Deneysel Metotlara Giriş Temel Kavramlar, Analiz Yöntemleri

Gebze Teni Üniversitesi Fizi Bölümü Deneysel Metotlara Giriş Temel Kavramlar, Analiz Yöntemleri Doğan Erbahar 2015, Gebze

Bu itapçı son biraç yıldır Gebze Teni Üniversitesi Fizi Bölümü nde lisans laboratuarları öğrencilerine dönem başında giriş mahiyetinde yaptığım 2 saatli dersin notlarının genişletilip derlenmesi ile oluşmuştur. Anlatımda bilimsel esinli ve teori urulumdan ziyade sunum olaylığı, bağlamsallı, fiirsel bütünlü ve aış ön planda tutulmuştur. Bu bağlamda onuları soyut ve teori olara işlemeten ziyade seçilen örneler üzerinden anlatma tercih edilmiştir. Örneler özelinde aybolması ve atlanması muhtemel detaylar dipnotlar ile vurgulanara itapçığa dâhil edilmeye çalışılmıştır. Bu il sürüm olduğu için başta içeri olma üzere imlâ, dilbilgisi ve anlatım baımından birço esiği olduğu muhaatır ve zaman içerisinde bütün bu yönlerde iyileştirilmesi planlanmatadır. Bu bağlamda her seviyeden ouyucunun görüşlerine önem veriyor ve bu görüşlerini benimle paylaşmalarını arzu ediyorum. Böyle bir çalışmanın üniversitemize özgün olara yapılması geresinimini vurgulayan ve beni bu anlamda teşvi eden bölümümüz laboratuar sorumlularından Ali Kaya ya ve yazım aşamasında görüş alışverişinde bulunduğum mesletaşlarım Yasin Şale, Mehmet Aras, Mustafa Öztür ve Dile Erbahar a teşeür ederim. Doğan Erbahar 03.10.2015 erbahar@gtu.edu.tr İÇİNDEKİLER Fizite deneyin önemi..1 Ölçüm...1 Fizisel Niceliler 1 Standart Birimler..2 Boyut Analizi...3 Belirsizli.....4 Belirsizlilerin atarılması...4 Anlamlı raamlar ve yuvarlama...5 Hatalar..8 Aritmeti ortalama ve standart sapma..9 Grafi çizimi...12 Eğri uydurma (fit bulma).....15 Kaynalar 19 E: En üçü areler yöntemi...20

Fizite deneyin önemi Fizi, tabiat anunlarını en temel seviyeden inceleyen bilim dalıdır. Bu incelemelerden sonuç çıarmada ise yegane arar verici mercii ontrollü deney ve gözlemlerdir. Öyle i bir tabiat olayını veya gözlemi açılamada deney veya gözlemlerle en ufa bir anlaşmazlığı olan bir teorinin geçerliliği almaz ve yeni bir teori arayışına girilir. Dolayısı ile fizi bilimine yön vermede ontrollü deneyler ve gözlemler en ön sırada yer alır. Ölçüm Deneyler ve gözlemler ölçüm adı verilen işlemler vasıtası ile gerçeleştirilir. Ölçülen şeylere fizisel niceliler ismi verilir. Ölçme en basit ifadesi ile bir fizisel niceliği endi türünden ve standart abul edilen bir birim ile arşılaştırma ve o birimden aç tane barındırdığını sayısal olara belirleme demetir. Her ölçüm ölçüm aletinin hassasiyetine bağlı olara belli bir mitar belirsizli içerir ve ölçüm sonucunu rapor ederen bu belirsizlilerin de gösterilmesi ve işlenmesi gereir. Ölçümleri genelde doğrudan ve dolaylı olara iiye ayırma mümündür. Doğrudan ölçme, ölçülen niceliği endi türünden başa bir niceli ile arşılaştırılara gerçeleştirilir. Bir ürenin hacmini dereceli bir silindirde bulunan bir sıvıya batırıp yüselttiği su mitarının hacmini ölçme suretiyle belirleme ürenin hacmini doğrudan ölçmeye bir örnetir. Doğrudan ölçmeye bir diğer örne ise belli bir uzunluğu cetvel ile ölçme olara verilebilir. Şeil 1 Bir ürenin hacmini (a) doğrudan ve (b) dolaylı ölçme Dolaylı ölçme ise genelde ölçülme istenen niceliten başa türde bir niceliğin ölçümüne dayanır ve buradan sonuca hesap yolu ile ulaşılır. Bir öncei paragraftai ürenin hacmi örneği göz önüne alınaca olursa bir umpas yardımı ile çapı ölçme, bunu iiye bölüp yarıçapı bulma ve buradan ürenin hacim formülü olan (4/3) r 3 ü ullanara hacime ulaşma dolaylı ölçmenin tipi bir örneğidir. Şimdi il paragrafta itali yazı tipleri ile tadim ettiğimiz avramları biraz detaylandıralım: Fizisel Niceliler Fizisel niceliler temel ve türetilmiş niceliler olara iiye ayrılır. Uluslararası bilimsel standartlarda abul edilmiş temel niceliler: ütle, mesafe, zaman, sıcalı, madde mitarı, eletri aımı ve ışı şiddetidir. Tabiatta bunlar haricindei diğer bütün niceliler bunlardan türetilebilir. (örne: hız = uzunlu/zaman, alan = uzunlu 2, yoğunlu = ütle/uzunlu 3, uvvet = ütle x uzunlu/zaman 2, vs...) 1

Standart birimler (SI: Système International) Temel fizisel nicelilerin uluslararası standartlarca belirlenmiş birimleri ve boyut sembolleri Tablo 1 de verilmiştir. Tablo 1 Temel fizisel niceliler, birimleri, birim ısaltmaları ve boyut sembolleri Fizisel Niceli SI birimi Kısaltması Boyut sembolü Kütle ilogram g M Zaman saniye s T Uzunlu metre m L Sıcalı Kelvin K Eletri aımı Amper A I Madde mitarı mol mol N Işı şiddeti andela cd J Türetilmiş fizisel niceliler de bir öncei bölümün sonunda örne verilen mantı çerçevesindei türetilme şeli ile birimlendirilirler. (örne: hızın birimi m/s, yoğunluğun birimi g/m 3, alanın birimi m 2, vs...) Bunun haricinde uzun türetimler sonucu elde edilen nicelileri olaylı açısından farlı biçimde isimlendirme de olduça yaygındır. Bu tip özel adlandırılmış nicelilerin en sı ullanılanları Tablo 2 de SI temel birimleri cinsinden ifadeleri ile birlite verilmiştir. Tablo 2 Birimleri özel isimlendirilen türetilmiş fizisel niceliler. Fizisel Niceli Birim Kısaltması Diğer birimler cinsinden SI birimleri cinsinden Açı radyan rad m.m -1 Katı açı steradyan sr m 2.m -2 Freans Hertz Hz s -1 Kuvvet, ağırlı Newton N g.m.s -2 Basınç, stres Pascal Pa N/m2 g.m -1.s -2 Enerji, iş, ısı Joule J N.m g.m 2.s -2 Güç, ışıma aısı Watt W J/s g.m 2.s -3 Yü Coulomb C A.s Potansiyel farı Volt V W/A g.m 2.s -3.A -1 Kapasitans Farad F C/V g -1.m -2.s 4.A 2 Direnç Ohm V/A g.m 2.s -3.A -2 İletenli Siemens S A/V g -1.m -2.s 3.A -2 Manyeti aı Weber Wb V.s g.m 2.s -2.A -1 Manyeti alan Tesla T Wb/m 2 g.s -2.A -1 İndütans Henry H Wb/A g.m 2.s -2.A -2 Radyoativite Becquerel Bq s -1 Işı aısı lümen lm cd.sr Cd Aydınlanma lüx lx lm/m 2 m -2.cd 2

Boyut analizi Boyut analizi temel bilimlerde ve mühendislite sılıla ullanılan ço güçlü bir analiz yöntemdir. En basit tanımı ile yazılan bir eşitliğin sağ ve sol tarafının boyutlarının birbiri ile aynı olması gereliliğini ifade eder. Eğer ii fizisel niceli birbirleri ile muayese edilebilir büyülüleri ifade ediyorlarsa bunlar aynı boyuta sahiptir denir. Örne olara 2 cm ile 3 inç farlı birimlerle ifade edilmiş olsalar bile uzunlu [L] boyutuna sahip nicelilerdir. Öte yandan 3 g ile 4 s birbirleri ile muayese edilemez çünü biri ütle [M] diğeri ise zaman [T] boyutundadır. (bz. Tablo 1) Boyut analizi, verilen veya türetilen bir denlemin tutarlılığını ontrol etme gibi basit bir sağlama işlemi olara ullanılabileceği gibi fizisel bir niceliğin hangi diğer fizisel nicelilere bağlı olduğunu araştırma gibi sofistie amaçlar için de ullanılabilir. Bunu bir örne ile inceleyece olursa serbest bıraılan bir cismin ne adar sürede yere düşeceğinin hangi nicelilere ve nasıl bağlı olduğunu bulmaya çalışalım: Denlemimizin sol tarafına cismin düşme süresini sağ tarafına da bunun nelere bağlı olabileceğini yazalım. Bu olası niceliler genelde aba gözlemlerle belirlenebilir. Olası niceliler olara cismin ütlesi (m), cismin bıraıldığı yüseli (h) ve yerçeimi ivmesini (g) seçerse aşağıdai gibi bir denlem varsayabiliriz. t = C. m α. h β. g γ Burada C denlemde yer alması muhtemel boyutsuz bir matematisel sabittir. Bunun değeri anca bir deney ile tespit edilebilir anca diğer bilinmeyenler olan, ve boyut analizi ile araştırılabilir. Denlemin sol ve sağ taraflarının boyutlarını yerine yazaca olursa aşağıdai eşitliği elde ederiz. [T] = [M] α. [L] β. [L]γ [T] 2γ Sol ve sağ tarafın boyutlarının birbirine eşit olması gereliliği bize üsler haında bağıntılar verir. Herşeyden önce eşitlite ne solda ne de sağda ütle boyutunda başa bir büyülü olmadığından α = 0 olması geretiği hemen görülebilir. Öte yandan eşitliğin sol tarafında uzunlu boyutu olmadığından sağ taraftailerin de birbirini yo etmesi gereir. Buradan da β + γ = 0 gereliliği ortaya çıar. Son olara solda zaman boyutunun üssü 1 olduğundan sağda da 1 olması gereliliği 2γ = 1 denlemini verir i buradan γ = 1/2 ve dolayısı ile bir öncei denlemden β = 1/2 bulunur. Sonuçta cismin düşme zamanı için aşağıdai denlemi elde ederiz. t = C. h g Serbest düşen bir cismin düştüğü yüseli ile düşme zamanı arasındai h = ( 1 2 ). g. t2 bağıntısını liseden hatırlayaca olursa buradai C sabitinin 2 olması geretiğini bilme için deney yapmamıza da gere almaz. Görüldüğü üzere boyut analizi sayesinde fizisel bir bağıntının ana hatlarını hiçbir fizisel ara plan bilgisine gere duymadan sadece aba 3

varsayımlarla dahi çıarma mümündür. Elbette i boyut analizinin başarısı başta seçilece olası değişenlere bağlıdır. Örne problem: Bir gitar telinin titreşim freansını (f) veren formülü telin üzerindei gerilme uvveti (F), telin boyu (L) ve telin boyca yoğunluğu ( ρ boy ) üzerinden boyut analizi yapara bulunuz. (Boyca yoğunlu uzunlu başına düşen ütle anlamına gelmetedir.) Belirsizli Herhangi bir ölçüm aleti ne adar hassas olursa olsun ölçtüğü büyülüğü sonsuz sayıda raam (dolayısı ile sonsuz bir esinli) ile rapor etmesi mümün olamayacağından bütün ölçümler belli bir esinli aralığı içerisinde anlaşılıp değerlendirilme zorundadırlar. Bu aralığa o ölçümün belirsizliği ismi verilir ve ölçülen değerin yanına ± işareti oyulara ifade edilir. Örne olara boyu 123,4 ± 0.3 mm olara rapor edilmiş bir çubuğun boyunun 123,1 mm ve 123,7 mm arasında bir değere sahip olduğu anlaşılır. Elbette i daha hassas bir alet ullanara belirsizliği daha da üçültme mümündür anca belirsizli hiçbir zaman sıfır olamaz. Dolayısı ile belirsizli bilgisini barındırmayan bir ölçüm bilimsel olara değerlendirilemez. Bazı armaşı cihazların ouduları değerlerdei belirsizliler açıça cihazın üzerinde yazaren çoğu cihaz bu bilgiyi rapor ettileri raam sayısı ile belli ederler. Eğer bir cihazda belirsizli açıça verilmiyorsa cihazdan ounan sayının en sağ hanesinin basamağının yarısı adar bir belirsizli olduğunu abul etme yerinde olur. Örne olara eletroni bir tartıda 32,82 gr olara ölçülen bir ağırlı 32,82 ± 0,005 gr olara anlaşılmalıdır. (Son hanenin basamağı yüzde birler olduğu için belirsizli bunun yarısı yani 1/200 = 5/1000 = 0,005 olara yazılmıştır). Bir örne daha verme gereirse milimetri çizgileri olan bir cetvelle ölçülen uzunlu en yaın milimetreye yuvarlanır ve belirsizli 0,5 mm olara yazılır. Belirsizlilerin atarılması: Fizite çoğu zaman ölçülen büyülülerin birbirleri ile işleme soulması geremetedir. Örne olara bir levhanın alanını dolaylı bir ölçümle ölçme isterse enini ve boyunu ayrı ayrı ölçüp çarpma gereecetir. Yine başa bir örne olara uzun bir mesafeyi ölçme geretiğinde (ve metremizin boyu te bir ölçüm için yeterli değilse) biraç ölçüm yapıp toplama gereecetir. Bu durumda her birinin ayrı belirsizliği olan değerler işleme soulduğunda bu belirsizlilerin sonuca nasıl yansıyacağını bilme gereir. Dört işlem için aşağıdai urallar geçerlidir. Toplamada ve çıarmada belirsizliler toplanır. Örne: (23,48 ± 0,18) + (12,11 ± 0,33) = 35,59 ± 0,51 (23,48 ± 0,18) (12,11 ± 0,33) = 11,37 ± 0,51 Çarpmada ve bölmede yüzde belirsizliler toplanır. Bulunan sonuç işlem sonucundai yüzde belirsizliği ifade eder. Bunu aşağıdai örne üzerinde inceleyelim: (23,48 ± 1,80) (12,11 ± 0,33) = 284,34±? Normal çarpım yaptıtan sonra belirsizliği hesaplama için önce sol taraftai yüzde belirsizliler hesaplanır ve toplanır: 4

(23,48 ± %7,66) (12,11 ± %2,72) = 284,34 ± %10,38 Daha sonra istenirse yüzde belirsizli 284,34 ± 29,51 olara değer belirsizliğine çevrilebilir. Aynı sayılar üzerinden bölme örneği verirse yüzdeleri ve toplamını zaten hesapladığımız için aşağıdai şeilde sonucu bulabiliriz. (23,48 ± 1,80) = 1,94 ± %10,38 = 1,94 ± 0,20 (12,11 ± 0,33) Belirsizlilerin atarımında her fonsiyona ve işleme uygulanabilece en genel yöntemlerden biri üç defa hesaplama yöntemidir. Bu yöntemde işleme giren büyülü (veya büyülüler) sırasıyla nominal değerleriyle, en büyü sonucu verece şeilde ve en üçü sonucu verece şeilde hesaplanır ve sonuçtai belirsizli nominal değerin sonucu etrafında bu üç sonucu içerece rapor edilir. Örne: 21,3 ± 0,4 ün sinüsünü almamız gereiyor. Nominal değer: sin(21,3) = 0,363251 En büyü değer: sin(21,7) = 0,369746 En üçü değer: sin(19,9) = 0,340379 olara bulunur. Bu durumda sonuç sin(21,3 ± 0,4) = 0,3633(+0,0064 0,0229) şelinde asimetri olara yazılır. Anlamlı raamlar ve yuvarlama Belirsizlilerin açıça yazılmadığı ölçüm aletlerini hatırlayaca olursa bu durumda gözlemcinin, ouduğu sayının en sağındai raamın basamağının yarısı adar bir belirsizli olduğunu abul etmesi geretiğini söylemişti. Ölçüm söz onusu olduğunda sayı avramı artı bir matematiçi ile bir fiziçi için farlı şeyler ifade etmeye başlar. Bir matematiçi için 1,200 ile 1,2 aynı şeyi ifade ederen bir fiziçi bu sayıları ii farlı ölçüm cihazında ouduğunda birinci sayıda ±0,0005 adar iincide ise ±0,05 adar bir gizli belirsizli olduğunu anlar. Dolayısı ile ölçüm sonuçlarını yazaren geresiz yere basama veya üsurat yazmatan esinlile açınma gerelidir çünü son basama aynı zamanda sizin belirsizliğinizi belirler. Başa bir değişle yazılan her basamağın bir anlamı olup olmadığına diat edilmesi gereir. Bu bağlamda bir ölçümde ounan bir sayıda hangi raamların anlamlı abul edilip edilemeyeceği aşağıdai urallarla belirlenir: Sıfırdan farlı tüm raamlar anlamlıdır. (123,45 5 anlamlı raam) Sıfırdan farlı raamların arasında yer alan sıfırlar anlamlıdır. (10023,00405 10 anlamlı raam) En başta yer alan sıfırlar anlamsızdır. (00123,45 5 anlamlı raam 0,00123 3 anlamlı raam) En sonda yer alan sıfırlar söz onusu olduğunda sayı ondalı sayı ise bu sıfırlar anlamlıdır. Tam sayı ise anlamsızdır. (12,300 5 anlamlı raam, 12300 3 anlamlı raam) Burada muhtemelen yegane afa arıştırıcı olan şey 12300 sayısının 3 anlamlı raama sahip olduğu abûlüdür. Bunun neden böyle olması geretiği birazdan bir örne üzerinde anlatılacatır. Anca önce şu istisnâi durumu açılığa avuşturalım: Bir gözlemci, aletinin eranında tam olara bu sayıyı ouyorsa ve dolayısıyla illa sondai sıfırların da anlamlı 5

olduğunu ifade etme istiyorsa bir arışılığa mahal vermeme için bilimsel notasyona geçip bu sayıyı 1,2300 10 4 şelinde ifade etmesi en doğru olan şeydir. 1 Anlamlı raam avramı ölçüm sonuçlarını ullanara işlem yaparen yuarıda anlatılan ve nispeten çetrefilli olan belirsizlilerin atarımı meselesini büyü ölçüde olaylaştırır. Bunun için aşağıdai urallara diat edilmesi yeterlidir. İi sayı çarpılır ve bölünüren çıan sonuç işleme girenler arasında en az sayıda anlamlı raam içerenin anlamlı raam sayısına sahip olana adar yuvarlanır. Örneler: 8 x 8 = matematisel olara 64 dür. Anca 64 ii anlamlı raam içerdiğinden ve girenlerin her biri bir anlamlı raama sahip olduğundan sonuç bir anlamlı raama yuvarlanmalıdır yani 60 olara yazılmalıdır. İl baışta yadırganabilece bu durumu şöyle açalım: 8 olara ölçülen bir büyülüğün ±0,5 gibi bir gizli belirsizli içerdiğini söylemişti. Dolayısı ile 7,5 ila 8,5 arasında değişebilen bu sayının aresini aldığımızda sonucu 64 olara yazar ise 63,5 ile 64,5 arasında alan sahte bir esinli atfetmiş oluruz. Oysa gerçete olan şey esinliğin 56 (~7,5 2 ) ile 72 (~8,5 2 ) gibi ço daha geniş bir aralıta olduğudur ve sonucu te anlamlı raam olan 60 olara yazma bu belirsizliği ±5 gibi ço daha iyi (en azından doğru mertebede) temsil eder. 8 8,0 = 60 (İinci sayı ii anlamlı raam içermesine rağmen il sayı te anlamlı raama sahip dolayısı ile sonucu yine te anlamlı raam içerece şeilde yuvarlıyoruz.) 8,0 8,0 = 64 (Artı ii sayı da ii anlamlı raam içeriyor dolayısı ile sonuç şimdi 64 olara yazılabilir.) 8,02 8,02 = 64,3 (Girenlerin iisi de 3 anlamlı raama sahip, 64,3204 olan sonuç 3 anlamlı raam içerece adar yuvarlanmış) 8 / 2,0 = 4 8,6 /2,0012 = 4,3 2 0.8 = 2 12,250 x 21,3 = 261 (matematisel olara 260,925 olan sonucu işleme girenler arasında en az sayıda anlamlı raam içerenin anlamlı raam sayısına yani 3 anlamlı raama yuvarladı.) Toplamada ve çıarmada sonuç, işleme girenler içerisinde son anlamlı raamı en yüse basama değerine sahip olanın son anlamlı basamağına adar yuvarlanır. Örneler: 1 + 1,1 = 2 (1 in son anlamlı raamı birler basamağında 1,1 in ise onda birler basamağında. Sonuç birler basamağına yuvarlanır.) 123 + 60 = 180 (123 ün son anlamlı raamı birler, 60 ın son anlamlı raamı onlar basamağıdır. Dolayısı ile sonuç onlar basamağına yuvarlanır.) 1 Bu arışılığı giderme için sayının sonuna fazladan bir virgül oyma veya son anlamlı raamın üzerine bir çizgi çeme gibi gösterimler mevcuttur anca bunların hiçbiri heres tarafından abul görmüş şeilde yeteri adar yaygın bir biçimde ullanılmamatadır. Bilimsel gösterim ile gösterme en güvenli yoldur. 6

123,25 + 46,0 + 86,26 = 255,5 (46,0 ın son anlamlı raamı onda birler basamağında diğerlerinin yüzde birler basamağında dolayısı ile sonuç onda birler basamağına yuvarlanır.) 5,67 3 = 3 (5,67 nin son anlamlı raamı yüzde birler, 3 ün ise birler basamağında. Sonuç birler basamağına yuvarlanır.) Anlamlı raamlar ile işlem yaparen diat edilmesi gereen önemli hususlardan bir tanesi de matematisel sabitlerin anlamlı raam değerlendirmelerinin dışında tutulması gereliliğidir. Çünü matematisel bir sabit belirsizliği olmayan, TAM bir esinli ifade eder. (Dolayısı ile sonsuz sayıda anlamlı raam içerir gibi de düşünülebilir.) Örne olara ineti enerji hesabında 1 2 mv2 denlemi ullanılıyorsa anlamlı raamlar (ve aralarındai işlemler) fizisel niceliler olan m ve v üzerinden tartışılmalıdır. Baştai ½ yi 1 anlamlı raama sahip bir sayı gibi düşünme YANLIŞTIR. Ya değerlendirmeye hiç atmama ya da 0,500000... gibi sonsuz sayıda anlamlı raama sahip olduğunu düşünme gereir (i zaten ii yalaşım da aynı sonucu verir). Bunun çarpıcı bir örneği olara bir saracın peryodunu 12,3 s olara ölçtüğümüzü varsayalım. Freans 1/T formülü ile tanımlandığından bu saracın freansını ifade ederen formüldei 1 sayısı 1 anlamlı raama sahip gibi düşünülmez çünü o matematisel bir sabittir. Dolayısı ile sonuç yine 3 anlamlı raama yuvarlanır ve 0,0813 Hz gibi ifade edilir. Anlamlı raamlarla işlem yaparen bazı özel fonsiyonlar ile arşılaşıldığında ne yapılması geretiği aşağıda anlatılmıştır: Sayının uvveti veya öü alınıren sonuçtai anlamlı raam sayıdai anlamlı raam adar olmalıdır. ln(x) veya log(x) fonsiyonu ullanıldığında sonuç x in anlamlı raam sayısı adar ondalı muhafaza etmelidir. Örne: ln(8,3) = 2,1162555... diye gideren virgülden sonra ii anlamlı raama yuvarlanır: 2,12 10 x durumunda sonuç x in virgülden sonrai ısmındai anlamlı raam sayısı adar anlamlı raam içerir. Örne:10 4,3 = 2 x 10 4 olara te anlamlı raama yuvarlanmalıdır. e x durumunda anlamlı raam sayısı muhafaza edilir. Örne: e 5,32 = 204 sin(x) durumunda sonuçtai anlamlı raam sayısı x in anlamlı raam sayısı ile virgülden sonrai anlamlı raam sayısının toplamıdır. Örne: sin(34,21) = 0,562228 gibi 6 anlamlı raamla yazılabilir. (Sayının endisi 4 virgülden sonra 2 anlamlı raama sahip) cos(x) ve tan(x) durumlarında anlamlı raam sayısı muhafaza edilir. Örne: cos(12,3) = 0,977 Yuvarlama ile ilgili önemli bir not: Sayıları yuvarlaren sıça yapılan hatalardan biri en sağdai raamdan başlayara sola doğru gelmetir. Bu yalaşım işlemi geresiz yere uzatıren bazı durumlarda hataya dahi sebep olabilir. Doğru olan yöntem sayı aç anlamlı raama yuvarlanma isteniyorsa bir fazla sayıda anlamlı raamdan sonrasını baştan tamamen atıp sadece son raamı yuvarlamatır. Örne: 25,874678 sayısını 4 anlamlı raama yuvarlama istiyoruz. En sağdan başlarsam bu işlem bana 25,88 sonucunu verir. Oysa bu sayı 25,87 ye daha yaındır. Doğru olan yöntem 5. anlamlı raamdan sonrasına hiç bamayıp sayıyı baştan 25,874 olara görme dolayısı ile 25,87 ye yuvarlamatır. 7

Hatalar Ölçülen bir fizisel niceliğin ölçülen değeri ile gerçe değeri arasındai fara hata denir. Deneylerde veya gözlemlerde arşılaşılabilece hatalar iiye ayrılır. 1. Sistemati hata Her ölçümde sonucu aynı yönde saptıran hatalara sistemati hatalar denir. Bunlar da endi içinde üç alt sınıfa ayrılabilir. a) Aletsel hatalar b) Yöntemsel hatalar c) Çevresel etenler Aletsel hatalara örne olara ayarsız bir saat, sıfır notası aymış veya iyi alibre edilmemiş bir cihaz örne gösterilebilir. Gözlemci, bir aletin ibresine tam arşıdan bama yerine süreli aynı yanlış doğrultudan baıyorsa yöntemsel bir sistemati hata yapıyor demetir. Ço hassas deneyler sıcalı, nem, rüzgar, sarsıntılar vs. gibi çevresel etilere de diat edilmesini geretirebilir. Örne olara ço sıca bir ortamda bıraılmış ve genleşmiş metal bir cetvel ile alınan ölçümler daima gerçeten üçü sonuçlar bulunmasına yol açacatır. Sistemati hatalar gözden ço olay açabilmelerine rağmen tesirleri aynı yönde olduğundan dolayı diatli bir sorgulama ile tespitleri ve düzeltilmeleri mümün olan hatalardır. 2. Rastlantısal hata Rastlantısal hatalar ölçüm aletlerinin duyarlılığından veya gözlemcinin duyu organlarının sınırından aynalanan, yönü estirilemeyen ve her ölçümde bulunan hatalardır. Tamamen rastlantısal oldularından bu hataların pozitif veya negatif yönlü olma olasılığı eşittir. Bunların sebepleri bilinse bile giderilmeleri mümün değildir. Bu hatalar ile baş etmenin en etili yolu ço sayıda ölçüm alıp aşağıda bahsedilen istatistisel metotları ullanmatır. 2 Şeil 2 Bir ölçümde sistemati ve rastlantısal hatalar sonucu ölçülen değerlerin dağılımı. Kırmızı çizgi ölçülen değerlerin hangi sılıta ölçüldüğünü temsil ediyor. 2 Bu istatistisel metotlar sistemati hatalar ile baş etmede bir işe yaramaz, sadece rastlantısal hataların ontrol altında tutulmasını sağlar. 8

Aritmeti ortalama ve standart sapma Rastlantısal hatalar tanımları gereği ölçüm sonuçlarını gerçe değerin üstüne ve altına doğru eşit olasılılarla saptırırlar. Dolayısıyla gerçe değeri araren ölçülen değerlerin aritmeti ortalamasını alma ala en yatın olan işlemdir. 3 n tane ölçüm sonucunda bulduğumuz raamları x 1, x 2, x 3,, x n ile temsil ederse bu topluluğun aritmeti ortalaması x sembolü ile gösterilir ve aşağıdai formül ile hesaplanır. x = x 1 + x 2 + x 3 + + x n n Bu formül toplam sembolünü ullanara daha ısa ve ullanışlı bir biçimde aşağıdai gibi de yazılabilir. Bundan sonrai ısımlarda bu sembolü ullanacağız. x = n x i Bir örne üzerinden devam edelim. Aynı deneyi farlı metotlarla yapan ii gözlemci rastlantısal hataları azaltma için 10 tane ölçüm almış ve aşağıda gösterilen sayısal verileri elde etmiş olsunlar. Tablo 3 Örne bir ölçüm tablosu. 2 ayrı gözlemci farlı hassasiyetlerle aynı olayı on defa gözlemlemişlerdir. Gözlem sayısı 1. gözlemci 2. gözlemci 1 15,08 14,7 2 15,02 15,2 3 14,91 15,1 4 14,86 14,9 5 15,06 15,0 6 14,77 14,2 7 15,22 15,7 8 14,90 15,3 9 15,12 14,8 10 15,06 15,1 ORTALAMA 15,00 15,0 Bu ii gözlemci farlı metotları ullandılarından muhtemelen cihazlarının hassasiyetinden dolayı birincisi virgülden sonra ii anlamlı raam ifade edebilmişen iincisi ise anca bir anlamlı raam yazabilmiştir. İi veri ümesinin de ortalamasını hesaplarsanız birincisi için 15,00 iincisi için 15,0 buluruz. İi ölçümün ortalaması sayısal olara aynı olmasına rağmen ölçüm belirsizlileri arasında bariz bir far vardır ve rastlantısal hataların incelenmesinde bu farın da bir şeilde ifade edilmesi için bir ölçüye ihtiyacımız vardır. (Bu ölçü aynı zamanda Şeil 2 dei ırmızı çizginin genişliğinin bir ölçüsüdür.) Bu ölçüye standart sapma ismi verilir. n 3 Sistemati hatayı sıfır abul ederse ortalama almanın gerçe değer için en olası yalaştırma olduğu matematisel olara da ispatlanabilir anca bu ispata burada girmiyoruz. İlgilenenler Erhan Gülmez in Basic Data Analysis for Experiments in the Physical Sciences itabına başvurabilir. 9

Standart sapma en basit tanımı ile isminden de hissedilebileceği gibi bir veri ümesindei değerlerin ortalamalarından ortalama olara ne adar saptığının bir göstergesidir. Standart sapma σ sembolü ile gösterilir ve aşağıdai formül ullanılara hesaplanır. 4 σ = n (x i x) 2 n Formülü ullanma için elbette önce ümenin ortalamasının ( x ) hesaplanması geremetedir. Yine örneğimiz üzerinden devam edelim. Birinci gözlemci ortalamasını 15,00 olara hesaplamıştır. Standart sapmasını hesaplaması için sırasıyla ölçtüğü her değeri bu ortalamadan çıartıp arelerini almalı ve bunların toplamını veri sayısına böldüten sonra areöünü hesaplamalıdır. Bu işlem Tablo 4 ve altındai işlemde gösterilmiştir. Tablo 4 Birinci gözlemcinin ölçtüğü değerler, bunların ortalamadan farları ve bu farların areleri. Farların ve arelerinin toplamı son satırda göterilmiştir. x x x (x x) 2 15,08 0,08 0,0064 15,02 0,02 0,0004 14,91-0,09 0,0081 14,86-0,14 0,0196 15,06 0,06 0,0036 14,77-0,23 0,0529 15,22 0,22 0,0484 14,90-0,10 0,01 15,12 0,12 0,0144 15,06 0,06 0,0036 TOPLAM 0,00 0,1674 σ = 0,1674/10 = 0,13 Tablodan da görülebileceği gibi değerlerin ortalamadan farları te başına bir sapma ölçütü olara ullanılamaz çünü bunların toplamı daima sıfırı verir. (Bunun her zaman böyle olması geretiği matematisel olara da olayca ispatlanabilir. 5 ) Dolayısı ile farların arelerinin alınmasının sebebi açığa çımış olur. 6 Ortalamadan farların areleri boyutsal olara ölçülen niceliğin boyutunun aresine sahip olacağından sonucun yine değer ile aynı boyuta gelebilmesi (ve arşılaştırılabilir olması) için elbette en sonda areöünün alınması gerelidir. 4 Burada verdiğimiz tanım anaütle standart sapması olara isimlendirilir. Farlı amaçlar için farlı standart sapma tanımları mevcuttur. Detaylı bilgi için https://en.wiipedia.org/wii/standard_deviation adresine başvurulabilir. 5 n n n (x i x) = x i x olur. Buradai il terim değerlerin toplamıdır yani ortalamanın değer sayısı ile çarpımı olan n. x olara yazılabilir. İinci terimdei ortalama zaten önceden hesaplanmış sabit bir sayı olduğundan toplamın dışına çıar ve içeride n tane 1 in toplamından yine n. x elde edilir. Dolayısıyla iisinin farı sıfırdır. 6 Sıfırdan urtulma için mutla değer fonsiyonu ullanma ala gelebilir anca mutla değer fonsiyonunun türevi are gibi süreli değildir, are almanın bir diğer avantajı da büyü farları iyice büyütere cezalandırmasıdır. 10

Yuarıdai işlemleri iinci gözlemcinin de sonuçlarına uygularsa 7 standart sapmasının 0,38 olara çıtığını görürüz. Dolayısı ile ii gözlemcinin ham verilerine baara sezebildiğimiz esinli farı endini standart sapmalarda nicelisel olara göstermiş olur. Bu örnetei gibi ço sayıda ölçüm alındığı durumlarda sonuç genelde x ± σ biçiminde rapor edilir. Bu durumda birinci gözlemci 15,00 ± 0,13 yazaren iinci gözlemcinin standart sapmasını, verilerinde olduğu gibi virgülden sonra bir anlamlı raama yuvarlayıp 15,0 ± 0,4 gibi yazması gereir. 7 Bu hesabı endiniz yapınız ve sonucu doğrulayınız. 11

Grafi Çizimi Pozitif bilimlerde deneyler bir fizisel niceliğin ontrollü olara değiştirilip bir diğer niceliği nasıl etilediğini gözlemleme ve aydetme yoluyla gerçeleştirilir. Bu ayıtlar aşağıdai örnete gösterileceği gibi genelde bir tablo biçiminde alınır. Anca deneyin sonunda bu tablolardai sayılara baıp aralarındai ilişiyi eşfetmeye çalışma insan beyni için uygun bir işlem değildir. İnsanlar bağıntıları soyut raam sembollerinden ziyade (beş duyularından en önemlisine doğrudan hitap eden) görsel yollarla ço daha verimli bir şeilde avrayabilir. Bu yüzden verilerin bir şeilde görselleştirilmesi tercih edilir. Bu görselleştirme işlemine grafi çizimi ismi verilir. Bir grafi temel olara birbirine di olara seçilmiş ii sayı doğrusu çizilere urulur. Bu sayı doğrularından biri deneyde değiştirilen, diğeri ise ölçülen nicelileri temsil ederler. Veriler bu nicelilerin birbirlerine arşılı gelen sayısal değerlerinden sayı doğrularına çıılan dimelerin esiştirilmeleriyle oluşan notalar ile temsil edilir. Daha sonra bu notaların dağılımını en uygun şeilde temsil edece bir eğri önerilir. Seçilen eğriyi en uygun hale getiren parametrelerin hesaplanır ve son olara eğrinin çizilmesi ile işlem sona erer. Grafiler grafi ağıdı (veya milimetri ağıt) ismi verilen özel ağıtlara çizilir. Örne bir boş grafi ağıdı aşağıda gösterilmiştir. Şeil 3 Grafi âğıdı. Hem yatayda hem dieyde milimetre aralığında ince, santimetre aralığında alın çizgilere ayrılmıştır. Düzgün bir grafi çizme için gereli olan uralları bir örne üzerinde aşama aşama gösterelim. Bir meani deneyinde sabit hızla giden bir cismin onumunun (x) zamana (t) arşı ölçülmüş olduğunu varsayalım. Bu ölçümün sonucu aşağıdai tabloda gösterilmiştir. 12

Tablo 5 Zamana arşı onumun aydedildiği örne bir ölçümün tablosu. t (s) x (m) 0 0,8 1 1,6 2 3,5 3 6,0 4 7,8 5 11,2 6 12,0 Bu verileri bir grafi üzerinde inceleme ve analizini yapma istiyoruz. Grafi çizmenin il aşaması esenleri belirlemetir. 1. Esenleri belirleme Grafi ağıdının sol alt öşesine yaın bir yerde orjin seçilere buradan sağa ve yuarı doğru ii sayı doğrusu çizilir. Bunlardan birisi t diğeri de x olara isimlendirilir. İsim açıca zaman ve onum gibi yazılabileceği gibi aşağıda yaptığımız gibi sembol de ullanılabilir. Her hâlüârda parantez içine bu niceliğin biriminin yazılması gereir. Esenleri isimlendirilmemiş veya birimleri yazılmamış bir grafiğin hiçbir bilimsel değeri yotur. Şeil 4 Orijinin ve esenlerin çizilip belirlenmesi. Esen sembolleri ve birimler esinlile unutulmamalıdır. 13

2. Ölçelendirme Esenleri çizditen, isimlendirditen ve birimlerini yazdıtan sonra yapılması gereen iş bunları uygun şeilde ölçelendirmetir. Bununla astedilen şey herşeyden önce esenin her santimetresine o esende temsil edilen niceliten aç birim arşılı geldiğinin tespitidir. İyi ölçelenmiş bir esen verilen veri ümesinin tamamını içerece şeilde, dışarı taşmasına mahal vermeden ve boyunun büyü ısmını ullanaca şeilde ölçelenir. Bunu yapma için en doğru yol o esende temsil edilen verilerin hangi aralıta değiştiğine baıp bu farı esenin boyu ile ıyaslamatır. Örneğimize geri dönerse t değerlerinin 0 ile 6 arasında olduğunu görüyoruz. Öte yandan grafiğimizde t için belirlediğimiz esen 18 cm den biraz uzun olduğundan esen üzerinde her 3 cm yi 1 sn gibi alma uygundur. Diey esende temsil ettiğimiz x değerleri ise 0 ila 12 aralığında değişmete ve esenin boyu da 13-14 cm civarındadır. Dolayısı ile burada da her cm ye 1 m yerleştirilmiştir. Bu analiz yapıldıtan sonra esenler üzerine çizimde yardımcı olabilece bazı sayısal değerler yazılır. Burada diat edilmesi gereen husus, çizim olaylığı sağlayabilece adar sı anca eseni alabalı gösterece adar sı olmayan bir aralı seçmetir. Aşağıdai grafite her ii esende de 3 cm de bir değerler yazılmıştır. Böyle bir grafi ağıdı için 3 veya 4 cm ideal aralıtır denilebilir. Burada önemli olan çizim olaylığı ve lüzumsuz raam alabalığı arasındai dengeyi gözetmetir. Şeil 5 İi esene de o esende temsil edilen verilere uygun bir ölçe seçilmeli ve çizimi olaylaştırma amacı ile belli aralılarla sayısal değerler yazılmalıdır. 14

3. Notaları yerleştirme Esenleri ölçelendirditen sonra notalar yerleştirilmeye başlanabilir. Bunu yaparen grafi âğıdının çizgilerinden faydalanılır. Dolayısı ile notaların esenler üzerinde nerelere arşılı geldiğini gösteren yardımcı çizgiler çizmeye veya esenler üzerinde notaların değerlerini gösteren sayılar yazmaya gere yotur. Grafiği ouyaca olan işi isterse bu bilgileri ağıdın çizgileri vasıtası ile zaten bulabilir. Bilimsel bir gösterim esisiz anca sade olmalıdır. Notalar için sonradan üzerinden bir eğri geçse bile gözle olayca seçilebilece bir büyülü seçilmelidir. Şeil 6 Grafiğe notalar yardımcı çizgi ullanmadan âğıdın çizgilerinden yararlanara yerleştirilmelidir. Esenler üzerine veri değerleri yazılmamalıdır. 4. Eğri uydurma (fit bulma) Notaları yerleştirme ile grafi çizme işlemi tamamlanmış olmaz. Esas önemli olan bu notaların temsil ettiği bağıntıyı grafi üzerinde süreli bir eğri ile gösterebilmetir. Bu işlemi üç alt başlıta inceleyelim. 15

a) Denlem önerme Fizisel niceliler arasındai bağıntılar fizisel teorilerden türetilirler. Bizim örneğimizin sabit hızlı hareet olduğunu başta söylemişti. Sabit hızlı hareette onum ile zaman arasındai bağıntıyı veren inemati formülü aşağıdai gibidir. x = x 0 + v 0 t Bu ifade t ve x değişenlerine göre bir doğru denlemidir. x0 ile v0 ise bu doğruyu tanımlayan parametrelerdir. 8 Bir deneyde hangi teori sınanma isteniyorsa o teoriden türetilen bağıntının temsil ettiği eğriyi de veri notaları ile beraber grafiğe çizme lazımdır. Böylece teorinin (çizginin) deneye (notalara) ne adar uyduğu görselleştirilmiş olur. Verilerin hangi bağıntı ile temsil edileceğini belirlediten sonrai aşama önerdiğimiz denlemi bu verilere en uygun hale getiren parametrelerini bulmatır. b) Uygun hale getirme (Fit yapma) Seçilen eğrinin (bizim örneğimizde doğru) parametrelerinin belirlenmesi işleminde dünyada en yaygın ullanılan yöntemlerden biri en üçü areler yöntemidir. Bu yöntemde en uygunlu ıstası veri notalarının bağımlı değişenleri ile eğrinin bağımlı değişenleri arasındai farların arelerinin toplamının en üçü olması olara tanımlanmıştır. Bu tanım matematisel olara ifade edildiğinde seçilen eğrinin parametrelerini, veriler (yani notaların oordintaları) cinsinden ifade eden denlemler bulma mümündür. 9 Bu bağlamda eğer bağıntı olara y = mx + n biçiminde bir doğru seçilmişse bu doğrunun m ve n parametreleri veri notaları cinsinden aşağıdai ifadeler ile hesaplanır. 10 m = x iy i x i y i 2 x i ( x i ) 2 n = x i 2 y i x i y i x i 2 x i ( x i ) 2 8 Bunlar matematisel olara sırasıyla doğrunun x esenini estiği nota ve eğimine arşılı geliren fizisel olara cismin il onumuna ve hızına arşılı gelirler. 9 Bu prosedür aşağıdai adreste bulunabilece videoda detaylı olara anlatılmıştır: https://www.youtube.com/watch?t=1&v=t48f7_e5sfm En üçü areler yöntemi 10 Burada verdiğimiz m ve n formülleri sadece doğrusal bağıntılar için işe yarıyor gibi görünse de aıllıca ullanıldığı tadirde ço daha geniş bir bağıntı ailesinin de incelenmesine olana tanır. x ve y değerleri arasında y = A. x α gibi genel bir bağıntı olduğu bir durumda ii tarafın logaritmasını alma bize log(y) = log(a) + α. log (x) denlemini verir i bu da bir doğru denleminden başa bir şey değildir. Dolayısı ile verilerin endileri yerine logaritmaları aynı yöntem ile incelenirse doğrusal fit formülleri bize A ve parametrelerini verir. 16

Bu formülde (xi, yi) çiftleri veri notalarını ise toplam veri notası sayısını ifade etmetedir. Bizim örneğimizde bu formülleri ullanabilme için değişenleri ve parametreleri aşağıdai gibi yeniden isimlendirelim. t x x y v0 m x0 n m ve n formüllerinde ullanılması gereen dört toplamı hesaplayalım x i y i = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 = 0,8 + 1,6 + 3,5 + 6,0 + 7,8 + 11,2 + 12,0 = 42,9 2 x i = 0 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 = 91 x i y i = 0.0,8 + 1.1,6 + 2.3,5 + 3.6,0 + 4.7,8 + 5.11,2 + 6.12,0 = 185,8 Bu toplamları m ve n formülünde yerlerine yazarsa m = 2,02 ve n = 0,01 değerlerini buluruz. Değişenlerin ve parametrelerin il baştai adlarına geri dönece olursa verilerimize en uygun doğrunun x = 0,01 + 2,03t denlemine sahip olduğunu görürüz. c) Eğriyi çizme Son aşama olara parametreleri tespit edilmiş olan eğri artı grafi âğıdına çizilebilir. Bizim örneğimizde olduğu gibi bu eğri bir doğru ise çizim nispeten olaydır 11 : Doğrunun üzerinden geçtiği ii nota belirlenir ve bu notalar grafi âğıdına (veri notaları ile arışmaması için) sili bir biçimde işaretlenditen sonra cetvel ile birleştirilip çizilir. Bu doğrunun denlemi grafi âğıdında belirtilir. 11 Doğru haricindei eğrileri çizme olay olmayabilir, bu durumda göze yardımcı olma için eğrinin ana hatlarını ortaya çıaran geretiği adar sayıda nota tespit edilip bunların alem ile birleştirilmesi yoluna gidilebilir. 17

Şeil 7 Teori eğrisi çizilere tamamlanmış bir grafi. Notalar deneyi, çizgiler ise teoriyi temsil etmetedir. Bu işlemler günümüzde bilgisayarlar aracılığıyla olayca yapılabilmetedir. En yaygın olara ullanılan veri işleme programlarından biri olan Microsoft Office Excel de bu işin nasıl yapılabileceği aşağıdai videoda gösterilmiştir. https://www.youtube.com/watch?v=n8weh6zlrm Excel ullanara eğri uydurma (fit bulma) 18

KAYNAKLAR: Hacettepe Üniversitesi FİÖ 213 Fizi Laboratuarı Deney Föyü Basic Data Analysis for Experiments in the Physical Sciences, Erhan Gülmez, Bogazici University Publications, Temmuz, 1997 https://en.wiipedia.org/wii/significant_figures https://en.wiipedia.org/wii/significance_arithmetic http://www.av8n.com/physics/uncertainty.htm#sec-cran3 http://fabice.com/misc/significant_figures.html https://en.wiipedia.org/wii/standard_deviation https://www.youtube.com/watch?v=bnyqajihtf0 Doğrusal fit bulma https://www.youtube.com/watch?v=t48f7_e5sfm En üçü areler yöntemi https://www.youtube.com/watch?v=n8weh6zlrm Excel ullanara eğri uydurma (fit bulma) 19

EK: En üçü areler yöntemi Bir veri ümesine uydurma için seçilen eğrinin denleminin y = f(x) gibi genel bir ifadeye sahip olduğunu varsayalım. f(x) fonsiyonu içinde a, b, c, d, gibi çeşitli parametreler barındırıyor olsun. En üçü areler yöntemi seçilen bu eğrinin veri ümemize en uygun olması şartını şu şeilde tanımlar: veri notalarının bağımlı değişenleri ile eğrinin bağımlı değişenleri arasındai farların arelerinin toplamı en üçü olmalıdır. Bu bağlamda elimizde tane veri notası olsun ve biz bu notalara y = f(x) eğrisini uydurma istiyoruz. Bağımsız değişenleri x, bağımlı değişenleri y ile gösterirse seçilen bir (xi, yi) veri notası için tanımda bahsedilen far y i f(x i ) şelinde yazılabilir. Bu farları bütün veri notaları için bulup arelerini toplayalım ve bu toplama S ismini verelim. S = (y i f(x i )) 2 xi ve yi ler deneyden bildiğimiz sayılar olduğundan S nin bağlı olduğu niceliler f(x) fonsiyonunun içindei parametrelerdir. Tanımda söylendiği üzere toplamı minimum yapaca parametreleri bulma için S nin her parametreye göre ısmi türevini alıp sıfıra eşitleme gerelidir. S a = 0, S b = 0, S c = 0,....... Sonuçta elde aç parametre varsa yuarıda gösterildiği gibi o adar sayıda denlem üretme mümündür ve bu denlemlerin çözümü bize aranan parametrelerin sayısal değerlerini verir. En üçü areler yönteminin teorisi bundan ibarettir. Burdan itibaren bir örne üzerinden somutlaştırırsa f(x) = mx + n şelinde bir doğru denlemi ifade ettiğini varsayalım. Bu durmda S toplamını aşağıdai gibi yazabiliriz. S = (y i mx i n) 2 Şimdi değerlerini aradığımız m ve n parametrelerine göre ısmi türevleri alırsa aşağıdai ifadeleri buluruz. S m = 2(y i mx i n)x i S n = (y i mx i n) Bu denlemlerin iisi de sıfıra eşit olacağından sadeleştirmeler ile aşağıdai gibi yazılabilirler. 20

(y i mx i n)x i = 0 (y i mx i n) = 0 Parantezleri açıp toplam işaretlerini düzenleme mümündür. içeri dağıttığımızda denlemlerimizi aşağıdai gibi 2 m x i + n x i x i y i = 0 m x i + n 1 y i = 0 Dolayısı ile m ve n bilinmeyenleri için ii denlemden oluşan lineer bir denlem sistemi elde etmiş oldu. Bu denlem sistemi istenilen bir metotla çözüldüğünde (bu çözümü tamamlayınız) m ve n için 16. sayfada verilen aşağıdai denlemler elde edilebilir.. m = x iy i x i y i 2 x i ( x i ) 2 n = x i 2 y i x i y i x i 2 x i ( x i ) 2 Doğru haricindei eğrilerin parametreleri için formüller türetilme istenildiğinde S toplamının yazıldığı adıma gidip f(x) ifadesini burada yerine yazıp ısmi türevler alınara denlemler türetilmeli ve daha sonra bu denlemler cebirsel olara çözülmelidir. 21