n peri yodi k olduğunu daha belirgi n bir şekil de göster mekt edir. Ayrı ca yüksek dereceli modl ara doğr u frekans şi ddeti azal makt adır. Yapı nı n sanki-peri yodi k ol duğu dur um i çi n yapılan frekans analizi nde, frekans yoğunl uğu belirgi n bir şekil de arttığı, bunun yanı sıra baskı n frekans sayısı nda da artış ol duğu gör ül mekt edir. Bu dur um, artı k yapı nın peri yodi k hal den, kaotik yapı ya geçiş aşa ması olan sanki-peri yodi k yapı ya ulaştığını n bir göstergesi dir. 87

104 Bi r düşük boyutl u modeli n kontrol a maçlı kullanılabil mesi i çin değişen para metreleri n geniş bir aralı ğı nda (tasarı m ve t asarı m dışı şartlarda) siste m davranışı nı yet erli öl çüde t e msil edebil mesi istenir. Genel ol arak t asarı m şartları ndan uzakl aştıkça, düşük boyutl u modellerle yapılan t ahmi nl eri n güvenilirliği de azal makt adır. Bu ol umsuzl uk geniş para metri k değişi ml eri n söz konusu ol duğu dur uml arda, belli parametri k aralı klarda birden fazla düşük boyutlu model kullanılarak aşılabilir. Bu a maçl a, yaptı ğı mı z çalış mada ( Ri =, Re=5) ve ( Ri =, Re=) şartları nda ol uşt urulan düşük boyutl u modellerle farklı para metreler i çi n yapılan uygul a mal arda siste m di na mi k davranışları (dai mi ve peri yodi k akış) belirlenmi ştir. Bu şekil de düşük boyutl u modellerle el de edilen Hopf bifürkasyon eğrisi, doğr udan sayısal si mül asyonl arla el de edilen sonuçl arla karşıl aştırıldı ğı nda siste mi n genel davranışı nı ol dukça başarılı bir şekilde te msil edebil di ği görül müşt ür. Sonuç ol arak düşük boyutl u modeller, moment um ve enerji probl e ml eri ni n analizleri ni n yapıl ması nda, siste m davranışları nın belirli bir para metre aralı ğı nda kol aylı kla belirlenebil mesi nde ve dol ayısı yla kontrol a maçlı ol arak kullanıl ması nda öne mli bir role sahi ptir. 88

105 .E+.97E+.93E+.9E+.86E+.83E+.79E+.76E+.7E+.69E+.66E+.6E+.59E+.55E+.5E+.48E+.45E+.4E+.38E+.34E+.3E+.8E+.4E+.E+.7E+.4E+.E+.7E+.3E+.E+.E+.97E+.93E+.9E+ Y.86E+.83E+ Z X.79E+.76E+.7E+.69E+.66E+.6E+.59E+.55E+.5E+.48E+.45E+.4E+.38E+.34E+.3E+.8E+.4E+.E+.7E+.4E+.E+.7E+.E+.3E+.97E+.E+.93E+.9E+ Y.86E+.83E+ Z X.79E+.76E+.7E+.69E+.66E+.6E+.59E+.55E+.5E+.48E+.45E+.4E+.38E+.34E+.3E+.8E+.4E+.E+.7E+.4E+.E+.7E+.3E+.E+.69E-6-4.3E- -8.7E- -.E- -.6E- -.E- -.4E- -.8E- -3.3E E- -4.3E E E- -5.4E E- -6.5E E E- -7.6E E- -8.7E E E- -9.8E E- -.E+ -.5E+ -.9E+ -.3E+ 4.9E-6 -.7E+ -.75E- -3.5E- -5.4E- Y -6.99E- Temperature (K) -8.74E- Z X Max =.E+ Min =.E+ Time = 4.35E+ -.5E+ -.E+ -.4E+ -.57E+ -.75E+ -.9E+ -.E+ -.7E+ -.45E+ -.6E+ -.8E+ -.97E+ -3.5E+ -3.3E+ -3.5E E E+ -4.E+ -4.9E E E+ -4.7E E+.9E-5-5.7E+ -3.3E E E- Y -.33E+ Temperature (K) -.66E+ Z X -.99E+ Max =.E+ Min =.E+ Time =.354E- -.3E+ -.65E+ -.98E+ -3.3E E E+ -4.3E E E+ -5.3E E E+ -6.3E E E+ -7.3E E E+ -8.9E+ -8.6E E+ (a) -9.8E+ -9.6E+ Ra= 3 Ra= 4 Sep 4 Stream Function (M/S) Fluent 4.5 Max =.686E-6 Min = -.7E+ Fluent Inc. Time = 4.35E+ Ra= 5 Sep 4 Stream Function (M/S) Fluent 4.5 Max = 4.95E-6 Min = -5.68E+ Fluent Inc. Time =.354E- (b) Sep 4 Fluent 4.5 Fluent Inc. Sep 4 Fluent 4.5 Fluent Inc. Y Z X Temperature (K) Z X Stream Function (M/S) Fluent 4.5 Fluent 4.5 Şekil Farklı Ra ( Gr xpr) değerleri içi n, a) Eş sıcaklı k eğrileri, b) Akı mçi zgileri. Max =.E+ Min =.E+ Time = 4.39E+ Y Sep 4 Sep 4 Max =.99E-5 Min = -9.66E+ Fluent Inc. Time = 4.39E+ Fluent Inc. 89

106 .74E+.74E+.74E+.74E+.74E+.74E+.74E+.74E+.74E+.74E+.74E+.74E+.74E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+ Y.E- Z X -4.9E E E E E E E E-5-4.4E-5-4.9E-5-5.4E-5-5.9E E E E E E E E E-5 -.3E-4 -.8E-4 -.3E-4 -.8E-4 -.3E-4 -.8E E E E-4 Y Z X.99E-.9E-.86E-.79E-.7E-.65E-.58E-.5E-.44E-.37E-.3E-.4E-.7E-.E-.3E- 9.6E E-3 8.5E E E-3 6.8E-3 5.5E-3 4.8E-3 4.E E-3.75E-3.6E-3.37E E-4.9E-7 Y Z X.78E+ 3.E+.78E+ 3.E+.78E+ 3.9E+ max = E+ max = E+ max = E+.78E+.77E+.77E+.77E+.77E+.77E+.76E+.76E+.76E+.76E+.76E+.75E+.75E+.75E+.75E+.75E+.75E+.74E+.74E+.8E+.74E+.8E+.74E+.78E+ Ri =.74E+ Ri =.77E+.73E+.76E+.73E+.74E+.73E+ Y Oct 4 Oct 4 Temperature (K).E-5 Z X Temperature (K) Fluent E-4 Z X Temperature (K) Fluent E-6.59E-4 Max =.739E+ Min =.73E+ Time = mi 6.687E+ n Max =.785E+ Min =.73E+ Fluent Inc. Time =.38E+ Max = 3.5E+ Min = Fluent.73E+ Inc. Time = 4.47E+ -.6E-6 =. 7 mi n =..43E-444 mi n = E-6.6E-4 Stream Function (M/S) -.54E-5 -.3E E-5-3.6E-5-4.3E-5-5.E E E-5-7.7E E E-5-9.4E E-5 -.5E-4 -.E-4 -.9E-4 -.6E E-4 -.4E E E E-4 Oct 4 Stream Function (M/S) Fluent E+ 3.5E+ 3.4E+ 3.E+ 3.E+ 3.E+.98E+.97E+.96E+.94E+.93E+.9E+.9E+.89E+.88E+.86E+.85E+.84E+.8E+.73E+ -.6E E E E-4 Ri = -.74E-4 Ri = -.8E-4 -.8E E-4 Y Z X.73E-.66E-.6E-.53E-.46E-.39E-.3E-.5E-.8E-.E-.4E- 9.7E-3 9.E E E E-3 6.5E E E-3 4.7E E E-6 Y.9E-4 9.8E E-5 5.8E-5 4.E-5.4E-5 7.E E E E-5-6.4E E E-5 -.E-4 -.8E E-4 -.6E E E-4 -.3E-4 -.3E-4-3.4E-4 Y Z Oct 4 Stream Function (M/S) Fluent 4.5 Max =.E- Min = -.45E-4 Time = 6.687E+.E- Max =.9E-5 Min = -.88E-4 Fluent Inc. Time =.38E+ 6.83E- Max =.763E-4 Min = -3.4E-4 Fluent Inc. Time = 4.47E+.94E- 6.59E- V ma x =..87E- 499 V 6.36E- V.8E- ma x = E- ma x =5. 35 Velocity Vectors (M/S) Max =.993E- Min =.86E-7 Time = 6.687E+.78E E-3.9E-3 7.8E-3 Ri =.39E-3 Ri = 4.7E-3 Ri = 6.99E-4.37E-3 Y Z X Velocity Vectors (M/S) Oct 4 Fluent 4.5 c ) a ) b ) Max =.E- Min = Fluent 5.956E-6 Inc. Time =.38E+ Şekil Re= da farklı Ri sayıları içi n, doğrudan sayısal si mül asyonl a elde edilen a) eş sıcaklı k eğrileri, b) akı mçizgileri, c) hız vektörleri. X 5.89E- 5.65E- 5.4E- 5.8E- 4.95E- 4.7E- 4.47E- 4.4E- 4.E- 3.77E- 3.53E- 3.3E- 3.6E-.83E-.59E-.36E-.E-.88E-.65E-.4E-.8E-.4E-5 Y Z X Oct 4 Velocity Vectors (M/S) Fluent 4.5 Ri = Ri = Max = 6.83E- Min = Fluent.4E-5 Inc. Time = 4.47E+ Oct 4 Fluent 4.5 Fluent Inc. Oct 4 Fluent 4.5 Fluent Inc. Oct 4 Fluent 4.5 Fluent Inc. 9

107 .79E+.79E+.78E+.78E+.78E+.78E+.78E+.77E+.77E+.77E+.77E+.77E+.76E+.76E+.76E+.76E+.76E+.75E+.75E+.75E+.75E+.75E+.74E+.74E+.74E+.74E+.74E+ 6.5E+.73E+ 6.3E+.73E+ 6.E+.73E+ 5.88E+ 5.76E+ Y 5.64E+ 5.5E+ Z X 5.4E+ 5.8E+ 5.6E+ 5.4E+ 4.9E+ 4.79E+ 4.67E+ 4.55E+ 4.43E+ 4.3E+ 4.9E+ 4.6E+ 3.94E+ 3.8E+ 3.7E+ 3.58E+ 3.46E+ 3.34E+ 3.E+ 3.9E+.97E+.85E+.73E+ Y Z X.E- -5.E-5 -.E E-4 -.4E E-4-3.7E E-4-4.9E-4-4.6E-4-5.E-4-5.6E-4-6.3E E-4-7.5E E-4-8.7E E-4-9.E-4-9.7E-4 -.E-3 -.7E-3 -.E-3 -.7E-3 -.3E-3 -.8E E-3.E- -.38E-3-6.4E E-3 -.8E E-3 -.9E E-4 Y -3.E E-4 Z X -4.49E-4-5.3E E-4-6.4E-4-7.5E-4-7.7E E E-4-9.6E-4 -.3E-3 -.9E-3 -.5E-3 -.E-3 -.8E E-3 -.4E E E-3 -.6E E E-3 -.8E E-3 Y Z X 3.7E+ 4.7E+ 3.6E+ 4.64E+ max =, 3.4E E+ 3.3E+ 4.5E+ 3.E+ 4.44E+ 3.E+ 4.37E+ 3.8E+ 4.3E+ 3.7E+ 4.3E+ 3.5E+ 4.6E+ 3.4E+ 4.E+ 3.E+ 4.3E+ 3.E+ 3.96E+.99E+ 3.89E+.97E+ 3.8E+.96E+ 3.75E+.94E+ 3.69E+.93E+ 3.6E+.9E+ 3.55E+.9E+ 3.48E+.88E+ 3.4E+.87E+ 3.34E+.85E+ 3.8E+.84E+ 3.E+.8E+ 3.4E+.8E+ 3.7E+.79E+ 3.E+ a ).78E+ b ).93E+ c ).6E+3.76E+.87E+.7E+4.56E+3.75E+.8E+.3E+4 max =,.5E E+ max =,.73E+ 9.96E+3.47E+3 9.6E+3.4E+3 Y Aug 6 9.5E+3 Y Aug 6.37E E+3 Temperature (K) Temperature (K) Fluent 4.5 Temperature (K) Fluent 4.5 Z X.33E+3 Z X 8.53E+3 Max =.788E+ Min =.73E+.8E+3 Max = 3.74E+ Min = Fluent.73E+ Inc. Time =.54E+3 8.7E+3 Max = 4.7E+ Min = Fluent.73E+ Inc. Time =.56E+.4E+3 7.8E+3.9E E+3.5E+3 7.9E+3.E E+3.5E E+3.E+3 6.E+3 9.6E+ 5.66E+3 9.6E+ 5.3E+3 8.7E+ 4.94E+3 8.4E+ 4.58E E+ 4.E+3 7.3E+ 3.86E E+ 3.5E+3 6.4E+ 3.4E E+.79E E+.43E+3 5.3E+.7E E+.7E+3 4.E+.35E+3 d ) 3.65E+ e ) 9.9E+ f ) 3.9E+ 6.3E+.73E+.73E+ Temperature (K) Y Aug 6 Y Aug 6 Şekil 4. 5a. Re= de farklı Ri sayıları içi n el de edil miş eş sıcaklı k eğrileri Z X Temperature (K) Fluent 4.5 Z X Temperature (K) Fluent 4.5 Max =.64E+3 Min Fluent =.73E+ Inc. Time = 6.886E+ Max =.68E+4 Min Fluent =.73E+ Inc. Time =.677E+ a) Ri =, ( Dai mi), b) Ri= ( Dai mi), c) Ri = ( Periyodi k), d) Ri = (Peri yodi k), e) Ri = ( Sanki- Peri yodi k), f ) Ri = ( Kaoti k). Max = 6.48E+ Min =.73E+ Time = 3.748E+ Stream Function (M/S) Max =.E- Min = -.48E-3 Stream Function (M/S).E-.E- -5.6E E-5 -.E-4 -.E-4 V ma x =. 368 V -.69E-4 ma x = E-4 a ) -.5E-4 -.8E E E E-4-5.6E-4-5.6E-4-6.8E E-4-7.3E E E E E-4 -.E-3 -.7E-3 -.E-3 -.8E-3 -.4E-3 -.9E E-3 -.4E E-3 -.5E E E E E-3 3.E-4.3E-4 V ma x =. 8.55E-5 Y -3.8E-5 Z X -.49E E E-4-5.E-4-6.8E E E-4-9.7E-4 -.9E-3 -.E-3 -.3E E E E E-3 -.9E-3 -.3E-3 -.4E E-3 Max =.E- Min = -.86E-3 Time = 3.748E+ b ) -.39E E E-4-4.9E E E E E-4-7.8E E E E E-4 -.E-3 -.8E-3 -.4E-3 -.E-3 -.6E-3 -.3E E E-3 -.5E E-3 -.6E E E E E-3 6.3E-4 4.8E-4 Aug 7.3E-4 Y 4.6E-5 Stream Function (M/S) Fluent 4.5 Z X -.4E-4 Max =.E- Min = Fluent -.69E-3 Inc. Time =.54E+3-3.6E-4-5.E E E-4 -.7E-3 -.5E E E-3 -.8E-3 -.E-3 -.8E E E E E-3-3.E-3-3.3E-3 Aug 7 Stream Function (M/S) Fluent 4.5 Max =.E- Min = Fluent -.734E-3 Inc. Time =.56E+ -.6E E E E-3 d ) -.49E-3 e ) -3.86E-3 f ) -.6E-3-4.4E E-3-4.3E-3-4.4E-3 Y Şekil 4. 5b. Re= de Aug farklı 7 Y Ri sayıları içi n el de edil Aug miş 7 hız vekt örleri, Z X Stream Function (M/S) Fluent 4.5 Z X Stream Function (M/S) Fluent 4.5 a) Ri =., b) Ri =, c) Ri=, d) Ri =, e) Ri =, f) Ri = Max = 5.547E-4 Min = Fluent -.847E-3 Inc. Time = 6.886E+ max =, 74 max =, 33 V ma x =3. 93 max =, 7 V ma x =. 76 c ) V ma x =6. 9 Max = 9.75E-4 Min = Fluent -4.43E-3 Inc. Time =.677E+ Aug 6 Fluent 4.5 Fluent Inc. Aug 6 Fluent 4.5 Fluent Inc. Aug 7 Fluent 4.5 Fluent Inc. Aug 7 Fluent 4.5 Fluent Inc. 9

108 .74E+.74E+.74E+.74E+.74E+.74E+.74E+.74E+.74E+.74E+.74E+.74E+.74E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+.73E+ 3.7E+.73E+ 3.6E+.73E+ 3.4E+.73E+ 3.3E+.73E+ 3.E+ 3.E+ Y 3.8E+ 3.7E+ Z X 3.5E+ 3.4E+ 3.E+ 3.E+.99E+.97E+.96E+.94E+.93E+.9E+.9E+.88E+.87E+.85E+.84E+.8E+.8E+.79E+ 6.95E+.78E+ 6.8E+.76E+ 6.66E+.75E+ 6.5E+.73E+ 6.37E+ 6.E+ Y 6.8E+ 5.93E+ Z X 5.79E+ 5.64E+ 5.49E+ 5.35E+ 5.E+ 5.6E+ 4.9E+ 4.77E+ 4.6E+ 4.48E+ 4.33E+ 4.8E+ 4.4E+ 3.89E+ 3.75E+ 3.6E+ 3.46E+ 3.3E+.93E+3 3.7E+.88E+3 3.E+.88E+.8E+3.73E+.76E+3.7E+3.65E+3 Y.59E+3.53E+3 Z X.48E+3.4E+3.36E+3.3E+3.5E+3.9E+3.3E+3.8E+3.E+3 9.6E+ 9.3E+ 8.46E+ 7.89E+ 7.3E+ 6.74E+ 6.7E+ 5.59E+ 5.E+ 4.45E+ 3.88E+ 3.3E+.73E+ Y Z X.E- -4.9E-6-9.8E E E E E E E-5-4.4E-5-4.9E-5-5.4E E E E E E E E E-5-9.8E-5 -.3E-4 -.8E-4 -.3E-4 -.8E-4 -.3E-4 -.8E-4.E- -5.6E E-4 max = E E E-4 -.4E-4 -.5E-4 -.8E-4 Y -3.37E-4 Temperature (K) -3.93E-4 Z X Max =.739E+ Min =.73E+ Time = 4.6E+-4.49E-4-5.6E-4-5.6E-4-6.8E E-4-7.3E E E E E-4 -.E-3 -.7E-3 -.E-3 -.8E-3 -.4E-3 -.9E E-3 -.4E-3.E- -.46E E-4 -.5E-3 max = E E E E-3 -.5E E-3 Y -.73E-3 Temperature (K) -.E-3 Z X -.3E-3 Max = 3.74E+ Min =.73E+ Time =.54E E E-3-3.7E E E-3-4.3E-3-4.3E-3-4.6E E-3-5.8E E E-3-6.4E E-3-6.6E-3-6.9E-3-7.9E E E-3-6.6E E-3 max = E-3-8.6E E E-3 -.6E-3-3.6E-3 Y -3.9E-3 Temperature (K) -4.59E-3 Z X -5.5E-3 Max = 6.949E+ Min =.73E+ Time = 8.688E+ -5.9E E-3-7.4E-3-7.9E E-3-9.3E E-3 -.6E- -.E- -.9E- -.5E- -.3E- -.39E- -.45E- -.5E- -.59E- -.65E- -.7E- -.78E- -.85E- -.9E- Temperature (K) Max =.934E+3 Min =.73E+ Time = 3.3E+ max =. 48 V ma x =. 499 Oct 9 Stream Function (M/S) Fluent 4.5 Max =.E- Fluent Min = -.45E-4 Inc. Time = 4.6E+ Aug 7 Stream Function (M/S) Fluent 4.5 Max =.E- Min Fluent = -.69E-3 Inc. Time =.54E+3 Aug 7 Stream Function (M/S) Fluent 4.5 V ma x =. 384 V ma x =. 386 V ma x =. 47 Max =.E- Min Fluent = E-3 Inc. Time = 8.688E+ a ) b ) Oct 9 Fluent 4.5 Fluent Inc. Aug 6 Fluent 4.5 Fluent Inc. Aug 6 Fluent 4.5 Fluent Inc. Şekil Ri = Y de farklı Reynol Aug ds 7 sayıları içi n, a) eş sıcaklı k eğrileri, Z X Stream Function (M/S) Fluent 4.5 b) hız vekt örleri. Max = 5.686E-5 Min Fluent = -.97E- Inc. Time = 3.3E+ Re= ( Dai mi) Re= ( Dai mi) Re=5 (Peri yodi k) Re= (Sanki- Peri yodi k) Aug 6 Fluent 4.5 Fluent Inc. 9

109 4.E+3 4.9E E+3 3.8E E E+3 3.4E+3 3.7E+3 3.3E+3 3.E+3.86E+3.7E+3.59E+3.45E+3.3E+3.8E+3.4E+3.9E+3.77E+3.63E+3.5E+3.36E+3.3E+3.9E E+ 4.E+3 8.8E+ 4.8E+3 6.8E+ 3.95E E+ 3.8E+3 4.9E+ 3.68E+3.73E+ 3.54E+3 3.4E+3 3.7E+3 Y 3.3E+3 Z X 3.E+3.86E+3.7E+3.59E+3.45E+3.3E+3.8E+3.4E+3.9E+3.77E+3.63E+3.5E+3.36E+3.3E+3.9E E+ 4.E+3 8.8E+ 4.8E+3 6.8E+ 3.95E E+ 3.8E+3 4.9E+ 3.67E+3.73E+ 3.54E+3 3.4E+3 3.7E+3 Y 3.3E+3 Z X.99E+3.86E+3.7E+3.59E+3.45E+3.3E+3.8E+3.4E+3.9E+3.77E+3.63E+3.5E+3.36E+3.3E+3.9E E+ 4.E+3 8.7E+ 4.8E+3 6.8E+ 3.95E E+ 3.8E+3 4.9E+ 3.67E+3.73E+ 3.54E+3 3.4E+3 3.7E+3 Y 3.3E+3 Z X.99E+3.86E+3.7E+3.59E+3.45E+3.3E+3.8E+3.4E+3.9E+3.77E+3.63E+3.5E+3.36E+3.3E+3.9E E+ 8.7E+ 6.8E+ 5.45E+ 4.9E+.73E+ Y Z X.E- -3.7E-4-6.5E-4-9.E-4 -.3E E E-3 -.5E E E-3-3.7E E E-3-4.E-3-4.3E-3-4.6E-3-4.9E-3-5.3E E E-3-6.5E E E-3-7.7E E-3.E E E E-3-6.7E-4-8.3E-3 -.E-3-8.6E E-3-8.9E E-3 -.E E-3 Y -.68E-3 Temperature (K) Z X -3.E-3 Max = 4.E+3 Min =.73E+ Time = 6.56E+-3.35E E-3-4.3E E-3-4.7E-3-5.3E E-3-5.7E-3-6.4E E-3-6.7E-3-7.4E E-3-7.7E-3-8.5E-3.E E-3-3.6E-4-8.7E-3-6.3E-4-9.6E E E-3 -.6E E E E-3 -.E-3 Y -.53E-3 Temperature (K) Z X -.84E-3 Max = 4.E+3 Min =.73E+ Time = 6.635E+-3.6E E E-3-4.E-3-4.4E E-3-5.5E E E-3-6.E-3-6.3E E E-3-7.6E E-3.E E-3-3.6E-4-8.E-3-6.E-4-8.5E-3-9.7E E-3 -.E-3-9.5E E E-3 -.4E-3 Y -.45E-3 Temperature (K) Z X -.75E-3 Max = 4.9E+3 Min =.73E+ Time = 6.79E+-3.6E E E E-3-4.8E E E-3-5.E-3-5.5E-3-5.8E-3-6.E-3-6.4E-3-6.7E-3-7.3E E E E-3-8.5E E E-3 Temperature (K) Oct 8 Stream Function (M/S) Fluent 4.5 Max =.E- Min Fluent = -8.93E-3 Inc. Time = 6.56E+ Oct 8 Stream Function (M/S) Fluent 4.5 Max =.E- Min Fluent = -9.78E-3 Inc. Time = 6.635E+ Oct 8 Stream Function (M/S) Fluent 4.5 Max =.E- Min Fluent = -9.54E-3 Inc. Time = 6.79E+ Z X Şekil Ri =, Re=5 Max de = bir.e- perimin Fluent yod = E-3 Inc. içi n eşit Time = aralı 6.78E+ klarla alınmı ş anlı k, a) eş sıcaklı k eğrileri, b) akı mçizgileri. Max = 4.8E+3 Min =.73E+ Time = 6.78E+ a ) b ) Y Oct 8 Stream Function (M/S) Fluent 4.5 = Oct 8 Fluent 4.5 Fluent Inc. =T/ 3 Oct 8 Fluent 4.5 Fluent Inc. =T/ 3 Oct 8 Fluent 4.5 Fluent Inc. =T Oct 8 Fluent 4.5 Fluent Inc. 93

110 Nu Vmax Re= Re=5 Re= Ri Ri= Ri= Ri= max Re Ri= Ri= Ri= Re Şekil V max, max ve Nu sayısı nı n Ri ve Re ile değişi ml eri. 94

111 u( m/ s) T( K) u( m/ s) T( K) u( m/ s) T( K) -.68E-.854E+ -.7E-.85E+ -.7E-.85E+ -.74E-.848E+ -.76E-.E-.5E+ POST FILE: a.his Time-History U-Velocity (M/S) ( 75, ) Vs. Time 5.E+ TIME t(s) 7.5E+.846E+.E+3.E-.5E+ POST FILE: a.his a) Re= Apr 5 3 Fluent 4.5 Time-History Fluent Inc. Temperature (K) ( 75, ) Vs. Time 5.E+ TIME t(s) 7.5E+.E+3 Apr 5 3 Fluent 4.5 Fluent Inc. -7.E- 3.4E+ -.5E-.993E+ -.75E-.945E+ -.75E-.897E+ -.8E- 4.E E+ POST FILE: a.his Time-History U-Velocity (M/S) ( 75, ) Vs. Time 4.75E+ TIME t(s) 5.5E+.85E+ 5.5E+ 4.E E+ Apr 5 3 POST FILE: a.his b) Time-History Re=5 Fluent 4.5 Fluent Inc. Temperature (K) ( 75, ) Vs. Time 4.75E+ TIME t(s) 5.5E+ 5.5E+ Apr 5 3 Fluent 4.5 Fluent Inc. -.E- 3.6E+ -4.E E+ -6.E- 3.5E+ -8.E-.95E+ -.E+.9E+.938E+ POST FILE: a.his Time-History U-Velocity (M/S) ( 75, ) Vs. Time.975E+ TIME t(s).3e+.7e+.5e+.9e+.938e+ Apr 5 3 POST FILE: a.his c) Re= Fluent 4.5 Time-History Fluent Inc. Temperature (K) ( 75, ) Vs. Time.975E+ TIME t(s).3e+.5e+ Apr 5 3 Fluent 4.5 Fluent Inc. Şekil 4. 9a. Doğr udan sayısal si mül asyonl a el de edilen, ( X=3. 4, Y=. 9) nokt ası ndaki u ve T değerleri ni n za mana göre değişi ml eri.( Ri =) 95

112 u( m/ s) T( K) u( m/ s) T( K) u( m/ s) T( K).E- 3.7E E+ -.E- 3.65E+ -.E- 3.65E+ 3.6E+ -3.E E+ -4.E- 8.E E+ POST FILE: a.his Time-History U-Velocity (M/S) ( 75, ) Vs. Time 8.667E+ 9.E+ TIME t(s) 9.333E+ 3.55E E+.E+ 8.E E+ Oct 7 POST FILE: a.his a) Ri = Fluent Time-History 4.5 Fluent Temperature Inc. (K) ( 75, ) Vs. Time 8.667E+ 9.E+ TIME t(s) 9.333E E+.E+ Oct 7 Fluent 4.5 Fluent Inc..5E- 9.5E+ 9.E E+ 3.E- 8.5E+ -3.E- 7.65E+ -9.E- -.5E- 6.4E E+ POST FILE: c.his Time-History U-Velocity (M/S) ( 75, ) Vs. Time 6.533E+ 6.6E+ TIME t(s) 6.667E+ 7.E E+ 6.8E+ 6.4E E+ Oct 8 POST FILE: c.his b) Ri = Fluent Time-History 4.5 Fluent Temperature Inc. (K) ( 75, ) Vs. Time 6.533E+ 6.6E+ TIME t(s) 6.667E E+ 6.8E+ Oct 8 Fluent 4.5 Fluent Inc. 3.6E+3.E- 3.48E+3.E- 3.36E E-9 3.4E+3 -.E- 3.E+3 -.E- 3.E+3 3.E+ 4.33E+ 5.67E+ 6.E+ TIME t(s) 6.933E E+ -3.E- 8.8E+ 3.E+ c) Ri = 4.33E+ 5.67E+ 6.E+ TIME t(s) 6.933E E+ 8.8E+ Şekil 4. 9b. Doğr udan sayısal si mül asyonl a el de edilen, ( X=3. 4, Y=. 9) nokt ası ndaki u ve T değerleri ni n za mana göre değişi ml eri.( Re=) 96

113 3f -f 4f -f 5f -f 7f +f 7f +f 5f +4f 4f +5f 9f -f Genlik, u Genlik, t 4f +f 5f +f 5f -f f -f f 4f -3f 3f +f 3f o 4f o 3f o Genlik, u f o Genlik, t f o f f o o Genlik, u Genlik, t f f o o Genlik, u Genlik, t f o f o..8 f =.77 o.8 f =.77 o f Ri =, Re= f f =.98 o f =.98 o f Ri =, Re= f.. f =.978 o.5 f =.978 o f Ri =, Re= f f f f +f f =.54 f = Frekans, f Frekans, f Şekil 4.. Farklı Re ve Ri sayıları nda el de edilen sayısal si mül asyonl arda, hız ve sıcaklı k içi n ( X=3. 4, Y=. 9) nokt ası ndaki spektrumanalizleri f Ri =, Re= f = f =

114 Z.E- -5.6E-5 -.E E-4 -.4E-4 -.8E E-4-3.9E E-4-5.4E-4-5.6E-4-6.6E-4-6.7E-4-7.8E E-4-8.4E E-4-9.5E-4 -.E-3 -.6E-3 -.E-3 -.8E-3 -.3E-3 -.9E E-3 -.4E E-3 -.5E E-3 -.6E-3.E- -5.6E-5 Y-.E E-4 Z -.4E-4 X.8E+.77E+ 3.5E+.73E+ 3.4E+ 3.3E+ Y 3.E+ 3.E+ Z X 3.E+.99E+.98E+.96E+.95E+.94E+.93E+.9E+.9E+.9E+.89E+.87E+.86E+.85E+.84E+.83E+.8E+.8E+.8E+.79E+.77E+.76E+.75E+.74E+.73E+ Y -.8E E E E-4-5.5E-4-5.6E-4-6.7E E-4-7.9E E-4-8.4E E E-4 -.E-3 -.7E-3 -.E-3 -.8E-3 -.3E-3 -.9E E-3 -.4E E-3 -.5E E E-3 Y Z 3.75E+ 3.7E+ 3.68E+ 3.64E+ 3.6E+ 3.57E+ 3.54E+ 3.5E+ 3.47E+ 3.43E+ 3.4E+ 3.36E+ 3.33E+ 3.9E+ 3.6E+ 3.E+ 3.9E+ 3.5E+ 3.E+ 3.8E+ 3.5E+ 3.E+.98E+.94E+.9E+.87E+.84E+ X Temperature (K) 3.7E+ 3.9E+ 3.6E+ 3.7E+ 3.4E+ 3.6E+ max 3.3E+ =. 667 max =. 3.5E+ 73 max = E+ 3.4E+ 3.E+ 3.E+ 3.8E+ 3.E+ 3.6E+ 3.E+ 3.5E+.99E+ 3.3E+.98E+ 3.E+.96E+ 3.E+.95E+.99E+.94E+.97E+.93E+.96E+.9E+.94E+.9E+.93E+.89E+.9E+.88E+.9E+.86E+.88E+.85E+.87E+.84E+.85E+.83E+.84E+.8E+.8E+.8E+.8E+.79E+.79E+.78E+ r k =..78E+ r.77e+.76e+ k = r k =5.75E+.75E+.74E+.73E+ 3.3E+ 3.3E+.73E+ 3.E+ 3.E+ max =. 59 Y3.E+ 3.E+ Dec max =. 485 Y Jul max = E+ 3.E+ Z.99E+ X Temperature (K) Fluent E+ Z X Temperature (K) Fluent E+ Max = 3.7E+ Min =.73E+ Time =.33E+3.98E+ Max = 3.748E+ Min =.73E+ Time = 9.E+ Fluent Inc..97E+.97E+.95E+.96E+ Oct 9 Max = 3.86E+ Min =.73E+ Fluent Inc. Time =.44E+ X Temperature (K) Z X Temperature (K) Fluent 4.5 Z X Temperature (K) Fluent E-.E- Max = 3.53E+ Min =.73E+ Time =.8E+3.78E- Max = 3.6E+ Min =.73E+ Fluent Inc. Time =.558E E-5 Max = 3.9E+ Min =.73E+ Fluent Inc. Time = 9.559E+.7E- -.3E-4 V ma x =..65E V ma x = E-4.59E- -.5E-4.53E- -.8E-4.46E E-4.4E E-4.33E- -4.5E-4.7E- -5.7E-4.E E-4.4E- -6.9E-4.8E E-4.E- -7.3E E E-4 8.9E E-4 8.6E- -9.E E E E- -.E E- -.7E-3 5.7E- -.3E-3 5.8E- -.8E E- -.4E-3 3.8E- -.3E-3 3.8E- -.35E-3.54E- -.4E-3 r k =..9E- r.7e- k = -.46E-3 r -.5E-3 k =5 6.37E E-3.E-.3E E-3.83E- -5.6E-5.77E- -.E-4 Y Dec.7E- Y V ma x = Aug E-4.64E- Stream Function (M/S) Z X Velocity Vectors (M/S) Fluent 4.5 Z X Stream Function (M/S) Fluent E-4.58E- Max =.E- Min = -.63E-3 Time = 9.E+ -.8E-4 Max =.843E- Min = Fluent.7E-5 Inc. Time =.54E+3.5E- Max =.E- Min = Fluent -.633E-3 Inc. Time =.44E E-4.45E E-4.39E- Stream Function (M/S).94E+.93E+.9E+.9E+.9E+.89E+.88E+.87E+.86E+.85E+.84E+.83E+.8E+.8E+.8E+.79E+ r k =.78E+.77E+.76E+.75E+.74E+.73E+ Max =.E- Min = -.67E-3 Time =.8E+3 Y -4.49E-4-5.5E-4-5.6E-4-6.7E E-4-7.3E E-4-8.4E E E-4 -.E-3 -.7E-3 -.E-3 -.8E-3 -.3E-3 -.9E-3 r k = -.35E-3 -.4E E-3 -.5E E E-3 Y Z X.95E+.94E+.93E+.9E+.9E+.89E+.88E+.87E+.86E+.85E+.84E+.83E+.8E+.8E+.8E+.79E+.78E+.77E+ r k =5.76E+.75E+.74E+.73E+ Şekil 4.. Ri = ve Re= de, farklı r k değerleri içi n el de edilen, a) eş sıcaklı k eğrileri, b) hı z vekt örleri. a ).33E-.6E-.E-.4E-.7E-.E- 9.48E- 8.84E- 8.E- 7.58E- 6.95E- 6.3E- 5.69E- 5.5E- 4.4E- 3.79E- 3.6E-.53E-.9E-.6E- 6.33E-3 9.6E-6 Oct 9 Y Stream Function (M/S) Fluent 4.5 Z Max =.E- Min = -.68E-3 Fluent Inc. Time =.558E+ Y b ) X Dec Dec Velocity Vectors (M/S) Fluent 4.5 r k = V ma x = V ma x = V ma x = r k =5 r k = Max =.83E- Min Fluent = 9.63E-6 Inc. Time =.6E+3 Dec Fluent 4.5 Fluent Inc. Oct 9 Fluent 4.5 Fluent Inc. Dec Fluent 4.5 Fluent Inc. Aug 8 Fluent 4.5 Fluent Inc. 98

115 ( %6. 7) ( %3. 74) 3 ( %. 5) 4 ( %. 49) ( %5. 3) a ) ( %4. 3) 3 ( %. 86) 4 ( %. 9) b ) Şekil 4. a. Ri = ve Re= içi n PODile el de edilen en enerjik ilk dört deneysel özdeğer fonksi yon; a) hız alanı (hızı n şi ddeti), b) sıcaklı k alanı (eş sıcaklı k eğrileri). 99

116 ( %5. 84) ( %3. 67) 3 ( %6. 69) 4 ( %5. ) ( %38. 83) a ) ( %9. 5) 3 ( %. 7) 4 ( %9. 63) b ) Şekil 4. b. Ri = ve Re=5 içi n PODile el de edilen en enerjik ilk dört deneysel özdeğer fonksi yon; a) hız alanı (hızı n şi ddeti), b) sıcaklı k alanı (eş sıcaklı k eğrileri).

117 ( %55. ) ( %38. 45) 3 ( %. 46) 4 ( %. 9) a) ( %4. 8) ( %6. ) 3 ( %. 84) 4 ( %. 5) b) Şekil 4. c. Ri = ve Re=5 içi n PODile el de edilen en enerjik ilk dört deneysel özdeğer fonksi yon; a) hız alanı (hızı n şi ddeti), b) sıcaklı k alanı (eş sıcaklı k eğrileri).

118 ( %47. 8) ( %3. ) 3 ( %3. 98) 4 ( %3. ) a) ( %7. 44) ( %5. 9) 3 ( %. 3) 4 ( %6. 93) b) Şekil 4. d. Ri = ve Re= içi n PODile el de edilen en enerjik ilk dört deneysel özdeğer fonksi yon; a) hız alanı (hızı n şi ddeti), b) sıcaklı k alanı (eş sıcaklı k eğrileri).

119 Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları.4. a 4 a a3 a.6.4. a7 a5 a b b Anlı k veri sayısı b3 b Anlı k veri sayısı a) b) a b5 b 6 b7 b 8 Anlı k veri sayısı Anlı k veri sayısı Şekil 4. 3a. Ri = ve Re= içi n yeni den ol uşum f or mülleri yle el de edilen açılı m katsayıları nı n za manl a değişi mi, a) hız katsayıları, b) sıcaklı k katsayıları a a. a5.8 a6 a a 4 a a Anlı k veri sayısı a) Anlı k veri sayısı.3 b b b5 b6 b7 b b3 b Anlı k veri sayısı Anlı k veri sayısı Şekil 4. 3b. Ri = ve Re=5 içi n yeni den ol uşum f or mülleri yle el de edilen açılı m katsayıları nı n za manl a değişi mi, a) hız katsayıları, b) sıcaklı k katsayıları. b) 3

120 Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları a a a 4 a a 6 a 5 a 8 a Anlı k veri sayısı a) Anlı k veri sayısı b8 b5 b b4 b3 b b Anlı k veri sayısı b Anlı k veri sayısı b) Şekil 4. 3c. Ri = ve Re=5 içi n yeni den ol uşumfor mülleri yle el de edilen açılı m katsayıları nı n za manl a değişi mi, a) hız katsayıları, b) sıcaklı k katsayıları. 4

121 Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları.8 a a Anlı k veri sayısı Anlı k veri sayısı.6 a 3.6 a Anlı k veri sayısı a) Anlı k veri sayısı.3 b.3 b Anlı k veri sayısı Anlı k veri sayısı. b 3. b Anlı k veri sayısı -.3 b) Anlı k veri sayısı Şekil 4. 3d. Ri = ve Re= içi n yeni den ol uşum f or mülleri yle el de edilen açılı m katsayıları nı n za manl a değişi mi, a) hız katsayıları, b) sıcaklı k katsayıları. 5

122 Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları.4 a a. -. a4 a Boyutsuz za man a) b.6.4 b. b 3 b Boyutsuz za man.4 a a.6 b a4 a b b3 b Boyutsuz za man b) Boyutsuz za man.4 a a.6 b..4 b. b3 -. a4 a 3 -. b Boyutsuz za man c) Boyutsuz za man Şekil 4. 4a. Ri = ve Re= de tasarı mşartları nda farklı sayı daki özdeğer fonksi yonl a ol uşt urulan düşük boyutl u model tahminleri. a) (4+4)-denkl e mli model, b) (5+5)-denkl e mli model, c) (6+8)-denkl e mli model. 6

123 Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları.8.4 a a.4 b b3. b4 -.4 a4 a Boyutsuz za man a) b Boyutsuz za man.8.4 a a a3. b a b b 3 b Boyutsuz za man b) Boyutsuz za man a3 a a a Boyutsuz za man b. 3 b b -.6 b c) Boyutsuz za man Şekil 4. 4b. Ri = ve Re=5 de tasarı mşartları nda farklı sayı daki özdeğer fonksi yonl a ol uşt urulan düşük boyutl u model tahminleri. a) (5+5)-denkl e mli model, b) (6+6)-denkl e mli model, c) (6+8)-denkl e mli model. 7

124 Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları. a a b b 3 b a4 a3 -.4 b Boyutsuz za man a) Boyutsuz za man.8 a a.4.4. b a4 a3 -. b 4 b Boyutsuz za man b) b Boyutsuz za man.8 a a.4 b3.4. a4 a Boyutsuz za man -. b4 b b Boyutsuz za man c) Şekil 4. 4c. Ri = ve Re=5 de tasarı mşartları nda farklı sayı daki özdeğer fonksi yonl a ol uşt urulan düşük boyutl u model tahminleri. a) (5+5)-denkl e mli model, b) (6+6)-denkl e mli model, b) (6+8)-denkl e mli model. 8

125 Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları 5 a a Boyutsuz 95 za 95man 975 a 3 a Boyutsuz za man a) -5 a -5 a Boyutsuz za man 975 a 4 6 a Boyutsuz za man. b.5. b Boyutsuz 95 za man 975 b 3. b b. b b b Boyutsuz za man b) Boyutsuz za man Boyutsuz za man Şekil 4. 4d. Ri =, Re= de tasarı mşartları nda (6+6)-denkl e ml e ol uşt urulan düşük boyutl u model tahmi ni. a) hız katsayıları, b)sıcaklı k katsayıları. 9

126 Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları a Boyutsuz za man a Boyutsuz za man a) a Boyutsuz za man a Boyutsuz za man. b. b Boyutsuz za man Boyutsuz za man.5 b 3.5 b Boyutsuz za man b) Boyutsuz za man Şekil 4. 4e. Ri =, Re= de tasarı mşartları nda (6+8)-denkl e ml e ol uşt urul an düşük boyutl u model tahmi ni. a) hız katsayıları, b)sıcaklı k katsayıları.

127 .4 f o= a. a Boyutsuz frekans, f Boyutsuz frekans, f a 3. a Boyutsuz frekans, f a) Boyutsuz frekans, f b. b Boyutsuz frekans, f Boyutsuz frekans, f b 3. b Boyutsuz frekans, f b) Boyutsuz frekans, f Şekil 4. 5a. Ri =, Re=5 de tasarı mşartları nda, (6+8)-denkl e ml e ol uşt urul an düşük boyutl u modeli n frekans analizi. a) Hı z katsayıları, b) Sıcaklı k katsayıları.

128 f - 5f f f - 4f f - 4f 3f - 8f 4f -7f 3f -7f f f =.63 f =.4565 a a Boyutsuz frekans, f.5.5 Boyutsuz frekans, f a a Boyutsuz frekans, f a).5.5 Boyutsuz frekans, f b. b Boyutsuz frekans, f.5.5 Boyutsuz frekans, f b b Boyutsuz frekans, f Boyutsuz frekans, f b) Şekil 4. 5b. Ri =, Re= de tasarı mşartları nda, (6+8)-denkl e ml e ol uştur ulan düşük boyutl u modeli n frekans analizi. a) Hı z katsayılar, b) Sıcaklı k katsayıları.

129 Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları Açılı mkatsayıları.8 a a.6.4. a a Boyutsuz za man a) b b3 b b Boyutsuz za man.8 a a.6.4. a a Boyutsuz za man b).4 b b.3 b b Boyutsuz za man Şekil Ri =, Re= de farklı sayı da denkle ml e tasarı mdışı şartlarda ( Ri =, Re=5) çalıştırılan düşük boyutl u model tahmi nl eri a) (8+8)- denkl e mli model, b) (8+)- denkl e mli model. 3

130 .4.3 f =. o.4.3 a. a Boyutsuz frekans, f Boyutsuz frekans, f a 3. a Boyutsuz frekans, f a) Boyutsuz frekans, f b. b Boyutsuz frekans, f Boyutsuz frekans, f b 3. b Boyutsuz frekans, f b) Boyutsuz frekans, f Şekil Ri =, Re= de, (8+8)-denkl e ml e tasarı mdışı şartlarda ( Ri =, Re=5) çalıştırılan düşük boyutl u modelin frekans analizi. a) hız katsayıları, b) sıcaklı k katsayıları. 4

131 Re Dai mi Ol mayan Böl ge Dai mi Böl ge Ri Şekil Farklı Ri ve Re sayıları içi n, Navi er-stokes modeli yleel de edilen akış reji ml eri ile (6+8)-denkl eml e ol uşt urulan düşük boyutl u modellerle tahmi n edilen akış reji ml eri ni n karşılaştırıl ması. Dai mi ol mayan akış ( Navi er-st okes Modeli) Dai mi akış ( Navi er-st okes Modeli) Ri =, Re=5 tasarı mşartları yla ol uşt urulan düşük boyutl u model Ri =, Re= tasarı mşartları yla ol uşt urulan düşük boyutl u model 5