(DERS NOTLARI) Hazırlayan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR. Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü

Transkript

1 FİZ433 FİZİKTE BİLGİSAYAR UYGULAMALARI (DERS NOTLARI Hazırlaan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR Ankara Ünverstes, Fen Fakültes, Fzk Bölümü Ankara, 07!

2 İÇİNDEKİLER. LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI I/II. LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜLMESİ I/II 3. UYGUN EĞRİNİN BULUNMASI VE INTERPOLASYON I/II 4. SAYISAL İNTEGRAL HESAPLARI I/II 5. DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ I/II 6. BENZETİM I/II 7. FİZİKTE SEMBOLIK HESAPLAMA I/II EKLER KAYNAKLAR!

3 KONU 9 DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ I Br vea brkaç türev çeren denklemlere dferensel denklem denr. Fzk ve mühendslk alanlarında çoğunlukla dferensel denklemler karşımıza çıkar. Gerçekte brçok fen asası dferensel denklemlerle fade edlr. Dferensel denklemler, fzksel durumlarda br değşkenn br başka değşkenle lgl değşmn tanımlar. Dferensel denklemler çeren örnek fzk problemler; Kütle-a sstemnde erdeğştrme, drenç-ndüktör-kondansatör (RLC devresnde akım vea gerlm, kmasal reaksonların oranı, uza ve zamanda csmn hareket, elektrk vea magnetk alanlar altında üklü csm hareket, radoaktf maddelern bozunumu, vb. hesapları saılablr. Dferensel denklemler bağımsız değşkenn saısına göre, türevlern çeşdne ve mertebesne göre sınıflandırılır. Blnmeen br fonksonun sadece tek bağımsız değşkene bağlı olan dferensel denkleme ad dferensel denklem denr. Ad dferensel denkleme örnek olarak; d = 3 Burada bağımsız değşken ve bağımlı değşkendr. Br başka örnek se m kütlesnn hareketn F kuvvet etks altında vmelenme anlatan ad dferensel denklem; dv = dt F m Burada v csmn hızını ve vme se hızın zamanla değşmn temsl etmektedr. Bu denklemde bağımlı değşken hız (v ve bağımsız değşken zamandır (t. Benzer şeklde br paraşütçünün hızını zamanın fonksonu olarak fade eden dferensel denklem! 3

4 dv dt = g s v m şeklndedr. Burada g erçekm vmes, m paraşütçünün kütles, s se sürüklenme katsaısıdır. Bu dferensel denklemn analtk çözümü v(t=gm(-e -st/m /s le verlr, saısal çözümü se v =v (g-sv /mδt le verlr. Km dferensel denklem se brden fazla bağımsız değşken çeren dferensel denklemdr. Örnek olarak; f f = C Bu denklemde bağımlı değşken f, bağımsız değşkenler ve dr, ve C de br sabttr. (5.3 denklem f / ve f / termlern çerdğnden knc mertebeden kısm türevl dferensel denklemdr. Dferensel denklemler arıca türevlern mertebesne göre sınıflandırılablr. Brnc mertebeden dferensel denklem sadece değşkenn brnc türevler çerr. Bundan dolaı (5. denklem brnc mertebeden dferensel denklemdr. İknc mertebeden dferensel denklem se değşkenn knc mertebeden türevlern çerr. Örnek olarak kütle a sstemn hareketn fade eden dferensel denklem; d m s k = F dt dt Burada, m kütlesnn t zamanındak er değştrmes, s sönüm katsaısı, k a sabt ve F ugulanan kuvvet fonksonudur. (5.4 denklem d / dt termn çerdğnden knc mertebeden dferensel denklemdr. n nc mertebeden türev çeren denkleme n nc mertebeden dferensel denklem denr.! 4

5 Lneer olmaan dferensel denklemlere br fzksel örnek, bou l ve kütles m olan br sarkaçın hareketn tanımlaan denklemdr, d θ dt g snθ l = 0 burada θ sarkacın açısal erdeğştrmesn gösterr. Bu dferensel denklemn saısal çözümü bulunablr. Ancak, analtk çözümlern elde etmek çn küçük salınımlar aklaşıklığı kullanılmalıdır. Bu durumda snθ θ azılır ve dferensel denklem lneer hale gelr bölece açısal erdeğştrme çn çözümler AsnωtBcosωt olarak bulunablr. Burada açısal frekans ω =g/ l olarak tanımlanmıştır ve perot genlkten bağımsız olur. Yüksek mertebeden dferensel denklemler genellkle en değşkenler tanımlanarak brnc mertebeden dferensel denklemlere ndrgeneblr. Bölece n nc mertebeden dferensel denklem n tane değşken tanımlanarak n nc mertebeden dferensel denkleme karşılık gelen denklem sstemne ndrgeneblr. Genel olarak böle br sstem d = f(,,,,n d = f (,,,, n!! dn = f (,,,, n n Yazılablr. Burada n başlangıç değernde n başlangıç koşulunun blnmes gerekr. Örnek olarak knc mertebeden dferensel denklem ele alalım. d = k Burada k blnmeen br sabttr. tekrar azalım. z = d / şeklnde en br değşken tanımlaıp denklem! 5

6 dz = k d = z Yüksek mertebeden dferensel denklem, brnc mertebeden dferensel denklem sersne ndrgenebldğnden, burada brnc mertebe dferensel denklemlern çözümü üzernde duracağız. Analtk çözümü apılablen dferensel denklemlern saısı sınırlıdır. Saısal çözümler oldukça koladır ve kapsamlı matematk gerektrmez. Bu öntemler bağımlı değşken ( n tahmn edlmesnde, bağımsız değşken n farklı değerler çn çözümü elde eder. Fen ve mühendslk problemlernde bulunan ad dferensel denklemler üç farklı çeştte sınıflandırılablr: başlangıç değer problemler, sınır değer problemler, özdeğer problemler. Başlangıç değer problemler: Başlangıç değer problem k kısımdan oluşur; ʹ( = f (, dferensel denklem ( ( le ʹ( arasındak lşk verr ve ( = 0 0 başlangıç koşulu. Başlangıç değer problemne örnek olarak kütle-a sstem hareketn tanımlaan dferensel denklem; d m s k = F( t dt dt (8 Burada, m kütlesnn t zamanındak er değştrmes, s sönüm katsaısı, k a sabt ve F(t zamana bağlı ugulanan kuvvet fonksonudur. Verlen başlangıç koşulları;! 6

7 t = 0 da = 0 ve dt = 0 olarak azılablr. Sınır değer problemler: Sınır değer problemnde verlen koşullar k vea daha fazla farklı noktada ugulanır. Örnek olarak L uzunluğundak krşn eğlmesn veren dferensel denklem; d El = M ( (9 Bu denklemde E krşn esneklk modulü, l krşn elemszlk moment, M ( bükülme moment, krşn sol başlangıcındak ata mesafe ve se noktasına göre dke erdeğştrmedr. Verlen sınır koşulları: = 0 da = 0 ve = L de = 0 olsun. Bu denklemde E ve l brer sabtler olmak üzere eğlme fonksonu le arasındak lşk arıoruz. Şekl 5. İk ucundan desteklenmş br krşn ugulanan kuvvet altında eğlmes Özdeğer problemler: Dferensel denklemlern sınır koşulları verlmş olsa ble sstemdek bazı parametrelern ancak belrl değerler çn çözümler bulunablr. Örneğn kuantum mekanğnde,! 7

8 V( potansel altında E enerjs le hareket eden m kütlel br parçacık çn Schrödnger denklemnn d ψ (! V ( ψ ( = Eψ ( m belrl E enerj değerler çn, à± ken sıfıra gden ψ( çözümler bulunablr. Bu koşulları şağlaan E n değerler de dferensel denklemn özdeğerler olur. 5.. Brnc Merteben Ad Dferensel Denklemler Br dferensel denklemn saısal çözümü, bağımsız değşken değerlern ve bu değerlere karşı gelen bağınlı değşken değerlern çeren br çzelgeden medana gelr. Brnc mertebeden ad dferensel denklemn genel formu; d ʹ = = f (, = ve başlangıç koşulu 0 = çn 0 olarak verlr. Bu denklem her zaman kolaca analtk olarak ntegre edlemez. Bu bölümde denklem saısal çözen brkaç öntem gösterlecektr. Fen ve mühendslk alanlarında ad dferensel denklemlern saısal çözümler öneml olduğundan bu konu fazla lg görmektedr ve brçok öntem gelştrlmştr. Genelde bu öntemler k gruba arılır. Tek adımlı öntemler: = f ( eğrs üzernde br noktanın bulunmasında br öncek adımda tek br noktaa at blg kullanır. Bu gruba at öntemler Euler öntem ve Runge-Kutta öntemlern çerr. Bu öntemler doğrudan öntemlerdr ve terason çermezler.! 8

9 Çok adımlı öntemler: = f ( eğrs üzernde br sonrak noktanın bulunmasında, br öncek adımda brden fazla noktanın blgsn kullanır. Bu durumda eternce aklaşık değere ulaşmak çn terason gerekldr. Bu öntemler anı zamanda tahmn-düzeltme öntemler olarak da blnr. Mlne öntem ve Adams-Moulton öntem bu gruba at öntemlerdr. 5. Euler Yöntem Bu öntem brnc mertebeden ad dferensel denklemlere ugulanablr. Aşağıda verlen brnc mertebeden dferensel denklem ele alalım: d ʹ = = f (, Burada ( = 0 0 şeklnde başlangıç koşulu vardır. Yaklaşık olarak ( çözümünü bulmaa ( çalışalım. Bu aklaşıklık çn, (,..., ( n e karşılık gelen brbrnden farklı,,..., n = değerler olacaktır. Eğer 0 başlangıç noktasına karşı gelen ( fonksonunun çözüm değer blnorsa, o noktadak eğm de blnor demektr. Eğr takp etmek çn blnen br başlangıç noktasından başlaıp eğrnn gradent doğrultusunda lerlemek mümkün olmaktadır. Türevn tanımından; d = ( Δ ( Δ azılablr. Bu denklem düzenlenerek aşağıdak formda azılablr; d ( Δ = ( Δ! 9

10 ! = Burada d / = f ( çn, f ( dr ve, (,, noktasının tahmn eğmn temsl etmektedr. Bölece, ( Δ = ( f (, Δ Δ elde edlr. Δ adım aralığıdır ve = le fade edleblr. Euler öntemnde,,..., n noktaları eşt aralıklı olmak zorunda değldr. Eğer aralıklar eştse erne h azılarak aşağıdak Euler algortması elde edlr. fades = hf (, ( Euler öntemnde 0, 0 başlangıç değer kullanılarak tahmn ( değer elde edlr., noktasındak çözümün tam değer ve de hesaplanan değerdr. Tahmn değer, (, noktası kullanılarak belrlenr, Şekl 5.. Bu şlem elde edlncee kadar tüm aralıklar üzernden devam eder. Her adımda n değer h kadar artarken lgl hesaplanır. n noktasındak eğm Hata Şekl 5. Euler öntemnn grafksel gösterm 0

11 ( Şekl 5. den görüldüğü gb Euler öntem, noktasının eğmn kullanarak h uzaklıktak elde eder. ( ( fonksonu,, noktasının tanjant çzgsle anı düz br çzgle temsl edlmştr. Örnek: ʹ = dferensel denklemn ( 0 = başlangıç koşulu olmak üzere Euler öntemle çözünüz. = 0., = 0. 4 ve = 0. 6, = 0. 8 değerne karşılık gelen ( çözümlern bulunuz. Çözüm: Euler denklemne göre = hf (, azılır. Adım aralığı h = 0. ve d / = f (, = alınır. = 0 ç n ( n a k l a ş ık de ğ e r, = 0 hf ( 0, 0 d r. B u r a d a n f ( 0, 0 = 0 0 = 0 = ve = 0.( =. 4 bulunur. = çn ( nn aklaşık değer, = hf (, dr. f (, = =.4 0. =. ve =.4 0.(. =.84 bulunur. = ( ç n 3 ü n a k l a ş ık de ğ e r, 3 = hf (, d r. f (, = = = ( ve 3 = = bulunur. = 3 ç n ( 4 ü n a k l a ş ık de ğ e r, 4 = 3 hf ( 3, 3 d r. f ( 3, 3 = 3 3 = =.78 ve 4 = (.78 = bulunur. Euler öntem le brnc mertebeden dferensel denklemler çözen örnek program aşağıda verlmştr. Öncek örnekte elde edlen sonuçlarla karşılaştırma apmak çn anı denklem ve anı başlangıç koşulları kullanılmıştır. Arıca programda verlen dferensel denklemn!

12 (=e analtk çözüm fonksonunun, verlen lere karşı gelen değerlern de hesaplanmaktadır. FORTRAN programı program df_euler mplct real8 (a-h,o-z parameter (n=5 dmenson (0:n-,(0:n- 0=0.8d0 n=.d0 0=.d0 wrte(,"( "," (" call euler(0,n,0,n,, do =0,n wrte(,(,(,fonk(( enddo end subroutne euler(0,n,0,n,, mplct real8 (a-h,o-z dmenson (0:n-,(0:n- h=(n-0/n (0=0 (0=0 do =0,n- (=(h (=(f((,(h enddo!

13 return end functon f(, mplct real8 (a-h,o-z f=- return end functon fonk( mplct real8 (a-h,o-z fonk=.d0ep( return end Program çalıştırıldığında değerler ve karşı gelen değerler le analtk çözüm ( değerler aşağıdak Çzelge 5. dek gb elde edlmektedr. Buradak sonuçlardan da görüldüğü gb Euler öntemnde başlangıç ( 0 noktasına akın değerlernde, hata daha az fakat uzaklaştıkça hata büümektedr. Bu nedenle, bu öntemde çözümü stenen bölgenn br ön tahmn gerekldr. Çzelge 5. Euler öntemle elde edlen çözümler ( ! 3

14 5.. Euler öntemndek hatalar Yuvarlama hataları: Tüm saısal ugulamalarda blgsaar sonlu anlamlı saılara sahp olduğundan uvarlamalar doğaldır. Kesme hataları: Kullanılan fadelern keskl hale getrlmesnden kanaklanır. Kesme hataları k kısımdan oluşur. Yerel (local kesme hataları öntemn tek br adımının ugulamasında ( medana gelr. Euler öntemnde, noktasındak eğm tahmn ederken kullanılan aklaşık fade nedenle oluşur. Anı zamanda başlangıç aralığının eğm tüm aralıkların aklaşık eğm çn kullanılır. Öncek adımlardak aklaşıktan dolaı kesme hataları çoğalır. Buna aılan kesme hataları denr. nc değerde, hesaplanan ( den dolaı br hata oluşur. gerçek değerne karşılık,.nc aklaşık evresdr. nn büük değerlernde aklaşık hata önemldr. Şekl 5.3 de Euler öntemnde, brkaç adımdak artan kesme hataları gösterlmektedr. Yerel kesme hataları le aılan kesme hatalarının toplamına genel (global kesme hatası denr. Toplam hata se tüm hataların toplamıdır.! 4

15 noktasındak noktasındak noktasındak eğm Toplam noktasındak eğm Gerçek Şekl 5.3 Euler öntemnde hata aılması Euler öntemnn doğruluğu, h adım aralığını azaltarak gelştrleblr. Bununla brlkte, tatmn edc br sonuca ulaşablmek çn öneml br hesaplama çabası gerekldr. Bundan dolaı Euler öntem nadr kullanılır. Ama bastlğ nedenle daha karmaşık öntemlern gelştrlmesnde ararlı br başlangıç oluşturur. Bu öntem brnc mertebe O(h öntemdr. Arıca den e lerlemek çn sadece ( ( n br öncek adımdak değern kullandığından Euler öntem tek adımlı öntemdr. Matematksel olarak ( fonksonunun = 0 cvarında Talor sers açılımında, ʹʹ( ʹʹʹ 0 3 ( 0 ( = ( ( ʹ 0 0 ( 0 ( 0 ( 0!! 3! denklemnn sağ tarafı, ancak daha üksek dereceden türevler blnrse hesaplanablr. Burada O(h mertebel termler alıp daha üksek mertebeden termler hmal ettğmzde Euler öntemn elde ederz;! 5

16 ( ( ʹ = ( h burada hatasının h = O( h dır. Bu k öntemn karşılaştırılması sonucu Euler öntemnde erel kesme mertebesnde olduğu görülür Gelştrlmş Euler Yöntem Euler öntemnde eğm, aralığın başlangıcındak değerne eşt alınmış ve bütün h aralığı bounca sabt olduğu varsaılmıştır. Bu varsaım Euler öntemnde temel hata kanağıdır. Gerçekte eğrnn eğm aralık bounca sabt değldr ( ( fonksonu e göre lneer değlse ve bağımsız değşken değştkçe sürekl olarak değşr. Euler öntem aralık üzerndek eğm daha br aklaşıkla tahmn ederek ugulanablr. Bu se aralığın sol sınırının eğm le sağ sınırının eğmnn ortalaması alınarak apılablr. Bu öntem anı zamanda Heun öntem olarak da ( blnr. Tahmn değer aşğıdak denklemden bulunur. [ f (, f (, ] = h Bu denklem başlangıçta, sağ sınırdak eğm f ( e bağlı olan, blnmedğnden doğrudan çözülemez. Gelştrlmş Euler öntemnde bu problemden kurtulmak çn temel Euler öntem kullanılarak gb azılır. başlangıç tahmn bulunur. Buna göre düzeltlmş denklem aşağıdak h [ f (, f (, ] = burada = f (, h le verlr.! 6

17 Arıca, gelştrlmş Euler öntem brnc ve knc türev termlern çeren Talor sers açılımından da elde edleblr. Bu denklemde noktasındak knc türev, ve noktalarındak brnc türevler cnsnden azılırsa; elde edlr. Burada türevler ve olarak hesaplarız. Şekl 5.4 Gelştrlmş Euler öntemnn grafksel gösterm ( ( h h ʹ ʹ ʹ = ( ( h h h h ʹ ʹ = ʹ ʹ ʹ =, ( f = ʹ, ( = ʹ f noktasındak eğm noktasındak eğm Ortalama eğm! 7

18 Şekl 5.4 te gelştrlmş Euler öntem gösterlmştr. Gelştrlmş Euler öntem esas olarak tahmn-düzeltme öntemlernn br örneğdr. Tahmn edlen ortaa çıkan değer hesaplanır, ondan sonra düzeltlmş değer elde edlr. Gelştrlmş Euler öntem Talor sersnn O(h l termlern de kullandığından temel Euler öntemnden daha doğrudur. Yerel kesme 3 hatası O( h ve genel (global hata O( h dr. Daha fazla doğruluğa ulaşablmek çn ve f (, nn bulunmasında ekstra hesap apmak gerekr. Bununla brlkte sonucun doğruluğunu öneml derecede artırdığından bu ekstra hesaplama terch edlmektedr. Örnek: d / = f (, = dferensel denklemn ( 0 = başlangıç koşulu olmak üzere =0., 0.4 değerler çn gelştrlmş Euler öntemle çözünüz. Çözüm: Gelştrlmş Euler öntem h [ f (, f (, ] = [ ] le verlr. = 0 h f ( 0, 0 f (, = 0 ç n f (, 0, b u r a d a 0 0 = 0 0 = =, = 0 f ( 0, 0 h = 0.( =.6 ve f (, = = 0..6 =. 4 dr. Buna göre n düzeltlmş değer = (0./ (.0.4 =. 66 olarak bulunur. [ ] = h f (, f (, = çn, burada f (, = = =.46, = f (, h =.66 0.(.46 =.368, f (, = = = ve =.66 (0./ ( =.480 bulunur. Gelştrlmş Euler öntemn ugulaan br altprogram aşağıda verlmştr. FORTRAN altprogramı subroutne gel_euler(0,n,0,n,, mplct real8 (a-h,o-z! 8

19 dmenson (0:n-,(0:n- h=(n-0/n (0=0 (0=0 do =0,n- (=(h (=(f((,(h (=(0.5h(f((,(f((,( enddo return end 5.4. Değştrlmş Euler Yöntem Bu öntemde amaç, aralığın orta noktasındak eğm tahmn ederek, değern belrlemek çn bunu tüm aralık üzernde kullanmaktır. Aralığın orta noktasındak eğm tüm aralık üzernde ortalama eğm olarak alınır. Bu eğm Euler öntemle den e lneer etrapolason apmak çn kullanılır; = hf ( /, / [ ], / Burada /, aralığının orta noktasındak değer ve se bu değere karşılık gelen / değerdr. Bu denklem, orta noktadak değer blnmedğnden doğrudan çözülemez. Bununla brlkte temel Euler öntemn kullanarak bu değern tahmn edeblrz. h / = f (,! 9

20 Burada /, / tahmn değerdr. Değştrlmş Euler öntem O( h mertebesndedr ve erel kesme hatası O( h 3 mertebesndedr. Gelştrlmş Euler öntem ve değştrlmş Euler öntem knc mertebe Runge-Kutta öntemnn özel durumlarıdır. noktasındak eğm noktasındak eğm h/ h/ Eğm Şekl 5.5 Değştrlmş Euler öntemnn grafksel gösterm Değştrlmş Euler öntem Şekl 5.5 de gösterlmştr. Bu öntem le dferensel denklem çözen alt program aşağıda verlmştr. FORTRAN altprogram subroutne deg_euler(0,n,0,n,, mplct real8 (a-h,o-z dmenson (0:n-,(0:n- h=(n-0/n (0=0 (0=0! 0

21 do =0,n- (=(h _or=(h/. _or=(f((,(h/. (=(f(_or,_orh enddo return end Sonuç olarak, Euler öntem üzernde apılan düzeltmelern ana fkr, h aralığı bounca ortalama eğm kullanmaktır. Gelştrlmş Euler öntemnde ortalama eğm h aralığının sol sınırındak eğm le sağ sınırındak eğmn ortalamasıla alınır. Değştrlmş Euler öntemnde ortalama eğm se aralığın orta noktasındak eğmden alınır.!