SAYISAL ÇÖZÜMLEME Saısal Çözümleme
SAYISAL ÇÖZÜMLEME 8. Hafta İNTERPOLASYON Saısal Çözümleme 2
İÇİNDEKİLER Ara Değer Hesabı İterpolaso Doğrusal Ara Değer Hesabı MATLAB ta İterpolaso Komutuu Kullaımı Lagrace Poliom İterpolasou Saısal Çözümleme 3
Ara Değer Hesabı İterpolaso Ara değer hesabı mühedislik problemleride sıklıkla karşılaşıla bir işlemdir. İterpolaso Bilie değerlerde bilimee ara değeri a da değerleri buluması işlemidir. Geel olarak ise bir f foksiouu,,, gibi arık oktalarda verile f, f,,f değerlerii kullaarak, bu foksiou temsil ede ve daha basit bilie bir F foksiou eterpolaso foksiou ile ifade edilmesidir. f Nüfus istatistiksel veriler Milo 8 Milo 6 Milo? 4 Milo 945 95 955 96 965 ıllar Saısal Çözümleme 4
İterpolaso İterpolaso foksiou içi poliom, trigoometrik foksio, üstel gibi foksiolar kullaılır. Acak çoğu durumda koşulları kolalıkla sağlamaları sebebile poliomlar tercih edilir. İterpolaso foksiouu seçimide kullaıla teoremler: Eğer foksio [a, b] aralığıda sürekli ve türevleebilir ise poliom kullaılabilir. [a,b] aralığıda küçük bir değeri içi, f F koşulu sağlaabilir Periodik 2 ve sürekli bir foksio içi, F a cos k k k k b k si k şeklide solu bir trigoometrik seri iterpolaso foksiou olarak kullaılabilir Saısal Çözümleme 5
Doğrusal Lieer İterpolaso Doğrusal iterpolasoda iki farklı değişkee karşılık gele foksio değerleri,, 2, 2, bir doğru ile birleştirilir. Aradeğer iterpolaso doğru üzeridedir. Doğru deklemii elde edilmesi ile iterpolaso buluur. Bilie iki okta arasıdaki uzaklık e kadar az ise bilimee okta içi buluacak iterpolaso foksiouu değeri de o kadar doğru olacaktır. Doğru Deklemi k- k f k- f k m k k k k k m k k k k+ f k+ k- k k+ f k f k f k f k k k k k Saısal Çözümleme 6
Örek Aşağıdaki tablo da bir firmaı so 5 ılki ciro dağılımı görülmektedir. Tabloda 29 ılıa ait souç er almamaktadır. Doğrusal iterpolaso ötemii kullaarak değeri buluuz. Yıllar 27 28 29 2 2 Ciro 2 42? 46 43 Çözüm: Doğru Deklemi ile f 44 i Saısal Çözümleme 7
Örek l l4.3862944 l6.797595 olduğua göre, lieer eterpolaso kullaarak l2 =? soucuu buluuz. [l2=.693478]. =; =6 alıır ise: l 2.358355 t %48.3 2. =; =4 alıır ise: l 2.462983 t %33.3 Saısal Çözümleme 8
Örek l 2.46298.358359 2 4 6 Saısal Çözümleme 9
MATLAB İle Doğrusal İterpolaso YI= iterp X, Y, XI X i bu değeri içi işlem apılacak bilie Y değerleride oluşa sütu vektörü bilie X değerleride oluşa sütu vektörü Y sütu vektörüde bilimee olarak hesaplaacak değer Örek: Öceki sorudaki işlemi MATLAB ta iterp komutu ile çözüüz? Saısal Çözümleme
Doğrusal Lieer İterpolaso Örek: f= e foksiouu [.2,.3] oktalarıdaki değerleri sırasıla [.224,.34986] dır. Doğrusal iterpolaso ötemi ile =.27 oktasıdaki değer edir? =.27 oktasıdaki gerçek değer.399 olduğua göre bağıl üzde hataı hesaplaıız? f.27 =.3322 e.27 =.39964 Saısal Çözümleme
Lagrage Poliom İterpolasou Lagrage iterpolasou, bilie oktalara öce bir eğri udurulması sora eğrii temsil ede deklemde isteile oktaları değerlerii elde edilmesie daaır. N adet oktada N-. derecede poliom geçebilir 2 3 f f f2 f3 f elemada oluşa bir f ukarıdaki tablodaki gibi taımlamış olsu. Lagrage ötemie göre iterpolaso hesabı apılırke kullaılacak poliom forma sahip foksiou derecesi sahip olua ölçüm değerlerii adedide bir eksik olacak şekilde seçilir. f a a a2 2 a3 3... a Saısal Çözümleme 2
Saısal Çözümleme 3 Eğer verile aralıklar eşit değilse Lagrage İterpolaso poliomu kullaılır. E basit halile 2 okta kullaa Lieer İterpolaso deklemi düzeleirse: Lagrage Poliom İterpolasou Bulua bu ifade okta içi geelleştirilirse:
Saısal Çözümleme 4 Lagrage Poliom İterpolasou 4 3 2 4 3 2 * p 2 2 4 2 3 2 2 4 3 * * 3 2 3 2 Elde edile f eşitliğide değişkeii isteile değer karşılığı saısal olarak girilmek suretile foksiou karşılığı Lagrage ötemie göre bulumuş olur. i i i p L. i j j j i j i L
Lagrage İterpolaso Örek: Aşağıdaki tabloda e bağlı bir f foksiouu saısal değişimi görülmektedir. =3 içi aradeğeri Lagrage iterpolaso ötemi kullaarak buluuz 2 4 7 f 7 3 2 Çözüm: X=3 içi f3=8.7583 Saısal Çözümleme 5
Örek l l4.3862944 l6.797595 olduğua göre, lagrage eterpolaso kullaarak l2 =? soucuu buluuz. [l2=.693478] l 2.565843 Saısal Çözümleme 6
Örek Aşağıdaki tabloda e bağlı bir f foksiouu saısal değişimi görülmektedir. = 2.3 içi ara değeri Lagrage iterpolaso ötemi kullaarak buluuz..7 3 f.6 5.2 2.3 2.3 2.3 8.383 p Saısal Çözümleme 7
Örek Aşağıdaki tabloda e bağlı bir f foksiouu saısal değişimi görülmektedir. X=4 içi ara değeri Lagrage iterpolaso ötemi kullaarak buluuz Soruu hem el ile hemde matlab ile çözüüz. Matlab da program dögüler azıız 2 5 7 9 f 2 6 8 5 Saısal Çözümleme 8
Örek f4 = 7.9476 Saısal Çözümleme 9
KAYNAKLAR İlas ÇANKAYA, Devrim AKGÜN, MATLAB ile Meslek Matematiği, Seçki Yaıcılık Cüet Baılmış, Saısal Aaliz Ders Notları, Sakara Üiversitesi Serhat YILMAZ, Bilgisaar İle Saısal Çözümleme, Kocaeli Üiv. Yaıları, No:68, Kocaeli, 25. Mehmet Yıldırım, Saısal Aaliz Ders Notları, Kocaeli Üiversitesi Saısal Çözümleme 2