36 KÜÇÜK TİTREŞİMLER A) HARMONİK OSİLATÖRLER B) LAGRANGE FONKSİYONU C) MATRİS GÖSTERİMİ D) TİTREŞİM FREKANSLARI E) ÖRNEKLER F) SONLU GRUPLAR VE TEMSİLLERİ G) METOT H) ÖRNEKLER - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A) HARMONİK OSİLATÖRLER Ço geniş bir potansiyel sınıfı için, denge notası etrafında üçü salınımlar harmoni osilatör arateri gösterir. -Boyutta o o U x U x 3 U x U x Ux x x x x x x... o o o o o! 3! Taylor açılımında, genelliten ayrılmadan Ux 0 seçilebilir, uvvet, yani o U x o ise denge notasında sıfıra eşittir. 'Küçü' salınımlarda ise N > için x x o N terimleri ihmal edilere ve U x o 'Yay Sabiti' tanımı yapılara U x x x elde edilir. Bu yalaşımın 3-Boyuta genellemesi o U r r r N o biçiminde olacatır. N adet notasal ütlenin N adet 'Yay'la bağlı durumda ve dengede olduğu bir yapının titreşim freansları, moleül
37 fiziğinin önemli bir onusudur. Böyle bir yapının 3 tane 'Doğrusal Hareet' serbestli derecesi yanısıra lineer moleüller için, lineer olmayan moleüller için ise 3 'Dönme' serbestli derecesi vardır. Toplam 3N serbestli derecesinden 5 veya 6 çıartılara elde edilen sayı ise 'Titreşim' serbestli derecesini verecetir. Yapıları -Boyutta inceleren doğrusal hareet, dönme, dolayısıyla N 3 titreşim; -Boyutta ise doğrusal hareet ve N 3 titreşim serbestli derecesi bulunur. B) LAGRANGE FONKSİYONU N N yay ile bağlı duran N parçacığın Lagrange fonsiyonu, parçacıların gerçe uzalığı r r i j, denge uzalığı ise r r io jo olma üzere L N N ij m r i i r r r r i j io jo i i, j i j olara yazılır. C) MATRİS GÖSTERİMİ Lagrange fonsiyonunun matris gösteriminde yazılması zahmetli anca uzun vadede hesapları ço olaylaştıran bir işlemdir. İl olara denge uzalıları r r ij io jo ve denge onumundan sapmalar r r,, olara i i io i i i tanımlanır. r i olduğu için ineti enerji olayca i N K. E. i m i i olara yazılır. Potansiyel enerji için ise
38 r r r r r r r r i j io jo io i jo j io jo = ij i j ij + yazılır ve ij ij i j i j ij oluşundan yararlanara önce ij i j terimi ihmal edilir, sonra da binom açılımı ile r r r r ˆ i j io jo ij i j sonucuna ulaşılır. Yeni oordinatlarda Lagrange fonsiyonu i j L N N m i ij ˆ i ij i j i i, j i j ile verilir. Doğal olara ineti enerji terimi parçacılar üzerinden, potansiyel enerji terimi ise yaylar üzerinden toplam yapılara elde edilecetir. Kineti enerji terimi matris gösteriminde olayca m 0 0 0 0 0 0 0 m 0 0 0 0 0 0 0 m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 N N N 0 0 0 0 m 0 0 N N 0 0 0 0 0 m 0 N N 0 0 0 0 0 0 mn N olara ifade edilir. Potansiyel enerji teriminin matris gösterimini elde ederen yavaş ve ademeli gitme gereir. -Boyutlu problemlerde ij yay'ın potansiyel enerjisi ˆ ij i j i ve j 'inci parçacılar arasında yer alan ile verilir. ˆ ij olduğu
39 ij için de i i j j, veya matris gösteriminde ij i i j j biçiminde yazılır. -Boyutlu problemlerde bu işlem biraz daha zordur : ˆ cos, ˆ sin ij ij ij ij x y ullanılara ˆ ij ij cos sin ij i j ij i j ij i j ij cos ij i i j j ij cos sin ij ij i i i j j i j j ij + sin ij i i j j ifadesi matris gösteriminde ij cos cos sin cos cos sin ij ij ij ij ij ij i cos sin sin cos sin sin ij ij ij ij ij ij i i i j j cos cos sin cos cos sin ij ij ij ij ij ij j cos sin sin cos sin sin ij ij ij ij ij ij j biçiminde yazılır. Bu gösterimdei 4 4 matrisin yapısının K ij A A A A olduğu görülmetedir. D) TİTREŞİM FREKANSLARI D-Boyutta N N adet yay'la bağlı N parçacı probleminin geretirdiği ND tane genelleştirilmiş artezyen oordinat bir vetör olara
40 biçiminde tanımlanırsa Lagrange fonsiyonu da K N N N L M K olara yazılır. Bu denlemde ve M hermitsel, M ayrıca diyagonaldir. Lagrange fonsiyonundan elde edilen hareet denlemleri : M K veya M K olur. Çözüm için t exp( it) 0 varsayımı yapara problem M K 0 0 özdeğer denlemine indirgenir. Özdeğerlerin benzerli dönüşümleri altında değişmezliği ullanılara Spetrum Spetrum M K Spetrum M K M M K K M Spetrum A A elde edilir ve bu özdeğerlerin pozitif oldularını ve olara yazılabileceğini garanti eder. Böylece incelenen yapının freanslarını, bunlara arşılı gelen 0 özvetörleri de hareet iplerini verecetir. Gerçe hayat 3-Boyutlu olduğu halde, yapının izin verdiği durumlarda problemi daha üçü boyutlarda çözme olaylı sağlar, anca bu durumda gözardı edilen tüm özdeğerler sıfır olur, özvetörlerin ise tecrübe ve sezgi yoluyla bulunması gereir.
4 E) ÖRNEKLER a) -Boyutta H Moleülü En olay örne diatomi bir moleülün -Boyutta incelenmesidir. 0 0 m M m, K, M K : 0, m ullanılara 0 :,, bulunur. Bunlar : doğrusal hareet ve titreşim ipleridir. Göz ardı edilen 4 oordinatı da içeren 6 6 boyutta bir hesap yapılmış olsaydı 4 tane daha sıfır freans elde edilece ve bunlara arşılı gelen hareetler : : y yönünde doğrusal hareet : z yönünde doğrusal hareet : y eseni etrafında dönme : z eseni etrafında dönme olacatı. b) -Boyutta CO Moleülü ( O == C == O ) : 0 0 0 0 K 0, K 3 0 0 0 0 0
4 0 K, 0 M m 6 0 0 0 0 0 0 6 M K 3 3 0 4 8 4 48 m 0 3 3 : 0, 6m, 48m 0 :, 0, 8 3,, Göz ardı edilen 6 oordinatı da içeren 9 9 boyutta bir hesap yapılmış olsaydı 6 tane daha sıfır freans elde edilece ve bunlara arşılı gelen hareetler : : y yönünde doğrusal hareet : z yönünde doğrusal hareet : y eseni etrafında dönme : z eseni etrafında dönme : xy düzleminde 'anat çırpma' titreşimi 0! : xz düzleminde 'anat çırpma' titreşimi 0!
43 c) -Boyutta Cyclopropane C 3 H 6 moleülü : 3 M K 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 m 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 4 4 4 4 0 0 3 3 3 3 4 4 4 4 0 0 3 3 4 4 4 4 0 0 3 0 3 3 3 4 4 4 4
44 K 3 3 0 0 3 4 4 4 4 3 0 3 0 0 3 3 4 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 3 4 4 4 4 3 3 0 0 3 3 4 4 4 4 M K 5 3 4 0 3 3 3 0 0 3 3 4 0 5 3 3 56 m 0 0 3 3 3 3 3 3 0 3 3 3 3 0 6 yardımıyla : 0, 0, 0 0 : 0 0 3 0, 0, 3 0 0 0,
45 : x yönünde doğrusal hareet : y yönünde doğrusal hareet : z eseni etrafında dönme 0 : 3 3 6 :,, 8m 8m 8m 3 3 3 3 3,, 3 0 0 0 Titreşimler :,,
46 Göz ardı edilen 3 oordinatı da içeren 9 9 boyutta bir hesap yapılmış olsaydı 3 tane daha sıfır freans elde edilece ve bunlara arşılı gelen hareetler : : z yönünde doğrusal hareet : x eseni etrafında dönme : y eseni etrafında dönme olacatı. Deneysel sonuçlardan 3 8m 3.65 0 Hz ve 6 8m 3 3.66 0 Hz elde edildiği için C = C bağının yay sabitinin 0.7 N m olduğu görülmetedir. Moleüler titreşimlere 'Grup Teorisi' yoluyla da yalaşma ilginçtir. F) SONLU GRUPLAR VE TEMSİLLERİ Belli sayıda soyut cebirsel nesne ve bunları birleştiren 'çarpım' adı verilen te bir işleme dayalı yapılara 'Grup' denir. n farlı elemandan oluşan bir G= A, B, C,..., Z üme'sinin grup olabilmesi için gereli 4 şart vardır :
47 A B A B i), G G ii) iii) G A A G iv) ABC ABC G Özel bir durum olara, tüm grup elemanlarının AB BA sağladığı durumlarda grup 'Abelyen' olara adlandırılır. 'Grup Çarpım Tablosu' o grup haında bilinebilece herşeyi içerir. Mesela C 3 grubu için çarpım tablosu A B A B A A B B B A olur; utu dışı elemanlar il satır ve sütunda aynen yer aldığı için ileride bunlar yazılmayacatır. Her elemanın, her satır ve sütunda bir ve sadece bir ere yer alması geretiği olayca gösterilebilir. Grubun, tüm benzerli dönüşümleri altında aynı alan alt ümelerine 'Sınıf' adı verilir. Grubun g i elemanını içeren n c elemanlı bir sınıf c i n g olara gösterilir. Soyut grup elemanlarını are matrislerle temsil etme, somut hesaplar yapabilme açısından önemlidir. Her elemana aynı benzerli dönüşümü uygulanınca çarpım tablosu aynı alacağı için sonsuz adet temsil vardır. Fizi problemlerinde, normları aynı bıratıları için üniter temsiller tercih edilir, anca bunlardan da sonsuz adet vardır. Matrislerin 'İz' leri benzerli dönüşümleri altında aynı aldığı için, temsil matrislerini 'İz'leri ile etietleme sınıflandırma işlemini en basite indirger. Doğal olara belli bir sınıfın
48 temsillerinin izleri aynıdır. Grup temsilinin Sınıf'larını ve bunların İz'lerini sergileyen tabloya 'Karater Tablosu' denir. 'İndirgenemez Temsil' sayısı, 'Sınıf' sayısına eşittir, dolayısıyla arater tablosu are bir tablodur. c adet sınıftan oluşan n elemanlı bir grubun indirgenemez temsillerinin boyutları olan d i sayıları, c di n denlemini i sağlar. Abelyen gruplarda her bir eleman endi başına bir sınıf oluşturduğu için tüm temsiller -Boyutludur. Karater tablosu c c are bir X matrisi olara alınıp, C diyagonal matrisi ise C i j n c i olara tanımlanınca elde edilen i j n X C X C X X denlemleri arater tablosunun inşa edilmesinde ve doğrulanmasında yararlı olur. Gelenesel olara il temsil : R, -Boyutludur ve sadece 'lerden oluşur. G) METOT Titreşimler onusuna grup teorisi yönünden yalaşma bize sadece hareet iplerini verir, zira incelenen yapının geometrisi ve simetrileri, iplerle yaından ilintilidir. Anca simetri gruplarının dinami içeriği olmadığı için freansları bu yolla elde etme imansızdır. Titreşim iplerinin saptanması analizine geçmeden notasyon haında bir uyarı : onunun tüm vetörleri satır vetörü olacağı için ısaca V olara yazılaca, V T gösterimine gere duyulmayacatır. Metodun ana hatları ve adımları : i) D-Boyutta, N parçacığın oluşturduğu yapıyı aynı bıraan işlemlerin saptanıp, simetri grubunun çarpım tablosu oluşturulur,
49 ii) Sınıflar saptanır, C ve X matrisleri oluşturulur, iii) Bu işlemler zincirinin en zor halası ND ND boyutlu 'Kartezyen' indirgenebilir temsilinde Sınıf'ların İz'lerini sergileyen bir Z vetörünün inşasıdır. Bu işlem ii ademede gerçeleştirilir. Önce simetri işlemlerinde aç parçacığın yerinde aldığını belirten Y vetörü bulunur; doğal olara bunu her Sınıf'ın sadece bir elemanı için yapma yeterli olur. Sonra da, yer değiştiren parçacılar atı vermeyeceği için sadece yerinde alan parçacılar için, gene her Sınıf için bir tane, simetri işlemlerinin D D boyutlu Yerel Kartezyen oordinatlarının dönüşüm matrislerinin İz'leri alınır. İz'lerin vetörü K olara Z Y K isimlendirilip * i i i tanımı yapılır. iv) W Z W Z X X W Z C X formülü ullanılara c-boyutlu bir W : 'Ağırlı' vetörü oluşturulur, v) Ağırlı vetöründen Doğrusal Hareet ve Dönme'lere ait temsiller düşülere Titreşim temsilleri elde edilir ve titreşim ipleri canlandırılır. Bu adımlar düşü boyutlarda, basit yapılar için anlamsız gözüse de 3-Boyutlu armaşı yapılarda vazgeçilmez olacaları için titizlile uygulanmalıdır. D -Boyutta, N parçacığın ND serbestli derecesi olacatır. Bu sayıdan, D-Boyutta Doğrusal hareet ve Dönmelerden oluşan Euclid grubu E D 'nin DN D serbestli derecesi düşülünce, titreşimler için # V D D adet sayısına inilir. Anca
50 3-Boyutta dönme serbestli derecelerinin uantum meaniğinden aynalanan bir özelliğini de hesaba atma gereir: açısal momentumun 'dan üçü değerler alamaması yüzünden atomların bir doğru üzerinde yer aldığı moleüllerde bir dönme serbestli derecesi esi alır ve bu da D 3 için titreşimlere ilave olur ve # 3N 5 elde edilir. Buna göre: V -Boyut # N -Boyut # N 3 3-Boyut ( Genel ) # 3N 6 3-Boyut ( Doğrusal ) # 3N 5 V V V V # CO, V # H V # CO 3, V # H V # HO 3, V 3 # NH 6 V # CO 4, V # H V H) ÖRNEKLER a) -Boyutta H : i) Grup ve çarpım tablosu : x x : Özdeşli P : x x : Yansıma Çarpım Tablosu : P P
5 ii) Sınıflar ve arater tablosu C grubu,. Mertebe, ii sınıflı C P Abelyen d d C i j n 0 c i C i j n 0 Karater Tablosu : () (P) R R iii) Yer değiştirmeyen parçacı sayısı : P 0 iv) Sadece için Yerel Kartezyen oordinatının dönüşüm matrisinin İz'i =. Z = * 0 = 0 v) Ağırlı vetörü W Z 0 0 C X 0 v) Hareet ipleri Ağırlı vetörü, ii temsilin de birer ipi temsil ettiğine işaret etmetedir : R : Doğrusal hareet R : Titreşim - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
5 b) 3-Boyutta HO : i) Grup ve çarpım tablosu : Özdeşli, R : z-eseni etrafında 80 o dönme : yz-düzleminden yansıma, : zx-düzleminden yansıma Çarpım tablosu : ii) Sınıflar ve arater tablosu D grubu. 4. Mertebe, 4 sınıflı, Abelyen d R R R R i 0 0 0 0 0 0 C, 4 0 0 0 0 0 0 X iii) Yer değiştirmeyen parçacı sayısı : R 3 3
53 iv) Yerel Kartezyen oordinatların dönüşüm matrisleri, K ve Z vetörleri : 0 0 0 0, 0 0 0 0 R 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 ; K 3 * * * * Z = 3 3 3 = 9 3 v) Ağırlı vetörü W 9 3 3 3 4 vi) x y z T, T, T Doğrusal Hareet ipleri sırasıyla,, 4 3 R R R, x y z R, R, R Dönme ipleri ise gene sırasıyla,, 3 4 Bu 6 inemati ip'in Ağırlı vetörü olan R R R temsillerine uyarlar. W, Genel Ağırlı vetörü W 3 3 'den çıartılara, Titreşim ipleri için edilir. W 0 0 v elde c) 3-Boyutta NH 3 moleülü : i) 6 tane simetri işlemi : : Özdeşli, R : 0 o Dönme, R : 40 o Dönme ve,, : 3 tane 'Açı ortaylardan yansıma'. 3
54 Çarpım tablosu : R R 3 R R 3 R R 3 3 R R 3 R R 3 R R Grup : 3 nesnenin permütasyon grubu olara da bilinen D 3 = () + (R) + 3 ( ) ii) Sınıflar ve Karater tablosu : d d d 6 d d, d 3 3 () (R) 3 ( ) R R R 0 iii) Yer değiştirmeyen parçacı sayısı : R 4
55 iv) Yerel Kartezyen oordinatların dönüşüm matrisleri, K ve Z vetörleri : 0 0 0 0, 0 0 R 3 0 3 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 K 3 0 & = 4*3 *0 * = 0 Z bulunur. v) Ağırlı vetörü : W 3 4 vi) x y z T, T, T Doğrusal Hareet ipleri sırasıyla,, 4 3 R R R, x y z R, R, R Dönme ipleri ise gene sırasıyla,, 3 4 Bu 6 inemati ip'in Ağırlı vetörü olan R R R temsillerine uyarlar. W, Genel Ağırlı vetörü W 3 3 'den çıartılara, Titreşim ipleri için edilir. W 0 0 v elde
56 PROBLEMLER C. ) 3-Boyutlu yapılar için gereli K ij matrisini oluşturun. İpucu: A sin ij cos ij sin ij sin ij sin ij cosij sin ij sinij cos ij cosij olma üzere K ij A A A A yapısına sahip olacatır. A matrisinin ise ˆr yönünde bir 'İzdüşüm Operatörü' olduğu görülmetedir. D. ) Atom sayısı 64 olan baır'ın yoğunluğu 3 9 0 g 3 m, Young atsayısı 0 N m olara veriliyor. Cu-Cu bağının yay sabitini hesaplayın. ( Nüleon ütlesi 5 0 3 7 g ) D. ) N adet eşdeğer ütle N adet eşdeğer yay'la omşu ütlelere bağlanara - Boyutlu bir yapı oluşturuyor. N limitinde freans spetrumunu belirleyin. ( Bilgisayar problemi ) D.3 ) 3 özdeş ütle, 3 özdeş yay ile bağlanara bir 45 o - 45 o - 90 o üçgeni oluşturuyor. Yapının freans ve hareet iplerini belirleyin. D.4 ) HO moleülünün yapısını öğrenin. H O bağının yay sabiti, O H H etileşmesinin yay sabiti olara veriliyor. Moleülün freans ve iplerini belirleyin. H
57 D.5 ) NH moleülünde N 3 H bağının yay sabiti, N H H etileşmesinin yay sabiti olara veriliyor. Moleülün freans ve iplerini belirleyin. H G. ) H moleülünü 3-Boyutta inceleyin. İpucu: Z 6 0 0 0 0 W 0 0 G. ) Köşelerinde 4 eşit ütlenin yer aldığı ve sadece en yaın omşular arasında 4 eşdeğer yay'ın bulunduğu bir are'yi -Boyutta inceleyin. G.3 ) Köşelerinde 8 eşit ütlenin yer aldığı ve sadece en yaın omşular arasında eşdeğer yay'ın bulunduğu bir üp'ü inceleyin.