Olasılık, Rastgele Değişkenler ve İstatistik

Transkript

1 Olasılık, Rastgele Değşkeler ve İstatstk Dr. Caht Karakuş Eseyurt Üverstes

2

3 İçdekler. İSTATİSTİK Merkez Eğlm Ölçümler Olasılık Olasılıklarda toplama ve çarpma kuralları Koşullu olasılık Bayes Kuramı Faktoryel - Permütasyo - Kombasyo Faktoryel Permütasyo (Sıradüze) Kombasyo (Brleşm) İk Terml (Bom) Katsayılar Olasılık Dağılımları (Probablty Dstrbuto) Rassal Değşkeler Rasgele Değşke Sürekl Olasılık Dağılımı Ayrık Olasılık Dağılımı Beroull Dağılımı Bom Dağılımı Posso Dağılımı Hpergeometrk Dağılım Sürekl Rassal Değşkeler Düzgü Dağılım Foksyoları Olasılık Yoğuluk Foksyou Normal Dağılım Uygulama Eğr uydurma ve e küçük kareler yötem Lear Regresso Markov Zcrler Aalz Stokastk (Rassal) Süreçler Markov Zcr le Olasılık Aalzler Ergodk Markov Zcrler Dege Durumu Koşulları Kayaklar...

4

5 . İSTATİSTİK.. Merkez Eğlm Ölçümler Artmetk ortalama: μ = = = Dağılımı yapısı hakkıda sadece ağırlık ortalamaı verdğ blg yetersz olduğu alaşılmaktadır. Bu edele dağılımı değşkelk ölçüler: Ortalama mutlak sapma, varyas, stadart sapma ve değşm katsayıları le hesaplaır. Dağılım Geşlğ: Dağılım Geşlğ (Aralık), Br ver kümesdek e büyük değer le e küçük değer arasıdak farktır. DG= Maks(A) M(A) Mod: Mod dağılım kümesde olasılığı e yüksek değerdr. Dzde e çok tekrarlama sayısıdır. Dağılımda e yüksek olasılık değer brde fazla okta le temsl edlyorsa, mod bu değerler hepse karşılık geldğde souç tek alamlı olmakta çıkar. Böyles durumlarda dağılımı bmodal, trmodal ya da multmodal olduğuda söz edlr. Medya Ortaca: Sııfladırılmamış serlerde ortaca hesaplaırke, verler öcelkle küçükte büyüğe doğru sıralaırlar. çft se / değer le /+ değerler ortalaması, tek se (+)/ değer ortacadır.

6 Ortalama Mutlak Sapma (OMS): OMS, Verler ortalamalarıda sapmalarıı göstere br dağılım ölçüsüdür. Değşkelk düzey alaşılması ç kullaılır. OMS = = μ Kıyaslaırke ayı ortalamaya sahp olsalar ble, Ortalama Mutlak Sapmalarıı farklı olduğu görülmektedr. OSM s küçük ola verler ortalamada daha az sapar, ya değşkelğ daha az olması şekldedr. Varyas - Stadart Sapma: Br ver dağılımıdak değşm öeml br ölçüsü varyastır. Varyası karekökü alıarak stadart sapma elde edlr. Örek ç Varyas: S = = ( μ) Aa Kütle ç Varyas : σ = = ( μ) N Örek ç Stadart Sapma: S = = ( μ) Aa Kütle ç Stadart Sapma: σ = = ( μ) N Yorum: Varyası daha küçük olaı değerler daha homojedr. Not: Öreklem ç ede (-) e bölüüyor? 0 koltuk bulua br mübüse yolcular sırasıyla bsler. İlk yolcuu 0 koltukta br seçme serbestlğ var. İkc yolcuu kala 9 koltukta br seçme serbestlğ var. Bu şeklde devam edlrse, 9. yolcuu kala koltukta br seçme serbestlğ var. Acak 0. yolcuu koltuk seçme serbestlğ kalmamıştır. Demek k 9 yolcuu seçme serbestlğ varke yolcuu yoktur.

7 Değşm Katsayısıı (DK): Değşm katsayısı stadart sapmaı karşılaştırmadak dezavatajıı ortada kaldıra ve k veya daha fazla ser dağılımlarıı karşılaştırarak hag serdek brmler daha homoje olduklarıı belrlemek amacıyla kullaıla br ölçüdür. DK = s μ 00 Verler ortalamaları ve stadart sapmaları arasıda büyük farklılıklar olduğuda, karşılaştırma ç değşm katsayısıı kullaılması daha uygu olacaktır. Çarpıklık Katsayısı: Dağılımı ortalamaya göre bçme lşk bazı blgler çarpıklık ve basıklık katsayıları le öğreeblrz. Çarpıklık Katsayısı aşağıdak eştlk le hesaplaablr, ÇK = = ( μ) 3 S 3 Merkez Eğlm Ölçüler Yardımıyla Serler Çarpıklığıı Hesaplaması: Serler mod ya da medyaıı artmetk ortalamada farkıı o ser stadart sapmasıa bölümes le ser asmetrs ya çarpıklığı hesaplaablr. Bulucusuu adıda dolayı Pearso Asmetr Ölçüsü dele bu çarpıklık katsayıları (ÇK) aşağıdak formüller yardımıyla hesaplaır. ÇK = (μ Mod)/σ ve ÇK = 3( μ Medya) ÇK=0 se dağılım smetrktr. ÇK<0 se dağılım sola doğru çarpık ya da - yöe eğlmldr. ÇK>0 se dağılım sağa doğru çarpık ya da + yöe eğlmldr. σ

8 Basıklık Katsayısı: BK = = ( μ) 4 S 4 3 BK=0 se dağılımı yükseklğ stadart ormal dağılıma uygudur. BK<0 se dağılım stadart ormal dağılımda daha basıktır. BK>0 se dağılım stadart ormal dağılımda daha svrdr. Örek Büyüklüğüü Belrlemes: Bazı durumlarda, yapıla tahmlerde bell br doğruluk veya sabet derecese ulaşmak hedef olarak alıablr. Bu gb durumlarda stee hedefe ulaşablmek ç örek büyüklüğüü hesaplamasıda aşağıdak formüller kullaılablr.

9 Merkez eğlm ölçüler kıyaslaması: Ortalama Maksmum Mumum Dağılım Geşlğ OMS Varyas Stadart Sapma Değşm Katsayısı Çarpıklık Katsayısı Basıklık Katsayısı A B C A ve B verler ayı ortalama ve medyaa sahp se Ortalama mutlak sapma, varyas, stadart sapma ve değşm katsayıları değerler kıyaslaır. Ortalama mutlak sapma, varyas, stadart sapma ve değşm katsayılarıda daha homoje dyeblmek ç hesaplaa katsayıları br bre bezer olması gerekr. Çapıklık katsayıları A ya at verler, B, C lere at verler le kıyaslaarak yorum yapılır. Basıklık katsayıları stadart ormal dağılımda daha basık olup olmadığı ya da brlere göre basıklık durumları karşılaştırılır. Soru: Br fabrkada bulua üç adet üretm badıda aylık üretle ürü mktarları aylık olarak aşağıda verlmştr. A B C Ay

10 Herbr üretm badı ç Artmetk Ortalamayı hesaplayıız. A B C Toplam N Artmetk Ortalama Dağılımı yapısı hakkıda sadece ağırlık ortalamaı verdğ blg yetersz olduğu alaşılmaktadır. Bu edele dağılımı değşkelk ölçüler: Ortalama mutlak sapma, varyas, stadart sapma ve değşm katsayıları le hesaplaır. a) Herbr üretm badı ç maksmum ve mumum üretm mktarıı buluuz ve Dağılım Geşlğ hesaplayıız.. A B C Maksmum 40 0 Mumum 8 Dağılım Geşlğ b) Herbr üretm badı ç Medya - Ortaca değer buluuz A B C = ve çft olduğuda 6 ıcı ve 7 c değerler ortalaması alıır. A B C Medya Ortaca 0 (8+9)/=7/ 0

11 c) Herbr üretm badı ç Ortalama Mutlak Sapmayı - OMS hesaplayı. A B C Ay I X-Xo I I X-Xo I I X-Xo I Toplam A B C OMS A, B ve C kıyaslaırke ayı ortalamaya sahp olsalar ble, Ortalama Mutlak Sapmalarıı farklı olduğu görülmektedr. A ı OSM s B ve C OSM sde küçük olduğuda A ya at verler ortalamada daha az sapar, ya değşkelğ daha az olması şekldedr.

12 d) Herbr üretm badı ç Varyasları ve Stadart Sapmaları hesaplayıız. A B C Ay (X-Xo) (X-Xo) (X-Xo) , Varyas - Stadart Sapma: A B C Varyas 0/ 07/ 88/ Stadart Sapma A ı varyası ya da stadart sapması, B ve C varyasıda daha küçük olduğuda A ı değerler daha homojedr. e) Herbr üretm badı ç Değşm Katsayısıı (DK) hesaplayıız. A B C Değşm Katsayısı Verler ortalamaları ve stadart sapmaları arasıda büyük farklılıklar olduğuda, karşılaştırma ç değşm katsayısıı kullaılması daha uygu olacaktır.

13 f) A, B, C üretm badı ç Çarpıklık ve Basıklık katsayıları aşağıda verlmştr. Yorumlayıız. A B C Çarpıklık Katsayısı Basıklık Katsayısı A smetrktr, B sağa çarpıktır. C se A göre sağa B göre se sola çarpıktır. A basıktır. B svrdr. C se A ya gçre daha az basıktır. g) Aşağıda verle tabloda hesaplaa değeler yere koyuuz. Kıyaslayıız. A B C Ortalama Maksmum Mumum Dağılım Geşlğ OMS Varyas Stadart Sapma Değşm Katsayısı Çarpıklık Katsayısı Basıklık Katsayısı Merkez eğlm ölçüler kıyaslaması: A ve B verler ayı ortalama ve medyaa sahp se Ortalama mutlak sapma, varyas, stadart sapma ve değşm katsayıları değerler kıyaslaır. Ortalama mutlak sapma, varyas, stadart sapma ve değşm katsayılarıda daha homoje dyeblmek ç hesaplaa katsayıları br bre bezer olması gerekr. Çapıklık katsayıları A ya at verler, B, C lere at verler le kıyaslaarak yorum yapılır. Basıklık katsayıları stadart ormal dağılımda daha basık olup olmadığı ya da brlere göre basıklık durumları karşılaştırılır.

14

15 . Olasılık Olasılık: Br olayı ortaya çıkış sayısı, toplam olaylar sayısıa bölüdüğüde, elde edle ora o olayı olasılığıdır. P = a / Örek: Br zarı br kere atılışı deeyde her olayı olasılığı / 6 dır. Örek uzay se; S = {,,3,4,5,6 } veya 5 üste gelmes olayıı A le gösterrsek; A = {, 5 } P(A) = /6 + /6 =/6 = /3 A ı ortaya çıkmama olasılığıı(,3,4 veya 6 ı üste gelmes) A' le gösterrsek; P(A' ) = /6 + /6 + /6 + /6 = 4 / 6 = / 3 veya P(A' ) = - P(A) = / 3 = / 3 Örekte alaşılacağı gb br olayı olasılığı 0 ve arasıda değşmektedr. Olayı ortaya çıkması mümkü değlse olasılığı 0, ortaya çıkması muhakkak se olasılığı dr. Eğer br olayı meydaa gelme olasılığı p se, olayı gerçekleşme olasılığıı oraı( gerçekleşme şası) p/q, gerçekleşmeme olasılığıı oraı q / p dr. Öreğ zar atıldığıda 3 veya 4 gelmemes şası ( / 3) / ( / 3 ) = / dr. Olasılık Yasaları ) Br olayı olma olasılığı [0,] aralığıda br sayıdır. 0 olasılığı olayı olmazlığıı, se kes olurluğuu belrtr. ) Br olayı olablrlk le olamazlık olasılıklarıı toplamı dama dr. 3) İk olayı brlkte olma olasılığı, brc olma olasılığı le kc brc olayla brlkte olma olasılığıı çarpımıa eşttr. Bu yasaları matematksel fadeler, p olasılık foksyou, A olay, A c ou tümleye olmak üzere, aşağıdak bağıtılarla verlr.. 0 pa ( ) c. p( A ) p( A) 3. p( AB) p( A). p( B A)

16 Dağılım: Olaylar (ya da öermeler) üzerde taımlı ve br olayı kaç kez olduğuu göstere br foksyodur. Olasılığı br uygulaması ola statstkte öem taşır. Olasılığı celemesde soucu blemeye deeyler gözöüe alıır. Bu deeyler br çoğu tekrar edleblr deeylerdr ve rasgele deeyler(radom epermet) olarak adladırılır. Her deey soucu gözleeblr ve lste olarak yazılablr. Üretle make parçaları arasıda kusurlu olaları belrlemek, br aa ktle çde örek seçmek tekrarlaablr deeylerdr. Örek: Made para le k defa atış yapalım. Bu k atımda 4 durumda br ortaya çıkacaktır. Y le yazı, T le tura gösterlmek üzere; YY YT TY TT. Deeyler souçları olay olarak taımlamaktadır. Zar le yapıla atışta olaylarımız veya souçlarımız,,3,4,5 ve 6 ı üste gelmes olacaktır. Bu souçları herbr brer bast olaydır. Özetle bast olay tek br deeyde tek br souç vere olaylardır. P(E) le bast olayı gerçekleşme olasılığı gösterlr. Made para le tek atışta tura gelmes bast olaya örek olarak verleblr. Br deey bütü souçları o deey örek uzayıı meydaa getrr. Örek uzay S harf le gösterlr. Br deey olası souçlarıda herbr p ve örek uzayı P le gösterrsek br zarı atılışıda örek uzay; P= {p, p,...,p6 } şekldedr. Örek: Br lotarya oyuuda üç basamaklı br tam sayı rasgele seçlmektedr.üç basamaklı sayıları herbr olası br souçdur. Örek uzay: S = { 000,00,00,...,998,999 } Örek: Br kutuda syah ve sarı rekde toplar bulumaktadır. Kutuda br top çekp tekrar yere koyarsak ve bu deey 00 defa tekrarlarsak çekle topu sarı ya da syah olması gerektğde deey bast olayı olacaktır. E syah topu çeklmes, E sarı topu çeklmes, örek uzay S = {E, E } İk veya daha çok olayı brlkte veya brbr ardıa gerçekleşmes le bleşk olay meydaa gelr. Bleşk olayı gerçekleşme olasılığı E, E k olayı göstermek üzere P(E,E) şekldedr. Para le k atış yapıldığıda; YY YT TY TT souçlarıı çıkması br bleşk olaydır. Ayı şeklde zarla yapıla atışta 6 6=36 soucu da bleşk olaydır. Bast ve bleşk olay taımlarıda başka olayı bağımlı ve bağımsız olay olarak da taımlayablrz. Br olayı ortaya çıkması dğer br olayı veya olayları ortaya çıkmasıa ede olmuyorsa bu olaylar bağımsız olaylardır. Zarı defa atılmasıda. atışı soucu,. atışı etklemeyeceğ ç bağımsız olay olarak adladırılır. Br olayı meydaa gelmes dğer br olayı veya olayları

17 meydaa gelmes etklyorsa bu tür olaylar bağımlı olaylardır. 5 lk skambl destesde adesz olarak arka arkaya kağıt çekldğde, kc kartı soucu brc kartı soucua bağımlıdır. Nsb Frekasla Olasılık Belrleme Para le atış yapıldığıda deey souçları yazı ve tura bast olaylarıda br olacaktır. Deey 300 defa tekrarladığıı varsayarsak lk atışlarda yazı olayıı toplam atışa oraı % 50 de uzak olacak, deey sayısı çoğaldıkça ora % 50 ye çok yakı seyredecektr. y eksede yazı gelme sayısıı toplam atış sayısıa oraı (m / ), eksede de toplam atış sayısı() gösterldğde, aşağıdak şeklde görüldüğü gb atış sayısı arttıkça yazı sayısı (m) %50 cıvarıda olacaktır. m/ Br deey çok tekrar edlrse o olayı sb frekası yaklaşık olarak o olayı olasılığıa eşt olacaktır. Nsb frekas br olayı olasılığıı vermemekte acak gerçek olasılığı tahm yapablmemz sağlamaktadır. Para atışıda görüleceğ gb m olacaktır. Yazı sayısı toplam atış sayısıda küçük veya eşttr. Nsb frekas; m / <= atışlarda hç yazı çıkmamışsa m=0 ve m / =0 olacaktır. Bu durumda sb frekas; 0 m / m /, P(A) ı br tahm olduğua gore P(A) ç de ayı şey söyleeblr; 0 P(A) sb frekas yaklaşımıa göre br olayı olasılığıı olması o olayı ortaya çıkmasıı kes olduğu alamıa gelmemektedr. çok büyük olduğu durumlarda olay çok sayıda ortaya çıkmaktadır. Nsb frekas yaklaşımı acak tekrarlaablr olaylara uygulaablr. Tekrar edlemeye olaylara uygulaması rskldr. Öreğ uzay deey başarı olasılığıı belrlemesde olay fazla tekrar edlemyeceğ ç uygulamak zordur.

18 .. Olasılıklarda toplama ve çarpma kuralları Olasılığı toplama ve çarpım kuralı olmak üzere k temel kuralı vardır. Bu kurallar, olayları brleştrlerek celemese olaak verr. Toplam olasılık - Brbrler Egeleye Olaylar: Toplama kuralıı uygulaablmes ç olayları brbr dışlaya olaylar olması gerekr. Bleşk olayları brbrler egelleyp egellememelere göre olasılıklar değşecektr. A ve B brbr egelleye olaylar olduğuda A olayıı veya B olayıı ortaya çıkması bu olayları bast olasılıklarıı toplamıa eşttr. (A+B) le gösterlr. Brbrler egelleye olayları olasılıkları toplamı dr. P(A+B) = P(A) + P(B) P( A veya B) = P(A) + P(B) Bleşk br olayı ortaya çıkma olasılığı o olayı meydaa getre bast olayları olasılıkları toplamıa eşttr. Öreğ zarı brlkte atılışıda toplam 4 gelme olasılığı P(A), -3, 3- ve - bast olayları olasılıkları toplamıa eşttr: P(A) = / 36 + / 36 + / 36 = / Öreğ br deste skambl kağıdıda br defada br as çekme (A) ve br papaz çekme(b) olayları brbr egeller. Br defada hem as hem de papaz çekme olasılığı sıfırdır. P(A, B) = 0 Bezer şeklde zarı br arada atılışıda toplam 5 gelme olasılığı 4 bast olayı toplamıa eşttr. (-3),(3-),(4-),(-4) olasılıkları P(A)=P(-3)+P(3-)+P(-4)+P(4-) = / 36 + / 36 + / 36 + / 36= 4 / 36

19 Toplam Olasılık - Brbrler Egellemeye Olaylar: Eğer olaylar brbr egellemyorsa A olayıı veya B olayıı ortaya çıkması, ya A olayıı ya B olayıı ya da A ve B olaylarıı her ks brlkte gerçekleşmes alamıdadır. A ve B brbrler egellemyorsa; P(A+B)=P(A) + P(B) P(AB) veya P(A veya B)=P(A) + P(B) P(A ve B) örek: Br deste skambl kağıdıda br vale çekme olayı A le, br maça çekme olayı da B le gösterls. Bu k olay brbr egellemedğde A veya B olma olasılığı ya maça vales çekme olasılığı vardır. Bu durumda A ı veya B olma olasılığı; P(A+B)=(4/5) + (3/5)-(/5)=4/3

20 .. Koşullu olasılık Çarpma kuralı(bağımlı olay) Bağımlı k olayda B olayı A olayıda sora ortaya çıkıyorsa,olayları brlkte gerçekleşme olasılığı: P(A ve B) =P(A) * (B \ A) Bağımlı olaylarda br(a) gerçekleştğ bldğde dğer (B) oa bağlı olarak meydaa gelme olasılığı; P(B\ A) =P(A ve B) / P(A) Örek: Elektrk - Elektrok mühedslğ bölümü. sııf öğrecler %5 matematk dersde, %5 de hem matematk hem fzk dersde üstü başarı göstermştr. Bu sııfta rastgele br öğrec seçldğde, seçle öğrec matematk dersde üstü başarılı se, fzk dersde de üstü başarılı olma olasılığı edr? M: Matematk, F: Fzk. P(M) = 0.5 P(M ve F) = 0.5 P(F \M)=P(M ve F) / P(M) =0.5 / 0.5=0.60 Çarpma kuralı(bağımsız olay) Bağımsız olaylarda çarpma kuralı; P(A ve B)= P(A) * P(B) şekldedr. Ayı ada atıla k zarı üzerde olması olasılığı: P( ve )= P(/6) * P(/6) = /36 Örek: Br pyagoda 8 boş, kramyel blet vardır. Bu pyagoda blet ala br kş kramye kazama olasılığı edr? (adesz) Brc blet kazama olasılığı /0 dur. Brc blet kramye kazaırsa gerye 8 boş kramyel 9 blet kalır. Ikc blet kazama olasılığı /9 dur. Her k blet de kramye kazama olasılığı: P(Bve B)= (/0)*(/9) = /45 Örek: Br kutuda 5 adet yeşl rekte, 3 adet de beyaz rekte top bulumaktadır. Kutuda top çekldğde her ks yeşl olma olasılığı edr? (Toplar kutuya ade edlmyor) A: lk çekle topu yeşl olması olayı, B: kc çekle topu yeşl olması olayı gösterls.

21 A ve B bağlı olaylar olduğu ç P(A ve B) hesaplaacaktır.. topu yeşl olma olasılığı : P(A) = (5 / 8 ). topu yeşl olması durumuda. topu yeşl olma olasılığı: P(B \ A) = (4 / 7) P( A ve B ) = P(A) * P(B \ A) = (5/8)*(4/7) = Örek: A ı 5 yıl sora hayatta kalma olasılığı %80, B 5 yıl sora hayatta kalma olasılığı %60 se, her ks 5 yıl sora hayatta kalma olasılığı edr? P(A ve B)=0.80 * 0.60 = 0.48 Olasılık ve Kümeler: Olasılıkla lgl bu hesaplamalar kümelerle de fade edleblr. Br deey souçlarıı veya bast olaylarıı br örek uzayı çde oktalar olarak belrteblrz. Bast olaylar oktalarla gösterleblrler acak buları toplamı ola bleşk olaylar br küme veya oktalar grubu olarak gösterlrler. A ve B gb brbr egellemeye k bleşk olay Ve dyagramı le aşağıdak gb çzleblr: A A B B Brbr egelleye olaylarda ortak okta yoktur ya P(AB) = 0 olmaktadır. A A B = 0 B

22 Küme otasyou kullaılırke A + B olayı A U B (bleşm) olarak, AB olayı da A B (kesşm) olarak gösterlr. Örek: Br gazete bay toplam 00 kş A,B,C derglere aboe olma sayılarıı aşağıdak gb saptamıştır: Derg Kş sayısı A dergs 50 B dergs 70 C dergs 80 A ve B dergs 5 A ve C dergs Ve Dyagramı: A A B B A B C A C C B C Br kş bu derglerde e az bre aboe olma olasılığı : P( hç aboe olmama) = - (37/00) = 0.85 Br kş A veya C dergse aboe olma olasılığı: P(A + C) =P(A) + P(C) P(AC) = (50 / 00) + ( 80 / 00) (/ 00) = 0.59

23 Soru: adet Kırmızı, 4 adet Syah, 4 Adet Yeşl ve 4 adet Mav rekl GSM telefo kılıfları br torbaı çerse koulmuştur. Torbaı çersde adet kılıf çeklmştr. Çekle kılıfı Kırmızı veya Yeşl olma olasılığıı buluuz. Toplama: Ayrık olaylar: P(K veya Y)=P(K) + P(Y) Soru ayrık olay olasılık sorusudur. P(K)=/4=/=0.5 P(Y)=4/4=/6 P(K veya Y)=P(K) + P(Y)=/4+4/4=6/4=/3 Soru: Br mağazadak reyoda kutuu çersde aşağıda tabloda verlmş ölçütlerde ve reklerde tşörtler koulmuştur. Br adet tşörtü satıldığıı blyoruz. Mav Kırmızı Beyaz Syah Küçük Orta Büyük a) Satıla tşörtü Mav olma olasılığı edr? 0/40=/4 b) Satıla tşörtü Beyaz rekl veya Orta boy olma olasılığı edr? Brleşk olaylar: P(B veya O)=P(B) + P(O) P(B ve O) =0/40+6/40-4/40=/40=/0 c) Satıla tşörtü Beyaz rekl ve Orta boy olma olasılığı edr? P(B ve O)=4/40

24 Soru: Br kutuda 6 adet lmo ve 4 adet portakal bulumaktadır. a) İadel olarak sırayla torbada çekle k arecye lk portakal ve dğer lmo olma olasılığı edr? İaedel, Brbrde bağımsız olaylar: P(P ve L)= P(P)*P(L), Portakal çeklyor ve tekrar kutuya kouluyor. P(P ve L)=4/0 * 6/0=4/00=6/5 b) İadesz olarak sırayla torbada çekle k arecye lk portakal ve dğer lmo olma olasılığı edr? İaedesz, Brbre bağımlı olaylar: P(P ve L)= P(P)*P(L /P), Portakal çekldkte ve kutuda ayrıldıkta sora gerye kalalarda lmo çeklme olasılığı. İlk portakal, kcs lmo, P(P ve L)=4/0 * 6/9 =4/90=8/30=4/5 İlk lmo, kcs portakal, P(L ve P)=6/0 * 4 /9 =4/90=4/5 c) İadesz olarak sırayla torbada çekle k arecye de lmo olma olasılığı edr? İaedesz, Brbre bağımlı olaylar: P(L ve L)= P(L)*P(L /L), Lmo çekldkte ve kutuda ayrıldıkta sora gerye kalalarda lmo çeklme olasılığı. P(L ve L)= 6/0 * 5/9=30/90=/3

25 .3. Bayes Kuramı Thomas Bayes tarafıda gelştrle, koşullu olasılıkları hesaplamasıda kullaıla br teoremdr. Br olayı ortaya çıkmasıda brde fazla bağımsız ede etkl olması durumuda, bu edelerde herhag br o olayı meydaa getrme olasılığıı hesaplamada kolaylık sağlar. P(A B) =B olayı gerçekleştğde A olayıı gerçekleşme olasılığı P(A) = A olayıı gerçekleşme olasılığı P(B A) = A olayı gerçekleştğde B olayıı gerçekleşme olasılığı P(B) = B olayıı gerçekleşme olasılığı

26 B olayıı etkleye adet brbr egelleye olayı veya ede (A, A,..., A ) buluduğuu varsayarsak Bayes kuralıa göre B olayıı A edede meydaa gelme olasılığı ; P( A \ B) = P( A ) * P ( B \ A ) P( A ) * P ( B \ A ) =,,3,... P( A ) le A olayıı olasılığı, P ( B \ A ) le de A olayıı ortaya çıkması durumuda B olasılığı gösterlmektedr. Bayes Teorem' açıklayableceğ dört durum vardır: - Bayes Teorem, ye br düşüce oluşturmak amacıyla ye kaıtlara dayalı br düşücey gücellememze yardımcı olur. - Bayes 'Theorem ye kaıtlar verldğde br olasılığı gözde geçrlmese yardımcı oluyor. 3- Bayes Teorem, ye kaıtlara dayalı br olasılık hakkıdak düşücelermz değştrmemze yardımcı olur. 4- Bayes Teorem ye kaıtlara dayaa br hpotez gücellememze yardımcı olur.

27 Örek: Küçük br ofsde 3 adet fotokop makası kullaılmaktadır. Çekmler %60 ı.makada, %30 u.makada ve %0 u da 3.makada yapılmaktadır. Makaları fre oraları da.make ç %0,.make ç %0 ve 3. make ç %40 olmaktadır. Tüm kopyalar ç hata oraı edr? M,M,M3 makaları, D hatalı kopyayı(fre) gösters. Makaları kullaılma olasılıkları: P(M) = 0.60, P(M) = 0.30, P(M3) = 0.0 ve fre oraları; P(D\ M) = 0.0, P(D\M) = 0.0, P( D\ M3) = 0.40 Olayları A, B, C le gösterrsek; A = M D, B = M D, C = M3 D yazılablr. Öce A olayı ç hesaplama yapalım: P( A ) = P(M D ) = P(M)*P(D\M)= (0.60)*(0.0) = 0.06 Ayı şeklde dğer olaylar ç de hesaplama yapablrz: P( B ) = (0.30)* (0.0) = 0.06, P( C ) = (0.0) * (0.40) = 0.04 Her make ç hesaplaa fre olasılıkları toplamı bze toplam fre olasılığıı verecektr. P( D ) = P( A ) + P( B ) + P( C ) = = 0.6 Tüm kopyaları %6 ı hatalı çıkmaktadır dyeblrz.

28 Soru: Motor üretle br fabrkada 4 adet üretm badı bulumaktadır. Herbr üretm badıı gülük üretm oraları aşağıdak tabloda verllmştr. A B C D Üretm Oraı %0 %40 %30 %0 Üretlelerde kusurlu olaları yüzdes se aşağıdak tabloda verlmştr. A B C D Kusurlu Yüzdeler % % %5 %4 Kusurlu parçalar brbrde bağımsız olarak A, B, C, D üretm badlarıda üretlmektedr. Küme taımı yapıldığıda; A, B, C, D ve K kümeler mevcuttur. K kümesde A, B, C, D üretm badıda üretlelerde kusurlu ürüler oraları mevcuttur. Herbr üretm badı ç kusurlu ürü mktarı belrldr ve ayrıktır (adesz). Kusurlu ürü mktarı, lgl üretm badıda üretle ürü mktarı le kusurlu yüzdes çarpılarak buluur. Bu edele herbr üretm bad ç hatalı olasılığı aşağıdak çarpım le hesaplaır. P(A /K) = P(A K) P(A K) + P(B K) + P(C K) + P(D K) P(A K) = P(A) P(K /A) P(B K) = P(B) P(K /B) P(C K) = P(C) P(K /C) P(D K) = P(D) P(K /D) P(A K) = P(A) P(K /A) Güü souda rasgele br motor seçlyor ve kusurlu olduğu görülüyor. a) Herbr üretm badıda üretm olasıkları hesaplayıız. P(A), P(B), P(C), P(D) P(A)= 0. P(B)= 0.4 P(C)= 0.3 P(D)= 0.

29 b) Herbr üretm badı ç hata olasılıklarıı hesaplayıız. P(H/A), P(H/B), P(H/C), P(H/D). P(H/A)= 0.0 P(H/B)= 0.0 P(H/C)= 0.05 P(H/D)= 0.04 c) Bu kusurlu motoru A, B, C, D üretm badıda çıkma olasıklarıı hesaplayıız. Yorumlayıız. P(AꓵH)=P(A)*P(H/A)=0.004 P(BꓵH)=P(B)*P(H/B)= P(CꓵH)=P(C)*P(H/C)= 0.05 P(DꓵH)=P(D)*P(H/D)=0.004 Toplam=0.070 P(A/H)=0.48, toplam hatalı olalarda A dak hatalı olaları olasılığı P(B/H)=.5 P(C/H)=3.75 d) Söz gelm güü souda 000 ürü üretlmş olsu Herbr üretm badı ç yüzde oralarıı kullaarak üretm mktarlarıı buluuz. Herbr üretm badı ç verle kusurlu oralarıı kullaarak her br üretm badı ç kusurlu adetler buluuz. N A =00, N B =400, N C =300, N D =00 olur. Hatalı ürü mktarları se; N AH = N A * /00=4 N BH = N B * /00=4 N CH = N C *5 /00=5 N DH = N D *4 /00=4 Rasgele seçle br motor kusurlu olduğu görülüyor. Kusurlu motoru A üretm badıda üretlme olasılığı edr? P(H/A)= N AH /( N AH + N BH + N CH + N DH )=4/7=0.48

30 e) Dallama metotu le çözüm 000 A B C D %0 %40 %30 % % % %5 % P(H/A)= N AH /( N AH + N BH + N CH + N DH )=4/7=0.48 P(H/B)= N BH /( N AH + N BH + N CH + N DH )=4/7=0.48 P(H/C)= N CH /( N AH + N BH + N CH + N DH )=5/7=0.555 P(H/D)= N DH /( N AH + N BH + N CH + N DH )=4/7=0.48

31 3. Faktoryel - Permütasyo - Kombasyo 3.. Faktoryel (+)!=(+)!!= (-)! (-)!=(-) (-)! 0!=!=! =... - büyüdükçe,! l bulmak güçleşr. Bu durumda Strlg formülü kullaılarak! yaklaşık olarak buluur.! = π e le yaklaşık değer hesaplaablr. Teorem: tae brbrde farklı ese sıraladığıda elde edlecek değşk düze sayısı! dır. Örek: 7 kş br gşe öüde kaç farklı düzede sıralaablr? 7! Fatoryel sorusu:! ( )! ( )! ( + )! =?! ( )! ( )! ( + )! = ( )( )! ( )! ( )! ( + )( )! = ( ) ( + )

32 3.. Permütasyo (Sıradüze) Neseler değşk düzelerde sıralama sayısı asıl bulur? Öreğ; 8 kş br sıraya kaç farklı düzede oturablr? tae esey sıralama, belrl br sırada düzeleme lg alaımıza gryorsa, olası düzelemeler tümüe sıradüze (permütasyo) adı verlr Örek:,, 3, 4, 5 rakamları le hçbr rakamı tekrarlamada üç rakamlı kaç farklı sayı yazılablr? Çarpma lkes: İlk göze, beş rakamı herhag br (,, 3, 4, 5) le ya 5 farklı şeklde doldurulablr. İkc göze, gerye kala dört rakamı herhag br le ya 4 farklı şeklde doldurulablr. So göze ya üçücü göze, gerye kala üç rakamda br le ya 3 farklı şeklde doldurulablr. Çarpma lkese göre, oluşturulablecek üç basamaklı sayıları toplam sayısı; = 60 olur. Toplama lkes: Brcs farklı şeklde, kcs farklı şeklde yapılable k şlem göz öüe alalım. İk şlemde acak brde br yapılablrse, bu şlemlerde br ya da ötek ( + ) yolda yapılablr. Toplama lkes, solu sayıda şlem çe ala durumlar ç de geelleeblr. Öreğ br öğrec Üversteye ulaşımda kullaacağı seçeekler: 3 farklı servs aracı, farklı arkadaşı otomobl, Babasıı veya br komşuu otomobl olsu. Bu öğrec o sabah Üversteye kaç farklı yolla ulaşablr? Cevap: 3++=7 olur. P(, k) = P k =! ( k)! Örek: ORHAN sözcüğüü harflerde k harfl kaç farklı sözcük yapılablr? P(5,) = P 5 = 5! (5 )! = 5 4 = 0 Brbr ayı eseler düzeler sayısı celedğde, Teorem: taes br türde, taes kc br türde,...,k taes k ıcı türde ola =(+..+k) tae ese olsu. tae ese tümü sıralaırsa, elde edlecek farklı düzeler sayısı,! oraıda buluur.!! k! Örek: İSTATİSTİK sözcüğüü harfler her düzede kullamak koşulu altıda, kaç farklı sözcük elde edeblrz?

33 İ harfde 3 adet S harfde adet T harfde 3 adet A harfde adet K harfde adet Toplam 5 adet harf vardır. Toplam harf sayısı, =5 0! 3!!3!!! =50400 Daresel Düze: tae farklı esey br dare çevresde sıralarsak elde edlecek farklı düzeler sayısı (-)! buluur. Örek: 7 kş yuvarlak br masa çevresde kaç farklı düzede oturablr? (7-)! =6! = 70 Permütasyo sorusu: A={,,3,4,5,6,7} sayıları etketlemş ürülerde 4 ve 6 olu ürüler kusurludur. A ürü kümes üçlü permütasyoularıı kaçıda 4 veya 6 olu ürü buluur. P(, r) = P! r = ( r)! 4 ve 6 olu ürüler ayırırsak kala elemalarda oluşturulacak permütasyolar, P(5,3)=5!/!=60 adetttr. Tamamıda üçlü permütasyolar oluşturursak, P(7,3)=7!/4!=0 P(7,3)-P(5,3)=0-60=50 adet üçlü gruplamada 4 ve 6 olu ürüler bulumaktadır. Üçlü gruplamalarda 4 ve 6 olu ürüler buluma olasılığı=50/0=5/7

34 3.3. Kombasyo (Brleşm) Permütasyoda sıralama sayısı öeml ke kombasyoda sıralama sayısı değl seçm sayısı öemldr. C(, k) = C k =! ( k)! k! Öreğ; A, B ve C le gösterle üç esede kşerl sıralamasıda elde edlecek farklı düze sayılarıı bulmak stersek sıralama sayısı öeml olduğuda permütasyo yardımıyla, 6 buluur. Sıralama sayısı değl seçm sayısı stersek stersek AB, AC, BC gb üç farklı seçm yapılablr. Burada eseler sırasıı dkkate almadığımız ç AB le BA, AC le CA, BC le CB ayı seçmlerdr. Kombasyo (Gruplama) sorusu 4 adet Masa üstü blgsayar (PC, PC, PC3, PC4 etketl) ve 5 adet Dzüstü blgsayar (Laptop: L, L, L3, L4, L5 etketl) arasıda a) Oluşturulacak tüm blgsayarlarda üçlü grup sayısı edr? b) İçde Dzüstü blgsayar bulumada oluşturulacak tüm 3 lü grup sayısı edr? c) İçde dsüstü blgsayar bulumaya üçlü grup olasılığı edr? 4 adet Masaüstü blgsayar (PC) ve 5 adet Dzüstü blgsayar (Laptop) arasıda a) Oluşturulacak tüm blgsayarlarda üçlü grup sayısı edr? C(9,3) = 9! (9 3)! 3! = 84 b) İçde Dzüstü blgsayar bulumada oluşturulacak tüm 3 lü grup sayısı edr? C(4,3) = 4! (4 3)! 3! = 4 c) İçde dsüstü blgsayar bulumaya üçlü grup olasılığı edr? C(4,3)/C(9,3)=4/84 =/

35

36 Permütasyo ve Kombasyo Bleşk olayları olasılıklarıı hesaplamasıı kolaylaştırmak ç permütasyo(permutato) ve kombasyo (combato) aalzde yararlaılır. Eğer br olay halde ortaya çıkablyorsa ve bu olayda bağımsız dğer br olay halde ortaya çıkablyorsa her k olay br arada * halde ortaya çıkablecektr. Brc olayı, kc olayı da 3 halde meydaa çıkması durumuu ağaç dyagramı le aşağıdak gb göstereblrz. c a b d e c d e Brc olayı şıkları a ve b, kc olayı şıkları c,d ve e le gösterlmektedr. Her k olay br arada 6 defa ortaya çıkmaktadır. a c a d a e b c b d b - e Permütasyo brmlk kütle çde r brmlk gruplar alarak buları, değşk sırayı değşk hal sayarak yerleştrr veya sıralarsak sıralamaları herbr br permütasyo olacaktır. Dğer br deyşle brmler sıralaışlarıı öeml olduğu gruplara permütasyo adı verlr. brmlk grup çde r brmlk gruplar seçerek meydaa getrlecek permütasyo sayısı; P r =! = (-) (-)...( - r +) formülü (-r)! le çarpıp bölersek;! P r = ( r )! formülü bze çekm adesz yapıldığıda permütasyo sayısıı verr. adet brmde r brm adel olarak çeklyorsa permütasyo sayısı; P r = r formülü le elde edlr.

37 Örek:, ve 8 rakamlarıda kaç adet rakamlı sayı oluşturulablr? ( çekmler adesz) 3! 3 P = = 6 adet sayılar:,8,8,,8,8 (3 )! Bu öreğ çekmler adel yapıldığıı kabul ederek hesaplarsak, her rakamı tekrarlama olaağı doğduğu ç permütasyo sayısı; 3 P = 3 = 9 olacaktır. sayılar:,,8,,,8,8,8,88 Kombasyo Kombasyolarda brmler sıraları öeml değldr. brmde oluşa br grupta r brm seçlerek gruplar oluşturuluyorsa, sıralar öemsz ve çekm adesz yapılıyorsa mümkü kombasyo sayısı;! C r = r! ( r )! Örek: 9 soru arasıda 6 soru kaç seklde çekleblr? 9! 9 C 6 = = 84 6! (9 6 )! Kombasyo - Olasılık lşkş Örek: Br kutuda 6 kırmızı, 4 syah top vardır. Kutuda rasgele 3 top çekldğde buları; Üçüü de kırmızı olma olasılığı, Üçüü de syah olma olasılığı, E az br kırmızı olma olasılığı edr? Brc,kc ve üçücü çekşlerde kırmızı top çekme olaylarıı E,E ve E3 le gösterelm. Olayları br arada ortaya çıkma olasılığı; P(E E E3) = P(E) *P(E\E)* P(E3\EE) = (6/0)*(5/9)*(4/8) = (/6)

38 Kombasyola hesaplarsak; 6 kırmızı topta üçüü seçm 0 topta üçüü seçm = 6C3 0C3 Üçüü de syah olma olasılığı olasılıkla aşağıdak gb hesaplaır : (4/0)*(3 / 9) * ( / 8) = ( / 30) Kombasyola: 4 C 3 = = 4/0 = /30 0 C 3 E az br kırmızı olma olasılığı se, de heps syah olma olasılığı çıkarılarak buluur P( e az Kırmızı) = - ( / 30 ) = ( 9 / 30)

39 3.4. İk Terml (Bom) Katsayılar (+y) = + y+ y (+y) 3 = 3 + 3y +3y +y 3 (+y) 4 = y + 6 y + 4y 3 +y 4

40

41 4. Olasılık Dağılımları (Probablty Dstrbuto) değşke sürekl se, olasılık dağılımı, sürekl olasılık dağılımı(cotuous probablty dstrbuto), değşke süreksz se, ayrık (süreksz) olasılık dağılımı(dscrete probablty dstrbuto) olarak adladırılır. Br değer aralığıda sadece tam sayılarla fade edleble bazı değerler alable ayrık değşkeler, Bom, Hpergeometrk, Posso dağılımı göstermektedrler. Br değer aralığıda tüm değerler ala sürekl değşkeler dağılımı da Normal dağılım göstermektedr. 4.. Rassal Değşkeler Bell olasılıklarla değşk değerler alable değşkeler rastsal değşkeler olarak adladırılır. Br zar atıldığıda elde edle,,3,4,5 ve 6 souçları rastsal değşke değerlerdr. Bu souçlarda her br /6 olasılığı le ortaya çıkar. Stokastk değşke olarak da adladırıla rastsal değşke sürekllk açısıda kye ayrılır: Ayrık rastsal değşke, Sürekl rastsal değşke. Rassal deemeler souçları sayılarla fade edleblr. Öreğ atıla br zar, öğrecler otları, kşler gelrler vb. Buula brlkte bazı rassal deemeler souçları sayılarla fade edlemeyeblr. Öreğ br malı kusurlu olup-olmaması, br müsabakaı galb-mağlubu, kş mede hal ve eğtm durumu vb. Sayılarla fade edlemeye rassal deeme souçlarıı ble sayılarla fade edleblr ve böylece olasılık foksyoları belrleeblr. Br üretm sürecde Arızalı mallar = ve Arızasız mallar = 0 sayısal değerler vereblrz. Csyet souçlarıda Erkek = ve Baya = 0 sayısal değerler vereblrz. Rassal deeme souçlarıı göstere bu sayısal değerlere Rassal Değşkeler der. Rassal değşkeler X ve rassal değşke alableceğ değerler se le gösterlr. Öreğ br zar atılmada geleblecek souç ç X rassal değşke muhtemel souçları (=, =, =3, =4, =5 ve =6) ç se kullaılır. Rassal deeme souçları sayılablr sayıda değer alıyorsa ya sayı çzgsde brbrde ayrı oktalar halde se Ayrık (Keskl) Rassal Değşkeler olarak adladırılır. Öğrecler aldığı otlar, Hastae de br güde doğa çocukları csyet. Rassal deeme souçları bell br aralıkta bütü değerler alablyorsa ya sayı çzgsde br aralığı kaplıyorsa se Sürekl Rassal Değşkeler olarak adladırılır. Geellkle ölçümler sürekl rassal değşkelerdr. Hsse seetler gülük getrler, Aylık thal edle doğalgaz mktarları, Br otobüsü İstabul da Akara ya varış süres.

42 Ayrık br rassal değşke X ve bu rassal değşke alableceğ değerler se le gösterls. Bu durumda Ayrık br X rassal değşke bell br değer alma olasılığı br foksyou olarak şu şeklde fade edleblr, P (X) = P(X=). Yukarıdak fade Ayrık X rassal değşke olasılık dağılımıı vermektedr. Bell olayla lgl olasılık dağılımı br kez hesapladığıda olasılık foksyou da çıkarılmış olur. Ayrık br rassal değşke olasılık foksyouu k özellğ vardır. Her değer ç P(X = ) 0, X rassal değşke herhag br değer alma olasılığı sıfırda büyüktür veya eşttr. = P(X = ) =, X rassal değşke her br değer alma olasılığı toplamı bre eşttr. ÖRNEK: Öreğ br zar atıldığıda gele souç rassal değşke (X) ke, geleblecek souçlar =,, 3, 4, 5 ve 6 dır ve her br gelme olasılığı /6 dır. Bu durumda bu olayı olasılık foksyou aşağıdak gb olacaktır. P () = P(X=) = /6 > 0 = P(X = ) = /6 + /6 +/6 + /6 +/6 +/6 = Ayrık Rassal Değşke Kümülatf Olasılık Foksyou Ayrık br rassal değşke ola X herhag br 0 değer aşmama olasılığı Kümülatf Olasılık Foksyou le aşağıdak gb gösterleblr. F( 0 ) = P (X 0 ) = 0 P(X = ) Ayrık br rassal değşke kümülatf olasılık foksyouu k özellğ vardır. Her 0 değer ç 0 F( 0 ) arasıdadır. 0 < se, F( 0 ) F( ) olur. ÖRNEK: Atıla br zarı 3 te küçük gelme olasılıklarıı foksyouu yazıız. Atıla br zarı 3 te küçük gelmes veya gelmes durumudur. F( 0 ) = P (X 0 ) = = P(X =, X = ) = /6 +/6= /6 ÖRNEK: Atıla br zarı de büyük ve 6 da küçük gelme olasılıklarıı foksyouu yazıız. Atıla br zarı de büyük ve 6 da küçük gelmes, 3, 4 veya 5 gelmes durumudur. F( 0 ) = P (X 0 ) = 5 = P(X =, X = 3, X = 4, X = 5 ) = 4/6

43 Örek: br kutuda aşağıda verle skambl kağıtları bulumaktadır: Kupa:, 3, 4 Maça:, Sek: 3, 4 Karo:,, 3 a) Kutuda rasgele br kağıt çekersek rasgele değşke çekle syah kağıt sayısıı göstermek üzere olasılık dağılımı e olacaktır? Kutudak toplam 0 kağıdı 4 ü syah olduğu ç çekle kağıdı syah olma olasılığı: f() = P( = ) = 4 / 0 b) Kırmızı kağıt çekme olasılığı: f(0) = P( = 0) = 6 / 0 c) Kutuda rasgele br kağıt çekersek ve le kağıdı üzerdek sayıyı gösterrsek,,,3,4 değerler alablme olasılıkları: f() = P( = ) = / 0 ( as) f() = P( = ) = 3 / 0 ( 3 adet kl) f(3) = P( = 3) = 3 / 0 ( 3 adet üçlü) f(4) = P( = 4) = / 0 ( adet dörtlü) d) adel olarak k kağıt çektğmzde syah kağıt sayısıı göstermek üzere olasılık dağılımı asıl olacaktır? K ( kırmızı), S ( syah) İk kağıt çekldğde souçlar: KK, KS, SK, SS olacaktır. Olaylar bağımsız olduğuda olasılıklar K ve S olaylarıı olasılıkları çarpımı le hesaplaacaktır. P( = 0) = P(KK) = 6/0 * 6/0 = 9/5 P( = ) = P(KS) = 6/0 * 4/0 = 6/5 P( = ) = P(SK) = 4/0 * 6/0 = 6/5 P( = ) = P(SS) = 4/0 * 4/0 = 4/5 Örek: zarla atış yapıldığıda rastsal değşke zarları üste gele yüzlerdek sayıları toplamıı gösterrse, şıklar ve arasıda olacaktır. Olasılıklar şu şekldedr: (şıklar) P() /36 /36 3/36 4 /36 5/ 36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36

44 4.. Rasgele Değşke Sürekl Olasılık Dağılımı

45

46

47

48

49 4.3. Ayrık Olasılık Dağılımı Beroull Dağılımı Ayı koşullar altıda ayrık br rassal deeme souçları olumlu-olumsuz, başarılı-başarısız, geçt-kaldı şeklde brbryle bağdaşmaya ve bütüü kapsaya k souçlu olaylarda, gözlemlerde ya da deeylerde Beroull Dağılımı kullaılır. Öğrec dersde geçme olasılığı p se, dersde kalma olasılığı (-p) olacaktır. X raslatı değşke başarı ç, başarısızlık ç 0 değer alsı. X olasılık foksyou; P(X=)=p, P(X=0)=-p=q olur. Ya da P(X=)=p (-p) - ; =0, se bu dağılıma Beroull dağılımı der. Beroull Dağılımıı Artmetk Ortalaması ve Varyası Beroull rassal değşke artmetk ortalaması: µ = E () = p Beroull rassal değşke varyası: σ = E [ (X - µ ) ] = p ( p) ÖRNEK: Br öğrec, Fzk dersde geçme olasılığıı %70 olduğua amaktadır. Olasılık dağılımıı foksyouu yazıız? Ortalamasıı ve varyasıı buluuz? Öğrec derste geçerse X rassal değşke = ve kalırsa = 0 değer alırsa, X rassal değşke olasılık dağılımı şöyle yazılablr: P (=) = 0.7 ve P (=0) = 0.3 Olasılık dağılım foksyou: P ( X = ) = p ( p) - = 0.7 ( 0.7) - = 0.7 *0.3 - olarak buluur. alacağı ve 0 değerlere göre olasılık dağılımı aşağıdak gb buluur. P ( = ) = p ( p) - = 0.7 ( 0.7) 0 = 0.7 *0.3 0 = 0.7 P ( = 0 ) = p 0 ( p) -0 = ( 0.7) = *0.3 = 0.3 Artmetk ortalaması: µ = E (X) = p = 0.7 Varyası: σ = E [ (X - µ ) ] = p ( p) = 0.7*0.3 =0. olarak buluur.

50 4.3.. Bom Dağılımı Beroull deemeler kez tekrarladığı düşüülsü. Bu deemelerde başarılı souçları toplam sayısı X raslatı değşke olarak gösterls. X raslatı değşke aşağıdak koşulları sağlıyorsa, bu raslatı değşke bom raslatı değşkedr. İk souçlu rassal deeme ayı koşullar altıda kere tekrarlaırsa Bom Dağılımı adı verle dağılım elde edlr. Beroull dağılımıı özel br şekldr. Koşullar: Deeyde k souç vardır. Başarılı olma olasılığı p, başarısız olma olasılığı (-p)=q olarak taımlaır. Deey boyuca yapıla deeme, ayı koşullar altıda gerçekleştrlr. Br tek deeme ç başarılı olma olasılığı p ve başarısızlık olasılığı q her deeme ç ayıdır. Deemeler brbrde bağımsızdır. Deey boyuca sabt kalır. Brçok deeyde k farklı souç ortaya çıkmaktadır. Br sıav soucu başarılı ve başarısız olmak üzere k durumda taımlaablr ya da kalte kotrolu ç alıa br ürü sağlam veya kusurlu olarak k şeklde ortaya çıkablr. Bu türde k soucu ola deeyler Beroull Deeyler veya Süreçler olarak adladırılır. Beroull sürec, her deeyde brbr egelleye k souçta br gerçekleştğ br süreçtr. Made para atışı deeyde her deeyde yazı(y) ve tura(t) mümkü souçlarıda sadece br gerçekleşr ve her atışta P(Y) le P(T) olasılıkları deeyler brbrde bağımsız olduğu ç ayıdır( / ). Beroull deeylerde ortaya çıka k souçta br başarı dğer se başarısızlık olarak adladırılır. p başarı olasılığıı, q da başarısızlık olasılığıı göstermektedr, - p = q. Deey defa tekrarlaırsa toplam başarılı durum sayısı le gösterle br rasgele değşkedr. Bu değşke bom değşke adıı alır. değşke bom değşke olarak kabul edeblmemz ç tekrarlaa deeyler brbrler ayı olmaları, olasılıkları deeyde deeye değşmemes, seçmler adel yapılması gerekr. Geel olarak Beroull deeyde p=başarı olasılığı, q=başarısızlık olasılığı olmak üzere sayıda başarı olasılığı aşağıda verle bom olasılık foksyou kullaılarak hesaplaır, P() = C k p q - = (! / (!( )!))* p q - bütü haller hesaplaması le olasılık dağılımı elde edlr. Bu dağılıma Bom dağılımı adı verlr. Bom olasılıkları stadart Bom Dağılımı Tabloları kullaılarak

51 hesaplaablr. Çeştl p ve değerler ç k ı ( ) alableceğ tüm değerler olasılıkları bu tablolarda verldğde stele br ç olasılık buluablr. Bom dağılımıdak p ve q olasılıkları brbre eştse dağılımı şekl smetrk olacaktır. Para atışı deeyde p ve q olasılıkları ayı olduğu ç dağılım smetrk olacaktır. p q ya eşt olmadığı durumlarda se, dağılımı şekl asmetrktr. Öcelkle, tae deeme olduğu ç tae k olasılıklı souç olacaktır. İcelee olay başarı ya da başarısızlık se tae deemede tae başarılı ve (-) tae başarısız souç olacaktır ve deemeler brbrde bağımsız olduklarıda souçları herhag br dzlm olasılığı, tekl souçları olasılıklarıı çarpımıa eşttr ve aşağıdak gbdr. P (, -) = p.p.p p.(-p).(-p).(-p) = p (-p) - Her br deeme başarılı olma olasılığı p ve başarısız olma olasılığı (-p) dr. tae rassal deemede tae başarıı (-) tae başarısızlıkla brlkte çok farklı dzlşlerde gerçekleşeblr yukarıda sadece br taes dkkate alıdı. Dzlş sırası öeml değlse rassal deemede tae başarı çere dzlşler sayısı: C =!!( )! ( rassal deeme tael kombasyou) olarak buluur. tae rassal deeme taes başarılı olma olasılık foksyou: P(;,p) =!!( )! hesaplaır. = 0,,, 3, p (-p) - = C p (-p) - şeklde yazılır ve bu formül yardımıyla Bom Dağılımıı Artmetk Ortalaması, Varyası ve Mometler Artmetk ortalaması: µ = E (X) =.p Varyası: σ = E [ (X - µ ) ] =.p. ( p) Mometler: µ = 0 µ = σ µ 3 =.p.(-p)[(-p) p] µ 4 =.p.(-p)[(-6 p(-p)+3.p(-p)] Asmetr (Çarpıklık) ve Basıklık Katsayıları: ÇK = ( p) p 6p ( p) ve BK = 3 + p( p) p( p)

52 ÖRNEK: Br made para 4 kere atılmaktadır. 0,,, 3 ve 4 tae yazı gelme olasılıklarıı sırayla hesaplayıız. Bu br Bom dağılımıdır ve olasılık foksyou P(; 4,0.5) = C p (-p) - olarak yazılır. 0 tae yazı gelme olasılığı: P(0; 4,0.5) = tae yazı gelme olasılığı: P(; 4,0.5) = tae yazı gelme olasılığı: P(; 4,0.5) = 3 tae yazı gelme olasılığı: P(3; 4,0.5) = 4 tae yazı gelme olasılığı: P(4; 4,0.5) =!!( )!!!( )!!!( )!!!( )!!!( )! p (-p) - = p (-p) - = p (-p) - = p (-p) - = p (-p) - = 4! 0!(4 0)! 4!!(4 )! 4!!(4 )! 4! 3!(4 3)! 4! 4!(4 4)! = = = = = Öreğmzdek gb p = (-p) se smetrk bom dağılımı, p (-p) se asmetrk bom dağılımı söz kousudur. ÖRNEK: Yukarıdak örekte artmetk ortalamayı, varyası, mometler, çarpıklık ve basıklık katsayılarıı hesaplayıız. Artmetk ortalaması: µ = E (X) =.p = 4*0.5 = Varyası: σ = E [ (X - µ ) ] = 4*0.5*0.5 = Mometler: µ = 0 µ = σ = µ 3 =.p.(-p)[(-p) p] = 4*0.5*0.5 [ ] = 0 µ 4 =.p(-p) [(-6 p(-p) + 3.p(-p)] = 4*0.5*0.5 [- 6*0.5* *4*0.5*0.5] =.5 Asmetr (Çarpıklık) ve Basıklık Katsayıları: ÇK = ( p) p p( p) = ( 0.5) = 0 = 0 BK = 3 + 6p ( p) p( p) = = =.5 Çarpıklık katsayısı bu olasılık dağılımıı smetrk olduğuu, basıklık katsayısı se ormale göre basık olduğuu şaret etmektedr.

53 Örek: 6 defa atıla br made paraı tam olarak defa tura gelmes olasılığı edr? Smetrk bom dağılımı, p ve q brbre eşt. = 6, =, p=0.50, q= 0.50 P(=) = 6 C (0.50) * (0.50) 6- = ( 6! / (!( 6 )!))* (0.50) * (0.50) 4 =0.3 Bom Dağılım tablosuu kullaarak hesaplarsak; P(;,p)= P(;6, 0.50) = ( ) = Ayı 6 atışta e az 4 defa tura gelmes olasılığı se tabloda şu şeklde hesaplaablr; P( 4) P( 3; 6, 0.50 ) = P( 4) = = Veya P(=0)+P(=)+P(=) = Örek: 5000 sayfalık br askloped 500 sayfasıda baskı hataları vardır. Bu asklopedde rasgele seçle 5 sayfada e fazla 4 taesde baskı hatası olma olasılığı edr? Asmetrk bom dağılımı. Baskı hatası oraı: p= (500 / 5000) =0.30 q=0.70 P( 4) = P(=5) P(=5) = (5! / (5!*0!))*(0.30) 5 *(0.70) 0 = P( 4) = = Tabloda; P(4;5, 0.30) = Örek: Br kutuda bulua ampulü 3 üü kusurlu olduğu blmektedr. Bu kutuda rasgele ve adel olarak 3 ampul çekldğde; İks kusurlu olma olasılığı edr? Bu deey souda beklee ortalama kusurlu sayısı ve stadart sapma edr? İk taes kusurlu olma olasılığı; p= 3 / = 0.5 q = 0.75 P(=) = (3! /(!*!))*(0.5) * (0.75) = 0.406

54 Tabloda; P(;3, 0.5) = bu kümülatf olduğu ç P(=) bu değerde çıkarılır. P(;3, 0.5) = ( ) = ortalama kusurlu sayısı : E()= *p = 3*(0.5) =0.75 stadart sapma : σ = 0.75

55 Posso Dağılımı Smetrk bom dağılımı sosuza yaklaşırke ormal dağılıma yaklaşmaktadır. p=q durumuda ormal dağılım bom dağılımı yere kullaılablmektedr. çok büyük p çok küçük olduğu durumlarda asmetr arttığı ç ormal dağılım uygulaamamakta, bom dağılımıı da hesaplaması güçleşmektedr.p q ya göre küçük olduğu durumlarda bom dağılımı yere Frasız matematkç S.D.Posso(78-840) tarafıda gelştrle Posso dağılımı kullaılmaktadır. Bom dağılımıı özel br durumu ola Posso dağılımı gözlem sayısıı bell br zama dlmde çok yüksek ve beklee soucu gelme olasılığıı çok küçük olduğu durumlarda kullaılır. Kısaca büyük ve küçük p sahp olaylarda kullaılır. Aşağıdak rassal değşkeler (olaylar) bom dağılım özellğ gösterrler. So br haftada meydaa gele yagı sayısı. Dü hastaeye gele hastalarda öle sayısı. Br döem çde hatalı grle ot sayısı Br yıl çde ertelee uçak sefer sayısı 00 sayfalık br ktap da hatalı kelme sayısı Yukarıda sayıla olayları (rassal değşkeler) büyük ve küçük p olasılığıa sahp oldukları ç Posso Olasılık dağılımıı temsl edecektr. Yukardak olayda beklee souçları gerçekleşme olasılığı düşüktür. Dğer br fadeyle adr gerçekleşe olaylardır. Br olayı adr kabul edleblmes ve Posso Olasılık dağılımıa sahp olablmes ç geel kabul göre görüş;. Rassal deeme sayısı 50 olmalıdır.. p = ʎ < 5 olmalıdır. 3. Rassal deemeler k souçlu olmalıdır ve ayı koşullar altıda kez tekrarlamalıdır. 4. Rassal deemeler brbrde bağımsızdır. Bu varsayımlar altıda Posso olasılık dağılımıda X rassal değşke deeme souda beklee soucu gerçekleşme sayısıa göre = { 0,,,.} değerler alablr. Posso dağılımı olasılık foksyou aşağıdak gb fade edleblr. P() = e ʎ ʎ!, = 0,,, Burada ʎ = p, beklee soucu ortalama gerçekleşme sayısıı (Artmetk ortalama), e =.788 doğal logartmaı tabaıdır.

56 Posso Dağılımıı Artmetk Ortalaması, Varyası ve Mometler Artmetk ortalaması: µ = E (X) =.p = ʎ Varyası: σ = E [ (X - µ ) ] =.p. ( p) = ʎ Mometler: µ = 0 µ = σ = ʎ µ 3 = ʎ µ 4 = ʎ + 3ʎ Asmetr (Çarpıklık) ve Basıklık Katsayıları: ÇK = µ 3 σ 3 = ʎ ve BK = µ 4 µ = 3 + ʎ ÖRNEK: öğrecs ola br üverstede br yıl çde grle hatalı otları artmetk ortalaması ʎ = 0.4 tür. Bu örekte;. ʎ = 0.4 < 5. = > p = ʎ = = Rassal deeme beklee soucu hatalı-hatasız olmak üzere k souçludur ve kez tekrarlaablr. Bu şartlar altıda bu olayı Posso Olasılık dağılımıa sahp olduğuu söyleyeblr ve olasılık foksyouu aşağıdak gb fade edeblrz. P() = e ʎ ʎ! = e 0.4 (0.4)!, = 0,,,. ve e 0.4 = 0.67 Bu Posso dağılımıı, Artmetk ortalaması: µ = E (X) =.p = ʎ = 0.4 Varyası: σ = E [ (X - µ ) ] =.p. ( p) = ʎ = 0.4 Mometler: µ = 0 µ = σ = ʎ = 0.4 µ 3 = ʎ = 0.4 µ 4 = ʎ + 3ʎ = (0.4) = 0.88 Asmetr (Çarpıklık) ve Basıklık Katsayıları: ÇK = µ 3 = = =.58 σ 3 ʎ 0.4 BK = µ 4 µ = 3 + = 3 + = = 5.5 buluur. ʎ 0.4

57 Br yılda gerçekleşeblecek hata sayısıı () olasılıkları hesaplayablrz. Br yıl boyuca hç hata olmama olasılığı: P(=0) = e 0.4 (0.4) 0.67 (0.4)0 = = 0.67 Br yıl boyuca br adet hata olmama olasılığı:p(=) = e 0.4 (0.4) Br yıl boyuca k adet hata olmama olasılığı: P(=) = e 0.4 (0.4) Br yıl boyuca üç adet hata olmama olasılığı: P(=3) = e 0.4 (0.4)!!!! 0! 0.67 (0.4) = = =! 0.67 (0.4)! 0.67 (0.4)3 3! = 0.68 = = Örek: br üretm hattıda parçaları %5 kusurlu çıkmaktadır. Rasgele seçle parça çde taes kusurlu olma olasılığı edr? Bom dağılımı le hesaplarsak; P(;,p) =!!( )! p (-p) - = C p (-p) - p=0.05, =, q=-p=0.95, =, P(k=)= Posso dağılımı le hesaplarsak; ʎ = p, beklee soucu ortalama gerçekleşme sayısıı (Artmetk ortalama), p= λ = * 0.05=. P() = e ʎ ʎ!, = 0,,, P(=)=0.0 Burada, e =.788 doğal logartmaı tabaıdır. Tablo değerler kullaırsak; F(; λ) = F(;.)= 0.9 F(; λ) = F(;.)= P(k=)= F(;.) - F(;.)= 0.0

58 Örek: Br fabrkaı ürettğ pller % kusurlu çıkarsa, 00 brmlk üretmde 3 tae kusurlu pl çıkma olasılığı edr? =00, p=0.0, p= λ =00*0.0= P() = e ʎ ʎ!, = 0,,, P(=3)= Tablo değerler kullaırsak; F(3;) - F(;)= = 0.8 Örek: Br sgorta şrket 000 kşy trafk kazalarıa karşı sgortalamıştır. Bu kazalardak ölüm oraı % olduğua göre, sgorta şrket 5 kşye para ödeme olasılığı edr? P=0.0, λ =000*0.0=0 P(=5)= Tablo değerler kullaırsak; F(5;0) - F(4;0)= = Örek: Br sııftak öğrecler % s boyları 90 cm üzerdedr. Rasgele seçle 00 öğrecde; 6 sıı, e az s boylarıı 90 cm de fazla olması olasılıklarıı buluuz. P() = e ʎ ʎ λ =!, = 0,,, P(=6)=0.03 P(=0)= P(=)= P(k ) = - P(k=0) P(k=) = = Tablo değerler kullaırsak; F(0;)= 0.35 F(;)= = 0.7 P(k>=) = = veya P(k>=) = = 0.594

59 Örek: Br şehrdek 30 yaşı üzerdek üfusu %5 üverste mezuu olduğu blmektedr. Rasgele seçlecek 00 kş arasıda; a) 5 üverste mezuu buluması, b) Hç üverste mezuu bulumaması olasılığıı hesaplayıız. λ = 5, = 5 P(k=5) = F(5;5) - F(4;5) = = 0.76 P(k=0) = F(0;5) = Posso Sürec Bazı durumlarda ve p ayrı ayrı blmemekte fakat *p blmektedr.belrl br süre çde hava alaıa e ortalama uçak sayısıı veya belrl br süre çde br telefo satrale gele ortalama çağrı sayısıı bldğ durumlarda λ ya *p blyor demektr. Olayları rasgele meydaa geldğ ve brbrde bağımsız bu gb durumlara Posso Sürec adı verlr. Örek: Br baka şubese her yarım saat çde ortalama 5 müşter gelmektedr. Müşterler gelmeler Posso sürece uyduğu varsayılırsa, 0 dakka çde bakaya e az müşter gelmes olasılığıı hesaplayıız. 0 dakkada 5/3 = 5 müşter bekleecektr. λ = 5 alıarak, de sıfır müşter gelmes olasılığı çıkarılırsa; P(e az ) = P(=0) e 5 * 5 0 P(=0) = = P(0) = F(0;5) = ! P(e az ) = = Örek: Br elektrk satralıda ayda ortalama 4 arıza meydaa gelmektedr. Bu satralde br ay çde hç arıza görülmemes olasılığı edr? P() = e ʎ ʎ!, = 0,,, λ=4 P(=0)= 0.083

60

61 Hpergeometrk Dağılım Bom dağılımı rassal deeme souçlarıı brbrde bağımsız olduğuu varsaymaktaydı. Rassal deemeler souçları brbrde bağımsız değlse ya brc rassal deeme soucu daha sorak rassal deemeler souçlarıı etklyorsa Bom dağılımıı kullaamayablrz. Bu gb durumlarda k souçlu rassal deemelerde özellkle öreklem sayısı küçükse Hpergeometrk Dağılım kullaılablr. Öreklem sayısı artıkça Hpergeometrk Dağılım Bom dağılıma yaklaşacaktır. Özellkle rassal deemeler adesz yapılırsa küçük öreklemlerde Hpergeometrk dağılım söz kousu olur. Öreğ seçle 0 tae Malye Bölümü öğrecs taes İstatstk dersde başarılı olduğuu varsayalım. Rassal olarak seçle br öğrec İstatstk dersde başarılı olma olasılığı: /0 = 0.6 dır. Rassal olarak kc öğrecy seçtğmzde İstatstk dersde başarılı olma olasılığı lk rassal deeme soucua bağlı olarak değşecektr. Rassal olarak seçle lk öğrec İstatstk dersde başarılıysa, rassal olarak seçle kc öğrec İstatstk dersde başarılı olma olasılığı /9 = olacaktır. Rassal olarak seçle lk öğrec İstatstk dersde başarısızsa, rassal olarak seçle kc öğrec İstatstk dersde başarılı olma olasılığı /9 = 0.63 olacaktır. Seçle lk ve kc öğrec İstatstk dersde başarılı olma olasılıkları brbrde bağımsız değldr. Bu şeklde tae rassal deeme yapıldığıda her br brbre bağlı olaylar olacaktır. Yukarıdak örek yardımıyla Hpergeometrk dağılımı olasılık foksyouu aşağıdak şeklde fade edeblrz. B!! (B )! P () = C B C N B = C N (N B)! ( )! (N B + )! N!! (N )! N: Aa kütledek gözlem sayısı : Öreklemdek gözlem sayısı B: Aa kütledek başarılı öğrec sayısı X: öreklemdek başarılı öğrec sayısı C N : N tael aa kütlede tael farklı öreklem seçlme sayısı. C B : Aa kütledek B tae başarılı öğrecde taes örekleme seçlmes yollarıı sayısı.

62 C N B : Aa kütledek (N B) tae başarısız öğrecde (-) taes örekleme seçlmes yollarıı sayısı. Hpergeometrk Dağılımıı Artmetk Ortalaması, Varyası Artmetk ortalaması: µ = E (X) =.p Varyası: σ = E [ (X - µ ) ] = ( N N ).p. ( p) Burada p = B N olacaktır.

63 4.4. Sürekl Rassal Değşkeler Bu bölümde bell br sayı çzgs aralığıda bütü değerler alable değşkeler celeecektr k bu değşkelere Sürekl Rassal Değşkeler der. Zama, uzaklık, sıcaklık, boy, klo vb. ölçüler sürekl rassal değşkee örek olarak verleblr. Geellkle sürekl rassal değşkeler bell br aralıkta olma olasılığı bu bölümde lg alaımızdır. Öreğ; Rassal olarak seçle br öğrec ot ortalamasıı arasıda olma olasılığı Rassal olarak seçle br ale yıllık gelr TL arasıda olma olasılığı Rassal olarak seçle br öğrec ot ortalamasıı 50 de düşük olma olasılığı Rassal olarak seçle br ale yıllık gelr 0000 TL de yüksek olma olasılığı gb Düzgü Dağılım Foksyoları Brkml Olasılık Foksyou X sürekl br rassal değşke ve se bu değşke alableceğ bell br değer göstermektedr. X Brkml Olasılık Foksyou, X sürekl rassal değşke bell br değer aşmama olasılığıı br foksyou olarak verr. X Brkml Olasılık Foksyou: F () = P (X ) = ƒ (t)dt Aralık Olasılığı ve Brkml Olasılık Foksyou X sürekl rassal değşke a ve b gb k değer alablyorsa, rassal değşke bu k aralık arasıda br değer alma olasılığı, P (a < X < b) = F (b) F (a)

64

65

66 4.4.. Olasılık Yoğuluk Foksyou X sürekl rassal değşke bell br aralıkta olma olasılığı Olasılık Yoğuluk Foksyou le hesaplaablr. Sürekl rassal br değşke Olasılık Yoğuluk Foksyou aşağıdak özellklere sahptr:. Olasılık Yoğuluk Foksyou ƒ() le gösterlr.. bütü değerler ç ƒ() 0 (eğr yatay ekse kesmez) 3. Olasılık Yoğuluk Foksyou eğrs altıda kala ala e eşttr. ƒ ()d = X rassal değşke a ve b değerler arasıda br değer olma olasılığı, Olasılık Yoğuluk Foksyou altıda bu k değer arasıda kala aladır. (a<b) P ( a < X < b ) = ƒ ()d b a

67 ÖRNEK: c, 0 3 f() = { 0, dğer değerler ç a) Yukarıdak foksyou olasılık yoğuluk foksyou olablmes ç c hag değer almalıdır? f() = f()d = c d = 0 3 = c ( 3 3 ) 0 3 = c ( 33 3 ) c (03 3 ) = 7 3 c = 7 3 c = de c = 3 7 buluur.

68 b) Olasılık yoğuluk foksyouu gösterz? 3 f() = { 7, 0 3 0, dğer değerler ç c) F () kümülatf olasılık dağılım foksyouu buluuz? F() = f()d = 3 7 d = 0 = 3 7 (3 3 ) 0 = 3 7 (3 3 ) = 3 7 d) F () y hesaplayıız? F() = p ( ) = 3 7 (3 3 ) = 8 7 = 0.3 X rassal değşke de küçük olma olasılığı yüzde 30 dur.

69 e) P ( ) olasılık yoğuluk foksyouu hesaplayıız? p ( ) = 3 7 d 3 = 3 7 (3 3 ) 3 = 3 7 (33 3 ) 3 7 (3 3 ) = = = 6 7 = 0.96 X rassal değşke de büyük olma olasılığı yüzde 96 dır. f) P ( X ) olasılık yoğuluk foksyouu hesaplayıız? p ( ) = 3 7 d = 3 7 (3 3 ) = 3 7 (3 3 ) 3 7 (3 3 ) = = 7 7 = 0.6 X rassal değşke le arasıda olma olasılığı yüzde 6 dır.

70 Normal Dağılım Gülük hayatta karşılaşıla brçok olayı olasılık yoğuluk foksyou artmetk ortalama etrafıda yüksek ve uçlara doğru se azala br seyr göstermektedr. Bu tür dağılımlara Normal Dağılım der ve statstk aalzlerde e çok kullaıladır. Normal olasılık yoğuluk foksyou aşağıdak şeklde görüldüğü üzere artmetk ortalama etrafıda smetrk br dağılıma sahptr. Normal olasılık yoğuluk foksyou çaa bezedğde Ça Eğrs olarak ta adladırılır. Eğr kuyrukları ekse sosuzda keser ve eğr altıda kala ala e eşttr. Sürekllk göstere olayları dağılımıa uygudur ve tek maksmuma sahp olduğu ç çarpıklık ve basıklık katsayıları kolaylıkla hesaplaablr k buda çalışmalarda büyük kolaylıklar sağlar.

71 Normal Dağılım Olasılık Yoğuluk Foksyou X rassal değşke Normal dağılımı olasılık yoğuluk foksyou aşağıda verlmştr. f() = ( µ) σ π e σ, - < < ç Normal dağılımı olasılık yoğuluk foksyouda yer ala semboller açıklamaya htyacı vardır. = olasılığı hesaplaacak tesadüf değşke µ = X rassal değşke artmetk ortalaması σ = X rassal değşke varyası e =.78 (tab logartmaı tabaı) π = 3.4 (p sayısı) µ ve σ, eks sosuz le artı sosuz arasıda br değer alablr. Buda dolayı tek br ormal dağılım yoktur µ ve σ alacağı değerlere göre farklı olablrler. X rassal değşke ortalaması µ ve varyası σ ola ormal dağılıma sahp se bu aşağıdak şeklde gösterlr. X N (μ,σ ) X rassal değşke stele br aralıkta olma olasılığı aşağıdak şeklde hesaplaablr. f() = P (a < X < b) = σ π e a b ( µ) σ d X rassal değşke ormal dağılıma sahp olduğuda olasılıklar Z (Normal dağılım tablosu) tablosu yardımıyla daha kolay hesaplaablr. Z = µ olarak fade edleblr. X rassal değşke stele br aralıkta olma olasılığı aşağıdak şeklde de fade edleblr. σ f() = P (a < X < b) = Z σ π e d b a

72 Normal Dağılımı Özellkler X rassal değşke ortalaması µ ve varyası σ ola ormal dağılıma uyduğu düşüülürse aşağıdak özellklere sahp olacaktır.. X rassal değşke ortalaması E (X) = µ. X rassal değşke varyası Var (X) = E [ ( X- µ ) ] = σ 3. Skewess = 0 (Basıklık katsayısı) 4. Kurtoss = 3 (Çarpıklık Katsayısı) X rassal değşke dağılımı ortalaması ve varyası bu değşke olasılık foksyouu şekl belrler. Dağılımı k parametres ola ortalama ve varyası değştkçe ormal dağılım grafğ şeklde aşağıdak öreklerde görüldüğü üzere değşecektr. Şekl A da ormal dağılıma sahp ortalamaları ayı varyasları farklı k tae olasılık yoğuluk foksyou verlmektedr. Şeklde de görüldüğü üzere varyas azaldıkça olasılık yoğuluk foksyou svrleşmektedr (Basıklığı azalmaktadır). Şekl B de ormal dağılıma sahp varyasları ayı ortalamaları farklı k tae olasılık yoğuluk foksyou verlmektedr. Şeklde de görüldüğü üzere ortalama artıkça yoğuluk foksyou yaa kayarke bçmde herhag br değşme söz kousu değldr.

73 Yukarıdak şeklde X rassal değşke olasılık yoğuluk foksyou ormal dağılıma sahptr ve dört farklı şeklde verlmştr. Ortalama ve stadart sapmadak değşmelere göre olasılık yoğuluk foksyou eğrs değşmler et olarak görülmektedr. Normal Rassal Değşkeler Kümülatf (Brkml) Olasılık Foksyou Ortalaması µ ve varyası σ ola ormal dağılıma sahp br X rassal değşke Kümülatf olasılık foksyou F () = P ( X 0 ) olarak gösterlr. X rassal değşke bell br 0 değerde küçük olma olasılığıı gösterr. Yukarıdak şeklde gr taralı ala, ormal dağılıma sahp X rassal değşke herhag br 0 değerde küçük olma olasılığıı vermektedr. Bu ala aşağıdak geel formül yardımıyla buluablr. 0 F() = P (X 0 ) = σ π e ( µ) σ d

74 Normal Rassal Değşkeler Aralıklı Olasılık Foksyou Ortalaması µ ve varyası σ ola ormal dağılıma sahp br X rassal değşke aralıklı olasılık foksyou F (a) F (b) = P ( a < X < b ) olarak gösterlr. X rassal değşke a ve b gb k değer arasıda olma olasılığıı gösterr (a < b koşuluyla). Yukarıdak şeklde gr taralı ala, ormal dağılıma sahp X rassal değşke a ve b gb k değer arasıda olma olasılığıı vermektedr. Bu ala aşağıdak geel formül yardımıyla buluablr. f() = P (a < X < b) = σ π e b a ( µ) σ d

75 Dağılım ormal br dağılımsa o zama aşağıdak ormal dağılım tablosu kullaılır.

76 Stadart Normal Dağılım Normal olasılık foksyolarıı hesaplamak bazı güçlükler çerdğde her seferde blgsayar yardımıyla sayısal yötemler kullaılarak hesaplamamız gerekr. Bu şlem yapmak yere stadart ormal dağılım (Z) tablosu kullaılablr. Bu tablolarda her br ormal olasılık dağılımıı olasılıkları çzelgeleştrlmş ve tek br ormal dağılım olasılıklarıyla fade edlmştr. X ortalaması 0 ve varyası ola ormal rassal değşke se Stadart ormal dağılıma (Z) sahp demektr ve aşağıdak şeklde gösterlr. Z N (μ=0,σ =) X rassal değşke Normal dağılımı olasılık yoğuluk foksyou aşağıda verlmştr. f(z) = Z π e, - < < ç Stadart ormal dağılımı olasılık yoğuluk foksyouda yer ala semboller açıklamaya htyacı vardır. Z = X µ σ E (Z) = µ = 0 Var (Z) = σ = Z değer belrl br değer artmetk ortalamada kaç stadart sapma aşağıda ya da yukarıda olduğuu belrlemek ç kullaılır.

77 Yukarıdak k şeklde stadart ormal dağılıma sahptr. Stadart ormal dağılım Özellkler:. Dağılım ortalamaya göre smetrktr. %50's sağda, %50's soldadır..normal dağılım eğrs altıda kala ala e eşttr. 3. Artmetk ortalama, ortaca, tepe değer (mod) brbre eşttr ve maksmum yükseklğ buluduğu yerdedr. 4. Normal dağılımı göstere değşkeler aldıkları değerler; Gözlemler %68 ortalama le stadart sapma aralığıa, Gözlemler %95 ortalama le stadart sapma aralığıa, ve Gözlemler %99 ortalama le 3 stadart sapma aralığıa düşer.

78 Normal Dağılımı Stadart Normal Dağılıma Çevrlmes Normal dağılımları stadart ormal dağılımlara kolaylıkla çevreblrz. Bu çevrme şlemde sorada olasılıkları stadart ormal dağılım (Z) tablosu yardımıyla bulablrz. ÖRNEK : Üverste öğrecler gelrler ormal dağılıma sahptr. Ortalamasıı (μ) 400 ve stadart sapmaı (σ) 50 olduğu bldğe göre tesadüfü seçle br öğrec gelr 500 (X) olsu. Bu ormal dağılımı stadart ormal dağılıma çevrz. Z = X µ = = σ 50 Bu durumda seçle öğrec gelr, ortalamada stadart sapma daha yüksektr. ÖRNEK : Üverste öğrecler gelrler ormal dağılıma sahptr. Ortalamasıı (μ) 400 ve stadart sapmaı (σ) 50 olduğu bldğe göre tesadüfü seçle br öğrec gelr 350 (X) olsu. Bu ormal dağılımı stadart ormal dağılıma çevrz. Z = X µ = = σ 50 Bu durumda seçle öğrec gelr, ortalamada stadart sapma düşüktür. Stadart ormal dağılım tablosu aşağıda verlmştr. Bu tabloyu okumayı blmemz gerekr. Z tablosu Artı eks 3.49 arasıda değşyor. Bu, teork evre %99.98 e karşılık gelyor. Z tablosu /0 luk aralarla stadart sapmayı gösteryor Araştırmacılar z tablosudak brkaç değerle lgler. Çükü çoğu hpotez testlerde %95 ve %99 luk alalarla lgleyor.

79 Tablo. Stadart ormal dağılım tablosu Z

80 Yukarıdak tabloda çeştl Z değerler ç ormal eğrler alalarıı hesaplamıştır. Bu tablolar yardımıyla doğruda olasılıkları hesaplayablrz buu ç Z tablosuu okumasıı blmemz gerekr. Z tablosuu asıl okuacağıı aşağıdak örekler yardımıyla daha y alayablrz. Stadart ormal dağılıma döüştürüle br ormal dağılımı P(Z<0.68) olduğuu varsayalım. Buu ç lk öce mav dkey ve mav yatay sütulara bakmalıyız bu sütularda.6 ve.08 oktalarıı ( =.68) kesştğ yerde araır. Böylece P(Z<0.68) =.757 derz. Stadart ormal dağılıma döüştürüle br ormal dağılımı P(Z<.36) olduğuu varsayalım. Buu ç lk öce mav dkey ve mav yatay sütulara bakmalıyız..36 bu sütularda.3 ve.06 oktalarıı ( =.4) kesştğ yerde araır. Böylece P(Z<.36) =.93 derz.

81 Stadart ormal dağılıma döüştürüle br ormal dağılımı P(Z>.8) olduğuu varsayalım. Bu olasılığı tabloda arayablme tek koşulu P(Z<Z 0 ) şeklde yazılablmesdr. P(Z>.8) = - P(Z<.8) = = şeklde buluur. Stadart ormal dağılıma döüştürüle br ormal dağılımı P(Z< -.36) olduğuu varsayalım. Bu olasılığı tabloda arayablme tek koşulu araa değer poztf olmasıdır. P(Z<-.36) = - P(Z<.36) = = şeklde buluur. Stadart ormal dağılıma döüştürüle br ormal dağılımı P(Z>-.96) olduğuu varsayalım. Normal dağılımı smetr özellğde bu dağılım P(Z<.96) şeklde yazılablr. Stadart ormal dağılıma döüştürüle br ormal dağılımı P(.36<Z<.96) olduğuu varsayalım. Bu aralıklardak olasılık P(Z<.96) - P(Z<.36) = =0.069 şeklde buluur. Stadart ormal dağılıma döüştürüle br ormal dağılımı P(-.6<Z<.6) olduğuu varsayalım. Bu aralıklardak olasılık P(Z<.6) - [ - P(Z<.6) ] = P(Z<.8) - şeklde buluur.

82 Uygulama Eample: Calculate the chaces (probablty) of gettg eactly two heads ( ay order) o three tosses of a far co. Soluto: We ca use the above bomal formula to calculate desred probablty. For ths we ca epress the values as follows: p = characterstc probablty or probablty of success = 0.5 q = (-p) = probablty of falure = 0.5 r = umber of successes desred = = umber of trals udertake = 3 3! Probablty of successes (heads) 3 trals =!(3 )! (3 ) 3 = ( )( ) = = Thus, there s a probablty of gettg two heads o three tosses of a far co. Mea of a Bomal Dstrbuto, μ = p Where = umber of trals p = probablty of success Stadard Devato of Bomal Dstrbuto, σ = pq Where = umber of trals p = probablty of success q = probablty of falure = - p Eample: A packagg mache that produces 0 percet defectve packages. If we take a radom sample of 0 packages, what s the mea ad stadard devato of the bomal dstrbuto? Soluto: Mea, μ = p = 0 0. = Stadard Devato, σ = pq = =.6 =.65 The Posso Dstrbuto It s a dscrete probablty dstrbuto developed by a Frech mathematca Smeo Des Posso. It may be epected cases where the chace of ay dvdual evet beg a success s small. Ths dstrbuto s used to descrbe the behavour of rare evets such as the umber of accdets o road, umber of prtg mstakes a book, etc., ad has bee called the law of mprobable evets.

83 Posso Formula: Probablty of eactly X occurreces, P(X) = λ e λ Where! λ = lambda (the mea umber of occurreces per terval of tme) rased to the power e λ = e, or.788 (the base of the Napera, or atural, logarthm system), rased to the power egatve lambda,! = factoral. Eample: Suppose that we are vestgatg the safety of a dagerous tersecto. Past polce records dcate a mea of fve accdets per moth at ths tersecto. The umber of accdets s dstrbuted accordg to a Posso dstrbuto, ad the Hghway Safety Dvso wats us to calculate the probablty ay moth of eactly 0,,, 3, or 4 accdets. Soluto: Usg the Posso formula, we ca calculate the probablty of o accdets: P(0) = λ e λ! P() = λ e λ! = 50 e 5 0! = 5 e 5! = ()(0.0067) = For eactly oe accdet: = (5)(0.0067) For eactly two accdets: P() = λ e λ! = 5 e 5! = (5)(0.0067) For eactly three accdets: P(3) = λ e λ! = 53 e 5 3! For eactly four accdets: P(4) = λ e λ! = 54 e 5 4! = (5)(0.0067) 3 = (65)(0.0067) 4 3 = = = = Our calculatos wll aswer several questos. If we wat to kow the probablty of 0,, or accdets ay moth, we ca add these probabltes as: P(0,, or ) = P(0) + P() + P() = = For, P(3 or fewer) = P(0,,, or 3) = P(0) + P() + P() + P(3) = = 0.65 If we wat to calculate the probablty of more tha three the we must be (- 0.65).

84 Importat Pot: The posso dstrbuto s a good appromato of the bomal dstrbuto whe s greater tha or equal to 0 ad p s less tha or equal to The Normal Dstrbuto It s a cotuous probablty dstrbuto developed by Karl Gauss. The ormal probablty dstrbuto s ofte called Gaussa dstrbuto. The ormal curve s represeted several forms. The followg s the basc form relatg to the curve wth mea μ ad stadard devato σ: The Normal Dstrbuto, P(X) =.e ( μ) σ σ π Where X = values of the cotuous radom varable μ = mea of the ormal radom varable e = mathematcal costat (=.783) π = mathematcal costat (= 3.46) Characterstcs (Graph) of Normal Probablty Dstrbuto: The curve has a sgle peak; thus t s umodal. The ormal curve s bell- shaped ad symmetrc. For a ormal probablty dstrbuto, mea meda ad mode all are equal. The two tals of the ormal probablty dstrbuto eted deftely ad ever touch the horzotal as. Areas uder the Normal Curve: No matter what the values of mea (π) ad stadard devato (σ) are for a ormal probablty dstrbuto, the total area uder the ormal curve s.00. Mathematcally t s true that- Appromately 68% of all the values a ormally dstrbuted populato le wth ±σ from mea (π); Appromately 95.5% of all the values a ormally dstrbuted populato le wth ±σ from mea (π); ad Appromately 99.7% of all the values a ormally dstrbuted populato le wth ±3σ from mea (π). These are show the followg graph:

85 Formula for measurg dstaces uder ormal curve: Stadardzg a Normal Radom Varable, Z = X μ σ Where = value of the radom varable wth whch we are cocered; μ = mea of the dstrbuto of ths radom varable; σ = stadard devato of ths dstrbuto; z = umber of stadard devatos from to the mea of ths dstrbuto. Eample : What s the probablty that a partcpat selected at radom wll requre more tha 500 hours to complete the trag program? Soluto: We ca see that half of the area uder the curve s located o ether sde of the mea of 500 hours. Thus, we ca deduce that the probablty that the radom varable wll take o a value hgher tha 500 s half, or 0.5. Eample : What s the probablty that a caddate selected at radom wll take betwee 500 ad 650 hours to complete the trag program? Soluto: The probablty that wll aswer ths questo s the area betwee the mea (π = 500 hours) ad the value whch we are terested (650 hours). Usg equato, we get a z value of Z = X μ σ = = 50 =.5 stadard devato 00 If we look up z =.5 Z- table, we fd a probablty of Thus, the chace that a caddate selected at radom would requre betwee 500 ad 650 hours to complete the trag program s slghtly hgher tha 0.4.

86 Eample 3: What s the probablty that a caddate selected at radom wll take more tha 700 hours to complete the trag program? Soluto: Ths stuato s dfferet from the above eample. We are terested the area to the rght of the value 700 hours. So, frst we wll fd out z value by usg the formula- Z = X μ σ = = 00 =.0 stadard devato 00 Lookg the Z- table for z value of.0, we fd a probablty of That represets the probablty the program wll requre betwee 500 ad 700 hours. But, we have to fd out the probablty that take more tha 700 hours. Because the rght half of the curve (betwee the mea ad the rght- had tal) represets a probablty of 0.5, we ca get our aswer (the area to the rght of the 700- hour pot) f we subtract 0.477from 0.5; = Therefore, there are just over percet chaces (or out of 00) that a partcpat chose at radom would take more tha 700 hours to complete the course. Eample 4: Suppose the trag program drector wats to kow the probablty that a partcpat chose at radom would requre betwee 550 ad 650 hours to complete the requred work. Soluto: Frst calculate a z value for the 650 hour pot, as follows: Z = X μ σ = = 50 =.5 stadard devato 00 Whe we look up a z of.5 z table, we see a probablty value of (the probablty that the radom varable wll fall betwee the mea ad 650 hours). Now we calculate a z value for 550 hours as follows: Z = X μ σ = = 50 =0.5 stadard devato 00 Whe we look up a z of 0.5 z table, we see a probablty value of 0.95 (the probablty that the radom varable wll fall betwee the mea ad 550 hours). To aswer our questo, we must subtract as follows to get probablty that the radom varable wll le betwee 550 ad 650 hours = = Thus, the chace of a caddate selected at radom takg betwee 550 ad 650 hours to complete the program s 4 00.

87 3. Eğr uydurma ve e küçük kareler yötem Stadart eğrler: Düz çzg İkc derecede eğrler Üçücü derecede eğrler Çember Elps Hperbol Logartmk eğrler Üstel eğrler Hperbolk eğrler Trgoometrk eğrler Stadard curves - Secod-degree curves The smplest secod-degree curve s epressed by: y Its graph s a parabola, symmetrcal about The y-as ad estg oly for y 0. y = a gves a ther parabola f a > ad a flatter parabola f 0 < a <. The geeral secod-degree curve s: y a b c where a, b ad c determe the posto, wdth ad oretato of the parabola.

88 Lear Regresso "E y" düz çzgy eşleştrlmş ver oktalarıa sığdırmak styoruz: (,Y ), (,Y ),,(,Y ). Hesaplaa değerler ç matematksel fade: y = a + a where y s the calculated (lear) value appromatg the epermetal value Y. The model error, or resdual, e ca be represeted as e = Y - a - a where e s dscrepacy betwee the measured value Y ad the appromated value y as predcted by the lear equato. Let s defe e = Y - y to be the dfferece betwee the epermetal ad predcted values. The least-squares crtero requres that S defed by Eq. be a mmum or N S = e + e e N = e N S = {Y - [a + a ( )]} Settg the dervatve of ths sum wth respect to each coeffcet equal to zero wll result a mmum for the sum. Thus the coeffcets a ad a must satsfy the codtos S a S a N = N = {-}{Y - [a + a ( )]} = 0 {-( )}{Y - [a + a ( )]} = 0 rearragg Eqs. a N + N a N = Y

89 N a N + a N = Y The system ca be epressed the matr otato A.a = B or N N N N a a N Y = N Y I lear regresso model, we wsh to predct respose to data pots, y ),(, y ),...,(, y ) by a regresso model gve by ( y a 0 a () where a 0 ad a are the costats of the regresso model. A measure of goodess of ft, that s, how well a0 a predcts the respose varable y s the magtude of the resdual at each of the data pots. E y a a ) () ( 0 Ideally, f all the resduals are zero, oe may have foud a equato whch all the pots le o the model. Thus, mmzato of the resdual s a objectve of obtag regresso coeffcets. The most popular method to mmze the resdual s the least squares methods, where the estmates of the costats of the models are chose such that the sum of the squared resduals s mmzed, that s mmze E. Why mmze the sum of the square of the resduals? Why ot, for stace, mmze the sum of the resdual errors or the sum of the absolute values of the resduals? Alteratvely, costats of the model ca be chose such that the average resdual s zero wthout makg dvdual resduals small. Wll ay of these crtera yeld ubased parameters wth the smallest varace? All of these questos wll be aswered below. Look at the data Table.

90 y Table Data pots. y To epla ths data by a straght le regresso model, a a (3) y 0 E ad usg mmzg as a crtera to fd a 0 ad a, we fd that for (Fgure ) y 44 (4) Fgure Regresso curve y 4 4 for y vs. data. 4 the sum of the resduals, E 0 as show the Table. Table The resduals at each data pot for regresso model y 44. y y predcted y y predcted So does ths gve us the smallest error? It does as E 0. But t does ot gve uque values for the parameters of the model. A straght-le of the model y 6 (5) 4 also makes E 0 as show the Table

91 y Table 3 The resduals at each data pot for regresso model y 6 y y predcted y y predcted E 0 9 y = Fgure Regresso curve y 6 for y vs. data. Sce ths crtero does ot gve a uque regresso model, t caot be used for fdg the regresso coeffcets. Let us see why we caot use ths crtero for ay geeral data. We wat to mmze E y a0 a Dfferetatg Equato (6) wth respect to a 0 ad a, we get E (7) a (6) E _ a Puttg these equatos to zero, gve 0 but that s ot possble. Therefore, uque values of a 0 ad a do ot est. You may thk that the reaso the mmzato crtero E egatve resduals cacel wth postve resduals. So s mmzg (8) does ot work s that E better? Let us

92 look at the data gve the Table for equato y 4 4. It makes E 4 as show the followg table. Table 4 The absolute resduals at each data pot whe employg y 4 4. y y predcted y y predcted The value of E 4 also ests for the straght le model y 6. No other straght le 4 model for ths data has E 4. Aga, we fd the regresso coeffcets are ot uque, 4 4 ad hece ths crtero also caot be used for fdg the regresso model. Let us use the least squares crtero where we mmze y a a S E (9) r 0 S r s called the sum of the square of the resduals. To fd a 0 ad a, we mmze S r wth respect to a 0 ad a. S r y a0 a 0 a gvg 0 S a r y a a 0 0 y a0 a 0 () y a0 a 0 (3) Notg that a0 a0 a0... a0 a0 a a y (4) 0 a a y (5) 0 4 (0) ()

93 Fgure 3 Lear regresso of y vs. data showg resduals ad square of resdual at a typcal pot,. Solvg the above Equatos (4) ad (5) gves y y a (6) 0 y y a (7) Redefg y y S y (8) _ S (9) _ (0) y y _ () we ca rewrte, y 3, y 3, y ), ( y y, a a y E 0 y a a y 0