KARMAŞIK SAYILAR ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

Transkript

1 KARMAŞIK SAYILAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Karmaşık Saılar. Kaanım : Gerçek saılar kümesini genişletme gereğini örneklerle açıklar.. Kaanım : Sanal birimi (i saısını) belirtir ve bu saının kuvvetlerini hesaplar.. Kaanım : Karmaşık saıı, standart biçimini, gerçek kısmını, sanal kısmını açıklar ve iki karmaşık saının eşitliğini ifade eder.. Kaanım : Karmaşık dülemi açıklar ve verilen bir karmaşık saıı karmaşık dülemde gösterir. 5. Kaanım : Bir karmaşık saının eşleniğini ve modülünü açıklar, karmaşık dülemde gösterir. 6. Kaanım : Karmaşık saılarda toplama ve çıkarma işlemlerini ve geometrik orumlarını apar, toplama işleminin öelliklerini gösterir. 7. Kaanım : Karmaşık saılarda çarpma ve bölme işlemlerini apar, çarpma işleminin öelliklerini gösterir. 8. Kaanım : Eşlenik ve modül ile ilgili öellikleri gösterir. 9. Kaanım : Karmaşık saılarda ikinci dereceden bir bilinmeenli denklemleri çöer. 0. Kaanım : Karmaşık dülemde iki karmaşık saı arasındaki uaklığı açıklar ve karmaşık saı ile çember ilişkisini belirtir. Karmaşık Saıların Kutupsal Biçimi. Kaanım : Bir noktanın karteen koordinatları ile kutupsal koordinatları arasındaki bağıntıları bulur, standart biçimde verilen bir karmaşık saının kutupsal koordinatlarını belirler ve karmaşık dülemde gösterir.. Kaanım : Kutupsal biçimde verilen iki karmaşık saı arasında toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri apar.. Kaanım : Bir karmaşık saının orijin etrafında poitif önde α açısı kadar döndürülmesi ile elde edilen karmaşık saıı bulur.. Kaanım : De Moivre kuralını ifade eder ve kutupsal koordinatlarda verilen bir karmaşık saının kuvvetlerini belirler. 5. Kaanım : Verilen bir karmaşık saının (n N) n. dereceden köklerini belirler, karmaşık dülemde gösterir ve geometrik olarak orumlar.

2 KARMAŞIK SAYILAR SANAL SAYI BİRİMİ = 0, + = 0, = 0, 5 = 0 denkleminin her birinin çöüm kümelerini bulmaı daha önceki ıllarda öğrendini. Bunları tekrar hatırlaacak olursak; = 0 = Ç = {} + = 0 = Ç = ' = 0 = = = Ç = {, } 5 = 0 = 5 = v5 = v5 Ç = { v5, v5 } Yukarıdaki çöümlerde de görüldüğü gibi verilen denklemlerin her birinin gerçek saılardaki (gerçek saılar kümesindeki) çöüm kümeleri boş kümeden farklı birer kümedir. Şimdi de + = 0 denkleminin gerçek saılar kümesindeki çöüm kümesini bulmaa çalışalım. + = 0 = olur. Gerçek saılar kümesinde karesi e eşit olan bir saı bulunmadığından + = 0 denkleminin gerçek saılar kümesindeki çöüm kümesi boş kümedir. Ünlü matematikçi Euler aşağıdaki tanımı aparak bu tür denklemlerin çöülmesini sağlamıştır. Ka re si olan sa ı a sa nal (ima ji ner) sa ı bi ri mi de nir ve i ile gös te ri lir. Yani i = vea i = c dir. Bu tanımdan ararlanarak, + = 0, + = 0 gibi denklemleri çöebiliri. + = 0 ( ) = 0 i = 0 ( i)( + i) = 0 = i = i dir. + = 0 ( ) = 0 i = 0 ( i)( + i) = 0 = i = i dir. m poitif bir gerçek saı olmak üere, m = i m dir. = i, 9 = i, = i, 6 = i dir. i nin (Sanal Birimin) Kuvvetleri i = c i = i = i.i =.i = i i = (i ) = ( ) = i 5 = i.i = i i 6 = i.i = i 7 = i.i = i i 8 = (i ) =... Yanda elde ettiğimi sonuçlara göre, i nin tam saı kuvvetlerinde i,, i, dörtlüsünün tekrarlandığını görürü. Bu durumu, n N olmak üere, Z ], k = n ] ] i, k = n+ i k = [ ], k = n+ ] i, k = n+ \ biçiminde, a da kısaca m, n N olmak üere, i n+m = i m biçiminde gösterebiliri. 0

3 ÖRNEK Aşağıdaki saıların her birinin eşitini bulunu. a. i b. i c. i 008 d. i e. i ÖRNEK c.c.c 6 işleminin sonucunu bulunu. m ve n R + m. m ve n R m. n = sm.n n sm.n ÖRNEK 5 c. c 9. s 6. c işleminin sonucunu bulunu. ÖRNEK ve saılarının eşitlerini bulunu. i i = i = i + = i = i i i = i = i + = i = i dir. ÖRNEK 6 i 6 + i 7 + i 8 + i 9 ifadesinin eşitini bulunu. ÖRNEK n N olmak üere, aşağıdaki saıların her birinin eşitini bulunu. a. i n+ b. i 8n+5 c. i 8n d. i n i nin ardışık kuvvetinin toplamı 0 dır. ÖRNEK 7 i + i + i i 8 + i 8 ifadesinin eşitini bulunu.

4 KARMAŞIK SAYILAR i = ve a, b R olmak üere, a + bi biçiminde ifade edilen saılara karmaşık (kompleks) saı denir. Karmaşık saılar kümesi C ile gösterilir ve C = {: = a + bi, a, b R} dir. = a + bi aılışına karmaşık saının standart aılışı denir. a a karmaşık saının reel kısmı denir ve Re() = a olarak gösterilir. b e karmaşık saının sanal (imajiner) kısmı denir ve Im() = b biçiminde gösterilir. ÖRNEK 8 ÖRNEK 0 Aşağıdaki tabloda baı karmaşık saıların reel ve sanal kısımları belirtilmiştir. İnceleini. = c.c 8 + c 9 + c ise Re() ve Im() değerlerini bulunu. v v v v ÖRNEK = + + ise Re() ve Im() değerlerini bu- i i i ÖRNEK 9 = i + i + i 6 + i 7 ise Re() ve Im() değerlerini bulunu. lunu.

5 İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ İki karmaşık saının eşit olabilmesi için reel ve sanal kısımlarının arı arı birbirine eşit olması gerekir. = a + bi = c + di } verildiğinde KARMAŞIK DÜZLEM Karmaşık saıların, analitik dülemin noktalarıla bire bir eşlenmesi ile oluşturulan düleme karmaşık dülem denir. = a = c ve b = d dir. ÖRNEK = m + i, = 5 + (n )i olduğuna göre m ve n değerlerini bu- ve = lunu. eksenine karmaşık dülemin reel ekseni, eksenine de karmaşık dülemin sanal ekseni denir. ÖRNEK a < b < 0 < c olmak üere, bc ( a) + ab= + i ise b.c kaçtır? ÖRNEK Aşağıdaki saıları karmaşık dülemde gösterini. = + i, = + i = 5i, = 6 i 5 =, 6 = 7 = 6i, 8 = i

6 BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ Z = a + bi nin reel eksene göre simetriği olan a bi saısına Z nin eşleniği denir. Z = a bi biçiminde gösterilir. ÖRNEK 7 ( ) = olduğunu gösterini. Bir kar ma şık sa ı nın eş le ni ği nin eş le ni ği ken di sine eşit tir. ÖRNEK 5 Aşağıdaki tabloda baı karmaşık saılarla eşlenikleri verilmiştir. İnceliini. İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN SANAL KÖKLERİNİ BULMAK a, b, c R ve a 0 için a + b + c = 0 denklemini çöerken = b b! ac ve, = olmak üere a > 0 ise denklemin farkı iki gerçel kökünün = 0 ise denklemin eşit iki gerçel kökünün < 0 ise denklemin gerçel kökünün bulunmadığını bilioru. İşte, < 0 durumunda denklemin sanal iki kökü vardır. v v ÖRNEK 8 + = 0 denkleminin çöüm kümesi nedir? ÖRNEK 6 = + i karmaşık saısı ile eşleniğini karmaşık dülemde gösterini. Grafikte de görüldüğü gibi, bir karmaşık saı ile eşleniği reel eksene göre simetriktir.

7 ÖRNEK = 0 denkleminin çöüm kümesini bulup köklerin arasındaki ilişkii tespit edini. ÖRNEK Toplamları ve çarpımları 8 olan iki karmaşık saıı bulunu. Reel kat saılı, ikinci dere ce den bir denk le mde < 0 iken kök le r bir bi ri nin eş le ni ğidir. ÖRNEK 0 Reel kat saılı ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri i ise bu denklemi bulunu. ÖRNEK Köklerinden biri, diğer ikisi + i ve i kompleks saıları olan üçüncü dereceden reel kat saılı denklem nedir? ÖRNEK m ve n reel saılar olmak üere, + m + n = 0 denkleminin köklerinden biri = i ise m ve n değerlerini bulunu. 5

8 ALIŞTIRMALAR. Aşağıdaki saıların eşitini i cinsinden bulunu. a. c 8 b. s 5. Aşağıdaki işlemleri sonuçlandırını. a. i 5 + i 6 + i 7 + i 8 c. s 9 d. s 50 b. i + i + i + i 5. Aşağıdaki saıların eşitini bulunu. c. i + i + i i 60 a. i 7 b. i c. i 05 d. i + i + i i 80 d. i e. i 7 f. i g. i n+ h. i 8n+ i. i n j. i 6n k. i 6n 7 l. i 6 n e. i + i + i i 7 f. i + i 8 + i i 0. Aşağıdaki işlemleri sonuçlandırını. a. c. c 5. Aşağıdaki tabloda bulunan boşlukları ugun bir şekilde doldurunu. b. c. c 6. c 9 c. c. c 8. s 0 v d. c. c. c 6. c 8 6

9 6. Aşağıdaki eşitliklerden a ve b değerlerini bulunu. a. (a ) + (b )i = + i 9. = i karmaşık saısı ile eşleniğini karmaşık dülemde gösterini. b. a + i = bi + i c. ai + b = 0. Aşağıdaki. dereceden denklemlerin çöüm kümelerini bulunu. a. + = 0 d. + a + i bi = i b. + = 0 7. Aşağıdaki karmaşık saıları karmaşık dülemde gösterini. a. + i b. i c. + = 0 c. + i d. i e. i f. i g. h. d = 0. Reel kat saılı ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri + i ise bu denklemi bulunu. 8. Aşağıdaki tabloda bulunan boşlukları ugun bir şekilde doldurunu.. a ve b gerçek saılar olmak üere, + a + b = 0 denkleminin köklerinden biri = + i ise a.b kaçtır? v. Toplamları ve çarpımları olan iki karmaşık saıı bulunu. 7

10 KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM Karmaşık Saılarda Toplama İşlemi = a + b i ve = a + b i ise + = (a + a ) + (b + b )i dir. Karmaşık Saılarda Çıkarma İşlemi = (a, b ) ve = (a, b ) = + ( ) = a + b i + ( a b i) = (a a ) + (b b )i dir. ÖRNEK 7 = 6i ve = 5 + i olduğuna göre, işleminin sonucunu bulunu. = ( a, b) = (a = ( a, b ) + a, b + b ) ve O paralelkenardır. ÖRNEK 8 = 5 + i ve = i olduğuna göre, ÖRNEK = + 5i ise = i + = 5 + i dir. ÖRNEK 5 = + pi, = k + i ve + = + i a. + b. işlemlerini sonuçlandırını. olduğuna göre p ve k değerlerini bulunu. = a + bi kar ma şık sa ı sı nın top la ma iş le mine göre tersi, = (a + bi) = a bi dir. Karmaşık Saılarda Çarpma İşlemi = a + bi ve = c + di ise. = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi = ac + i(ad + bc) bd = (ac bd) + (ad + bc)i dir. ÖRNEK 9 = 7i ve = 5 + i olduğuna göre,. ifadesinin eşitini bulunu. ÖRNEK 6 5i nin toplama işlemine göre tersi + 5i dir. i nin toplama işlemine göre tersi i dir. 5 in toplama işlemine göre tersi 5 tir. 8

11 ÖRNEK 0 = + i ve = + i olduğuna göre,. ifadesinin eşitini bulunu. ÖRNEK = i nin çarpmaa göre tersini bulunu. = a + bi olmak üere,. = (a + bi)(a bi) = a + b dir. ÖRNEK = + i ise Re( ) değerini bulunu. ÖRNEK Aşağıdaki tabloda, ve. arasındaki ilişkiler sonuçlandırılmıştır. İnceleini. Karmaşık Saılarda Bölme İşlemi = a + bi ve = c + di, ( 0) olmak üere, =. a+ bi = c + di ( a+ bi)( c di) = ( c+ di )( c di ) bulunur. olur. Bu durumda, işlemi sonuçlandırılarak v v v ÖRNEK = 5 + i ve = i ise = a + bi nin çarpma işlemine göre tersi = dir. a + bi ifadesinin eşitini bulunu. = nin pa ve padasını a + bi nin eşleniği olan a bi ile a + bi çarpalım..( a = bi) a bi = ( a+ bi )( a bi ) a+ b = a b i olur. a b + a + b 9

12 ÖRNEK 5 = + i ve = + i ise ifadesinin eşitini bulunu. ÖRNEK 8 i = karmaşık saısının reel kısmı i kısmı kaçtır? ise sanal ÖRNEK 6 i = ise Re() ifadesinin eşitini bulunu. + i ( + i) = +..i + i = + i = i dir. Bener şekilde, ( i) = i ve ( i) = i olur. ÖRNEK 9 ( + i) 0 ifadesinin eşitini bulunu. ÖRNEK 7 = karmaşık saısının eşleniğinin sanal kısmını bulunu. i ÖRNEK 0 ( i) ifadesinin eşitini bulunu. 0

13 ÖRNEK ( + i) ifadesinin eşitini bulunu. ÖRNEK ( + i) = 5 + i + eşitliğini sağlaan karmaşık saısını bulunu. ÖRNEK ( + i) 0 ( i) ifadesinin eşitini bulunu. ÖRNEK m + 6 = 0 denkleminin bir kökü + i ise m değerini bulunu. ÖRNEK ( i) ( + i) 8 7 ifadesinin eşitini bulunu. Karmaşık Saının Eşleniği İle İlgili Öellikler ^h= + = + =. =. : = :

14 ALIŞTIRMALAR. = + i ve = i olmak üere aşağıdakilerin eşitini bulunu. a. +. Aşağıdaki karmaşık saıların çarpma işlemine göre terslerini bulunu. a. i b. + i b. c. i c. + d. i d. 5. Aşağıdaki işlemleri sonuçlandırını. a. + i i e.. b. + i i f. i. g. i. + h. ( + )( i) + i c. i d. ( + i )( i ) + i e. ( + i) 0. Aşağıdaki tablodaki boşlukları doldurunu. f. ( i) g. ( + i) 0 ( i) 0 v h. ( i) 6 ( + i) 7 v v i. ( i) ( + i) 6 7

15 5. = i + i ise Im( ) nedir? 9. Aşağıdaki eşitlikleri sağlaan karmaşık saılarını bulunu. a..i + = + i 6. + i saısının eşleniğinin reel kısmı kaçtır? b. ( + i). + = 7. = + i ve w = i olmak üere aşağıdakilerin eşitini bulunu. a..w c. + = i b. + w c. i. w d. = + i d..w e. w e. = i 5 f. ( + )(w + i) 8. Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanlar için boş kutua D anlış olanlar için Y aını.. = 0. Aşağıdaki işlemleri sonuçlandırını. a. 0 0 i i c m + ic m + i + i ^h = + w = w b. ( + i) + ( + i) + ( + i) + ( + i) 5 w. = w. w : = w : c. ( + i) ( + i ) ( + i )... ( + i )

16 BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ) Karmaşık dülemde, bir karmaşık saıa karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına olan uaklığına bu karmaşık saının mutlak değeri vea modülü denir ve biçiminde gösterilir. Grafikte görüldüğü gibi b = a + bi = a + b = a+ b dir. 0 a ÖRNEK 6 Aşağıdaki tabloda baı karmaşık saılar ve mutlak değerleri ifade edilmiştir. İnceleini. ÖRNEK 8 i = ise. ifadesinin eşitini bulunu. + i a + bi a + b + i + = 5 i + ( ) = 5 i + vi i i ( ) + ( ) = 5 ( ) + (v) = 0 + ( ) = 0 + = ÖRNEK 9 = + olduğuna göre nedir? + i i ( ) + 0 = Yukarıdaki örneklerde görüldüğü gibi, = = = dir. ÖRNEK 50 i = 5.i eşitliğini sağlaan karmaşık saısını bulunu. ÖRNEK 7. = olduğunu gösterelim.

17 Mutlak Değerlerle İlgili Öellikler = = = =.. =. ÖRNEK 5 = + cosθ + isinθ olduğuna göre değerini bulunu. =, ( 0) n N olmak üere, n = n + + ÖRNEK 5 = + i olduğuna göre nin değerini bulunu. ÖRNEK 55 = a+ b i( a b) a b+ i( a+ b) ise değerini bulunu. ÖRNEK 5 = 5 i ve = + i olduğuna göre ifadesinin eşitini bulunu. ÖRNEK 56 ( + i)( i) = ( i )( + i ) ise değerini bulunu. ÖRNEK 5 = a b + abi olduğuna göre değeri kaçtır? 5

18 İKİ KARMAŞIK SAYI ARASINDAKİ UZAKLIK ve karmaşık saılarına karşılık gelen noktaları birleştiren doğru parçasının uunluğu bu karmaşık saılar arasındaki uaklıktır. ÖRNEK 59 = i eşitliğine karşılık gelen karmaşık saılarının geometrik er denklemini bulunu. = a + bi ve = c + di karmaşık saıları arasındaki uaklık doğru parçasının uunluğudur. = = (c + di) (a + bi) = (c a) + i(d b) = ( c a) + ( d b) ÖRNEK 60 ÖRNEK 57 = 5i ve = i karmaşık saıları arasındaki uaklığı bulunu. a bi = r eşitliğine karşılık gelen karmaşık saılarının geometrik erinin M(a, b) merkeli, r arıçaplı çember olduğunu gösterini. ÖRNEK 58 = + i ve = + i olmak üere ile arasındaki uaklık 5 br ise değerini bulunu. = + i, 0 = a + bi olmak üere, 0 = r eşitliği, merkei (a, b) ve arıçapı r olan bir çember belirtir. 0 < r eşitsiliği, merkei (a, b) ve arıçapı r olan çemberin iç bölgesini belirtir. 0 > r eşitsiliği, merkei (a, b) ve arıçapı r olan çemberin dış bölgesini belirtir. r < 0 < r eşitsiliği, merkeleri (a, b) ve a rı çap la rı r ile r olan çem ber ler arasındaki bölgei belirtir. 6

19 ÖRNEK 6 i = eşitliğini sağlaan karmaşık saılarının geometrik erinin denklemini bulup karmaşık dülemde gösterelim. ÖRNEK 6 < eşitsiliğine karşılık gelen noktaların geometrik erini bulunu. ÖRNEK 6 + i eşitsiliğine karşılık gelen noktaların geometrik erini bulunu. ÖRNEK 6 < eşitsilik sistemine karşılık gelen noktaların geometrik erini bulunu. 7

20 ÖRNEK 65 β = {: C,, Re() } biçiminde tanımlanan β bağıntısını karmaşık dülemde gösterelim. ÖRNEK 67 olmak üere, + i ifadesinin en büük ve en küçük değerlerini bulunu. ÖRNEK 66 + i = bağıntısının kompleks dülemdeki grafiğini çiini. 8

21 ALIŞTIRMALAR. Aşağıdaki tablou ugun değerlerle doldurunu.. Aşağıda verilen ve karmaşık saılarına karşılık gelen noktalar arasındaki uaklığı bulunu. a. = i, = + i b. =, = i c. = i, = i v d. = i, = + i. Aşağıdaki karmaşık saıların başlangıç noktasına olan uaklıklarını bulunu. a. = ( + i)( i) e. =, = f. = v + i, = v i b. = ( i) 6 a bi c. = b + ai. Aşağıdaki kümelere karmaşık dülemde karşılık gelen noktaların geometrik erini bulunu. a. A = { :. 9, C} ( i)( + i)( i) d. = ( + i )( i )( + i ) b. A = { : + i =, C} ( + i) e. = ( i ) c. A = { : Im(), C} f. = ( + i) ( i) ( i) d. A = { : Re() >, C} 9

22 5. = + i olmak üere, aşağıdaki ifadelere karmaşık dülemde karşılık gelen noktalar kümesini gösterini. a. Re() + Im() = 7. Aşağıda karmaşık dülemde grafikleri verilmiş olan kümeleri bulunu. a. b. Re() Im() < c. Re() Im() > 0 d. = b. e. f. + = i g. + i = c. h. < i. + i j. + i k. < d. 6. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara D anlış olanlar için Y aını.. = = + + e. + = + = 0

23 KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) BİÇİMİ = a + bi karmaşık saısının karmaşık dülemdeki görüntüsü anda çiilmiştir. OZ = = r ve m( a ZOA) = α olmak üere ZOA dik üçgeninde, OA cosα = OZ ZA sinα = OZ a = a =.cosα b = b =.sinα dır. α Bu değerleri = a + bi karmaşık saısında erine aarsak = a + bi =.cosα + i..sinα = (cosα + isinα) eşitliğini elde ederi. Bu aılışa = a + bi karmaşık saısının kutupsal (trigonometrik) gösterimi denir. Bu gösterim kısaca, = r cisα biçiminde de gösterilebilir. Arıca, k Z olmak üere, = rcisα = rcis(α + k.π) olarak aılabileceğine de dikkat edini. Bir Karmaşık Saının Kutupsal Koordinatları Yukarıdaki şekilde OZ doğrusunun eksenile aptığı poitif önlü açıa karmaşık saısının ARGÜMENTİ denir. cosα = a, sinα = b vea tanα = a b eşitliklerini sağlaan α gerçek saısı, karmaşık saısının argümenti olup arg() = α biçiminde gösterilir. k Z olmak üere ölçüsü, α + k.π olan açılar karmaşık saısının argümentleridir. Buradaki α gerçel saısı nin esas argümentidir. Bir karmaşık saının, mutlak değeri ile esas argümentinin oluşturduğu sıralı ikilie bu saının KUTUPSAL KOORDİNATLARI denir ve (, α) vea (r, α) biçiminde gösterilir. ÖRNEK 68 Grafikte, OZ = br, m( a ZOK) = 0 ise karmaşık saısının kutupsal biçimini bulunu.

24 ÖRNEK 69 ÖRNEK 7 Aşağıdaki grafiklerde verilen karmaşık saıların ku- tupsal biçimi altına aılmıştır. İnceleini. Grafikte, OZ = br, m( a ZOK) = 0 ise karmaşık saısının kutupsal biçimini bulunu. = cis80 = 5cis90 = cis70 = cis0 ÖRNEK 7 ÖRNEK 70 = i karmaşık saısının kutupsal biçimini bulunu. Grafikte, OZ = br ise karmaşık saısının kutupsal biçimini bulunu.

25 ÖRNEK 7 = + vi karmaşık saısının kutupsal biçimini bulunu. ÖRNEK 75 = i karmaşık saısının kutupsal biçimini bulunu. ÖRNEK 7 = + vi karmaşık saısının kutupsal biçimini bulunu. ÖRNEK 76 Kutupsal koordinatları c, 5r m olan karmaşık saıı standart biçimde aını.

26 karmafl k sa s n n standart biçimi = r arg() = α karmafl k sa s n n dülemde gösterilmesi karmafl k sa s n n kutupsal biçimi = a + bi r = = a + b tanα = b a b α 0 a = rcisα = v + i r = (v) + = tanα = v α = π 6 π 6 0 v = cis π 6 = i r = + ( ) = v tanα = 7π α = = 7π v = vcis 7π = + vi r = ( ) + (v) = tanα = v π α = = v v π = cis π = i r = ( ) + ( ) = v tanα = = 5π α = v 5π = vcis 5π

27 0 = a + bi karmaşık saısının karmaşık dülemdeki görüntüsü A(a, b) olmak üere, θ arg( 0 ) = θ koşulunu sağlaan karmaşık saılarının görüntüsü AK arı doğrusudur. ÖRNEK 77 arg( i) = r eşitliğini sağlaan karmaşık saılarının karmaşık dülemdeki görüntüsünü bulunu. ÖRNEK 78 arg( + ) = r ve arg( i) = r koşullarını sağlaan karmaşık saısını bulunu. ÖRNEK 79 = sinθ icosθ ise nin esas argümentini bulunu. 5

28 ÖRNEK 80 arg( + ) = 5r r ve arg( ) = sağlaan karmaşık saısını bulunu. eşitliklerini ÖRNEK 8 = sin50 icos50 ise nin esas argümentini bulunu. ÖRNEK 8 = + cos0 + isin0 ise değerini bulunu. ÖRNEK 8 r Kutupsal koordinatları c, m olan karmaşık saıı standart biçimde aalım. 6

29 ÖRNEK 8 = + i.tan0 karmaşık saısının esas argümenti aşağıdakilerden hangisidir? KUTUPSAL BİÇİMDE İŞLEMLER Toplama ve Çıkarma İşlemi Kutupsal biçimde verilen iki karmaşık saı toplanır vea çıkarılırken reel kısımları kendi aralarında, sanal kısımları da kendi aralarında toplanır vea çıkarılır. = r (cosα + isinα) = r (cosβ + isinβ) olmak üere + = (r cosα + r cosβ) + (r sinα + r sinβ)i ÖRNEK 86 = (cos5 + isin5 ) = (cos60 + isin60 ) ise + saısını bulunu. ÖRNEK 85 + = koşulunu sağlaan karmaşık saılarından esas argümenti en küçük olanın esas argümentini bulunu. ÖRNEK 87 = cos60 + isin60 = cos0 + isin0 ise saısını bulunu. 7

30 ÖRNEK 88 = cos75 + isin75 = cos5 + isin5 ise + saısını bulunu. ÖRNEK 89 = (cos75 + isin75 ) ve = (cos5 + isin5 ) ise. ifadesinin eşitini bulunu. ÖRNEK 90 = 6(cos0 + isin0 ) ve Çarpma ve Bölme İşlemi = r (cosα + isinα) ve = r (cosβ + isinβ) ise = (cos70 + isin70 ) olduğuna göre, ifadesinin eşitini bulunu.. = r.r [cos(α + β) + isin(α + β)] r = [cos(α β) + isin(α β)] dır. r. = r (cosα + isinα).r (cosβ + isinβ) = (r cosα + ir sinα)(r cosβ + ir sinβ) = r.r cosαcosβ + i r.r sinαsinβ + ir.r cosαsinβ + ir.r sinαcosβ = r.r (cosαcosβ sinαsinβ) ÖRNEK 9 = (cos + isin66 ), = (cos + isin8 ). = (sin isin6 ) ise ü bulunu. + ir.r (cosαsinβ + sinαcosβ) = r.r cos(α + β) + ir.r sin(α + β) = r.r (cos(α + β) + isin(α + β)) bulunur. r( cos a+ isin a) = r ( cos b+ isin b) = = = r( cos a+ isin a)( cos b isin b) r ( cos b+ isin b)( cos b isin b) r 6 cos a. cos b+ sin a. sin b) + ( sin a. cos b cos a. sin b) i@ r.( cosb+ sinb) r( cos( a b) + isin( a b)) r. 8 r =.(cos (α β) + isin (α β)) bulunur. r

31 ÖRNEK 9 ÖRNEK 9 cos 5 + i sin 5 sin 05 i cos 05 işleminin sonucunu bulunu. ve karmaşık saıları grafikte gösterilmiştir. işleminin sonucunu bulunu. ÖRNEK 95 ÖRNEK 9 Bir ABC üçgeninin iç açılarının ölçüleri α, β ve θ olmak üere, = cisα, = cisβ ve = cisθ ise.. işleminin sonucunu bulunu. ve karmaşık saıları grafikte gösterilmiştir. işleminin sonucunu bulunu. 9

32 ÖRNEK 96 cis70 cis0 ifadesinin eşitini bulunu. ÖRNEK 98 5r arg(. ) = 6 ve arg r c m = ise Re( ) + Im( ) ifadesinin eşitini bulunu. ÖRNEK 97 cis0 + cis50 ifadesinin eşitini bulunu. 0

33 ALIŞTIRMALAR. Aşağıda görüntüleri verilen karmaşık saıları kutupsal biçimde aını. e. a. f. b. c. g. d. h.

34 . Aşağıdaki karmaşık saıları kutupsal biçimde aını. a. = i. arg( + ) = r r ve arg( + i) = koşullarını sağlaan karmaşık saısını bulunu. b. = + vi. = r(cosα + isinα) olmak üere, aşağıdakilerden doğru olanlar için boş kutulara D anlış olanlar için Y aını. c. = v + i = r[cos(π α) + isin(π α)] = r[cos(π + α) + isin(π + α)] d. = i = r[cos(π α) + isin(π α)] = r [cos(π α) + isin(π α)] e. = 5. = + cos0 + isin0 karmaşık saısını kutupsal biçimde ifade edini. f. = i g. = 6. = + cos00 + isin00 karmaşık saısını kutupsal biçimde ifade edini.

35 7. Aşağıdaki karmaşık saıların eşitlerini bulunu. sin 70 i cos 70 a. sin 80 + i cos 80. = cis00 ve = cis80 ise. karmaşık saısını bulunu. b. sin 0 i cos 0 sin 0 + i cos 0. = cis0, = cis70 ve = cis50 ise 8. 6i = koşulunu sağlaan karmaşık saılarından esas argümenti en küçük olanı ile en büük olanının esas argümentlerini bulunu.. karmaşık saısını bulunu. 9. = (cos0 + isin0 ) = (cos0 + isin0 ) ise + karmaşık saısını bulunu.. = cis0 ve = cis0 ise. karmaşık saısını bulunu. 0. = cos05 + isin05 = cos5 + isin5 ise karmaşık saısını bulunu.. = cis5 ve w = cis65 ise w kaçtır?

36 BİR KARMAŞIK SAYININ KUVVETİ De Moivre Teoremi = r(cosα + isinα) ise n N + için n = r n (cosn.α + isinn.α) dır. ÖRNEK 0 ( + i) 0 ifadesinin eşitini bulunu. ÖRNEK 99 = (cos5 + isin5 ) olduğuna göre, 6 ifadesinin eşitini bulunu. ÖRNEK 00 ÖRNEK 0 = rcisα ise, ve bulunu. karmaşık saılarını = v + i ise 6 ifadesinin eşitini bulunu. ÖRNEK 0 ( vi) 0 ifadesinin eşitini bulunu. arg = α ise arg( ) = π + α arg( ) = π α arg( ) = π α dır.

37 ÖRNEK 0 r arg = ise arg( ), arg( ) ve arg( ) değerlerini bulunu. ÖRNEK 06 = cis0 saısının orijin etrafında poitif önde 50 döndürülmesi ile elde edilen saıı bulunu. ÖRNEK 05 = vcis5, = cis0 ve = cis5 ise 8. ifadesinin eşitini bulunu. ÖRNEK 07 = cis70 saısının orijin etrafında negatif önde 0 döndürülmesi ile elde edilen saıı bulunu. = r cisθ kar ma şık sa ı sı nın ori jin et ra fın da poi tif ön de α kadar döndürülmesi ile elde edilen karmaşık saı = rcis(θ + α) olduğundan = rcis(θ + α) = rcisθ.cisα =.cisα biçiminde ifade edilebilir. Bir Karmaşık Saının Orijin Etrafında Döndürülmesi = r(cosθ + isinθ) saısının orijin etrafında poitif önde α kadar döndürülmesi ile elde edilen saı ise = r(cos(θ + α) + isin(θ + α)) olur. saısının orijin etrafında negatif önde α kadar döndürülmesi ile elde edilen saı ise = r(cos(θ α) + isin(θ α)) olur. ÖRNEK 0 = + i karmaşık saısının orijin etrafında poitif önde 60 döndürülmesi ile elde edilen saıı bulunu. α θ α 5

38 ÖRNEK 08 = v i karmaşık saısının orijin etrafında poitif önde 0 döndürülmesi ile elde edilen saıı bulunu. BİR KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ = r[cosθ + isinθ] karmaşık saısının n. dereceden kökleri w k = n n = r (k = 0,,,,..., n ) i+ k. r i+ k. r ccos + i sin m dir. n n Örneğin = rcisθ karmaşık saısının karekökleri i+ k. r = r cis olup k = 0 için w 0 = vr cis i i k = için w = vr cis c + rm dir. küpkökleri ÖRNEK 09 = + i karmaşık saısının orijin etrafında poitif önde 90 döndürülmesi ile elde edilen saıı bulunu. i+ k. r = r cis olup i k = 0 için w 0 = rcis i r k = için w = rcisc + m i r k = için w = rcisc + m tür. Sıfırdan farklı = r cisθ karmaşık saısının: n. dereceden n tane kökü vardır. Bu kökler karmaşık dülemde, merkei başlangıç noktası, arıçapı aralıklarla sıralanırlar. n r olan çember üerinde 60 n w 0 80 r w 0 0 w r 0 0 w w = rcisθ nın karekökleri = rcisθ nın küpkökleri w 0, w w 0, w, w 6

39 ÖRNEK 0 = cis80 karmaşık saısının kareköklerini bulunu. ÖRNEK = + vi karmaşık saısının kareköklerini bulunu. ÖRNEK = cis60 karmaşık saısının kareköklerini bulunu. ÖRNEK i = 0 denkleminin köklerini bulunu. 7

40 ÖRNEK = i karmaşık saısının kareköklerini bulunu. ÖRNEK 5 = 8cis0 karmaşık saısının küpköklerini bulunu. ÖRNEK 6 i karmaşık saısının kareköklerinden biri + i ise ( + i) ifadesinin eşitini bulunu. ÖRNEK 7 + = 0 eşitliğini sağlaan sıfırdan farklı karmaşık saılarından birini bulunu. 8

41 ALIŞTIRMALAR 5. Aşağıdaki işlemleri sonuçlandırını. a. (v i) 0. = (cos0 + isin0 ) karmaşık saısı orijin etrafında poitif önde 0 döndürülürse hangi karmaşık saı elde edilir? b. ( vi) 0 c. ( + i) 5 r r r. arg =, arg = ve arg = 6 olmak üere aşağıdakilerin her birini bulunu.. = + vi karmaşık saısı orijin etrafında poitif önde 60 döndürülürse hangi karmaşık saı elde edilir? a. arg_. i b. arg(. ) 5. i karmaşık saısı orijin etrafında poitif önde 90 döndürülürse hangi karmaşık saı elde edilir? c. arg + arg d.. argc m e.. argf p 6. = 6i karmaşık saısının. dereceden köklerini bulunu. 9

42 7. Aşağıdaki karmaşık saıların kareköklerini bulunu. a. cis 8. Aşağıdaki karmaşık saıların küpköklerini bulunu. a. 7cis6 b. cis76 b. vi c. + vi c. 6i d. i d. 9 e. + i e. 8 f. i f. 8i g. 9i g. 7 50

43 TEST Sanal Birim ve Karmaşık Saılarda İşlemler. a + bi = + 8i ise a + b kaçtır? A) B) C) D) 0 E) 5. ( i) ( i 5 ) ( + i 9 ) (i + i 7 ) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 6i B) i C) + i D) E). + i karmaşık saısının reel kıs mı aşa ğı da kiler den han gi si i dir? A) B) C) D) 0 E) = + i + i ise aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) 5 D) i 5 i 5 E) 5 C) + i 5. 9 A) 5 işleminin sonucu kaçtır? i + B) D) 5 i C) i 5 8 i 8 + E) (i + i + i 5 ) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) i D) i E) i. 6 i i + i işleminin sonucu kaçtır? A) i B) i C) i D) i E) 8. ( i) ( + i) ifadesinin eşi ti aşa ğı da ki ler den han gi sidir? A) 0 i D) B) + i E) C) + i 55

44 9. + = 0 denkleminin çöüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { i, i} B) {+i, i} C) { i} D) {+i} E) { i, +i}. i 5 + i 6 + i i 8 ifadesinin eşi ti aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) B) i C) 0 D) i E) 0. a ve b gerçek saılar olmak üere + a + b = 0 denkleminin köklerinden biri i ise diğer kökü nedir? ^ + ih^ ih. = i^ 5 + ih A) 5 B) 5 C) ise kaçtır? 5 D) 0 E) A) + i B) i C) + i D) i E) i 5. = ise ( ) aşağıdakilerden han gi sidir?. ( i) ( i) = + i ise nedir? A) i B) + i C) i D) i E) 0 A) 5 ( i) B) 5 ( + i) C) 5 ( i) D) 5 ( i) E) 5 ( + i). + 6 = 0 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) + vi B) + vi C) v i D) + i E) i 6. i + i + i i hangisidir? ifadesinin eşiti aşağıdakilerden A) i B) i C) i D) i E) i.b.d.d.b 5.B 6.E 7.B 8.A 9.E 0.C.C.A.E.A 5.A 6.C 56

45 TEST Sanal Birim ve Karmaşık Saılarda İşlemler. = a + bi olmak üere, ( + + ) + (i + ) ifade si nin eşi ti aşa ğıda ki ler den han gi si dir? A) (a b)(a + b + ) B) (a b)(a + b) C) (a b)(a + b + ) D) (a + b) E) (a b) i 5. = + karmaşık saısının çarpma işlemine göre tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) i B) D) + i i E) i C) + i. ( i) = i eşitliğini sağlaan karmaşık saısı aşağıdakilerden hangisidir? A) + i B) i C) i D) i E) + i i 6. = olmak üere, + i i Im( ) aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) r r 7. Köklerinden biri ccos + i sin m olan 6 6 ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisidir?. i c m ifa de si nin eşi ti aşa ğı da ki ler den han gi sidir? + i 88 A) i B) C) i D) E) i A) + = 0 B) + + = 0 C) v = 0 D) + v + = 0 E) v + = 0 8. Grafikte O = O α + β = 90 = + i ise aşağıdakilerden hangisidir? α O β.. = 0 eşitliğini sağlaan karma şık sa ı sı aşa ğı da ki ler den han gi si ola bi lir? A) i B) i C) i D) i E) A) i B) i C) i D) i E) i 59

46 9. ( + i)( + i) = ve = ise in po i tif de ğe ri i kaç tır? A) B) v C) v D) E). ( + i).( i) = ^ + ih ise. ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) 8 0. = + i ve = i olmak üere, ile arasındaki uaklık aşağıdakilerden hangisidir? A) v B) v C) D) E) 5. = vi ise ifa de si nin eşi ti aşa ğı da kiler den han gi si dir? A) B) C) D) E) + i. = karmaşık saısının başlangıç + i i noktasına olan uaklığı kaç birimdir? A) B) C) v D) E) v 5 5. = karmaşık saısı için i aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 5 B) C) c0 D) E) v5. f() =.. ise f( + vi) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 vi B) 6 vi C) vi D) 0 + vi E) 6 + vi 6. + i = i eşit li ği ni sağ la an kar ma şık sa ı sının başlangıç noktasına olan uaklığı kaç br dir? A) B) C) D) E) C.A.D.E 5.A 6.E 7.E 8.B 9.B 0.E.B.A.E.E 5.E 6.C 60

47 TEST Grafik Çiimi. = + i olmak üere, Re() + Im() = eşit li ği ne kar şı lık ge len nokta lar kü me si aşa ğı da ki ler den han gi si ile ifa de edi lir? A) B) C) i = eşit li ği ne kar şı lık ge len nok ta lar kü me si aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir? A) C) 0 B) D) 0 D) 0 E) 0 E) = + i olmak üere, + = i eşitliğine dülemde kar şı lık ge len nok ta lar kü me si aşağıdakilerin hangisi ile ifade edilir? A) = 0 B) 5 = 0 C) 6 5 = 0 D) = 0 E) + 5 = i eşit si li ği ni sağ la an kar ma şık saıları nın gö rün tü sü aşa ğı da ki ler den han gi sidir? A) 0 B) 0. C) D) Grafikteki taralı böl ge aşa ğı da ki ler den han gi si ile ifa de edilir? A) B) C) D) + E) + E) 0 6

48 6. + i = ise + i ifa de si nin en kü çük değeri kaçtır? A) B) C) D) E) i eşitsilik sistemine karşılık gelen karmaşık saılarının dülemdeki görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir? 7. = + i olmak üere, + i = ile + + 5i = arasındaki en kısa uaklık kaç birimdir? A) B) C) D) E) 5 A) B) D) E) C) 8. < < ko şu lu nu ger çek le en kar ma şık saı la rı nın görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir? 0 0 A) B) C) D). A = { : Re() Im()} ve B = { : } olmak üere, A B kü me si nin gra fi ği aşa ğı da ki ler den han gisi dir? A) B) E) 0 0 C) D) 0 = 0 = 9. = + i karma şık sa ı sı nın kar ma şık dü lem de po i tif ön de 90 dön dü rül me si ile el de edi len kar ma şık sa ı w ise w kaç tır? A) B) v C) c0 D) E) c0 E) 0.D.D.B.A 5.D 6.C 7.B 8.B 9.C 0.C.C 6

49 TEST 5 Karmaşık Saıların Kutupsal Biçimi. = v i karmaşık saısının kutupsal biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) (cos50 + i sin50 ) B) (cos0 + i sin0 ) C) (cos0 + i sin0 ) D) (cos50 + i sin50 ) E) (cos0 + i sin0 ) 5. = i karmaşık saısının esas argümenti α ise sinα kaçtır? A) B) C) D) E) 5. = + i ise nin kutupsal biçimdeki ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? r A) vcis r C) cis 7r E) vcis 5r B) vcis 5r D) cis 6. cos 60 = ise [Re()] + [Im()] cos 0 + i sin 0 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) C) D) E). = vi ise aşağıdakilerden hangisidir? nin kutupsal biçimde ifadesi A) cis0 B) cis0 C) cis0 D) cis0 E) cis0 7. ve kar ma şık sa- ı la rı nın gö rün tü le ri gra fik te ve ril miş tir. Bu na gö re,. aşağı da ki ler den han gi sidir? A) 6i B) 6 C) i D) 6 E) 6i., ve karmaşık saıları için arg = 8 r arg = r arg = 8 r ise. argf 6 p aşağıdakilerden hangisidir? r r r r r A) B) C) D) E) = cos50 + isin50 ve = (cos0 + isin0 ) ise. ifa de si nin eşi ti aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) 6 B) 8 C) 6i D) 8i E) 6 6

50 9. = (cos5 + isin5 ) ise Im( 6 ) aşağı da ki lerden han gi si ne eşit tir? A) 6 B) 6 C) 6 D) 8 E) 6 i. = kar ma şık sa ı sı nın esas ar gü men ti 6 aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) r B) r C) 5r D) 7r E) r , i = karmaşık saısının esas ar gü men ti + i aşa ğı da ki ler den han gi si dir? r r r r r A) B) C) D) E) 6 5. = (cos0 + isin0 ) ve = (cos0 + isin0 ) ise ifadesinin eşiti nedir? A) B) c C) c5 D) E) c7., ve kar ma şık sa ı la rı nın esas ar güment le ri sı ra sı la, r r r, ve ise. 5 5 karmaşık saı sının esas ar gü men ti aşa ğı da ki ler den han gi sidir? A) 8r B) 7r C) 5r D) r E) r 5. 0 < α β < 90 olmak üe re = co sα + isi nα ve = (cosβ + isinβ) kar ma şık sa ı la rı arasın da ki uak lık v ise. ifa de si nin eşi ti aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) 8 ( + vi) B) 8 (v + i) C) (v + i) D) 8 ( + vi) E) ( + vi). = v i karmaşık saısı orijin etrafında poitif r önde radan ka dar dön dü rü lür se aşa ğı da ki kar ma şık sa ı lar dan han gi si el de edi lir? A) vi B) + vi C) v + i D) vi E) i ise aşa ğı- r 6. arg( + ) = π, arg( + i) = da ki ler den han gi si dir? A) B) C) i D) i E).C.B.E.A 5.B 6.B 7.A 8.A 9.E 0.A.D.E.E.B 5.E 6.E 6

51 TEST 7 Karmaşık Saıların Kökleri. = i saısının karekök le rin den bi ri aşa ğı da kiler den han gi si dir? A) + i B) v + vi C) i D) i E) v vi 5. + i ifadesinin eşiti aşağı da ki ler den han gi si ola bi lir? 6 6 A) + i B) + i 6 6 C) i D) i 6 E) + i. v + c saısının kare kök le rin den bi ri aşa ğıda ki ler den han gi si dir? 7r 7r A) ccos + i sin m 8 8 5r 5r B) ccos + i sin m 8 8 r r C) bcos + i sin l 8 8 r r D) bcos + i sin l 8 8 7r 7r E) ccos + i sin m = 7 nin küp köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) i B) i C) i D) + i E) i. i ifadesi nin eşi ti aşa ğı da ki ler den hangi si ola bi lir? A) v i B) + vi C) v + i D) + vi E) vi 7. i 5 karmaşık saısının kare kök le rin den bi ri aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) i B) + i C) i D) + i E) + i. = karmaşık saısının kareköklerinden biri i aşağıdakilerden hangisidir? r A) vcis r D) cis B) cis r E) vcis r r C) vcis 8. + i karmaşık saısının eşiti aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) i B) + i C) i D) + i E) i 67

52 9. = cis00 ve = cis0 ise ifadesi nin eşi ti aşa ğı da ki ler den han gi si ola bi lir? A) B) C) i D) i E) v vi dir. Bu na göre,. kar ma şık saısının eri için aşa ğı da ki ler den han gi si doğ ru dur? 0. ve kar ma şık sa- ı la rı na kar şı lık ge len nok ta lar an da ki gi bi- A) Reel eksen üerindedir. B) I. bölgededir. C) III. bölgededir. D) Sanal eksen üerindedir. 0. ( + i) = eşit li ği ni sağ la an kar ma şık saı sı aşağıdakilerden hangisi olabilir? E) IV. bölgededir. A) cis 5r 5 B) cis r 5 C) cis 8 r E) cis 5r D) cis 5r i. = c m karmaşık sa ı sı nın ka re kök le rin den i biri aşağıdakilerden hangisidir? A) + i B) i C) i D) i E) + i. karmaşık saısının 6. de re ce den kök le rin den bi ri cis70 ise aşa ğı da ki ler den han gi si 6. de rece den kök le rin den bi ri de ğil dir? A) cis0 B) cis0 C) cis90 D) cis0 E) cis0 5. Bir karmaşık saının 0. dere ce den kök le rin den bi ri (cos + isin ) ise aşa ğı da ki ler den hangi si 0. dereceden köklerinden biridir? A) cis6 B) i C) cis D) + i E) cis7. Re el kat sa ı lı 5. de re ce den bir denk le min çö üm kü me si {, i, + i,, u} ise + u aşa ğı daki ler den han gi si dir? A) 5 + i B) 5 i C) 5 + i D) 5 + i E) 5 i 6. 7i = 0 denkleminin kök le rin den bi ri aşa ğıda ki ler den han gi si dir? A) + i B) i C) i D) i E) i.c.c.d.a 5.E 6.A 7.D 8.C 9.C 0.C.D.E.E.A 5.D 6.C 68

53 TEST 9. P() = olmak üere P( i) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) + 5i B) + 6i C) + 7i D) + 6i E) + 7i 6. i. = ise kaçtır? A) B) C) D) i E) i. P(, ) = olmak üere P( + i, i) aşa ğı da ki ler den han gi si ne eşit tir? A) i B) i C) 6 6i D) 6 6i E) 65 6i 7. + i > eşit si li ği ni sağ la an kar ma şık saı la rı nın ge omet rik er denk le mi aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) ( + ) + ( ) > B) ( ) + ( ) > C) ( + ) + ( ) > 9 D) ( ) + ( + ) > 9 E) ( ) + ( ) > 9. i c m işleminin sonucu aşağıdakilerden + i hangisine eşittir? 008 A) i B) C) i D) E) 0 8. ve karmaşık saıları = i denk le mi nin kök le ri dir. Karmaşık dülemde ve nok ta la rı ara sın da ki uak lık kaç bi rim dir?. i = + ise Im( ) kaçtır? i A) B) C) D) 0 E) A) B) C) D) 6 E) 8 5. i + = eşitliğini sağlaan karmaşık saısı aşağıdakilerden hangisidir? A) i B) i C) i D) + i E) i 9. = + vi karmaşık saısının karekökleri w 0 ve w ise w 0.w aşa ğı da ki ler den han gi si ne eşittir? A) vi B) + vi C) + vi D) vi E) vi 7

54 0. = sin60 i cos0 ise karmaşık saısının esas argümenti kaç derecedir? A) 5 B) 0 C) 00 D) 5 E) 0. + i eşitsiliğini sağ la an kar ma şık sa ı la rı nın ge omet rik er denk le mi aşa ğı da ki lerden han gi si dir? A) + 0 B) + 0 C) + 0 D) E) 0. i+ ifa de si nin sa de leş miş bi çi mi aşa ğıda ki ler den han gi si + dir? i A) B) i i C) + i + i D) E) + i + i + i i. + + ifadesinin çarpan la rın dan bi ri aşa ğıda ki ler den han gi si dir? A) + i B) + i C) i D) + i E) i. A = {: } ve B = {: Re() } olmak üere A B kü me si nin gra fi ği aşa ğı da ki ler den han gisi dir? A) B) = cis0 ve w = cis80 ol mak üe re ile w kar ma şık sa ı la rı ara sın da ki uak lık kaç bi rim dir? A) v B) C) c5 D) c E) v C) D) 0 0 r 6. arg( + i) = ve arg( + ) = r E) eşitliklerini sağlaan kar ma şık sa ı sı aşa ğı daki ler den han gi si dir? 0 A) + i B) + i C) + i D) + i E) i.e.a.d.a 5.E 6.B 7.D 8.C 9.D 0.D.A.A.C.D 5.E 6.A 7

55 ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI. 989 ÖYS ( + i) 5 + ( i) 5 toplamı kaçtır? (i = ) A) 8 B) 5 C) 0 D) 5 E) ÖYS Karmaşık dülemde A( + 6i), B( i), C( + 5i) noktaları verilior. A nın [BC] nin or ta sı na olan uak lı ğı kaç bi rimdir? A) 5 B) C) D) v E) v. 989 ÖYS = i karmaşık saı sı nın ku tup sal biçi mi, aşa ğı da ki ler den han gi si dir? r r A) 9bcos + i sin l 6 6 r r B) 9ccos + i sin m r r C) ccos + i sin m 7r 7r D) ccos + i sin m 6 6 r r E) bcos + i sin l ÖYS i + i 0 = olduğuna göre, c m sa ı sı aşa ğı daki lerden han gi si dir? i A) i B) i C) D) E) i. 990 ÖYS = + i, = i olduğuna göre, + d n aşağıdakilerden hangisine eşittir? ÖYS Karmaşık dülemde, = i olduğuna göre, kaçtır? A) B) C) D) E) A) 6 8 B) C) i D) i E) i ÖYS i = olduğuna göre, ( + i) ( + i ) ( + i 5 ) ( + i 7 ) çar pı mı, aşa ğı da kiler den han gi si ne eşit tir? A) B) C) + i D) i E) i ÖYS Karmaşık dülemde, (cos + isin) = cos + isin olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi in değerlerinden biridir? A) r B) r C) r D) r E) r 6 7

56 9. 99 ÖYS + i = 0 eşitliğini sağla an kar ma şık sa ı la rı nın ge omet rik e ri nin denk le mi, aşa ğı daki ler den han gi si dir? A) ( ) + ( ) = 6 B) ( ) + ( ) = 6 C) ( + ) + ( ) = 00 D) ( ) + ( ) = 8 E) ( ) + ( ) =. 997 ÖYS = + i ve u = i kar ma şık sa ı lar ol du ğu na u. gö re, değeri aşağıdakilerden han gi si dir? 6+ i A) B) C) + i D) E) i ÖYS i = c ve n poitif tam saı olmak üere, 8n + n i i ifadesinin kısal tıl mış bi çi mi, aşa ğı daki ler den han gi si in dir? A) i B) i + C) i D) E). 998 ÖYS i =, = + i olduğuna göre, 9 aşağıdakilerden hangisidir? A) i B) C) + i D) i E) + i. 995 ÖYS = + i ve = olduğuna göre, nin karmaşık dülemdeki ge omet rik e ri, aşağı da ki ler den han gi si dir? A) Gerçek eksene dik bir doğru B) Sanal eksene dik bir doğru C) birim çaplı bir çember D) Bir elips E) Bir parabol. 996 ÖYS 5 i = ko şu lu nu sağ la an kar ma şık saı sı nın ar gü men ti θ ol du ğu na gö re, tanθ kaç tır? A) B) C) 0 D) E) ÖSS + = i eşitliğini sağ la an kar ma şık sa ı sı aşa ğı da ki ler den hangisidir? 5 A) i B) i C) + i 5 6 D) i E) + i ÖSS Karmaşık saılar kümesi üerinde işlemi, = + + biçiminde tanımlanıor. Buna göre ( i) ( + i) işleminin sonucu nedir? A) + 8i B) 8i C) 8 + i D) 8 i E) i 7

57 ÖSS ve kar ma şık sa ı la rı = i denk le mi nin kök le ri dir. Kar ma şık dü lem de ve nok ta la rı ara sında ki uak lık kaç bi rim dir? A) B) C) D) E) LYS ile nin eşleniği gösterildiğine göre, = + i karmaşık saısı için, ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) + i B) i C) + i D) i E) + i ÖSS cos 75 + i sin 75 = cos 5 + i sin 5 karmaşık saısı aşağıdakilerden hangisidir? + i i A) B) C) i D) E) + i. 00 LYS = + iv karmaşık sa ı sı aşa ğı da ki ler den han gi si ne eşit tir? A) r r bcos + i sin l 6 6 B) r r bcos i sin l 6 6 C) r r bcos + i sin l D) r r bcos + i sin l E) r r bcos i sin l LYS Karmaşık saılar düleminde = + denklemi aşağıdakilerden hangisini belirtir? A) = doğrusu B) = doğrusu C) = doğrusu D) ( ) + = çemberi E) + ( + ) = çemberi. 00 LYS b ve c gerçel saılar olmak üere, P() = + b + c polinomunun bir kökü i karmaşık saısıdır. Buna göre, P( ) kaçtır? A) 5 B) 0 C) 0 D) 5 E) 0. 0 LYS Baş katsaısı olan, i ve i karmaşık saılarını kök kabul eden dördüncü dereceden gerçel katsaılı P() polinomu için P(0) kaçtır? A) B) C) 6 D) 7 E) 8 75

58 . 0 LYS = a + bi (b 0) ve w = c + di kar ma şık saı la rı için + w top la mı ve.w çar pı mı bi rer ger çel sa ı ol du ğu na gö re, I. ve w birbirinin eşleniğidir. II. w gerçeldir. III. + w gerçeldir. ifadelerinden hangileri doğrudur? 7. 0 LYS ( + ).( ) = i denklemini sağlaan karmaşık saılarının sanal kısmı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) D) E) A) Yalnı I B) Yalnı II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III 5. 0 LYS ile nin eşleniği gösterildiğine göre, = r eşitliğini sağlaan ve argümenti ile π arasın da olan sı fır dan fark lı kar ma şık sa ı sı nedir? A) + ^ h i B) + d ni 8. 0 LYS saısına olan uaklığı birim ve i saısına olan uaklığı birim olan = a + ib karmaşık saıları için a b farkı kaçtır? A) B) C) D) E) C) + c mi D) + d ni E) + c mi 6. 0 LYS Karmaşık saılar kümesi üerinde, f() =. 6 fonksionu tanımlanıor. 0 = cos r c r m + isinc m için f(0 ) kaçtır? A) + i B) i C) i D) E) 76