ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEİ İKİ PARAMETREYE BAĞLI SİNGÜLER İNTEGRALLERİN VE TÜREVLERİNİN YAKINSAKLIK ÖELLİKLERİ Hrun KARSLI MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006 Her hkkı sklıdır
ÖET Doktor Tezi IK I PARAMETREYE BA ¼GLI S INGÜLER INTEGRALLER IN VE TÜREVLER IN IN YAKINSAKLIK ÖELL IKLER I Hrun KARSLI Ankr Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Mtemtik Anbilim Dl Dn şmn: Doç.Dr. Ertn IB IKL I Butez beş bölümdenoluşmktd r. Birinci bölüm, giriş k sm n yr lm şt r. Ikinci bölümde ileri bölümlerde gerekli oln kvrmlr ve tn mlr verilmiştir. Üçüncü bölümde, iki prmetreye b¼gl konvolüsyon tipi singüler integrl opertör ilesinin L p (;b) uzy üzerinde sürekli oldu¼gu isptlnd ktn sonr bu opertör yrd m yll 1 (;b) uzy ndki krkteristik noktlrdki noktsl yk nskl klr incelenmiştir. Dördüncü bölümde, bu opertörün türevlerininl 1 (;b) uzy ndf fonksiyonunun türevlerine yk nskl klr rşt r lm şt r. Son bölümde ise iki prmetreye b¼gl konvolüsyon tipi singüler integrl opertör ilesinin, süreklilik modülü kulln lrk, f fonksiyonun ve türevlerine yk nskl k h z hesplnm şt r. 2006, 70 syf Anhtr Kelimeler : Singüler integrl, Konvolüsyon, Iki prmetreye b¼gl opertör ilesi, Krkteristik nokt, Yk nskl k, Süreklilik modülü, Yk nskl k h z i
ABSTRACT Ph.D. Thesis APPROXIMATION PROPERTIES OF SINGULAR INTEGRALS DEPENDINGON TWOPARAMETERS AND THEIR DERIVATIVES Hrun KARSLI Ankr University Grdute SchoolofNturlAndAppliedSciences Deprtment of Mthemtics Supervisor: Assoc.Prof.Dr. Ertn IB IKL I This thesis consists of ve chpters. The rst chpter is devoted to the introduction. The secondchpter contins, concepts ndde nitions whichre neededinthe further chpters. In the third chpter, fter proving the continuity of the convolution type singulr integrlopertors fmilydepending ontwo prmeters, by mens of these opertors the pointwise convergence on the chrcteristic points in the spcel 1 (;b) re investigted. In the fourth chpter, the convergence of the derivtives of these opertors to the derivtives of the function f inl 1 (;b) re studied. In the lst chpter, using the modulus of continuity, the rte of convergence of the convolution type singulr integrl opertors fmily depending on two prmeters to the function nd to the derivtives of the function re exmined. 2006, 70 pges Key Words : Singulr integrl, Convolution, Opertor fmily depending on two prmeters, Chrcteristic point, Convergence, Modulus of continuity, Rte of convergence ii
TEŞEKKÜR Bn rşt rm oln¼g s¼glyn ve çl şmm n her sfhs nd yk n ilgi ve önerileri ile beni yönlendiren dn şmn hocm, Sy n Doç.Dr. Ertn IB IKL I (Ankr Üniversitesi FenFkültesi) ye teşekkürlerimi bir borç bilirim. Çl şmlr m s rs nd ellerinden gelen her türlü deste¼gi bn veren eşim Hndn KARSLI ve o¼glum Umut KARSLI y sb rlr ndn ötürü teşekkürlerimi sunr m. Hrun KARSLI Ankr, Ks m 2006 iii
İÇİNDEKİLER ÖET...... i ABSTRACT...... ii TEŞEKKÜR...... iii SİMGELER DİİNİ......... vi 1. GİRİŞ...... 1 2. TEMEL KAVRAMLAR...... 7 3. KONVOLÜSYON TİPİ SİNGÜLER İNTEGRAL OPERATÖRLER AİLELESİNİN L (, ) UAYINDA KARAKTERİSTİK NOKTALARDAKİ 1 b YAKINSAKLIĞI.... 16 4. TÜREVLERİN YAKINSAKLIKLARI.... 41 5. YAKINSAKLIK HILARI...61 KAYNAKLAR.....68 ÖGEÇMİŞ.....70 iv
S IMGELER D I IN I Indis kümesi L p (;b) (;b) üzerinde tn ml mutlk de¼gerininp-yinci kuvveti Lebesgue integrllenebilen fonksiyonlr uzy C[; b] [; b] üzerinde tn ml sürekli fonksiyonlr uzy BV[; b] [; b] üzerinde tn ml s n rl sl n ml fonksiyonlr uzy vr '(t) t b '(t) fonksiyonunun[;b] rl ¼g üzerindeki vrysyonu! 1 (f;±) f fonksiyonununl 1 süreklilik modülü d t g(t;x) g fonksiyonununtde¼gişkenine göre diferensiyeli v
1. G IR IŞ Klsik nlizin gözönüne ld ¼g konu, herhngi bir fonksiyon uzy n n incelenmesidir. Bu incelemede önemli sorulrdn birisi incelemeye l nn fonksiyon uzy nd herhngi bir nlmd yo¼gun ve dh iyi özellikleri oln (türevlenebilme, integrllenebilme, polinom olm vey bir rl ¼g n d ş nd özdeş olrk s f r olm gibi) bir fonksiyon s n f vr m d r? Bu problem ilk olrk C[; b] uzy üzerinde Weierstrss trf ndn konulmuştur ve önemli sonuçlr ilk olrk yine Weierstrss trf ndn elde edilmiştir. Weierstrss, 1885 y l nd iki temel teorem isptlm şt r. Bu teoremlerden birisi, kpl ve s n rl rl k üzerinde tn ml sürekli bir fonksiyonun polinomlr dizisinin limiti biçiminde gösterilebilece¼gi ile ilgilidir. Yni; f 2C[;b] ) lim n!1 P n (x)f(x) olck biçimde(p n ) polinom dizisi vrd r. Di¼ger teorem de ise, f nin 2¼ periyotlu sürekli bir fonksiyon olms hlinde; f 2C[ ¼;¼] ) lim n!1 T n (x)f(x) olck biçimde(t n ) trigonometrik polinom dizisinin vr oldu¼gunu göstermiştir. Bu teoremler dh sonr nlizin en önemli dllr ndn biri oln Yklş mlr Teorisi nin temel teoremleri olmuştur. 20. yüzy ldki mtemtik, zik, meknik ve kuntum zi¼gindeki gelişmeler göstermiştir ki, yklş m problemi dh geniş bir fonksiyon s n f üzerinde incelenmelidir. Sürekli fonksiyonlr uzy ndngenel olnuzylr nen önemlilerindenbirisi Lebesgue uzylr d r. Doly s yl ilk çl şmlr bu uzylr üzerinde yp lm şt r. Yklş m problemi integrllenebilen fonksiyonlr s n f nd düşünülürse, Lebesgue ölçülebilir fonksiyonlr n Lebesgue nlm nd integrlleri, Lebesgue ölçüsü s f r oln noktlr kümesinin d ş nd tn mlnd ¼g ndn, bu s n ftn l nn bir fonksiyon yk nsyn 1
dizileri vey ileleri bir integrl dizisi vey ilesi biçiminde lmn n dh uygun oldu¼gu görülmektedir. Integrllenebilen fonksiyonlr s n f üzerinde dönüşüm ypn lineer bir integrl opertör; L(f;x) D f(t)k(t; x)dt ; x 2D (1.1) olrk verilebilir. Burd K(t; x) fonksiyonun integrl opertörün çekirde¼gi d verilir. (1.1) denkleminde, indis kümesi olmk üzere 2 ikenk(t; x; ) çekirdekler ilesi ele l n rs, L (f;x) D f(t)k(t; x; )dt ; x 2D (1.2) biçiminde integrl opertörler ilesi elde edilir. (1.2) denkleminde özel olrk K(t;x; )H(t x; ) seçilmesi ile L (f;x) D f(t)h(t x; )dt ; x 2D (1.3) biçiminde konvolüsyon tipi integrl opertörler ilesi elde edilir. Mtemti¼gin ve zi¼gin birçok dl nd bu tipopertörlerle krş lş l r. Fen bilimlerinde incelenen problemlere krş l k gelen mtemtiksel modeller, diferensiyel denklemler için konulmuş s n r problemleri ile ifde edilebilir. Bunlr n çözümleri de bilindi¼gi gibi Green fonksiyonlr (lineer durumd) yrd m yl konvolüsyon şeklinde bulunbilir. Yine bilindi¼gi gibi çözümün bu gösterimi singüler integrl formundd r. Bu ise butip integrllerin incelenmesinin ne kdr gerekli oldu¼gunugösterir. Hilbert Dönüşümü, Cuchy Integrli, Riesz Integrli ve Bessel Integrli bu tip singüler integrllere örnek olrk verilebilir (Stein1970, Stein-Weiss 1971). Uygulm lnlr nd krş lş ln özel örneklerden bz lr ş¼g dd r: i) Tn m bölgesinin D ( ¼;¼), indis kümesinin (0;1) ve limit nokts n n 2
01, H(t x; ) fonksiyonunun H(t x; ) 1 2 1 2 cos(t x)+ 2 şeklinde seçilmesi ile elde edilen integrl (Poisson integrli), birim diredeki Dirichlet probleminin çözümünü vermektedir. ii) Tn m bölgesi D ( 1;1), indis kümesi (0; 1) ve 0 limit nokts 0; H(t x; ) fonksiyonu ¼ 1 2+(t x) 2 olrk seçilirse Abel-Poisson integrli elde edilir. Bu integrl üst yr düzlemdeki Dirichlet probleminin çözümüdür. iii) Tn m bölgesinin D ( 1; 1), indis kümesinin (0; 1) ve 0 limit nokts n n 1; H(t x; ) fonksiyonunun p ¼ e 2(t x) 2 olrk seçilmesi sonucund elde edilen Guss-Weierstrss integrli, tüm reel eksende s denkleminin çözümüdür. iv) Tn m bölgesinin D ( ¼;¼), indis kümesinin N veh n (t x) fonksiyonunun 1 2n¼ 2 6 sin n 3 (t x) 4 2 7 sin 1 5 (t x) 2 seçilmesi ile elde edilen Fejer integrli, f fonksiyonunun Fourier serisinin k smi toplmlr n n ritmetik ortlms n vermektedir. 2 Ayr c belirtelim ki, konvolüsyontipli integrller yklş mlr teorisinde büyük öneme shiptirler. Çünkü konvolüsyon tipli integrller, iyi özelliklere ship oln fonksiyonlr n bu iyi özelliklerini konvolüsyon işlemi sonund elde edilen fonksiyon kl tsl olrk tş rlr. Bugerçeklerinorty ç kms, çeşitli lnlrd krş lş ln problemlerin konvolüsyontipli integrllerinve yklş mlr teorisininyrd m yl çözülebilece¼gi 3
krini orty ç krm şt r. (1.3) tipindeki opertörleri yklş mlr teorisinde kullnn ilk mtemtikçiler Lebesgue (1900), Ftou (1906), Fejer (1900) olrk söylenebilir. Bu mtemtikçiler D bölgesini, indis kümesini ve H(t x; ) çekirdek fonksiyonunu özel olrk seçerek (1.3) tipindeki opertörleri birer integrl olrk gözönüne lrk, hem integrllerin özelliklerini incelemişler hemde bz yklş m problemlerinin çözümleri için yeterli koşullr elde etmişlerdir. (1.3) tipindeki opertörler ilk olrk Romnowsky trf ndn prmetreye b¼gl opertörler dizisi olrk ele l nm şt r. Romnowski nin önderli¼ginde bşlyn, Fddeyev (1936), Tndori (1954), Butzer (1960), Memmedov (1961), Sikkem (1983), Brdro (1984), Brdro et l.(2003), Avrmidou (2005) ve di¼gerleri ile devm eden, çekirdek fonksiyonunun bz şrtlr s¼glyn bir dizi olrk l nms ile isptlnm ş oln yk nskl k teoremleri, bu teorinin uygulm ln n genişletmiştir. 1962 y l nd Polonyl ünlü mtemtikçi Tberski integrllenebilen fonksiyonlr s n f ndki yklş m problemini iki prmetreye b¼gl olrk ileye genişletmiştir. Dh sonr Hciyev (1968), Rydzewsk (1973) ve di¼ger mtemtikçilerin iki prmetreye b¼gl singüler integrller ilesi için elde ettikleri sonuçlr, yklş m problemi için dh genel teoremler isptlnms n s¼glm şt r. Ayr c belirtelimki, yk nskl ¼g n do¼gl bir sonucu olrk d bu yk nskl ¼g n h z nedir problemiyle krş lş l r. E¼ger lim 0; lim 0 ve lim! 0! 0! 0 0 ise, bu durumd, ( )o( ) (1.4) olur. (1.4) eşitli¼gi( ) n n s f r yk nsm h z n n,( ) s f r ilesinin s f r yk nsm h z ndn dh h zl oldu¼gunu gösterir. Yk nskl k h z n belirlemek için kulln ln bşk bir yöntemi ş¼g dki gibi verebiliriz. 4
lim 0; lim 0ve lim! 0! 0 h zl s f r yk ns yorlr denir ve! 0 k< 1 ise, bu durumd( ) ile( ) denk ( )O( ) ile gösterilir. Bu ise yk nskl k h z n n bulunbilmesi için yukr dki koşullr s¼glyn uygun bir ( ) s f r ilesinin vr olms gerekti¼gini gösterir. Böyle bir s f r ilesi genellikle ele l nn opertörler ilesi kulln lrk incelemenin yp ld ¼g fonksiyon uzy üzerinde tn mlnm ş olnsüreklilik modülü yrd m yl verilir. Bu tezde öncelikle K(t x; ) çekirdek fonksiyonun ship L(f;x; ) f(t)k(t x; )dt ; x 2<;b> biçiminde tn ml iki prmetreye b¼gl konvolüsyon tipli singüler integrller ilesi incelenmiştir. Önceki çl şmlr n ksine, bizim gözönüne ld ¼g m z singüler integrl opertörler ilesinin çekirde¼gi 2¼ periyotlu, çift ve pozitif olmk zorund de¼gildir. Ayr c belirtelim ki f fonksiyonu d 2¼ periyotlu olmk zorund de¼gildir, ksine key bir < ; b>½ R rl ¼g üzerinde tn ml Lebesgue nlm nd integrllenebilen bir fonksiyondur. Ilk olrk, bu singüler integrller ilesinin yrtt ¼g opertörler ilesinin L p (;b) uzy ndn L p (;b) uzy n s n rl bir dönüşüm oldu¼gu gösterilmiştir. Dh sonr bu opertörler ilesi yrd m yl Lebesgue nlm nd integrllenebilen fonksiyonlr n krkteristik noktlr ndki yk nskl klr elde edilmiştir. Ayr c Lebesgue nlm nd integrllenebilen fonksiyonlr n belirli bir x 0 nokts ndr: mertebeden türevinin ve (r + 1): mertebeden s¼g ve sol türevinin sonlu olms durumund, s rs ylm1;2;:::;r için @ lim m L(f;x; ) f (m) (x (x; )!(x 0 ; 0) @x m 0 ) 5
ve lim (x; )!(x 0 ; 0) @ r+1 L(f;x; ) @x r+1 f(r+1) + (x 0 )+f (r+1) (x 0 ) 2 yk nskl klr gösterildikten sonr opertörün türevleri için dh genel teoremler isptlnm şt r. Arşt rd ¼g m z tüm yk nskl klrd,(x; ) nokts n n(x 0 ; 0) nokts n yklşc¼g nokt kümeleri belirtilmiştir. Son olrk ise, süreklilik modülü yrd m yl yk nskl k h zlr gösterilmiştir. 6
2. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde, tezimizde ihtiyç duyc¼g m z, bz bilinen tn m, teorem ve notsyonlr verece¼giz: R; reel sy lr kümesini göstermek üzere,d ½ R kümesi üzerinde tn ml Lebesque nlm nd integrllenebilen fonksiyonlr n uzy L(D) ile gösterilsin. Bu uzy üzerinde dönüşüm ypn lineer bir integrl opertör L(f;x) f(t)k(t;x)dt ; x 2D (2.1) D biçiminde verilebilir. Burd K(t; x), D D üzerinde tn ml, özellikleri önceden bilinen bir fonksiyondur. Özel olrk (2.1) formülündek(t;x)h(t x) olrk l n rs, f(t)h(t x)dt ; x 2D D biçimindeki Konvolüsyon Tipi Lineer Integrl Opertör elde edilir. Tn m 2.1. bir indis kümesi ve 0 bu kümenin bir y ¼g lm nokts olsun. 2 için, L(f;x; ) f(t)h(t x; )dt ; x 2D D biçimindeki integrl Konvolüsyon Tipi Integrl Opertörler Ailesi olrk dlnd r l r. Tn m 2.1 de indis kümesi N (do¼gl sy lr kümesi) l n rs, bu durumd Konvolüsyon Tipi Integrl Opertörler Dizisi elde edilir. Tn m 2.2. prmetresi ½ R + 0 indis kümesinin elemn olmk üzere, 0 bu kümenin bir y ¼g lm nokts olsun. fk(t; )g fonksiyon s n f n ş¼g dki şrtlr s¼gld ¼g tktirde Çekirdek denir: ) Her bir 2 için K(:; ) integrllenebilir. 7
b ) Her 2 için (Butzer nd Nessel 1971). D K(t; )dte<1 K(t 0 ; ) 1 özel- Tn m 2.3. fk(t; )g çekirde¼gi, belirli birt 0 nokts nd lim! 0 li¼gini s¼gld ¼g tktirde Singüler Çekirdek ve L(f;x; ) f(t)k(t x; )dt ; x 2D (2.2) D integrl opertörler ilesi ise Konvolüsyon Tipi Singüler Integrller Ailesi d n l r (Butzer nd Nessel 1971). Tn m 2.4. fk(t; )g çekirde¼gi, ) Her 2 için kk(:; )k 1 M< 1 olck şekilde birm sy s vrd r b ) Belirlenmiş her±>0sy s için lim! 0 " sup jk(t; )j ± jtj # 0; şrtlr n s¼gld ¼g tktirde Yklş k Birim Opertörü (Approximte Identity) olrk dlnd r l r (Butzer nd Nessel 1971). Şimdi de krkteristik noktlr olrk dlnd r ln bz özel noktlr n tn mlr n verelim. Tn m 2.5. f 2L 1 (;b) olmk üzere; 1 lim h!0 + h h 0 jf(x 0 +t) f(x 0 )jdt0 (2.3) eşitli¼ginin s¼glnd ¼g x 0 nokts nf fonksiyonunun Lebesque nokts denir (Butzer nd Nessel 1971). 8
Tn m 2.6. f 2L 1 (;b) olmk üzere; 1 lim h!0 + h h 0 [f(x 0 +t) f(x 0 )]dt0 (2.4) eşitli¼ginin s¼glnd ¼g x 0 nokts n f fonksiyonunun d nokts denir (Butzer nd Nessel 1971). Tn m 2.7. f 2L 1 (;b) olmk üzere; 1 lim h!0 + h +1 h 0 jf(x 0 +t) f(x 0 )jdt0 (0< <1) (2.5) eşitli¼ginin s¼glnd ¼g x 0 nokts nf fonksiyonunun genelleştirilmiş Lebesque nokts denir (Brdro 1984). Tn m 2.8. bir indis kümesi ve 0 bu kümenin bir y ¼g lm nokts olsun. 2 olmk üzere; lim 0! 0 olck biçimdeki( ) ilesine bir s f r ilesi d verilir. Tn m 2.9. f 2L 1 (;b) olmk üzere;! 1 (f;±)sup jf(x+t) f(x)jdx (2.6) jtj ± ifdesine,ffonksiyonununl 1 süreklilik modülü denir (Butzer nd Nessel 1971). Süreklilik modülünün temel özellikleri ş¼g dki teoremle verilebilir. Teorem 2.2. f 2L 1 (;b) olmk üzere; ) lim ±!0! 1 (f;±)0 d r. 9
b ) m 2 N olmk üzere! 1 (f;m±) m! 1 (f;±) d r. c) >0key bir reel sy iken! 1 (f; ±) (1+ )! 1 (f;±) d r (Ntnson 1964). Lemm 2.1. (Ntnson Lemms ) f fonksiyonu[; b] üzerinde tn ml, integrllenebilir olsun ve M sup 0<h b 8 < 1 : h +h 9 f(t)dt ; < 1 eşitsizli¼gini s¼gls n. g fonksiyonu [; b] üzerinde tn ml, negtif olmyn, toplnbilir ve zln bir fonksiyon olsun. Bu durumd, integrli mevcuttur ve eşitsizli¼gi geçerlidir (Ntnson 1964). f(t)g(t)dt f(t)g(t)dt M g(t)dt Şimdi indis olmk üzere L(f;x; ) f(t)k(t x; )dt ; x 2[;b] singüler integrl opertörler ilesinin yk nskl ¼g yl ilgili bz çl şmlr yer verelim. Tberski 1962 y l nd Ntnson Lemms n n bir genelleşmesini ş¼g dki gibi ver- 10
miştir. Lemm 2.2. ' 2 BV[+ ;b];(0 < <b ) olsun, öyle ki; v(s)vr R ( s<b) vev(b)0oldu¼gund b v(s)ds < 1 s¼glns n. s t b '(t) Bu durumd, M sup 0<h b 1 h +h f(t)dt < 1 ; f 2L 1[;b] ise integrli vrd r ve I f(t)'(t)dt + jij M [v(s)+j'(b)j]ds eşitsizli¼gi do¼grudur (Tberski 1962). Tberski dh sonr, ¼ L(f;x; ) f(t)k(t x; )dt ¼ singüler integrl opertörler ilesinin, x 0 nokts n nf fonksiyo- nunun d nokts olms hlindeki yk nsms ile ilgili (Romnowski ve Fddeyev tipinde oln) ş¼g dki teoremi vermiştir. Teorem 2.4. K(t; ) fonksiyonu, her 2 içintnin fonksiyonu olrk negtifolmyn,2¼ periyotlu, çift, s n rl, ölçülebilir,[0;¼] de rtmyn olsun. i) lim! 0 ¼ ¼ K(t; )dt1 ; ( 2 ^) 11
ve ii) lim! 0 K(±; )0 ; (0<± ¼) koşullr s¼glns n. Bu durumd,f 2L 1 [ ¼;¼] için lim h!0 x0+h x0 f(t)dtf(x 0 ) eşitli¼ginin s¼glnd ¼g x 0 nokts nd ve (x; )(x x 0 )K(0; ) fonksiyonunun s n rl oldu¼gu(x; ) noktlr kümesinde, dir (Tberski 1962). lim L(f;x; )f(x 0) (x; )!(x0; 0) Ayn yk nsmn n, K(t; ) fonksiyonunun negtif olmm şrt n n kld r lms ve yerine jk(t; )j K 1 (t; ) biçiminde bir şrt n konulms hlinde de vr oldu¼gu gösterilmiştir ve teoremin bir sonucu olrk verilmiştir (Tberski 1962 ). Bu sonuçtki K 1(t; ) fonksiyonu, K(t; ) fonksiyonunun, negtif olmm şrt n n d ş nd s¼gld ¼g tüm şrtlr s¼glyck şekilde bir fonksiyondur. Ayr c yine yn mklede f fonksiyonun türevlerinin yk nsms ile ilgili olrk ş¼g dki Teorem isptlnm şt r. Teorem 2.5. Her 2 ve t 2 ( 1; 1) içink(t; ) yklş k birim opertörü (Approximte Identity) ve @º K(t; ) @t º (º 1;2;:::;r) fonksiyonlr sürekli olsun. Vrsyl m ki, ¼ sup sin r t @r K(t; ) 2^ @t r dt < 1 0 ve her0<± ¼ için lim sup! 0± t ¼ @r K(t; ) @t r 0 12
şrtlr d s¼glns n. x 0 belirli nokt vec º pozitif bir sbit olmk üzere jx x 0 j º ¼ 0 sin r º t @ r K(t; ) @t dt C r º (º1;2;:::;r) eşitsizli¼ginin s¼glnd ¼g noktlr kümesi S olsun. x 0 nokts ndf 2L 1 [ ¼;¼] fonksiyonununf (r) (x 0 ) türevinin sonlu olms hlinde, S kümesi üzerinde lim (x; )!(x 0 ; 0) @ r L(f;x; ) @x r lim ¼ (x; )!(x 0 ; 0) ¼ f(t) @r K(t x; ) @x r dtf (r) (x 0 ) yk nsms vrd r (Tberski 1962). Lemm 2.3. ¹ fonksiyonu [0; b ] üzerinde tn ml, rtn, mutlk sürekli ve ¹(0)0şrtlr n s¼glyn bir fonksiyon olsun.' fonksiyonu ise her[+ ;b]; (0< < b ) rl ¼g nd s n rl sl n ml olsun. Ayr c, v(t) vr t s b olmk üzere şrt gerçeklensin. Bu durumd, iken M sup 0<h b 1 ¹(h) ¹ 0 (t )v(t)dt< 1 +h b f(t)'(t)dt M + eşitsizli¼gi s¼gln r (Hciyev 1968). f(t)dt <1 ; f 2L 1[;b] [v(t)+ j'(b)j]¹ 0 (t )dt '(s) ( t<b) 1973 y l nd Rydzewsk f 2L 1 ( ¼;¼) ve K(t; ) çekirdek fonksiyonunun her bir 2 içint nin fonksiyonu olrk 2¼ periyotlu, çift, s n rl, ölçülebilir bir yklş k 13
birim opertörü (Approximte Identity) olms durumund; ¼ U(f;x; ) f(t)k(t x; )dt ¼ konvolüsyon tipi singüler integrl opertörler ilesi için ş¼g dki Teorem i isptlm şt r. Teorem 2.6. K 2 (t; ) fonksiyonu, her bir 2 için[0;¼] rl ¼g ndt nin fonksiyonu olrk zln, negtif olmyn bir fonksiyon olsun.»( ) fonksiyonuise tüm kümesi üzerinde tn ml, pozitif ve! 0 oldu¼gund»( )!0 şrtlr n s¼gls n. Ayr c, pozitif bir ¼ içinş¼g dki koşullr s¼glns n: i) jk(t; )j K 2 (t; );t 2[0;¼] ve 2 ii) 0 K 2 (t; )¹0 (t)dto(»( )) (! 0) Her[;b] ½(0;¼] rl ¼g için, iii)2 ¼ 0 K(t; )dt 1o(»( )) (! 0) iv) K(t; )dto(»( )) (! 0) Bu durumd, herf 2L 1 ( ¼;¼) fonksiyonu için h 0 jf(x 0 +t)+f(x 0 t) 2f(x 0 )jdto(¹(h)) ; h!0 + şrt n n s¼glnd ¼g x 0 noktlr nd,! 0 oldu¼gund, U(f;x 0 ; ) f(x 0 )o(»( )) eşitsizli¼gi vrd r. 14
Burd ¹ fonksiyonu, [0;¼] rl ¼g nd tn ml ¹(0) 0 şrt n s¼glyn, mutlk sürekli ve çift olmyn belirli bir fonksiyondur. Rydzewsk, yn mklenin üçüncü k sm nd ise, konvolüsyon tipi singüler integrl opertörler ilesi için ş¼g dki teoremi isptlm şt r. Teorem 2.7.»(x; ) fonksiyonu,(x; )!(x 0 ; 0) iken»(x; )!0 şrt n s¼glyn pozitif fonksiyon olsun. K 3 (t; ) fonksiyonu, her bir 2 ler için[0;¼] rl ¼g nd t nin fonksiyonu olrk 2¼ periyotlu, zln, negtif-olmynbir fonksiyon olsun ve ş¼g dki koşullr s¼glns n. i) jk(t; )j K 3 (t; );t 2[0;¼] ve 2 ii) x0+ x 0 K 3 (t x; )¹0 (jt x 0 j)dt+2k 3 (0; )¹0 (jx x 0 j)o(»(x; )) ((x; )!(x 0 ; 0) ve ¼) iii) ¼ ¼ K(t; )dt1 (8 2 ) iv) Her pozitifc<¼ vet 2[c;¼] olmk üzere,(x; )!(x 0 ; 0) için K 3 (t; )o(»(x; )): Bu durumd, 8f 2L 1 ( ¼;¼) fonksiyonu için h 0 jf(x 0 +t)+f(x 0 t) 2f(x 0 )jdto(¹(h)) ; h!0 + şrt n n s¼glnd ¼g x 0 noktlr nd(x; )!(x 0 ; 0) iken U(f;x; ) f(x 0 )o(»(x; )) olur. 15
3. KONVOLÜSYON T IP I S INGÜLER INTEGRAL OPERATÖRLER A ILES IN INL 1 (;b) UAYINDA KARAKTER IST IK NOKTALAR- DAK I YAKINSAKLI ¼ GI Bu bölümde ilk olrk A s n f d n verece¼gimiz yeni bir çekirdek s n f n tn mlyc¼g z. Dh sonr konvolüsyon tipi singüler integrl opertörler ilesi nin, çekirdek fonksiyonlr n n A s n f ndn olms durumund,l p (;b) uzy ndnl p (;b) uzy n s n rl bir dönüşüm oldu¼gunu gösterece¼giz. Son olrk ise L 1 (;b) uzy ndki bz krkteristik noktlrdki yk nskl klr inceleyece¼giz. Tn m 3.1. bir indis kümesi ve 0 bu kümenin bir y ¼g lm nokts olsun. K(t; ) fonksiyonun ş¼g dki şrtlr s¼gld ¼g tktirde A s n f ndn d r denir: )K(t; ) fonksiyonu, her bir 2 içint nin fonksiyonu olrk tüm reel eksende tn ml d r. b) Her 2 için kk(:; )k 1 M < 1 (3.1) olck şekilde bir M sy s vrd r. c) Her bir 2 içink(0; ) sonludur. d) < ; b > reel eksenin herhngi bir lt rl ¼g n göstermek üzere lim (x; )!(x0; 0) K(t x; )dt 1 ; x 2<;b>: (3.2) e) Belirlenmiş her >0 sy s için lim! 0 " sup jk(t; )j jtj # 0: (3.3) Teorem 3.1. 1 p< 1 olsun. K(t; ) fonksiyonu A s n f ndn ise, L(f;x; ) f(t)k(t x; )dt ; x 2<;b> (3.4) 16
Konvolüsyon Tipi Singüler Integrl Opertörler Ailesi L p (;b) uzy ndnl p (;b) uzy n sürekli dönüşüm ypr. Ispt. p 1 ll m. (3.4) denklemindeki gibi tn mlnn L(f; x; ) opertörü lineer oldu¼gundn,l 1 (;b) uzy ndnl 1 (;b) uzy n dönüşüm ypn s n rl opertör oldu¼gunu göstermek yeterlidir. Bunun için kl( )k sup f60 kl(f;x; )k L1 (;b) kfk L1(;b) normunun s n rl oldu¼gunun gösterilmesi gerekmektedir: b kl(f;x; )k L1(;b) f(t)k(t x; )dt dx eşitli¼gini göz önüne ll m. Mutlk de¼ger fonksiyonunun özelli¼ginden kl(f;x; )k L1(;b) 0 @ 1 jf(t)k(t x; )jdtadx eşitsizli¼gi yz lbilir. Eşitsizli¼gin s¼g ndki ifdeye Fubini Teoremi ni uygulr, yni integrllerin s rs n de¼giştirirsek kl(f;x; )k L1 (;b) 0 jf(t)j @ 1 jk(t x; )jdxadt bulunur. Mutlk de¼ger fonksiyonunun poziti ik özelli¼ginden elde edilen son eşitsizli¼gin s¼g ndki integrllerdenx de¼gişkenine göre l nn n s n rlr n ( 1; 1) genişletirsek kl(f;x; )k L1 (;b) 0 jf(t)j@ 1 1 kkk 1 kfk L1 (;b) 1 jk(t x; )jdxa dt 17
eşitsizli¼gini elde ederiz. Son ifdede (3.1) koşulugöz önüne l n rs kl( )k sup f60 kl(f;x; )k L1(;b) kfk L1 (;b) M< 1 eşitsizli¼ginin s¼glnd ¼g görülür. Böylece p 1 durumund ispt tmmlnm ş olur. 1<p< 1 ll m. kl( )k sup f60 normunun s n rl oldu¼gunu gösterece¼giz. 8» < f (t) : kl(f;x; )k Lp(;b) kfk Lp(;b) f(t) ; t 2[;b] 0 ; t 2[;b] biçiminde» f fonsiyonunu tn mlyl m. kl(f;x; )k Lp(;b) L( f;x; )» Lp (;b) 0 @ 1 1 0 @ 1 1» f (t+x)k(t; )dt» f (t)k(t x; )dt p 1 dxa 1 p p 1 dxa 1 p eşitli¼gi elde edilir. Son eşitli¼gin s¼g trf ndki ifdeye genelleştirilmiş Minkowski eşitsizli¼gi uyguln r ve (3.1) koşulu dikkte l n rs kl(f;x; )k Lp(;b) 1 1 1 1 1 1 0 @» f(t+x) 0 jk(t; )j@ 0 jk(t; )j@ b+t +t p 1 jk(t; )j p dxa» f (u) jf(u)j p dua 11 p p du A dt 1 1 p 1 p dt dt M kfk Lp(;b) 18
elde edilir. Bu ise göstermek istedi¼gimizdir. Teorem 3.2. K(t; ) fonksiyonu A s n f ndn olsunve jk(t x; )j fonksiyonu her bir 2 içintye göre[;x 0 ] rl ¼g nd zlmyn,[x 0 ;b] rl ¼g nd ise rtmyn olsun. Bu durumd,x 0 nokts f 2L 1 (;b) fonksiyonunun süreklilik nokts ise, olur. lim L(f;x; )f(x 0) (3.5) (x; )!(x 0 ; 0) Ispt. x 0 +±<b;>ve0 x 0 x< ± 2 oldu¼gunu vrsyl m. f fonksiyonu x 0 nokts nd sürekli oldu¼gundn, 8" >0için enz bir ±> 0 sy s vrd r öyle ki jt x 0 j< ± iken jf(t) f(x 0 )j< " s¼gln r. Bu özelli¼gi kullnrk L(f;x; ) ile f(x 0 ) rs ndki frk n limit konumund s f r gitti¼gini göstermeye çl şc¼g z. K(t; ) fonksiyonunun(3:2) özelli¼ginden yrrlnrk jl(f;x; ) f(x 0 )j f(t)k(t x; )dt f(x 0 ) f(t)k(t x; )dt f(x 0 ) jf(t) f(x 0 )jjk(t x; )jdt+ jf(x 0 )j K(t x; )dt f(x 0 ) K(t x; )dt 1 K(t x; )dt+f(x 0 ) eşitsizli¼gi yz lbilir. x 0 nokts f fonksiyonunun süreklilik nokts oldu¼gundn, bu eşitsizli¼gi jl(f;x; ) f(x 0 )j 8 < : + x 0 +± x0 ± + jf(x 0 )j 9 + ; jf(t) f(x 0)jjK(t x; )jdt x0+± K(t x; )dt 1 19
I 1 (x; )+I 2 (x; )+I 3 (x; )+I 4 (x; ) (3.6) şeklinde yz l m. ÖncelikleI 1 (x; ) vei 3 (x; ) integrllerini ele ll m. I 1 (x; ) x0 ± jf(t) f(x 0 )j jk(t x; )jdt olup, jk(t x; )j fonksiyonu her bir 2 için t nin fonksiyonu olrk [;x 0 ] rl ¼g nd zlmyn oldu¼gundn, I 1 (x; ) jk( x; )j x0 ± jf(t) f(x 0 )jdt eşitsizli¼gi yz lbilir. 0 x 0 x< ± 2 kbulünden doly x< ± 2 olup, bu ise jk( x; )j K( ± 2 ; ) eşitsizli¼ginin do¼gru oldu¼gunu gösterir. I 1 (x; ) için bulunn eşitsizli¼gin s¼g ndki integrlde mutlk de¼gere it üçgen eşitsizli¼gi uyguln r ve integrl işleminin lineerli¼gi kulln l rs I 1 (x; ) 8 9 x0 ± < x0 ± K( ± 2 ; ) jf(t)j dt+ jf(x : 0 )jdt ; n o K( ± 2 ; ) kfk + jf(x L1(;b) 0)j(b ) (3.7) eşitsizli¼gi elde edilir. Benzer şekilde, jk(t x; )j fonksiyonu her bir 2 içint ye göre[x 0 ;b] rl ¼g nd 20
rtmyn oldu¼gundn, I 3 (x; ) jk(x 0 +± x; )j jf(t) f(x 0 )jdt K(± 2 ; ) x0+± n kfk L1(;b) + jf(x 0)j(b ) o (3.8) bulunur. Şimdi isei 2 (x; ) integrlini gözönüne ll m. I 2 (x; ) jf(t) f(x 0 )j jk(t x; )jdt x0+± olup,x 0 nokts f fonksiyonunun süreklilik nokts oldu¼gundn ve(3:1) den, I 2 (x; ) " jk(t x; )jdt " jk(t x; )jdt "M< 1 (3.9) x 0 +± yz lbilir. (3:7);(3:8) ve(3:9) eşitsizliklerinin(3:6) d kulln lms sonucund jl(f;x; ) f(x 0 )j µk( ± 2 ; ) ; ) n o + K(± kfk 2 + jf(x L1(;b) 0)j(b ) +"M+ jf(x 0 )j K(t x; )dt 1 eşitsizli¼gi elde edilir. K(t; ) çekirdek fonksiyonunun(3:2) ve(3:3) özelliklerinden, eşitli¼gi elde edilmiş olur. lim L(f;x; )f(x 0) (x; )!(x 0 ; 0) 21
0 x x 0 < ± 2 olrk l nms durumund ispt benzer şekilde yp l r. Böylece teorem isptlnm ş olur. Teorem 3.3. K(t; ) fonksiyonu A s n f nd olmk üzere, her bir 2 için jk(t x; )j çekirde¼gi t de¼gişkenine göre [;x 0 ] rl ¼g nd zlmyn, [x 0 ;b] rl ¼g nd ise rtmyn olsun. Bu durumd (2.3) eşitli¼gini s¼glyn her bir x 0 nokts nd eşitli¼gi geçerlidir. lim L(f;x; )f(x 0) (x; )!(x0; 0) Ispt. x 0 +±<b;>ve0 x 0 x< ± 2 olsun. x 0 nokts (2.3) eşitli¼gini s¼gld ¼g ndn, bşk bir deyişle, x 0 nokts f 2 L 1 (;b) fonksiyonunun Lebesque nokts oldu¼gundn 1 lim h!0 + h h 0 jf(x 0 +t) f(x 0 )jdt0 (3.10) ve 1 lim h!0 + h 0 h jf(x 0 +t) f(x 0 )jdt0 (3.11) eşitlikleri vrd r. (3:10),(3:11) ve limit tn m ndn 8" > 0 için9± > 0 öyle ki 8h; 0<h ±; için, ve x0+h x 0 jf(t) f(x 0 )jdt<"h (3.12) x0 x 0 h eşitsizliklerinin s¼glnd ¼g görülür. jf(t) f(x 0 )jdt<"h (3.13) K(t; ) fonksiyonunun(3:2) özelli¼ginden vex 0 Lebesgue nokts (bk (2.3)) oldu¼gun- 22
dn jl(f;x; ) f(x 0 )j f(t)k(t x; )dt f(x 0 ) f(t)k(t x; )dt f(x 0 ) +f(x 0 ) K(t x; )dt f(x 0 ) jf(t) f(x 0 )j jk(t x; )jdt +jf(x 0 )j 8 x < 0 ± + : +jf(x 0 )j x 0 K(t x; )dt K(t x; )dt 1 x 0 +± 9 + + ; jf(t) f(x 0)jjK(t x; )jdt x0 x 0 +± K(t x; )dt 1 I 1 (x; )+I 2 (x; )+I 3 (x; )+I 4 (x; )+I 5 (x; ) (3.14) eşitsizli¼gini yzbiliriz. Bu integrlleri teker teker hesplyl m. ÖncelikleI 1 (x; ) integrli için bir eşitsizlik elde edelim. I 1 (x; ) jf(t) f(x 0 )j jk(t x; )jdt x0 ± jk( x; j) jf(t) f(x 0 )jdt K( ± 2 ; ) jf(t) f(x 0 )jdt 23
8 9 < K( ± 2 ; ) jf(t)j dt+ jf(x : 0 )jdt ; n o K( ± 2 ; ) kfk + jf(x L1(;b) 0)j(b ) (3.15) olrk bulunur. Benzer eşitsizliki 4 (x; ) için de elde edilebilir: I 4 (x; ) jf(t) f(x 0 )j jk(t x; )jdt x0+± jk(±; )j K(± 2 ; ) jf(t) f(x 0 )jdt n kfk L1(;b) + jf(x 0)j(b ) o : (3.16) I 2 (x; ) x0 x0 ± jf(t) f(x 0 )j jk(t x; )jdt olup,(3:13) eşitsizli¼ginin s¼glnd ¼g n gözönüne lrk ş¼g dki gibi bir F fonksiyonu tn mlyl m. F(t) x 0 jf(y) f(x 0 )jdy: Burd0<x 0 t ± iken t F(t) "(x 0 t) (3.17) eşitsizli¼gi s¼gln r. Gerçekten F(t) x 0 t 1 x 0 t x0 t jf(y) f(x 0 )jdy eşitli¼gini yzrsk,x 0 t ±oldu¼gund (3.13) koşulundn (3.17) eşitsizli¼ginin s¼glnd ¼g görülür. 24
I 2 (x; ) integrlinde k smi integrsyon uyguln rs, ji 2 (x; )j F() jk( x; )j+ x0 x0 ± x 0 F(t)d t (jk(t x; )j) jf()jjk( x; )j+ jf(t)jd t (jk(t x; )j) x0 ± eşitsizli¼gi elde edilir. [;x 0 ] rl ¼g nd d t (jk(t x; )j) 0 olms ve son eşitsizlikteki jf(t)j fonksiyonu için (3:17) eşitsizli¼ginin kulln lbilece¼gini gösterir. Burdn ise ji 2 (x; )j "± K( ± 2 ; )+" x 0 x0 ± (x 0 t)d t (jk(t x; )j) olckt r. Burd tekrr k smi integrsyon uyguln rs, (3.1) koşulundn ji 2 (x; )j "± " 8 < K( ± 2 ; )+" : ± K( ± 2 ; )+ x 0 jk(t x; )jdt x 0 x0 ± 9 jk(t x; )jdt ; "M (3.18) eşitsizli¼gine ulş lm ş olunur. Benzer yöntemin kulln lms ilei 3 (x; ) integrli ise ş¼g dki gibi bulunur; I 3 (x; ) x 0 +± jf(t) f(x 0 )j jk(t x; )jdt: x0 (3:12) yi dikkte lrk ş¼g dki G fonksiyonu tn mlyl m. G(t) t x 0 jf(y) f(x 0 )jdy: 25
G fonksiyonu,0<t x 0 ± iken G(t) 1 t x 0 t x 0 t x 0 jf(y) f(x 0 )jdy eşitli¼ginden ve (3.12) den G(t) "(t x 0 ) (3.19) eşitsizli¼ginin s¼glnd ¼g görülür. I 3 (x; ) integrlinde k smi integrsyon uyguln rs, ji 3 (x; )j G(x 0+±) jk(x 0 +± x; )j+ jg(x 0 +±)j K(± 2 ; )+ x 0 +± x0+± x0 G(t)d t ( jk(t x; )j) x 0 jg(t)jd t ( jk(t x; )j) bulunur. Eşitsizli¼gin s¼g ndki integrli gözönüne ll m. [x 0 ;x 0 +±] rl ¼g üzerinde jk(t x; )j fonksiyonunun rtmyn doly s yld t ( jk(t x; )j) 0 olms ndn doly ve(3:19) eşitsizli¼gininden ji 3 (x; )j "± K(± 2 ; )+" x0+± x0 (t x 0 )d t ( jk(t x; )j) olckt r. Burd tekrr k smi integrsyon uyguln r ve (3.1) dikkte l n rs, ji 3 (x; )j "± 8 < K(± 2 ; )+" : ± K(± 2 ; )+ x 0 +± x 0 +± x0 9 jk(t x; )jdt ; " jk(t x; )jdt x 0 "M (3.20) elde edilir. 26
(3:15);(3:16);(3:18) ve(3:20) eşitsizliklerinin(3:14) de kulln lms sonucund, jl(f;x; ) f(x 0 )j µk( ± 2 ; ) ; ) n o + K(± kfk 2 L1 (;b) + jf(x 0)j(b ) +2"M+ jf(x 0 )j K(t x; )dt 1 eşitsizli¼gi bulunur. K(t; ) fonksiyonunun(3:2) ve(3:3) özelliklerinden, olup, bu ise ispt tmmlr. lim L(f;x; )f(x 0) (x; )!(x0; 0) Teorem 3.4. A s n f ndn l nn K(t; ) fonksiyonu s n rl sl n ml olsun. Ayr c her bir 2 için jk(t x; )j fonksiyonutye göre [;x 0 ] rl ¼g nd zlmyn, [x 0 ;b] rl ¼g nd ise rtmyn olsun ve x0+± jx 0 tj jd t K(t x; )j C < 1 ; ( 2 ) (3.21) şrt s¼glns n. Bu durumd,x 0 nokts f fonksiyonunund-nokts ise eşitli¼gi do¼grudur. lim L(f;x; )f(x 0) (x; )!(x 0 ; 0) Ispt. x 0 +±<b;>ve0 x 0 x< ± 2 oldu¼gunu kbul edelim. x 0 nokts f 2L 1 (;b) fonksiyonunund-nokts oldu¼gundn 1 lim h!0 + h h 0 (f(x 0 +t) f(x 0 ))dt0 (3.22) 27
ve 1 lim h!0 + h 0 h (f(x 0 +t) f(x 0 ))dt0 (3.23) eşitlikleri vrd r. (3:22) ve(3:23) den, 8">0 için 9±>0öyle ki 8h; 0<h ± için, x 0 +h x0 (f(t) f(x 0 ))dt<"h (3.24) ve x 0 x0 h (f(t) f(x 0 ))dt<"h (3.25) eşitsizliklerinin vr oldu¼gu görülür. ŞimdiL(f;x; ) f(x 0 ) frk n bkl m. L(f;x; ) f(x 0 ) f(t)k(t x; )dt f(x 0 ) olup(3:2) özelli¼ginden L(f;x; ) f(x 0 ) f(t)k(t x; )dt f(x 0 ) +f(x 0 ) K(t x; )dt f(x 0 ) (f(t) f(x 0 ))K(t x; )dt 8 < +f(x 0 ) : 9 K(t x; )dt 1 ; K(t x; )dt olrk yzbiliriz. x 0 nokts f 2L 1 (;b) fonksiyonunund-nokts oldu¼gundn L(f;x; ) f(x 0 ) 8 < : + x 0 x0 ± + x 0 +± x 0 + x0+± 9 ; (f(t) f(x 0))K(t x; )dt 28
8 < +f(x 0 ) : 9 K(t x; )dt 1 ; I 1 (x; )+I 2 (x; )+I 3 (x; )+I 4 (x; )+I 5 (x; ) (3.26) olrk yzl m. Eşitli¼gin s¼g ndki her bir integrlin limit konumund s f r yk nsd ¼g n gösterebilirsek teoremin ispt tmmlnm ş olur. O hlde, bu integrlleri teker teker hesplyl m. I 1 (x; ) x0 ± (f(t) f(x 0 ))K(t x; )dt jf(t) f(x 0 )j jk(t x; )jdt K(± 2 ; ) K(± 2 ; ) jf(t) f(x 0 )jdt n kfk L1 (;b) + jf(x 0)j(b ) o (3.27) olrk bulunur. Benzer şekilde, I 4 (x; ) jf(t) f(x 0 )j jk(t x; )jdt x 0 +± jk(x 0 +± x; )j jf(t) f(x 0 )jdt K(± 2 ; ) x 0 +± n kfk L1 (;b) + jf(x 0)j(b ) o (3.28) eşitsizli¼gi elde edilir. Şimdi I 2 (x; ) x0 (f(t) f(x 0 ))K(t x; )dt integrlini ele ll m. (3:25) eşitsizli¼gini s¼glyck biçimde ş¼g dki fonksi- 29
yonunu tn mlyl m. Burdx 0 t ±iken x 0 (t) (f(y) f(x 0 ))dy: t (t) "(x 0 t) (3.29) eşitsizli¼ginin s¼glnd ¼g görülür. I 2 (x; ) integrlinde k smi integrsyon uyguln rs, I 2 (x; )()K( x; )+ x0 (t)d t K(t x; ) elde edilir. Her iki trf nmutlk de¼gerini ll m. ji 2 (x; )j ()K( x; )+ x0 x0 ± x 0 (t)d t K(t x; )dt j()j jk( x; )j+ j(t)jjd t K(t x; )j: x0 ± d t K(t x; ) ifdesi[;x 0 ] rl ¼g üzerinde negtif olmd ¼g ndn, j(t)j fonksiyonu için(3:29) eşitsizli¼gi kulln lbilir. Bu ise ji 2 (x; )j "± " K( ± 2 ; )+" ½ ± x 0 ¾ K(± 2 ; )+C (x 0 t) jd t K(t x; )j (3.30) eşitsizli¼ginin do¼gru oldu¼gunu gösterir. I 2 (x; ) integrli için kulln ln yöntemii 3 (x; ) integrli için de benzer olrk kullnl m. I 3 (x; ) x0+± x0 (f(t) f(x 0 ))K(t x; )dt olup,(3:24) eşitsizli¼ginin s¼glnd ¼g n gözönüne lrk ş¼g dki gibi bir S fonksiyonu 30
tn mlyl m. S(t) t (f(y) f(x 0 ))dy: x0 Burdt x 0 ±iken S(t) "(t x 0 ) (3.31) eşitsizli¼gini s¼gln r. I 3 (x; ) integrlinde k smi integrsyon uyguln rs ve mutlk de¼geri l n rs, x0+± ji 3 (x; )j S(x 0+±)K(x 0 +± x; ) S(t)d t K(t x; ) x 0 x0+± js(x 0 +±)jjk(x 0 +± x; )j+ js(t)jjd t K(t x; )j x0 elde edilir. [x 0 ;x 0 +±] rl ¼g ndd t K(t x; ) 0oldu¼gundn ve (3.31) den "± K(± 2 ; )+" " ½ ± x 0 ¾ K(± 2 ; )+C (t x 0 ) jd t K(t x; )j (3.32) eşitsizli¼gi bulunur. (3:27);(3:28);(3:30) ve(3:32) de s rs yli 1 ; I 2 ; I 3 vei 4 için elde edilen eşitsizliklerinin(3:26) d kulln lms sonucund, (L(f;x; ) f(x 0 )) n o K( ± 2 ; ) kfk +f(x L1(;b) 0)(b ) n o + K(± 2 ; ) kfk L1 (;b) +f(x 0)(b ) ½ ¾ +2" ± K(± 2 ; )+C 8 9 < +f(x 0 ) K(t x; )dt 1 : ; 31
eşitsizli¼gi elde edilir. Teorem 3.5. K(t; ) fonksiyonu As n f ndnolsun. Ayr c jk(t x; )j fonksiyonu her bir 2 ler için t nin fonksiyonu olrk [;x 0 ] rl ¼g nd zlmyn, [x 0 ;b] rl ¼g nd ise rtmyn olsun. f 2L 1 (;b) için 1 lim h!0 + h +1 h 0 eşitli¼ginin s¼glnd ¼g x 0 nokts nd, x 0 +± x0 ± jf(x 0 +t) f(x 0 )jdt0 (0 <1) (3.33) jk(t x; )j jt x 0 j dt+2jk(0; )j jx x 0 j +1 (3.34) fonksiyonunun s n rl oldu¼gu noktlr kümesi üzerinde, eşitli¼gi do¼grudur. lim L(f;x; )f(x 0) (x; )!(x0; 0) Ispt. x 0 +±<b;>ve0 x 0 x< ± 2 olsun. ji(x; )j: jl(f;x; ) f(x 0 )j tn m n ypl m. K(t; ) çekirdek fonksiyonunun(3:2) özelli¼gini vex 0 nokts f 2L 1 (;b) fonksiyonunun genelleştirilmiş Lebesgue nokts oldu¼gunugözönüne l rsk, ji(x; )j f(t)k(t x; )dt f(x 0 ) f(t)k(t x; )dt f(x 0 ) K(t x; )dt 32
+f(x 0 ) K(t x; )dt f(x 0 ) jf(t) f(x 0 )j jk(t x; )jdt + jf(x 0 )j K(t x; )dt 1 8 9 x0 ± < x0 x0+± + + + : ; jf(t) f(x 0)jjK(t x; )jdt x0 ± x 0 x0+± + jf(x 0 )j K(t x; )dt 1 I 1 (x; )+I 2 (x; )+I 3 (x; )+I 4 (x; )+I 5 (x; ) (3.35) eşitsizli¼gini yzbiliriz. Bu integrlleri teker teker hesplyl m. I 1 (x; ) jf(t) f(x 0 )jk(t x; )dt jk(t x; )j fonksiyonu her bir 2^ ler içint nin fonksiyonu olrk[;x 0 ] rl ¼g nd zlmyn oldu¼gundn I 1 (x; ) K( x; ) jf(t) f(x 0 )jdt olur. Ayr c0 x 0 x< ± 2 olrk kbul edildi¼ginden I 1 (x; ) K( ± b 2 ; ) jf(t) f(x 0 )jdt K( ± o nkfk 2 ; ) L1 (;b) + jf(x 0)j(b ) (3.36) bulunur. Benzer şekilde, I 4 (x; ) x0+± jf(t) f(x 0 )j jk(t x; j)dt 33
jk(x 0 +± x; )j jf(t) f(x 0 )jdt x0+± 8 9 < K(± 2 ; ) jf(t)j dt+ jf(x : 0 )jdt ; n o K(± 2 ; ) kfk + jf(x L1(;b) 0)j(b ) (3.37) eşitsizli¼gi elde edilir. I 2 (x; ) x 0 jf(t) f(x 0 )j jk(t x; )jdt olup,(3:33) eşitli¼ginin s¼glnd ¼g n gözönüne lrk x0 U(t) jf(y) f(x 0 )jdy: fonksiyonunu tn mlyl m. x 0 t ± iken t U(t) "(x 0 t) +1 (3.38) eşitsizli¼gi s¼gln r. I 2 (x; ) integrlinde k smi integrsyon uyguln rs, ji 2 (x; )j U() jk( x; )j+ ju()j K( ± 2 ; )+ eşitsizli¼gi elde edilir. Burd(3:38) den, x0 x 0 U(t)d t (jk(t x; )j) ju(t)jd t (jk(t x; )j) ji 2 (x; )j "± +1 K( ± 2 ; )+" x 0 (x 0 t) +1 d t (jk(t x; )j) x0 ± 34
olckt r. Eşitsizli¼gin s¼g ndki integrlde tekrr k smi integrsyon uyguln rs, ji 2 (x; )j "± K( +1 ± ½ 2 ; )+" ± K( +1 ± 2 ; ) 9 x0 +( +1) (x 0 t) jk(t x; )jdt ; "( +1) x0 ± x 0 x0 ± (x 0 t) jk(t x; )jdt (3.39) eşitsizli¼gine ulş lm ş olur. I 2;1 (x; ): x0 (x 0 t) jk(t x; ) jdt diyelim. jk(t x; )j fonksiyonu her bir 2 içintnin fonksiyonu olrk[;x 0 ] rl ¼g nd zlmyn oldu¼gundn; I 2;1 (x; ) x0 x 0 x0 ± ½ ¾ vr jk(s x; )j+ jk( x; )j (x 0 t) dt s t vr jk(s x; )j(x 0 t) dt+ jk( x; )j x0 ± s t x0 (x 0 t) dt eşitli¼gi elde edilir. Burd eşitli¼gin s¼g trf ndki birinci integrlde s x z de¼gişken de¼giştirmesi ypt ktn sonr z yerine s yz l rs; x 0 x x0 x ± bulunur. 0 x0 x ± vr jk(s; )j (x 0 x t) dt+ jk( x; )j x 0 x ± s t vr jk(s; )j (x 0 x t) dt+ x 0 x ± s t x 0 x 0 x 0 x0 ± (x 0 t) dt vr jk(s; )j(x 0 x t) dt x 0 x ± s t 35
+jk( x; )j x 0 (x 0 t) dt x0 ± Birinci ve ikinci integrllerde vr jk(s; )j ifdesinin ç l m yz l rs x 0 x ± s t 0 x 0 x ± [jk(t; )j jk( x; )j](x 0 x t) dt +jk( x; )j x0 (x 0 t) dt + x 0 x 0 0 x 0 x ± x0 ± [jk(0; )j jk( x; )j+jk(0; )j jk(t; )j](x 0 x t) dt jk(t; )j(x 0 x t) dt+2jk(0; )j 8 < jk( x; )j : x0 x 0 0 x 0 x ± (x 0 x t) dt+ x0 x 0 x 0 x jk(t; )j(x 0 x t) dt+ jk( x; )j bulunur. Burd gerekli düzenlemelerin yp lms ile 0 x 0 x ± jk(t; )j(x 0 t) dt x0 x 0 0 (x 0 x t) dt 9 (x 0 x t) dt ; x0 jk(t; )j(x 0 x t) dt (x 0 t) dt +2jK(0; )j(x x 0 ) +1 jk( x; )j x0 x (x 0 x t) dt x0 x ± +jk( x; )j x 0 (x 0 t) dt eşitli¼gi elde edilir. Son eşitlikteki birinci ve ikinci integrl topln rs 36
x0 x x0 x ± jk(t; )j(x 0 x t) dt+2jk(0; )j 8 < +jk( x; )j : x0 x0 ± (x 0 t) dt x0 x0 ± x0 x 0 (x 0 x t) dt 9 (x 0 t) dt ; x 0 x jk(t; )j(x 0 x t) dt+2jk(0; )j jx x 0 j +1 x0 x ± eşitsizli¼gine ulş l r. Sonuç olrk I 2;1 (x; ) x 0 jk(t x; )j(x 0 t) dt+ 2jK(0; )j jx x 0j +1 +1 (3.40) olur. O hlde (3.40) eşitsizli¼gi (3.39) d yerine yz l rs, 8 < ji 2 (x; )j " : ( +1) x0 x x 0 x ± jk(t; )j(x 0 t) dt+2 jk(0; )j jx x 0 j +1 9 ; (3.41) eşitsizli¼gi s¼glnm ş olur. Benzer yöntemin kulln lms ilei 3 (x; ) integrli ise ş¼g dki gibi bulunur. I 3 (x; ) x0+± jf(t) f(x 0 )j jk(t x; )jdt x0 olup,(3:33) eşitsizli¼ginden yrrlnrk ş¼g dki V fonksiyonunu tn mlyl m. t V(t) jf(y) f(x 0 )jdy: x0 Burdt x 0 ±iken V(t) "(t x 0 ) +1 (3.42) 37
oldu¼gu görülür. I 3 (x; ) integrlinde k smi integrsyon uyguln rs, x 0 +± ji 3 (x; )j V(x 0+±) jk(x 0 +± x; )j V(t)d t (jk(t x; )j) x 0 x0+± jv(x 0 +±)jjk(x 0 +± x; )j+ jv(t)jd t (jk(t x; )j) x0 eşitsizli¼gi elde edilir. d t (jk(t x; )j) ifdesinin[x 0 ;x 0 +±] rl ¼g üzerinde negtif olmms ndn ve (3.42) dendoly, ji 3 (x; )j "± +1 jk(x 0 +± x; )j+" x 0 +± x 0 (t x 0 ) +1 d t (jk(t x; )j) olckt r. Eşitsizli¼gin s¼g ndki integrlde tekrr k smi integrsyon uyguln rs, ji 3 (x; )j "± +1 jk(x 0 +± x; )j+" ± +1 jk(x 0 +± x; )j 9 x 0 +± +( +1) (t x 0 ) jk(t x; )jdt ; x0 x0+± "( +1) (t x 0 ) jk(t x; )jdt (3.43) x 0 eşitsizli¼gine ulş l r. I 3;1 (x; ): x0+± x 0 (t x 0 ) jk(t x; )jdt tn m n ypl m. jk(t x; )j fonksiyonunun[x 0 ;x 0 +±] rl ¼g nd rtmyn olms ndn doly ; I 3;1 (x; ) x0+± x0 ½ ¾ vr jk(s x; )j+jk(x 0+± x; )j (t x 0 ) dt t s x0+± 38
x0+± [jk(t x; )j jk(x 0 +± x; )j](t x 0 ) dt x 0 x 0 +± + jk(x 0 +± x; )j (t x 0 ) dt x 0 +± x0 x 0 jk(t x; )j(t x 0 ) dt (3.44) bulunur. O hlde(3:44) in(3:43) de yerine konulms ile, ji 3 (x; )j "( +1) x0+± jk(t x; )j(t x 0 ) dt (3.45) x0 elde edilir. (3:36);(3:37);(3:41) ve(3:45) eşitsizliklerinin(3:35) de yz lms ile, n ji(x; )j kfk + jf(x L1(;b) 0)j(b )o ½K( ± ¾ 2 ; )+ K(± 2 ; ) x0+± +"( +1) jk(t x; )j(t x 0 ) dt+ jf(x 0 )j K(t x; )dt 1 x0 8 9 x < 0 x +" : ( +1) jk(t; )j(x 0 x t) dt+2jk(0; )jjx x 0 j +1 ; x0 x ± n kfk + jf(x L1(;b) 0)j(b )o ½K( ± ¾ 2 ; )+ K(± 2 ; ) 8 2 3 < x0 x0+± +" : ( +1) 4 jk(t x; )j(x 0 t) dt+ jk(t x; )j(t x 0 ) dt5 x0 +2jK(0; )jjx x 0 j +1ª + jf(x 0 )j K(t x; )dt 1 n kfk + jf(x L1(;b) 0)j(b )o ½K( ± 2 ; )+ ¾ K(± 2 ; ) 8 9 x < 0 +± +" : ( +1) jk(t x; )j jt x 0 j dt+2jk(0; )jjx x 0 j +1 ; 39
+ jf(x 0 )j K(t x; )dt 1 (3.46) eşitsizli¼gine ulş l r. K(t; ) fonksiyonunun(3:2) ve(3:3) özellikleri ve (3:34) şrt dikkte l n rs x0+± x0 ± jk(t x; )j jt x 0 j dt+2jk(0; )j jx x 0 j +1 fonksiyonunun s n rl oldu¼gu noktlr kümesi üzerinde lim L(f;x; )f(x 0) (x; )!(x 0 ; 0) yk nsms vrd r. Bu ise ispt tmmlr. 40
4. TÜREVLER IN YAKINSAKLIKLARI Bu bölümde, giriş bölümünde verdi¼gimiz, üçüncü bölümde ise bz krkteristik noktlrdki yk nskl klr n inceledi¼gimiz konvolüsyon tipi singüler integrl opertörler ilesinin türevlerinin yk nskl klr n inceleyece¼giz. Teorem 4.1. K(t; ) çekirde¼gi A s n f ndn olsun. K(t x; ) fonksiyonu ise, tüm 2 lr içint nin fonksiyonu olrk <;x 0 ] rl ¼g nd zlmyn, [x 0 ;b> rl ¼g nd ise rtmyn olsun. Ayr c, K(t; ) ve @ K(t; ) fonksiyonlr, her bir @t sbit 2 için t nin fonksiyonuolrk tüm reel eksende sürekli olsunlr ve lim sup! 00<jtj @ @t K(t; ) 0 şrt s¼glns n. E¼gerf 2 L 1 (;b) fonksiyonunun t x 0 nokts nd f 0 (x 0 ) türevi vrs, yk nsms vrd r. lim (x; )!(x0; 0) @ @x L(f;x; )f0 (x 0 ) Ispt. <x 0 <b ve0 x 0 x< ± 2 (±>0) olsun. g(t):f(x 0 )+(t x 0 )f 0 (x 0 ) (4.1) fonksiyonunu tn mlyl m. (4.1) ile tn ml g fonksiyonun (3.4) de tn mlnm ş olnl opertörü uyguln rs, L(g;x; ) g(t)k(t x; )dt (4.2) elde edilir. (4.2) eşitli¼ginin her iki trf n n x de¼gişkenine göre türevi l n rs, @ @x L(g;x; ) @ g(t)k(t x; )dt g(t) @ K(t x; )dt @x @x 41
elde edilir. Aç kç @ @x K(t x; ) @ K(t x; ) @t oldu¼gundn @ b @x L(g;x; ) g(t) @ K(t x; )dt (4.3) @t eşitli¼gi yz lbilir. Elde edilen (4.3) ifdesinin s¼g ndki integrle k smi integrsyon uyguln r ve g fonksiyonunun tn m ç k olrk yerine yz l rs, @ b b L(g;x; ) K(t x; )g(t) + K(t x; )dg(t) @x K(b x; )g(b)+k( x; )g()+ K(b x; )[f(x 0 )+(b x 0 )f 0 (x 0 )] f 0 (x 0 )K(t x; )dt +K( x; )[f(x 0 )+( x 0 )f 0 (x 0 )] +f 0 (x 0 ) K(t x; )dt (4.4) eşitli¼gi bulunur. (4.4) eşitli¼ginden ise K(t; ) çekirde¼ginin A s n f ndn olms ndn doly, limit l nd ¼g nd lim (x; )!(x 0 ; 0) @ @x L(g;x; )f0 (x 0 ) (4.5) yk nsms elde edilmiş olur. Teoremin ispt n tmmlmk için, (4.5) den doly,(x; )!(x 0 ; 0) iken @ @x L(g;x; ) d L(f;x; )!0oldu¼gunu göstermek gereklidir. dx I(x; ): @ @x L(f;x; ) @ @x L(g;x; ) 42
diyelim. Bu durumd, ji(x; )j f(t) @ b @x K(t x; )dt [f(t) f(x 0 ) (t x 0 )f 0 (x 0 )] @ @x [f(t) f(x 0 ) (t x 0 )f 0 (x 0 )] @ @t g(t) @ K(t x; )dt @x K(t x; )dt K(t x; )dt olckt r.türev işleminin özelliklerini kullnbilmek için son eşitli¼gi ş¼g dki biçimde yzl m. ji(x; )j f(t) f(x0 ) f 0 (x t x 0 ) (t x 0 ) @ K(t x; )dt: 0 @t f fonksiyonununx 0 nokts ndf 0 (x 0 ) türevi sonlu oldu¼gundn, her">0için en z bir±>0 sy s vrd r, öyle ki; f(t) f(x 0 ) f 0 (x 0 ) t x <" 0 s¼gln r. Bu eşitsizlikten yrrlnbilmek için ji(x; )j integrlini ş¼g dki biçimde prçlr y rl m. ji(x; )j x 0 +± + + x0 ± x0+± f(t) f(x 0 ) f 0 (x 0 ) t x 0 (t x 0) @ K(t x; )dt @t f(t) f(x 0 ) f 0 (x t x 0 ) 0 (t x 0) @ K(t x; )dt @t f(t) f(x 0 ) f 0 (x t x 0 ) 0 (t x 0) @ K(t x; )dt: @t f 0 (x 0 ) türevinin vr olms hlinde elde etti¼gimiz ifdeyi son eşitsizli¼gin s¼g ndki 43
ikinci integrlde kulln rsk +" + f(t) f(x 0 ) f 0 (x 0 ) t x 0 (t x 0) @ K(t x; )dt @t x 0 +± x0 ± x0+± (t x 0) @ K(t x; )dt @t f(t) f(x 0 ) f 0 (x t x 0 ) 0 (t x 0) @ K(t x; )dt @t I 1 (x; )+"I 2 (x; )+I 3 (x; ) (4.6) eşitsizli¼gi s¼gln r. (4.6) eşitsizli¼ginin s¼g ndki integrlleri teker teker ele ll m. I 1 (x; ) sup 0< ± 2 <juj f(t) f(x 0 ) f 0 (x t x 0 ) 0 (t x 0) @ K(t x; )dt @t jf(t) g(t)j @ K(t x; ) @t dt @ @u K(u; ) jf(t) g(t)jdt olup,fveg fonksiyonlr L 1 (;b) uzy nd olduklr ndnf g fonksiyonu dl 1 (;b) uzy ndd r, yni, jf(t) g(t)jdt Y < 1 olck biçimde bir M pozitif reel sy s vrd r. Buise; oldu¼gunu gösterir. I 1 (x; ) Y sup 0< ± 2 <juj @ @u K(u; ) (4.7) 44
Benzer şekilde eşitsizli¼gi s¼gln r. I 3 (x; ) jf(t) g(t)j @ K(t x; ) @t dt x 0 +± Y sup @ 0< ± 2 <juj @u K(u; ) (4.8) (4.6) eşitsizli¼ginin s¼g ndi 2 (x; ) integrlinin"sy s ile çrp m bulundu¼gundn, I 2 (x; ) integrlininin limit konumund s n rl oldu¼gunu vey hngi nokt kümeleri üzerinde s n rl klc¼g n göstermemiz gerekmektedir. Şimdi bunu gösterelim. I 2 (x; ) x0+± x0+± (t x 0) @ K(t x; )dt @t jt x 0 j @ K(t x; ) @t dt olupk(t x; ) fonksiyonununt nin fonksiyonu olrk,[;x 0 ] rl ¼g nd zlmyn, [x 0 ;b] rl ¼g nd ise rtmyn olms ndn doly ; I 2 (x; ) x0 x0 x0 ± x0+± jt x 0 j @ K(t x; ) @t dt+ x0+± x0 jt x 0 j @ K(t x; ) @t dt (x 0 t) @ x0+± @t K(t x; )dt+ @ (x 0 t) K(t x; )dt @t x 0 (x 0 t) @ K(t x; )dt @t x0 ± oldu¼gu görülür. Burd k smi integrsyon uyguln rs; I 2 (x; )(x 0 t)k(t x; ) x0+± x0 ± + x0+± x0 ± K(t x; )dt 45
± fk(x 0 +± x; )+K( x; )g+ K(t x; )dt (4.9) bulunur. (4.9) eşitsizli¼gi (3.2) ve (3.3) koşullr ndn doly limit konumundi 2 (x; ) integrlinintüm(x; ) nokt kümeleri üzerinde s n rl oldu¼gunu gösterir. Sonuç olrk, (4.7), (4.8) ve (4.9) eşitsizliklerinin (4.6) d yerine konulms ile, 2 ji(x; )j 2Y sup 0< ± 2 <juj @ @u K(u; ) +" 4 ± fk(x 0 +± x; )+K( x; )g+ 3 K(t x; )dt5 (4.10) eşitsizli¼gi elde edilir. (4.10) eşitsizli¼ginin(x; )!(x 0 ; 0) iken limiti l n rs, (3.2), (3.3) şrtlr n ndn lim ji(x; )j lim (x; )!(x0; 0) (x; )!(x0; 0) @ @x L(f;x; ) @ @x L(g;x; ) 0 yk nsms n n oldu¼gu görülür. Böylece teorem isptlnm ş olur. Teorem 4.2. K(t; ) çekirde¼gi A s n f ndn olsun. K(t x; ) fonksiyonu her bir 2 indisleri içintde¼gişkenine göre[;x 0 ] rl ¼g nd zlmyn,[x 0 ;b] rl ¼g nd ise rtmyn olsun. Ayr c, K(t; ) ve @ K(t; ) fonksiyonlr, her bir sbit 2 @t için t nin fonksiyonu olrk tüm reel eksende sürekli olsunlr ve her»> 0 için lim sup! 0»<jtj @ @t K(t; ) 0 şrt s¼glns n. E¼gerf 2L 1 (;b) fonksiyonununtx 0 nokts ndf 0 + (x 0) vef 0 (x 0) türevleri sonlu ise lim (x; )!(x0; 0) x0 K(t x; )dtb; 0 B 1; (4.11) 46
olmk üzere, lim (x; )!(x 0 ; 0) @ @x L(f;x; )Bf0 + (x 0)+(1 B)f 0 (x 0) (4.12) dir. Ispt. <x 0 <b ve0 x 0 x< ± 2 (±>0) olsun. 8 < f(x 0 )+(t x 0 )f 0 g(t) (x 0) ; t<x 0 : f(x 0 )+(t x 0 )f+ 0 (x 0) ; x 0 t b (4.13) şeklinde bir fonksiyon tn mlyl m. Önce teoremi g fonksiyonu için isptlyl m. L opertörünü g fonksiyonun uygulyl m. Bu durumd L(g;x; ) g(t)k(t x; )dt integrli elde edilir. Her iki trf n x e göre türevi l n rs; @ @x L(g;x; ) @ g(t)k(t x; )dt g(t) @ K(t x; )dt (4.14) @x @t olur. (4.13) ifdesinin (4.14) de yerine yz lms ile, @ @x L(g;x; ) x0 x 0 f(x0 )+(t x 0 )f 0 (x 0) @ K(t x; )dt @t f(x0 )+(t x 0 )f+ 0 (x 0) @ K(t x; )dt (4.15) @t elde edilir. (4.15) eşitli¼ginin s¼g ndki her bir integrl için k smi integrsyon uyguln rs birinci integrl x0 f(x0 )+(t x 0 )f 0 (x 0) @ K(t x; )dt @t 47
f(x 0 )+(t x 0 )f 0 (x 0) K(t x; )j x 0 + x0 f 0 (x 0)K(t x; )dt f(x 0 )K(x 0 x; )+ f(x 0 )+( x 0 )f 0 (x 0) K( x; ) +f 0 (x 0) x0 biçiminde olur ve ikinci integrl için x 0 K(t x; )dt (4.16) f(x0 )+(t x 0 )f+ 0 (x 0) @ K(t x; )dt @t f(x 0 )+(t x 0 )f 0 + (x 0) K(t x; )j b x 0 + x0 f 0 + (x 0)K(t x; )dt f(x 0 )+(b x 0 )f 0 (x 0) K(b x; )+f(x 0 )K(x 0 x; ) +f+ 0 (x 0) K(t x; )dt (4.17) x0 bulunur. (4.16) ve (4.17) ifdeleri (4.15) de yerine yz l rs, @ @x L(g;x; ) f(x 0)K(x 0 x; )+ f(x 0 )+( x 0 )f 0 (x 0) K( x; ) x 0 +f 0 (x 0) K(t x; )dt f(x 0 )+(b x 0 )f 0 (x 0) K(b x; ) +f(x 0 )K(x 0 x; )+f+ 0 (x 0) K(t x; )dt x0 f(x 0 )+( x 0 )f 0 (x 0) K( x; ) f(x 0 )+(b x 0 )f 0 (x 0) K(b x; ) x 0 +f 0 (x 0) K(t x; )dt+f+ 0 (x 0) K(t x; )dt (4.18) x 0 eşitli¼gine ulş l r. (4.18) denkleminde teoremin hipotezindeki (4.11) koşulunun kul- 48
ln lms ile lim (x; )!(x 0 ; 0) @ @x L(g;x; )Bf0 + (x 0)+(1 B)f 0 (x 0) elde edilir. Bu bize ispt n g fonksiyonu için tmmlnd ¼g n gösterir. Teoremin ispt n n tmmlnms için, @ @x L(g;x; ) @ @x L(f;x; ) frk n n limit konumund s f r gitti¼gini göstermek gerekmektedir. K sl k ç s dn, diyelim ve ji(x; )j ji(x; )j: @ @x L(g;x; ) @ @x L(f;x; ) lim ji(x; )j0oldu¼gunu gösterelim: (x; )!(x 0 ; 0) [f(t) g(t)] @ K(t x; )dt @t 0 1 x0 ± x0 @ + A f(t) f(x 0) f 0 (t x 0 ) (x 0) jt x 0j @ K(t x; ) @t dt x0 ± 0 1 x0+± + @ + A f(t) f(x 0) f+ 0 (t x 0 ) (x 0) jt x 0j @ K(t x; ) @t dt x0+± x 0 I 1 (x; )+I 2 (x; )+I 3 (x; )+I 4 (x; ) (4.19) şeklinde gösterelim. f fonksiyonununtx 0 nokts ndf+ 0 (x 0) vef 0 (x 0) türevleri sonlu oldu¼gundn, her" > 0 içinen z bir ± > 0 sy s vrd r, öyle ki, f(t) f(x 0) f 0 (t x 0 ) (x 0) <" ve f(t) f(x 0 ) (t x 0 ) f+ 0 (x 0) <" 49
eşitsizlikleri s¼gln r. Bu eşitsizlikler dikkte l n rs ve I 2 (x; ) I 4 (x; ) " " " x 0 x0 x0 x0 ± x0+± x 0 f(t) f(x 0) f 0 (t x 0 ) (x 0) jt x 0j @ K(t x; ) @t dt jt x 0 j @ K(t x; ) @t dt (x 0 t) @ K(t x; )dt (4.20) @t f(t) f(x 0) f+ 0 (t x 0 ) (x 0) jt x 0j @ K(t x; ) @t dt x0+± x0 jt x 0 j @ K(t x; ) @t dt x 0 +± @ " (x 0 t) K(t x; )dt (4.21) @t x 0 elde edilir. (4.20) ile (4.21) toplnms sonucund, I 2 (x; )+I 4 (x; ) " x0+± (x 0 t) @ K(t x; )dt @t x0 ± eşitsizli¼gi bulunur. Eşitsizli¼gins¼g ndki ifdeye k smi integrsyon uyguln rs; 2 I 2 (x; )+I 4 (x; ) " 4 ± fk(x 0 +± x; )+K( x; )g+ ifdesi elde edilir. ŞimdiI 1 (x; ) vei 3 (x; ) integrllerini gözönüne ll m 3 K(t x; )dt5 (4.22) I 1 (x; ) jf(t) g(t)j @ K(t x; ) @t dt 50
Y sup 0< ± 2 <juj @ @u K(u; ) (4.23) ve I 3 (x; ) jf(t) g(t)j @ K(t x; ) @t dt x0+± Y sup @ 0< ± 2 <juj @u K(u; ) (4.24) olur. (4.22), (4.23) ve (4.24) eşitsizliklerinin (4.19) d yerine konulms ile, ji(x; )j I 1 (x; )+I 2 (x; )+I 3 (x; )+I 4 (x; ) 2 bulunur. Burdn ise " 4 ± fk(x0 +± x; )+K( x; )g+ +2Y sup 0< ± 2 <juj @ @u K(u; ) lim ji(x; )j lim (x; )!(x 0 ; 0) (x; )!(x 0 ; 0) 3 K(t x; )dt5 @ @x L(g;x; ) @ @x L(f;x; ) 0 yk nsms n n oldu¼gu görülür. Böylece ispt tmmln r. Sonuç 4.1. E¼ger Teorem 4.3 dekibsy s 1 2 olrk seçilirse, lim (x; )!(x 0 ; 0) @ + (x 0)+f 0 (x 0) @x L(f;x; )f0 2 yk nsms elde edilir. Teorem 4.4. K(t; ) çekirde¼gi A s n f ndn olsun. Ayr c, K(t; ) ve @º @t ºK(t; ), (º 1;2;:::;r) fonksiyonlr, her bir 2 içintnin fonksiyonu olrk tüm reel 51
eksende sürekli olsunlr ve her»>0için sup x 0 x+± 2 x0 x ± jtj r @ r @t rk(t; ) dt< 1 ve lim sup! 0»<jtj @ r @t rk(t; ) 0 (4.25) şrtlr s¼glns n. E¼ger f 2L 1 (;b) fonksiyonununt x 0 nokts ndr-inci mertebedenf (r) (x 0 ) türevi vrs, jx x 0 j º x 0 x+± x0 x ± jtj r º @ r @t rk(t; ) dt<c º (º1;2;:::;r) (4.26) fonksiyonunun s n rl oldu¼gu noktlr kümesi üzerinde, lim (x; )!(x0; 0) @ r @x rl(f;x; )f(r) (x 0 ) dir. Ispt. <x 0 <b ve0 x 0 x< ± 2 (±>0) olsun. g(t)f(x 0 )+(t x 0 )f 0 (x 0)+:::+ (t x 0) r f (r) (x 0 ) (4.27) r! şeklinde bir fonksiyon tn mlyl m. (4.27) ile tn ml fonksiyon L opertörü uyguln rs L(g;x; ) g(t)k(t x; )dt olup, eşitlikte x e göre r: mertebeden türev l n rs; @ r @r @xrl(g;x; ) @x r g(t)k(t x; )dt ( 1) r g(t) @r @trk(t x; )dt (4.28) 52
bulunur. Eşitli¼gin s¼g ndki integrlde r def k smi integrsyon uyguln rs @ r @x rl(g;x; ) g (r) (t)k(t x; )dt elde edilir. (4.28) eşitli¼ginde g fonksiyonunun (4.27) deki ifdesininyz lms ile, @ r @x rl(g;x; )f(r) (x 0 ) K(t x; )dt elde edilir. Elde edilen soneşitlik (3.3) şrt ndn doly yk nsms n n vr oldu¼gunu gösterir. @ r @x rl(g;x; )f(r) (x 0 ) (4.29) (4.29) d elde edilen yk nskl ktn doly, teoremin ispt n n tmmlnms için @ r @r @xrl(g;x; ) @x rl(f;x; ) frk n n limit konumund s f r gitti¼gini göstermek gerekmektedir. Bunun için diyelim ve ji(x; )j: @r @r @xrl(g;x; ) @x rl(f;x; ) lim ji(x; )j0oldu¼gunu gösterelim. (x; )!(x0; 0) ji(x; )j [f(t) g(t)] @r @trk(t x; )dt 0 1 x 0 ± x 0 +± @ + + A jf(t) g(t)j @ r @trk(t x; ) dt x0 ± x0+± I 1 (x; )+I 2 (x; )+I 3 (x; ) (4.30) 53
I 1 (x; ) vei 3 (x; ) integrlleri gözönüne l n rs ve eşitsizliklerinin s¼glnd ¼g görülür. x 0 ± I 1 (x; ) jf(t) g(t)j @ r @trk(t x; ) dt Y sup @r 0< ± 2 <juj @u rk(u; ) (4.31) I 3 (x; ) jf(t) g(t)j @ r @trk(t x; ) dt x0+± Y sup @r 0< ± 2 <juj @u rk(u; ) (4.32) Ayr cf fonksiyonununtx 0 nokts ndf (r) (x 0 ) türevi vr oldu¼gundn, her">0 için en z bir±>0sy s vrd r, öyle ki, s¼gln r. I 2;1 (x; ): I 2 (x; ) x0+± " x 0 +± x0 ± f(t) g(t) (t x 0 ) r jt x 0j r @ r @trk(t x; ) dt x 0 +± @ jt x 0 j r r @trk(t x; ) jt x 0 j r @ r @trk(t x; ) dt dt x0 x+± x 0 x ± @ jt+x x 0 j r r @t rk(t; ) dt tn m n ypl m. (4.25) koşulunu kullnbilmek içini 2;1 (x; ) integrlinde de¼gişken de¼giştirmesi yprsk I 2;1 (x; ) x0 x+± x0 x ± @ jt+x x 0 j r r @t rk(t; ) dt 54
olrk bulunur. Integrnt içinde bsit bir ekleme ç krm işlemi yp l r ve integrl işleminin lineerli¼gi kulln l rs ş¼g dki eşitlik elde edilir. I 2;1 (x; ) x 0 x+± x0 x ± x 0 x+± x0 x ± (jt+x x 0 j r jtj r + jtj r ) @ r @t rk(t; ) dt (jt+x x 0 j r jtj r ) @ r @t rk(t; ) I 2;1;1 (x; )+I 2;1;2 (x; ): dt+ x0 x+± x0 x ± jtj r @ r @t rk(t; ) dt (4.25) den doly I 2;1;2 (x; ) ifdesinin sonlu oldu¼gu görülür. O hldei 2;1 (x; ) integrlinin sonlu oldu¼gunu gösterebilmek için sdecei 2;1;1 (x; ) ifdesinin sonlu oldu¼gunungösterilmesi yeterli olckt r. Bununiçin n b n ( b)( n 1 + n 2 b+:::+b n 2 +b n 1 ) Binom formülü jt+x x 0 j r jtj r frk için kulln l rs; I 2;1;1 (x; ) jx x 0 j jx x 0 j + jx x 0 j. + jx x 0 j + jx x 0 j x0 x+± x 0 x ± x0 x+± x 0 x ± x0 x+± x 0 x ± x 0 x+± x0 x ± x 0 x+± x0 x ± jt+x x0 j r 1 +:::+jtj r 1 @ r @ jt+x x 0 j r 1 r @t rk(t; ) dt jt+x x 0 j r 2 jtj @r @t rk(t; ) dt jt+x x 0 j jtj r 2 @ r @t rk(t; ) dt jtj r 1 @ r @t rk(t; ) dt: @t rk(t; ) dt eşitli¼gi elde edilir. Yukr d elde edilen eşitli¼gin s¼g ndki her bir integrldei 2;1 (x; ) integrlinin hesplnms nd kulln ln işlemleri tekrrlnms sonucundi 2;1;1 (x; ) 55