. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ KONU ÖZTİ. ÖZL ÜÇGNLR c. Kenrlrın Göre Özel ik Üçgenler. ik Üçgen. Pisgor ğıntısı k k k k k k c b b b k k k k c c c c b b k k k 7k k 7k k k ir çısı 90 oln üçgene dik üçgen denir. m^w h= 90 ve m( W ) + m( X ) = 90 c + = b pisgor bğıntısıdır. unun terside doğrudur b = + c m( W ) =90 dir. k k 7k 7k k k 7 90 7 b. çılrın Göre Özel ik Üçgenler 0 60 90 90. = =( + )., 67, 90 k 60 k k kv kv 0 k 67, = ^ + h. 7
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ KONU ÖZTİ d. ik Üçgende Kenrort.Öklid ğıntısı h c h b p k dik üçgeninde hipotenüse it kenrort [] ise = = dir. v v v ikizkenr dik üçgeninde [], [] kenrın it ükseklik, kenrort ve çıortdır. = = = v = = = dir. Püf Noktsı ir dik üçgende dik kenrlr, ükseklik ve üksekliğin hipotenüs üzerinde ırdığı prçlrdn her hngi ikisinin uzunluğu verildiğinde diğerlerinin uzunluklrını bulbiliriz. [] [], [] [] = c, = h, = b, = p ve = k olmk üzere F h = p.k F c = p.(p + k) F b = k. (k + p) F.h = b.c F = + h b c F & & + & & + & & + dik üçgende metrik bğıntılrdır. ve Z + ve dik üçgen + biçiminde ise kenrlrı birer tmsı oln dik üçgenler elde edilir.
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ KONU ÖZTİ.İkizkenr Üçgen b. = İki kenrı ve iki çısı birbirine eşit oln üçgenlere ikizkenr üçgen denir. m_ i =m_ i = I ikizkenr üçgeninde [] [] çizersek [] hem çıort hemde kenrort dır. ir ikizkenr üçgende eş çılrın çıort uzunluklrı eşittir. [] ve [] çıort ise = n = n dir. rıc I = I, I = I = ve = dir.. = [] [] [] [].şkenr Üçgen ütün kenr uzunluklrı birbirine eşit oln üçgene eşkenr üçgen denir. K Püf Noktsı ir ikizkenr üçgende eşit kenrlr it ükseklikler eşittir. er eşkenr üçgen nı zmnd bir ikizkenr üçgen olduğundn eşkenr üçgen, ikizkenr üçgene it uzunluklrl ilgili tüm özellikleri tşır. = h b = h c dir. rıc =, = K = K ve K = K eşitlikleride vrdır. b. =. Tüm kenr uzunluklrı eşit ve iç çılrının ölçüsü 60 dir. erhngi bir ükseklik çizildiğinde iki tne (0 60 90 ) üçgeni elde edilir. 0 0 h G 60 60 ir ikizkenr üçgende eş kenrlr it, kenrort uzunluklrı eşittir. [] ve [] kenrort ise = V b = V c dir. rıc G = G ve G = G dir. şkenr üçgen bir kenrın dersek h = olur. Püf Noktsı şkenr üçgende tüm rdımcı elemnlr eşit uzunluktdır. V = V b = V c = n = n = n = h = h b = h c = dir. 9
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ KONU LIŞTIRMLR ÖZTİ. TRİGONOMTRİ. r çılrın Trigonometrik Ornlrı b c. (0 60 90 ) Üçgenine göre çılrın trigonometrik ornlrı 60 v 0 Şekildeki dik üçgeninde; m( ) = 90 ve m( ) = olsun. nın trigonometrik ornlrı sin = krşı dik kenr uzunluğu hipotenüs uzunluğu c sin = = b dik üçgeni 0 60 90 özel üçgeni olmk üzere F sin0 = F cos0 = F tn0 = F sin60 = F cos60 = F tn60 = F cot0 = F cot60 = komşu dik kenr uzunluğu cos = hipotenüs uzunluğu cos = = b krşı dik kenr uzunluğu tn = komşu dik kenr uzunluğu c tn = = komşu dik kenr uzunluğu cot = krşı dik kenr uzunluğu cot = = c Püf Noktsı Tümler çılrdn birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne, birinin tnjntı diğerinin kotnjntın eşittir. sin = cosi + θ = 90 &( tn = coti b. ( 90 ) Üçgenine göre çılrın trigonometrik ornlrı dik üçgeni 90 ikizkenr dik üçgen olmk üzere; F sin = v = F cos = F tn = F cot =. irim (Trigonometrik) Çember =. üzlemde sbit bir noktdn birim uzklıkt oln noktlrın kümesine birim çember denir. b. şlngıç noktlrı nı oln iki ışının üzerindeki noktlrın kümesi bir çı belirtir. u ışınlr çının kenrlrı, bşlngıç noktsın çının köşesi denir. 0
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ KONU ÖZTİ c. Merkezi, çının bşlngıç noktsı oln birim çember ile çının ışınlrının çemberi kestiği noktlr rsındki birim uzunluklu rdn denir. d. Merkezi, çının bşlngıç noktsı oln birim çember ile çının ışınlrının çemberi kestiği noktlr rsındki uzunluğun çının rdn cinsinden ölçüsü denir. e. irim çemberin çevre uzunluğunun 60 eş prçsındn birini gören merkez çının ölçüsüne derece denir ve ile gösterilir. f. erhngi bir çının derece cinsinden ölçüsü, rdn cinsinden ölçüsü R olmk üzere R 0 = π g. çının bir kenrındn diğer kenrın stin ters önünde gidildiğinde çı pozitif önlü ksi hlde negtif önlüdür. Kotnjnt ekseni Kosinüs ekseni (, 0) P Il O (0, ) θ P I P T K (,0) F K noktsının koordintlrı K(d, ) olmk üzere, K noktsının psisine θ çısının kotnjntı denir. urdn P(cosθ,sinθ) T(, tnθ) K(cotθ, ) dir. F P noktsı noktsı ile çkışık olduğund ise θ = 0 dir. (, 0) olup sin0 = 0, cos0 = tn0 = 0 ve cot0 = tnımsızdır. F P noktsı noktsı ile çkışık olduğund ise θ = 90 dir. (0, ) olup sin90 =, cos90 = 0 tn90 = tnımsız ve cot90 = 0 dır. F Şekilde OP ı = cosθ PP ı = sinθ T = tnθ, K = cotθ, O = br & ı & O = br ve POP + TO (. benzerlik teoreminden) olduğundn, Sinüs ekseni (0, ) Tnjnt ekseni ı PP OP = T O ı irim çember üzerinde 0 θ r olmk üzere P noktsı için, IOP ı I = cosθ IPP ı I = sinθ ITI = tnθ IKI = cotθ dır. [OP nin noktsınd çembere teğet oln doğruu kestiği nokt T olsun [OP nin noktsınd çembere teğet oln doğruu kestiği nokt K olsun F P noktsının koordintlrı P(, b) olmk üzere, P noktsının psisine θ çısının kosinüsü, ordintın θ çısının sinüsü denir. F T noktsının koordintlrı T(, c) olmk üzere, T noktsının ordintın θ çısının tnjntı denir. sini cosi = bulunur. tni sini urdn tni = olduğu görülür. cosi & II & POP + KO (. benzerlik teoreminden) olduğundn ıı PP OP = K O cos i sin = i coti bulunur. ıı cosi urdn coti = olduğu görülür. sini
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ KONU ÖZTİ F sini tni = ve cosi cosi coti = sini olduğundn, tni. coti = dir. F OPP ı dik üçgeninde OP ı + PP ı = OP cos θ + sin θ = bulunur. F [OP orjin etrfınd döndürüldüğünde, P noktsının psisleri ve ordintlrı [, + ] rlığınd olduğundn cosθ, sinθ, tn θ R ve cotθ R olrk bulunur. F Geniş çılrın tirgonometrik ornlrını, dr çılrın trigonometrik ornlrı cinsinden ifde edilebilir. 0 < θ < 90 olmk üzere 0 θ çısın, birim çember üzerinde krşılık gelen nokt θ olsun F P noktsı ı ile çkışık olduğund ise ı (, 0) olduğundn cos0 = sin0 = 0 tn0 = 0 cot0 = tnımsızdır. sin 0 cos tn 0 cot 0 0 60 90 0 0 0. Kosinüs Teoremi 0 0 0 0 Tnımsız Tnımsız Tnımsız β K K ı Q P T 0 θ θ ı Q ı O P ı T ı & ı & ı Şekilden, OP P, OQ Q (dik üçgen eşliğinden) ı ı QQ = PP & sin^0 -ih= sini ı ı OQ = OP & ^0 - ih= cosi olrk bulunur. & ı & & & ı OT, OT ve KO, K O eşliğinden tn(0 θ) = tnθ cot(0 θ) = cotθ olrk bulunur. c Kenrlrının uzunluklrı, b, c; iç çılrının ölçüleri,, oln bir üçgende kosinüs teoremi, = b + c bc.cos W b = + c c.cos W c = + b b.cos X dir. Püf Noktsı Verilen bir çısı için < 90 ise cos > 0 > 90 ise cos < 0 olur. b
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ LIŞTIRMLR. ÖLÜM ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ. ÖZL ÜÇGNLR. ik Üçgen. şğıdki dik üçgenlerde bilinmeen kenr uzunluklrını bulunuz.. b. Kznım 9...: ik üçgende Pisgor teoremini isptlr ve ugulmlr pr. Temel lıştırm 6 K T R dik üçgen LK, RT ve NM birer kre = cm = cm = cm c. d. L M N Yukrıdki verilere göre, kreler rsındki bğıntıı bulunuz. e. 6 f. c7 Çözüm T Pisgor teoremine göre K 9 cm cm R + = 9 + 6 = = eşitliğine göre, h. c ı. c L 6 cm c M N (RT) = (NM) + (LK) bğıntısı bulunur. -0, b-7, c-, d-7, e-v7, f-6, h-7, l-6
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ LIŞTIRMLR. 9 ve birer dik üçgen = cm [] [] = = cm = 9 cm = =. cm cm Şekilde noktlı kğıt üzerine çizilen üçgeninin çevresini bulunuz. Yukrıdki verilere göre, + toplmını bulunuz. (0 + v) cm. c c7 v bir üçgen [] [] = c7 cm = v cm = c cm Yukrıdki verilere göre, = değerini bulunuz. 6. şlngıç 9 km l. kem km ll. kem km Vrış ir rlli rışmsınd şlngıç ile l. hkem rsı 9 km, l. hkem ile ll. hkem rsı km ve ll. hkem ile Vrış rsı km olduğun göre, bşlngıç ile vrış rsı kuş uçuşu en kıs mesfe kç km dir bulunuz. km 6 cm. 6 bir dik üçgen [] [] = 6 cm = cm 7. 9 bir dörtgen [] [] = = 9 cm = cm Yukrıdki verilere göre, frkını bulunuz. Yukrıdki verilere göre, = değerini bulunuz. 6 cm
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ LIŞTIRMLR. bir üçgen [] [] = = cm = cm Yukrıdki verilere göre, = değerini bulunuz. Temel lıştırm c9 c v bir üçgen,, doğrusl [] [] = c cm = c9 cm = c cm Yukrıdki verilere göre, = değerini bulunuz. v cm Çözüm 9. 0 0 bir üçgen = = 0 cm = 6 cm = cm m z [] [] + z = m + dir. 6 Yukrıdki verilere göre, = değerini bulunuz. z Kurldn 0. 7 cm c9 c c (c) +(c) = + (c9) + = + 9 = = c bulunur. Şekilde birim kreli zeminde verilen dörtgeninin çevresinin uzunluğunu bulunuz.. c9 6 bir üçgen,, doğrusl [] [] = cm = c9 cm = 6 cm ^ 0 + 0hcm Yukrıdki verilere göre, = değerini bulunuz. 9 cm
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ LIŞTIRMLR. Öklid ğıntısı Temel lıştırm h üçgeninde [] [] [] [] = cm. c + üçgen [] [] [] [] = c br = br = (+ ) br Yukrıdki verilere göre, uzunluğunu bulunuz. 9 = 9 cm un göre, = h uzunluğunu bulunuz. br Çözüm üçgeninde Öklid bğıntısını ugulrsk =. h =. 9 h = 6 h = 6 cm bulunur.. K F üçgen [] [] [K] [] [F] [] F = F K = K = cm, = cm olduğun göre, uzunluğunu bulunuz.. üçgen [] [] c cm h [] [] = cm = cm Yukrıdki verilere göre, = h uzunluğunu bulunuz.. 9 bir üçgen [] [] [] [] [] [] = 9 cm = cm Yukrıdki verilere göre, = değerini bulunuz. cm cm 6
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ LIŞTIRMLR. dik üçgen [] [] [] []. = br = br olduğun göre, = değerini bulunuz. Temel lıştırm 6 üçgeninde [] [] [] [] = 6 cm = cm = cm Yukrıdki verilere göre, uzunluğunu bulunuz. 6. F br dikdörtgen [] [] [F] [] F = F = cm Çözüm üçgeninde Öklid bğıntısını ugulrsk = + = 6 + = 0 Ve burdn d Yukrıdki verilere göre, uzunluğunu bulunuz. =. 6 =. 0 6= 0 =, 6 cm bulunur. 7. 6 v cm üçgen [] [] = = = br = 6 br. dik üçgen [] [] [] [] = cm = cm = Yukrıdki verilere göre, değerini bulunuz. Yukrıdki verilere göre, = uzunluğunun değerini bulunuz. v br 6 cm 7
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ LIŞTIRMLR. dik üçgen [] [] Temel lıştırm h 6 = br = 6 br = h br olduğun göre, h değerini bulunuz. [] [] [] [] [] [] = = cm olduğun göre, = uzunluğunu bulunuz., br. 0 üçgen [] [] [] [] = = 0 cm = cm Yukrıdki verilere göre, = uzunluğunu bulunuz. 6 cm. L Özgür elindeki lzer ouncğı ile önce direğin üzerinde K K noktsın- dki n ışık tuttuğund ışığın ndn 90 lik çı ile nsırk noktsın düştüğünü görüor. h sonr nı noktdn L noktsın ışık tuttuğund ışığın L deki ndn 90 lik çı ile nsırk noktsın düştüğünü görüor. Özgür ün K noktsın uzklığı 6 metre ve = olduğun göre, L uzunluğunu bulunuz. Çözüm m n m + n üçgeninde Öklid bğıntısını ugulrsk =. = m. ^m + nh 6=. m^m+ nh = m. ^m+ nh üçgeninde Öklid bğıntısını ugulrsk =. = m. (m + n) = = v cm bulunur.. ve dik üçgenler [] [] [] [] [] [] = br = br Yukrıdki verilere göre, = değerini bulunuz. 6v m v br
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ LIŞTIRMLR. İkizkenr Üçgen Temel lıştırm 0 bir ikizkenr üçgen = [] [] = = m_ i = 0,, doğrusl. K 6 bir ikizkenr üçgen = [] [] [] [] K = 6 cm = cm ukrıdki verilere göre, K = değeri bulunuz. 0 cm Yukrıdki verilere göre, m_ i = değerini bulunuz. Çözüm =. 0 0 bir ikizkenr üçgen = = 0 cm = cm = cm 0 0 0 Yukrıdki verilere göre, m_ i = ölçüsünü bulunuz. üçgeni ikizkenr üçgen olduğundn eş kenrlr it ükseklikler eşit olcktır. = olduğundn [] [] çizilirse = olur. Sorud = olduğundn = olcktır. ikizkenr üçgen olcğındn m_ i = m_ i = 0 olur. dik üçgeninden m_ i= 90 0 = 0 olur. ikizkenr üçgen olduğundn m^ W h = m_ X i = 0 ve m_ i= = 0 0. = 0 bulunur.. bir üçgen [] [] [] // [ m_ i = m_ i = cm = cm Yukrıdki verilere göre, = değerini bulunuz. cm 9
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ LIŞTIRMLR. şkenr Üçgen Temel lıştırm. bir eşkenr üçgen = 9 cm = cm F bir eşkenr üçgen [F] [] [] [] = F = = cm 9 Yukrıdki verilere göre, = değerini bulunuz. Yukrıdki verilere göre, üçgenin çevresi kç cm bulununuz. Çözüm. F bir eşkenr üçgen [] [] [] [] [F] [] Ç_ & i = cm 60 0 F eşkenr üçgen m^w h = m^w h = 60 dir. Yukrıdki verilere göre, F = değerini bulunuz. 0 60 6 cm ve F 0 60 90 üçgenleridir. = F = = dersek = F = olur.. bir eşkenr üçgen = şkenr üçgenin kenrlrı eşit olduğu için = = + + = + = = cm olur. = + = + = cm Ç _ & i =. = cm bulunur. Yukrıdki verilere göre, m_ i = değerini bulunuz. 0 0
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ LIŞTIRMLR. TRİGONOMTRİ. r çılrın Trigonometrik Ornlrı c Kznım 9...: ik üçgende dr çılrın trigonometrik ornlrını tnımlr ve ugulmlr pr. Temel lıştırm b bir dik üçgen m( ) = 90 m( ) = = bbr = cbr = br Yukrıdki verilere göre, sin, cos, tn ve cot değerlerini bulunuz. Çözüm nın trigonometrik ornlrı. bir dik üçgen [] [] m( ) = = cm sin = Yukrıdki verilere göre, = değerini bulunuz.. 0 cm bir üçgen = [] [] m( ) = = 0cm cos = Yukrıdki verilere göre, = değerini bulunuz. 0 cm sin = krşı dik kenr uzunluğu c = hipotenüs uzunluğu b cm komşu dik kenr uzunluğu cos = = hipotenüs uzunluğu b krşı dik kenr uzunluğu tn = komşu dik kenr uzunluğu komşu dik kenr uzunluğu cot = krşı dik kenr uzunluğu c = = c. bir dik üçgen [] [] m( ) = cot = = cm Yukrıdki verilere göre, = değerini bulunuz. Tümler çılrdn birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne, birinin tnjntı diğerinin kotnjntın eşittir. 0 cm
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ LIŞTIRMLR. v bir dik üçgen = br = br m_ i= Temel lıştırm 0 ve 60 lik çının trigonometrik ornlrını bulunuz. Çözüm 0 Yukrıdki verilere göre, sin, cos, tn, cot değerlerini bulunuz. v. d,,, n üçgen = cm = cm m` j= olduğun göre, sin-cos ornını tn bulunuz. 60 Pisgor teoreminden 0 60 90 üçgenin kenrlrı şekildeki gibidir. sin = cos = tn 0 < < 90 olmk üzere krşı dik kenr hipotenüs komşu dik kenr hipotenüs krşı dik kenr = komşu dik kenr sin60 = cos60 = tn60 = = = komşu dik kenr cot60 = = cot krşı dik kenr 6. üçgen - sin0 =, cos0 = tn0 =, cot0 = = br 7 = 7 br m` j=. cos0 + sin0 = tn60 olduğun göre, değerini bulunuz. Yukrıdki verilere göre, tn + cot değerini bulunuz. 9 0 + 6
s s. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ LIŞTIRMLR Temel lıştırm Temel lıştırm s bir dik üçgen [] [] m( ) = = = cm 60 60 60 bir eşkenr üçgen = = = cm Yukrıdki verilere göre, üçgenin bir kenrın it üksekliğinin uzunluğunu bulunuz. Yukrıdki verilere göre, sin, cos, tn ve cot trigonometrik değerlerini bulunuz. s Çözüm v Pisgor teoreminden = + = + = = v cm (İkizkenr dik üçgen) sin = & sin = cos = & cos = tn = & tn = cot = & cot = bulunur. sin = cos ve tn = cot dir. Çözüm 0 0 v 60 60 Pisgor teoreminden = + = + = v cm bulunur. urdn, sin0 =, cos0 = tn0 =, cot0 = sin60 =, cos60 = tn60 =, cot60 = bulunur. eşkenr üçgen olduğundn = n = V = h m( ) = m( ) = 0 ve = = cmolur.. 6v bir üçgen m( ) = = 6 cm. bir eşkenr üçgen [] [] = cm Yukrıdki verilere göre, = değerini bulunuz. Yukrıdki verilere göre, = değerini bulunuz. 6 cm v cm
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ LIŞTIRMLR. irim Çember Kznım 9...: irim çemberi tnımlr ve trigonometrik ornlrı birim çember üzerindeki noktnın koordintlrıl ilişkilendirir. Temel lıştırm (,0) (0,) O (0, ) (,0) Şekilde verilen birim çember rdımıl 0, 90 ve 0 lik çılrın trigonometrik ornlrın değerlerini bulunuz. cos0 =, sin0 = 0 sin0 0 tn0 = = & tn0 = 0 cos0 cos0 cot0 = = & cot0 = tnımsız sin0 0 sin90 (0, ) cos90 cos90 =0, sin90 = sin90 tn90 = = & tn90 = tnımsız cos90 0 cos90 0 cot90 = = & cot90 = 0 sin90 sin0 Çözüm (, 0) cos0 90 < < 0 ll. ölge sin cos + tn cot (,0) (sin) (0,) 0 O (0, ) (,0) 0 < < 90 l. ölge sin cos + + tn cot + + (cos) cos0 = sin0 = 0 sin0 0 tn0 = = cos0 & tn0 = 0 cos0 cot0 = = sin0 0 & cot 0 = tnımsız ekseni cos, ekseni sin değerlerini veren eksenlerdir. sin cos tn = ve cot = cos sin urdn, sin0. Ypıln işlemlerden de görüldüğü gibi 0 < < 90 rlığınd tüm trigonometrik değerler pozitif 90 < < 0 rlığınd sinüs pozitif ve cosinüs, tnjnt, kotnjnt negtiftir. r < < r koşulunu sğln çısın göre sin, cos, tn, cot trigonometrik ornlrının işretlerini bulunuz. (, 0) cos0 (+,,, )
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ LIŞTIRMLR Temel lıştırm Temel lıştırm O Pc, m Şekilde O merkezli birim çember üzerinde Pd, n noktsı verilior. m_ POi= olduğun P(,b) O irim çember üzerinde verilen P(, b) noktsın göre, cos + sin = olduğunu gösteriniz. göre, sin değerini bulunuz. Çözüm Çözüm v O Pc, m PO üçgeninde OP = br O = br P = br dir. P sin= = = OP bulunur. P(,b) b b O irim çember olduğundn cos = sin = b OP = dir. Pisgor teoreminden + b = cos + sin = bulunur.. irim çember üzerindeki Pd, n noktsının orjine uzklığını bulunuz.. (cos0 + sin0 ) = olduğun göre, değerini bulunuz. br +. ı (, 0) (0,) O ı (0, ) Pc, m (, 0) Şekilde birim çember verilior. m_ OPi = ve Pd, olduğun göre, sin, cos, tn, cot değerlerini bulunuz. n. O (0,) = (,0) = Verilere göre, = 0, = 0, = ve = doğrulrının sırsı ile sinüs, cosinüs, tnjnt, cotnjnt eksenlerinden hngileri olduğunu belirleiniz. e,,, o (cos,sin, tn, cot)
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ LIŞTIRMLR Temel lıştırm. şğıdki trigonometrik ifdelerin değerini bulunuz. P, 0 O Şekildeki birim çemberde verilenlere göre, 0 lik çının trigonometrik değerlerini bulunuz.. cos0 b. sin c. sin0 d. cos90 e. cos0 f. cos g. cos0 h. cot P ı Çözüm, P, 0 0 0 O tn cot P noktsının eksenine göre simetriği P ı olsun sin0 =, cos0 = tn0 =, cot 0 =.. sin0 - cos = tn + cot olduğun göre, değerini bulunuz. cos0 sin0 = sin90 + tn0 - ll. bölgede sinüs pozitif, diğer tirigonometrik değerler negtif olduğundn olduğun göre, değerini bulunuz. sin0 = sin(0 0 ) = sin0 = cos0 = cos^0 0 h= cos0 = tn0 = tn^0 0 h= tn0 = cot0 = cot^0 0 h= cot0 = olrk bulunur.. şğıdki trigonometrik ifdelerin değerini bulunuz.. sin0 b. sin c. sin60 d. sin90. sin cos = tn. cot olduğun göre, değerini bulunuz. e. sin0 f. sin g. sin0 h. sin0 v 6
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ LIŞTIRMLR. Kosinüs Teoremi Kznım 9...: Üçgende kosinüs teoremini isptlr ve ugulmlr pr. Temel lıştırm 9 bir üçgen = 9 cm = cm cos = Temel lıştırm 0 v bir üçgen m( ) = 0 = cm = cm Yukrıd verilenlere göre, = değerini bulunuz. Yukrıd verilenlere göre, = değerini bulunuz. Çözüm Verilen bir çısı için Çözüm v 0 > 90 cos < 0 olur. Kosinüs teoreminden 9 Kosinüs teoreminden = +..cos = 9 +.9.. = + 6 = = cm bulunur.. bir üçgen m( ) = 60 60 = cm 6 = 6cm = +...cos0 = (v) +.v..( cos0 ) = + 6 + 6v. = = cm bulunur.. 0 v7 bir üçgen m( ) = 0 = cm = 7 cm 9 Yukrıd verilenlere göre, = değerini bulunuz. v7 cm Yukrıdki verilere göre, = değerini bulunuz. cm 7
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ LIŞTIRMLR Temel lıştırm 7 bir üçgen m( ) = = 7cm = cm. K Nehirin kıısınd bulunn ve K iskeleleri rsındki uzklık 0 m, ile K iskelesi rsındki uzklık 60 m dir. = cm m( K) = 60 olduğun göre, iskelesi ile iskelesi rsındki uzklık kç metredir bulunuz. Yukrıdki verilere göre, değerini bulunuz. Çözüm 0c m Kosinüs teoreminden = +...cos 7 = +...cos 0.cos = 6 + 9 0.cos = 0 cos = &= 60 bulunur.. Ulus km 0 km Topkpı Şekilde Ulus isimli uçğın kulee uzklığı km, Topkpı isimli uçğın kulee uzklığı km dir.. üçgeninin kenr uzunluklrı, b ve c dir. = b + c bc olduğun göre, W çısının kç derece olduğunu bulunuz. Kontrol kulesi ve uçklr rsındki çı 0 olduğun göre, uçklr rsındki mesfenin klşık kç km olduğunu bulunuz. 60. 9 7 bir üçgen = 9 cm = 7 cm = 0 cm km. Üçgen şeklindeki bir hvuzun bir köşesi lik çı ile pılmış ve bu çının kollrındki kenrlr v m ve m dir. 0 un göre, diğer kenrın uzunluğu kç metre olduğunu bulunuz. Yukrıdki verilere göre, cos( ) nin değerini bulunuz. v m
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ UYGULMLI SORULR. şğıdki şekillerde bilinmeenleri bulup krşılrındki kutucuklr zınız.. 0 b. 6. & &. + & & c. + üçgeninde [] [] [] [] olduğun göre, şğıd verilen benzerliklerden doğru olnlrın nın (), nlış olnlrın nın (Y) zınız. & & b. + d. & & + 7 & & e. + c.. dik üçgenindeki verilere göre c h b sol sütund verilen ifdeleri sğ sütun- 0 p k dki eşitleri ile eşleştiriniz. d.. b. +c b k. l. ll. h b c. p. k lll. c e. 6 d. e. p. h. lv. V. h b. c 6 9
. şğıd verilen trigonometrik ornlrı eşit olduklrı değerler ile eşleştiriniz. 6. şğıdki şekillerde bilinmeenleri bulup krşılrındki kutucuklr zınız.. sin 0 l. 0. b. c. cos 0 tn ll. lll. 0 d. e. tn 0 sin 0 lv. V. f. cot Vl. b. g. tn 0 Vll. v 7. c. (0, ) b 7 c O (, 0) d d. r Yukrıdki şekilde, r ve m_ Oi = olduğun göre,, b, c ve d koordint değerlerini kullnrk şğı- 6v dki noktlı erleri doldurunuz. O eksenile pozitif önde derecelik çı pn ışının çemberi kestiği nokt ise, noktsının ordintı; sin = noktsının psisi; cos = e. O eksenile pozitif önde derecelik çı pn ışının = doğrusunu kestiği nokt ise, noktsının ordintı; tn = 6 0 v O eksenile pozitif önde derecelik çı pn = doğrusunu kestiği nokt ise, noktsının psisi; cot = bulunur. 0
s. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ Özel Üçgenler (ik Üçgen) KONU KVRM TSTİ TST -. bir üçgen [] [] = cm = cm = cm Yukrıdki verilere göre, = değeri kç cm dir? ) ) 6 ) 9 ) 0 ). Şekilde birim kreli zeminde verilen dörtgenin çevresinin uzunluğu kç birimdir? ) + v ) 0 + 0 ) + 7 ) + 7 ) + 0. 0v bir dörtgen [] [] [] [] = 0v cm = 6 cm = cm. 96 0 bir üçgen = = =0 cm = 96 cm 6 Yukrıdki verilere göre, = kç cm dir? ) ) 0 ) ) ) 0 0 Yukrıdki verilere göre, = kç cm dir? ) ) 6 ) ) 6 ) 6. Şekilde [] [] [] [] = m = m = m Yukrıdki verilere göre, ile rsındki uzklık en z kç m dir? ) 6 ) 7 ) ) 0 ) 6. 0 s bir muk [] [] [] [] = = cm = 0 cm Yukrıdki verilere göre, Çevre() kç cm dir? ) ) ) 0 ) )
7. 0 bir üçgen,, doğrusl [] [] = cm = 0 cm = cm 0. bir üçgen [] [] [] [] = cm = cm Yukrıdki verilere göre, = kç cm dir? Yukrıdki verilere göre, = kç cm dir? ) ) 0 ) ) ) ) 6 ) 7 ) ) 0 ). s s bir üçgen = = cm = cm = 0 cm. s 0 s bir üçgen [] [] = = cm = 0 cm 0 & Yukrıdki verilere göre, Ç evre( ) kç cm dir? ) 0 + 0v ) 0 ) + 0v ) 0 + v ) 0 Yukrıdki verilere göre, = kç cm dir? ) 0 ) 0v ) ) v ) 9. bir üçgen 6 m( ) = 0 m( ) = = 6cm 0 Yukrıdki verilere göre, = kç cm dir? ) ) v ) ) v ) v. 7 bir üçgen m( ) = m( ) = 7 = cm Yukrıdki verilere göre, = kç cm dir? ) ( + v) ) 6 + v ) ( + v) ) 6v ) v..... 6. 7.. 9. 0...
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ Özel Üçgenler (Öklid ğıntısı) TST - KONU KVRM TSTİ. üçgen [] []. 6 [] [] = 6 cm Özer = cm Kule Yukrıdki verilere göre, = kç cm dir? ) 7, ) 7 ) 6, ) 6, ) 6 Yerden üksekliği 6000 metre oln uçğın kulee oln uzklığı 0.000 metre dir. [] [], [] [] ve,, noktlrı doğrusl olduğun göre, Özer in Kule e uzklığı kç metredir? ) 00 ) 00 ) 000 ) 00 ) 000. 6 dikdörtgen [] [] = 6 cm = cm olduğun göre, = kç cm dir?. 6 üçgen [] [] [] [] = 6 cm = cm = cm = cm ) 9 ) 0 ) ) ) Yukrıdki verilere göre, ornı şğıdkilerden hngisidir? ) ) ) 9 ) 6 ). dik muk [] [] = br = br olduğun göre, = kç birimdir? ) v ) v ) ) v7 )v 6. + dik üçgen [] [] = br = br = ( + ) br Yukrıdki verilere göre, _ & i kç birim kredir? ) ) ) ) 6 )
7. F dik üçgen [] [] [F] [F] [] [] F = F = br Yukrıdki verilere göre, = kç birimdir? 0. 6 [] [] [] [] [] // [] = = cm = 6 cm olduğun göre, = kç cm dir? ) ) ) ) ) ) v ) 7 ) ) v ) 9. üçgen [] [] [] [] [] [] = cm = cm. dik üçgen [] [] dikdörtgen = = br olduğun göre, () kç birimkredir? Yukrıdki verilere göre, = kç cm dir? ) 0 ) 6 ) ) 9 ) ) ) 0 ) ) 6 ) 6 9. c0 dik üçgen [] [] [] [] = c0 br = br. dik üçgen = = [] [] [] [] = br Yukrıdki verilere göre, = kç birimdir? ) 0 ) ) ) 6 ) Yukrıdki verilere göre, = kç birimdir? ) ) ) ) ) 6..... 6. 7.. 9. 0...
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ Özel Üçgenler (Öklid ğıntısı) TST - KONU KVRM TSTİ. 6 dikdörtgen [] [] [] [] = 6 cm = cm Yukrıdki verilere göre, () kç cm dir? ) 9v ) v ) v ) v ) 0v. dik üçgen [] [] = = br = br Yukrıdki verilere göre, ornı kçtır? ) 6 ) 9 ) ) ) 9. üçgen [] [] [] [] [] [] = olduğun göre, ornı kçtır? ) ) v ) ) v ). F 6 üçgen [] [] [] [] [] [] [F] [] = cm = cm F = 6 cm Yukrıdki verilere göre, = kç cm dir? ) 6 ) ) ) ). c h b üçgen [] [] [] [] = c cm = b cm = h cm = cm = cm 6. h dik muk [] // [] [] [] = cm Yukrıdki verilere göre, ) b + c h ornı kçtır? ) ) ) ) = cm Yukrıdki verilere göre, = h kç cm dir? 0 ) ) ) ) 6
7. dik üçgen [] [] = = br = br 0. F K 0 dikdörtgen [] ve [] köşegen [K] [] [F] [F] = 0 br F = br Yukrıdki verilere göre, kç birimdir? ) v ) 6 ) v ) v6 ) Yukrıdki verilere göre, dikdörtgeninin lnı kç br dir? ) 6v ) 0 ) 0v ) ) 0. 6 dik muk [] // [] [] [] = cm = 6 cm = cm. K m n dik üçgeninde [] [] [] [] [K] [] [] çıort K = cm K = cm Yukrıdki verilere göre, kçtır? ) ) ) ) 6 ) 6v Yukrıdki verilere göre, m. n çrpımı kçtır? ) ) 0 ) 6 ) ) 00 9. v6 F ve F üçgen [] [] [] [F] [] [] = v6 br F = F. dik üçgen [] [] [] [] = = cm = cm Yukrıdki verilere göre, kç br dir? ) v7 ) v ) ) v ) Yukrıdki verilere göre, uzunluğu kç cm dir? ) 6 ) ) 0 ) )..... 6. 7.. 9. 0... 6
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ Özel Üçgenler (İkizkenr ve Ɨkenr) KONU KVRM TSTİ TST -. bir ikizkenr üçgen = = cm = 0 cm. 0 bir eşkenr üçgen [] [] = 0 cm = cm 0 Yukrıdki verilere göre, = kç cm dir? ) ) ) 6 ) ) Yukrıdki verilere göre, = kç cm dir? ) ) 0 ) ) 0 ). bir ikizkenr üçgen = = cm = 0 cm = cm. bir eşkenr üçgen = cm = 7 cm 0 7 Yukrıdki verilere göre, = kç cm dir? ) 0 ) ) ) ) Yukrıdki verilere göre, = kç cm dir? ) ) 7 ) ) ) 79. bir ikizkenr üçgen = = cm = cm 6. F bir eşkenr üçgen [F] [] [F] [] F = cm = cm Yukrıdki verilere göre, = kç cm dir? ) ) ) 6 ) 7 ) Yukrıdki verilere göre, F = kç cm dir? ) 6 ) 7 ) ) 9 ) 0 7
7. T bir ikizkenr üçgen = [] [] [] [] T = cm = cm = T = 0. eşkenr üçgen = = Yukrıdki verilere göre, + toplmı kçtır? ) 0 ) ) ) ) 0 Yukrıdki verilere göre, m_ i = kç derecedir? ) ) 0 ) ) 60 ) 7. 0 bir dik üçgen [] [] [] [] = = cm m_ i = 0 Yukrıdki verilere göre, = kç cm dir? ) ) ) ) ) 6. 60 60 bir dörtgen [] [] m_ i = m_ i = 60 = cm = cm Yukrıdki verilere göre, = kç cm dir? ) ) 6 ) ) 0 ) 9. ikizkenr üçgen = = [] = [ m_ i =,, doğrusl. F eşkenr üçgen [] [] [F] [] [F] [] Ç = _ & i =7cm Yukrıdki verilere göre, m_ i = kç derecedir? ) ) 0 ) 60 ) 6 ) 70 Yukrıdki verilere göre, Ç_ & Fi kç cm dir? ) 6 ) 6 ) 0 ) ) 6..... 6. 7.. 9. 0...
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ Trigonometri (r çılrın Trigonometrik Ornlrı) TST - KONU KVRM TSTİ. bir dik üçgen [] [] m( ) = = cm = cm. c θ bir dik üçgen = br = br m_ i= i olduğun göre, cos i şğıdkilerden hngisidir? Yukrıdki verilere göre, sin + cos toplmı kçtır? 6 7 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ). şğıdki eşitliklerden hngisi nlıştır?. şğıdki eşitliklerden hngisi nlıştır? ) sin0 = ) cos ) tn = ) cot 60 = ) sin60 = = ) tn7 = cot ) sin 6 + sin = ) cos7 = cot7 cos ) cot + cos0 = ) sin = 6.. 0 bir eşkenr üçgen [] [] = 0 cm 6m Şekilde bir merdivenin duvr göre konumu verilmiştir. Yukrıdki verilere göre, + toplmı kçtır? ) 0 + v ) + 0v ) + v ) ) 0 tn= olduğun göre, merdivenin bou kç metredir? ) 6 ) 7 ) ) 9 ) 0 9
7. 6 0. 60 cm 7 Şekildeki srkç tl 7 lik çı ptığınd 60 cm ükselmektedir. un göre, srkcın uzunluğu kç cm dir?(sin7 = 0,6) Şekilde bir frenin penirlere göre konumu verilmiştir. ) 90 ) 0 ) 0 ) 60 ) 0 un göre, sin + tn değeri kçtır? ) 6 ) 0 ) 7 7 ) 0 9 ) 0. sin + cos + = tn + cot olduğun göre, nın değeri kçtır? ) ) v ) ) v ) v. sin + cos = T olduğun göre, sin.cos ifdesinin T cinsinden değeri şğıdkilerden hngisinde doğru verilmiştir? ) T ) + T ) T ) T + ) T 9. = 0 m. β = 0 m = Şekilde prşütle tl- 0 n bir kişinin iniş prken bulunduğu ko- θ 0 numlr verilmiştir. Yukrıdki birim kreli zeminde verilen, θ, b, ve çılrı için şğıdkilerden hngisi nlıştır? m_ i= olduğun göre, tn şğıdkilerden hngisine eşittir? ) ) ) ) ) ) tn = ) cot = 7 ) sini = ) cosb = 6 7 ) tn = 6..... 6. 7.. 9. 0... 60
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ Trigonometri (irim Çember) TST - 6 KONU KVRM TSTİ. O P b,l Şekildeki merkezil birim çember üze- rinde Pd, n nok- tsı verilmiştir. un göre, sin nın eşiti kçtır?. (0, ) ı (,0) O ı (0, ) Kb, l (, 0) ) ) ) ) ) 6 Yukrıdki şekilde birim çember ve çısı verilior. Kd, n olduğun göre, tn şğıdkilerden hngisine eşittir? ) ) ) ) ). şğıdki eşitliklerden hngisi nlıştır? ) sin0 = ) cos0 = ) tn = cot ) sin = sin6 ) cos0 = cos0. sin0 + cos0 cot ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? ) ) ) ) ) 0. O Şekilde O merkezli birim çember verilmiştir. m_ Oi= olduğun göre, nin türünden eşiti şğıdkilerden hngisidir? ) sin ) cos ) tn ) cot ) sin 6. şğıdki eşitliklerden hngisi doğrudur? ) sin = ) cos0 = ) tn0 = cot60 ) tn = ) sin0 = 6
7. O O merkezli birim çemberde doğrusu birim çembere noktsınd teğettir. m_ Oi= cot= 0. şğıdki eşitliklerden hngisi nlıştır? ) cos0 = ) sin90 = ) cos0 = ) tn = ) tn90 = tnımsız Yukrıdki verilere göre, O kç birimdir? ) ) ) ) ). cos0 sin0 tn ukrıdki ifdenin eşiti kçtır? ) ) ) ) ). 0 < < 90 olmk üzere şğıdki eşitliklerden hngisi nlıştır? ) sin(0 ) = sin ) cos(0 ) = cos ) tn(0 ) = tn ) cot(0 ) = cot ) tn.cot =. irim çember üzerinde ikinci bölgedeki Pc, tm noktsındki t değeri şğıdkilerden hngisidir? ) ) ) ) ) 9. P(,b) O O merkezli birim çemberde çısı için şğıdkilerden hngisi nlıştır?. = v. sin + v.cos0 olduğun göre, ) cos = ) sin = b ) tn < 0 ) cot > 0 ) > 90 ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? ) ) ) ) )..... 6. 7.. 9. 0.... 6
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ Trigonometri (Kosinüs Teoremi) TST - 7 KONU KVRM TSTİ. 6 bir üçgen m( ) = 60 = 6cm = cm. Kenn m m ir lndki üç rkdş rsındki mesfeler şekilde verilmiştir. 60 Tnsu c m Okn Yukrıdki verilere göre, = kç cm dir? ) 7 ) ) ) ) 0 un göre, değeri kçtır? ) 0 ) 0 ) 60 ) ) 0. bir üçgen m( ) = = cm = 7v. ir üçgeninin kenrlrı rsınd = b + c + bc 7v bğıntısı olduğun göre, çısının ölçüsü kç derecedir? Yukrıdki verilere göre, = kç cm dir? ) 0 ) 60 ) 90 ) 0 ) 0 ) ) ) ) ) 6. bir üçgen = cm = cm = 0 cm 6. 6 bir üçgen = cm = 6 cm = cm = cm = v cm 0 v Yukrıdki verilere göre, cos değeri kçtır? Yukrıdki verilere göre, = kç cm dir? ) ) 0 ) 0 ) ) 7 0 ) v ) ) v ) ) v 6
7. 0. Kleci 60 cm 60 0 cm efns ouncusu 0? Forvet ouncusu Şekildeki srkçlrın uzunluklrı 60 cm ve 0 cm dir. u srkçlrın rsındki dr çı 60 olduğun göre, srkçlr rsı mesfe kç cm dir? ) 0c ) 7 ) 0c ) 0 ) 90 ir futbol mçınd Forvet ouncusu ile kleci rsınd m, Forvet ouncusu ile defns ouncusu rsınd v m vrdır. Şekildeki bilgilere göre, kleci ile defns ouncusu rsınd kç metre mesfe vrdır? ) c ) ) v ) 6 ) 6v. ir üçgeninde, = 6 br b = br c = c9 br olduğun göre, çısının ölçüsü kç derecedir? ) 0 ) ) 60 ) 0 ) 0. ir üçgeninde m( ) = 0, = 0 cm, = c olduğun göre, uzunluğu kç cm dir? ) ) ) ) ) 9. 6v bir üçgen m( ) = = cm = 6 cm. K N 6 L M KLNM dörtgenin köşeleri çember üzerinde KL = cm LM = cm NM = cm KN = 6 cm Yukrıdki verilere göre, = kç cm dir? Yukrıdki verilere göre, co s( LKN ) değeri kçtır? ) v6 ) c ) 0 ) v ) v ) ) ) 0 7 ) 0 )..... 6. 7.. 9. 0... 6