S.Ü. Müh.-Mim. Fak. Derg., c., s.-, 006 J. Fac.Eg.Arch. Selcuk Uiv., v.,.-, 006 PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEMEDE TOPLAM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM GECİKMENİN ENKÜÇÜKLENMESİ Tamer EREN ve Erta GÜNER Kırıkkale Üiversitesi, Edüstri Mühedisliği Bölümü, 7450 Kırıkkale, Gazi Üiversitesi, Edüstri Mühedisliği Bölümü, 06570 Maltepe, Akara, tere@kku.edu.tr erguer@gazi.edu.tr Makalei Geliş Tarihi: 6..005 ÖZET: Bu çalışmada iki ölçütlü özdeş iki paralel makieli çizelgeleme problemi icelemiştir. Problemi amaç foksiyou toplam tamamlama zamaı ve maksimum gecikmei ağırlıklı toplamıı e küçüklemektir. Tamamlama zamaı ve maksimum gecikme çizelgeleme literatürüde e çok göz 3 öüe alıa ölçütlerdedir. NP-zor yapıda ola bu problemi çözümü içi, / + 3 / + / değişkeli ve 3 kısıtlı bir tamsayılı programlama modeli geliştirilmiştir (burada iş sayısıı ifade etmektedir). Tam sayılı programlama modelii hesaplama zamaı ve yüksek hesaplama karmaşıklığı dolayısı ile 0 işe kadar ola problemleri çözümleri gerçekleştirilebilmiştir. Problemi daha büyük boyutlu çözümlerii gerçekleştirmek içi çizelgelemede iyi bilie dağıtım kurallarıa göre belirlee sıralar başlagıç çözümü olarak alıarak tabu arama yötemleri (Tabu I, Tabu II ve Tabu III) ve rassal arama yötemi geliştirilmiş ve problemi 000 işe kadar çözümleri bu yötemlerle belirlemiştir. Aahtar kelimeler: Paralel makieli çizelgeleme, iki ölçüt, tamsayılı programlama, sezgisel yötemler. Miimizatio of Total Completio Time ad Maximum Tardiess o Parallel Machie Schedulig ABSTRACT: I this study bicriteria idetical two parallel machie schedulig problem is cosidered. The obective fuctio of the problem is miimizatio of the weighted sum of completio time ad maximum tardiess. Total completio time ad maximum tardiess are widely used performace 3 measures i schedulig literature. A iteger programmig model with / + 3 / + / variables ad 3 costraits (where is the umber of obs) is developed for the problem which belogs to NP-hard class. Because of the legthy computig time ad high computig complexity of the iteger programmig model, the problem with up to 0 obs ca be solved. A radom search method ad tabu search based heuristic algorithms (Tabu I, Tabu II ad Tabu III) are preseted to solve large size problems. To improve the performace of tabu search algorithms the sequeces foud from the well kow dispatchig rules are take as a iitial solutio of tabu search algorithms. Accordig to computatioal results the tabu search algorithm is effective i fidig problem solutios with up to 000 obs. Keywords: Idetical parallel machie, bicriteria, iteger programmig, heuristic methods. GİRİŞ Çok ölçütlü çizelgeleme, so yıllarda araştırmacıları e çok ilgisii çeke koularda birisidir. Bu kouda tek makieli ve akış tipi sistemler üzeride literatürde oldukça çalışma yapılmış olmasıa karşı paralel makieli sistemlerde daha az çalışma yapılmıştır (Ere, 004; Ere ve Güer 00, 004). Bu çalışmada iki ölçütlü paralel iki makieli çizelgeleme problemi göz öüe alımıştır. Dikkate alıa performas ölçütleri çizelgelemede e öemli ölçütlerde ola toplam tamamlama zamaı ile maksimum gecikme ölçütleridir.
T. EREN, E. GÜNER Toplam tamamlama zamaıı e küçüklemesi, yarı ürü stoklarıı düşürmei bir göstergesi olarak dikkate alıırke, maksimum gecikme ölçütüü e küçükleyerek gecikmede kayaklaa cezaları azaltmak mümkü olmaktadır. Çok ölçütlü paralel makieli sistemlerde maksimum tamamlama zamaı ve toplam tamamlama zamaıı Eck ve Piedo (993), Gupta ve diğ. (000) ve Gupta ve Ho (00) iki makieli durumda icelerke, Gupta ve Ruis- Torres (000) ve Li ve Liao (004) ise m makieli durumda çözüm yaklaşımları geliştirmişlerdir. Maksimum tamamlama zamaı ile maksimum gecikme ölçütlerii ise Mohri ve diğ. (999) üç makieli durum içi, Suresh ve Chaudhuri (996), ise m makieli durum içi icelemişlerdir. Sari ve Harihara (000) ise maksimum gecikme ve gecike iş sayısıı eküçükleme problemii ele almışlardır. Yapıla çalışmaları tümüde dal-sıır yötemi kullaılmıştır. Büyük boyutlu problemler içide sezgisel yaklaşımlar geliştirmişlerdir. Bu çalışmada iki ölçütlü paralel özdeş iki makieli çizelgeleme problemi ele alımış ve amaç foksiyou içide toplam tamamlama zamaı ve maksimum gecikmei ağırlıklı toplamıı miimize etme seçilmiştir. Problem içi tamsayılı programlama modeli geliştirilmiş ve 0 işe kadar optimal çözümler bulumuştur. Daha büyük boyutlu problemleri çözümü içide tabu arama yötemi kullaılmıştır. Ele aldığımız iki ölçütlü iki paralel makieli P// α C + β Tmax problemi, NP-zor yapıda bir problemdir. Çükü bu problemi özel hali ola α = 0 olduğu durumda P // Tmax problemi NPzor yapıdadır (Lestra ve diğ. 977). Çalışmaı ikici bölümüde ele alıa iki ölçütlü paralel makieli problem taımlamıştır. Üçücü bölümde ise problemi e iyi çözümlerii bulmak içi tamsayılı programlama modeli verilmiş ve verile model sayısal bir örek üzeride gösterilmiştir. Dördücü bölümde ise büyük boyutlu problemleri çözmek içi sezgisel yötemler öerilmiştir. Deeysel souçlar beşici bölümde verilirke, so bölümde yapıla çalışmaı souçları değerledirilmiş ve gelecekte yapılabilecek çalışmalar hakkıda öeriler suulmuştur. PROBLEMİN TANIMLANMASI Atölyeye gele iş sıfırıcı zamada işlem içi hazırdır. Paralel makieli sistemde gele işler ( =,,..., ) mevcut paralel makieleri ( i =, ) herhagi biride işlem görebilir. p ve d, işii işlem zamaıı ve teslim tarihii göstermektedir. C sırasıyla işii tamamlama zamaı ifade etmektedir. Maksimum gecikme ise T = max{ C d,0} max = olarak taımlamaktadır. Makieler özdeş makielerdir. Bu makielere işleri ataması öreği olarak 0 işli bir durum dikkate alıdığıda (, ) =(9,);(8,);(7,3);(6,4) ve (5,5) olmaktadır. Burada ve birici ve ikici makielere ataa işleri sayısıı göstermektedir. Çalışmada kullaıla diğer varsayımlar ise : makie hazırlık zamaları öcede bilimekte olup işlem zamaıa dahil edilmiştir. İş kesitisie izi verilmeyip başlaa bir iş makiede tamamlamada başka bir iş başlayamaz ve makieleri çizelgeleme periyodu süresice sürekli çalıştığı varsayılmaktadır. Ayrıca bir makiede ayı ada tek bir iş yapılabilmektedir. TAMSAYILI PROGRAMLAMA MODELİ Ele alıa iki ölçütlü paralel makieli çizelgeleme problemi içi geliştirile tamsayılı 3 programlama modeli, / + 3 / + / değişkeli ve 3 kısıtlıdır ( iş sayısıı göstermektedir). Problemde kullaıla parametreler, değişkeler ve model aşağıda açıklamıştır. Parametreler iş sayısı =,,...,. m makie sayısı i =,. α Toplam tamamlama zamaı ağırlık değeri α 0 β maksimum gecikme ağırlık değeri α + β = p işii işlem zamaı p = =, p i i =,,...,.
Paralel Makieli Çizelgelemede Toplam Tamamlama Zamaı ve Maksimum Gecikmei Eküçüklemesi 3 d işii teslim tarihi i i. makiedeki iş sayısı Karar Değişkei X ik i = i= =,,...,. i =,..iş i. makiede k. sııradak işş ataıta = 0 dd i =,, k =,,..., Yardımcı Değişkeler p [ ki] i. makiada k. sıraya ataa işi işlem zamaı p[ ki] = X = ik p i i =, k =,,..., () C ki i. makiada k. sıradaki işi tamamlama zamaı, p C C + p C, i = [ i] ve ki k i [ ki] =, k =,3,..., () * d ik tarihi d * ik = = i i i. makiada k. sıraya ataa işi teslim X ik d i =, k =,,...,i (3) T max maksimum gecikme * T C ki d i =, k =,,..., (4) max ik Matematiksel Programlama Modeli Amaç foksiyou Mi Kısıtlar: α C + β T max i i = m X ik i i= k= X X ik = = ik =, i k,,...,i =. (5) = =,,..., (6) = 0 veya =,,..., i =, k =,,...,i (7) ()-(4) olu yardımcı değişke kısıtları Modele ait sayısal bir örek Paralel özdeş iki makieli 0 işe ait işleri işlem zamaları ve teslim tarihleri Tablo de verilmiştir. Toplam tamamlama zamaı ve maksimum gecikme ölçütlerii üç farklı ağırlık değerleri, ( α, β )=(0.5, 0.75); (0.50, 0.50) ve (0.75, 0.5), içi öerile modelle belirlee çözümleri aşağıda gösterilmiştir: Sayısal örek çözümü Öerile modelle problem çözüldüğüde bulua souçları Tablo de verilmiştir. Ayrıca Tablo de Her bir ağırlık değeri α ve β içi e iyi souçlar koyu rek ile gösterilmiştir ( α, β )=(0.5, 0.75) ve (0.50, 0.50) içi birici ve ikici makieye ataa iş sayısı sırası ile yedi ve üç olmaktadır. ( α, β )=(0.75, 0.5) içi ise işler makieye eşit olarak dağılmıştır. Örek problemi her bir ağırlık değeri içi optimal souçları Gatt şemaları Şekil de verilmiştir. Tablo 3 de de örek problemi çözümüde her bir makieye ataa işleri göstermektedir. E iyi souçlar yie koyu rek ile gösterilmiştir. Tablo. Sayısal örek verileri. Table. Numerical example data. 3 4 5 6 7 8 9 0 p 3 69 76 4 99 6 80 4 9 45 d 9 47 47 330 35 453 59 353 9 455
4 T. EREN, E. GÜNER Tablo. Sayısal örek çözüm souçları. Table. Numerical example solutio results. (α,β) (,) (0.5, 0.75) (0.50, 0.50) (0.75, 0.5) (5,5) 30.00 560.50 799.75 (6,4) 99.50 560.50 80.5 (7,3) 70.00 540.00 80.00 (8,) 30.00 6.00 90.00 (9,) 388.00 739.00 08.50 (a) (α,β)=(0.5,0.75) (b) (α,β)=(0.50,0.50) (c) (α,β)=(0.75,0.5) Şekil. E iyi souçları Gatt Şemaları. Figure. Gatt diagrams for optimal results. Tablo 3. Sayısal örekteki her bir makieye ataa iş sayıları. Table 3. Assiged obs to each machie i umerical example. (α,β) (;) (0.5,0.75) (0.50,0.50) (0.75,0.5) (5;5) M: -3-4-0-7 M: 6-9-4-0-5 M: 6-9-4--5 M: 6-8-9--5 M: -8-3--7 M: -8-0-3-7 (6;4) M: 6-8-9-4--5 M: -8-9-4-0-5 M: -6-9-0--5 M: -3-0-7 M: 6-3--7 M: 8-4--3-7 (7;3) M: -6-8-9-0--5 M: -6-8-9-4--5 M: -6-8-9-0--5 M: 4-3-7 M: 0-3-7 M: 4-3-7 (8;) M: -6-8-9-4-0--5 M: -6-8-9-4-0--5 M: -6-8-9-4-0--5 M: 3-7 M: 3-7 M: 3-7 (9;) M: -6-8-9-4-0-7-5- M: -6-8-9-4-0--7-5 M: -6-8-9-4-0--7-5 M: 3 M: 3 M: 3
Paralel Makieli Çizelgelemede Toplam Tamamlama Zamaı ve Maksimum Gecikmei Eküçüklemesi 5 SEZSİSEL YÖNTEMLER Öerile matematiksel programlama modeli ile acak küçük boyutlu problemler çözülebilmektedir. Halbuki uygulamalarda daha büyük boyutlu problemleri çözmek gerekebilir. Buu içi ele alıa büyük boyutlu problemleri çözümüde rassal arama ve tabu arama yötemi kullaılacaktır. Rassal arama Belli boyutta bir örek kümesi seçilir. Bular arasıda e iyi çözüm referas alıır ve her iterasyoda gücelleştirilir. Rassal aramaı iki parametresi vardır: Örek büyüklüğü ve iterasyo sayısı. Bir soraki kısımda alatılacağı gibi tabu arama yötemi ile ayı sayıda çözümü icelemek içi örek büyüklüğü (-) ve iterasyo sayısı da 3 alımıştır. Tabu Arama İlk olarak Glover (986) tarafıda ortaya atıla tabu arama yötemi, bu çalışmada ele alıa problemi çözümüde kullaıla sezgisel yötemdir. Bu yötem, e iyi veya e iyiye yakı çözümleri bulmak içi çözüm uzayıı araştırır. Kombiatoryal problemlerde kullaıla sezgisel e iyileme tekikleride e çok kullaıla yötemlerde biridir. Tabu arama, seçile herhagi bir başlagıç çözümü ile aramaya başlar. Mevcut çözümü taımlaa bir hareket mekaizmasıa göre komşuluğu oluşturulur ve bu komşuluk içide e iyi amaç değerie sahip ola çözüm eğer tabu sııfıa girmiyorsa yei mevcut çözüm olarak seçilir. Yötemde tabu sııflarıı belirlemesi içi kısa döemli hafıza (tabu listesi) kullaılır. Belli bir iterasyo seviyeside veya iyileşme olmadığıda arama durdurulur. Tabu arama yötemi problem içi dört durumda ele alımıştır. Başlagıç çözümleri: Rassal, SPT (e kısa işlem zamaı) ve EDD (e erke teslim tarihi) kuralları kullaılmıştır. Komşu arama strateisi: Komşu arama strateisi olarak bitişik iş çiftlerii yer değiştirilmesi (API) kullaılmıştır. API strateisi 3 durumda aşağıdaki şekilde ele alımıştır: API-I:. makiedeki p işi ile p+, bitişik iş çiftii yer değiştirmesi. API-II:. makiedeki pk işi ile pk+, bitişik iş çiftii yer değiştirmesi. API-III. makiedeki p işi. makiedeki pk iş çiftii yer değiştirmesi. Paralel makiei Gatt şeması Şekil de komşu arama strateileri ise Şekil 3 de gösterilmiştir. Tabu listesi uzuluğu: Tabu listesi uzuluğu iş sayısı e göre belirlemiş ve i tamsayı değeri alımıştır. Durdurma kriteri: Problem içi 3 iterasyoda tabu arama yötemi so verilmesi istemektedir. Tabu aramaı parametreleri toplu olarak Tablo 4 de verilmiştir. Şekil. Paralel makiei Gatt şeması. Figure. Gatt diagram of parallel machie.
6 T. EREN, E. GÜNER (a) (b) (c) Şekil 3. API komşu arama strateileri. Figure 3. API eighborhood search strategies. (a) API-I:. makiedeki bitişik iş çiftii yer değiştirmesi. (a) API-I: Adacet pairwise iterchage i first machie. (b) API-II:. makiedeki bitişik iş çiftii yer değiştirmesi. (b) API-II: Adacet pairwise iterchage i secod machie. (c) API-III:. makiedeki iş ile. makiedeki işi yer değiştirmesi. (c) API-III: Iterchage the ob i first machie with the ob i secod machie. Tablo 4. Tabu arama parametreleri. Table 4. Tabu search parameters. Sezgiseller Tabu-I Tabu-II Tabu-III Başlagıç çözümü Rassal SPT EDD Tabu listesi uzuluğu Komşu arama strateisi Rassal{API-I,API-II, API-III} Rassal{API-I,API-II, API-III} Rassal{API-I,API-II, API-III} Durdurma kriteri 3 iterasyo 3 iterasyo 3 iterasyo DENEYSEL SONUÇLAR Yapıla çalışmada bütü deeysel testler içi Petium IV/ GHz 5 RAM kapasiteli kişisel bilgisayar kullaılmıştır. Ele alıa problemi e iyi çözümlerii bulmak içi Hyper LINDO/PC 6.0 programı kullaılmıştır. Sezgisel yötemler C++ builder ile kodlamıştır. İşlem zamaları p, ile 00 arasıda, teslim tarihleri d ise 0 ile p = / arasıda düzgü dağılımda üretilmiştir. Deey seti toplu olarak Tablo 5 de verilmiştir. Tablo 5 de görüldüğü gibi toplam 90 problem çözülmüştür. Yalız her bir iş sayısı içi alt problemler seti çözülmüştür. Öreği 0 iş içi (, ) =(9,), (8,), (7,3), (6,4) ve (5,5) olmak üzere 5, 5 iş içi (, ) =(4,), (3,), (,3), (,4), (0,5), (9,6) ve (8,7) olmak üzere 7 ve 0 iş içi (, ) =(9,), (8,), (7,3), (6,4), (5,5), (4,6), (3,7), (,8), (,9), (0,0) olmak üzere 0 alt problem oluşturup çözülmüştür. Tablo 5. Problemi deeysel seti. Table 5. Experimetal set of problem. Parametreler Alteratif Değerler Ağırlıklar (α,β) 3 (0.5,0.75); (0.50,0.50); (0.75,0.5) İş sayısı, 3 0,5,0 İşlem zamaı p [,00] Teslim tarihi d [0, p / ] Çözüle problem 0 Toplam problem 3 3 0=90 Tablo 6 da ele alıa iki ölçütlü paralel makieli problemi tamsayılı programlama çözüm süreleri verilmektedir. Tablo 6 da da görüleceği gibi makielere ataa işler e kadar degeli dağılıyor ise problemi zorluğu o derece artmakta ve çözüm süresi uzamaktadır. Ayrıca maksimum gecikme ölçütüe ilişki ağırlık değeri (β) arttıkça problemi çözümü
Paralel Makieli Çizelgelemede Toplam Tamamlama Zamaı ve Maksimum Gecikmei Eküçüklemesi 7 zorlaşmaktadır. Öreği 0 işli grupta e uzu CPU zamaı α =0.5, β=0.75 içi gerçekleşirke (4.0), 5 ve 0 işli gruplar içide bezer souçlar elde edilmiştir (sırası ile 88.45s ve 466.43s). Ayrıca, tüm ağırlık değerleri içi iş sayısı arttıkça CPU zamalarıı oldukça hızla arttığıa dikkat edilmelidir ki bu problemi zorluğuu bir göstergesidir. Tablo 6 ye ek olarak Şekil 4 de her bir iş grubu içi çözüm süresi ağırlık değerlerie göre gösterilmiştir. Problem sezgisel yötemlerle çözüldüğüde, sezgiselleri çözüm hataları Tablo 7 de verilmiştir. Sezgiselleri ağırlıklara göre ortalama hata değerleri de Şekil 5 de verilmiştir. Hata değerleri (8) olu ifade ile hesaplamıştır. sezgiselçözümdegeri - optimalçözümdegeri hata = (8) optimal çözüm degeri Tablo 7 de görüleceği gibi rassal arama yötemi diğer yötemlere göre daha fazla hata oraı vermektedir. Tabu-II ve Tabu-III yötemleri ise rassal arama ve Tabu-I e ispete daha az hata oraları vermektedir ki bu durumda Tabu arama yötemii başlagıç çizelgesie duyarlı olduğu söyleebilir. Sezgisel yötemlerle büyük boyutlu problemler çözülecektir. Büyük boyutlu problemler içi deey seti Tablo 8 de verilmiştir. Tablo 8 de de görüldüğü gibi toplam 300 problem çözülmüştür. Büyük boyutlu problemlerde sezgisel yötemleri hataları () olu ifade ile hesaplamıştır. sezgisel çözüm degeri - eiyi sezgisel çözüm degeri hata = (9) eiyi sezgisel çözüm degeri Sezgiselleri hataları ağırlıklara göre Şekil 6-8 de gösterilmiştir. Şekil 6 da ( α, β ) = (0.5,0.75) ağırlık değeri içi sezgiselleri hataları gösterilmiştir. Maksimum gecikmeye ilişki ağırlık değerii fazla olduğu bu tasarımda Tabu-III yötemi daha iyi souç verirke, ikici olarak Tabu-II yötemi gelmektedir. Şekil 7 de ise ( α, β ) = (0.50,0.50) ağırlık değeri içi sezgiselleri hataları gösterilmektedir. Bu tasarımda toplam tamamlama zamaı ve maksimum gecikme ölçütlerie ilişki ağırlık değerleri ayı olup Rassal arama yötemi e kötü hata performası verirke Tabu-II ve Tabu- III yötemleri arasıda bariz bir üstülük sağlaamamıştır. Şekil 8 de ( α, β ) = (0.75,0.5) ağırlık değeri içi sezgiselleri hataları gösterilmektedir. Bu tasarımda toplam tamamlama zamaıa ilişki ağırlık değeri daha fazla olup yie rassal arama e kötü hata performası verirke Tabu-II yötemi daha düşük hata değerleri ile souçlamıştır. (0.5,0.75) (0.50,0.50) (0.75,0.5) 40000 CPU zamaı (s) 30000 0000 0000 0 0 5 0 iş sayısı () Şekil 4. Ağırlık değerlerie göre işleri toplam CPU zamaları. Figure 4. Accordig to weight values total CPU times of obs.
8 T. EREN, E. GÜNER Tablo 6. Tamsayılı programlamaı CPU çözüm süreleri (saiye). Table 6. Iteger programmig solutio times(secod). (α,β) (,) (0.5,0.75) (0.50,0.50) (0.75,0.5) 0 (5;5) 4.0.84.46 (6;4) 3.84.46.9 (7;3) 3.57.30.0 (8;) 3.44.9 0.97 (9;).9.6 0.80 5 (8;7) 88.45 93.0 7.77 (9;6) 48.38 79.55 8.7 (0;5) 45.76 73.33 07.00 (;4) 4.65 46.06 93.60 (;3) 6.40 40.9 90.63 (3;) 8.40 6.9 8.6 (4;) 54.59 4.85 76.53 0 (0;0) 466.43 397.89 773.30 (;9) 355.3 084.36 464.97 (;8) 947.88 937.63 97.4 (3;7) 880.03 634.3 44.78 (4;6) 304.58 497.09 060.56 (5;5) 50.87 469.98 90.4 (6;4) 764.9.94 88.63 (7;3) 5.4 058.7 763.4 (8;) 37.87 995.7 740.08 (9;) 300.74 99.40 649.3 Tablo 7. küçük boyutlu problemlerde sezgiselleri hataları. Table 7. Errors of heuristics for small ob sizes problems. (α,β) Rassal Tabu-I Tabu-II Tabu-III (0.5,0.75) 0 0.776 0.070 0.0447 0.0000 5 0.687 0.0693 0.037 0.06 0 0.753 0.07 0.08 0.0078 (0.50,0.50) 0 0.537 0.0396 0.004 0.006 5 0.777 0.0498 0.094 0.0055 0 0.864 0.0574 0.085 0.0038 (0.75,0.5) 0 0.558 0.0394 0.03 0.034 5 0.67 0.08 0.007 0.064 0 0.46 0.046 0.05 0.096
Paralel Makieli Çizelgelemede Toplam Tamamlama Zamaı ve Maksimum Gecikmei Eküçüklemesi 9 (0.5,0.75) (0.50,0.50) (0.75,0.5) 0.3000 0.500 0.000 hata 0.500 0.000 0.0500 0.0000 Rassal Tabu-I Tabu-II Tabu-III sezgisel Şekil 5. Sezgiselleri ağırlıklara göre ortalama hata değerleri. Figure 5. Accordig to weights average error values of heuristics. Tablo 8. Büyük boyutlu problemleri deey seti. Table 8. Experimetal set of large size problems. Parametreler Alteratif Değerler Ağırlıklar (α,β) 3 (0.5,0.75); (0.50,0.50);(0.75,0.5) İş sayısı, 0 00,00,,000 İşlem zamaı p [,00] Teslim tarihi d [0, p / ] Çözüle problem 0 Toplam problem 3 0 0=300 Rassal Tabu-I Tabu-II Tabu-III hata 0.3500 0.3000 0.500 0.000 0.500 0.000 0.0500 0.0000 00 00 300 400 500 600 700 800 900 000 iş sayısı () Şekil 6. (α,β)=(0.5,0.75) ağırlık değeri içi sezgiselleri hataları. Figure 6. Heuristics errors for (α,β)=(0.5,0.75) weight value.
30 T. EREN, E. GÜNER Rassal Tabu-I Tabu-II Tabu-III 0.500 0.000 0.500 hata 0.000 0.0500 0.0000 00 00 300 400 500 600 700 800 900 000 iş sayısı () Şekil 7. (α,β)=(0.50,0.50) ağırlık değeri içi sezgiselleri hataları. Figure 7. Heuristics errors for (α,β)=(0.50,0.50)weight value. Rassal Tabu-I Tabu-II Tabu-III 0.3500 0.3000 0.500 hata 0.000 0.500 0.000 0.0500 0.0000 00 00 300 400 500 600 700 800 900 000 iş sayısı () Şekil 8. (α,β)=(0.75,0.5) ağırlık değeri içi sezgiselleri hataları. Figure 8. Heuristics errors for (α,β)=(0.75,0.5) weight value. Büyük boyutlu problemlerde sezgiselleri ağırlıklara göre ortalama hata değerleri Şekil 9 de verilmiştir. Geel olarak toplam tamamlama zamaı ağırlığı fazla olduğuda SPT kuralıa göre elde edile sırayı, maksimum gecikme değerii ağırlığı fazla olduğuda ise EDD kuralıa göre elde edile sırayı başlagıç çözüm olarak alıdığıda tabu arama yötemii performasıı olumlu yöde etkilediği ve daha iyi souçlar verdiği görülmüştür. Büyük boyutlu problemleri içi sezgiselleri çözüm zamaı saiye olarak Şekil 0 da verilmiştir. Tabu arama çözüm sürelerii birbirie yakı çıktığı rassal aramaı bir miktar daha küçük CPU zamaları verdiği görülmektedir.
Paralel Makieli Çizelgelemede Toplam Tamamlama Zamaı ve Maksimum Gecikmei Eküçüklemesi 3 (0.5,0.75) (0.50,0.50) (0.75,0.75) 0.3500 0.3000 0.500 hata 0.000 0.500 0.000 0.0500 0.0000 Rassal Tabu-I Tabu-II Tabu-III sezgiseller Şekil 9. Sezgiselleri büyük boyutlu problemlerde ağırlıklara göre ortalama hata değerleri. Figure 9. Accordig to weights average error values of large size problems. Rassal Tabu-I Tabu-II Tabu-III 0000 00000 CPU zamaı (s) 80000 60000 40000 0000 0 00 00 300 400 500 600 700 800 900 000 iş sayısı () Şekil 0. Sezgiselleri CPU çözüm zamaı (saiye). Figure 0. CPU solutio times of heuristics. SONUÇ VE ÖNERİLER Bu çalışmada iki ölçütlü paralel iki özdeş makieli çizelgeleme problemi ele alımıştır. Ele alıa ölçütler toplam tamamlama zamaı ve maksimum gecikme olup çizelgeleme literatürüde oldukça öemli ola ölçütlerdir. NP-zor yapıda ola problemi e iyi çözümlerii bulmak içi tamsayılı programlama modeli geliştirilmiş, Hyper LINDO/PC 6.0 programı kullaılarak çözümler elde edilmiştir. Geliştirile bu tamsayılı programlama modeli, 3 / + 3 / + / değişkeli ve 3 kısıtlıdır ( iş sayısıı göstermektedir). Tam sayılı programlama yötemi iş sayısı artıkça üssel olarak arta bir zama karmaşıklığıa sahiptir ve dolayısı ile bu çalışmada 0 işe kadar ola problemleri e iyi çözümleri üç farklı ağırlık değeride buluabilmiştir. Diğer tarafta geliştirile bu tam sayılı programlama yötemi problem içi öerile dört sezgisel yaklaşımı (Rassal Arama, Tabu- I, Tabu-II, Tabu- III)
3 T. EREN, E. GÜNER performasıı belirlemede katkı sağlamıştır. Yai sezgisel yaklaşımlara göre bulua küçük boyutlu problemleri souçları tamsayılı modelle elde edile e iyi çözüm souçları ile karşılaştırılmıştır. Karşılaştırma souçlarıa göre küçük boyutlu problemlerde özellikle Tabu-II ve Tabu-III, Rassal Arama ve Tabu I e göre çok daha düşük hata oraları vermiştir. Ayrıca büyük boyutlu problemleri çözümüde de bezer souçlar elde edilmiştir. Toplam tamamlama zamaı ağırlığı fazla olduğuda SPT kuralıa göre elde edile sırayı (Tabu II), maksimum gecikme değerii ağırlığı fazla olduğuda ise EDD kuralıa göre elde edile sırayı (TABU III) başlagıç çözüm olarak alıdığıda tabu arama yötemii çözüm kalitesii olumlu yöde etkilediği ve daha iyi souçlar verdiği görülmüştür. Buda soraki çalışmalarda ikide çok makieli durumlar iceleebileceği gibi diğer performas ölçütleri de dikkate alıabilir. KAYNAKLAR Eck, B.T., Piedo, M., 993, O the miimizatio of the makespa subect to flowtime optimality, Operatios Research, 4, 797-800. Ere, T., 004, Çok ölçütlü akış tipi çizelgeleme problemleri içi çözüm yaklaşımları, Doktora Tezi, Gazi Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü, Akara. Ere, T., Güer, E., 00, Tek ve paralel makieli problemlerde çok ölçütlü çizelgeleme problemleri içi bir literatür taraması, Gazi Üiversitesi Mühedislik Mimarlık Fakültesi Dergisi, 7, 4, 37-69. Ere, T., Güer, E., 004, Çok ölçütlü akış tipi çizelgeleme problemleri içi bir literatür taraması, Pamukkale Üiversitesi Mühedislik Fakültesi Mühedislik Bilimleri Dergisi, 0,, 9-30. Glover, F., 986, Future paths for iteger programmig ad liks to artificial itelligece, Computers ad Operatios Research, 5, 533-549. Gupta, J. N.D., Ho, J.C., Webster, S., 000, Bicriteria optimizatio of the makespa ad mea flowtime o two idetical parallel machies, Joural of the Operatioal Research Society, 5,, 330-339. Gupta, J.N.D., Ho, J.C., 00, Miimizig makespa subect to miimum flowtime o two idetical paralel machies, Computers ad Operatios Research, 8, 705-77. Gupta, J.N.D., Ruiz-Torres, A.J., 000, Miimizig makespa subect to miimum total flow-time o idetical parallel machies, Europea Joural of Operatioal Research, 5, 370-380. Lestra J.K., Ka Riooy, A.H.G., Brucker, P., 977, Complexity of machie schedulig problems, Aals of Discrete Mathematics, 4, 8-300. Li, C.H., Liao, C.J., 004, Makespa miimizatio subect to flowtime optimality o idetical parallel machies, Computers ad Operatios Research, 3, 0, 655-666. Mohri, S., Masuda, T., Ishii, H., 999, Bi-criteria schedulig problem o three idetical parallel machies, Iteratioal Joural of Productio Ecoomics, 60, 59-536. Sari, S.C., Harihara, R., 000, Two machie bicriteria schedulig problem, Iteratioal Joural of Productio Ecoomics, 65,, 5-39. Suresh, V., Chaudhuri, D., 996, Bicriteria schedulig problem for urelated parallel machies, Computers ad Idustrial Egieerig, 30,, 77-8.