Ölçme Hataları ve Normal Dağılım

Ölçme Hataları ve Normal Dağılım Yıl 967. Fzk ders mekak laoratuarıda rc laoratuar. Kousu: Ölçme ve çft kefel terazler hassasyet. Mesaj: ey ölçerse ölç, ölçmek stedğ şey ulamazsı, ölçü alet hassasyet sıırları çde r şeye ulaşırsı. Laoratuar hocasıda ashat: Marfet, hatalı ölçe alet le doğru ölçmek. Hata e demek? Doğru ölçmek e demek? Ölçülmes stee şey ulmak mı? Geometr dersdek hocada aşka r ashat: Geometr, yalış çzm üzerde doğru düşüme saatıdır. Yalış çzm e demek? Tahtaya çzle dk üçge, e üyük açısı doksa derece değl m, kear uzulukları ç Psagor teorem sağlamıyor mu? Hoca, çzemyorsa z e yapalım. Doğru çz, doğru düşüelm. Doğru düşümek e demek? Matematkte doğru düşümek e demek? (Ya statstkte?! Buu şmd soruyorum. Yıl 006.) Okulu açılışıda r ashat da dekada gelmşt: Bu gükü g lerde r gü gelecek ve sz mezu olacaksıız. Çoğuuz öğretme olacak. Matematk öğretme, fzk öğretme, kmya öğretme, yoloj öğretme. Br toracı, r cvatayı şlerke hata yaparsa, o cvatalar yede dökümhaeye gder, ertlr, çuuk hale getrlr ve yede toracıı öüe gelr. Sz öyle r hakkıız yok. Hata yapmada düşümek (öyle yapmıyor muyuz ya), hatasız eğtm (zor r ş) ve hatalı ölçümler (e güzel r hak, hele hatalar rasgele ya gelşgüzel olursa, ölçme aletlere u hakkı km vermşse) le lgl ashatler ve yıl 99 ĐS 5 Đstatstk Laoratuarı. Ölçme şlemde hata olaleceğ, uu ölçme aletler doğasıda uluduğuu, pazarda alıa kg domates kütles e olduğuu hç kmse, ama hç kmse lemeyeceğ öğreclere alatma çaasıdayım. Đamıyorlar. Hocam elk sz lemezsz, ama pazarcı lr. Teraz altıa taş ağlıyormuş, ayrıca kese kâğıdıı da hamurla yapıştırmış, ağır çeks dye, aem dyor. Đşm zor. Alatmak stedğm asıl alatacağım. -Çocuklar, pazarda alıa domates akkal amcaı terazsde tartsak ayı şey gözler myz? - Hayııır. - Eee, gördüüz mü? - Ama hocam, pazarcıı terazs, zate - Peky, akkaldak gözlem aklımızda tutup kuyumcuya gtsek ayı şey gözler myz? - Tamam hocam, tamam. Ne demek steyeceksez dey. - Terazde terazye hassasyet arttıkça, aşka aşka ölçüm değerler gelmektedr. Hattâ, hassas r terazde ayı şey k kez ölçtüğümüzde farklı değerler gözlemektedr. Buu görmek ç kmya laoratuarıa gdyoruz. - Hocam, çok yaşayı. - Sz de görü. Kalkı gdyoruz. Hatırladığım kadarıyla r teeşr parçasıı kütles ölçülmüştü. Sora teeşr parçası kefede alııp yede ölçülmüştü. Farklı gözlem çıktı. See edr dedğde, öğrecler, ellermzde r şeyler, em g, teeşre ulaşmış olalr dedler. Teeşr ellemede, sadece elektrkl teraz düğmes kapatılıp yede açılarak r ölçüm daha yapıldı ve farklı r gözlem çıktı. Öğrecler şaşırmıştı. Br camekâı çde ulua ve efesmzde le etklemeye u alet asıl olur da uu yapar. Ayı şeklde, 0 gözlem aldık (şu gözlem değerler odalık kısmı sekz asamaklı, yaz yaz tmyor, kedlere gelce Avogadro 3 sayısı 6.03 0, gerç ölçme soucu söylee r sayı değl, k gram hdrojedek moleküller saydıklarıı samıyorum, odalık kısmıda alamlı asamak sayısı sadece üç tae, zde sekz, hele so rakamı sıfır, lk gözlemde uu yazmayalım dedk, olmaz dedler, her halde kmyacıları leceğ r şey dedk, 0 gözlem ouda da so rakam sıfır gözlemez m, u sefer de kmyacılar şaşırmıştı, aşımıza öyle r olay lk defa gelyor dedler, gördüüz mü sıfırı tkamıı dye aklımızda geçrelm derke, kmyacı ular,

adamı eydek kmyayı le okurlar, sz statstkçsz ve olasılık da lrsz, öyle olması olasılığı edr dye sormazlar mı, tamam, üşemede sekzc odalığı da hesaplarımıza katacağız, yeter k sz şu olasılık hesaıı uutu, alaştık) ve ked statstk laoratuarımıza dödük. Gözlem değerler tahtaya yazıldı. Verler gözümüzü öüde. Teeşr parçası da. Kütles e?! - Tahtadak sayılarda rs olalr m, çocuklar? - Olalr hocam, olmayalr de. - Hocam gözlemlerde üc taes ayı, teeşr kütles u olalr. - Hayır. Bularda üyük ola altı tae aşka gözlem var. Arkadaşı dedğ olmaz hocam. - Se e dyorsu. - E küçük gözlem değer le e üyük gözlem değer ortasıdır dyorum. - Ne demek styorsu. - Hocam, arkadaş ortacayı dyor. - Hayır, ortaca aşka r şey. Arkadaş e küçük gözlem değer le e üyük gözlem değer ortalaması dyor, hocam. - Zate ou söyledk. Ortalama aşka r şey. - Hocam, ortalamayı alsak olmaz mı? - Tamam alalım. Şmd u çıka sayı teeşr kütles m? - Evet.. Hayır...Olalr de, olmayalr de hocam. - Hocam, e küçük gözlem, şu rr ayı ola gözlemlerde oldukça küçük, ou atalım, ger kalaları ortalamasıı alalım. - Hocaam, e üyük gözlem de sırıtıyor, ou da atıp gerye kala gözlemler ortalamasıı alalım. - Hocaaam, gözlemlere ağırlık verelm ve ağırlıklı ortalama alalım. - Hocaaaam, rc ve üçücü çeyreklğ ortalamasıı alalım. - Hocaaaaam, çeyreklkler ortalamasıı alalım. - Hocaaaaaam, çeyreklkler ağırlıklı ortalamasıı alalım. - Hocaaaaaaam, tepe değer, ortaca ve ortalamaı ortalamasıı alalım. - Hocaaaaaaaam, uları ağırlıklı ortalamasıı alalım, ama e ağırı ortalama olsu. - Çoçuklaaaaaaaaar yeter. Bz kütle ölçüyorduk, ağırlık erde çıktı. Kafam karıştı. Kütle ş, ağırlık ş, u fzkç ş. Ked şmze döelm. Bzm şmz e? - Tahm etmek hocam. - Ney tahm etmek? - Şu teeşr kütles. - Hocam, öreklem ortalaması yasız r tahm edcdr. Derste görmüştük. Ou alalım. Dğerlerde azıları da yasız olalr. - Hem teeşr kütles lmyorsuuz, hem de tahm yasız olacağıı söylüyorsuuz. - Sus. Bu soruyu derste hocaya z de sormuştuk, her zamak g ağzı açıldı ve öğle yemeğde olduk. Derse gelsee. - Araızda e kouşuyorsuuz, ye r tahm edc daha mı öeryorsuuz. Ağırlıklı olması, ayrıca varyasıı lmyorsaız söylemey. - Hocam e, öreklem ortalamasıı varyasıı lyorum. Öreklem ortalamasıı varyası ktle varyası ölü, ya öreklem hacm. - Çocuklar, gee kafamı karıştırdıız. Bz kütle ölçüyorduk. Ktle erde çıktı? Ktle e demek? Nerede? Teeşrler ktles m? - Hayır hocam, sz zm kafamızı karıştırmayı. Bazı araştırmalarda, ktle ve rm kavramları vardı ya, şte o. Bazı araştırmalarda da u kavramı kullamadığımızı söylemştz.

- Çocuklar, acaa doğru mu söylemştm. Burada, ktle terazler ktles olması. - Hayır hocam, urada ktle yok. Sadece şu teeşr var. Teraz de kmya laoratuarıda kaldı. Arkadaşı dedğ sözgelm: ktle varyası ölü öreklem hacm. Taktıız ye. Gerçek düya l lgl prolemmz açık r şeklde taımladıkta sora yola çıkmamız gerektğ söylemştz. Şuradak teeşr kütles tahm etmek styoruz, o kadar. - Tamam çocuklar toparlıyoruz. Her e kadar fzkçler, prestjler sarsılması dye ölçme soucu elde ettklere tahm demeseler de ular rer tahmdr. Đşmz trelm. Teeşr kütles kaç olarak tahm ettz. -.34567890 gram çıktı hocam. Kmyacılar yok, soudak sıfırı atalım mı? - Ama kalsı Hocam, duyarlarsa olasılığı sorarlar. Belk aşka hesaplamalarda çıkmaz. - Bu teeşr kütles.345679890 gram dyelrmyz? - Olduğuu tahm ettk Hocam. Ayrıca, fzkçler artmetk ortalamaı arkasıa artı eks r şeyler de yazıyorlar. - O, çay paketlerde de var. - Çocuklar ou tam olarak e alama geldğ e de lmyorum. Gauss hatası dye r şeyler hesaplattırıyorlardı fzk laoratuarıda. Her gözlem değerde ortalama çıkartılıp, kares alııp - e ölüüyordu ve ou karekökü yazılıyordu artı eks dye. Nç değl de - e öldükler alayamıyordum. - Bz lyoruz hocam. Teraz yaptığı hata r rasgele değşke, u rasgele değşke dağılımıı varyası ç yasız r tahm edc, o söyledğz. Ama karekökü alıdığıda, stadart sapma ç yasız olur mu lemeyz. - Baa sormayı. Aklıma yede hata sözcüğüü getrdz. Çocuklar, rasgelelk olgusu çere r özellğ (ua r rasgele değşke karşılık gelmektedr) celerke, sadece özellğ doğasıdak rasgelelğ ele alacağız. Öreğ, ell r ktledek r yaşıdak çocukları ağırlıklarıı celemeye kalkıştığımızda ölçü alet hatasıı görmezde geleceğz. Sak hatasız ölçüyormuşuz g düşüeceğz. Đlerde, ölçüm hatalarıı da ş çe katarak statstksel souç çıkarım asıl yapılır, lsasüstü derslerde öğrersz. Dkkat ed, leer modellerdek hata term ölçüm hatası le karıştırmayı. Ölçüm Hatalı Modeller ders de alı. Yıl 006. Zama e kadar çauk geçmş. ĐST 50 Đstatstk Teors ders. - Arkadaşlar, u gü ye mal edlmş ola şuradak kuyumcu teraz yaptığı hata yı araştırmaya çalışacağız. - Tamam hocam. Araştırma dedz, adıı söylemedz. - Teraz r ölçmede yaptığı hatayı r rasgele değşke olarak düşüüp, uu dağılımı edr, eklee değer edr, varyası edr? Araştırma koumuz u olsu. Ayrıca, u teraz ç hataı eklee değer sıfır olduğuu dda edyorlar. Haklıysak, ama z haksız çıkarmayı dyorlar. Blyoruz sz statstkçsz, öyle r karar kuralı, ya sz dlzde r test foksyou ulu k, dedğmz doğru olduğuda test soucu dedğmz reddedlmes olasılığı e çok %5 olsu, dyorlar. Buu da araştıralım. - Hocam, tüketc hakları e olacak. Terazy kullaalar ya. - Hocam, düzgü e güçlü test foksyou le ş trrz. - Tamam arkadaşlar. - Hocam, urada esas mesele teraz yaptığı hataı varyasıda. Hatalar sıfıra göre smetrk r dağılıma sahp ve varyas küçükse her k tarafı da şe gelr. Hataı varyası ç r ddaları var mı? - Varyas le lgl r şey söylemedler.

- Hocam. Kuyumcu terazler ç hataı stadart sapmasıı 0.0 gramda küçük, ya varyası 0.000 de küçük olmasıı şart koşuyorlarmış. Buu yokluk hpotez olarak alıp %5 alam düzeyde test edelm. Belk şlere yarar. - Tamam arkadaşlar. - Hocam, hataı dağılımı le lgl varsayımda uluacakmıyız? - Örekleme ve gözlemler asıl yapılacak? - Araştırmadak gözlem alma ş k şeklde yapalım. Brcs, seeler öcede kala şuradak teeşr tartarak, kcs de stadartlar esttüsüde alıa ve 0 gram olduğu söylee şuradak esey tartarak yapalım. - Hocam, o ese üstüde TSE damgası yok. - Olsa e fark edecekt k? Kedler 0 gram olduğuu erede lyor? - Felsefe yok. Đş yapacağız arkadaşlar. Başlayalım. Đlk öce, ölçmelerdek hataı dağılımı meseles ele alalım. Bldğz g Gauss, astroom le lgl ölçme hataları üzerde çok çalışmış ve öeml souçlar elde etmştr. Şmd, C.R.Rao u Lear Statstcal Iferece ad Its Applcatos sml ktıda Hage Taımlaması ı ele alalım. Hatalar ç aşağıdak varsayımlar söz kousu olsu: a) Rasgele değşke ola ell r hata, küçük (steldğ kadar küçük) ve ayı değer ala çok sayıda hata leşeler toplamı olsu. ) Her hata leşe ç değer poztf veya egatf olma olasılığı eşt olsu. c) Hata leşeler ağımsız olsu. Her r hata leşe küçük veε üyüklüğüde olup, + ε le ε değerler olasılıkları le alsı. Her r hata leşe ortalaması 0 ve varyası X, X,..., X ve hata X olmak üzere, ve olur. X = X + X +... + X E ( X ) = E( X ) + E( X ) +... + E( X ) = 0 Var ( X ) = Var( X ) + Var( X ) +... + Var( X ) = ε ε dır. Hata leşeler Var ( X ) = ε = olacak şeklde, ç X dağılımıı ulmak ç karakterstk foksyouu göz öüe alalım. X karakterstk foksyou, ( ) ( tx tx ) ( k t E e E e ) ( e tε e tε ϕ = = ) X = + k = t 4 t = ε + ε 4 +...! 4!

olmak üzere, t + o( )! e t dır. Lmttek karakterstk foksyoa karşılık gele olasılık yoğuluk foksyou, x tx f ( x) = e ϕ X ( t) dt e π = π olup, u, ortalaması 0, varyası ola ormal dağılımı olasılık yoğuluk foksyoudur. Hatayı oluştura leşeler sayısı çok ve (a), (), (c) şıklarıdak özellkler sağlaıyorsa hataı dağılımı ç yaklaşık olarak u ormal dağılımı alalrz. Kısaca, r rasgele değşke ola hataı dağılımı, ortalaması 0 ve varyası ola r ormal dağılımdır, ya da hata 0 ortalamalı ve varyaslı ormal dağılıma sahptr dyeceğz. Elmzdek teraz ç (a), (), (c) şıklarıdak özellkler sağlaıyorsa ölçmelerde yaptığı hataı ormal dağılıma sahp olduğu söyleelr. Hataı doğası hakkıda hçr şey lmyorsa, gerektğde gözlemlerde r souç çıkarılalr. Bell r dağılıma sahp olduğu varsayımıda uluuluyorsa gözlemlerde varsayımı doğruluğu sıaalr (test edlelr). Elmzdek teraz ölçmelerde yaptığı hata ç (a), (), (c) şıklarıdak özellkler sağlaıyor olsu. Br ölçmedek hata ε le gösterls. ) ε N(0, olmak üzere, u dağılımı parametres, ya varyası tahm etmek steyelm. Gözlemlermz k farklı şeklde yapacağımızı söylemştk. Teeşr kez tartarak, Y, Y,..., Y öreklem (ağımsız ve her r N ( µ, ) dağılımıa sahp rasgele değşkeler) göz öüe alalım. Y = µ + ε, =,,..., olmak üzere, urada µ teeşr kütlesdr (şu a z lgledrmyor). küçük varyaslı yasız tahm edc (UMVUE), ç düzgü e dr. = S = = ( Y Y ) 0 gramlık esey kez tartarak, Y, Y,..., Y öreklem (ağımsız ve her r N(0, ) dağılımıa sahp rasgele değşkeler) göz öüe alalım. Y 0 =, =,,..., ε

olmak üzere, hataları doğruda gözlemş oluruz. ε, ε,..., ε ler rmlk öreklem olmak üzere, (UMVUE), dr. = = ε Arkadaşlar, hpotez teste geçmede öce, Teeşr tartmasıda, ç r pvot, dır. olmak üzere, ( ) S Q( X, ) = χ. P a P ) N(0, dağılımıda ç düzgü e küçük varyaslı yasız tahm edc ( ) S α = ( ) S ( ) S = a α ç aralık tahm de yapalım. yazılalr. O zama, ç u pvota dayalı α güve katsayılı güve aralıklarıı sııfı, ( ) S ( ) S C = C( X, a, ) : C( X, a, ) =,, a, > 0, a <, P ( C( X, a, ) ) = α a dır. Bu sııftak r güve aralığıı uzuluğu, l ( C( X, a, ) ) = ( ) S ( ). a olmak üzere, e küçük uzuluklu aralık edr? Başka r fade le, amaç : m ( ) S( ) a, a kısıt: 0 < a <, f ( q) dq = α Optmzasyo prolem çözümü edr? Burada, yoğuluk foksyoudur. Çözüm, Q Q Q a a Q a f ( a) = f ( ) le f ( q) dq = α.. f Q foksyou χ dağılımıı olasılık dekemler sağlaya a, değerlerdr. Bu deklemler çözümler ç Tate ad Klett (959) tarafıda talolar hazırlamıştır ( Optmum cofdece tervals for the varace of the ormal struto, JASA, Vol.54, pp.674-68). Bu çözümler MATLAB da yazılmış aşağıdak lgsayar programıı şleterek de ulalrsz

alfa=.05;=6; aa=chv(alfa,-); for a=.:.0:aa =chv((-alfa+chcdf(a,-)),-); f a^*chpdf(a,-)-^*chpdf(,-)>=0;reak;ed ed [a ] as = 4.640 45.700 Tate ve Klett talosudak değerler, a=4.636 ve =45.705 dr. dr. ç alışılmış (degel-kuyruklu, equally-taled) güve aralığı, ( ) S ( ) S χ, ; α / χ; α / 0 gramlık ese le yapıla gözlemlerde, ç alışılmış güve aralığı, χ dr. ç r pvot, ε ε = =, ; α / χ; α / ε = Q ( X, ) = χ olmak üzere, u pvota dayalı α güve katsayılı güve aralıklarıı, ε ε = = C = C( X, a, ) : C( X, a, ) =,, a, > 0, a <, P ( C( X, a, ) ) = α a sııfı çde, e küçük uzuluklu olaı, Q Q Q a a f ( a) = f ( ) le f ( q) dq = α deklemler çözümü ola a, değerlerde elde edlmektedr. Burada, Q f foksyou χ dağılımıı olasılık yoğuluk foksyoudur. - Geldk hpotez teste. - Hocam tahm prolem tmed k. - Ne kaldı gerye? - Gözlemler almak ve hesaplamak. - Gözlemler sz alı, hesaplamaları da lgsayar yapsı. - Tamam hocam. - Souçları yorumlamayı uutmayı. Ayrıca, hpotez test kısmı da ödev olsu.