3.Ders Rasgele Değişkenler

3.Ders Rasgele Değişkenler Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X : R X olmak üzere, a R için, : X a U oluyorsa X fonksiyonuna bir rasgele değişken denir. a R için X, a : X a U özelliğine sahip bir X rasgele değişkeni için, X a, b : a X b U olduğu kolayca gösterilebilir. Reel sayılardakibborel cebirinin her B B elemanı için X rasgele değişkeni altındaki ters görüntüsü U nun elemanıdır. Bir olasılık deneyinin sonuçlarının kümesi olan Örnek uzayının elemanları çok değişik türde olabilir. Rasgele değişkenler yardımıyla nın elemanları reel sayılara dönüşmektedir, öyleki,u, P olasılık uzayındaki her A U için PA olasılığı reel sayılardaki B Borel cebiri üzerinde kurulmuş uygun bir olasılık ölçüsü ile verilmektedir. Böylece teorik olarak incelenmesi gereken olasılık ölçüleri Borel cebiri üzerindeki olasılık ölçülerine indirgenmiş olmaktadır. Uygulama tarafından bakıldığında, rasgele değişkenler, deneyde ilgilenilen özelliğin ölçülerek sayısallaştırılmasının matematiksel karşılığı olmaktadır. Bir tavla zarının atılması ve üste gelen yüzeyin gözlenmesi deneyinde üst yüzeydeki nokta sayısı ölçüldüğünde (sayma ölçüsüne göre), Örnek uzayın elemanları sayılara dönüşmektedir. Zar üzerinde bu sayılar yazılı değildir, bunlar ölçme sonucu ortaya çıkmaktadır. Rasgele değişken bu ölçmeye karşılık gelmektedir. Bir yaşındaki çocukların belli bir kitlesinden rasgele bir çocuğun seçilmesin-de Örnek uzay, bu çocukların isimlerinin kümesi olabilir. Seçilen çocuğun boy uzunluğunun ölçülmesi sonucunda bir sayı ortaya çıkmaktadır. Rasgele değişken bu ölçmeye karşılık gelmektedir. Rasgele değişken Örnek uzayın elemanlarını reel sayılara dönüştüren bir fonksiyon olmakla birlikte matematiksel açıdan Borel ölçülebilir bir fonksiyon olması gerekir. Bu özellik, ölçme sonucunda ortaya çıkan Borel cebirindeki bir olayın, deneyde ilgilendiğimiz olayların cebirinde yorumlanabilir olmasını sağlamaktadır.

Tanımdaki,U, P olasılık uzayı,u ikilisi ile değiştirilirse X fonksiyo-nuna ölçülebilir veyauölçülebilir fonksiyon denir. Her rasgele değişken aynı zamanda bir ölçülebilir fonksiyondur, ancak biruölçülebilir fonksiyo-nun rasgele değişken olması için dakiu-cebiri üzerinde bir P olasılık ölçüsünün var olması gerekir.uölçülebilir bir fonksiyon yardımıyla, U üzerinde değişik olasılık ölçüleri tanımlanarak değişik rasgele değişkenler elde edilir. Rasgele değişkenler genellikle X, Y, Z, U, V, gibi büyük harflerle göste-rilir. Kısalık olması bakımından : X A, A R yerine X A yazılır. Örneğin X a : X a dır. Bir X rasgele değişkenin tanım kümesi olmak üzere, X x R : için X x kümesine X in değer kümesi (X in aldığı değerlerin kümesi) denir. Bu kümeyi bazen D X veya sadece D ile göstereceğiz. Örnek:,, 3,, 8, U P ve A U için, PA na 8 olmak üzere X fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlansın. X bir rasgele değişkendir. Gerçekten, a R için a ise X a U a ise X a U a ise X a,, 3, 4 U a 3 ise X a,, 7 U olduğundan X bir rasgele değişkendir. a 3 ise X a U YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT olduğunda, yukarıda verilen rasgele değişkenin aldığı değerler bir paranın üç kez atılışında gelen turaların sayısı olacaktır. Böyle tanımlanan X rasgele değişkeni yardımıyla aşağıdaki olasılıkları hesaplayabiliriz.

PX P : X PYYY /8 PX PYYY, YYT, YTY, TYY 4/8 PX PYYT, YTY, TYY 3/8 PX 3 PTTT /8 PX / P PX 3 P X fonksiyonunun değer kümesi, yada X rasgele değişkenin aldığı değerlerin kümesi X,,, 3 dır. Alışagelmiş biçimde, rasgele değişkenin bu değerleri ve bunları alması olasılıkları aşağıdaki gibi gösterilir. X x 3 PX x /8 3/8 3/8 /8 Bu örnekteki olasılık uzayını, içinde eşit sayıda kırmızı ve beyaz top bulunan bir kavanozdan çekileni yine yerine koyarak ardarda 3 top çekilmesi deneyine uygularsak, KKK, KKB, KBK, BKK, KBB, BKB, BBK, BBB olmak üzere, X rasgele değişkeni üç çekilişte gelen beyaz topların sayısı olacaktır. Bir olasılık uzayı belli bir olasılık deneyinin matematiksel modeli olarak kullanıldığında X fonksiyonunun değer kümesi bilinmekle birlikte X in alacağı değer deney sonucuna bağlıdır, yani değer kümesinden "rasgele" bir sayıdır. Örnek:,, U B,, PA "A nın aralık uzunluğu" olmak üzere X : R X fonksiyonu bir rasgele değişkendir. Gerçekten, a R için a ise X a U a ise X a : a,,, a/ U a ise X a, U olduğundan X bir rasgele değişkendir. X,,U, P uzayında tanımlı bir rasgele değişken olmak üzere B B için

: X B U dır. Bununla birlikte, X B A U : A : X B, B B A U : A X B, B B sınıfı da bir -cebirdir. Gerçekten: i) B için : X R olduğundan X B ii) A X B için B B vardır öyleki, A : X B dir. O zaman B B için, A : X B, yani A X B dir. iii) A n, X B de bir dizi olsun. n,, için B n B vardır, öyleki A n : X B n dır. A n : X B n olmak üzere A n X B dır. n n X B -cebiriunun bir alt kümesidir. X B -cebirine X rasgele değişkenin doğurduğu -cebir denir. n Teorem:,U, P bir olasılık uzayı ve X bir rasgele değişken ise P X : B R B P X B P : X B fonksiyonu bir olasılık ölçüsüdür. Đspat: i) B B için P X B P : X B ii) P X R P : X R P iii) Ayrık kümelerin B n dizisi için

P X B n n P : X B n n P : X B n n P : X B n P X B n n n olduğundan P X, B üzerinde bir olasılık ölçüsüdür. B üzerinde tanımlı P X olasılık ölçüsüne X in olasılık dağılımı veya X in doğurduğu olasılık ölçüsü denir. Bir X rasgele değişkeni ile ilgili olasılık hesabında P X dağılımının bilinmesi yeterlidir. Eğer B B için P X B P Y B ise X ve Y ye özdeş (aynı) dağılımlıdır denir. Dağılım Fonksiyonları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X bir rasgele değişken olmak üzere, F : R, x Fx PX x fonksiyonuna X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu denir. F fonksiyonunun X rasgele değişkeni ile belirlendiğini vurgulamak istediğimiz-de F yerine F X gösterimini kullanacağız. Örnek:

olmak üzere X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu, F : R, x Fx PX x x ise Fx PX x x ise Fx PX x /8 x ise Fx PX x 4/8 x 3 ise Fx PX x 7/8 dır. Bu forksiyonunun grafiği aşağıdadır (a). x 3 ise Fx PX x Örnek: olmak üzere X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu,

F : R,, x x Fx PX x x 6, x 6, x 6 dır. Bu fonksiyonunun grafiği yukarıdadır (b). Örnek:,, U B,, PA "A nın aralık uzunluğu" X : R X olmak üzere X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu F : R,, x x Fx PX x x/, x, x dır. Bu fonksiyonun grafiği aşağıdadır. Örnek:,, U B,, PA "A nın aralık uzunluğu"/ olmak üzere,

X : R X Y : R Y Z : R Z rasgele değişkenlerinin dağılım fonksiyonları, x F X x x/ /, x, x, y F Y y y, y, y, z F Z z z, z dır. Bu fonksiyonların grafikleri aşağıdadır., z Örnek: (,U, P) önceki örnekte tanımlanan olasılık uzayı olsun.

X :, R X,, Y :, R Y,,,, olmak üzere, x, x F X x, x x, x, x F Y x, x x, x dır.

Teorem: F bir X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu ise, a) F azalmayan bir fonksiyon, b) F sağdan sürekli, dir. Đspat: c) lim Fx, x lim Fx x F fonksiyonu,,u, P olasılık uzayında tanımlı bir X rasgele değiş-kenin dağılım fonksiyonu olsun. a) x, x R, x x, x, x X x X x PX x PX x Fx Fx olduğundan F azalmayan bir fonksiyondur. b) F fonksiyonunun sağdan sürekli olduğunu göstermek için n olmak üzere a R için olduğunu göstermemiz yeterlidir. lim F a n n Fa F a n Fa P X a n PX a P a X a n PA n yazılabilir, burada A n a X a n A A A n ve dır.buradan n U, n,,dır. A n olduğundan lim PA P n lim F a n n lim A n P n Fa

dır. c) lim Fx, lim Fx olduğunu göstermek için n n lim Fn, lim Fn n n olduğunu göstermemiz yeterlidir. B n X n, A n X n, n,, olsun. olduğundan, ve B B ve A A ve n B n n A n n lim Fn lim PB n P n n lim Fn lim PA n P n dir. Bu teoremdeki a), b), c)şartlarını sağlayan her F fonksiyonu P, x Fx, x R olacakşekilde bir tek R,B, P olasılık uzayı belirlediği ve ayrıca uygun bir olasılık uzayında tanımlı bir X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu olduğu gösterilebilir. Bir X rasgele değişkenin dağılımı P X, X in dağılım fonksiyonu ile tek biçiminde belirlidir. Teorem: Bir X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu, F olmak üzere, her a, b, c R, a b için Pa X b Fb Fa dır. Đspat: PX c Fc Fc, a a, b, b ve, a a, b P X, a P X a, b P X, b PX a Pa X b PX b Diğer taraftan c c n, c n Pa X b Fb Fa lim c n, c olmak üzere, n

PX c P X c P X lim n c n, c lim P X n c n, c lim P c n n X c lim n Fc F c n Fc Fc dır. Örnek: X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu Fx, x e x, x olsun. PX, PX, PX, P X, PX, P X, PX olasılıklarını hesaplayalım. PX F, PX F PX F e, P X F F e PX F F e lim e x x P X P X PX P X e PX PX F e e Örnek: Y rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu

, y Gy /4, y 3/4, y olsun. Bu durumda,, y PY G, PY G 3/4 PY G G, PY G G 3/4 /4 /4 PY G G /4 /4, PY G G 3/4 /4, PY 3 G3 G3, P Y G G 3/4 /4 /4, P Y PY P Y /4 /4 3/4, PY PY PY PY 3/4 /4 3/4 Son iki örnekteki dağılım fonksiyonlarının grafikleri aşağıdadır.

X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu sürekli bir fonksiyon, Y nin ki ise bir basamak fonksiyonudur. Dağılım fonksiyonunun sürekli olduğu değerlerde rasgele değişkenin bu değerlere eşit olması olasılığı sıfırdır. Süreksizlik noktaları için rasgele değişkenin böyle bir değere eşit olması olasılığı, o noktadaki dağılım fonksiyonunun sıçrama miktarına eşittir. Dağılım fonksiyonu a, b R, a b noktalarında sürekli ise rasgele değişkenin bu noktaların belirlediği açık, kapalı, yarı açık aralıklarda bulunması olasılığı eşittir. Dağılım fonksiyonun grafiksel yorumlanması rasgele değişkenin olasılık dağılımı hakkında bir çok bilgi sağlamaktadır. Ksikli Rasgele Değişkenler Tanım: X rasgele değişkenin X değer kümesi sayılabilir olduğunda X e kesikli rasgele değişken ve X in belirlediği olasılık dağılımına da kesikli dağılım denir. Kesikli X rasgele değişkenin aldığı değerlerin kümesi X olsun. X in x X değerini alması olasılığı, PX x P : X x olmak üzere, PX x P xx dır. Kesikli X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu Fx PX x PX a, ax ax olmak üzere, F bir basamak fonksiyonu olacaktır. X x xx x Tanım: X kesikli bir rasgele değişken olmak üzere f : X R x fx PX x fonksiyonuna X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu denir. Bir rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu olarak yukarıdaki tanımda verilen fonksiyon yerine bu fonksiyonun X dan R ye genişletilmişi olan

f : R R x fx PX x PX x, x X, x X fonksiyonunu almakla düşüncelerde bir değişiklik olmayacağını belirtelim. Kesikli bir X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu f ise, ) fx, x X ) fx xx ve X in dağılım fonksiyonu, Fx fa, ax ax x dır. X in olasılık fonksiyonu, X in olasılık dağılımının bilinmesi için yeterlidir. Genelde sayılabilir bir küme üzerinde tanımlı ve özelliğini sağlayan bir f fonksiyonu bir F dağılım fonksiyonu, dolayısıyla bir olasılık dağılımı belirler. Örnek:U P, PA na/8 olmak üzere X rasgele değişkenin aldığı değerlerin kümesi X,,, 3 ve X in olasılık fonksiyonu f : X R f PX /8 f PX 3/8 f PX 3/8 3 f3 PX 3 /8 dır. Alışılagelmiş olarak bu olasılıklar aşağıdaki biçimde gösterilir.

X x 3 PX x /8 3/8 3/8 /8 X rasgele değişkeni ile ilgili olasılıklar, dağılım fonksiyonu yardımıyla hesap-landığı gibi olasılık fonksiyonu yardımıyla da hesaplanır. PX PX PX PX f f f 7/8 dır. P. 5 X PX f 3/8 Örnek:,,,n sayıları birer kağıt parçasına yazılıp bir kavanoza atılsın. Bu kağıt parçalarından r r n tanesi: a) aynı anda, b) çekileni yerine koymaksızın ardarda, c) çekileni yine yerine koyarak ard arda, alındığında gelen en küçük sayı X olsun. X in olasılık fonksiyonunu bulunuz. a) a, a,,a r : a, a,,a r,,,n olmak üzere, ve n n r fx, U P, PA na n X,,,n r n x x n r, x,,,n r dır. b) a, a,,a r : a i,,,n, i,,,r ve a i ler farklı

olmak üzere, ve fx n nn n r U P, PA na/n X,,,n r rn xn x n x r nn n r n x x n r, x,,,n r dır. c) olmak üzere X,,,n ve a, a,,a r : a i,,,n, i,,,n n n r, U P PA na/n fx n x r n x r n r, x,,,n dır. Kesikli rasgele değişkenler ile ilgili bazı kavramlar arasındaki ilişkiler:

Tanım: Bir f : R R fonksiyonu için Sürekli Rasgele Değişkenler. fx, x R. fxdx özellikleri sağlanıyorsa f fonksiyonuna olasılık yoğunluk fonksiyonu denir. Tanım: Bir X rasgele değişkenin F dağılım fonksiyonu bir f olasılık yoğunluk fonksiyonu yardımıyla x Fx fxdx, x olarak yazılabiliyorsa X rasgele değişkenine mutlak sürekli veya kısaca sürekli rasgele değişken ve f fonksiyonuna X in olasılık yoğunluk fonksiyonu denir. X rasgele değişkeni ile ilgili olasılık hesapları X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonunu, dolayısıyla olasılık dağılımını belirleyen f olasılık yoğunluk fonksiyonu yardımıyla da yapılabilir. Sürekli rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu sürekli bir fonksiyon olduğundan a, b R, a b için, PX a PX a PX a fxdx a Pa X b Pa X b Pa X b Pa X b b fxdx a olacaktır. PX a PX a fxdx a Örnek:,, U B,, A U aralığı için, PA "A nın aralık uzunluğu" olsun. X : R X

rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu,, x Fx x, x, x dır. Bu dağılım fonksiyonu, f : R R x fx, x, fonksiyonu yardımıyla, Fx ftdt x, x,, x x dt x, x, x olarak yazıldığından, X sürekli bir rasgele değişkendir. Ancak, g : R R x gx, x, fonksiyonu yardımıyla da x Fx gtdt,, x, x yazabiliriz. Bu şekilde F fonksiyonunu belirleyecek çok sayıda başka olasılık yoğunluk fonksiyonları bulabiliriz. Bunlardan herhangi birinin bilinmesi halinde F fonksiyonu ve dolayısıyla X in olasılık dağılımı belirlenmiş olacaktır. F fonksiyonunu belirleyen fonksiyonlardan herhangi birine X in olasılık yoğunluk fonksiyonu diyeceğiz. Şimdi sürekli bir rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu bilindiğinde olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirleyen bir teoremi ispatsız olarak verelim.

Teorem: Sürekli bir X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu F ve F in türevlenebildiği noktaların kümesi A olmak üzere, fx dfx dx, x A, x A fonksiyonu X in bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur. Örnek : Sürekli bir X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu,, x Fx x, x, x olsun. F fonksiyonu x ve x noktaları dışında her yerde türevlenebilir-dir. X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, fx dır. F ve f fonksiyonlarının grafikleri,, x,, x, dır. P X. 5 olasılığını her iki fonksiyon yardımıyla hesaplayalım. P X. 5 F. 5 F. 5/ /. 5.5 P X. 5 fxdx dx. 5.5 Örnek: X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

fx 3e 3x, x, x olsun. X in dağılım fonksiyonunu bulunuz. Fx x ftdt x, x 3e 3t dt, x, x e 3x, x Şimdi PX olasılığını her iki fonksiyon yardımıyla hesaplayalım. PX fxdx 3e 3x dx e 3 PX PX F e 3 e 3 Örnek: Her atışta isabet kaydeden bir atıcı için yarıçapı birim olan dairesel bir hedefe yaptığı atışların dairenin merkezine uzaklığı X olmak üzere X in olasılık yoğunluk fonksiyonu, fx dır. Buna göre atıcının yaptığı bir atışta: 3 x, x, diğer yerlerde a) X, b) X 5, c) X 8 olması olasılığı nedir? d) Atıcının hedefe yaptığı atışların "gelişigüzel" olması durumunda X rasgele

değişkenin olasılık fonksiyonu ve yukarıdaki olasılıklar ne olur? Đstenen olasılıklar, a) b) c) PX fxdx 3 x dx. 7 5 P X 5 3 x dx. 387 PX 8 fxdx 3 x. 8 8 8 Bu olasılıklar aşağıda da gösterilmiştir (a). d) Atışların "gelişigüzel" olması durumunda, hedefin belli bölgesinin isabet alması olasılığı o bölgenin alanı ile orantılı olmalıdır düşüncesi altında, probleme aşağıdaki olasılık uzayı ile bir yaklaşımda bulunabiliriz. x, y R ; x y, U BR, A U için PA A nın alan ölçüsü nın alan ölçüsü X rasgele değişkeni, isabet alan noktanın hedefin merkezine uzaklığı olsun.

X : R u, v Xu, v u v PX P u, v : u v n n X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu,, x Fx x, x olmak üzere, X in olasılık yoğunluk fonksiyonu, dır. Buna göre, fx x 5, x, x, diğer yerlerde

a) PX x dx. 5 5 b) P X 5 x dx. 5 olacaktır. c) PX 8 x dx. 36 5 8 Örnek: Bir aylık deney farelerinin, uygulanan bir haftalık bir gıda rejimi sonunda gram cinsinden kazandıkları ağırlığın (X), fx 3 8 4x x 5, x 5, d. y. olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip olduğunu varsayalım. Böyle bir gıda rejimi sonucu, a) kazanılan ağırlığın en az gram olması, b) ile 3 gram arasında bir ağırlık kazanılması, c) ağırlık kaybedilmesi, olasılığı nedir? Đstenen olasılıklar: a) PX fxdx 3 8 4x x 5dx 8 7 5 3 b) P X 3 3 8 4x x 5dx 8 5 c) PX fxdx 3 8 4x x 5 8 8

dır. Örnek: X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, fx e x, x olsun. A, olmak üzere X /XA rasgele değişkenin dağılım fonksiyonunu ve olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulalım. X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu dır. Fx ex, x ex, x X /XA rasgele değişkenin dağılım fonksiyonunu bulalım. F X/XA x PX x/x A PX x/ X PX x X P X olup, PX, x, F F

, x F X/XA x Fx F F F, x, x, x /e x /e e, x /e x /e e, x, x elde edilir. Buradan, f X/XA x f X/X x e x e, x e x e, x, diğer yerlerde fx FF, x, diğer yerlerde X /XA nın olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonlarının grafikleri yukarıdadır. Sürekli rasgele değişkenlerle ilgili bazı kavramlar arasındaki ilişkiler aşağıda verilmiştir.

Bir X rasgele değişkeni söz konusu olduğunda bizi ilgilendiren şey bu rasgele değişkenin olasılık dağılımıdır, yani B B için P X B olasılığının hesaplanabilmesidir. Bu sebepten, bir çok durumda bir rasgele değişkeni verirken, dağılım fonksiyonu veya olasılık yoğunluk fonksiyonu ile yetinip,,u, P olasılık uzayını gözardı etmekdeyiz. Karma Dağılımlar F ve F iki dağılım fonksiyonu olsun. Fx p F x p F x, p, p, p p de bir dağılım fonksiyonudur. Örnek: F x F x, x e x, x, x e x, x ve Fx F x F x, x ex ex, x dağılım fonksiyonların grafikleri aşağıdadır.

.5.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5.5.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5.5.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 subplot(3,,) x:.:5; plot(x,-exp(-x)) subplot(3,,) plot(x,-exp(-*x)) subplot(3,,3) plot(x,-/*exp(-x)-/*exp(-*x)) Örnek: F x F x, x, x, x e x, x ve

, x Fx F x F x ex, x ex, x dağılım fonksiyonların grafikleri aşağıdadır. - 3 4 5-3 4 5-3 4 5

Örnek: f ve f iki sürekli dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu olsun. fx p f x p f x, p, p, p p de bir olasılıkı yoğunluk fonksiyonudur. fx x3 e x7 e, - x.4. 3 4 5 6 7 8 9.4. 3 4 5 6 7 8 9.. 3 4 5 6 7 8 9 x:.:; subplot(3,,) plot(x,normpdf(x,3,)) subplot(3,,) plot(x,normpdf(x,7,)) subplot(3,,3) plot(x,/*normpdf(x,3,)/*normpdf(x,7,))

fx 5 x3 e 4 5 x7 e, - x.4. 3 4 5 6 7 8 9.4. 3 4 5 6 7 8 9.4. 3 4 5 6 7 8 9 x:.:; subplot(3,,) plot(x,normpdf(x,3,)) subplot(3,,) plot(x,normpdf(x,7,)) subplot(3,,3) plot(x,/5*normpdf(x,3,)4/5*normpdf(x,7,))