Đst225 Đstatistik I. Yaz DERSĐN KREDĐSĐ Ulusal Kredi: (2, 2, 0 ) 3 AKTS: 4 DERSĐN VERĐLDĐĞĐ Bölüm: Đstatistik 2012/2013 Öğretim Yılı

Transkript

1 Đst5 Đstatistik I DERSĐN TÜRÜ Zorulu (Matematik ölümü öğrecileri içi zorulu ders.) DERSĐN DÖNEMĐ Yaz DERSĐN KREDĐSĐ lusal Kredi: (,, 0 ) 3 AKTS: 4 DERSĐN VERĐLDĐĞĐ ölüm: Đstatistik 0/03 Öğretim Yılı DERSĐN AMACI Sigma-cebir, ölçü, ölçülebilir foksiyo kavramları ile birlikte olasılık ve istatistiği temellerii oluşturmak. DERSĐN ÖĞRENĐM HEDEFLERĐ Olasılık ölçüsü ve olasılık dağılımları. KAZANILAN ĐLGĐ Olasılık uzayları, rasgele değişkeler ve dağılım foksiyoları, rasgele değişkeleri döüşümleri, üretici foksiyolar, bazı olasılık dağılımları. KAZANILAN ECERĐ Olasılık problemlerii çözebilme, olasılık dağılımlarıı alama ve kullaabilme. ÖĞRETĐM YÖNTEMĐ Teorik ders alatımı ve problem çözümü, gerçek ve saal deeyler. ARAÇ-GEREÇ Kitap, ders otları, bilgisayar vs. ÖLÇME VE DEĞERLENDĐRME Ara sıav, ödevler ve döem sou sıavı. DERS PLANI VE ĐÇERĐĞĐ. Hafta Giriş. Kümeler, sigma-cebir, orel cebiri. Rasgele souçlu deeyler, örek uzay, olay, olaylar cebiri.. Hafta Olasılık ölçüsü, olasılık uzayları. Koşullu olasılık, olayları bağımsızlığı. Olasılık hesapları. 3. Hafta Rasgele değişkeler, dağılım foksiyoları. Kesikli rasgele değişkeler ve olasılık foksiyoları. Sürekli rasgele değişkeler ve olasılık yoğuluk foksiyoları. ir rasgele değişkei beklee değeri, mometler, momet çıkara foksiyo. 4. Hafta Rasgele vektörler. Kesikli rasgele vektörler ve olasılık foksiyoları. Sürekli rasgele vektörler ve olasılık yoğuluk foksiyoları. Marjial ve koşullu dağılımlar. Rasgele değişkeleri bağımsızlığı. eklee değer vektörü, varyas-kovaryas matrisi, korelasyo matrisi. Rasgele değişkeleri döüşümleri. 5. Hafta azı kesikli dağılımlar: Düzgü, eroulli, iom, Geometrik, Negatif iom, Poisso, Hipergeometrik.. Hafta azı sürekli dağılımlar; Düzgü, Gamma, Üstel, Ki-Kare, eta, Normal, Cauchy, t ve F dağılımları, iki boyutlu ormal dağılım. 7. Hafta Rasgele değişke dizileride yakısamalar, büyük sayılar kauları ve merkezi limit teoremleri DERSĐN VERĐLMESĐNDE YARARLANILACAK KAYNAKLAR Akdeiz, F. (00) Olasılık ve Đstatistik, Nobel Kitabevi. Öztürk, F. (993) Matematiksel Đstatistik, Akara Üiversitesi Fe Fakültesi Yayıları, No:0. 3 Öztürk, F. (0) Olasılık ve Đstatistiğe Giriş, Gazi Kitabevi. 4 Akdi,Y. (00) Matematiksel Đstatistiğe Giriş, Gazi Kitabevi. 5 Larso, H. J. (98). Itroductio to Probability Theory ad Statistical Iferece, Joh Wiley&Sos. Sıavlar Ara sıav ve döem sou sıavı yazılı olarak yapılacaktır. Döem içi verile ödevler ara sıav otu ile birlikte değerledirmeye alııp vize otuu oluşturacaktır. Geçme otu=0.4xvize otu+0.0xdöem sou otu.

2 Giriş Đstatistik edir? Đstatistik, rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi ve yötemleri sağlaya bir bilim dalıdır diyebiliriz. Matematik edir? Soyut bir bilim. Aksiyomatik bir bilim (metodoloji, yötembilim açısıda). Matematik, başka bir yöüyle, bir dildir. Eğer bilimi gayesi evrei ve evrede ola her şeyi alamak, olara hükmetmek ve yöledirmekse, buu içi tabiatı kitabıı okuyabilmemiz gerekir. Tabiatı kitabı ise, Galile i çok atıf ala sözleriyle, matematik dilide yazılmıştır; ou harfleri geometrii şekilleridir. uları alamak ve yorumlayabilmek içi matematik dilii bilmemiz gerekir (Ali Ülger, Matematik Düyası, 003 Kış). Aklımız ile gerçek düyadaki olguları alamaya ve alatmaya çalışırız. u alamaalatma işie modelleme ve alatımı kedisie de model deir. Modellemede, dilde sora, aklımızı kulladığı ifade araçlarıda e öde geleleri matematik ve istatistiktir. biçimidir. *Sözlü modeller: Sözcükler, yazılı veya sözlü her tür düşücei e yaygı alatım *Şematik modeller : Çizim, resim, harita, akış diyagramı, orgaizasyo şeması, grafik,... gibi alatım biçimleridir. *Maket modeller : elli bir ölçekte fiziki bezer oluşturmakla yapıla alatım. *Matematiksel modeller : **Determiistik (sebep-souç ilişkileri kesi) modeller. **Stokastik (rasgelelik içere) modeller. ***Lieer ve lieer olmaya modeller. ***Sürekli (diferesiyel deklem) ve kesikli (fark deklemi) modeller. Model, gerçek düyadaki bir olguu ilgili olduğu bilim sahasıı (fizik, kimya, biyoloji, jeoloji, astroomi, ekoomi, sosyoloji,...) kavram ve kaularıa bağlı olarak ifade edilmesidir. Model gerçek düyadaki bir olguu bir alatımıdır, bir tasviridir. Gerçek düyaı çok karmaşık olması sebebiyle modeller, alatmak istedikleri olgu ve sistemleri basitleştirerek belli varsayımlar altıda ele almaktadır. Modeller gerçeği kedileri değildir ve e kadar karmaşık görüseler de gerçeği bir eksik alatımıdırlar. Model deile şey model kurucuu gerçeği alayışıı bir ürüüdür, bir saıdır. azı durumlarda, gerçek düyadaki bir olgu ile ilgili farklı modeller kurulmaktadır, öreği ışık içi taecik ve dalga modelleride olduğu gibi.

3 Olguları modellemede düşüce tarzı aşağıdaki gibidir. Gerçek Düya Olgu Ölçme Veri (Data) Model Matematik çözümleme Đstatistik çözümleme Souç çıkarım ir modeli yararlı olması içi, verilerde souçları asıl çıkarılacağıa dair bir çözüm yötemii bilimesi gerekir. Öreği belli bir olgu bir diferasiyel deklem ile modellediğide bu deklemi çözüm yoluu da bilimesi gerekir. u matematiği bir soruudur. Eğer model stokastik ise çözümleme istatistiği bir soruudur. Verileri asıl toplaacağı da istatistiği bir soruudur. Kısaca, istatistik yukarıdaki dögüü her safhasıda yer almaktadır. Olguya temas ölçme ile olmaktadır. Ölçme, içide istatistik de barıdıra başlı başıa bir koudur. Fizik, kimya, biyoloji, jeoloji, astroomi, ekoomi, sosyoloji ve başka birçok bilim dalıı gerçek düyada ilgilediği kedi kouları (sahaları) vardır ve çoğuu arakesiti boş değildir. Matematik ve Đstatistiği gerçek düyada bir kousu olmamasıa rağme, gerçek düyadaki olguları alama ve alatmada, yai modellemede isa aklıı e güçlü iki aracı matematik ve istatistiktir. Đstatistik, rasgelelik içere olguları modellemeside öe çıkmaktadır. Đstatistikçiler, gelişigüzelliği içide düze ararlar. Öreği, düzgü bir tavla zarıı atılması ve üste gele yüzeydeki okta sayısıı gözlemesi deeyii göz öüe alalım. Zar atıldıkça, gelişigüzel (rasgele) olarak,,3,4,5, sayılarıda birisi gelecektir. Öreği aşağıdaki sayılar böyle bir deeyde gözlemiştir Yatay eksede atış sayısı ve düşey eksede gele sayı olmak üzere, ve ardışık oktaları birer doğru parçası ile birleştirilmesiyle, grafikleri elde edilir. ir gelişigüzellik göze çarpmaktadır.

4 Yatay eksede atış sayısı ve düşey eksede gele sayıları ortalaması işaretleirse, elde edilir. Atış sayısı büyüdükçe gele sayıları ortalamasıda bir yakısama göze çarpmaktadır. Atış sayısı sosuza gittiğide ortalamaları oluşturduğu dizii 3.5 sayısıa (,,3,4,5, sayılarıı aritmetik ortalaması) yakısayacağı iddia edilebilirmi? Eğer böyle bir iddia doğruysa bu rasgelelik ortamıda bir düze, izam, kaudur. öyle bir iddiaı doğru olup olmadığı asıl ortaya çıkarılacaktır? Deey yaparak mı? Deeysel olarak yalışlaamadığı müddetçe böyle bir iddiayı (kauu) geçerli sayabiliriz. Acak, böyle bir deey yapamayız, çükü sosuz atış gerçekleştiremeyiz. Đstatistik derside bu iddiayı ispatlayacağız. Matematikte, Pisagor Teoremii ispatlar gibi. Düzgü bir zarı 5 ici atılışıda e geleceğii kesi olarak söyleyemeyiz. Eşit olasılıkla,,3,4,5, sayılarıda biri gelecektir diyebiliriz. 5 atışta gele sayıları ortalaması e olur? u soruya döem soua doğru cevap verebileceksiiz.düzgü bir zarı 5 kez atılışıda gele sayıları ortalaması %90 olasılıkla.94 ile 4.0 arasıda olacaktır diyebileceksiiz. Şimdilik, deey yaparak kotrol edebilirsiiz. ir tavla zarı alıp, 5 kez atıız, gele sayıları toplayıp 5 e bölü. Çıka sayıı (.94, 4.0) aralığıda olup olmadığıa bakı. aa e, zar da bei ilgiledirmiyor, çıka sayı da diyebilirsiiz, acak rasgelelik (gelişigüzellik) ortamıda hesap yapmayı öğremezseiz, ileride gelişi-güzel ola olaylar birer felâket olabilir. Depremlerde biaları yıkıla işaat mühedisleri arasıda risk hesabı yapmayı bilmeyeler mi vardı acaba?

5 Kümeler Cebiri σ-cebir Küme kavramı matematiği bir temel kavramıdır. Kümeler A,,C,D, gibi büyük harflerle gösterilir. Üzeride çalıştığımız kümeyi geellikle Ω harfi ile gösterip, boş olmadığıı varsayacağız. Kuvvet kümesi içi kulladığımız P( Ω ) gösterimi ile birlikte Ω gösterimii de kullaacağız. irleşim: A = { x : x A x } A A... A = A = { x : x A x A... x A } i i= A A... A... = A = x : e az bir içi x A, =,,3,... { } = irleşimii etkisiz elemaı olmak üzere, A A A Kesişim: A = { x : x A x } A A... A = Ai = i= { x : x A x A... x A } A A... A... = A = x : her içi x A, =,,3,... = = dır. { } = Kesişimi etkisiz elemaı Ω olmak üzere, A A A Ω = Ω = dır irleşim ve Kesişimi azı Özellikleri: A = A, A = A (değişme özelliği) ( A ) C = A ( C) = A C (birleşme özelliği) ( A ) C = A ( C) = A C A ( C) = ( A ) ( A C) ( i üzerie dağılma özelliği) A ( C) = ( A ) ( A C) ( i üzerie dağılma özelliği) i i, i= i= A ( ) = ( A ) A ( ) = ( A ) i i= i= Tümleme: A, Ω olsu. \A, A ı ye göre tümleyeii göstermek üzere, \A= { x : x ve x A} dır. Ω \A kümesi A ı Ω ya göre tümleyei olmak üzere bu kümeyi A şeklide göstereceğiz ve kısaca A ı tümleyei diyeceğiz. De Morga Kuralları: A = A, A = A A= A, = = A = A = = i

6 Ω A A A A Ω= A A A= ( A ) ( A ) A = A\(A ) = ( A) ( A) A = A ( A ) = ( A) = ( A ) ( A ) ( A ) olmak üzere, so eşitlikte iki kümei birleşimi üç farklı şekilde ayrık kümeleri birleşimi olarak yazılmıştır. Ω A C A C= A ( A ) ( A C) Ω A A A C D= A( A ) ( A C) (( A C D) ve sayılabilir sosuz tae kümei birleşimi ayrık kümeler ciside A C A A... A... = A = A ( A A ) ( A A A )... 3 = olarak yazılabilir (olarak ispatlayıız). Sezgisel olarak, A, A,..., A,... kümelerii birleşimideki elemalar; A dekiler, A de olmayıp da A dekiler, A de olmayıp ve A olmayıp A 3 dekiler,... de oluşmaktadır diyebiliriz. C

7 I bir idis kümesi olmak üzere, A = { ω : i I içi ω A } i I i I i i { ω : içi ω } A = i I A olduğuu hatırlatalım ( I = içi Ai Ai Ω ı altkümelerii bir ( ) (alt limit) kavramları aşağıdaki gibi taımlaır. = = k = limsup A A k lim if A = = k = A k i I i i = = kabul edilmektedir). i I A dizisi içi limsup A (üst limit) ve limif Eğer lim sup A = lim if A = A ise ( A ) dizisie yakısak ve A kümesie bu dizii limiti deir ve bu limit kısaca lim A olarak gösterilir. Kümeleri bir ( A ) dizisi içi A A... A... olduğuda, bu diziye arta ve A A... A... olduğuda azala diyelim (altküme-öz altküme, arta-azalmaya, azala-artmaya ayrımlarıı yapmayalım). Her iki durumda diziye mooto diyelim. Arta diziler içi = i= lim A A ve azala diziler içi = = lim A A dır. oş olmaya bir kümei altkümeleride oluşa kümeye sııf deir. Sııfları, gibi el yazısı harflerle göstereceğiz. Örek: Ω ={a,b,c,d} olsu ={,{a},{b,c,d}, Ω } ={{a},{b},{c},{d}} 3={,Ω } kümeleri Ω üzeride birer sııftır. Örek: R reel sayıları kümesi olmak üzere, ( ) R ₁ ( ) a, b = { x : a < x < b} olmak üzere = { a, b : a < b, a, b [ a, b] = { x R : a x b} olmak üzere ₂ = {[ a, b] : a b, a, b ( a, b] = { x R : a < x b} olmak üzere ₃ = {( a, b] : a < b, a, b [ a, b) = { x R : a x < b} olmak üzere ₄ = {[ a, b) : a < b, a, b (, a) = { x R : x < a} olmak üzere 5 = {(, a) (, a] = [ x R : x a} olmak üzere = {(, a] ( a, ) = { x R : x > a} olmak üzere 7 = {( a, ) [ a, ) = { x R : x a} olmak üzere 8 = {[ a, ) kümeleri R üzeride birer sııftır. R i kedisi de (, + ) aralığı olarak 8 i i= düşüülürse, R deki bütü aralıkları kümesi ola { kümesi, R üzeride bir sııftır. A

8 Taım: ir Ω kümesii altkümeleride oluşa bir C sııfı, i) Ω C, ii) A C kümesi içi A C, iii) A, C A C özelliklerie sahipse C sııfıa Ω da bir cebir deir. Taım: ir Ω kümesii altkümeleride oluşa bir sııfı, i) Ω, ii) A kümesi içi A C, iii) ( A ) de her dizisi içi A, özelliklerie sahipse sııfıa Ω da bir σ-cebir deir. = Örek: Ω ={a,b,c,d} olsu ={,{a},{b,c,d}, Ω } ={{a},{b},{c},{d}} 3={,Ω } olmak üzere, bu sııflarda hagisi σ -cebirdir? sııfı σ -cebirdir sııfı σ -cebir değildir sııfı σ -cebirdir. 3 Cebirler, elemaları kümeler ola sııflar olmak üzere, birleşim, kesişim ve tümleme işlemlerii solu kez uygulamasıa göre kapalıdırlar. ir σ-cebir birleşim, kesişim ve tümleme işlemlerii solu veya sayılabilir sosuz kez uygulamasıa göre kapalıdır. Her σ-cebir bir cebirdir, acak tersi doğru değildir. ir cebir arta dizileri limiti altıda kapalı ise bir σ-cebirdir. Azala dizileri limiti altıda kapalı ola cebir de bir σ-cebirdir. Kısaca, mooto dizileri limiti altıda kapalı ola cebirler ayı zamada birer σ-cebirdir (Đst0- Ders e bakıız). Teorem:, Ω da bir σ -cebir ise a) dır. b), c), A A A A A A A A A, A,..., A Ai i= A, A,..., A,... A d), A A A \ A =

9 Đspat:, Ω da bir σ -cebir olsu. a) Ω (taımdaki (i) şıkkıda) Ω (taımdaki (ii) şıkkıda) Ω = dır. oş küme σ -cebiri elemaıdır. dır. Kolayca, b) A, A olsu. Yukarıdaki (a) ve (iii) şıklarıda, A, A,,...,,... A, A,..., A A = A = A A = olduğu görülmektedir. σ -cebir solu birleşime göre kapalıdır. c) A, A olsu. Yukarıdaki (ii) şıkkıda, dır. ezer şekilde, ve A, A A A A, A,..., A Ai A A A A i= A, A,..., A,... A = olduğu gösterilebilir. σ -cebir ola sııflar solu kesişime göre ve sayılabilir sosuz kesişime göre kapalıdır. dır. d), A A A, A A A A \ A Not: σ -cebirler,, \ işlemlerii solu veya sayılabilir sosuz kez uygulamasıa göre kapalı sııflardır. Ω ı elema sayısı olduğuda Ω üzeride tae sııf oluşturulabilir. ularda bazıları σ -cebir, bazıları σ -cebir değildir. Ω sosuz elemalı olduğuda, Ω üzeride sosuz tae sııf ve sosuz tae σ-cebir oluşturulabilir ( a Ω içi, { a },{ a}, Ω sııfı bir σ-cebirdir). ir Ω kümesi { } üzeride oluşturula {, Ω } ve { A: A Ω } sııfları birer σ-cebir, dolayısıyla cebirdir. sııfı Ω üzeride herhagi bir σ-cebir olmak üzere, {, Ω} { A: A Ω} dır. ir Ω kümesi üzeride oluşturulabilecek e küçük σ-cebir { }, Ω ve e büyük σ-cebir Ω ı kuvvet kümesidir. uradaki sıralama altküme ( ) bağıtısıa göredir ve bir kısmi sıralamadır (bütü σ-cebirler küçükte büyüğe doğru dizilemez).

10 Teorem: ve, Ω kümesi üzeride iki σ-cebir ise de Ω kümesi üzeride bir σ-cebirdir. Đspat: i) Ω ve Ω Ω ii) A A ve A A ve A A iii) ( A ), de bir dizi olsu. A, =,,3,... A ve A, =,,3,... A ve A = = A = Teorem: A, Ω kümesi üzerideki bir sııf olmak üzere, A sııfıı kapsaya bir e-küçük σ-cebir vardır. Đspat: A P( Ω ) olmak üzere, A sııfıı kapsaya e az bir σ-cebir vardır. A sııfıı kapsaya σ-cebirleri arakesitii σ ( A ) ile gösterelim. σ ( A ) bir σ- cebirdir ve A sııfıı kapsaya σ-cebirler arasıda e küçüktür. orel Cebiri Ω =R (veya Ω R ) olsu. R, reel sayıları kümeside ( ) R ₁ ( ) a, b = { x : a < x < b} olmak üzere = { a, b : a < b, a, b [ a, b] = { x R : a x b} olmak üzere ₂ = {[ a, b] : a b, a, b ( a, b] = { x R : a < x b} olmak üzere ₃ = {( a, b] : a < b, a, b [ a, b) = { x R : a x < b} olmak üzere ₄ = {[ a, b) : a < b, a, b (, a) = { x R : x < a} olmak üzere 5 = {(, a) (, a] = [ x R : x a} olmak üzere = {(, a] ( a, ) = { x R : x > a} olmak üzere 7 = {( a, ) [ a, ) = { x R : x a} olmak üzere 8 = {[ a, ) sııfları birer σ -cebir değildir. R reel sayılar kümesideki ( ) oluşturduğu ₁ = { a, b : a < b, a, b ( ) R açık aralıkları a, b = { x : a < x < b} sııfı bir σ-cebir değildir. Açık aralıkları sııfıı kapsaya (açık aralıkları doğurduğu) e küçük σ-cebire orel cebiri deir ve veya ( R) ile gösterilir. orel cebiride bulua bazı elemalar. Kapalı aralıkları doğurduğu e küçük σ-cebir de orel cebiri dir. Esasıda = σ ( ), i =,,...,8 dir. i

11 Rasgelelik Rasgele Souçlu Deey Örek zay Olaylar Aklımız ile gerçek düyadaki olguları alamak-alatmak (modellemek) isteriz. Alama-alatma sürecide ilk öce yapılması gereke, olgudaki kavramlar ile alatımda kullaıla dili (öreği matematik) kavramları arasıdaki bağı kurmaktır. Fizik dersleride gördüğümüz gibi, gerçek düyadaki hareket olgusudaki hız kavramı alatımda türev, kuvvet kavramı alatımda bir vektör olmaktadır. Rasgele Souçlu Deey: Souçlarıı kümesi belli ola, acak hagi soucu ortaya çıkacağı öcede söyleemeye bir işleme Rasgele Souçlu Deey veya kısaca Deey deir. Örek zay: ir deeyi tüm olabilir souçlarıı kümesie Örek zay deir. Olay: Örek uzayı bir altkümesie Olay deir. Örek: ir tavla zarıı atılması ve üste gele yüzeyi gözlemesi bir Rasgele Souçlu Deey dir. Olabilir souçları kümesi, yai Örek zay, olarak ifade edilebilir (saymayı bilmeye iki yaşıda bir çocuk üst yüzeyde buları gözleyecektir). Örek uzayı geellikle S harfi veya Ω harfi ile göstereceğiz. u deeyde, A= { i } { i, } = birer olaydır. S i kedisi de bir olaydır. oş kümeyi de bir olay kabul edelim. ua göre zar atışıda = 4 tae olay söz kousudur. ir A( A S) olayıı gerçekleşmesi demek deey soucuu A kümesii elemaı olması demektir. Öreği zar atıldığıda i soucu gelmişse, yukarıdaki A= { i } ile = {, } i olayları gerçekleşmiş demektir. Souç i olmuşsa, tek sayı oktalı yüzey gelmesi olayı da gerçekleşmiştir. S i altkümeleride i elemaıı içere altkümelere karşılık gele tüm olaylar gerçekleşmiştir. uları sayısı 3 dir. i elemaıı içermeye altkümeleri 5 sayısı da = 3 dir. Zar atışı soucuda i geldiğide 3 tae olay gerçekleşmekte ve 3 tae olay da gerçekleşmemektedir. Diğer souçlar içi de ayı şey söz kousudur. Zar atıldığıda, hagi souç gelirse gelsi zar atışı deeyi ile ilgili 4 tae olayda yarısı gerçekleşmektedir.

12 Her e kadar, tavla zarlarıı yüzeyleride yazılı sayılar bulumasa da, ki bular oktalar sayma (ölçme) işlemide sora ortaya çıkıyor olsa da, şimdilik zar yüzeyleride okta yerie sayıları yazılı olduğuu düşüelim (ileride buu düzeltiriz, oktalı zarlara döeriz). ua göre Örek zay, S = {,,3,4,5,}, (S)= olarak ifade edilebilir. u deey ile ilgili olaylarda bazıları, A = {} : bir gelmesi olayı C = {,3,5} : tek sayı gelmesi olayı D= {,,3} : dörtte küçük bir sayı gelmesi olayı E = {5,} : dörtte büyük bir sayı gelmesi olayı F = {} : altı gelmesi olayı G = {,,3,4,5}: altı gelmemesi olayı H = A F={,} : bir veya altı gelmesi olayı I = C D= {,3} : tek ve dörtte küçük bir sayı gelmesi olayı dır. Tüm olayları kümesi S i kuvvet kümesidir. P(S) = {A:A S}, (P(S))= kuvvet kümeside 4 tae küme (olay) vardır. ular arasıdaki boş kümeye imkâsız olay, S i kedisie de kesi olay deir. azı durumlarda, olayları sadece bir kısmı ile ilgileiriz. Öreği zar atışıda sadece gele okta sayısıı tek veya çift olması ile ilgileiyor olabiliriz. u durumda ilgilediğimiz olayları kümesi, ve S ile birlikte, {, S, {,3,5}{,4,}} dır. Örek: ir madei paraı tura geliceye kadar atılması deeyide Örek zay, S = {T, YT, YYT, YYYT, YYYYT,...} biçimide gösterilsi. u deey ile ilgili olaylarda bazıları, A = {T} : ilk atışta tura gelmesi olayı = {T, YT, YYT} : dördücü atışta öce tura gelmesi olayı C = {YT, YYYYYYT} : ikici veya yedici atışta tura gelmesi olayı D = {T, YYT, YYYYT, YYYYYYT,...} : turaı tek sayılı atış soucu gelmesi olayı olmak üzere, bu deey ile ilgili sosuz tae olay taımlaabilir. Tüm olayları kümesi ola kuvvet kümesi oldukça karmaşıktır. Örek: Yarı saat de Fe Fakülteside, havuzları yaıda hava sıcaklığıı (derece satigrat olarak) gözlemesi deeyi ile ilgili Örek zay, S = {t : -50<t<50} biçimide yazılabilir. u deey ile ilgili olaylarda bazıları, A = {t : 5<t<35} = {t : 0 t 50} C = {t : t=0} : sıcaklığı 5 ile 5 derece arasıda olması olayı : sıcaklığı sıfırı üzeride olması olayı : sıcaklığı 0 derece olması olayı olmak üzere bu deey ile ilgili sosuz tae olay taımlaabilir. Tüm olayları kümesi ola kuvvet kümesi Örek dekie göre daha karmaşıktır.

13 Örek: u gece saat 0 da yarı akşam saat 4 e kadar ayı yerde hava sıcaklığı sürekli gözlese, deey soucu f :[0, 4] ( 50,50) t f ( t) gibi bir foksiyo, hattâ sürekli bir foksiyo olur diyebiliriz. Örek zay, S = {f : f :[0, 4] ( 50,50) ve f foksiyou sürekli} biçimide yazılabilir. Öreği, A={f : f :[0, 4] ( 50,50), f foksiyou sürekli ve f(t)>0, [0, 4] olayı, 4 saat boyuca hava sıcaklığıı sıfırı üstüde olması olayıdır. t } S ir S Örek zayıda A ile iki olay (A, S) olmak üzere: A olayıa A veya olayı A olayıa A ve olayı A =S\A olayıa A değil olayı deir. A veya olayıı gerçekleşmesi demek e az birii gerçekleşmesi demektir. A ve olayıı gerçekleşmesi demek her ikisii de gerçekleşmesi demektir. A olayıı gerçekleşmesi demek A ı gerçekleşmemesi demektir. Dikkat edilirse, olgular düyasıda olaylarda, matematik karşılıklarıda ise kümelerde bahsetmekteyiz. Olayları ve, veya bağlaçları ile bağlayıp ya da değilleme yaparak yei olaylarda bahsetmekteyiz. u olayları karşılıkları ola kümelere gelice, birleşim, kesişim işlemleri yaparak ve tümleye alarak yei kümeler elde etmekteyiz. ir deey ile ilgili iki olayda ikisi de deey soucuda ayı ada gerçekleşemiyorsa, yai Örek zayda bu iki deeye karşılık gele kümeleri arakesiti boş küme ise bu olaylara ayrık olaylar deir. ir zar atışıda, çift sayı gelmesi olayı ile tek sayı gelmesi olayı ayrık olaylardır. Gerçek düyadaki rasgele souçlu bir deeyle ilgili olabilecek souçları kümesi Örek zay, olaylar Örek uzayı altkümeleri ve ilgilediğimiz olayları kümesi ise bir σ -cebir oluşturmaktadır. Öreği, 4 farklı rekte toplar buludura bir torbada rasgele bir top çekilmesi ve regii gözlemesi deeyideki Örek zay 4 elemalı bir kümedir. u deeydeki tüm olaylar bizi ilgilediriyor olsu. Tüm olayları sııfı Örek zayı kuvvet kümesidir ve bu bir σ -cebirdir. Deey ile ilgili söz kousu olabilecek olaylarda yarısı deey soucuda gerçekleşmektedir. u olayları olasılıkları ayı mıdır? Öreği, torbada beyaz, siyah, 3 sarı, 4 kırmızı top bulusa, koyu rekli top çekilmesi olayıı olasılığı e olurdu? eyaz top gelmesi olasılığı edir? Kırmızı topu gelmemesi olasılığı edir? Olasılık kavramı bir soraki derste...

14 PROLEMLER. Ω = { a, b, c, d} olsu. Ω kuvvet kümesii elemalarıı yazıız. Ω bir σ -cebir midir? {{ a }} sııfıı kapsaya iki tae σ -cebir buluuz.., Ω da σ -cebir ve, Ω olsu. = { A : A = C, C } olmak üzere i de bir σ -cebir olduğuu gösteriiz. Ω ve ise olduğuu ispatlayıız. 3. Aşağıdaki durumlar içi A yi buluuz. a) A = = (, ) b) A = (, 3] c) d) A = {( x, y) : 0 x + y, ( x, y) R e) A = {( x, y) : 4 x y 9 + < +, ( x, y ) R R } 4. Aşağıdaki durumlar içi A yi buluuz. = a) A = [, ] b) A = (, ] c) A = (, 4 ] d) A = {( x, y) : x + y 4, ( x, y) R A = ( a b ), +, a < b e) A = {( x, y) : + < x + y < 4,( x, y) R 5. ir torbaı içide 5 beyaz, 4 mavi, 3 kırmızı ve sarı top bulusu. a) ir top çekilmesi ve regii gözlemesi deeyii örek uzayıı yazıız. b) Đadeli olarak (çekilei geri atarak) iki kez birer top çekilmesi ve regii gözlemesi deeyii örek uzayıı yazıız. c) Đadeli olarak üç kez birer top çekilmesi ve regii gözlemesi deeyii örek uzayıı yazıız. d) Đadesiz olarak (çekilei geri atmaksızı) iki kez birer top çekilmesi ve regii gözlemesi deeyii örek uzayıı yazıız. e) Đadesiz olarak üç kez birer top çekilmesi ve regii gözlemesi deeyii örek uzayıı yazıız. f) Ayı ada iki top çekilmesi ve reklerii gözlemesi deeyii örek uzayıı yazıız. g) Ayı ada üç top çekilmesi ve reklerii gözlemesi deeyii örek uzayıı yazıız. h) eyaz top geliceye kadar iadesiz olarak toplar çekilmesi ve reklerii gözlemesi deeyii örek uzayıı yazıız. ı) eyaz top geliceye kadar iadeli olarak toplar çekilmesi ve reklerii gözlemesi deeyii örek uzayıı yazıız.. Yarıçapı satimetre ola çok ice dairesel madei bir pul, taba yarıçapı 0 satimetre ola bir silidiri içie rasgele atılmaktadır. Deey souçları gözlemleme (ölçme yapma) soucu ortaya çıkacaktır. a) Tabaı merkez oktası pul tarafıda örtüldü-örtülmedi şeklide gözlem (ölçme) yaparak, b)tabaa çizile bir koordiat sistemide pulu merkezii koordiatlarıı gözleyerek ölçerek), c) Tabaı merkezi ile pulu merkezi arasıdaki uzaklığı gözleyerek (ölçerek) deeyi gerçekleştirebilirsiiz. Her bir durum içi örek uzayı ve bu uzayda örtme olayıı yazıız.

15 Laboratuar Çalışması Kou: rasgelelik (gelişigüzellik) olgusu. Araç-gereç: düzgü bir tavla zarı, kalem, defter..deey: ir tavla zarıı bir kez atıız ve üste gele yüzeydeki oktaları sayısıı (bua gele sayı diyelim) yazıız. Zar atışı soucu gele sayıya rasgele (gelişigüzel) gele sayı diyelim..deey: Zar atışıı 5 kez tekrarlayıız ve gele sayıları bir satıra yazıız. Đkici bir satıra,,3,4,5, sayılarıda 5 tae ( kafada ) yazıız. Đki satır arasıda bir fark görüüyor mu? ir arkadaşııza hagi satırı zar atışı soucu, hagisii kafada yazıldığıı soru. ilememiş ise, ak be kafada düzgü zar atışı yapabiliyorum deyip hızlıca 50 sayı yazı. Arkadaşııza gösteri. Ne diyor? Đtiraz ettiği bir şeyler mi var? Düzgü bir zar atışıdaki rasgelelik (gelişigüzellik) alayışıa ters düşe bir şey mi var? 3.Deey: Kalemiizi (altı yüzlü) yüzeylerie,,3,4,5, sayılarıı yazıp kalemi tekerleyip üste gele yüzeydeki sayıyı gözleyiiz. uu 5 kez tekrarlayıız. Zar atmış gibi olur muyuz? Zar atışı ile kalem tekerlemesi deeyleride ayı rasgelelik (gelişigüzellik) vardır diyebilir miyiz? 4.Deey: Üzerleride,,3,4,5, sayıları yazılı, top bulua bir torbada bir top çekilmesi ve gele sayıya bakılması deeyi ile düzgü zar atışı deeyideki rasgelelik (gelişigüzellik) ayıdır diyebilir miyiz? u toplarla, düzgü bir zarı 5 kez atılması deeyi asıl yapılabilir? 5.Deey: Üzerleride,,3,4,5,,,,, sayıları yazılı, 0 top bulua bir torbada bir top çekilmesi ve gele sayıya bakılması deeyi ile düzgü zar atışı deeyideki rasgelelik (gelişigüzellik) ayıdır diyebilir miyiz?.deey: QASIC de INT(*RND)+ deyimii işletiiz ve souçlara bakıız. Düzgü zar atışı gibi mi? eyi cimastiği: ***Düzgü bir tavla zarıı arda arda atılışı soucu oluşa dizide rakamları arasıda bulua,,3,4,5 rakamlarıı sayısı rasgele (gelişigüzel) midir? Ortalama olarak kaç atış sorası bir gelmektedir?