MATEMATİK ANABİLİM DALI

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Dünya KARAPINAR LİE CEBİRLERİNİN TEMSİLLERİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 22

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ LİE CEBİRLERİNİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu Tez / /22 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu ile Kabul Edilmiştir....... Prof. Dr. Naime EKİCİ Yrd. Doç. Dr. Ela AYDIN Yrd. Doç. Dr. Cennet ESKAL DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Prof. Dr. M. Rifat ULUSOY Enstitü Müdürü Bu Çalışma TÜBİTAK - BİDEB Tarafından Desteklenmiştir. Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ LİE CEBİRLERİNİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Danışman :Prof. Dr. Naime EKİCİ Yıl: 22, Sayfa: 7 Jüri :Prof. Dr. Naime EKİCİ :Yrd. Doç. Dr. Ela AYDIN :Yrd. Doç. Dr. Cennet ESKAL Lie cebirlerinin temsilleri teorisi cebirde en çok çalışılan alanlardan birisidir. Basit ve yarıbasit Lie cebirlerinin temsilleri bu cebirlerin yapılarının anlaşılmasında önemli rol oynarlar. Bu tezde basit ve yarıbasit Lie cebirlerinin sonlu boyutlu temsilleri incelenmiştir. Çalışmada sl 2 ( C ), sl 3 ( C ), sl 4 ( C ) ve genel durum olan sl n ( C ) nin temsilleri üzerinde yoğunlaşılmıştır. Anahtar Kelimeler: Lie cebirleri, Temsiller, Özel lineer Lie cebirleri I

ABSTRACT MSc THESIS REPRESENTATIONS OF LIE ALGEBRAS Dünya KARAPINAR ÇUKUROVA UNIVERSITY INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATICS Supervisor :Prof. Dr. Naime EKİCİ Year: 22, Pages: 7 Jury :Prof. Dr. Naime EKİCİ :Asst. Prof. Dr. Ela AYDIN :Asst. Prof. Dr. Cennet ESKAL Representation theory of Lie algebras is one of the most studied area of algebras. Representations of simple and semisimple Lie algebras play important role in understanding the structure of these algebras. In this thesis we investigate the representations of finite dimensional simple and semisimple Lie algebras. We concenrate on the representations of the simple complex Lie algebras sl 2 ( C ), sl 3 ( C ), sl 4 ( C ) and the general case of sl n ( C ). Keywords: Lie algebras, Representations, Special linear Lie algebras II

TEŞEKKÜR Bu çalışmanın hazırlanması sırasında bilgi ve tecrübeleri ile beni aydınlatan, yapıcı ve yönlendirici fikirleriyle bana daima yol gösteren, değerli zamanını ayırarak çalışmamın tamamlanmasını sağlayan, bilgisi ve kişiliği ile örnek aldığım danışman hocam Sayın Prof. Dr. Naime EKİCİ ye sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Başta Sayın Prof. Dr. Doğan DÖNMEZ olmak üzere Çukurova Üniversitesi Matematik bölümünün değerli hocalarına, lisans ve yüksek lisans eğitimim boyunca yardım ve teşviklerinden dolayı sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Yüksek lisans eğitimim süresince verdiği burstan dolayı TÜBİTAK Bilim İnsanı Destekleme Daire Başkanlığına sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Manevi desteklerini esirgemeyen, her zaman yanımda olan aileme sonsuz teşekkürlerimi sunarım. III

İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ... I ABSTRACT... II TEŞEKKÜR... III İÇİNDEKİLER... IV. GİRİŞ... 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER... 5 2.. Lie Cebirleri... 5 2.2. Özel Lineer Lie Cebirleri... 7 2.3. Lie Cebirlerinin Temsilleri... 3 2.4. Temsillerin Birleşimi... 4 2.5. İndirgenemezliğe Kısıtlama... 9 3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ... 2 3.. Karakteristik Uzaylara Parçalanış... 2 3.2. Karakteristik Uzaylar Arasındaki Etkileşim... 24 3.3. Genel Durum... 26 4. GENEL TEMSİLLER... 29 4.. Cartan Alt Cebiri Ve Genelleştirilmiş Özdeğerler... 3 4.2. Temsillerin Ağırlık Uzaylarına Parçalanışı... 34 4.3. Kök Uzayları ve Ağırlık Uzayları Arasındaki İlişkiler... 35 4.4. Parçaları Araştırmak... 37 4.5. Simetriler... 39 4.6. Yüksek Ağırlıklar... 4 4.7. Sınıflandırma... 43 4.8. Temsil Halkalarının Yapısı... 44 5. sl 2 ( C ) NİN TEMSİLLERİ... 47 6. sl 3 ( C ) NİN TEMSİLLERİ... 55 7. sl 4 ( C ) NİN TEMSİLLERİ... 65 8. sl n ( C ) NİN TEMSİLLERİ... 67 IV

KAYNAKLAR... 69 ÖZGEÇMİŞ... 7 V

. GİRİŞ Dünya KARAPINAR. GİRİŞ Lie cebirleri yirminci yüzyılın en merkezi konularından biri olup matematiğin, diferansiyel geometri, temsil teorisi, harmonik analiz ve matematiksel fizik gibi birçok alanıyla güçlü bağlara sahiptir. Özellikle temsil teorisi ile olan yakın ilişkisi Lie cebirlerinin yapısının anlaşılmasında önemli bir rol oynar. Temsil teorisi matematiğin bir dalı olup soyut cebirsel yapıları, elemanlarını vektör uzaylarının lineer dönüşümleri şeklinde temsil ederek inceler ve bu soyut cebirsel yapılar üzerindeki modülleri çalışır. Temelde, bir temsil bir cebirsel yapıyı, elemanlarını matrisler ve cebirsel işlemlerini de matris işlemleri cinsinden tanımlayarak daha anlaşılır hale getirir. Gruplar, birleşmeli cebirler ve Lie cebirleri gibi cebirsel yapılar bu şekildeki bir tanıma uygunluk gösterirler. Bu cebirsel yapıların ilki ve en çok göze çarpanı grupların temsil teorisidir. Bu teoride grup işlemi matris çarpımı olmak üzere grup elemanları tersinir matrislerle temsil edilir. Temsil teorisi soyut cebirdeki problemleri lineer cebirdeki problemlere dönüştürdüğünden bir cebirsel yapının anlaşılmasında güçlü bir araçtır. Temsil teorisi fizikte de önemli bir rol oynar. Örneğin; bir fiziksel sistemin simetri grubunun bu sistemi tanımlayan denklemlerin çözümü üzerine nasıl etki ettiğini tanımlar. Temsil teorisinin çarpıcı bir özelliği de matematikteki yaygınlığıdır. Teorinin uygulamalarının muhtelif oluşu ve uygulamalardaki yaklaşımların çeşitliliği yaygınlığın önemli nedenlerindendir. Teorinin başarısı, cebirsel yapıları daha genel yapılarla değiştirmek gibi genelleştirmeleri beraberinde getirmesinden kaynaklanır. Temsil teorisinin en önemli uygulama alanlarından birisi de basit ve yarıbasit Lie cebirleridir. Bu konuda birçok araştırmacı çalışmalar yapmıştır.( Adams (982), Samelson (99), Santos ve Rittore (25), Serre (2; 26), Wakimoto(2), Wallach ve Goodman(998 ),Erdmann vewildon (26), Billey ve Lakshmibai (2), Carter (25), Cooperstein (99), Conway ve Sloane (99), Cooperstein (99), Coxeter (973), Kac (99), Green (27;28), Hartshorne (977), Humphreys (99), Du Val, (933), Kashiwara (99), Manivel (26), Stembridge (2), Wildberger (23a;23b).)

. GİRİŞ Dünya KARAPINAR Löh (26) da sonlu boyutlu yarı basit Lie cebirlerinin temsillerini incelemiştir. Öncelikle sl 2 ( C ) nin örnekleri üzerinde çalışmış daha sonra sl 3 ( C ) nin temsilleri ile birlikte genel teoriye ulaşmıştır. Bäuerle ve De Kerf (99) de özel lineer Lie cebirlerinin genel yapısını incelemiştir. Banu (26) da sl 2 ( C ), sl 3 ( C ), sl 4 ( C ) ve sl n ( C ) Lie cebirlerinin temsillerini incelemiştir. Bu tezde, C karmaşık cismi üzerindeki, izi sıfır olan tüm n n matrislerin Lie cebiri olan sl n ( C ) cebirinin temsil teorisi incelenmiştir. Bu konuda (Fulton ve Harris, 99), (Löh, 26) ve (Banu, 26) temel kaynaklar olarak gösterilebilir. Tezin amacı basit ve yarıbasit Lie cebirlerinin temsillerini inceleyerek sonuçları araştırmak ve teorinin Lie cebirlerindeki önemini vurgulamaktır. Tez, Lie cebirlerinin temsil teorisi ile ilgili birçok çalışmanın bir derlemesi olup örneklerle zenginleştirilmiştir. Lie cebirlerinin temsil teorisi konusundaki Türkçe kaynak eksikliğini gidermek tezin amaçlarından biri olup konu ile ilgili çok sayıda kaynak taranmış ve sl 2 ( C ), sl 3 ( C ), sl 4 ( C ) ve sl n ( C ) Lie cebirlerinin temsillerinin genel teorisi incelenerek açık ve anlaşılır bir şekilde ortaya konmuştur. Bu tez toplam sekiz bölümden meydana gelmiş olup her bir bölümün içeriği aşağıda özetlenmiştir: İkinci bölümde tezde kullanılacak olan temel tanımlar ve teoremlerden söz edilmiştir. Üçüncü bölümde temsil teorisinin temelleri incelenmiştir. sl 2 ( C ) Lie cebirinin indirgenemez temsillerini analiz ederken H köşegen matrisinin bu temsiller üzerindeki etkisi araştırılmıştır. Ayrıca karakteristik uzaylara parçalanışın nasıl olduğu, karakteristik uzaylar arasındaki etkileşimi, V α+2j özdeğer uzayının ne kadar büyük olduğu, özdeğerler kümesinin genelde nasıl göründüğü, verilen bir özdeğer kümesinin kaç tane indirgenemez temsilinin bulunduğu incelenmiştir. Dördüncü bölümde sl 2 ( C ) nin temsillerinin sınıflandırılması gözönüne alınarak genel durum incelenmiştir. sl 3 ( C ) nin temsilleri incelenirken sl 2 ( C ) nin 2

. GİRİŞ Dünya KARAPINAR temsillerinin yapısından esinlenilmiştir. Ayrıca Lie cebirlerinin Cartan parçalanışı ve genelleştirilmiş özdeğerleri araştırılmıştır. Beşinci bölümde sl 2 ( C ) nin temsillerinin örnekleri ve baz elemanları olan X ve Y matrislerinin çeşitli V α uzayları üzerindeki etkisi incelenmiştir. Altıncı bölümde sl 2 ( C ) nin temsillerini kullanarak sl 3 ( C ) nin temsilleri araştırılmış ve sl 3 ( C ) nin bir kök uzayı parçalanışı ve h * da L i L j kökleri tarafından üretilen bir kök kafesi verilmiştir. Yedinci bölümde sl 4 ( C ) nin kök uzayı parçalanışı ve kök kafesi verilmiştir. Sekizinci bölümde sl n ( C ) nin kök uzayı parçalanışı ve h * da L i L j kökleri tarafından üretilen bir kök kafesi verilmiştir. 3

. GİRİŞ Dünya KARAPINAR 4

2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Bu bölümde, temel terminoloji ve kullandığımız notasyonları sunacağız. Özellikle Lie cebirlerinin temsillerini ve bazı temel yapıları tanıtacağız. 2.. Lie Cebirleri F bir cisim olsun. Tanım 2..: g F üzerinde sonlu boyutlu vektör uzayı olsun. g nin üzerinde aşağıdaki koşulları sağlayacak şekilde bir [.,.]:g g g bilineer fonksiyon tanımlı ise g ye bir Lie cebiri denir. (L) Her x g için [x,x] =, (L2) Her x, y, z g için [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = veya [[x,y],z] + [[y,z],x] + [[z,x],y] = Bundan sonra bir Lie cebiri denildiğinde F cismi üzerindeki Lie cebiri anlaşılacaktır. Tanım 2..2: [x,[y,z]] + [y,[z,x]] +[z,[x,y]]= ( veya [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]= ) özdeşliğine Jacobi özdeşligi denir. Ayrıca [.,.] çarpımına Lie çarpımı veya Lie braketi denir. Not 2..3: g bir Lie cebiri olmak üzere her x, y, z g ve α, β F için. [x + αy, z] = [x, z] + α [y, z] 2. [x,y + βz] = [x, y] + β[x, z] 5

2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR olup Lie çarpımı bilineerdir. Tanım 2..4: g ve h iki Lie cebiri ve Ψ: g h lineer bir fonksiyon olsun. Her x,y g için Ψ( [x,y] ) = [ Ψ(x),Ψ(y) ] oluyorsa Ψ ye bir Lie cebiri homomorfizmi denir. Örnek 2..5: g sonlu boyutlu bir kompleks vektör uzayı olsun. O zaman aşikar Lie çarpımı olan [.,. ] = çarpımı ile birlikte g bir Lie cebiri olur. Bu tip Lie cebirlerine abelyen Lie cebiri denir. Örnek 2..6: Lie cebirlerinin asıl kaynağı matris cebiridir. g sonlu boyutlu bir vektör uzayı olsun. g g olan endomorfizmlerin kümesi bileşke işlemiyle birlikte bir vektör uzayıdır. Bu vektör uzayı üzerinde tanımlı END g END g END g (A, B) AB - BA çarpımı ile birlikte bir Lie cebiridir. Bu Lie cebiri gl(g) ile gösterilir. Tanım 2..7: gl(g) nin matris versiyonu gl n (F) veya gl(f n ) şeklinde gösterilir. gl n (F), [x,y]=xy - yx çarpımı ile bir Lie cebirdir. gl n (F) nin vektör uzayı olarak bir bazı {e ij } i, j n dir. Burada e ij ler (i,j) bileşeni diğer bileşenleri olan n n tipindeki matrislerdir. Tanım 2..8: g bir Lie cebiri olsun. g nin alt merkezi serisi terimleri aşağıdaki şekilde tanımlı olan bir seridir. 6

2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR g = g =[ g, g ], g 2 = [ g, g ] = [g, [ g, g ] ],, g k = [ g, g k- ]. Tanım 2..9: g bir Lie cebiri olsun. Eğer bazı m için g k = {} ise g ye nilpotent Lie cebiri denir. 2.2. Özel Lineer Lie Cebirleri Tanım 2.2.: Bir n n matrisinin izi, köşegen üzerindeki elemanların toplamıdır. Bunu bir X matrisi için TrX (trace) ile gösterelim. sl n ( C ) özel lineer Lie cebiri sl n ( C )={X gl n ( C ): TrX=} kümesidir. Bu küme [x,y]=xy - yx çarpımı ile bir Lie cebirdir. Bu Lie cebirinin bir bazı B = {e ij } i j {e ii -e i+,i+ } i<n olup boyutu n 2 dir. Yani, dim sl n ( C ) = n 2 dir. Dikkat 2.2.2: C karmaşık cisim olmak üzere bu kısımda n 2 durumuyla ilgileneceğiz ve genellikle k olmak üzere n = k+ yazıp özel lineer Lie cebirlerini sl k+ ( C ) ile göstereceğiz. sl k+ ( C ) nin boyutunun dim sl k+ ( C ) = k (k+2) olduğu bazın tanımından kolaylıkla görülebilir. 7

2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR sl k+ ( C ) nin bazını tanımlamak için öncelikle sl k+ ( C ) deki matrislerin genel formunu düşünelim. a a a A = (a ij ) =... a 2 3 n a a a a 2 22 32.. n 2 a a a a 3 23 33.. n3............ an a 2n a 3n.. a nn n ve Tr A = a ii = (n=k+) dır. i= A matrisini A d köşegen matris, A - kesin alt üçgensel matris, A + kesin üst üçgensel kısım olmak üzere A = A - + A d + A + olacak şekilde parçalayabiliriz. p < q k+ için (e pq ) ij = δ pi δ qj olsun. A + için baz olarak bu şekildeki (e pq ) matrislerini alalım. q < p k+ için (e pq ) matrislerini A - için baz matrisleri olarak alabiliriz. A + ve A - için düşündüğümüz baz matrislerinin sayısının (k+) 2 (k+) = k(k+) tane olduğu basit bir hesapla bulunabilir. A nın köşegen matrisi için k tane izi sıfır olan köşegen baz matrisine ihtiyacımız vardır. Bu matrisleri şöyle tanımlayabiliriz. 8

2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR h p = e pp e p+,p+ (p=,2,,k) Bu şekilde tanımlanan e pq ve h p matrislerinin kümesine sl k+ ( C ) nin standart bazı denir. Tanım 2.2.3: p<q için kesin üst üçgensel matrisler olan e pq matrisleri sl k+ ( C ) nin k (k + ) 2 boyutlu nilpotent bir alt cebirinin baz elemanlarını oluştururlar. Bu cebiri N + ile göstereceğiz. Benzer şekilde p>q için bazı e pq kesin alt üçgensel matrisler olan nilpotent alt cebiri N - ile göstereceğiz. Ayrıca izi sıfır olan h p matrislerini baz kabul eden k boyutlu abelyen alt cebiri H ile göstereceğiz. sl k+ ( C ) içindeki her A matrisi A = A - + A d + A + formunda tek parçalanışa sahip olduğundan sl k+ ( C ) vektör uzayı olarak sl k+ ( C ) = N - H N + şeklinde bir parçalanışa sahiptir. Bu parçalanışa Lie cebirin üçgensel parçalanışı denir. Örnek 2.2.4: 4 4 tipindeki A = diag(a, a 22, a 33, a 44 ) köşegen matrisini düşünelim. İzi sıfır ise a 44 = -( a + a 22 + a 33 ) dir. İzi sıfır olan köşegen bir matrisin bazı h = diag(,-,,), h 2 = diag(,,-,), h 3 = diag(,,,-) dir. A matrisi bu baz matrisleri kullanarak aşağıdaki şekilde yazılabilir. 9

2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR A = a h +( a + a 22 ) h 2 + (a + a 22 +a 33 ) h 3 Tanım 2.2.5: e = e 2, e 2 = e 23,, e k = e k,k+ f = e 2, f 2 = e 32,, f k = e k+,k h, h 2,, h k baz matrislerine sl k+ ( C ) nin Cartan Chevalley üreteçleri denir. Bu matrisler arasında i, j =,,k olmak üzere aşağıdaki bağıntılar vardır. [h i,h j ] = [h i,e i ] = 2e i [h i,e i+ ] = -e i+ [h i,e i- ] = -e i- [h i,f i ] = -2f i [h i,f i+ ] = f i+ [h i,f i- ] = f i- [e i,f j ] = δij h j Yukarıdaki bağıntılar [ h i, h j ] = [ h i, e j ] = (2δ ij -δ i-,j - δ i+,j ) e j [ h i, f j ]= -(2δ ij -δ i-,j - δ i+,j ) f j şeklinde de ifade edilebilir. sl k+ ( C ) nin yukarıdaki üreteçler arasında olmayan baz elemanlarının bu üreteçlerden elde edilebileceğini göstermek için [e p,e p+ ] komütatörünü düşüneceğiz. Basit bir hesapla [e p,e p+ ] = e p,p+2

2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR olduğu gösterilebilir. Örnek 2.2.6: sl 2 ( C ) Lie cebirinin boyutu 3 tür. sl 2 ( C ) nin standart baz matrisleri e =, h =, f = dir. Örnek 2.2.7: sl 3 ( C ) Lie cebirinin boyutu 8 dir. sl 3 ( C ) nin standart baz matrisleri h =, h 2 = e =, e 2 = f =, f 2 = e 3 =, f 3 = dir.

2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR Tanım 2.2.8: g bir Lie cebiri olsun. g nin bir alt cebiri bir K alt vektör uzayıdır öyleki her x, y K için [ x,y] K dır. Tanım 2.2.9: g bir Lie cebiri olsun. g nin bir I ideali bir alt vektör uzayıdır öyleki her x g ve her y I için [ x,y] I dır. Tanım 2.2.: Eğer bir Lie cebirinin {} ve kendisinden başka ideali yoksa o Lie cebirine basit Lie cebiri denir. Lemma 2.2.: I bir g Lie cebirinin bir ideali olsun. O zaman g I nın abelyen olması için gerek ve yeter koşul g' I olmasıdır. İspat: g I nın abelyen olsun. Her x, y g için [ x + I, y + I ] = + I [ x,y] + I = I [ x,y] I g' = Sp { [ x,y] x,y g } I Yukarıdaki lemma g' nün g I abelyen olacak şekildeki en küçük ideali olduğunu gösterir. Aynı şekilde g' de g'/j abelyen olacak şekilde bir en küçük J idealine sahiptir. Bu ideal [ g', g' ] türetilmiş alt cebiridir. Bu alt cebiri g (2) ile gösterelim. Bu şekilde devam edilerek g nin türetilmiş serisini elde ederiz. Tanım 2.2.2: Bir g Lie cebirinin türetilmiş serisi g () = g g () = [ g, g ],, g (k) =[ g (k-), g (k-) ] olarak tanımlanır. Eğer bazı m için g (m) = {} ise g ye çözülebilir Lie cebiri denir. Tanım 2.2.3: g Lie cebirinin maksimal çözülebilir idealine g nin radikali denir ve radg ile gösterilir. 2

2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR Tanım 2.2.4: g {} bir Lie cebiri olsun. Eğer g nin sıfırdan farklı çözülebilir idealleri yoksa, yani radg = {} ise g ye yarı basit Lie cebiri denir. Örnek 2.2.5: sl n ( C ) Lie cebirlerinin hepsi yarı basittir. ( Hatta hepsi basittir. ) 2.3. Lie Cebirlerinin Temsilleri Lie cebirleri vektör uzayları üzerinde temsil edilebilir. Vektör uzayı üzerindeki etki aşağıdaki tanımda görüldüğü üzere Lie cebirinin yapısıyla uygun olmalıdır. Tanım 2.3.: g bir Lie cebiri ve V sonlu boyutlu bir vektör uzayı olsun. Bir Ψ : g gl (V) homomorfizmine g nin bir temsili denir. Tanım 2.3.2: Ψ : g gl (V) bir temsil olsun. Burada V vektör uzayına Ψ nin temsil uzayı ve V nin boyutuna da Ψ temsilinin boyutu denir. Tanım 2.3.3: Φ : g gl ( V ) g nin bir temsili ve W, V nin bir alt uzayı olsun. Her x g için ( Φ(x) ) (W) W oluyorsa W ya bir alt temsil uzayı, Φ nin W ya kısıtlanışına alt temsil denir. Tanım 2.3.4: Eğer bir temsilin kendisi ve {} dışında alt temsili yoksa bu temsile indirgenemez temsil denir. 3

2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR Tanım 2.3.5: V ve W iki vektör uzayı Φ v = g gl (V), Φ w =g gl (W) bir g Lie cebirinin temsilleri olsun. Bu temsillerin bir homomorfizmi her x g için Ψ(Φ v (x) ) = (Φ w (x)) Ψ olacak şekilde bir Ψ:V W lineer dönüşümüdür. Örnek 2.3.6: g bir Lie cebiri olsun. Her y g için ad x (y) = [x,y] olarak tanımlanan ad : g gl (g) x ad x homomorfizmi bir Lie cebiri homomorfizmi olup ad dönüşümü g nin bir temsilidir. Bu temsile adjoint temsil denir. Burada g temsil uzayıdır. Örnek 2.3.7: g bir Lie cebiri olsun. Ψ : g gl( V ) dönüşümünü her x g için Ψ(x) =x olarak tanımlayalım. Bu dönüşüm bir homomorfizmdir. Ψ ye g nin standart temsili denir. 2.4. Temsillerin Birleşimi Lineer cebirsel yapıların inşasındaki alışılmış hesaplar Lie cebirlerinin birleşik temsillerinin ortaya çıkmasına neden olur. Örneğin, temsillerin direkt toplamını tanımlamak için oldukça açık bir yol vardır. Tanım 2.4.: g bir Lie cebiri ve Ψ v : g gl (V) ile Ψ w : g gl(w) g Lie cebirinin iki temsili olsunlar. Bu temsillerin direkt toplamı 4

2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR Ψ v Ψ w : g gl ( V W ) ΨV (x) x ΨW (x) olarak tanımlanır. Örnek 2.4.2: ( Ψ v Ψ w ) (x) (ν+w) = Ψ v (x) ν+ Ψ w (x) w olarak yazılabilir. Ψ v (x) = adx ve Ψ w (x) = x temsillerini alalım. O zaman ( Ψ v Ψ w ) (x) (ν+w) = Ψ v (x) (ν) + Ψ w (x) (w) = (adx) ν + x w = [ x, ν ] + x w olur. Tanım 2.4.3: R birim elemanlı değişmeli bir halka ve M de bir değişmeli grup olsun. Eğer bir Ψ: R M M (veya M R M ) fonksiyonu ve her r, r, r 2 R, m, m, m 2 M için. Ψ( r + r 2,m) = Ψ( r, m ) + Ψ( r 2, m ) 2. Ψ( r, m + m 2 ) = Ψ( r, m ) + Ψ( r, m 2 ) 3. Ψ(,m) = m 4. Ψ( r,ψ( r 2, m )) = Ψ( r r 2, m ) koşulları sağlanıyorsa (R,M,Ψ) üçlüsüne bir sol R-modül denir. Kısacası M bir sol R-modüldür. Ayrıca Ψ(r,m) yerine kısaca r m ya da r m yazılır. 5

2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR Tanım 2.4.4: R birim elemanlı bir halka, A bir sağ R - modül, B bir sol R modül ve C bir abelyen grup olsun. Bir f : A B C fonksiyonu ve her a, a, a 2 A, b, b, b 2 B ve r R için. f(a + a 2, b) = f(a, b) + f(a 2, b) f(a, b + b 2 ) = f(a, b ) + f(a, b 2 ) ise f ye bilineer denir. 2. f(ar, b) = f(a, rb) ise f ye dengeli denir. Tanım 2.4.5: (Modüllerde tensör çarpım) R birim elemanlı bir halka, A bir sağ R - modül ve B bir sol R modül olsun. A ile B nin (R üzerindeki) tensör çarpımı (A R B, h) ikilisidir öyleki A R B bir abelyen grup, h:a B A R B bilineer ve dengeli bir fonksiyon öyleki her D abelyen grubu ve her f: A B D bilineer dengeli fonksiyon için A B f D h A R B f değişmeli olacak şekilde tek bir f grup homomorfizmi vardır. Not 2.4.6: g bir Lie cebiri olmak üzere g gl(v) temsili ile, her x,y g ve her ν V için 6

2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR Ψ ( [ x, y ] ν) = Ψ ( x Ψ (y ν) ) Ψ( y Ψ (x ν)) koşulunu sağlayan Ψ : g V V lineer dönüşümü aynıdır. Bu nedenle bazı durumlarda bu tanımı kullanacağız ve x g, ν V için x ν = ν(x ν) yazacağız. Şimdi iki Lie cebiri temsilinin tensör çarpımını tanımlayalım. g V V ve g W W g Lie cebirinin iki temsili olmak üzere g (V W) V W ( x,(ν w)) x ν x w tanımı g de lineer değildir. Gerçekten de (x+y, ν w) = (x, ν w) + (y, ν w) eşitliğinin sağlanmaz. Bunu gösterelim. (x+y, (ν w))= (x+y) ν (x+y) w () (x,(ν w)) +(y,(ν w))=[(x ν) (x w)] + [(y ν) (y w)] = (x+y) ν (x+y) w = (xν+yν) (xw+yw) = (xν (xw+yw)) + (yν (xw+yw)) = (xν xw) + (xw yw) + (yν xw) + (yν yw) (2) Görüldüğü gibi () ve (2) numaralı eşitlikler birbirine denk değildir. O halde yukarıdaki tanım g nin V W üzerinde bir temsilini tanımlamak için uygun değildir. Bunun için aşağıdaki tanımı yapabiliriz. Tanım 2.4.7: g bir Lie cebiri ve Ψ v : g gl (V) ile Ψ w : g gl(w) g Lie cebirinin iki temsili olsunlar. Bu temsillerin tensör çarpımı 7

2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR Ψ v Ψ w : g gl (V W) x (ν w (Ψ v (x))(ν) w + ν (Ψ w (x))(w) ) şeklinde tanımlanır. Örnek 2.4.8: (Ψ v Ψ w )(x)(ν w) = (Ψ v (x)) (ν) w + ν (Ψ w (x)) (w). eşitliğinde Ψ v (x) = adx ve Ψ w (x) = x olsun. O halde bu iki temsilin tensör çarpımı (Ψ v Ψ w )(x)(ν w) = (Ψ v (x)) (ν) w + ν (Ψ w (x)) (w) = adx(ν) w + ν x(w) = [x,ν] w + ν xw olur. Tanım 2.4.9: V, F cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. V den F cismine olan bütün lineer dönüşümlerin kümesine V nin dual uzayı denir ve V * ile gösterilir. Yani, V * = L(V, F) = {f : f: V F lineer dönüşüm} olup dimv * = dimv dir. Tanım 2.4.: g bir Lie cebiri ve Ψ : g gl (V) g Lie cebirinin bir temsili olsun. O zaman Ψ * : g gl(v * ) x -Ψ T (x) olarak tanımlanan temsile Ψ nin dual temsili denir. Burada Ψ T (x), Ψ(x) in transpozudur. 8

2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR Tanım 2.4.: g bir Lie cebiri olsun. g nin temsillerinin bütün izomorfizm sınıfları kümesinin [ Ψ ] [ Ψ ] [ Ψ Ψ ] tarafından üretilen denklik bağıntısına bölümüyle elde edilen ve g nin temsillerinin tensör çarpımı ve direkt toplamıyla donatılan Ζ - modülüne g nin temsil halkası denir. Bunu R(g) ile göstereceğiz. 2.5. İndirgenemezliğe Kısıtlama Bu kısımda yarı basit Lie cebirlerinin temsilleri ile ilgileneceğiz. Teorem 2.5.: (Tam İndirgeme) g yarı basit bir Lie cebiri olsun. g nin sonlu boyutlu her temsili, g nin indirgenemez temsillerinin direkt toplamıdır. Özellikle g nin temsil halkası indirgenemez g-temsilleri tarafından üretilir. Önerme 2.5.2: ( Tümler alt modüllerin varlığı) V g yarı basit Lie cebirinin temsil uzayı ve W V nin alt temsil uzayı olsun. O zaman g nin bir W V olacak şekilde alt temsil uzayı vardır, öyleki V g nin W ve W üzerindeki temsil uzaylarının direkt toplamıdır. 9

2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Dünya KARAPINAR 2

3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ Dünya KARAPINAR 3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ İndirgenemez temsillerin başarılı sınıflandırılmasının nasıl yapılabileceğinin anlaşılması için, öncelikle sl 2 ( C ) cebirini inceleyelim. sl 2 ( C ) nin temsilleri bütün yarı basit Lie cebirlerinin temsillerinin temel yapıtaşı olarak ortaya çıkar. sl 2 ( C ) = {A gl 2 ( C ) TrA = } dir. Bu Lie cebirinin bir bazı H =, X =, Y = olup bu baz elemanları arasındaki ilişki [ H, X ] = 2X, [ H, Y ] = -2Y, [ X, Y ] = H şeklindedir. 3.. Karakteristik Uzaylara Parçalanış H elemanının sl 2 ( C ) nin bir temsilinin üzerinde nasıl etki ettiğini bulmak için, Lie cebirlerindeki Jordan parçalanışı kullanılır. Tanım 3..: V bir vektör uzayı A V üzerinde lineer bir dönüşüm olsun. Eğer A nın matrisi köşegen olacak şekilde V de bir bazı varsa A ya köşegenleştirilebilir lineer dönüşüm denir. Köşegenleştirilebilir lineer dönüşümlere yarı basit lineer dönüşüm de denir. 2

3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ Dünya KARAPINAR 22 Teorem 3..2: ( Jordan parçalanışı ) V sonlu boyutlu kompleks bir vektör uzayı ve A V üzerinde lineer bir dönüşüm olsun. O zaman A = A s + A n olacak şekilde yarı basit bir A s ve nilpotent bir A n lineer dönüşümü vardır. [A s,a n ] = olup bu şekildeki A s ve A n tek olarak bellidir. A nın bu şekildeki parçalanışına Jordan parçalanışı denir. Örnek 3..3: A = matrisi A = ve A 2 = olmak üzere A = A + A 2 şeklinde parçalanabilir. A köşegen matris olduğundan yarı basittir. = olup (A 2 ) 2 = dır. O halde A 2 nilpotenttir. [A, A 2 ] = - = 2 O halde A = A + A 2 Jordan parçalanışı değildir. Örnek 3..4: A = 3, A = 2 2, A 2 = olsun. A köşegen matris olup yarı basittir.

3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ Dünya KARAPINAR = olup (A 2 ) 2 = dır. O halde A 2 nilpotenttir. 2 [A, A 2 ] = 2-2 2 = O halde A = A + A 2 Jordan parçalanışıdır. Teorem 3..5: (Jordan Parçalanması) Ψ : g gl (V) bir g yarı basit Lie cebirinin bir temsili ve x g olsun. Eğer x s, x n gl(g) için x s (adx) in yarı basit parçası ve x n nilpotent parçası ise o zaman Ψ(x s ), Ψ(x n ) gl(v) de Ψ(x) in sırasıyla yarı basit ve nilpotent parçalarıdır. Sonuç 3..6: ( Köşegenleştirilebilme) Ψ: g gl(v) bir g yarı basit Lie cebirinin bir temsili ve x g olsun. Eğer ad(x) gl(g) köşegenleştirilebilir ise Ψ(x) gl(v) de köşegenleştirilebilir. Not 3..7: V sonlu boyutlu bir kompleks vektör uzayı ve g gl(v) nin bir alt cebiri olsun. Eğer x g köşegenleştirilebilir ise ad(x) de köşegenleştirilebilir. Bunu gösterelim. x : V V köşegenleştirilebilir bir lineer dönüşüm ve {ν,ν 2,, ν n } V nin özvektörlerden oluşan bir baz kümesi olsun. x(ν i ) = λ i ν i diyelim. V den V ye olan tüm lineer dönüşümlerin vektör uzayını End(V) ile gösterelim. T ij End(V) dönüşümlerini T ij (ν k ) = δ jk ν i i, j, k n olarak tanımlayalım. Burada δ jk =, j = k, j k 23

3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ Dünya KARAPINAR olarak tanımlanan kronecker deltadır. {T ij } i, j n kümesi End(V) nin bir bazıdır. Şimdi adx : g g dönüşümünün bu baza göre matrisi bulalım. adx(t ij ) (ν k ) = [ x, T ij ] (ν k ) = (x T ij - T ij x) (ν k ) = x T ij (ν k ) - T ij x (ν k ) = x δ jk ν i - T ij λ k ν k = x (ν i ) - λ j T ij (ν j ) = λ i ν i - λ j ν i = (λ i - λ j ) ν i = (λ i - λ j ) T ij (ν k ) olur. O halde ad x (T ij ) = (λ i - λ j ) T ij olup adx in matrisi köşegeni üzerinde (λ i - λ j ) ler olan köşegen bir matristir. sl 2 ( C ) nin sonlu boyutlu bir vektör uzayı olan V üzerindeki indirgenemez temsillerini düşünelim. H nin V üzerindeki etkisi köşegenleştirilebilir olduğundan V yi H nin karakteristik uzayları olan V α lara parçalayabiliriz. Yani A C H nin özdeğerleri kümesi olmak üzere V = V α α A olarak yazılabilir. 3.2. Karakteristik Uzaylar Arasındaki Etkileşim Bu kısımda X ve Y matrislerin yukarıda sözü edilen parçalanışa nasıl etki ettiğine dikkat çekeceğiz. α A, ν V α olsun. O zaman H ( X(ν) ) = [ H, X] (ν) + X ( H (ν ) ) 24

3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ Dünya KARAPINAR = 2 X (ν) + α X (ν) = (α + 2) X(ν) olup X(ν) V α+2 dir. Benzer şekilde Y(ν) V α-2 olduğunu gösterebiliriz. H ( Y(ν) ) = [ H, Y] (ν) + Y ( H (ν ) ) = -2 Y (ν) + α Y (ν) = (α - 2) Y(ν) Ayrıca V β β A β α mod2 direkt toplamı, V nin bir alt temsilidir. V indirgenemez olduğu için, bazı α özdeğerleri ve bazı n N için A ={α+ 2j j {,,,n} } kümesi var olup. V = V α +2 j {, n} j dır. Bu durumu aşağıdaki şekilde açıklayabiliriz: Y V α X Y V α+2 X Y X V α+2n-2 Y X Y V α+2n X H H H H 25

3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ Dünya KARAPINAR 3.3. Genel Durum V α+2j özdeğer uzayının ne kadar büyük olduğu, özdeğerler kümesinin genelde nasıl göründüğü, verilen bir özdeğer kümesinin kaç tane indirgenemez temsilinin bulunduğunu araştıracağız. Önerme 3.3.: (Löh, 26) ν V α+2n \ {} olsun. O zaman V = j {,,n} C Y j (ν) ve her j {,,n} için X(Y j (ν)) = j (α + 2n j + ) Y j- (ν) dir. İspat:V nin yukarıdaki direkt toplamı içerdiği aşikardır. V indirgenemez olduğundan W = j {,,n} C Y j (ν) alt uzayının H ve X in etkisi altında kapalı olduğunu gösterelim. Her Y j (ν) H nin V α +2 j özdeğer uzayında olduğu için H(W) W dur. Her j {,,, n} için X(Y j (ν)) = j (α + 2n - j + ) Y j- (ν) ( W) olduğunu tümevarımla gösterelim. 26

3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ Dünya KARAPINAR X(Y (ν)) = X(ν) = W ve X(Y(ν)) = [ X, Y] (ν) + Y ( X (ν ) ) = H(ν) + = (α +2n) ν dir. j {,,n-} için eşitlik doğru olsun. X(Y j+ (ν)) = X (Y (Y j (ν)) ) = [ X, Y] (Y j (ν)) + Y ( X (Y j (ν)) ) = H (Y j (ν)) + Y (X (Y j (ν)) = (α+2n-2j) Y j (ν) + Y( j (α+2n-j+) Y j- (ν) ) = (j+) (α+2n-j) Y j (ν) Böylece W X etkisi altında kapalıdır. O halde V = W olur. Sonuç 3.3.2: (Löh, 26) Bir indirgenemez sl 2 (C) temsili için H nin tüm özuzayları boyutludur ve sl 2 (C) nin her bir indirgenemez temsili H nin özdeğerlerinin kümesiyle tek olarak bellidir. Ayrıca sl 2 ( C) nın bir indirgenemez temsili üzerinde H nin özdeğerlerinin kümesi sıfıra göre simetrik olan tamsayılar içerir : ν V α+2n \ {} olsun. Önerme 3.3. den biliyoruz ki, Y n+ (ν) = ve Y n dır. Önerme.3.3. in ikinci kısmından 27

3. TEMSİL TEORİSİNİN TEMELLERİ Dünya KARAPINAR = X ( Y n+ (ν) ) = (n+) (α-n) Y n (ν), olup α = n dir. Buna göre α bir tamsayı ve {α, α+2,,α+2n } kümesi sıfıra göre simetriktir. Diğer taraftan her n N için (n+) boyutlu bir indirgenemez sl 2 ( C ) temsili vardır öyleki H bu temsil üzerinde {-n, -n+2,,n} özdeğerler kümesiyle etki eder. Yani, bu temsil Önerme 3.3.. de verilen bağıntılar tarafından üretilen temsildir. 28

4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR 4. GENEL TEMSİLLER sl 2 ( C ) nin temsillerinin sınıflandırmasını gözönüne alarak genel durumu inceleyeceğiz. Bunun için önce sl 3 ( C ) nin temsillerine bakacağız. sl 2 ( C ) nin durumundan esinlenerek aşağıdaki strateji takip edilecektir:. sl 2 ( C ) nin H elemanının yerine konulacak eleman bulunacaktır. 2. Özdeğer fikri genellenecektir. 3. Özuzay parçalanışı üzerindeki etki incelenecektir. 4. sl 2 ( C ) nin verilen Lie cebiri içindeki kopyalarının yardımıyla özdeğerler kümesinin geometrisi analiz edilecektir. 5. Farklı özdeğerler ve ilgili devirli temsiller ve doğru simetriler bulunacaktır. Tanım 4.: F bir cisim ve g de F cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. K : g g F K(x,y) = Tr (adx ady) olarak tanımlanan dönüşüme g nin Cartan-Killing formu veya sadece Killing formu denir. Lemma 4.2: F bir cisim ve g de F cismi üzerinde bir Lie cebiri olsun. x, y, z g ve α, β F olsun. g üzerindeki Cartan Killing Formu aşağıdaki özelliklere sahiptir. K) K(αx + βy, z) = α K(x, z) +β K(y, z) K(x, αy + βz) = α K(x, y)+β K(x, z) K2) K(x, y) = K(y, x) 29

4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR K3) K( [x, y], z) = K( x, [y, z] ) 4.. Cartan Alt Cebiri ve Genelleştirilmiş Özdeğerler sl 2 ( C ) Lie cebirinin indirgenemez temsillerini analiz ederken H köşegen matrisinin bu temsiller üzerindeki etkisini incelemiştik. Bu kısımda H yerine uygun bir yapı, örneğin abelyen alt cebirler alınacaktır. Şüphesizki en büyük abelyen alt cebirler temsiller üzerinde en büyük etkiyi yapacaktır. Bu nedenle maksimal abelyen alt cebirleri düşüneceğiz. Bu bölümdeki sonuçlar (Löh, 26) dan alınmıştır. Tanım 4..: g bir Lie cebiri olmak üzere bir x g için adx köşegenleştirilebiliyorsa x e köşegenleştirilebilir eleman denir. Tanım 4..2: g bir yarı basit Lie cebiri ve A g nin köşegenleştirilebilir elemanlarının maksimal abelyen alt cebiri ise A ya g nin Cartan alt cebiri denir. Örnek 4..3: sl 2 ( C ) nin C H alt cebiri Cartan alt cebiridir. Daha genel olarak n N olsun. sl n (C ) içindeki köşegen matrislerin alt cebirine h diyelim. h sl n ( C ) nin Cartan alt cebiridir. Yani h köşegenleştirilebilir elemanların abelyen alt cebiridir. sl n ( C ) nin bütün köşegen matrislerle değişmeli olan bir elemanı köşegen olmak zorundadır. Böylece h maksimal olup ve Cartan alt cebiridir. Teorem 4..4: ( Cartan alt cebirinin varlığı ) Herhangi bir yarı basit Lie cebiri Cartan alt cebirine sahiptir. sl 2 ( C ) de herhangi bir temsil H köşegen matrisinin özdeğer uzaylarının bir toplamına parçalanır. Genel olarak şeçilen bir h Cartan alt cebirinin elemanları verilen bir temsil üzerinde aynı özdeğer ile etki etmezler. Fakat h nin elemanlarının 3

4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR özdeğerleri lineer bağımlı olup h neden olurlar. dual uzayındaki elemanların ortaya çıkmasına Tanım 4..5: Ψ :g gl(v) g yarı basit Lie cebirinin bir temsili ve h g nin Cartan alt cebiri olsun.. Ψ nin bir ağırlığı bir α h lineer fonksiyonelidir öyleki her x h için (Ψ(x)) (ν) = α (x) ν koşulunu sağlayan bir ν V\{} vektörü vardır. 2. Yukarıdaki bağıntıyı sağlayan bütün ν V lerin kümesine α ile ilişkili ağırlık uzayı denir ve V α ile gösterilir. V α nın boyutu α nın Ψ deki katlılığıdır. 3. g nin adjoint temsilinin sıfırdan farklı ağırlıklarına g nin kökleri denir. 4. Bir kök ile ilişkili ağırlık uzayına g nin bir kök uzayı denir. 5. h da g nin kökleri tarafından üretilen Z - alt modülüne g nin kök kafesi denir. Örnek 4..6: sl 2 ( C ) nin köklerini bulalım. sl 2 ( C ) nin bazı {X,Y,H} olup [ H, X ] = 2 X, [ H, Y ] = - 2 Y, [ X, Y ] = H olduğundan ad H (X) = 2 X ad H (Y) = -2 Y dir. O halde 2 ve -2 sl 2 ( C ) nin kökleridir. Örnek 4..7: sl 3 ( C ) nin köklerini bulalım. j, k {, 2, 3 } için e jk C 3 3 (j, k) bileşeni, diğer bileşenleri olan matristir. Ayrıca H jk = e jj - e kk olsun. O halde h = C H 2 + C H 3 + C H 23 sl 3 ( C ) nin Cartan alt cebiridir. 3

4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR h nin sl 3 ( C ) üzerindeki etkisine bakalım. j {, 2, 3 } için L j : h C dönüşümü x x 2 x 3 x j olarak tanımlansın. Her j, k, r,s {, 2, 3 } j k ve r s için [H jk, e rs ] = ((L r - L s ) (H jk )) e rs. ad H jk (e rs ) = ((L r - L s ) (H jk )) e rs. olup L j L k sl 3 ( C ) ün kökleridir. Örnek 4..8: sl 3 (C ) nin C 3 üzerindeki standart temsilinin ve dual temsilinin ağırlıklarını hesaplayalım. j {, 2, 3} için e j C 3 j-yinci birim vektör olsun. Her k {, 2, 3} için H jk e r = δ jr e r - δ kr e r = L r (H jk ) e r. dir. Yani, L, L 2, L 3 standart temsilin ağırlıklarıdır. Önerme 4..9 dan - L, - L 2, - L 3 de sl 3 ( C ) nin standart temsilinin dualinin ağırlıklarıdır. İndirgenemez temsillerin sınıflandırılmasında sl 2 ( C ) Lie cebirinde olduğu gibi köklerin ve ağırlıkların analizi ilk adımı oluşturur. 32

4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR Önerme 4..9: (Birleşik temsillerin ağırlığı) Ψ v : g gl(v) ve Ψ w :g gl(w) bir g Lie cebirinin iki temsili olsunlar.. α ve β sırasıyla Ψ v ve Ψ w nun ağırlıkları ise α+β Ψ v Ψ w nin ağırlığıdır. 2. α hem Ψ v hem de Ψ w nun ağırlığı ise α aynı zamanda Ψ v Ψ w nun ağırlığıdır. * 3. α Ψ v nin ağırlığı ise -α Ψ v ın ağırlığıdır. İspat :. α ve β sırasıyla Ψ V ve Ψ W nun ağırlıkları olsun. Yani, (Ψ v (x)) (ν) = α (x) ν ve (Ψ w (x)) (w) = β (x) w olsun. (Ψ V Ψ W ) (x) (ν w) = (Ψ V (x)) (ν) w + ν (Ψ W (x)) (w) = ( α (x) ν ) w + ν ( β (x) w ) = α (x) ( ν w )+ β(x) ( ν w ) = ( α(x) + β(x) ) ( ν w ) = (α + β)(x) ( ν w ) olur. O halde Ψ v Ψ w nin ağırlığı α+β dır. 2. α hem Ψ v hem de Ψ w nun ağırlığı olsun. Yani, olsun. (Ψ v (x)) (ν) = α (x) ν ve (Ψ w (x)) (w) = α (x) w (Ψ v Ψ w )(x) (ν+w) = Ψ v (x) ν + Ψ w (x) (w) 33

4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR = α (x) ν + α(x) w = α(x) ( ν+w) olur. O halde Ψ v Ψ w nun ağırlığı α dır. 3. α Ψ v nin ağırlığı olsun. Yani, olsun. (Ψ v (x)) (ν) = α (x) ν ( Ψ V * (x) ) (ν) = (-Ψ T (x) ) (ν) = -( α(x) ) (ν) olur. O zaman Ψ V * ın ağırlığı -α olur. 4.2. Temsillerin Ağırlık Uzaylarına Parçalanışı Bu kısımda bir Lie cebirinin Cartan parçalanışını inceleyeceğiz. Teorem 4.2.: (Cartan parçalanışı) g bir yarı basit Lie cebiri, h Cartan alt cebiri ve A g nin köklerinin kümesi (h ye göre) olsun. O zaman g Lie cebiri g = h g α α A olarak parçalanır. Burada g α α ya karşılık gelen kök uzayıdır. Örnek 4.2.2: sl 2 ( C ) de [ H, X ] = 2X, [ H, Y ] = -2Y, [ X, Y ] = H olup sl 2 ( C ) nin kökleri 2 ve -2 dir. 2 ve -2 ye karşılık gelen kök uzayları sırasıyla C X ve C Y ve sl 2 ( C ) nin Cartan alt cebiri C H olup sl 2 ( C ) nin Cartan parçalanışı 34

4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR sl 2 ( C ) = C H C X C Y şeklindedir. Örnek 4.2.3: sl 3 ( C ) nin h = C H 2 C H 23 Cartan alt cebirine göre Cartan parçalanışı sl 3 ( C ) = h C e jk j {,2,3} k {,2,3}\{j} şeklindedir. parçalanabilir. Herhangi bir temsil Teorem 4.2.. dekine benzer şekilde ağırlık uzaylarına Teorem 4.2.4: (Ağırlık uzaylarına parçalama) ψ : g gl(v) bir g yarı basit Lie cebirinin bir temsili ve A ψ ψ nin ağırlıkları kümesi olsun. O halde V = V α α A ψ dır.(yani ağırlık uzaylarının direkt toplamı şeklindedir.) 4.3. Kök Uzayları ve Ağırlık Uzayları Arasındaki İlişkiler sl 2 ( C ) Lie cebirinde olduğu gibi, kök uzayları bir temsilin ağırlık uzaylarına parçalanışı üzerinde güzel bir etkiye sahiptir. Önerme 4.3.: (Ağırlık uzaylarına parçalanış üzerindeki etki) Ψ: g gl(v) bir g yarı basit Lie cebirinin bir temsili ve h g nin bir Cartan alt cebiri olsun.varsayalımki g = h g α α A 35

4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR Cartan parçalanışı ve V = V α α A Ψ V nin ağırlık uzaylarına parçalanışı olsun. O zaman. Bütün α A kökleri ve bütün β A Ψ ağırlıkları için g α V β V α+β dır. 2. Eğer Ψ indirgenemez ise V = V α+β α A olacak şekilde bir β h * vardır. İspat: y g α ve z V β olsun. Her x h için Ψ (x) (Ψ(y)z ) = (α + β) (x) Ψ(y)z olduğunu göstermek yeterlidir. gl(v) üzerindeki Lie çarpımının tanımından her x h için Ψ(x) (Ψ(y)z ) = [ Ψ(x), Ψ(y) ] gl(v) (z) + Ψ(y) (Ψ(x)z) = Ψ ( [ x,y ] g ) (z) + Ψ (y) (β(x) z ) = Ψ (ad(x) y) z + β(x) Ψ (y)z = α(x) Ψ (y)z + β(x) Ψ (y)z 36

4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR elde edilir. bir araçtır. Bu önerme temsillerle çalışırken, ağırlık uzaylarına parçalanış için önemli Tanım 4.3.2: Ψ : g gl(v) g yarı basit Lie cebirinin bir temsili ve h g nin Cartan alt cebiri olsun. Ψ nin h nin dual uzayı içerisinde olan ağırlıklarının kümesine Ψ nin ağırlık diagramı denir. Bundan sonra, indirgenemez temsillerin ağırlık diagramlarının temelinde yatan geometrik yapıyı araştıracağız. 4.4. Parçaları Araştırmak Verilen bir Lie cebirinin ağırlıklarının tüm konfigürasyonları bazı indirgenemez temsillere ait olmayabilir. Hangi konfigürasyonların ait olduğunu bilmek önemlidir. Bazı durumlarda her yarı basit Lie cebiri sl 2 ( C ) nin kopyalarından inşa edilir ve sl 2 ( C ) nin temsil teorisi, olası ağırlık diagramının geometrisinin kurallarından bazılarını bulmamız için bize yardım eder. Önerme 4.4.: ( sl 2 ( C ) nin kopyalarını belirleme ) g bir yarı basit Lie cebiri ve g = h g α g nin Cartan parçalanışı olsun. Her α A kökü için α A s α = g α g -α [ g α, g -α ] direkt toplamı Lie çarpımı ile birlikte g nin sl 2 ( C ) ye izomorf olan bir alt cebiridir. İspat: α g nin bir kökü olsun. O halde -α da g nin bir köküdür. Ayrıca g α ve g -α kök uzaylarının her ikisi de bir boyutludur ve [ g α, g -α ] ve [ [ g α, g -α ], g α ] olur. 37

4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR [ H, X ] = 2 X, [ H, Y ] = -2 Y ve [ X, Y ] = H koşulunu sağlayan X g α, Y g -α ve H [ g α, g -α ] bulabiliriz. Böylece s α sl 2 ( C ) ye izomorfik olur. Bu bölümün geri kalan kısmında genellikle aşağıdaki gösterimleri kullanacağız. Not 4.4.2: g bir yarı basit Lie cebiri, h g nin Cartan alt cebiri ve g = h g α α A g nin Cartan parçalanışı olsun. Her α A kökü için s α = g α g -α [ g α, g -α ] yazacağız ve [ H α, X α ] = 2 X α, [ H α, Y α ] = -2 Y α ve [ X α, Y α ] = H α eşitliklerini sağlayan X α g α, Y α g -α ve H α [ g α, g -α ] üreteçlerini şeçeceğiz. H α nın, s α sl 2 ( C ) cebirinin herhangi bir temsili üzerindeki özdeğerleri tamsayılardır. Bu durum Ψ nin s α ya kısıtlaması olan bütün Ψ s α kısıtlamaları için de doğru olduğunu aşağıdaki önerme ile görülmektedir. Önerme 4.4.3: Eğer β h g yarı basit Lie cebirinin bir temsilinin bir ağırlığı ise o zaman her α A için β(h α ) tamsayıdır. Tanım 4.4.4: Her α A için β(h α ) Z koşulunu sağlayan β h fonksiyonellerinin kümesine g nin ağırlık kafesi denir. Ayrıca, bir yarı basit Lie cebirinin bir temsilinin bütün ağırlıkları kendi ağırlık kafesi tarafından içerilir. 38

4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR 4.5. Simetriler sl 2 ( C ) nin ağırlık diyagramları sıfıra göre simetrik olup s α alt cebirleri bu simetrileri genel duruma taşır. Bu durumda simetri grubu yansımalar tarafından üretilir. Tanım 4.5.: Her α h kökü için W α α ya ortogonal olan hiperdüzlemde W α : h h β β - 2 β α ( H α ) ( H ) α α = β - β(h α ) α yansıması olsun. g nin W(g) ile gösterilen Weyl grubu End(h ) ın (W α ) α A yansımaları tarafından üretilen alt grubudur. Yansıma kelimesi h dual uzayı üzerinde uygun bir iç çarpım tanımlanarak anlaşılır hale getirilebilir. Örneğin, böyle bir iç çarpım için killing formu örnek verilebilir. Öncelikle, Weyl grubunun tanımı bir Cartan alt cebirinin bir seçimine bağlıdır fakat bu grup gerçekte şeçilen Cartan alt cebirinden bağımsızdır. Önerme 4.5.2: (Ağırlıkların simetrileri) Bir g yarı basit Lie cebirinin herhangi bir temsilinin ağırlıkları W(g) Weyl grubunun etkisi altında invaryantır. Ayrıca herhangi bir temsilin ağırlıklarının katlılığı da Weyl grubu altında invaryantır. İspat: Ψ : g gl(v) g nin bir temsili olsun. α h g nin bir kökü, β h Ψ nin ağırlığı olsun. O zaman V [β] = n Z V β+n. α 39

4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR V üzerinde s α - temsil olan res g s α temsilinin bir alt temsilidir. sl 2 ( C ) temsillerinin sınıflandırılmasından dolayı H α nın V [β] üzerindeki özdeğerlerini biliriz. Yani S = { β+n α n Z, V β+n α } olmak üzere S(H α ) kümesi orjine göre simetriktir. Uygun bir n N için β ya α nın katları eklenerek oluşturulan S = { β, β+α,,β+n α } kümesini düşünebiliriz. α(h α ) = 2 ve S simetrik olduğundan -β(h α ) = β(h α ) + 2 n elde edilir. Böylece n = -β(h α ) olur. Sonuç olarak W α S = { W α (β + j α) j {,,n} } = { β + j α - (β + j α) (H α ) α j {,,n} } = { β + (n j) α j {,,n} } = S dir. Buradan anlaşıldığı üzere V [β] nın ağırlıkları W α nın etkisi altında invaryanttır. Böylece V nin bütün ağırlıklarının kümesi de W α altında invaryant olur. ( ve W(g) altında ). Aynı hesaplarla kök katlılıklarının da Weyl grubunun etkisi altında invaryant olduğu gösterilebilir. 4.6. Yüksek Ağırlıklar sl 2 ( C ) nin indirgenemez temsillerini sınıflandırırken özdeğerlere bir sıralama veririz. Genel durumda, ağırlıkların böyle bir lineer sıralaması söz konusu 4

4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR olmayabilir. Fakat yine de en yüksek ağırlık olarak adlandırılan farklı ağırlıklar vardır. Tanım 4.6.: l g Lie cebirinin kök kafesi üzerinde tanımlı, kök kafesine göre irrasyonel olan bir fonksiyonel olsun.. Eğer l (α) > ise g nin α h * olacak şekilde bir köküne pozitif kök denir. Eğer bir kök pozitif değilse negatiftir. Kök uzayının böyle bir parçalanışına g nin köklerinin bir sıralaması denir. 2. Bir Ψ : g gl(v) temsilinin bir en yüksek ağırlığı, Ψ nin bir en yüksek ağırlık vektörünün ağırlığıdır. 3. Ψ temsilinin bir en yüksek ağırlık vektörü g nin her pozitif α kökü için g α ν= koşulunu sağlayan ve V nin bir ağırlık uzayında bulunan bir ν V \ {} vektörüdür. Önerme 4.6.2: (İndirgenemez temsillerin en yüksek ağırlıkları) g bir yarı basit Lie cebiri ve A = A + A - g nin köklerinin bir sıralaması olsun.. g nin sonlu boyutlu herhangi bir temsili bir en yüksek ağırlık vektörüne sahiptir. 2. Eğer ν g nin bir temsilinin en yüksek ağırlık vektörü ise o zaman α A - olmak üzere g α kök uzaylarının ν ye ardışık uygulanmasıyla üretilen W alt uzayı g nin bir indirgenemez alt temsilidir. 3. g nin bir indirgenemez temsilinin en yüksek ağırlık vektörü sabitler göz önüne alınmazsa tek olarak bellidir. İspat:. Temsilin boyutunun sonlu oluşu ve Teorem 4.2.4. nedeniyle sonuç açıktır. 4

4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR 2. Ψ : g gl(v) g nin bir temsili ve ν Ψ nin en yüksek ağırlık vektörü olsun. n N için w n uzunluğu en çok n olan ve negatif kökleri kök uzaylarının elemanlarını içeren bir kelime olmak üzere w n ν formundaki tüm vektörlerin ürettiği alt uzay W n olsun. O zaman W = n N W n olur. İlk olarak, W nun Ψ nin alt temsili olduğunu gösterelim. Bunun için W nun pozitif kök uzaylarındaki bütün elemanların etkileri altında invaryant olduğunu göstermek yeterlidir. ( Çünkü Cartan cebiri W üzerinde köşegen olarak etki eder). Her n N ve her x g α ve α A + olmak üzere x W n W n+ ifadesini tümevarımla gösterelim. ν Ψ nin bir en yüksek ağırlık vektörü olduğu için n = durumunda ifade sağlanır. x g α, α A + ve w W n olsun. W n in tanımından w W n-, y g β ve β A - olmak üzere w = y w yazabiliriz. O halde [ x, y ] g α+β olmak üzere x w = x y w = [ x, y] w + y x w olur. (Önerme 4.3.) Eğer α + β A - ise, W n in tanımından [ x, y] w W n W n+ olur. Eğer α + β A - ise, o zaman tümevarımdan [ x, y] w W n W n+ 42

4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR olur. Eğer α + β = ise, o zaman [ x, y ] Cartan cebirindedir ve böylece [ x, y] w W n- W n+ olur. Ayrıca, ikinci toplamdan W n W n+ dir. Yani y x w W n W n+ dir. Böylece W Ψ nin alt temsilidir. W nun en yüksek ağırlık uzayı, yani W bir boyutlu olduğu için Önerme 4..9. dan W indirgenemezdir. 3. Önerme 4.3. ve ikinci kısımdan elde edilir. Tanım 4.6.3: g bir yarı basit Lie cebiri, h Cartan alt cebiri ve A=A + A - bir sıralaması olsun. Bu sıralamaya göre Weyl çemberi köklerin her β A + için α(h β ) koşulunu sağlayan tüm α h * elemanlarının kümesidir. 4.7. Sınıflandırma Tanım 4.7.: Kısmi sıralı bir kümenin tam sıralı bir alt kümesine bir zincir denir. Tanım 4.7.2: Eğer bir zincirin herhangi iki a, b elemanı için zincire ait olacak şekilde sonlu bir a = a, a,, a n =b dizisi varsa ve i =,,n için a i-, a i mukayese edilebiliyorsa zincire bağlantılı zincir denir. Teorem 4.7.3: g bir yarı basit Lie cebiri, A = A + A - g nin köklerinin bir sıralaması ve C bu sıralamaya karşılık gelen Weyl çemberi olsun. Ayrıca Λ g nin ağırlık kafesi olsun. O zaman 43

4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR. Her α C Λ için en yüksek ağırlığı α olan ( sonlu boyutlu ) bir tek Γ α temsili vardır. 2. Böylece C Λ ile g nin (sonlu boyutlu ) indirgenemez temsillerinin izomorfizm sınıflarının kümesi arasında bijeksiyon vardır. 3. Γ α nın ağırlıklarının kümesi aşağıdaki anlamda konvekstir: Eğer β h * ve γ g nin herhangi bir kökü ise o zaman ağırlıkların kümesi ile {β+n γ n Z } doğrusunun kesişimi bağlantılı bir zincirdir. 4. g nin herhangi bir temsili ağırlıklarının katlılığı ile tek olarak bellidir. İspat: Bu teoremin ispatı (Löh, 26) da bulunabilir. 4.8. Temsil Halkalarının Yapısı Yarı basit Lie cebirlerinin indirgenemez temsillerinin içindeki ağırlıklarının katlılığını hesaplamak için genel teknikler vardır. Tanım 4.8.: g bir yarı basit Lie cebiri, Λ g nin ağırlık kafesi olsun. Λ abelyen grubunun Z üzerindeki grup halkasını Z [Λ] ile gösterelim. O zaman V λ λ ya karşılık gelen ağırlık uzayı olmak üzere g Lie cebirinin karakter homomorfizmi χ : R(g) Z [Λ] [V] λ Λ dim V λ λ olarak tanımlanır. Bir temsilin karakteri ağırlık diagramı olarak değerlendirilebilir. Bu bakımdan, ağırlık diagramlarının bütün resimleri temsillerin karakterlerinin resimleri olarak yorumlanabilir. 44

4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR Tanım 4.8.2: g bir yarı basit Lie cebiri olsun. g nin köklerinin bir sıralamasının verilmiş olduğunu varsayalım. Bu sıralamaya göre g nin temel ağırlıkları, Weyl çemberinin kenarları ile çakışan sıfırdan farklı ilk ağırlıklardır. Teorem 4.8.3: (Yarı basit Lie cebirlerinin temsil halkaları) g, temel ağırlıkları w,,w n olan yarı basit bir Lie cebiri ve Γ,, Γ n karşılık gelen indirgenemez temsiller olsun. O zaman R(g) temsil halkası Γ,, Γ n değişkenleri üzerinde bir polinom halkasıdır ve karakter homomorfizmi R(g) Z [Λ] W(g) izomorfizmini belirler. 45

4. GENEL TEMSİLLER Dünya KARAPINAR 46

5. sl 2 ( C ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR 5. sl 2 ( C ) NİN TEMSİLLERİ sl 2 ( C ) = a c b a : a,b,c C cebirinin [A,B] = AB BA işlemiyle birlikte bir Lie cebiri olduğunu hatırlayalım. Öncelikle sl 2 ( C ) Lie cebirinin bir bazı H =, X =, Y = olup [ H, X ] = 2X, [ H, Y ] = - 2Y, [ X, Y ] = H bağıntıları sağlanır. Bu bölümdeki tüm önermeler (Banu, 26) dan alınmıştır. Örnek 5.: Aşağıda sl 2 ( C ) nin temsillerinin örnekleri verilmiştir.. sl 2 ( C ) den gl 2 ( C ) içine olan l : sl 2 ( C ) gl 2 ( C ) monomorfizm ( gömme dönüşümü ) bir temsil tanımlar. 2. V = C [ x,y ] polinom halkası olsun. Eğer 47

5. sl 2 ( C ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR X x y, H x x - y y, Y y x ise o zaman bu homomorfizm C [ x,y ] nın bir sl 2 ( C )- temsilini tanımlar. Derecesi k olan homojen polinomları Sym k ( V ) ile gösterelim. Örnek 5.2: k = 3 olsun. Sym 3 ( V ) derecesi 3 olan homojen polinomların kümesidir. sl 2 ( C ) cebiri Sym 3 ( V ) nin {x 3, x 2 y, xy 2, y 3 } baz kümesine aşağıdaki şekilde etki eder. X = x y H = x x - y y Y = y x x 3 3 x 3 3 x 2 y x 2 y x 3 x 2 y 2 xy 2 xy 2 2 x 2 y - xy 2 y 3 y 3 3 xy 2-3 y 3 Sym 3 ( V ) nin bu baz kümesine göre X, H ve Y nin matrisi X = 2 3, H = 3, Y = 3 3 2 şeklindedir. V, sl 2 ( C ) nin indirgenemez sonlu boyutlu bir temsili olsun. Jordan Parçalanışının koruma teoremini kullanarak H nin V üzerindeki etkisinin köşegenleştirilebilir olduğunu gösterebiliriz. α C ve her ν V α vektörü için Hν = αν olacak şekilde 48

5. sl 2 ( C ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR V = V α parçalanışı vardır. Şimdi X ve Y nin çeşitli V α uzayları üzerindeki etkisini inceleyeceğiz. X ve Y nin V α alt uzaylarını diğer V β alt uzaylarına taşıdığını göstereceğiz. Önerme 5.3: ν V α olsun. O zaman. Xν V α+2 2. Yν V α-2 dir. İspat:. H X ν = X H ν + [ H, X ] ν = α X ν + 2 X ν = ( α +2 ) X ν Eğer ν H için α özdeğerine karşılık gelen özvektör ise o zaman X ν de H için α + 2 özdeğerine karşılık gelen özvektör olur. Tümevarımdan H (X k ν ) = (α + 2k ) X k ν olur. 2. Benzer şekilde H Y ν = Y H ν + [ Y, H ] ν = ( α - 2) Y ν olur ve tümevarımdan 49

5. sl 2 ( C ) NİN TEMSİLLERİ Dünya KARAPINAR H (Y k ν ) = (α - 2k ) Y k ν elde edilir. Bu gerçeğin ve V nin indirgenemezliğinden dolayı bir α için k Z V α+2k alt uzayı sl 2 ( C ) altında invaryant olup V ye eşittir. Ayrıca H nin özdeğerlerinin kümesi bazı m Z için α, α + 2,, α + 2m formundadır. Biz bu dizinin en son elemanını n ile gösterelim. n nin kompleks sayı olduğunu biliyoruz, fakat n nin tamsayı olduğunu kanıtlayacağız. Bir ν V n vektörü şeçelim. V n+2 = {} olduğu için X ν = dır. sl 2 ( C ) nin V üzerindeki etkisini aşağıdaki diyagramla görebiliriz: X X X V n-4 Y Y V n-2 V n Y H H H Şimdi Y nin ν vektörü üzerindeki etkisini inceleyelim. Önerme 5.4: ν V α için X ν = olsun. O zaman X ( Y m ν ) = m ( α - m + ) Y m ν dir. İspat : m üzerinde tümevarımla gösterelim. 5