ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ KANAL YÜZEYLERİ. Fatih DOĞAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2012

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GENELLEŞTİRİLMİŞ KANAL YÜZEYLERİ Fatih DOĞAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 01 Her hakkı saklıdır

ÖZET Doktora Tezi GENELLEŞT IR ILM IŞ KANAL YÜZEYLER I Fatih DO ¼GAN Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal Dan şman: Prof. Dr. Yusuf YAYLI Bu tez beş bölümden oluşmaktad r. Ilk bölüm giriş ve temel kavramlara ayr ld. Ikinci bölümde, Öklid uzay nda farkl ortonormal çat lara göre kanal yüzeylerinin genellemeleri elde edildi. Hem Frenet çat l kanal ve tüp yüzeyinin hem de Bishop ve Darboux çat l tüp yüzeylerinin Gauss ve ortalama e¼grilikleri hesapland. Üçüncü bölümde, kanal ve tüp yüzeyleri üzerinde yatan parametre e¼grileri ile geodezik e¼griler, asimptotik e¼griler ve e¼grilik çizgileri aras ndaki ilişki araşt r ld. Dördüncü bölümde, 3-boyutlu Minkowski uzay nda spacelike ya da timelike bir merkez e¼grisi için kanal yüzeyleri incelendi. Spacelike asli normallere sahip olan bir spacelike merkez e¼grisi için kanal yüzeyinin birinci ve ikinci temel formunun katsay lar ve Gauss e¼grili¼gi hesapland. Son bölümde, Öklid uzay nda Frenet çat l kanal yüzeyinin perspektif silüet e¼grisi incelendi ve 3-boyutlu Minkowski uzay nda kanal yüzeylerinin perspektif silüet e¼grileri elde edildi. Şubat 01, 71 sayfa Anahtar Kelimeler : Kanal yüzeyi, Tüp yüzeyi, Bishop ve Darboux çat lar, Özel e¼griler, Perspektif silüet e¼grisi i

ABSTRACT Ph.D. Thesis GENERALIZED CANAL SURFACES Fatih DO ¼GAN Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Yusuf YAYLI This thesis comprises ve chapters. The rst chapter is devoted to the introduction and basic concepts. In the second chapter, the generalizations of canal surfaces with respect to di erent orthonormal frames are obtained in the Euclidean space. The Gaussian and mean curvatures of canal and tube surfaces with Frenet frame as well as the Gaussian and mean curvatures of tube surface with Bishop and Darboux frames are computed. In the third chapter, the relation between parameter curves and geodesic curves, asymptotic curves, lines of curvature are investigated on canal and tube surfaces. In the fourth chapter, canal surfaces for a spacelike or a timelike center curve are examined in the Minkowski 3-space. Both the coe cients of the rst and second fundamental form and the Gaussian curvature of the canal surface for a spacelike center curve with timelike principal normal are computed. In the last chapter, the perspective silhouette curve of a canal surface is examined in the Euclidean space and the perspective silhouette curves of canal surfaces are obtained in the Minkowski 3-space. February 01, 71 pages Key Words : Canal surface, Tube surface, Bishop and Darboux frames, Special curves, Perspective silhouette curve ii

TEŞEKKÜR Bu çal şman n haz rlanmas na verdi¼gi destek için dan şman hocam Say n Prof. Dr. Yusuf YAYLI ya (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü) teşekkür ederim. Fatih DO ¼GAN Ankara, Şubat 01 iii

IÇ INDEK ILER ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii 1. G IR IŞ 1 1.1 Temel Kavramlar. KANAL YÜZEY IN IN PARAMETR IZASYONU 1.1 Frenet Çat l Kanal Yüzeyinin E¼grilikleri 19. Frenet Çat l Tüp Yüzeyinin E¼grilikleri.3 Bishop Çat l Tüp Yüzeyinin E¼grilikleri 3.4 Genelleştirilmiş Tüp Yüzeyinin 1. ve. Temel Formunun Katsay lar 6.5 Darboux Çat l Tüp Yüzeyinin E¼grilikleri 7 3. KANAL VE TÜP TÜZEYLER I ÜZER INDEK I ÖZEL E ¼GR ILER IN KARAKTER IZASYONLARI 30 4. 3-BOYUTLU MINKOWSKI UZAYINDA KANAL YÜZEYLER I 51 4.1 Spacelike Asli Normallere Sahip Olan Bir Spacelike Merkez E¼grisi Için Kanal Yüzeyinin Parametrizasyonu ve Gauss E¼grili¼gi 53 4. Timelike Asli Normallere Sahip Olan Bir Spacelike Merkez E¼grisi Için Kanal Yüzeyinin Parametrizasyonu 56 4.3 Bir Timelike Merkez E¼grisi Için Kanal Yüzeyinin Parametrizasyonu 56 5. KANAL YÜZEY IN IN PERSPEKT IF S ILÜET E ¼GR IS I 57 KAYNAKLAR 65 ÖZGEÇM IŞ 67 iv

1. G IR IŞ Kanal yüzeyleri, ilk olarak 1850 y l nda Frans z matematikçi Gaspard Monge taraf ndan tan mlanm şt r. Kanal yüzeyi de¼gişken yar çapl hareketli bir kürenin zarf olarak tan mlan r. Bu kürelerin merkezlerinin yörüngesi bir helis ve yar çap fonksiyonu sabit ise, meydana gelen yüzey helisel kanal yüzeyi, kürelerin merkezlerinin yörüngesi bir do¼gru ise, meydana gelen yüzey bir dönel yüzey olur. Kanal yüzeyini oluşturan hareketli kürenin yar çap fonksiyonu sabit ise, kanal yüzeyine tüp ya da boru yüzeyi ad verilir. Kanal yüzeyleri, günlük hayatta karş m za ç kan boru, halat, direk ve 3-boyutlu dökümleri temsil etmede kullan l rlar. Yine kanal yüzeyleri, bilgisayar destekli tasar m ve üretim için kat lar n ve yüzeylerin modellenmesinde de s kl kla kullan lmaktad r. Temsili örnekler olarak, do¼gal kuadrikler, tüp yüzeyleri ve toruslar verilebilir. Günümüzde kanal yüzeylerini cebirsel ve geometrik aç dan ele alan birçok çal şma yap lm şt r. Kanal yüzeyleri, kendisini oluşturan kürelerin merkez e¼grisinin Frenet çat s yard m yla parametrize edilir. Bu tezde, merkez e¼grisi boyunca Frenet çat s yerine, Bishop ve Darboux çat lar al narak kanal yüzeylerinin farkl genellemeleri elde edilmiştir. Ikinci bölümde, Frenet çat l kanal yüzeyinin 1. ve. temel formlar n n katsay lar ile Gauss e¼grili¼gi verilmiş ve bu yüzeyin ortalama e¼grili¼gi hesaplanm şt r. Yine bu bölümde, Frenet, Bishop ve Darboux çat l tüp yüzeylerinin e¼grilikleri de hesaplanm şt r. Üçüncü bölümde, tüp yüzeyleri üzerinde yatan parametre e¼grileri ile özel e¼griler olan geodezik e¼griler, asimptotik e¼griler ve e¼grilik çizgileri aras ndaki ilişki incelenmiş ve çeşitli karakterizasyonlar verilmiştir. Dördüncü bölümde, kanal yüzeyleri Minkowski uzay nda ele al nm ş ve spacelike asli normale sahip spacelike bir merkez e¼grisi için kanal yüzeyinin birinci ve ikinci temel formunun katsay lar ile Gauss e¼grili¼gi hesaplanm şt r. Son bölümde, Öklid uzay nda kanal yüzeyi üzerinde yatan perspektif silüet e¼grisi incelenmiş ve Minkowski uzay nda kanal yüzeyleri üzerinde yatan perspektif silüet e¼grileri bulunmuştur. 1

1.1 Temel Kavramlar Tan m 1.1.1 : s f rdan farkl e¼grili¼giyle birlikte birim h zl bir uzay e¼grisi olsun. E¼ger bu e¼grinin e¼grilikleri oran ( )(s) bir sabit fonksiyon ise, e¼grisine genel helis denir. Tan m 1.1. : s f rdan farkl e¼grili¼giyle birlikte birim h zl bir uzay e¼grisi olsun. E¼ger bu e¼grinin her noktas nda asli normal vektörleri sabit bir vektörle sabit aç yap yor ise, e¼grisine slant helis denir. Tan m 1.1.3 : Herhangi bir m 6= 0; 1 p 3 reel say s için, m (t) = 1 p 1+m 0 B @ 1 n 4(1 + n) sin((1 + n)t) 1 + n 4(1 n) sin((1 n)t) 1 sin t; 1 n 1 + n cos((1 + n)t) + 4(1 + n) 4(1 n) cos((1 n)t) + 1 cos t; 1 4m cos(nt) 1 C A şeklinde tan mlanan uzay e¼grisi sabit e¼grilikli ve de¼gişken torsiyonlu e¼grilerin bir ailesini temsil eder. Bu e¼griler, Salkowski e¼grileri olarak tan mlan r. Teorem 1.1.1 : Asli normal vektörleri sabit bir do¼grultuyla sabit bir aç s yapan Salkowski e¼grisi (slant helis), (s) 1 ve (s) = tan(arcsin(ms)) (m = 1 tan ) do¼gal denklemleri ile karakterize edilir. Tan m 1.1.4 : ve 1 iki uzay e¼grisi olsun. ve 1 e¼grilerinin birbirine karş l k gelen noktalar nda, e¼grisinin asli normal vektörleri 1 e¼grisinin binormal vektörleri ile çak ş yorsa e¼grisine Mannheim e¼grisi denir. bir sabit ve bu e¼grinin e¼grilikleri ve olmak üzere, Mannheim e¼grisi = eşitli¼giyle karakterize edilir. + Tan m 1.1.5 : s f rdan farkl e¼grili¼giyle birlikte birim h zl bir uzay e¼grisi ve T = 0 bu e¼grinin te¼get vektör alan olsun. O halde T; N; B, e¼grisi üzerindeki her bir noktada birbirine dik olan üç vektör alan olur. ft; N; Bg vektör alan üçlüsüne

e¼grisi üzerindeki Frenet çat s denir ve T (s) = 0 (s) N(s) = 00 (s) k 00 (s)k B(s) = T (s) N(s) (1.1) dir. Burada N ve B s ras yla, e¼grisinin asli normal vektör alan ve binormal vektör alan d r. Tan m 1.1.6 : s f rdan farkl e¼grili¼giyle birlikte birim h zl bir uzay e¼grisi ve N 1, T te¼get vektörüne dik herhangi bir birim vektör olsun. E¼ger N = T N 1 olacak biçimde seçilirse, ft; N 1 ; N g pozitif yönlendirilmiş bir ortonormal çat olur. Bu çat ya Bishop çat s denir. Frenet ve Bishop çat lar aras ndaki ilişki aşa¼g daki gibidir. 3 3 3 T 1 0 0 T 6N7 4 5 = 60 cos sin 7 6N 4 5 4 1 7 5 B 0 sin cos N T = T N = cos N 1 + sin N (1.) B = sin N 1 + cos N Burada, N ile N 1 aras ndaki aç d r. Teorem 1.1. : s f rdan farkl e¼grili¼giyle birlikte birim h zl bir uzay e¼grisi olsun. Bu takdirde, Frenet-Serret formülleri T 0 (s) = (s)n(s) N 0 (s) = (s)t (s) + (s)b(s) (1.3) B 0 (s) = (s)n(s) 3

dir. Burada, e¼grisinin torsiyonudur. Teorem 1.1.3 : s f rdan farkl e¼grili¼giyle birlikte birim h zl bir uzay e¼grisi olsun. O halde, Bishop çat s için türev formülleri ve Bishop parametreleri aşa¼g daki gibidir. T 0 (s) = k 1 (s)n 1 (s) + k (s)n (s) N1(s) 0 = k 1 (s)t (s) N(s) 0 = k (s)t (s) (1.4) k 1 (s) = (s) cos k (s) = (s) sin (s) = 0 (s): Tan m 1.1.7 : Bir x : D! E 3 koordinat parças, E nin bir D aç k alt cümlesinden E 3 ün içine birebir ve regüler bir dönüşümdür (O Neill 006). Tan m 1.1.8 : M E 3 olmak üzere 8 p M için, M nin içinde görüntüsü p nin bir komşulu¼gunu içeren uygun bir koordinat parças (x 1 : x(d)! D sürekli) varsa, M ye bir yüzey denir (O Neill 006). Tan m 1.1.9 : M bir regüler yüzey ve : I R! M birim h zl bir e¼gri olsun. O halde, e¼grisi boyunca ft; Y = U T; Ug Darboux çat s tan ml d r. Burada T, e¼grisinin te¼geti ve U, M yüzeyinin birim normalidir. Frenet ve Darboux çat lar aras ndaki ilişki aşa¼g daki gibidir. 3 3 3 T 1 0 0 T 6 N 7 4 5 = 6 0 cos sin 7 6 Y 7 4 5 4 5 B 0 sin cos U 4

T = T N = cos Y + sin U B = sin Y + cos U Burada, yüzey normali U ile e¼grinin binormali B aras ndaki aç d r. Teorem 1.1.4 : M bir regüler yüzey ve : I R! M birim h zl bir e¼gri olsun. e¼grisi boyunca ft; Y = U T; Ug Darboux çat s için türev formülleri, T 0 = k g Y + k n U Y 0 = k g T + g U (1.5) U 0 = k n T g Y dir. Burada k g, k n ve g s ras yla, e¼grisinin geodezik e¼grili¼gi, normal e¼grili¼gi ve geodezik torsiyonudur. (1.5) denklemlerinden, (s) = kg(s) + kn(s) k g (s) = (s) cos (1.6) k n (s) = (s) sin g (s) = (s) 0 Tan m 1.1.10 : F (x; y; z) = 0 bir yüzey olsun. O halde bir parametre olmak üzere, F (x; y; z; ) = 0, 1-parametreli bir yüzey ailesi olur. k için F, C k s n f ndan olsun. O halde F (x; y; z; ) = 0 @F (x; y; z; ) @ = 0 denklem sisteminden, parametresi yok edilerek elde edilen G(x; y; z) = 0 yüzeyine, 1-parametreli yüzey ailesinin zarf denir (Hac saliho¼glu 005). 5

Tan m 1.1.11 (Kanal Yüzeyi) : E 3 de 1-parametreli küre ailesinin zarf na kanal yüzeyi denir. Alternatif olarak kanal yüzeyi, merkezlerinin yörüngesi bir C(t) e¼grisi ve yar çap fonksiyonu r(t) olan de¼gişken yar çapl hareketli bir kürenin zarf olarak tan mlan r (Gray 1998). Tan m 1.1.1 : S (t) kürelerinin merkezlerinin yörüngesi olan C(t) e¼grisine kanal yüzeyinin merkez e¼grisi ya da spine e¼grisi, r = r(t) fonksiyonuna ise kanal yüzeyinin yar çap fonksiyonu denir (Gray 1998). Tan m 1.1.13 : Bir kanal yüzeyi için yar çap fonksiyonu r = r(t) sabit ise, kanal yüzeyine tüp ya da boru yüzeyi denir. Tan m 1.1.14 : Bir (s) merkez e¼grisi etraf nda genelleştirilmiş tüpün parametrizasyonu X(s; ) = (s) + u() (cos N(s) + sin B(s)) ; 0 < şeklindedir. Burada, u()(> 0) iki kez türevlenebilir bir fonksiyon ve u(0) = u() dir (Gross 1994). Teorem 1.1.5 : Kanal yüzeyi ile S (t) küreleri karakteristik çember ad verilen çemberler boyunca te¼gettir. Tan m 1.1.15 : x : D! E 3 bir koordinat parças olsun. Bu koordinat parças (u; v)! x(u; v), u ya da v sabit tutuldu¼gunda bir e¼gri üretir. v = v 0 için u! x(u; v 0 ) e¼grisine u parametre e¼grisi, u = u 0 için v! x(u 0 ; v) e¼grisine v parametre e¼grisi denir. Tan m 1.1.16 : x : D! E 3 bir koordinat parças olsun. O halde x in birinci 6

temel formunun katsay lar, E = x u x u F = x u x v (1.7) G = x v x v ve ikinci temel formunun katsay lar, e = S(x u ) x u = N x uu f = S(x u ) x v = N x uv (1.8) g = S(x v ) x v = N x vv dir. Tan m 1.1.17 :, M yüzeyi üzerinde bir regüler e¼gri olsun. E¼ger 00 ivme vektörü daima M yüzeyine dik ise, e¼grisine bir geodezik denir (O Neill 006). Tan m 1.1.18 : M bir yüzey ve x(u; v), x(0; 0) = p ile birlikte bu yüzeyin p noktas komşulu¼gundaki parametrizasyonu olsun. e = e(u; v), f = f(u; v) ve g = g(u; v), M yüzeyinin ikinci temel formunun katsay lar olmak üzere, : I! M, (t) = x(u(t); v(t)) regüler e¼grisi bir asimptotik e¼gridir yani, II( 0 (t)) = 0 () e(u 0 ) + fu 0 v 0 + g(v 0 ) = 0; Burada, II ile M yüzeyinin ikinci temel formu gösterilmektedir ve e(u 0 ) + fu 0 v 0 + g(v 0 ) = 0 denklemine asimptotik e¼grilerin diferensiyel denklemi denir (do Carmo 1976). Tan m 1.1.19 :, M yüzeyi üzerinde bir regüler e¼gri olsun. E¼ger 00 ivme vektörü daima M yüzeyine te¼get ise, e¼grisine bir asimptotik e¼gri denir (O Neill 006). 7

Teorem 1.1.6 : M yüzeyinin bir hiperbolik nokta komşulu¼gundaki (eg f < 0) x(u; v) parametrizasyonu için, parametre e¼grileri ayn zamanda asimptotik e¼gridir () e = g = 0. Burada e ve g, M yüzeyinin ikinci temel formunun katsay lar d r (do Carmo 1976). Teorem 1.1.7 (Weingarten Denklemleri) : x : D! E 3 bir koordinat parças olsun. O halde x in S şekil operatörü fx u ; x v g baz na göre aşa¼g daki gibi elde edilir (Gray 1998). S(x u ) = U u = S(x v ) = U v = ff eg EG F x ef fe u + EG F x v gf fg EG F x ff ge u + EG F x v: (1.9) Ispat : x u ile x v lineer ba¼g ms z olduklar ndan a 11, a 1, a 1, a fonksiyonlar için, S(x u ) = U u = a 11 x u + a 1 x v S(x v ) = U v = a 1 x u + a x v denklemleri yaz labilir. Şimdi a 11, a 1, a 1, a katsay lar n hesaplayal m. Yukar daki denklemlerin s ras yla x u ve x v ile iç çarp m al n rsa, e = a 11 E + a 1 F f = a 11 F + a 1 G f = a 1 E + a F g = a 1 F + a G elde edilir. Bu denklemler matris terimleriyle yaz l rsa, 3 3 3 4 e f 5 = 4 a 11 a 1 5 4 E F 5 f g a 1 a F G 8

3 4 a 11 a 1 5 = a 1 a 4 e 3 f 5 4 E 3 F 5 f g F G 1 bulunur. Burada 3 4 E F 5 F G 1 3 1 = 4 G F 5 EG F F E oldu¼gu için, 4 a 11 3 a 1 5 = a 1 a = 1 4 e f EG F f g 1 4 EG F 3 5 4 G F F E 3 5 3 eg ff ef + fe 5 fg gf ff + ge eşitli¼ginden a 11 = a 1 = ff eg EG F ; a ef fe 1 = EG F gf fg EG F ; a ff ge = EG F elde edilir. Tan m 1.1.0 : M yüzeyinin bir x(u; v) parametrizasyonu için, : I! M, (t) = x(u(t); v(t)) regüler e¼grisi bir e¼grilik çizgisidir yani, S( 0 (t)) = (t) 0 (t) () (fe ef )(u 0 ) + (ge eg)u 0 v 0 + (gf fg)(v 0 ) = 0: Burada S, M yüzeyinin şekil operatörüdür ve (fe ef )(u 0 ) + (ge eg)u 0 v 0 + (gf fg)(v 0 ) = 0 denklemine e¼grilik çizgilerinin diferensiyel denklemi denir (do Carmo 1976). Teorem 1.1.8 : Bir yüzey üzerinde umbilik olmayan bir nokta komşulu¼gunda parametre e¼grileri ayn zamanda e¼grilik çizgisidir () Umbilik olmayan bu nokta 9

komşulu¼gunda F = f = 0 d r (do Carmo 1976). Ispat : Weingarten denklemleri, olarak verilmişti. S(x u ) = U u = S(x v ) = U v = ff eg EG F x ef fe u + EG F x v gf fg EG F x ff ge u + EG F x v (=)) Yüzey üzerinde umbilik olmayan bir nokta komşulu¼gunda, u ve v parametre e¼grileri ayn zamanda e¼grilik çizgisi olsun. Bu durumda e¼grilik çizgisi tan m ndan ve Weingarten denklemlerinden, S(x u ) = S(x v ) = ff EG ff EG eg F x u ge F x v olur. Bir başka deyişle, ef fe gf fg = EG F EG F = 0 d r. Son iki denklemden, ef fe = 0 gf fg = 0 elde edilir. x u 6= 0 ve x v 6= 0 lineer ba¼g ms z vektörler olduklar ndan E ve G s f r olamaz. Ayr ca e ve g s f r iken parametre e¼grileri birer asimptotik e¼gri olur. Bu durumda e ve g de s f r olamaz. Sonuç olarak, bu denklem sisteminin sa¼glanmas için F = f = 0 olmal d r. ((=) Umbilik olmayan bir nokta komşulu¼gunda F = f = 0 olsun. Bu durumda Weingarten denklemlerinden, S(x u ) = e E x u S(x v ) = g G x v 10

yaz labilir. O halde e¼grilik çizgisi tan m ndan, u ve v parametre e¼grileri ayn zamanda birer e¼grilik çizgisi olur. Teorem 1.1.9 : x : D ortalama e¼grilikleri s ras yla,! E 3 bir koordinat parças olsun. O halde, x in Gauss ve K = eg f EG F eg ff + ge H = (EG F ) (1.10) dir. Burada E; F; G; x in birinci temel formunun ve e; f; g ise x in ikinci temel formunun katsay lar d r. 11

. KANAL YÜZEY IN IN PARAMETR IZASYONU Önceki bölümde, kanal yüzeyi 1-parametreli küre ailesinin zarf olarak tan mlanm şt. Şimdi bu tan mdan yararlanarak, kanal yüzeyini iki farkl yolla parametrize edece¼giz. Kanal yüzeyini K(s; ) ile gösterelim. Burada s, C(s) merkez e¼grisinin yay parametresidir. Kürelerin merkez e¼grisi C(s) ve yar çap fonksiyonu r(s) olmak üzere p = K(s; ) noktalar için, kk(s; ) C(s)k = r(s) (.1) dir. C(s) merkez e¼grisinin e¼grili¼gi s f rdan farkl olsun. Bu durumda e¼grinin ft; N; Bg Frenet çat s tan ml d r ve K(s; ) C(s) = a(s; )T (s) + b(s; )N(s) + c(s; )B(s) (.) olarak yaz labilir. Burada a, b ve c fonksiyonlar, C(s) merkez e¼grisinin tan ml oldu¼gu aral kta diferensiyellenebilir fonksiyonlard r. Kanal yüzeyi ve küreler çemberler boyunca birbirlerine te¼get olduklar için, bu noktalardaki te¼get düzlemleri ayn d r. Kürenin yer vektörü normal vektörüne eşit oldu¼gundan, kanal yüzeyinin normali U(s; ) = K(s; ) C(s) olur. Bu yüzden (K(s; ) C(s)) K s = 0 (.3) d r. K(s; ) n n s de¼gişkenine göre k smi türevi al n rsa, K s = T + a s T + at 0 + b s N + bn 0 + c s B + cb 0 olur. Frenet-Serret formüllerinden, K s = (1 + a s b)t + (a c + b s )N + (c s + b)b 1

elde edilir. Bu durumda (.1) ve (.3) denklemlerinden, a + b + c = r aa s + bb s + cc s = rr 0 (K(s; ) C(s)) K s = a + aa s ab + ab + bb s bc + bc + cc s = 0 a + aa s + bb s + cc s = 0 a + rr 0 = 0 bulunur. a = rr 0, a + b + c = r eşitli¼ginde yerine yaz l rsa b ve c, b + c = r 1 r 0 b = r p 1 c = r p 1 r 0 cos r 0 sin bulunur. Son olarak a, b ve c fonksiyonlar (.) denkleminde yerlerine yaz l rsa, kanal yüzeyi K(s; ) = C(s) r(s)r 0 (s)t (s) + r(s) p 1 r 0 (s) (cos N(s) + sin B(s))(.4) K(s; ) = C(s) r(s)r 0 (s)t (s) r(s) p 1 r 0 (s) (cos N(s) + sin B(s)) denklemleri ile iki farkl şekilde parametrize edilir (Gray 1998). Alternatif olarak kanal yüzeyini, karakteristik çemberlerinin bir ailesine parçalayarak parametrize edelim. Kanal yüzeyini oluşturan kürelerin merkezlerinin yörüngesi bir C(t) e¼grisi ve yar çap fonksiyonu r(t) oldu¼gundan, bu yüzey ve küre üzerinde gömülü 13

bir p = K(t; ) E 3 noktas aşa¼g daki denklemleri sa¼glar. Şekil.1. Kanal yüzeyinin bir kesiti (Kim ve Lee 003)! p C(t) = r(t) (! p C(t)) C 0 (t) + r(t)r 0 (t) = 0: (.5) Kanal yüzeyinin K(t) karakteristik çemberlerinin merkezi M(t) olsun. Bu durumda,!! C(t)p vektörünün C 0 (t) te¼get vektörü yönündeki dik izdüşümü C(t)M(t) vektörüdür.! C(t)M(t) =! C(t)p C 0 (t) C 0 (t) C 0 (t) C 0 (t) M(t) C(t) = (p C(t)) C 0 (t) C 0 (t): C 0 (t) C 0 (t) (.5) denkleminden karakteristik çemberlerin merkezi ve yar çap fonksiyonu s ras yla, M(t) = C(t) + r(t) cos (t) C 0 (t) r ; cos (t) = kc 0 (t)k 0 (t) kc 0 (t)k ve R(t) = r(t) sin (t) = r(t) olarak hesaplan r. Burada (t), Böylece kanal yüzeyinin parametrizasyonu, q kc 0 (t)k kc 0 (t)k r 0 (t)! C(t)p vektörü ile C 0 (t) vektörü aras ndaki aç d r. K(t; ) = M(t) + R(t) (cos N(t) + sin B(t)) 14

K(t; ) = C(t) q C 0 (t) r(t)r 0 (t) kc 0 (t)k r(t) kc 0 (t)k kc 0 (t)k r 0 (t) (cos N + sin B) (.6) olarak elde edilir. E¼ger C(t) merkez e¼grisi birim h zl ise (.6) parametrizasyonu K(s; ) = C(s) r(s)r 0 (s)t (s) r(s) p 1 r 0 (s) (cos N(s) + sin B(s)) (.4) parametrizasyonu ile çak ş r. Kanal yüzeyinin (.4) parametrizasyonunda yar çap fonksiyonu r(s) = r olacak biçimde bir sabit ise, elde edilen L(s; ) = C(s) + r (cos N(s) + sin B(s)) (.7) yüzeyine tüp yüzeyi ad verilir. Bundan sonra, C(s) merkez e¼grisinin ortonormal çat lar yard m yla, kanal yüzeyinin genellemelerini elde edece¼giz. Önce C(s) merkez e¼grisinin Bishop çat s n kullanarak Bishop çat l kanal yüzeyini, daha sonra herhangi bir yüzey üzerinde yatan C(s) merkez e¼grisinin Darboux çat s n kullanarak Darboux çat l kanal yüzeyini parametrize edece¼giz. Şimdi, kanal yüzeyini C(s) merkez e¼grisinin Bishop çat s yard m yla parametrize edelim. C(s) merkez e¼grisinin ft; N 1 ; N g Bishop çat s için, K(s; v) C(s) = l(s; v)t (s) + m(s; v)n 1 (s) + n(s; v)n (s) yaz labilir. Burada, l, m ve n fonksiyonlar C(s) merkez e¼grisinin tan ml oldu¼gu aral kta diferensiyellenebilir fonksiyonlard r. p = K(s; v) noktalar için, kk(s; v) C(s)k = r(s) 15

denkleminden, l + m + n = r elde edilir. Kanal yüzeyinin normali U(s; v) = K(s; v) C(s) oldu¼gundan, (K(s; v) C(s)) K s = 0 d r. Bishop çat s için türev formülleri T 0 = k 1 N 1 + k N ; N 0 1 = k 1 T; N 0 = k T K(s; v) n n s de¼gişkenine göre k smi türevi K s = T + l s T + lt 0 + m s N 1 + mn 0 1 + n s N + nn 0 denkleminde yerlerine yaz l rsa, K s = (1 + l s mk 1 nk )T + (lk 1 + m s )N 1 + (lk + n s )N olarak elde edilir. Bu eşitlik aşa¼g da yerine yaz larak, (K(s; v) C(s)) K s = 0 (lt + mn 1 + nn ) [(1 + l s mk 1 nk )T + (lk 1 + m s )N 1 + (lk + n s )N ] = 0 l(1 + l s mk 1 nk ) + m(lk 1 + m s ) + n(lk + n s ) = 0 l + ll s lmk 1 nlk + lmk 1 + mm s + nlk + nn s = 0 l + ll s + mm s + nn s = 0 l = rr 0 16

bulunur. Yine l = rr 0, l + m + n = r eşitli¼ginde yerine yaz l rsa, m + n = r 1 r 0 m = r p 1 r 0 cos v n = r p 1 r 0 sin v bulunur. Son olarak bulunan l, m ve n fonksiyonlar, K(s; v) C(s) = l(s; v)t (s) + m(s; v)n 1 (s) + n(s; v)n (s) denkleminde yerlerine yaz l rsa, Bishop çat s na göre kanal yüzeyinin parametrizasyonu, K(s; v) = C(s) r(s)r 0 (s)t (s) r(s) p 1 r 0 (s) (cos vn 1 (s) + sin vn (s)) (.8) olarak elde edilir. M bir yüzey ve C : I R! M merkez e¼grisi bu yüzey üzerinde birim h zl bir e¼gri olsun. U, M yüzeyinin birim normal vektör alan ve T, C(s) merkez e¼grisinin te¼get vektör alan olmak üzere, bu e¼gri boyunca ft; Y = U T; Ug Darboux çat s tan ml d r. Bu kez kanal yüzeyini, Darboux çat s na göre parametrize edelim. C(s) merkez e¼grisinin Darboux çat s için, K(s; ) C(s) = p(s; )T (s) + u(s; )Y (s) + z(s; )U(s) yaz labilir. Burada, p, u ve z fonksiyonlar C(s) merkez e¼grisinin tan ml oldu¼gu aral kta diferensiyellenebilir fonksiyonlard r. Kanal yüzeyi üzerindeki K(s; ) noktalar için kk(s; ) C(s)k = r(s) oldu¼gundan, p + u + z = r 17

denklemi sa¼glan r. Kanal yüzeyinin normali N(s; ) = K(s; ) C(s) oldu¼gundan, (K(s; ) C(s)) K s = 0 dir. T 0 = k g Y + k n U; Y 0 = k g T + g U; U 0 = k n T g Y K(s; ) n n s de¼gişkenine göre k smi türevi K s = T + p s T + pt 0 + u s Y + uy 0 + z s U + zu 0 denkleminde yerlerine yaz l rsa, K s = (1 + p s uk g zk n )T + (pk g + u s z g )Y + (pk n + u g + z s )U olarak elde edilir. Bu eşitlik aşa¼g da yerine yaz larak, (K(s; ) C(s)) K s = 0 (pt + uy + zu) [(1 + p s uk g zk n )T + (pk g + u s z g )Y + (pk n + u g + z s )U] = 0 p + pp s puk g pzk n + puk g + uu s uz g + pzk n + uz g + zz s = 0 p + pp s + uu s + zz s = 0 p = rr 0 bulunur. Yine p = rr 0, p + u + z = r eşitli¼ginde yerine yaz larak, u = r p 1 r 0 cos z = r p 1 r 0 sin bulunur. O halde Darboux çat s na göre kanal yüzeyinin parametrizasyonu, K(s; ) = C(s) r(s)r 0 (s)t (s) r(s) p 1 r 0 (s) (cos Y (s) + sin U(s)) (.9) 18

olarak elde edilir. Yukar da, önce kanal yüzeyinin parametrizasyonu iki farkl şekilde elde edildi. Sonra, C(s) merkez e¼grisi için Frenet çat s yerine Bishop çat s al n p kanal yüzeyinin bir genellemesine ulaş ld. Son olarak, bir yüzey üzerinde yatan herhangi bir C(s) merkez e¼grisinin Darboux çat s yard m yla, kanal yüzeyinin bir başka genellemesi elde edildi. Burada, Frenet, Bishop ve Darboux çat l kanal yüzeylerinin parametrizasyonlar n n birbirine benzedi¼gi sonucu ç kar labilir. Fakat (.4), (.8) ve (.9) denklemlerinde, karakteristik çemberlerin yatt ¼g düzlemlerin farkl oldu¼gu ve dolay s yla kanal yüzeylerinin genellemelerinin birbirinden farkl oldu¼gu aç kt r..1 Frenet Çat l Kanal Yüzeyinin E¼grilikleri Şimdi Frenet formüllerini kullanarak, kanal yüzeyinin birinci temel formunun katsay lar n hesaplayal m. Kanal yüzeyinin (.4) ifadesinde g(s) = r(s) p 1 r 0 (s) ve h(s) = r(s)r 0 (s) olsun. Bu durumda kanal yüzeyinin s ve parametrelerine göre k smi türevleri s ras yla, K s = (1 h 0 g cos )T + ( h + g 0 cos g sin )N + (g 0 sin + g cos )B K = g( sin N + cos B) dir. O halde kanal yüzeyinin birinci temel formunun katsay lar, aşa¼g daki gibi elde edilir. E = K s K s = (g cos + h 0 1) + (g + h sin ) + (g 0 h cos ) F = K s K = g + gh sin (.10) G = K K = g : Bu yüzden kk s K k = EG F = g h (g cos + h 0 1) + (h cos g 0 ) i 19

dir. Lemma.1.1 : (s 0 )g(s 0 ) cos 0 + h 0 (s 0 ) 1 = 0 iken g 0 (s 0 ) h(s 0 )(s 0 ) cos 0 = 0 d r. Burada, s 0 [0; l] ve 0 [0; ) dir. Ispat : h = rr 0 6= 0 ve g = r p 1 r 0 6= 0 için h(s 0 )(h 0 (s 0 ) 1) = g(s 0 )g 0 (s 0 ) eşitli¼gi elde edilir. (s 0 )g(s 0 ) cos 0 + h 0 (s 0 ) 1 = 0 olsun. Bu eşitlik h(s 0 ) ile çarp l rsa, h(s 0 ) (s 0 )g(s 0 ) cos 0 + h 0 (s 0 ) 1 = 0 h(s 0 )(s 0 )g(s 0 ) cos 0 + h(s 0 )(h 0 (s 0 ) 1) = 0 h(s 0 )(s 0 )g(s 0 ) cos 0 g(s 0 )g 0 (s 0 ) = 0 g(s 0 ) h(s 0 )(s 0 ) cos 0 g 0 (s 0 ) = 0 sonucu ç kar. Son eşitlikte g(s 0 ) 6= 0 oldu¼gundan, h(s 0 )(s 0 ) cos 0 edilir. g 0 (s 0 ) = 0 elde Bir yüzeyin regüler olmas için kk s K k 6= 0 yani EG yukar daki lemmaya göre kanal yüzeyinin regüler olmas için, F 6= 0 olmal d r. O halde (s 0 )g(s 0 ) cos 0 + h 0 (s 0 ) 1 6= 0 olmas gerekir. Bir regüler kanal yüzeyinin normal vektörü, U = (g0 h cos )T + (g cos + h 0 1) cos N + (g cos + h 0 1) sin B p (g cos + h 0 1) + (g 0 h cos ) (.11) dir. Bu durumda, kanal yüzeyinin ikinci temel formunun katsay lar L, M, N aşa¼g - 0

daki gibi elde edilir. 1 L = U K ss = p (g cos + h 0 1) + (g 0 h cos ) (h 0 1)(g cos + h 0 1) cos g(g cos + h 0 1) cos (g 0 h cos )g 0 cos 6 +(g 0 h cos )g sin + (g 0 h cos )( 4 h h 00 ) (g cos + h 0 1)( g g 00 ) (g cos + h 0 1)h 3 7 5 1 M = U K s = q (g cos + h 0 1) + (g 0 h cos ) h i g 0 h cos g sin g g cos + h 0 1 (.1) N = U K = g g cos + h 0 1 : q(g cos + h 0 1) + (g 0 h cos ) Buradan kanal yüzeyinin Gauss e¼grili¼gi, K = g cos + h 0 1 g h(g cos + h 0 1) + (g 0 h cos ) i ( g cos + h 0 1 g cos + h 0 1 cos +(g 0 h cos )g 0 cos + (g 0 h cos )g sin (g 0 h cos )( 6 h h 00 ) g 00 g cos + h 0 1 4 + g cos + h 0 1 (g 0 h cos ) g sin h (g cos + h 0 1) 3 7 5 (.13) 1

olarak hesaplan r (Xu vd. 006). Kanal yüzeyinin ortalama e¼grili¼gi ise, H = 6 4 g cos g cos + h 0 1 g cos h 0 + 1 g g 0 cos g 0 h cos + g 3 sin g 0 h cos +g g 0 h cos h h 00 g g cos + h 0 1 g g 00 g h g cos + h 0 1 0 g @ 3 sin g 0 h cos g 3 g cos + h 0 1 1 +g h sin g 0 h cos g h sin g cos + h 0 1 A 0 g g cos + h 0 1 @ g cos + h0 1 1 + (g + h sin ) + g 0 h cos A g (g cos + h 0 1) + (g 0 h cos ) 3 7 5 ifadesinde gerekli düzenlemelerin yap lmas sonucunda, H = g cos + h 0 g g 00 + g 3 1 +g cos g cos h 0 g h(1 sin ) 0 6 4 g @ g cos + h0 1 1 + (g + h sin ) + g 0 h cos A g (g cos + h 0 1) + (g 0 h cos ) 3 7 5 + g0 h cos g h cos g g 0 cos g 3 sin h 00 g g (g cos + h 0 1) + (g 0 h cos ) H = g cos + h 0 1 0 4 gg00 + g cos g cos h gh(1 sin ) + F E g (g cos + h 0 1) + (g 0 h cos ) 3 5 + g0 h cos h cos g 0 cos g sin h 00 (.14) (g cos + h 0 1) + (g 0 h cos ) olarak elde edilir. Burada E ve F kanal yüzeyinin birinci temel formunun katsay lar d r.

. Frenet Çat l Tüp Yüzeyinin E¼grilikleri Şimdi (.7) parametrizasyonuna sahip olan tüp yüzeyinin Gauss ve ortalama e¼griliklerini elde edelim. L(s; ) tüp yüzeyinin s ve parametrelerine göre k smi türevleri, normali ve birinci ve ikinci temel formunun katsay lar aşa¼g daki gibi hesap-lan r. L = r( sin N + cos B) L s = (1 r cos )T + L L = r(cos N + sin B) L s = r sin T + L L ss = r 0 cos + r sin T + r( + ) cos r 0 sin N + r sin + r 0 cos B U = L s L = kl s L k cos N sin B (.15) E = L s L s = (1 r cos ) + r F = L s L = r (.16) G = L L = r e = U L ss = cos (1 r cos ) + r f = U L s = r g = U L = r: Bir yüzey EG F 6= 0 iken regüler oldu¼gundan, L(s; ) tüp yüzeyinin regüler olmas için 1 r cos 6= 0 olmal d r. Sonuç olarak, bir regüler L(s; ) tüp yüzeyinin Gauss ve ortalama e¼grilikleri s ras yla, K = eg f EG F = cos r(1 r cos ) H = eg ff + ge (EG F ) = 1 1 r + Kr (.17) olarak bulunur. 3

.3 Bishop Çat l Tüp Yüzeyinin E¼grilikleri Bir kanal yüzeyinin karakteristik çemberlerinin, C(s) merkez e¼grisinin normal düzleminde (asli normal N(s) ve binormal B(s) taraf ndan gerilen düzlem) yatt ¼g n şekil 1 den biliyoruz. O halde Bishop çat s ile verilen kanal yüzeyinin karakteristik çemberleri, merkez e¼grisinin te¼getine dik olan N 1 (s), N (s) düzleminde yatar. (.8) denkleminde yar çap fonksiyonu r(s) = r olacak biçimde bir sabit ise, P (s; ) = C(s) + r (cos N 1 (s) + sin N (s)) (.18) Bishop çat l tüp yüzeyi olur. Bu durumda P (s; ) tüp yüzeyinin s ve parametrelerine göre k smi türevleri, P s = (1 rk 1 cos rk sin )T P = r( sin N 1 + cos N ) P ss = r k 0 1 cos + k 0 sin T + k 1 (1 rk 1 cos rk sin )N 1 (.19) +k (1 rk 1 cos rk sin )N P s = (rk 1 sin rk cos ) T P = r(cos N 1 + sin N ) olarak elde edilir. T N 1 = N ve T N = N 1 oldu¼gundan, s ve parametre e¼grilerinin te¼get vektörlerinin vektörel çarp m, P s P = r(1 rk 1 cos rk sin ) [cos N 1 + sin N ] kp s P k = EG F = r (1 rk 1 cos rk sin ) (.0) dir. O halde P (s; ) tüp yüzeyinin regüler olmas için, 1 rk 1 cos rk sin 6= 0 olmal d r. Buradan, bir regüler P (s; ) tüp yüzeyinin normali ve birinci ve ikinci 4

temel formunun katsay lar, U = P s P kp s P k = cos N 1 sin N E = P s P s = (1 rk 1 cos rk sin ) F = P s P = 0 G = P P = r (.1) e = U P ss = (k 1 cos + k sin ) (1 rk 1 cos rk sin ) f = U P s = 0 g = U P = r olarak elde edilir. e¼grilikleri s ras yla, O halde bir regüler P (s; ) tüp yüzeyinin Gauss ve ortalama K = eg f EG F = r[ k 1 cos k sin + r(k 1 cos + k sin ) ] r (1 rk 1 cos rk sin ) = (k 1 cos + k sin )[r(k 1 cos + k sin ) 1] r(1 rk 1 cos rk sin ) k 1 cos + k sin = r[r(k 1 cos + k sin ) 1] (.) H = eg ff + ge (EG F ) = r(k 1 cos + k sin ) 1 r[r(k 1 cos + k sin ) 1] = r(k 1 cos + k sin ) 1 r[r(k 1 cos + k sin ) 1] r[r(k 1 cos + k sin ) 1] = k 1 cos + k sin 1 r(k 1 cos + k sin ) 1 r[r(k 1 cos + k sin ) 1] = rk K (k 1 cos + k sin ) (.3) olarak hesaplan r. 5

.4 Genelleştirilmiş Tüp Yüzeyinin 1. ve. Temel Formunun Katsay lar (s) s f rdan farkl e¼grili¼ge sahip birim h zl bir uzay e¼grisi olsun. genelleştirilmiş tüp yüzeyi, Bu durumda X(s; ) = (s) + u() (cos N(s) + sin B(s)) ; 0 < (.4) dir. Burada u fonksiyonu, iki kez türevlenebilirdir ve u() > 0, u(0) = u() koşullar n sa¼glar. Genelleştirilmiş tüpün s ras yla s ve parametrelerine göre k smi türevleri, normali, birinci ve ikinci temel formunun katsay lar aşa¼g daki gibi hesaplan r. X = (u 0 cos u sin )N + (u 0 sin + u cos )B X s = (1 u cos ) T u sin N + u cos B X s = (u 0 cos u sin )T (u 0 sin + u cos )N + (u 0 cos u sin )B X = (u 00 cos u 0 sin u cos )N + (u 00 sin + u 0 cos u sin )B X ss = (u sin 0 u cos )T + ((1 u cos ) 0 u sin u cos )N +( 0 u cos u sin )B U = X X s = uu 0 T + (1 u cos ) 4 u0 sin + u cos N + u sin u 0 cos B 3 5 E = X s X s = (1 u cos ) + u F = X s X = u G = X X = u + (u 0 ) e = X ss U = 1 4 u u 0 ( sin 0 cos ) (1 u cos ) (u + uu 0 0 ) kuk +(1 u cos ) (u 0 sin + u cos ) f = X s U = 1 kuk [uu0 (u sin u 0 cos ) (1 u cos ) (u + (u 0 ) )] g = X U = 1 kuk (1 u cos )(uu00 (u 0 ) u ): (.5) 3 5 6

Genelleştirilmiş tüp k saca GT ile gösterilir ve ZGT ile CGT olmak üzere iki şekilde s n and r l r. Burada ZGT, merkez e¼grisinin torsiyonunun s f r oldu¼gu yani düzlemsel oldu¼gu duruma, CGT ise genelleştirilmiş tüpün dairesel kesitlere sahip oldu¼gu (.7) denklemiyle verilen tüp yüzeyine karş l k gelmektedir..5 Darboux Çat l Tüp Yüzeyinin E¼grilikleri (.9) denkleminde yar çap fonksiyonu r(s) = r olacak şekilde bir sabit ise, D(s; ) = C(s) + r (cos Y (s) + sin U(s)) (.6) Darboux çat l tüp yüzeyi olur. Şimdi bu yüzeyin normalini, birinci ve ikinci temel formunun katsay lar n, Gauss ve ortalama e¼griliklerini hesaplayal m. Darboux çat s için türev formüllerinden, D(s; ) n n s ve parametrelerine göre k smi türevleri, h i D s = T + r cos Y 0 (s) + sin U 0 (s) = T + r [cos ( k g T + g U) + sin ( k n T g Y )] = [1 r cos k g r sin k n ] T r sin g Y + r cos g U D = r sin Y + r cos U h i D ss = r cos k 0 g r sin k 0 n T + [1 r cos k g r sin k n ] [k g Y + k n U] r sin 0 gy r sin g ( k g T + g U) + r cos 0 gu D ss = +r cos g [ k n T g Y ] h i r cos k 0 g r sin k 0 n + r sin k g g r cos k n g T h i + k g r sin k n k g r cos kg r cos g r sin 0 g Y h i + k n r cos k n k g r sin kn r sin g + r cos 0 g U D s = [r sin k g r cos k n ] T r cos g Y r sin g U D = r cos Y r sin U 7

olarak bulunur. Buradan, D s D = r cos + r sin cos k n + r cos k g Y + r sin + r sin cos k g + r sin k n U kd s D k = r (1 r cos k g r sin k n ) dir. O halde yüzeyin normali, birinci ve ikinci temel formunun katsay lar ve Gauss e¼grili¼gi, N = D s D kd s D k = cos Y sin U E = D s D s = (1 r cos k g r sin k n ) + r g F = D s D = r g G = D D = r (.7) e = N D ss = (k g cos + k n sin ) [r(k g cos + k n sin ) 1] + r g f = N D s = r cos g + r sin g = r g g = N D = r cos + r sin = r K = eg f EG F = k g cos + k n sin r (1 r cos k g r sin k n ) (.8) olarak elde edilir. k g cos + k n sin = a ise, E = (ar 1) + r g e = a(ar 1) + r g EG F = r (ar 1) H = = eg ff + ge (EG F ) a(ar 1) + r g r r 3 g + r (ar 1) + r g = r a(ar 1) + r(ar 1) r (ar 1) r(ar 1) (ar 1) = r (ar 1) ar 1 = r(ar 1) 8 r (ar 1)

olur. Son denklemde k g cos + k n sin = a yerine yaz ld ¼g nda ortalama e¼grilik, H = r (k g cos + k n sin ) 1 r (rk g cos + rk n sin 1) (.9) olarak elde edilir. 9

3. KANAL VE TÜP TÜZEYLER I ÜZER INDEK I ÖZEL E ¼GR ILER IN KARAKTER IZASYONLARI Parametre e¼grileri, geodezik e¼griler, asimptotik e¼griler ve e¼grilik çizgileri bir yüzey üzerinde yatan özel e¼grilerdir. Bu bölümde ilk olarak, genelleştirilmiş tüp yüzeyi üzerindeki parametre e¼grilerinin ayn zamanda e¼grilik çizgisi oldu¼gu durum incelenecektir. Daha sonra bu durum, Frenet çat s yla parametrize edilmiş kanal yüzeyi üzerinde araşt r lacak ve baz özel C(s) merkez e¼grileri için, kanal yüzeyini üreten hareketli kürenin r(s) yar çap fonksiyonu elde edilecektir. Son olarak Frenet, Bishop ve Darboux çat l tüp yüzeyleri üzerinde, parametre e¼grilerinin ne zaman geodezik e¼gri, asimptotik e¼gri ya da e¼grilik çizgisi olaca¼g araşt r lacak ve çeşitli karakterizasyonlar verilecektir. Teorem (1.1.8) e göre parametre e¼grilerinin ayn zamanda e¼grilik çizgisi olmas için, yüzeyin birinci ve ikinci temel formunun katsay lar ndan F = f = 0 olmal d r. Teorem 3.1 : Genelleştirilmiş tüp yüzeyi üzerinde parametre e¼grileri ayn zamanda e¼grilik çizgisidir () C(s) merkez e¼grisi düzlemseldir. Ispat : Genelleştirilmiş tüp için elde edilen (.5) denklemlerinden, F = u f = 1 kuk [uu0 (u sin u 0 cos ) (1 u cos ) (u + (u 0 ) )] dir. O halde F = f = 0 () u = 0 1 kuk [uu0 (u sin u 0 cos ) (1 u cos ) (u + (u 0 ) )] = 0: Bu denklem sisteminin çözümü = 0 d r. Bir başka deyişle, C(s) merkez e¼grisi düzlemseldir. Şimdi bu teoremi, Frenet çat l kanal yüzeyi için inceleyelim. 30

Teorem 3. : Frenet çat l regüler kanal yüzeyi için, F = 0 () f = 0 d r. Ispat : (=)) Kabul edelim ki F = 0 olsun. g = r p 1 r 0 ve h = rr 0 olmak üzere (.10) denklemlerinden, F = g (g + h sin ) = 0 d r. Bu denklemde g 6= 0 oldu¼gundan, g = (.1) denklemlerinden, h sin elde edilir. Bu son eşitlik M = f = h g 0 1 q (g cos + h 0 1) + (g 0 h cos ) i h cos g sin g g cos + h 0 1 de yerine yaz l rsa, f = 1 h i q gg 0 + h(h 0 1) sin (g cos + h 0 1) + (g 0 h cos ) olur. g = r p 1 r 0 ve h = rr 0 için gg 0 + h(h 0 1) = 0 oldu¼gundan, yukar daki denklemden f = 0 elde edilir. ((=) Kabul edelim ki f = 0 olsun. Bu durumda, g 0 h cos g sin g g cos + h 0 1 = 0 gg 0 sin hg cos sin g cos g(h 0 1) = 0 31

olur. gg 0 = h(h 0 1) son denklemde yerine yaz l rsa, h sin (h 0 1) g cos (g + h sin ) g(h 0 1) = 0 g cos (g + h sin ) + (h 0 1) (g + h sin ) = 0 g cos + h 0 1 (g + h sin ) = 0 elde edilir. Frenet çat l regüler kanal yüzeyi için g cos + h 0 1 6= 0 oldu¼gundan, yukar daki son denklemden g + h sin = 0 sonucu ç kar. O halde (.10) denklemlerinden, F = 0 d r. Sonuç 3.1 : Frenet çat l regüler kanal yüzeyi üzerinde, parametre e¼grileri ayn zamanda e¼grilik çizgisidir () g + h sin = 0 d r. Sonuç 3. : Frenet çat l regüler kanal yüzeyinin parametre e¼grileri ayn zamanda e¼grilik çizgisi olamaz. Ispat : Sonuç 3.1.1 den parametre e¼grilerinin e¼grilik çizgisi olmas için g + h sin = 0 olmal d r. Bu denklemde g = r p 1 r 0 ve h = rr 0 yerlerine yaz l rsa, sin = p 1 r 0 (3.1) r 0 olarak bulunur. parametre e¼grileri için, s sabit oldu¼gundan (s), (s) ve r 0 (s) sabittir. Bu yüzden yukar daki eşitli¼gin sa¼g taraf da sabit olur. Ancak de¼gişken oldu¼gundan, eşitli¼gin sol taraf sabit de¼gildir. Dolay s yla, parametre e¼grileri ayn zamanda e¼grilik çizgisi olamaz. Bundan böyle Frenet çat l regüler kanal yüzeyi üzerinde s parametre e¼grilerinin ayn zamanda e¼grilik çizgisi olmas n sa¼glayan g + h sin = 0 denklemini inceleyece¼giz. Bu denklem için, (1) g + h sin = 0; sin = 0 () g + h sin = 0; sin 6= 0 3

durumlar n ele alal m. (1) g + h sin = 0, sin = 0 için g = 0 d r. Burada g 6= 0 oldu¼gundan, = 0 bulunur. O halde bir düzlemsel C(s) merkez e¼grisi için s parametre e¼grileri, 0 = 0 ve 0 = ayn zamanda birer e¼grilik çizgisi olur. () g + h sin = 0, sin 6= 0 için, kanal yüzeyini üreten hareketli kürenin yar çap fonksiyonu aşa¼g daki gibi elde edilir. g + h sin = 0 r p 1 r 0 = rr 0 sin r 0 = Z r(s) = p 1 r 0 = r 0 sin jj p + sin j(s)j p ds + c: (3.) (s) + (s) sin Önerme 3.1 : s parametre e¼grileri ayn zamanda e¼grilik çizgisi olan regüler kanal yüzeyinin C(s) merkez e¼grisi bir dairesel helis olsun. O halde kanal yüzeyi, r(s) = b p s + c; c; > 0 b + a sin lineer yar çap fonksiyonuna sahip olan bir hareketli küre taraf ndan üretilir. Ispat : C(s) merkez e¼grisi bir dairesel helis ise, C(s) = a cos s d ; a sin s d ; bs ; a = d + ; b = ile parametrize edilebilir. Burada dairesel helisin e¼grilikleri, + ; d = a + b = a d ve = b d sabit oldu¼gundan, (3.) denkleminden kanal yüzeyini üreten hareketli kürenin yar çap 33

fonksiyonu, r(s) = b p s + c; c; > 0 b + a sin lineer fonksiyonu olarak bulunur. Önerme 3. : s parametre e¼grileri ayn zamanda e¼grilik çizgisi olan regüler kanal yüzeyinin C(s) merkez e¼grisi bir genel helis olsun. O halde kanal yüzeyi, r(s) = s p 1 + cot sin + c; c > 0 lineer yar çap fonksiyonuna sahip olan bir hareketli küre taraf ndan üretilir. Ispat : C(s) merkez e¼grisi bir genel helis ise, e¼griliklerinin oran = tan bir sabittir. Ayn zamanda s parametre e¼grileri için sabit oldu¼gundan, (3.) denkleminden kanal yüzeyini üreten hareketli kürenin yar çap fonksiyonu, r(s) = r(s) = Z v u uu 1 ds t 1 + (s) (s) sin 1 p 1 + cot sin s + c; c > 0 lineer fonksiyonu olarak bulunur. Önerme 3.3 : s parametre e¼grileri ayn zamanda e¼grilik çizgisi olan regüler kanal yüzeyinin C(s) merkez e¼grisi bir Salkowski e¼grisi olsun. O halde kanal yüzeyi, r(s) = 1 q cos cos s + sin tan + c yar çap fonksiyonuna sahip olan bir hareketli küre taraf ndan üretilir. Ispat : C(s) merkez e¼grisi bir Salkowski e¼grisi olsun. Bu durumda C(s) merkez e¼grisinin e¼grilikleri, (s) 1 ve (s) = tan(arcsin(ms)) (3.) denkleminde yerlerine 34

yaz l rsa, Z r(s) = tan(arcsin(ms)) p tan (arcsin(ms)) + sin ds olur. Burada, x = arcsin(ms) de¼gişken de¼giştirmesi yap l rsa, = 1 Z m = 1 Z m sin x p tan x + sin dx sin x cos x p sin x + sin cos x dx integrali elde edilir. Son olarak, sin x = t de¼gişken de¼giştirmesi ile kanal yüzeyinin yar çap fonksiyonu, = 1 Z tdt p m cos t + sin Z tan(arcsin(ms)) r(s) = p tan (arcsin(ms)) + sin ds = 1 p cos m cos m s + sin + c r(s) = 1 q cos cos s + sin tan + c olarak bulunur. Önerme 3.4 : Regüler kanal yüzeyinin s parametre e¼grileri ayn zamanda e¼grilik çizgisi olsun. E¼ger yar çap fonksiyonu r(s) artan fonksiyon ise, C(s) merkez e¼grisi için, (s) < (s) < (s) dir. Ispat : s parametre e¼grileri e¼grilik çizgisi olsun. O halde (3.1) denkleminden, sin = p 1 r 0 r 0 dir. r(s) artan ise, r 0 > 0 olur. Kanal yüzeyi regüler oldu¼gundan, r 0 p p < 1 dir. O 1 r 0 1 r 0 halde 0 < r 0 < 1 den > 1 elde edilir. Yukar daki denklemde > 1 r 0 r 0 ve jsin j 1 oldu¼gundan, < 1 sonucu ç kar. Bu durumda C(s) merkez e¼grisi için, (s) < (s) < (s) dir. Şimdi, kanal yüzeyi üzerinde s parametre e¼grilerinin e¼grilik çizgisi oldu¼gu duruma 35

bir örnek verelim. Kanal yüzeyi üzerinde e¼grilik çizgilerinin bir ailesi d ds = (s) (s) cot (s) sin ; cos (s) = r0 (s) (3.3) dir (Vessiot 1919). Burada cos (s) = r 0 (s) den, cot (s) = r 0 (s) p 1 r 0 (s) elde edilir. Bu ifade (3.3) denkleminde yerine yaz l rsa, d ds = (s) p 1 r 0 (s) + r 0 (s)(s) sin p 1 r 0 (s) (3.4) olarak bulunur. g(s) = r(s) p 1 r 0 (s) ve h(s) = r(s)r 0 (s) ana denklemimiz g + h sin = 0 da yerine yaz l rsa, (s) p 1 r 0 (s) + r 0 (s)(s) sin = 0 olur. Bu son eşitlik (3.4) denkleminde yerine konuldu¼gunda, d ds = (s) p 1 r 0 (s) + r 0 (s)(s) sin p 1 r 0 (s) = 0 = sabit elde edilir. Bu durumda kanal yüzeyinin (3.3) denklemine sahip e¼grilik çizgisi ailesi, s parametre e¼grilerinin bir ailesiyle çak ş r. Teorem 3.3 : Frenet çat l tüp yüzeyinin Gauss e¼grili¼gi s f r ise, bu yüzey yar çap r = 1 olan bir hareketli küre taraf ndan üretilir. Ispat : K = 0 iken (.17) denklemlerinden, cos = 0 d r. O halde L(s; ) yüzeyinin normali, U = cos N sin B = B 36

olur. Yine cos = 0 iken, L(s; ) C(s) = r (cos N(s) + sin B(s)) U = rb B = rb elde edilir. O halde son denklemden, tüp yüzeyinin yar çap fonksiyonu r = 1 dir. Teorem 3.4 : Genelleştirilmiş tüp yüzeyi üzerinde parametre e¼grileri ayn zamanda birer asimptotik e¼gridir () (s) merkez e¼grisi düzlemseldir, = 0 ve = dir ya da d r. Burada, c 1 ve c birer sabittir. u() = c sec(c 1 + ) Ispat : Teorem (1.1.6) dan parametre e¼grilerinin ayn zamanda asimptotik e¼gri olmas için e = g = 0 olmal d r. Genelleştirilmiş tüp için (.5) denklemlerinden, e = X ss U = 1 4 u u 0 ( sin 0 cos ) (1 u cos ) (u + uu 0 0 ) kuk +(1 u cos ) (u 0 sin + u cos ) g = X U = 1 kuk (1 dir. g = 0 olmas için, u cos )(uu00 (u 0 ) u ) 3 5 (1 u cos )(uu 00 (u 0 ) u ) = 0 olmal d r. O halde, 1 u cos = 0 ya da uu 00 (u 0 ) u = 0 d r. 1 u cos = 0, e = 0 denkleminde yerine yaz l rsa, uu 0 tan = 0 37

elde edilir. Buradan = 0, = ya da = 0 sonucu ç kar. = 0 oldu¼gundan, merkez e¼grisi düzlemseldir. (s) uu 00 (u 0 ) u = 0 diferensiyel denkleminin genel çözümü, u() = c sec(c 1 + ) olarak bulunur. Burada, c 1 ve c birer sabittir. Teoremin ispat nda elde edilen s parametre e¼grileri 0 = 0 ve 0 = için U(s; 0) = X(s; 0) (s) = u(0)n U(s; ) = X(s; ) (s) = u()n dir. Teorem 3.5 : L(s; ) bir regüler tüp olsun. O halde, (1) L(s; ) n n s parametre e¼grileri ayn zamanda asimptotik e¼gridir () C(s) merkez e¼grisinin e¼grilikleri, denklemini sa¼glar. = 1 cos (1 r cos ) r () L(s; ) n n parametre e¼grileri ayn zamanda asimptotik e¼gri olamaz. Ispat : M bir yüzey ve : I! M bir e¼gri olsun. e¼grisinin M yüzeyi üzerinde bir asimptotik e¼gri olmas için, 00 ivme vektörünün yüzeye te¼get olmas gerekir. Yani U, M yüzeyinin normali olmak üzere, U 00 = 0 dir. Bu durumda, (1) L(s; ) n n s parametre e¼grileri için, U L ss = cos (1 r cos ) + r = 0 38

denkleminden, = 1 cos (1 r cos ) r cos sonucu ç kar. Bu denklem e¼grilikleri = r(tan + cos ) ve = tan cos r(tan + cos ) olan bir C(s) dairesel helisi için sa¼glan r. Burada, C(s) dairesel helisinin te¼geti ile ekseni aras ndaki aç d r. () U L = r 6= 0 oldu¼gundan, parametre e¼grileri ayn zamanda asimptotik e¼gri olamaz. Teorem 3.6 : L(s; ) bir regüler tüp olsun. O halde, (1) L(s; ) n n s parametre e¼grileri ayn zamanda birer geodeziktir () C(s) merkez e¼grisinin e¼grilikleri, r cos cos + r = c denklemini sa¼glar. Burada, c bir sabittir. () L(s; ) n n parametre e¼grileri ayn zamanda birer geodeziktir. Ispat : e¼grisinin M yüzeyi üzerinde bir geodezik e¼gri olmas için, 00 ivme vektörünün yüzeye dik olmas yani yüzey normali ile 00 nün lineer ba¼g ml olmas gerekir. Bir başka deyişle, U 00 = 0 olmal d r. s ve parametre e¼grileri için, U L ss = [ sin (1 r cos ) r 0 ] T + [r 0 sin cos r sin ]N +[ r 0 cos + r sin cos ]B U L = r sin cos T r sin cos T = 0 elde edilir. O halde, (1) T; N; B vektörleri lineer ba¼g ms z olduklar ndan, s parametre e¼grilerinin geodezik olmas için, sin (1 r cos ) r 0 = 0 r sin [ 0 cos sin ] = 0 r cos [ 0 cos sin ] = 0 39

denklem sistemi sa¼glanmal d r. Son iki denklemden, 0 cos denklem ilk denklemle ortak çözülürse, sin = 0 olur. Bu cos 0 r cos 0 r 0 = 0 diferensiyel denklemi elde edilir. Bu denklemin integrali al n rsa sabit oldu¼gundan, r cos cos + r = c sonucu ç kar. Örne¼gin, C(s) merkez e¼grisi çember ya da dairesel helis olan tüp yüzeyi için, bu denklem sa¼glan r. () U L = 0 oldu¼gundan parametre e¼grileri ayn zamanda birer geodeziktir. Teorem 3.7 : Genelleştirilmiş tüp yüzeyi üzerinde parametre e¼grileri ayn zamanda birer geodeziktir () (s) merkez e¼grisi düzlemseldir ya da genelleştirilmiş tüp yüzeyi Frenet çat l tüp yüzeyi ile çak ş r. Ispat : U X = [uu 0 u 00 sin + u(u 0 ) cos u u 0 sin ]N +[uu 0 u 00 cos u(u 0 ) sin u u 0 cos ]B N ve B lineer ba¼g ms z vektörler olduklar ndan U X = 0 () uu 0 (u 00 sin + u 0 cos u sin ) = 0 uu 0 (u 00 cos u 0 sin u cos ) = 0: Bu denklem sisteminin çözümünden = 0 ya da u 0 (cot + tan ) = 0 elde edilir. Son denklemde cot + tan = 1 sin cos 6= 0 40

oldu¼gundan u 0 = 0 u = sabit bulunur. u() = u = sabit oldu¼gu için genelleştirilmiş tüp yüzeyi Frenet çat l tüp yüzeyi ile çak ş r. Teorem 3.8 : P (s; ) regüler tüpünün Gauss e¼grili¼gi s f rd r () s parametre e¼grileri için, C(s) merkez e¼grisi düzlemseldir. Ispat : K = 0 olsun. O halde K = k 1 cos + k sin r (rk 1 cos + rk sin 1) = 0 denkleminden, k 1 cos + k sin = 0 elde edilir. s parametre e¼grileri için f = cos ve g = sin olmak üzere, fk 1 + gk = 0 d r yani (k 1 ; k ) orjinden geçen bir do¼gru üzerindedir. O halde Bishop a (1975) göre C(s) merkez e¼grisi düzlemseldir. Teorem 3.9 : P (s; ) regüler tüpünün parametre e¼grileri ayn zamanda birer e¼grilik çizgisidir. Ispat : (.1) denklemlerinden F = f = 0 d r. O halde e¼grilik çizgisi teoreminden, P (s; ) n n parametre e¼grileri ayn zamanda e¼grilik çizgisidir. Teorem 3.10 : P (s; ) regüler tüpünün, (1) s parametre e¼grileri ayn zamanda birer asimptotik e¼gridir () C(s) merkez e¼grisi düzlemseldir. () parametre e¼grileri ayn zamanda asimptotik e¼gri olamaz. 41

Ispat : s ve parametre e¼grileri için, U P ss = (k 1 cos + k sin ) (1 rk 1 cos rk sin ) U P = r dir. (1) P (s; ) regüler tüpü için 1 rk 1 cos rk sin 6= 0 oldu¼gundan, U P ss = 0 () k 1 cos + k sin = 0: O halde s parametre e¼grileri için, C(s) merkez e¼grisi düzlemseldir. () U P = r 6= 0 oldu¼gundan, parametre e¼grileri ayn zamanda asimptotik e¼gri olamaz. Teorem 3.11 : P (s; ) regüler tüpünün, (1) parametre e¼grileri ayn zamanda birer geodeziktir. () s parametre e¼grileri ayn zamanda geodezik olamaz. Ispat : s ve parametre e¼grileri için, U P = r sin cos T r sin cos T = 0 U P ss = (k 1 sin k cos ) T + r sin r cos k 0 1 cos + k 0 sin N k 0 1 cos + k 0 sin N 1 dir. (1) U P = 0 oldu¼gundan, P (s; ) n n parametre e¼grileri ayn zamanda geodeziktir. 4

() U P ss = 0 () k 1 sin k cos = 0 r sin k 0 1 cos + k 0 sin = 0 r cos k 0 1 cos + k 0 sin = 0: sin ve cos ayn anda s f r olamayaca¼g ndan ve r > 0 oldu¼gundan, k 1 sin k cos = 0 k 0 1 cos + k 0 sin = 0 elde edilir. k 1 sin k cos = 0 denkleminden k 1 k = cot ve k 0 1 cos + k 0 sin = 0 denkleminden k0 1 oldu¼gundan, k 0 = tan olur. Son eşitlikte k 1 = k cot yerine yaz l rsa, sabit tan = k0 1 k 0 = (k cot ) 0 k 0 = k0 cot k 0 = cot 1 yani cot +tan = 0 bulunur. Fakat, cot +tan = 6= 0 oldu¼gundan elde sin cos edilen durum bir çelişkidir. O halde, P (s; ) n n s parametre e¼grileri ayn zamanda geodezik olamaz. Teorem 3.1 : P (s; ) regüler tüpünün C(s) merkez e¼grisi C s n f ndan bir küresel e¼gri ise, yüzeyin s parametre e¼grileri boyunca K ve H sabittir. Ispat : C(s) merkez e¼grisi C s n f ndan bir küresel e¼gri olsun. Bishop a (1975) göre bir uzay e¼grisi küresel ise, (k 1 ; k ) orjinden geçmeyen bir fx + gy + 1 = 0 do¼grusu 43

üzerindedir. Yani s parametre e¼grileri için f = cos ve g = sin olmak üzere, k 1 cos + k sin + 1 = 0 d r. O halde k 1 cos + k sin K = r[r(k 1 cos + k sin ) 1] = 1 r(r + 1) H = r(k 1 cos + k sin ) 1 r[r(k 1 cos + k sin ) 1] = r + 1 r(r + 1) olarak elde edilir. Burada r sabit oldu¼gundan, K ve H sabit olur. Teorem 3.13 : D(s; ) regüler tüpünün, (1) parametre e¼grileri ayn zamanda geodeziktir. () s parametre e¼grileri ayn zamanda geodeziktir () C(s) merkez e¼grisinin geodezik e¼grili¼gi, asimptotik e¼grili¼gi ve geodezik torsiyonu, sin k g cos k n + r cos k n k g + 1 r sin (k n k g) r 0 g = 0 cos (k 0 g + k n g ) + sin (k 0 n k g g ) = 0 (3.5) denklem sistemini sa¼glar. Ispat : D(s; ) yüzeyinin normali N olmak üzere, s ve parametre e¼grileri için, N D = r sin cos T r sin cos T = 0 N D ss = (sin k g cos k n + r cos k n k g + 1 r sin (k n kg) r 0 g)t +r(sin cos k 0 g + sin k 0 n sin k g g + sin cos k n g )Y r(cos k 0 g + sin cos k 0 n sin cos k g g + cos k n g )U dir. (1) N D = 0 oldu¼gundan parametre e¼grileri ayn zamanda geodeziktir. 44

() T; Y; U vektörleri lineer ba¼g ms z olduklar ndan, N D ss = 0 () sin k g cos k n + r cos k n k g + 1 r sin (k n k g) r 0 g = 0 r(sin cos k 0 g + sin k 0 n sin k g g + sin cos k n g ) = 0 r(cos k 0 g + sin cos k 0 n sin cos k g g + cos k n g ) = 0: Son iki denklemden, cos (k 0 g + k n g ) + sin (k 0 n k g g ) = 0 elde edilir. O halde, s parametre e¼grilerinin ayn zamanda geodezik olmas için k g, k n ve g sin k g cos k n + r cos k n k g + 1 r sin (k n k g) r 0 g = 0 cos (k 0 g + k n g ) + sin (k 0 n k g g ) = 0 denklem sistemini sa¼glamal d r. Sonuç 3.3 : D(s; ) regüler tüpünün C(s) merkez e¼grisi bir geodezik olsun. Bu durumda D(s; ) n n s parametre e¼grilerinin geodezik olmas için ve, r sin sin + r = c denklemini sa¼glamal d r. Burada, c bir sabittir. Ispat : C(s) merkez e¼grisi bir geodezik ise, k g = 0 olur. k g = 0, (3.5) denklemlerinde yerine yaz l rsa, cos (1 r sin ) + r 0 = 0 0 sin + cos = 0 denklemleri elde edilir. Ilk denklemden cos çekilir ve ikinci denklemde yerine 45

yaz l rsa, 0 sin r 0 sin r 0 = 0 olur. Son olarak bu denklemin integrali al n rsa, r sin sin + r = c eşitli¼gi elde edilir. Sonuç 3.4 : D(s; ) regüler tüpünün C(s) merkez e¼grisi bir asimptotik e¼gri olsun. O halde s parametre e¼grilerinin geodezik olmas için ve, r cos cos + r = c denklemini sa¼glamal d r. Burada, c bir sabittir. Ispat : C(s) merkez e¼grisi bir asimptotik e¼gri ise, k n = 0 olur. k n = 0, (3.5) denklemlerinde yerine yaz l rsa, sin (1 r cos ) r 0 = 0 0 cos sin = 0 denklemleri elde edilir. yaz l rsa, Ilk denklemden sin çekilir ve ikinci denklemde yerine 0 cos r 0 cos r 0 = 0 olur. Son olarak bu denklemin integrali al n rsa, r cos cos + r = c eşitli¼gi elde edilir. Teorem 3.14 : D(s; ) regüler tüpünün, 46