OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JEODEZİ DERSİ DERS NOTLARI. Doç.Dr.Erol Yavuz.

Transkript

1 JEODEZİ NİN AMACI Jeodezinin amacı yeryüzünün şeklini ve çekim alanlarını belirlemektir. Jeodeziyi genel olarak aşağıdaki gibi bölümlendirebiliriz; Jeodezi Matematiksel Jeodezi Açı, doğrultu, uzunluk ölçüleri, nivelman Jeodezik Astronomi Astronomik ölçüler Fiziksel Jeodezi Ağırlık ivmesi ölçüleri Uydu Jeodezisi uzaklık ölçüsü Geometrik Uydu Jeodezisi Dinamik Uydu Jeodezisi Jeodeziyi uygulama alanları açısından ikiye ayırırız; 1. Dünya ölçmesi 2. Ülke ölçmesi Dünya ölçmesinde amaç dünyanın şeklini belirlemektir. Dünya ölçmesi fiziksel jeodezinin kapsamı içine girer. Fiziksel ölçmede amaç dünyanın çekim alanlarını belirlemektir. Çekim alanı belirlemesinde; her noktada değişik değer alan yerçekimi ivmesi belirlenir. Ülke ölçmesinde amaç ülkenin şeklinin belirlenmesidir. Matematiksel jeodezinin amaçlarından biride ülke ölçmesidir. M.Ö 800yıllarında dünyanın düz olduğu sanılıyordu. Küre biçiminde olduğunu ilk defa Aristotales iddia etmiştir (M.Ö ). Dünyanın çevresini ilk hesaplayanda Erastosthenes (M.Ö ) olmuştur. b r ρ = α Ç dünya = 46250km 1525 yılına kadar jeodezi biliminde bir duraklamama olmuştur ve ilk nirengi Gemma Frisius ( ) tarafından kullanılmıştır. Gene bu yıllarda meridyen yay ölçümleri yapılarak

2 dünyanın çevresi bulunmuştur yılında Fransız Fernel dünyanın çevresini 40044km bulmuştur. Gene Fransız Picard 1669 yılında dünyanın çevresini 40036km bulmuştur yılları arasında Delambre dünyanın çevresini 40000km bulmuştur yılında Orta Avrupa Meridyen Ölçüleri Birliği kurulmuştur yılında da Tarafsız ülkeler Jeodezi Birliği kurulmuştur yılında bugün dahi yürürlükte olan Uluslararası Jeodezi ve Jeofizik Birliği kurulmuştur (IUGG). Bu birlik 7 bölümden oluşmaktadır. Bu bölümlerden biride jeodezidir. Türkiye bu birliğe 1947 yılında üye olmuştur. Jeodezide kullanılan referans yüzeyleri; 1. Düzlem 2. Küre 3. Dönel elipsoid 4. Geoid Geoid : hiçbir çekim kuvvetinin etkisinde kalmayan durgun deniz yüzünün kıtaların altından da devam ettiğini düşünürsek elde ettiğimiz şekil geoiddir. Geoid adını 1872 yılında Listing vermiştir. Yeryüzünün şeklini belirlemek için bir hesap yüzeyi almak gerekir. Çekül doğrultuları nivo yüzeylerine diktir. Bu nivo yüzeylerinden biride geoiddir. Geoid yüzeyinin gidişi yoğunluk değişmelerine göre değişmektedir. Matematiksel olarak ifade edilmesi zor olduğundan, geoid hesap yüzeyi olarak kullanılmaz. Dünyanın şeklini, geoide en çok uyması ve hesaplanması kolay olduğundan dönel elipsoid kullanılır. Bu dönel elipsoid için de, bir ortalama yer elipsoidi, bir de yöreye en iyi uyan elipsoid alınır. Geoidi üçüncü boyut olan yükseklikler için başlangıç olarak kullanıyoruz (ortometrik yükseklikler için başlangıç).herhangi bir noktanın ortometrik yüksekliği denildiğinde, o noktanın geoide olan düşey uzaklığı anlaşılır.

3 Jeodezi yeryüzünün ölçülmesini, hesaplanmasını ve çizilmesini kendine konu edinen bir bilim dalıdır. Küçük yeryüzü parçalarının ölçülmesinde Düzlem Jeodezi nin metotları yeterli olduğu halde yeryüzünün daha büyük parçalarının veya tamamının ölçülmesinde yeryüzünün temel şeklinin bilinmesi ölçü, hesap ve çizim metotlarının buna göre seçilmesi zorunludur. Yeryüzünün şekli derken hangi yüzeyi kastettiğimizi belirlemek gerekir. Yerin sıvı ve katı kısmı ile yer atmosferini ayıran sınır yüzeyini fiziksel yeryüzü olarak tanımlıyoruz. Fiziksel yeryüzü olarak dünya denizleri düzenli bir şekil gösteriyorlarsa da, çeşitli engebeleri olan kara parçaları böyle bir düzenden yoksundur. Yerin temel şeklinde dağlar, vadiler, ovalar v.s. gibi engebelerin tamamen dikkate alınması mümkün değildir. O halde, yerin temel şekli için fiziksel yeryüzünden ayrı olarak yerin fiziksel yapısına uygun, bir yüzeyin alınması daha anlamlı olur. Herhangi bir noktaya bilindiği gibi, kitlesi dolayısıyla yerin çekim kuvveti ve ekseni etrafında dönmesi dolayısıyla da bir merkezkaç kuvveti tesir eder. Bu iki kuvvetin bileşkesi o noktaya tesir eden çekim kuvvetidir. Bütün noktalarında çekim kuvveti doğrultusuna dik olan yüzeylere nivo yüzeyleri denir. Veya nivo yüzeyi çekim potansiyelinin eşit olduğu noktaların geometrik yeridir. Bir kuvvet alanında her noktadan bir nivo yüzeyi geçer ve bu yüzeyler yukarıdaki tarife uygun olarak bütün noktalarında çekim kuvveti doğrultusuna diktirler. Yerin nivo yüzeyleri kapalı yüzeyler olup birbiri içine yerleşmiş bir yüzeyler ailesi oluştururlar. Yaklaşık olarak km kalınlığındaki yer kabuğunun içinde kalan kısım sıvı halinde olup yoğunluğu merkeze doğru düzenli bir şekilde artan kitlelerden meydana gelmiştir. Yer kabuğu ise kristalize olmuş taşlardan meydana gelmiştir. Yer kabuğunda yoğunluğun düzenli bir dağılımı yoktur. Aynı derinlikte farklı yoğunlukta kitlelere rastlamak mümkündür. Yer kabuğunun altındaki sıvı kısmında hidrostatik dengeye yakın bir durum hakimdir. Burada eşit yoğunluklu noktaların oluşturduğu yüzeyler yaklaşık olarak nivo yüzeyi olarak kabul edilebilirler. Yerin hacminin 1 30 u kadar olan ve kitle bakımından yerin 1 65 i olan yer kabuğundaki düzensiz yoğunluk dağılımı yerin içindeki ve dışındaki nivo yüzeylerini etkiler. Yerin temel şekli olarak seçilecek yüzeyde; a) Yerin fiziksel yapısına uygun olması b) Matematik olarak ifade edilebilmesi c) Ölçü işlemleri ile bağlantısının kolay olması özellikleri aranması gerekir. Bu özelliklerin genel olarak bir nivo yüzeyinde bulunduğunu söyleyebiliriz. Uygun olarak seçilecek bir nivo yüzeyi, fiziksel yapının bir sonucu olduğundan yerin fiziksel yapısına uygun olacaktır ve eşit potansiyelli noktaların geometrik yeri olarak matematik ifadesi de mümkündür. Nivo yüzeyini tanımlayan çekim kuvveti doğrultusu her zaman ve her yerde bir düzeç veya çekül yardımı ile belirtilebileceğinden, ölçü işlemleriyle bağlantısı bakımından da nivo yüzeylerinin en uygun yüzey olduğu söylenebilir. Yeryüzünün yaklaşık olarak 8 11 i denizlerle kaplıdır. Gel-Git (Met-Cezir) olaylarından, fırtına, sıcaklık farkları v.s. etkilerinden arınmış olarak düşünülen deniz yüzeyi de bir nivo yüzeyidir. Nivo yüzeyleri arasından, bu kadar büyük oranda doğada gözle görülür şekilde

4 gerçekleşmiş olan bu nivo yüzeyinin yeryüzünün şekli olarak seçilmesi herhalde anlamlı ve bir çok bakımdan da faydalı olacaktır. Durgun haldeki dünya denizleri ile çakışan bu nivo yüzeyi kapalı bir yüzey olması dolayısıyla yeryüzünün 3 11 ini oluşturan kara parçalarının bulunduğu yerlerde de devam edecektir. Bu nivo yüzeyini, kara parçalarında açılacak, denizlerle irtibatlı kanallardaki su yüzeyi olarak tasarlamak da mümkündür. Bütün yeryüzünde tek anlamlı olarak tanımlanabilen bu nivo yüzeyine Jeoid adı verilir ve yerin temel şekli olarak kabul edilir. YER ELİPSOİDİ Yeryüzünün temel şekli olarak kabul edilen jeoidin şekli her ne kadar tanımlanmışsa da her yerde yeteri kadar belirlenmiş değildir. Ayrıca jeoidin basit bir geometrik yüzey olmaması jeodezik ölçülerin değerlendirilmesini geniş ölçüde güçleştirmektedir. Böyle olunca matematik yönden daha basit, jeodezik problemlerin çözümünde büyük güçlükler çıkarmayan ve jeoidden farkı mümkün olduğu kadar az bir yüzeyin belirlenmesi gerekir. Teorik araştırmalar ve astronomik-jeodezik çalışmaların değerlendirilmesi en basit ve jeoide en yakın geometrik şeklin kutuplarda basık bir dönel elipsoid olduğunu göstermiştir. Newton un yerin basıklığı hakkındaki çığır açan iddası 18. Yüzyılda yapılan meridyen ölçüleri ile doğrulandıktan bu yana, jeoide en yakın dönel elipsoidin boyutlarının belirlenmesi jeodezinin ana problemi olmuştur. Yerin temel şekli jeoidi temsil etmesi ön görülen elipsoide Ortalama Yer Elipsoidi diyeceğiz. Ortalama yer elipsoidinin şu şartları sağlaması gerekir; a) Elipsoidin merkezi yerin ağırlık merkezi ve elipsoidin ekvator düzlemi yerin ekvator düzlemi ile çakışmalıdır. b) Elipsoidin hacmi jeoidin hacmine eşit olmalıdır. c) Jeoid yüzeyi ile elipsoidin yüzeyi arasındaki yükseklik farklarının karelerinin toplamı minimum olmalıdır. Dünya Elipsoidinin Geometrik Özellikleri (Elipsoid Geometrisi) Elips : Tanım olarak F 1 ve F 2 gibi iki noktaya uzaklıkları sabit olan noktaların geometrik yeri olarak tanımlanır. Bir elips, yarı eksen uzaklıkları olan a ve b ile tanımlanır.elipsin basıklığı ise; f = α = a b a olarak ifade edilir.

5 x 2 a 2 + z2 b 2 = 1 Elips denklemi Elips geometrik şekillerden çemberin genel durumudur. Diğer bir deyişle elipsin özel bir durumu çemberdir. Elipsin yarı eksenlerinin birbirine eşit olması (a=b) durumunda elips bir çembere dönüşür ve çemberin yarıçapı (R=a=b) elipsin yarı eksen uzunluğu olur. Elipsoid ve Dönel Elipsoid : Elipsoid deyimi aslında merkezi üç boyutlu bir koordinat sisteminin (XYZ) orjininde, X ekseni yönünde yarı eksen uzunluğu a, Y ekseni yönünde yarı eksen uzunluğu c ve Z ekseni yönünde yarı eksen uzunluğu b olan ve denklemi aşağıdaki gibi kapalı düzgün bir şekildir. x 2 + y2 + z2 a 2 c 2 b 2 = 1 genel elipsoid denklemi Jeodezide kullanılan dönel elipsoid, bir elipsin düşey Z ekseni (küçük yarı ekseni) etrafında 1800 döndürülmesiyle elde edildiğinden X ve Y eksenleri boyunca yarı eksen uzunlukları birbirine (a=c) eşit olur. Bundan böyle elipsoid kavramı dönel elipsoid yerine kullanılacaktır Elipsoid üç boyutlu geometrik kapalı şekillerden kürenin genel bir halidir. Diğer bir deyişle küre elipsoidin özel bir halidir (a=b=c=r).

6 x 2 +y 2 a 2 + z2 = 1 dönel elipsoid denklemi b2 Elipsoidi belirlemek demek, meridyen elipsini belirlemek demektir. (a,b) (a,α) Meridyen Elipsinin Elemanları Elipsoidi belirlemek demek, meridyen elipsini belirlemek demektir. (a, b) (a, α). Üç elemandan (a, b ve α) ikisinin bilinmesiyle elipsoidin boyutları tek anlamlı olarak belirlenmiş olur.

7 Dönel elipsoid, meridyen elipsinin verilmesiyle tanımlanır. Meridyen elipsi de a büyük yarı eksen, b küçük yarı eksen değerlerinin verilmesiyle belirlenir. Yarı eksen uzunluklarının her ikisinin verilmesiyle elipsoidin büyüklüğü ve şekli belirli olur. Aşağıdaki parametreler elipsin sadece şeklini belirler. Bunlar, elipsoidin basıklığı (f ya da ), birinci eksentiriste (e 2 ) ve ikinci eksentiriste (e 2 ) dir. Buradan bir elipsin büyüklüğünün belirlenebilmesi için en az bir yarı eksen uzunluğunun, elipsin şeklinin belirlenebilmesi için basıklık veya eksentiristelerden herhangi birinin bilinmesinin ya da hesaplanabilmesinin yeterli olduğu ortaya çıkar. Eksantrisite : Bir elipsin odaklarından herhangi biri ile elipsin geometrik merkezi arasındaki mesafenin büyük eksene bölünmesinden elde edilen orandır. Odaklar arasındaki mesafe azaldıkça eksantrisite sıfıra, elips de daireye yaklaşır. ε = a 2 b 2 lineer eksantiriste (doğrusal dış merkezlik) e = ε a = a2 b 2 e = ε b = a2 b 2 a 2 1.eksantiriste (1.dış merkezlik) b 2 2.eksantriste n = a b a+b m = a2 b 2 a 2 +b 2 α = 1 1 e 2 = 1 1 e 2 = e 2 = n = m = e 2 1+e 2 = 2α α 2 = e2 = 2α α2 = 1 e 2 (1 α) 2 2n = 1+e 2 4n = 2m (1+n) 2 m+1 4n = 2m (1 n) 2 m+1 = 1 n+1 1 m 1+m α 2 α = 1 1 e e 2 = 1+e e 2 +1 = 1 m (1 1 m2 ) 2α α2 1+(1 α) 2 = e2 2 e 2 = (1 + e 2 )(1 e 2 ) = 1 e 2 2+e 2 = 2n 1+n 2 b = 1 α = 1 a e2 = e = 1 = 1 n = e 1+e 2 1+n 1 m 1+m c = a2 b = a 1 α = a 1 e 2 = b 1 e 2 = a 1 + e 2 = b(1 + e 2 ) c: kutup noktasındaki meridyen eğrilik yarıçapı

8 Uluslararası Jeodezi ve Jeofizik Birliği (IUGG) tarafından 1930 yılında enternasyonel elipsoid olarak kabul edilen Hayford elipsoidi Türkiyede hesap yüzeyi olarak kullanılmışdır. Bu elipsoide ilişkin parametreler şunlardır. a= m b= m c= m α = e 2 = e 2 = Uydu teknolojisinin gelişmesiyle 1979 yılında IUGG 1980 jeodezik referans elipsoidini tanımlamışlardır. GRS80 adı verilen bu elipsoidin katsayıları şunlardır. GRS80 elipsoidinin parametrleri; Büyük yarı eksen : a = m Küçük yarı eksen : b = m Basıklık : α = 1 f = (f = a b a ) Üçüncü basıklık : n = a b a+b = Doğrusal dış merkezlik : E = a 2 b 2 = m Kutupdaki eğrilik yarıçapı : c = a2 b = m Birinci eksentriste : e 2 = (e = E a ) İkinci eksentriste : e 2 = (e = E b ) Türkiye Ulusal Temel GPS ağı (TUTGA) GRS80 elipsoidinde hesaplanmıştır. 15 temmuz 2005 tarihinde yürürlüğe giren Büyük Ölçekli Harita ve Harita Bilgileri Üretim Yönetmeliğine göre bu ağı oluşturan noktaların koordinatları XYZ şeklinde dik koordinatlar olarak ve GRS80 elipsoidinde elipsoidal eğri koordinatlar BLH olarak gösterilir. Yeryüzünün tamamının değil de bir kısmının, mesela bir memleketin ölçülmesi söz konusu olduğunda o bölgedeki jeoid yüzeyi parçasının en iyi şekilde temsil edilmesi düşünülür. Ortalama yer elipsoidi jeoidin tamamı için en yakın yüzey olmakla beraber belli bir jeoid parçası için daha uygun bir elipsoid bulunabilir. Bu düşünce ile kullanılan elipsoide Bölgesel Elipsoid ismi verilir. Bir bölgesel elipsoidin aşağıdaki şartları gerçekleştirmesi gerekir;

9 a) Elipsoidin ekseni yerin dönme eksenine parelel olmalı, b) Bölge içinde jeoid yüzeyi ile elipsoid yüzeyi arasındaki yükseklik farklarının karelerinin toplamı minimum olamalıdır. ELİPSOİDDE JEODEZİK HESAPLAMALAR Ülke ölçmeleri söz konusu olduğunda seçilecek referans yüzeyi dönel elipsoiddir. Nirengi noktalarının yatay koordinatları (, λ veya Y, X) elipsoid üzerinde hesaplanırken, noktaların düşey konumu için elipsoid referans yüzeyi olarak alınmaz, noktaların jeoidden itibaren çekül doğrultusu boyunca (H) ortometrik yükseklikleri hesaplanır. Elipsoid üzerinde jeodezik hesaplamalar yapılırken noktaları en kısa yoldan tek anlamlı olarak birleştiren jeodezik eğri kenarlar esas alınır. Elipsoid üzerinde jeodezik hesaplamaların yapılabilmesi için fiziksel yeryüzünde yapılan gözlemlerin elipsoid yüzeyine indirgenmesi gerekir. Günümüze kadar yapılan jeodezik çalışmalarda dünya için pek çok elipsoid tanımlanmıştır (Bessel Elipsoidi 1841, Hayford Elipsoidi 1910, Krassowsky Elipsoidi 1940, GRS80 Elipsoidi, WGS84, GRS80 elipsoidi gibi). Dönel Elipsoidin Yerleştirilmesi ve Yöneltilmesi Ülke nirengi ağları için hesap yüzeyi olarak dönel elipsoid seçilir. Böyle bir dönel elipsoidin boyutları, ya dünyanın gerçek şekli olarak tanımlanan jeoidin tüm yüzeyine en uygun varsayılan bir elipsoidin boyutları, ya da nirengi ağının bulunduğu ülkedeki jeoid kesimine en uygun bir elipsoidin boyutlarıdır. Bu ikinci özellikteki elipsoidin boyutlarını bulmak ve jeoide göre konumunu belirlemek daha güç olduğu ve pratik gereksinimler için fazla yarar sağlamadığı için genellikle birinci özelliği taşıyan elipsoid hesap yüzeyi olarak alınır. Hesap yüzeyi olarak alınan elipsoidin jeoide göre konumunu belirlemek için, ülkenin ortalarına düşen bir nirengi noktasında, jeoid normali (çekül doğrultusu) ile elipsoid normali çakıştırılır. Çakıştırma işlemi bu noktada (Ülkemizde Meşedağı noktası) astronomik gözlemlerle belirlenen astronomik enlem ve boylamın (Φ, Λ) nın elipsoidal enlem ve boylam (φ, λ) ya eşit alınması ile sağlanır. Bunun yanında başlangıç noktasından başka bir nirengi noktasına giden kenarın astronomik gözlemlerle bulunan A astronomik azimutu (kenarın kuzey doğrultusu ile saat ibresi yönünde yaptığı açı), elipsoid yüzünde düşünülecek bu kenar için α elipsoidal azimutu olarak alınır. Böylece nirengi ağı yönlendirilmiş olur. Özet olarak, başlangıç noktasında astronomik enlem ve boylamın elipsoidal enlem ve boylam alınması (φ = Φ, λ = Λ) ve bu noktadaki jeoid yüksekliği de sıfır (N j = 0) alınmak suretiyle referans elipsoidi jeoide teğet hale getirilir ve bu noktada çekül sapması sıfır olur. Referans elipsoidinin dönme ekseninin yeryuvarının dönme eksenine paralelliği yine başlangıç noktasından bir diğer nirengi noktasına giden kenarın astronomik azimutu elipsoidal azimut (α = A) alınarak nirengi ağı yönlendirilmiş olur. Başlangıç noktasında çekül sapması bileşenleri ve jeoid yüksekliği sıfır olur. (ξ = η = ε = N = 0)

10 Elipsoid Yüzeyine İzdüşümler Fiziksel yeryüzü üzerindeki bir P noktası doğal koordinatlar olarak da adlandırılan yerin gravite alanıyla ilgili astronomik enlem (Φ), boylam (Λ) ve ortometrik yüksekliğin (H) verilmesiyle tanımlanabilir. (Φ, Λ, H) doğal koordinatlarından (B, L, h) elipsoidal coğrafi koordinatlarının elde edilmesi için, φ = Φ ξ λ = Λ ηsecφ h = H + N eşitlikleri kullanılır. Burada; ξ = Φ φ η = (Λ λ)cosφ ε 2 = ξ 2 + η 2 : Çekül sapmasının kuzey-güney bileşeni : Çekül sapmasının doğu-batı bileşeni : Çekül sapması Fiziksel yeryüzündeki P noktasının elipsoid üzerindeki karşılığını bulunması diğer bir deyişle elipsoid yüzüne indirgenmesi iki farklı şekilde yapılabilir. Bunlar Helmert ve Pizetti izdüşümü dür. a) Helmert İzdüşümü Bu yöntemde fiziksel yeryüzündeki P noktası elipsoid normali yardımıyla elipsoid üzerinde Q noktasına indirgenir. b) Pizetti İzdüşümü Bu yöntemde ise P noktası önce çekül eğrisi boyunca jeoid üzerinde P 0 noktasına daha sonra jeoid üzerinden elipsoid üzerindeki Q 0 noktasına indirgenir. Bu yöntemlerden Helmert yönteminde P arazi noktası h elipsoidal yüksekliğiyle doğrudan elipsoid üzerindeki Q noktasına, Pizetti yönteminde ise P arazi noktası önce H ortometrik yüksekliğiyle jeoid üzerindeki P 0 noktasına sonrada N jeoid yüksekliğiyle elipsoid üzerindeki Q 0 noktasına izdüşürülmektedir. Şekilde görüldüğü gibi her iki yöntemde elipsoid üzerinde Q ve Q 0 gibi iki farklı nokta elde edilmekle beraber bu iki nokta arasındaki fark QQ 0 εh εh pratikte ihmal edilebilecek düzeydedir.

11 : Çekül sapması PQ=h : Elipsoidal yükseklik PP 0 =H : Ortometrik yükseklik P 0 Q 0 =N : Jeoid yüksekliği Elipsoid yüzeyine izdüşümler Helmert ve Pizetti yöntemiyle elde edilen elipsoidal koordinatların birbiriyle ilişkisi aşağıdaki gibidir. φ Helmert = φ Pizetti + H R ξ λ Helmert = λ Pizetti + H R ηsecφ Bu yöntemlerden Helmert izdüşüm yöntemi basitliği ve global kartezyen dik koordinatlar (X, Y, Z) ile elipsoidal koordinatlar (φ, λ, h) arasında direkt dönüşüme izin vermesi nedeniyle jeodezide daha çok kullanılmaktadır.

12 Meridyen Elipsini Belirleyen Parametreler Tek bir değişkenin fonksiyonu olan koordinatlar bir eğri gösterirler. Çift değişkenin fonksiyonu olan koordinatlarda yüzey gösterirler. X=X(T) Y=Y(T) Z=Z(T) Eğri X=X(U, V) Y=Y(U, V) Z=Z(U, V) Yüzey Meridyen elipsoidi bir eğridir. Meridyen elipsoidini bir tek parametreyle belirleriz. Bu parametreler : coğrafi enlem indirgenmiş enlem X 2 a 2 + Z2 b 2 = 1 γ merkez enlem Coğrafi enlemin parametre olarak alınması X 2 a 2 + Z2 b 2 = 1 X = a 2 Cosφ a 2 Cos 2 φ+b 2 Sin 2 φ Z = b 2 Sinφ a 2 Cos 2 φ+b 2 Sin 2 φ b 2 = a 2 (1 e 2 ) koyalım

13 Z = a(1 e2 )Sinφ W OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ c ve e cinsinden hesaplarsak; a = C 1+e W = 1 e 2 Sin 2 φ 1+e 2 2 b = C X = acosφ W bunlar a ve e cinsinden ifadelerdir. X = C Cosφ 1+e 2 Cos 2 φ = C Cosφ V V = 1 + e 2 Cos 2 φ Z = CSinφ (1+e 2 )V Tanφ = Z X(1 e 2 ) Z = X(1 e 2 )Tanφ İndirgenmiş enlemin parametre olarak alınması X OKP üçgeninden : CosΨ = X a X = acosψ X 2 = a 2 Cos 2 Ψ X 2 a 2 + Z2 = 1 burada X i yerine koyarsak : a2 Cos 2 Ψ b 2 a 2 + Z2 b 2 = 1 Z2 b 2 = 1 Cos2 Ψ = Sin 2 Ψ Z = bsinψ X = acosψ

14 Örnek : İndirgenmiş enlemi 43 g olan noktanın meridyen elipsi koordinatlarını bulunuz. Ψ = 43 g a = m b = m Z = bsinψ = m X = acosψ = m φ ile Ψ arasındaki bağıntı Coğrafi Enlem Parametre Alınırsa X = acosφ W Z = a(1 e2 )Sinφ W X yerine X = acosψ koyarsak CosΨ = acosφ aw SinΨ = Z b = a(1 e2 )Sinφ bw a = b 1 e 2 koyarsak SinΨ = b (1 e2 )Sinφ = 1 e2 Sinφ 1 e 2 bw W Bu ifadeyi CosΨ = Cosφ W ile bölersek TanΨ = 1 e 2 Tanφ Tanφ = 1 + e 2 TanΨ φ ile Ψ arasındaki fark (φ Ψ) φ Ψ = ( e2 + e4 2 8 (φ Ψ) ρ 4 e2 Sin2φ e4 ) SinφCosφ + 4 Sin3 φcosφ Nokta 50 g ya da 45 o enleminde ise Sin2φ = 90 0 φ = 45 o (φ Ψ) max ρ 4 e2 = o = 5 o

15 Merkez Enlem Parametre Alınırsa G=Merkez yarıçapı Z = GSinγ X = GCosγ taraf tarafa bölersek Tanγ = Z X Z nin ve X in indirgenmiş enlem cinsinden ifadelerini yazarsak Tanγ = bsinψ acosψ b = a 1 e 2 Tanγ = b a TanΨ Tanγ = 1 e 2 TanΨ TanΨ = 1 + e 2 Tanγ X ve Z nin γ cinsinden ifadesi Tanγ = b TanΨ den TanΨ yi yazarsak a Tan2 Ψ = a2 b 2 Tan2 γ Sin 2 Ψ = Tan2 Ψ 1 + Tan 2 Ψ Cos 2 Ψ = Tan 2 Ψ Sin 2 Ψ de Tan 2 Ψ yerine Tan 2 Ψ = a2 b 2 Tan2 γ yazalım Sin 2 Ψ = Sin 2 Ψ = a 2 Sin 2 γ b 2 Cos 2 γ b 2 Cos 2 γ+a 2 Sin 2 γ b 2 Cos 2 γ a 2 b 2Tan2 γ 1+ a2 b 2Tan2 γ bu eşitlikte Tan 2 γ yı Sin2 γ Cos 2 γ cinsinden yazıp payda eşitleyelim Sin 2 Ψ = Cos 2 Ψ = a 2 Sin 2 γ b 2 Cos 2 γ b 2 Cos 2 γ+a 2 Sin 2 γ b 2 Cos 2 γ b 2 Cos 2 γ = b 2 Cos 2 γ+a 2 Sin 2 γ a 2 Sin 2 γ b 2 Cos 2 γ+a 2 Sin 2 γ

16 Z = bsinψ = Z = OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ absinγ b 2 Cos 2 γ+a 2 Sin 2 γ a 2 1 e 2 Sinγ = a 1 e2 Sinγ = a 2 (1 e 2 )Cos 2 γ+a 2 Sin 2 γ 1 e 2 Cos 2 γ X = acosψ = CSinγ 1+e 2 1+e 2 Sin 2 γ abcosγ b 2 Cos 2 γ+a 2 Sin 2 γ X = a 1 e2 Cosγ 1 e 2 Cos 2 γ = CCosγ 1+e 2 1+e 2 Sin 2 γ Tanφ = (1 + e 2 ) Tanγ G 2 = X 2 + Z 2 Z ve X in φ cinsinden değerlerini yerine koyarsak; G 2 = a2 Cos 2 φ (1 + (1 e 2 ) 2 + Tan 2 φ) G 2 = a2 Cos 2 φ acosφ G = W 2 W 2 Cos 2 γ WCosγ Tan 2 γ Tanγ = Z a(1 e2)sinφ = W acosφ X W = (1 e 2 )Tanφ φ verilmişken γ nın hesabı Örnek 1: Coğrafi enlemi φ = 50 g olan noktanın meridyen elipsi koordinatlarını (X, Z) coğrafi enlem, indirgenmiş enlem (Ψ) ve merkez enleme (γ) göre ayrı ayrı hesaplayınız. GRS80 elipsoidinin katsayılarını kullanalım. a= m b= m c= m α = e 2 = e 2 = Coğrafi enlemden; W = 1 e 2 Sin 2 φ X = acosφ W Z = a(1 e2 )Sinφ W W = X = km Z = km İndirgenmiş enlemden; TanΨ = 1 e 2 Tanφ Ψ = g X = acosψ = km Z = bsinψ = km Merkez enlemden; Tanγ = (1 e 2 )Tanφ γ = g

17 X = OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ abcosγ = km Z = absinγ = km b 2 Cos 2 γ+a 2 Sin 2 γ b 2 Cos 2 γ+a 2 Sin 2 γ İkinci yol: G = acosφ WCosγ = X = GCosγ = km Z = GSinγ = km Önemli not : Meridyen elipsinin koordinatları (X, Z) verilip coğrafi enlem (φ), merkez enlem (γ) ve (ψ)indirgenmiş enlemin isteneceği bir soru sormak istediğimizde şunlara dikkat etmeliyiz : Bu soruyu hazırlamadan önce indirgenmiş enlem (ψ) verilerek X ve Z bulunmalı ya da merkez enlem (γ) ve X verilerek Z bulunmalı ya da coğrafi enlem (φ) ve X verilerek Z bulunmalıdır. Soruda bu hesaplanan X ve Z değerleri bilinen olarak verilmelidir. Aksi halde indirgenmiş enleme dikkat etmeden X ve Z verilirse a b olduğundan soru hatalı olur. Elipsoid Yüzeyini Belirleyen Parametreler Üç boyutlu koordinatlar u ve v gibi 2 parametreye bağlı iseler, bu koordinatlar bir yüzey gösterirler. X=X(u, v) Y=Y(u, v) Z=Z(u, v) u ve v parametreleri yerine elipsoid yüzeyini belirleyen Gauss parametreleri üçe ayrılır. a) Coğrafi koordinatlar (B, L) veya (, ) b) Jeodezik dik koordinatlar (X, Y) c) Jeodezik kutupsal koordinatlar (s, α) : Açıklık açısı A : Azimut (semt) α A : Yaklaşma açısı (yakınsama açısı) A = α + γ

18 Elipsoidal Dik Koordinatlar x = tcosλ y = tsinλ z = z t yerine cinsinden değerini yazarsak, coğrafi enlem cinsinden koordinatlar; x = acosφcosλ W z = a(1 e2 )Sinφ W = c acosφsinλ CosφCosλ y = = c CosφSinλ v W v = c Sinφ v (1+e 2 ) İndirgenmiş enlem cinsinden koordinatlar; x = acosψcosλ y = acosψsinλ z = bsinψ Merkez enlem cinsinden koordinatlar; x = GCosγCosλ y = GCosγSinλ z = GSinγ Örnek : Coğrafi koordinatları φ = 50 g, λ = 40 g olan bir noktanın elipsoid üzerindeki koordinatlarını (x, y, z) coğrafi enlem, indirgenmiş enlem ve merkez enlem cinsinden hesaplayınız. GRS80 elipsoidinin katsayılarını kullanalım. a= m b= m c= m V = 1 + e 2 Cos 2 φ = e 2 = e 2 = Coğrafi enlem cinsinden koordinatlar;

19 x = acosφcosλ W y = acosφsinλ W z = a(1 e2 )Sinφ W OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ = c CosφCosλ = m v = c CosφSinλ = v = c v Sinφ (1+e 2 ) = m TanΨ = 1 e 2 Tanφ Ψ = g İndirgenmiş enlem cinsinden koordinatlar; x = acosψcosλ = m y = acosψsinλ = m z = bsinψ = m Merkez enlem cinsinden koordinatlar; Tanγ = (1 e 2 )Tanφ γ = g W = 1 e 2 Sin 2 φ = G = acosφ WCosγ = m x = GCosγCosλ = m y = GCosγSinλ = m z = GSinγ = m Yüzeylerin Gauss Parametreleriyle Gösterilmesi a. F(x, y, z) =0 b. Z=f(x, y) c. x=x(u, v) y=y(u, v) z=z(u, v) u, v : Gauss parametreleri d. r = x i + y i + z k

20 i = j = k = 1 i. j = i. k = j. k = 0 i. i = j. j = k. k = 1 x u = x u y u = y u x u = z u x u x v y u y x u x v v z u z y u y v v z fonksiyonel determinantlar v z u r u = x u i + y u j + z u k r v = x v i + y v j + z v k n = Λr u v r Λr u v Fonksiyonel determinantların üçü birden sıfır olursa, bu eğriler bir yüzey göstermez. Fonksiyonel determinantların üçünü birden sıfır yapan noktaya yüzey singüler nokta denir. Bu noktadan yüzeye teğet çizilmez.

21 r = x(t)i + y(t)j + z(t)k t: teğet b: binormal h: asal normal s: yay uzunluğu t, h, b birim vektör Frenet Üçyüzlüsü t = r = dx(s) h = t ds = r = t r i + dy(s) ds j + dz(s) k ds d2x y ds 2i+d2 ds 2 j+d2 z ds 2k ( d2 2 x ds 2) +( d2 2 y ds 2 ) +( d2 2 z ds 2) b = t Λh = tλ t t = r Λ r r Birinci Derece Temel Büyüklükler (Birinci Esas Form) ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 dx 2 = (x u du + x v dv) dy 2 = (y u du + y v dv) dz 2 = (z u du + z v dv) E = r u 2 = x u 2 + y u 2 + z u 2 F = r. u r v = (x u i + y u j + z u k)((x v i + y v j + z v k) = x u x v + y u y v + z u z v G = r v 2 = x v 2 + y v 2 + z v 2 I = ds 2 = Edu 2 + 2Fdu. dv + Gdv 2 Birinci Temel Form E, F, G Birinci Derece Temel Büyüklükler

22 Eğriler arasındaki açı demek, o noktadan eğriye çizilen teğetler arasındaki açı demektir. r. u r v = r u r v. Cosθ W = EG F 2 Cosθ =.r u v = r u r v E EG Sinθ = W EG Tanθ = W F W : Birinci derece temel formun diskriminantı F=0 U V Sinα = Wdv Eds Cosα = Edu+Fdv Eds ds = Gdv df = Gdv. Edu. Sinθ df = EGdu. dv. W EG = W. du. dv df : alan elemanı (r u Λr v ) 2 = r u 2 r v 2 Sin 2 θ = r u 2 r v 2 (1 Cos 2 θ) r u vektörel çarpım r v nin modülü anlamına gelir. (r u Λr v ) 2 = r u 2 r v 2 r u 2 r v 2 (r ur v ) 2 (r u Λr v ) 2 = EG F 2 = W 2 n = r u Λr v W r u 2 r v 2

23 EĞRİLİK Teğet vektör değişiminin veya teğet vektörler arasındaki açının yatay değişimine oranıdır. Eğrilik öyle bir sayıdır ki küçük bir alanda eğrinin bir doğrudan olan sapma miktarını gösterir. k = lim n 0 γ AB k : eğrilik k = dt ds = dα ds = 1 R Elipsoidde Eğrilik Bir noktadaki yüzey normalinden geçen düzlemle (normal düzlemle) yüzeyin arakesiti normal kesit eğrisi (NKE) adını alır. Söz konusu kesilen yüzey düzlem ise NKE bir doğrudur, dolayısıyla doğrunun eğriliği sıfırdır (K=0). Yüzey küre ise NKE bir büyük daire yayı olur. Büyük daire yaylarının eğriliği küre üzerinde her noktada ve her doğrultuda sabit olup yarıçapın tersine eşittir (K=1/R). Elipsoid yüzeyinde NKE eğrilerinin eğriliği noktanın enleminin bir fonksiyonudur ve her doğrultuda değişik değerler alır. Bu NKE leri içinde iki tanesi vardır ki eğrilik bunların birinde minimum, diğerinde ise maksimumdur. Bu NKE lerine ana normal kesit eğrileri ve eğriliklerine de ana eğrilikler denir. Bu ana normal kesit eğrileri meridyen yönünde ve meridyene dik doğrultuda olurlar. İstisna olarak dönel elipsoidde kutup noktalarında eğrilikler doğrultudan bağımsız olarak sabittirler ve kutup noktası eğrilik yarıçapı c = a2 noktadaki eğrilik yarıçapının tersidir. İkinci Esas Form ve İkinci Dereceden Temel Büyüklükler n. t = n t. Cosα = 0 0 b den hesaplanır. Eğrinin bir noktasındaki eğriliği (K) o

24 n Λt = n t. Sinα = 1 1 dn ds t + dt ds n = 0 dn. dr + d2 r n = 0 ds ds ds 2 t = dr ds dt = d2 r ds ds 2 n = Λr u v W dn = n. du + n. dv ds u ds v ds dr = r. du + r. dv ds u ds v ds k. h = r = d2 r ds 2 du (n u + n dv ds v ) (r du ds u + r dv ds v ) + n. k. h = 0 ds (n u r u ) du2 ds 2 + (n ur v + n v r u ) du ds. dv ds (n vr v ) dv2 ds 2 + k. n. h = 0 n. r u = 0 n. u r u + n. r uu = 0 r uu : u yagöre r nin ikinci türevi n u r u = n r uu n. r v = 0 n v. r v + n. r vv = 0 n v. r v = nr vv n. r u = 0 bunun v ye göre türevini alırsak, n v r u + n. r uv = 0 n. r uv = n v r u taraf, tarafa toplarsak 2nr uv = (n v r u + n u r v ) olur n. r v = 0 bunun u ye göre türevini alırsak, n u r v + n. r uv = 0 n. r uv = n u r v taraf, tarafa toplarsak nr uv = (n vr u +n u r v ) 2 olur L = n u r u = nr uu = (r ur v r uu ) W M = 1 2 (n ur v + n v r u ) = nr uv = (r ur v r uv ) N = n v r v = nr vv = (r ur v r vv ) W k. n. h = n ur u.du 2 (n u r v +n v r u )d u d v (n v r v )dv 2 ds 2 k. n. h = L.du 2 +2M d u d v +N dv 2 ds 2 = II I W = k. Cosδ

25 II = L. du 2 + 2M d u d v + N dv 2 ikinci temel form Birinci ve ikinci temel form eğriliği bulmak için kullanılır. : Yüzey normali ile asal normal arasındaki açı Normal Kesit, Eğik Kesit ve Meusnier Formülü k NOR = II I k NOR = II I = 1 R = L. du 2 +2M d u d v +N dv 2 Edu 2 +2Fdudv+Gdv 2 1 = du2 dv dv (L +2M +N ( du du )2 ) R NOR du 2 (E+2F d v du +G(dv du )2 ) maksimum ve minimum eğriliğe asal eğrilik denir. Tanα = Wdv Edu+Fdv E. tanα. du = (W Ftanα)dv dv du = dv du = 1 λ E.tanα W F.tanα

26 1 = (L +2M 1 λ +N ( 1 λ )2 ) R NOR (E+2F 1 λ +G(1 λ )2 ) OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ E 2F 1 λ G 1 λ 2 + L. R + 2M. R. 1 λ + N R 1 λ 2 = 0 Eλ 2 2Fλ G + L Rλ 2 + 2MRλ + N R = 0 λ 2 (RL E) + 2λ(M R F) + N R G = 0 2λ(RL E) + L λ 2 dr + 2(M R F) + 2λM dr dr + N dλ dλ dλ dr dλ = (L λ 2 + 2M λ + N ) + 2λ(RL E) + 2(M R F) = 0 dr = 2λ(RL E) 2(M R F) dλ L λ 2 +2M λ+n 2λ(RL E) 2(M R F) = 0 λ(rl E) + M R F = 0 λ = RM F RL E λ{λ(rl E) + RM F} + λ(rm F) + RN G = 0 RM F = RN G R (M F ) R (M F ) = R (N G ) R (L E ) RL E RM F R R R R M M F R 0 0 F2 + L N L G EN + EG = 0 R 2 R R R (EN 2FM +GL ) + L N M 2 R 2 R EG F 2 EG F 2 2H K K : Gauss eğriliği K = L N M 2 EG F 2 1 R 2 2H 1 R + K = 0 K 1 = 1 R 1 = H + H 2 K K 2 = 1 R 2 = H H 2 K 1 R 1, 1 R 2 maksimum ve minimum normal eğrilikler (asal eğrilikler)

27 K 1 maksimum R 1 minimum K 2 minimum R 2 maksimum H : ortalama eğrilik 2H = 1 R R 2 H = K 1+K 2 2 K = 1 R 1 1 R 2 1 Cosδ = 1 r R Nor r = R Nor. Cosδ Meusnier formülü r : Eğik kesit eğrilik yarıçapı R Nor : Normal kesit eğrisinin eğrilik yarıçapı δ : Eğik kesit ile normal kesit asal normalleri arasındaki açı kcosδ = II I k Nor = II I k Nor = kcosδ En büyük eğrilik yarıçapı normal kesitindir. r (T) = X(T)i + Y(T)j + Z(T)k k = (Y Z Z Y ) 2 +(Z X X Z ) 2 +(X Y Y X ) 2 (X 2 +Y 2 +Z 2) 3

28 X = dx dt OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ Düzlem Eğrilerde Eğrilik Z = Z = Z = 0 k = X Y Y X (X 2 +Y 2) 3/2 r(t) = X(T)i + Y(T)j y = f(x) = f(t) X = T X = 1 X = 0 Y = dy dx Y = d2 y dx 2 k = d 2 y dx 2 [1+( dy dx )2 ] 3/2 Meridyen Eğrilik Yarıçapı Elipsoidde bir noktadaki meridyen yönündeki eğrilik yarıçapı M ile gösterilir ve aşağıdaki gibi noktanın φ enleminin bir fonksiyonu olarak hesaplanır. Meridyen yönündeki eğrilik K = 1 M X = acosψ Y = bsinsψ

29 Tanψ = 1 e 2 Tanφ M = a(1 e2 ) W 3 W = 1 e 2 Sin 2 φ W = 1 e 2 V V = 1 + e 2 Cos 2 φ V>1 M = a(1 e2 ) (1 e 2 ) 3/2 V 3 = M = a(1 e 2 ) a (1 e 2 Sin 2 φ) 3/2 = C V 3 1 e 2 V 3 = C V 3 Meridyene Dik Doğrultudaki Normal Kesit Eğrilik Yarıçapı Elipsoidde bir noktadaki meridyene dik doğrultudaki eğrilik yarıçapı N ile gösterilir ve aşağıdaki gibi noktanın φ enleminin bir fonksiyonu olarak hesaplanır. N = a (1 e 2 Sin 2 φ) 1/2 = C V Cosφ = X N X = NCosφ X = acosφ W X = ccosφ V N = X Cosφ = acosφ WCosφ = ccosφ VCosφ N = a W = c V 1 N = 1 R nor Meridyene dik doğrultudaki eğrilik K = 1 N dir. Elipsoid Üzerinde Normal Eğrilik Yarıçapı Genelde herhangi bir yüzeyde; K NOR = 1 = II R NOR I

30 K NOR = 1 R NOR = Mdφ2 +NCos 2 φdλ 2 M 2 dφ 2 +N 2 Cos 2 φdλ 2 1 M = 2 dφ 2 + N 2 Cos 2 φdλ 2 R NOR M(M 2 dφ 2 +N 2 Cos 2 φdλ 2 ) N(M 2 dφ 2 +N 2 Cos 2 φdλ 2 ) 1 R NOR = 1 M[1+( NCosφdλ Mdφ )2 ] + 1 N[1+( Mdφ NCosφdλ )2 ] = M(1+tan 2 α) N(1+ 1 tan 2 α ) 1 = Cos2 α + Sin2 α R NOR M N Euler Formülü α Semt açisi Semt açısı sıfır demek, doğrultu meridyen doğrultusunda demektir (R 1 = M). Semt açısı 2π demek, doğrultu meridyene dik doğrultuda demektir (R 2 = N). Maksimum ve minimum N ve M dir. N, M den daha büyüktür. Kutup noktalarında (c) M=N dir. Elipsoidde Bir A Azimutundaki Normal Kesit Eğri sinin Eğrilik Yarıçapı (R A ) Elipsoidde bir noktadaki A azimutundaki bir normal kesit eğrisinin eğrilik yarıçapı Euler teoremine göre aşağıdaki eşitlikten hesaplanır. R A = M.N MSin 2 A+NCos 2 A A azimutundaki bir NKE nin eğriliği K = 1 R A dır. Elipsoidde bir noktadan geçen sonsuz sayıda normal kesit eğrilerinden ; Meridyen yönündeki eğrilik yarıçapı M maksimum, bu yöndeki eğrilik K = 1 M minimumdur. Meridyene dik doğrultudaki eğrilik yarıçapı N minimum, bu yöndeki eğrilik K = 1 N maksimumdur. Ortalama (Gauss) Eğrilik Yarıçapı (R g ) Elipsoidde bir noktadaki ortalama eğrilik yarıçapı R g ile gösterilir ve o noktadaki ana eğrilik yarıçaplarının geometrik ortalaması alınarak hesaplanır. R g = MN = C V 2 Gauss eğrilik yarıçapı herhangi bir noktadaki normal kesit eğrilik yarıçaplarının ortalamasına eşittir.

31 R M = R 0+R 1 +R 2 +R 3 + R n 1 n n R M R g R M = 2 π M N π 2 R M = MN = R g O halde elipsoidde bir noktadaki ortalama eğrilik (Gauss eğriliği) K = 1 dir. Gauss R g eğriliğinin jeodezide önemi büyüktür. Elipsoide teğet alınacak R g yarıçaplı bir küre söz konusu teğet noktada elipsoidle aynı eğriliğe sahip olur ve bu nedenle de teğet noktaya yakın bölgede jeodezik hesaplamaların elipsoid yerine küre üzerinde yapılmasına olanak sağlar. Elipsoid Üzerinde Jeodezi Eğrisi Jeodezi eğrisinin eğriliği sıfırdır. dα = Sinφ dλ Jeodezi eğrisinin diferansiyel denklemi (Bessel denklemi) r : Parelel dair eğrilik yarıçapı r Sinα = d = sabit k = r B SinA Clariut denklemi A Jeodezik eğrinin meridyenle yaptiği açi r B Enleme bağli olarak herhangi bir parelel dairenin yariçapi r = NCosφ = a Cosφ = a Cosψ W a Cosψ Sinα = d = sabit jeodezi eğrisindeki her nokta için bu formül geçerlidir. ψ H : Jeodezi eğrisinin kutba en yakın olduğu noktadaki indirgenmiş enlemi

32 Cosψ h = d a OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ Jeodezi eğrisinin ekvatoru kestiği noktadaki semti; a 1 Sinα 0 Sinα 0 = d a Sinα 0 = Cosψ H Sinα 0 = Sin(100 ψ H ) α 0 + ψ H = 100 g Jeodezi Eğrisinin Özellikleri 1. Jeodezik eğrilik (k g ) sıfırdır. 2. Öyle bir eğridir ki her noktasında asal normali ile yüzey normali çakışır ( =0). 3. Düzlem üzerinde doğru ne ise yüzey üzerinde jeodezi eğrisi odur. 4. Bir yüzey noktasından verilen bir teğet doğrultusunda sadece bir tek jeodesi eğrisi geçer. 5. Verilen 2 yüzey noktası arasından sonsuz sayıda jeodezi eğrisi geçirilebilir. O halde 2 nokta arasındaki en kısa mesafenin bir jeodezi eğrisi olmasına karşın bu iki nokta arasındaki her jeodezi eğrisi en kısa mesafe değildir. Jeodezi eğrisinin diferansiyel denklemini yazarsak; dα = 1 ds EG (d E dv Cosα d G du Sinα) Meridyen bir jeodezi eğrisidir. Parelel daire bir jeodezi eğrisi değildir. Sadece meridyen ve ekvator jeodezi eğrisidir. Jeodezik Eğrilik Yüzey üzerinde bulunan bir eğrinin jeodezik eğriliği birbirine çok yakın P 1 ve P 2 gibi iki noktada eğriye çizilen teğet, P 1 G 1 ve P 2 G 2 jeodezi eğrileri arasındaki dα açısının ds yayına oranıdır.

33 Eğriliği aranan eğrinin kendisi jeodezi eğrisi ise dα=0 olacağından, jeodezik eğrilik k g =0 olur. k g = dα ds k g = k nor Tanδ = k Sinδ Parelel dairenin jeodezik eğriliği S 2 = h(2r h) = 2rh 4 h2 r = S2 8h h g = h. Sinδ R g = S2 8h g = S2 8h.Sinδ = r Sinδ 1 = 1 k k g k.sinδ g = k. Sinδ 1 k g = 1 k nor Tanδ k g = k nor. Tanδ R g = R nor Cosδ Sinδ = R n Cotδ Jeodezik eğriliği her noktasında sıfır olan eğriye jeodezi eğrisi denir. Diferansiyel geometride jeodezik eğrilik; K g = dα + 1 d E Cosα + 1 d G Sinα ds EG dv EG du u = φ v = λ E = M 2 G = N 2 Cos 2 φ d E dv dm dλ = 0 d G du d(ncosφ) dφ d(ncosφ) dφ = dn Cosφ NSinφ dφ

34 dn = dn dv dφ dv dφ d(ncosφ) dφ OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ dn = c dv v 2 dv = ζ2 tanφ dφ v ζ 2 = e 2 Cos 2 φ = Cos ( c v 2) ζ2 tanφ NSinφ = N v v 2 ζ2 Sinφ NSinφ = NSinφ ( ζ2 1) = v 2 NSinφ ( e 2 Cos 2 φ 1 e 2 Cos 2 φ ) = NSinφ v 2 v 2 d(ncosφ) dφ == c v3 Sinφ = MSinφ K g de yerine koyarsak K g = dα ds + 1 MNCosφ MSinφSinα K g = dα ds + 1 N tanφsinα Sinα = NCosφ dλ ds K g = dα + 1 dλ tanφncosφ ds N ds K g = dα dλ + Sinφ ds ds Elipsoid üzerinde jeodezik eğrilik diferansiyel formülü Örnek : Enlemi 50 grad olan bir noktanın GRS80 elipsoid düzleminde meridyen eğrilik yarıçapını ve meridyene dik doğrultudaki normal kesit eğrilik yarıçapını hesaplayınız. a= m e 2 = M = a(1 e2 ) W 3 W = 1 e 2 Sin 2 φ = M= m N = a W = m

35 Dönel Elipsoide Uygulama u φ, v λ Yer vektörü r(φ, λ ) = x(φ, λ )i + y(φ, λ )j + z(φ, λ )k x = acosφcosλ W y = acosφsinλ W z = a(1 e2 )sinφ W = c v CosφCosλ = c v CosφSinλ = c Sinφ v 1+e 2 v = 1 + e 2 Cos 2 φ = 1 + ζ 2 W = 1 e 2 Sin 2 φ E = [r ] 2 u = [r ] 2 φ r φ = r = x y z i + j + k φ φ φ φ r λ = r = x λ λ y z i + j + k λ λ F = r u r v = r φ r λ G = [r ] 2 v = [r ] 2 λ x = cvsinφcosλ ccosφcosλ v φ φ v 2 y = cvsinφsinλ ccosφsinλ v φ φ v 2

36 z = cv(1+e 2 v )Cosφ csinφ(1+e 2 ) φ φ v 2 (1+e 2 ) 2 v = 2e 2 CosφSinφ = e 2 Cos2 φ φ 2 1+e 2 Cos 2 φ v x = c φ v tanφ ζ2 2 Cosλ( vsinφ + Cosφ tanφ) payda eşitleyip dışarı çıkarırsak, v x = c φ v 3 Cosλ( v2 Sinφ + ζ 2 Sinφ) = c Cosλ( (1 + v 3 ζ2 )Sinφ + ζ 2 Sinφ) x = c φ v3 CosλSinφ = MCosλSinφ y = c SinλSinφ = MSinλSinφ φ v3 z = c φ v x 3 Cosφ = MCosφ = c CosφSinλ = NCosφSinλ λ v y λ = c v z λ = 0 CosφCosλ = NCosφCosλ r φ = c c c v3 CosλSinφi v3 SinφSinλj + Cosφk v 3 r φ = M(CosλSinφi + SinφSinλj Cosφk) r λ = N(CosφSinλi CosφCosλj) = NCosφ(Sinλi Cosλj) E = r φ 2 = M 2 (Cos 2 λsin 2 φ + Sin 2 φsin 2 λ + Cos 2 φ) E = M 2 (Cos 2 λsin 2 φ + Sin 2 φsin 2 λ + 1 Sin 2 φ) = M 2 Sin 2 φ(sin 2 λ + Cos 2 λ) = Sin 2 φ E = M 2 (Sin 2 φ + 1 Sin 2 φ) = M 2 G = r λ 2 = N 2 Cos 2 φ(sin 2 λ + Cos 2 λ) = N 2 Cos 2 φ F = r. φ r λ = MNCosφ(CosλSinφSinλ CosλSinφSinλ) = 0 I = ds 2 = M 2 dφ 2 + N 2 Cos 2 φdλ 2 I. Temel Form ds φ = Mdφ ds λ = NCosφdλ Parelel daire doğrultusunda Meridyen doğrultusunda

37 L = M(Cos 2 λsin 2 φ + Sin 2 φsin 2 λ + Cos 2 φ) = M M = 0 N = NCos 2 φ II = Mdφ 2 + NCos 2 φdλ 2 II. Temel Form Örnek : Elipsoid yüzünde enlemi φ = 43 g olan noktada meridyen ve parelel daire boyunca I. Esas formları yazınız. GRS80 elipsoidi kullanılacaktır. a= m b= m c= m e 2 = e 2 = V = 1 + e 2 Cos 2 φ = I = ds 2 = M 2 dφ 2 + N 2 Cos 2 φ dλ 2 Merideyen doğrultusunda dλ = 0 dır. Dolayısıyla I = M 2 dφ 2 Parelel daire doğrultusunda dφ = 0 dır. Dolayısıyla I = N 2 Cos 2 φdλ 2 olur. M 2 = c2 V 6 = ( ( Cos 2 43)) 6 = km 2 I = M 2 dφ 2 = dφ 2 N 2 = c2 V 2 = ( ( Cos 2 43)) 2 = km 2 I = N 2 Cos 2 φdλ 2 = dλ 2 Örnek : Enlemi 40 g olan bir noktada normal eğrilik yarıçapı R NOR = M+N kesitin semtini hesaplayınız. GRS80 elipsoidi kullanılacaktır. 2 dir. Bu normal 1 = Cos2 α + Sin2 α R M N R = M+N 2 a= m e 2 = W = 1 e 2 Sin 2 φ =

38 M = a(1 e2 ) W 3 OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ = m N = a W = m R = M+N 2 = m 1 = Cos2 α + Sin2 α = NCos2 α+msin 2 α R = R M N MN MN NCos 2 α+msin 2 α M+N 2 = MN NCos 2 α+msin 2 α eşitlik düzenlenirse; Tanα = N M = c v c v 3 = v 2 = v e 2 = α = arctan v = arctan 1 + e 2 Cos 2 φ = g Örnek : İndirgenmiş enlemi 41.5 g olan bir noktada meridyene dik doğrultudaki normal kesitin yüzey normali ile asal normali 55 g lık açı yapan eğik kesitin eğrilik yarıçapını bulunuz. GRS80 elipsoidi kullanılacaktır. a= m b= m c= m e 2 = e 2 = Tanφ = 1 + e 2 tanψ φ = g V = 1 + e 2 Cos 2 φ = R nor = N = c V = m r eğik = R nor Cosδ = m Örnek : Ekvator üzerinde bulunan bir noktada hangi doğrultuda normal kesit eğrilik yarıçapı m olur? GRS80 elipsoidi kullanılacaktır. φ = 0 Cosφ = 1 e 2 = a= m R nor = N 1+e 2 Cos 2 φcos 2 α N = a W = a 1 e 2 Sin 2 φ = a

39 Cosα = N R nor R nor e 2 α = g Örnek : Uzay dik koordinat sisteminde x, y ve z nin birbirine eşit oldukları doğrultuda maksimum ve minimum eğrilik yarıçapları ne olur? GRS80 elipsoidi kullanılacaktır. a = m b = m c = m e 2 = N = c V maksimum M = c V 3 minimum x = acosψcosλ y = acosψsinλ z = bsinψ x ve y yi eşitlersek; acosψcosλ = acosψsinλ Tanλ = Sinλ Cosλ = 1 λ = 450 = 50 g x ve z yi eşitlersek; acosψcosλ = bsinψ Sinψ = a Cosλ Tanψ = a Cosλ ψ = g Cosψ b b Tanφ = 1 + e 2 tanψ φ = g N = c V = e 2 Cos 2 φ M = c V 3 = m = m Örnek : Enlemi 48 g 08 c 10 cc olan noktada (hesaplarda GRS80 elipsoidi kullanılacaktır) a) meridyen doğrultusundaki b) meridyene dik doğrultudaki c) semti 70 g olan doğrultudaki normal kesit eğrilik yarıçapını d) aynı doğrultuda yüzey normali ile asal normali arasındaki açı 15 g olan eğik kesitin eğrilik yarıçapını hesaplayınız.

40 a. M = C V 3 V = 1 + e 2 Cos 2 φ = c = m e 2 = b. N = c V = m M = m c. 1 = Cos2 α + Sin2 α R R Nor M N Nor = m α = 70 g d. r = R Nor Cosδ = m δ eğik kesitin yüzey normali ile asal normali arasindaki açi Örnek : Ekvatordaki semt açısı 30 g olan jeodezi eğrisinin, enlemi 50 g olan noktasındaki semt açısını hesaplayınız. α 0 = 30 g a = km e 2 = d = a Sinα 0 = km w = 1 e 2 Sin 2 φ = r = a Cosφ = w Cos50g = km d = r Sinα Sinα = d r α = g İkinci Yol : rsinα = d = sabit a Sinα 0 = a Cosψ Sinα Tanψ = 1 e 2 tanφ ψ = g Sinα = Sinα 0 Cosψ α = g Örnek : Parametreleri c = m, e 2 = olarak verilen bir dönel elipsoitte φ = 45 0 de azimutu A = 45 0 olan bir jeodezik eğrinin kutba en yakın noktasında elipsoidal enlem (φ) nedir? N = c 1+e 2 Cos 2 φ r = NCosφ ise = m k = rsinα ifadesinde r yerine yukarıdaki eşiti konursa; d = k = NCosφSinα Olur.

41 k = NCosφSinα = N 45 0Cos45 0 Sin45 0 = N 45 0 = m φ = 90 0 için k = NCosφSin90 0 = NCosφ k = c 1+e 2 Cos 2 φ Cosφ ifadesini düzenlersek; c 2 Cos 2 φ = k 2 + k 2 e 2 Cos 2 φ Cosφ = ± buradan φ 1 = kuzey φ 2 = güney Elde edilir. 2 k c 2 e 2 k 2 Örnek : Parametreleri c = m, e 2 = olarak verilen bir dönel elipsoidde φ = 45 0 de azimutu α = 45 0 olan bir jeodezik eğrinin kuzey kutbuna en yakın noktadaki elipsoidal enlemi φ nedir? V = 1 + e 2 Cos 2 φ = Cos 2 φ =

42 N = c V = m k = NCosφ Sinα = N 45 0Cos45 0 Sin45 0 = N 45 0 = m α = 90 0 için k = NCosφ Sinα = NCosφ = c V Cosφ = k 2 (1 + e 2 Cos 2 φ) = c 2 Cos 2 φ k 2 e 2 Cos 2 φ + k 2 = c 2 Cos 2 φ c 2 Cos 2 φ k 2 e 2 Cos 2 φ = k 2 Cos 2 φ(c 2 k 2 e 2 ) = k 2 k 2 Cos 2 φ = Cosφ = ± (c 2 k 2 e 2 ) k c 2 k 2 e 2 2 c Cosφ 1+e 2 Cos 2 φ φ 1 = φ 2 = kuzey güney Örnek : k = m ve N = m olan jeodezi eğrisinin ekvatordaki azimutu ne olur? a = m k = NCosφ SinA ekvatorda φ = 0 0 için NCosφ = a olacağından a. SinA 0 = d SinA 0 = d a A 0 + ψ H = 90 0 SinA = k a A 1 = A 2 = A 1 = Örnek : Enlemi 51 g olan bir noktada parelel dairenin jeodezik eğriliğini bulunuz. e 2 = c = m

43 k g = k nor Tanδ k nor = 1 = 1 = V = 1+e 2 Cos2 φ k R nor N c c nor = ( 1 km ) k g = k nor Tanδ = ( 1 km ) Örnek : Bir jeodezi eğrisinin kutba en yakın olduğu noktasının enlemi 50 g dır. Bu jeodezi eğrisinin ekvatordaki semt açısını hesaplayınız. φ H = 50 g Cosψ H = d a Tanψ H = 1 e 2 tanφ H ψ H = g α 0 + ψ h = 100 g α 0 = g Meridyen Yay Uzunluğunun Hesabı dm φ 2 M φ 1 dφ W 3 = e e e6 Cos(2φ) ( 3 4 e e6 ) Cos(6φ) e6 + A = e e e6 B = 3 4 e e e6 16 e e6 ) + Cos(4φ) ( e4 +

44 C = e e6 D = e6 α = a(1 e 2 )A β = a(1 e 2 ) B 2 γ = a(1 e 2 ) C 4 δ = a(1 e 2 ) D 6 GRS80 Elipsoidi için α = m β = m γ = m δ = m 12 = α φ + 2βSin( φ)cos(2φ ρ 0) + 2γSin(2 φ)cos(4φ 0 ) + 2δSin(3 φ)cos(6φ 0 ) φ 1 ve φ 2 parelelleri arasındaki meridyen yay uzunluğunu veren formül. Ekvator ile φ pareleli arasındaki meridyen yay uzunluğunu şöyle buluruz; φ = φ 2 φ 1 φ 0 = φ 1 + φ 2 2 m ekv,φ = α φ + 2βSinφCosφ + 2γSin2φCos2φ + 2δSin3φCos3φ ρ m ekv,φ = α φ + βsin(2φ) + γsin(4φ) + δsin(6φ) ρ

45 Örnek : Aynı meridyen üzerinde bulunan A, B noktalarından A noktasının merkez enlemi γ A = g, B noktasının enlemi φ B = 42 g dır. Bu 2 nokta arasındaki meridyen yay uzunluğunu bulunuz. Tanφ A = (1 + e 2 ) tanγ A φ A = 40 g φ = φ B φ A = 2 g φ 0 = φ A+φ B 2 = 41 g GRS80 Elipsoidi için a = m b = m c = m e 2 = e 2 = α = m β = m γ = m δ = m AB = α φ + 2βSin( φ)cos(2φ ρ 0) + 2γSin(2 φ)cos(4φ 0 ) + 2δSin(3 φ)cos(6φ 0 ) m AB = m Örnek : Ekvatordan 37 (Kuzey) enlemine kadar meridyen yay uzunluğunu hesaplayınız. GRS80 Elipsoidi için α = m β = m γ = m δ = m ekv,φ = α φ + βsin(2φ) + γsin(4φ) + δsin(6φ) ρ m ekv,φ = m Örnek : İndirgenmiş enlemi 42 olan noktanın ekvatora olan en kısa uzunluğunu bulunuz. GRS80 elipsoidinin parametrleri;

46 Büyük yarı eksen : a = m Küçük yarı eksen : b = m Basıklık : 1 f = (f = a b a ) Üçüncü basıklık : n = a b = a+b Doğrusal dış merkezlik : E = a 2 b 2 = m Kutupdaki eğrilik yarıçapı : c = a2 b = m Birinci eksentriste : e 2 = (e = E a ) İkinci eksentriste : e 2 = (e = E b ) GRS80 Elipsoidi için α = m β = m γ = m δ = ψ = 42 0 Tanφ = 1 + e 2 tanψ φ = m ekv,φ = α φ + βsin(2φ) + γsin(4φ) + δsin(6φ) = m ρ Örnek : Enlemleri 50 g ve 52 g 10 c olan noktalar arasındaki meridyen yay uzunluğunu hesaplayınız. φ = φ 2 φ 1 = 2 g 10 c φ 0 = φ 1+φ 2 2 = 51 g 05 GRS80 Elipsoidi için α = m β = m γ = m δ = m 12 = α φ ρ + 2βSin( φ)cos(2φ 0) + 2γSin(2 φ)cos(4φ 0 ) + 2δSin(3 φ)cos(6φ 0 )

47 m 12 = m Elipsoidde Kısa Meridyen Yaylarının Hesabı φ 1 ve φ 2 enlemleri arasında kalacak kısa m 12 meridyen yayları örneğin pafta kenarlarının hesabında olduğu gibi aşağıdaki şekilde hesaplanır. φ < 1 0 veya 1 g için geçerlidir. φ = φ 2 φ 1 φ 0 = φ 1+φ 2 2 φ = φ 2 φ 1 φ 0 = φ 1+φ 2 2 M 0 = c V 3 t 0 = tanφ 0 ζ 0 2 = e 2 Cos 2 φ 0 V 0 2 = 1 + e 2 Cos 2 φ 0 = 1 + ζ 0 2 m 12 = M 0 φ ρ + M 0 8V 0 4 ζ 0 2 (1 t ζ ζ 0 2 t 0 2 ) ( Δφ ρ )3

48 Meridyen Yay Uzunluğundan Enlemin Belirlenmesi Merideyen yay uzunluğundan enlem değeri aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanır; φ i+1 = {m ekv, φ (β Sin(2φ i )+γ Sin(4φ i )+δ Sin(6φ i ))} ρ (i = 0, 1, 2,.. ) α φ enlemi için ilk yaklaşık değer her durumda φ 0 = 0 alınabilir. Örnek : Bir merdiyen elipsi üzerinde ekvatordan uzaklığı m ekv, φ = m olan noktanın φ enlemini derece biriminde hesaplayınız. GRS80 Elipsoidi için α = m ρ = 180 β = m γ = m δ = φ i+1 = {m ekv, φ (β Sin(2φ i )+γ Sin(4φ i )+δ Sin(6φ i ))} ρ (i = 0, 1, 2,.. ) α φ 1 = 0 0 φ 2 = φ 3 = φ 4 = φ 5 = φ 6 = iterasyon sonucunda φ = olarak elde edilmiştir. Elipsoidde Parelel Daire Yayı Hesabı π Elipsoidin bir φ enlemli parelel dairesi üzerinde λ boylam farkına karşılık gelecek S yay uzunluğu küre üzerinde olduğu gibi hesaplanır.

49 r : parelel daire yarıçapı r = NCosφ Δλ = ρ 1P 2 r P 1 2 = rδλ ρ S = P 1 2 = NCosφ Δλ ρ Örnek : Boylamları λ 1 = 26 0 ve λ 2 = 45 0 olan iki nokta enlemi φ = 48 0 olan paralel daire üzerindedir. Buna göre bu iki noktanın sınırladığı yayın uzunluğunu hesaplayınız. e 2 = c = ρ = 180 π V = 1 + e 2 Cos 2 φ = N = c = V Δλ = λ 2 λ 1 = 19 0 S = P 1 2 = NCosφ Δλ = m ρ Elipsoid Üzerinde Alan Hesapları İki parelel daire arasındaki alan :

50 Z OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ : ekvator ile pareleli arasındaki kuşağın alanı Z = 2πb 2 (A Sinφ B Sin(3φ) + C Sin(5φ) D Sin(7φ) ) A = e e e e8 B = 1 6 e e e e8 C = 3 80 e e e8 D = e e8 GRS80 için; A = B = C = D = Z 12 : φ 1 ile φ 2 enlemli parelel daireleri arasındaki kuşağın alanı φ = φ 2 φ 1 φ 0 = φ 1+φ 2 2 Z 12 = 4πb 2 (A Cosφ 0 Sin ( φ 2 ) B Cos(3φ 0)Sin ( 3 φ 2 ) + C Cos(5φ 0)Sin ( 5 φ 2 )) F = Z 12 λ Ölçek Pafta Boyutları İsimlendirme 1: Dünya Paftası 1: : İSTANBUL 1: İSTANBUL-F21 1: İSTANBUL-F21-a 1: İSTANBUL-F21-a1 1: İSTANBUL-F21-a-01 1: İSTANBUL-F21-a-01-a

51 Örnek : Alt kenarının enlemi φ = 40 0 olan ölçekli paftanın tüm kenar uzunluklarını ve alanını hesaplayınız. GRS80 için; A = B = C = φ = λ = 7 30 = = g Paftanın alt kenarının hesabı : a = m e 2 = N alt = c V = a 1 e 2 Sin 2 φ alt = m φ = 40 0 enlem dairesinin yarıçapı : r φalt = N alt Cosφ alt = m Paftanın alt kenarı : S alt = r φ alt Δλ ρ Paftanın üst kenarı : = m φ üst = φ alt + Δφ = = N üst = c V = a 1 e 2 Sin 2 φ üst = m r φüst = N üst Cosφ üst = m S üst = r φ üst Δλ ρ = m

52 Paftanın sağ ve sol kenarları birbirine eşit olup φ alt = 40 0 ile φ üst = enlem dairleri arasındaki m 12 meridyen yay uzunluğu formülü kullanılarak hesaplanır. GRS80 Elipsoidi için α = m β = m γ = m δ = m 12 = α φ ρ + 2βSin( φ)cos(2φ 0) + 2γSin(2 φ)cos(4φ 0 ) + 2δSin(3 φ)cos(6φ 0 ) φ = Δλ = 7 30 = φ 0 = φ alt+φ üst 2 = m 12 = S sağ = S sol = m Pafta alanı hesabı : GRS80 için; b = m A = B = C = Z 12 : φ 1 ile φ 2 enlemli parelel daireleri arasındaki kuşağın alanı Z 12 = 4πb 2 (A Cosφ 0 Sin ( φ 2 ) B Cos(3φ 0)Sin ( 3 φ 2 ) + C Cos(5φ 0)Sin ( 5 φ 2 )) ölçek için katsayı hesabı : bu ölçkte pafta kenarları dir = πb X X = πb2 = πb F = πb2 720 (A Cosφ 0Sin ( φ 2 ) B Cos(3φ 0)Sin ( 3 φ 2 ) + C Cos(5φ 0)Sin ( 5 φ 2 ))

53 F = m 2 ya da Z 12 = 4πb 2 (A Cosφ 0 Sin ( φ 2 ) B Cos(3φ 0)Sin ( 3 φ 2 ) + C Cos(5φ 0)Sin ( 5 φ 2 )) Z 12 = m 2 F = Z 12 λ = = m2 Örnek : Türkiyenin coğrafi sınırlarını kapsayanφ 1 = 36 0, φ 2 = 42 0 enlemli parelel daireleri ile λ 1 = 26 0, λ 2 = 45 0 boylamlı meridyenlerin sınırladığı elipsoid gridinin alanını bulunuz. φ = φ 2 φ 1 = 6 0 Δλ = λ 2 λ 1 = 19 0 φ 0 = φ 2+φ 1 2 = 39 0 Z 12 = 4πb 2 (A Cosφ 0 Sin ( φ 2 ) B Cos(3φ 0)Sin ( 3 φ 2 ) + C Cos(5φ 0)Sin ( 5 φ 2 )) A = B = C = Z 12 = km 2 Olarak bulunur. İstenen grid alanı; F = Z 12 Δλ 360 = km 2 Ölçülerin Elipsoid Yüzeyine İndirgenmesi Elipsoid yüzeyinde hesap yapabilmek için ölçülerin elipsoid yüzeyinde verilmesi gerekir. Oysa ölçmeler fiziksel yeryüzünde yapılmaktadır. Bu nedenle ölçülerin elipsoid yüzeyine (deniz seviyesine) indirgenmesi gerekir. Elipsoid yüzeyi ile deniz seviyesi teorik olarak farklı olmakla beraber pratik jeodezi uygulamaları için bu fark rahatlıkla göz ardı edilir. Yatay Doğrultuların Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi Fiziksel yeryüzünde P i ve P k gibi iki nokta arasında gözlenen r ik yatay doğrultusunun bu noktaları elipsoid yüzünde temsil eden Q i ve Q k noktalarını birleştiren jeodezik eğri kenarın yatay doğrultusu r ik ya indirgenmesi gerekir. Bu işlem üç aşamada gerçekleştirilir : İlk aşamada gözlenen r ik doğrultusuna çekül sapması indirgemesi sonra hedef notası yüksekliği indirgemesi ve normal kesit eğrisinden jeodezik eğriye geçiş indirgemesi yapılır. Ancak kenar uzunluklarının 100km yi geçmediği hallerde tüm bu indirgeme değerleri 0.01 den az olur, ulaşılabilen ölçü duyarlığının çok altında kalınması nedeniyle bu indirgemeler I.

54 Derece nirengi ağları dışında yapılmaz, yani fiziksel yeryüzünde yapılan yatay doğrultu gözlemlerinin doğrudan elipsoid yüzeyinde yapıldıkları varsayılır. Uzaklıkların Elipsoid Yüzüne (Deniz Seviyesine) İndirgenmesi Elektronik uzaklık ölçerler (EUÖ) ile ölçülen kenarları elipsoid yüzeyine indirgeyebilmek için meteorolojik ve geometrik düzeltmelerin getirilmesi zorunludur. Söz konusu indirgeme işlemleri bir çizelge üzerinde gerçekleştirilir. a) Meteorolojik Düzeltme EUÖ ile ölçülen bir kenar değeri, arazide söz konusu iki noktayı birleştiren eğri yolun uzunluğuna (D ) eşittir. EUÖ nün ölçme sonucunda verdiği uzunluk değeri referans atmosfer (ön görülen meteorolojik veriler) için geçerlidir. Oysa arazide ölçümün yapıldığı anlardaki meteorolojik veriler farklı olur. Meteorolojik verilerdeki (hava basıncı, ıslak ve kuru sıcaklıklar, havanın nemi gib) değişimler ölçülen uzunlukları etkiler. Bu nedenle EUÖ ile ölçülen kenarlara K 1 hız düzeltmesi ile K 2 ışın yolu eğriliği düzeltmesi getirilir. K 1 = D (n n 0 ) K 2 = k 2 D 3 24R 2 Burada; n 0 n : Referans atmosfere karşılık kırılma indisi (alet içi) : Ölçme anındaki kenar boyunca kırılma indisi

55 k : Refraksiyon katsayısıdır. Elektro-optik uzaklık ölçerler için 0.13 ve mikro dalga uzaklık ölçerler için 0.25 dir. Ölçme anındaki kenar boyunca kırılma indisi, uygulamada söz konusu kenarın uç noktalarında ölçülen meteorolojik verilerin ortalamasından yararlanılarak aşağıdaki gibi hesaplanır. N GR = ( E = 10 ( 7.5t t ) λ 2 λ e = E (t t ) P n = 1 + N GR P t Burada; e t 4 ) : Grup kırılma indisi λ t t P : ölçmede kullanılan dalga boyu : kenarın uç noktalarındaki ortalaa ıslak sıcaklık ( C) : kenarın uç noktalarındaki ortalama kuru sıcaklık ( C) : kenarın uç noktalarındaki ortalama hava basıncıdır (mmhg) Bu durumda hesaplanacak K 1 hız düzeltmesi ile K 2 ışın yolu eğriliği düzeltmeleriyle meteorolojik düzeltme getirilmiş eğik uzunluk; D = D + K 0 + K 1 + K 2 K 0 : sıfır noktası eki hatası 25km yi geçmeyen uzunluklarda K 2 ışın yolu eğriliği düzeltmesi 1mm den az olması nedeniyle ihmal edilir. b) Geometrik Düzeltme Fiziksel yeryüzünde P i ve P k gibi iki nokta arasında gözlenen D eğik uzunluğundan bu noktaları elipsoid yüzünde temsil eden Q i ve Q k noktalarını birleştiren jeodezik eğri kenarın S uzunluğunun elde edilmesi gerekir. Fiziksel yeryüzünde yükseklikleri farklı P i ve P k gibi iki nokta arasında ölçülen ve meteorolojik düzeltmesi yapılan eğik uzaklık önce jeoid elipsoid yüzüne (deniz yüzeyine) indirgenir. EUÖ lerle yapılan ve meteorolojik düzeltme getirilmiş eğik uzunluk (D) ölçülerinden aşağıdaki gibi elipsoid yüzeyindeki (S) kenarlar indirgenerek hesaplanır. Bu indirgeme iki farklı şekilde yapılabilir.

56 l 0 = D 2 (H k H i ) 2 (1 + H i R ) (1 + H k R ) S = 2R arc sin ( l 0 2R ) Ya da elipsoid yüzeyine indirgeme BÖHYY belirtildiği gibi (Kenar ölçüleri Ek-7 de verildiği biçimde GRS80 elipsoidine ve izdüşüm düzlemine indirgenir. İndirgenmiş kenarlar arasındaki farkın kenar uzunluğuna oranı 1/50000 den büyük olamaz) n = 1 + N GR P t K = D (n 0 n) S G = D + K + K S G = D + K + K D e t Ortalama kırılma indisi Hız düzeltmesi Geometrik uzunluk Öteleme düzeltmesi ( D) varsa Elipsoidal uzunlık : (S 2 G (h 2 h 1 ) 2 ) S = ((1 + h 1 [ R ) (1 + h 2 R )) ] 1/2 ds = S 6R 2 (Y Y 1 Y 2 + Y 2 2 ) s = S + ds Projeksiyon indirgemesi Projeksiyon düzlemindeki uzunluk Ya da S = θ 2 [2R 1 ( DH D Cos (ρ θ 2 )) 2 DH] Burada; H i = H D + I E H k = H B + T P DH = H k H i θ = D R+H i

57 H D : Durulan noktanin denizden yüksekliği H B : Bakilan noktanin denizden yüksekliği I E : EUÖ in yüksekliği T P : Yansitici (reflektör) yüksekliği D: Ölçülen eğik kenar (metorolojik) düzeltme getirilmiş l y P i deki yerel yataya indirgenmiş uzunluk l 0 : Elipsoidin kiriş uzunluğu S Deniz yüzeyindeki kenar R : Kenar doğrultusundaki elipsoid normal kesit eğrisi yarıçapı ya da ülkemiz için yaklaşık olarak m alınabilir. Bu indirgeme ile bulunan deniz seviyesindeki S kenarının elipsoid yüzünede indirgenmesi gerekir. Ancak bu indirgeme değerinin büyüklüğü pratikte rahatlıkla göz ardı edilebilir miktardadır. Bu nedenle ölçülen kenarın elipsoid yüzündeki değeri yerine jeoid yüzündeki (deniz seviyesindeki) değeri alınır. Kenar uzunlukları 10km yi geçmeyen ağlarda ölçülen (D) eğik uzaklığı ve P i deki düşey açı (Z) ölçüsüyle, l y = D Sin(Z 2γ) Cosγ P i deki yerel yataya indirgenmiş uzunluk elde edildikten sonra S = l y 2γ = R H i +R ρ S R Şeklinde deniz yüzeyine indirgenmiş uzunluk hesaplanır. Bu biçimde hesaplanan S uzaklığı elipsoid yüzeyindeki jeodezik eğrinin uzunluğu olarak alınabilir. Özet olarak fiziksel yeryüzünde iki nokta arasında ölçülen eğik kenarın elipsoid üzerindeki karşılığı olan jeodezik eğri uzunluğunu elde etmek için ölçülen eğik kenarın yanlızca deniz yüzeyine indirgenmesi yeterlidir diyebiliriz.

58

59 Düşey Açılar Yardımıyla İndirgeme EUÖ ler ile yapılan ve meteorolojik düzeltme getirilmiş eğik uzunluk ölçüleri aşağıdaki şekilde düşey açı ölçüleriyle de elipsoid yüzeyine indirgenebilir. P i ve P k noktaları arasındaki eğik uzunluk D, P i noktasında ölçülen düşey açı Z olmak üzere H i yüksekliğindeki yatay uzunluk, önce noktalar arasındaki yükseklik farkı, küresellik ve refraksiyon etkileride göz önüne alınarak aşağıdaki formülle bulunur. h = H B H D = D CosZ D km Sin 2 Z + a i Noktalar arası yatay uzunluk, S = D 2 h 2 Bağıntısı ile elde edilir. P i noktasındaki yerel yataydaki S uzunluğundan deniz seviyesindeki (elipsoid yüzeyindeki) S uzunluğu S = S ( R R+H i ) eşitliğinden bulunur. Örnek : Elektronik uzaklık ölçerle bir kenarın 5 kez ölçülmesi sonucunda ortalaması D = m olarak bulunmuştur. Aşağıda gerekli bilgiler verildiğine göre söz konusu kenarın deniz seviyesindeki karşılığını tüm indirgemeleri yaparak bulunuz. D = m n 0 = H DN = H BN = m N GR = I E = 1.54m T P = 1.55m t = 22 0 C t = 23 0 C R = m P = 755mmHg K 0 = 0.005m k = 0.13 a) Meteorolojik düzeltmelerin getirilmesi 7.5t E = 10 ( t ) = e = E (t t ) P = n = 1 + N GR P t e t K 1 = D (n 0 n) = m = K 2 = k 2 D 3 24R 2 = mm D = D + K 0 + K 1 + K 2 = m

60 b) Geometrik düzeltmenin getirilmesi H i = H DN + I E = m H K = H BN + T P = m DH = H K H i = m θ = D R+H i = radyan Deniz seviyesindeki uzunluk, S = θ 2 [2R 1 ( DH D Cos (ρ θ 2 )) 2 DH] = m olarak bulunur. Geometrik düzeltmenin getirilmesi değişik olarak aşağıdaki formülden de yapılabilir. D = m H i = m H K = m l 0 = D2 (H k H i ) 2 (1+ H i R )(1+H k R ) = m S = 2R arc sin ( l 0 2R ) = m Elipsoidal Koordinat Sistemleri Elipsoidal koordinat sistemleri diğer koordinat sistemlerinde olduğu gibi elipsoid yüzeyinde konum belirlemeye ve noktalar arasında çeşitli hesaplamalar yapmaya yarar. Başlıca elipsoidal koordinat sistemleri; a) Elipsoidal Coğrafi Koordinatlar (φ, λ, h) b) Kartezyen Dik (Global) Koordinatlar (X, Y, Z ) c) Jeodezik Dik Koordinatlar (x, y ) d) Kutupsal Koordinatlar (S, A ya da S, α) dır. Ancak bu koordinat sistemlerinden en kullanışlı olanı jeodezik dik koordinatlardır. Burada jeodezik hesaplamaların coğrafi koordinatlarla ve jeodezik dik koordinatlarla yapılması ispata girilmeksizin verilecektir. Elipsoidal Coğrafi Koordinatlar ve Kartezyen (Global Dik) Koordinatlar Arasında Dönüşümler Bir P noktasının coğrafi koordinatları (φ, λ, h) ve kartezyen koordinatları (X, Y, Z ), elipsoidin merkezine yerleştirilmiş, Z ekseni dönme ekseniyle çakışan bir üç boyutlu dik koordinat sisteminde tanımlanabilir. Bu sisteme Jeosentrik (yer merkezli) koordinat sistemide denir. Elipsoidin XY düzlemini içeren düzleme ekvator düzlemi, Z dönme eksenini içeren

61 düzlemlere de meridyen düzlemleri denir. P noktasındaki elipsoid normalini içinde bulunduran meridyen düzleminin, XZ düzlemi ile (Greenwich ten geçen başlangıç meridyen düzlemi) yaptığı λ açısına elipsoidal (coğrafi) boylam denir. Boylamlar X ekseninin pozitif yönünden itibaren doğuya doğru 0 0 ile arasında, X ekseninin pozitif yönünden itibaren batıya doğru 0 0 ile arasında değerler alır. Elipsoidin bir P noktasındaki yüzey normalinin ekvator düzlemi ile yaptığı φ açısına elipsoidal (coğrafi) enlem denir. Elipsoidal enlem ekvatordan kuzeye doğru 0 0 ile arasında, ekvatordan güneye doğru 0 0 ile 90 0 arasında değerler alır. Bu şekilde tanımlanan enlem ve boylam, elipsoid üzerinde coğrafi koordinat sistemi oluşturur. Elipsoidal coğrafi koordinatlar ile fiziksel yeryüzünde noktaların yüksekliklerini tanımlamak için de (h) elipsoidal yüksekliklerden yararlanılır. Bir noktanın elipsoidal yüksekliği, ilgili noktadan referans elipsoidine indirilen dikin uzunluğudur.

62 Elipsoidal coğrafi koordinatlar verildiğinde kartezyen koordinatların hesabı Verilenler : φ, λ, h İstenenle : X, Y, Z X = (N + h) Cosφ Cosλ Y = (N + h) Cosφ Sinλ Z = [(1 e 2 )N + h]sinφ N = a 1 e 2 Sin 2 φ meridyene dik doğrultudaki normal kesit eğrilik yarıçapı e 2 = a2 b 2 a 2 elipsoidin 1. eksentiristesi Örnek : Elipsoidal coğrafi koordinatları φ = 36 0, λ = 39 0 ve h = 1050m olarak verilen noktanın kartezyen koordinatlarını hesaplayınız (GRS80 elipsoidi kullanılacaktır). e 2 = a = m N = a 1 e 2 Sin 2 φ = m X = (N + h) Cosφ Cosλ = m Y = (N + h) Cosφ Sinλ = m Z = [(1 e 2 )N + h]sinφ = m Kartezyen koordinatlar verildiğinde elipsoidal coğrafi koordinatların hesabı Verilenler İstenenle : X, Y, Z : φ, λ, h λ = Arctan( Y X ) λ = arctan( Y X ) λ = arctan( Y X ) X 0 X < 0 ve Y 0 X < 0 ve Y < 0 şeklinde hesaplanır. Elipsoidal enlem φ nin direkt hesabı, P = X 2 + Y 2 r = P 2 + Z 2 f = a b Z ((1 f) + e 2 a r ) θ = Arctan [ ] P a

63 ve elipsoidal yükseklik h, şeklinde hesaplanır. φ = Arctan [ Z(1 f) + e2 asin 3 θ (1 f)(p e 2 acos 3 θ) ] h = N + Y (Sinλ Cosφ) Örnek : Kartezyen koordinatları X = m, Y = m ve Z = m olarak verilen noktanın elipsoidal coğrafi koordinatlarını hesaplayınız (GRS80 elipsoidine göre). a = m b = m e 2 = λ = Arctan( Y X ) = P = X 2 + Y 2 = m r = P 2 + Z 2 = m f = a b a = Z ((1 f) + e 2 a r ) θ = Arctan [ ] = P ve elipsoidal yükseklik h, φ = Arctan [ Z(1 f) + e2 asin 3 θ (1 f)(p e 2 acos 3 θ) ] = h = N + N = Elipsoidal Jeodezik Dik Koordinat Sistemi a 1 e 2 Sin 2 φ = m Y = m (.0499,.05014) (Sinλ Cosφ) Bu sistem küre üzerindeki meridyen (soldner) sisteminin elipsoide uyarlanmış halidir. Elipsoidal jeodezik dik koordinat sisteminde uygun bir meridyen x ekseni olarak alınır ve genellikle bu meridyenin ekvatoru kestiği P 0 noktası başlangıç noktası olarak alınır. Elipsoid üzerinde konumu belirlenmek istenen bir P noktasından başlangıç meridyenine (x eksenine) indirilen dik jeodezik eğrisinin uzunluğu P noktasının y değeridir (y P = PF). Dik ayağı F

64 noktası ile başlangıç noktası P 0 arasında meridyen yayının uzunluğuda P noktasının x değeri (x P = P 0 F) olur. A = α + γ A α γ : Azimut açısı : Semt açısı : Meridyen yakınsaması Benzer olarak yukarıdaki şekilde olduğu gibi R noktasınında kutupsal koordinatları P noktası başlangıç noktası, P den geçen meridyen ya da P noktasında başlangıç meridyenine çizilen paralel başlangıç doğrultusu olmak üzere S jeodezik eğri uzunluğu ve A azimutuyla ya da α semtiyle belirlenir. Coğrafi Koordinatlardan Jeodezik Dik Koordinatların Hesabı Verilenler : P noktasının P(φ, λ) İstenenler : λ 0 meridyen sistemindeki jeodezik dik koordinatlar P(x, y) ve γ meridyen yakınsaması (konvergens) açısı. Çözüm hesaplanır. : Önce φ enlemine karşılık gelen G φ = P 0 H meridyen yay uzunluğu Δλ = λ λ 0 Δλ boylam farkını göstermek üzere P noktasının jeodezik dik koordinatları λ 0 meridyenine gör aşağıdaki gibi hesaplanır. η 2 = e 2 Cos 2 φ

65 t 2 = Tan 2 φ OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ Δx = N SinφCosφ 2ρ 2 Δλ2 + N 24ρ 4 SinφCos3 φ (5 t 2 + 5η 2 )Δλ 4 + x = G φ + Δx (Δx = HF) y = N ρ N CosφΔλ 6ρ 3 Sin2 φ CosφΔλ 3 N 120ρ 5 Sin2 φ Cos 3 φ(8 t 2 )Δλ 5 γ = SinφΔλ + 1+η2 Sinφ 3ρ 2 Cos2 φδλ 3 + Örnek : P noktasının coğrafi koordinatları, φ = ve λ = olduğuna göre, λ 0 = 39 0 meridyenindeki jeodezik dik koordinatlar P(x, y) ve γ meridyen yakınsaması (konvergensi) açısını hesaplayınız. φ = = λ = = GRS80 Elipsoidi için a = m e 2 = e 2 = α = m β = m γ = m δ = G φ = P 0 H = α φ + βsin(2φ) + γsin(4φ) + δsin(6φ) = m ρ Δλ = η 2 = e 2 Cos 2 φ = t 2 = Tan 2 φ = N = a 1 e 2 Sin 2 φ = m Δx = N SinφCosφ 2ρ 2 Δλ2 + N 24ρ 4 SinφCos3 φ (5 t 2 + 5η 2 )Δλ 4 + = x = G φ + Δx = m (Δx = HF) y = N ρ N CosφΔλ 6ρ 3 Sin2 φ CosφΔλ 3 N 120ρ 5 Sin2 φ Cos 3 φ(8 t 2 )Δλ 5

66 y = m OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ γ = SinφΔλ + 1+η2 3ρ 2 Sinφ Cos2 φδλ 3 + = Jeodezik Dik Koordinatlardan Coğrafi Koordinatların Hesabı Verilenler : λ 0 meridyeninde jeodezik dik koordinatlar P(x, y) İstenenler : Coğrafi koordinatlar P(φ, λ) ve γ meridyen yakınsaması (konvergensi) açısı Çözüm : Öncelikle x değerine karşılık gelen φ F enlemi hesaplanır. Ekvatordan F ayak noktasına kadar olan yay uzunluğu P noktasının x değeridir. Bu φ F enleminden P noktasının φ enlemi (aynı zamanda H noktasının enlemi) ve diğer istenenler aşağıdaki eşitliklerden hesaplanır. Elipsoidde ekvatordan bir φ enlemine kadar olan meridyen yay uzunluğu G ek,φ = P 0 H = α φ + βsin(2φ) + γsin(4φ) + δsin(6φ) ρ eşitliği ile hesaplanmaktadır. Ekvatordan itibaren G=x meridyen yay uzunluğuna karşılık gelecek φ enlemi yukarıdaki eşitlikten çekilir ve φ i+1 = {G ekv,φ βsin(2φ i ) γsin(4φ i ) δsin(6φ i )} α ifadesinden iteratif olarak hesaplanır. Bu şekilde bulunan φ F enlemi istenirse aşağıdaki seriden direkt olarakda hesaplanabilir. φ F = σ + β Sin(2σ) + γ Sin(4σ) + δ Sin(6σ) + σ = G ek,φ α e 2 = c = m α = c ρ (1 3 4 e e e e 8 + ) β = ρ ( 3 8 e e e e 8 + ) γ = ρ ( e e e 8 + ) δ = ρ ( e e 8 + ) α = m/ 0 = m g β = ρ

67 γ = δ = φ F enlemi elde edildikten sonra P noktasının istenen coğrafi koordinatları ve meridyen yakınsaması aşağıdaki formüllerden elde edilir. Formüllerdeki F alt indisi bütün hesaplamaların φ F enlemiyle yapılacağını göstermektedir. φ = φ F ( V2 tρ ) 2N 2 F y2 + ( V2 tρ 24N 4) (1 + 3t 2 + η 2 9η 2 t 2 ) F y 4 + F λ = λ 0 + ( ρ NCosφ ) F y ( ρt2 3N 3 Cosφ ) F γ = ( ρt ) y tρ +η 2 N F (1+2t2 ) y 3 + 6N 3 F y 3 + ( t2 ρ(1+3t 2 ) ) y N 5 Cosφ F t = Tanφ F η 2 = e 2 Cos 2 φ F V 2 = 1 + η 2 N = c V Örnek : λ 0 = 39 0 meridyen sisteminde, bir P noktasının jeodezik dik koordinatları x = m, y = m olarak veriliyor. Buna göre P noktasının coğrafi koordinatlarını (φ, λ) ve meridyen yakınsaması (konvergensi) açısı γ yı hesaplayınız. G ekv,φ = x için σ = G ek,φ α = φ F = σ + β Sin(2σ) + γ Sin(4σ) + δ Sin(6σ) + = t = Tanφ F = η 2 = e 2 Cos 2 φ F = V 2 = 1 + η 2 = N = c V = m φ = φ F ( V2 tρ ) 2N 2 F y2 + ( V2 tρ 24N 4) (1 + 3t 2 + η 2 9η 2 t 2 ) F y 4 + F φ = = φ = = λ = λ 0 + ( ρ NCosφ ) F y ( ρt2 3N 3 Cosφ ) F y 3 + ( t2 ρ(1+3t 2 ) ) y N 5 Cosφ F

68 λ = λ = = γ = ( ρt ) y tρ +η 2 N F (1+2t2 ) y 3 + 6N 3 F γ = = = Elipsoidin Düzleme Gauss Krüger Projeksiyonu 1931 yılından beri ülkemizde kullanılmakta olan Gauss-Krüger projeksiyonu (GKP) silindirik, transversal (yatık eksenli), açı koruyan (konform) bir projeksiyondur. Bu yüzden Gauss-Krüger projeksiyonuna Transversal Merkator projeksiyonu (TM) dendiği de olur. İzdüşüm yüzeyi olan silindir, elipsoide başlangıç olarak seçilen meridyen boyunca teğettir. Ülkemiz genelindeki çalışmalar için belirlenmiş başlangıç meridyenleri vardır. Bunlar, 27 0, 30 0, 33 0, 36 0, 39 0, 42 0, 45 0 meridyenleridir. Yerel çalışmalar için seçilmiş herhangi bir jeodezik dik koordinat sistemi varsa, bu sistemin başlangıç noktasından geçen meridyende başlangıç meridyeni olarak alınabilir. Buna göre; a) Seçilen başlangıç meridyeninin Gauss-Krüger projeksiyonu düzlemindeki karşılığı X g ekseni olarak alınır. b) Bu durumda başlangıç meridyeninde uzunluk deformasyonu yoktur. Başlangıç meridyeni ile ekvatorun kesiştiği nokta sistemin başlangıç noktasıdır.

69 Gauss-Krüger Projeksiyonunda Yaklaşma Açısı Kürede olduğu gibi elipsoidde de bir noktadaki yaklaşma açısı o noktadaki meridyen doğrultusuyla X ekseni (Y=sabit) arasındaki γ açısıdır. Benzer durum Gauss-Krüger projeksiyon düzleminde meridyen doğrultusuyla X g ekseni (Y g = sabit) arasındaki C açısının varlığıdır. C açısına Gauss yaklaşma açısı denir ve elipsoidal semt ile azimut arasında geçiş yapmaya olanak sağlar. Elipsoidde; A α S : P 1 P 2 nin elipsoidal azimutu : P 1 deki yaklaşma (konvergens) açısı : A- : P 1 P 2 nin elipsoidal semt (açıklık) açısı : P 1 P 2 jeodezik eğri uzunluğu Projeksiyon düzleminde; T : A-C : P 1 P 2 nin Gauss açıklık açısı t : T-δ : P 1 P 2 nin projeksiyon düzlemindeki açıklık açısı δ C s : Projeksiyon düzleminde P 1 deki doğrultu redüksiyonu : P 1 deki Gauss yaklaşma (konvergens) açısı : P 1 P 2 uzunluğu (projeksiyon düzleminde)

70 OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ : P 1 P 2 jeodezik eğri uzunluğunun projeksiyon düzlemindeki karşılığı (σ s) C ve açıları teorik olarak farklı olmakla beraber aralarındaki fark pratikte rahatlıkla göz ardı edilebilmektedir. Örneğin C e açıları aralarındaki fark, φ = 38 0 ve λ = 2 0 için C = ρt y N g ρt(1+t2 η 2 ) ( y g 3 N )3 (eğer x, y koordinatları verilmişse) t = Tanφ F = η 2 = e 2 Cos 2 φ F = e 2 = C = Sinφ l + 1 3ρ 2 Sinφ Cos2 φ (1 + 3η 2 )l 3 + (eğer elipsoidal koordinatlar verilmişse) γ = Sinφ l + 1 3ρ 2 Sinφ Cos2 φ (1 + η 2 )l 3 + t = Tanφ F = η 2 = e 2 Cos 2 φ F = e 2 = C = γ = C γ = Elipsoidal Coğrafi Koordinatlardan Gauss-Krüger Koordinatlarının Bulunması Elipsoidal coğrafi koordinatlardan Gauss-Krüger koordinatlarının bulunması problemiyle jeodezi uygulamalarında sıklıkla karşılaşır. Pafta köşe koordinatlarının hesabı buna örnektir.

71 Verilenler : P(, ) noktasının coğrafi koordinatları, İstenenler : λ 0 başlangıç meridyenli sistemde P(x g, y g ) Gauss-Krüger koordinatları ve C meridyen konvergensi açısı Çözüm : Δλ = λ λ 0 boylam farkı m ekv,φ : ekvatordan itibaren enlemine kadar olan meridyen yay uzunluğu x g, y g : Gauss-Krüger koordinatları C : Meridyen konvergensi açısı olmak üzere t = Tanφ η 2 = e 2 Cos 2 φ V 2 = 1 + η 2 N = c V hesaplanır. Önce enlemine kadar olan m ekv,φ meridyen yay uzunluğu c= m GRS80 Elipsoidi için α = m β = m γ = m δ = m ekv,φ = α φ + βsin(2φ) + γsin(4φ) + δsin(6φ) ρ m ekv,φ koordinatlardan, değeri yukarıdaki gibi hesaplandıktan sonra Gauss-Krüger koordinatları coğrafi NSinφ Cos(φ)Δλ2 x g = m ekv,φ + + NSinφ Cos3 φ(5 t 2 +9η 2 +4η 4 )Δλ 4 2ρ 2 24ρ 4

72 y g = NCos(φ) Δl ρ NCos3 (φ)(1 t 2 + η 2 ) Δλ3 ρ NCos5 (φ)(5 18t 2 + t η 2 58η 2 t η 4 64η 4 t 2 ) Δλ5 ρ 5 formüllerinden hesaplanır. Gauss yaklaşma açısı derece cinsinden, C = Sin(φ)Δλ [ (1 + 3η 2 )Cos 2 (φ) Δλ2 ρ 2 ] formülünden hesaplanır. Örnek : Elipsoidal coğrafi koordinatları φ = ve λ = olarak verilen noktanın λ 0 = 33 0 başlangıçlı sistemdeki x g, y g Gauss-Krüger koordinatlarını ve C meridyen yakınsamasını hesaplayınız. Δλ = λ λ 0 = = boylam farkı ve φ = = enlemi için m ekv,φ değeri, GRS80 Elipsoidi için c= m α = m β = m γ = m δ = m ekv,φ = α φ + βsin(2φ) + γsin(4φ) + δsin(6φ) = m ρ e 2 = t = Tanφ = η 2 = e 2 Cos 2 φ = V 2 = 1 + η 2 = N = c = m V NSinφ Cos(φ)Δλ2 x g = m ekv,φ + + NSinφ Cos3 φ(5 t 2 +9η 2 +4η 4 )Δλ 4 2ρ 2 24ρ 4 y g = NCos(φ) Δλ ρ NCos3 (φ)(1 t 2 + η 2 ) Δλ3 ρ NCos5 (φ)(5 18t 2 + t η 2 58η 2 t η 4 64η 4 t 2 ) Δλ5 ρ 5 x g = m

73 y g = m C = Sin(φ)Δλ [ (1 + 3η 2 )Cos 2 (φ) Δλ2 ρ 2 ] C = Gauss-Krüger Koordinatlarından Elipsoidal Coğrafi Koordinatların Bulunması Dilim orta meridyeni (λ 0 ) olan bir sistemde P(x g, y g ) Gauss-Krüger koordinatları verilen noktanın P(φ, λ) elipsoidal coğrafi koordinatları ve C meridyen yakınsaması açısının bulunması amaçlanır. G = x g σ = G α GRS80 elipsoid parametrelerinden; e 2 = c = m α = m/ 0 = m g β = γ = δ = φ F = σ + β Sin(2σ) + γ Sin(4σ) + δ Sin(6σ) + Noktanın elipsoidal coğrafi koordinatları; F ayak noktasının φ F enlemi yukarıdaki gibi hesaplandıktan sonra istenen φ, λ ve C değerleri aşağıdaki ifadelerden hesaplanır. t F = tanφ F η F 2 = e 2 Cos 2 φ F V F 2 = 1 + η F 2 N F = c φ = φ F ρ 2 tanφ F ( y g N F ) 2 [1 + η F (5 + 6η F 2 + 3t F 2 6η F 2 t F 2 ) ( y g N F ) 2 ] λ = λ 0 + ρ Cosφ (y g N F ) [1 1 6 (1 + η F 2 + 2t F 2 ) ( y g N F ) (5 + 28t F t F 4 ) ( y g N F ) 4 ] C = ρt y N g ρt(1+t2 η 2 ) ( y g ) 3 F 3 N F φ F enlemi, diğer katsayıların hesabında kullanıldığı için çok önemlidir. Bu nedenle yeteri doğrulukta en az duyarlıkta hesaplanmalıdır. V F

74 Örnek : Gauss-Krüger koordinatları x g = m, y g = m olan noktanın elipsoidal coğrafi koordinatlarını ve C meridyen yakınsamasını hesaplayınız (λ 0 = 33 0 ). G = x g σ = G α GRS80 elipsoid parametrelerinden; e 2 = c = m α = m/ 0 = m g β = γ = δ = φ F = σ + β Sin(2σ) + γ Sin(4σ) + δ Sin(6σ) + t F = tanφ F η F 2 = e 2 Cos 2 φ F V F 2 = 1 + η F 2 N F = c φ = φ F ρ 2 tanφ F ( y g N F ) 2 [1 + η F (5 + 6η F 2 + 3t F 2 6η F 2 t F 2 ) ( y g N F ) 2 ] λ = λ 0 + ρ Cosφ (y g N F ) [1 1 6 (1 + η F 2 + 2t F 2 ) ( y g N F ) (5 + 28t F t F 4 ) ( y g N F ) 4 ] C = ρt y N g ρt(1+t2 η 2 ) ( y g ) 3 F 3 N F φ = λ = UTM PROJEKSİYONU Açılımı Universal Transversal Mercator olan bu projeksiyon,gauss-krüger projeksiyonundan başka bir şey değildir. Bu projeksiyonda koordinatlar Gauss-Krüger koordinatlarından türetilen SAĞA ve YUKARI değerlerdir. UTM sisteminde dünya 6 0 lik dilimlere bölünmüştür. Bu projeksiyonda dünya meridyeninden başlamak üzere 6 0 boylam aralıklı 60 dilime ayrılmıştır. Dilimler 1 den başlamak üzere doğuya doğru artan sırada olmak üzere 1 ile 60 arasında numaralandırılmıştır. Her bir dilim bir projeksiyon sistemini belirler. Silindir, dilimin orta meridyeni boyunca dünyaya teğet alınır. Böylece bir dilimin 3 0 sağı ve 3 0 solu aynı bir dilim içinde yer alır. Ülkemiz 35, 36, 37 ve 38 nolu dilimler içinde kalmaktadır. V F

75 Dilim orta meridyeni (λ 0 ) ile dilim numarası (DN) arasındaki ilişki; DN = λ λ 0 = (DN) λ boylamlı bir noktanın hangi 6 0 lik veya 3 0 lik dilime girdiği aşağıdaki şekilde bulunur. 6 0 lik dilimde, dilim numarası DN = INT ( λ 6 ) lik dilimde, dilim orta meridyeni λ 0 = 6 INT ( λ 6 ) lik dilimde, dilim orta meridyeni λ 0 = 3 INT [ (λ+1.50 ) ] 3