Koşullu Copula ve Dinamik Koşullu Korelasyon ile Portföy Riskinin Hesaplanması: Türkiye Verileri Üzerine Bir Uygulama

Transkript

1 Bankacılar Dergisi, Sayı 6, 7 Koşullu Copula ve Dinamik Koşullu Korelasyon ile Porföy Riskinin Hesaplanması: Türkiye Verileri Üzerine Bir Uygulama Ailla Çifer * - Dr. Alper Özün ** Bu çalışmada, arihleri arasındaki bir günlük Türk Lirası faiz oranı ile günlük ABD Doları/YTL döviz kurundan oluşan eşi ağırlıklandırılmış bir porföye ai riske maruz değer; dela normal, EWMA, dinamik koşullu korelasyon ve koşullu simerik joe-clayon copula yönemleriyle ahmin edilmişir. Ampirik sonuçlar, koşullu copula yöneminin risk öngörüsünde en başarılı performansı sergilediğini gösermekedir. Lopez (999) esi ile yapılan geriye dönük es sonuçlarına göre en düşük aşım sayısına koşullu copula yönemiyle ulaşılmışır. Diğer yönemlerle hesaplanan riske maruz değer için aşım sayısı Basel Komiesi arafından yayınlanan 996 yılı Piyasa Riski Düzenlemeleri nde belirilen normların üzerinde gerçekleşmeke, bu durum ise bankaların piyasa riski için ilave yasal sermaye ahsisini gerekirmekedir. Copula yönemi ise mevcu porföy için daha başarılı öngörü performansı sayesinde, yasal sermaye gereksinimi hesaplamalarında daha yüksek bir kasayı kullanılmamasına yardımcı olmakadır. Anahar Kelimeler: Dinamik koşullu korelasyon, copula, koşullu simerik joe-clayon copula, porföy riske maruz değeri, çok değişkenli GARCH. Giriş Geleneksel finans eorisinin yapı aşları olan, geirilerin normal dağıldığı, yaırımcıların yaırım kararlarında rasyonel davrandığı ve piyasada bilginin simerik paylaşıldığı varsayımları günümüz karmaşık finansal piyasalarının davranış dinamiklerine uymamakadır. Geirilerin normal dağıldığı varsayımını emel alan öngörü modelleri gelişmiş piyasalarda kısmen başarılı performans sergilerken, zaman içerisinde değişen varyans ile yüksek oynaklık sergileyen gelişmeke olan finans piyasalarında uç gözlemlerin öngörüsünü zorlaşırmakadır. Oysa risk yöneimi açısından önemli olan noka, risk fakörlerindeki uç gözlemlerin kesirilebilmesi sureiyle beklenmeyen poansiyel risk mikarını asgari seviyeye indirerek risk-geiri dengesini bozan ekonomik kaybın engellenmesidir. Finans lieraüründe son zamanlarda önem kazanan başka bir konu ise porföye ai riske maruz değerin, risk fakörleri arasındaki korelasyonu ekili bir şekilde dikkae alarak riske maruz değer öngörüsü yapan finansal modellerin oluşurulmasıdır. Bu amaca hizme edebilecek alernaif iki emel yönem bulunmakadır. Bunlardan ilki porföy bileşenlerinin her birinin normal dağılıma sahip faka bağımsız olduğunu kabul eden ve bileşenler arasındaki korelasyonun zaman içerisinde değişiğini varsayan dinamik koşullu korelasyondur. Bu yönem, geleneksel varyans-kovaryans yönemine göre, korelasyonun zaman içerisinde değişiği varsayımını kullanması nedeniyle gelişen piyasaların dinamikleri ile daha uyumlu bir performans sergilemekedir. Diğer arafan, dinamik koşullu korelasyonun, porföyü oluşuran bileşenlerin geirilerinin normal dağılıma sahip oldukları varsayımını kullanarak öngörüde bulunması nedeniyle geirilerde doğrusal olmayan davranışların sergilendiği kaoik piyasalarda ekili öngörüde bulunamamakadır. Günümüzün karmaşık finansal piyasalarında * MA, Deniz Yaırım-Dexia Group, Mali Raporlama Yönemeni, ailla.cifer@denizyairim.com ** Türkiye İş Bankası A.Ş., Tefiş Kurulu Başkanlığı, Müfeiş, alper.ozun@isbank.com.r Yazarlar, çalışmaya ilişkin görüş ve önerileri için Bankacılar Dergisi sayın hakemine eşekkür ederler.

2 Bankacılar Dergisi porföyü oluşuran varlıkların geirilerinin doğrusal korelasyona sahip olmayabileceği düşüncesinden harekele, copula yönemi uygulanarak porföy riske maruz değeri hesaplanmakadır. Özellikle zaman içerisinde değişen koşullu copula yönemi, porföyü oluşuran finansal varlıkların marjinal dağılımını baz alan koşullu koşullu korelasyon ile öngörüde bulunmaya imkan anımakadır. Copula yönemi, porföydeki finansal varlıklar arasındaki zamana göre değişen korelasyonu, dinamik koşullu korelasyon yönemine göre daha üs seviyede dikkae almaka ve varlıkların geirileri arasında rassal korelasyon değerleri aayarak porföy dinamiklerine en uygun korelasyon yapısına ulaşmaka ve bu doğruluda riske maruz değer öngörüsünde bulunmakadır. Sabi varyans yöneminde porföyü oluşuran iki değişken arasındaki varyansın sabi olduğu; dinamik koşullu korelasyon yöneminde değişkenler arasındaki varyansın ARCH ekisi ve zamanla değişen korelasyonu içerdiği; koşullu copula yöneminde ise korelasyonun yine zamanla değişiği faka dinamik koşullu korelasyon yöneminin aksine, değişkenlerin geirilerinin normal dağılıma sahip olduğu varsayımı yerine, geirilerdeki marjinal dağılımı baz alan korelasyonlar aanarak porföy dinamiklerine uygun geiri dağılımına erişilmekedir. Çalışma, arihleri arasındaki günlük veriler kullanılarak hazırlanan varsayımsal bir porföye uygulanan ampirik esleri içermekedir. İki finansal varlığa ai zaman serilerinden oluşan yapay porföy, eşi ve sabi ağırlıka (/) günlük YTL faiz oranı ve ABD doları/ytl döviz kurundan oluşurulmuşur. Bu bakış açısıyla değerlendiridiğinde, yapılan analizlerde, faiz oranı ve döviz kurundan oluşan bir porföyün riske maruz değeri, bahsi geçen iki finansal varlık arasındaki zaman içerisinde değişen korelasyonlarını da dikkae alarak porföy riske maruz değeri öngörülmekedir. Çalışma, yukarıda akarılan meodolojik karşılaşırmalar doğrulusunda, Türkiye finans piyasalarına ai veriler kullanarak sabi varyans, dinamik koşullu korelasyon ve koşullu copula yönemlerinin porföy riske maruz değerinin öngörü performanslarını karşılaşırmakadır. Bu makale, copula yönemi kullanılarak Türkiye finansal verileriyle oluşurulan porföy için riske maruz değer öngörüsünde bulunan, yazarların bilgisi dahilindeki ilk çalışma olma özelliğini aşımakadır. Çalışmanın ikinci bölümünde, güncel lieraür aramasına yer verilecekir. Üçüncü bölümde ise çalışmada kullanılan veri ve meodolojiler karşılaşırmalı olarak akarılacakır. Dördüncü bölümde, ampirik bulgular arışılacakır. Dördüncü bölümde, uygulanan yönemler ve geriye dönük es sonuçları karşılaşırmalı olarak akarılacak ve geleceke yapılacak çalışmalara ilişkin görüşlerin yer aldığı beşinci bölümle çalışma sonlandırılacakır.. Lieraür Taraması GARCH ve ürevi yönemlerin zaman serisinin zamana göre değişen varyansını modelleme konusundaki başarısı sonrasında bu modellerin çok değişkenli olarak uygulanmasına yönelik ampirik çalışmalar yapılmışır. Çok değişkenli GARCH modellerinin öngörü performansı farklı finansal veriler üzerinde yaygın olarak es edilmişir. Kroner ve Claessens (99), çok değişkenli GARCH modelini farklı döviz kurlarından oluşan opimum porföyün espii için kullanmışır. Karolyi (995), uluslar arası hisse senedi piyasalarının ekileşimini ölçmek amacıyla çok değişkenli GARCH modellerini seçmişir. Söz konusu modeller, fuures piyasalarda emia fiyalarının zamana göre değişen varyansının espii amacıyla Baillie ve Myers (99) arafından ercih edilmişir. Gourieroux (997), Bera ve Higgins (993) ve Bollerslev v.d. (99) arafından yapılan ilk çalışmalar da söz konusu modellerin uygulama alanlarına yönelik deaylı bilgiler içermekedir. 3

3 Ailla Çifer Dr. Alper Özün Diğer arafan, dinamik koşullu korelasyon yöneminin oldukça güncel ampirik çalışmalarda başarıyla kullanılmaya devam edildiği görülmekedir. Dinamik koşullu korelasyon yöneminin büyük kovaryans marisleri üzerindeki performans analizi ilk olarak Engle ve Sheppard () arafından yapılmışır. Hafner v.d. (5), Dow Jones endeksine bağlı 3 hisse senedinden oluşurdukları porföy üzerinde yapıkları çalışmada, modelin hisse seneleri arasındaki asimerik korelasyonu ekili olarak ölçüğü ve minimum varyansa sahip opimum porföy oluşurma konusunda en az paramerik yönemler kadar başarılı olduğunu gösermişir. Paleier (6) dinamik koşullu korelasyon yönemini Engle ve Sheppard () ile aynı daa seine rejim değişken yapıda uygulamış ve modelin özellikle ani ve yüksek oynaklığı espi eme yönünde başarılı performans sergilediğini gösermişir. Cuaresma ve Wojcik (6), ABD doları ve Euro cinsinden faiz oranlarının, Avrupa Birliği nin yeni üyeleri olan Çek Cumhuriyei, Polonya ve Macarisan ın para poliikaları üzerine olan ekisini es emek amacıyla, her iki değişkenin orak korelasyonunu dikkae alan dinamik koşullu korelasyon yönemini kullanmışır. Bauisa (6) döviz kurları ile faiz oranları arasındaki zamana göre değişen korelasyonu dikkae alan modelin performansını alı Asya ülkesinin verileriyle es emişir. Wang ve Thi (7) Tayvan ve ABD hisse senedi piyasaları arasındaki zamana göre değişen korelasyonu asimerik oynaklığı da kavrayacak şekilde espi emek amacıyla dinamik koşullu korelasyon modelini kullanmışır. Dinamik koşullu korelasyon, ayrıca Lanza v.d. (6) arafından vadeli ve fuures perol piyasalarında fiyaların zamana göre değişen oynaklığının modellemesine yönelik olarak kullanılmışır. Lee (6) dinamik koşullu GARCH modelini, enflasyon ve üreim arasındaki ilişkinin İkinci Dünya Savaşı öncesi ve sonrası yönünü espii amacıyla kullanmışır. Koşullu korelasyonun modellemesi amacıyla alernaif bir yönem olarak Copula son yıllarda finans alanında kullanılmaya başlanmışır. Esasen bir çok finansal değişkenin bireysel dağılımının normal olmayan özellikler göserdiği oldukça erken bir dönemde Mills (97) arafından ampirik olarak oraya konmuşur. Son zamanlarda gelişirilen modeller, Miller (97) in bu espiini kullanarak birden fazla değişken arasındaki korelasyonun normal dağılım sergileyip sergilemediği şeklindeki ampirik çalışmalar ekseninde genişleilmişir. Değişkenler arasındaki zaman içerisinde değişen korelasyonun herhangi bir dağılım varsayımı yapılmadan espine yönelik çalışmaların emeli ise ilk olarak Sklar (959) arafından lieraüre kazandırılmışır. Sklar (959) değişkenler arasındaki bağımlılığın gösergesini copula erimi ile ifade emişir. Copula yönemi, değişkenlerin dağılımının orak bir marjinal dağılım ile modellemesi için oldukça güçlü bir araç olarak lieraürde yer almakadır. Bu gücün alında yaan en emel özellik, copula fonksiyonunun değişkenler arasındaki orak dağılımla ilgili olarak normallik varsayımında bulunmaması ve n boyulu orak dağılım için n sayıda marjinal dağılımı espi edebilmesidir. Bu sayede bir copula fonksiyonu, marjinal dağılımları çoklu dağılımla birleşirerek ve değişkenler arasındaki bağımlılığı hesaplayarak zaman içerisinde değişen orak korelasyonlu oynaklığın espiine imkan anımakadır. Dowd (4), yukarıda sayılan özellikleri nedeniyle copula yöneminin porföy dağılımının modellemesi için kullanılabileceğini belirmişir. Gelişmiş bir yönem olan copula, yukarıda yer verilen meodolojik özelliklerinin üsünlüğü nedeniyle son dönemlerde finansal ekonomeri alanında yapılan ampirik çalışmalarda kullanılmaya başlanmışır. Copula yönemini Frey ve McNeil (3), Hamerle ve Raosch (5), Goorbergh v.d. (5) opsiyon fiyalamasında, Junker v.d. (6) faiz oranlarının vade yapısının analizinde, Giesecke (4) ve Meneguzzo ve Vecchiao (4) kredi riskinin analizinde, Demoulin v.d. (6) bankaların operasyonel riskinin hesaplanmasında, Accioly ve Chiyoshi (4) kalkınma ekonomisi dinamiklerinin espiinde, Kaishev ve Haberman (6) ise haya sigorası poliçe primlerinin modellemesinde kullanmışır. 4

4 Bankacılar Dergisi Copula yöneminin riske maruz değer öngörüsünde kullanıldığı uluslararası çalışmaların geçmişi son beş yıl öncesine gimekedir. İlk çalışmalar, koşullu olmayan dolayısıyla zaman değişkenliği içermeyen oynaklık modellemelerinden oluşmakadır. Bu çalışmalara, Cherubini v.d. (4), Rockinger ve Jondeau (), Forin ve Kuzmics () Embrechs, McNeil ve Sraumann (), Embrechs v.d. (3), Lee ve Long(5), Palaro ve Hoa(6), Özün ve Çifer(7a), Özün ve Çifer(7b) arafından yapılan ampirik araşırmalar örnek verilebilir. Palaro ve Hoa(6), Özün ve Çifer(7a), Özün ve Çifer(7b) koşullu copula ile hesaplanan riske maruz diğerin paramerik modellerden daha iyi öngörü sağladığını espi emişir. Koşulsuz copula yöneminin, ilk ve ikinci şarlı momeninin zaman içerisindeki değişkenliğini kavrayan model Paon () arafından yazılan dokora ezinde gelişirilmişir. Paon () un meodolojik açılım geiren çalışması sonrasında porföy riske maruz değerinin öngörüsü amacıyla koşullu copula kullanılmaya başlanmışır. Jondeau ve Rockinger (6) uluslar arası hisse senedi endekslerinden oluşurduğu porföy için riske maruz değerin öngörüsünde GARCH emelli copula yönemini kullanmışlardır. Junker v.d. (6) ABD doları cinsinden faiz oranlarının 98- dönemi arasındaki aylık geiri eğrisi riske maruz değerinin öngörüsünün espiinde uygulamışlardır. Chen ve Fan (6), copula yönemini Markov zinciri emelli GARCH modelini baz alarak oluşurduğu yarı paramerik bir model oluşurmak amacıyla kullanmışır. Lieraürde copula yönemi, beklenen kuyruk kaybı ile birlike, riske maruz değer öngörüsünde kalın kuyruk ahmini için uygulanmaya başlanmışır. Finansal piyasalarda ani ve yüksek oynaklık neicesinde oraya çıkan kalın kuyruk dağılımının espiine yönelik uç değer eorisi ile birleşirilmiş bir şekilde uygulama alanı bulan copula yönemi, porföy riskinin ölçümü ve öngörüsünde yeni bir açılım oluşurmuşur. Embrechs v.d. (5) copula yönemi ile en köü koşullar için riske maruz değer senaryoları oluşurmuşur. Juri ve Wührichs () uç değer eorisi ile, Mendes ve Souza (4) ise sres senaryoları ile riske maruz değer espiinde copula yönemini kullanmışlardır. Paon (, 6a, 6b) ve Sheppard (6) arafından yazılan koşullu copula ve dinamik koşullu korelasyon malab kodları kullanılarak arafımızca koşullu copula çok değişkenli GARCH hesaplamasına olanak sağlayacak şekilde malab kodu yazılmışır. Koşullu copula çok değişkenli GARCH (quanile copula mulivariae GARCH), Bauwens v.d. (6) nin önerisine parelel şekilde iki aşamalı maksimum olabilirlik yönemi kullanılarak dinamik koşullu korelasyon çok değişkenli GARCH yönemi baz alınarak hesaplanmışır. 3. Veri ve Meodoloji 3.a. Veri Çalışmada, 6//-5//7 arasındaki günlük 8 faiz oranı ve USD/YTL döviz kuru verisi kullanılmışır. Göserge nieliği aşıması, işlem hacminin yoğunluğu ve daha sağlıklı fiya oluşumuna imkân anıması nedeniyle referans bonolara ilişkin bir günlük faiz oranı ercih edilmişir. Bu açıdan bakıldığında, çalışmada kullanılan faiz oranı Türk Lirası için bir günlük geiri eğrisini oluşuran faiz oranlarına karşılık gelmekedir. USD/YTL kur verisi TC Merkez Bankası web siesinden, referans bono faiz oranı Reuers en alınmışır. Seriler logarimik fark olarak oluşurulmuş olup, Grafik de göserilmişir. Logarimik fark faiz oranı ve USD/YTL döviz kuru serpilme diyagramı Grafik de göserilmişir. Faiz oranı ve USD/YTL döviz kuru arasındaki korelasyon poziif olmakla birlike.5 den küçükür. 5

5 Ailla Çifer Dr. Alper Özün Doğrusal korelasyon.4684 olmakla birlike paramerik olmayan korelasyon (spearsman sıralama korelasyonu) -.79 dur. Grafik 3 e görüldüğü üzere faiz oranının yoğunluk fonksiyonu ve dağılım grafiği normal dağılımdan uzaklığı doğrulamakadır. Bu sonuçlar, doğrusal orak dağılım (linear join disibuion) yerine marjinal dağılımı baz alan copula modellerinin korelasyonu daha doğru hesaplayabileceğine işare emekedir.,,5,,5 -, , -,5 Faiz -, Kur(USD/YTL) Grafik. Faiz Oranı ve USD/YTL Döviz Kuru Logarimik Fark Serileri,6,5,4,3,, -, -,5 -, -,5 -,,5,,5, -, -,3 y =,537x +, R =,94 -,4 Grafik. Faiz Oranı ve USD/YTL Döviz Kuru Serpilme Diyagramı ( Logarimik Fark) Logarimik fark serilerin emel isaisik özellikleri ve birim kök esi sonuçları Tablo de göserilmişir. Birim kök Augmened Dickey-Fuller esine göre belirlenmişir. ADF birim kök esi sonucuna göre faiz oranı ve USD/YTL döviz kuru değişimi logarimik fark serilerinin düzeyde durağan (I ()) oldukları espi edilmişir. USD/YTL döviz kuru serisinin basıklık ve çarpıklık değerleri normal dağılıma yakın olmakla birlike faiz oranı serisinin basıklık ve çarpıklık değerleri normal dağılımdan uzakır. 6

6 Bankacılar Dergisi Tablo. Temel İsaisik Özellikleri ve Birim Kök Tesi Faiz Oranı USD/YTL Kur Oralama -,673 9,8974e-6 Sandar Sapma,489,848 Basıklık Çarpıklık Minimum Maksimum Asimoik Tes 39.5 [.]** [.]** Normallik Tesi [.]** 64.6 [.]** ADF Tesi -4.75** -34.3** Spearsman Rho -,79 Doğrusal Korelasyon,4684 % 99 güven arağılında anlamlı. 3 Densiy faiz.4 Disribuion faiz Densiy dolar Disribuion dolar Grafik 3. Faiz Oranı ve USD/YTL Döviz Kuru Yoğunluk ve Dağılım Grafikleri 3.b. Meodoloji Bu bölümde koşullu dinamik korelasyon ve koşullu copula meodolojisi akarılacakır. Çalışmada dela normal ve EWMA yönemleri performans karşılaşırması amacıyla kullanıldığı ve oldukça yaygın olarak kullanılan meodolojiler oldukları için açıklanmamışır. x ve y finansal varlıkları arasındaki koşullu korelasyon No lu denklemdeki şekilde hesaplanmakadır. E ( x y ) ρ x, y, () E ( x ) E ( y ) 7

7 Ailla Çifer Dr. Alper Özün x ve y finansal varlıklarını No lu denklemdeki şekilde anımladığımızda koşullu korelasyon 3 No lu denklemle ifade edilebilir. y hy, ε y,, x hy, ε y, () ρ E ( ε x, ε y, ) = E ( ε x, ε y, ) (3) E ( ε ) E ( ε ) x, y, x, y, Dinamik koşullu korelasyon (DCC) ise Engle () arafından oluşurulan zaman değişkenliği içeren bir yönemdir. Bu yönemde öncelikle porföydeki üm finansal varlıklar için ek ek oynaklık ahmin edilir. Daha sonra sandarlaşırılmış haa erimleri oluşurulur. Bunun için, geiriyi şarlı sandar sapmaya bölmek yeerli olacakır. Daha sonra ise sandarlaşırılmış haa erimleri arasındaki korelasyon az sayıdaki paramere örnekleri kullanılarak ahmin edilir. Engle ve Sheppard () dinamik koşullu korelasyonu, DCC (p,q), 4 No lu denklemdeki şekilde ifade emişir. Q p p ' ( ε jε j R ) + β j ( Q j R ) = R + α (4) j= j j= Bir çok veri sei için DCC (,) modeli yeerli olmakadır. Bu haliyle, koşullu dinamik korelasyon yönemi için log olabilirlik fonksiyonu 5 No lu denklemle ifade edilir (Engle, ). L = = ' ( log( ) + log H + r H r ) π (5) ' ' ' ( log(π ) + log D + r D r r D r + log R + ε R ε ) H = D R D Formüllerde, R zamana göre değişen korelasyon marisini, D ise ek değişkenli GARCH modellerinde i inci diyagonal için kxk diyagonal marisin zamana göre değişen sandar sapmasını ifade emekedir. Copula yönemi ise marjinal dağılım ve korelasyonun, porföyün orak çoklu dağılımının espi için yeerli olmadığı düşüncesiyle oluşurulmuşur. Korelasyon, porföy değişkenleri arasındaki bağımlılığı özellikle kuyruk dağılımlarında oraya koyamamakadır. Laincede biraraya geirme, bağlama anlamına gelen copula, isaisike, rassal değişkenleri anlamlı bir şekilde bir araya aşıma aracı olarak kullanılmakadır. Lieraürde farklı copula yönemleri mevcuur. Bu modellerden; normal copula, Joe-Clayon copula, Frank copula, Gumbel copula, Suden- copula, simerik Joe-Clayon copula (SJC copula), koşullu normal copula, koşullu Gumbel copula ve koşulu simerik Joe-Clayon copula AIC Bilgi Krieri sonuçlarına göre karşılaşırılmış ve akaike sonuçlarına göre koşullu simerik Joe- Clayon copula yöneminin faiz oranı ve döviz kuru porföyü için en uygun model olduğu 8

8 Bankacılar Dergisi espi edilmişir. Bu nedenle, porföyün riske maruz değerinin öngörüsü için koşullu simerik Joe-Clayon copula yönemi ercih edilmişir. Koşullu copula yönemi, Sklar (959) ın bağımlılık eoremi üzerinden gelişirilmişir. =,...T için, 6 No lu eşiliğin zamana kadar geçmişeki veriyi emsil eiğini varsayalım. Bu varsayımla, Sklar (959) eoremi 7 No lu denklemle ifade edilebilir. { X X,..., X, X,...} ξ (6) = σ, n n F( X, X,..., X n / ξ = C ( F ( X / ξ ), F ( X / ξ ),..., Fn ( X n / ξ ) (7) Eşilike, C her için copula fonksiyonu özelliği aşımalıdır. Paon (, 6a), marjinal dağılımı modellerken, koşullu oralamanın ooregresif sürecine, koşullu varyansın ise GARCH (,) sürecine göre oluşuğunu varsaymakadır. Simerik Joe-Clayon (SJC) 8 No lu denklemle ifade edilebilir (Paon, 6a). Denklemdeτ U L ve τ kuyruk bağımlılığını ifade emekedir. C SJC U L U L U L ( u, v / τ, τ =.5( C ( u, v / τ, τ ) + ( C ( u, v / τ, τ ) + u + v (8) SJC SJC U τ = τ L eşiliği modeli simerik hale geirmekedir. 8 No lu denklem koşulsuz simerik joe-clayon copula açılımıdır. Diğer arafan, koşullu dağılımı modelleme, başka bir ifadeyle, geçmişeki veriye şarlı hale geirme, finansa ahmin amacıyla yaygın olarak kullanılmakadır. Paon (, 6a, 6b) copula eorisini koşullu olacak şekilde zaman içinde değişen şarlı bağımlılığın modellemesinde kullanmışır. Koşullu simerik joe-clayon copula al ve üs bağımlılığı 9 ve No lu denklem olacak şekilde modellenebilir (Paon,6a). U U τ = Λ ωu + βuτ + αu. u i v i (9) j= L L τ = Λ ω L + β Lτ + α L. u i v i () j= x Λ ( x) ( + e ), üm değişimlerde sabilemek için lojisik ransformasyondur. U τ veτ L paramerelerini (,) olacak şekilde Koşullu copula çok değişkenli GARCH, Bauwens v.d. (6) nin önerisine parelel şekilde iki aşamalı maksimum olabilirlik yönemi kullanılarak dinamik koşullu korelasyon çok değişkenli GARCH yönemi baz alınarak hesaplanmışır. Ayrıca, porföy riskinin öngörüsüne yönelik Schmid (6) ve Miller ve Liu (6) arafından yapılan çalışmalar deaylı bir şekilde copula meodolojisine ilişkin açıklayıcı bilgiler içermekedir. Çalışmamızda faiz oranları ve döviz kurlarından oluşan iki fakörlü bir porföy kullandığımızı dikkae alırsak, üç farklı model al-hesaplama yapmamız gerekecekir. Faiz oranları ve döviz kurları için ayrı ayrı marjinal dağılım; porföy için ise koşullu copula fonksiyonu oluşurulmalıdır. Copula modelleri AIC Bilgi Krieri sonuçları, ampirik bulgular bölümünde yer almakadır. 9

9 Ailla Çifer Dr. Alper Özün X h ε Marjinal dağılım, normal GARCH (,) yönemi ile No lu denklemle hesaplanır. = ε () x x = ω x + β xh + α xε / h x ~ N(.)( x) X finansal varlık fiyaının logarimik farkını emsil emekedir. Marjinal dağılımları ahmin eiken sonra iki finansal varlığın orak dağılımı elde edilecekir. Koşullu simerik joe-clayon copula korelasyon parameresi, ρ, No lu denklemle ifade edilir. p ρ = Λ( ωρ + β ρ ρ + α ρ/ ρ ϕ ( u ) ϕ ( v )) () j j= Λ(x), ρ yi (-,) aralığında uan hiperbolik anjan fonksiyonudur. No lu eşilike yer alan 3 No lu denklemdeki açılım ise bağımlılıkaki değişimin yakalanabilmesini sağlayan bağımlılık parameresidir. p / ρ ϕ ( u ) ϕ ( v )) (3) j= j j 3.c. Geriye Dönük Tes Çalışma uygulaması yapılan üm yönemlerin performans karşılaşırması için Lopez (999) geriye dönük esi kullanılmışır. Lopez (999) riske maruz değer ahmini için geriye dönük es sürecini üç aşamada oluşurmuşur(campbell, 7). İlk aşamada, kayıp ve kazanç verisi için uygun dağılım ile isaisik modeli oluşurulur. Daha sonra, ilk aşamada elde edilen modelden, arihsel kayıp ile kazanç kullanılarak ilgili RMD ve RMD (α) oluşurularak oralama kayıp değerine ( Lˆ i ) ulaşılır. Üçüncü aşamada ise yukarıda akarılan süreç defalarca, i=. örneğin. defa, ekrar edilir ve oralama kayıp dağılımı ahminine ( [ L ˆ i ] ) ulaşılır. i= Simüle edilmiş oralama kayıpların dağılımı, sandar es hipoezi çerçevesinde, riske maruz değer öngörüsünün uygunluğuna yönelik karar için zemin oluşurur. Lopez (999), gözlemlenen riske maruz değer ile öngörü arasındaki farkı, başka bir ifadeyle aşımı ölçen fonksiyonu, L i (x,,+, RMD ( α ) ), 4 No lu denklemle ifade emekedir. X,+ günlük kayıp/kazanç farkını emsil ederken RMD ( α ) seçilen güven aralığında riske maruz değere göre risk seviyesini emsil emekedir. ( + ( x, RMD ( α ) ) )... eger x, + > RMD ( α ) (... eger... x, + RMD ( α ) + (4) Lopez kuyruk kaybı oplamı, T es/gözlem sayısı olmak üzere, 5 No lu denklemle ifade edilir. T Lˆ = L( RMD( α ), x, + ) (5) T

10 Bankacılar Dergisi İfade edilen bu meodoloji çerçevesinde gerçekleşirilen öngörü ve performans karşılaşırmalarına bir sonraki bölümde yer verilmişir. 4. Ampirik Bulgular Bu bölümde, çalışmada kullanılan modeller aracılığıyla, kur ve faiz oranı risklerini içeren porföyümüz için riske maruz değer öngörüsünde bulunulacakır. Modellerin performansları ise geriye dönük es aracılığıyla karşılaşırmalı olarak okuyuculara sunulacakır. Grafik 4 e faiz oranı ve USD/YTL Garch (,) koşullu varyans değişimleri bulunmakadır. Grafiken görüldüğü üzere serilerin uç varyans değişimleri yakınsamakadır. Bu durum, porföy riske maruz değerinin sabi korelasyon yerine dinamik koşullu korelasyon veya koşullu copula ile modellemesi durumunda öngörü performansının aracağını gösermekedir.,,9,8,7,6,5,4,3,, Faiz Koşullu Varyans Kur Koşullu Varyans,9,8,7,6,5,4,3,, Grafik 4. Faiz Oranı ve USD/YTL Kur Koşullu Varyans Değişimleri Copula modellerinin karşılaşırmasında ve uygun copula modelinin belirlenmesinde akaikle bilgi krierinden faydalınabilir (Paon, ). Akaike bilgi krierine göre en düşük değere sahip model en uygun model olmakadır. Tablo de, seçilen 6 copula ve 3 koşullu copula akaike değerleri bulunmakadır. Copula modelleri içersinde Suden-, koşullu copula ve üm modeller içersinde Koşullu Simerik Joe-Clayon Copula en uygun modeldir. Tablo 3 e Simerik Joe-Clayon Copula ve Koşullu Simerik Joe-Clayon Copula modelleri es sonuçları bulunmakadır. Sandar normal marjinal dağılım ile Simerik Joe-Clayon Copula U L τ ve τ paramere değerleri sırasıyla,45 ve, (Paon, ); faiz oranı ve kur porföyü U L Simerik Joe-Clayon Copula τ ve τ paramere değerleri sırasıyla,35884 ve,3767 dir. Bu durum faiz oranı ve döviz kuru porföy riske maruz değerinin, Simerik Joe-Clayon Copula yerine Koşullu Simerik Joe-Clayon Copula ile modeli ile hesaplandığında daha iyi sonuç verebileceğini gösermekedir. Koşullu Simerik Joe-Clayon Copula nın copula olabilirliği de Simerik Joe-Clayon Copula dan daha yüksekir (Tablo 3). Dinamik koşullu korelasyon çok değişkenli GARCH paramere değerleri Tablo 4 e bulunmakadır. Diğer copula modellerinin paramere esleri hesaplanmakla birlike, bu modeller koşullu copula riske maruz değer hesaplanmasında kullanılmadığı için çalışmada belirilmemişir. Diğer modellerin riske maruz değer öngörülerine ilişkin öngörü performanslarına ilişkin es sonuçları, isenildiğinde yazarların adresinden emin edilebilir.

11 Ailla Çifer Dr. Alper Özün Tablo. Copula Modelleri AIC Bilgi Krieri Karşılaşırması Model Akaike Değeri Normal Copula -398, Clayon Copula -34,6 Frank Copula -Inf Gumbel Copula -4,47 Suden- Copula -475,55 Simerik Joe-Clayon Copula -43,8 Koşullu Normal Copula -47,4 Koşullu Gumbel Copula -484, Koşullu Simerik Joe-Clayon Copula -536,7 Tablo 3. Copula Modeli Tes Sonuçları Simerik Joe-Clayon Copula Paramere Paramere Değeri U τ,35884 [,65] L τ,3767 [,87] Copula Olabilirliği 5,54 Koşullu Simerik Joe-Clayon Copula U ω,66 [,98] U α -,335 [,485] U β,969 [,3] L ω -,887 [,368] L α -,4 [,5] L β 3,9839 [,74] Copula Olabilirliği 68,4 [ ] Sandar haa Tablo 4. Dinamik Koşullu Korelasyon Tes Sonuçları Paramere Paramere Değeri ω 8,49e-6 α,45 β,75477 ω 3,53e-6 α,896 β,73468 α DCC *,3768 β DCC *,944 Log Olabilirliği 85,5 * Paramere başlangıç değerleri: α :,5 ; β :,9 Faiz ve Kur Porföyü için Simerik Joe-Clayon Copula serilme diyagramının şekli Grafik 5 e yer almakadır. Grafik 5 ile Grafik deki faiz oranı ve döviz kuru serpilme diyagramındaki marjinal dağılımının uç değerlerde yakınsadığı görülmekedir.

12 Bankacılar Dergisi Grafik 5. Faiz ve Döviz Kuru Porföyü için SJC Copula Serpilme Diyagramı 6 No lu Grafik e faiz oranı ve döviz kuru porföyü için koşullu simerik joe-clayon (SJC) copula ve dinamik koşullu korelasyon ile zaman içersinde değişen korelasyon, 7 No lu grafike koşullu SJC copula ve dinamik koşullu korelasyon (dcc) serpilme diyagramı göserilmişir. Serpilme diyagramından görüldüğü üzere iki modelin hesapladığı korelasyon, düşük korelasyon düzeyinde yoğun olmak üzere, farklılık görermekedir SJC Copula Korelasyon DCC Şuba Ocak 3 Ocak 4 Ocak 5 Ocak 6 Ocak 7 Grafik 6. Koşullu SJC Copula ve Dinamik Koşullu Korelasyon(DCC) ile Koşullu Korelasyon Değişimleri 3

13 Ailla Çifer Dr. Alper Özün,8,6,4, -,,,,3,4,5,6,7,8 -,4 Grafik 7. Koşullu SJC Copula ve Dinamik Koşullu Korelasyon(DCC) Serpilme Diyagramı 8 No lu Grafik e porföy geirisi ve modellere göre riske maruz değer (RMD) değişimleri, 9 No lu Grafik e son 5 iş günü modellere göre riske maruz değer değişimleri yer almakadır. Dela normal RMD, kuyruk kayıplarını dikkae almamaka, EWMA porföy RMD ise kuyruk kayıplarını kısmen dikkae almakadır. Koşullu simerik joe-clayon copula çok değişkenli GARCH ve dinamik koşullu korelasyon çok değişkenli GARCH ise kuyruk kayıplarını dikkae almakadır.,% 5,%,% ,% -,% -5,% Dela Normal RMD EWMA Porföy RMD DCC Koşullu SJC Copula Porfoy Geirisi Grafik 8. Porföy Geirisi ve Modellere Göre Riske Maruz Değer Kuyruk kayıplarının modellemesinde ekin bir geriye dönük es yönemi olan Lopez kuyruk kaybı esi sonuçları Tablo 5 e verilmekedir. Lopez kuyruk kaybı esine göre koşullu SJC kopula modeli, es edilen modeller arasında en iyi performansı gösermekedir. Diğer bir ifade ile koşullu copula SJC çok değişkenli GARCH ile hesaplanan RMD, kuyruk kaybını da dikkae alan en uygun modeldir. Modeller arasında koşullu SJC copula çok 4

14 Bankacılar Dergisi değişkenli GARCH modeli en düşük aşım sayısına sahipir. Tes edilen periyodun yaklaşık 5 yıl olduğu dikkae alındığında (8 iş günü), koşullu SJC copula çok değişkenli GARCH modeli aşım sayısı yıllık oralaması 8 aşımdır. Dela normal, EWMA porföy, dinamik koşullu korelasyon ve koşullu SJC copula arafından hesaplanan günlük oralama RMD ise sırası ile yüzde.68, yüzde.6, yüzde.74 ve yüzde.99 dur. Diğer yönemlerle hesaplanan riske maruz değer için aşım sayısı Basel Komiesi 996 yılı Piyasa Riski Düzenlemeleri nde belirilen normlarının üzerinde oluşmakadır (Basel Komiesi, 996).,8,6,4, , 5. Sonuç -,4 -,6 -,8 Dela-Normal RMD EWMA Porföy RMD DCC Koşullu SJC Copula Porföy P_L Grafik 9. Porföy Geirisi ve Modellere Göre Riske Maruz Değer(Son 5 Gün) Tablo 5. Lopez Geriye Dönük Tesi Modeller Tes Değeri* Aşım Sayısı Dela-Normal RMD, EWMA Porföy RMD, Koşullu SJC Copula RMD,44 4 DCC RMD,67 59 * %99 güven aralığındaki es değeri. Gelişmeke olan finansal piyasalarda finansal zaman serilerinin ahmini, piyasa dinamiklerine özgü ileri modelleme ekniklerinin kullanılmasını gerekli kılmakadır. Birden fazla zaman serisinin orak, başka bir ifadeyle porföyün, davranış ahminini yapma iseği ise bu güçlüğü iyice arırmakadır. Bu çalışmada, arihleri arasındaki bir günlük Türk Lirası faiz oranı ile ABD doları/ytl döviz kurundan oluşan eşi ağırlıklandırılmış bir porföye ai riske maruz değer; dela normal, EWMA, dinamik koşullu korelasyon ve koşullu simerik joeclayon copula yönemleriyle ahmin edilmişir. Özellikle dela normal ve EWMA yönemleri Türkiye de finansal kurumlarda riske maruz değer ölçümü için kullanılmakadır. Buna karşın, daha ileri eknikler olan dinamik koşullu korelasyon ve koşullu copula bildiğimiz kadarıyla uygulamada kullanım alanı bulmamakadır. Bu ampirik çalışma oldukça önemli bir sonucun alının çizilmesine yardımcı olmuşur. Ampirik sonuçlar, koşullu simerik joe-clayon copula yöneminin risk öngörüsünde en başarılı performansı sergilediğini gösermekedir. Riske 5

15 Ailla Çifer Dr. Alper Özün maruz değer ahmin performansı aşım sayısı ile ölçülmekedir. Tahmin edilen aralıkların dışına aşan kayıp veya kazanç aşım olarak değerlendirilmekedir. Yüksek ve ani oynaklığın gözlemlendiği Türk finans piyasalarında minimum aşıma neden olan riske maruz değer yöneminin bulunması önem aşımakadır. Çalışmada, Lopez esi ile yapılan geriye dönük es sonuçlarına göre en düşük aşım sayısına koşullu copula yönemiyle ulaşılmışır. Diğer yönemlerle hesaplanan riske maruz değer için aşım sayısı Basel Komiesi arafından belirlenen normlarının üzerinde gerçekleşmeke, bu durum ise bankaların piyasa riski için ilave yasal sermaye ahsisini gerekirmekedir. Koşullu copula yönemi ise daha başarılı öngörü performansı sayesinde, finansal kuruluşların yasal sermaye gereksinimleri için ilave kaynak ayırmasına gerek bırakmayacak şarın sağlanmasına yardımcı olmakadır. Türkiye de, ileri içsel riske maruz değer öngörüsü henüz gelişmeke olan bir çalışma alanıdır. Basel II normlarının uygulanmaya başlamasıyla birlike içsel derecelendirme sisemlerinin ön plana çıkacak olması, piyasa riski öngörüsünde koşullu copula benzeri porföy riskini doğru hesaplayan alernaif kaoik modellerin kullanımına desek sağlayacakır. Kaynakça ACCIOLY, C., ve CHIYOSHI, F.S. (4) Modeling dependence wih copulas: A useful ool for field developmen decision process, Journal of Peroleum Science and Engineering, 44(-), ss BAILLIE, R.T. ve MYERS, R.J. (99) Bivariae GARCH Esimaion of he Opimal Commodiy Fuures Hedge, Journal of Applied Economerics, 6, ss BAUTISTA, C.C., (6) The exchange rae-ineres differenial relaionship in six Eas Asian counries, Economics Leers, 9(), ss BAUWENS, L., LAURENT, S., ve ROMBOUTS, J.V.K. (6) Mulivariae Garch Models, Journal of Applied Economerics,, ss BERA, T. ve HIGGINS, G. (993) ARCH Models: Properies, Esimaion and Tesing, Journal of Economic Surveys, 7(4) ss BIS, (Bank for Inernaional Selemens) (996) Marke Risk Amendmen, BOLLERSLEV, T., CHOU, R.Y. ve KRONER, K.F. (99), ARCH Modeling in Finance: A Review of he Theory and Empirical Evidence, Journal of Economics and Saisics, 69, ss CAMPBELL, S.E. (7) A Review of Backesing Procedures, Journal of Risk, 9(), ss. -7. CHERUBINI, U., LUCIANO, E. ve VECCHIATO, W. (4) Copula Mehods in Finance, John Wiley CUARESMA, J. ve WOJCIK, C. (6) Measuring Moneary Independence: Evidence from a Group of New EU Member Counries, Journal of Comparaive Economics, 34, ss DOWD, K. (4) FOMC Forecass of Macroeconomic Risks, Occasional Papers, Indusrial Economics Division. EMBRECHTS, P., MCNEIL, A. ve STRAUMANN, D. () Correlaion and dependence in risk managemen: properies and pifalls, In Risk Managemen Value a Risk and Beyond (Edied bu M. Dempser), ss. 76-3, Cambridge Universiy Press. EMBRECHTS, P., HOING, A. ve JURI, A. (3) Using copulae o bound he value-a-risk for funcions of dependen risks, Finance and Sochasics 7, ss EMBRECHTS, P. HOING, A. ve PUCHETTI, G. (5) Wors VaR scenarios, Insurance: Mahemaics and Economics, 37(), ss ENGLE, R.F. ve SHEPPARD, K. () Theoreical and Empirical Properies of Dynamic Condiional Correlaion Mulivariae GARCH, Universiy of California a San Diego, Economics Working Paper Series, -5, Deparmen of Economics, UC San Diego. ENGLE, R. () Dynamic condiional correlaion - a simple class of mulivariae GARCH, Journal of Business and Economics Saisics,, ss FORTIN, I. ve KUZMICS, C. () Tail dependence in sock reurn pairs, Inernaional Journal of Inelligen Sysems in Accouning, Finance & Managemen,, ss

16 Bankacılar Dergisi FREY, R. ve MCNEIL, A. (3) Dependen Defauls in Models of Porfolio Credi Risk, Journal of Risk 6(), ss GIESECKE, K ve GOLDBERG, L. (4) Finess ess for muli-frm defaul models, Working Paper, Cornell Universiy. GOORBERGH, R. W. J., GENEST, C. ve WERKER, B. J. M. (5) Bivariae opion pricing using dynamic copula models, Insurance: Mahemaics and Economics, 37, ss. -4. GOURIEROUX, C. (997) ARCH models and financial applicaions, Berlin: Springer. HAFNER, C. M., VAN DIJK, D. ve FRANSES, P.H. (5), "Semi-Parameric Modelling of Correlaion Dynamics", Economeric Insiue Repor No. EI 5-6. HAMERLE, A. ve ROSCH, D. (5) Misspecified Copulas in Credi Risk Models: How Good is Gaussian?, Journal of Risk, 8(). JUNKER, M., SZIMAYER, A. ve WAGNER, N. (6) Nonlinear Term Srucure Dependence: Copula Funcions, Empirics, and Risk Implicaions Journal of Banking and Finance, 3, ss JURI, A ve WUTHRICHTS, M.V. () Copula convergence heorems for ail evens, Insurance: Mahemaics and Economics 3(3), ss KAISHEV, D. ve HABERMAN, S. (6) Modelling he join disribuion of compeing risks survival imes using copula funcions, Insurance: Mahemaics and Economics, (Yayımlanacak). KAROLYI G. A., (995) A mulivariae GARCH model of inernaional ransmissions of sock reurns and volailiy: The case of he Unied Saes and Canada, Journal of Business and Economics Saisics, 3, ss. -5. KRONER, K.F., ve CLAESSENS, S. (99) Opimal Dynamic Hedging Porfolios and he Currency Composiion of Exernal Deb, Journal of Inernaional Money and Finance,, ss LANZA, A., MANERA, M. ve McALEER, M. (6). "Modeling dynamic condiional correlaions in WTI oil forward and fuures reurns," Finance Research Leers, 3(), ss LEE, S. (6) The comovemen beween oupu and prices: Evidence from a dynamic condiional correlaion GARCH model, Economics Leers, 9() ss. -6. LEE, T.-H. ve LONG, X. (5) Copula-based Mulivariae GARCH Model wih Uncorrelaed Dependen Errors, UCR Working Paper 5-6. hp://economics.ucr.edu/papers/ [Erişim: 3..7]. LOPEZ J.A. (999) Mehods for Evaluaing Value-a-Risk Models, Federal Reserve Bank of San Francisco Economic Review,, ss MENDES, B.V.M., ve SOUZA, R.M. (4) Measuring Financial Risks wi Copulas, Inernaional Review of Financial Analysis 3, MENEGUZZO D. ve VECCHIATO W., (4) Copula Sensiiviy in Collaeralized Deb Obligaions and Baske Defaul Swaps, The Journal of Fuure Markes,, ss MILLER, D.J. ve LIU, W-H (6), Improved Esimaion of Porfolio Value-A-Risk Under Copula Models Wih Mixed Marginals, The Journal of Fuures Marke, 6(), ss MILLS F. C., (97) The Behaviour of Prices, Naional Bureau of Economic Research, New York. PALARO H. ve HOTTA, L K. (6) Using Condiional Copulas o Esimae Value a Risk, Journal of Daa Science 4(), ss ÖZÜN, A. ve ÇİFTER, A. (7a) Porfolio Value-a-Risk wih Time-Varying Copula: Evidence from Lain America, In Press(yayınlanacak) Journal of Applied Sciences. (7b) Esimaing Porfolio Risk wih Condiional Joe-Clayon Copula: An Empirical Analysis wih Asian Equiy Markes, In Press(yayınlanacak) Icfai Journal of Financial Economics. PATTON, A. J. () Applicaions of Copula Theory in Financial Economerics, Unpublished Ph.D. disseraion, Universiy of California, San Diego. PATTON, A. (6a) Modelling Asymeric Exchange Rae Dependence, Inernaional Economic Review, 47(), ss PATTON, A. (6b) Esimaion of Mulivariae Models for Time Series of Possibly Differen Lenghs, Journal of Applied Economerics, (), ss ROCKINGER, M. ve JONDEAU, E. (6) The Coplua-GARCH model of condiional dependencies: An inernaional sock marke applicaion, Journal of Inernaional Money and Finance, 5(3), ss SCHMIDT, T. (7) "Coping wih Copulas". Risk Books, J. Rank (Ed.), 7. PDF (working paper). SHEPPARD, K. (6) UCSD Garch Toolbox, hp:// [Erişim :5..7] SKLAR, A. (959) Foncions de répariion à n dimensions e leurs marges, Publicaions de l Insiu Saisique de l.universie de Paris, 8, ss WANG, T. ve THI, S. (7) Tesing for conagion under asymmeric dynamics: Evidence from he sock markes beween US and Taiwan Physica A: Saisical and Theoreical Physics, 376, ss