Sigma 31, , 2013

Transkript

1 Joural of Egieerig ad Natural Scieces Mühedislik ve Fe Bilimleri Dergisi Research Article / Araştırma Makalesi FUZZY CRITICAL PATH ANALYSIS Sigma 31, , 2013 Ömer ATLI 1, Cegiz KAHRAMAN 2 1 Hava Kuvvetleri Komutalığı, Loistik Başkalığı, Bakalıklar, Çakaya-ANKARA 2 İstabul Tekik Üiversitesi, İşletme Fakültesi, Edüstri Mühedisliği Bölümü, Maçka-İSTANBUL Received/Geliş: Revised/Düzeltme: Accepted/Kabul: ABSTRACT I this study, a fuzzy algebra ad liear programmig approach is developed for critical path aalysis i a proect etwork with activity times beig trapezoidal fuzzy umbers. The idea is based o the liear programmig (LP) formulatio ad fuzzy umber rakig method. A example discussed i some previous studies illustrates that the proposed approach is able to fid the most critical path, which is proved to be the same as that derived from a exhausted compariso of all possible paths. The proposed approach does ot require kowig the explicit form of the membership fuctios of the fuzzy activity times. For the cosidered problems, a good agreemet has bee obtaied betwee theoretical ad experimetal results. Keywords: CPM, PERT, Fuzzy Proect Schedulig, Fuzzy Set Theory, Rakig Methods. MSC umbers/umaraları: 03E72. BULANIK KRİTİK YOL ANALİZİ ÖZET Bu çalışmada, bulaık proe çizelgeleme problemlerii faaliyet sürelerii bulaık sayılarda oluştuğu bir proe şebekeside kritik yol aalizie yöelik olarak bulaık aritmetik yaklaşım ile doğrusal programlama yötemi kıyaslaacaktır. Bu fikir bulaık sayıları sıralama (rakig method) ve doğrusal programlama formülasyouu temel almaktadır. Suula yaklaşımlar bir örek üzeride tartışılmış problemi olası tüm yollarıı kıyaslaarak ayı souçlar verdiği ve e kritik yol bulumuştur. Öerile yaklaşımı bulaık faaliyet sürelerii üyelik foksiyolarıı kesi (açık olarak) bir biçimde bilimesie ihtiyaç duyulmamaktadır. Öerile yötemle, mevcut problem daha etki ve hızlı souçlar üretilebilmektedir. Aahtar Sözcükler: CPM, PERT, Bulaık CPM Bulaık Proe Çizelgeleme, Rakig Yötemler. 1. GİRİŞ Zamaı ve paraı e optimum şekilde değerledirilmesi ve kısıtlı ola malzeme, işgücü, makie-ekipma, vb. kayakları e uygu biçimde kullaılmasıı sağlamak içi, bir proei başlagıcıda bitimie kadar süreci plalaması gerekmektedir. Bu gereklilik, proe yöetimi kavramıı ortaya koymuştur. Proe çizelgeleme, proe yöetimii e öemli parçalarıda biridir. Acak güümüzde sürekli olarak ürü çeşitliliğii artması ve ömürlerii kısalmasıyla her seferide farklı faaliyetler ve süreçlerle uğraşılmasıı ve bu da belirsizliklerle dolu bir süreci plalamasıı ve dolayısıyla da çizelgelemesii gerektirmektedir. Proe çizelgeleme kousuda yapıla çalışmaları büyük çoğuluğuda, problemle ilgili tüm bilgilere sahip oluduğu ve problemi statik, determiistik ortamda çalıştığı Correspodig Author/Sorumlu Yazar: /e-ileti: atliomer@gmail.com, tel: (212)

2 Ö. Atlı, C. Kahrama Sigma 31, , 2013 varsayılmaktadır. Acak gerçek hayatta proe faaliyetleri büyük ölçüde belirsizdir ve proe uygulaırke aşama aşama çözülmektedir. Dolayısıyla belirsizlikle dolu bu problemi e uygu çözümüü bulmak içi belirsizlikle uğraşabilecek çözüm tekiklerie ihtiyaç vardır. Böyle bir problemi çözümüde güümüzde kullaılabilecek e iyi yötemlerde biri bulaık küme teorisi yötemidir. Bulaık küme kavramı, tam ve doğru olmama durumuu içere bir model sağlamak içi 1965 yılıda Zadeh tarafıda öerilmiştir. Bulaık küme teorisi kesi bilgii olmadığı ve özelliği buluduğu bir modeli formüle ederek çözüm sürecie ala bir yötemdir. İlk kez yapılacak bir proei faaliyetlerii tam ve doğru bir şekilde icra edilebilmesii zorlaştırır. Bu durumda faaliyet sürelerii özel olarak tahmi edilebilmeside belirsizlik fikri vardır. CPM (Critical Path Method), proe içi zama çizelgesi oluşturmaya ve tasarlamaya yaraya şebeke temelli bir yötemdir. İki basit soucu vardır; proei tamamlaması içi gereke toplam proe süresii ve kritik yolu elde edilmesii sağlar. Kritik yol, başlagıç olayda so olaya kadar tüm olayları bolluklarıı tümüü sıfır olduğu e uzu yoldur. Kritik yol boyuca bir faaliyeti süresideki bir artış toplam proe süresii de kesilikle arttırır. Biz, proe çizelgeleme yapısıı güümüzde üç şekilde sııfladırılması gerektiğie iamaktayız. CPM yötemi detemiistik yapıyı, belirsizlik ortamıda olasılık teorisii temel ala PERT yötemi ile temsil edilirke, proe çizelgelemei belirsizlik yapısıa bulaıklık yapı ifadesi ile bulaık FCPM ve FPERT yötemleri ile belirsizlikler ifade edilmiştir. Her üç tekik ile bir proei başlama ve bitişi ile ilgili bilgiler hesaplaabilir. Doğrusal programlama formülasyou ve bulaık sayı sıralama yötemlerii temel ala makalelerde, bulaık sayılarda oluşa faaliyet süreli kritik yol problemie basit bir yaklaşım geliştirilmiştir. Klasik CPM problemii e kısa yol problemii zıttı olarak düşüüldüğüde, amaç foksiyou faaliyet sürelerii doğrusal kombiasyou ve bazı klasik kısıtları ola doğrusal programlama olarak formülize edilebilir. Chaas ve Zeliski [1], Chaas vd. [2,3], Wag ve Huag [4], Dubois vd. [5], Slyeptsov ve Tyshchuk [6], ve diğerleri [7-18] gibi çeşitli araştırmacılar bulaıklık kavramıyla ilgilemişler ve çeşitli aaliz yaklaşımları geliştirmişlerdir. Bu yaklaşımlarda çoğu ileri ve geriye doğru hesaplama içi CPM formülasyouu temel ala yaklaşımlardır. Acak Chaas ve Zeiliski [1], faaliyetleri bolluklarıı ve e geç başlagıç zamaı olası değerleri kümesii hesaplamasıda geriye doğru hesaplama yaklaşımıı hatalı olduğuu fark etmiştir. Buda başka, ayi yollar içi bile, bulaık kritik yolları farklı taımlamalarıı, kritiklik derecesii tahmiii farklı vermektedir. Dubois vd. [5] faaliyetleri bolluğu ve e geç başlagıç zamaıı olası değerlerii kümelerii hesaplamak içi sezgisel bir yötem geliştirmişlerdir. Chaas ve Zeliski [1] geel bir şebekede e geç başlagıç zamaıı belirlee aralıklar içi poliom algoritmalar geliştirmişlerdir. Bu çalışmada, bulaık proe çizelgeleme problemlerii çözümleride kullaıla, kritik yol aalizi icelemiştir. Ayrıca so yıllarda kullaıla ve başarılı souçlar vere doğrusal programlama ve bulaık aritmetik çözümler öere örek bir bulaık proe çizelgeleme problemi çözülmüştür. Bu makale şu şekilde orgaize edilmiştir. Araştırmaı ikici bölümüde; bulaık kritik yol problemii doğrusal programlama formülasyou fikri taımlamıştır. Üçücü bölümde; öerile bulaık aritmetik yötem açıklamıştır. Dördücü bölümde, yamuk bulaık faaliyet süreli örek bir proe üzeride uyarlamış ve öerile modeli geçerliliği gösterilerek başarılı bir biçimde çözülmüştür. So bölümde ise makalede elde edile bulgular tartışılmıştır. 2. BULANIK CPM DOĞRUSAL PROGRAMLAMA FORMÜLASYONU Bir şebeke yöledirilmiş ve birbiriyle bağlatılı düğümlerde oluşa bir proe modeli G=(N,A) otasyouyla gösterilir. Burada N, düğümleri kümesidir ve i, A serim kümesidir. T, i, A faaliyet süresii gösterir. Proe şebekelerii toplam faaliyet süresii ve kritik yollarıı doğrusal programlama ile bulmak etki yötemlerde birisidir. CPM problemi e kısa yol problemii zıttı olarak düşüüldüğü içi proe şebekeside kritik yolu belirlemek başlagıçta 129

3 Fuzzy Critical Path Aalysis Sigma 31, , 2013 soa kadar e uzu yolu bulumasıyla sağlaır. N düğümlü bir CPM problemi Model (1) deki gibi formüle edilir. max D T x i ki =1 k1 x k 1, k=1 st.. x 1, x x, i 2,..., 1, x 0, i, A, max D T x ID max IT x i1 1 i1 1 1 st.. x1 1, 1 1 x xki, i2,..., 1, ki =1 k1 =1 k1 xk 1, xk 1, k=1 k=1 st.. x 1, x 0, i, A, x x, i2,..., 1, x 0, i, A, Model (1) Model (2) Model (3) Burada x, i, A faaliyetide akış miktarıı göstere karar değişkeidir ve kısıtlar her bir düğümde akışı koruduğuu gösterir. Belirtile bu akış proe şebekeside ya yaratılır yada yok edilir. E kısa yol problemi olarak Model (1) içi her bir uygu çözümüde tüm temel uygu değişkeler tamsayılıdır. Proe şebekesi içi kritik yol Model (1) içi optimal çözümde x 1 optimal karar değişkelerii kapsaya yollardaki her bir faaliyeti başlagıçta soa kadar i, A faaliyetii kapsar. Proei tamamlaması içi gereke toplam faaliyet süresi Model (1) i maksimum amaç değeri ola D olarak verilir. T faaliyet süreleri olduğu varsayıldığıda i, A tam ve doğru değildir ve T, i, A bulaık sayılar olarak düşüülebilir. Bulaık CPM problemii doğrusal programlama formulasyou Model (2) deki gibidir. Dikkat edilirse toplam faaliyet süresi ola D, klasik bir sayı yerie bulaık bir sayı halie gelir. Souç olarak Model (2) direkt olarak çözülemez. Bu problemle ilgili ola yaklaşımlarda biride, bulaık sayıları klasik sayıya döüştürülerek doğruluğuu kaıtlamasıdır. Burada bulaık doğrusal programlama problemii amaç foksiyouu, klasik çok amaçlı programlama problemie döüştürmeyi temel ala doğrusal programlama problemii, tamame bulaıklaştırmak içi bir yaklaşım öerilmiştir. Öerile bulaık aritmetik yaklaşım ile bu tür bir klasik döüşümü geçerliliği, örek bir problem üzeride uygulamayla geçerli bir yol olduğu açıklaacaktır. Bulaık sıralama yötemii kullaımı basittir. Durulaştırma kosepti temel ala bu yaklaşım, Model (2) i amaç foksiyoudaki bulaık sayıları durulaştırarak, geleeksel klasik doğrusal programlamı Lido- Ligo gibi çözücü programlar yardımıyla klasik modele döüştürür. Bu fikir tüm olası uygu çözümleri ve olası yolları hesaplaarak bulmamıza yardım eder. Model (2) de kısıtları taımlar ve tüm bulaık amaç foksiyou değerlerii hesaplaarak kritik yollar basitçe bulabiliriz. E büyük amaç foksiyou değerli yol, kritik yol olarak belirleir. Maalesef ki klasik birçevrede CPM problemi gibi, bulaık bir çevrede kritik yol yerie tüm yolları bulmak istese de, tüm bulaık yolları bulmak gereksizdir ve hatal (kullaışsız ağır) bir görevdir. Bu edele bulaık bir ortamda kritik yolu bulmak içi model (2) de klasik doğrusal programlamaya döüştürerek çözmek etkili bir yol olacaktır, burada model (2) i bulaık amaç foksiyou değeri bulaık sayı sıralama yötemii temel alarak klasik bir modele durulaştırılır. Literatürde birçok bulaık sayı sıralama yötemleri öerilmiş ve tartışılmıştır. Model (2) ile ilgili (uyumlu) olarak, basit bir yaklaşım seçmek gerekir. Popüler yaklaşımlarda biriside Yager s sıralama yötemidir ve bu gereksiimi iyi bir şekilde karşılar. Bu makalede proe şebekesii yol uzulukları göstere sıralamış amaç foksiyou değerleri içi bu yötem uyarlamıştır. 130

4 Ö. Atlı, C. Kahrama Sigma 31, , Yager Sıralama İdeksi Ala takası yötemii (area compesatio) gürbüz olması edeiyle doğrusallık ve toplaabilirlik özelliklerie sahiptir. Ala takası taımıı temel ala Yager, bulaık sayıları sıralaması içi bir prosedür öermiştir. Sıralama ideksi I t aşağıdaki formüle göre L U kesim, t t, t da koveks bulaık sayı t hesaplaır. 1 1 L U I t t t d, 0 t ü ortalama değerii merkezidir. D 1 ve D 2 iki bulaık 2 sayı olsu I D 1 ID 2 öreği D D yi ifade eder ve max D 1 2 1, D 2 D. Bu ideks 1 L uygulama içi çok basittir ve üyelik foksiyou yerie kesim t ve t U ı uç değerleride t koveks bulaık sayısı hesaplaır. Sıralama içi bulaık sayıları üyelik foksiyolarıı belirtilmiş biçimlerii bilimesi gerekmez. Bu yötemi, sıralama yötemlerii çoğuda farkı sıralama yapmak içi tüm bulaık sayıları üyelik foksiyolarıı bilimesi gerektiğidir. Bulaık faaliyet sürelerii üyelik foksiyolarıı şekli kesi olarak bilimese bile, Yager ı sıralama ideksii kullaılması daha uygudur [5]. Buda başka yager ı sıralama yötemi doğrusallık ve toplaabilirlik özelliklerie sahiptir ve ala takasıı temel ala sırama tekikleride biridir. B ve C koveks bulaık sayılarıı doğrusal kombiasyou A koveks bulaık sayı olduğu düşüüldüğüde, A ub vc burada u ve v sabitlerdir. Daha sora I A ui B vi C elde ederiz. Souç olarak, Yager i sıralama yötemii temeli bulaık CPM problemii, klasik faaliyet süreli geleeksel CPM problemie döüştürür Klasik Döüşüm M adet yolu model (2) olarak formüle edile kritik yol problemii düşüelim. k A, p k, k 1,2,..., mk k ıcı yolua karşılık gele k ıcı temel uygu çözüm olsu. k k D T i 1 1 x k ıcı yolu bulaık toplam faaliyet süresidir. m adet yolda e k büyük toplam faaliyet süreli D max D, k 1,2,..., m olalarıda biriside e büyük toplam faaliyet süresie sahip e kritik yol olarak belirleir. Yager i sıralama yötemii özelliklerie göre D bulmak içi bu yötem uygulaırsa e büyük (geiş) Yager sıralama ideksi k bulmakta etkidir. Buda başka yager i I D max I D, k 1,2,..., m x, i, yötemi doğrusallık ve toplaabilirlik özelliklerie sahip olmasıı soucu olarak aşağıdaki şu ifadeleri elde ederiz; k k k I D I i1 1T î x i1 1I T î x (1) İşte bu D maksimum bulaık amaç foksiyou değeri maksimum sıralama ideksi k I D max k i1 1I T î x e karşılık gelir. Souç olarak bulaık faaliyet süreli kritik yol problemi aşağıdaki gibi formülize edilir; 131

5 Fuzzy Critical Path Aalysis Sigma 31, , 2013 I T i A amaç foksiyoudaki katsayılar klasik gerçel sayılar yerie bulaık sayılardır. Optimal temel uygu çözümü x belirlemeside, Model (3) ü i, A e kritik yol p belirleebilir ve bulaık toplam faaliyet süresi D T x olarak hesaplaabilir. Bu problem geleeksel doğrusal programlamaı temelidir,, i1 1 Öerile klasik döüşüm; birleştirme, doğrusallık ve toplaabilirlik özeliklerii işlete Yager yötemii kullaımıyla, bulaık faaliyet zamalarıı klasik zama döüşümüü temel ala bu klasik döüşüm, Model (3) ü geçerliliği kaıtlaabilir. Bir soraki bölümde bulaık CPM problemii dual formülasyou içi bu klasik döüşümü geçerliliği kaıtlaacaktır [12] Dual Sağlama İyi bilie doğrusal programlama modelii dualite teoremie göre; primal ve dual modelleri ayı amaç foksiyou değerie sahiptir. Böylece yukarıdaki klasik döüşümü geçerliliğii göstermei bir yolu da Model (1) i dualii formülize edilmesidir. Burada yi ve y karar değişkeleri sırasıyla, i ve düğümlerii oluş zamaıı gösterir. Her bir kısıt, bir faaliyeti karakteristikleri farklı faaliyetler arasıdaki öcelik ilişkileriyle birleştirildiğide y yi T i kısıtı yi T zamaıda öceki olamaya düğümü içi e erke oluş zamaıı gösterir. Amaç tüm öcelik ilişkilerii karşılayacak (sağlayacak) e kısa zama çevrimii bulmaktır. Faaliyet süreleri bulaık sayılarda oluşuyorsa Model (4) şu hale gelir; mi y y1 st.. yyi T,, A, yy i, isaretce belirlememis,, A, mi y y1 st.. yyi T,, A, yi, y isaretce belirlememis,, A, mi y y1.., i, A, yi, y isaretce belirlememis, i, A, st y yi IT Model (4) Model (5) Model (6) Kısıtları sağ ya değerleri bulaık sayılarda oluşa bir doğrusal programlama modelidir. Model (5) i ele almaı bir yoluda yukarıdaki ifadeyi klasik döüşüm uygulamaktır ve uygulama soucu şuu elde ederiz. Model (6) i duali model (3) ü kiyle kesilikle ayıdır, böylelikle öceki bölümde ki klasik döüşüm durumuu doğruluğu kaıtlamış olur. Model (3) içi temel uygu çözüm düşüüldüğüde, temel uygu çözüm, proe şebekeside bir yolda R yerie koulur. E kritik yolu kritikliğii derecesi 1.0 olarak ayarladığıda degcr p 1 ile gösterilir. pk, k 1,2,..., m k ıcı yolu kritikliğii izafi derecesi aşağıdaki gibi taımlaabilir; k R i1 1I T î x deg P k, k 1,2,..., m. (2) Cr I T x i1 1 î 132

6 Ö. Atlı, C. Kahrama Sigma 31, , BULANIK ARİTMETİK Bu bölümde bir proe şebekeside gösterilmiştir. FAT a, b, c, d A faaliyetii bulaık faaliyet süresi FAT olarak ile temsil edile yamuk bulaık sayılar A faaliyeti içi sırasıyla miimum ve maksimum değerleri a, d ve birici çeyrek değeri ile ikici çeyrek değeri b ve c dir. Eğer bular istatistiki verilere dayalı ise a, b, c, d miimumda maksimuma doğru sıralaır. Öreği faaliyeti 4 istatistiki verisi 6,9,3 ve 8 ise yamuk bulaık sayısı (3, 6, 8, ve 9) olarak oluşturulur. Buu tersie A faaliyeti hakkıda hiç bir bilgi bulumuyor ise FAT a, b, c, d bulaık faaliyet zamaı bir uzmaı bilgi, deeyimi ve subektif yargılarıyla oluşturulabilir. Herhagi iki bulaık faaliyet süresii geişletilmiş artimatik işlemleri, sırasıyla toplama ve çıkarma işlemleri şu şekilde ifade edilebilir;,,,,,,,,, FAT FAT a b c d a b c d a a b b c c d d (3) ,,,,,,,,, FAT FAT a b c d a b c d a d b c c b d a (4) Yamuk Bulaık Sayıları Sıralaması Sıralama yötemleri bulaık CPM de temel zorluktur. Bulaık sayıları sıralaması içi bir çok yötem öerilmiştir. Acak Che [13] ve Kim vd. [14] tarafıda bu yötemlerde kesi olarak bir kusur olduğu rapor edilmiştir. Öerile yaklaşımı bulaık faaliyet sürelerii üyelik foksiyolarıı kesi (açık olarak) bir biçimde bilimesie ihtiyaç duyulmaması edeiyle biz Yager s sıralama ideksii kullamayı öeriyoruz. Uygulama kolaylığı içi kullaışlı bir sıralama yötemi bulaık yol aalizide mevcut sıralama sorularıı çözmek içi kullaılmaktadır. A faaliyeti FAT a, b, c, d bulaık faaliyet süresi olsu. Karar vericii risk tutum ideksi β şu şekilde edilebilir; b a i b a d c A ACT / t A i f x üyelik foksiyolu A bulaık sayısıı m mi x f x 1 max x f x 1. olarak taımladığımızda, aşağıdaki kurallara i Ai Ai göre A i ve A bulaık sayıları sıralayabiliriz.,, A A R A R A veya (6) i i ve, R A R A m m (7) i i ve A A R A R A m m (8) i i i (5) 133

7 Fuzzy Critical Path Aalysis Sigma 31, , 2013 A yamuk bulaık sayısıı Sora, i R A i sıralama değeri aşağıdaki gibi elde edilebilir: d x x a R A 1 1 (9) i i 1 2 i x 2 x1 ci di x2 x1bi ai Burada β karar verici risk tutum ideksi x1 mi a1, a2,.., a ve x2 max d1, d2,..., d olmak üzere Dek. (5), Dek. (9) ve β değeri kullaarak, adet yamuk bulaık sayıı sıralama değerlerii kolayca hesaplayabiliriz. Yukarıda açıklaa sıralama kuralıa dayalı olarak, adet yamuk bulaık sayıı sıralaması etkili bir şekilde tespit edilebilir Bulaık Kritik Yol Yötemi Kullaıla sembolleri taımları asağıda verilmistir. N A FAT FEST FECT FLST FLCT FTS Bir proe şebekesideki bütü serimleri kümesi. i ve faaliyetleri arasıdaki faaliyet. A i bulaık faaliyet süresi. serimii e erke başlagıç bulaık süresi. serimii e erke tamamlama bulaık süresi. serimii e geç başlagıç bulaık süresi. serimii e geç tamamlama bulaık süresi. A ı toplam aylak bulaık süre. S serimii tüm ardıl faaliyetlerii kümesi. NS P NP serimii tüm ardıl faaliyetleriyle bağlatılı tüm düğümleri kümesi. Öreği, NS k A S, k N. k serimii tüm öcellerii kümesi. serimii tüm öcül faaliyetleriyle bağlatılı tüm düğümleri kümesi. Öreği, NP i A P, i N. PT i i ici yol. PT Bir proe şebekesii tüm yollarıı kümesi. FCPM P k Bir proe şebekeside P k yoluu toplam aylak bulaık süresi. Burada, bulaık FCPM de kullaıla öemli özellikleri ve teorem kısaca taıtılacaktır. Başlagıç içi başlagıç serimi sıfır olarak belirleir. Örek olarak; FEST1 FECT1 0,0,0,0. Öerile bulaık aritmetik CPM içi aşağıdaki özelikler doğru ve geçerlidir. 134

8 Ö. Atlı, C. Kahrama Sigma 31, , 2013 Özelik 1 1.a.) FEST max FESTi FAT i NP, 1, N 1.b.) FECT FESTi FAT Özelik 2 2.a.) FLCT mi FLCTk FATk k NS,, N 2.b.) FLST FLCT FAT k k Özelik 3 FTS FLCT FESTi FAT, 1 i ; i, N Özelik 4 FCPM P FTS, P PT K K 1 i i, PK Bir proe şebekeside, P C yolu; FCPM PC mifcpm PTi PTi PT Bulaık kritik yoldur. Bu, aşağıdaki teoremi geçerli bir yol olduğuu gösterir. Teorem : Bir proe şebekeside tüm faaliyetleri yamuk bulaık sayılarda oluşa bulaık faaliyetlere sahip olduğu varsayarsak bu şebekede bir bulaık kritik yol olduğuu söyleyebiliriz. Algoritma : Bu bölümde, bulaık kritik yol algoritması, bulaık bir ortamda bir proe şebekesii kritik yoluu bulmak içi kullaılır. Algoritma adımları aşağıda suulmuştur. 1. Proei faaliyetlerii taımlayı. 2. Tüm faaliyetleri öcelik ilişkilerii belirleyi. 3. Her bir faaliyeti bulaık faaliyet sürelerii belirleyi. 4. Proe şebekesii oluşturu. FEST olarak 5.a.) Başlagıç 1 serimii e erke başlagıç bulaık süresi; 1 0,0,0,0 alıdığıda ve özelik 1.a kullaılarak FEST, =2, 3,...,, hesaplayı. 5.b.) Başlagıç 1 serimii e erke tamamlama bulaık süresi FECT1 0,0,0,0 olarak alıdığıda ve özelik 1.a kullaılarak FECT, =2, 3,...,, hesaplayı. 6.a.) so faaliyet olmak üzere FLCT FEST olarak eşitleir. Ve özelik 2.a kullaılarak FLCT, = 1, 2,..., 2, 1 hesaplayı. 6.b.) so faaliyet olmak üzere FLST FECT ve özelik 2.b kullaılarak FLST, = 1, 2,..., 2, 1, hesaplayı. 7. Bir proe şebekeside özelik 3 kullaılarak herbir faaliyeti sırasıyla toplam aylak bulaık süreleri FTS hesaplayı. 8. Olası tüm yollar buluur ve özelik 4 kullaılarak FCPM Pk hesaplayı. 9. Teorem kullaılarak bulaık kritik yolu bulu. 10. Üyelik derecesii bulu. 135

9 Fuzzy Critical Path Aalysis Sigma 31, , UYGULAMALI ÖRNEK VE HESAPLAMA Uygulamalı örek içi Chag ve Lee (1999) i yapmış oldukları çalışma referas olarak kullaılmıştır. Şekil 1 de düğüm 1 de düğüm 7 i arasıda kritik yol bulumaya çalışılacaktır. Orial problemde tüm faaliyetler üçgesel bulaık sayılarda oluşsada biz bu çalışmada Çizelge 1. de verile yamuk bulaık sayılar olarak çalışmayı uyarladık Şekil 1. Örek Proe Şebekesi Çizelge 1. Bulaık Faaliyet Süreleri Faaliyetler Bulaık Faaliyet Faaliyetler A Süresi T A B (0,0,0,0) a 12 (45,55,55,58) 7 a (52,55,55,65) 8 13 a (90,100,100,112) 9 25 a (55,70,70,75) Bulaık Faaliyet Süresi T a (85,95,95,103) 36 a (88,95,95,105) 45 a (107,115,115,120) 46 a (113,120,120,140) 57 a (95,100,100,105) a (62,65,65,75) S (0,0,0,0) Şekil 3 deki proe şebekesi üzeride Çizelge 1 de verile bulaık faaliyet süreli Düğüm 1 de düğüm 7 ye kadar e kritik yolu buluması problemi ile bulaık aritmetik yötemle çözümü gösterilmiştir. Model (2) ye göre bu problem formülize edilirse; max T 12x12 T 13x13 T 24x24 T 25x25 T 34x34 T 36x36 T 45x45 T 46x46 T 57x57 T 67x67 x12 x13 1, x12 x24 x25, x13 x34 x36, x24 x34 x45 x46, x25 x45 x57, x36 x46 x67, x x 1, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x 0, Model (4) ü temele ala birleştirilmiş matematik programlama modeli ise aşağıdaki gibidir; I T46 x46 IT57 x57 IT67 x67 max I T x I T x I T x I T x I T x I T x I T x Kısıtlar ise ayıdır. Görüleceği gibi, belirlemiş ola Yager yötemii kullaımı içi T bulaık faaliyet süreleri içi sıralama idekslerii

10 Ö. Atlı, C. Kahrama Sigma 31, , 2013 hesaplaması gerekir. Öcelike T i kesim ii bulmak zorudayız. Bu makalede öerile yötem uygulaarak bulaık faaliyet süreleri içi sıralama ideksi hesapladığıda; T içi yageri sıralama ideksleri şu şekilde hesaplamıştır; IT , IT , IT , IT , IT , IT , I T 95.75, I T , I T , I T Model (3) souçları, geleeksel kritik yol problemide bu değerler yerie koulduğuda, çözüme ulaşmak kolaydır. Matematiksel programlama çözücüsü ola Lido bu tür doğrusal programlama problemlerii çözmekte kullaılmıştır. Optimal çözüm karar değişkelerii x13 x34 x45 x57 1 ve x12 x24 x25 x36 x46 x67 0 aldığı souçlara göre proe tamamlama süresi ID 315,335,335,385 olarak buluur. DP ile kritik yolu bulmak içi, diğer yollara ait Yager sıralama ideklerii kıyaslaması gerekir. Düğüm 1 de başlaya ve düğüm 9 a kadar farklı altı yol vardır. Bu yollar Çizelge 2 de gösterilmiştir. Diğer yollara ait yager sıralama ideksleri içi ID, i 1,2,...,6. hesaplaır. Sırasıyla hesaplaa I D pi değerleri; , 219, 0, 56.75, ve Altı sıralama ideksii maksimum değeri ID p ve p olarak gösterile beşici yol gerçek kritik yoldur. Bulua souç, öerile yaklaşımı çözümüyle Çizelge 2. ve Çizelge 3. de karşılaştırmalı olarak verilmiş ve ayı souçlar elde edilmiştir. Deklem (2) ye uyguladığıda e kritik yolu kritikliğii izafi yol derecesi p e eşit olmalıdır. E kritik yol ise p olarak buluur. Bu çözüm Chaas ve Lee i bulduğu souçla ayıdır. Diğer yolları kritikliğii izafi yol dereceleri yukarıdaki gibi hesaplaabilir. Buraya kadar bulaık faaliyet süreli kritik yol problemii doğrusal programlama ile asıl çözümlediği gösterilmiştir, şimdi öerile bulaık aritmetik yötem ile çözümü gösterilecektir. Acak makaledeki sıırlı alaedeiyle tüm sayısal işlemleri burada göstermemiz mümkü değildir. Bu sebeple her bir adıma ait birer örekle çözüm gösterilecek ve souçları suulacaktır. Öcelikle Dek 6 ya göre toplam risk ideksii hesaplaması gerekmektedir. Toplam risk ideksi = olarak buluur. Souçlar Çizelge 2. de azala sırada listelemiştir. Çizelge 2. Kritikliğii İzafi Yol Derecesi pi Çizelge 3. P k Yoluu Toplam Aylak Bulaık Süresi FCPM P k Değeri p , Yollar Değer Yollar p p p p p p p 0, p 0,51848 p 0, p 0, p ,

11 Fuzzy Critical Path Aalysis Sigma 31, , 2013 Adım 1.a. Özelik 1.a kullaılarak ve FEST 7 1 0,0,0,0 B 0,0,0,0 0,0,0,0 45,55,55,58 45,55,55,58 max, max 45,55,55,58 55,70,70,75, 52,55,55,65 62,65,65,75 max100,125,125,133, 114,120,120, ,120,120,140 FEST1 FEST FEST2 FEST3 FEST1 FAT12 FEST7 FEST4 FAT24 FEST3 FAT34 FEST x R max 100,125,125,133, 114,120,120, , x 140 R ,125,125, ,120,120, Adım 1.b. Özelik 1.b kullaılarak FECTB FESTB FATS (0,0,0,0) (0,0,0,0) (0,0,0,0) FECT1 FEST1FAT 1 (0,0,0,0) 45,55,55,5845,55,55,58 FECT2 FEST2 FAT2 (0,0,0,0) 52,55,55,6552,55,55,65 FECT FEST FAT 45, 55, 55, 58 90,100,100,112 (135,155,155,170) Adım 2.a FLCT FEST ve FLCT hesaplaır, 1, 2,..., 2,1. FLCTS FECTS 315,335,335,385 FLCT10 FLCTSFATS 315,335,335,385 0, 0, 0, 0 315,335,335,385 FLCT mi FLCT FAT, FLCT FAT FLCT FLCT mi 175, 215, 215, 27288,95,95,105, 210, 235, 235, ,115,115,120 mi 70,120,120,184, 90,120,120,183 70,120,120, x1 x2 R mi 70,120,120,184, 90,120,120,183 70, 184 R 70,120,120, ,120,120, Adım 2.b. FLST FLCT FAT 315,335,335,385 0, 0, 0, 0 315,335,335,385 S S S Adım 3. FTS FLCT FECT 315,335,335, ,335,335,385 70,0,0,70 S S S Adım 4. B,1,3,6,7, S, B,1,3,4,6,7, S, B,1,3,5,6,7, S B,1,2,5,7, S, B,1,2,4,6,7, S, B,1,3,5,6,7, S FCPM P1 FTSB FTS13 FTS36 FTS67 FTSS RFCPM P1 R( 218,85,85,432) 0, P T mi PT1 B,1,3,6,7, S 70,0,0,70 ( 70,0,0,70) (42,85,85,153) ( 70,0,0,70) ( 218,85,85,432) Olası tüm yollar buluur ve özelik 4 kullaılarak FCPM Pk değeri arta sırada Çizelge 3 deki gibi hesaplaır. x1 420, x2 441 ise R (-268,60,60,424) 0, Yukarıdaki işlemler soucu Çizelge 4. de gösterilmiştir. 138

12 Ö. Atlı, C. Kahrama Sigma 31, , 2013 Çizelge 4. Bulaık Kritik Yol Aalizi Souç Çizelgesi FEST FECT FLST FLCT FTS B B S S SONUÇ VE TARTIŞMA Edüstri Mühedisliği dalıda so yıllarda yapıla çalışmalar icelediğide bulaık kümeler teorisii esas ala yötemleri çalışmalarda öemli bir yer tuttuğu gözlemlemektedir. Belirsizlikleri çözümüde yei bir çığır aça bulaık küme teorisi alaıda yapıla çalışmalar güümüzde de hız kesmede devam etmektedir. Bu makale, klasik sayılarda çok daha gerçekçi, bulaık faaliyet süreli CPM problemii çözmek içi doğrusal programla ile bulaık aritmetik yaklaşım geliştirilmiş ve birbiriyle kıyaslaarak öerile yötemi geçerliliği ispat edilmiştir. Öerile yötemle, mevcut problem daha etki ve hızlı souçlar üretilebilmektedir. Yager i sıralama yötemii temel ala bulaık CPM problemi, geleeksel doğrusal programlama çözüm yaklaşımıı kullaılarak çözümleebilecek klasik sayıya döüştürür. Bulaık kritik yol icelediğide yager i görüşüü proe içi e kritik yol olduğuu garatilemektedir. Bulaık sayıları üyelik foksiyolarıı şekilsel biçimlerii bilimesie ihtiyaç duyulmaması problemi çözümde büyük bir kolaylık sağlamaktadır. Gerçek hayatta ilk defa yapılacak ola proelerde kullaılacak ola kayaklar belirsizdir. Bu belirsizlik acak bulaık matık tekiklerii kullaımı ile giderilebilir. Bulaık proe çizelgeleme problemlerii çözümü ile ilgili literatürde heüz optimum çözüm vere meta sezgisel yötemler geliştirilememiştir. İleriki çalışmalarda, yei meta sezgisel yötemleri geliştirilmesi yada mevcut olaları melez olarak kullaımı ile optimuma yakı çözümler elde edileceği beklemektedir. Açıkça belirtmek gerekir ki, bu yaklaşım yamuk bulaık faaliyet süreleriyle sıırladırılamaz. Diğer tip bulaık sayılara içere L-R tipi, üçgesel tip, söbü bulaık sayılar vb. uygulaabilir. Ayrıca kayak kısıtlı proe çizelgeleme problemlerie uyarlaabilir. Bu çalışma ile bulaık ortamda proeleri kayak kısıtları altıda çizelgelemesi problemi iceleecek ve problemi çözümü içi yei ve etki çözüm yötemlerii taıtılması ve geliştirilmesi ileri çalışmalar içi hedeflemiştir. 139

13 Fuzzy Critical Path Aalysis Sigma 31, , 2013 REFERENCES / KAYNAKLAR [1] Chaas, S., Zieliski, P., Critical Path Aalysis i the Network with Fuzzy Activity Times, Fuzzy Sets ad Systems, Vol. 122, (2001) [2] Chaas S., Kamburowski J., The use of fuzzy variables i PERT, Fuzzy Sets ad Systems 5 (1981) [3] Chaas S., Fuzzy sets i few classical operatioal research problems, I Approximate Reasoig i Decisio Aalysis, North-Hollad, Amsterdam, (1982) [4] Wag, X. & Huag, W., Fuzzy resource-costraied proect schedulig problem for software developmet, Wuha Uiversity Joural of Natural Scieces, 15, [5] Dubois D., Prade H., Fuzzy Sets ad Systems: Theory ad Applicatios, Academic Press, [6] Slyeptsov A.I., Tyshchuk T.A., A Method of Computatio of Characteristics of Operatios i a Problem of Fuzzy Network, Cyberetics ad Plaig ad Maagemet System Aalysis,Vol. 39, No. 3, (2003) [7] Nasutio S. H., Fuzzy duratios i critical path method, I Secod IEEE Iteratioal Coferece o Fuzzy Systems, Sa Fracisco, (1993) [8] Zadeh, L. A., Fuzzy Sets Iformatio ad Cotrol, 8, [9] Sharafi, M., Jolai, F., Iramaesh, H. & Hatefi, S. M., A Model for Proect Schedulig with Fuzzy Precedece Liks Australia Joural of Basic ad Applied Scieces, 2, [10] Yousefli, A., Ghazafari, Shahaaghi, & Heydari, M., A New Heuristic Model for Fully Fuzzy Proect Schedulig, Joural of Ucertai Systems, 2, [11] Soltai, A. & Hai, R., A Proect Schedulig Method Based o Fuzzy Theory, Joural of Idustrial ad Systems Egieerig, 1, [12] Che, C. T. & Huag, S. F., Applyig fuzzy method for measurig criticality i proect etwork, Iformatio Scieces, 177, [13] Ke, H. & Liu, B. D., Proect schedulig problem with mixed ucertaity of radomess ad fuzziess, Europea Joural of Operatioal Research, 183, [14] Pa, H. Q. & Yeh, C. H., Fuzzy proect schedulig, Proceedigs of the 12th IEEE Iteratioal Coferece o Fuzzy Systems, Vols 1 ad 2, [15] Wag, J. T., A fuzzy proect schedulig approach to miimize schedule risk for product developmet, Fuzzy Sets ad Systems, 127, [16] Che, S. M. & Chag, T. H., Fidig multiple possible critical paths usig fuzzy PERT, IEEE Trasactios o Systems Ma ad Cyberetics Part B-Cyberetics, 31, [17] Atli, O., Tabu Search ad a Exact Algorithm for the Solutios of Resource-costraied Proect Schedulig Problems, Iteratioal Joural of Computatioal Itelligece Systems Volume 4, Issue 2, Pages , 2011 [18] Atlı Ö. The Mislack ad Kagaroo Algorithm Heuristic for Fuzzy Resource- Costraied Proect Schedulig Problems Joural of Multiple-Valued Logic ad Soft Computig, Basım Aşamasıda