TAŞINMAZ GELİŞTİRME Üte: DEĞİŞİM ÖLÇÜLERİ Doç. Dr. üksel TERZİ TAŞINMAZ GELİŞTİRME TEZSİZ ÜKSEK LİSANS PROGRAMI İÇİNDEKİLER.1. GİRİŞ.. DEĞİŞİM ÖLÇÜLERİ..1. Değşm Geşlğ... Kartller Arası fark... Ortalama Sapma... Stadart Sapma...1. aryas..5. Stadart Hata..6. Değşm Katsayısı İÇİNDEKİLER.. MOMENTLER, ÇARPIKLIK E BASIKLIK..1. Mometler... Çarpıklık... Basıklık.. ECEL E SPSS UGULAMASI.5. ÖRNEK PROBLEMLER 1
GİRİŞ Br a kütley popülasyou taıtmak ç, başka aa kütlelerle karşılaştırablmek ç merkez ölçüler yaıda dağılışı geşlğ, değşkelğ büyüklüğüü göstere br başka tpk değer verlmes gerekmektedr. Bu tpk değer değşm ölçüsüdür. Ortalamaları eşt ola serler, değşkelkler veya bölüe şekller farklı olduğuda brbre bezemez. Bu edele serler tam olarak taımlayablmek ç ortalamayı, değşmler ve bölüme şekller celemek gerekr İstatstkte kullaıla bazı smgeler: Öreklem Parametres Aakütle Parametres Artmetk ortalama µ Stadart sapma s σ aryas s σ Brey Gözlemsayısı N Korelasyo r ρ İstatstkte kullaıla bazı smgeler: Örek.1. : { 9,9,9,50,51,5 } ; =AO= 50 : { 5,1,50,55,58,61 } ; =AO= 50 Z : { 15,1,,9,90,9 } ; Z =AOZ= 50 İstatstkte kullaıla bazı smgeler: Bu üç değşke ortalaması ayı olduğu halde, ve Z değşkeler aldığı değerler e küçük ve e büyük değerlere bakıldığıda brbrlerde çok farklıdır. değerler 50 etrafıda çok yakı kümeledğ halde Z değerler 50 de çok uzakta yer almakta, ya daha büyük değşm göstermektedr. Br popülasyou breyler değerler arasıdak bu değşm br ölçü le fade edlmes gerekr. Bu ölçülere yayılım veya değşm ölçüler der.
.. DEĞİŞİM ÖLÇÜLERİ..1. Değşm Geşlğ Rage E bast değşm ölçüsü Değşm Geşlğdr. Değşm Geşlğ = E Büyük Gözlem E Küçük Gözlem DG= 5-9= DG= 61-5= 6 DGZ= 9-15= 77 olur. Bu dağılışları grafklere bakıldığıda aşağıdak şeklde br görüüş söz kousudur. Z..1. Değşm Geşlğ Rage Değşm geşlğ aslıda çok kullaıla br ölçüdür. Geelde şeker hastasıı e küçük ve e yüksek değerler edr, ateşl br hastaı e düşük ve e yüksek ateş dereces edr, bularla lglelr...1. Değşm Geşlğ Rage Acak değşm geşlğde sadece k aşırı uç değer kullaıldığı ç stkrarlı br ölçü değldr, blg kaybı çoktur. Dğer br sakıcası değşm geşlğ örek büyüklüğüe çok bağlıdır. Örek büyüdükçe aşırı değerler kapsama olasılığı artar. Ölçü brmler farklı serler değşkelğ kıyaslamasıda değşm geşlğde yararlamak yalış olur.
... Kartller Arası Fark Iterquartle Rage Değşm geşlğ ser k ucuda yer ala aşırı değerlerde etklemes sakıcasıı gdermek ç kartller arası fark kullaılır. Bu ölçü er. ve 1. kartller arasıdak farkı esas alır. Kartller arası fark= Q -Q 1... Kartller Arası Fark Iterquartle Rage Br ver kümes çeyrek sapması Q le gösterlr ve aşağıdak gb hesaplaır. Q Q Q 1 Kartller bütü verler hesaba katmadığıda ve Q 1 de küçük, Q de büyük değerler değşkelğ hmal etmes sakıca meydaa getrr. Örek.. {1,,,6,10,1} sers kartller arası farkıı buluuz? Q 1 =+1/=6+1/=1.75 1.term =1-1*0,75=1,5 Q 1 =1+1,5=,5 Q =+1/=6+1/=5.5 5. term 10 1-10*0,5=0,5 Q =10+0,5=10,5 Kartller arası fark= Q - Q 1 =10.5-,5=8... Kartller Arası Fark Iterquartle Rage Soru. Aşağıdak serler kartller arası farklarıı hesaplayalım. A Sers B Sers İ : 1 5 7 1 İ : 5 6 fi : 7 9 fi : 7 6 Q1=5 Q1= Q=7 Q=5 K.A.F=7-5= K.A.F=5-=
... Ortalama Sapma Ortalama mutlak sapma olarak da aıla bu ölçü, termler artmetk ortalamada mutlak sapmalarıı artmetk ortalamasıdır. Artmetk ortalamaya göre ortalama sapma formüller aşağıdak gbdr: Ortalama Sapma Bast Serlerde Frekas Serlerde Gruplamış Serlerde Ortalama sapma hesabı medyaa göre yapıldığıda O. S. O. S. O. S. f f f m f yere Medya kour. =6/6=6 Örek.. Aşağıdak ser ortalama sapmasıı buluuz? : {1,,5,5,7,1} ={5,,1,1,1,8} O.S.=18/6= Örek.. Aşağıdak ser ortalama sapmasıı buluuz? f f f 1 5. 10. 5 7 5 1. 8. 7 9 6 0.8 7. 1 5.8 11.6 0 1 7.6 =1/0=6. O.S.=7.6/0=1.88... Stadart Sapma Karel ortalama sapma adı verle bu ölçü, termler artmetk ortalamada cebrsel sapmalarıı karel ortalamasıdır. Stadart sapma gözlemler ortalamada e kadar uzaklaştığıı gösterr. a gözlemler arasıda e kadar yaygılık olduğuu fade eder. Stadart sapma varyası kare köküdür. aryas brmsz fade edldğ halde stadart sapma ölçüle özellğ brm le fade edlr. a mlmetre yere mlmetre kare gb ver brm kares kullaılması uygu olmadığıda, varyası yere stadart sapma kullaılır. 5
... Stadart Sapma Ortalama etrafıdak saçılma fazla se varyas büyük olacak, dolayısıyla stadart sapma da büyük çıkacaktır. er set çde aşırı değer fazla se buları varyası etklemes olağa karşılaablr, acak brkaç aşırı değer varyası büyütmes olağa karşılamaz.... Stadart Sapma Moses e göre stadart sapma değer örektek gözlem değerler arasıdak varyasyou dereces taımlaya br statstktr. Değşke dağılışı ormal dağılış gösteryorsa, stadart sapma verler ortalama etrafıdak dağılışıı y br şeklde açıklar. Dağılımdak maksmum ve mmum değerler arasıdak farkı dörde bölmek suretyle, stadart sapma kabaca tahm edleblr.... Stadart Sapma Stadart sapma stadard devato, SD: Br çalışma grubudak herbr ver ortalamaya göre e kadar uzaklıkta olduğuu, br dğer deyşle dağılımı e yaygılıkta olduğuu göstere br ölçüdür. aryas se belrl br popülasyoda celee özellğ ya da ölçümler e geşlkte ya asıl br aralıkta dar veya geş dağıldığıı göstergesdr. Stadart Sapma Ktle : aryas N Bast Serlerde Frekas Serlerde Gruplamış Serlerde s s s Stadart Sapma N f f f m f Örek: 6
... Stadart Sapma Gözlem sayısı <0 se örek verse lşk stadart sapma hesaplaırke paydada yere -1 alıır. Çükü elde edle değer öreğ alıdığı yığıı stadart sapmasıı daha y verr. büyük değerler ç 0 k taım arasıda br fark yoktur. s 1... Stadart Sapma Stadart sapma dama ortalama sapmada büyük çıkar. Çükü stadart sapma karel ortalama csde, ortalama sapma se artmetk ortalama csde hesaplaa değşkelk ölçüdür. Gözlem değerler tamamı brbre eşt olamayacağıda stadart sapmaı değerler poztftr.... Stadart Sapma Not: Karel ortalamaı kares le Artmetk Ortalamaı kares arasıdak fark varyasa eşttr. s aryas KO Örek.5. :{9,9,9,50,51,5} ver set stadart sapmasıı buluuz? A.O.=50, s = [9-50+ 9-50+ 9-50+ 50-50+51-50+ 5-50]/6-1 = 1+1+1+0+1+/5= 8/5=1.6 Stadart sapma s veya s x şeklde değşke sm le brlkte yazılablr. s aryas s =1.6 = 1.6, 7
Örek.6. Aşağıda olarak verle serler stadart sapmasıı buluuz? A Sers f f B Sers f f 1-5. 7.0 5.08 7-1.9.61 5.7 5 7-1. 1. 10.08 0.1 0.01 0.0 7 9 0.8 0.6 5.76 5 6 1.1 1.1 7.6 1 5.8.6 67.8 6.1.1 1. 0 17.0 0 5.80 f 17.0 5.80 s A A.6, s B B 1. 51 f 0 0 Örek.7. Aşağıdak serle stadart sapmasıı buluuz? Sııflar f m 0- de az 1 -.65 6.890 0.67 - de az 7-0.65 0.90.7-6 da az 5 1.75 1.890 7.56 6-8 de az 7.75 11.90.78 16 5.7 s f m f 5,7 1,8 16 m m f m...1. ARANS Dağılış ölçüsü olarak kullaıla e uygu ölçü stadart ayrılış ölçüsüdür. Stadart ayrılış ölçüsü varyası kareköküdür. Bu edele öce varyas hesaplamasıı görelm. : { 1,,, } değerler kümes varyası: aryas s 1 1 1 1 1 1 Örek.8. :{9,9,9,50,51,5} değşke varyası edr? = 00/6=50 s = [9-50+9-50+ 9-50+ 50-50+51-50+ 5-50]/6-1 = 1+1+1+0+1+/5 = 8/5=1.6 eya kc formül kullaılırsa ye ayı souç elde edlr. s = [9+9+9+50+51+5-00/6]/5= 15008-15000/5=8/5=1.6 8
Örek.9. e doğa çocuğu doğum ağırlıkları kg le lgl sıklık tablosuda özetlemş ola ver sete at varyas asıl hesaplaacaktır? Sııf sıırları m f f *m f *m 1.5-1.95 1.7, 5,78 1.95 -,5, 18 9,6 87,1,5,95,7 6,8 17,96,95,5, 19 60,8 19,56,5,95,7 18 66,6 6,,95,5, 9 7,8 158,76,5,95,7 6 8, 1,5,95 5,5 5, 0,8 108,16 100 1108, aryas f m f 1 aryas 100 1 1 f 1 fm f 1108. 0.7 100 m f Soru : 70 erkektek ürk ast kosatrasyo souçları aşağıdak gb bulumuştur. Bua göre stadart sapma değer buluuz? Ürk Ast m f f *m f *m mg/dl 1.6-.0 1.8 6 10.8 19..1-.5. 7 16.1 7.0.6-.0.8 0 56.0 156.80.1-.5. 1 69. 8.69.6-.0.8 1 5.6 17.9.1-.5. 17. 7.96 Toplam 70 15 689.1 f m 1 aryas f f 1 15 689.1 70 0.19 69 fm fm f S. S. 0.19 0.67 mg/dl 9
10 ARANSIN ÖZELLİKLERİ K K K 1 Br ser bütü termlere ayı sayıyı eklersek çıkartırsak ser varyası değşmez., ARANSIN ÖZELLİKLERİ Br ser bütü termler ayı sayılsa çarptığımızda böldüğümüzde varyas çarptığımız böldüğümüz sayıı karesyle oratılı olarak büyür küçülür., c c c c c c c c c 1 1 1 c c,,, ARANSIN ÖZELLİKLERİ Brbr le lşkl k ser bütü termler karşılıklı olarak toplaması çıkarılması suretyle elde edle ser varyası, bu serler varyaslarıı toplamı le kovaryası katıı toplamıa farkıa eşttr. Kov Cov Cov,, ARANSIN ÖZELLİKLERİ Burada kovaryas, serler arasıdak lşk varlığıı ve yöüü ayı veya ters belrleye br ölçüdür. Kovaryas k değşke brlkte değşme dereces göstere br statstktr. İk değşke ayı objelere at değerler bu değşkelere at artmetk ortalamada farklarıı çarpımlarıı artmetk ortalamasıdır. İk değşke ayı yöde değşyorsa, büyük ve yada küçük le ortak olaylarıı meydaa gelme frekası dğer durumlarda daha büyük olur.
ARANSIN ÖZELLİKLERİ Brbrde bağımsız k ser termler karşılıklı olarak toplaması çıkarılması suretyle elde edle ser varyası, bu serler varyasları toplamıa eşttr. ve k rassal değşke olsu. E ve E bu rassal değşkeler beklee değer se ve kovaryası aşağıdak gb hesaplaır. ARANSIN ÖZELLİKLERİ ve bağımsız se ya E=E.E se KO,=0 olur. Bu durumda k rassal değşke toplamlarıı varyası bu değşkeler varyasları toplamıa eşt olur., Kov,=E-E.E ARANSIN ÖZELLİKLERİ 5 aryas aşırı değerler etks altıda kalır. 6 Açık grup çere serler ç varyas hesaplaamaz. Bu durumda bell olmaya sıır ç br tahm yapılır. 7aryas artmetk ortalama etrafıdak değşkelğ ölçtüğü ve hesabıda serdek bütü termler dkkate alıdığı ç öemldr...5. Stadart Hata Stadart hata örekleme dağılımıdak ortalamaları stadart sapmasıdır. Seçlecek öreklerde ortalamalar arasıdak yaygılığı gösterr. Stadart hata örek büyüklüğüü foksyoudur. Böylece attıkça hata küçülür. Stadart hata ortalamalarla lgldr, deeklerle lgl değldr. Stadart hata, stadart sapma gb değşke dağılışı hakkıda blg vermez. 11
..5. Stadart Hata Geşlk AO±SH örek ortalamalarıı yaklaşık %95 kapsar. Fakat deekler üzerdek gözlemler %95 kapsamaz. Buu ç AO±SS kullaılmalıdır...5. Stadart Hata Stadart hata ayı popülasyoda seçlecek, ayı büyüklüktek öreklemler ortalamalarıı yayılmasıı ölçütüdür. Stadart hata grupları ortalamalarıı brbrler le karşılaştırılmasıda kullaılır. aryas SH s N s Ortalamaı stadart hatası, ortalamaı dağılımıdak varyasyou değşm gösterr, öreklem sayısıı artması le küçülür. Stadart hataı küçük olması popülasyo parametrese at yapılacak ola tahmler açısıda ve daha dar güve aralığı sıırlar bulma açısıda öemldr...5. Stadart Hata Öreğ br çalışma grubuu ortalamasıa at stadart hata sıfır olarak bulusu. Bu sıfır değer, çalışma grubua at ortalama değer, grubu oluştura öreklerde değşmedğ ve popülasyo parametres tahm bakımıda e y tahm yaptığıı gösterr. Stadart hata e kadar küçükse, popülasyo at tahmlermz de o kadar sabetl olmaktadır...5. Stadart Hata Br ser ortalaması verlrke stadart hatası le brlkte verlr. Artmetk Ortalama Stadart Hata Stadart Sapma mı? Stadart Hata mı? Çalışma gruplarıa at verler, sadece lgl olduğu grubu özellğ/özellkler gösteryorsa ortalama ±stadart sapma terch edlmeldr. 1
..5. Stadart Hata erler brbr le karşılaştırarak, gruplar arasıda fark olup olmadığı öğrelmek steyorsa; ortalama ± stadart hata kullaılması daha uygu olacaktır...5. Stadart Hata Çalışma gruplarıı ortalama değerler yaıda ± stadart sapma veya ± stadart hata değerler üç şeklde verleblr; ya stadart sapma veya stadart hata değer 1, veya katı ortalamaı yaıa yazılır. Daha açık br fade le: Ortalama± 1stadart sapma, Ortalama± stadart sapma, Ortalama± stadart sapma,..5. Stadart Hata Herhag br dağılımda gözlem değerler %75 AO ± SS aralığıda yer alır. Normal dağılımda se: Ortalama ± stadart hata eya Ortalama ± 1stadart hata Ortalama ± stadart hata Ortalama ± 1 stadart sapma: erler % 68,7 ortalama ± 1 stadart sapma kadar ortalamaı sağıa-solua yayıldığıı gösterr. 1
..5. Stadart Hata Ortalama ± stadart sapma: erler % 95,5 ortalama ± stadart sapma kadar ortalamaı sağıa-solua yayıldığıı gösterr. Ortalama ± stadart sapma: erler % 99,7 üü ortalama ± stadart sapma kadar ortalamaı sağıa-solua yayıldığıı gösterr...5. Stadart Hata Ayı durumu stadart hata ç yapılacak olursa: Ortalama ± 1stadart hata: erler % 68,7 olasılıkla ± 1 stadart hata kadar sağa-sola yayıldığıı gösterr. a, bu çalışma grubu, ayı popülasyoda 100 kez tekrar tekrar oluşturulacak olursa, buları 68 ortalaması, bu sıırlar arasıda kalacaktır...5. Stadart Hata Ortalama ± stadart hata: erler % 95,5 olasılıkla ± stadart hata kadar sağa-sola yayıldığıı gösterr. Ortalama ± stadart hata: erler % 99,7 olasılıkla ± stadart hata kadar sağa-sola yayıldığıı gösterr...5. Stadart Hata Stadart ayrılış ölçüsü ve stadart hata Normal dağılış göstere özellkler ç oldukça kullaışlıdır. Normal dağılışta breyler %68.7 s ortalamaı br stadart sapma soluda ve br stadart sapma sağıdak oktalar arasıda buluur. Breyler %95.5 ortalamaı k stadart sapma sağıda ve soluda buluur. 1
..5. Stadart Hata Örek : İk grup üzerde yapıla br çalışmada grupları yaş ve boy değerlere bakılıyor. Eğer gruplarda AO±SS değerler kullaılırsa, sadece o grubu, yaş veya boy yöüde asıl br dağılım gösterdğ alaşılmış olur. Acak gruplar brbr le karşılaştırılırke AO±SH kullaılır...5. Stadart Hata 1. grup:. grup: ortalama = 1.0 ortalama = 15.7 stadart hata= 0.9 stadart hata= 0. 1±.0,9 ya 11.-1.8 I.grup ç güve sıırları % 95 olasılıkla 11.-1.8 değerler arasıda olacaktır. 15.7±.0, ya 1.9-16.5 II. Grup ç güve sıırları % 95 olasılıkla 1.9-16.5 değerler arasıda olacaktır. Değşm varyasyo Katsayısı coeffcet of varato Br ser stadart sapmasıı artmetk ortalamasıa bölüüp 100 le çarpılması soucu elde edle değere değşm katsayısı adı verlr. Değşm katsayısıı ölçü brm yoktur. D.K= Stadart Sapma*100/ Ortalama s D. K. *100 15
Değşm varyasyo Katsayısı coeffcet of varato Değşm katsayısı farklı serler değşkelkler kıyaslamada y br ölçü olablr. Bast, sııflamış ve gruplamış serler ç uygu ola bu ölçü, serler arasıdak cs ve büyüklük farklılığıı ortada kaldırır. Değşm varyasyo Katsayısı coeffcet of varato Değşm katsayısı küçük ola serler dğerlere göre aha az değşke olduğu söyler. Buu alamı se ser termler artmetk ortalama etrafıda daha homoje olarak dağıldığıdır. Örek.10. :{9,9,9,50,51,5}sers değşm katsayısıı buluuz? D.K= 1.6 *100 /50=%.5 Değşm Katsayısıı Kullaımı A ve B gb k farklı popülasyodak değşkelğ karşılaştırmak stersek doğruda stadart sapma veya stadart hatalarıa bakmak yaıltıcı olablr. Aa kütleler ortalamaları büyüklük olarak brbrde çok farklı se stadart ayrılış değerler ortalamaları % olarak fade ederek ölçü brmde bağımsız br değer elde edlr, bu değşm varyasyo katsayısıdır, karşılaştırmada bu kullaılır. Öreğ fller ağırlığı mı daha değşkedr, fareler ağırlığı mı sorusuu cevabı ç D.K. kullaılır. Değşm Katsayısıı Kullaımı Ayı şeklde özellkler farklı brmlerle ölçülüyorsa, öreğ üzerlerde deeme yapıla fareler ka şekerm daha değşkedr yoksa vücut ağırlıklarımı sorusu le karşılaşılsa buu ç varyasyo katsayılarıa bakmak gerekr. Ortalamaı sıfıra yakı olduğu durumlarda varyasyo katsayısıı güverllğ azalır. Bu gb durumlarda dkkatl olmak gerekr. 16
Örek.11. Ayı şahıs üzerde k farklı yötemle :autoaalyser, :Mcroezymatc ölçüle kolesterol mktarları aşağıda verlmştr. : { 177,19,195,09, 6} %mg/ml : {19,197,00,0,09} Her ks artmetk ortalaması eşttr. AO= 1000/5=00 AO=1000/5=00 =0160-00000/=0, s=18. =00158-00000/=9.5, s=6.8 DK=18.*100/00=%9. DK=6.8*100/00=%.1 yötem değşm katsayısı yötemkde büyük olduğuda, yötem daha değşkedr. a yötem daha ydr. Soru : Br T tüpü üretcs A ve B olmak üzere k cs tüpü vardır. Tüpler ortalama ömürler A 195saat ve B 1875 saat, stadart sapmaları s A =80 saat ve s B =10 saattr. Hag tüp daha büyük değşme sahptr? 80 10 D. K. A 100 %18.7 D. K. B 100 %16.5 195 1875 A tüpü daha büyük değşme sahptr... MOMENTLER, ÇARPIKLIK E BASIKLIK..1. Mometler Termler sıfırda sapmalarıı veya artmetk ortalamada sapmalarıı çeştl kuvvetler artmetk ortalamalarıı tamamıa momet adı verlr. Mometler sıfır etrafıdak mometler ve artmetk ortalama etrafıdak mometler olmak üzere kye ayrılır. Sapmaları dereces r le gösterlr ve r momet dereces belrler...1. Mometler Sıfıra Göre Mometler Bast Serlerde Frekas Serlerde Gruplamış Serlerde m m m r r r r f f r f m r f Burada r=1 se brc momet m1 ya artmetk ortalamayı verr. 17
Artmetk Ortalamaya Göre Mometler Bast Serlerde Frekas Serlerde Gruplamış Serlerde r r r r r f f r f m f Bu serlerde r=1 ç 1 0, r= ç ya varyastır. Sıfıra göre mometler bldğde, artmetk ortalamaya göre mometler buluablr. Bu şeklde elde edle bağıtılara Kög Teorem adı verlr. m m1 m m1m m1 m m1m 6m1 m m1 Örek.1. Aşağıdak ser sıfıra ve artmetk ortalamaya göre mometler buluuz? 1 1 1 1-5 5-15 65 9 7 81-9 -7 81 16 6 56 - -8 16 6 6 16 196 0 0 0 0 10 100 1000 10000 16 6 56 1 1 178 076 6 6 16 196 6 06 06 70 0 90 10 7 Sıfıra göre mometler: m 1=6/6=6 m =06/6=51 m =06/6=506 m =70/6=595 Artmetk Ortalamaya Göre Mometler: 1=0/6=0 =90/6=15 =10/6=0 =7/6=79 m m1 51 6 15 m m1m m1 506 651 6 0 m m1m 6m1 m m1 595 6506 66 51 6 79 Örek.1. Aşağıdak ser sıfıra ve artmetk ortalamaya göre mometler buluuz? f f f f f 8 16 6 1 8 6 9 7 81 18 5 16 86 16 6 56 16 6 56 10 6 7 6 16 196 5 151 907 0 8 8 195 1060 -.1.1-9.61 19.81-1.1 1.1-1.1 1.61-0.1 0.01-0.001 0.0001 1.9.61 6.859 1.01 18
f f f f -6. 1. -7.78 58. -6.6 7.6-7.986 8.786-0. 0.0-0.00 0.000 1. 5.7 8.01 91.7 0 5.80 1.0 158.50..1. Mometler Sıfıra göre mometler: m 1=8/0=.1 m =8/0=19.1 m =195/0=97.7 m =1060/0=51.5 Artmetk Ortalamaya Göre Mometler: 1=0/0=0 =5.8/0=.9 =1./0=0.61 =158.5/0=7.9177... ÇARPIKLIK SKEWNESS Çarpıklık br dağılımı smetrk olmayış veya smetrklkte ayrılma derecesdr. Çarpıklık, br dağılımı ortalaması etrafıdak asmetr dereces belrtr. Smetrk yada ça şeklde eğr... ÇARPIKLIK SKEWNESS Smetrk yada ça şekldek frekas eğrler, merkezdek maksmumda eşt uzaklıkta yer ala gözlemler ayı frekasa sahp olduğuu gösterr. a frekasları ser maksmum oktası etrafıda smetrk olarak dağılması serye smetrk ser adıı kazadırır. Normal eğr bua örektr. Normal eğrde ser tam ortasıda maksmuma ulaşa frekaslar, sora hızla düşmeye başlar. 19
... ÇARPIKLIK SKEWNESS Smetrk ser svr, basık ve ormal ser gb olablr. Normal eğr özellğ grafkte maksmum oktaı belrl br yükseklğe sahp olmasıdır. Bu yükseklğ ormal üstüe çıkması durumuda svr ser, ormal altıa düşmes durumuda se basık serde söz edlr.... ÇARPIKLIK SKEWNESS Smetrk ser bell br yükseklğe sahp olmadığıda ormal olmakta çıkar. Ayrıca smetrk ser sağa veya sola doğru eğlm gösterdğde de smetrklk özellğ kaybeder. Frekaslar ser tam ortasıda değl de, ortada öcek br oktada yığıldığıda sağa çarpık ser, ortada sorak br oktada yığıldığıda se sola çarpık ser de söz edlr.... ÇARPIKLIK SKEWNESS... ÇARPIKLIK SKEWNESS Poztf sağa çarpık eğr Poztf çarpıklık, asmetrk ucu daha yüksek poztf değerlere doğru geşleye br çarpıklığı belrtr. Negatf sola çarpık eğr Negatf çarpıklık, asmetrk ucu daha düşük egatf değerlere doğru geşleye br dağılımı belrtr. 0
Çarpıklık= Ser smetrk se =0 dır. Acak =0 se ser mutlaka smetrk olması gerekmez. >0 se ser sağa poztf çarpık, <0 se sola egatf çarpıktır. 0. 5 se geelde çarpıklık kuvvetl kabul edlr. Örek.1. Örek.1 dek verler çarpıklığıı bulup, yorumlayıız? =.9, =0.61 0.16 0.177 0.9... ÇARPIKLIK SKEWNESS Not: İstatstk paket programlarıda ve excel de çarpıklık aşağıdak formülle hesaplaır ve yaklaşık bezer soucu verr. Çarpıklık KatsayısıÇK= 1 s Çarpıklık poztf olduğuda ser sağa çarpık eğk, fakat çarpıklık zayıftır. [-AO / s] 1-1,6-0,5-0,10 6 0,00 10 0,8 1,8 TOPLAM 1,57 AO 6,00 ss, Soru. Aşağıdak ver set ç çarpıklık katsayısıı bulup, soucu yorumlayıız? 1 s 6 1,57 0,7 0 6 16 Ser haff sağa çarpık br serdr.... BASIKLIK KURTOSIS Basıklık br dağılımı svrlk derecesdr. Basıklık, ormal dağılımla karşılaştırıldığıda, br dağılımı görecel dklğ ya da düzlüğüü verr. Poztf basıklık, görece dk br dağılımı belrtr. Negatf basıklık görece düz br dağılımı belrtr. Normal ser smetrk ser özel br şekldr. Br ser ormal olablmes ç hem smetrk olması =0, hem de ormal br yükseklğe sahp olması gerekr. Basıklık poztf se dklğ svrlğ, egatf basıklık se düz yassı br dağılım gösterr. 1
... BASIKLIK KURTOSIS smgesyle gösterle ve mometlere dayaa basıklık ölçüsü aşağıdak gb buluur: Normal br serde =, svr br serde > ve basık br serde < tür. formülüde kesr pay ve paydası poztf olduğuda basıklık ölçüsü poztf değere sahptr. Örek.15. Örek.1 dek verler basıklığıı bulup, yorumlayıız? 7.9177 =.9, =7.9177 1.51 Ser de küçük olduğuda basık br serdr..9 Not: Br ser ormal ser olup olmadığıı çarpıklık ve basıklık katsayılarıa bakarak alayablrz. Normal serde =0 ve = tür. Bua ormallk test der.... BASIKLIK KURTOSIS Paket programlarda ve excel de basıklık aşağıdak formülle yaklaşık olarak hesaplaır. 1 1 B 1 s B=0 se dağılım smetrk ve ormal dağılıma uyar. B<0 se dağılım basık B>0 se dağılım svrdr. Soru. adak ver set ç Basıklık katsayısıı bulup, soucu yorumlayıız? 1 1 B 1 s 10*11,, 7, *9... 9*8*7 1,9 1,9 1,9 8*7 0,15 Souç egatf olduğu ç eğr braz basıktır. 5 5 6 7 AO, SS 1,9
Örek.16. Aşağıdak ver set ç değşm ölçüler Excel ve SPSS te hesaplayıız. Artmetk Ortalama =ORTALAMAA:A16 16,80 Değşm Geşlğ =MAKA:A16-MİNA:A16 9,00 Brc Kartl =DÖRTTEBİRLİKA:A16;1 9,00 Üçücü Kartl =DÖRTTEBİRLİKA:A16;,50 Kartller Arası Fark =D-D 1,50 Ortalama Sapma =ORTSAPA:A16 9,65 Stadart Sapma =STDSAPMAA:A16 11,9 aryas =ARA:A16 1,0 Stadart Hata =D7/KAREKÖKBAĞ_DEĞ_SAA:A16,08 Değşm Katsayısı =D7/D1*100 70,9.5. ÖRNEK PROBLEMLER 1 Br ser ç karel ortalama 10 ve artmetk ortalama 6 bulumuştur. Bu ser stadart sapması kaçtır? a8 b10 c1 d1 e15 Artmetk ortalaması 100 ve varyası 1 ola br ser değşm katsayısı kaçtır? a8 b10 c1 d1 e15 x: 5 0 5 9 19 sers ç değşm aralığı kaçtır? a8 b10 c1 d1 e16 x:15 0 5 0 5 f: 9 5 Sers değşm aralığı kaçtır? Doç. Dr. üksel TERZİ OMÜ FEN-ED. FAKÜLTESİ İSTATİSTİK BÖLÜMÜ yukselt@omu.edu.tr a8 b10 c15 d0 e Cevaplar:1-a, -c, -e, -d