Doğrusal Programlama Uygulamaları. 3. Bölüm

Transkript

1 Doğrusal Programlama Uygulamaları 3. Bölüm 1

2 Pazarlamada Doğrusal Programlama Kullanımı Medya Seçimi Uygulaması: Medya seçimi problemi, doğrusal programlamanın pazarlama alanındaki uygulamalarından birisidir. Bu tipte problemlerde karar verici hangi medyaya ne kadar reklam vermesi gerektiğini belirler. Genellikle amaç ulaşılacak potansiyel müşteri sayısını maksimize etmektir. Bu modellerin temel kısıtı da reklam bütçesidir. 2

3 LightForm Diyet ürünler üreten LightForm şirketi yeni ürettiği kraker tanıtımı için 250 milyar TL bütçe ayırmıştır. Şirket tanıtım için gazete, televizyon ve radyodan ilan vermeyi düşünmektedir. Aşağıdaki tabloda, farklı medyalarda ilan vermenin maliyeti ve erişebileceği potansiyel müşteri sayısı verilmiştir. 3

4 4

5 Tabloya göre gazeteye verilecek ilanların ilk tipi için 1 ilan 1000 müşteri çekiyor ve 1.5 milyar TL ye mal oluyor. İkinci tipi ise ilan başına 1.4 milyar TL ye mal olup, 800 müşteri çekiyor. Verilen ilan sayısı arttıkça 1 ilanın maliyeti kademeli olarak düşüyor, buna karşın ilanın ulaştığı müşteri sayısı da azalıyor. Şirket gazete ve radyo tiplerinin herbirine en fazla 10 ar, televizyona ise en fazla 5 er reklam verebiliyor. 5

6 Bu problem için reklam yoluyla ulaşılabilecek potansiyel müşteri sayısını maksimize edecek doğrusal programlama modelini oluşturunuz. Modeli Excel e uyarlayıp çözünüz. Optimal çözüm ve karar değişkenlerinin aldıkları değerleri bulunuz. 6

7 Karar Değişkenleri G1 = 1.5 milyar TL den verilen gazete ilanı sayısı G2 = 1.4 milyar TL den verilen gazete ilanı sayısı G3 = 1.1 milyar TL den verilen gazete ilanı sayısı R1 = 3.5 milyar TL den verilen radyo reklamı sayısı R2 = 2.8 milyar TL den verilen radyo reklamı sayısı R3 = 2.1 milyar TL den verilen radyo reklamı sayısı T1 = 21 milyar TL den verilen televizyon reklamı sayısı T2 = 16 milyar TL den verilen televizyon reklamı sayısı T3 = 12.5 milyar TL den verilen televizyon reklamı sayısı 7

8 Amaç Fonksiyonu Maks G G G R R R T T T3 8

9 Kısıtlar Bütçe kısıtı 250 milyar: 1.5 G G G R R R3+ 21 T1+ 16 T T3 250 İlan sayısı üst limitleri: G1 10, G2 10, G3 10, R1 10, R2 10,R3 10, T1 5,T2 5,T3 5 Negatif olmama kısıtı: Gi,Ri,Ti 0 9

10 Matematiksel Model Maks G G G R R R T T T3 Kısıtlar 1.5 G G G R R R3+ 21 T1+ 16 T T3 250 G1 10, G2 10, G3 10, R1 10, R2 10,R3 10, T1 5,T2 5,T3 5 Gi,Ri,Ti 0 10

11 Problemin Excel e aktarılmış Hali. 11

12 Formüller 12

13 Çözücü Parametreleri: 13

14 Çözüm 14

15 Yatırım Planlaması Uygulaması: Finansman Alanında Doğrusal Programlama Kullanımı Bu alandaki önemli uygulamalardan birisi yatırım planlaması/portföy oluşturma problemidir. Bu yapıdaki problemlerde genellikle ya getiri maksimize edilir ya da risk minimize edilir. Karar verici yatırım enstrümanlarını karar değişkenleri olarak seçer. Amacına ulaşmak için hangi yatırım enstrümanına ne kadar yatırım yapması gerektiğini belirler. Yatırımın vade yapısı, riski, vergi yapısı, volatilitesi, derecelendirilmesi gibi kriterler de modeldeki kısıtları oluşturur. 15

16 Ekonobank Yatırım Uzmanı EkonoBank yatırım uzmanı, elindeki 1.5 trilyon TL lik fonu aylık getiriyi maksimize edecek şekilde aşağıdaki yatırım enstrümanlarına yatırmak istemektedir. Yatırım Enstrümanı Aylık Getiri Vade Yapısı Risk Vergi Muafiyeti A %4.75 Uzun Yüksek Var B %4 Kısa Düşük Var C %4.5 Uzun Düşük Yok D %4.5 Uzun Yüksek Var E %4.5 Kısa Yüksek Yok 16

17 Uzman elindeki fonun en azından %60 ını kısa vadeli enstrümanlara yatırmak istemekte ve paranın %40 ından fazlasını yüksek riskli enstrümanlara yatırmak istememektedir. Elindeki fonun en azından %40 ı vergi muafiyeti olan enstrümanlara yatırılmalı ve elde edilecek getirinin de en azından %50 si vergiden muaf olmalıdır. Bu problem için aylık getiriyi maksimize edecek doğrusal programlama modelini oluşturunuz. Modeli Excel e uyarlayıp çözünüz. Optimal çözüm ve karar değişkenlerinin aldıkları değerleri bulunuz. 17

18 Karar Değişkenleri A = A yatırım enstrümanına yatırılacak miktar B = B yatırım enstrümanına yatırılacak miktar C = C yatırım enstrümanına yatırılacak miktar D = D yatırım enstrümanına yatırılacak miktar E = E yatırım enstrümanına yatırılacak miktar 18

19 Amaç Fonksiyonu Maks A B C D E 19

20 Kısıtlar Yatırımın en azından %60 ı kısa vadeli enstrümanlara yapılmalıdır: B + E 900 Yatırımın %40 ından fazlasının yüksek riskli enstrümanlara yapılmamalıdır: A + D + E 600 Yatırımın en azından %40 ı vergi muafiyeti olan enstrümanlara yapılmalıdır: A + B + D

21 Kısıtlar Elde edilecek getirinin en azından %50 si vergiden muaf olmalıdır: A B D 0.5* (0.0475A B C D E) Negatif olamama: A, B, C, D, E 0 21

22 Problemin Excel e aktarılmış Hali. 22

23 Formüller 23

24 Çözücü Parametreleri: 24

25 Çözüm 25

26 DP Uygulamaları Üretim satın alma uygulaması Üretim yapan işletmeler zaman zaman kapasitelerinin üstünde sipariş aldıklarında bu siparişin bir kısmını taşeronlardan karşılarlar. Birden fazla sayıda ürünü hem üretebilen hem de gerektiğinde üretim maliyetinin üstünde bir maliyetle taşerondan temin edilebilen bir işletme hangi üründen ne kadar kendisinin üretmesi ve hangi üründen de ne kadar dışarıya sipariş verilmesi gerektiği kararını vermek durumunda kalabilir. Bu yapıdaki problemlerde amaç, toplam maliyeti minimize edecek üretim/satın alma kompozisyonunu elde etmektir. Genellikle, kapasite ve sipariş miktarı problemin kısıtlarını oluşturur. 26

27 CepCom Elektronik şirketi 2 model cep telefonu üretmektedir: C303 ve C309. CepCom büyük bir süpermarket zinciri ile önümüzdeki ay için 3000 adet C303 ve 1500 adet C309 teslim etmek üzere sözleşme imzalamıştır. CepCom telefon üretimini 3 ayrı departmanda gerçekleştirmektedir: Üretim, Montaj ve Paketleme. Bu departmanların aylık üretim kapasiteleri ve her bir cep telefonu için departmanlarda üretim için harcanan süreler aşağıdaki tabloda verilmiştir. Üretim Süreleri C303 C309 Aylık Kapasite Üretim 0,25 0, Montaj 0,25 0, Paketleme 0,15 0,

28 C303 ün ve C309 un üretim maliyetleri sırasıyla; 80 ve 130 milyon TL dir. Ayrıca üretemediği telefonları bir taşeron firmadan sırasıyla 100 ve 150 milyon TL ödeyerek satın alabilmektedir. CepCom imzaladığı sözleşme koşullarını yerine getirmek için her bir modelden kaç tane cep telefonu üretmeli ve eğer gerekiyorsa kaç tane satın almalıdır? Bu problem için aylık maliyeti minimize edecek doğrusal programlama modelini oluşturunuz. Modeli Excel e uyarlayıp çözünüz. Optimal çözüm ve karar değişkenlerinin aldıkları değerleri bulunuz. 28

29 Karar değişkenleri: Üretim/satın alma probleminde, ürünlerden üretilecek miktarları gösteren 2 ve satın alınacak miktarları gösteren 2 karar değişkeni olmak üzere toplam 4 karar değişkeni tanımlanmalıdır. Bunlar; Ü1 = C303 modelinden üretilecek cep telefonu sayısı Ü2 = C309 modelinden üretilecek cep telefonu sayısı S1 = C303 modelinden satın alınacak cep telefonu sayısı S2 = C309 modelinden satın alınacak cep telefonu sayısı 29

30 Amaç Fonksiyonu: Problemin amacı toplam üretim ve satın alma maliyetlerini minimize edecek üretim/satın alma planını elde etmektir. Dolayısıyla, karar değişkenine karşılık gelen maliyet değerleri çarpılıp, sonra da tüm değerler toplanarak amaç fonksiyonu elde edilir. Aşağıda amaç fonksiyonu görülmektedir. Min. 80 Ü Ü S S2 30

31 Problemin Kısıtları: Problemdeki ilk iki kısıt, her iki model cep telefonundan üretilecek ve satın alınacak miktarların toplamının o cep telefonundan sipariş edilen miktara eşit olmasını sağlayan kısıtlardır. Ü1 + S1 = 3000 Ü2 + S2 = 1500 İkinci olarak yazılacak kısıt grubu, her iki telefonu üretmek için harcanacak üretim, montaj, paketleme sürelerinin, süre kapasitesini aşmamasını sağlar. Aşağıda bu kısıtlar verilmiştir. 0,25 Ü1 + 0,45 Ü ,25 Ü1 + 0,55 Ü ,15 Ü1 + 0,10 Ü2 900 Son olarak karar değişkenlerinin negatif olmama kısıtları da aşağıda gösterildiği gibi modele eklenmelidir. Ü1, Ü2, S1, S2 0 31

32 Matematiksel Model: Yukarıda oluşturulan amaç fonksiyonu ve kısıtlar bir araya getirilerek CepCom için üretim/satın alma modeli aşağıdaki gibi oluşturulur. Min. 80 Ü Ü S S 2 Kısıtlar Ü 1 + S 1 = 3000 Ü 2 + S 2 = ,25 Ü 1 + 0,45 Ü ,25 Ü 1 + 0,55 Ü ,15 Ü 1 + 0,10 Ü Ü i, S i, 0 32

33 Problemin Excel e aktarılmış Hali. 33

34 Formüller 34

35 Çözücü Parametreleri: 35

36 Çözüm 36

37 Üretim Alanında Doğrusal Programlama Kullanımı- Karışım uygulaması: Üretim sektörünün önemli problemlerinden birisi üretilecek üründe kullanılan hammaddelerin hangi oranlarda karıştırılacağının belirlenmesidir. Özellikle rafinerilerde benzin üretimi bu alandaki problemlere örnek olarak verilebilir. Rafineri yönetimi farklı kompozisyonlardaki ham petrol ve kimyasalları karıştırarak en az maliyetle istenilen derecede benzin elde etmeyi belirlemek ister. Bu yapıdaki problemlerde genellikle hammadde maliyeti minimize edilir. Karar verici kullanabileceği hammaddeleri karar değişkenleri olarak belirler. Amacına ulaşmak için hangi hammaddeden ne kadar kullanacağını bulmaya çalışır. Nihai ürünün bileşenlerinin alt ve üst limitleri problemin temel kısıtlarını oluşturur. 37

38 Temiz Kimya şirketi bir yer silme sıvısı üretecektir. Bu sıvının içinde A temizleyici maddesinden en az %20 en fazla %40, B temizleyici maddesinden en az %25 en fazla %50 ve C temizleyici maddesinden en az %35 en fazla da %50 olacaktır. Temiz Kimya bu ürünü üretmek için 3 ayrı hammadde kullanabilir. Bu hammaddelerin içerikleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Hammadde A B C 1 %60 %30 %10 2 %25 %25 %50 3 %20 %50 %30 38

39 Hammadde I, II ve III ün kg. maliyetleri sırasıyla, TL, TL ve TL dir. Temiz Kimya, en az maliyetle talebi karşılayacak yer silme sıvısının üretimi için doğrusal programlama modeli oluşturup çözmek istemektedir. Bu problem için üretim maliyetini minimize edecek doğrusal programlama modelini oluşturunuz. Modeli Excel e uygulayıp çözünüz. Optimal çözüm ve karar değişkenlerinin aldıkları değerleri bulunuz. 39

40 Karar Değişkenleri: Karışım probleminde, her biri ürün içinde yer alacak hammadde miktarına karşılık gelen 3 karar değişkeni tanımlanmalıdır. Bunlar; Pi = ürünün içinde yer alacak hammadde i oranı. 40

41 Amaç Fonksiyonu: Problemin amacı kullanılan hammadde maliyetini minimize etmektir. Dolayısıyla, karar değişkenleri ile o karar değişkenlerine karşılık gelen maliyet değerleri çarpılıp, sonra da tüm değerler toplanarak amaç fonksiyonu elde edilir. Aşağıda amaç fonksiyonu görülmektedir. Min P P P 3 41

42 Problemin Kısıtları: Problemdeki ilk üç kısıt, ürünün içinde A, B, ve C maddelerinden bulunması gereken en az miktarları sağlayan kısıtlardır. 0,60 P 1 + 0,25 P 2 + 0,20 P 3 0,20 (A Hammaddesi) 0,30 P 1 + 0,25 P 2 + 0,50 P 3 0,25 (B Hammaddesi) 0,10 P 1 + 0,50 P 2 +0,30 P 3 0,35 (C Hammaddesi) Problemdeki ikinci grup üç kısıtta, ürünün içinde A, B ve C maddelerinden bulunması gereken en fazla miktarı sağlayan kısıtlardır. 0,60 P 1 + 0,25 P 2 + 0,20 P 3 0,40 (A Hammaddesi) 0,30 P 1 + 0,25 P 2 + 0,50 P 3 0,50 (B Hammaddesi) 0,10 P 1 + 0,50 P 2 +0,30 P 3 0,50 (C Hammaddesi) Üç hammaddeden kullanılan oranların toplamının %100 olmasını sağlayan kısıt da aşağıdaki şekilde yazılmalıdır. P 1 + P 2 + P 3 = 1 Son olarak karar değişkenlerinin negatif olmama kısıtları da aşağıda gösterildiği gibi modele eklenmelidir. P i 0 42

43 Matematiksel model: Yukarıda oluşturulan amaç fonksiyonu ve kısıtlar bir araya getirilerek Temiz Kimya için karışım modeli aşağıdaki gibi oluşturulur. Min 1500 P P P 3 Kısıtlar 0,60 P 1 + 0,25 P 2 + 0,20 P 3 0,20 0,30 P 1 + 0,25 P 2 + 0,50 P 3 0,25 0,10 P 1 + 0,50 P 2 +0,30 P 3 0,35 0,60 P 1 + 0,25 P 2 + 0,20 P 3 0,40 0,30 P 1 + 0,25 P 2 + 0,50 P 3 0,50 0,10 P 1 + 0,50 P 2 +0,30 P 3 0,50 P 1 + P 2 + P 3 = 1 P i 0 43

44 Problemin Excel e aktarılmış Hali. 44

45 Çözücü Parametreleri: 45

46 Çözüm 46

47 Petraş rafinerisinde normal ve süper benzin üretilmektedir. Oktan derecesi en az 90 olan normal benzinin varili 32 milyon TL den satılmaktadır. Oktan derecesi en az 97 olan süper benzinin varili de 40 milyon TL den satılmaktadır. Benzinler aşağıda verilen 3 hammaddenin karıştırılması ile üretilmektedir. Hammadde Oktan Derecesi Varil Maliyeti Stok I milyon 4500 II milyon 6000 III milyon

48 Petraş 5000 varil normal benzin, 8000 varil de süper benzin siparişi almıştır. Şirket karını maksimize etmek için elindeki hammaddeleri normal ve süper benzin üretimine nasıl dağıtmalıdır? Bu problem için doğrusal programlama modelini oluşturunuz. Modeli Excel e uyarlayıp çözünüz. Optimal çözüm ve karar değişkenlerinin aldıkları değerleri bulunuz. 48

49 Karar Değişkenleri Her bir benzin türü 3 ayrı hammadde kullanılarak elde edilebiliyor. Amacımız bu hammaddelerin benzin türlerine nasıl paylaştırılacağını bulmak. Bu durumda X ij değişkeni tanımlanabilir. i=1, 2, 3 hammaddeleri belirtmek için. j=1, 2 1: normal, 2: süper benzin. Örn. X 22 : 2. hammaddeden süper benzin üretmek için kullanılacak miktar. 49

50 Amaç Fonksiyonu Problem bir kar maksimizasyonu problemidir. Öncelikle birim kar katsayılarını belirleyelim. Maks. 8X X X X X X 32 SF/ML

51 Kısıtlar Stok kısıtları: X 11 + X (1. hammadde kısıtı) X 21 + X (2. hammadde kısıtı) X 31 + X (3. hammadde kısıtı) Talep kısıtları: X 11 + X 21 + X 31 = 5000 (Normal benzin) X 12 + X 22 + X 32 = 8000 (Süper benzin) 51

52 Oktan kısıtları: (95X X X 31 )/ (95X X X 32 )/ Negatif olmama kısıtları: X ij 0 52

53 Problemin Excel e aktarılmış Hali. 53

54 İnsan Kaynakları Yönetiminde Doğrusal Programlama Kullanımı - İşgücü Planlaması: İşgücü planlamasında da doğrusal programlama modellerinden yararlanılır. Bu yapıdaki problemlerde genellikle toplam personel sayısı minimize edilir. Karar verici her vardiyada işe başlayacak personel sayısını karar değişkeni olarak seçer. Amacına ulaşmak için hangi vardiyada kaç personelin işe başlaması gerektiğini belirler. Her vardiyada gerekli minimum personel sayısının karşılanması modeldeki kısıtları oluşturur. 54

55 Can Hastanesi Hemşire Planlaması Can Hastanesi personel müdürü hemşirelerin çalışma saatlerini planlamak istemektedir. Geçmiş hastane istatistikleri ile yapılan analizler sonucu 1 işgünü 4 er saatlik 6 periyoda bölünmüş ve her bir zaman periyodunda gereksinim duyulan hemşire sayısı aşağıdaki tabloda gösterilen şekilde belirlenmiştir. Personel herhangi bir zaman periyodunda işe başlayıp 8 saat boyunca çalışarak mesaisini tamamlamaktadır. Periyot Gerekli Minimum Personel Personel müdürü, gerekli minimum personel sayısını karşılayacak şekilde personel planlaması yapmak istemektedir. 55

56 Karar Değişkenleri İşgücü planlaması probleminde, her biri çeşitli vardiyalarda işe başlayacak personel sayısına karşılık gelen 6 karar değişkeni tanımlanmalıdır. Bunlar; x1 = 00 da işe başlayan personel sayısı x2 = 04 de işe başlayan personel sayısı x3 = 08 de işe başlayan personel sayısı x4 = 12 de işe başlayan personel sayısı x5 = 16 da işe başlayan personel sayısı x6 = 20 de işe başlayan personel sayısı 56

57 Amaç Fonksiyonu Problemin amacı vardiyalarda işe başlayacak personel sayısını minimize etmektir. Dolayısıyla, karar değişkenleri toplanarak amaç fonksiyonu elde edilir. Min. x1+x2+x3+x+x5+x6 57

58 Kısıtlar Problemdeki temel kısıt grubu, her vardiyada o zaman aralığında gerekli personeli işte olmasını sağlayan aşağıdaki 6 kısıttır. x6 + x1 47 x1+x2 122 x2 + x3 286 x3 + x4 258 x4 + x5 194 x5 + x6 90 Negatif olmama: xi 0 58

59 Problemin Excel e aktarılmış Hali. 59

60 Formüller 60

61 Can Hastanesi Hematoloji Laboratuarı Can Hastanesi hematoloji laboratuarında çeşitli kan tahlilleri yapmak üzere kullanılan 3 makine vardır. Laboratuar yöneticisi kan tahlillerini bu 3 makineyi kullanarak en kısa sürede yapmayı hedeflemektedir. Yapılan kan tahlilleri süreleri ve özelliklerine göre 5 ayrı gruba bölünmüştür. Her 3 makine de tüm tahlil gruplarını yapabilmektedir. Ancak, tahlil süreleri farklıdır. Bu süreler aşağıdaki tabloda verilmiştir. 61

62 62

63 Her makine günde 20 saat çalışmaktadır. Her gün toplanan kan örnekleri ertesi gün incelenmektedir. Böylece her günün başında, yönetici hangi makinede, hangi tipten kaç adet tahlil yapması gerektiğini belirlemek zorundadır. Bu sabah laboratuarda 1.gruptan 90, 2.gruptan 84, 3. gruptan 100, 4.gruptan 150 ve 5. gruptan 60 kan örneği işlem görmek üzere beklemektedir. Yönetici makinelerin toplam kullanım sürelerini minimize edecek şekilde hangi makinede hangi gruptan kaç adet tahlil yapılması gerektiğini belirlemek istemektedir. 63

64 Bu problem için doğrusal programlama modelini oluşturunuz. Modeli Excel e uyarlayıp, Solver ile çözünüz. Optimal çözüm ve karar değişkenlerinin aldıkları değerleri bulunuz. Eğer bu çözüm uygulanırsa her makinede ne kadar boş süre kalacaktır? 64

65 Karar Değişkenleri Sağlık sektörü probleminde, her biri çeşitli tahlil gruplarından çeşitli makinelere gönderilen tahlil miktarına karşılık gelen 15 karar değişkeni tanımlanmalıdır. Bunlar; X ij = j makinesine atanan i kan örneği sayısı j=a,b,c i =1. tip kan örneği 5. tip kan örneği 65

66 Amaç Fonksiyonu Min. 6X 1A +8X 2A +9X 3A + 12X 4A +7X 5A + 12X 1B +7X 2B + 12X 3B +9X 4B + 10X 5B + 5X 1C + 12X 2C +7X 3C + 7X 4C + 9X 5C 66

67 Problemin Kısıtları Makinelerin günlük kapasiteleri: 6X 1A +8X 2A +9X 3A + 12X 4A + 7X 5A X 1B + 7X 2B + 12X 3B + 9X 4B + 10X 5B X 1C + 12X 2C + 7X 3C + 7X 4C + 9 X 5C 1200 Bekleyen tahliller gün içinde yapılmalı: X 1A +X 1B +X 1C = 90 X 2A +X 2B +X 2C = 84 X 3A +X 3B +X 3C = 100 X 4A +X 4B +X 4C = 150 X 5A +X 5B +X 5C = 60 Negatif olmama: Xij 0 67

68 Üretim-Dağıtım Zincirlerinde Doğrusal Programlama Kullanımı Pek çok üretim probleminde, üretim ve dağıtım kararları birbirine bağlı olarak eşanlı verilmek durumundadır. Bu yapıdaki problemler de doğrusal programlama yaklaşımıyla modellenip çözülebilmektedir. Bu tipteki problemlerde genellikle üretim-dağıtım maliyetleri göz önünde bulundurularak toplam kar maksimize edilir. Karar verici her üründe üretip, talep noktalarına dağıtacağı miktarları ayrı ayrı karar değişkenleri olarak seçer. Amacına ulaşmak için hangi talep noktasına hangi üretim noktasından ne kadar taşıması gerektiğini belirler. Üretim kapasiteleri ve talepler modeldeki kısıtları oluşturur. 68

69 TruvaPilsen Biraları Ürettiği ürünleri sadece yurtdışına ihraç ederek satan TruvaPilsen Biraları iki fabrikasında aşağıdaki maliyet ve kapasitelerle üretim yapmaktadır. 69

70 Dört ülkeye ihracat yapılmakta olup, ülkelerin talepleri şirketin yıllık üretim kapasitesinin üzerindedir. Ülkelerin talepleri ve önerdikleri satın alma fiyatları aşağıdaki tabloda verilmiştir. 70

71 Bir şişe biranın fabrikadan ülkelere nakliyesinin maliyeti aşağıdaki tabloda verilmiştir. 71

72 TruvaPilsen planlama departmanı, bu üründen yıllık karını maksimize edecek şekilde yıllık üretim ve dağıtım planını belirlemek istemektedir. Bu problem için doğrusal programlama modelini oluşturunuz. Modeli Excel e uyarlayıp, Solver ile çözünüz. Optimal çözüm ve karar değişkenlerinin aldıkları değerleri bulunuz. 72

73 Karar Değişkenleri Üretim-dağıtım probleminde, her biri farklı fabrikalarda üretilip farklı talep noktalarına gönderilecek miktara karşılık gelen 8 karar değişkeni tanımlanmalıdır. Bunlar; X ij = i fabrikasında üretilip j ülkesine satılan şişe sayısı 73

74 Amaç Fonksiyonu Maks ( ( ))X 11 + ( ( )) X 12 + ( ( )) X 13 + ( ( )) X 14 + ( ( )) X 21 + ( ( )) X 22 + ( ( )) X 23 + ( ( )) X 24 74

75 Kısıtlar Fabrikalarda üretilen miktarlar ülkelere dağıtılmalıdır. X 11 + X 12 + X 13 + X 14 = X 21 + X 22 + X 23 + X 24 =

76 Kısıtlar Ülkelere taleplerinin üzerinde ürün dağıtılmamalıdır: X 11 + X X 12 + X X 13 + X X 14 + X Negatif olmama: X ij 0 76

77 Taşımacılık Sektöründe Doğrusal Programlama Uygulaması - Kargo Taşımacılığı Problemi Taşımacılık sektöründe de doğrusal programlama yaygın olarak kullanılmaktadır. Özellikle bu kitabın ilerdeki bölümlerinden olan Şebeke Modelleri nde farklı uygulamalara değinilecektir. Bu kısımda kargo taşımacılığı problemi incelenmiştir. Bu yapıdaki problemlerde genellikle getiri maksimize edilir. Karar verici farklı kargo bölümlerinde taşıyabileceği farklı ürünleri karar değişkenleri olarak seçer. Amacına ulaşmak için hangi kargo bölümünde hangi üründen ne kadar taşıması gerektiğini belirler. Taşınabilecek miktar, ağırlık limiti, hacim limiti ve kargo dengesinin korunması modeldeki temel kısıtları oluşturur. 77

78 Uluslararası Kargo Şirketi Uluslararası Kargo şirketi İstanbul dan İtalya ya gemi ile kargo taşımacılığı yapmaktadır. Şirket sorumlusu İtalya ya gidecek 4 ayrı tarım ürünü için gemiye yükleme planını elde etmek istemektedir. Taşınacak ürünleri ile ilgili bilgiler aşağıdaki tabloda verilmiştir. 78

79 Şirket taşınacak ürünlerini hepsini taşımak istemekle birlikte geminin kargo taşınabilecek üç bölümü vardır. Bu bölümlerle ilgili kapasiteler aşağıdaki tabloda verilmiştir. Aynı bölümde birden farklı tipte ürün taşınabilmektedir. Bununla birlikte dengeyi sağlamak amacıyla ön kargonun ağırlığı arka kargodan en çok %10 fazla yada az olabilmektedir. Ayrıca orta bölümde taşınacak kargonun ağırlığı da gemideki tüm ağırlığın en az %40 ı en fazla da %60 ı olmalıdır. Şirket karını maksimize edecek şekilde kargo yükleme planını elde etmek istemektedir. 79

80 Karar Değişkenleri Kargo taşımacılığı probleminde, her biri çeşitli kargo bölümlerine yüklenebilecek farklı ürünlere karşılık gelen 12 karar değişkeni tanımlanmalıdır. Bunlar; X ij = j bölmesine yüklenen i ürünü miktarı (ton) j1: ön, j2: orta, j3: arka 80

81 Amaç Fonksiyonu Maks. 100(X 11 +X 12 +X 13 ) + 70(X 21 +X 22 +X 23 ) + 85(X 31 +X 32 +X 33 ) + 110(X 41 +X 42 +X 43 ) 81

82 Kısıtlar Bekleyen miktarın üzerinde taşıma yapılamaz: X 11 + X 12 + X X 21 + X 22 + X X 31 + X 32 + X X 41 + X 42 + X Bölmelerinin ağırlık kapasiteleri aşılmamalıdır: X 11 + X 21 + X 31 + X X 12 + X 22 + X 32 + X X 13 + X 23 + X 33 + X

83 Bölmelerinin hacim kapasiteleri aşılmamalıdır: 2X ,5X X X X ,5X X X X ,5X X X

84 Bölmeler arasındaki denge korunmalıdır: 0,9*(X 13 + X 23 + X 33 + X 43 ) X 11 + X 21 + X 31 + X *(X 13 + X 23 + X 33 + X 43 0,4* Toplam X 12 + X 22 + X 32 + X *Toplam (Not: Toplam = X 11 + X 12 + X 13 +X 21 + X 22 + X 23 + X 31 + X 32 + X 33 + X 41 + X 42 + X 43 ) Negatif olmama: X ij 0 84

85 Dinamik Modeller: Çok Dönemli Üretim Planlaması İş dünyasında verilen kararlar genellikle periyodik bir yapıda tekrarlanmaktadır. Yatırım profesyoneli her hafta elindeki fonları yeniden nasıl dağıtması gerektiğine karar vermekte, üretim yöneticisi her ay ne kadar üretmesi gerektiğine karar vermektedir. Dinamik yapıdaki bu kararlar zincirini oluşturan karar değişkenlerinin alacağı değerler birbirine bağlıdır. Örneğin, herhangi bir dönemdeki üretim miktarını gösteren karar değişkeninin değeri önceki dönemdeki üretim miktarına bağlı olacaktır. Eğer işletme bir önceki dönemde fazla üretim yaptıysa ve stoklarında bu üründen bulunuyorsa, yeni dönemde daha az üretme kararı verebilecektir. Belirli bir planlama dönemi boyunca birbirini tekrar eden kararların eşanlı olarak hesaplandığı doğrusal programlama modelleri dinamik modeller olarak adlandırılır. 85

86 Çok Dönemli Üretim Planlaması Bu kısımda çok dönemli üretim planlaması örneği üzerinde dinamik modelleri inceleyeceğiz. Bu yapıdaki problemlerde toplam üretim ve stok maliyetleri minimize edilir. Karar verici her dönem üreteceği ve stoklayacağı miktarları karar değişkenleri olarak seçer. Amacına ulaşmak için hangi dönemde ne kadar üretim ve stok yapması gerektiğini belirler. Her dönem üretilen, stoklanan ve talep edilen ürünlerin birbirini sağlaması ile üretim alt-üst sınırları ve stoklanabilecek maksimum miktar modeldeki kısıtları oluşturur. Mobaş Mobilya şirketi modüler mobilyalar üretmektedir. Ürünlerinden birisi olan kitaplık için önümüzdeki altı ay boyunca tahmin edilen talep ve üretim maliyetleri ile kapasitesi aşağıdaki tabloda verilmiştir. Mobaş, stokta kalan her bir kitaplığın bir aylık stok maliyetini yaklaşık 2 milyon TL olarak tahmin etmektedir(aylık stok miktarı, dönem başı ve dönem sonu stoklarının ortalaması olarak alınmaktadır). Şu anda stokta 25 adet kitaplık bulunmaktadır. İşgücü düzeyini dengeli tutmak için, şirket her ay en az 50 kitaplık üretmek istemektedir. Ayrıca beklenmeyen talepleri karşılamak için de her ay 12 adet güvence stoğu bulundurulması istenmektedir. Mobaş önümüzdeki altı ay boyunca en az maliyetle talebi karşılayacak şekilde her ay ne kadar kitaplık üretmesi gerektiğini bulmak istemektedir. Bu problem için doğrusal programlama modelini formülize ediniz. Modeli Excel e uyarlayıp, Solver ile çözünüz. Optimal çözüm ve karar değişkenlerinin aldıkları değerleri bulunuz. Aylar Aylık Talep Üretim Maliyeti (milyon TL) Aylık Üretim Kapasitesi

87 Karar Değişkenleri Çok dönemli üretim planlaması probleminde, her biri planlama dönemlerinde üretilecek miktara karşılık gelen 6 ve stoklanacak miktara karşılık gelen 6 olmak üzere toplam 12 karar değişkeni tanımlanmalıdır. Bunlar; P i = i ayında üretilecek kitaplık sayısı I i = i ayının sonunda eldeki stok miktarı 87

88 Amaç Fonksiyonu Min. 68P 1 +63P 2 +60P 3 +65P 4 +64P 5 +68P 6 + 2*(25+2I 1 +2I 2 +2I 3 + 2I 4 + 2I 5 + I 6 )/2 1. dönemin sonundaki stok, 2. dönemin başındaki stoka eşit olur. 88

89 Problemin Kısıtları Problemdeki ilk grup kısıt dönemlerdeki ürün akışının korunmasını sağlayan kısıtlardır. Daha açık bir ifadeyle dönem sonunda elde kalacak stok miktarının, bir önceki dönemden devreden stok artı bulunulan dönemdeki üretim miktarı eksi dönem talebine eşit olmasını sağlayan kısıtlardır. I 1 = 25+P 1-85 I 2 = I 1 + P I 3 = I 2 + P 3-63 I 4 = I 3 + P I 5 = I 4 +P 5-91 I 6 = I 5 + P

90 Üretimin alt ve üst sınırlar içerisinde olmalı: P 1 50 P 2 50 P 3 50 P 4 50 P 5 50 P 6 50 P P P 3 95 P P P

91 Güvence stoğu kısıtı: I 1 12 I 2 12 I 3 12 I 4 12 I 5 12 I 6 12 Negatif olmama: P i, I i 0 91

92 Çok Dönemli Üretim Planlaması B C D E F G H 2 MOBAŞ ÜRETİM PLANI 3 Aylar Başlangıç Stoğu Üretim Miktarı Talep Dönem Sonu Stoğu Üretim Kapasitesi Birim Üretim Maliyeti 68 mtl 63 mtl 60 mtl 65 mtl 64 mtl 68 mtl 12 Min.Üretim Güvence Stoğu 13 Toplam Maliyet mtl

93 Dinamik Modeller: Nakit Akışı Problemi Dinamik modellere bir diğer örnek de çok dönemli nakit akışı problemidir. Bu yapıdaki problemlerde genellikle planlama dönemi sonundaki getiri maksimize edilir. Karar verici yatırım enstrümanlarını karar değişkenleri olarak seçer. Amacına ulaşmak için hangi yatırım enstrümanına ne kadar yatırım yapması gerektiğini belirler. Dönemler içinde nakit akışının korunumu ve yatırım enstrümanlarına yapılabilecek yatırımların alt-üst limitleri modeldeki kısıtları oluşturur. 93

94 Çevre Koruma Derneği Çevre Koruma Derneğinin bağışlardan topladığı ve doğal hayatı ve çevreyi koruma faaliyetlerinde kullandığı fonlarında 500 milyar TL birikimi vardır ve bu birikimi yatırımlara dağıtmak istemektedir. Dernek yatırım yapabileceği enstrümanları beş adete indirgemiştir. Bu enstrümanların nakit akış planı aşağıdaki tabloda verilmiştir. 94

95 Nakit Akışları (her yılın başındaki akışlar) Yatırım Enstrümanı A -1,00 1,00 0,70 B -1,00-1,80 C -1, ,10 D -1,00-1,85 E -1,00-1,75 Dernek A yatırım enstrümanına eğer 2003 başında 1 TL yatırırsa, 2004 başında 1 TL ve 2005 başında da 0,7 TL alacaktır. Öte yandan, eğer 1 TL sini 2004 başında B ye yatırırsa, 2006 yılı başında 1,80 TL kazanacaktır. Tablodaki - işaretleri nakit akışının olmadığı yatırım dönemlerini göstermektedir. Her yıl başında derneğin elindeki parasını yıllık %25 getiri ile para piyasalarında değerlendirme şansı da bulunmaktadır. Dernek, likiditesini korumak için en azından 50 milyar TL yi sürekli olarak para piyasalarında tutmak istemekte ve risklerden kaçınmak için de herhangi bir yatırım enstrümanına ve para piyasalarına 300 milyar TL den fazla yatırmak istememektedir. Dernek 2006 yılı başındaki toplam parasını maksimize etmek için yatırımlarını nasıl oluşturmalıdır? 95

96 Karar Değişkenleri A = A yatırım enstrümanına yatırılan miktar B = B yatırım enstrümanına yatırılan miktar C = C yatırım enstrümanına yatırılan miktar D = D yatırım enstrümanına yatırılan miktar E = E yatırım enstrümanına yatırılan miktar P 2003 =2003 de para piyasasına yatırılan miktar P 2004 =2004 de para piyasasına yatırılan miktar P 2005 =2005 de para piyasasına yatırılan miktar 96

97 Amaç Fonksiyonu Problemin amacı çeşitli yatırım enstrümanlarına yatırılacak miktarlarla 2006 yılında elde edilecek getiriyi maksimize etmektir. Dolayısıyla, 2006 yılında getiri getiren karar değişkenleri ile o karar değişkenine karşılık gelen yıllık getiri değerleri çarpılıp, sonra da tüm değerler toplanarak amaç fonksiyonu elde edilir. Maks. 1,80 B + 2,10 C + 1,25 P 2005 (Amaç fonksiyonunu 2006 yılına göre kurduk) 97

98 Kısıtlar Problemdeki ilk kısıt grubu, önümüzdeki 3 yıl boyunca yıllık nakit girdileri ile nakit çıkışlarını birbirine eşitleyerek nakit akışının korunumunu sağlayan kısıtlardır. A+C+D+E+P 2003 = (2003 yılı) A+1,25P B-P 2004 =0 (2004 yılı) 0,7A+1,85D+1,75E+1,25P P 2005 =0 (2005 yılı) 98

99 Yatırım enstrümanlarına yatırılabilecek miktarların alt-üst sınırları: A 300 B 300 C 300 D 300 E 300 P P P P P P Negatif olmama: A, B, C, D, E, P 2003, P 2004, P

100 Hücre Formül F14: =SUMPRODUCT($C$6:$C$13;F6:F13) G14: =SUMPRODUCT($C$6:$C$13;G6:G13) H14: =SUMPRODUCT($C$6:$C$13;H6:H13) I14: =SUMPRODUCT($C$6:$C$13;I6:I13) B C D E F G H I 2 ÇEVRE KORUMA DERNEĞİ 3 YATIRIM NAKİT AKIŞI PROBLEMİ 4 Yatırım Yatırılan Minimum Maksimum Nakit Akışı 5 Enstrümanı Miktar Yatırım Yatırım A ,00 1,00 0,70 7 B ,00-1,80 8 C , ,10 9 D ,00-1,85 10 E ,00-1,75 11 P ,00 1,25 12 P ,00 1,25 13 P ,00 1,25 14 (bin TL) Toplam Gereken

101 Solver Parametreleri 101

102 Optimal Çözüm B C D E F G H I 2 ÇEVRE KORUMA DERNEĞİ 3 YATIRIM NAKİT AKIŞI PROBLEMİ 4 Yatırım Yatırılan Minimum Maksimum Nakit Akışı 5 Enstrümanı Miktar Yatırım Yatırım A ,00 1,00 0,70 7 B ,00-1,80 8 C , ,10 9 D ,00-1,85 10 E ,00-1,75 11 P ,00 1,25 12 P ,00 1,25 13 P ,00 1,25 14 (bin TL) Toplam Gereken Bu çözüme göre Çevre Koruma derneği A enstrümanına 300 bin TL, B enstrümanına 300 bin TL, C enstrümanına 144 bin TL, D enstrümanına 6 bin TL, 2009 da para piyasalarına 50 bintl, 2010 da para piyasalarına 63 bintl ve 2011 de para piyasalarına 300 bin TL yatırmalıdır. Bu yatırım planı ile 3 yılın sonunda 500 bin TL lik yatırmının değeri TL ye çıkacaktır. 102

103 VERİ ZARFLAMA ANALİZİ 103

104 VERİ ZARFLAMA ANALİZİ (VZA) DATA ENVELOPMENT ANALYSIS (DEA) Benzer girdiler kullanarak, benzer çıktılar üreten birimlerin göreli etkinliklerinin ölçülmesi işletme yöneticilerinin önemli problemlerinden biridir. Veri Zarflama Analizi, çok sayıda girdi/çıktı olması durumunda etkinlik ölçülmesinde kullanılabilecek doğrusal programlama tabanlı bir tekniktir. 104

105 VZA DEA de bir karar-biriminin göreli etkinliği toplam ağırlıklı çıktılarının toplam ağırlıklı girdilerine oranı olarak tanımlanmaktadır. Bir birim için ağırlıklı çıktılar toplamının ağırlıklı girdiler toplamına oranı aşağıda matematiksel formda gösterilmektedir. e i n j 1 m j 1 a b j j ç g ij ij 105

106 Her bir birim için etkinlik maksimize edilir. Modelin kısıtları ise bu ağırlıklar diğer karar-birimlerine de uygulandığında hiç bir karar-biriminin etkinliğinin biri (%100 ü) geçmemesini sağlayan kısıtlardır. Maks. kısıtlar n j 1 m j 1 n j 1 m j 1 aç j j bg ij ij a, b 0 j aç j j j bg kj kj 1 k 1...s 106

107 Doğrusal Eşdeğeri Amaç fonksiyonundaki m j 1 bg j ij terimi 1 e eşitlenerek kısıt haline getirilir. Kesirli yapıdaki kısıt doğrusal hale getirilirse: Max st.. n j 1 n a j ç ij j kj j kj j 1 j 1 m j 1 j ij a, b 0 j a ç bg j m b g 0 k 1...s 1 n j Bu model her birim için ayrı ayrı çözülecektir. Ancak her çözümde m a jçkj bjgkj 0 1 j 1 kısıtlar grubu sabit kalacak, sadece amaç fonksiyonu ve son kısıt çözümü yapılan birimin verileriyle değiştirilecektir. 107

108 VZA Örnek Bir banka Ankara daki 6 şubesinin göreli etkinliklerini ölçmek istemektedir. Banka yönetimi şubelerin yaptıkları işlemleri üç grupta toplamış ve bunları şubelerin çıktı göstergeleri olarak belirlemiştir. Şubelerin operasyonel girdileri ise kira giderleri, personel harcamaları ve malzeme harcamaları olarak belirlenmiştir. Bu şubelerin ürettikleri çıktı ve kullandıkları girdi miktarları tablo da görülmektedir. Yönetim etkin çalışan ve çalışmayan şubelerini belirlemek istemektedir. 108

109 Veri ve Karar Değişkenleri Çıktılar Girdiler Şube Ç1 Ç2 Ç3 K P M , , , Karar değişkenleri: a 1 = Şubenin etkinlik skorunda çıktı 1 in ağırlığı a 2 = Şubenin etkinlik skorunda çıktı 2 nin ağırlığı a 3 = Şubenin etkinlik skorunda çıktı 3 ün ağırlığı b 1 = Şubenin etkinlik skorunda girdi 1 in ağırlığı b 2 = Şubenin etkinlik skorunda girdi 2 nin ağırlığı b 3 = Şubenin etkinlik skorunda girdi 3 ün ağırlığı 109

110 Amaç Fonksiyonu: Problemin amacı etkinlik skoru hesaplanan şubenin toplam ağırlıklı çıktısını maksimize etmektir. Aşağıda şube 1 için kurulacak modelin amaç fonksiyonu görülmektedir. Maks. 484 a a a 3 Not: Bizim örneğimizde 6 şube için 6 ayrı model kurulacaktır. Örneğin şube 2 için amaç fonksiyonu Maks. 384 a a a 3 olarak elde edilecektir. 110

111 Problemin Kısıtları: Problemdeki ilk kısıt grubu modeli kurulan şubenin ağırlıkları ile diğer şubelerin 1 den (%100) daha yüksek bir etkinliğe sahip olmamasını sağlayan kısıtlardır. Bu grupta şube sayısı kadar kısıt hazırlanacaktır. 484 a a a b 1 43 b 2 88 b a a a 3 49 b 1 17 b 2 38 b a a a 3 37 b 1 14 b 2 30 b a a a 3 47 b 1 9 b 2 28 b a a a 3 33 b 1 5 b 2 20 b a a a 3 51 b 1 8 b 2 19 b 3 0 Modeldeki diğer kısıt ise etkinlik skoru hesaplanan şubenin ağırlıklı girdi toplamını 1 e eşitleyen aşağıdaki kısıttır. 140 b b b 3 = 1 111

112 Matematiksel Model: Maks. 484 a a a 3 Kısıtlar 484 a a a b 1 43 b 2 88 b a a a 3 49 b 1 17 b 2 38 b a a a 3 37 b 1 14 b 2 30 b a a a 3 47 b 1 9 b 2 28 b a a a 3 33 b 1 5 b 2 20 b a a a 3 51 b 1 8 b 2 19 b b b b 3 = 1 a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3 0 Not: Şube 1 için yukarıda oluşturulan model diğer şubeler için kurulurken, sadece koyu kırmızı renkle gösterilen rakamlar o şubenin çıktı ve girdi değerleri ile değiştirilecektir. 112

113 Excel de Modelleme ve Solver ile Çözüm: B C D E F G H I J K 2 3 Çıktılar Girdiler Ağırlıklı Ağırlıklı 4 Şube C1 C2 C3 K P M Çıktı Girdi Fark , , , Ağırlıklar Şube 5 15 Çıktı Girdi 1 Hücre Formül I5: =TOPLA.ÇARPIM($C$12:$E$12;C5:E5) I5:I10 aralığına kopyalanacak J5: =TOPLA.ÇARPIM($F$12:$H$12;F5:H5) J5:J10 aralığına kopyalanacak K5: =I5-J5 K5:K10 aralığına kopyalanacak C15: =DÜŞEYARA(C14;B5JI10;8) C16: =DÜŞEYARA(C14;B5JI10;9) 113

114 Çözüm: Tüm şubeler için model çözüldüğünde, şubelerin etkinlik skorları sırasıyla, 1, 1, 0.84, 0.98, 0.83 ve 1 olarak hesaplanır. Buna göre 1, 2 ve 6. şubeler etkin, 3, 4 ve 5. şubeler ise etkin olmayan şekilde bulunmuştur. Etkin olmayan şubeler kullandıkları girdi miktarlarını azaltarak ve/veya ürettikleri çıktı miktarlarını arttırarak etkin hale gelebilirler. 114