Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon

Transkript

1 Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon Lisansüstü Ders Notları Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Harita Mühendisliği e-posta: Konya, 2013 A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 1/ 82

2 İçerik 1 Giriş Temel kavramlar Jeodezik yaklaşım 2 Yaklaşım Teorisi Yaklaşım ve hata normu En iyi yaklaşım Bağdaşık yaklaşım Chebyshev polinomları En küçük kareler yaklaşımı 3 Enterpolasyon Temel kavramlar Polinom enterpolasyonu Spline enterpolasyonu 4 EKK ile Kollokasyon Prediksiyon A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 2/ 82

3 Temel kavramlar Yaklaşım Bir soruyu ya da sorunu ele alış biçimi[tdk, 2005] Fonksiyon ya da sayısal analizde; nitelikleri daha az bilinen bir fonksiyona, nitelikleri daha iyi bilinen öğelerle (veya örneklemlerle) yaklaşma eylemi bir fonksiyona, verilmiş bir kümeden, herhangi bir anlamda yakın olan bir veya birden fazla fonksiyonun bulunması problemi belirli bir öğe yerine kullanılabilecek kadar yakın ancak tam olmayan gösterim biçimi. Burada yakınlık ve tam olmayan kavramları hata, doğruluk ve duyarlık ile ilişkilidir. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 3/ 82

4 Yaklaşımı ilgilendiren konular Yaklaşımın uygulandığı alanlar: sayısal analiz matematiksel fonksiyonlar geometrik şekiller fiziksel yasalar Jeodezi açısından iki örnek: yeryuvarının şekline küre veya elipsoitle yaklaşmak (geometrik problem) yeryuvarının gerçek gravite alanına normal gravite alanı ile yaklaşmak (fiziksel problem) A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 4/ 82

5 Jeodezik yaklaşım Yeryuvarı Modeli Geometrik model Dönel elipsoit (a,1/f ) Fiziksel model Nivo elipsoidi (U 0, GM, J 2,ω) Geometrik ve fiziksel parametreler a = ± 0.10 m Ekvatoral yarıçap 1/f = ± Ters basıklık U 0 = W 0 = ± 0.5 m 2 s 2 Jeoit potansiyeli GM = ± m 3 s 2 Yerçekim sabiti J 2 = ± Dinamik şekil faktörü ω = rad s 1 Yerin açısal dönme hızı A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 5/ 82

6 Jeodezik yaklaşımda modelleme ve veri analizi[kutterer, 2001] A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 6/ 82

7 Yaklaşım Teorisi Matematikte; belirli bir fonksiyona daha basit fonksiyonlarla en iyi biçimde nasıl yaklaşılabilir? yaklaşım sonucu ortaya çıkan hatalar nicelik olarak nasıl sınıflandırılabilir? sorularına cevap, yaklaşım teorisiyle aranır. Uygulamalı (mühendislik) bilimlerde; yaklaşım problemi sayısal analiz problemine dönüşür. gözlenen bir gerçek duruma polinomlarla (kuvvet, trigonometrik veya oransal) yaklaşılmaya çalışılır. en iyi yaklaşımı belirleyen iki önemli faktör: terim sayısı: yaklaşım fonksiyonun derecesi tanım aralığı: yaklaşım fonksiyonun geçerli olduğu alan A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 7/ 82

8 Yaklaşım türleri Sayısal analizde, yaklaşım üç başlıkta sınıflandırılabilir [Vanicek and Wells, 1972]; Noktasal yaklaşım: Analitik bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değerine Taylor serileriyle yaklaşılması gibi Özellikleri bilinen fonksiyonlar yardımıyla yaklaşım: Ayrık veri dizilerine spline (geçiş) fonksiyonlarıyla yaklaşılması gibi Belirli bir tanım aralığında analitik bir fonksiyona en iyi yaklaşımı belirler A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 8/ 82

9 Yaklaşım fonksiyonu a x b aralığında bilinmeyen bir f(x) fonksiyonuna, daha basit p i (x) fonksiyonlarının doğrusal kombinasyonu, p(x)= n a i p i (x) (1) ile yaklaşılsın. Örneğin; p i (x)=x i alınırsa yaklaşım fonksiyonu, olur. i=0 p(x)=a 0 + a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n (2) En iyi yaklaşımdan söz edildiğinde, fonksiyonun tanımlı olduğu aralık boyunca genel enterpolasyon hatasının en küçük olması anlaşılır. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 9/ 82

10 Hata normu Matematiksel anlamda, genel enterpolasyon hatası başka bir deyişle hata normu, ǫ = f p (3) büyüklüğü ile tanımlanabilir. Teorem En iyi yaklaşım, hata normu en küçük olandır: ǫ = minimum (4) (4), yaklaşım fonksiyonunun bilinmeyen katsayılarının (a 0,a 1,a 2,...,a n ) çözümünü sağlayacak koşul niteliğindedir. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 10/ 82

11 Örnek: Ortalama yer elipsoidinin belirlenmesi p f Ortalama deniz U 0 = W0 yüzeyi Nivo W 0 elipsoidi N 2 = 1 4π {N(ϕ,λ)} 2 dσ σ N A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 11/ 82

12 Norm Tanım Lineer cebir, fonksiyonel analiz veya matematiğin ilgili alanlarında, norm bir vektör uzayındaki herhangi bir vektörün boyutu, uzunluğu anlamına gelen fonksiyondur. ile gösterilen norm fonksiyonun sonucu negatif olmayan skaler bir sayıdır ve aşağıdaki özellikleri sağlar: v, doğrusal vektör uzayı nin bir elemanı olmak üzere; v >0 v 0 olmak koşuluyla λv = λ v λ skaler bir sayı v+w v + w Üçgen eşitsizliği A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 12/ 82

13 L p normu Bir hata ölçütü olarak en genel norm ifadesi, p 1 olmak üzere, n 1/p ǫ p = ǫ i p i=0 veya sürekli bir fonksiyon olarak ǫ p = b a ǫ(x) p dx 1/p (5) (6) ile tanımlı L p normudur. Burada n, ayrık veriler için hata vektörüǫ nin eleman sayısı;[a,b] sürekli fonksiyonǫ(x) için tanım aralığıdır. Pratik uygulamalarda en uygun hata normu, hesaplanacak hata büyüklükleri göz önüne alınarak p nin değişen değerlerine göre seçilmelidir. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 13/ 82

14 L p normu (devam) En çok bilinen norm türleri; ǫ 1 = n ǫ i L 1 normu (7) i=1 n 1/2 ǫ 2 = ǫ i 2 i=1 n 1/p ǫ = lim ǫ i p p i=1 = max( ǫ i ) L 2 normu (8) Chebyshev normu (9) A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 14/ 82

15 En iyi yaklaşım Tanım a x b aralığında, p nin seçimine bağlı olarak tanımlanan ǫ hata normunu en küçük kılacak yaklaşıma en iyi yaklaşım denir. Bilinen norm türleri baz alındığında, en iyi yaklaşımlar: n ǫ 1 = ǫ i =min. L 1 (en küçük toplam) yaklaşımı (10) i=1 n 1/2= ǫ 2 = ǫ i 2 min. L 2 (en küçük kareler) yaklaşımı (11) i=1 ǫ = max( ǫ i )=min. Chebyshev (minimax) yaklaşımı (12) A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 15/ 82

16 Bağdaşık yaklaşım Tanım Chebyshev normu veya başka bir deyişle maksimum norm ile tanımlı (12) yaklaşımına bağdaşık (uniform veya minimax) yaklaşım denir. Buna göre, belirli bir aralıkta sürekli f(x) için f(x) p(x) = min max f(x) p(x) (13) a x b eşitliğini geçerli kılacak bir p(x) yaklaşım polinomu aranır. Weierstrass ve Chebyshev teoremleri bağdaşık yaklaşımın temel esaslarını belirler. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 16/ 82

17 Weierstrass Teoremi Teorem[Weierstrass, 1885] a x b aralığında f(x) gerçek değerli, sürekli bir fonksiyon olsun. Aynı aralıkta,ǫ> 0 olacak biçimde f(x) e istenildiği kadar yakın bir p(x) bulunabilir: f(x) p(x) <ǫ (14) Yaklaşım teorisinin bu temel teoremi değişik yöntemlere dayalı olarak pek çok kez kanıtlanmıştır. Literatürde adı en sık duyulan, S. Bernstein ın kendi adıyla anılan polinomları kullanarak yaptığı kanıtlamadır [Buchanan and Turner, 1992, s. 333]. Weierstrass teoremi yukarıdaki koşullar altında böyle bir polinomun varlığını garanti eder, ancak bu, en iyi yaklaşımı sağladığı anlamına gelmez. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 17/ 82

18 Chebyshev eş-salınım teoremi p n (x),[a,b] aralığında f(x) in n. dereceden yaklaşım polinomu olsun. Teorem n+2 ayrık noktada (a x 0 < x 1 < <x n+1 b) yaklaşım hatası, ǫ(x i )=f(x i ) p n (x i )=( 1) i ǫ, i=0,1,2,...,n+1 (15) n+2 kez gerçekleşen işaret değişikliği ile elde edilebiliyorsa (12) ye göre f(x) e en iyi yaklaşım vardır ve bu yolla belirlenen p n (x) fonksiyonu tek anlamlıdır. ǫ(x) hata fonksiyonunun dikkat çekici bu davranışı nedeniyle yukarıdaki teoreme eş-salınım (equi-oscillation) teoremi denir. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 18/ 82

19 Remez algoritması Remez veya bir başka deyişle değişim algoritması, en iyi yaklaşım polinomunun bulunmasında etkili bir yöntemdir. Algoritma, apsis ekseni boyunca seçilen n+2 sayıdaki referans nokta yardımıyla bir p n (x) polinomunun bulunması esasına dayanır. Referans noktaları iteratif olarak öyle düzenlenir ki; p n (x) ile en iyi yaklaşım gerçekleşsin ve tüm referans noktalarında c = max ǫ(x) eşitliği sağlansın. a x b Bu durumda herhangi bir referans noktası için, ǫ(x i )=f(x i ) p n (x i )=( 1) i c, (i=0,1,2,...,n+1) (16) biçiminde bir eşitlik düzenlenebilir. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 19/ 82

20 Remez algoritması (devam) (16) tüm referans noktalarında oluşturulmaya çalışılırsa aşağıdaki denklem sistemi karşımıza çıkar: a 0 + a 1 x 0 + a 2 x a n x n 0 +c=f(x 0 ) a 0 + a 1 x 1 + a 2 x a n x n 1 c=f(x 1 ) a 0 + a 1 x n + a 2 x 2 n + +a n x n n +( 1) n c=f(x n ) a 0 + a 1 x n+1 + a 2 x 2 n+1 + +a nx n n+1 +( 1)n+1 c=f(x n+1 ) (17) Denklem sisteminin çözümü a 0,a 1,a 2,...,a n polinom katsayılarını ve c maksimum hata değerini verecektir. f(x) p n (x) farkından hesaplanacak hata değerleri c yi geçiyorsa referans noktalarının yeniden düzenlenmesi gerekecektir. Hata eğrisinin maksimum olduğu noktadaki x değeri, kendisine en yakın referans noktasıyla değiştirilerek (17) için yeni bir çözüm gerçekleştirilir. Bu işleme referans noktalarındaki mutlak hata değerleri[a,b] aralığı boyunca eşit oluncaya kadar devam edilir. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 20/ 82

21 Uygulama: e x için Taylor yaklaşımı 2.5 x 1.25 aralığında tanımlı y= e x fonksiyonuna x 0 = 0 noktasında Taylor polinomları ile yaklaşalım. 1+ x+ x2 2 f(x) x+ x2 2 + x3 6 + x4 24 e x x 1+ x+ x2 2 + x x 1.5 A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 21/ 82

22 Uygulama: e x için Taylor yaklaşımı (devam) 2.5 x 1.25 aralığında Taylor polinomları içinǫ(x)= e x p n (x) hata değerleri x 0 = 0 dan uzaklaşıldıkça artar. ǫ(x) e x p 1 (x) e x p 3 (x) e x p 4 (x) x 1.0 e x p 2 (x) 1.5 A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 22/ 82

23 Uygulama: Bağdaşık yaklaşım Bu kez 2.5 x 1.25 aralığında f(x)=e x fonksiyonu için bağdaşık yaklaşıma göre üçüncü dereceden bir polinom oluşturmaya çalışalım. Chebyshev teoremini göz önüne alarak başlangıç için eşit aralıklı n + 2 = 5 apsis noktası, x 0 = 2.5, x 1 = , x 2 = 0.625, x 3 = , x 4 = 1.25 seçilirse, bu noktalardaki p yaklaşım polinomuna göre bir denklem sistemi, a 0 + a 1 x 0 + a 2 x a 3x c=f 0 a 0 + a 1 x 1 + a 2 x a 3x 3 1 c=f 1 a 0 + a 1 x 2 + a 2 x a 3x c=f 2 a 0 + a 1 x 3 + a 2 x a 3x 3 3 c=f 3 a 0 + a 1 x 4 + a 2 x a 3x c=f 4 düzenlenebilir. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 23/ 82

24 Uygulama: Bağdaşık yaklaşım (devam) Denklem sistemi Ax = f matris biçiminde gösterilir, 1 x 0 x 2 0 x a 1 x 1 x 2 1 x 3 0 f 0 = e x 0 = a 1 x 2 x 2 x 3 1 f 1 = e x 1 = a 2 = f 2 = e x 2 = x 3 x 2 x a 3 f 3 = e x 3 = x 4 x 2 4 x c f 4 = e x 4 = ve çözümü yapılırsa, a 0 = , a 1 = , a 2 = , a 3 = , c= bulunur. Sonuç olarak ilk yaklaşım için kübik fonksiyon: p 0 3 (x)= x x x 3 Hata fonksiyonu: ǫ(x)=e x x x x 3 A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 24/ 82

25 Uygulama: Bağdaşık yaklaşım (devam) ǫ(x) 20c c A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 25/ 82

26 Uygulama: Bağdaşık yaklaşım (devam) 3.5 max f(x) 2.5 x 1.25 p0 3 (x) = ǫ(x) c c x= A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 26/ 82

27 Uygulama: Bağdaşık yaklaşım (devam) Güncellenmiş apsis değerleri, x 0 = 2.5, x 1 = , x 2 = 0.625, x 3 = 0.77, x 4 = 1.25 için yeniden bir çözüm yapılırsa, a 0 = , a 1 = , a 2 = , a 3 = , c= bulunur. Bu durumda ikinci yaklaşım için kübik fonksiyon: p 1 3 (x)= x x x 3 Hata fonksiyonu: ǫ(x)=e x x x x 3 A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 27/ 82

28 Uygulama: Bağdaşık yaklaşım (devam) 3.5 max f(x) 2.5 x 1.25 p1 3 (x) = ǫ(x) x= c c A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 28/ 82

29 Uygulama: Bağdaşık yaklaşım (devam) Güncellenmiş apsis değerleri, x 0 = 2.5, x 1 = 1.86, x 2 = 0.625, x 3 = 0.77, x 4 = 1.25 için yeniden bir çözüm yapılırsa, a 0 = , a 1 = , a 2 = , a 3 = , c= bulunur. Üçüncü yaklaşım için kübik fonksiyon: p 2 3 (x)= x x x 3 Hata fonksiyonu: ǫ(x)=e x x x x 3 A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 29/ 82

30 Uygulama: Bağdaşık yaklaşım (devam) 3.5 max f(x) 2.5 x 1.25 p2 3 (x) = ǫ(x) c x= c A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 30/ 82

31 Uygulama: Bağdaşık yaklaşım (devam) Güncellenmiş apsis değerleri, x 0 = 2.5, x 1 = 1.86, x 2 = 0.44, x 3 = 0.77, x 4 = 1.25 için yeniden bir çözüm yapılırsa, a 0 = , a 1 = , a 2 = , a 3 = , c= bulunur. Dördüncü yaklaşım için kübik fonksiyon: p 3 3 (x)= x x x 3 Hata fonksiyonu: ǫ(x)=e x x x x 3 A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 31/ 82

32 Uygulama: Bağdaşık yaklaşım (devam) 3.5 max f(x) 2.5 x 1.25 p3 3 (x) = c ǫ(x) x= 1.86 x= 0.44 x= c A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 32/ 82

33 Chebyshev polinomları ve yaklaşım teorisi Adı Rus matematikçi Pafnuty L. Chebysev ( ) den gelen Chebyshev polinomlar dizisini yaklaşım teorisinde önemli kılan nedenler; eş-salınım özelliğine sahip trigonometrik fonksiyonlar sin nθ, cos nθ dan oluşması veya bir başka deyişle polinomların maksimum ve minimum değerlerinin+1 ve 1 olması ve n. dereceden bir Chebyshev polinomunun n sayıda kökünün bulunmasıdır. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 33/ 82

34 Chebyshev polinomları x=cosθ olmak üzere, birinci tür Chebyshev polinomları, T n (x)=cos(n cos 1 x), n 0 (18) genel denklemi ile ifade edilir. Bu durumda fonksiyonun alacağı değerler 1 T n (x) 1 aralığında değişir. trigonometrik eşitliği sayesinde, cos(n+1)θ+ cos(n 1)θ= 2 cosθ sin nθ T n+1 (x)=2xt n (x) T n 1 (x) (19) yineleme bağıntısı oluşturulabilir. (19) Chebyshev polinomlarının sayısal anlamda daha kolay bir biçimde değerlendirilmesine izin verir. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 34/ 82

35 Chebyshev polinomları (devam) T 0 (x)=1 ve T 1 (x)=x başlangıç değerlerinden yola çıkılarak (19) yardımıyla bulunan ilk birkaç polinom: T 2 (x)=2x 2 1 T 5 (x)=16x 5 20x 3 + 5x T 3 (x)=4x 3 3x T 6 (x)=32x 6 48x x 2 1 T 4 (x)=8x 4 8x T 7 (x)=64x 7 112x x 3 7x (20) 1.0 T T 1 T T x= cosθ A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 35/ 82 T 4

36 Chebyshev polinomlarının bazı özellikleri T n (x) polinomunun en yüksek dereceli terimi x n nin katsayısı 2 n 1 dir. T n ( x)=( 1) n T n (x) T n (x) polinomumun, 1 x 1 aralığında n adet kökü vardır: 2k 1 π x k = cos n 2, (k=1,2,...,n) (21) Polinom yaklaşımında kullanılan bu noktalara aynı zamanda Chebyshev düğüm noktaları da denir. T n (x k )=( 1)k sonucunu geçerli kılan n+1 sayıdaki ekstrem noktasının konumu, x k = cos kπ n, (k=0,1,2,...,n) (22) ile belirlidir. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 36/ 82

37 Chebyshev enterpolasyon polinomunun oluşturulması Chebyshev polinomlarının ortogonallik özelliği kullanılarak[ 1,1] aralığında sürekli bir f(x) fonksiyonu için n sayıda katsayı, c i = 2 n = 2 n n f(x k )T i (x k ), k=1 (i=0,1,2,...,n 1) n (23) 2k 1 π i(2k 1) π f cos cos n 2 n 2 k=1 eşitliğinden elde edilebiliyorsa(n 1). dereceden Chebyshev enterpolasyon polinomu, oluşturulabilir. f(x) p n (x)= 1 n 1 2 c 0+ c k T k (x) (24) k=1 A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 37/ 82

38 Chebyshev enterpolasyon polinomu ve bağdaşık yaklaşım Chebyshev enterpolasyon polinomu en önemli avantajı Chebyshev normu kapsamında en iyi yaklaşıma başka bir deyişle bağdaşık yaklaşıma çok yakın bir sonuç üretmesidir. Normal koşullar altında bağdaşık yaklaşım problemini çözmek oldukça zor olmasına rağmen, (24) polinomunu bulmak son derece kolaydır ve sonuç hemen hemen bağdaşık yaklaşım ile özdeştir. Doğrusal dönüşüm Buraya kadar anlatılan Chebyshev yaklaşımına ilişkin teori, fonksiyonun x [ 1, 1] aralığında tanımlı olması durumunda geçerlidir. Problemi keyfi bir z [a, b] aralığına genelleştirmek için z= b a b+a x+ 2 2 (25) doğrusal dönüşümü uygulanmalıdır. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 38/ 82

39 Uygulama [ 2.5,1.25] aralığında tanımlı f(x)=e x fonksiyonu için 1. dereceden 6. dereceye kadar Chebyshev enterpolasyon polinomunu aşağıdaki iki yönteme göre oluşturunuz ve sonuçları karşılaştırınız. 1. çözüm yolu: (24) ile verilen polinom denklemine göre c i katsayılarını hesaplayarak. 2. çözüm yolu: T n+1 (x) in n+1 sayıdaki kökü içi yazılacak n p n (x i )= c k xi= k f(x i ), k=0 (i=1,2,...,n+1) doğrusal denklem sisteminin çözümünü kullanarak. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 39/ 82

40 Chebyshev enterpolasyon polinomu (n=1) f(x)=e x, 2.5 x 1.25 p(x)= p 1 (x) ǫ(x) A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 40/ 82

41 Chebyshev enterpolasyon polinomu (n=2) f(x)=e x, 2.5 x 1.25 p(x)= p 2 (x) ǫ(x) A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 41/ 82

42 Chebyshev enterpolasyon polinomu (n=3) f(x)=e x, 2.5 x 1.25 p(x)= p 3 (x) ǫ(x) A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 42/ 82

43 Chebyshev enterpolasyon polinomu (n=4) f(x)=e x, 2.5 x 1.25 p(x)= p 4 (x) ǫ(x) A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 43/ 82

44 Chebyshev enterpolasyon polinomu (n=5) f(x)=e x, 2.5 x 1.25 p(x)= p 5 (x) ǫ(x) A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 44/ 82

45 Chebyshev enterpolasyon polinomu (n=6) f(x)=e x, 2.5 x 1.25 p(x)= p 6 (x) ǫ(x) A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 45/ 82

46 Kuvvet serilerinin kısaltılması Chebyshev polinomlarının önemli uygulamarından biri kuvvet serilerinin terim sayısının azaltılması, yani serinin derecesinin düşürülmesidir. Burada amaç, keyfi olarak seçilen doğruluk değerini aşmamak koşuluyla daha az terimli kısa bir fonksiyon bulmaktır. Teorem T n = 2 1 n T n biçiminde yeniden düzenlenmiş Chebyshev polinomu,[ 1,1] aralığında sıfır fonksiyonuna bağdaşık yaklaşım sağlar. En büyük dereceli terimin katsayısı bire eşit bu polinomun en büyük mutlak değeri en küçüktür: T n = 2 1 n (26) T n polinomu[ 1,1] aralığında n+1 kez işaret değiştirir. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 46/ 82

47 Örnek: x 5 için T x 5 x 5 T 5 = 1 16 (20x3 5x) T T 5 = A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 47/ 82

48 Kuvvet serilerinin kısaltılması (devam) Taylor ve Maclaurin gibi sonlandırılmış bir kuvvet serisini, ele alalım. Aynı fonksiyon, f(x)=a 0 + a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n (27) f(x)=c 0 + c 1 T 1 (x)+c 2 T 2 (x)+ +c n T n (x) (28) Chebyshev polinomları yardımıyla da gösterilebilir. (20) eşitlikleri göz önüne alınarak, x n = 2 1 n T n (x) (29) yazılabileceğine göre bu durumda c n = 2 1 n a n (30) olur. (29) de son terim eşitlikten çıkarıldığında en çok c n =2 1 n a n (31) kadar hata yapılmış olur. Bu aynı zamanda (27) serisinin en az bir derece küçülmesi anlamına gelir. Bu işlem için bilinmesi gereken, ne kadarlık bir hatanın gözardı edilebileceğidir. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 48/ 82

49 Uygulama[Moritz, 1978, s. 7] [ 1, 1] aralığında verilen f(x)=1+ x 2 + x2 3 + x3 4 + x4 5 + x5 6 polinomunu en çokǫ= 0.05 lik bir hata ile kısaltınız. Çözüm: (20) polinomlarında x n e karşılık gelen değerler yukarıdaki polinomda yerlerine konursa, f(x)= T T T T T T 5 bulunur. Son iki terim < 0.05 eşitsizliğini sağladığına göre kısaltılmış Chebyshev polinomu, f(x)= T T T T 3 ve kısaltılmış polinom fonksiyon, f(x)= x x x3 çıkar. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 49/ 82

50 En küçük kareler yaklaşımı [a, b] aralığında bir p(x) polinomunun f(x) fonksiyonuna en küçük kareler anlamında yaklaşım problemi, b f p 2 = a f(x) p(x) 2 dx=min. (32) biçiminde ifade edilir. Burada f p 2 = ǫ 2 (8) ile tanımlı L 2 normudur. En küçük kareler problemi genellikle ağırlık fonksiyonu w(x) e göre tanımlanır. Bu durumda (32), b f p 2 = a w(x) f(x) p(x) 2 dx=min. (33) eşitliğine dönüşür. Burada ağırlık fonksiyonu için w(x)dx>0 eşitsizliği geçerlidir. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 50/ 82

51 İç çarpım uzayı L 2 normunun öteki L p normlarından ayrılan en önemli özelliği, iç çarpım uzayında tanımlı olmasıdır. Tanım Ağırlık fonksiyonu w(x) e göre gerçek değerli iki fonksiyon f(x) ve g(x) için sırasıyla sürekli ve ayrık iç (skaler) çarpım, b w(x)f(x)g(x)dx x [a,b] a (f,g)= (34) w(x i )f(x i )g(x i ) a x i b eşitlikleriyle verilir. i Yukarıdaki tanıma göre, L 2 normu ile iç çarpım arasında aşağıdaki ilişki vardır: f 2 2 =(f,f) (35) A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 51/ 82

52 En küçük kareler probleminin çözümü (34) ve (35) eşitliklerinden en küçük kareler problemi, φ(a 0,a 1,a 2,...)=(f p,f p)=(ǫ,ǫ)=min. (36) yeniden düzenlenebilir. Buradaφ, n. dereceden p(x) yaklaşım polinomu katsayılarının (bilinmeyenlerin) fonksiyonudur. Buna göre (36) nın en küçük olması katsayıların seçimine bağlıdır. Kareleri toplamının en küçüğü, sadece ve sadeceφ nin bilinmeyenlere göre türevinin sıfıra gitmesiyle belirlenir: φ = b a i a i a w(x) f(x) 2 n a j x j dx=0, i=0,1,2,...,n (37) j=0 A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 52/ 82

53 Normal denklemler φ a i =φ i kısaltması kullanılırsa (37) den a 0,a 1,a 2,...,a n katsayıları için doğrusal denklem sistemi, daha açık gösterimle, n (φ i,φ j )a j =(f,φ i ) (38) j=0 (φ 0,φ 0 )a 0 +(φ 0,φ 1 )a 1 + +(φ 0,φ n )a n =(f,φ 0 ) (φ 1,φ 0 )a 0 +(φ 1,φ 1 )a 1 + +(φ 1,φ n )a n =(f,φ 1 ).... (φ n,φ 0 )a 0 +(φ n,φ 1 )a 1 + +(φ n,φ n )a n =(f,φ n ) (39) elde edilir. Normal denklem katsayıları ve yalın terimler, (34) iç çarpım eşitliğinden hesaplanır. Buna göre (39) un çözümünden, en küçük kareler yaklaşımına göre p(x) polinomunun katsayılarını (a 0,a 1,a 2,...,a n ) çıkar. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 53/ 82

54 Hilbert matrisi (39) denklem sisteminin(n + 1) (n + 1) boyutlarındaki katsayılar matrisinin elemanları, H(a,b) i,j = b a w(x)x i+j dx, 0 i,j n (40) integral eşitliğinden de kolayca hesaplanabilir. Örneğin, ağırlık fonksiyonu w(x)=1 olarak öngörülür ve tanım aralığı[ 1,1] seçilirse katsayılar matrisi, H( 1,1) i,j = 2 0 2/3 0 2/ /3 0 2/5 0 2/7 i+j çift ise 0 i+j tek ise = 2/3 0 2/5 0 2/ /5 0 2/7 0 2/ i+j+1 genel eşitliğiyle kolayca oluşturulabilir. Bu matrise Hilbert matrisi denir. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 54/ 82

55 Uygulama Ağırlık fonksiyonu w(x)=1 olmak üzere f(x)=e x fonksiyonuna[ 1,1] aralığında 2. dereceden bir polinomla en küçük karelere göre yaklaşılmak istensin. φ a i =φ i den φ 0 = 1, φ 1 = x, φ 2 = x 2 bulunur. Normal denklemler için (40) a göre Hilbert matrisi, 2 0 2/3 H( 1,1) i,j = 0 2/3 0, 0 i,j 2 2/3 0 2/5 çıkar. Yalın terimler vektörünün elemanları, (f,φ 0 )= 1 1 e x dx=e e 1,(f,φ 1 )= 1 1 xe x dx=2e 1,(f,φ 2 )= elde edilir ve denklem sisteminin çözümü yapılırsa yaklaşım polinomu, p(x)= x x x 2 e x dx=e 5e 1 olur. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 55/ 82

56 EKK nin ortogonal polinomlar yardımıyla çözümü f(x) ve g(x) sürekli fonksiyonlarının w(x) ağırlık fonksiyonuna göre iç çarpımları, (f,g)= b a w(x)f(x)g(x)dx = 0 (41) sonucunu veriyorsa f ve g fonksiyonları[a,b] aralığında ortogonaldir denir. φ 0,φ 1,φ 2,...,φ n ortogonal fonksiyonlar ise bu durumda (39) normal denklem sisteminin katsayıları, b (φ i,φ j )= w(x)φ i (x)φ j (x)dx= a 0 δ ij > 0 i j i=j (42) sadece köşegen terimlerde görünür (δ ij = 1 olması durumunda söz konusu fonksiyonlar ortonormaldir). A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 56/ 82

57 Legendre polinomları Ortogonal polinomlar normal denklem sisteminin çözümünü çok basit bir biçime sokar: a i =(φ i,φ i ) 1 (f,φ i ), (i=0,1,2,...,n) (43) İç çarpım uzayında[ 1,1] aralığında ortogonallik özelliğine sahip en önemli polinomlardan biri P n (x) Legendre polinomlarıdır. Ağırlık fonksiyonu basitçe 1 seçilirse, (P n,p n )= 1 [P n (x)] 2 dx= 2 2n+1 1 (44) sonucunu verirler. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 57/ 82

58 Legendre polinomları ve yineleme bağıntısı 1.0 P 0 Legendre polinomlarının ilk birkaçı; P n P 4 P6 P P 2 x P n P 1 P 5 P n P n (x) x (3x2 1) (5x3 3x) (35x4 30x 2 + 3) (63x5 70x x) (231x6 315x x 2 5) (429x7 693x x 3 35x) Daha yüksek dereceli polinomlar yineleme bağıntısı 0.5 P 3 (n+1)p n+1 =(2n+1)xP n np n 1 (45) 1.0 x yardımıyla belirlenebilir. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 58/ 82

59 EKK ve Legendre polinomları En küçük kareler yaklaşımında Legendre polinomlarının kullanılması durumunda, hem normal denklem sistemine çözüm aranması gerekmez hem de bu denklem sistemin kötü kondüsyon sorunu ortadan kalkmış olur. Legendre polinomları cinsinden düzenlenen p(x)=b 0 + b 1 P 1 (x)+b 2 P 2 (x)+ +b n P n (x) (46) n. dereceden yaklaşım polinomunun katsayılarını bulmak için bu eşitliğin her iki yanını sırayla Legendre polinomlarıla çarpmak yeterli olacaktır. Sonuç olarak katsayılar, b i = 2i+1 (f,p i ), (i=0,1,2,...,n) (47) 2 iç çarpımından kolayca hesaplanabilir. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 59/ 82

60 Uygulama Örneğin son uygulamayı Legendre polinomlarından yararlanarak çözmeye kalkarsak katsayılar için b 0 = 1 2 (f,p 0) = ex dx = 1 2 (e e 1 ) b 1 = 3 2 (f,p 1) = xex dx = 3e 1 b 2 = 5 2 (f,p 2) = x2 1 2 e x dx = 5 2 (e 7e 1 ) 1 1 bulunur. b i ler (46) de yerine konulur ve gerekli düzenlemeler yapılırsa, elde edilir. p(x)= x x 2 A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 60/ 82

61 Legendre polinomlarını normlandırma Eğer Legendre polinomlarının norm değerleri 1 e eşit, başka bir deyişle ortonormal, P n = (P n,p n )=1 (48) olması isteniyorsa ilgili polinomun (44) değerine bölünmesi gerekir: 2n+1 P n (x)= P n (x) (49) 2 Bu yeni polinomlara tam normalleştirilmiş Legendre polinomları denir. EKK yaklaşımında Legendre polinomları yerine onların tam normalleştirilmişleri kullanılırsa katsayıların çözümü daha da sade bir görünüm alır: b i =(f,p i ) (50) A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 61/ 82

62 Chebyshev ve EKK yaklaşımları Chebyshev yaklaşımı En büyük mutlak hatayı en küçükleştirir EKK yaklaşımı EKK anlamında ortalama hatayı en küçükleştirir Sadece en büyük hata göz önüne alınır, diğer hataların hiç bir önemi yoktur Özel bir ağırlık fonksiyonu kullanılmadıkça tüm hatalar eşit öneme sahiptir Genellikle analitik fonksiyonlara uygulanır Deneysel anlamda toplanmış veriler için çok pratik bir çözüm verir A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 62/ 82

63 Enterpolasyon ve model uydurma Enterpolasyon Var olan ayrık veri dizilerinden yeni veri türetme tekniği; geniş anlamda, mevcut verilere fonksiyon (eğri ya da yüzey) uydurma işlemi Yaklaşım modeli türleri; a 0 + a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n s i (x) [x i,x i+1 ] i=0,1,...,n 1 h(x)/q(x) f(x)= n a 0 + a k cos(kx)+b k sin(kx) k=1 1 x b ψ a a Polinom Spline Oransal Trigonometrik Dalgacık A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 63/ 82

64 Enterpolasyon polinomu n. dereceden polinom n p(x)=a 0 + a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n = a i x i (51) Verilen(x 0,y 0 ),(x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ),...,(x n,y n ) noktaları için i=0 a 0 + a 1 x 0 + a 2 x a nx n 0 = p(x 0)=y 0 a 0 + a 1 x 1 + a 2 x a nx n 1 = p(x 1)=y 1.. (52) a 0 + a 1 x n + a 2 x 2 n + +a nx n n = p(x n)=y n bilinmeyenlerin a=(a 0,a 1,a 2,,a n ) T tek anlamlı çözümü vardır. Matris gösterimiyle (52), Xa=y (53) X katsayılar matrisi, y (yalın) ölçüler A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 64/ 82

65 Enterpolasyon polinomunun modifikasyonu Sayısal çözümü kolaylaştırmak için (51), parametre dönüşümü (normalleştirme) ile yeniden düzenlenebilir: Basit modifikasyon x [a,b] x [ 1,+1] x= a+b a b + 2x b a (54) p n (x)=b 0 + b 1 x+b 2 x 2 + +b n x n (55) Chebyshev baz polinomları ile enterpolasyon p n (x)=c 0 + c 1 T 1 (x)+c 2 T 2 (x)+ +c n T n (x) (56) Legendre baz polinomları ile enterpolasyon p n (x)=d 0 + d 1 P 1 (x)+d 2 P 2 (x)+ +d n P n (x) (57) A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 65/ 82

66 Lagrange enterpolasyon polinomu n p(x)= f(x i )L i (x) i=0 = f(x 0 )L 0 (x)+f(x 1 )L 1 (x)+f(x 2 )L 2 (x)+ +f(x n )L n (x) (58) L i (x) Lagrange baz fonksiyonları: L i (x)= n j=0,j i x x j x i x j = (x x 0)...(x x j 1 )(x x j+1 )...(x x n ) (x i x 0 )...(x i x j 1 )(x i x j+1 )...(x i x n ) (59) A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 66/ 82

67 Newton enterpolasyon polinomu Bazı kaynaklarda bölünmüş farklar enterpolasyonu olarak geçer. Enterpolasyon polinomu, p(x)= n g i N i (x)=g 0 N 0 (x)+g 1 N 1 (x)+ +g n N n (x) (60) i=0 ile gösterilir. N 0 (x)=1 olmak üzere Newton baz fonksiyonları: i 1 N i (x)= (x x j )=(x x 0 )(x x 1 )...(x x j ), i=1,2,,n (61) j=0 g 0, g 1, g 2,..., g n katsayıları, g 0 = f(x 0 )=y 0, g 1 =[x 1 x 0 ]= f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 g 2 =[x 2 x 1 x 0 ]= [x 2x 1 ] [x 1 x 0 ] x 2 x 0 g n =[x n...x 2 x 1 x 0 ]= [x n...x 3 x 2 x 1 ] [x n 1...x 2 x 1 x 0 ] x n x 0 (62) A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 67/ 82

68 Newton enterpolasyon polinomu (çizelge) bölünmüş farklar ile, (60) daha basit biçimde yazılabilir: p(x)=g 0 +[x 1 x 0 ](x x 0 )+[x 2 x 1 x 0 ](x x 0 )(x x 1 )+ + +[x n... x 2 x 1 x 0 ](x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ) (63) bölünmüş farklar bir çizelge üzerinde kolayca hesaplanabilir: x 0 y 0 (x 1 x 0 ) [x 1 x 0 ] (x 2 x 0 ) x 1 y 1 [x 2 x 1 x 0 ] (x 3 x 0 ) (x 2 x 1 ) [x 2 x 1 ] [x 3 x 2 x 1 x 0 ] (x 4 x 0 ) (x 3 x 1 ) x 2 y 2 [x 3 x 2 x 1 ] [x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 ] (x 4 x 1 ) (x 3 x 2 ) [x 3 x 2 ] [x 4 x 3 x 2 x 1 ] (x 4 x 2 ) x 3 y 3 [x 4 x 3 x 2 ] (x 4 x 3 ) [x 4 x 3 ] x 4 y 4 p(x)=g 0 + g 1 (x x 0 )+g 2 (x x 0 )(x x 1 )+ + + g n (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ) A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 68/ 82

69 Eşit aralıklı veriler için enterpolasyon polinomu Ardışık x i değerlerinin arasındaki farklar eşitse, ileri farklar çizelgesi yardımıyla, Newton enterpolasyon polinomu daha basit bir şekil alır: x 0 y 0 h 1 0 2h x 1 y h h h 2h x 2 y h h h x 3 y h 1 3 x 4 y 4 p(x)=g (x x 0 ) 1! h + n 0 n! + 2 0(x x 0 )(x x 1 ) 2! h (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ) h n (64) A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 69/ 82

70 Gregory-Newton enterpolasyon polinomu (64), t= x x 0 h yardımcı büyüklüğü ile daha da basitleştirilebilir: p(x 0 + th)=g 0 + t t t t n n 0 (65) (65) ya Gregory-Newton (ileri fark) enterpolasyon polinomu denir. Polinomda geçen binom katsayıları, açık olarak yazılış biçimiyle aşağıdaki gibidir: t t(t 1)(t 2)...(t n+1) = (66) n n! Gregory-Newton enterpolasyon polinomundan hareketle Gauss, Stirling, Bessel vb. enterpolasyon polinomları da türetilebilir. Enterpolasyon da ters işlem, fonksiyonun verilen değerine karşılık bağımsız x değişkeninin değerinin hesaplanmasıdır. Çözüm için x değerleri yerine y yi, y değerleri yerine x i göz önüne almak yeterli olacaktır. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 70/ 82

71 Sürekli-parçalı fonksiyonlar Spline fonksiyon Artan sıralı x 0 < x 1 < <x n nokta dizisine karşılık, her[x i 1,x i ] aralığında tanımlı n sayıda sürekli-parçalı polinom fonksiyonlara denir: s 1 (x) x 0 x x 1 s 2 (x) x 1 x x 2 s(x)=.. s n (x) x n 1 x x n (67) Örneğin kübik spline fonksiyon: x 3 x 2 + 2x 1 x 2 + 2x 1 s(x)= x 3 4x 2 + 5x 2 5x 2 22x+25 2 x 0 0 x 1 1 x 3 3 x 4 A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 71/ 82

72 Spline fonksiyon koşulları Spline fonksiyonun derecesini s i polinomlarının maksimum dereceli olanı belirler. k spline fonksiyonun derecesi olmak üzere; tüm ara noktalarda (düğüm noktaları) aşağıdaki süreklilik koşulu sağlanmalıdır: s (j) (x i i )=s (j) i+1 (x i), j=0,1,...,k 1 i=1,2,...,n 1 (68) Kübik spline fonksiyon için çözüm koşulları: Eleman Sayı Bilinmeyen sayısı 4n Veri noktalarında gözlem sayısı s(x i )=y i n+1 Düğüm noktalarında s(x),s (x) ve s (x) için süreklilik koşul sayısı 3(n 1) Toplam koşul sayısı 4n 2 Doğal kübik s (x 0 )=s (x n )=0 veya Kenetlenmiş kübik s (x 0 )=f (x 0 ),s (x n )=f (x n ) 2 A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 72/ 82

73 Kübik spline enterpolasyonu s (x) a i Ardışık noktalar arasındaki fark sabit, h=x i x i 1, i=1,2,...,n olmak üzere, ikinci türevlere karşılık gelen doğru denklemi: a i 1 x i 1 x i x s (x)=a i 1 + a i a i 1 x i x i 1 (x x i 1 ) = a i 1 h (x i x)+ a i h (x x i 1) (69) s (x)= 1 2h a i 1(x i x) h a i(x x i 1 ) 2 b i + c i (70) s(x)= 1 6h a i 1(x i x) h a i(x x i 1 ) 3 + b i (x i x)+c i (x x i 1 ) (71) b i ve c i : integrasyon sabitleri A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 73/ 82

74 Kübik spline enterpolasyonu x i 1 ve x i noktaları için (71) den h 2 s(x i 1 )=y i 1 = a i b ih (72) h 2 s(x i )=y i = a i 6 + c ih (73) b i ve c i belirlenir; (70) ve (71) de yerine yazılırsa, s 1 (x)= a i 1 2h (x i x) 2 1 yi 1 + a i 2h (x x i 1) 2 h a h i yi + h a h i (74) 6 s(x)= a i 1 6h (x i x) 3 + a i yi 1 6h (x x i 1) 3 + h a h i 1 (x i x)+ 6 yi + h a h i (x x i 1 ) (75) 6 bulunur. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 74/ 82

75 Koşul denklemleri ve bilinmeyen parametreler için yazılacak eşitlikler düzenlendikten sonra, s i (x i)=s i+1 (x i) (76) a i 1 + 4a i + a i+1 = 6 h 2(y i 1 2y i + y i+1 ), i=1,2,...,n 1 (77) koşul denklemeri çıkar. Ara noktalar için yazılacak (77) koşul denklemlerinin matris gösterimi, a 0 y 0 2y 1 + y a 1 y = 6 1 2y 2 + y h a n y n 2 2y n 1 + y n (78) olur. Bu denklem sistemine eklenecek ek iki koşul ile çözüm elde edilir ve (75) spline enterpolasyon fonksiyonları belirlenir. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 75/ 82

76 Kübik spline türleri ve koşulları (h=1 için) Serbest veya doğal s 0 (x 0)=0 a 0 = 0 s n (x n)=0 a n = 0 (79) Verilen y 0 ve y n keyfi sabitlerine kenetlenmiş s 0 (x 0)=y 0 2a 0 + a 1 = 6(y 1 y 0 y 0 ) s n (x n)=y n a n 1 + 2a n = 6(y n + y n 1 y n ) (80) Not-A-Knot s 0 (x 1)=s 1 (x 1) a 0 2a 1 + a 2 = 0 s n 1 (x n 1)=s n (x n 1) a n 2 2a n 1 + a n = 0 (81) A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 76/ 82

77 Veri aralıkları eşit değilse Ardışık verilerden: h i = x i+1 x i, d i = y i+1 y i x i+1 x i s(x)= 1 ai 1 (x i x) 3 + a i (x x i 1 ) 3 + 6y i 1 h 2 i 1 6h a i 1 (xi x)+ i 1 + 6y i h 2 i 1 a i (x xi 1 ) Düğüm noktalarında koşul denklemleri h i 1 a i 1 + 2(h i 1 + h i )a i + h i a i+1 = 6(d i d i 1 ), i=1,2,...,n 1 Doğal a 0 = a n = 0 Kenetlenmiş 2h 0 a 0 + h 0 a 1 = 6(d 0 y 0 ) h n 1 a n 1 + h n 1 a n = 6(y n d n 1) Not-a-knot h 1 a a (h 0 + h 1 )a 1 + h 0 a 2 = 0 h n 1 a n 2 (h n 2 + h n 1 )a n 1 + h n 2 a n = 0 A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 77/ 82

78 Kovaryans matris n sayıda rasgele değişken ve bunlara karaşılık gelen beklenen değerler sırasıyla x ve µ vektörleri altında toplansın.(x µ)(x µ) T çarpımının beklenen değeri, x= x 1 x 2... x n T µ= µ 1 µ 2... µ n T E((x µ)(x µ)t )=C xx köşegen elamanlar varyans (σ 2 i ) ve köşegen olmayan elemanları kovaryans (σ ik ) değerlerinden oluşan n n boyutlu simetrik bir matristir (kovaryans matris): σ 2 1 σ 12 σ 1n σ C xx = 12 σ 2 2 σ 2n σ 2 i = E((x i µ xi ) 2 ) σ ik = E((x i µ xi )(x k µ xk )) σ 1n σ 2n σ 2 n A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 78/ 82

79 EKK n sayıda ölçüden kestirilen u sayıda bilinmeyenin (x vektörünün) belirlenmesiyle eğri ya da yüzey modeli oluşturulmuş olur. Ölçülerin modelden (trendden) olan sapmaları (düzezeltmeler) ve onlardan hesaplanan deneysel ölçü hatası (karesel ortalama hata), v=ax l, m 0 = v T Pv n u (82) ile gösterilir. n u fazla ölçü sayısıdır. P ölçülerin ağırlık matrisidir. n sayıda ölçü için ağırlık matrisi, ağırlık katsayıları (kofaktör) ve varyans-kovaryans matrisi arasında, ilişkisi vardır. P ll = Q 1 ll =σ2 0 C 1 ll (83) A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 79/ 82

80 Prediksiyon Model sayesinde, y değeri bulunmayan p sayıda nokta için prediksiyon işlemi uygulanabilir. Bunun için öncelikle predikte edilecek noktaların katsayılar matrisi, 1 x 1 x 2 1 x x 2 x 2 x A p = 1 x 3 x 2 3 x (84)... 1 x p x 2 p x 3 p... oluşturulursa prediksiyon sonuçları, matris çarpımından bulunur. l p = A p x (85) A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 80/ 82

81 Kaynaklar I Buchanan, J. L. and Turner, P. R. (1992). Numerical Method and Analysis. Mcgraw-Hill College. Kutterer, H. (2001). Uncertainty assessment in geodetic data analysis. In Carosio, A. and Kutterer, H., editors, First International Symposium on Robust Statistics and Fuzzy Techniques in Geodesy and GIS, pages Moritz, H. (1978). Introduction to interpolation and approximation. In Moritz, H. and Sünkel, H., editors, Approximation Methods in Geodesy, pages Helbert Wichmann Verlag, Karlsruhe. TDK (2005). Türkçe Sözlük. Türk Dil Kurumu, Ankara. Vanicek, P. and Wells, D. E. (1972). The least squares approximation. Technical Report 22, University of New Brunswick. A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 81/ 82

82 Kaynaklar II Weierstrass, K. (1885). Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der Akademie zu Berlin, pages and A. Üstün () Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri Selçuk Üniversitesi 82/ 82