Mukavemet-I Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Bölüm 3 Burulma Kaynak: Cisimlerin Mukavemeti, F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, D.F. Mazurek, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.
3.1 Giriş Bu bölümde, burulma halindeki yapı elemanlarını ve makine parçalarını inceleyeceğiz. Özellikle, T ve T burulma momentlerine veya torklarına maruz dairesel kesitli elemanlardaki gerilme ve şekil değiştirmeleri analiz edeceğiz. Bu çiftler, aynı T büyüklüğünde ve zıt yönlüdür. Bunlar vektörel büyüklükler olup, (a) eğri oklarla veya (b) vektör çifti ile gösterilir.
3.1 Giriş En yaygın burulma örnekleri aktarma şaftlarında ortaya çıkar. Şekilde gösterilen şaft, gücü motordan tekerleklere aktarmada kullanılır. Bu şaftlar dolu veya boşluklu olabilir.
3.1 Giriş
3.2 Bir Şafttaki Gerilmelerin Ön İncelemesi Şafta uygulanan tork, şaft eksenine dik yüzler üzerinde kayma gerilmeleri meydana getirir.
3.2 Bir Şafttaki Gerilmelerin Ön İncelemesi Denge koşulları, şaft eksenini içeren iki düzlemle oluşturulan yüzlerde eşit gerilmelerin varlığını gerekli kılar.
3.3 Dairesel Şaftta Deformasyonlar T torku uygulandığında, şaftın serbest ucu burulma açısı denilen φ açısı kadar döner, yani şaft burulur. T değerlerinin belli bir aralığında φ açısı T ile orantılıdır. Ayrıca, φ açısı şaftın L uzunluğu ile orantılıdır. İki kat uzun bir şaftın burulma açısı iki kat fazla olacaktır. Amaçlar: 1. φ, L ve T arasında bir bağıntı bulmak. 2. Şafttaki kayma gerilmelerinin dağılımını belirlemek.
3.3 Dairesel Şaftta Deformasyonlar Burulmaya maruz dairesel bir şaftta, her enine kesit düzlem kalır ve şekli bozulmaz. Her kesit farklı açı ile rijit bir levha gibi döner. Dolu veya boşluklu kesitlerde durum aynıdır. Kesiti dairesel olmayan elemanlar bu özelliğe sahip değildir. Kare kesitli bir çubuk burulduğu zaman, bir çok kesiti eğilir ve düzlem kalmaz.
3.3 Dairesel Şaftta Deformasyonlar CD noktalarının burulmadan sonraki konumu C D olsun. Şaftın ve yüklemenin eksenel simetrik olmasından dolayı, C ve D bir çemberin üzerinde bulunmalı ve C D yayı CD yayına eşit olmalıdır. Şaft burulurken, orijinal çember kendi düzleminde döner.
3.3 Dairesel Şaftta Deformasyonlar Bütün kesitlerin düzlem kalması için, şaftın uçlarındaki rijit plakalara T ve T çiftinin uygulanması gerekir. Eşit aralıklı çemberlerin hepsi yanındakine göre aynı miktarda döner, doğruların her biri birçok çemberi aynı açıda kesen bir eğriye (helis) dönüşür. Burada ve daha sonraki kesimlerde rijit uç plakaları varsayımı kullanılacaktır.
3.3 Dairesel Şaftta Deformasyonlar Şimdi, φ açısı kadar burulmuş, L uzunluğundaki c yarıçaplı dairesel bir şafttaki kayma şekil değiştirmelerini belirleyeceğiz.
3.3 Dairesel Şaftta Deformasyonlar Şaft burulmaya maruz kaldığında ρ yarıçaplı silindirdeki kare eleman bir eşkenar dörtgene dönüşür. γ kayma şekil değiştirmesi, elemanın kenarlarıyla teşkil edilen açılardaki değişimle ölçülür. İki kenarı tanımlayan çemberler değişmediğinden, γ açısı AB ve A B arasındaki açıya eşittir.
3.3 Dairesel Şaftta Deformasyonlar Dairesel bir şafttaki kayma şekil değiştirmesi, şaft eksenine olan mesafe ve burulma açısıyla lineer olarak artar, uzunlukla lineer azalır.
3.3 Dairesel Şaftta Deformasyonlar
3.4 Elastik Bölgede Gerilmeler T torkuna maruz şafttaki kayma gerilmelerinin τy akma mukavemetinin altında kaldığı hali göz önüne alalım. Hooke kanunu geçerli olur ve hiç bir kalıcı deformasyon olmaz.
3.4 Elastik Bölgede Gerilmeler J: kesitin O merkezine göre kutupsal eylemsizlik momenti. Elastik burulma formülleri.
Örnek 3.01 1.5 m uzunluğundaki boşluklu bir silindirik çelik şaftın iç ve dış çapları sırasıyla 40 mm ve 60 mm dir. (a) Kayma gerilmesinin 120 MPa ı aşmaması gerektiğine göre, şafta uygulanabilecek en büyük tork ne olur? (b) Şafttaki kayma gerilmesinin karşı gelen minimum değeri ne olur?
Örnek 3.01 a. İzin Verilen En Büyük Tork. τmaks = 120 MPa olup çeliğin akma mukavemetinden küçüktür. b. Minimum Kayma Gerilmesi.
3.4 Elastik Bölgede Gerilmeler Burulma formülleri değişken kesitli bir şafta veya uçlarından farklı yerlerdeki torklara maruz bir şafta da uygulanabilir. T + TE + TB = 0
3.4 Elastik Bölgede Gerilmeler a elemanının yüzleri şaft eksenine paralel ve dik olduklarından, sadece kayma gerilmeleri meydana gelir. b elemanının yüzleri şaft ekseni ile açı yaptığından, hem normal gerilmeler hem kayma gerilmeleri oluşur.
3.4 Elastik Bölgede Gerilmeler a elemanı tamamen kayma gerilmesi etkisindedir. c elemanı iki yüzünde çekme gerilmesi ve iki yüzünde de basma gerilmelerine maruz kalır.
3.4 Elastik Bölgede Gerilmeler a) Sünek kırılma Sünek malzemeler kesme kuvvetine karşı mukavemetsizdir. Eksene dik düzlem boyunca kırılır. Gevrek malzemeler kesmeye göre çekmede daha zayıftır. Çekme kuvvetinin maksimum olduğu 45 lik yüzeyler boyunca kırılır. b) Gevrek kırılma
Örnek Problem 3.1 BC şaftı, iç ve dış yarıçapları sırasıyla 90 mm ve 120 mm olan boşluklu bir şafttır. AB ve CD, d çaplı dolu şaftlardır. (a) BC şaftındaki maksimum ve minimum kayma gerilmelerini, (b) AB ve CD şaftlarının emniyet kayma gerilmesi 65 MPa ise bu şaftların d çapını belirleyiniz.
Örnek Problem 3.1 Statik Denklemleri.
Örnek Problem 3.1 a) BC şaftı. Maksimum Kayma Gerilmesi. Minimum Kayma Gerilmesi.
Örnek Problem 3.1 AB ve CD şaftları.
Örnek Problem 3.2 100 mm 2.4 m 150 mm Bir motoru bir jeneratöre bağlayan büyük bir şaftın ön tasarımı, iç ve dış çapları sırasıyla 100 mm ve 150 mm olan boşluklu bir şaft kullanılmasını gerektirir. Emniyet kayma gerilmesi 84 MPa olduğuna göre, (a) Tasarlanan şaft tarafından, (b) aynı ağırlıklı içi dolu şaft tarafından, (c) aynı ağırlıklı ve 200 mm dış çaplı bir boşluklu şaft tarafından akratılacak maksimum torku belirleyiniz.
Örnek Problem 3.2 75 mm a) Tasarlanan Boşluklu Şaft. 50 mm b) Eşit Ağırlıklı İçi Dolu Şaft.
Örnek Problem 3.2 c) 200 mm Çaplı Boşluklu Şaft. 100 mm
3.5 Elastik Bölgede Burulma Açısı Bu kesimde, dairesel bir şaftın φ burulma açısıyla T torku arasında bir bağıntı çıkaracağız. olduğunu biliyoruz. Elastik bölgede Hooke kanunu geçerlidir: φ burulma açısı T torku ile orantılıdır.
3.5 Elastik Bölgede Burulma Açısı Bu denklem ile çapı ve uzunluğu bilinen bir malzemenin rijitlik modülü burulma deney cihazı kullanılarak belirlenebilir. Numune cihaza bağlanır. Artan T tork değerlerine karşı gelen φ burulma açısı değerleri kaydedilir. Elde edilen doğrunun eğiminden, G rijitlik modülü hesaplanır.
Örnek 3.02 2 lik bir burulma oluşması için şaftın uç noktasına uygulanması gereken tork ne olmalıdır? Çeliğin rijitlik modülü, G = 77 GPa.
Örnek 3.02
Örnek 3.03 Şaftın iç yüzeyi üzerinde 70 MPa lık bir kayma gerilmesi oluşturacak burulma açısını belirleyiniz.
Örnek 3.03
3.5 Elastik Bölgede Burulma Açısı Bu ifade, şaft homojen (G sabit), düzgün bir kesite sahip ve sadece uçlarından yüklenmişse kullanılabilir. A ucunun B ucuna göre dönmesi, yani toplam burulma açısı, her bir parçanın burulma açılarının cebirsel toplamına eşittir.
3.5 Elastik Bölgede Burulma Açısı Bu ifade, şaft homojen (G sabit), düzgün bir kesite sahip ve sadece uçlarından yüklenmişse kullanılabilir. Değişken dairesel kesitli bir şaft halinde, yukarıdaki formül dx kalınlıklı bir diske uygulanabilir:
3.5 Elastik Bölgede Burulma Açısı Soldaki şaft sabit bir mesnete bağlanmış bir uca sahiptir ve bu yüzden şaftın φ burulma açısı, serbest ucun dönme açısına eşittir. Ancak şaftın iki ucu da dönüyorsa, burulma açısı, şaftın bir ucunun diğerine göre dönmesiyle oluşan açıya eşittir.
Örnek 3.04 ra = 2rB olduğuna ve E de T torku uygulandığına göre, BE şaftının E ucunun dönme açısını belirleyiniz.
Örnek 3.04
3.6 Statikçe Belirsiz Şaftlar Bir şafttaki gerilmelerin belirlenebilmesi için öncelikle iç torkların belirlenmesi gerekir. Ancak, iç torkların sadece statik prensipleri kullanılarak belirlenemediği haller vardır. Bu hallerde, denge denklemleri şaftın deformasyonlarını içeren ve problemin geometrisinden belirlenen bağıntılarla tamamlanır. Statik, dış ve iç torkların belirlenmesinde yetersiz kaldığından, bu şaftların statikçe belirsiz olduğu söylenir.
Örnek 3.05 125 mm 120 Nm 125 mm AB dairesel şaftı, 125 mm lik kısmında B ucundan itibaren 16 mm çapında delik açılmış, 250 mm uzunluğunda ve 22 mm çapında bir çelik silindirden oluşmaktadır. Şaftın iki ucu da sabit mesnetlerle bağlanmıştır ve orta kısmından 120 Nm lik bir tork uygulanmaktadır. Her mesnedin şafta uyguladığı torku belirleyiniz.
Örnek 3.05 120 Nm
Örnek Problem 3.3 AD yatay şaftı D de sabit bir tabana bağlanmıştır. Şaftın CD kısmında 44 mm çapında bir delik açılmıştır. Tüm şaft G = 77 GPa olan çelikten yapıldığına göre, A ucundaki burulma açısını belirleyiniz.
Örnek Problem 3.3 Statik.
Örnek Problem 3.3 Kutupsal Eylemsizlik Momentleri.
Örnek Problem 3.3 Burulma Açısı.
Örnek Problem 3.4 60 mm 22 mm 900 mm 25 mm 19 mm 600 mm İçi dolu çelik şaftlar için G =77 GPa ve emniyet gerilmesi 55 MPa olduğuna göre, (a) AB şaftının A ucunda uygulanabilecek en büyük T0 torkunu, (b) AB şaftının A ucunun dönmesiyle oluşan, karşı gelen açıyı belirleyiniz.
Örnek Problem 3.4 900 mm 25 mm 19 mm Statik. 60 mm 22 mm 60 mm 22 mm 600 mm
Örnek Problem 3.4 900 mm 25 mm 60 mm 22 mm 19 mm Kinematik. 60 mm 22 mm 600 mm
Örnek Problem 3.4 a. T0 torku. 9.5 mm 900 mm 600 mm 25 mm 12.5 mm 60 mm 22 mm 19 mm 600 mm 900 mm
Örnek Problem 3.4 b. A Ucunun Dönme Açısı. 900 mm 25 mm 60 mm 22 mm 19 mm 600 mm
Örnek Problem 3.5 Bir çelik şaft ve bir alüminyum tüp, sabit bir mesnede ve rijit bir diske bağlanmıştır. Başlangıçta gerilmeler sıfır ve emniyet gerilmeleri çelik şaftta 120 MPa ve alüminyum tüpte 70 MPa olduğuna göre, diske uygulanabilecek T0 maksimum torkunu belirleyiniz. Çelik için G = 77 GPa ve alüminyum için G = 27 GPa alınız.
Örnek Problem 3.5 Statik. Deformasyonlar.
Örnek Problem 3.5 Kayma Gerilmeleri.
Örnek Problem 3.5 Kayma Gerilmeleri.
3.7 Aktarma Şaftlarının Tasarımı İletilecek güç ve şaftın dönme hızı bir aktarma şaftının tasarımındaki temel faktörlerdir. Tasarımcı, belirli bir hızda gerekli gücü ileten şaftın malzemesini ve kesit boyutlarını, maksimum kayma gerilmesini aşmayacak şekilde belirlemek durumundadır. T torkuna maruz bir rijit cismin dönmesine ilişkin P gücü (ω: açısal hız, rad/s): f: dönme frekansı, s -1,Hz. T: Nm. P: Nm/s (watt).
3.7 Aktarma Şaftlarının Tasarımı Şafta uygulanacak T torku belirlendikten ve kullanılcak malzeme seçildikten sonra, elastik burulma formülünden J/c parametresi belirlenir:
Örnek 3.06 3.7 kw lık bir motorun 3600 dev/dak ile çalışan rotorunun şaftındaki kayma gerilmesinin 60 MPa yı aşmaması istendiğine göre, şaftın çapı ne olmalıdır?
Örnek 3.07 50 mm lik dış çaplı bir çelik tüpten oluşan bir şaft, 20 Hz lik bir frekansla dönerken 100 kw lık güç üretmektedir. Kayma gerilmesinin 60 MPa ı aşmaması gerektiğine göre, kullanılması gereken tüp kalınlığını belirleyiniz.
3.8 Dairesel Şaftlarda Gerilme Yığılmaları Pratikte torklar şafta genellikle flanş çiftleri veya kamalarla sabitlenmiş dişliler vasıtasıyla uygulanır. Her iki halde de, torkların uygulandığı kesit içinde ve yakınında gerilme yığılmaları meydana gelir. Ani kesit değişikliği olan şaftlarda, süreksizlik bölgesi yakınında gerilme yığılmaları ortaya çıkar. Bu gerilme yığılmaları fatura ile düşürülebilir.
3.8 Dairesel Şaftlarda Gerilme Yığılmaları Faturadaki maksimum kayma gerilmesi: : küçük çaplı şafttaki kayma gerilmesi, K: gerilme yığılması faktörü. Denklem, orantı sınırı aşılmadıkça geçerlidir.
Örnek Problem 3.6 95 mm 14 mm 190 mm Kademeli şaft, bir türbinden bir jeneratöre güç iletirken 900 dev/dak ile dönmektedir. Kullanılan çeliğin emniyet kayma gerilmesi 55 MPa dır. (a) Gösterilen ön tasarım için iletilebilecek maksimum gücü belirleyiniz. (b) Nihai tasarımda faturanın yarıçapı r = 24 mm ye çıkarılırsa, ilk tasarıma göre iletilebilecek güçteki değişim yüzdesi ne olur?
Örnek Problem 3.6 a. Ön Tasarım. Tork. Güç.
Örnek Problem 3.6 b. Nihai Tasarım. Tork. Güç. Güçteki Değişim Yüzdesi.
*3.9 Dairesel Şaftlarda Plastik Deformasyonlar Bu kesimde Hooke kanununun geçerli olmadığı durumlarda kullanılabilen içi dolu dairesel şaftlarda gerilme dağılımı ve tork değerlerinin hesaplasında kullanılan bir yöntem verilecektir. Elastik bölgede γ ρ ilişkisi lineerdir.
*3.9 Dairesel Şaftlarda Plastik Deformasyonlar Önce, τmax değerine karşılık gelen γmax değeri belirlenir. Bu değer yukarıdaki denklemde yerine yazılır. Daha sonra ρ nun her bir değeri için, γ nın karşı gelen değeri yukarıdaki denklemden belirlenir. γ nın bu değerine karşılık gelen τ kayma gerilmesi diyagramdan elde edilir ve τ ρ diyagramı çizilir.
*3.9 Dairesel Şaftlarda Plastik Deformasyonlar τ ρ gerilme dağılımına karşılık gelen tork T:
*3.9 Dairesel Şaftlarda Plastik Deformasyonlar Torkun önemli bir değeri, şaftın kırılmasına sebep olan TU kopma torkudur. Bu değer seçilerek malzemenin kopma kayma gerilmelerinden belirlenebilir. Ancak, TU yu deneysel olarak belirlemek pratikte daha uygundur. Bu durumda, kurgusal bir lineer gerilme dağılımı varsayımıyla, RT maksimum kayma gerilmesi: RT kurgusal gerilmesi malzemenin burulmada kırılma modülü adını alır ve aynı malzemeden yapılmış farklı boyutlardaki şaftların TU kopma torkunu belirlemede kullanılabilir.
*3.10 Elastoplastik Malzemeden Yapılmış Dairesel Şaftlar Bu diyagram kullanılarak T torkunun herhangi bir değeri için şaftın bir kesitindeki gerilme dağılımı bulunabilir.
*3.10 Elastoplastik Malzemeden Yapılmış Dairesel Şaftlar İki denklem kullanılarak T φ grafiği elde edilir. φ > φy φ < φy
Örnek 3.08 Şaftın kesmede 150 MPa lık bir akma mukavemetine sahip ve rijitlik modülü 77 GPa olan bir elastoplastik malzemeden yapılmış olduğunu varsayarak, (a) şaftın elastik çekirdeğinin yarıçapını, (b) burulma açısını belirleyiniz.
Örnek 3.08 a. Elastik Çekirdeğin Yarıçapı.
Örnek 3.08 b. Burulma Açısı.
*3.11 Dairesel Şaftlarda Artık Gerilmeler Plastik deformasyon oluştuktan sonra tork kaldırılırsa, gerilme ve şekil değiştirmedeki düşme bir doğru boyunca gerçekleşir. Gerilmenin nihai değeri, genellikle sıfıra düşmez. Bir çok noktada artık gerilme oluşur ve bunlar pozitive veya negatif olabilir. Normal gerilme halindeki gibi, kayma gerilmesi malzemenin akma mukavemetinin iki katına dek düşmesini sürdürür.
*3.11 Dairesel Şaftlarda Artık Gerilmeler Şaftın boşalması T φ diyagramında bir doğru ile temsil edilebilir. Burulma açısı tork kaldırıldıktan sonra sıfıra düşmez: φ φ
*3.11 Dairesel Şaftlarda Artık Gerilmeler Artık gerilmeler süperpozisyon ilkesi ile belirlenebilir. (a) malzemenin yükleme evresindeki elastoplastik davranışını, (b) aynı malzemenin boşalma evresindeki lineer davranışını yansıtır. (c) iki gerilme toplanarak şafttaki artık gerilmelerin dağılımı elde edilir.
Örnek 3.09 Şekildeki şaft için (a) kalıcı burulmayı, (b) 4.60 kn m lik tork kaldırıldıktan sonraki artık gerilme dağılımını belirleyiniz.
Örnek 3.09 a. Kalıcı Burulma.
Örnek 3.09 b. Artık Gerilmeler.
Örnek Problem 3.7 38 mm 58 mm 1.5 m AB şaftı elastoplastik olduğu varsayılan bir yumuşak çelikten (G = 77 GPa ve τy = 145 MPa) yapılmıştır. T torku uygulanmakta ve büyüklüğü gitgide arttırılmaktadır. (a) İlk akma oluştuğu andaki, (b) deformasyonun tam plastik olduğu andaki, T nin büyüklüğünü ve karşı gelen burulma açısını belirleyiniz.
Örnek Problem 3.7 Geometrik Özellikler. a. Akma Başlangıcı.
Örnek Problem 3.7 b. Tam Plastik Deformasyon.
Örnek Problem 3.8 38 mm 58 mm 1.5 m AB şaftı elastoplastik olduğu varsayılan bir yumuşak çelikten (G = 77 GPa ve τy = 145 MPa) yapılmıştır. Tp = 5.32 kn m torku kaldırıldıktan sonraki artık gerilmeleri ve kalıcı burulma açısını belirleyiniz.
Örnek Problem 3.8 Elastik Boşalma. 5.32 kn m 5.32 kn m 5.32 kn m 5.32 kn m
Örnek Problem 3.8 Artık Gerilmeler ve Kalıcı Burulma. 5.32 kn m 5.32 kn m 5.32 kn m 5.32 kn m 145 MPa 111.5 MPa 33.5 MPa 25.2 MPa 5.32 kn m 5.32 kn m 8.52 6.55 170.2 MPa 1.97
*3.12 Dairesel Olmayan Elemanların Burulması Bir kare çubuk sadece 90 veya 180 döndüğünde aynı görünümünü korur. Çubuğun kare kesitinin köşegenleri ile bu kesitin kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğruların doğru olarak kaldığı görülebilir. Ancak, çubuk eksenel simetrik olmadığı için, kesit içinde çizilen başka bir doğru, çubuk burulduğunda deforme olur. Bu yüzden, dairesel şafttaki şekil değiştirme ve gerilme dağılımı denklemleri dairesel olmayan elemanlar için kullanılamaz.
*3.12 Dairesel Olmayan Elemanların Burulması Burulma halinde bir kare çubuğun kesitinin köşelerinde hiç kayma gerilmesi yoktur. En büyük deformasyonlar ve dolayısıyla en büyük gerilmeler çubuğun yüzlerinin her birinin merkez çizgisi boyunca oluşur. Çubuğun kenarlarında hiç bir deformasyon ve gerilme oluşmaz.
*3.12 Dairesel Olmayan Elemanların Burulması Düzgün dikdörtgen kesitli düz çubukta maksimum kayma gerilmesi, çubuğun geniş yüzünün merkez çizgisi boyunca oluşur: Burulma açısı: Sonuçlar elastisite teorisi ile elde edilmiş olup bu kitabın kapsamı dışındadır.
*3.12 Dairesel Olmayan Elemanların Burulması
*3.13 İnce Cidarlı Boşluklu Şaftlar Dairesel olmayan, ince cidarlı boşluklu şaftlarda gerilme dağılımı basit bir hesapla yaklaşık olarak elde edilebilir. AB parçası dengede olduğundan, boyuna kuvvetlerin (kesme kuvvetleri) toplamı sıfır olmalıdır. Kayma akısı:
*3.13 İnce Cidarlı Boşluklu Şaftlar Elemanın alt ve üst yüzeyleri serbest yüzeyin parçası olduğundan, bu yüzlerdeki gerilmeler sıfırdır. Koyu oklarla gösterilen gerilmeler eşitken, kesikli çizgilerle gösterilenler sıfırdır. Buna göre, boşluklu elemanın enine kesitinin herhangi bir noktasındaki kayma gerilmesi, cidar yüzeyine paraleldir.
*3.13 İnce Cidarlı Boşluklu Şaftlar Şimdi, boşluklu bir elemana uygulanan T torkuyla cidardaki q kayma akısı arasında bir bağıntı elde edeceğiz. Bu kuvvetin elemanın boşluğu içindeki herhangi bir O noktasına göre momenti:
Örnek 3.10 100 mm 60 mm 60 mm 4 mm 4 mm 100 mm 3 mm 5 mm 27 kn m lik bir torka maruz tüpün dört cidarının her birindeki kayma gerilmesini, (a) 4 mm lik düzgün bir cidar kalınlığı için, (b) İmalat hatası nedeniyle AB ve AC cidarlarının 3 mm ve BD ve CD cidarlarının 5 mm kalınlığında olduğu varsayımı ile belirleyiniz.
Örnek 3.10 96 mm a. Düzgün Cidar Kalınlıklı Boru. 56 mm 4 mm 4 mm b. Değişken Cidar Kalınlıklı Boru.
Örnek Problem 3.9 τem = 40 MPa değerini kullanarak, gösterilen pirinç çubukların her birine ve pirinç tüpe uygulanabilen en büyük torku belirleyiniz. İçi dolu çubuklar aynı kesit alanına sahiptir. Kare çubukla kare tüpün dış boyutları aynıdır.
Örnek Problem 3.9 1. Kare Kesitli Çubuk.
Örnek Problem 3.9 2. Dikdörtgen Kesitli Çubuk.
Örnek Problem 3.9 3. Kare Tüp.