Giriş Mukavemet veya maddelerin mekaniği (strength of materials, mechanics of materials) kuvvetlere maruz kalmış deforme olan cisimleri inceler. Şekil değiştirme ve gerilmelerin hesabı ile ilgilenir. Cisimlerin tasarımı ve cisimde oluşan şekil değiştirmeleri hesaplamak için gerekli teorik alt yapıyı oluşturur. Malzemenin kuvvetler altındaki davranışını bilmek, o malzemeyi faydalı bir şekilde kullanabilmek için gereklidir. Malzemenin mekanik özellikleri, üretim aşamasında değiştirilebilir.
Giriş Örneğin beton, seramik, çelik gibi cisimlerin mekanik özellikleri malzemeyi oluşturan bileşenlerin oranlarına bağlı olarak değiştirilebilir. Bu ders kapsamında kuvvetler altında bu malzemeler nasıl davranır sorusuna cevap arayacağız.
Giriş Statikçe belirli problemlerde, yapısal elemanda gelişen iç kuvvetler aşağıdaki gibi hesaplanır: Eleman iç kuvvetleri bulmak istediğimiz bir noktadan kesilir, Kesitin solundaki veya sağındaki kısmın serbest cisim diyagramı çizilir, Denge denklemleri uygulanarak iç kuvvetler bulunur. Kesitteki kuvvetler iç reaksiyon kuvvetleridir ve aslında kesit boyunca dağılmış/yayılmış kuvvetlerin bileşkesini temsil etmektedir.
Giriş Statikçe belirsiz problemlerin iç kuvvetlerinin bulunması için cismin şekil değiştirmesi de dikkate alınmak zorundadır. Denge denklemleri problemin çözümü için yeterli değildir.
Giriş Genel bir cisme etkiyen dış kuvvetler: Tekil kuvvetler Yüzey kuvvetleri Cisim kuvvetleri Doğrusal yayılı kuvvetler
Giriş Genel bir cisimde oluşan iç kuvvetler (üç boyutlu): Dikkat edilirse kesilen noktada, iç kuvvetler dağılmış/yayılı bir şekilde oluşur. Bu kuvvetler, üst parçanın alt parçaya etkittiği kuvvetlerdir ve bu yayılı kuvvetler GERİLME olarak da adlandırılır.
Denge Denklemleri İç kuvvetlerin bulunması (üç boyutlu cisimler): F= 0 M= 0 Vektörel ifade İç kuvvetlerin bulunması (iki boyutlu cisimler): F F x y = 0 = 0 M = 0 Skaler ifade
İç Kuvvetler (düzlemselkiriş örneği) Dış kuvvetler ve reaksiyon kuvvetlerinin etkisi altındaki düzlem elemanı ele alalım A x, A y, ve B reaksiyon kuvvetleri denge denklemleri ile bulunur. Örneğin A-A kesitindeki gerilmeleri veya bu gerilmelerin bileşkesi olan iç kuvvetleri bulmak isteyelim, bu durumda elamanın eksenine dik bir kesit alınır ve o kesit incelenir.
İç Kuvvetler Elemanın (kirişin) sol parçası üzerinde normal kuvvet F (veya N diye de gösterilir), kesme kuvveti V (T diye de gösterilir) ve eğilme momenti M aşağıda gösterilmiştir. SOL PARÇA
İç Kuvvetler Kirişin sağ parçasında ise eşit ama zıt yönlü iç kuvvetler oluşacaktır. SAĞ PARÇA
İç Kuvvetler Analizlerde kolaylık sağladığından, iç kuvvetlerin kesitin merkezinden geçtiği kabul edilir. KESİT ve MERKEZİ G
İç Kuvvetler Elemanlarda oluşan diğer bir tip iç kuvvet burulma momentidir(tork diye de adlandırılır). Sağ el kuralına göre moment ekseni Ttorku elemanın boyune ekseni doğrultusundaki momentir.
İç Kuvvetler Tork oluşturan yükleme Şekil(a) da gösterilmiştir. Eleman A A kesitinde ortaya çıkan burulma momenti veya torklar(iç kuvvet), Fig.(b) ve(c) de gösterilmiştir.
İç Kuvvetlerin Bileşenlerine Ayrılması Burulma Momenti Normal Kuvvet M ve R O FR Kesite dik ve teğet bileşenlere ayrılır. Eğilme Momenti Kesme Kuvveti İki boyutlu durum Üç boyutlu durum
Gerilme Bir kesitteki iç kuvvetler kesit üzerindeki küçük küçük alanlara etkiyen yayılı kuvvetlerin bileşkesidir. Bu yayılı kuvvetlere gerilme denir! Genelde, ΔA alanlarına etkiyen gerilmelerin şiddet ve yönleri kesit üzerinde değişmektedir.
Gerilme Gerilmelerin farklı noktalardaki şiddeti, malzemenin yük taşıma kapasitesini ve şekil değiştirme direncini etkilemektedir. Fig. (b) ve (c) de gösterildiği gibi, kesite etkiyen kuvvetleri kesite dik (normal) ve kesite paralel (teğet) bileşenlere ayrılabilir.
Gerilme(Normal Gerilme) Kesite dik olan ve birim alana etki eden yayılı kuvvetler normal gerilme olarak adlandırılır. Yunan alfabesindeki σ(sigma) simgesiyle gösterilir. Normal gerilmenin kesit alanı ΔA üzerindeki ortalama değeri: Burada ΔF (veya ΔN), ΔA alanı üzerindeki kuvvetin normal bileşenidir. Bir noktadaki normal gerilme ΔA alanını limitte sıfıra yaklaştırılarak bulunabilir. Bir noktadaki gerilme ortalama gerilmeden farklı.
Gerilme Malzemeyi çeken gerilmeye çekme gerilmesi (tensile stress) denir. Çekme gerilmesi normal gerilmedir! Malzemeye basınç uygulayan gerilmeye ise basınç gerilmesi (compressive stress) denir. Basınç gerilmesi de normal gerilmedir. Şekilde çekme gerilmesi durumu gösterilmiştir. (Bunun tam tersi ise basınç gerilmesi durumudur).
Gerilme(Kesme Gerilmesi) Kesite paralel olan ve birim alana etki eden yayılı kuvvetler kesme gerilmesi (shear stress) olarak adlandırılır. τ Yunan alfabesindeki (tau)simgesiyle gösterilir. Kesme gerilmesinin ΔA alanı üzerindeki ortalama değeri: Burada ΔV, ΔAalanı üzerindeki kuvvetin kesite paralel bileşenidir. Bir noktadaki kesme gerilmesi ise ΔAalanını limitte sıfıra yaklaştırılarak bulunabilir.
Ortalama (Üniform) Normal Gerilme Kesit bütününe dağılmış ortalama gerilme için gerilme genel formülü aşağıda verilmiştir. Burada dikkat edilirse, gerilme kesit üzerinde noktadan noktaya değişmemektedir: (veya F) Burada F (veya P) kesitteki bileşke normal kuvvettir. A ise F kuvvetinin etkidiği toplam kesit alanıdır. Çekme Basınç (veya F)
Ortalama (Üniform) Normal GerilmeninElemanBoyuncaDeğişimi Eleman ortasına doğru gerilme yaklaşık olarak uniformlaşıyor A
Ortalama (Üniform) Kesme Gerilmesi Kesit bütününe dağılmış ortalama (üniform) kesme gerilmesi aşağıdaki gibi hesaplanır: V kesitteki kesme/kayma kuvvetidir. A ise V kuvvetinin etkidiği toplam kesit alanıdır. F
Gerilmeile İlgili Bazı Genel Notlar Cisim içinde oluşan gerilme cismin yapıldığı malzemeden bağımsızdır. Gerilme, sadece iç kuvvetlere ve cismin kesit alanına bağlıdır. Dayanım (strength), malzemenin taşıyabileceği maksimum izin verilebilir gerilmedir(allowable stress). Bu karakteristik veya özellik deneysel ölçümlerle belirlenir. Gerilme dikkat edilirse, kesit üzerindeki birim iç kuvvettir. Birim alana etkiyen kuvvet diye düşünülebilir. İki malzemeyi kıyaslarken boyut etkisini elimine etmektedir.
Gerilme -Birimler Gerilme kuvvet/ alan birimindedir. Anglo-sakson birimlerinde gerilmenin birimi pound/inç-karedir, kısa olarak psi olarak gösterilir, Veya ksi diye gösterilir. SI veya metrik birimlerinde gerilmenin birimi newton/metre-karedir, kısa olarak N/m 2, veya Pascal(Pa) şeklinde gösterilir. Pascal çok küçük bir gerilme birimi olduğundan, kilo- Pascal(kPa) veya mega-pascal(mpa) kullanılır.
Emniyet Gerilmesi, Emniyet Katsayısı MECHANICS (Factor OF of Safety) MATERIALS Emniyet gerilmesi, bir malzeme türünün belli bir yükleme altında emniyetle taşıyabileceği maksimum/en büyük gerilme değerine denir. Bu değer yapısal elemanların tasarımında kullanılabilir. Emniyet gerilmesi değerleri deneyler ve geçmiş deneyimler ışığında belirlenir. Ayrıca, bazen tasarım gerilme değeri olarak da adlandırılır. 1-25
Emniyet Gerilmesi, Emniyet Katsayısı MECHANICS (Factor OF of Safety) MATERIALS Emniyet gerilmesi σ em (ya da σ a ) biliniyorsa, ilgili çekme veya basınç kuvvetlerini emniyetler taşıyabilecek alanın değeri hesaplanabilir: Emniyet gerilmesi τ em (ya da τ a ) biliniyorsa, ilgili kesme(kayma) kuvvetini emniyetle taşıyabilecek alanın değeri hesaplanabilir: Not: Dikkat edilirse, yukarıdaki denklemlerin kullanılabilmesi için emniyet gerilmesi değerlerinin ve kesite etkiyen iç kuvvetlerin bilinmesi gerekmektedir.
Emniyet Gerilmesi, Emniyet Katsayısı MECHANICS (Factor OF of Safety) MATERIALS Bir malzeme için emniyet gerilmesi değeri malzeme testleri ile bulunabilir. Genellikle bunun için çekme ve basınç deneyleri yapılır. Daha sonra incelenecek!!! Emniyet katsayısı aşağıdaki formül ile tanımlanabilir: = Burada malzemenin taşıdığı en büyük/maksimum gerilme değeridir. <
Emniyet Gerilmesi, Emniyet Katsayısı MECHANICS (Factor OF of Safety) MATERIALS Emniyet katsayısının belirlenmesi etkileyen bazı faktörler aşağıda sıralanmıştır: Malzeme özelliklerindeki belirsizlik, Yükleme durumundaki belirsizlik, Analiz yöntemlerinin yaklaşık olması, Yük tekrarındaki belirsizlik, Göçme türü/modundaki belirsizlik, Yapısal sistemin önemlilik derecesi,
Eksenel YüklüElamanlardaOrtalama Normal GerilmeAnalizi Düz iki ucundan yüklü sabit kesitli bir elemanı ele alalım Kuvvetlerin etki çizgisi elemanın boyuna ekseni doğrultusunda ve şekilde gösterildiği gibi kesitin merkezinden geçmektedir.
Eksenel YüklüElamanlardaOrtalama Normal GerilmeAnalizi Elemanın ortasına doğru bir yerde dik B-B kesiti alınırsa, ortaya çıkan iç kuvvet P olacaktır (dengeşartı),figs.(b)&(c).
Eksenel YüklüElamanlardaOrtalama Kesite dağılmış normal gerilme uniformçekme gerilmesi olacaktır. Çekme gerilmesi: Normal GerilmeAnalizi P burada eksenel kuvvet A ise kesit alanıdır. Bu formül eksenel yüklenmiş bir elemanda oluşan ortalama normal gerilmeyi verir.
Eksenel YüklüElamanlardaOrtalama Normal GerilmeAnalizi Figs. (d) ve (e) de gerilme dağılımı gösterilmektedir. Dikkat edilirse,(gerilme en kesit alanı), bileşke eksenel kuvvete eşittir(σa = P). Kesitte herhangi bir kesme kuvveti yoktur!
Eksenel YüklüElamanlardaOrtalama Normal GerilmeAnalizi Etkiyen kuvvetlerin yönü değişirse, gerilmeler basınç gerilmesi olacaktır. Burkulmanın (buckling) daha zor olduğu kısa elemanlarda basınç gerilmeleri yine aşağıdaki denklem kullanılarak hesaplanabilir:
Aşağıdaki denklemin çeşitli formları, gerçek malzemelerden yapılmış cisimlerin tasarımında kullanılabilir: 1. Durum PveA nınikisidebiliniyorsa,budenklemcisimde oluşan gerilmelerin hesabında direkt kullanılabilir veya bulunan gerilme değeri herhangi bir malzemenin izin verilebilir gerilme değeri ile karşılaştırılarak o malzemenin bu kuvveti emniyetle taşıyıp taşıyamadığına karar verilebilir.
Aşağıdaki denklemin çeşitli formları, gerçek malzemelerden yapılmış cisimlerin tasarımında kullanılabilir: 2. Durum A ve σ biliniyorsa, eleman tarafından taşınan kuvvet P = σxa hesaplanabilir. Eğer σ bir malzeme tipi için izin verilebilir maksimum gerilme/emniyet gerilmesi ise ( ) bu denklem o malzemeden yapılmış kesitin taşınabileceği maksimum eksenel kuvvet değerini verecektir. P max = σ em x A
Aşağıdaki denklemin çeşitli formları, gerçek malzemelerden yapılmış cisimlerin tasarımında kullanılabilir: 3. Durum P kuvveti ve gerilme σ biliniyorsa, bu durumda kesite etkiyen iç kuvveti taşıyacak gerekli kesit alanı A = p/σ denklemi ile hesaplanır. Bu denklem elemanın boyutlarının ne olacağına ilişkin bilgiyi sağlar.
Şekilde gösterilen çubuk 35mm sabit yüksekliğe sahiptir. Çubuğun kalınlığı ise 10mm dir. Bu yüklemenin çubukta oluşturacağı maksimum normal gerilme değerini hesaplayınız (σ maks =?). Örnek
Örnek (devam): Kesitte oluşan maksimum eksenel kuvvet BC aralığında oluşmaktadır. Bu durumda maksimum eksenel(normal) gerilme de burada oluşacaktır. Kesit üzerindeki uniform normal gerilme dağılımı:
Ortalama Kesme GerilmesiAnalizi C BC çubuğueksenel kuvvetdolayısıylanormal gerilme etkisi altındadır! A B Ancak, BC çubuğunuc noktasına bağlayan civata/pin nasıl bir etki altındadır? Bağlantı elemanlarında oluşan etkiler daha karmaşık ve farklı olabilir.
Ortalama Kesme GerilmesiAnalizi C A B A, B vec noktalarındaki bağlantı detaylarına bakarsak, çubukları bu noktalara bağlayan pinlerde/civatalarda eleman kuvvetlerinin farklı etkiler oluşturduğunu görürüz. Pinlerde/civatalarda oluşan bu etkiler kesme/kaymakuvveti, yani kesme/kayma gerilmesi etkileridir.
Ortalama Kesme GerilmesiAnalizi Ortalama kesme gerilmesi kavramının uygulaması ÜST GÖRÜNÜM Eleman kuvveti İki çubuk birbirlerine kesme piniyle bağlanmıştır.
Ortalama Kesme GerilmesiAnalizi Kesmeye karşı koyan pini iki farklı düzlemden keserek, çubukları şekildeki gibi birbirinden ayırabiliriz. Pin alanının A = d 2 /4 olduğu görülür: Dengeden, iki düzlemdeki iç kuvvetlerin F/2 olduğunu görülür. Bu kuvvetler düzleme paraleldir yani düzlemi kesmeye çalışır.
Ortalama Kesme GerilmesiAnalizi Bu durumda her bir düzlemdeki kesme gerilmesinin ortalama değeri aşağıdaki gibi hesaplanabilir: Bu durumdaki (iki farklı noktadan kesilen) pinlere (perçinlere) çift etkili/çifttesirlipin/civatadenir.
Ortalama Kesme GerilmesiAnalizi Aşağıdaki örnekte ise iki plak bir perçinle/pinle birleştirilmiş durumdadır, Karşılaştırma amacıyla, bir önceki birleşim detayı burada tekrar gösterilmiştir.
Ortalama Kesme GerilmesiAnalizi Plakaları ayırmak için perçini tek bir kesitten ayırmak yeterlidir. Fig.(b) and(c): Perçin/pin/civata kesitinde oluşan kesme kuvveti dengeden F kuvvetine eşit olduğu görülür. Bu durumda ortalama kesme kuvveti şu şekilde hesaplanır: Bu durumdaki pinlere tek tesirli pin/civata/perçin denir.
Ortalama Kesme GerilmesiAnalizi TekTesirli ÇiftTesirliCivata/Pin/Perçin Tek Tesirli Çift Tesirli = = = = 2
BirleşimlerdeGelilenEzilmeGerilmesi = =
Örnek Şekilde gösterilen askı, ucuna birleştirilmiş disk ile çapı 40 mm olan dairesel bir boşluktan geçirilerek mesnetlenmiştir. 20 kn luk ağırlığı taşıyabilmesi için, askının gerekli min. çapının ve diskin min. kalınlığının ne olması gerektiğinibulunuz?σ all =σ em =60MPaveτ all =τ em =35MPaolarakalınız.
Örnek (devam) Çekme çubuğunun çapı: bu durumda, Kesilen diskin kalınlığı: Kesme gerilmelerinin üniform dağıldığı kabulü altında:
Örnek Şekilde gösterilen ahşap birleşimin kalınlığı (sayfa düzlemine dik olan boyutu) 150 mm ise, a-a ve b-b kesitlerinde oluşan ortalama kesme gerilmelerinin bulunuz.
Örnek (devam): İç Kuvvetler: a-a ve b-b kesitlerinin dengesinden (c ve d şekillerine referansla): Ortalama kesme gerilmesi: Gerilmelerin durumunu gösterir sonsuz küçük elemanlar şekilde gösterilmiştir.
Şekil Değiştirme (Strain) F F
Şekil Değiştirme Bir cisme kuvvet etkidiğinde, cismin şeklini ve hacmini değiştiren bir etki yaratır. Bu değişimlere deformasyon da denir. Deformasyonlar görünür olabilir veya görünmesi mümkün olmayabilir. Görünmesi mümkün olmayan deformasyonlar hassas aletlerle ölçülebilir. Görünmesi mümkün olan deformasyona kauçuk bir malzemenin deformasyonu örnek verilebilir. Görünmesi mümkün olmayan deformasyonlara ise yapısal elemanların deformasyonu örnek verilebilir. Kuvvet dışında sıcaklık değişimi de deformasyon oluşturan bir etkidir.
Şekil Değiştirme Çekme Kuvveti Uygulanıyor Genelde cisim üzerinde oluşan deformasyonlar cismin hacmi içinde üniform olarak oluşmaz. Bu sebeple, cisim üzerindeki bir hatta (doğrultu boyunca) şekil değiştirmeler aynı olmaz. Cisim üzerinde incelenen parçalar çok küçük seçilerek, bir noktanın deformasyonu incelenir. Dikkat edilirse, deformasyon seçilen çizgisel hattın oriyantasyonuna da bağlıdır.
Şekil Değiştirme Şekil değişimini (deformasyon), cisim üzerindeki çizgilerin boy değişimi veya aralarındaki açının açı değişimi olarak tanımlamak için birim şekil değiştirme (strain) kavramını kullanacağız. Birim şekil değiştirmenin ölçülmesi deneyler yoluyla yapılmaktadır. Daha ileriki bölümlerde, şekil değiştirme - gerilme (birim alandaki kuvvet) arasındaki ilişkiler çıkarılacaktır.
Normal Birim Şekil Değiştirme (Normal Strain) Cisim üzerinde birim uzunluktaki bir çizginin boyunun uzaması veya kısalmasına normal birim şekil değiştirme denir. Formal bir tanım yapabilmek için aşağıdaki şekli ele alalım: n doğrultusundaki orijinal uzunluğu Δs olan AB parçası Cisim deforme olduktan sonra AB çizgisi A B çizgisi halini aldığını ve boyunun ise Δs olduğu kabul edilmiştir. Şekil Değiştirmemiş Cisim Şekil Değiştirmiş Cisim
Normal Birim Şekil Değiştirme (Normal Strain) AB ve A B çizgileri arasındaki boy farkı=δs Δs olarak bulunur.n doğrultusundaki ortalama normal birim şekil değiştirme miktarı aşağıdaki gibi hesaplanır ε ort = s s s B noktası A noktasına yaklaştırılarak, limitte bir noktadaki normal birim şekil değiştirme formülü aşağıdaki forma dönüşür ε = lim B A- n boyunca s s s Bir noktadaki normal birim şekil değiştirme biliniyorsa, cisim üzerindeki çizgisel parçanın son boyu yaklaşık olarak aşağıdaki gibi bulunabilir s = 1+ ε s ( )
Normal Birim Şekil Değiştirme (Normal Strain) Normal birim şekil değiştirmeyi oluşturan gerilme türü normal gerilmedir(σ). Normal birim şekil değiştirmenin birimi yoktur (birimsizdir). Bu durumdam/molarakveyabudeğerçokküçükolduğuiçinμm/m olarakdagösterilir.budurumda,örneğin480 (10-6 )mm/mm 480 μm/m veya kısaca 480 mikron olarak gösterilebilir. ε ort = s s s
Kayma/KesmeBirim Şekil Değiştirmesi(Shear Strain) Başta birbirine dik olan iki çizgi parçasının arasındaki açının değişimi kayma/kesme birim şekil değiştirmesi olarak adlandırılır. Bu açı değişimi γ (gama) ile gösterilir ve birimi radyandır. Nasıl tariflendiğini anlamak için aşağıdaki şekli inceleyelim: Kuvvet Uygulanıyor γ nt π = 2 B A C A limθ n doğrultusu t doğrultusu Şekil Değiştirmemiş Cisim Şekil Değiştirmiş Cisim
Kartezyen Şekil Değişimi Bileşenleri Yukarıda yapılan tanımları kullanarak bir cisim üzerindeki farklı tür deformasyonları tarifleyebiliriz. Aşağıdaki şekli ele alalım: Kuvvet Uygulanıyor Cismi sonsuz küçük küp parçalara ayrılmış gibi düşünebiliriz. Şekil değiştirmemiş, çok küçük Δx, Δy, Δz kenar boyutlarına sahip kübik bir elemanı inceleyelim. Bu eleman, şekil değiştirmesini incelediğimiz cismin içinden çıkarılmıl bir noktayı temsil ediyor şeklinde düşünülebilir. Şekil değiştirmiş eleman
Kartezyen Şekil Değişimi Bileşenleri Hem normal gerilme hem de kesme gerilmesi etkisindeki kübik bir elemanın kenarları şekil değişiminden dolayı aşağıdaki şekli alır Kübik elemanın kenarları uzar veya kısalır(normal gerilmenin etkisi) ayrıca bu kenarları oluşturan çizgiler arasındaki açılar dik olma durumlarını kaybeder (kesme gerilmesinin etkisi) Kenarların uzama veya kısalması ( 1 ε ) + x x ( 1 ε ) + y y ( 1 ε ) + z z Kenar açılarının değişimi π γ 2 π γ 2 π γ 2 xy yz xz Dikkat edilirse, normal şekil değiştirmeler, cismin hacminde değişimler yaratmaktayken, kayma şekil değişimleri ise cismin şeklini değiştirmektedir (kübik form bozulmakta). Genel bir yükleme durumunda, bu iki etki eş zamanlı olarak (aynı zamanda) oluşmaktadır.
Küçük Şekil Değişimleri Analizi Mühendislik tasarımlarında, küçük şekil değiştirmelere izin verilir, Dikkat edilirse, etrafımızdaki hemen hemen her yapıda şekil değiştirmeler gözle fark edilemeyecek kadar küçüktür, Bu ders kapsamında, tüm cisimlerin küçük şekil değiştirmeler yaptığı kabul edilecektir; yani normal birim şekil değiştirmeler ε << 1 ve açı değişimleri ise(kesmeşekildeğişimi)sin(θ)=~θ,cos(θ)=1vetan(θ)=θyaklaşımlarını sağlayacak kadar küçük olacaktır, Bu duruma birinci mertebe yaklaşımı da denir, Dikkat edilirse bir noktadaki şekil değişimi 6 bileşenle tanımlanabilir: ε ε ε γ γ γ x y z xy yz xz
Örnek 1 Şekilde gösterilen ince çubuk, sıcaklık ektisine maruz kaldığından dolayı ekseni doğrultusunda ε z = 40 (10-3 )z 1/2 fonksiyonuna uygun olarak normal birim şekil değişimi göstermiştir, Burada z metre cinsindedir. Bu durumda: (a) B ucunun ne kadar yer değiştirdiğini ve (b) çubukta oluşan ortalama normal şekil değişimini bulunuz.
Örnek 1 (devam) (a) Çubuğun birim şekil değiştirme fonksiyonu verildiğine göre, dz uzunluğunda bir çubuğun boy uzaması aşağıdaki gibi hesaplanabilir: = Bu değerin çubuk boyunca integrali, çubuğun toplam uzamasını yani B ucunun yer değiştirmesini verecektir Bu durumda, B ucunun yer değiştirmesi aşağıdaki şekilde bulunur:
Örnek 1 (devam) (b) Ortalama şekil değişimini (çubuk boyunca gerçekleşen) çubuğu bir çizgi olarak düşünerek bulabiliriz. Bu durumda: olarak bulunur.
Örnek 3 Şekilde gösterilen rijit kiriş, A noktasından bir mesnetle ve BD ve CE halatları ile taşınmaktadır. Yayılı yük C ucunu 10 mm aşağıya doğru çekiyorsa, CE ve BD kablolarındaki normal birim şekil değişimini bulunuz.
Kiriş rijit kaldığı için benzer üçgenlerden B ve C noktlarının ne kadar aşağıya doğru hareket ettikleri geometri ile bulunabilir! Not: Eğer kiriş rijit olarak kabul edilmeseydi, bu durumda cevap değişir miydi?