SAYISAL KONTROL SİSTEMLERİNİN z-düzleminde ANALİZİ Bu derste ve takip eden derste, sayısal kontrol sistemlerinin z-düzleminde analizi ve tasarımı için gerekli materyal sunulacaktır. z-dönüşümü Yönteminin temel avantajı, sayısal kontrol sistemlerinin tasarımında, analog kontrol sistemlerinde kullanılan yöntemlerin (ya da oldukça benzerlerinin) kullanımına olanak sağlamasıdır. Analiz ve tasarım yöntemleri tanıtılırken, sistemdeki örnekleme periyodunun sabit olduğu, yani bütün bir operasyon boyunca tüm örnekleyicilerin aynı frekansa sahip ve senkron olduğu varsayılacaktır. Dersin başlıca konuları: İmpals (Darbecik) Örnekleme ve Veri Tutma z-dönüşümünün Konvolüsyon İntegrali Yöntemi ile Elde Edilmesi Örneklenmiş Sinyalden Gerçek Sinyalin Yeniden Elde Edilmesi Pals (Darbe) Transfer Fonksiyonu Sayısal Kontrolörlerin ve Sayısal Filtrelerin Gerçeklenmesi
İmpals (Darbecik) Örnekleme ve Veri Tutma İlk derste söylendiği gibi, ayrık-zamanlı kontrol sistemleri hem ayrık-zamanlı hem de süreklizamanlı bileşenler içerir. Bu nedenle de sistemde bazı sinyaller sayısal (dijital) bazıları analogtur. Dolayısıyla bir sayısal kontrol sistemi, en az birer adet örnekleyici ve tutucu içerir. Bu alt bölümde örnekleme ve tutma işlemine ilişkin detaylar sunulacaktır. İmpals Örnekleme: İmpals (Darbecik) Örnekliyici ideal bir örnekleyicidir. Bu örnekleyicinin çıkışı, aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi t=0 anından başlayan ve T örnekleme periyoduna sahip impals dizisi şeklindedir. Her bir impalsın genliği, örneklenen sürekli-zaman sinyalin o andaki değerine eşittir. Yani t kt anındaki impalsın ifadesi x( kt ) ( t kt ) şeklindedir. Örneklenmiş sinyal için genellikle x () t notasyonu kullanılır. Dolayısıyla örneklenmiş sinyal, matematiksel olarak bir impals dizisi şeklinde aşağıdaki gibi ifade edilebilir: ya da açık ifadesiyle x ( t) x( kt ) ( t kt ) k0 x ( t) x(0) ( t) x( T) ( t T) x(2 T) ( t 2 T) x( kt ) ( t kt ) Buradaki impals sinyallerinin dizisi özel olarak () t ile gösterilir ve T T k0 ( t kt ) şeklinde ifade edilir. 2
Örnekleyicinin çıkışı, bir sürekli sinyal olan xt () ile impalslerin dizisi olan () t nin çarpımına T eşittir. Dolayısıyla örnekleyici, aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi modülasyon sinyali xt () ve taşıyıcı sinyali () t olan bir modülator gibi düşünülebilir. T İmpals örnekleyicinin çıkışının açık ifadesi olarak yukarıda yazdığımız x ( t) x(0) ( t) x( T) ( t T) x(2 T) ( t 2 T) x( kt ) ( t kt ) denkleminin her iki tarafının Laplace Dönüşümü alınırsa k0 X ( s) x ( t) x(0) ( t) x( T) ( t T) x(2 T) ( t 2 T) x( kt) ( t kt) x( kt ) e kts Şimdi aşağıdaki gibi bir tanımlama yapalım: z e Ts ve dolayısıyla s ln z T 3
denklemi, az önce yukarıda elde ettiğimiz denkleminde yerine yazılırsa, X ( s) x( kt ) e k0 s ln z T k0 4 kts X ( s ) x ( kt ) z elde edilir. Dikkat edilirse bu denklemin sağ tarafı, z-dönüşümünün matematiksel tanımını veren seridir. Sonuç olarak, X s X z X z x kt z k ( ) ln ( ) ( ) s ln z T T k0 Veri Tutma konusuna geçmeden önce, impals örnekleme ile ilgili olarak elde ettiğimiz sonuçları özetleyelim: Zaman domenindeki bir xt () sinyalinin, sabit T örnekleme periyodu ile her bir bileşeni x( kt ) ( t kt ) şeklinde ifade edilen impalslerin dizisi şeklinde örneklenmesine İmpals Örnekleme denir. Böyle bir örnekleyici tamamen ideal bir örnekleyicidir, tamamen matematiksel analiz amacıyla tanılanmıştır, gerçel dünyada böyle bir örnekleyici fiziksel olarak mevcut değildir. İmpals örnekleyici ile örneklenmiş sinyalin genel ifadesi şeklindedir. x ( t) x( kt ) ( t kt ) k0 Zaman domenindeki bir xt () fonksiyonunun z-dönüşümü olan X() z ile, bu fonksiyonun impals örneklenmiş formunun Laplace Dönüşümü olan X () s arasında, X ln z X ( z) T ilişkisi mevcuttur. Olası bir yanlış anlamanın engellenmesi adına şu vurgulanmalıdır ki bu bağıntı, xt () nin Laplace Dönüşümü olan X() s ile xt () nin z-dönüşümü olan X() z arasında bir bağıntı değildir. Bu bağıntı, xt () nin impals örneklenmiş formunun Laplace Dönüşümü olan X () s nin z-dönüşümü olan X() z arasında bir bağıntıdır. k ile xt ()
Veri Tutma Devreleri: Veri Tutma, bir ayrık-zaman sinyali olan x( kt ) den, bir sürekli zaman sinyali olan ht () yi üretme işlemidir. Yani bir tutma devresi, örneklenmiş sinyali bir sürekli zaman sinyaline dönüştüren devredir. En basit, gerçeklenmesi en kolay ve en ucuz tutma devresi Sıfırıncı Mertebeden Tutucu Zero Order Hold devresidir. Sıfırıncı Mertebeden Tutucu: Bir sıfırıncı mertebeden tutucu, sinyalin bir örnekleme anındaki genlik değerini bir sonraki örnekleme anına kadar tutar. Sıfırıncı mertebeden tutucunun çıkışı, bir merdiven sinyali şeklinde olduğu için, bu tür tutma devreleri genellikle merdiven basamağı üreteci olarak da adlandırılır. Tutucunun fonksiyonunu görselleştirmek amacıyla, aşağıdaki şekilde bir örnekleyici ve bir tutucu beraber gösterilmiştir. Şekilde görüldüğü gibi tutucu, örneklenmiş sinyal x( kt ) nin her bir örnekleme anındaki genliğini, bir sonraki örnekleme anına kadar tutmaktadır. Bu işlem, matematiksel olarak şeklinde ifade edilebilir. h( kt t) x( kt), 0 t T Tutucu devre, sayısal kontrol sisteminin bir parçası olduğu için, bu devrenin transfer fonksiyonu elde edilmelidir ki sistemin analizi ve tasarımı yapılabilsin. Aşağıda Şekil (a) da gerçek bir örnekleyici ve tutucunun şeması görülmektedir. Eğer sürekli zaman sinyali xt () nin, gerçekte var olmayan bir impals örnekleyici örneklendiği kabul edilirse, Şekil (b) de görülen şema elde edilir. Sürekli-zaman sinyalinin bir impals örnekleyici ile örneklendiğinin kabul edilmesinin nedeni, bu örnekleyici ve tutucu kombinasyonunun z-düzleminde analizinin yapılabilmesini sağlamaktır. 5
Türetilmesine ilişkin detaylar sunulmaksızın, bir sıfırıncı mertebeden tutucunun s-domenindeki transfer fonksiyonu, G h0 e () s s olarak elde edilir. Yani özetle, yukarıda Şekil (a) da görülen gerçek örnekleyici ve tutucu, matematiksel olarak analizinin yapılabilmesi için Şekil (b) de görülen (ve gerçekte var olmayan) impals örnekleyici ve tutucu ile temsil edilebilir. Bu durumda örnekleyici ve tutucunun transfer fonksiyonu yukarıdaki denklemde görüldüğü gibi olacaktır. Gerçek bir örnekleyici ile impals örnekleyicinin şemalarda ayırt edilebilmesi için, impals örnekleyici sembolünde yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi fazladan bir ok vardır. Birinci Mertebeden Tutucu: Birinci Mertebeden Tutucu (First-Order Hold), her bir örnekleme anında, önceki iki örneğin ekstrapolasyonunu çıkış olarak verir ve bu değeri bir sonraki örnekleme anına kadar tutar. Sayısal kontrol sistemlerinde birinci mertebeden tutucu pek kullanılmaz. Genellikle sıfırıncı mertebeden tutucu pratik uygulamalarda daha çok kullanılır. Aşağıda birinci mertebeden tutucunun tipik bir şeması görülmektedir. Ts Bu tür tutucunun transfer fonksiyonunu türetmek için sisteme basit bir giriş sinyali uygulanır. Örneğin aşağıda xt () giriş sinyali için bir adım girişi kullanılmıştır. Şekil (a) da gerçek bir örnekleyicinin ve ardına bağlanmış bir birinci mertebeden tutucunun şeması, Şekil (b) de ise bu yapının matematiksel olarak analiz edilebilmesine olanak sağlayan, impals örnekleyici kullanılan eşdeğer modeli görülmektedir. 6
Birinci mertebeden tutucunun transfer fonksiyonu ise şu şekilde elde edilir: G h Ts e Ts () s s T Örnekleme ve tutma devrelerine ilişkin bahsettiklerimizi özetlersek: Gerçek bir örnekleyici, giriş sinyalini periyodik olarak örnekler ve çıkışında bir pals dizisi üretir. Eğer örnekleme süresi çok küçükse ya da (pratikte asla sıfır olamaz ancak) sıfır kabul edilirse, genliği sürekli-zaman sinyalinin örnekleme anındaki genliğine eşit impals dizisi elde edilir ve böylece örnekleyici z-domeninde analiz edilebilir. Gerçek bir örnekleyici ve sıfırıncı mertebeden tutucu, yukarıda anlatılan yaklaşım Ts kullanılarak, matematiksel olarak e / s denklemiyle modellenebilir ve böylece örnekleyici ve tutucu içeren kontrol sistemlerinin analizi ve tasarımında bu model kullanılabilir. 2 7
İmpals (Darbecik) Örnekleme ve Veri Tutma z-dönüşümünün Konvolüsyon İntegrali Yöntemi ile Elde Edilmesi Örneklenmiş Sinyalden Gerçek Sinyalin Yeniden Elde Edilmesi Pals (Darbe) Transfer Fonksiyonu Sayısal Kontrolörlerin ve Sayısal Filtrelerin Gerçeklenmesi z-dönüşümünün Konvolüsyon İntegrali Yöntemi ile Elde Edilmesi Zaman domenindeki bir xt () sinyalinin Laplace Dönüşümü, konvolüsyon integrali kullanılarak da hesaplanabilir. Aşağıdaki impals örnekleyiciyi göz önünde bulunduralım: Bu impals örnekleyicinin çıkışı, x ( t) x( T) t kt x( t) t kt k0 k0 şeklindedir. İmpals fonksiyonunun Laplace Dönüşümünün şeklinde olduğu bilindiğine göre; k0 ( t kt ) e kts ( t kt ) e e e Ts 2Ts 3Ts olur. Örneklenmiş sinyal x () t nin Laplace Dönüşümü, X ( s) x ( t) x( t) t kt k0 e Ts 8
olduğuna göre; X () s k0 zamana bağlı iki fonksiyonun çarpımının Laplace dönüşümüdür: xt () ve ( t kt ). (Bu çarpımın Laplace dönüşümünün, fonksiyonların her birinin ayrı ayrı Laplace dönüşümlerinin çarpımına eşit olmadığına dikkat ediniz). Laplace dönüşümü alınabilir olan f() t ve gt () şeklinde iki fonksiyonun çarpımının Laplace dönüşümü, konvolüsyon integrali yoluyla şu şekilde hesaplanır: st f ( t) g( t) f ( t) g( t) e dt 0 2 j cj cj 9 F( p) G( s p) dp Bu denklemde p integral değişkenidir. Bu denklemde f() t ve gt () yerine sırasıyla xt () ve ( t kt ) yazılırsa, bu durumda x () t nin Laplace dönüşümü, yani k0 X ( s) x ( t) x( t) t kt k0 konvolüsyon integrali yoluyla şu şekilde bulunur: X ( s) x ( t) x( t) t kt k0 cj X ( p) 2 j e cj T ( sp) Bu integral, konvolüsyon integrali olarak adlandırılır. Ters z-dönüşümü konusundan hatırlayacağımız üzere, bu integrali hesaplamanın pratik yolu, ilgili ifadenin rezidülerini bulmaktır. X ( s) X ( p) 'nin p p kutbundaki rezidüleri T ( sp) i e şeklinde hesaplanır (bu formül, X() s in tüm kutuplarının sol yarı düzlemde olması durumunda Ts geçerlidir). Bu formülde, önce z e dönüşümü yapılıp, sonra da integral değişkeni p nin yerine esas değişken s yazılırsa, X() z aşağıdaki şekilde bulunur: z X ( z) X ( s) 'nin s si kutbundaki rezidüleri Ts z e dp
Ör: Aşağıda verilen X() s fonksiyonunun z-dönüşümü olan X() z yi, Konvolüsyon İntegrali Yöntemi ile bulunuz. C: Verilen X() s fonksiyonu, s 0 noktasında katlı kutba ve s noktasında bir kutba sahiptir. Bu durumda X() z aşağıdaki gibi bulunur. z X ( z) X ( s) 'nin s si kutbundaki rezidüleri Ts z e d 2 z z lim s lim ( s) 0 2 Ts 2 Ts (2 )! s ds s ( s ) z e s s ( s ) z e z z e ( s )( T ) e z ( s ) z e e Ts Ts lim s0 2 Ts 2 2 ( ) z z( z T ) z 2 ( z) z e T 2 T T T z T e z e Te 2 T ( z ) z e T T T 2 T z e z T e z e Te z 2 T Ts e / s Terimi İçeren Fonksiyonların z-dönüşümünün Bulunması: Eğer s-domenindeki Ts fonksiyon, e / s şeklinde bir terim içeriyorsa, bu fonksiyonun z-dönüşümü kısa yoldan bulunabilir (bu terimin, bir sıfırıncı mertebeden tutucunun transfer fonksiyonu olduğunu hatırlayınız). z-dönüşümü bulunacak olan X() s fonksiyonunu, Ts e X ( s) G( s) s şeklinde yazalım. Bu durumda, X() s in z-dönüşümü olan X() z şu şekilde bulunur: Gs () X ( z) X ( s) z s 0
Ör: Aşağıda verilen fonksiyonun z-dönüşümünü bulunuz. C: Ts e X() s s s X ( z) X ( s) z ss ( ) z s s z T z e z e e T T z z İmpals (Darbecik) Örnekleme ve Veri Tutma z-dönüşümünün Konvolüsyon İntegrali Yöntemi ile Elde Edilmesi Örneklenmiş Sinyalden Gerçek Sinyalin Yeniden Elde Edilmesi Pals (Darbe) Transfer Fonksiyonu Sayısal Kontrolörlerin ve Sayısal Filtrelerin Gerçeklenmesi
Örneklenmiş Sinyalden Gerçek Sinyalin Yeniden Elde Edilmesi Eğer örnekleme frekansı, sürekli-zaman sinyalinin en yüksek frekanslı bileşeninden yeterince fazla ise, örneklenmiş sinyalde sürekli-zaman sinyalinin genlik karakteristiği korunur. Örneklenmiş sinyalden orijinal sinyali elde etmek için, örnekleme işleminin sağlaması gereken belirli bir minimum frekans değeri vardır. Bu minimum örnekleme frekansı, Örnekleme Teoremi ile belirlenir. Örnekleme teoremini açıklarken, sürekli-zaman sinyali xt () nin aşağıdaki gibi bir frekans spektrumuna sahip olduğunu kabul edeceğiz. Yani xt () sinyali, rad/sn frekansından daha yüksek frekans komponentleri içermemektedir. Örnekleme Teoremi: T örnekleme periyodu ve 2 / T olmak üzere, eğer s s 2 şartı sağlanıyorsa, orijinal sürekli-zaman sinyali xt () nin, örneklenmiş sinyal x () t üretilmesi (teorik olarak) mümkündür. den tekrar Aslında yukarıda koşul, orijinal sinyalin, örneklenmiş sinyalden yeniden üretilebilmesi için minimum şartı verir. Pratikte ise sayısal kontrol sistemlerinin kararlılığı için örnekleme frekansı, genellikle 0 ile 20 arasında seçilir. s 2
İdeal Alçak Geçiren Filtre: İdeal bir alçak geçiren filtrenin frekans spektrumu aşağıdaki şekilde görülmektedir. İdeal alçak geçiren filtrenin genliği, s s aralığında birimdir (yani 2 2 girişteki sinyalin genliğini değiştirmez). Örnekleme işlemi, maalesef örneklenmiş sinyale çok sayıda yüksek frekans bileşeni ekler. İdeal alçak geçiren filtre, sadece temel bileşeni geçirir, yüksek frekans bileşenlerini durdurur. Ancak ideal alçak geçiren filtre pratikte gerçeklenemez. Yani pratikte filtre edilen sinyal bazı yüksek frekans bileşenlerini de içerir. Bu nedenle her ne kadar örnekleme frekansı yukarıda belirtilen kriteri sağlayacak şekilde seçilse de, örneklenmiş sinyalden orijinal sinyalin kusursuz şekilde tekrar üretilmesi mümkün değildir. Sıfırıncı Mertebeden Tutucunun Frekans Karakteristiği: Daha önce sıfırıncı mertebeden tutucunun transfer fonksiyonunun G h0 e s Ts şeklinde olduğunu bulmuştuk. Aşağıdaki şekil, alçak geçiren filtrenin frekans karakteristiği ile, sıfırıncı mertebeden tutucunun yukarıda verilen transfer fonksiyonu kullanılarak elde edilen frekans karakteristiğini aynı grafik üzerinde göstermektedir. 3
Grafikten anlıyoruz ki, sıfırıncı mertebeden tutucunun frekans karakteristiği, alçak geçiren filtrenin filtrenin frekans karakteristiğine benzemekte, yani sıfırıncı mertebeden tutucu bir alçak geçiren filtre gibi davranmaktadır. Ancak bir farkla; sıfırıncı mertebeden tutucunun frekans karaktersitiği, frekansından sonra bazı istenmeyen ek bileşenler içermektedir. Bu ek bileşenlerin genliği, 2 s örnekleme frekansının tamsayı katlarında sıfır olmakta, buçuklu katlarında ise maksimum değerini almaktadır. Eğer örnekleme işleminden önce bir alçak geçiren filtre kullanılırsa, bu istenmeyen ek bileşenler büyük oranda elimine edilir ve sıfırıncı mertebeden tutucu, tutma fonksiyonuna ek olarak bir de alçak geçiren filtre gibi görev yapar. Hazır konu frekans cevabından açılmışken, örnekleme işleminin mevcut olduğu sistemlerde meydana gelen birkaç olaydan bahsedelim: 4
Katlanma (Folding): Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi, frekans spektrumu üzerinde üst üste binme (çakışma) olayı Katlanma olarak adlandırılır. Bu şekil aynı zamanda katlanma olayının olduğu bölgeyi de göstermektedir. frekansı, Katlanma Frekansı ya da Nyquist Frekansı olarak 2 s anılır. Pratikte, kontrol sistemlerindeki sinyaller genellikle yüksek frekans bileşenleri içerirler ve bu nedenle katlanma olayı neredeyse her zaman mevcuttur. Örtüşme (Aliasing): Bir xt () sürekli zaman sinyali örneklenip x () t elde edilirken, eğer örnekleme frekansı s 2 şeklinde seçilirse, örneklenmiş sinyalin frekans spektrumunun bazı bölgelerinde aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi herhangi bir değeri için iki ayrı bileşen oluşur. Bu olaya Örtüşme denir. Bunu engellemek için ya örnekleme frekansı yeterince büyük seçilmeli ya da örnekleyicinin önüne bir filtre konulmalıdır. 5
Gizli Osilasyon: Eğer örneklenecek olan sürekli-zaman sinyali xt (), n bir pozitif tamsayı olmak üzere örnekleme frekansı s in n katı frekansa sahip bileşenler içeriyorsa, bu bileşenler örneklenmiş sinyalde görülmeyecektir. Yani örneklenecek sinyal n s bileşenine sahip bir osilasyon içerirken, örneklenmiş sinyal böyle bir osilasyonu, yani bu bileşenin etkisini örnekleme anlarında barındırmayacaktır. Bu bileşene ilişkin osilasyon sadece iki örnekleme anı arasında mevcuttur ancak örnekleme anlarında mevcut değildir. Bu olaya gizli osilasyon denir. Örneğin xt () sinyalinin, x( t) x( t) x2( t) sint sin3t şeklinde iki ayrı bileşenden oluştuğunu düşünelim. Burada örnekleme frekansı s 3 rad/sn olarak seçilirse, sin3t bileşenine ilişkin osilasyon, örneklenmiş sinyalde görülmez. Aşağıdaki şekil, bu durumu görsel olarak anlatmaktadır. 6
İmpals (Darbecik) Örnekleme ve Veri Tutma z-dönüşümünün Konvolüsyon İntegrali Yöntemi ile Elde Edilmesi Örneklenmiş Sinyalden Gerçek Sinyalin Yeniden Elde Edilmesi Pals (Darbe) Transfer Fonksiyonu Sayısal Kontrolörlerin ve Sayısal Filtrelerin Gerçeklenmesi Pals (Darbe) Transfer Fonksiyonu Analog kontrol sistemlerinde transfer fonksiyonu, sürekli-zaman çıkış sinyalinin Laplace Dönüşümü ile sürekli-zaman giriş sinyalinin Laplace dönüşümünü ilişkilendirir. Sayısal kontrol sistemlerinde Pals Transfer Fonksiyonu, örneklenmiş çıkışın z-dönüşümü ile örneklenmiş girişin z-dönüşümünü ilişkilendirir. Aşağıdaki şekilde görülen analog kontrol sisteminde çıkış ile girişin zamana bağlı ifadesi şu şekildedir: t y() t g t x d x t g d 0 0 xt () Gs () yt () Bu integral, konvolüsyon integrali olarak adlandırılır. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi, giriş ve çıkış sinyalleri örneklenirse, bu durumda örneklenmiş çıkış ile örneklenmiş giriş arasındaki bağıntı şu şekilde ifade edilir: k y( kt ) g( kt ht ) x( ht ) x( kt ht ) g( ht ) h0 h0 t k Bu toplam, konvolüsyon toplamı olarak adlandırılır ve basitleştirilmiş notasyonla y( kt ) x( kt ) g( kt ) şeklinde gösterilir. 7
Aşağıdaki gibi, girişi () X z, transfer fonksiyonu Gz () ve çıkışı Y() z ile gösterilen bir sistemin Darbe Transfer Fonksiyonu şu şekildedir: Gz () Y() z X() z Dikkat edilirse burada eğer giriş sinyali Kronecker Delta Girişi, yani olursa, Kronecker Delta Girişinin z-dönüşümü, k 0 x( kt) 0( kt ) 0, k 0 k X ( z) x( kt ) z olduğu için, çıkış doğrudan transfer fonksiyonuna eşit olacaktır, Y( z) G( z). k0 Sayısal kontrol sistemlerinde, sistemdeki sinyallerin bazıları impals örneklenmiş sinyaller iken bazıları değildir. Sistemi analiz edebilmek için, sistemin pals transfer fonksiyonunun elde edilmesi gerekir. Pals transfer fonksiyonunun elde edilebilmesi için, sinyallerin z-domeninde ifade edilebilmesi gerekir. Dolayısıyla sinyallerin impals örneklenmiş olup olmadıkları, pals transfer fonksiyonunun yazılması açısından büyük önem taşır. Aşağıdaki şekilde görülen basit sistemde, sistem girişinin bir impals örnekleyici ile örneklendiğini ve sistemin s-domenindeki transfer fonksiyonunun Gs () olduğunu düşünelim. 8
Bu sistemde çıkışın ifadesi Y( s) G( s) X ( s) şeklindedir. Yani çıkış, periyodu 2 / s olan periyodik sinyal X () s ile, periyodik olmayan Gs () in çarpımına eşittir. İmpals örneklenmiş sinyaller periyodik sinyallerdir çünkü X ( s) X ( s j k) dır. Yukarıdaki denklemin her iki tarafının yıldızlı (impals örneklenmiş) formuna bakalım: s Y ( s) G( s) X ( s) G( s) X ( s) G ( s) X ( s) Bu ifade, pals transfer fonksiyonunun elde edilmesi açısından oldukça önemlidir. Çünkü Y ( s) G ( s) X ( s) denklemindeki tüm sinyaller yıldızlı (impals örneklenmiş) sinyaller olduğu için, bu sinyallerin her birinin z-dönüşümünün alınması suretiyle, sistemin pals transfer fonksiyonu Gz () Y() z X() z yazılabilir. Özetle eğer ilgili bloğun girişinde bir impals örnekleyici varsa, her ne kadar Gs () periyodik olmayan bir sinyal olsa da Gs in () impals örneklenmiş formunun z-dönüşümü bulunarak sistemin pals transfer fonksiyonu yazılabilir ve bu yolla sistemin z-domeninde analizi yapılabilir.! Peki bloğun girişinde bir impals örnekleyici yoksa? Bu durumu incelemek için aşağıdaki blok diyagramı göz önünde bulunduralım. Burada frekans domenindeki transfer fonksiyonu, Ys () Gs () X() s şeklindedir ancak Pals Transfer Fonksiyonu () bir impals örnekleyici yoktur. 9 Gz maalesef Gs () e eşit değildir. Çünkü girişte
Bu sistemde çıkışın ifadesi, Y( s) G( s) X ( s) şeklindedir. Her iki tarafın impals örneklenmiş hali; Y ( s) G( s) X ( s) GX ( s) şeklindedir ve bu denklemin her iki tarafının z-dönüşümü alınırsa Y( z) Y( s) G( s) X ( s) GX ( s) GX ( z) G( z) X ( z) Eğer girişte bir impals örnekleyici yoksa, G( s) X ( s ) in z-dönüşümünün G( z) X ( z ) e eşit olmadığı, bu dersin ilerleyen kısımlarında daha detaylı olarak tartışılacaktır. Şimdi darbe transfer fonksiyonunun elde edilmesine ilişkin örneklere bakalım. Ör: Şekilde verilen sistemde eğer Gs () s a şeklinde ise, sistemin pals transfer fonksiyonunu bulunuz. C: Girişte bir impals örnekleyici mevcut olduğu için, bu sistemin pals transfer fonksiyonu doğrudan G( z) G( s) şeklinde bulunur. Verilen Gs () transfer fonksiyonunun z-dönüşümü iki farklı yoldan bulunabilir. Birinci yol, z-dönüşümü anlatılırken sunulan z-dönüşüm Tablosuna başvurmaktır. Bu tablodan, bulunur. Dolayısıyla pals transfer fonksiyonu at s a e z 20
Gz () at e z olarak elde edilir. İkinci yol, s-domeninde verilen fonksiyonun Ters Laplace Dönüşümü yoluyla zaman domenindeki ifadesi gt () yi bulup, z-dönüşüm formülü yardımıyla Gz () yi hesaplamaktır: at g( t) G( s) e akt g( kt ) e, k 0,,2,3,... ( ) ( ) k0 k0 k0 k akt k at G z g kt z e z e z e at z Herhangi bir bloğun ya da sistemin çıkışında impals örnekleyici olup olmaması darbe transfer fonksiyonunu etkilemez. Eğer çıkışta bir örnekleyici yoksa da varmış kabul edilebilir. Çünkü çıkış sinyali sürekli olsa bile, bu sinyalin sadece t=kt anlarındaki değerleri göz önünde bulundurularak, analiz buna göre yapılabilir. k 2
Ör: Şekilde verilen sistemde eğer Ts e Gs () s s s şeklinde ise, sistemin pals transfer fonksiyonunu bulunuz. C: Girişte bir impals örnekleyici mevcut olduğu için, bu sistemin pals transfer fonksiyonu doğrudan G( z) G( s) şeklinde bulunur. Verilen Gs () transfer fonksiyonunun z-dönüşümü iki farklı yoldan bulunabilir. Birinci yol, z-dönüşümü anlatılırken sunulan z-dönüşüm Tablosuna Ts başvurmaktır. e / s terimi içeren fonksiyonların z-dönüşümünün hesaplanması için özel bir formülasyon elde etmiştik. Buna göre, Ts e G( z) G( s) s ss z 2 s z 2 s s s s Tz z e z z z T T T T z e z 2 T T e z e Te z 2 bulunur. Pals transfer fonksiyonunu ikinci yoldan bulabilir misiniz? 22
Kaskat Bağlı Elemanların Pals Transfer Fonksiyonu: Transfer fonksiyonları Gs () ve Hs () olan iki bileşenin aşağıda blok diyagramda görüldüğü gibi kaskat (seri) bağlandığını düşünelim. Bu sistemin pals transfer fonksiyonunu türetelim (Tüm örnekleyicilerin senkronize edildiğini ve aynı örnekleme periyoduna sahip olduğunu düşünelim). Blok diyagramdan görüldüğü gibi, U ( s) G( s) X ( s) Y( s) H( s) U ( s) Bu denklemlerin her iki tarafının impals örneklenmiş formu; U ( s) G ( s) X ( s) Y ( s) H ( s) U ( s) şeklinde olur. Buradan, Y ( s) H ( s) U ( s) H ( s) G ( s) X ( s) ve z-domeninde Y( z) H( z) G( z) X ( z) elde edilir. Sonuç olarak bu kaskat bağlı sistemin pals transfer fonksiyonu, Y() z G( z) H( z) X() z olur. 23
Şimdi de aşağıdaki kaskat bağlı sistemin pals transfer fonksiyonunu bulalım. Dikkat edilirse burada Gs () ile Hs () blokları arasında bir impals örnekleyici yoktur. Çıkış ifadesi, Y( s) G( s) H( s) X ( s) GH ( s) X ( s) şeklindedir. Yani, GH ( s) G( s) H( s) dir. Çıkış denkleminin her iki tarafının impals örneklenmiş hali, Y ( s) GH ( s) X ( s) olur. Bu durumda, yukarıdaki denklemin z-domenindeki ifadesi Y( z) GH ( z) X ( z) ve dolayısıyla pals transfer fonksiyonu olur. Aşağıdaki ayrıntıya dikkat edilmelidir: Y() z GH ( z) GH ( s) X() z G( z) H( z) GH ( z) GH ( s) Diğer bir ifadeyle, G s H s G( z) H ( z) G( s) H( s) GH ( z) ( ) ( ) Bu önemli ayrıntıyı bir örnekle açıklayalım. 24
Ör: Aşağıda Şekil (a) ve Şekil (b) de verilen sistemlerin her biri için Y( z) / X ( z ) pals transfer fonksiyonunu bulunuz. C: Şekil (a) da verilen sistemde Gs () ile Hs () arasında bir impals örnekleyici mevcuttur. Bu nedenle pals transfer fonksiyonu Y() z G( z) H( z) X() z şeklindedir. Verilen Gz () ve H() z ifadeleri için pals transfer fonksiyonunu hesaplayalım. Y( z) G( z) H( z) X ( z) s a s b e z e z at bt 25
Şekil (b) de verilen sistem için pals transfer fonksiyonu ise Y( z) GH () z X () z s a s b Parantez içindeki ifade kısmi kesirlerine ayrılırsa, Y( z) GH ( z) X ( z) b a s a s b at bt b a e z e z at bt e e z at bt b a e z e z Bu örnekten görüldüğü üzere, G( z) H( z) GH ( z) dir. Pals transfer fonksiyonu elde edilirken, kaskat bağlı elemanların arasında bir impals örnekleyici olup olmadığına dikkat edilmelidir. 26
Kapalı Çevrim Sistemlerin Pals Transfer Fonksiyonu: Kapalı çevrim bir sistemde, çevrimin içinde bir örnekleyici olup olmaması, sistemin dinamik davranışını etkiler. Çevrimin dışında örnekleyici olup olmaması ise sistem davranışını etkilemez. Aşağıdaki kapalı çevrim sistemi göz önünde bulunduralım. Bu sistemde hata sinyali örneklenmektedir. Blok diyagramdan görüleceği üzere, Dolayısıyla, E( s) R( s) H( s) C( s) C( s) G( s) E ( s) E( s) R( s) H( s) G( s) E ( s) Bu denklemin her iki tarafının impals örneklenmiş hali, E ( s) R ( s) GH ( s) E ( s) şeklindedir. Bu denklem Es () için çözülürse, hata transfer fonksiyonu R () s E () s GH ( s) olarak bulunur. Çıkış ifadesi C ( s) G ( s) E ( s) olduğu için, G ( s) R ( s) C () s GH ( s) 27
şeklindedir. Bu ifade z-domeninde G( z) R( z) Cz () GH ( z ) olarak yazılır. Buradan, bu sistemin pals transfer fonksiyonu olarak elde edilir. C( z) G( z) R( z) GH ( z) Eğer Gsbloğunun () çıkışında da aşağıdaki gibi bir impals örnekleyici olsaydı, bu durumda pals transfer fonksiyonu olacaktı. C( z) G( z) R( z) G( z) H( z) Aşağıdaki tablo, çeşitli kapalı çevrim blok diyagramlar için çıkışın z-domenindeki ifadesini vermektedir. Tüm bloklarda örnekleyicilerin senkron ve aynı örnekleme frekansına sahip olduğu kabul edilmektedir. Dikkat edilirse bazı sistemlerde C( z) / R( z ) ifadesi yazılamamaktadır (çünkü Rz () denklemin diğer tarafına geçirilememektedir), yani bu sistemlerin pals transfer fonksiyonu yoktur. Her ne kadar bazı konfigürasyonlar için pals transfer fonksiyonu yazılamasa da, şu ana kadar öğrendiğimiz yöntemler bu sistemlerin analizi için halen uygulanabilir. 28
29
Kapalı Çevrim Sayısal Kontrol Sistemlerinin Pals Transfer Fonksiyonu: Aşağıda Şekil (a) da bir sayısal kontrol sisteminin en temel blok diyagramı görülmektedir. Şekil (b) de ise bu blokların her birinin transfer fonksiyonu gösterilmektedir. Sayısal kontrolörün transfer fonksiyonu G () s ile gösterilmiştir. Bilgisayar (sayısal kontrolör), girişçıkış ilişkisi G () z pals transfer fonksiyonu ile verilen fark denklemini çözer. D D Bu sistemde çıkış ct (), geribesleme yolu üzerinden giriş rt () ile karşılaştırılır ve bu karşılaştırma sonucunda üretilen hata sinyali e( t) r( t) c( t) örneklenir, daha sonra bir bu sinyal bir A/D dönüştürücü vasıtasıyla bir sayısal sinyale dönüştürülür. Sayısal sinyal e( kt ) kontrolöre beslenir ve kontrolör m( kt ) sinyalini üretir. e( kt ) ile m( kt ) arasındaki ilişki, darbe transfer fonksiyonu G () z tarafından belirlenir. Yani G () D z in kutupları uygun şekilde seçilerek, arzu edilen giriş-çıkış karakteristiği elde edilir. Şekil (b) yi göz önünde bulundurarak bu kapalı çevrim sistemin transfer fonksiyonunu türetelim. Şekil (b) den görüleceği üzere, e s Ts G ( s) G( s) p 30 D
şeklindedir. Ayrıca yine Şekil (b) den C( s) G( s) G ( s) E ( s) D ya da impals örneklenmiş formda elde edilir. Bu denklem z-domeninde C ( s) G ( s) G ( s) E ( s) C( z) G( z) G ( z) E( z) şeklinde ifade edilir. E( z) R( z) C( z) olduğu için, C( z) G( z) G ( z) R( z) C( z) olur ve buradan kapalı çevrim pals transfer fonksiyonu D C( z) GD( z) G( z) R( z) G ( z) G( z) şeklinde elde edilir. Bu denklem bir sayısal kontrol sisteminin kapalı çevrim darbe transfer fonksiyonunu verir. Böyle bir kapalı çevrim sayısal kontrol sisteminin performansı, pals transfer fonksiyonu G () z in (yani kontrolörün) uygun bir şekilde seçimi yoluyla iyileştirilebilir. Dersin D ileriki haftalarında, G () z in (yani kontrolörün) tasarımı için çok sayıda yöntem göreceğiz. Şimdi D ise burada G () z in tasarımı için sadece basit bir kontrolörün yapısını sunacağız: Sayısal PID kontrolör. D D D D 3
Sayısal PID Kontrolörün Pals Transfer Fonksiyonu: Elli yıldan fazla bir süredir, analog PID kontrolörler endüstride yaygın olarak kullanılmaktadır. PID kontrolün temel prensibi, manipüle edilecek değişkenin üzerinde üç temel kontrol aksiyonunu etki ettirmektir: () Oransal (Proportional) kontrol aksiyonu, (2) Integral kontrol aksiyonu, (3) Türevsel (Derivative) kontrol aksiyonu. Analog PID kontrolörün denklemi, t de( t) m( t) K e( t) e( t) dt Td T i dt 0 şeklindedir. Burada et () kontrolör giriş sinyali (hata sinyali), mt () kontrolör çıkış sinyali, K oransal kazanç, T i integral zamanı, T d türev zamanı olarak adlandırılır. Sayısal PID kontrolörün pals transfer fonksiyonunu elde etmek için, yukarıdaki denklem önce ayrıklaştırılmalı (yani m( kt ) ve e( kt ) ifadeleri bulunmalı) ve daha sonra da z-dönüşümü yardımıyla çıkış M() z ile giriş Ez () arasındaki pals transfer fonksiyonu yazılmalıdır. Denklemdeki türev ve integral işlemleri için uygun ayrıklaştırma yöntemleri kullanılırsa, sayısal PID kontrolörün pals transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir: Burada, KT K K p K K 2T 2 K K I D KT T i KTd T i : İntegral kazancı : Türev kazancı I M () z KI GD( z) K p K D z E( z) z : Oransal kazanç olarak isimlendirilir. Türev ve integral içeren terimlerin ayrıklaştırılması için faklı nümerik yaklaşımlar kullanıldığında, sayısal PID kontrolörün farklı pals transfer fonksiyonu ifadeleri elde edilebilir ancak yukarıdaki form, yaygın olarak kullanılan formdur. 32
Ör: Aşağıdaki şekilde görülen PID kontrolörde plantın (kontrol edilecek sistemin) transfer fonksiyonu, Gp () s ss ( ) şeklindedir. Örnekleme periyodu ise T= sn olarak seçilmiştir. Kontrol kazançlarının değeri K p, K 0.2, ve K 0.2 olarak seçilirse, sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonunu bulunuz. I D C: Örnekleme periyodu sn olduğuna göre, sıfırıncı mertebeden tutucunun transfer fonksiyonu, e Gh () s s olur. Bu durumda plant+tutucunun transfer fonksiyonunun z-dönüşümü s Gz () e 0.3679z 0.2642z s s( s ) 0.3679z z s 2 olarak bulunur. Eşdeğer blok diyagram aşağıdaki gibi elde edilir: Kontrol kazançları için verilen değerler, sayısal PID kontrolörün daha önce elde edilen transfer fonksiyonunda yerine yazılırsa, kontrolörün transfer fonksiyonu şu şekilde olur: 33
Böylece kapalı çevrim transfer fonksiyonu ise olarak elde edilir. G D.4.4z 0.2z () z z 2 C( z) GD( z) G( z) 0.55z 0.452z 0.2963z 0.0528z R( z) G ( z) G( z).8528z.5906z 0.6642z 0.0528z D 2 3 4 2 3 4 Geçici Durum Cevabının MATLAB ile Çizdirilmesi: Yukarıdaki örnekte elde edilen PID kontrolörün geçici durum cevabını k=40 örnek için çizdirelim. Bu durumda giriş sinyali rt (), MATLAB ortamında r=ones(,4) komut satırıyla tanıtılır. Aşağıdaki kod parçası, örnekte verilen sistemin sistemin birim adım girişine cevabını (k ya karşılık c(k) nın değişimini) çizdirir. num = [0 0.55-0.452-0.2963 0.0528]; den = [ -.8528.5906-0.6642 0.0528]; r = ones(,4); k = 0:40; c = filter(num,den,r); plot(k,c, o,k,c, - ) 34
Aynı sistemin rampa girişine cevabı ise aşağıdaki kod ile çizdirilir ve şekildeki gibi bir değişim elde edilir. num = [0 0.55-0.452-0.2963 0.0528]; den = [ -.8528.5906-0.6642 0.0528]; k = 0:40; r = [k]; c = filter(num,den,r); plot(k,c, o,k,c, -,k,k, ) 35